Бирациональные свойства многообразий модулей полустабильных пучков ранга два на проективной плоскости

Сорокина, Мария Евгеньевна

Бирациональные свойства многообразий модулей полустабильных пучков ранга два на проективной плоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Сорокина, Мария Евгеньевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Ярославль МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Бирациональные свойства многообразий модулей полустабильных пучков ранга два на проективной плоскости»

Автореферат диссертации на тему "Бирациональные свойства многообразий модулей полустабильных пучков ранга два на проективной плоскости"

На правах рукописи

Сорокина Мария Евгеньевна

БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА МНОГООБРАЗИЙ МОДУЛЕЙ ПОЛУСТАБИЛЬНЫХ ПУЧКОВ РАНГА ДВА НА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ

01.01.Об - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль - 2006

Работа выполнена на кафедре алгебры Ярославского государственного педагогического университета им. К.Д.Ушинского

Научный руководитель -

Официальные оппоненты:

Ведущая организация -

доктор физико-математических наук, профессор

Тихомиров Александр Сергеевич

доктор физико-математических наук, доцент

Кулешов Сергей Алексеевич

доктор физико-математических

наук, профессор

Краснов Вячеслав Алексеевич

Владимирский государственный университет

Защита состоится " " И^ОЛ^рЛ- 2006 года в ^ часов

на заседании диссертационного совета Д 212.002.03 при Ярославском государственном университете им. П.Г.Демидова по адресу: 150008, г. Ярославль, ул. Союзная, 144.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета им. П.Г.Демидова.

Автореферат разослан " 0 " 01& 2006 г.

Ученый секретарь ___

диссертационного совета Яблокова С.И.

Общая характеристика работы

О 'У

бирациональной перестройки Hilb 5 —► Hilb S как композиции двух раздутий и одного стягивания с гладкими центрами. Случай пучков ранга 2 в алгебраической геометрии до настоящего времени оставался открытым, а параллельные результаты в калибровочной теории были впервые получены в диссертации А.Кинга [3] для ранга 3 и выше для инстантопов со вторым классом Чжэня С2 = 1. А.Кинг рассматривает случай некомпактной поверхности, а именно, S = С2 и, соответственно, S есть плоскость С2 с раздутой точкой, и доказывает гипотезу П.Кронхеймера о том, что при г > 2 многообразие модулей 5?/(г)-инстантонов с зарядом п = 1 на раздутой плоскости С2, пополненное по К.Уленбек (теоретико-калибровочной эквивалент многообразия М (0,1) для пучков ранга г > 2 при п = 1), получается из многообразия модулей инстантонов на С2 раздутием вдоль подмногообразия идеальных инстантонов с особенностью в центре раздутия.

А.С.Тихомиров в 2002 г. сформулировал гипотезу о том, что в случае, когда S = Р2, для малых значений п второго класса Чжэня и надлежащим образом выбранной поляризации Н на плоскости с раздутой точкой S = Fi многообразие 0,п) модулей Н-полустабильных когерентных пучков ранга 2 с классами Чжэня ci = 0, С2 = п на поверхности Fi есть многообразие Мр2 (0, п) модулей полустабильных когерентных пучков ранга 2 с классами Чжэня с\ = 0, С2 = п на проективной плоскости Р2, раздутое вдоль подмногообразия пучков, не локально свободных в центре раздутия Fx . —> Р2 - точке хо. Целью настоящей диссертации является доказательство гипотезы А.С.Тихомирова в случае сг = 2, а также в случае сг = 3 для открытого подмножества Мо многообразия Мрг(0,3), полученного удалением из Л/рг (0,3) точек, соответствующих классам изоморфизма пучков Е, имеющих особенность длины 1Хо(Е**/Е) > 2 в точке яо или имеющих

особенность в aro, но с 1{EVV /Е) = 3.

