Разрешимые группы и примитивные системы элементов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГб ол

о я ФЕ8 19М8

На правах рукописи

Тимошенко Евгений Иосифович

РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ И ПРИМИТИВНЫЕ СИСТЕМЫ

ЭЛЕМЕНТОВ 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск -1998

Работа выполнена в Новосибирском государственном архитектурно -строительном университете

Официальные оппоненты:

доктор физико -математических наук профессор Красильников А.Н. доктор физико -математических наук профессор Романовский Н.С.; доктор физико-математических наук, профессор Романьков С.А.

Ведущая организация - Алтайский государственный университет.

Защита состится 1998г. в /(- часов на заседании

диссертационного совета Д 002.23.01 при Институте математики СО РАН по адресу: 630090. Новосибирск-90, проспект Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан ~ * _^

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

1998 г.

С.Т.Фсдоряев

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Понятие разрешимой группы относится к числу основных понятий алгебры и восходит к Галуа. Оно, как известно, имеет связь с разрешимостью алгебраических уравнений в радикалах, а также с теорией Пикаро -Весьо о разрешимости дифференциальных уравнений в квадратурах. Большой интерес к теории разрешимых групп объясняется также тем, что многие грз'ппы, имеющие естественное происхождение, аппроксимируются разрешимыми группами или обладают большими разрешимыми факторгруппами, исследование которых дает информацию о самих группах.

Разрешимые группы ступени два называются метабелевыми. Началу пристального изучения метабелевых групп послужили проблемы, возникшие в теории чисел [27], теории узлов [37] и основаниях геометрии (34]. Метабелевы группы выделяются среди групп произвольной ступени разрешимости своими "положительными" качествами. При их изучении возможно использовать средства коммутативной алгебры. Кроме того некоторые задачи комбинаторной теории групп, например, связанные с фундаментальной группой узла, могут быть решены факторизацией по второму коммутанту, т.е. переходом к метабелевой группе.

Фундаментальный вклад в теорию разрешимых групп внесли А. И. Мальцев, М. И. Каргалолов, Ф. Холл, В. Н. Ремесленников, А.- Л. Шмелькин.

В своем докладе на II Международной конференции по теории групп (Канберра, 1973) М. И. Каргалолов сформулировал программу исследования разрешимых групп в виде ряда конкретных проблем [3]. Интерес

автора к разрешимым группам с одним определяющим соотношением стимулирован некоторыми из них.

В литературе по теории групп значительное место занимают работы по автоморфизмам групп. Особое внимание уделяется изучению групп автоморфизмов относительно свободных групп. Так результат Нильсена о конечной определенности группы автоморфизмов свободной группы конечного ранга стал классическим. Бахмут и Мочизуки [21], а также независимо В. А. Романьков [10,11], решили известную проблему о том, что любой автоморфизм свободной метабелевой группы ранга г ф 3 индуцирован некоторым автоморфизмом свободной группы. Хорошо известен факт, установленный Апдреадакисом [20], что для любой свободной нильпотентной группы ранга г > 2 ступени с > 3 существует автоморфизм, не индуцированный автоморфизмом свободной группы Рг.

Любой автоморфизм относительно свободной группы ГГ(М) конечного ранга г многообразия М определяется своим действием на фиксированном базисе Хх, хг этой группы. Поэтому задать автоморфизм ¡р группы Я-(М) значит задать базис у\, уг этой группы, для которого = у^ при г = 1, ..., г.

Часть базиса группы />(М) называется примитивной системой элементов этой группы. Примитивный элемент - это примитивная система из одного элемента. Примитивная система из г элементов является базисом группы Гг(М)-

Изучение примитивных систем относительно свободных групп дает возможность глубже исследовать их группы автоморфизмов. При этом на первое место ставятся два вопроса: о распознавании примитивных систем эле-

центов и «б индуцировании их примитивными системами свободной группы.

Одним из первых критериев примитивности пары элементов свободной группы ранга два является результат Нильсена [35]. В [14] продолжено изучение примитивных элементов в группе Р^ и дан алгоритм для их распознавания.

Частным случаем критерия примитивности можно считать известный результат Бирман [23], утверждающий, что г элементов ..., дг свободной группы образуют примитивную систему тогда и только тогда, когда матрица ■/(#) = (¿^</,)гхг, составленная из значений производных Фокса от элементов д 1, ..., дг, обратима.

Свойства примитивных элементов свободных групп изучались в работах Магнуса [33] и Стейнберга [38].

Критерии примитивности для свободных групп, а также для свободных мстабелевых груш и алгебр Ли получены в работах Топпинга [40], В. А. Ромайькова [12,13], К. Гупты, Н. Гупты, Г. А. Носкова [28], У. У. Умирбаева [16,17].

