Классификация неприводимых максимальных разрешимых подгрупп классических групп простой степени над произвольным полем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

р г V: 0 &

Институт математики АН Республики Беларусь

УДК 519.4

Дотинко Алла Семеновна

КЛАССИФИКАЦИЯ НЕПРИВОДИМЫХ МАКСИМАЛЬНЫХ РАЗРЕШИМЫХ ПОДГРУПП КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП ПРОСТОЙ СТЕПЕНИ НАД ПРОИЗВОЛЬНЫМ ПОЛЕМ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискания ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск 1996

Работа выполнена в Полоцком государственном университете

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Конюх Владимир Сергеевич

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Супрунанко Ирина Дмитриевна

Оппонируадая организация - Институт математики НАН Украины

Защита состоится лкрг.ля 1996 года в

часов на заседании совета по защите диссертаций Д 01.02.01 в Институте математики АН Беларуси по адресу: 220072, г. Минск, ул. Сурганова,11, Институт математики АН Беларуси.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Беларуси

Автореферат разослан "Я?" »идрга. 19Э6 года Ученый секретарь совета по защите диссертаций, ^

кандидат физико-математических наук, (ли^ В.В. Беняш-Кривец

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Теория линейных груш -один из центральных разделов современной алгебры. Разрешимые группы являются важным направлением этой теории. Первые результаты о линейных разрешимых группах были получены еще К.Жорданом. изучавшим разрешимые группы матриц над конечными полями.

В середине нашего столетия линейные разрешимые группы применяются для исследования дискретных линейных групп ([1]), абстрактных разрешимых групп ([2]), а также в аналоге теории Галуа для дифференциальных уравнений - теории Пикара - Вессио([з]). Тем самым изучение линейных разрешимых групп приобретает самостоятельный интерес.

Систематическое исследование разрешимых групп матриц впервые предпринимается в начале 50-х годов Д.А.Суп-руненко. Его работы содержат общие метода, позволяющие описать максимальные разрешимые подгруппы полной линейной группы. В результате этих исследований била в основном завершена классификация максимальных разрешимых подгрупп га.(п,к), где к - алгебраически замкнутое поле, конечное поле или поле действительных чисел.

Новым стимулом для изучения линейных разрешимых групп над произвольным полем стал известный результат Я.Титса, согласно которому конечно порожденная линейная группа либо почти разрешима, либо содержит свободную подгруппу ранга 2. Принципиальное описание максимальных разрешимых подгрупп СгЬ(п,к), где к - произвольное поле, было получено в серии работ В.С.Конюха (см., например, [4]). Заметим, что для окончательного решения этой задачи недостает классификации максимальных разрешимых подгрупп симплэктической группы Бр(2ш,р), поэтому полностью классифицированы только неприводимые максимальные разрешимые подгруппы м,(ц,к), где ч - простое.

Случай линейных групп, отличных от 01(п,к), до сих пор остается менее изученным. Отметим принципиальный результат В.П.Платонова [5] о конечности числа классов сопряженности максимальных разрешимых подгрупп алгебраической группы над алгебраически замкнутым полем. В [6] методы Д.А.Супруненко были частично перенесены на полупростые комплексные группы

Ли, а в [7] - на классические группы над произвольным полем.

Исследования последних лат по подгрупповой структуре груш Шевалле, а также завершение классификации конечных простых групп, еще раз подчеркивают актуальность изучения разрешимых подгрупп в классических группах над произвольным полем.

Диссертация выполнена в рамках госбюджетных тем Полоцкого госуниверситета "Алгебраические структуры. Задача восстановления оператора" и "Математические структуры", финансируемых Министерством образования и науки Республики Беларусь и входящих в Республиканскую комплексную программу АН Республики Беларусь.

Ш5ь_и_задачи_иссле£Овашя. Классифицировать, с точностью до сопряженности, неприводимые максимальные разрешимые подгруппы классических груш простой степени над произвольным полем.

Научная новизна полученных результатов. Все основные результаты диссертации является новыми.

Щ>§ктетеская_значш2сть_пдл£чешшхрезультатов. Работа представляет теоретическое значение. Ее результаты могут быть использованы в различных разделах теории груш и теории представлений, а также при чтении спецкурсов по теории линейных груш в университетах.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Классификация, с точностью до сопряженности, неприводимых максимальных разрешимых подгрупп специальной линейной группы въ(ч,к) простой степени ч над полем к, где к совершенно или д^оиагк, к* содержит элемент 1 порядка 4 при ч=2.

2. Классификация, с точностью до сопряженности, неприводимых максимальных разрешимых подгрупп группы автоморфизмов

и(г,к) невырожденной билинейной или эрмитовой формы 1 на пространстве простой размерности ч над полем к, где к совершенно или ч^оЬагк, хек при (1=2.

3. Классификация, с точностью до сопряженности, неприводимых максимальных разрешимых подгрупп группы бщг ,к)=

135Щ?_вклад_соискателя." Все результаты, вошедшие в диссертацию, получены без соавторов.

Апрдбация^з^льтатов_д?ссертащш. Результаты диссертации докладывались на XI Всесоюзном симпозиуме по теории групп (Свердловск, 1989 г.), II Международной конференции по алгебре (Барнаул, 1991 г.). VI конференции математиков Беларуси (Гродно, 1992 г.)» а также на семинаре по алгебре при институте математики АН Республики Беларусь.

Опублгосованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 статьях в научных журналах и 2 тезисах конференций.