Методы работы и научная новизна. При исследовании применяется конструкция многообразий модулей полустабильных (по Гизекеру) пучков Е ранга 2 на проективной плоскости, в которой многообразие М^с^сг) реализуется как хороший фактор по действию группы SL{n), п = С2, в смысле геометрической теории инвариантов на подходящем открытом подмножестве G произведения грассмановых многообразий Gr(n + С\, Згг) х Gr{n — с\ — 2, Зга); при этом пучок Е задается как когомологический пучок комплекса Кронеккера (см. [4], [5]). В работе также используется техника универсальных семейств над подходящей базой, классы ^-эквивалентности которых представлены точками многообразия модулей. Существование таких семейств, а также наличие универсального комплекса Кронеккера, когомологическим пучком которого и является универсальное семейство пучков над G х Р2, позволяет провести необходимые вычисления и построить универсальное семейство пучков на поверхности Хирцебруха Fi с требуемыми классами Чжэня. Важное место в исследовании занимает техника перестроек Маруямы, которая используется для построения универсального семейства на Fi.

Все полученные в работе результаты являются новыми.

Практическая и теоретическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении геометрических свойств многообразий модулей полустабильных когерентных пучков без кручения ранга 2 на алгебраических поверхностях.

на научных конференциях "Чтения У шинского" (Ярославль, 2004 - 2006 гг.), на Международной научной конференции "Колмогоровские чтения - IV"(Ярославль, 2006 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в статьях [11], [12].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. В первой главе имеется 3 параграфа, во второй - 6 параграфов и в третьей - 4 параграфа. Список литературы содержит 20 наименований. Общий объем диссертации - 76 страниц.

Содержание диссертации

Во ВВЕДЕНИИ формулируются задачи, решаемые в диссертации, и дается обзор используемых методов и основных результатов диссертации.

ГЛАВА 1 содержит необходимые понятия и обозначения, а также сведения о многообразиях модулей, используемые в диссертации. В параграфе 1 дается обзор результатов о поведении многообразий модулей полустабильных пучков на алгебраической поверхности при ее бирациональной перестройке, полученных в работах А.С.Тихомирова [7], А.Кинга [3]. В параграфе 2 приводится конструкция многообразия модулей с точки зрения геометрической теории инвариантов ([1], [4], [5], [6]); данная конструкция служит основой построений настоящей работы. Также параграф 2 содержит геометрическое описание многообразия модулей Мр-г (0,2) полустабильных пучков ранга 2 с с\ = 0, С2 = 2 на Р2 (см. [8], [9]). Параграф 3 посвящен описанию метода Эллингсруда-Геттше [2] исследования перестроек многообразий модулей полустабильных пучков ранга 2 при изменении поляризации, а также приведены сведения о поведении многообразий модулей при изменении

поляризации на поверхности Хирцебруха Рх в рассматриваемых в настоящей диссертации случаях сг = 2 и сг = 3.

ГЛАВА 2 посвящена доказательству гипотезы А.С.Тихомирова в случае С2 = 2. В параграфе 1 вводятся необходимые обозначения. В параграфе 2 проводится исследование строения проекции р : & -4 М, где С - открытое подмножество грассманиана (7г(2,6) и М — Ст//51/(2). Пусть [.Е] 6 М - чисто полустабильная точка. Тогда ее класс ^-эквивалентности есть [2Ж1 ф1г2], где Тх< - пучок идеалов точки Х{ на Р2. В работе показано, что в случае х\ ф Х2 слой данной проекции над точкой \ХХг ф 1Х2] состоит из двух компонент, точки которых соответствуют расширениям вида 0 —>■ 121 —» Е -> ТХ2 О и0-> ХХ2 —>£'—> ХХ1 —¥ 0 соответственно. При х\ = х^ компоненты совпадают и слой над точкой [£] представляет собой конус, вершина которого является замкнутой орбитой группы 51,(2). Зафиксируем точку Хо € Р2 - центр раздутия а : 5 Р2 и обозначим через 1о и У± подмногообразия коразмерности 3 в С?, получаемые как объединение по всем Хх £ Р2 первых и, соответственно, вторых компонент слоев над точками [1Хо 0 ХХ1]. Пусть Р2о - приведенная подсхема в М, точки которой соответствуют классам ¿'-эквивалентности пучков, имеющих особенность в точке хо, изоморфная Р2. Тогда р-1(Р^0) = Уо и 1!. Выполняя два последовательных раздутия сто : О' —> (7 с центром в Уо, а затем о\ С —С вдоль сто-1 (11), получим многообразие С, которое, как далее показано, служит базой универсального семейства полустабильных пучков на ¿>. При этом, обозначив сто-1(Уо) " 1о> := ст^~1(УЬ) и := (о^оо)-1^)» в силу универсальности раздутий [10, предл. 7.14] будем иметь проекцию р : С М, такую, что р*В — В0 + Ву в Рш <5, где В - исключительный дивизор раздутия 6 многообразия М вдоль Р20.