Определение. Автоморфизм группы Рг{м) называется ручным, если он индуцирован автоморфизмом свободной группы Гг.

Понятие ручного ранга ТИ(М) многообразия М определено Бахмутом а Мочизуки в [23] как наименьшее целое <1 > 1 такое, что все автоморфизмы группы ^(М) являются ручными при г > (1. Если такого (1 не существует, го 77?(М) полагают равным бесконечности.

Пусть А - многообразие всех абелевых групп, Ат ~ многообразие абе-чевых групп, экспонента которых делит целое ш > 0.

В [22] Бахнут и Мочизуки доказали, что группа автоморфизмов свободной группы ранга г многообразия Ар- А но конечно порождена прп всех значениях г > 2, п > 2 и простых р. Таким образом ТЛ(Ар» А) = оо. Вопрос о вычислении Т1?(А/ А) оставался открытым, если / не делится на квадрат целого числа, большего 1. В [23] Бахмут и Мочизуки поставили проблему 4, предположив, что в этом случае ручной ранг многообразия А/ А равен 1 или 4.

В совместной работе [25] Брайнт и К. Гупта поставили следующий вопрос. Верно ли, что для любого многообразия М найдется число 7, зависящее только от М, и такое, что любая примитивная система элементов „., дт группы РГ(М) индуцирована примитивной системой элементов группы /V, если только г достаточно велико и пг < г — I.

Конечно этот вопрос интересен лишь для тех многообразий М, для которых почти для всех значений г относительно свободная группа ^Г(М) содержит не ручные-автоморфизмы, в частности, для многообразия Ар» А В работе [31] К. Гупты, Н. Гупты и В. А. Романькова получен положительный ответ на этот вопрос для многообразия А2 Л 1Чс-

Цель работы - изучение разрешимых групп с одним определяющие соотношением, автоморфизмов и эндоморфизмов свободных разрешимы) групп, а также примитивных систем элементов в свободных группах некоторых разрешимых многообразий групп.

Основные методы. В работе используются теоретико групповые методы, характерные для изучения разрешимых групп. Широко применяет« вложение Магнуса и техника дифференцирований в групповых кольцах Методы, позволившие получить критерии примитивности, разработань

автором и »снованы на результатах Суслина-Квиллсна-Суона (15,36,39), а также В. А. Артамонова (1,2] о транзитивности действия группы матриц на множестве унимодулярных и Д - модулярных векторов.

Научная новизна. Результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. В качестве следствий получены также некоторые результаты, принадлежащие другим авторам.

Основные результаты диссертации.

1. Исследован центр мстабелевой группы с одним определяющим соотношением. (Зтсюда следует решение вопроса 4.33.а, поставленного М. И. Кар-галоловым в Коуровской тетради, при п = 2. Получен критерий для существования элементов данного конечного простого порядка в такой группе.

2. Решена задача об определяемости автоморфизмов и эндоморфизмов свободных разрешимых групп конечным множеством значений. В частности, получен ответ на вопрос 13.66.6 из Коуровской тетради.

3. Для многообразия Ат, т > 0, и некоторых многообразий М получены необходимые и достаточные условия для примитивности системы элементов свободной группы многообразия Ат М.

4. Исследованы свойства примитивных систем элементов в многообразии АГ*„ где N0 _ многообразие всех нильпотентных групп ступени нильпотентности не более с. Построен пример не примитивного элемента д из свободной группы Г2(А N2); соответствующий которому вектор {д\д, дгд) из производных Фокса унимодулярен. Тем самым установлены границы применимости критерия примитивности.

5. Получены теоремы об индуцировании примитивных систем многообразия Ат А примитивными системами свободной группы. Доказано, что при

любом нс простом m и г > 2 ГЛ(АшА) = оо. Тем самым дан отрица тельный ответ на проблему 4 Бахмута и Мочизуки из [23]. Для многообра зия Apr А доказано, что любая примитивная система элементов группь Fr(Ap» А) длины ш < г — 2 индуцирована примитивной системой элемен тов группы Fr при любом простом р, п > 1, г > 4. Таким образом дане подтверждение гипотезе Брайнта и К. Гупты из [25] для многообрази! Ар- А.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены нг 4-м Всесоюзном симпозиуме по теории групп (Новосибирск. 1973), на XVII (Кишинев, 1985) и XIX (Львов, 1987) алгебраических конференциях, нг III Международной конференции по алгебре (Красноярск, 1993), II Между народной конференции "Математические алгоритмы" (Нижний Новгород 1995), Международной алгебраической конференции памяти Д.К.Фадеевг (Санкт-Петербург, 1997), на семинарах "Алгебра и логика" и "Теорш групп" института математики РАН и Новосибирского государственной университета, на семинаре "Теория групп" Московского государственной университета, на алгебраическом семинаре Омского государственного уни верситета, в Селезском математическом обществе (г. Катовице, Польша 1989). на семинаре Института математики Сслезского политехническоп университета (г. Гливице, Польша, 1989), на семинаре по алгебре универ ситета Манитобы (Канада, Виннипег, 1994 и 1996).

