Краевые задачи теории упругости с условиями на границе типа неравенств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1 Метод гладких областей в задачах двумерной теории упругости для области с негладким разрезом

1.1 Вариационная формулировка.

1.2 Смешанная формулировка.

I 1.3 Метод гладких областей.

2 Дифференцирование функционала энергии для задачи о , равновесии тела, содержащего трещину, с краевыми условиями Синьорини

2.1 Постановка задачи.

2.2 Асимптотические разложения.

2.3 Вывод формулы для производной.

3 Дифференцирование функционала энергии в задаче о равновесии пластины, содержащей наклонную трещину

3.1 Постановка задачи.

3.2 Вспомогательные утверждения и формулы.

3.3 Вывод формулы для производной.

3.4 Предельный переход при а —> 0.

4 Гладкость решения в задаче о равновесии пластины с наклонной трещиной

4.1 Постановка задачи.

4.2 Теорема о гладкости.

Прочность хрупких тел существенно зависит от имеющихся в реальном твердом теле остроконечных дефектов, таких, как трещины, отверстия, включения инородных материалов и т.п. Под воздействием внешних сил I тело деформируется, при этом в окрестности таких дефектов возникает значительная концентрация напряжений. Это, в свою очередь, может привести к образованию новых или росту уже имеющихся трещин, т.е. к локальному или полному разрушению тела. Необходимость в наиболее точном описании процессов деформации и разрушения, происходящих в реальных телах, обусловлена в первую очередь увеличивающимся применением инженерных конструкций и техники. Таким образом, изучение поведения тел, содержащих трещины, находящихся под воздействием внешних нагрузок, представляет собой актуальную тему для научных исследований.

В исследовании задач механики деформируемого твердого тела применение аппарата дифференциальных уравнений является одним из широко используемых математических методов.

Существенным моментом в данной работе, с точки зрения математических исследований, является постановка рассматриваемых задач в негладкой области. Предполагается, что граница этой области состоит из внешней границы, описывающей внешние контуры тела, и внутренней задающей форму трещины. Таким образом, краевые условия задаются на внешней (защемление, контакт) и внутренней границах (условия непроникания). При этом условие непроникания имеет вид системы равенств и неравенств.

Другим важным моментом является то, что все краевые задачи, рассматриваемые в работе относятся к классу задач со свободной границей. Это означает, что конкретное краевое условие в данной точке определяется лишь после решения всей задачи в целом.

В настоящее время для исследования задач теории упругости описывающих равновесие тел с трещинами, разработаны разнообразные математические модели и методы.

Широко применяются следующие подходы, ставший классическими, которые применимы в задачах, где краевые условия, , задаваемые на поверхности трещины для функций перемещений или компонент тензора напряжений, имеют вид равенств (см. [56]-[59], [67]-[72], [97]-[100])

TijVj = fi на S или щ = gi на 5, где &ij - компоненты тензора напряжений, Vj - компоненты вектора внешней нормали к поверхности S, описывающей форму трещины, щ - компоненты вектора перемещений, /,-, д{ - заданные функции.

В области исследования задач теории трещин с краевыми условиями такого типа значительный вклад внесли Н. И. Мусхелишвили, Г. П. Черепанов, В. 3. Партон и др. С помощью аппарата теории функций комплексного переменного они изучили широкий класс задач ( см. [23], [57]-[59], [72], [97]-[100]).

Метод интегральных уравнений также относится к одним из наиболее используемых в задачах теории упругости. Сведение задач к интегральным уравнениям и последующее их изучение описаны в [1], [12], [18], [71]. Винер и Хопф предложили метод для решения некоторых интегральных уравнений, основанный на идее факторизации. С техникой этого метода можно ознакомиться в [21].

Теория потенциалов, изложенная в монографии В. Д. Купрадзе [40], также нашла применение к задачам теории трещин [13], [26].

Наряду со способами изучения проблем теории упругости с помощью краевых задач, нередко применяются вариационные подходы [8], [14], [55], [77], [89], [101]. Так, например, задача равновесия упругого тела может быть поставлена как задача минимизации функционала потенциальной энергии.

Благодаря развитым в последней половине XX века теории вариационных неравенств, теории соболевских пространств и т.д., стало возможным исследование более широкого класса практических и теоретических проблем (см. например [4], [16], [27], [61], [67]). Связь вариационных неравенств и краевых задач, их эквивалентность, для конкретных задач механики и физики изложена в [4], [20]. Впервые в отечественной математике теорию вариационных неравенств к теории упругости применил А. С. Кравчук, см. [38], [39].

