Компоненты схемы модулей полустабильных пучков ранга два на трехмерной квадрике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

АРТАМКИН Дмитрий Игоревич

КОМПОНЕНТЫ СХЕМЫ МОДУЛЕЙ ПОЛУСТАБИЛЬНЫХ ПУЧКОВ РАНГА ДВА НА ТРЕХМЕРНОЙ КВАДРИКЕ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль - 2004

Работа выполнена на кафедре алгебры Ярославского государственного педагогического университета имени К. Д. Ушинского.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ

доктор физико-математических наук, профессор

ТИХОМИРОВ АЛЕКСАНДР СЕРГЕЕВИЧ

доктор физико-математических наук, доцент

КУЛЕШОВ СЕРГЕЙ АЛЕКСЕЕВИЧ кандидат физико-математических наук, доцент

КАРПОВ БОРИС ВИКТОРОВИЧ

Ведущая организация — Ярославский государственный университет имени П. Г. Демидова.

Защита состоится 16 июня 2004 года в 14 часов на заседании диссертационного совета К 212.307.05 при Ярославском государственном педагогическом университете имени К. Д. Ушинского по адресу: 150000, Ярославль, ул. Республиканская, 108.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного педагогического университета имени К. Д. Ушинского.

Автореферат разослан » мая 2004 г.

Ученый секретарь

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ

диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Цели работы. Стабильные векторные расслоения на алгебраических многообразиях являются одним из центральных объектов алгебраической геометрии. Наиболее хорошо изучены свойства пространств модулей стабильных расслоений для малых размерностей один и два базы, то есть когда основное многообразие является алгебраической кривой или поверхностью. В случае многообразий высших размерностей геометрия пространств модулей стабильных расслоений уже значительно сложнее и более или менее изучена лишь для некоторых специальных классов многообразий. В последние годы возрос интерес к изучению стабильных расслоений и, более общо, полустабильных когерентных пучков ранга ^ 2 без кручения на трехмерных многообразиях Фано. Традиционно свойства таких пучков изучались с середины 70-ых годов на проективных пространствах Р", п ^ 3, (см., в частности, работы [3-8,10-13,18,19,22,23]).

Первые работы по описанию расслоений на других многообразиях Фано относятся к концу 80-ых — началу 90-ых годов прошлого века. (см. [20,25]). Описанию некоторых общих свойств многообразий модулей расслоений ранга ^ 2 на трехмерных многообразиях посвящена работа А. Н. Тюрина [24]. В ней, в частности, выясняется взаимосвязь между многообразиями модулей расслоений на многообразиях Фано и на КЗ-поверхностях — гиперплоских сечениях многообразий Фано, устанавливаемая операцией ограничения.

Более детальное изучение геометрии пространств модулей расслоений на многообразиях Фано, близких к началось в конце 90-ых годов. Здесь необходимо отметить статьи Д. Маркушевича и А. С. Тихомирова [14-16] и А. С. Тихомирова [21] по расслоениям и пучкам на многообразиях Фано индекса 2 — трехмерной кубике в и двойном пространстве Р3.

Первая работа по многообразиям модулей расслоений ранга 2 на трех-

мерной квадрике Q, являющейся многообразием Фано индекса 3, — это работа Дж. Оттавиани и М. Шурека, в которой дается точное описание многообразия Мд(2;0,2) модулей стабильных векторных расслоений с С1 = О и Сг = 2 на гладкой трехмерной квадрике В этой работе доказывается, что многообразие Ма(2;0,2) изоморфное открытому подмножеству Р9, дополнение к которому есть нормальная гиперквартика У4 С Р9, однозначно определяемая квадрикой 0 и конструкцией плюккерова вложения грассманиана С^Р4) в Р9.

Стабильные расслоения на квадрике 0 представляют собой открытое подмножество неприводимой компоненты М<з (2; 0,2) схемы модулей Гизе-кера - Маруямы Мц(2; 0,2,0) полустабильных пучков ранга 2 без кручения

Целью настоящей диссертации является нахождение других компонент схемы модулей Мо(2; 0,2,0), общие точки которых, в силу неприводимости Мо(2;0,2) являются стабильными когерентными пучками ранга 2 без кручения, не являющимися расслоениями.

