Автоморфизмы метабелевых произведений групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Автор обобщил результат С.Бахмута, Е.Форманека, Х.Мочизуки [12]. ТеоремаДопустим, А\,А2 - нетривиальные абелевы группы, без кручения. Пусть А = А\ * А2, С - декартова подгруппы группы А. Предположим, Р<1 А,? С С. Допустим, что Ъ(А/Р) не содержит делителей нуля. Тогда IAut (A/P') = lrm (A/Pl).

Как выяснилось, этот результат не переносится на случай метабелевых произведений абелевых групп с кручением. В частности, аналога вложения С.Бахмута здесь нет и справедливы следующие теоремы. 7

Теорема Пусть А = А\ * А2 - свободное произведение двух нетривиальных конечных абелевых групп, не являющихся одновременно^ циклическими порядка 2. Допустим, порядки групп Л) и А 2 не являются взаимно простым/и,. Тогда не всякий IA-авгпоморфизм группы А/А" является внутренним.

Теорема Пусть А = А \ *Ач - свободное произведение двух нетривиальных бесконечных абелевых групп. Если целочисленное групповое кольцо Z(A\ х А?) прямого произведения групп А\ и А 2 имеет нетривиальные единицы, то не всякий IA-автоморфизм группы, А/А" является внутренним.

На самом деле, но теореме Г.Хигмапа не1тривиальные единицы в групповых кольцах конечных абелевых групп есть почти всегда, (см. главу 2, раздел 4.2) Поскольку любой IA-автоморфизм группы свободного произведения А двух абелевых. групп - внутренний, получаем, что почти всегда есть IA-автоморфизмы групп А/А", не индуцируемые автоморфизмами А.

Наконец, автор доказал результаты:

Теорема Пусть Ф = А\ * Аг * А-$ * Плед ^ ~ свободное произведение абелевых нециклических групп без кручения. Допустим, что Аг-,г = 1,2,3, -нетривиальны. Тогда существует IA-авгпоморфизм группы Ф/Ф", который не может. быть индуцирован никаким автоморфизмом группы Ф.

Мы скажем, что группа G не 2-полная, если существует 1 ф g £ G такой, что для всех h £ G мы имеем g ф h2. Очевидно, что бесконечная циклическая группа не 2-полна. Свободные абелевы группы также не 2-полны.

Теорема Пусть Ф = А \ * А2 * Л;! * Плел " свободное произведение абелевых групп без кручения. Допустим, что А;, г -- 1,2,3, - нетривиальны. Предположим, что Фа, А £ А, нециклические и А», г = 1,2,3, - не 2-полны,. Тогда существует IА-автом,орфизм, группы Ф/Ф", который не индуцируется автом,орфизмами, группы Ф.

При этом автоморфизм группы Ф/Ф", который не индуцируется автоморфизмами группы Ф, имеет вид

-''-о, ;'/о, z0) : <

X [zo, Уо , XQ]X[zq , уо, ж о] 1 Vz £ Ai у у Vy еА2 z zVz £ A3 i ^\/^£фл,А£А а 1 ^ xq £ Ai, 1 ф уо £ А-2,1 ф z0 £ A3 - специальным образом подобранные элементы. Если АьАг,Аз - нециклические, то х0, у о, z() - произвольные. В остальных случаях это такие элементы-, что :i'o £ '7^2(Лт),уо £

7^2(^2), "Jo С 7?.2(A3), - где для каждой группы К мы обозначим 72-2(ii) d=f {g £ Л'I для всех h £ К выполнено I)2 ф д]. Если.А], Аг, A3 - циклические, и Ф = А| * А-2 * A3, то среди этих автоморфизмов лежит автоморфизм О.Чсйпа. 8

Структура диссертации такова. Первая глава посвящена получению вложений. При этом она разбита на 2 параграфа. Первый параграф можно считать как списком обозначений к главе 1, так и списком обозначений ко всей диссертации. Второй параграф посвящен получению вложений. Третий параграф посвящён обобщению теоремы С.Бахмута, Е.Форманека и Х.Мочизуки. Четвёртый параграф посвящен доказательству того, что этот результат нельзя распространить на случай двух групп с кручением. Пятый параграф посвящен доказательству последних двух из упомянутых во введении теорем. Нумерация теорем и лемм сплошная. Разделы нумеруются по параграфам, например раздел 4.2 - второй раздел четвёртого параграфа. Каждый параграф предваряется списком обозначений и формулировками применяемых теорем. Это сделано ради удобства изложе-ния(каждый параграф можно читать практически независимо) и потому, что применяются не сами теоремы, доказанные в первой главе, а их частные случаи. Каждая лемма завершается словами "лемма доказана1' или им подобными. Каждая теорема завершается словами "теорема доказана" или им подобными.

Результаты автора были доложены па семинаре но теории групп, проходящем на мех.-мат. ф-те МГУ им. М.В. Ломоносова и общекафедральном алгебраическом семинаре кафедры высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова. Также результаты автора докладывались в устном или стендовом виде на алгебраических конференциях в Санкт-Петербурге (1997 год, поев, памяти Фаддева), Москве(1998 год, поев.памяти Куроша) и международном алгебраическом семинаре(Москва, посв.70-летию каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва,1999) Результаты, автора опубликованы в [30],[29],[28], [26],[27].

