Базисы квазитождеств конечных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

В*з : 9 %

российская академия наук

сибирское отделение институт математики

Специализированный совет Д 002.23.01

На правах рукописи

БЕСЦЕННЫЙ Игорь Павлович

УДК 512.57

БАЗИСЫ КВАЗИТОЖДЕСТВ КОНЕЧНЫХ АЛГЕБР

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

новосибирск 1992

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете имени Ленинского комсомола.

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук,

доцент В.А.Горбунов

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук;

профессор С.С.Гончаров,

кандидат физико-математических наук,

доцент В.П.Белкин.

Ведущее учреждение - Омский государственный университет

' г

Защита состоится "28" 1993 г. В часов на

заседании специализированного совета Д 002.23.01 в Институте математики СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск-90, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан "5" юя?, г.

Учвный секретарь

специализированного совета Д 002.23.01 /т/5 _

кандидат физико-математических наук В.Г.Скосырский

:; ■ л д

Диссертация посвящена вопросу существования конечного базиса квазитождеств конечных алгебр, т.е. алгебраических систем конечной функциональной сигнатуры.

В последнее время теория квазимногообразий привлекает особое внимание многих математиков из-за её широких и разнообразных связей с алгебраической логикой, теорией решйток и абстрактными типами данных (computer- science Важность вопроса, исследуемого в диссертации, как самого по себе, так и для теоретического программирования отмечает Р.Маккензи в обзоре [17]. Там он, в частности, говорит, что в группах и ассоциативных кольцах имеет место удивительный фахт: коночная группа (кольцо) имеет конечный Оазис квазитождеств тогда и только тогда, когда она порождает финитно аппроксимируемое многообразие. Во второй главе диссертации содержится объединение одной стороны этих результатов: найдены условия, при выполнении которых, конечная алгебра, содержащая нильпотентную неабелеву подалгебру, не имеет конечного оазиса квазиюждеетв.

Что конечная алгебра может не иметь конечного оазиса квазитождеств, известно давно. Один из наименьших примеров -три элемента и две унарные операции - построил В.А.Горбунов [2], причём эта алгебра не имеет даже независимого базиса квазитождеств. Он же доказал [3], что любая двухэлементная алгебра имеет конечный базис квазитождеств. Исследованию базисов квазитождеств конечных унарных алгебр посвящена третья глава диссертации.

Пигоцци [1в] показал, что конечная алгебра, порождающая относительно конгруанц-дистрибутивное квазимногообразие, имеет конечный базис квазитождеств. Но наиболее интересные результаты достигнуты в таких классических примерах конгруэнц-перестановочных многообразий, как группы и кольца. В [б] А.Ю.Ольшанский доказал, что конечная группа имеет конечный базис квазитождеств тогда и только тогда, когда все ей силов-ские подгруппы абелевы. В.П.Белкин в £1J получил аналогичный результат для ассоциативных колец: конечное ассоциативное ¡сольцо имеет конечный базис квазитождеств тогда и только

тогда, когда все его нипьггатентные подкольца имеют нулевое умножение. В.Дзёбпг. [11] обобщил этот результат на неассоциативные кольца, но только в одну сторону; если конечное (не обязательно ассоциативное) кольцо R содержит нильпотентное подкольцо с ненулевым умножением, то R не имеет конечного оазиса квазитозкдептР).

Естественно встаёт вопрос об объединении этих результатов. Та к как их формулировки могут быть записаны в терминах теории коммутаторов конгруонц-модулярных многообразий, то возникает следующая гипотеза (В. А. Горбу нов):

Ес.лп конечная алгебра G из конгруэнц-модуларного многообразия содержит нилыготентпую неабелеву подалгебру, то G не имеет конечного базиса квазитождеств.

Отметим, что обратное утверждение неверно, например, . в конфуэнц-дистрибутивных многообразиях, так как в них нилЬпо-тентна только тривиальная алгебра, а пример конечной решётки, не имеющей конечного базиса квазитождеств, .приведён в [1].

При попытке доказать эту гипотезу были получены интересные факты о нильпотентных алгебрах с идемпотентом, которые собраны в первой главе вместе с необходимыми сведениями из теории коммутаторов в конгруэнц-модулярных многообразиях.

5 [4] А.И.Мальцев ввёл понятие квазикольца, которое служит для обобщения понятий, групп и колец, т.е. группы и кольца являются квазикольцами. Один из основных результатов второй главы решает вопрос об объединении результатов [в] и СИ].

Теорем;) 5.5. Если, конечное квазикольцо G содержит нильпотентное кеабелево квазикольцо, тп G не итеет конечного базиса к^азитожйеств.

