Бифуркации в цепочке вихрей Тейлора тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ ЖДДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ТЕПЛОФИЗИКИ

На правах рукописи УДК 532.517.3

ЧЕРНЫХ АЛЕКСАНДР ИВАНОВИЧ

БИФУРКАЦИИ В ЦЕПОЧКЕ ЕЮТЕЯ ТЕЙЛОРА Специальность 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1992

I

I ..

>

Работа выполнялась в Институте автоматики и влектрвыетрии

СО РАН

Официальные оппоненты: Гельыуханов Ф.Х.

Яворский Н.И.

доктор физико-математических наук ([Институт автоматики и электрометрии СО РАН, г.Новосибирск)

доктор физико-математических наук ТИнститут теплофизики СО РАН, г.Новосибирск)

Ведущая организация - Институт прикладной физики РАН,

г. Нижний Новгород

Защита состоится " '"¿Мс^уъг^л 199-5 г. з " '"часов на заседании специализировашюго совета Д 002.65.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук в Институте

теплофизики СО Р1Н.

Адрес: 630090, г„Новосибирск, проспект Академика Лаврентьева, I.

С диссертацией могио ознакомиться в библиотеке ИТФ СО РАН. Автореферат разослан

" " Ми&^Л ШЗу .

Ученый секретарь совета доктор физ.-иат. наук

Р.Г.Шарафутдинов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Развитие теории ламинарно-турбулентно-го перехода в последние два десятилетия тесно связано с предположением о том, что появление случайности в движении жидкости, с ростом числа Рейнольдса, на начальной стадии этого процесса, ыожет быть интерпретировано как возникновение слоаной динамики в некоторой конечномерной системе с изменением ее параметров.

Долгое время представления о развитии турбулентности ограничивались гипотезой Ландау, который предположил, что сплошной турбулентный спектр появляется в результате бесконечного числа бифуркаций Андронова-Хопфа, приводящих к возбугдетго все новых степеней свободы. Вместе с тем в математической теории динамических систем были найдены примеры еовееы простых конечномер — ных моделей, демонстрирующих поведение стохастическое в стро -гоы смысле.

Экспериментальные исследования колебаний на стадии нх возникновения в конвекции Бенара-Рэяея и в цилиндрическом течении Куэтта-Тейлора показали, что эволюция спектров мощности с ростом надкрктичности скорее подтверждает применимость конечномерных моделей, чем справедливость гипотезы Ландау. При этом было просто констатировано подобие поведения спектров колебаний реальных течений я того поведения спектров, которое ожидалось в изученном Рюэлем и Такенсом фазовом потоке на четырехмерном торе.

Это сделало актуальной задачу построения реалистических ..моделей ламинарно-турбулентного перехода в конкретных течениях. Обычный способ конечномерного описания течений зядхости состоит в обрезании рядов Галеркина, в виде которых ищется решение. Принципиально иной - феноменологический - способ был предложен в работе [Ю] . Анализ экспериментальных данных показал, что колебания в цепочке вихрей Тейлора, наблюдавшихся при некото -рых геометрических параметрах зазора меяду цилиндрами, запол -ненного жидкостью, можно моделировать цепочкой обыкновенных . дифференциальных уравнений, б которой переменными являются амплитуды колебаний в отдельно взятой паре вихрей. Сформулированная в работе [10] система уравнений оказалась дискретным аналогом уравнения Гинзбурга-Ландау.

В связи с применением конечномерных представлений при описания ламинярно-турбулентного перехода, были развиты методы -определения размерностей аттракторов реальных течений непосредственно по результатам экспериментов. Естественно потребовать, чтобы число уравнений, использованных для моделирования ламинар-но-,зурбулентного перехода в конкретном эксперименте существенно превосходило размерность аттрактора реального течения.

Цель диссертации состояла в детальном исследовании свойетв дискретного аналога уравнения Гинзбурга-Ландау, выяснении ограничений на параметры системы уравнений, при которых возможно сложное поведение решений, подобное поведение реального конкретного течения Куэтта-Тейлора и в развитии методов определения числа переменных, необходимых для однозначного определения динамического состояния этого течения.

Научная новизна. В работе изучена симметрия цепочки уравнений конечной длины. По результатам численных экспериментов с учетом симметрии построена диаграмма бифуркаций, демонстрирующая сложное поведение системы. Для цепочки бесконечной длины найдены точные условия на значения параметров, при которых возможны сложные стохастические решения система уравнений. Предложена целочисленная характеристика - размерность вдокения - и эффективный способ её определения по результатам измерений.Проанализированы ограничения на минимальную длину временных рядов измеряемых величин, необходимую для достоверного определения фрактальных и целочисленных размерностей.