Методы работы и научная новизна. В работе дается геометрический метод описания компонент схемы М<}(2;0,2,0), основной идеей которого является тот факт, что любой пучок из М<}(2; 0,2,0) можно получить конструкцией Серра из некоторой кривой. Для этого выясняется, что схема не содержит чисто полустабильных пучков, и любой пучок из М(}(2;0,2,0), подкрученный на 1, имеет сечения, причем нулями общего сечения является кривая степени 4, возможно, с добавленными точками. Таким образом описание стабильных пучков сводится, в некотором смысле, к описанию квартик на квадрике.

В работе также доказывается, (см. глава 5) что М<}(2; 0,2,0) содержит еще, по крайней мере, одну неприводимую 13-мерные компоненту, пересекающую компоненту по дивизориальной в компо-

нентс границы ЭМ0(2; 0,2) := Мо(2;0,2)С \ М<}(2; 0,2).

В работе рассмотрены все квартики без кратных компонент, а также квартики, содержащие в качестве компоненты, сдвоенную прямую с «простой» двойной структурой.

Результаты диссертации являются новыми.

Личный вклад автора. Все результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Практическая и теоретическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при изучении геометрии схем Гизекера-Маруямы полустабильных пучков ранга 2 с нулевым первым классом Черна на гладкой трехмерной квадрике и близких к ней многообразиях. .

Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической геометрии при кафедре алгебры Ярославского государственного педагогического университета, а также на международной конференции «Чтения Ушинского» в 2004 году.

Публикации. Результаты диссертации изложены в двух печатных статьях [1,2].

Структура работы. Диссертация изложена на 75 страницах и состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 34 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1. Введение.

Во введении формулируются задачи, решаемые в диссертации, и дается обзор используемых методов и основных результатов диссертации.

Глава 2.

Эта глава носит подготовительный характер. Она содержит некоторые предварительные сведения, а также алгебраические и геометрические факты, которые используются в последующих главах.

Глава 3.

В этой главе рассмотрен модельный пример — однопараметрическое семейство расслоений с вырождением в не локально свободный стабильный пучок с особенностью в точке. Далее, в главе 5, будет показано, что имеется дивизориальная в М<э(2;0,2) компонента пересечения замыкания многообразия и компоненты (описание см. в пятой главе),

общая точка которой есть рассматриваемый пучок с особенностью.

Глава 4.

Вся глава посвящена обоснованию геометрического метода нахождения новых компонент схемы

Основной результат главы — Теорема 1:

Пусть Е — полустабильный пучок ранга два без кручения на трехмерной квадрике 0 С Р4, с классами Черна с^Е) = 0, Сг(Б) ='2, и сз(Е) = 0.

Тогда пучок Е стабилен, и у пучка Е(1) есть сечения, причем нулями сечения является кривая С С (3 степени четыре.

В доказательстве этой теоремы используется переход от пучка к его рефлексивной оболочке, при этом стабильность пучка из М<}(2;0,2,0) влечет стабильность его рефлексивной оболочки и наоборот: стабильная рефлексивная оболочка возможна только у стабильного пучка. Это позволяет широко использовать теорию спектров стабильных рефлексивных пучков описанную в работе Л. Айна и И. Солса [9].

Серьезную роль в доказательстве играет и тот факт (Лемма 4.6), что в схеме М(}(2; 0,2,0) нет полустабильных но не стабильных пучков. Также нетривиальным является и то, что фактор канонического вложения пучка из схемы в свою рефлексивную оболочку является артиновым

пучком.

Глава 5.

Глава посвящена описанию компоненты схемы Мо(2; 0,2,0), содержащей пучки Е такие, что нулями сечений Е(1) является гладкая нормквартика с добавленной точкой.

Основной результат главы — Теорема 2:

В М<з(2; 0,2,0) существует неприводимая компонента Мо, которая есть замыкание неприводимого тринадцатимерного многообразия Мо. Все точки Мо — стабильные пучки, схема М<з (2; 0,2,0) неособа вдоль Мо, и Мо пересекает Мц(2;0,2) по неприводимому восьмимерному многообразию, лежащему в Мд(2;0,2) .

Глава 6.

В этой главе рассмотрены остальные квартики, и показано, что в схеме М<}(2; 0,2,0) не существует пучков Б таких, что нулями сечений ЕГ^!.) является квартика без кратных компонент, отличная от нормквартики и

несвязного объединения дух коник. Так в §6.1 рассмотрена гладкая эллиптическая квартика, полученные пучки оказываются нестабильными. посвящен рассмотрению несвязного объединения нормкубики и прямой. Полученные пучки также нестабильны. В §6.3 рассмотрены сразу две кривые: несвязное объединение коники и двух прямых, и несвязное объединение четырех прямых. В первом случае получаются пучки с кручением, а во втором — задающая пучок точная тройка распадается.