В параграфе 3 доказывается следующий факт.

Теорема 2.3.1. Многообразие С неособо.

Кроме того, показано, что центр второго раздутия на неособом многообразии, дающего многообразие О, имеет особенности, что изложено в Замечании 2.3.2.

В параграфе 4 выполняется построение универсального семейства £ на многообразии О х 5. Для этого осуществляется некоторая последовательность раздутий многоообразия С х Р2, а затем на полученном многообразии производится перестройка Маруямы прообраза пучка Е, являющегося универсальным семейством на й х Р2. Семейство Е задается тройкой (см. [5]) 0 /С ЕЗ СР2(—1) -> Н ® Ос И (1) -» Е 0, в которой /С - тавтологическое расслоение на С?.

Рассмотрим цепь морфизмов О СжхР2-О х Р2,

и пусть Е' - обратный образ на Ох 5 пучка Е при композиции данных отображений. Пусть 1о - исключительный дивизор раздутия сг : 5 —> Р2. Ранг

пучка Е' подскакивает на Х?о х ¿о> и для любой точки у из 2?о = £>о \ А) П имеет место равенство 7"ог5(Е/|{у}Х5) ~ С?*0(—1).

Так как сосНтсхзСА) х ¿о) = 2, то для выполнения перестройки Маруямы необходимо выполнить еще одно раздутие р: X —>■ С х 5 вдоль х 1о- Обозначим Т>:=р~г(Во х 1о). При этом слои проекции

—> О над точками многообразия С, не лежащими в Ио, изоморфны 5, а ввиду гладкости слои над точками у € И £ есть объединение поверхности £у ~ 5 и изоморфной поверхности Хирцебруха Ех, причем 5У и Ру пересекаются по прямой 1оу, которая является исключительной прямой на 5У, но не является таковой на Обозначим Е := р*Е'.

Следующие предложения описывают свойства пучка Е.

Предложение 2.4.2. 1) Пучок Е имеет кручение вдоль дивизора Ю.

2) Для

произвольной точки у € Г)^ при отождествлении Бу с Б

имеем Тогз(Е|5у) ~ 1).

Пусть а : X —С х 5 - композиция морфизмов.

Предложение 2.4.3. Для у 6 пучок "Е/ТогвЕ локально свободен в точках слоя {рг\ о <т)~1(у) = Ру и Бу и (Тогз—

Здесь т = С1(<7*0р2(1)), а Н = с\(тг*Ор1 (1)) при стандартной проекции 7г : 5 —Р1.

Предложение 2.4.4. Пучок Е имеет подпучок вида Оо(О) ® (т^Л, где Л - некоторый обратимый пучок на х {^о} — -доопределим пучок Е как коядро вложения 0 —<8> сг^Л —Е. Для этого пучка верны

Предложение 2.4.5. Для у пучок Е локально свободен в

точках слоя (ргх о сг)~1 (у) — Ру и5г

Предложение 2.4.6. Пучок Е имеет локально свободную резольвенту длины 1.

Обозначим IV собственный прообраз подмногообразия С х 1о С С х 5 при раздутии р. Это дивизор в X. Пусть ао := сг\и и Ехз := Е|в- Пользуясь локально свободной резольвентой пучка Е, получаем, что естественный морфизм <7дСГв*Ео(—» Ео - это вложение и (Зп-пучок сгдСго#Ео(—И') локально свободен. Обозначим через С коядро данного морфизма. Имеется сюръекция Е С. Пусть 8 - ядро сюръекции Е(В)

Следующие утверждения показывают, что пучок р+Е есть искомое универсальное семейство полустабильных пучков на С х 5.

