Автоматическая балансировка гибких роторов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

4852045

МЕЛЬНИКОВ Александр Евгеньевич АВТОМАТИЧЕСКАЯ БАЛАНСИРОВКА ГИБКИХ РОТОРОВ

01.02.01 — Теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

[1 1 АВГ 2011

Санкт-Петербург 2011

4852045

Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, доцент БЫКОВ Владимир Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор МЕЛЬНИКОВ Геннадий Иванович (Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики)

кандидат физико-математических наук, доцент ШНЕЕРСОН Юрий Борисович (Санкт-Петербургский государственный университет кино и телевидения)

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Защита состоится " 1^2011 г. в 11 часов на заседании со-

вета Д 212.232.30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., 28, математико-механический факультет, ауд. 405

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан "_"_201_г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Кустова Е.В.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Роторные механизмы применяются во многих областях современной промышленности, от машиностроения до компьютерной и бытовой техники. Так как зачастую эти механизмы должны функционировать на высоких скоростях, сильные вибрации, вызванные смещением центра тяжести ротора, могут стать серьезной проблемой и, даже, привести к поломке механизма.

Исследования динамики роторов насчитывают более чем 140-летшою историю, о чем свидетельствует статья известного шотландского ученого У. Рэнкина о вращательных движениях ротора написанная в 1869 году. С тех пор исследованию динамики роторов было посвящено множество научных трудом, среди которых можно отмстить работы А. Фёппля, А. Стодолы, Г. Джеффкотта, А.Н. Крылова и Г. Хользера. Фундаментальными работами, отражающими современное состояние теории жестких и гибких роторов, являются монографии Г. Генты и Т. Ямамото.

Существует два способа уменьшения нежелательных вибраций в механизме ротора - это ручная и автоматическая балансировка. Наибольшее распространение получила ручная балансировка, суть которой состоит в определении и устранении фиксированного статического, моментного или динамического дисбаланса на стадии создания ротора путем добавления корректировочных масс к "тяжелой"стороне ротора или удалением материала ротора с "легкой"стороны. Ручной балансировке роторов посвящено множество работ таких авторов как В.А. Щепетильников и A.A. Гусаров. Недостатком ручной балансировки является то, что при длительном использовании материал ротора деформируется и балансировку приходится проводить заново. Также ручная балансировка не приносит желаемых результатов, если центр тяжести ротора занимает нефиксированное положение, как это происходит, например, в стиральных машинах. Еще одним недостатком этого процесса является его трудоемкость для роторов сложной конструкции и, особенно, для гибких роторов, что было показано Ф.М. Диментбергом и A.A. Гусаровым.

Применение автобалансирующих устройств (АБУ) решает большинство этих проблем. Однако, АБУ гасят колебания лишь в закритичной области скоростей, а при скоростях меньше первой критической применение АБУ зачастую вызывает увеличение амплитуды и усугубляет переход через резонанс. Первая теоретическая модель ротора, оснащенного шаровым автобалансирующим устройством, была предложена американским инженером Э. Сирлом в 1932 году.

Автобалансирующие устройства делятся на пассивные - со свободным перемещением корректирующих масс, и активные - с их принудительным перемещением, присоединением или удалением. Основным преимуществом пассивных автобалансирующих устройств является простота. Их работа осуществляется за счет энергии самого ротора. Главный недостаток заключается в том, что они не являются всережимными, то есть они балансируют ротор только в определенном диапазоне угловой скорости его вращения. Основным недостатком активных автобалансирующих устройств является сложность их конструкции, но они являются всережимными.

Во многих работах рассматривались проблемы автоматической ба-

лансировки либо жестких роторов (Л. Сперлинг, В.Н. Нестеренко и А. А. Гусаров), либо гибких, но без учета влияния распределенной массы вала (Д. Чунг и Ф.М. Диментберг). Кроме того Ф.М. Дстинко исследовал динамическую балансировку и устойчивость ротора с распределенным дисбалансом с помощью АБУ, установленных в нескольких сечениях.

В силу вышесказанного тема настоящей работы, посвященной исследованию динамики гибкого ротора, оснащенного шаровым АБУ, с учетом распределенной массы вала, является актуальной.

Цель работы. Целью настоящей работы является построение математической модели гибкого ротора с шаровым АБУ на основе обобщенных лагранжевых координат, пригодной для исследования различных режимов движения ротора. А также анализ этих режимов, их классификация и сравнение с результатами, полученными путем использования других моделей.

Методы исследований. Используются классические методы теории нелинейных колебаний и теории устойчивости движения, а также матричный анализ и элементы теории функции комплексной переменной. Кроме того для численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений применяются алгоритмы компьютерного моделирования.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты:

1. Разработана методика исследования динамики гибкого ротора с распределенной массой и сосредоточенным дисбалансом на основе введения обобщенных лагранжевых координат.

2. Получено новое трансцендентное уравнение для определения критических скоростей гибкого вала, а также приближенная формула для вычисления критических скоростей высоких порядков.

3. Построена математическая модель гибкого ротора с распределенной массой и сосредоточенным дисбалансом, оснащенного шаровым автобалансирующим устройством. В рамках этой модели предложена классификация стационарных режимов, получены условия их существования и исследована устойчивость.

4. Проведено сравнение результатов, полученных с использованием данной модели, с результатами, полученными путем использования других моделей.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Введенные в ней понятия, развитые методы и полученные результаты применимы при исследовании и конструировании быстровращающихся роторных машин, оснащенных шаровым автобалансирующим устройством. На основании результатов исследования могут быть сделаны практические рекомендации, касающиеся оптимальных параметров ротора и автобалапсирующего устройства.

Апробация работы. Полученные в работе результаты были представлены автором на Международной конференции "Пятые Поляховские чтения Санкт-Петербург, 2009. Неоднократно результаты докладывались на семинаре кафедры теоретической и прикладной механики СПбГУ.

Публикации. По томе диссертации опубликовано три публикации, из них две статьи |1, 2\ в журналах, рекомендованных ВАК Российской Федерации.

В работах |1, 2|, написанных в соавторстве, автору принадлежит разработка модели, исследование се динамики и проведение численных экспериментов, а соавтору - общая постановка задачи и научные консультации.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы, насчитывающего 60 наименований. Диссертация содержит 40 рисунков и 3 таблицы. Общий объем работы 88 страниц.

Краткое содержание работы.

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, приведена краткая история исследования автобалапсирующих устройств, дан обзор литературы, сформулированы цели и задачи диссертационной работы, описана структура диссертации, а также представлены положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена исследованию динамики гибкого ротора с распределенной массой и сосредоточенным дисбалансом.

Исследуется математическая модель ротора в виде жесткого топкого диска массы т, несимметрично насаженного на упругий вал круглого сечения с равномерно распределенной массой. Вал вращается в шарнирных опорах, одна из которых является подвижной (рис. 1). Диск считаем жестко скрепленным с валом в точке Ох — центре диска. Неуравновешенность ротора зададим с помощью точечного дисбаланса массы тц, закрепленного па диске в точке Б на расстоянии г0 от центра диска.

Введем неподвижную систему координат Охуг, начало которой поместим в центр неподвижной шарнирной опоры, а ось О2 направим по оси недеформироваппого вала, проходящей через центры шарниров. Пусть текущее положение точек осевого сечения вала задается координатами и Функции и можно разложить по собствен-

ным формам колебаний вала, соответствующим условиям шарнирного за-

Рис. 1. Диск на гибком валу

крепления

00 и 00 и

X(z,t) = Y^xk(t)Sin^, V(z,t) = '£^(t) sin^T> С1)

fc=l k=l

где Xk(t) и yk{t) — величины максимального прогиба вала, а I — длина вала.