Трудность в исследовании гладкости решений вариационных неравенств связана с тем, что задачи такого рода могут иметь порог гладкости. Кроме того, как правило, из-за нелинейности задач методы исследования, которые хорошо работают для одних видов задач, будут неприменимы для исследования других, не слишком отличающихся от них, см. [2]-[4], [10], [94].

Использование вариационных неравенств, эквивалентных соответствующим нелинейным краевым задачам теории трещин, позволило получить ряд результатов, касающихся дифференцирования функционалов энергии [82], [95], [96].

В настоящее время имеется достаточно много работ, относящихся к дифференцированию функционалов энергии при возмущении областей в линейных задачах [19], [63], [64], [86]. Например, в работе В.Г. Мазьи, С.А. Назарова рассматриваются краевые задачи с малыми возмущениями границы вблизи конической или изолированной точки [52]. Найдены главные члены асимптотики интегралов энергии для ряда конкретных задач математической физики. Приведен строгий вывод формулы Гриф-фитса для приращения потенциальной энергии деформации при продвижении трещины.

Результаты о численных методах, применяемых для вариационных неравенств, можно найти в [17], [32], [33].

Наряду с исследованием нелинейных краевых задач теории трещин с помощью вариационных неравенств в последние годы успешно используются так называемые смешанные формулировки. В случае областей с гладкими границами и обычными краевыми условиями, смешанные формулировки достаточно хорошо изучены (см. например [9]). В задачах с негладкими областями, благодаря применению смешанных постановок, обоснован метод гладких областей в теории трещин. Этот метод, предложенный сравнительно недавно, уже сейчас получил эффективное применение при численных расчетах задач теории трещин [7]. Кроме того, этот метод оказался крайне полезен при обосновании метода фиктивных областей в задаче Синьорини [87].

Математическая теория трещин, связанная с условиями непроникания берегов, берет свое начало с работ А. М. Хлуднева, исследовавшего с теоретической точки зрения краевые задачи с условиями в виде системы равенств и неравенств на негладкой компоненте границы области. С механической точки зрения условия типа неравенств имеют более точную интерпретацию по сравнении с классическими условиями вида равенств. Приведем, например, условие непроникания, задаваемое для трехмерных тел с трещинами и]v >0 на Гс. (0.1)

Здесь и = (г/1,М2,«з) — перемещения точек тела, скобки [•] означают скачок функции на берегах трещины, v — нормаль к поверхности Гс, определяющей форму трещины. Заметим, что для двумерного случая условие непроникания запишется в аналогичном виде как и в (0.1), но для двухкомпонентного вектора и определенной кривой.

Отметим здесь, что поверхности и кривые, описывающие трещины, соответственно, в трехмерном и двумерном случаях, удовлетворяют некоторым предположениям, в частности, они должны обладать гладкостью, которая позволяет определить нормаль, а также они не должны иметь самопересечений. От последнего требования можно отказаться поскольку, в случае кривой, имеющей самопересечения, краевые условия вида (0.1) также можно задавать и исследовать соответствующую контактную задачу.

В ряде работ дополнительно предполагается, что трещина содержится строго внутри тела и описывается более гладкими поверхностями и кривыми. Например, в работах [91], [93] такие предположения необходимы для определения операторов следа и применения соответствующих формул Грина.

При моделировании пластин и оболочек, содержащих вертикальные трещины, А. М. Хлудневым предложено краевое условие взаимного непроникания берегов: > d\[^}\ на Гс, (0.2) где W, w - горизонтальные и вертикальные перемещения точек срединной поверхности пластины, 2d - толщина оболочки (пластины), кривая Гс задает пересечение поверхности трещины со срединной плоскостью, v - нормаль к Гс. Это условие было предложено в рамках гипотезы Кирхгофа-Лява, которая состоит в том, что любое волокно, нормальное к срединной поверхности до деформации, остается после деформации прямым и нормальным к срединной поверхности в ее новом очертании; вместе с тем длина волокна вдоль толщины оболочки (пластины) остается неизменной. Дополнительное допущение состоит в том, что нормальными напряжениями в направлении нормали к срединной поверхности можно пренебречь по сравнению с основными напряжениями. Под основными напряжениями в теории оболочек понимают нормальные и касательные напряжения в самой срединной поверхности и в слоях оболочки, ей параллельных. В такой модели горизонтальные перемещения точек оболочки (пластины) линейно зависят от расстояния до срединной поверхности, а вертикальные не изменяются:

W{z) = W - zVw, w[z) = w, \z\ < d, где W(z),w(z) - горизонтальные и вертикальные перемещения произвольной точки оболочки (пластины), расположенной на расстоянии 2 от срединной поверхности.

