Базируемость стабильных теорий и свойства счетных моделей с мощными типами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Специализированный совет Д 002.23.01

• На правах рукописи

СУД0ПШ03 Сергей Владимирович

Уда 510.67

ЕАЗИРУЕЖСТЬ СТАБИЛЬНЫХ ТЕОРИЯ И СВОЙСТВА СЧЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ С. МОЩНЫМИ ТИПАМИ

01.СТ.06 - математическая логика, алгебра л теорк. чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученг* степени кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК - 1990

Работа выполнена в Новосибирском государственном ушшерси-ге им. Ленинского комсомола.

Научный руководитель - доктор физпко-мато:.'лтическ...<

наук Е.А.Палютнн.

Официальный .оппоненты - док-гор физико-математических наук

профессор Б.И.Знльбер,

кандидат физико-математических наук доцент А.Г.Пинус.

Ведущее учреждение - Вычислительный центр СО АН СССР.

Защита состоится "_"_ 1390 г. в_часов

на заседании специализированного совета Д 002.23.01 в Институ-'хЗ математики Сибирского отделения АН СССР по адресу: 630090, Нопскбирск-90, Университетский проспект, 4.

^ диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР.

Автореферат разослан

1990г.

Ученый секретарь спе*тдализированного совета доктор физ• тсо-математических на;/;:

Е.А.Пашгин

Одной из основных задач теории моделей является классифике дия теорий. Б предлагаемой работе рассмат; "гоахтся два ззап.со-сшзанных подхода к изучению полню: теорий. Первый подход основам на методе базируемое™, шга частичной элиминации кинторов, при котором описывается некоторое базисное множество формул теории такое, что любая формула теории может быть представлена в виде некоторой булевой комбинации фор:.ггт1 из этого множества. При этом, рассматривая базисные множества формул данной теории, можно сшить о степени сложности теории, описывать типы теории, устанавливать принадлежность теории тому или иному классу. Первые два раздела диссертации посвящены изучению базируемости различных классов теорий.

Второй подход состоит е эп санш: для каждой полной теории ее фунпии спектра 1(Т, А), где КТ,А) - чиию Т-'ВДеле^ кэаяоети А. Проблема описания функций спектра цривяокает внимание большой группы специалистов по теории моделей, в том число М.Морли, Л.Лахлана, С.Шелаха, А.Пилэя и др. Интерес к этой проблеме вызван прежде всего тем, что для ее решения требуется построение содержательной структурной теории моделей. Нафтене, развитой является структурная теория . дя вычисления числа счетных моделей данной теории. Зто связано с тем, что обширный аппарат, созданный для изучения теорий при вычислении несчет! дс ( 7\>ю ) функций спектра, достаточно слабо работает в счетном случае. При определении числа счетных моделей вшшую роль игра -ют так называемые мощные типы, которые всег. .а присутствуют в "теориях с конечны;,! числом счетных моделей (см. [б])„ Особый т. -т'рес к свойствам мощных типов связан с тем, что неизвестно, существует ли счетная стабильная теория с конечным (>\) числом счетных моделей, также как неизвестно, существует ли счипп стабильная не «-категоричная теория с мощными типами. Хотя имеется достаточно много классов стабш^ных теорий, для которых доказано отсутствие теорий с конечным числом счетньпг моделей, есть надежда, что счетную стабильную теорию с 1<Т(Т, м>)<ш можка "синтезировать", исходя из свойств, которым долянн уд-влетво-рять мощные типы в стабильных теориях. Определению и рерлиза-

цки структур ж свойств коаршх типов в счетных стабильных тео-Р'лях посвященп последние три раздела диссертации. При этом са-мостоят-злиный интерес приобретает изучение тригонометрии групп и систем, которые возникают в разделе .

Диссертация состоит из введения, пяти разделов и списка ли-тературя. Объем работы - 142 страницы. Библиография вллючает 8 о наименований.

Перейдем к обзору результатов диссертации по разделам.