Все основные результаты диссертации являются новыми и имеют теоретическое значение. Они докладывались но 4-ой Школе молодых учёных Сибири и Дальнего Востока, на 19-ой Всесоюзно:") алгебраической конференции (ЛьвавЛУ37), на 11-ой Межреспубли-

канской конференции по математической логике (Казань, 1992), на заседаниях семинаров "Алгебраические системы" и "Алгебра и логика" при Институте математики СО РАН.

По теме диссертации опубликовано 4 работы.

Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Перейдём к более подробному изложении результатов.

Первая глава состоит из трёх параграфов и содержит сведения, необходимые для доказательства дальнейших результатов. Некоторые из них представляют самостоятельный интерес.

Для элемента а конечной модулярной решётки L через Р(а) обозначим пересечение всех элементов L, покрываемых а. Через S(at) обозначим решёточную сумму Есех элементов решётки L, покрывающих а.

Лемма 1.8. Если конечная алгебра А из конгруэнц-модулярного многообразия является несократимым подпражш произведением подпримо неразложимых алгебр ßt,i =i,...,n, то высота элемента 5(0^) б решетке Con/t равна п.

Теорема i.9. Пусть G - конечная алгебра иэ конгруэни,-

модулярного многообразия 'V и 5=21СГ +1. Если в алгебре D из У найдутся такие конгруэнции дг...,вя,р, что

1) [6t,e .]=0ß для всех i* j,

2) Л (ßV [в.,в.$ > р, t

то D/ß i Q(G).

Пусть И - конечная нильпотентная алгебра с идемпотентом. Будем говорить что Н имеет свойство "преобладания коммутатора''„ если для всех достаточно больших чисел k ь квазимногооб-

рази и У {И) существуют алгебры Гм и конгруэнции ун«СопГк,

такие что Ор «? Ир ,1р ] и длл любой не Солее чем Н к М

к-порожденной подалгебры А <; Гм выполнено А >=

Теорема 2.5. Пусть С - конечная алгебра из конгруэнц-модулярного многообразия с сигнатурным, идемпотентом е. Если в содержит нилыготентную неабелеву подалгебру И, имеющую свойство "преобладания коммутатора", то Щв) не имеет конечного базиса квазитождеств.

Лемма '¿.6. Пусть А - конечная нилыготентная алгебра с идемпотентом. Тогда любая подалгебра В алгебры А "субнормальна" , т.е. существует цепь подалгебр В = С1 < С2 < ... < Сп = А такая, что С1 является идеалом в С£+1. В частности все максимальные подалгебры алгебры А являются идеалами.

При детальном изучении конструкции, использованной в работах [в] и [1] выяснилось, что для её применения необходимы следующие условия на многообразие У, в котором лежат рассматриваемые алгебры':

1) у имеет" сигнатурный или эквационально определенный идемпотент,

2) Кольцо Р,(А), ассоциированное с абелевым подмногообразием л многообразия у, коммутативно.

Эти услопмт выполняются для многообразий групп, колец и луп. С другой стороны, истинность этих условий позволяет глубже понять строение нильпотентных алгебр, используя теорию идеалов (см.[13,19]) и обобщение понятия простой экспоненты.

В параграфе 3 пзрвой главы ■ содержатся результаты этого исследования в предположении истинности условий 1) и 2).

Подмногообразие л многообразия у будем называть многообразием простой экспоненты О, если О - единственная, простая алгебра в '». Например, нильпотънгное ' многообразие групп простой экспоненты р имеет единственную простую, алгебру "I .

Будем говорить, что алгебра А имеет простую экспоненту О, если любой неединичный элемент из А порождает подалгебру, изоморфную й.

Лемма 3.2. Совокупность алгебр простой экспоненты 0 из V замкнута относительно взятия, подалгебр, гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.

Пусть А - конечная алгебра из многообразия простой экспоненты О, и в - конгруэнция на А. Для а<в положим = <*[<0>- Обозначим через Ме множество Ш <в:<в>/а* имеет простую экспоненту 0}. Согласно лемме 3.2, множество Ид замкнуто относительно конечных пересечения и потому имеет наименьший элемент. Определим как наименьший элемент множества Мд. Очевидно, е°<0.

Лемма 3.3. Пусть А - конечная, алгебра из многообразия Ъ' простой экспоненты О и в е Сап А. Тогда

в°=СдА({<г(х,е),е> : х « <б>, г/[р,/з] * АппО}), где /з=Cg(u,u) б свободной алгебре Г =Гщ(и,у).

Теорема 3.5. Пусть алгебра А лежит в многообразии простой экспоненты 0. Тогда для любой конгруэнции, а «=- сопЛ верна формула

Р{а) = аР V[ot,1A].