Публикации. По теме диссертации имеется 17 публикаций, в т.ч. i публикации [54,55,56] совместно с К. Гуптой. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно, за исключением результат! об индуцировании примитивных систем элементов в группах Fr(Am А)

полученного совместно с К. Гуптой [об].

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 187 страницах, состоит из введения, трех глав, разбитых на 13 параграфов и списка литературы, включающего 112 наименований.

Содержание работы.

Во введении даны краткое описание истории рассматриваемых вопросов и содержания диссертации.

Глава 1 состоит из четырех параграфов. При исследовании разрешимых групп полезным является вложение Магнуса групп вида в группу

матриц М(Р/Н), а также представление групп вида ,Г/Лг'Лгт матрицами. В первом параграфе приведены известные факты о дифференцированиях групповых колец, постоянно используемые в дальнейшем. Там же доказан ряд вспомогательных утверждений о представлении групп вида F¡N'Nm матрицами.

В. Н. Ремесленников и В. Г. Соколов [6] .исследовали связь между разрешимостью уравнения х~1дхк = 1 в группах Е/.У и Л/^/Л'). Во втором параграфе рассматривается связь между разрешимостью уравнений общего вида в этих группах.

Теорема 1.6. Пусть .Г - свободная группа ранга п, N - нормальная подгруппа из F, причем кольцо Z(-fyЛг) не содержит делителей нуля, д 1, ..., д\ - элементы из -Г/А7', т..., ттц - целые числа. Уравнение

разрешимо в группе С = F¡N' тогда и только тогда, когда оно разрешимо в группе Л/(^/Л7).

Замечено, что на случай уравнения с двумя неизвестными эта теорема не переносится.

В Коуровской тетради [4] М. И. Каргаполов поставил в 1973г. вопрос 4.33.

Пусть Шп - класс групп с одним определяющим соотношением в многообразии п - ступенно разрешимых групп.

а) При каких условиях 3?„ - группа обладает нетривиальным центром? Может ли быть нетривиальным центр 9?„ - группы, п > 2, не допускающей двух порождающих.

Ранее автор доказал, что если группа G задана образующими zj, хг и одним определяющим соотношением g = 1 в многообразии метабелевых групп А2, то при г > 3 центр G тривиален.

В книге избранных трудов М.. И. Каргаполова [3] собраны его вопросы по теорий групп и приведены комментарии к ним В. Н. Ремесленникова, отмечающего, что получен ответ лишь на вторую часть вопроса 4.33 .а при п- 2.

Следующая Теорема дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы цеатр 3?2 - группы был нетривиальным, тем самым отвечая на первую часть вопроса.

Теорема 1.11. Пусть 5 - свободная метабелева группа с базисом

хг; G =< ii, х2: 5 = 1; А2 > - метабелева группа с двумя порождающими и одним определяющим соотношением; S = S/5'; g = x"[xi, x^]13. n > 0, a £ z(S), a- E где щ € Z, g, E S. Пусть H - подгруппа S, nopo-жденная элементам gjxgj, когда i, j пробегают все, не обязательно разные, значения от 1 до ¡. Тогда

1. Группа (? - свободная абелева ранга два, если п = 0 и а - единица кольца 2(5).

2. Центр группы С есть бесконечная циклическая группа, если п = О, Н - бесконечная циклическая и элемент а является делителем элемента (Л'п — 1)/(/г — 1) для некоторого целого т > 0 и некоторого примитивного элемента к из 5.

3. Центр группы С есть бесконечная циклическая, если п > 0 и для некоторого целого \ф 0 и некоторых элементов А и В из фундаментального идеала Д кольца имеет место

г?' - 1 = Ла(1 - £,) + В(а(1 - х2) +

Ч XI — 1'

4. В остальных случаях центр 2(С?) группы С тривиален.

о. Центр группы <7 не содержит нетривиальных элементов из коммутанта С.

В совместной работе [5] А. Ф. Красникова и автора исследовался центр ■рупп вида Р/ЛР < д >р при некоторых ограничениях. В частности пред-юлагалось, что группа /Г/ЛГ упорядочиваема. Новый подход позволил ис-.лючить это ограничение и доказать теорему в более общей формулировке.