'Понятие базируомости теории определено в работе [2]. В раз-;еле I рассматривается сазируемость так называемых плоско-пре-дикатпых теорий, т.е. теоргЧ, имеющих предикатные сигнатуры, у которых местность любого предикатного символа не превосходит 2. F теореме 1.4.5 описывается базируемость теорий без полукенту-ров, имеющая достаточно простой вцц. Это описание подобно описания Херре базгруемости теорий ограниченной валентности с помощью сферических формул, которое применялось А.А.Ивановым для исследования irpyim автоморфизмов моделей таких теорий [з]. Для доказательства теоремы 1.4.5 используется теорема о границах (теорема 1.3.I), которая в неявной форме для кортежей длины I фигурировала в работе [8] к применялась А.А.Ивановым при описании спектре- улътраглоских графов. Лемма I.'4.1, также использующаяся для доказательства теоремы 1.4.5, доказана совместно с Е.В.Овчинниковой.

Одним из следствий теоремы 1.4.5 является стабильность теорий оез полуконтуров (это также следует из [8]). Для доказательства стабильности пиводится признак стабильности теории, представляющий самостоятельный интерес: , если Ä - некоторое множество стабильных формул и теория Т Д-базируема, то Т -стабильная теория. Этот признак используется и в других разделах для доказательства стабильности теорий.

В подразделе 1.5 вводится понятие tv-теории, т.е. теории, у которой любая формула представима в виде булевой комбинации формул теории, имеющих не более а свободных переменных. Некоторые класс:» ¡г-теорий рассматривались А.Лахланом [iOl, Им по-

Здегч и да^ее нумерация разделов, дений cootljTCTBy т> тексту диссертации.

подраэгелов и ут*>ерж-

лучено структурное описание ю-категоричзш.^ w-стабилышх теорий конечной предикатной сигнатуры, допусказжс элиминацию кванторов. Если Т - n-теоркя, то наименьшее такое а мо~ет выступать в качество меры сложности тсорш: Т Из тоорсш 1.4.5 следует, что теории без пс .уконтуров являются 2-теориями. В предложении 1.5.3 пр:гводятся некоторк условия для графов и их теорий, достаточные для того, чтобч теории графов ^ми ц-теорияш. В качестве следствия мы имеем возможность оценивать число п. в iv-теориях графов через мощности блоков данного графа:

СЛЕДСТВИЕ 1.5.6. Пусть Г - граф, и найдется пэ>2 такое, что мощность любого блока 1уафа Г не превосходит . Тогда TWO - (2к-2)-теория.

Утвиргэдени.т 1.5.3 и 1.5.6 естественном образом обобщаются .для произвольной плоско-предикатной теории (предложение 1.5.7 и следствие 1.5.8).

Во втором разделе диссертации рассматриваются нормальные и слабо нормально теории. Нормальные теории базируются с помощью (формул, которые называются нормальным. Понятие нормальной формулы ввели независимо А.Пилэй [12] и в неявной форм? Е.А.Палю-тин [4]. При этом, А.Пилэй исходил из нормальности любого модуля, а Е.А.Палэттин из нормальности прс "звольной стабильной хор-новой теории. Нормальность стабильных хорновж теорий сущзса -вонно использовагась при описании функций спектра хорновых теорий Е.А.Палятиным и С.С.Старченко.

При,".ери нормальных теорий не исчерпывайся вышеназванными. Нормальными являются такяе теории Т , v которых к,~комг.аньок Т имеет немаксн :алыгый несчетный спектр [5], теории докачью езобе ,ных ачгебр [I], теории уновдов специального вида, описанные А.А.Ивановым, и др. К этому списку добавляются теории уларов (теор-.па 2.1..4/.