Структща_и_объем_^ссертации. Диссертация состоит из перечня условных обозначений, введения, общей характеристики работы, трех глав основной части, выводов, списка использованных источников, содержащего 54 наименования. Объем диссертации - 121 страница машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Ниже приводится краткая характеристика содержания диссертации по главам. Мы будем придерживаться терминологии, принятой в [8], [91. В работе используется следующая система обозначений: ч - простое число, к - поле характеристики р, со - автоморфизм к порядка 2, Р - поле ш-инвариантных элементов из к, к.|={х«к: хи(х)=1}, «к"={хер*: уи(у)=з, уек*}, е -элемент порядка ч из к*, ¿ек* - элемент порядка 4, кч=(к*)4, - число неэквивалентных расширений поля к степени ч, V - ц-мерное векторное пространство над к, г - невырожденная симметрическая билинейная или эрмитова форма на У, v(l) - индекс г, и(Г,к) - группа автоморфизмов формы г, и(ц,к) - группа и(*,к), если в пространстве V существует базис, в котором матрица I скалярна, 0(г,к) - группа и(х,к), если 1 билинейна, си(г,к) - группа подобий относительно г, м(г) - группа коэффициентов подобий, Моп(ч,к) - группа мономиальных матриц из вМч.к), П(ч,к)с сМоп(ч,к) - группа диагональных матриц, тъ - сплетение линейной группы н и подгруппы ь симметрической группы степени q. Если форма 1 билинейна, то будем предполагать, что р*2 и ч>2.

В первой главе диссертации дается очерк основных этапов в развитии теории линейных разрешимых' груш, обзор литературы по теме диссертациии и обоснование актуальности выбран-

ного направления исследований.

Глава 2 "Линейные разрешимые группы" состоит из шести разделов. В разделе 2.1 доказываются некоторые критерии сопряженности подгрупп классических групп, которые используются в главе 3 для нахождения числа классов сопряженности неприводимш максимальных разрешимых подгрупп классических групп.

Раздел 2.2 посвящен импримитивным разрешимым подгруппам классических групп. Центральное место в этом разделе занимают следунциэ результаты.

2.2.10. Следствие. Пусть ч>2 или ч=2, у(Г)=о. Тогда для существования в и(г,к) абсолютно неприводимых импримитивных разрешимых подгрупп необходимо и достаточно, чтобы и (г ,к)= =и(ч,к). При q=2, 1>(Г)=1, 1^144) группа и(г,к) всегда содержит абсолютно неприводимые импримитивные подгруппы.

Пусть ь^ - фиксированная транзитивная максимальная разрешимая подгруппа ь^ =к1 гЬц, ь^ь^геКч.к), 1^=

=иоп(2,к)г«(12,к), где 12=(° 1^0=1^0^1(2,к), 4].

где вш(8)=-1. Поскольку при д=2, у(*)=1, -1е«к» матрица 1 в некотором базисе V скалярна, то ввиду следствия 2.2.10 выберем базис пространства V так, что матрица Фо формы I в етом базисе скалярна, кроме случая ч=2,у(г)=1,-1««к», когда Ф0=12-

2.2.13. Предложение. Пусть Н - абсолютно неприводимая импримитивная разрешимая подгруппа и(Ф0,к), максимальная среди импримитивных разрешимых подгрупп 0(Фо,к). Если ч>2 или ч=г, V(г) =0, то н сопряжена в си(Фо,к) с группой ь Если ч=2, г»(*)=1, -1е»к» (соответственно -1«1к«), то н сопряжена в си(Ф0,к) с одной из групп Ь21, «^о^О^1 (соответственно

В заключение раздела 2.2 доказываются признаки сопряженности неприводимых импримитивных максимальных разрешимых подгрупп и(г,к) и 5и(Г,к).

В разделе 2.3 изучаются неприводимые коммутативные подгруппы классических групп. Для конечного поля такие подгруппы рассматривались Б.Хуппертом ([10]). Пусть А - неприводимая коммутативная подалгебра М(а,к).

2.3.9. Теорема. Подгруппа н группы эьи.к) является неприводимой максимальной абёлэвой подгруппой БЬ^.к) тогда и только тогда, когда н=Лпз1(ч,к), где Л/кЕ^ - сепарабельное расширение

поля k£q степени q. Если н - неприводимая максимальная абелева подгруппа SL(q,k), то н примитивна, кроме случая q=2, k=GF(3); |H| = (pql-i) (р1-!)~1 при k=GF(p1) и н бесконечна, если поле к бесконечно.

Группа o(f,k) не содержит неприводимых абелевых подгрупп, поэтому пусть f эрмитова. Заметим, что согласно 11 о] группа и(2,р2е) также не содержит неприводимых абелевых подгрупп.

2.3.17. Теорема. Пусть q*p или к совершенно, в - неприводимая максимальная абелева подгруппа su(f,k). Группа В примитивна, |B| = (pqe+i) (ре+1 )"1 при к=ср(р2е) ив бесконечна, если поле к бесконечно.

С помощью теоремы 2.3.17 доказывается, что если q*p или к совершенно, то неприводимая максимальная абелева подгруппа в группы u(f,k)*u(3,4) примитивна, причем в случав бесконечного поля к группа в также бесконечна. Если k=GF(p2e), то |В|=рче+1 в силу [10].

В главе 3 будет показано, что за исключением некоторых случаев, нормализатор неприводимой максимальной абелевой подгруппы в классической группы G простой степени является максимальной разрешимой подгруппой G, поэтому в разделе 2.4 описываются группы Nq(B). Обозначим через Лв линейную k-оболочку группы в. Очевидно, Дв - поле, являющееся расширением степени q поля keq. Груша n=Hq(в) или абэлева или же, при №*в, абсолютно неприводима.