Теорема 1.13. Пусть Р - свободная группа конечного ранга не менее вух, Т ~ нормальная подгруппа из Р, принадлежащая коммутанту Р', - элемент из Р', И =< / >р - нормальное замыкание элемента / в руппс Р. Предположим, что центр группы б = Р/ТЯ тривиален и кольцо (С) не содержит делителей нуля. Тогда центр группы Н — Р/Т'Я также ривиален.

Из этой теоремы и теоремы 1.10 след}'ет, что если С = Рг(А") - свобод-

ная разрешимая группа ступени п > 3 и ранга г>2.д элемент из последнего нсединичного члена ряда коммутантов, то центр группы С/ < д >с тривиален.

Н. С. Романовский [8] нашел условия, когда в факторах ряда коммутантов группы, заданной одним определяющим соотношением, отсутствует кручение. В четвертом параграфе найдены необходимые и достаточные условия, чтобы коммутант метабелевой группы с одним определяющим соотношением не содержал элементов данного простого порядка р. Теорема 1.16 поясняет, например, почему группа С? =< хь Хг! [х], х2]4+1|х2 = 1; А2 >, заданная одним соотношением в многообразии метабелевых групп, имеет элемент третьего порядка.

Теорема 1.16. Пусть 5 - свободная мстабслсва группа с базисом хь ..., х„; г = т™с. где т > 0, с € 5'; а,- = д,г -- значения левых производных Фокса в кольце г(5/5'), £ = 1, ..., п; о - образ элемента 1 - х^ I этом кольце; Б - наибольший общий делитель элементов а, 01,..., а„. Ллз каждого простого числа р коммутант группы б =< хь хп; г = 1; А2 > тогда и только тогда не имеет элементов порядка р, когда при канониче ском гомоморфизме

" : 7(5/5') - гР(5/5')

элемент И отображается на наибольший общий делитель элементов а, 01, ..., ап.

Случай, когда определяющее соотношение г лежит в коммутанте труп пы 5, также исследован, но в более общей ситуации.

Основные результаты второй главы касаются определяемостн эндомор физмов и автоморфизмов свободных разрешимых групп конечным мвожс

ством значений. Они связаны с вопросом 13.66 В. Э. Шпильрайна из Коуровской тетради.

Определение. Пусть Е - некоторое множество эндоморфизмов свободной группы Fr(M) ранга г многообразия М- Говорят, что множество эндоморфизмов Е определено значениями на элементах д\. ..., д„ £ Fr(M)i если для любых <р, ip £ Е из равенств <fi(gi) = Ф(д{) при i = 1, п следует, что <р = ф.

Вопрос 13.66.6 касается определяемости множества эндоморфизмов свободной метабелевой группы, имеющих нециклические образы, двумя значениями. Отрицательный ответ является следствием следующего утверждения.

Предложение 2.13. 1) Если группа Fr(M) содержит нециклическую абелеву подгруппу А, а элементы д\, ..., дт G -К(М) порождают в группе Fr(M)/lFr(M, Fr(M))) группу ранга не более г — 1, то они не определяют

—ч.

однозначно эндоморфизмы с нециклическими образами. 2) Если группа Fr(M) аппроксимируется конечными р - группами для бесконечного набора простых чисел р, а элементы д\, ..., дт порождают по модулю коммутанта группы Fr(M) абелеву подгруппу ранга г, то они однозначно определяют эндоморфизмы группы Fr(M)-

Следствие 2.15. Элементы gi, ..., дт свободной метабелевой группы Fr(А2) определяют однозначно эндоморфизмы этой группы тогда и только тогда, когда порожденная ими подгруппа содержит свободную метабелеву группу ранга г.

Теорема 2.18. Пусть 1 ф V - нормальная подгруппа свободной группы Fr ранга г и Z(Fr/V) - область Ope. Тогда при m < г никакие m элементов

группы Fr/[\\ V] не определяют однозначно эндоморфизмы этой группы, действующие тождественно по модулю V/[V, V].

Следствие 2.19. Никакие т < г (г > 2) элементов свободной разрешимой группы Ft(a') не определяют однозначно эндоморфизмы, действующие тождественно по модулю последнего нсединичного члена производного ряда.

Более интересным является вопрос об определяемости мономорфизмов конечным множеством значений.

Определение. Автоморфизм группы G, действующи^ тождественно по модулю коммутанта G', называется JA - автоморфизмом.

Следующая теорема показывает, что даже для IA - автоморфизмов свободной метабелевой группы, ответ на вопрос 13,66 б) отрицательный.

Теорема 2.21. Никакие г — 1 элементов свободной метабелевой группы 5Г ранга г > 2 не определяют однозначно ТА - автоморфизмы этой группы.