Научная ценность. Показано, что поведение решений простой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой течение жидкости в области ламинарно-турбулентного перехода описывается как динамика ансамбля слабо взаимодействующих пар вихрей Тейлора, не только находится в качественном согласии с поведением реального течения, но и позволяет предсказывать некоторые его свойства. Это показывает эффективность феноменологического подхода. Как показало дальнейшее развитие, сама система уравнений является довольно универсальной моделью теории ансамблей взаимодействующих структур.

Предложенный алгоритм определения числа переменных, достаточного для однозначного описания сплошной среды, универсален н

может применяться при исследовании динамики сплошной среда в неравновесных условиях в гидродинамике, химии, биологии, физике лазеров, физике магнитных осцилляций и т.д.

Автор выносит на защиту. I. Изучение глобального притяжения и симметрии решений в цепочке уравнений, использованных для моделирования колебаний в цилиндрическом течении Куэтта -Тейлора.

2. Результаты численного эксперимента по построению диаграммы бифуркаций для цепочки из пятнадцати уравнений.

3. Результаты по определении области значений параметров, входящих в уравнения, при которых в бесконечной цепочке возможны сложные режимы движения.

4. Алгоритм измерения размерности влояения.

5. Оценку длины экспериментальной реализации, необходимой для измерения фрактальных размерностей.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Шестом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986 г.), Втором ILL ТАН симпозиуме по лаыинарно -турбулентному переходу (Новосибирск, 1984 г.), на Международных рабочих группах по нелинейным и турбулентным процессам в физике (Киев, 1983 г., 198Э г.), на Всесоюзных школах по нелинейным волнам (Горький, 1982 г., 1985 г.), на Всесоюзных шко -лах по стохастическим явлениям (Саратов, 1985 г., 1962 г.).

По материалам диссертации опубликовано 9 печатных работ. .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Содержит 23 рисунка, одну таблицу, а также список литературы из 56 наименований. Всего 102 страни- ' цы.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы задачи исследования, кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе изучается цепочка уравнений конечной длины.

В § I описаны эксперименты на основании которых сформулирована конечномерен модель. В работе [ю] было обнаружено, что в круговом течении Куэтта-Тейлора при длине цилиндров = = 305 мм, диаметре внутреннего вращающегося цилиндра 35

мм и диаметре внешнего покоящегося цилиндра da = 55 мм, с рос- 5 -

том числа Рейнольдса в потоке вначале рождаются строго'периодические колебания, соответстзущие возникновению шести изгибов на окружности вихря Тейлора. Следующая бифуркация состоит в слабом упшрении пиков в спектре мощности колебаний, чему соответствует медленная модуляция колебаний. Причем характер модуляции быстро меняется с увеличением числа Рейнольдса. В результате детального исследования модуляции было предположено, что возникновение колебаний определяется структурой отдельной пары вихрей, а ыедленная модуляция колебаний - коллективный эффект, обусловленный слабым взаимодействием колебаний в соседних парах вихрей. Формализуя эти предположения, авторы работы С10} предложили описывать модуляцию колебаний системой уравнений: >

гОие-^ШЧАи* ^(Аи^Ак+А,-,), (I)

Здесь А ^ - комплексная амплитуда колебаний в паре номер п_ , - число пар вихрей,

- феноменологические коэффициента, которые должны определяться из эксперимента и на которые при формулировании модели не накладывается никаких ограничений,

- коэффициент, пропорциональный превышению числа Рейнольдса над критическим значением , при котором возникают периодические колебания. Система уравнений (I) является дискретным аналогом уравнения Гинзбурга-Ландау, в которое она переходит в длинноволновом пределе, когда разностное отношение можно заменить на вторую производную по непрерывной координате.

В § 2 иеследована устойчивость стационарного решения Ац-0 . Показано, что решения линеаризованных вблизи точки Ац=0 уравнений (I) имеют вид:

где

И

к m_ v J \/ AJ , -1

2 '

Vn r\.'jL

(2)

С ростом Г число неустойчивых собственных векторов при О < Г< 1 меняется от нуля до /ч1 . При малых Г неустойчивы только несколько первых собственных векторов. Полный набор векторов (2) образует удобный базис для представления численных решений.