Пусть G=sb(q,k). В разделе 2.4 доказывается, что при к= =GP(p1) группа N примитивна, абсолютно неприводима и |N|= =q(Pq"l-l) (р1-1 )~1, а если к бесконечно, то N - примитивная бесконечная группа. Если к совершенно или q*p, в1,В2 - неприводимые абелевы подгруппы G, то группы N(}(B1), ng(B2) сопряжены в GL(q,k) тогда и только тогда, когда расширения Дп , Д„

1 аг

кЕ -эквивалентны.

1 ро

Пусть G=U(f,k). Если k=GF(р ), то Ы - абсолютно нвприво-

димая груша порядка q(pqe+l), причем N примитивна, кроме случая G=U(3»4). Если к бесконечно и q*p или к совершенно, то N примитивная бесконечная груша. Для произвольной подгруппы HcGb(q,k) обозначим через DetH подгруппу к* состоящую из определителей всех элементов группы н.

2.4.32. Предложение. Пусть ч*р или к совершенно, -

неприводимая максимальная аОелева подгруппа ои(з,4) такая,

что Н1=Ыс;(В1)^В1, 1=1,2. Группы ^ ,иг сопряжены в группе с

тогда и только тогда, когда расширения Д„ ,Д„ кЕ -еквива-

1 2 "

лентны И 1^14,, =ПеШ2.

Пусть с=зи(1,к), или к совершенно. Тогда N примитивна. Если к=СР(р2е), то N абсолютно неприводима и |и|=д(рче+1)* *(ре+1)_1> а если к бесконечно, то N также бесконечна.

2.4.33. Предложение. Пусть в^ - неприводимая максимальная

абелева подгруппа с такая, что ^=N(,(1^)^, 1=1,2. Группы

сопряжены в и(Г,к) тогда и только тогда, когда Дн г .

И1 й2

Наиболее наглядно абсолютно неприводимые максимальные разрешимые подгруппы с неприводимым абелевым нормальным делителем описываются, если £«к*, где £=е и при q>2 и ч=2 соответственно. Основная цель раздела 2.5 - описать такие подгруппы. Обозначим через 1а матрицу ^ аек*-кч, а через Да - линейную к-оболочку группы <1а>. Пусть йе=с11аё(1,е,... еч~1), <1|=<1е и (1£=(Иаб(1,-1) при q>2 и ц=2 соответственно,

наа=<Л1а'й5>' ГД0 Л1а=лапБЬ(ч'к)"

2.5.3. Предложение. Пусть £<=к, н - максимальная разрешимая подгруппа БМч.к) с неприводимым абелевым нормальным делителем. Груша Н абсолютно неприводима тогда и только тогда, когда Н сопряжена с группой для некоторого аек'-к'1. Группы н^р сопряжены в сЗДц.к) тогда и только тогда, когда аер'У1, т^и.

Если ЕеР, то пусть ], 151,где а.,ч=а2Ч=•-•=аЧ1=

=1, а остальные а1;)-=0, ее=йИаё(еш,.. .е,1 ,е~1,.. .е_ш) при q= =2т+1>2 и §е=£1Е=сХ1аё{1,-±), если ц=2. Если же евР, то есть к= =Р(е), то пусть Ф£ скалярна, ве=<1Е- Обозначим через Д^ группу Дари(Ф£,к), где аер'-р4 при 6<=Р и аекп-к!^ при ЕеР. Пусть, далее, Д'а=д^1пзи(ФЕ,к), ьча=<Д^Е>, ь^а=<Д-а,ё£>.

Согласно следствию 2.5.12, если q=2 и и(г,к) содержит неприводимую абелеву подгруппу, то то есть матрица т в некотором базисе V равна Ф£.

2.5.14. Следствие. Пусть q=2, ^Р. Если н - максимальная

разрешимая подгруппа и(Фе,к), то н сопряжена в GU(®g,k) с группой Lqa, aef*-F2. Группы Lqa.bqß сопряжены в си(Ф6,к) тогда и только'тогда, когда asßF2.

2.5.16. Следствие. Пусть q>2, Eek. Если в SU(f,k) существуют абсолютно неприводимые подгруппы с неприводимым абеле-вым нормальным делителем, то матрица i в некотором базисе V равна рф£,р«р*.

2.5.17. Предложение. Пусть q>2,eek. Подгруппа н группы Би(Фе,к) является абсолютно неприводимой группой с неприводимым абелевым нормальным делителем тогда и только тогда, когда Н сопряжена в и(Фе,к) с группой Lqa. Если ее? (соответственно к=Р(е)), то группы сопряжены в и(Ф£,к) тогда и только тогда, когда cteßrF4 (соответственно Oeßk!*), геШ.

Заключительный раздел 2.6 главы 2 посвящен описанию примитивных разрешимых подгрупп со скалярным максимальным абелевым нормальным делителем. Для существования таких подгрупп в GL(q,k) необходимо, чтобы е^к (лемма 2.6.3). В [8,§21] было доказано, что каждая неприводимая максимальная разрешимая подгруппа SL(2,q) сопряжена в Sb(2,q) с одной и только одной из групп Н^, i=T7Tq, где iq=1 при q=2,3, iq=3 И iq=4 1фИ qs±3(niods) и q=±i (mods) соответственно. Здесь Hg.pSL^.q) при q=2,з > а если q>3, то Н^ - максимальная импримитивная подгруппа SL(2,k), 1=2(q-1), Hg2 - нормализатор неприводимой абелевой подгруппы SL(2,q), |Hg2|=2(q+i), Hg3 и Hg4 - нормализаторы неприводимых максимальных метабелевых подгрупп Sb(2,q), |Н^,3| равен, в зависимости от q, 24 или 48, а Пусть

Iq=[g 1 о]' Ao=<ds'Iq'l!:*:Eq>' A1=A0n5L(q,k). Известно (см.