В качестве полной системы обобщенных координат ротора примем функции хь, г/к и угол собственного вращения диска вокруг его нормали в0. Рассмотрим конечное число п собственных форм колебаний и введем следующие обозначения

х= {x1(t),x2(t),...,xn(t)} , y = {yi(t),y2(t),...,yn(t)} , а = {аиа2,...,ап}т, b = {Ьь Ь2,..., Ьп}т,

. . kitZQ ктг kirz0

где коэффициенты а* = sin —-— и ojt = — eos —-— характеризуют величину отклонения искривленной оси вала и угол наклона касательной к ней для к-й формы колебания в точке крепления диска к валу, a Zq — проекция этой точки на ось Oz.

Перейдем к комплексным переменным и введем вектор v = х + гу. Обозначив через v вектор комплексно сопряженный к v, кинетическую энергию системы с точностью до малых второго порядка представим в виде

1т 1

Т=2^ {msBn + JtB + {m + m0)A)v + -{Jp + mor^e¡

- JPÓ0 Im[VTBv] + moroco Im[vre-<0°]a,

где ms = pSl/2 — приведенная масса вала (p и S — плотность и площадь поперечного сечения вала); Jp, Jt — полярный и трансверсальный моменты инерции диска; Е„ — единичная матрица пхп;А = а-атиВ = Ь-Ьт — симметричные матрицы пх п.

Так как на вал не действуют внешние потенциальные силы, то потенциальная энергия ротора будет состоять только из энергии изгиба вала

П = ^m5vTíí2v, (3)

кА 7г4 Е J

где Í22 = diag{cj2,w|... ш\ — 4--собственные частоты поперечных колебаний вала, EJ — изгибная жесткость вала.

Для учета вязкого трения введем в рассмотрение диссипативную функцию Релея

R = + (4)

где d и do — коэффициенты сопротивления при движении ротора и вращении вала.

С учетом выражений (2), (3) и (4) запишем уравнения Лаграпжа 2-го

рода

(msEn + JtB + (т + то) A) v + (dEn + 2iJp90B)v

+{msn2 + iJpe0B)v = m0r0(<?02 -i9o)eie°a (5) (Jp + m0rl)90 + m0r0 Im[vre"i0°]a + ¿JpIm^Bv] +d090 = Me,

где Me — внешний вращающий момент приложенный к валу.

Для исследования стационарных режимов предположим, что ротор вращается с постоянной угловой скоростью во = ш и перейдем к повой векторной переменной w = Запишем первую часть уравнений Лагран-жа (5) в новых переменных в безразмерном виде

(Е„ + JtB+mA) ~ +(dE„+2i JpwB) + iuiv^j

+ fi2w = mo^2a, (G)

где

j тг2 J( - 7Г2 Jp _ m + mo _ m0 - d

Jt = 75—, JP = 75-, m =-, m0 = —, a =-,

Hms l*ms m$ ms msw I

UJ _ z ~ w - n2 - I2

w = —, z = t=u>it, w = —, S22 = —я-, В = ¡г В.

Wi / Го Wj 7Г

Далее символ "~"писать не будем.

Рассмотрим стационарные режимы вращения ротора, при которых w = w, = const. Полагая в (G) значения всех производных от w равными нулю, получим

(П2 + w(id - ш)Ега - w2(mA + {Jt + 2JP)B)) w* = тп0ш2a. (7)

Матрицу левой части системы (7) обозначим через R и запишем в виде

R = Л + U • VT, (8)

где Л = Г22 + w(di — ш)Еп — диагональная матрица размера п х п, а U = {а, Ь} и V = — uj2 {ma, (Jt + 2 Jp)b} — матрицы размера их 2.

В диссертации показано, что у матрицы R существует обратная матрица, которую можно представить в виде

R"1 = Л"1 - Л"1 • U • (Е2 + VT • Л"1 • U)"1 • VT • Л"1. (9)

Разрешая систему (7) относительно вектораw, и умножая его скалярно на вектор а, получим

т _ 2 (_1 - ¿22 (Л + 2 Jp)bJ2__2

w, a-moo; ^ll(1_522(Ji+2Jp)w2)+syJi+2Jp)w2

) - (Ю)

где

5Ц = атЛ~1а, Бп = = агЛ_1Ь, 522 = ^Л^Ь.

Для нахождения амплитудно-частотных характеристик ротора (АЧХ) и фазо-частотных характеристик ротора (ФЧХ) можно использовать формулы

А(ы) = Кга|, /3(у) = аг8(ш/а). (И)

Аналогично, чтобы найти амплитуду угловой прецессии диска, определим наклон нормали к поверхности диска

+ =КТЬ|2, (12)

где

Ь = п--С <1 , ОП.,2^-, оту (13)

(1 - Su-mu,*) (1 - S22(Jt + 2JPV2) - S2nm{Jt + 2J;

Заметим что для симметричного закрепления диска = 0, следовательно, амплитуда угловой прецессии в данном случае будет тождественно равна нулю.

Предполагая, что п —» оо, получим

зи = — \ ___' sin Q7r(l - z0) - sha7r(l - , (14)

7Г ( sin arrzo

4 а3 \ sin сет

7Г f COS O7TZ0

4а2 \ sin сет

-JLÎ COS ŒTTZq

4а V sin сет

эштгЦ — г0) — с^а7гг° 5Ь шг(1 — г0) ) , (15) впал- )

\ .

совая-Ц — 2п) Н--:-сп тг(1 — г0) . (16)

¡зпега- /

Уравнение для определения критических частот найдем, приравняв в (10) знаменатель нулю и, подставив а = в выражения для

1 - S22(Jt + 2 Jp)u2k

Su(l - S22{Jt + 2Jp)v*) + S212(Jt + 2Jp)i/j

mu.

2

(17)

Заметим, что при достаточно больших щ слагаемыми порядка 1/f2 можно пренебречь, при этом гиперболическая часть в выражениях для Sij будет приближенно равна 0.5. В результате получим простую приближенную формулу для определения критических частот высокого порядка

= *"0Д'2..... (18>

Для того, чтобы полностью решить линейную систему уравнений Лагранжа 2-го порядка (6), необходимо сложить общее решение однородной системы с частным решением неоднородной, которое было найдено ранее. Решение однородной части уравнений (6) будем искать в виде

= где — не зависящий от времени вектор, который можно

найти из системы

И(А5К = 0, (19)

где ЩА,) = кЕЕ„ + Г22 + кАА + квВ, кЕ = (А, + гш + с/)(Л, + ш), кА = то(А5 + ш)2, кв = (^¡А8 + + 2Jp)гíJ)(As + гш).

Для того чтобы однородная система имела нетривиальное решение, необходимо, чтобы скЦЩАз)] = 0. В диссертации показано, что при п + ф 0 уравнение det[R,(As)] — 0 эквивалентно

det

' 1

0

< кА 1

0

_ кв -

+

{^A-'ia b}

= 0,

(20)

где Л — kElLn+ii2. Из уравнения (20) можно вычислить As при s = 1... 2п. Можно показать, что As и —— ± iv, при |Аа| >> 1. Подставляя найденное

значение As в (19), получим линейную систему относительно неизвестных компонент собственных векторов ws. Вектор ws следует искать в виде

ws = С'Л-1а + С£Л_1Ь, где коэффициенты С® и СЦ можно найти из системы уравнений

Т-С*а + (агА-!а )С'а + (a^tyC? = 0

кв

С1 + (атЛ_1Ь)Сц + {ЪТА~1Ъ)С8Ь = 0

(21)

(22)

Определитель этой системы равен нулю в силу (20), следовательно, у системы существует нетривиальное решение. В итоге получим общее решение системы уравнений (6)

w(t) = w* + ^е 7st sm(ust + </5s)ws

(23)

3=1

где коэффициент затухания 75 = — Г1е[А5] > 0 можно найти из уравнения (20), а значения амплитуды Д, и фазы (р3 определяются из начальных условий.