Понятие слабой нормальности, .введенное А.Шкэ-зм и Г.Споурог.. (см. [1ч] \ является более „яроким, понятие нормальности, но более узким, чем стабильность. В подразделе 2.2 доказывается, что норм^дьность и слабая нормальность н<" сохраняются при обеднениях теорий: существует нор.лальная теория, некоторое обедненгз которой является слабо нормально:! и яе нормальной теорией (теорема 2.2.1), и существуй нормалььп теория, неко-

торое обеднение которой но является слабо нормальной теорией (теорема 2.2.5). Вместо с том в [7] доказано, что слабая нормальность сохраняется при обеднениях теории конечного Ц-ран-Гс и теорий, имеющих в обеднения групповую операшео. Из теоре-г,-л 2.2.5 следует, что, вообще говоря, свойства формул тоорчи не ютгут гарантировать наличие или отсутствие нормально ти или слабой нормальности теории (следствие 2.2.6), т.о. не существует формульных критериев для нормальности или слабо:'! нормальности, подобных стабильности.

Имеется несколько кр'терлев слабой нормальности теории, среди них - отсутствие типово-штерпретируемой псевдошгаскости. Псевдоштоскостыо называется тропка (л. (где Р -множе-

ство точек, и - шогество лилий, - отноаенио инци-

дентности ыедду точками и линиями) такая, тгго любая точка (линия) пзщзщектна бесконечному числу линяй (точек), и любые две различные точки (лини) инцидентны только конечному числу линий (точек), Ийтерес к понятия псевдоллоскости, введенному А.Лпхланом [9], во многом объясняется тем, что наличие исевдо-нлоскосх'И в теории свидетельствует о сложности последней, Например, А.Лахлан £9} показал, что ю-категоричные теории без о .редолшой псзццоглоскости являются ю-стабильнымп с конечным рангом 'Лорли, а в работах Б.И.Зильбера и Г.Черлина, Л.Харринг-тона, А.Ла.лана доказано, что и»-стабильные «-категоричные теории не содержат определимой исевдорлоскости. А.Пилэй [14] покс ал, что любая стабильная теория слабо нормальна шш содержит'типово-определимую псевдошюскость, и сформулировал гипотезу о том, что теории с типово-определимыьш псевдоплоскостями не являются "лабо нормальными. Однако эта гипотеза оказалась неверна. Обогащенная теория, которая используется для доказательства теоремы 2.2.5, содержит типово-определимую псевдоплоскость и вмьоте с тем является даже нормальной. Независимо от автора пршеры нормальных теорий с типово-определимыми псевдошюскос-тя1.„1 найдены О.В.Еелеградеком и Б.И.Зильбером [I] (локально свободные группоиды) и У.Ходжесом.

3 подразделе 2.3 рассматривается класс 3-нормальных теорий, который является п догассом класса к-'^мальш'х теорий. З-Нор-мальнтаз: являютс стабильные хорновы теории [4] и теории модулей. Свойе--<о 3- 'о], .альности существенно использовалось ^ ра-

«

ботах; [2, 4, 5]. Некоторое время среди специалистов существовала гипотеза о том, что классы нормальных л 3-кормалъчых теории совпадает. Однако ото оказалось неверным: существует нормальна! но 3-нормальнач теория (теорема 2.3.1).

Доказательства свойств примеров, рассмотренных г раздале 2, демонстрирует способы проверки (..з) нормальности и (не) слабой нормальности конкретных теорий.