[8]), что N/Aos3L(2,q), где N - нормализатор в GL(q,k) группы а . Обозначим через н . подгруппу группы GL(q,k) такую, что А0 - нормальный делитель Hqj, Hqj./AoSH^;., где j=i+2,

i=T7Tq. Пусть Hqj=Hqj-nSX(q,k), J=3,iq+2.

2.6.11. Теорема. Пусть q>2 или q=2,i^k, H - примитивная максимальная разрешимая подгруппа Sb(q,k) с максимальным абе-левим нормальным делителем <EEq>. Тогда н сопряжена в GL(q,k) С ОДНОЙ И ТОЛЬКО ОДНОЙ ИЗ групп Н-., ¿=3 , iq+2 .

Если q>3, q=3 и E<sk3 ИЛИ q=2,i«k2, TO Н .=H'.k*, | Н' - j

=Ч3|Н2^| ,а=1"7Т . Если же (соответственно q=2,iek2),

то Н^/А1 изоморфна подгруппа порядка 23 группы £1(2,3), |Н^ 1 =

=33-23 (соответственно Н^3/А1 изоморфна подгруппе порядка 3 группы 81(2,2), |Н^3|=23-3).

Ввиду предложения 2.6.14 группа о(Х,к) не содержит примитивных разрешимых подгрупп со скалярным максимальным абелевым нормальным делителем, поэтому будем считать, что 1 эрмитова.

2.6.17. Следствие. Пусть в и(г,к) существуют примитивные разрешимые подгруппы со скалярным максимальным абелевым нормальным делителем. Если ч>2, го к=р(е) и матрица 1 в некотором базисе V скалярна. Если д=2,к=?(а) (соответственно ^г), то и(Г,к)=и(2,к) (соответственно у(Х)=1).

Ввиду следствия 2.6.17 определим матрицу Фо следующим образом: если ч>2 или ч=2,к=Р(1), то ®о скалярна, а если q=2I

то Ф0=[_£ £}, где Л-^к. Пусть ь^н^-пщ!^ ,к),

=ЗД„+2. Тогда А'=А.к. - нормальный делитель ь ., а в силу

Ч 11 х С1Д

предложения 2.6.20 группа » кроме случая ч=2,

когда |1^3/А'|=3- Из этого, в частности, вытекает, что группы ь ¿=3,1 примитивны и неприводимы (следствие

Чи ч

2.6.21).

2.6.22. Теорема. Пусть н - примитивная неприводимая максимальная разрешимая подгруппа и(Фо,к). Если максимальный абе-лев нормальный делитель Н равен к., Е^, то Н сопряжена с группой ъ^ для некоторого

Пусть ^пзи(»0,к). Тогда ¿=37^+5 (лемма

2.6.23).

2.6.24. Теорема. Пусть Н - примитивная неприводимая максимальная разрешимая подгруппа Би(Шо,к). Если максимальный абе-лев нормальный делитель Н равен <еЕ(1>, то н сопряжена с группой

ЪЧЗ ЯЯЯ нек01,0Р°Г0 ¿=3,1^2-

Результаты главы 2 позволяют полностью классифицировать неприводимые максимальные разрешите подгруппы классических групп простой степени. Решению этой задачи посвящена глава 3.

В разделе 3.1 классифицируются, с точностью до сопряженности, неприводимые максимальные разрешимые подгруппы специальной линейной группы зь(ч,к), где к совершенно или при <1=2. Множество всех неприводимых максимальных разрешимых под-

групп эь^.к) является объединением подмножеств ^«^г'^з' где Н^ содержит все импримитивные группы из , - подмножество примитивных групп из с неприводимым абелевым нормальным делителем, а состоит из примитивных групп со скалярным максимальным аболевым нормальным делителем.

3.1.1. Теорема. Пусть Б1,(ч,к)*8ь(2,5),зь(2,9),з:ь(3,4), кто? (2). Подгруппа н группы Б1.(ч,к) принадлежит тогда и только тогда, когда н сопряжена в БЩц.к) с группой Н'ч1.

3.1.2. Следствие. Множество непусто, кроме случаев Ч=2,к=СР(5),СР(9); ч=3,к=0Р(4); к=СЕ(2).

Группа н^ рассматривалась в разделе 2.2, поэтому теорема 3.1.1. и следствие 3.1.2 дают полное описание множества .

Согласно теореме 3.1.3 подгруппа н группы БЬ(а,к)"ЗЬ(2,5) принадлежит тогда и только тогда, когда н - нормализатор в 31Дч,к) неприводимой максимальной абелевой подгруппы БЬ^.к). Если же зь^,к)=8Ъ(2,5), то Пч2=в (следствие 3.1.4).

В силу предложения 3.1.7, если к=ОР(р1), то группа из н 2 попарно сопряжены в БЬ^.к). Если же к бесконечно, то при тс^» множество Нч2 также разбивается на конечное число классов подгрупп сопряженных в группе БМч.к) (следствие 3.1.8). Обозначим через 15^2 множество всех абсолютно неприводимых подгрупп из л 2,

3.1.9. Предложение. Пусть БЬ(д,к)*В1,(2,5). Подгруппа Н группы БЬ(ч,к) принадлежит К 2 тогда и только тогда, когда н сопряжена в йь(ч.к) с группой а<=к*-кч. Множество Й^ разбивается на конечное число классов пода^упп сопряженных в БКч.к) тогда и только тогда, когда |к*/кч|<® .