Таким образом, в процессе перехода к стационарному режиму ротор совершает свободные колебания, являющиеся композицией колебаний по всем собственным формам системы с соответствующей частотой. С точением времени эти эффекты исчезают и ротор выходит на стационарный режим, при этом высокочастотные формы гасятся быстрее, чем низкочастотные.

В разделе 1.4 проводится компьютерное моделирование динамики роторов различной конфигурации. Представлены собственные формы вала с диском и значения критических частот. Проведено сравнение полученных

Рис. 2. АЧХ и ФЧХ симметричного ротора с учетом (сплошная линия) и без учета массы вала (пунктир)

амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик с аналогичными характеристиками, полученными для моделей, не учитывающих вес вала (рис. 2). Показана зависимость амплитуды угловой прецессии ротора от частоты вращения. Численно исследованы режимы нестационарного прохождения через критические скорости.

Во второй главе математический аппарат, представленный в первой главе, применяется для построения математической модели гибкого ротора с сосредоточенным дисбалансом, оснащенного шаровым автобалансирующим устройством (АБУ). АБУ представляет собой цилиндрическую обойму, в которой N балансировочных шариков массы т^, ] = 1,..., Ы, могут перемещаться в плоскости диска по концентрическим окружностям радиуса г3- с центром в точке Ох- Предполагаем, что шарики движутся внутри трубок, заполненных вязкой жидкостью с коэффициентом сопротивления с^-. Обозначим через в^ угловое отклонение ]-то шарика от оси ОхХ2 (рис. 3).

I Л

¡а , !

Рис. 3. Балансировочные шарики

Считая балансировочные шарики материальными точками, примем за обобщенные координаты компоненты вектора V и углы j = 0... N

и запишем выражения для кинетической Т и потенциальной П энергии, а также для диссипативной функции Рэлея Я

/ ЛГ N

\ 0=0 ]=0

N \

+ 2г]т]0] 1т[уте-^]а ] ,

/

п = V, П. = ± + ¿0в2 + £ ф№ - •

Предположим, что ротор вращается с постоянной угловой скоростью си. Перейдем к новым переменным = \е~гыЬ во вращающейся системе координат. Также, введем относительные углы поворота шарикова^ = шt. После перехода к безразмерным переменным, получим уравнения динамики ротора с АБУ во вращающейся системе координат

N

-т0г0ш2а + - (а,- + ш)2)ае1°-' + Г22йг=0 ,9

1=1

а+ — + 2 шу/ - ш2ш)Те"^]а + ¿^,-0, j = l... N. гз

Безразмерные параметры в уравнениях (24) имеют следующий смысл N

j=o _ т,- _ г,- - Л тп =-, пц = —г,- = —, а.- — — - —

ms - ms " го 3 mjTjWi

а остальные безразмерные переменные совпадают с описанными ранее. Далее, символ "~"над безразмерными параметрами писать не будем.

Рассмотрим стационарные режимы движения ротора, при которых осевая линия вала и углы, описывающие положение балансировочных шариков, сохраняют постоянное положение во вращающейся системе координат. Для нахождения стационарных режимов положим в системе (24) w = w = 0, dj = dj = 0, w = w* = const, aj = а* = const. В результате получим следующие уравнения

(ln2 + {id-uj)ujEn-(Jt + 2Jp)oj'2B-mu}2A) w» = w2 ^f) m^e"*! ja ^

Im[(wf a)e-iai] =0, j = 1... TV.

Стационарный режим, при котором осевая линия вала совпадает с осью Oz, назовем сбалансированным (С), в противном случае — несбалансированным (НС). Особо выделим частный случай, при котором ось вала

искривлена, но центр диска лежит на оси Ог. Этот режим назовем псев-досбалансированным (ПС).

Рассмотрим сбалансированный режим. Полагая ту» = 0, из первого уравнения системы (25) получим

N

Е---1«

= 0. (26) 3=0

Условие (26) означает, что центр тяжести системы, образованной балансировочными шариками и дисбалансом, лежит в точке Oi. Предположим, что все шарики имеют одинаковую массу mi и лежат на одинаковом расстоянии ri от центра диска. В таком случае, двух шариков оказывается достаточно, чтобы уравновесить любой дисбаланс для которого т^ < 2mir\.

Обозначим за р = wja = pclß комплексный вектор, определяющий положение центра диска во вращающейся системе координат. Для псев-досбалансированного режима должны выполняться два условия: р = 0 и w, ^ 0, Умножим первое уравнение (25) слева скалярно на w^, получим, что псевдосбалансированный режим может существовать только при d = 0. Из первого уравнения системы (25) получим условие существования псевдосбалансированного режима

SUJt + 2Jp)^

Sn + l-522(Ji+2J>2 - 0. (27)

где Sij можно найти по формулам (14 - 16), положив а = л/й.

В случае несбалансированного режима имеем р ф 0. В этом случае вторая группа уравнений (25) будет удовлетворяться только при условиях ß — (x*j= KÖj, где Sj равняется либо 0, либо 1. Рассмотрим сумму из правой части первого уравнения (25)

N N

mjrje^ =т0 + ^2 mjrjeW-^ = m0( 1 + eißo), (28) j=о j=1

1 N

где er = — mjrje~lnS' e R. Параметр а назовем балансировочным ко-mo j=1

эффициентом. Физически балансировочный коэффициент определяет положение центра масс системы шариков на линии, соединяющей текущее положение центра диска с его положением на нсискривленном валу.

Рассмотрим три случая, при которых возможны несбалансированные режимы: а > 0 — обозначим как режим HCl, а < 0 — обозначим как режим НС2, & — 0 обозначим как режим НСЗ. Режимы HCl и НС2 имеют место, когда центр масс балансировочных шариков находится соответственно на большем или меньшем расстоянии от неискривленного положения центра вала, чем его текущее положение. В режиме НСЗ центр масс балансировочных шариков совпадает с текущим положением центра вала.

Подставив (28) в первое уравнение (25), получим

Rw* = w2m0 (1 + eißa) а, (29)

где R = íí2 +w(id — ш)Еп — (Jt + 2Jp)u>2B — meo2А. Заметим, что матрицу R также можно записать в виде (8), поэтому для нее справедлива формула (9). Выражая из уравнения (29) w, и умножая его скалярно па вектор а, получим уравнение относительно амплитуды р корни которого равны

p=Lo2mí) ^rRe[arR-1a] ± ^Refa^R^a]2 + (1-ст2) Im[aTR

(30)

o.itf?

0.08

0.06

0.04

0.02

<r = 2j \\ сг = 0

VC.

i ^ "

t*cr =Л

0.2 0.4 0.6

0.S

1.0

----,(Г = Ii .,„----T=3=r

СГ = 2

i/í/ / Н

l/h

er = О

ууЛ'

0.0

£?- = 0.5

0.2 0.4 0.6 0.8

1.0"

Рис. 4. АЧХ и ФЧХ стационарных режимов типа HCl

На рис. 4 представлена зависимость амплитуды и фазы от скорости вращения для режима HCl. Условия существования несбалансированных стационарных режимов, обусловленные положительностью амплитуды р, представлены в таблице 1.