§6-4 стоит несколько особняком, так как посвящен рассмотрению некоторых квартик, содержащих кратные компоненты. В этом параграфе рассмотрены кривые содержащие в качестве компоненты, сдвоенную прямую с «простой» двойной структурой. В параграфе выясняется, что пучки, получающиеся из таких кривых либо лежат в замыкании уже известных компонент, либо вообще не лежат в

Список литературы

[1] Артамкин Д.И. Компонента не локально свободных полустабильных пучков ранга два на трехмерной квадрике.// В сб. "Совершенствование структуры и содержания физико-математического образования". Материалы конференции "Чтения Ушинркого". Ярославль: Изд-во ЯГ-ПУ. 2004. С. 6 - 13.

[2] Артамкин Д.И. Свойства стабильных пучков ранга два на трехмерной квадрике.// Ярославский педагогический вестник .№1-2. Ярославль: Изд-во ЯГПУ. 2004. С. 74 - 78.

[3] Barth W. Some properties of stable rank-2 vector bundles on Pn , Math. Ann. 226, 1977. P. 125 - 150

[4] Barth W. Irreducibility of the Space of Mathematical Instanton Bundles with Rank 2 and c2 = 4, Math. Ann. 258, 1981. P. 81 - 106.

[5] Barth W., Hulek K. Monads and moduli of vector bunbdles, manuscripta math. 25, 1978. P. 323 - 347.

[6] Beilinson A. Coherent sheaves on P^ and problems of linear algebra, Funct. Anal. Appl. 12, 1978. P. 214 - 216.

[7] Coanda" I., On Barth's restriction theorem, Journ. reine u. angew. Mathe-matik428, 1992. P. 97 - 110,

[8] Coanda I., Tikhomirov A. S., Trautmann G. Irreducibility and Smoothness of the moduli space of mathematical 5-instantons over P3.// Intern. J. Math., 14, No.l, 2003. P. 1 - 45.

[9] Ein L., Sols I. Stable vector bundles on quadric hypersurfaces. // Nagoya Math. J., V. 96, 1986. P. 11 - 22.

[10] Ellingsrud S.A., Stable rank-2 vector bundles on with c = 0 and c2 = 3, Math. Ann. 255,1981. P. 123 - 135.

[11] Hartshorne R. Stable vector bundles of rank 2 o^ F3, Math. Ann. 238,1978. P. 229 - 280.

[12] Katsylo P.I., Ottaviani G. Regularity of the Moduli Space of Instanton Bundles Aî7fj(5), math.AG/9911184

[13] LePotier J. Sur l'espace de modules des fibres de Yang et Mills, in Mathematique et Physique, Seminaire de 1'Ecole Normale Superieure, Birkhauser 1983. P. 1979 - 1982.

[14] Markushevich D. G., Tikhomirov A. S. The Abel-Jakobi map of a moduli component of vector bundles on the cubic threefold.// J. Algebraic Geometry, V. 10, 2001. P. 37-62.

[15] Markushevich D. G., Tikhomirov A. S. Symplectic structure on a moduli space of sheaves on the cubic fourfold.// Izvestiya RAN, Ser. Mat. 67, No.l, 2003. P. 131 - 158.

[16] Markushevich D. G., Tikhomirov A. S. A parametrization of the theta divisor of the quartic double solid.// Intern. Math. Res. Notes 51, 2003. P. 2747 - 2778.

[17] Ottaviani G., Szurek M. On Moduli of Stable 2-Bundles with Small Chern Classes on Q3 // Annali di Matematica pura ed applicata, Vol.CLXVII (VI) 1994. P. 191 - 241.

[18] Rao P. Mathematical instantons with maximal order jumping lines, Pacific Journ. of Mathem. 178, 1997. P. 331 - 344.

[19] Skiti M. Sur une famille de fibres instantons, Math. Z. 225, 1997. P. 373 -294.

[20] Szurek M., Wisniewski J. A. Fano bundles over IP3 and Q3. // Pacific Journal of Mathematics, V. 141.4*1, 1990. P. 197 - 208.

[21] Tikhomirov A. S. New component of the moduli space M(2; 0,3) of stable vector bundles on the double space P3 of index two. // Acta Appl. Math. 75, 2003. P. 271 - 279.