3.1.10. Теорема. Подгруппа НсБЬ^.к) принадлежит Н^ тогда и только тогда, когда н сопряжена с группой н^., 3=3,3^+2.

Согласно следствию 3.1.11 И^^и тогда и только тогда, когда е^к.

Обозначим через р^ число классов подгрупп из сопряженных в зь(ч,к). Если к бесконечно, то ввиду следствия 3.1.15 величина р^ конечна тогда и только тогда, когда |к*/кч|<«> . Если же к=0Р(р1), то Рдз=Ч1ч> за исключением р73=14, Р5з=5, а

также кроме случаев п=3,£«к^ и ч=2,1«к2, когда Рч3=1- '

3.1.16. Теорема. Множество й^ разбивается на конечное число классов подгрупп сопряженных в БЬ(ч,к) тогда и только

тогда, когда величина конечна.

Пусть - множество всех абсолютно неприводимых подгрупп из Ид. Очевидно, что

3.1.17. Предложение. Пусть Какдая группа из сопряжена В ОЬ(ч,к) С ОДНОЙ из групп Н'д1, Н^а,<Хбк*-кЧ, =3,Множество рвзбиввется на конечное число классов подгрупп сопряженных в Бьи.к) тогда и только тогда, когда факторгруппа к*/кч конечна.

В заключение раздела 3.1 в теоремах 3.11.8 и 3.11.9 приводится полный перечень представителей классов сопряженности неприводимых максимальных разрешимых подгрупп ЗЬ(ч.к) для алгебраически замкнутого и, соответственно, конечного поля к.

В разделе 3.2 классифицируются неприводимые максимальные разрешимые подгруппы и(Г,к), где к совершенно или 1«=к при ц=2. Пусть *ч=я<11и*'Ч2инчз ~ множество всех неприводимых максимальных разрешимых подгрупп и(1,к), где - подмножество импримитивных групп из »ч, а (соответственно и^) -подмножество примитивных подгрупп с неприводимым максимальным абелевым нормальным делителем (соответственно со скалярным максимальным абелевыы нормальным делителем). Согласно предложению 3.2.1 группы из абсолютно неприводимы, поэтому результаты раздела 2.2 позволяют полностью описать группы из множества . Ввиду следствия 3.2.2, если то матрица X в некотором Оа-

зисе V равна Фо, поэтому достаточно описать группы из в 0(Фо,к).

3.2.4. Теорема. Пусть <1>г, И(Г,к)*и(з,4) или q=г,v(f)=o. Подгруппа н<=и(Ф0,к) содержится в тогда и только тогда, когда н сопряжена в ои(1,к) с группой Если q=2,v(í)=1, -1е1к1 ,и(1,к)*и(2,9) (соответственно -1е«к>), то тогда

и только тогда, когда Н сопряжена в ои(Ф0,к) с группой 121 или ^^о^1 (соответственно ь^), кроме ^^о^1 "Р11

Вопрос о сопряженности в и(г ,к) груш из н решен в предложении 3.2.6, а именно, если q>2 или q=2,v(f)=1,-1«lk«, то группы из попарно сопряжены в и(1,к). Если q=2,v(f)=o, то классы подгрупп из и^ сопряженных в 0(г,к) находятся в биективном соответствии с элементами факторгруппы м(1)/1к». Если же q=гfv(í)=1.-1e«kl, то группы из сопряжены в и(1,к)=Х1(2,к) С ^^о^ё1 ИЛИ-.Ж6 с группой е^в-1 ,^СЩГ,к),

причем kjïscgu подгрупп из w21, сопряженных в U(f,k) с группами вида gb^g"1, находятся в биективном соответствии с элементами факторгруппы M(f)/»ki. В частности, при к=0?(р2е) группы из *21 сопряжены с Ь21 или JgbjgJg1 (следствие 3.2.7).

Из предложения 2.6.14 следует, что для билинейной формы f Wq=ffqi' поэтому предположим, что г эрмитова.

3.2.8. Теорема. Подгруппа H группы U(f,k)*U(3,4) принадлежит wq2 тогда и только тогда, когда H - нормализатор в и(г,к) неприводимой максимальной вбелевой подгруппы u(f,k).

Из теоремы 3.2.8 вытекает, что при k=GP(p ) "q2*0 тогда и только тогда, когда q>2, U(f ,k)><U(3,4), а также, что wq2 состоит из попарно сопряженных в U(f,k) абсолютно неприводимых подгрупп порядка q(pqe+i). Пусть к бесконечно. Если q=2, то wq2 является объединением конечного числа классов подгрупп сопряженных в U(f,k) тогда и только тогда, когда |?*/P2|<® (предложение 3.2.10). При q>2 в предложении 3.2.12 доказано, что множество Wq2 абсолютно неприводимых подгрупп из wq2 разбивается на конечное число классов сопряженности, если icq<ee.

Для описания множества ff^ достаточно, ввиду следствия 2.6.17, ограничится случаем группы U(®^,k), ибо в противном случае множество Wq3=â.