Режим Условие существования Кол-во корней

HCl 0 < а < 1 1

сг=1, Re a1 R :а > 0 1

а > 1, Re[aJ R_1a] > Va2 - 1| Im^R"1^ 2

НС2 -1 < (7 < 0 1

a = -1, Re[aTR_ia] < 0 1

a <-1, RefaTR_1a] < -a/ct2 - 1| Imfa7 'R"1^ 2

НСЗ a = 0 1

Таблица 1. Условия существования режимов HCl, НС2 и НСЗ

В разделе 2.3 проводится исследование устойчивости стационарных решений системы (24), путем анализа уравнений возмущенного движения. Пусть Дш и Аа.^, ] = 1,2,... N — малые отклонения обобщенных координат от стационарных значений. Подставляя ау = а* + До,-, чу = + Аш в уравнения (24), разлагая в ряд по малым отклонениям, пренебрегая малыми второго порядка и учитывая, что и а* удовлетворяют системе

уравнений (25), получим линейную систему уравнений в вариациях

' (Е„ 4- Jf В+m А) ( Aw+2zwAw - w2Aw) + (2г JpwB+dEn) ( Aw+шАw)

N

+ XI тЛ'(гЛй) - 2AàjUi - ш2Actj)eia'> a + iî2Aw = 0,

i (31)

Aàj-{—Im[(Aw+2iwAw—w2Aw-Hw2AajW*)Te~ia^]a rj

+djAàj = 0, j = 1,..., N.

Ищем решение (31) в виде Aw = w°eAt и Actj = а°еЛ(. В результате получим систему уравнений

Re

(А+гш)4Щг^-'^а'^ aTR"1(A)a - ыгв^роРк

-(X + dk)rkXa°k = 0, k = í,...,N,

(32)

где R(A) = (Е„ + JtВ + mA)(A + iwf + (2¿JpcjB + d E„)(A + iu>) + П2.

Исследуем устойчивость сбалансированного стационарного режима в случае, когда АБУ имеет два балансировочных шарика одинаковой массы и ¿i = ¿2- Поскольку (32) является системой линейных однородных уравнений относительно а$ и а®, то для существования нетривиального решения необходимо, чтобы определитель ее был равен нулю. Из этого условия получаем характеристическое уравнение для определения А

(A + dl)A 2 = (eos 2а;)2. (33)

1

m1(A + ¿w)4a:rR-1(A)a

Пусть А3, в = 0,1,... — корни уравнения (33), упорядоченные по возрастанию. В работе показано, что А° ~ — — ± ги3 при |А3| >> 1. То

есть достаточно большие по модулю корни характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части. Таким образом, можно констатировать, что устойчивость сбалансированного стационарного режима определяется первыми корнями характеристического уравнения (33).

Устойчивости псевдосбалансированного режима определяется корнями уравнения (32), которое при N = 1 и р = 0, принимает вид

Ие [(А + гш)4атК-1(А)а] тщ - (А + d1)X = 0. (34)

Заметим, что при наличии более одного балансировочного шарика (Ы > 1) система (32) становится неразрешима, так как при любых значений а] существует свой псевдосбалансированный режим. Учитывая условие существования псевдосбалансированного режима (27), заметим, что выражение для атК_1(0)а будет тождественно равно нулю. Следовательно, А = 0 является корнем уравнения (34). Поэтому этот режим является неустойчивым для любых значений параметров.

Для анализа устойчивости несбалансированных режимов HCl, НС2 и НСЗ вернемся к уравнениям (32). Учитывая, чтоа^ = ß — iröj и |wfa| = р = ре1Р, получим систему характеристических уравнений

((ЛWe^pK-jXJ mjrje^^a^J Re[(A+iw)4aTR-1(A)a] =0. (35)

Рассмотрим режим НС2. Приравняв нулю определитель системы (35), получим систему уравнений для определения характеристических чисел Л

(Л + di)riА - ш2р - 0 (А + di)riA — w2p — 2m\Ti Re[(A + ¿w)4aTR-1(A)a] = 0

Из первого уравнения для режима НС2 следует, что этот режим всегда неустойчив, так как свободный член этого уравнения —ш2р всегда меньше нуля.

Условие равенства нулю определителя системы (35) для режима НСЗ примет следующий вид

-2A(A+<i1)m1r12Re[(A+iw)4aTR-1(A)a] + (A(A + di)ri)2-(w2p)2 = 0. (36)

Для характеристического полинома (36) свободный член Сп и коэффициент при старшей степени со будут равны

4 2 , „ ( 1 + lblU У1

cn = -a,p> ^o-l-2TOl^|a|2(i + |b|2Ji)_(arb)2j(+mj .

Из неравенства Коши-Буняковского (атЬ) < |а[|Ь| следует, что со > 0, поэтому режим НСЗ неустойчив.

Исследуем устойчивость режима HCl. Для него условие равенства нулю определителя системы (35) примет вид

(А + di)ri\ + LÜ2P = 0 , s _ (A + di)riA + w2p-2mir1Re[(A + iw)4aTR-1(A)a] =0 У 4

Вещественная часть корней первого из этих уравнений всегда меньше нуля. Повторив действия, проделанные для режима НСЗ, можно доказать, что коэффициент при старшей степени второго полинома больше нуля. Найдем свободный член этого полинома

сп = ±w4y'm2Re[aTR-1a]2 + (m2 - 4mjr2) Iin^R^a]2

Отсюда следует, что решение уравнения (30) со знаком минус перед корнем, существующее при а > 1 (таблица 1), неустойчиво для любых значений параметров. Для |А| >> 1 второе уравнение системы (37) можно привести к виду эквивалентному характеристическому уравнению уравновешенного режима (33). Поэтому устойчивость верхней ветви режима HCl (со знаком плюс перед корнем) также будет определяться малыми корнями.

Для определения характера устойчивости по первым корням воспользуемся критерием Рауса и методом О-разбиений, а также интегральным критерием устойчивости, который является следствием принципа аргумента Коши. Для режимов С (рис. 5) и НС1 строятся двупараметрические диаграммы устойчивости, показывающие области параметров при которых данные режимы устойчивы. Проводится сравнение с аналогичными диаграммами устойчивости для моделей ротора с невесомым валом.

1.0

0.8 0.6 0.4 0.2

А

1.0

0.8 0.6 0.4 0.2

<<•>„10.45 0.50 0.55 0.< а)

45 0.50 0.55 0.6

Ь)

üJKpi 0.45 0.50 0.55 0.(

с)

Рис. 5. Диаграммы устойчивости сбалансированного стационарного режима в плоскости параметров (й, и>) для симметричного ротора

В разделе 2.4 представлены результаты численного интегрирования уравнений, описывающих динамику системы. Строятся графики, отображающие динамику процесса выхода па стационарный режим при вращении ротора с постоянной угловой скоростью. Экспериментально обнаружен установившейся предельный цикл для значений параметров лежащих в области неустойчивости стационарных режимов. Кроме того моделируется нестационарный переход через резонансные частоты с целью оценки эффективности работы автобалансирующего устройства.

В заключении излагаются основные результаты работы.

Публикации автора по теме диссертации.