В § 3 изучено сгатие фазового объема в пространстве системы (I). Показано, что

Правая часть неравенства дает квадрат радиуса шара в фазовом пространстве, снимающегося в себя фазовым потоком. Аттракторы системы находятся в этом шаре. Естественно поэтому при численном моделировании выбирать начальные условия также в нем.

В § 4 изучена симметрия системы уравнений (I). Однопара-метрическая группа стшетрии, связанная с инвариантностью системы (I) относительно измерения аргументов всех амплитуд АГ1_ на постоянную одинаковую величину ^ , позволяет понизить порядок системы на единицу. Второй вид симметрии связан с инвариантностью системы уравнений относительно изменения порядка нумерации амплитуд на противоположный: п. <==» М + 1 - п. . Эта инвариантность модели связана с тем, что геометрия потока Куэтта-Тейлора зеркально симметрична относительно отражения в плоскости, перпендикулярной оси цилиндров и делящей их попо -лам. Симметрия геометрии порождает один из следующих возможных вариантов симметрии решения:

I) решение всегда сохраняет зеркальную симметрии; I) решение всегда остается зеркально антисимметричным. 5сли решение не попадает по своей симметрии в классы 1,2, то эго зеркальное отражение оказывается другим решением системы. 1ри этом эти два разных решения могут притягиваться 3) к одному аттрактору, переходящему в себя при зеркальном отражении, или

П к разным аттракторам, переходящим друг в друга при зеркальном отражении. Симметрия позволяет классифицировать числение решения и представлять результаты в удобной форме.

d-fc

i- X 1АЧ\4 <0

при

В § 5 обсуг^дается методика численного эксперимента. Численный эксперимент состоял в вычислении фазовых траекторий для М =15, поскольку в реальном эксперименте течение содержало 15 пар вихрей. Приводятся основания для выбора Э = 10. Далее фазовые траектории вычислялись для большого числа вариантов-; различающихся значениями В и Г. Основная проблема состояла б наглядном представления тридцати зависимостей от времени реальных и мнимых частей А^- Оказалось, Что наиболее эффективно проектировать фазовую траекторию не базис коллективных возбуждений (2), а затеи выводить на экран дисплея амплитуды проекций на самые младшие сармоники. Связано это с тем, что при ыалых кадкритичкостях (Г<< 1 ) велики проекции только на младшие гармоники. Обсуждается также влияние дискретизации и по времени динамической неустойчивости траекторий на точность вычислений.

В § б построена диаграмма бифуркаций для (э = 10,0 <£><10, 0<.Г<0.2 » отражающая разнообразие перестроек, происходя -псих в систеые, сложность предельных реумов и влияние симметрии на них. Предъявлено большое количество рисунков, отралсаю-цих разнообразие поведения системы в разных частях плоскости параметров (В,Г). Найдены все виды простого поведения: устойчивые стационарные точки, предельные циклы ит торы различной симметрии, а такге режкиы движения, которые визуально ведут себя стохастически, и на этои основании интерпретированы как странные аттракторы.

В § 7 обсуждается соответствие поведения модели и экспериментальных наблюдений. Найдено, что последовательность перестроек с ростом Г в модели при В = 1,25 подобна последова -тельности перестроек в реальном течении с росТои числа Ре. В работе [II] экспериментально наблюдены рекшы, ннтерпретиро -ванные как тош в фазовом пространстве реального течения. В фазовом пространстве модели также су^ествуат торы в некоторой области значений параметров (В,Г). При самых малых Г в модели существуют устойчивые стационарные решения с симметричным относительно середины распределением амплитуды колебаний вдоль цепочки вихрей Тейлора, имеющим иакснуум точно в середине цепочки. С ростом Г сяшетричнае распределение становится неус-

тойчивда, з ззз него роздэзгсл дза уетой*члгы:с состояния с :гак-кауиама распределения гншггсуд ".олебанмй. с:>'£щекЙ12П относительно сзрздпка з одну иля другуз сторону. В работе [12"] наблюдался охсэк? кнтерпретарованкай :сат; спонтанное нарушение зеркальной симметрии течения, приводящее к случайному см.еще -нив цахсимума з распределении ангсакуда колебаний вдоль ци-лчкдроз пр:т прохозщенкн некоторого критического значения числа Рэйяольдса»

3 глазе 2 изучается устойчивость стационарных решений вида бегущей гар-гоничеохой волш з бесконечной цепочке урзв -некий (I). 3 цепочке бесконечной длины отсутствуют усложнения, связанные с необходимостью учета граничных условий. Это поз -золяет аналитически исследовать решения при произвольных параметрах б ,В. Естественно одидать, что устойчивость решений в конечной цепочке при достаточно больной её длине связана с устойчивостью решений в бесконечной цепочке.