Тратив раздел посвящен изучению свойств ;.етлкх тии<~т в малых (т.е. слоящих счетнуэ коно'шую диаграмму) но ¿о-категоричных теориях. Понятие мощного типа ввел М.Бевда L С]. Полни к тип р (над 0 ) называется могемм типом теории Т , если для любо;'! модели М теории Т из реализуемости типа р в Н следу от реализуемость в М любого типа над 0 . Как у;нз от;мчалось, хлас^-счетных теорий, име:о:цих мощные типы, тесно связан с классом не w-категорична'- теорий, меэщих конечное число попарно нокзо-мор'Тяих счетных моделей (которые являэгея малыми). С теорпя'лг, имеющими конечное число счетнпх моделей, связано большое количество результатов. Эти результаты условно мо:яю разделить на две болылие группы. В псовой группе для различных клсссоз стабильных теорий доказывается, что данный клаоо не мо.-кет иметь теорий с конечным (Н) числом счетных моделей. Ео второй группе рассматривается нестабильные теории, богатые в отношении примеров теорий Т с 4<I(T,w)<w. р.Зоот доказал, что теория не монет иметь ровно две неизоморфные счетные глодали, и дя.. всех n.iw\{0,/} привел примеры теорий, имеющих а счотж-х моделей. Из работ М.Морли, Дя.Бодцуина и А.Лахлана следует, что если теор;ш Т категорична в некоторой несчетной мощности то KT, wj) € . А.Лгхлан доказал, чте супэрстабильные те ори::

не могут клеть конечного ( >4 ) числа счетных моделей. Позднее другк. доказательства этого результата приводили Д.Лас'ар, С.Шелах, Ю.Заффе " А.Пилой. При этом было показано, чт"> не «j-категорич.-.ле суиерсгабилыше теории не могут кме ^ мощных типов. Т.Г.Лустафин об"0иг*л теорему Лахлана, доказав, что если теория :LMüf— неглавный супер^абильный ?ип, то 1(Т„ '■»!> Другое обобщение теоремы .Лахлана предложил А.Цубои, коалрый, использовав мптод'А.Пилэя [1Г], доказал, что глбая теория, полученная объединением влоленных последовательно друг в друга псевдос!лерстабильных теорий, не может иметь колечного Числа

счетных моделей. В тгдак теориях (при црс .положении малости и но ю-категор^чносги) также нет мощных типов. А.Пилэй [12, 14] огроделил отношение полуизолированности для типов и заметил, что в неглавных моизшх типах отношение полуизолированности не-cin лотрично. Использовав тот факт, что для достаточно большого числа типов в нормальных теориях отношение полуизолированносфи симметрично, Пилой доказал, что I(T,w)='f или íw для с гетных нормальных теорий [123. Позднее Пилой обобщи это утверждение дж слабо нормальных теорий [13, 14] и передоказал его, заметив, что в слабо нормальных малых теориях отношение полуизоли-рованност • симметрично д"я любого типа [15]. Е.Хрушовский определил класс теорий, допускающих конечную кодировку, включающий в себя супсрстабияыше и слабо нормальные теории, и, использо-вгч метод А.Пилэя [12], обобщил утверддениео числе счетных моделей для таких теорий. Другие результаты, касающиеся числа счетных моделей мезду I и w , содержатся в работах М.Г.Пере-тятькина, Р.Вудроу, А.Пилэя, Л.Маркуса, Б.Омарова, Т.Миллара, Л.А.Викентьева и др.

В подразделе 3.1 доказывается существование малой стабильной теории, имеющей тип, у которого отношение полуизолированности несимметрично. Доказательство стабильности построенного здесь пушера сводится к применению теоремы 1.4.5. Независало от ав-Topf тоию такой же пршлер построил А.Пилэй [15]. В подразделе

3.2 рассматриваются теоретико-графовые свойства неглавных мощных типов в малых теориях. Из несимметричности отношения полу-изолл_рованности следует бесконтурность некоторого индуцированного орграфа. Наряду с известной из [II] "близостью" теорий с неглавными мощными типами к примеру Эронфойхта, доказывается "близость" таких теорий к проективным плоскостям. В подразделе

3.3 определяются числа п-и , п^ и п3 • для типов и формул и даотся оценки по этим параметрам для мощных типов малых не w-категоричных стабильных теорий (теорема 3.3.15). Среди выделенных "предельным" является случай, когда для типа р найдется тип (j, с параметрами (<^)= п>Е (íj,) = i , что эквивалентно так называемому_свойству проективности с бескоитурной ориентацией, или реализуемое.^* всех так называемых 2-р -типов в множестве решений формулы, ¡.^дающей тип <у (г орема Т.4.7). Доказано, что Teop-tíi шлею, дх тип ^ с такими параметрами, нет среди тео-