В третьей главе исследуются примитивные системы элементов в свободных группах некоторых разрешимых многообразий.

Теорема 3.3 дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы г элементов группы iv(Am М) порождали ее. Она является аналогом теорем Бирман и А.Ф.Красникова о порождающих элементах свободной группы Fr и групп вида Fr/N'.

Теорема 3.3. Пусть vi, ..., vr - элементы из Fr, тп> О, М ~ многообразие групп, для которого Fr(M) хопфова группа. Матрица J(v) = (3jf,)rxr, составленная из значений левых производных Фокса в кольце Zm(Fr(M)), обратима слева тогда и только тогда, когда образы элементов vi,..., vr в группе Fr{Am М) порождают эту группу.

Определение. Вектоп (а(,..., а„) с элементами a¡ из кольца Л с единицей называется унимодулярным, если

сцЪ\ + ... + а„Ьп = 1

для некоторых элементов 61, ..., Ь„ из /?.

Определение. Пусть Л - кольцо, С - группа, Л - фундаментальный идеал кольца Я(С). Вектор (<ц, ..., а„) с элементами а; из Д(<?) называется А - модулярным, если правый идеал, порожденный элементами а 1, ..., а„ в Д(С), совпадает с Л.

Опираясь на теорему 3.3, а также теоремы о транзитивности действия группы матриц на множестве всех унимодулярных векторов и о "почти" транзитивном действии группы матриц на множестве Л - модулярных векторов, доказанные в §2, в следующем параграфе получен критерий примитивности системы элементов для метд.6елевых многообразий Ат А.»- Он обобщает все ранее полученные критерии для метабелевых многообразий.

Теорема 3.8. Пусть ь'[,VI ~ элементы группы -^-(Ат АпХ / ^ г. Предположим, что по крайней мере одно из условий

г — / — 1, т = 0, п> О

не имеет места. Пусть 7(«) = (д^)/хг - матрица с элементами из кольца гт(^г(А„)). Тогда и только тогда элементы I?), ..., 14 можно дополнить до базиса группы Гг(Ат Ал), когда выполнены условия:

1) Идеал, порожденный минорами 1-го порядка матрицы ./(и), совпадает со всем кольцом гт(Рг(А„));

2) 1)1, ..., VI примитивная система в группе ЕТ(Ап)-

Теорема 3.11 является критерием примитивности систем элементов для многообразий вида Ал>М-

Теорема 3.11. Пусть М - многообразие, порожденное конечной группой, т > О, I < г. Образы элементов V], .... ц из Рг в группе Гг(АтЪЛ) образуют примитивною систему тогда и только тогда, когда

1. Для матрицы ./(г») размерности / х т. составленной из значений производных Фокса в кольце существует матрица Бгх1 над тем же кольцом такая, что J(v) ■ В = Е - единичная матрица;

2. Образы элементов V/ в группе ^(М) можно дополнить до базиса этой группы.

Алгоритмическая распознаваемость примитивных систем элементов в многообразиях Ат Ап является предметом изучения четвертого параграфа третьей главы.

Здесь доказана

Теорема 3.16. Пусть хотя бы одно из условий

г-1 = 1, 771 = 0, 71 > 0

не выполнено. Тогда вопрос о распознаваемости примитивных систем из I элементов в свободной группе Гг(Ат Ап) решается алгоритмически.

Отсюда следует, в частности, алгоритмическая распознаваемость примитивных систем в свободной метабелевой группе.

Используя полученный ранее критерий примитивности, К. Гупта и автор доказали теорему об индуцировании примитивных систем элементов в многообразии А; А- А именно, пусть г > 4, п > I, р- простое число, I -положительное целое, не простое число. Тогда для т, удовлетворяющего

ограничениям 1 < т < г — 2 любая примитивная система из т элементов группы Гг(Ар" А) индуцирована примитивной системой группы Гг. При т = г — 1, г существует примитивная система из т элементов группы Гг(А/ А); не индуцированная примитивной системой группы Гг.

Отсюда, в частности, следует отрицательное решение проблемы 4 Бахму-та и Мочюуки из [23]. так как 77?(А; А) = ос. если / не простое число, а также подтверждение гипотезы Брайнта и К. Гупты из [25] для многообразий А^ А-

Эти результаты составляют основное содержание пятого параграфа третьей главы.

В шестом параграфе рассматриваются примитивные системы элементов в многообразии А1УС и возможность обобщения критерия примитивности на это многообразие.