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК

1. Быков В.Г., Мельников А.Е. Математическая модель гибкого ротора на основе обобщенных Лагранжевых координат. // Вестник СПбГУ, сер.1, вып. 4, 2010, стр. 110-118.

2. Быков В.Г., Мельников А.Е. Автоматическая балансировка диска на гибком массивном валу. // Вестник СПбГУ, сер.1, вып. 2, 2011, стр. 116-126.

Другие публикации

3. Мельников А.Е. Динамика упругого статически неуравновешенного ротора. // Пятые Поляховские чтения. Избранные труды. - СПб. Изд. ВВМ. 2009. стр. 88-93.

Подписано в печать 06.07.2011. Формат 60x90/16 Бумага офсетная. Усл. псч. л. 1 Тираж 100 экз. Заказ 220

Отпечатано в типографии ООО «Адмирал»

199048, Санкт-Петербург, В. О., 6-я линия, д. 59 корп. 1, оф. 40Н

Введение

1 Динамическая модель гибкого ротора с распределенной массой на основе обобщенных лагранжевых координат

1.1 Описание модели и вывод уравнений.

1.2 Стационарные режимы вращения ротора.

1.2.1 Приближенное решение с учетом конечного числа собственных форм колебаний.

1.2.2 Точное решение с рассмотрением всех собственных форм колебаний

1.3 Общее решение для ротора, вращающегося с постоянной угловой скоростью.

1.4 Численное моделирование.

1.4.1 Критические частоты и собственные формы.

1.4.2 Стационарный режим.

1.4.3 Нестационарное прохождение через резонанс.

2 Динамика и устойчивость гибкого ротора с шаровым автобалансирующим устройством

2.1 Вывод уравнений.

2.2 Стационарные режимы движения ротора.

2.2.1 Сбалансированный режим.

2.2.2 Псевдосбалансированный режим.

2.2.3 Несбалансированные режимы.

2.3 Устойчивость стационарных режимов.

2.3.1 Устойчивость сбалансированного режима.

2.3.2 Устойчивость псевдосбалансированного режима

2.3.3 Устойчивость несбалансированных режимов.

2.4 Численное моделирование.

Объект исследования и актуальность темы. Роторные механизмы применяются во многих областях современной промышленности, от машиностроения до компьютерной и бытовой техники. Так как зачастую эти механизмы должны функционировать на высоких скоростях, сильные вибрации, вызванные смещением центра тяжести ротора, могут стать серьезной проблемой и, даже, привести к поломке механизма.

Исследования динамики роторов насчитывают более чем 140-летшою историю, о чем свидетельствует статья известного шотландского ученого У. Рэнкина [55] о вращательных движениях ротора написанная в 1869 году. Практическая ценность этой статьи заключалась в том, что в ней было впервые приведено описание влияния упругих и центробежных сил на вращение гибкого вала. Кроме того, в этой статье было показано как можно применить теорию Пуассона о поперечных колебаниях стержней к динамике роторов.

Значительный прогресс в этой тематике в конце 19 века произошел благодаря вкладу таких инженеров как К. Лаваль и А. Феппль. Лаваль в 1882 году создал первую импульсную паровую турбину, представляющую собой легкое колесо, на лопатки которого через несколько поставленных под острым углом сопел наводился пар. В 1889 году Лаваль усовершенствовал свое изобретение, дополнив сопла коническими расширителями. Это повысило КПД турбины и превратило ее в универсальный двигатель.

При высоких оборотах турбинного колеса даже незначительное смещение в центре тяжести вызывало сильную нагрузку на ось и перегрузку подшипников. Чтобы избежать этого, Лаваль предложил насадить колесо на тонкий вал, который при вращении мог слегка прогибаться. В этом случае было обнаружено, что при разгоне турбинного колеса оно самостоятельно занимало строго центральное положение и удерживало его при больших скоростях вращения. Впервые явление самоцентрирования ротора было описано А. Фёпплем [44], который теоретически обосновал возможность работы со сверхкритическими скоростями.

В 1919 году вышла фундаментальная работа Г. Джеффкотта [51], в которой были подтверждены результаты Феппля о возможности устойчивого вращения вала в закритической области. С той поры простейшую модель ротора в виде тонкого диска, закрепленного посередине невесомого гибкого вала, в зарубежной литературе называют ротором Джеффкотта.

В первых работах по динамике роторов основные усилия авторов были направлены на нахождение первой критической скорости, так как основной инженерной задачей того времени было сконструировать ротор таким образом, чтобы избежать резонанса. Следует отметить работу С. Дункер-лея [43], который первый экспериментально вывел формулу для вычисления минимальной критической скорости для систем с несколькими роторами. Также он впервые стал использовать термин критическая скорость для резонансной скорости вращения.

Вопросу определения критических скоростей и форм колебаний любого порядка посвящена работа А.Н. Крылова [24]. В ней описываются роторы в виде гибких упругих валов постоянного сечения с распределенной массой с насаженными на них одним и более плоскими дисками. Показано влияние на критические скорости распределенной нагрузки, а также сосредоточенных сил и моментов. Кроме того, в работе описано использование метода начальных параметров для приближенного расчета критических скоростей, суть которого сводится к разбиению вала на участки и экстраполяции значений прогиба и наклона оси вала с начала участка вала на его конец. Таким образом, значения произвольных констант, задающих функцию прогиба на каждом участке, можно выразить через наклон оси вала и ее прогиб в конечной точке вала.

Кроме того, следует упомянуть работу Г. Хользера [49], в которой был описан приближенный метод вычисления собственных частот и форм крутильных колебаний, а также работы Р. Граммеля [46], В.Я. Натанзона [31], Ю. А. Митрофанова [30].

Открытия, сделанные в исследовании динамики роторов в начале двадцатого века, подробно описаны в монографии А. Стодолы [58]. Эта книга охватывает большой класс паровых турбин. Помимо прочего в ней описывается динамика гибких валов с диском, динамика распределенных роторов без учета гироскопического момента, статическая балансировка твердых роторов и методы для определения приближенных величин критических скоростей.

С увеличением мощности и быстроходности машин возрастает степень обратного воздействия рабочей среды на ротор машины. Это приводит к тому, что, с одной стороны, ротор испытывает значительные силовые возмущения и совершает при этом вынужденные колебания, а с другой - становится менее устойчивым и, при определенных условиях, входит в режим, в котором помимо вынужденных колебаний присутствуют и автоколебательные компоненты. Впервые вопрос об автоколебаниях роторов был поставлен в работе М. Я. Кушуля [26], где были рассмотрены стационарные почти периодические колебания несбалансированного ротора, в котором причиной возникновения автоколебательной компоненты является внутреннее трение в материале ротора. Далее эту тему развил Г. И. Аникеев в своей работе [1], где в качестве причин возникновения автоколебаний рассматриваются также масленые пленки в опорах и наличие сухого трения. В работе K.M. Рагульскиса [35] помимо теоретического и экспериментального исследования вибраций роторов, рассматривается вопросы оценки неуравновешенности роторных систем по параметрам вибраций, а также описывается применение статистического подхода к исследованию вибраций. Вопросы исследования устойчивости колебаний роторов описаны В.И. Симоновским в работе [37]. В ней проанализировано влияние на устойчивость конструктивных и режимных параметров, предложены методы расчета устойчивости многомассовых роторов.