В настоящее время имеются разнообразные исследования и результаты для задач математической теории трещин с условиями вида (0.1), (0.2) как отечественных так и зарубежных авторов, см. [6], [И], [65], [84], [85], [92]-[96].

В ряде работ для вариационных постановок задач с краевыми условиями непроникания на негладкой компоненте области найдены эквивалентные формулировки в виде краевых задач, доказаны эквивалентность соответствующих вариационных и дифференциальных постановок, см. например [74], [92], [94]. Результаты о гладкости решений вариационных задач с такими условиями можно найти в [6], [75], [94].

Дифференцированию функционала потенциальной энергии для задач этой области математических исследований посвящены работы A.M. Хлу-днева, В.А. Ковтуненко, Я. Соколовского, М. Баха, К. Отсуки, Д. Хем-берга и других авторов.

В [6] сформулирована двумерная задача теории упругости с условием вида (0.1) на трещине и заданной силой трения между берегами трещины. Задача является нелинейной и ставится в виде вариационного неравенства. Получена формула для первой производной функционала энергии по отношению к параметру, который характеризует длину трещины.

Для задачи о равновесии пластины, содержащей вертикальную трещину, удовлетворяющей гипотезе Кирхгофа-Лява, с условием вида (0.2), формула производной функционала потенциальной энергии получена в [82].

В [92], [94] исследованы вопросы выбора экстремальных форм включений, рассмотрены задачи оптимального управления вариационными неравенствами.

В работах [7], [32], [33] приведены численные исследования для вариационных задач теории упругости с условиями непроникания берегов трещины, имеющими вид неравенств.

В данной диссертационной работе решены новые задачи теории трещин со свободными границами и с краевыми условиями типа неравенств.

Первая глава посвящена изучению нелинейной краевой задачи о равновесии упругого двумерного тела, содержащего трещину и находящегося под воздействием внешних нагрузок. Предполагается, что рассматриваемое тело занимает область fic = О, \ Гс, где Q — ограниченная область с гладкой границей Г, через Гс С ^ обозначена кривая, описывающая трещину. Неизвестными функциями в задаче являются компоненты вектора перемещений и = (щ,«2) и тензора напряжений {<r,j}, i,j = 1,2. Исходная дифференциальная постановка задачи о равновесии тела, подверженного нагрузкам / = (/1, /2), задается следующим образом. Требуется найти функции и = (ui,u2), {&ij}, = 1,2, определенные в такие, что

Здесь, v — нормаль к кривой Гс, {Cijki}\j%k,i=i^ — коэффициенты, определяющие упругие свойства тела. В вышеприведенных формулах и далее предполагается суммирование по повторяющимся индексам, индекс после ffijj — / В Пе, i — 1,2, Cijkl^kl - £ij{u) =0, = 1,2 в и = 0 на Г, [и]и > 0, [аи] =0, ov • [u]v = 0 на Г, ov < 0, От = 0 на Г±

С)

0.3) (0.4) (0.5) (0.6) (0.7) запятой обозначает производную по соответствующей переменной. Для компонент тензора деформации приняты следующие соотношения ij(u) = \(uiJ + uJ,i)i {->i = 2

Величины а и, ov, сгг находятся по формулам

OV = (Tv = OijVjVi, <jT — av — <ju • v.

Соотношения (0.3) и (0.4) — уравнения равновесия и состояния. Граничное условие (0.5) описывает закрепление тела на внешней границе, выполнение условий (0.6), (0.7) обеспечивает непроникание противоположных берегов трещины друг в друга.

Существо метода гладких областей в теории трещин состоит в исследовании исходной дифференциальной постановки задачи в области с разрезом, с помощью соответствующей слабой формулировки в гладкой области. Для известных краевых задач о равновесии мембраны, двумерного тела, пластины, которые содержат трещины, описываемые достаточно гладкой кривой, найдены подходящие эквивалентные слабые формулировки в области без разрезов. А также доказаны теоремы существования и единственности решения этих задач см. [91], [93]. В частности, для рассматриваемой задачи (0.3)-(0.7) метод был ранее предложен для случая, когда трещина содержится строго внутри тела и описывается с помощью гладкой кривой класса С1,1 [93].