3 § 8 обсуцаается постановка задачи. В § 9 показано.что з бесконечной цепочке существую? стационарные решения вида:

К & 'г ,

где и

л * ге - (е+в)-*^1

■ л получено условие их устойчивости относительно возмущения с другш воляовшг вектором. Эта задача аналогична задаче Эсхауеа, который рассмотрел устойчивость стационарных решений вида гар-понической волны в уравнении Гинзбурга-Яандау (ГЛ) с действительными коэффициентами.

В 5 10 показано, что при условии (1-©&)>0 с ростом Г становятся УСТОЙЧИВЫМИ ЗОЛНН С ЯЗйбЫМ <у , которого ,

При Ц-9о)<0 все ранения с >0 неустойчивы. В отличил от уравнения ГЛ с гапыетсени'ля коэффициента?-^:, для которого в случае () < 0 становятся неустоЯчпвнып все решения,

в днсярэтной цепочке лрк (!-?>& )<0 становятся устойчивыми

_ ч _

решения с ^ . Получены ограничения на функцию Г= ГЧ (^ , 6 ,В> ), задающую нейтральную кривую Г = ( ^ , 0 , В ) при фиксированных 6 , В.

В § II найдены точные условия, при которых решение в первую очередь теряет устойчивость относительно возмущения, волновое число которого совпадает с волновым числом самого решения. В этом случае выражение для (, б , В ) выписано ябно.

В § 12 изучена зависимость отС^.О^ . При на кривой Г-Г^С^&.'Ь') имеется один минимум при - О , в котором 0. При (!-©&) <0 нейтральная кривая симметрична относительно точки , в самой точке С^ всегда Гд,= 2, и в ней может быть как локальный минимум функции Г- Г^ЦДй) , так и локальный максимум. Локальный максимум имеется при усдо-вии , .

2 2

Г <

где

и

е2

В последнем случае Г в двух симметричных относительно Ц, - £ . минимумах £\мы имеет значение Г^ - Г* » лежащее в

интервале 4 < ГпЦи 2 • Таким образом, устойчивые стационарные решения отсутствуют при 4,-бЬ <0 и 0<Г< ("¡^ <2 Естественно ожидать, что и в случае цепочки конечной длины сложные режимы движения возможны при близких ограничениях.

В главе 3 вычисляются размерности по экспериментальным данным, полученным измерениями в цилиндрическом течении Кузтта-Тейлора. В § 14 предложен алгоритм вычисления размерности .вложения - целочисленной характеристики, равной числу величин, одновременное знание которых достаточно для однозначного определения состояния и динамики системы. Предложен простой критерий, позволяющий фиксировать наличие функциональной зависимости между измеряемыми величинами и, тем самым, определять размерность вложения. Размерность вложения характеризует структуру аттрактора в целом в отличии от скейлинговых размерностей, которые характеризуют его локальную масштабно-инвариантную структуру.

В § 15 обсуждаются ограничения снизу на длину экспери -ментально наблюдаемых временных рядов, необходимую для дос -товерной оценки скейлинговых размерностей. Показано, что длина временного ряда М ыояет быть оценена формулой

где И - размеры области в фазовом пространстве, занятой аттрактором, £ - размер', на котором возникает масштабно-инвариантная структура, - размерность аттрактора. Показано, что измерение размерности вложения требует гораздо меньшей длины временных рядов.

В § 16 описаны экспериментальные условия, для которых вычислялись размерности, характеризующие динамику медленной огибающей сигнала на частоте ^^ .

В § 17 приведены результаты измерения размерностей. В изученном диапазоне чисел Рейнольдса оказалось, что размер -ность вложения всегда меньше или равна семи. Отметим, что размерность вложения для реального течения оказалась всегда меньше числа уравнений (равного пятнадцати), использованных для моделирования течения в главе I. Обсуждаются также результаты измерения скейлинговой размерности по сетям. Уже для простейшего решения, который визуально имеет харахтер простого предельного цикла и, следовательно, по определению размерности • по сетям, её значение долшо быть близким к единице, получить это значение можно только при таном выборе фазовых координат, что предельный цикл имеет вид близкий к окружности. Таким образом, для измерения скейлинговых размерностей требуются длинные временные ряды в тщательный выбор фазовых координат. Размерность вловения - более грубая характеристика, для измерения которой требуется намного меньше данных.