Большинство авторов, изучающих динамику роторных систем, ставили перед собой задачу подбора параметров ротора оптимальных с точки зрения уменьшения вибраций. Среди работ, в которых решаются задачи подобного рода, можно упомянуть работу В. Я. Кальменса [22], в которой описывается обеспечение вибрационной надежности машин путем обработки конструкций элементов на стадии их создания, а также получение критериев вибронадежности, соответствующих безопасным условиям эксплуатации. Аналогичный подход к уменьшению амплитуд вибрационного движения ротора путем подбора характеристик опор или профиля ротора описывается в работе A.C. Кельзона и JI.M. Малинина [23]. В ней приводятся решения оптимизационных задач, как для переходных, так и для стационарных режимов работы.

Существует два способа уменьшения нежелательных вибраций в механизме ротора - это ручная и автоматическая балансировка. Наибольшее распространение получила ручная балансировка, суть которой состоит в определении и устранении фиксированного статического, моментного или динамического дисбаланса на стадии создания ротора. Балансировку проводят на специальных балансировочных станках путем добавления корректировочных масс к "тяжелой"стороне ротора или удалением материала ротора с "легкой"стороны. Ручной балансировке роторов посвящено множество работ, среди которых особое место занимает двухтомная книга под редакцией В.А. Щепетильникова [36], в которой подробно изложены все наработанные на тот момент технологии балансировки. В книге приводятся методики определения дисбаланса и его уравновешивания для жестких и гибких роторов.

Этой же тематике посвящена другая книга под редакцией В.А. Щепетильникова [2], в которой основной упор делается на выявление причин, вызывающих погрешности при балансировке, таких как нелинейные процессы в опорах или зазоры и упругие деформации ротора на рабочей скорости вращения. Кроме того, в этой работе приведено описание автобалансирующих устройств применяемых на гибких роторах. Кроме того, следует упомянуть работы М.Е. Левита [28] и A.A. Гусарова [15], посвященные данной тематике.

Недостатком ручной балансировки является то, что при длительном использовании материал ротора деформируется и балансировку приходится проводить заново. Также ручная балансировка не приносит желаемых результатов, если центр тяжести ротора занимает нефиксированное положение, как это происходит, например, в стиральных машинах. Еще одним недостатком этого процесса является его трудоемкость для роторов сложной конструкции, особенно для гибких роторов, что было показано Ф.М. Диментбергом [18] и A.A. Гусаровым [14].

Применение автобалансирующих устройств (АБУ) решает большинство этих проблем. Однако, АБУ гасят колебания лишь в закритичной области скоростей, а при скоростях меньших первой критической применение АБУ зачастую вызывает увеличение амплитуды и усугубляет переход через резонанс. Это вынуждает проектировщиков роторных систем идти на дополнительные ухищрения, такие как фиксация корректирующих масс при малых скоростях и освобождение их при больших. Первая теоретическая модель ротора, оснащенного шаровым автобалансирующим устройством, была предложена американским инженером Э. Сирлом [59] в 1932 году.

Автобалансирующие устройства делятся на пассивные - со свободным перемещением корректирующих масс, и активные - с их принудительным перемещением, присоединением или удалением. Как первые, так и вторые имеют преимущества и недостатки. Основным преимуществом пассивных автобалансирующих устройств является простота. Их работа осуществляется за счет энергии самого ротора. Главный недостаток заключается в том, что они не являются всережимными, то есть они балансируют ротор только в определенном диапазоне угловых скоростей. Иногда пассивные автобалансирующие устройства применяются в качестве чувствительных элементов активных устройств. В этом случае они имеют малые размеры и массу и практически не влияют на динамические свойства ротора. Основным недостатком активных автобалансирующих устройств является сложность их конструкции, но они являются всережимными.

Простейшее пассивное шаровое АБУ представляет собой несколько металлических шариков, которые могут перемещаться внутри трубки заполненной вязкой жидкостью по концентрическим окружностям в плоскости диска. В основе принципа действия шарового АБУ лежит тот факт, что при достаточной угловой скорости шарики стремятся уравновесить имеющийся в роторе дисбаланс. Кроме шариков в автобалансирующих устройствах могут быть использованы кольца, маятники или жидкость. В некоторых случаях корректирующие массы являются составными, состоящие из катков и маятников. Подробно описаны все известные устройства для автоматической балансировки роторов в работе А. А. Гусарова [12].

Во многих работах рассматривались проблемы автоматической балансировки либо жестких роторов (Л. Шперлинг [57], Г. Д. Шекун [38] и А. А. Гусаров [13]), либо гибких, но без учета влияния распределенной массы вала (Д. Чунг [40]). В монографии Ф.М. Диментберга [17] решена задача о балансировке гибкого ротора с распределенным дисбалансом с помощью набора сосредоточенных грузов, расположенных вдоль осевой линии вала. В статье Ф.М. Детинко [16] исследована динамическая балансировка и устойчивость ротора с распределенным дисбалансом с помощью АБУ, установленных в нескольких сечениях.

В книге В.Н. Нестеренко [32], а также в статье К.-О. Олсона [53], рассмотрены вопросы устойчивости шаровых автобалансирующих устройств, используемых для балансировки роторов со многими степенями свободы, с учетом кулонова трения и ошибок изготовления беговых дорожек. Показано, что пассивные АБУ могут применяться как для устранения статической, так и моментной неуравновешенности. Подобный подход используется и в статье [56], где твердый ротор уравновешивается с помощью АБУ, расположенных в двух плоскостях.

В работах, вышедших за последнее время, большинство авторов используют новые технологии компьютерного моделирования для проведения бифуркационного анализа динамики АБУ. Среди них можно отметить работы К. Грина и А. Р. Чампнейса ([47] и [48]), в которых, помимо установившихся режимов, исследуются предельные циклы и хаотическое движение.

Фундаментальными работами, отражающими современное состояние теории жестких и гибких роторов, являются монографии Г. Генты [45] и Т. Ямамото [60].

В настоящей работе используется методика введения обобщенных лагранжевых координат, учитывающих формы колебаний упругого тела, которая была предложена в работах С.А. Зегжды и М.П. Юшкова [19] и [20]. Суть методики в том, что при задании положения упругого тела в качестве обобщенных лагранжевых координат берутся коэффициенты разложения деформаций тела по его главным формам колебаний. Эффективность использования подобного подхода продемонстрирована также в работе В.Н. Вернигора [7].

Цель работы. Целью настоящей работы является построение математической модели гибкого ротора с шаровым АБУ на основе обобщенных лагранжевых координат, пригодной для исследования различных режимов движения ротора. А также анализ этих режимов, их классификация и сравнение с результатами, полученными путем использования других моделей.

Методы исследований. Используются классические методы теории нелинейных колебаний и теории устойчивости движения, а также матричный анализ и элементы теории функции комплексной переменной. Кроме того, для численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений применяются алгоритмы компьютерного моделирования.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты:

1. Разработана методика исследования динамики гибкого ротора с распределенной массой и сосредоточенным дисбалансом на основе введения обобщенных Лагранжевых координат.

2. Получено новое трансцендентное уравнение для определения критических скоростей гибкого вала, а также приближенная формула для вычисления критических скоростей высоких порядков.

3. Построена математическая модель гибкого ротора с распределенной массой и сосредоточенным дисбалансом, оснащенного шаровым автобалансирующим устройством. В рамках этой модели предложена классификация стационарных режимов, получены условия их существования и исследована устойчивость.

4. Проведено сравнение результатов, полученных с использованием данной модели, с результатами, полученными путем использования других моделей.

Содержание диссертации

Первая глава посвящена исследованию динамики гибкого ротора с распределенной массой и сосредоточенным дисбалансом.