В данной работе рассматривается более общий случай, когда Гс является липшицевой кривой и может выходить в концевых точках на внешнюю границу Г. В таком случае, вообще говоря, трудно определить операторы следа, используемых в свою очередь, при определении множества допустимых функций в [93]. Это обстоятельство вынуждает применить другой, интегральный подход при определении множества допустимых напряжений (см. [93]). Приводится соответствующая слабая формулировка задачи (0.3)-(0.7) в гладкой области, которая является обобщением слабой постановки, предложенной в [93]. В качестве основного результата доказывается существование и единственность решения этой задачи.

Во второй главе получена формула для производной функционала энергии в задаче о равновесии тела, содержащего трещину и контактирующего с жестким штампом. При этом возмущение области, занимаемой телом, задается семейством гладких отображений. Рассматривается задача теории упругости в области с негладкой границей. На внутренней границе (разрезе), соответствующей трещине, задаются краевые условия вида неравенств. Эти условия имеют ясную механическую интерпретацию и не допускают взаимное проникание противоположных берегов трещины. На подповерхности внешней границы, которая имеет ненулевую площадь, задаются условия закрепления. Краевое условие Синьорини, описывающее контакт тела с жестким штампом, также имеет вид системы равенств и неравенств. Это условие предполагается выполненным на остальной части внешней границы. Поверхности, на которых заданы краевые условия, удовлетворяют определенным предположениям о гладкости и относительного взаимного расположения. Доказательство существования и единственности решения вариационных постановок задач, аналогичных этой задаче, а также их эквивалентные дифференциальные формулировки можно найти в [94]. Эквивалентность понимается в следующем смысле: в предположении достаточной гладкости решения вариационной постановки, решение вариационной задачи является решением краевой задачи, и наоборот.

В данном случае для исследования функциональных свойств решения удобно воспользоваться вариационной постановкой. Для исходной невозмущенной области с разрезом Г2, обозначим через и решение этой задачи, а потенциальную энергию тела' обозначим через J(Q,u). Рассмотрим семейство гладких отображений, зависящих от малого параметра s е {-s0,60)

Ц е c2(-s0,s0-,w^(r3)), i = 1,2,3.

Считаем, что при 5 = 0, Фо = I — тождественное отображение. Пусть при каждом фиксированном s отображение устанавливает взаимнооднозначное соответствие между областями g5 = Ф<*(Сг) и g. Область g соответствует невозмущенной области без разреза. Будем также предполагать, что невозмущенные поверхности, на которых заданы краевые условия, переходят при этом в поверхности с аналогичными условиями на границе. Дополнительно в качестве предположения потребуем сохранение некоторых геометрических характеристик этих возмущенных поверхностей. Через и5 обозначим решение задачи для возмущенной области, J(QS] и5) — соответствующий функционал потенциальной энергии. Считая, что Фs устанавливает взаимно-однозначное отображение между соответствующими множествами допустимых функций к и к5 рассматриваемых вариационных задач, находится формула для производной функционала энергии по отношению к параметру s dJ(Q5] и5), и5) - J(fl; и) as 1*=°" йй s ■

В третьей и четвертых главах рассматриваются задачи о равновесии упругих пластин, содержащих наклонную трещину на основе модели Кирхгофа-Лява. Впервые математическая модель условия непроникания берегов трещины для таких пластин была предложена в работе [90]. Это условие имеет вид системы двух неравенств, заданных в области, получаемой проекцией поверхности трещины на срединную плоскость пластины. Несмотря на громоздкость этого условия, его преимуществом по сравнению с условием, предложенным позднее, является возможность применения к более широкому классу поверхностей, задающих трещины. Приближенное условие непроникания применимо при дополнительном предположении относительно перемещений точек пластины вблизи трещины и может быть использовано лишь для трещин, описываемых специальными поверхностями [36].

В третьей главе находится производная функционала энергии по длине трещины. А именно, рассматривается возмущение трещины вдоль заданной поверхности. Малый параметр 5 Е [0,#о] задает возмущение длины трещины. Каждому 5 Е (0, ставится в соответствие возмущенная задача о равновесии. Существование и единственность решения этой задачи, сформулированной в вариационном виде, а также ее эквивалентность соответствующей краевой задаче, доказаны в [36].