Автор признателен своему научному руководителю А.Л.Шмелькину за постановку проблем данной диссертации и постоянное внимание к данной работе.

Исследования автора были частично поддержаны грантами РФФИ 96-0100420, РФФИ 96-15-96050 и РФФИ 99-01-00894.

1. Е.Артин,Геометрическая алгебра, Москва,Наука, 1969.

2. А.А.Бовди, Групповые кольца,Ужгород, 1974.

3. А.Г. Курош, Теория групп, 3 издание, М.:Наука, 1967.

4. Г.А.Новак,Применение вербальных сплетений к некоторым задачам теории многообразий групп, дисс. на соискание. канд. физ.-мат. наук., МГУ, мех.-мат. ф-т, Москва, 1977.

5. В.Н.Ремесленников, В.Г.Соколов. Некоторые свойства вложения Магнуса, Алгебра и логика, 1970, V9,N5, Р.566-578.

6. В.А.Романьков, Группы автоморфизмов свободных метабелевых групп, Вопросы взаимосвязи абстрактной и прикладной алгебры, ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1985, С.53-80.

7. A.J1. Шмелькин. О свободных произведениях групп,Мат. Сб., 1969, Т.79(121), N.4(8), стр. 616-620.

8. A.JI. Шмелькин,О некоторых факторгруппах свободного произведения, Труды сем. им. И.Г. Петровского, Вып. 5, 1979.

9. Д.И.Фукс-Рабинович, Группа автоморфизмов свободного произведения групп, Мат.Сб.(новая серия), 8(1940), стр. 265-276.

10. L.Auslender and Е.Schenkmen,Free groups, Hirsch-Plotkin radicals, and applications to geometry,Proc. Amer. Math. Soc., 16(1965), 784-788.

11. S. Bachmuth, Automorphisms of free metabelxan groups, Trans. Amer. Math. Soc., 118(1965),93-104.

12. S. Bachmuth, E. Formanek, H.Y. Mochizuki, I A-automorphisms of certain two-generator torsion-free groups,J.Algebra, 40, 19-30(1976).

13. S. Bachmuth, H.Y. Mochizuki, The non-finite generation of Aut (G), G free metabelian of rank 3,Trans. Amer. Math. Soc., vol. 270, 1982, 693-700.79

14. S. Bachmuth, H.Y. Mochizuki, Aut(F) —> Aut(F / F") is surjective for free, group F of rank > 4.Trans. Amer. Math. Soc., vol.292 (1982), N1, 81-101.

15. H.Bass, Algebraic К-theory,W. A. Benjamin, New York, 1968.

16. N. Blackburn, Note on a theorem of Magnus, J.Austral.Math.Soc., 10(1969), 469-474.

17. O.Chein, I A-automorphisms of free and free metabelian groups, Comm. Pure Appl. Math., 1968-V.21.-P.605-629.

18. Fox R.H., Free differential calculus I,Ann. Math., 1953, V.57, N.3, P547-560.

19. C.K.Gupta,V.Shpilrain, Lifting Automorphisms: a Survey Groups'93 Galway / St. Andrews, Vol. 1, 249-263.

20. G.Higman, The ■units of group-rings,Proc. Lond. Math. Soc., Ser.2, 1940, V46, N3, p.231-248.

21. W.Magnus. On a theorem of Marshall Hall, Ann. Math., 40 (1939), 764-769.

22. H.Newmann, Varieties of Groups,Springer-'Verlag,Berlin,New-'York, 1967.

23. J.Nielsen,Isomorphismgruppe der freien Gruppen,Math.Ann. 91 (1924), 169-209.

24. V.A.Rmivduliov,Automorpliisrns of Groups,Acta Applicandae Mathematicae, 29(1992), 241-280.

25. V.Shpilrain,N on-commutative determinants and automorphisms of groups,Comm. Algebra 25(1997), 559-574.Работы автора но теме диссертации:

26. И.Л.Уиткои,IA-автоморфизмы мет,абелевых произведений двух абелевых групп., Матем.заметки, Т.70, 2001, Вып.З, С.446-457.I

27. П.В.Ушаков, IA-автоморфизмы определённых произведений двух абелевых групп без кручения , Матем. заметки, Т.70, 2001, Вып.6, С.909-917.

28. П.В.Ушаков,Об' автоморфизмах произведений абелевых групп, деп. ВИНИТИ РАН 3802-В99 от 23.12.99.

29. P.V.Ushakov, On embcddings of Bachmuth''s type, Тезисы докл. межд. ал г. сем., посвященного 70-летию кафедры высшей алгебры МГУ, М.:Изд-во мех.-мата МГУ, 1999.

30. Л.В.Ушикоп,IA-автпоморфизмы определённых произведений двух абелевых групп без кручен-ия, Тезисы докладов между н ар од н о й алгебраической конференция поев, памяти Д.К.Фаддеева, Санкт-Петербург, 1997.