В 1.1 построена математическая модель ротора с помощью введения обобщенных лагранжевых координат, учитывающих формы колебаний упругого тела. Динамика системы описывается бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений Лагранжа 2-го рода.

В 1.2 для ротора, вращающегося с постоянной угловой скоростью, найдены стационарные решения, при которых осевая линия вала сохраняет постоянное положение во вращающейся системе координат. При этом происходит переход от рассмотрения фиксированного числа собственных форм колебаний вала без диска к рассмотрению всех форм. Поэтому найденное решение является точным решением уравнений Лагранжа. Получены аналитические формулы для нахождения амплитудно-частотных и фазо-частотной характеристик, положения осевой линии, а также трансцендентное уравнение для определения критических скоростей и приближенная формула для критических скоростей высокого порядка.

В 1.3 ищется решение однородной части уравнений Лагранжа. Полученное решение суммируется с найденным ранее решением неоднородной части уравнений Лагранжа и на основании вида полученного таким образом полного решения уравнений Лагранжа делаются выводы о характере нестационарных решений.

В 1.4 проводится компьютерное моделирование динамики роторов различной конфигурации. Представлены собственные формы вала с диском и значения критических частот. Проведено сравнение полученных амплитудно-частотных и фазо-частотной характеристик с аналогичными характеристиками, полученными для моделей, не учитывающих вес вала. Показана зависимость амплитуды угловой прецессии ротора от частоты вращения. Численно исследованы режимы нестационарного прохождения через критические скорости.

Во второй главе математический аппарат, представленный в первой главе, применяется для построения математической модели гибкого ротора с сосредоточенным дисбалансом, оснащенного шаровым АБУ. В качестве шарового АБУ рассматривается произвольное число шариков разной массы, которые могут перемещаться в плоскости диска по концентрическим окружностям разного радиуса с центром в центре диска. Предположительно шарики движутся внутри трубок, заполненных вязкой жидкостью. В 2.1 определены уравнения Лагранжа 2-го рода описывающие динамику ротора с шаровым АБУ.

В 2.2 ищутся возможные стационарные режимы движения ротора, вращающегося с постоянной скоростью. Полученные режимы делятся на три группы:

1. Сбалансированные режимы — режимы, при которых осевая линия сохраняет с течением времени неискривлепное положение;

2. Псевдосбалансированные режимы — режимы, при которых осевая линия искривлена, но положение центра диска совпадает с его положением на неискривленном валу;

3. Несбалансированные режимы — режимы, при которых центр диска отклоняется от своего положения на неискривленном валу;

Найдены условия существования каждой группы режимов. Построены амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики несбалансированных режимов.

В 2.3 проводится исследование устойчивости стационарных режимов путем анализа уравнений возмущенного движения. Аналитически доказывается неустойчивость псевдосбалансированного режима и некоторых подгрупп несбалансированных режимов для любых конфигураций ротора. Для оставшихся режимов строятся двухпараметрические диаграммы устойчивости, показывающие области параметров при которых данные режимы устойчивы. Проводится сравнение с аналогичными диаграммами устойчивости для моделей ротора с невесомым валом, полученными в [3].

В 2.4 представлены результаты численного интегрирования уравнений, описывающих динамику системы. Строятся графики, отображающие динамику процесса выхода на стационарный режим при вращении ротора с постоянной угловой скоростью. Экспериментально обнаружен установившейся предельный цикл для значений параметров лежащих в области неустойчивости стационарных режимов. Кроме того, моделируется нестационарный переход через резонансные частоты с целью оценки работы автобалансирующего устройства.

Заключение

1. Исследована динамика модели гибкого ротора с распределенной массой и сосредоточенным дисбалансом. Получены амплитудно- и фазо-частотные характеристики стационарных режимов с учетом всех форм колебаний вала. Описан характер нестационарных режимов. В рамках исследования выведены формулы для вычисления обратной матрицы и упрощения выражения для определителя, при работе с матрицами специального вида.

2. Получено трансцендентное уравнение для определения критических скоростей гибкого ротора2, а также приближенная формула для вычисления критических скоростей высокого порядка.

3. Построена математическая модель гибкого ротора с распределенной массой и сосредоточенным дисбалансом, оснащенного шаровым автобалансирующим устройством. Для данной модели ротора предложена классификация стационарных режимов и получены условия существования сбалансированного и несбалансированных стационарных режимов.

4. Исследование устойчивости стационарных режимов проведено с помощью критерия Рауса и метода Б-разбиений. Кроме того, для проверки результатов был выведен интегральный критерий устойчивости, позволяющий исследовать устойчивость трансцендентных характеристических уравнений.

5. Проведено сравнение результатов, полученных с использованием данной модели, с результатами, полученными путем использования других моделей. Проведена серия численных экспериментов, подтверждающих полученные результаты.

1. Аникеев Г. И. Нестационарные почти периодические колебания роторов. - М.: Наука, - 1979. 136с.

2. Балансировка машин и приборов. / Под ред. В.А. Щепетильникова. -М.: Машиностроение, 1979. 294 с.

3. Быков В. Г. Стационарные режимы движения неуравновешенного ротора с автобалансировочным механизмом. // Вестник СПбГУ, сер.1, вып. 2, 2006, стр. 90-101.

4. Быков В. Г. Нестационарные режимы движения статически неуравновешенного ротора с автобалансировочным механизмом. // Вестник СПб-ГУ, сер.1, вып. 3, 2010, стр. 89-96.

5. Быков В.Г., Мельников А.Е. Математическая модель гибкого ротора на основе обобщенных Лагранжевых координат. // Вестник СПбГУ, сер.1, вып. 4, 2010, стр. 110-118.

6. Быков В.Г., Мельников А.Е. Автоматическая балансировка диска на гибком массивном валу. // Вестник СПбГУ, сер.1, вып. 2, 2011, стр. 116-126.

7. Вернигор В.Н. Определение собственных частот и эквивалентных масс упругого тела по его динамической податливости // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1.1990. Вып.4(№2). С.35-42.

8. Горбенко А.Н. Влияние расположения шарикового автобалансира в конструкции однодиско-вого ротора на шарнирной и податливой опорах на эффективность автобалансировки // Вестн. технол. ун-та Подолья. Ч. 1. Техн. науки. -2001. -№1. С.43-47.

9. Горбенко А.Н. Об устойчивости балансировки ротора с помощью шариков // Проблемы прочности. -2003. -№. С. 120-129.

10. Горбенко А.Н., Гадченко О.П. Определение границ устойчивости процесса автобалансировки ротора шарами путем численного решения уравнений движения // Механика и машиностроение. -2000. -№1. -С.123-127.

11. Градштейн И.С., Рыэюик И.М. Таблицы интегралов, и сумм, рядов и произведений М.: ФИЗМАТЛИТ, 1963. 1108 с.

12. Гусаров A.A. Автобалансирующие устройства прямого действия. М., 2002. -119 с.

13. Гусаров A.A., Сусанин В.И., Шаталов JI.H., Грушии Б.М. Автоматическая балансировка роторов машин. М.: Наука, 1979. - 151 с.

14. Гусаров А. А. Балансировка гибких роторов с распределенной массой. М.: Наука, 1974. - 144 с.

15. Гусаров A.A. Балансировка роторов машин : В 2 т. М., т. 1. - 2004. -267 е., т. 2. - 2005. - 383 с.

16. Детинко Ф.М. Об устойчивости работы автобалансира для динамической балансировки // Изв. АН СССР ОТН. Механика и машиностроение., 1959. №4. - с.38-45.