Пусть срединная поверхность пластины занимает область Q& = Q \ Ti+s, где О, С R2 — ограниченная область с гладкой границей, Ti+s — пересечение поверхности трещины со срединной плоскостью.

Искомые функции перемещений точек срединной поверхности пластины обозначаются через х = (W,w), где W = W(x) = (u(x),v(x)); w = w(x), — горизонтальные и вертикальное перемещения соответственно, х Е Эти функции должны удовлетворять уравнениям равновесия j = ft ® 5 2 = 1,2, А2ш = /3 в fij.

На внешней Г и внутренней Г/+5 границах области Q& задаются соответственно условия жесткого защемления и непроникания берегов Л w = ^- = W = 0 на Г, дп

0.8) и] + [w]tga > |[w,2]| на Г;+(!.

0.9)

Здесь п — внешняя нормаль к Г, функция a(rc) = а = const задает угол наклона трещины. При а = 0 получаем условие для вертикальных трещин. Наряду с (0.8), (0.9) на выполнены также и другие краевые условия, точный вид которых здесь мы приводить не будем. При необходимости их можно найти в [36]. Эквивалентная формулировка задачи состоит в минимизации функционала энергии П(П<?,х) на множестве допустимых функций Ks(£ls)- Обозначим через Хб решение соответствующей задачи. Потенциальная энергия пластины задается величиной П(Пд,х<0- Благодаря дифференцируемости и выпуклости функционала П(П,5,х), вместо задачи минимизации можно исследовать эквивалентную ей задачу в виде вариационного неравенства.

В этой главе найдена формула для производной функционала энергии по отношению к параметру 8:

Далее, рассматривая угол наклона а в (0.9) как параметр, меняющийся в интервале [0, с*о], будем иметь семейство задач, зависящих от двух параметров а и 5. Обозначим теперь через Xs решение соответствующей задачи равновесия. При фиксированном 6 установлена сильная сходимость последовательности {х?} к {Xj} ПРИ а 0. Доказана возможность предельного перехода в формуле для вычисления производной функционала

-55-Ifeo = Jim-J

0.10) энергии

Ь—М—|s=0 = —ds~l

В четвертой главе исследуется гладкость решения вариационной задачи о равновесии пластины, содержащей наклонную трещину. Постановку этой задачи и доказательство существования ее решения можно найти в [90]. Неравенства, описывающие условие непроникания противоположных берегов трещины, входят в определение множества допустимых функций. В отличие от ранее исследованных задач о равновесии пластин и оболочек с вертикальными трещинами, рассматриваемое в этом разделе условие непроникания задается не на кривой, а в области (см. [92], [94]). Кроме того, это условие имеет нелокальный характер в том смысле, что его запись для данной фиксированной точки содержит значения перемещений пластины как в этой точке, так и в точке, взятой на противоположном берегу трещины. Данные обстоятельства существенно отличают рассматриваемое в этом разделе условие непроникания для наклонных трещин от условий для вертикальных разрезов.

Пусть срединная поверхность занимает область а поверхность трещины является частью плоскости. Пересечение трещины и срединной плоскости пластины (rri,^) задается множеством Гс = {(яь^г)! 0 < < r,x2 = 0}. Граница dQc состоит из внешней границы dQ, ограничивающей гладкую область П и разреза Гс, Qc = Q \ Гс. Нагруженная внешними силами пластина деформируется и приходит в равновесное состояние. Функции перемещений х(х) = (u(x),v(x),w(x)), % = (^1,^2) G срединной поверхности ищутся в классе функций, принадлежащих пространству

Я(ПС) = я1'0^) X Hl'°(Qe) х Я2'°(гу, где подпростанство Я1,0(ПС) пространства Я^Пс) состоит из элементов, обращающихся в нуль на д£1. Аналогично, элементами H2'°(QC) являются все функции из Я2,0(ПС), обращающиеся в нуль на дС1 вместе с первыми производными. Равенство нулю на дО. описывает условие жесткого защемления по краям пластины. Искомые функции должны удовлетворять условию в виде системы двух неравенств, выполненных на определенной области Q^ С П. Задача о равновесии пластины рассматривается в виде вариационного неравенства, выполненного для всех пробных функций, принадлежащих пространству Н(С1с) и удовлетворяющих системе неравенств.