рий, представит в виде объединения после/ :ватально вло.т.ен:-:кх друг в .друга псевдосупсрстабильш:х теорий, з частносги, среди теорий, допускающих конечную кодировку. Кроме того, в подразделе 3.4 дается характеризация мощных типов (те рзма 3. ' передоказшзаотся результат Р.Зудг ,у о бесконечном чтсле 2-р -типов для неглавных мощных типов р в мачых стабильных теория^., используя понятие полуизолированности (следствие 3. ¿.4); ..рьво-дятся геометрич' чкие °зойства типов р , для которых наестся тип ^ с параметрами л£ (ср = -/ , п.у с*3 .

Основной вывод раздела 3 состоит в том, что для построения неглавного тдаяого типа малой стабтаъной теори. на теоретпко-графовом уровне требуется построить бесконтурный орграф Г = =. <£, , удовлетворяющий следующим условиям:

1) ТК(Г) - малая стабильная теория,

2) 1$Ч0)И,

3) формула ^(Xэквивалентна в Тк(некоторой дизъюнкции главных формул,

4) ШГ> Ух,^

В разделе 4 . .рассматривается соотношение мевду структурой теории и стручстурой ее мощного типа. Вводится понятие р: ;уца-рованности теории над типом, подобное известному понятию редуцированности над предикатом. Понятие редуцирован*.лузи над типом по-существу сводится к тому, ' что ограничение носителя системы до реализаций типа не добавляет новых формульных мнсяеси. Теорема 4.1.4 утверддаот что при предположении стабильности и малости в теории не монет быть редуцированности над неглавным мощным типом. Основой доказательства теоремы 4.Т. 4 является тот факт, что при редуцированности теории Т над -чпом р . в простой над реализацией типа р модели теории Т опускается любой так называемый не р-главнйй р-тип (который существует по следствию 3.4.4, если предположить, что Т - малая стабильная теория, р неглавный мощный тип). Это свойство согласуется о известным свойством опускания любого неглавного типа в простой модели теории. Отсутствие стабильной теории Т , имеющей тип р , у которого простая над реализацией типа р модель реализует некоторый не р-главный р-тип,. означало бы, что не существует стабильной теории с конечным числом счетных моделей. Од-

како это оказалось не так. В подразделе 4.-3 строится малая ста-бильпач теория Т , пмовдл тип р , у которого простая лад ролдипгщпей р ¡лодоль теории Т реализует некоторый ко р-гдав-nwtl ?-p-Tt.n. Д'ок'.'латсльство стабильности этой довольно сланной по числу '-Л'^но:.; теории, которая является обогащением теории из и-драздола I1 Л, основанона ...стадо базируемое?:! и подобно дока-аатахьстзу теоремы 1.4.5. В подразделе 4.2 устанавливается сг.лзь т сюрпй с отнтенпем полунзолнроьанности: если неко-

торой но р-гловний р-ткп реализуется в просто"; над реализа-цно:! т :;а р модели теории Т , то отношение полуизолйрованно-сгп на рс-а-лпагвих типа р неспмлотрично (следствие АЛЛ),

Л пол-здьле о Л строитсл йоекоптуриий орграф с ¿йпой ста-б-Liuio". теорией, :г.:о."5хой еданствозпш I-тип над 0 ; и tfteoii, что oprptsii является атшрокс:"эд:сЙ к структуре орграфа,