[22] Tyurin A.N. On the Superposition of Mathematical Instantons II, in Arithmetic and Geometry, Progress in Mathematics 36, Birkhauser 1983.

[23] Tyurin A.N. The structure of the variety of pairs of commutating pencils of symmetric matrices, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Matem. Tom 46, .Y*2,1982, English translation: Math. USSR Izvestiya, Vol. 20, .\*2,1983. P. 391 - 410.

[24] A.N.Tyurin. The moduli spaces of vector bundles on threefolds, surfaces and curves I. // Preprint. Erlangen. 1990.

[25] Wisnewski J. A. Ruled Fano 4-folds of index 2. // Proceedings of the American Mathematical society V.105 №1 January 1989.

»10313

Подписано в печать 12.05.04. Формат 60 х 90 1/16. Печ. л. 0,8. Заказ ^09 Тираж 100

Ярославский государственный педагогический университет имени К. Д. Ушинского (ЯГПУ) 150000, Ярославль, Республиканская ул., 108 ЛР №020080 от 19.12.97

Типография ЯГПУ 150000, Ярославль, Которосльная набережная, 44

1. Введение.

2. Предварительные сведения из геометрии на трехмерной квадрике Q.

3. Модельный пример: однопараметрическое семейство расслоений с вырождением в стабильный пучок с особенностью.

4. Существование сечений у Е(1) для пучков из схемы Mq(2; 0,2,0).

5. Компонента Мо

6. Некоторые другие квартики, не дающие новых компонент.

6.1. Эллиптическая квартика *С4.

6.2. Нормкубика и прямая t!3 U t.

6.3. Коника и прямые.

6.4. Кривые с двойной структурой.

Стабильные векторные расслоения на алгебраических многообразиях являются одним из центральных объектов алгебраической геометрии. Наиболее хорошо изучены свойства пространств модулей стабильных расслоений для малых размерностей один и два базы, то есть когда основное многообразие является алгебраической кривой или поверхностью. В случае многообразий высших размерностей геометрия пространств модулей стабильных расслоений уже значительно сложнее и более или менее изучена лишь для некоторых специальных классов многообразий. В последние годы возрос интерес к изучению стабильных расслоений и, более общо, полустабильных когерентных пучков ранга ^ 2 без кручения на трехмерных многообразиях Фано. Традиционно свойства таких пучков изучались с середины 70-ых годов на проективных пространствах Pn, п ^ 3, (см., в частности, работы [4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 17, 18, 26, 27, 31, 32]).

Первые работы по описанию расслоений на других многообразиях Фано относятся к концу 80-ых — началу 90-ых годов прошлого века. (см. [34, 29]). Описанию некоторых общих свойств многообразий модулей расслоений ранга ^ 2 на трехмерных многообразиях посвящена работа А. Н. Тюрина [33]. В ней, в частности, выясняется взаимосвязь между многообразиями модулей расслоений на многообразиях Фано и на #3-поверхностях — гиперплоских сечениях многообразий Фано, устанавливаемая операцией ограничения.

Более детальное изучение геометрии пространств модулей расслоений на многообразиях Фано, близких к Р3, началось в конце

90-ых годов. Здесь необходимо отметить статьи Д. Маркушевича и А. С. Тихомирова [19],[21] и А. С. Тихомирова [30] по расслоениям и пучкам на многообразиях Фано индекса 2 — трехмерной кубике в Р4 и двойном пространстве Р3.

Среди недавних работ по расслоениям ранга два на других многообразиях Фано следует отметить работы [1, 8]

Первая работа по многообразиям модулей расслоений ранга 2 на трехмерной квадрике, Q, являющейся многообразием Фано индекса 3,— это работа Дж. Оттавиани и М. Шурека, в которой дается точное описание многообразия Mq(2; 0,2) модулей стабильных векторных расслоений с с\ = 0 и с^ = 2 на гладкой трехмерной квадрике Q. В этой работе доказывается, что многообразие Mq(2; 0,2) изоморфно открытому подмножеству Р9, дополнение к которому есть нормальная гиперквартика V4 С Р9, однозначно определяемая квадрикой Q и конструкцией плюккерова вложения грассманиана G(1,P4) в Р9. В этой работе рассматриваются также многообразия Mq(2;-1,2), Mq(2;-1,3) и Mq(2;0,4), относительно которых выяснено следующее:

Mq(2; —1,2) — локально тривиальное расслоение над Q4 \ Q3 со слоем Р2 \ Qi,

Mq(2; —1,3) — неприводимое унирациональное приведенное двенадцатимерное многообразие,

Mq(2; 0,4) — неприводимое унирациональное приведенное двадцатиодномерное многообразие.