В данной главе установлена дополнительная гладкость решений, в частности, доказано, что для любой точки х° = (ж®, 0) из множества Гс существует окрестность О(ж0), такая, что для решения задачи х = (и■>vзw) выполнены включения щ 1 , V)iG^'0(ficnO(x0)); Н2'°(ПсПО(х0)).

1. Александров А. Я., Соловьев Ю. И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Наука, 1988.

2. Архипова А. А. О предельной гладкости решения задачи с двусторонним препятствием // Вестник ЛГУ. 1984, № 7, С. 5-9.

3. Архипова А. А. О предельной гладкости решения нестационарной задачи с одним или двумя препятствиями // Проблемы математического анализа. Л.: Издательство ЛГУ, 1983, вып. 9, С. 149-156.

4. Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. М.: Наука, 1988.

5. Bach М., Kovtunenko V.A., Sukhorukov I.V. Numerical validation of the shape optimization approach to quasi-static crack propagation // SFB404 Bericht, Universitat Stuttgart 2000/29. 2000.

6. Bach M., Khludnev A.M., Kovtunenko V. A. Derivatives of the energy functional for 2D-problem with a crack under Signorini and friction condition // Math. Mech. in Appl. Sciences. 2000, V. 23, pp. 515-524.

7. Belhachmi Z., Sac-Epee J.M., Sokolowski J. Mixed finite element methods for smooth domain formulation of crack problems // Les prepublications de T'lnstitut Elie Cartan. 2003, № 24, pp. 1-27.

8. Бердичевский В. JL Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983.

9. F. Brezzi, М. Fortin. Mixed and hybrid finite elements methods. Springer, New York, 1991.

10. Brezis H. Kinderlehrer D. The smoothness of solutions to nonlinear variational inequalities // Indiana Univ.Math.J. 1974, V. 23, pp .831844.

11. Brokate M., Khludnev A.M. Existence of solutions in the Prandtl-Reuss theory of elastoplastic plate // Adv. in Math. Sciences Appl. 2000, V. 10, № 1, pp. 399-415.

12. Bui H. D. An integral equation method for solving the problem of a plane crack of arbitrarily shape // J. of mechanics and physics of solids. 1977, № 25, p. 29.

13. Бураго Ю., Мазья В. Г. Некоторые вопросы теории потенциала и теории функций для областей с нерегулярными границами. JI. : Наука, 1967.

14. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М. Мир, 1987.

15. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.

16. Главачек И., Гаслингер Я., Нечас И., Ловишек Я. Решение вариационных неравенств в механике. М.: Мир, 1986.

17. Гловински Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М. Мир, 1979.

18. Гольдштейн Р. В., Ентов В.М. Качественные методы в механике сплошных сред. М.: Наука, 1989.

19. Grisvard P. Singularities in Boundary Value Problems. Paris, Masson; Berlin, Springer, 1992.

20. Дюво Г., Лионе Ж.-JI. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.

21. Duduchava R., Wendland W. The Winer-Hopf method for systems of pseudodifferential equations with application to crack problem // Integral.Equaton.Oper. 23. 1995. pp.295-334.

22. Егоров Ю.В., Кондратьев В.А., Олейник О.А. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрических областях // Мат. сборник. 1998, Т. 189, № 3, С.45-68.

23. Иваныпин Н. А., Широкова Е. А. Решение задачи теории упругости для плоскости с двоякосимметричным вырезом, имеющим два ненулевых угла // ПММ. 1995, Т. 59, вып. 3, С. 524-528.

24. Irwin G.R. Fracture // Hundbuch der Physik, V.6. Berlin: Springer-Verlag, 1958.

25. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

26. Карпов Г. Н., Курносов Н. В., Партон В. 3. О применении метода потенциала к двумерным задачам упругого равновесия области с нерегулярной границей // Проблемы прочности. 1982. N7. С. 3-5.

27. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. М.: Мир, 1983.

28. Кондратьев В.А., Копачек И., Олейник О.А. О характере непрерывности на границе негладкой области обобщенного решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения // Мат. сборник. 1990, Т. 181, № 4, С. 564-575.

29. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для системы теории упругости в неограниченных областях. Неравенства Корна // УМН. 1988, Т. 43, № 5, С. 55-98.

30. Ковтуненко В. А. Вариационные и краевые задачи с трением на внешней границе // Сиб. мат. журнал. 1998, Т. 39, № 5, С. 913-926.