Элемент д свободной группы ^ примитивен тогда и только тогда, когда вектор ..., дТд) унимодулярен (17]. Аналогично, для любого с > 1 элемент д группы /"г(1Чс А) примитивен тогда и только тогда, когда вектор, составленный из значений производных Фокса в кольце унимоду-

лярен. Согласно критерию примитивности для многообразия Ат Ап> элемент д примитивен тогда и только тогда, когда соответствующий вектор из производных унимодулярен и образ элемента д в группе /^.(Ап) является примитивным элементом. Второе условие автоматически выполняется для 1А - элементов, т.е. элементов, примитивных по модулю коммутанта.

Таким образом, во всех известных случаях примитивность 1Л - элемента д и унимодулярность вектора из производных Фокса равносильны.

Возникает вопрос об истинности этого утверждения для многообразия

А N0 как наиболее близкого к уже рассмотренным многообразиям.

Мы говорим, что в многообразии М имеет место обобщенная теорема о свободе, если для любой конечно определенной в этом многообразии группы £ =< хг; /1 = 1, ..., /т = 1; М > с условием г > тп, можно выбрать

г — ш элементов из множества {11, ..., х,}, которые свободно порождают в С подгруппу ^-„(М).

Известно, что обобщенная теорема о свободе верна в многообразии всех групп {7], многообразии разрешимых грзтш ступени < I [7], нильпотентных грущ1 [9], центрально-метабелевых групп [29], а также для многообразий АN2, N2 А [19], АN2Л N2 А [30].

Следующее предложение показывает, что если в многообразии имеет место обобщенная теорема о свободе, то в свободных группах этого многообразия примитивные системы элементов обладают в некотором смысле свойством максимальности.

Предложение 3.24. Пусть в многообразии М имеет место обобщенная теорема о свободе я ..., кт - примитивная система элементов группы ЖМ), г ^ пг. Если элементы Лг,..., Лт принадлежат нормальному замыканию элементов д\,..., дт, т.е.

Ль ...,Л«€<Я1, дт>Рг(ы\

то

Отсюда и из результата А. Л. Шмелькина [18] о сопряженности элементов определенного вида, порождающих одну и ту же нормальную подгруппу, сразу следует теорема М. Эванса {26] о том, что если нормальное

замыкание элемента д свободной метабелевой группы Fr(А2) содержит примитивный элемент h, то элемент д сопряжен с одним из элементов li±l

В отлитие от многообразия метабелсвых групп А2, для многообразия A Nc верна

Теорема 3.28. Найдется элемент д в относительно свободной группе iv(ANc) с базисом 2;, хг такой, что его нормальное замыкание < д >f'(ATi') содержит примитивный элемент zi, но элементы д в. х\, а также д и х^1 не сопряжены.

Используя построенный в теореме 3.28 элемент д, можно доказать, что в многообразии А N2 свойство IA - элемента быть примитивным строго сильнее свойства соответствующего вектора из производных Фокса быть унимодулярным.

Теорема 3.30. В группе F2(A№) существует не примитивный элемент д, образ которого примитивен в группе F2(N2) и соответствующий которому вектор (dig, dig) с элементами из кольца ZC^HNz)) унимодуля-рен.

Отсюда следует, что в группе F2(A N2) можно выбрать не примитивный элемент д такой, что факторгруппа Fa(AN2)/ < 9 - свободная

группа многообразия А N2 ранга 1.

Определение. Группа Fr(M) называется финитно аппроксимируемой относительно свойства системы элементов быть примитивной, если для любой непримитивной системы »j, ..., v\ элементов (I < г) этой группы существует гомоморфизм на конечную относительно свободную группу Fr(B), в которой образы элементов г.'ь ..., V/ не составляют примитивную систему.

В [32] доказано, что свободная метабелева группа любого конечного рая-

га является финитно аппроксимируемой относительно определенного выше свойства.

с

Из теоремы 3.30 получаем

Следствие 3.32. Группа ^(А№) не является финитно аппроксимируемой относительно свойства системы элементов быть примитивной.

Литература

[1] Артамонов В. А. - Проективные метабелевы группы и алгебры Ли. Изв. АН СССР, сер. мат., 1978, 42, 226-236.

[2] Артамонов В. А. - Строение проективных групп в произведениях многообразий. - Труды семинара им. И.Г.Пегровского, 1982, N8, 58-74.

[3] Каргалолов М. И. - Избранные труды. Группы. - Новосибирск: Наука, 1991.

[4] Коуровсхая тетрадь. - Нерешенные вопросы теории групп. - Издание тринадцатое, Новосибирск, 1995.

[5] Красников А. Ф., Тимошенко Е. И. - Два замечалия о группах вида Г/[АГ, Дг]. - Дел. в ВИНИТИ АН СССР N4567, 1985.