Предложение 2.4.9. Естественный морфизм пучков р*р*£ является изоморфизмом.

Далее рассматриваем только те точки у € Аь которые соответствуют пучкам, не являющимся прямой суммой двух пучков идеалов точек на Р2.

Предложение 2.4.12. Пусть у € - точка с указанным выше свойством. Тогда - полу стабильный пучок без кручения с сх = = 0, с2 = 2.

В параграфе 5 изучаются точки многообразия М и доказывается, что если у - произвольная точка в М, р: С М - проекция, то для точки х € р~г{у) с указанным свойством класс изоморфизма [£|жхз] зависит только от у. Пусть х,х' € С. Обозначим £{х) := ¿-^«и-Г*-Тогда имеет место следующий факт.

Предложение 2.5.1. Во введенных выше обозначениях £{х) ~ £{х') тогда и только тогда, когда р(х) = р(х') в М.

Проверке свойства универсальности построенного многообразия М посвящен параграф 6. Это завершает доказательство основного результата главы 2 - следующей теоремы.

Теорема 2.1.1. Л/з(0,2) есть раздутие многообразия М с центром в Р20.

. В ГЛАВЕ 3 рассматривается случай С2 = 3. Параграф 1 содержит необходимые сведения и обозначения. Пусть М(0,3) - многообразие модулей стабильных пучков на Р2 ранга 2 с классами Чжэня С1 = 0, с2 = 3. По конструкции М(0,3) = Оо//БЬф), где б0 -открытое подмножество произведения грассмановых многообразий Сг(3,9) х Сг(1,9). В М(0,3) рассмотрим открытое подмножества Мо, полученное удалением из М(0,3) точек, соответствующих классам изоморфизма пучков Е, имеющих особенность длины /Е) >

2 в точке хо или имеющих особенность в хо, но с (Е) = 3. Прообраз многообразия Мо в Оо обозначим IV; таким образом, Мо — IV//ЗЬ(Н). На \У х Р2 имеется универсальная монада,

полученная ограничением на IV х Р2 универсальной монады на ¿7о х Р2- Когомологический пучок пучок Е монады на \У х Р2 есть универсальное семейство пучков, классы изоморфизма которых представлены точками многообразия Л/о- Рассмотрим вМо подсхему Е = {[£] € М0 ] 0 -» 2Хоиж1 -> Е ->■ ХХ2 0, х\ф х0, х2 # хо}, где хо - центр раздутия <т : 5 —Р2. Схема Е изоморфна расслоению со слоем Р1 над произведением (Р2 \ {хо}) х (Р2 \ {х0}), неособа и имеет коразмерность 4 в Л/о- Рассмотрим раздутие в : Мо -> Мо многообразия Мо вдоль Е, и пусть Е - исключительный дивизор. Обозначим через У" прообраз Е в \У. Пусть / : —У - раздутие многообразия IV в подсхеме У, И = /-1(У) - исключительный дивизор раздутия /.

В параграфе 2 выполняется построение универсального семейства на х 5 в следующей последовательности. Рассмотрим последовательность морфизмов <р : х б1 ЛУ х Р2 И7 х Р2, и пусть Р' := 1р*гр*¥. Ранг Ш" подскакивает на Их1о и имеет место изоморфизм Гог5(Г|ух5) ~ С>10 (—1) для произвольной точки у е И, однако множество особенностей пучка Р' имеет коразмерность 2 в х поэтому производим еще одно раздутие ги : § -»• \У х5 с центром в Их1о, В = и}~1(Пх10) - исключительный дивизор. Пусть Ё := <5 := <р о ги, ¿Ь := <5|в. Имеет место следующее

утверждение.