3.2.13. Теорема. Подгруппа н<=и(®0,к) принадлежит wq3 тогда и только тогда, когда H сопряжена в GU(®o,k) с группой

Из теоремы 3.2.13 следует, что при q>2 ff^e тогда и только тогда, когда к=Р(е) и U(f,k)=U(q,k). Если же q=2, k=P(i) (соответственно q=2,), то w^^e тогда и только тогда, когда u(f,k)=u(2,k) (соответственно v(f)=i).

3.2.1?. Если q>2, то группы из Уд^ сопряжены в u(q,k) С ОДНОЙ И ТОЛЬКО одной ИЗ групп Iiqj, j=3,iq+2. Если же q=2,k=. =p(i) (соответственно i«P), то классы подгрупп из сопряженных в U(f,k), находятся в биективном соответствии с элементами факторгруппы M(ï)/iki (соответственно M(f)/<i,»k«>).

Обозначим через f?^ множество всех абсолютно неприводимых

подгрупп из v»q. Тогда W^w^uW^uw^ ' "Р114914 в ряде случаев, например, при'k=GF(p2?), В теореме 3.2.18 доказывается,

что если <з>2 и то W - объединение конечного числа клее-

сов подгрупп, сопряженных в и(Г,к). При ч=2 справедливо более сильное утверждение: если |;Р*/Р2|<оо , то - объединение конечного числа классов подгрупп сопряженных в и(г,к)■

3.2.19. Теорема. Если г билинейна, то тогда и только тогда, когда о(:Г,к)=о(ч,к). Каждая группа из сопряжена в О(я,к) с абсолютно неприводимой мономиальной подгруппой ъ^ порядка 2чч(ч-1).

Для эрмитовой форш 1 результаты раздела 3.2 позволяют сделать следующие выводы.

1. Пусть ч>2. Если и(Г,к)*Щя,к), то я состоит из нормализаторов неприводимых абелевых подгрупп и(Г,к), а если и(1 ,к)=и(^,к), но к^Р(Е), то группы из У?ч мономиальны или же являются нормализаторами неприводимых абелевых подгрупп и(Г,к).

2. Пусть ч=2, v(i)= 0. Если и(:Г,к)*и(2,к), то «2=0, а если и(г,к)=и(2,к), то группы из »2 сопряжены В си(2,к) С Ь21 или

\у

3. Пусть ч=2л>(1)=1. При -1е«к» множество и2=«21и«22, а если -1«=ик», то и(г,к)=и(2,к) и группы из и2 сопряжены в 0и(2,к) С ОДНОЙ из груш Ъ21 ,, Ь23 (), «Г^Ь^«^1

где , или с нормализатором группы

В заключение раздела 3.2 в предложении 3.2.20 и теореме 3.2.21 приведен полный перечень представителей классов сопряженности неприводимых максимальных разрешимых подгрупп и(1,к) для алгебраически замкнутого и, соответственно, конечного поля к.

Раздел 3.3 посвящен классификации неприводимых максимальных разрешимых подгрупп зи(г,к). Пусть "^и^ич^и?!^ - множество всех неприводимых максимальных разрешимых подгрупп Бии.к), где - подмножество импримитивных груш из а (соответственно - подмножество примитивных груш из с неприводимым абелевым нормальным делителем (соответственно со скалярным максимальным абелевым нормальным делителем).

В силу следствий 2.2.10 и 2.2.14 для описания У?^ будем считать, что матрица I равна Фо, ибо в противном случае ^=0.

3.3.1. Теорема. Пусть ч>2,Би(грк)*зи(з,4), или а=2,у(х)=о. Подгруппа н<=ЗЩФо,к) содержится в тогда и только тогда, ко-

где н сопряжена в си(Фо,к) с группой L^. Если q=2,v(i)=i

eil к» ,SU(f ,k)*SU(2,9) ,su(2,49) (соответственно -1е» к»), то HeW^

тогда и только тогда, когда н сопряжена в GU(ffi>o,k) с группой

или JqI^qJq1 (соответственно кроме JgI<20Je1 "Р11 к=

=GP(25).

В следствии 3.3.2 доказывается, что для групп SU(3,4), su(2,9),su(2,49) множество W'q1=e. Вопрос о сопряженности в SU(i,k) групп из w^ полностью решен в следующем предложении.

3.3.3. Предложение. Пусть q>2 (соответственно q=2,v(f)=i, -1««кн). Тогда группы из сопряжены в зи(Фо ,к) с группой L^ (соответственно Lg0) - Если q=2,v(J)=0, то классы подгрупп из W^, сопряженных в su(G>o,k), находятся в биективном соответствии с элементами факторгруппы H(f)/»ki. Если же q=2,v(f)=l, -lenk«, то w^ разбивается на i+v(r)/W классов подгрупп, сопряженных в su(<JQ,k), кроме случая k=GP(25), когда группы из

сопряжены в su(0>o,k) с группой .

Для билинейной формы f описание множества W^ завершено, ибо, как вытекает из предложения 2.6.14, в случае билинейной формы Wq=Wq,,. ПуСТЬ f ЭрМИТОВЗ.

3.3.4. Теорема. Подгруппа HcSU(f,k) содержится в тогда и только тогда, когда н - нормализатор в SU(f,k) неприводимой максимальной абелевой подгруппы su(f,к).

3.3.5. Следствие. Если k=GF(p2e), то W^^e тогда и только тогда, когда q>2 и k*GF(4) при q=3. Множество состоит

из абсолютно неприводимых попарно сопряженных в SU(q,p2e) груш порядка q(pqe+l)(ре+1.