31. Ковтуненко В. А. Вариационная и краевая задачи с трением на внутренней границе // Сиб. мат. журн., 1998, Т. 39, № 5, С. 1060-1073.

32. Ковтуненко В.А. Метод численного решения задачи о контакте упругой пластины с препятствием // ПМТФ. 1994, Т. 35, № 5, С. 142-146.

33. Ковтуненко В.А. Решение задачи о балке с разрезом // ПМТФ. 1996, Т. 37, № 4, С. 160.

34. Kovtunenko V.A. Sensitivity of Interfacial Cracks to Non-linear Crack Front Perturbations // Z. Angew. Math. Mech. 2002, V. 82, № 6, pp. 387-398.

35. Kovtunenko V.A. Shape sensitivity of curvilinear cracks // Newton Institute Preprint Ser., Cambridge, 1999.

36. Ковтуненко В. А., Леонтьев А. Н., Хлуднев А. М., Задача о равновесии пластины с наклонным разрезом // ПМТФ. 1998, Т. 39, № 2, С. 164-174.

37. Cotterell В., Rice J. Slightly curved or kinked cracks // Int. J. Fracture, 1980, № 16, pp. 155-169.

38. Кравчук A.C. К задаче Герца для линейно- и нелинейно-упругих тел конечных размеров // ДАН СССР. 1976, Т. 230, № 2.

39. Кравчук А.С. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике. М.: МГАПИ, 1997.

40. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физмат-гиз, 1963.

41. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

42. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и нелинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964.

43. Лазарев Н.П. Гладкость решения в задаче о равновесии пластины с наклонной трещиной // Математические заметки ЯГУ. 2001, Т. 8,• N° 2, С. 49-55.

44. Лазарев Н. П. Дифференцирование функционала энергии для задачи о равновесии тела, содержащего трещину, с краевыми условиями Синьорини // Сиб. журн. индустр. мат. 2002, Т. 5, N°. 2(10), С. 139147.

45. Лазарев Н. П. Дифференцирование функционала энергии в задаче о равновесии пластины, содержащей наклонную трещину // Вестник НГУ. 2003, Т. 3, вып. 2, С. 62-73.

46. Лазарев Н.П. Метод гладких областей в задачах двумерной теории упругости для области с негладким разрезом // Сиб. журн. индустр. мат. 2003, Т. 6, № 3(15), С. 103-112.

47. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

48. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука, 1987.

49. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

50. Мазья В.Г. О поведении вблизи границы решений задачи Дирихле для бигармонического оператора // ДАН СССР. 1977, Т. 235, № 6, С. 1263-1266.

51. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Ленинград: Издательство ЛГУ, 1985.

52. Мазья В.Г., Назаров С.А. Асимптотика интегралов энергии при малых возмущениях вблизи угловых и конических точек // Труды Московского мат. общества. 1987, С. 79-129.

53. Мазья В.Г., Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области. Тбилиси: Издательство Тбил. университета, 1981.

54. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.

55. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.

56. Морозов Е.М. Метод конечных элементов в механике разрушения. М.: Наука, 1980.

57. Морозов Е.М., Сапунов В. Применение вариационного принципа к0решению задач теории трещин в упруговязких средах. Прикладная математика, 1972, Т. 8, № 6.

58. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.

59. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М. Наука, 1966.

60. Назаров С.А. Задача Синьорини с трением для тонких упругих тел // Труды московского мат. общества. 1993, № 56, С. 262-302.

61. Назаров С.А. Вывод вариационного неравенства для формы малого приращения терщины отрыва // Изв. АН СССР. МТТ. 1989.

62. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. М.: Наука, 1991.

63. Ohtsuka К. Generalized J-integral and three dimensional fracture mechanics I, Hiroshima math. J. // 1981, V. 11, pp. 21-52.

64. Ohtsuka K. Generalized J-integral and its applications. I. Basic theory // Japan Journal of Applied Mathematics. 1985, V. 2, pp. 329-350.

65. Ohtsuka К. Mathematics of Brittle Fracture // Theoretical Studies on Fracture Mechanics in Japan. 1997, pp. 99-172.

66. Ohtsuka K., Khludnev A.M. Generalized /-integral method for sensitivity analysis of static shape design // Control and Cybernetic. 2000, V. 29, N° 2, pp. 513-533.

67. Панагитопулус П. Неравенства в механике и их приложения. М.: Мир, 1989.

68. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Партон В.З. Основы механики разрушения материалов. Киев: Наукова думка, 1988.

69. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Стадник М.М. Пространственные задачи теории трещин // Физико-химическая механика материалов. 1979, N°. 5, С. 45-65.

70. Партон В.З., Борисовский В.Г. Динамика хрупкого разрушения. М.: Машиностроение, 1988.

71. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977.

72. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981.

73. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. М.: Наука, 1985.

74. Popova Т. S. The Equilibrium Problem for a linear Viscoelastic Body with a Crack. // Математические заметки ЯГУ. 1998, Т. 5, вып. 2, С. 118-134.

75. Попова Т. С. О регулярности решения задачи равновесия для пластины с трещиной. // Математические заметки ЯГУ. 1996, Т. 3, вып. 2, С. 124-132.

76. Работнов Ю. И., Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.

77. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985.

78. Райе Дж. Математические методы в механике разрушения. Разрушение. Т.2. М.: Мир, 1975.

79. Рудой Е.М. Равновесие вязко-упругой пластины, имеющей вертикальную трещину // Тезисы докладов. Математические проблемы механики сплошных сред. Новосибирск, 1997.

80. Рудой Е.М. Асимптотика интеграла энергии при возмущении границы // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 2000, вып. 116, С. 97-103.

81. Рудой Е.М. Устойчивость решения задачи равновесия пологой оболочки, содержащей трещину, при возмущении границы // Сиб. журн. индустр. мат. 2001, Т. 4, С. 171-176.

82. Рудой Е.М. Формула Гриффитса для пластины с трещиной // Сиб. журн. индустр. мат. 2002, Т. 5, С. 155-161.

83. Селютин А. А. Третья краевая задача о равновесии термоупругой пластины, содержащей трещину // Сиб. журн. индустр. мат., 2000, Т. 3, № 2(6), С. 180-198.

84. Соколовский Я., Хлуднев A.M. О производной функционала энергии по длине трещины в задачах теории упругости // ПММ. 2000, Т. 64, вып. 3, С. 464-475.

85. Соколовский Я., Хлуднев A.M. О дифференцировании функционалов энергии в теории трещин с возможным контактом берегов // ДАН. 2000, Т. 374, N° 6, С. 776-779.

86. Sokolowski J., Zolesio J.P. Introduction to shape optimization Shape sensitivity analysis, Springer, 1992.

87. Степанов В. Д., Хлуднев А. М. Метод фиктивных оценок в задаче Синьорини // ДАН. 2003, Т. 392, N° ij с. 1-4.

88. Темам Р. Математические задачи теории пластичности. М.: Наука, 1991.

89. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974.

90. Хлуднев A.M. Задача о равновесии упругой пластины, содержащей наклонную трещину // ПМТФ. 1997, Т. 38, № 5, С. 117-121.

91. Хлуднев A.M. Метод гладких областей в задаче о равновесии пластины с трещиной. // Сиб. мат. журн. 2002, Т. 5, N° 6, С. 1388-1400.

92. Khludnev A.M., Sokolowski J. Modelling and Control in Solid Mechanics. Birkhauser Verlag, Basel-Boston-Berlin, 1997.

93. Khludnev A.M., Sokolowski J. On smooth domain method for crack problems. // Les prepublications de Tlnstitut Elie Cartan. 2002, № 3, pp. 1-24.

94. Khludnev A.M., Kovtunenko V. Analysis of Cracks in Solids. WIT Press, Southampton-Boston, 2000.

95. Khludnev A.M., Ohtsuka K., Sokolowski J. On derivative of energy functional for elastic bodies with a crack and unilateral conditions // Quarterly Appl. Math. 2002, V. 60, N° 1, pp. 99-109.

96. Khludnev A.M., Sokolowski J. Griffith formulae for elasticity systems with unilateral conditions in domains with cracks // Europ. J. Mech. A/Solids. 2000, V. 19, pp. 105-119.

97. Черепанов Г.П. Механика разрушения композитных материалов. М.: Наука, 1983.

98. Черепанов Г.П. О распространении трещин в среде // ПММ. 1967, Т. 31, №3, С. 476-488.

99. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М., 1974.

100. Черепанов Г.П., Ершов Л.П. Механика разрушения. М.: Машиностроение, 1977.

101. Черноусько Ф. Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. Численные методы. М.: Наука, 1973.

102. Экланд И, Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979.