Предложение 3.2.1. Пучок Ё имеет кручение вдоль дивизора Ю); при этом ТогзР ~ ® где В - обратимый пучок на

О х {х0} - £>.

Пучок Р определяется точной тройкой 0 —> ТогвЁ —> Ё ——> 0. Следующее утверждение применяется для дальнейших вычислений.

Предложение 3.2.2. Пучок -Р имеет локально свободную резольвенту длины 1.

Ограничивая ^ на дивизор В и применяя к пучку ^ю, тензорно умноженному на <Э§(—17), где и = ио^^ЧУ х 10) — W х 10 - дивизор на морфизм вычисление еу : —»• Р^—и), мы

получаем обратимый пучок и) на Ю). Обозначим через N

коядро инъективного морфизма еи(£7) : ¿¿¿в.-^в!-и) <8> 0&{и) —> FD- Пусть ¿Г = ® 0®(и). Тогда точна тройка 0

¿Г —» N -» 0. Пучок - результат перестройки Маруямы

- определим с помощью точной последовательности 0 —>• В) -> Р —ЛГ 0. Пучок .3е поднят с¥х5, как показывает следующее утверждение.

Предложение 3.2.4. Т — уУы+Т.

Пучки семейства ограниченного на В, обладают следующим свойством: при ограничении на исключительную прямую /о С 5 такие пучки имеют единственное прямое слагаемое С?/0(—1) (см. Замечание 3.2.5).

В параграфе 3 проводится проверка стабильности пучков построенного семейства ио^ относительно поляризации Н = 2т + Результат проверки - следующее

Предложение 3.3.2. Для любой точки у £ I) пучок <Тг5у стабилен относительно поляризации Н = 2т + Л. (Здесь Эу - одна из компонент слоя проекции & —>- ЛУ над точкой

уех>.)

Однако, как указано в Замечаниях 3.3.1 и 3.3.3, семейство Т не содержит пучков, стабильность которых зависит от выбора поляризации на 5, а значит, предложение 3.3.2 верно для любой поляризации.

В параграфе 4 доказывается свойство универсальности многообразия Мо, которое понимается в том смысле, что для определенного типа семейств Ы с базой В пучков на 5 определен морфизм В —> Л/о- А именно, семейство Ы выбирается содержащим стабильные пучки Е на 5 без кручения ранга 2 с классами Чжэня

с\ = 0, сг = 2 только следующих видов: (1) = 2О/0; (и)

= О{0{—1) © О10{\) и Е - пучок с простейшей особенностью вне исключительной прямой; (ш) Е\10 — С^0(—1) Ф Оь0 Ф к2 и Е - пучок с простейшей особенностью вне исключительной прямой и простейшей особенностью на исключительной прямой. Как следствие универсальности многообразия Мо получаем, что для различных точек х их' в М0 классы изоморфизма [^г|Жж5] и [-Т^х'хя] различны (см. Замечание 3.4.1).

Таким образом, доказана следующая теорема - основной результат главы 3.

Теорема 3.4.2. Пусть Мо - открытое подмножество многообразия Мрг(0,3) модулей стабильных пучков ранга 2 на Р2 с классами Чжэня С\ — О, С2 = 3, полученное удалением из Мр2(0,3) точек, соответствующих классам изоморфизма пучков Е, имеющих особенность длины 1Хо(Е**/Е) > 2 в точке хо или имеющих особенность в хо и удовлетворяющих условию /Е) = 3, и а : 5 —»■ Р2 - раздутие проективной плоскости Р2 в точке Хо. Рассмотрим в Мо подсхему 2 = {[£] € Мо | 0 -» ХЖои*1 Е 1Х2 0, хх ф х0, х2 Ф х0}, изоморфную расслоению со слоем Р1 над произведением (Р2\{хо}) х (Р2\{х0}). Пусть в : Мо Мо - раздутие многообразия Мо вдоль Е. Тогда многообразие Мо - открытое подмножество многообразия Мз{0,3) модулей стабильных (относительно любой поляризации) пучков ранга 2 на Б с классами Чо/сэня С\ = 0, сг = 3, точки которого соответствуют классам изоморфизма [£] пучков, таких что либо Е\10 — 2С^0, либо Е\10 = 0*о(—1)©С?;0(1) и Е - пучок с простейшей особенностью вне исключительной прямой, либо Е\г0 = С?/0 (—1) ф Ф кг и Е - пучок с простейшей особенностью вне исключительной прямой и простейшей особенностью на исключительной прямой.