17. Диментберг Ф.М. Изгибные колебания вращающихся валов. М .: Изд.АН СССР.1959. 248 с.

18. Диментберг Ф.М., Шаталов К.Т., Гусаров. A.A. Колебания машин. -М.: Машиностроение, 1964. 308 с.

19. Зегжда С.А., Юшков М.П. Применение уравнений Лагранжа первого рода при исследовании собственных колебаний вала с дисками // Механика твердого тела. 1999.JVM. С.31-35.

20. Зегжда С.А., Солтаханов Ш.Х., Юшков М.П. Уравнения движения неголоиомных систем и вариационные принципы механики. Новый класс задач управления / Под ред. проф. П.Е. Товстика М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2005. 272 с.

21. Иванов В. В. Технология динамического уравновешивания роторов быстроходных машин // Л. 1961. 23 с.

22. Калъменс В. Я. Обеспечение вибронадежности роторных машин на основе методов подобия и моделирования // РАН. СПб. 1992.-373 с.

23. Кельзон A.C., Малинии JI.M. Управление колебаниями роторов. СПб.: Политехника, 1992.-118с.

24. Крылов А. Н. Об определении критических скоростей вращающегося вала. — Л.: Изд-во АН СССР, 1932. 31 с. // Собр. трудов акад. А.Н. Крылова. Т. 5 М.: Изд-во АН СССР, 1937. - С. 363-390.

25. Крылов А. Н. О динамическом уравновешивании роторов гироскопов // Собр. трудов акад. А.Н. Крылова. Т. V. М.: Изд-во АН СССР, 1937. С. 459-494.

26. Кушуль М. Я. Автоколебания роторов. М.: АН СССР. 1963.- 168 с.

27. Куинджи A.A., Колосов Ю.А., Народицкая Ю.И. Автоматическое уравновешивание роторов быстроходных машин М., 1974. - 152 с.

28. Левит М.Е., В.М. Рыженков Балансировка деталей и узлов М., 1986. 248 с

29. Мельников А.Е. Динамика упругого статически неуравновешенного ротора. // Пятые Поляховские чтения. Избранные труды. СПб. Изд. ВВМ. 2009. стр. 88-93.

30. Митрофанов Ю. А. Определение критических скоростей и амплитуд колебаний быстровращающихся валов Томск 1981. - 64 с.

31. Натанзон В. Я. Колебания валов. — М.: Оборонгиз, 1954.

32. Нестеренко В.Н. Автоматическая балансировка роторов приборов и машин со многими степенями свободы Томск, 1985.-84 с.

33. Пасынкова И. А. Гиперболоидальная прецессия ротора в нелинейных упругих опорах // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. Вып. 4.— 1997.— С. 88-95.

34. Пасынкова И. А. Устойчивость конической прецессии жесткого неуравновешенного ротора // Вести. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. Вып. 1.— 1998,- С. 82-86.

35. Рагульскис K.M., Ионушас Р.Д., Бакшис А.К. Вибрации роторных систем. Вильнюс: Мокслас, 1976. - 413 с.

36. Основы балансировочной техники / Под ред. В.А. Щепетильникова, -М.: Машиностроение, 1975. Т.1: Уравновешивание жестких роторов и механизмов. 528 с. Т.2: уравновешивание гибких роторов и балансировочное оборудование. -679 с.

37. Симоновский В.И. Устойчивость и нелинейные колебания роторов центробежных машин. // Вища шк. Изд-во при Харьк. ун-те Харьков: 1986. -120с.

38. Шекун Г. Д. Математические модели повышения эффективности самобалансирующих роторных систем. // Изд-во Дальневост. ун-та, 1999. — Владивосток: 1954. 149 с

39. Adolfsson, J. Passive Control of Mechanical Systems: Bipedal Walking and Autobalancing, PhD thesis, Royal Institute of Technology, Stockholm 2001. 213 p;

40. Chung J.; Jang /. Dynamic Response and Stability Analysis of an Automatic Ball Balancer for a Flexible Rotor // Journal of Sound and Vibration, 2003, Vol. 259(1) p. 31-43.

41. Chung J., Ro, D. S. Dynamic analysis of an automatic dynamic balancer for rotating mechanisms. // Journal of Sound and Vibration, 1999, Vol. 228(5) p. 1035-1056.

42. Chung J. Effect of gravity and angular velocity on an automatic ball balancer. // Proc. IMechE Part C: J. Mechanical Engineering Science, 2005, Vol. 219(1) p. 43-51.

43. Dunkerley S. On the Whirling and vibration of Shafts // Phil. Trans. R. Soc., London, 1894. Ser. A, Vol.185, pp. 279-360,.

44. Föppl A. Das Problem det Laval'schen Turbinenwelle // Der Civilingenieur. Vol. 41. 1895. S.333-342.

45. Genta, G. Dynamics of Rotating Systems — Springer, 2005. 658 p.

46. Grammel R. Kritische Drehzahl und Kreiselwirkung. // Zeitschr. VDI.— 1919. Vol. 63. P. 32. - Vol.64, p.44, 1920.

47. Green K., Champneys A. R., Lieven N. J. Bifurcation analysis of an automatic dynamic balancing mechanism for eccentric rotors. // Journal of Sound and Vibration, 2006, Vol. 291(3-5) p. 861-881.

48. Green K., Champneys A. R., Friswell M.I. Analysis of the Transient Response of an Automatic Dynamic Balancer for Eccentric Rotors. // International Journal of Mechanical Sciences, 2006, Vol. 48(3) p. 274-293.

49. Holzer H. Die Berechnung der Drehschwingungen // Springer Verlag. -Berlin, 1921.

50. Huang W.-Y., Chao C.-P., Kang J.-R., Sung C.-K. The application of balltype balancers for radial vibration reduction of high-speed optic drives. // Journal of Sound and Vibration, 2002, Vol. 250(2) p. 415-430.

51. Jeffcott H.H. The Lateral Vibration of the Loaded Shafts in the Neighbourhood of a Whirling Speed // Phil. Mag. 1919. Vol. 6. N 37. P. 303-314.0 k

52. Kimball A. Internal Friction Theory of Shaft Whirling // Phys. Review-1923. no. 2. P. 703.

53. Olsson K.-O. Limits for the use of auto-balancing. // International Journal of Rotating Machinery, 2004, Vol. 10(3) p. 221-226.

54. Newkirk B. L. Shaft Whipping // General Electric Review.- 1924.- Vol. 27, no. 3. Pp. 169-178.

55. Rankine W.J. McQ. On the Centrifugal Whirling of Shaft / / The Engineer. Vol. 27. 1869. P. 249.

56. Rodrigues D.J., Champneys A.R., Friswell M.I., Wilson R.E. Automatic Two-Plane Balancing for Rigid Rotors. // Special issue of International Journal of Non-linear Mechanics, 2008, Vol. 43 p. 527-541.

57. Sperling L., Ryzhik B., Duckstein H. Single-Plane Auto-Balancing of Rigid Rotors. // Technische Mechanik, 2004. Band 24, Heft 1. P. 1-24.

58. Stodola A. Dampf und Gasturbinen. — 6 Auflage edition. — Berlin: Springer, 1924.- 1157 pp.

59. Thearle E.L., Schenectady N. Y. A new type of dynamic-balancing machine 11 Transaction of ASME N54(12), P. 131-141. 1932.

60. Yamamoto T., Ishida Y. Linear and Nonlinear Rotordynamics: A Modern Treatment with Applications (Wiley Series in Nonlinear Science) Wiley-Interscience. 2001. 348 p.