[6] Ремесленников В. Н., Соколов В. Г. - Некоторые свойства вложения Магнуса. '- Алгебра и логика, 1970, т.9, N5, 566-578.

[7] Романовский Н. С. - Свободные подгруппы в конечно определенных группах. - Алгебра и логика, 1977, т.16, N1, 88-97.

[8] Романовский Н. С- - О некоторых алгоритмических проблемах для разрешимых групп. - Алгебра и логика, 1974, т.13, N1, 26-34.

[9] Романовский Н. С. - Обобщенная теорема о свободе для про-р-групп. - Сиб. мат. ж., 1986, т.27, 154-170.

{101 Романьков В. Л. Группы автоморфизмов свободных мегабелевых групц. - Вопросы взаимосвязи абстрактной и прикладной алгебры, ВЦ СОАН СССР, Новосибирск, 1985, 53-80.

[11] Романьков В. А. - Группы матриц вычитов. - Вопросы взаимосвязи абстрактной и прикладной алгебры, ВЦ СОАН СССР, Новосибирск, 1985, 35-52.

[12] Романьков В. А. - Критерий примитивности системы элементов свободной метабелсвой группы. - Укр. мат. журнал, 1991, т.43, N7-8, 9961002.

. [13] Романьков В. А. - Примитивные элементы свободной группы ранга 3. - Мат. сб., 1991, т.182, N7,1074-1085.

[14] Стендер П. В. - О примитивных элементах в свободной группе ранга 2. - Изв. высш. уч. зав., Математика, 1962, N5(30).

[15] Сз'слин А. А. - Проективные модули над кольцами многочленов свободны. - ДАН СССР, 1976, т.229, N5, 1063-1066.

[16] Умирбаев У. У. - Частные производные и эндоморфизмы некоторых относительно свободных алгебр Ли. - Сиб. мат. журнал, 1993, т.34, N6, 179-188.

[17] Умирбаев У. У. - Примитивные элементы свободных групп. - Усп. мат. наук, 1994, 49, 175-176.

[18] ЗПмелькин А. Л. - Два замечания о свободных разрешимых группах. Алгебра и логика, 1967, т.6, N2, 95-109.

[19] Ябанжи Г. Г. - О группах, конечно определенных в многообразиях AN2 и N2 А- - Алгебра и логика. 1981, т.20, N1, 109-120.

[20] Andreadakis S. - On the automorphisms of free groups and free nilpotent

groups. - Proc. Lond. Math. Soc., 1965,15, 239-268.

[21] Bachmuth S., Mochizuki H. Y. - Aut(F) Aut(F/F") is surjcctive for F free of rank > 4. - Trans. Amer. Math. Soc., 1985, v.292, 81-101.

[22] Bachmuth S., Mochizuki H. Y. - Infinite generation of automorphism groups. - Proc. "Groups - Korea 1988", Pusan 1988, 25-28.

[23] Bachmuth S., Mochizuki H. Y. - Infinite generation of automorphism groups. - Proc. Singapore Group Theory Conf. (1987), 241-251.

[24] Birman J.S. - An inverse function theorem for free groups. - Proc. Amer. Math. Soc., 1974, 41, 634-638.

[25] Bryant R. M., Gupta C. K. - Automorphisms of free nilpotent-by-abelian groups. - Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 1993, 114,143-147.

[26] Evans M. J. - Presentations of free metabelian group of rank 2. - Canad. Math. Bull., 1994, 37, N4, 468-472.

[27] Furtwangler Ph. - Beweis der Hauptidealsatzes fur den Klassenkorper aJgebraischer Zahlkorper - Abh. Math. Sem. Hamburg. Univ. 7, 1930, 14436.

[28] Gupta C. K., Gupta N. D. and Noskov G. A. - Some applications of Artamonov-Quiilen-Suslin theorems to metabelian inner rank and primitivity. - Canad. 3. Math., 1994, 46, 298-307. •

[29] Gupta C- K., Romanovskii N. S. - A generalized Freiheitssatz for centre-by-metabelian groups. - Bull. London Math. Soc.-, 1992, 24, 71-75.

[30] Gupta C. K., Romanovskii N. S. - A generalized Freiheitssatz for the variety AN2AN2A. - Algebra Collog., 1994, 1, 193-200.

[31] Gupta C. K., Gupta N. D., Roman'kov V. A. - Primitivity in the free groups and free metabelian groups. - Canad. J. Math., 1992, v.44, N3, 516-

[32] Gupta С. К., Romari'kov V. А. - Finite separability of lameness and primitivity in certain relatively free groups. - Comm. Algebra, 1995, 23, 41014108.

[33] Magnus W. - Untersuchungen über einige unendliche diskontinuierliche Gruppen, - Math. Ann., 1931, 105, 52-74.