„зэйстбом проективности с бесконтурной ориентацией, здесь от -роЗ индуцирует так называемуэ точную пбев-до.плоскость, у которой лмбые две различные линии Köfyf клеть не более одной точк-' пересечена, а ч^оез любые две различные точки м .лет проходить не более одной линии. В процессе доказательства стабильности теории орграфа методом базируемости воз-нкт.с.-'Л' понятия отрезка на линии и угла мезду линияьм. При этом в качество г ры отрезков к углов могут выступать как элементы некоторой группы, так и ти-щ пар элементов. Исходя из этого пример-. б подра: :еле 5.2 вводятся понятия тригонометрии группы на точной псевдоплоскости и тригонометрии системы на точной лсевдоплоскссти, представляющие самостоятельный интерес. В предложении 5.2.6 замечается, что если точная псевдоплоскость является щгчктивг^й плоскость» и тригонометрия индуцирует бесконтурный орграф, тс этот орграф обладает свойством проективности с Лескснтурной ориентацией. Поэтому особый интерес представляет тригонометрии на проективной плоскости.

В подразделе 5.3 описывался проективные плоскости г точные псевдоплоскости на множестве целых чисел, для которые множества линий пол„ хаются сдвигами данной линии с помогцью операции ело-кения ^теоремы 5.3.4 и 5.3.6). Для таких объектов описывается случаи, когда индуцируется бесконтурная ориентация (предложение 5.3.7). С помощью теоре.лы 5.3.4 и предлояе-чя 5.3.7 доказывается теорема 5.3.9, которая утверждает, что существует проектив-

ноя 1Ио,скд£В£ указанного взда с бесконтурной ориентацяеИ. По-суцоству, пд приведенному алгоритму можно эффективно построить континуум таких объектов. Б качество слэдстенл эоре:лы 5.3.9 получаем дуцествочащш ?р:шоно!.;с. .мш на проективнз"

плоскости, нндуцарукицей бесконтурныЛ оргрзф,

3 предложении 5.2.3 замечено, что есля -т^игоном^.р^я „рупгш

квдущруот й зконт-фшй орграф, то группа Ж влолагла в Н-В этом от|ЮЗЮ13£1 группа 2. является цростейпей, способной пн-дуц;фовать ¿йсгс'гттрность. Поэтому естественно попытаться построить группы Ж. на проективной плоскости. Предложение 5,3. ¿й- 7/й:г5р:здает, что группа 2 не может иметь согласованной т£иагй1бй&трйи с проективной плоскостью на гляозиэстзе целых чисел.-

В подпг5Д\?й'ё 5,4 приводится алгебраический критерии существования трЙ*6яомотрии группы на проективной плоскости (теорема 5.4.1) ( Согласно отому критерию проблема сущь.„тзованип тригонометрии данной группы на проективной плоскости сводится к некоторой проблеме, относящейся к теории групп. Используя алгебраически:'! критерий, доказывается предложение ¿.4.6, в котором утверждается, что в любой тригонометрии группы на проективной плоскости найдутся треугс 7ьнпки, которые не определяются однозначно по трем сторонам. Из предложения 5.4.6 сл дуэт, что если группа Ж жеет согласованную тригонометрию на проективной плоскости, то теория индуцированного орграфа является не 3-тео-рией.

Основные результаты диссерта ш были изложены автороь. нг. ХХ1У Всесоюзной научной студенческой конференции в Новосибирском государственном университете (1986 г.), "а 8-й и 9-й Всесоюзных конференциях по математической логике (Москва, 1386 г. п Ленинград, 1988 г.)„ на Всесоюзном совещании по прикладной логике (Владивосток, 1983 г.), на Шздуиародной конференции по алгебре, освященной 80-летлю академика А.И.Мальцева ОЪвоси-бирск, 1989 г.), на Советско-Французском коллоквиуме по теории моделей (Караганда, 1990 г.), на семинарах Института математики СО АН СССР (1985 - 1990 г.).

Автор выражает глубокую благодарность Е.А.Пэлюткну за руководство, ценные замечания и внимание, проявленное к рабо.э.

Т ЛТЕРАТУРА

I Бслсгрсдок О.В. Теории моделей локально свободных алгебр // Тэ. математики /' Ali СССР. Сиб. отд-ние.- 1988. - Т.8:

Теория моделей и ее прамеж..»:з1. - С. 3-25.