Вторая глава содержит два основных результата, которые доказываются с помощью следующей теоремы. (В предположении истинности условий 1) и 2).)

Теорема 4.2. Пусть С - конечная алгебра, содержащая нильпотантную неаОелеву подалгебру Н такую, что:

а) многообразие VЩ) имеет простую экспоненту О,

б) для любых натуральных чисел а и Ь б Ч(Н) найдется алгебра Г, б которой число элементов коммутатора [1р,1р], порождающих минимальные идеалы, больше, чем а-

Тогда СКО не имеет конечного базиса квазитождеств.

Первый основной результат использует понятие Лоэва ранга.

Для I > 1 положим по индукции Р4+1(а) = Р(Рс(оО),

- 5(3£(о0). Лоэвым рангом конечной алгебры А будем называть наименьшее число л, такое что =

Следствие 4.3. Конечная алгебра в, содержащая такую нильпотонтную неабелеву подалгебру Н, что многообразие \(Н) имеет, простую экспоненту 0 и все конечные алгебры из VШ) имеют Лоэв ранг не больше двух, не имеет конечного базиса квазитождеств.

Дальнейшее продвижение в доказательстве гипотезы при выполнении условий 1) й 2) нам видится в возможности удаления посылки б) теоремы 4.2, как вытекающей из остальных посылок. Следствие 4.3 говорит о том, что это возможно при Лоэвом ранге Я. Мы надеемся, что индукцией по Лоэьу рангу можно доказать теорему 4.2 без посылки б), хотя и видим на этом пути значительные технические трудности. Что касается посылки а), то она кажется существенной по следующим соображениям. До сих пор не удалось убрать аналогичное ограничение из результата Вохан-Ли, Фриза и Маккеизи о конечном базисе тождеств для конечной нильпотентной алгебры; она должна быть прямым произведением алгебр, мощность которых есть степень простого числа. А лупа, приведённая в конце статьи [20], даёт пример нильпотентной геабелевой прямо неразложимой алгебры, порождающей многообразие с двумя простыми алгебрами.

Многообразие V сигнатуры <0,+,-,•> типа <0,2Д,2> называется многообразием квазиколец, если существуют такие многочлены О^г,у), 0г(1,у,г), 03(х,у,2), каждый одночлен которых

содержит все участвующие переменные, что в V истинны тождества:

0-1 =1-0 = 0, •

0 + 1 = х + 0-1,

1 + (-1) = (-Х) + Х=0,

Х + (у+ 2) = (1 +у) + 2,

1 + у=у+ 1 + 0,(1,у),

Х'(у + 2) = Х-у + 1*2 + 0г(1,у,2),

(х + у)-г=г-г + у-г + 03(х,у,г).

Представляя 0 в виде ху-ху или хуг-хуг, получаем, что обычные кольца являются квазикольцами с 01=02 = 03=0. Называя основную операцию произвольной группы сложением и вводя новую операцию умножения посредством формулы ху=-х-у + т + у, превращаем группу в квазикольцо с

01(х,у) = ху,

02(1,у,2) = (12)(ху) + (ху)2,

й3(х,у,г) (Х2)у + ((Х2)у)(уг).

Вторым основным результатом является

Теорема 5.5. Если конечное квазикольцо б содержит нильпо-тентное неабелево квазикольцо, то Б не имеет конечного базиса квазитождеств.

I

Третья глава посвящена конечным унарным алгебрам. Для них найдены одно необходимое и два достаточных условия конечной базируемое™. Первое достаточное условие имеет место также -для алгебр со свойством продолжимости конгруэнций (СПК).

Теорема 6.5. Пужь А - конечная алгебра и У(/1) обладает СПК. Если множество неединичных подпрято <Х(А)-неразложимых подалгебр алгебры А замкнуто относительно взятия существенных расширений, то (1(Л) имеет конечный базис квазитождеств в У (А).

Другое достаточное условие формулируется в терминах строения полугруппы термальных операций (трансляций) унарной алгебры.

Теорема 7.3. Пусть Л - конечная унарная алгебра. Если найдётся таков разбиение основного множества алгебры А на два непересекающихся подмножества и;Аг, что для любой необратимой трансляции f из Т(А) сужения и являются

постоянными отображениями, а для любой обратимой трансляции • g с Т{А) выполнено gM4) = Ai и gO42)«=/i2. то алгебра А имеет конечный базис квазитождеств.

Теорема 6.1J Пусть А - конечная унарная алгебра, |Л| >3. . Если в А существуют такие элементы а0*а1, Ь0*Ь{, с0 что операции

ао а1 2 [ао ai 2 ао а1 г ао а1 2

»1 Ь0 Ь0 Ь1 С1 со со с° ci

(где г - произвольный элемент А, отличный от а0 и ах) являются термальными, то А не имеет конечного базиса квазитождеств.