[34] Moufang R. - Einige Untersuchungen über geordnete Schiefkörper - J. reine u. angew. Math., 1937, 176, 203-223.

[35] Nielsen J. - Die Isomorphismengruppe der allgemeinen unendlichen Gruppe mit zwei Erzeuqenden. - Math. Annal., 1917, 78, 385-397.

[36] Quillen D. - Proective modules over polynomial rings. - Invest, math., 1976, v.36, 167-171.

[37] Reidemeister К. - Knotentheorie Ergebnise der Mathematik - SpringerVerlag. Berlin, 1932, 1, N1.

[38] Steinberg Ä. - On equations in free groups. - Michigan Math. J.t 1971, 18, 87-95.

¡39] Swan R.G. - Proective modules over Laurent polinomical rings. - Trous. Amer. Math. Soc., 1978, 'v.137, 11-120.

¡40] Topping I. M. - Free generators and the free differential calculus. - Thesis. State Univ., New York, Stoay Brook, 1973.

Работы автора по теме диссертации

[41] Тимошенко Е. И. - О сохранении элементарной и универсальной эквивалентности при сплетении. - Алгебра и логика, 1968, т.7, N4, 114-119.

[42] Тимошенко Е. И. - Некоторые алгоритмические вопросы для метабе-

левых групп. - Алгебра и логика, 1973, г.12, N2, 232-240.

[43] Тимошенко Е. И. - Центр группы с одним определяющим соотношением в многообразии метабелевых групп. - Сиб. мат. журнал, 1973, т.14, N6, 1351-1355.

[44] Тимошенко Е. И. - Об элементарных теориях сплетений. - Вопросы теории групп и гомологической алгебры, 1979, N2, 169-174.

[45] Тимошенко Е. И. - О включении данных элементов в базис свободной метабелевои группы. - Деп. в ВИНИТИ АН СССР Я2699-В, 1988.

[46] Тимошенко Е. И. - Об алгоритмической разрешимости проблемы включения в базис свободной метабелевой группы. - Мат. заметки, 1992, т.51, N3, 117-121.

[47] Тимошенко Е. И. - Мегабелевы группы с одним определяющим соотношением и вложение Магнуса. - Мат. заметки, 1995, т.57, N4, 597-605.

[48] Тимошенко Е. И. - О примитивных элементах свободных групп многообразий А N6- - Мат. заметки, 1997, т.61, N6, 884-889.

[49] Тимошенко Е. И. - Об определяемости эндоморфизмов свободной группы многообразия А М конечным множеством значений. - Мат. заметки. 1997, т.62, N6, 916-920.

[50] Тимошенко Е. И. - О примитивных системах элементов в многообразии А N2 и некоторых локально конечных многообразиях. - Алгебра и логика,

[51] Тимошенко Е. И. - Определяемость эндоморфизмов свободных разрешимых групп конечным множеством значений. - Международная алгебраическая конференция, посвященная памяти Д.К.Фаддеева, тезисы докладов, Санкт-Петербург, 1997, 290-291.

[52] Тимошенко Е. И. - Элементы конечного порядка в группе, допускающей одно определяющее соотношение в многообразии мстабелсвых групп. -Третья Международная Конференция по Алгебре, тезисы докладов, Красноярск, 1993, 329.

[53] Тимошенко Е. И. -чО разрешимости уравнений в группе Fj[N, Л'']. -Третья Международная Конференция по Алгебре, тезисы докладов, Красноярск, 1993, 328.

[54] Gupta С. К., Timoshenko Е. I. - Primitivity in the free groups of variety Am Ал- - Comm. Algebra, 1996, v.24, N9, 2859-2876.

[55] Gupta С. K., Timoshenko E. I. - Automorphic and cndomorphic reducibility and primitive endomorphisms of free metabelian groups. - Comm. Algebra, 1997, v.25, N10, 3057-3070.

[56] Gupta С. K., Timoshenko E. I. - The primitive system in variety Am An-criteria and lifting. - Международная Алгебраическая Конференция, посвященная памяти Д.К.Фаддеева, тезисы докладов, Санкт-Петербург, 1997, 54.

[57] Timoshenko Е. I. - Primitivity in the variety ANc and some locally finite varieties. - Международная Алгебраическая Конференция, посвященная памяти Д.К.Фаддеева, тезисы докладов, Санкт-Петербург, 1997, 126.

Подписано в печать 22.12.97. Формат 60x84 1/16. Заказ N 898. Уч.-изд.л. Тираж 100 экз. Отпечатало в типографии "Кедр". 630008 Новосибирск,

ул.Ленинградская, 113