î. За'.."; :о., Пахотин А., Старчечко С.С. Модели суперс*"а-бильг.кх новых теор:;.'; // Алгебра и логика. - К85. Т.24. -J3. - С. 27S-22S.

3. з::лог A.A. Проблема конечно": аксиоматизируемости для сильно мплпма-ььых теориД графов // Там ае. - 1982. - Т. 28. -п-3. - С...30-2Й7.

4. ÏÏ.A. Категоричные хорковы классы. I // Там не. -ЫЗЭ. - 7.IS . - :;5. - С. 532-514.

5. ïïaToi„ii i.A. Нормальное?* хорковых теорий с ноглаксикаль-КЫУ спэк-ро:.: // Та ке. - 1985. - Т.24. - .'.'5. - С. 551-587.

С. Bejvcto. И. on, coianibüte // Fu^. M«tk.-

•<974. - У. 81. - dl. - P. W-U9. 7. E.ftKoJ)., Pi/fo^A-, PoLxai &. Lt low, —

S. Htxie W., Mek&i Д. H-, K.W S^wMùi $**pU // Fuhâ. MrÜv. ШЗ.- P. 4Ï-Ï9.

S. LosJklùs*. A.H. Tvw) сол^ег+иги UJ-Atdin^. ih. iUSiiiiu. o| w-

iW ■ // I4U. - W. -V. SI- JT2. - £ ш-Ш. 10. LacXù),^ A. H. On. i-USù. sttucium vsLict <«4

клтлдиис«.! -foT- a. -fiKtii uiccUoi'MÎ // Iizaei 3. Maik.-

l№.'- V. U - ЛЧ-3.- P. 69-1S3.

ïl.P'tZby $ T'moxU^ UvîIL ■ik.Xli rftotiiA

cuui i^crOe-i ftiy^wce ргйог. «not&A /У Sjj-mioi. ¿o^.

iaso.- v: k?. - jfi. - p. 302-310.

12. A: mook£i of ¿iaê-к ihoxi&i /У ргоС. Л»чг. MoAk -/523.- V. ¿9. - //4. - P. 666-en.

13. Pitto.% A. l^euM^ погтлС ikioiiïi. - Щ1{.- (Pie[>HbA\ 14 A. S^Sù. -ttutnie*, pnudopiьмл wvd -ifJc тлткг

of co*vs.cJi)ti. t*.cdiL // Atvn. риге (W. Apf>£. ¿o§. - -

Y. - fT2.~ B. 141-460.

15. PUlony A. A »voie on oiae-êtLibl -tb.o-ic«^. -(Pte-

jitlnl).

Работы автора по теме диссертации

16. Судоплатов C.B. Условия нормальности элсмеьгарных теорий // Материалы XXI7 Всесо:-оз. науч. студ. койф. : Математика.-Новосибирск, 1986. - С. 60-64.

17. Судоплатов C.B. Об условиях нормальности полных теорий // 8-я Всесоюз. конф. по мат. логике, пссвящ. 35-летию акзд. П.С.Новикова, Москва, сент. 1986 г.: Тез. докл. -- M. „ 1986. -С. 191.

18. Судоплатов С,В. Мощные типы и свойство редуцированности // 9-я Всесоюз. конф. по мат. логике, тосвящ. 85-летию чл.-корр. А.А.Маркова, Ленинград, сент. 1983 г.: Тез. докл. - Ленинград, 1983. - С. 159.

19. Судоплатов C.B. Базируемость теорий без полуконтуров // Советско-Французский коллоквиум по теории моделей, "Чраганда, июнь, 1990 г.: Тез. докл. - Караганда, 1990. - С. 45.

20. Судоплатов C.B. Аппроксимация свойства проективности с бесконтурной ориентацией в стабкльннх теория?" // Там же. -С. 46-47.

21. Судоплатов C.B. О мощных типах в юлых теориях // Сиб. мат. журн. - 1990. - T.3I. - М. - С. II8-I28.

Сг^

V