Пусть поле к бесконечно. Если q=2, го при |р*/р2|<ш , | /к^ | <оо множество Wgg является объединением конечного числа классов подгрупп, сопряженных в SU(r,k) (предложение 3.3.6). Если q>2 и icq«» , то множество всех абсолютно неприводимых подгрупп из ffq2 также разбивается на конечное число классов сопряженности (предложение 3.3.8).

3.3.9. Предложение. Пусть q>2,e«sk. Подгруппа HcSU(®£,k) принадлежит тогда и только тогда, когда н сопряжена в и(Фр,к) с группой L'oa. Если к=Р(е) и |к,,/к^| <<*> (соответственно

|Р*/РЧ|<<» , |к1 /к^|<а> ), то разбивается на конечное число классов подгрупп, сопряженных в SU(®e,k). ,"

Для описания групп из множества ff' зафиксируем базис.

относительно которого матрица г равна ®о, ибо в противном случав в силу следствия г.6.17 Wq3=a.

3.3.11. Теорема. Подгруппа H<=sU(®o,k) принадлежит W^ тогда и только тогда, когда H сопряжена в GU(®o,k) с группой

Из теоремы 3.3.11 вытекает, что при q>2 тогда и толь-

ко тогда, когда k=F(e) и su(î,k)=su(q,k). Если же q=2,k=P(i) (соответственно ieï), то тогда и только тогда, когда

su(f,k)=su(2,k) (соответственно v(f)=i).

3.3.17. Предложение. Если к бесконечно и q>2 (соответственно q=2), то wq3 является объединением конечного числа wq3 классов подгрупп, сопряженных в su(®0,k), тогда и только тогда, когда Ikj/k^jCœ (соответственно l^/ki^o , M(i)/«ks<•* ). Если k=GP(p2e), то w^3=qiq, кроме w^3=14, "53=5, а также за исключе-

наем

случаев q=3,e«k^ и q=2,iek^, когда

Обозначим через ^множество всех абсолютно неприводимых подгрупп из Тогда тг^и^и^иу?^, причем при к=ОР(р2е)

а ч

3.3.18. Георема. Если q>S (соответственно и х^т (соответственно <а>, |Р*/Рг|<а>), то разбивается на конечное число классов подгрупп, сопряженных в БЩГ.к).

3.3.19. Теорема. Пусть I билинейна. Множество тогда

и только тогда, когда s0(f,k)=s0(q,k). Каждая неприводимая максимальная разрешимая подгруппа 50(я,к) импримитивна, абсолютно неприводима и сопряжена в БО(д,к) с группой ь^ порядка

Для эрмитовой формы г результаты раздела 3.3 позволяют сделать следующие выводы.

1. Пусть ц>2. Если ,к)*зи^,к), то состоит из нормализаторов неприводимых абелевых подгрупп йи(Г,к). В частности, при еек группы из абелевы.

Пусть зи(г,к)=зхг(а,к). Если кхр(£), то в част-

ности, при ЕеР группы ИЗ ^ СОПрЯЖвНЫ В и^,к) С ГРУППОЙ Ь^ или а&Р*-Рч, где , .т^Ф^^'е^. Если же к=

=Р(е), то группы из сопряжены в и(д,к) с одной из груш I/.,,

2. Пусть д=2,У(Г)=0. Если Зи(1,к)^211(2 ,к), ТО «¿=0, В при

SU(f,k)=SU(2,k) группы ИЗ W^ сопряжены В GU(2,k) С ИЛИ

3. Пусть q=2,V(f)=1. Если -1«йк1, то W2=W21UW22* 3 6CJQI -1«»к», ТО SU(f,k)=SU(2,k) И ГРУППЫ ИЗ (Vi, СОПрЯЖвНЫ В GU(2,k) С ОДНОЙ ИЗ групп JqI^pJq1 (Í«F), J^L^J^1 (ie?), ИЛИ Жв

с нормализатором группы "^Ца^д*« с^Р*-?4.

В предложении 3.3.20 и теореме 3.3.21 приводится полный перечень представителей классов сопряженности неприводимых максимальных разрешимых подгрупп SU(í,k) для алгебраически замкнутого и, соответственно, конечного поля к.

В заключение автор выражает благодарность А.Е.Залесскаму, Э.М.Пальчику, И.Д.Сулруненко за полезные советы, постоянное внимание к работе и моральную поддержку.

ЛИТЕРАТУРА

1. ZasBenhaus Н. Beweis ехпев Satzee tiber diskrete Gruppen // Abhandl.Math.Sem.Hansisohe Univ.-1938.-B. 12,J63/4.-S.289-312.

2. Мальцев А.И. О некоторых классах бесконечных разрешимых подгрупп // Метем.сО. - 1951.-Т.28, ЯЗ.-С.567-588.

3. Kolchin E.R. Algébralo matrix groupe and the Fioard-Vessiot theory oí homogeneous linear ordinary diíferential equations// Ann.Math. - 1943.-V.49,*1 .-P.1-42.

4. Конюх В.С. Разрешимые линейные группы над произвольным полем.- Препринт/Ин-т математики АН БССР.- Минск,1986.-35 с.

5. Платонов В.П. Доказательство гипотезы конечности для разрешимых подгрупп алгебраических групп// Сиб. мат. журн.-1969. - T.10.J65. - С.1084-1090.

6. Алексеевский А.В. О максимальных разрешимых подоруп-пах групп Ли// функц. анализ и его прил. - 1980. - Т.14,*2. -С.44-45.

7. Залвсский А.Е,, Конюх В.С. П-подгруппы Силова классических групп// Матем. сб. - 1976. - T.101,Jfi2. - С.231-251.