Список ЛИТЕРАТУРЫ

1. Barth W. Moduli of vector bundles on the projective plane U Invent. Math. 42 (1977). P. 63-91.

2. Ellingsrud G., Göttsche L. Variation of moduli spaces and Donaldson invariants under change of polarization //J. Reine Angew. Math. 467 (1995). P. 1-49.

3. King A. Instantons and holomorphic bundles on the blown-up plane. D. Phil. Thesis, Oxford, 1989, 68 p.

4. Le Potier J. Fibres stables de rang 2 sur Рг(С) // Math. Ann. 241 (1979). P. 217-256.

5. Le Potier J. A propos de la construction de ï espace de modules des faisceaux semi-stables sur le plan projectif, // Bull. Soc. math. France, 122 (1994). P. 363-369.

6. Le Potier J. Fibres stables et fibrés exceptionnels sur P2 // Ann. scient, de l'É.N.S. 4e série, 18, No.2 (1985). P. 193-243.

7. Tikhomirov A.S. On birational transformations of Hilbert schemes of an algebraic surface // Matem. Zametki, 73, No.2 (2003). P. 281-294 (Russian). English translation: Mathem. Notes, 73, No.2 (2003).

P. 259-270.

8. Trautmann G. Moduli spaces in algebraic geometry. On-line lecture notes, Univ. Kaiserslautern, 2000, 92 p.

http :11 www.mathematik.uni-kl.de/~trm/teaching/de/ModuliSpWS05. html

9. Оконек К., Шнейдер M., Шпиндлер X. Векторные расслоения на комплексных проективных пространствах. М.: Мир, 1984, 308 с.

10. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. М.: Мир, 1981, 597 с.

Публикации по теме диссертации

11. Сорокина М.Е. Бирациональные свойства многообразия модулей полу стабильных пучков ранга 2 с классами Чоюэпя с\ = О, сг = 2 на проективной плоскости // Математика в Ярославском университете: сб. обзорных статей к 20-летию математического факультета, Ярославль: ЯрГУ, 2006. С. 403-420.

12. Сорокина М.Е. Бирациональные свойства многообразия модулей стабильных пучков ранга 2 с классами Чжэпя с\ = 0, С2 = 3 но поверхности ¥\ // Ярославский педагогический вестник, Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2006, №4 (49). С. 65-72.

Формат 60x84 1/16. Бумага тип № 1. Усл. печ. л. 1,15 Тираж 100 экз. Заказ № 893

Типография Ярославского государственного

педагогического университета 150000, г. Ярославль, Которосльная наб.. 44

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Сорокина, Мария Евгеньевна

Введение.

Глава 1. Многообразия модулей полустабильных пучков на поверхностях.

§1. Известные результаты о поведении многообразий модулей при раздутиях.

§2. Многообразия модулей полустабильных пучков на Р2.

1.2.1. Общие сведения.

1.2.2. Многообразие Мр2(0,2).

§3. Изменение поляризации и перестройки многообразий модулей

Глава 2. Бирациональный изоморфизм многообразий Мр2(0,2) HMFl(0,2).

§1. Предварительные сведения и обозначения.

§2. Описание морфизма р : G —» М.

§3. Многообразие G. Гладкость G.

§4. Построение универсального семейства на G х S.

§5. Точки многообразия М.

§6. Свойство универсальности многообразия М.

Глава 3. Бирациональная перестройка многообразия

Мр2(0,3).

§1. Предварительные сведения и обозначения.

§2. Перестройка Маруямы универсального семейства на W х S.

§3. Стабильность пучков, входящих в семейство Т.

§4. Многообразие М0.