Если Ь0 = с0 и Ь^Су то достаточно, чтобы термальными были только первая и четвёртая операции.

Для трёхэлементных унарных алгебр выполнение необходимого . условия влечёт выполнение одного из достаточных, что даёт ключ к доказательству следующей теоремы.

Теорема 9.2. Трёхэлементная унарная алгебра конечной сигнатуры имеет конечный базис квазитождеств тогда и только тогда, когда алгебры V, I., Ь (рис.1) не являются ев производными.

ч

Р

Рис.1.

Автор выражает глубокую благодарность В.А.Горбунову и А.Д.Больботу за внимание к работе и всестороннюю поддержку.

ЛИТЕРАТУРА

1. Белкин В.П. Квазитошдеотва конечных колеи, и решёток// Алгебра И Логика.-1975.-Т. 1?, №3.-С .247-259.

2. Горбунов В.А. Покрытия 6 решётках квазимногообразий и независимая, аксиоматизируемость//Алгебра и логика.- 1977.Т. 10, №5. -С. 607-546.

3. Горбунов В.А. Квазитождества двухэлементных алгебр// Алгебра и л огика. -1983. -Т. 22, №2. -С. 121 -127.

4. Мальцеь А.И. 00 одном классе алгебраических систем// Успехи мат. наук.-1953.-Т.в,№1.-С. 165-171.

5. Мальцев А.И. К общей теории алгебраических систем// Мат. сб.-1954.-Т.35,№1.-С.3-20.

6. Мальцев А.И. 0 некоторых пограничных вопросах алгебры и математической логит//Труды международного конгресса математиков .Москва,1966,-М.: Мир,1968.-С .217-231.

7. Мальцеь А.И. Алгебраические системы.-М..-Наука, 1970.

8. Ольшанский А.Ю. Условные тождества 6 конечных группах// Сиб.Мат.Журн.-1974.-Т.15,№6.-0.1409-1413.

9. Birkhoff G. On the structure of abstract algebras// Proc. Camb. Philos. Soc.-1935.-Vol.31.-P.433-454.

10. Burris S.,Sankappanavar H.P. A course in universal algebra.-Springer Verlag,1981.

11. Dziobiak W. Three questions on finitely based guasimr£e*£es.-Torun,i990.-(Preprlrit).

12. Gumm H.P. Geometrical methods in congruence modular algebras// Memoirs of the Amer. Math. Soc.-1983.-Vol.286.

13.'Gumni H.P.,Ursini A. Ideals in univarsal algebras// Algebra Universalis. -1984. - Vol. 19, №1 .-P. 45-54.

14. Freese R.,McKenzie R. Commutator theory for congruence modular varieties.- Cambridge Univ. Press, 1987.

' 15. Kiss E.W.,Marki I...Profile P.,Tholen ,W. Categorical algebraic properties// Studia Sci. Math. Hungarica.-1983.-Voi: 18 .-P. 79-141.

16. McKenzíe R. Nilpotent and solvable radicals in locally finite congruence modular varieties// Algebra Universalis.- 1987. - Vol. 24, №3. -P.251-266.

17. McKenzíe R. Some interactions between group theory and the general theory of algebras// Springer Verlag, 1990.-. (Lecture Notes in Mathematics, 1456).

18. Pigozzi D. Finite basis theorems for relatively congruence-distributive quasivarieties//trans. Amer. Math .Soc. -1988.-Vol.310,№2.-P.499-533. . '

19. Ursini A. Prime ideals in universal algebras// Acta Univ. Carolina.-1984.-Vol.25,№l.-P.75-87.

20. Vaughan-Lee M.R. Nilpotence in permutable varieties// Springer-Verlag, 1983.-(Lecture Notes in Mathematics, 1004).-P.293-308.

Статьи автора по теме диссертации

21. Бесценный И.П. Квазитоядества конечных унарных алгебр// Алгебра и Логика.-1989.-Т.28,№5.-С.493-512.

22. Бесценный И.П. Квазитотдества конечных нильпотешных■ • алгебр/ Ред. Сиб.мат.журн.-Новосибирск,1992.- Деп; в ВИНИТИ . 11.0б.92,й2609-В92.

23. Бесценный И.П. Квазитоядества конечных унарных алгебр//, 19-я Всесоюзная алгебраическая конференция, Львоь, сентябрь 1987г..* Тез. сообщений.- Львов,1987.

. 24. Бесценный И.П. О квазитоядествах конечных квазиколец// Тез. 11-й. межреспубликанской конференции • по математической логике, Казань, 19Й2г.