8. Супруненко Д.А. Группы матриц .- М.: Наука,1972.-352 с.

9. Залесский А.Е. Линейные группы// Итоги науки и техники. Сер. фундаментальные направления/ВИНИТИ.- 1989.-Т.37.-С.114-228.

10. Huppert В. Singer-Ziklen in klassieohen Gruppen// Math.Z. - 1970.-В.117. - S.141-150.

вывода

В диссертации получены следующие результаты.

1. Классифицированы, с точностью до сопряженности, неприводимые максимальные разрешимые подгруппы специальной линейной Группы SL(q,k) простой степени q над полем к, где к совершенно или oharto'q, при q=2 группа к* содержит элемент i порядка 4.

2. Классифицированы, с точностью до сопряженности, неприводимые максимальные разрешимые подгруппы группы автоморфизмов U(f,k) невырожденной билинейной или эрмитовой формы t на пространстве простой размерности q над полем к, где к совершенно ИЛИ chark*q, iek при q=2.

3. Классифицированы, с точностью до сопряженности, неприводимые максимальные разрешимые подгруппы su(i,k)=u(f,k)n nSL(q,k), где к совершенно или chark*q, iek при q=2.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Детинко A.C. Максимальные разрешимые подгруппы специальной линейной группы над произвольным полем// Сиб. мат. курн.-

1992.- Т.ЗЗ, Jf6.~ С.39-46.

2. Detiiiko A.S. Solvable subgroups of olasßioal groups over finite fields// hi Международная конференция по алгебре памяти М.М. Каргаполова. Тез. докл. конф.- Красноярск,

1993.- С. 392.

3. Детинко A.C. Максимальные периодические подгруппы классических групп над полями положительной характеристики I// Весцi АН Беларуси. Сер. ф±з.~ мат. навук. - 1993, Х4,- С.35-39.

4. Детинко A.C. Разрешимые подгруппы унитарных групп// Сиб. мат. журн. - 1994. - Т.35, J62.- С.317-326.

5. Детинко A.C. О разрешимых подгруппах классических групп над произвольным полем // Международная конференция "Проблемы алгебры и кибернетики", посвященная памяти С.А.Чунихина. Тез. докл. конф. Часть 1.- Гомель, 1995.- С.59-60.

РЕЗЮМЕ

Детинко Алла Семеновна

Классификация неприводимых максимальных разрешимых подгрупп классических групп простой степени над произвольным полем

Ключевые слова: груша, поле, линейная груша, нормальная подгруппа, разрешимая группа, неприводимая группа.

В диссертации с помощью методов теории линейных групп классифицируются неприводимые максимальные разрешимые подгруппы классических групп простой степени q над полем к. Получена классификация, с точностью до сопряженности, неприводимых максимальных разрешимых подгрупп специальной линейной группы БЬ(ч,к), группы автоморфизмов и(Г,к) невырожденной билинейной или эрмитовой формы * на векторном пространстве размерности д над полем к, а также группы зи(Г,к)=и(г,к)пзЬ(ч,к), где к совершенно или оЬагк?^, а при ч=2 группа к* содержит элемент порядка 4.

Все основные результаты работы являются новыми. Они имеют теоретический характер и могут быть использованы в различных разделах теории групп, теории представлений, а также при подготовке спецкурсов по теории линейных групп.

РЭЗЮМЕ

ДзяцИзка Ала Сяменауна

Клас1ф1кацыя непрыводннх макс1мальных развязальных пад-груп класачных груп проста» ступен1 над адвольным полем

Ключавыя словы: група, поле, лонеИная група, нармальная пад-група, развязальная група, непрыводная група.

У дысертацы1 пры дапамозе метада? тэоры! лгнейных груп клас1ф!куюцца непрыводныя макс1мальныя развязальныя падгрупы кдасгчннх груп простай студан1 q над нолем к. Атрымана клас1-ф1кацыя непрыводных максимальных развязальных падгрупп спецы-

яльнай лзлейнай груш Sl(q,k), груш аутамарфхзмау u(f,k) нявы-ражданвй 01л1нейнай або эрм1тавай формы f на вектарнай прасторы памернасц1 q над полем к, а таксама груш su(f,k)=u(f,k)n riSL(q.k), дзе к дасканала або ohark^q, а пры q=2 група к мае элемент парадку 4.

Усе асноуныя вын1к! дасертацы! з'яуляюцца новыми. Яны мащь тэарэтычны характер i могуць быць выкарыстаны у розных раздзелах тэорыа груп, тэоры1 прадстауленняу, а таксама пры падрыхтоуцы спецкурса^ па тэоры1 л!нейных груп.

SUMMARY

Detinko Alia Semjenovna

The classification of irreduoible maximal solvable subgroups of olassioal groups of prime degree over an arbitrary field

Key words: group, linear group, normal subgroup, Bolvable group, irreducible group.

In the thesis by the methods of the theory of linear groups the irreduoible maximal solvable subgroups of the olassioal groups of prime degree q over a field k sire classified. The irreduoible maximal solvable subgroups are olassified up to conjugacy in the following groups: the speoial linear group SL(q,k), the group U(f,k) of automorphisms of nondegenerate bilinear or hermitian form f on q-dimensional vector space over k, SU(f,k)=U(f,k)nSb(q,k), where k is perfeot or oharlcq and if q=2 then the group k oontains the element of order 4.

All the main results of the theeie are new. They are of a theoretioal oharaoter and can be used in various fields of the theory of groups and representation theory as well as for teaching students at universities.