Введение диссертация по математике, на тему "Бирациональные свойства многообразий модулей полустабильных пучков ранга два на проективной плоскости"

Актуальность темы. Цели работы. Описание геометрических свойств многообразий модулей стабильных и полустабильных когерентных пучков на алгебраических многообразиях является одним из интенсивно развиваемых направлений современной алгебраической геометрии. Актуальность этого направления обусловлена как задачами внутри самой алгебраической геометрии, так и многочисленными приложениями в дифференциальной геометрии и топологии, глобальном анализе и теоретической физике. Так, многообразия модулей векторных расслоений Е ранга 2 с нулевым первым классом Чжэня на гладкой комплексной проективной поверхности 5, стабильных относительно поляризации Я, индуцируемой проективным вложением поверхности S, в силу соответствия Кобаяши-Хитчина интерпретируются в калибровочной теории как пространства инстантонов, т.е. модулей 5/7(2)-связностей на Е, антиавтодуальных относительно ходжевой метрики дн на поверхности 5, рассматриваемой как гладкое 4-мерное многообразие. Это соответствие имеет нетривиальное продолжение на компактификации алгебро-геометрических многообразий модулей по Гизекеру-Маруяме и соответствующие компактификации по Уленбек пространств инстантонов. Важную роль в этой теории играют бирациональные перестройки многообразий модулей пучков (соответственно, перестройки пространств инстантонов) при бираци-ональных перестройках поверхностей, в частности, при раздутии поверхности в точке 5 5. Первый результат в этом направлении для пучков ранга 1 с нулевым первым классом Чжэня и вторым классом Чжэня С2 = 2 (первый нетривиальный случай), когда соответствующее пространство модулей есть схема Гильберта Hilb25, получен в статье А.С.Тихомирова [14], в которой дано точное описание бирациональной перестройки Hilb2 S Hilb2 S как композиции двух раздутий и одного стягивания с гладкими центрами (см. теорему 1.1.1 ниже). Случай пучков ранга 2 в алгебраической геометрии до настоящего времени оставался открытым, а параллельные результаты в калибровочной теории были впервые получены в диссертации А.Кинга [8] для ранга 3 и выше для инстантонов со вторым классом Чжэня С2 = 1. А.Кинг рассматривает случай некомпактной поверхности, а именно, S = С2 и, соответственно, S есть плоскость С2 с раздутой точкой, и доказывает гипотезу П.Кронхеймера о том, что при г > 2 многообразие модулей SU(г)-инстантонов с зарядом п = 1 на раздутой плоскости С2, пополненное по К.Уленбек (теоретико-калибровочной эквивалент многообразия М(0,1) для пучков ранга г > 2 при п = 1), получается из многообразия модулей инстантонов на С2 раздутием вдоль подмногообразия идеальных инстантонов с особенностью в центре раздутия (теорема 1.1.2).

А.С.Тихомиров в 2002 г. сформулировал гипотезу о том, что в случае, когда S = Р2, для малых значений п второго класса Чжэня и надлежащим образом выбранной поляризации Я на плоскости с раздутой точкой S = Fi многообразие Mj[(0, п) модулей Я-полустабильных когерентных пучков ранга 2 с классами Чжэня с\ — О, С2 = п на поверхности Fi есть многообразие Мр2(0,п) модулей полустабильных когерентных пучков ранга 2 с классами Чжэня с\ — 0, С2 = п на проективной плоскости Р2, раздутое вдоль подмногообразия пучков, не локально свободных в центре раздутия Fi —> Р2 -точке xq. Целью настоящей диссертации является доказательство гипотезы А.С.Тихомирова в случае С2 = 2, а также в случае oi — 3 для открытого подмножества Mq многообразия Мрг(0,3), полученного удалением из Мр2(0,3) точек, соответствующих классам изоморфизма пучков Е, имеющих особенность длины lXo(Ew/E) > 2 в точке xq или имеющих особенность в xq, но с l(Evw/E) = 3.