Основные результаты диссертации.

I. С целью моделирования возникновения колебаний в системе взаимодействующих пар вихрей Тейлора изучена цепочка обык -новенных дифференциальных уравнений, являпцихся дискретным аналогом уравнения Гинзбурга-Ландау. В цепочке конечной длины

возможные предельные режимы классифицированы по характеру симметрии решения. Эта классификация эффективно использована при интерпретации результатов численных экспериментов.

2. В ограниченной области значений параметров модели на основе численных экспериментов построена диаграмма бифуркаций, демонстрирующая слоеное поведение модели. Обнаружено качественное подобие поведения решений модели и колебаний в реальном течении Куэтта-Тейлора, исследованных в узком диапазоне чисел Рейнольдса.

3. В цепочке бесконечной длины найдены точные ограничения на параметры модели, при выполнении которых возможны сложные режимы движения. Ыожно предполагать, что в конечной, но достаточно длинной цепочке, стохастические режимы возможны при близких ограничениях.

4. Предложен простой критерий определения по эксперимен -тальным данным размерности вложения - числа независимых вели -чин, достаточного для однознвчного описания динамики системы. Показано, что размерность вложения реального течения меньше семи, что меньше пятнадцати - числа уравнений, использованных для моделирования течения.

5. Найдены ограничения на количество экспериментальных данных, необходимое для оценки фрактальной размерности. Показано, что оно растет экспоненциально с размерностью.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Львов B.C., Предтеченский A.A., Черных А.И. Бифуркации и хаос в системе вихрей Тейлора: натурный и численный эксперимент // Ют, 1981, т. 80, с. I099-II2I.

2. Lvov V.S., Predtecheneky A.A., Chemylch A.I. Bifurcations and chaos- in the system of Taylor vortices - Laboratory and numerical experiment // Nonlinear dynamics and turbulence / Ed. Barenblatt G.I., loos G., Joseph D.D. - Boston e.a.: Pitman, 1983, D.238-28Q.

3. Черных А.И. Численное моделирование цепочки вихрей Тейлора - Новосибирск, 1981 - 20-с. (Препринт ИАиЭ * 147).

4. Lukaachuk S.U., Lvov V.S., Predtecheneky A.A., Chernykh A.I. On the effective phase space of circular Couette flow and

the structure of its attraotor // Proo. 2-r.d Intern. Workshop on Nonlinear and turbulent Processes in Physics^- New-York: Gordon and Breach, 1984, p.1455.

5. Lukaschuk S.N., Lvov V.S., Predtechensky A.A., Chernykh A.I. First bifurcations in circular Couette flow: laboratory and numerical experiment // Laminar - turbulent transition IUTAM Symp. - Berlin: Springer-Verlag, 1985, p.653-658.

6. Черных А.И. Устойчивость гармонических волн в бесконечной цепочке взаимодействующих генераторов - Новосибирск, 1992 - 22 с. (Препринт ИАиЭ № 475).

7. Лукащук С.Н., Предтеченский A.A., Фалькович Г.Е., Черных А.И. О вычислении размерностей по экспериментальным' данным - Новосибирск, 1985 - 20 с. (Препринт ИАиЭ ff 280).

8. Забияка Д.Н. Лукащук G.H., Предтеченский A.A., Скок A.A., Фалькович Г.Е., Черных А.И. // Шестой Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. -Ташкент, 1986, с. 282.

9. Лукащук С.Н., Фалькович Г.Е., Черных А.Й. 0 вычислении размерностей аттракторов по экспериментальным данным // П1®, 19®, J? I, с. 99-104.

Литература, цитированная в автореферате:

10. Львов B.C., Предтеченсяий A.A. Поэтапный переход к турбулентности в течении Куэтта // Нелинейные волны. Стохаетич-ность и турбулентность. Горький, ИПФ АН СССР, 1980, с. 57. .

11. Лукащук С.Н., Предтеченский A.A. Наблюдение резонансных торов в фазовом пространстве течения Куэтта // ДАН СССР, 1984, т. 274, № 6, с. 1317.

12. Лукащук С.Н. Пространственно-временные структуры в течении Куэтта при ламинарно-турбулентном переходе; Кандидатская диссертация, Новосибирск, 1991.

Подписано к печати-16 ноября 1992. г.

Формат 60x84/16. Уч.-изд.лЛ. Тирак 90 экз. Заказ № 710

Отпечатано в Институте теплофизики СО РАН 630090, Новосибирск, пр.Акад.Лаврентьева, I