Стабильные расслоения на квадрике Q представляют собой отQ крытое подмножество неприводимой компоненты Mq(2; 0,2) схемы модулей Гизекера - Маруямы Mq(2; 0,2,0) полустабильных пучков ранга 2 без кручения с с\ — сз = 0, c<i — 2.

Настоящее диссертационное исследование посвящено нахождению других компонент в Mq(2;0, 2,0), общие точки которых, в силу неприводимости Mq(2; 0,2) являются стабильными когерентными пучками ранга 2 без кручения, не являющимися расслоениями.

Введем несколько обозначений, которыми, для краткости, будем пользоваться ниже.

• Mq(2; 0,2) — многообразие модулей стабильных векторных расслоений ЕнаО,сгкЕ = 2и классами Черна ci(E) = 0 и сг(Е) = 2. Q

• Mq(2;0, 2) — замыкание многообразия модулей расслоений Mq(2; 0,2) в схеме Mq(2; 0,2,0).

• Через 3YIq(2; 0,2,0) обозначим множество классов изоморфизма пучков ранга два без кручения на трехмерной квадрике Q с классами Черна с\ = 0, c<i — 2 и сз = 0.

• Пусть х £ V произвольная точка некоторого векторного пространства V над полем к. Обозначим (х) подпространство кх Е

P(V).

Известно, что Mq(2; 0,2, 0) не пусто и содержит неприводимую Q компоненту Mq(2; 0,2) , содержащую в качестве открытого плотного подмножества многообразие Mq(2; 0,2) модулей стабильных голоморфных векторных расслоений ранга два на квадрике с нулевым первым классом Черна и, минимально возможным, согласно условию Шварценбергера (см. [24, с. 194]), вторым классом Черна, равным 2.

В работе дается геометрический метод описания компонент схемы Mq(2; 0,2,0). Для этого выясняется, что схема Mq(2; 0,2,0) не содержит чисто полустабильных пучков, и любой пучок из

Mq(2;0, 2,0), подкрученный на 1, имеет сечения, причем нулями общего сечения является кривая степени 4, возможно, с добавленными точками.

В работе также доказывается, что Mq(2; 0,2,0) содержит еще, по крайней мере, одну неприводимую 13-мерные компоненту, пеQ ресекающую компоненту Mq(2;0, 2) по дивизориальной компоненте границы <9Mq(2;0, 2) := Mq(2;0,2)G \ Mq(2; 0, 2).

В работе рассмотрены все квартики без кратных компонент, а также кривые содержащие в качестве компоненты «сдвоенную», прямую.

Основной результат работы заключается в следующих двух теоремах:

Теорема 1. Пусть Е — полустабильный пучок ранга два без кручения на трехмерной квадрике Q С Р4, с классами Черна ci(E) = 0, 02(E) = 2, и сз(Е) = 0. Тогда пучок Е стабилен, и у пучка Е(1) есть сечения, причем нулями сечения является кривая С С Q степени четыре.

Теорема 2. В Mq(2; 0,2,0) существует неприводимая компоненQ та Mq(2;0, 2)0, которая есть замыкание неприводимого тринадцатимерного многообразия Мо- Все точки Мо — стабильные пучки, схема Mq(2; 0,2,0) неособа вдоль Мо, и Мо пересекает Q

Mq(2;0, 2) по неприводимому восьмимерному многообразию, леQ жащему в Mq(2;0, 2) , точное описание котрого дается формулой (5.23).

1. Arrondo Е., Costa L. Vector Bundles on Fano 3-folds without intermediate cohomology. arXiv: math. AG/9804033 7 Apr 1998.

2. Артамкин Д. И. Свойства стабильных пучков ранга два на трехмерной квадрике.// Ярославский педагогический вестник №1-2. Ярославль: Изд-во ЯГПУ. 2004. С.74 78.