Методы работы и научная новизна. При исследовании применяется конструкция многообразий модулей полустабильных (по Гизекеру) пучков Е ранга 2 на проективной плоскости, в которой многообразие Мрг(с1, сг) реализуется как хороший фактор в смысле геометрической теории инвариантов по действию группы SL(n), п = С2, на подходящем открытом подмножестве G произведения грассмановых многообразий 0(n+ci, 3п) х Gr(n - с\ — 2, Зп), при этом пучок Е задается как когомологический пучок комплекса Кронек-кера (см. [9], [10]). В работе также используется техника универсальных семейств над подходящей базой, классы S-эквивалентности которых представлены точками многообразия модулей. Существование таких семейств, а также наличие универсального комплекса Кронеккера, когомологическим пучком которого и является универсальное семейство пучков над GxP2, позволяет провести необходимые вычисления и построить универсальное семейство пучков на поверхности Хирцебруха Fi с требуемыми классами Чжэня. Важное место в исследовании занимает техника перестроек Маруямы, которая используется для построения универсального семейства на Fi.

Все полученные в работе результаты являются новыми.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической геометрии при кафедре алгебры Ярославского государственного педагогического университета им. К.Д.Ушинского, на научных конференциях "Чтения Ушииского"(Ярославль, 2004 - 2006 гг.), на Международной научной конференции "Колмогоровские чтения - IV"(Ярославль, 2006 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в статьях [19], [20].

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Сорокина, Мария Евгеньевна, Ярославль

1. Barth W. Moduli of vector bundles on the projective planeII Invent. Math. 42 (1977). P. 63-91.2.- Brieskorn E. Uber holomorphe ¥n-Bundel iiber Pi / / Math. Ann.157 (1967). P. 343-357.

2. Brun J., Hirschowitz A. Variete des droites sauteuses du fibre instanton general II Compos. Math. 53 (1984). P. 325-336.

3. EUingsrud G., Gottsche L. Variation of moduli spaces and Donaldson invariants under change of polarization 11 J. ReineAngew. Math. 467 (1995). P. 1-49.

4. Friedman R., Morgan J.W. The diffeomorphism types of certain algebraic surfaces, II11 J. Differential Geometry, 37 (1988). P. 371-398.

5. Huybrechts D. , Lehn M. The geometry of Moduli Spaces of Sheaves. Aspects of Mathematics. E 31. Braunschweig: Vieweg, 1997,269 p.

6. Hulek K., Le Potier J. Sur I'espace de modules des faisceaux semistables de rang 2, de classes de Chern (0,3) sur F^ / / Ann.Inst. Fourier, Grenoble, 39, 2 (1989). P. 251-292.

7. King A. Instantons and holomorphic bundles on the blown-up plane. D. Phil. Thesis, Oxford, 1989, 68 p.

8. Le Potier J. Fibres stables de rang 2 sur P2(C) / / Math. Ann. 241 (1979). P. 217-256.

9. Mumford D., Fogarty J. Geometric Invariant Theory. Springer- Verlag, 1982, 220 p.

10. Room T.G. The geometry of determinantal loci. Cambridge: Univ. Press, 1938, 483 p.

11. Tikhomirov A.S. On birational transformations of Hilbert schemes of an algebraic surface // Matem. Zametki, 73, No.2 (2003). P. 281-294 (Russian). English translation: Mathem. Notes, 73, No.2 (2003).P. 259-270.

12. Tikhomirov A.S. The main component of the moduli space of mathematical instanton vector bundles on P^ // Journal of Math.Sciences Vol. 86 (1997). P. 3004-3087.

14. Оконек К., Ш н е й д е р М., Шпиндлер X. Векторные рас- слоения па комплексных проективных пространствах. М.: Мир,1984, 308 с.

15. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. М.: Мир, 1981, 597 с. П У Б Л И К А Ц И И ПО Т Е М Е ДИССЕРТАЦИИ

16. Сорокина М.Е, Вирациональные свойства многообразия мо- дулей стабильных пучков ранга 2 с классами Чаюэня с\ — О,С2 = 3 на поверхности Fi // Ярославский педагогический вест-ник, Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2006, Ж (49). 65-72.76