3. Barth W. Some properties of stable rank-2 vector bundles on Pn, Math. Ann. 226, 125 150, 1977

4. Barth W. Irreducibility of the Space of Mathematical Instanton Bundles with Rank 2 and c2 = 4, Math. Ann. 258, 81 106, 1981

5. Barth W., Hulek K. Monads and moduli of vector bunbdles, manuscripta math. 25, 323 347, 1978

6. Beilinson A. Coherent sheaves on P^ and problems of linear algebra, Funct. Anal. Appl. 12, 214 216, 1978

7. Chiantini L., Madonna C. ACM Bundles on a general quintic threefold. arXiv: math. AG/0110102 v 1 9 Oct 2001.

8. Coanda I., On Barth's restriction theorem, Journ. reine u. angew. Mathematik 428, 97 110, 1992

9. Coanda I., Tikhomirov A. S., Trautmann G. Irreducibility and Smoothness of the moduli space of mathematical 5-instantons over P3.// Intern. J. Math., 14, №1 (2003), 1 45.

10. Ein L., Sols I. Stable vector bundles on quadric hypersurfaces. // Nagoya Math. J., 1986. V. 96 P. 11 22.

11. Ellingsrud G., Str0mme S.A., Stable rank-2 vector bundles on P3 with ci = 0 and c2 = 3, Math. Ann. 255, 123 135, 1981

12. Фултон У., Теория пересечений. М.: Мир.1989

13. Hartshorne R. Stable reflexive sheaves.// Math. Ann., 1980, V. 254, P. 121 176.

14. Hartshorne R. Stable vector bundles of rank 2 on P3, Math. Ann. 238, 229 280, 1978

15. Hartshorne R. Hirshowitz A. Smoothing algebraic space curves. In: Algebraic geometry, Sitges (Barcelona), 1983, Lecture Notes in Math., 1124. Springer, Berlin-New York, 1985, 98 131.

16. Katsylo P.I., Ottaviani G. Regularity of the Moduli Space of In-stanton Bundles M/Pз(5), math.AG/9911184

17. LePotier J. Sur l'espace de modules des fibres de Yang et Mills, in Mathematique et Physique, Seminaire de l'Ecole Normale Superieure 1979 1982, Birkhauser 1983

18. Markushevich D. G., Tikhomirov A. S. The Abel-Jakobi map of a moduli component of vector bundles on the cubic threefold.// J. Algebraic Geometry, 2001, V. 10 P. 37 62.

19. Markushevich D. G., Tikhomirov A. S. Symplectic structure on a moduli space of sheaves on the cubic fourfold.// Izvestiya RAN, Ser. Mat. 67, №1 (2003), 131 158.

20. Markushevich D. G., Tikhomirov A. S. A parametrization of the theta divisor of the quartic double solid.// Intern. Math. Res. Notes 51 (2003), 2747 2778.

21. Maruyama M. Moduli of stable sheaves, I.// J. Math. Kyoto Univ., 1977. V. 17, P. 91 126.

22. Maruyama M. Moduli of stable sheaves, II.// J. Math. Kyoto Univ., 1978. V. 18, P. 557 614.

23. Ottaviani G., Szurek M. On Moduli of Stable 2-Bundles with Small Chern Classes on Q3 // Annali di Matematica pura ed applicata, 1994. Vol.CLXVII (VI) P. 191 241.

24. Оконек К., Шнейдер M., Шпиндлер X. Векторные расслоения на комплексных проективных пространствах. М.: Мир, 1984.

25. Rao P. Mathematical instantons with maximal order jumping lines, Pacific Journ. of Mathem. 178, 331 344, 1997

26. Skiti M. Sur une famille de fibres instantons, Math. Z. 225, 373 -294, 1997

27. Str0mme S.A. Ample Divisors on Fine Moduli Spaces on the Projective Plane. // Mathematishe Zeitschrift, 1984. V. 187. P. 405 -423.

28. Szurek M., Wisniewski J. A. Fano bundles over P3 and Q3. // Pacific Journal of Mathematics, 1990. V.141 №1. p.197 208.

29. Tikhomirov A. S. New component of the moduli space M(2; 0, 3) of stable vector bundles on the double space P3 of index two. // Acta Appl. Math. 75 (2003), 271 279.

30. Tyurin A.N. On the Superposition of Mathematical Instantons II, in Arithmetic and Geometry, Progress in Mathematics 36, Birkhauser 1983

31. Tyurin A.N. The structure of the variety of pairs of commutat-ing pencils of symmetric matrices, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Matem. Tom 46, no. 2 (1982), English translation: Math. USSR Izvestiya, Vol. 20, №2 (1983), 391 410

32. A.N.Tyurin. The moduli spaces of vector bundles on threefolds, surfaces and curves I. // Preprint. Erlangen. 1990.

33. Wisnewski J. A. Ruled Fano 4-folds of index 2. // Proceedings of the American Mathematical society V.105 №1 January 1989.