Модули стабильных пучков ранга два с классами Черна c1 = -1, c2 = 2, c3 = 0 на проективном пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

005042397

На правах рукописи

ЗАВОДЧИКОВ МИХАИЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

МОДУЛИ СТАБИЛЬНЫХ ПУЧКОВ РАНГА ДВА С КЛАССАМИ ЧЕРНА1 С1 = -1, С2 = 2, С3 = О НА ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и

теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль 2012

1 П Ш 2012

005042397

Работа выполнена на кафедре геометрии Ярославского государственного педагогического университета им.К.Д.Ушинского

Научный руководитель

Официальные опоненты:

Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор

Тихомиров Александр Сергеевич

доктор физико-математических наук, профессор

Краснов Вячеслав Алексеевич ЯРГУ им.П.Г.Демидова, профессор кафедры математического анализа

доктор физико-математических наук, доцент

Артамкин Игорь Вадимович

ГУ Высшая школа экономики, профессор кафедры дискретной математики

Владимирский государственный университет

им. А.Г. и Н.Г. Столетовых

Защита состоится 25 мая 2012 г. в И ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д.212.002.03 при Ярославском госудадственном университете им. П.Г.Демидова по адресу: 150008, г.Ярославль, ул.Союзная, 144, аудитория 426.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского госудадственного университета им. П.Г.Демидова.

Автореферат разослан " Л " 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Яблокова С.И.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Пространство модулей - это один из основных объектов изучения современной алгебраической геометрии, который появился в связи с проблемой классификации алгебраических объектов, таких как алгебраические кривые, поверхности, многообразия, векторные расслоения и когерентные пучки. Актуальность изучения пространств модулей обусловлена приложениями в дифференциальной геометрии, топологии и теоретической физике.

Например, в калибровочной теории пространства инстантонов с зарядом п интерпретируются как подмножества многообразий модулей стабильных векторных расслоений Е ранга 2 на CP3 с классами Черна ci = 0 и с2 = п, удовлетворяющих условию Hx(i?(—2)) = 0. Проблема классификации неприводимых компонент пространств модулей пучков ранга два на 3-мерном проективном пространстве с произвольными классами Черна в настоящий время далека от завершения. Поэтому рассмотрение частных случаев является актуальным исследованием, которое может помочь в развитии средств для решения общей проблемы.

Маруяма1 показал, что для стабильных векторных расслоений с фиксированным многочленом Гильберта над проективным алгебраическим многообразием существует грубое пространство модулей и оно алгебраично. Для поверхностей это было доказано Гизекером2.

Геометрия пространств модулей МРз(2; cj, п, 0) стабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна

1 Maruyaraa М. Moduli о/ stable sheaves II. J. Math. Kyoto Univ. 18, 1978, 557-614.

2Gieseker D. On the moduli of vector bundles on an algebraic surface. - Ann. of Math., 1977, v. 106, p.45-60.

Ci = 0 или -1, а — п, сз = 0 на трехмерном проективном пространстве Р3 к настоящему моменту изучена только для малых п. А именно при с\ — 0 полная классификация всех компонент пространства МРз(2; 0, п, 0) получена лишь для п = 1 Бартом3 и Уивером4 и для п = 2 Хартсхорном и Jle Потье5. При ci = —1 число п принимает только четные значения, и известно, что для любого четного п пространство модулей МРз(2; — 1, п, 0) непусто и содержит компоненту МРз(—1,п), которая является замыканием открытого множества МРз(—1, п) локально свободных пучков. Р.Хартсхорн и И.Сольс6 показали, что пространство модулей МРз(—1,2) стабильных локально свободных пучков ранга 2 с классами Черна с\ = — 1, С2 = 2 на Р3 является неприводимым неособым рациональным многообразием размерности 11. Х.Мезегер, И.Сольс и С.А.Стрёмме7 описали замыкание Мрз(—1,2) многообразия Mp3(-1, 2) в схеме МРз(2; -1, 2,0).

Цель работы

Целью диссертационной работы является классификация всех неприводимых компонент схемы модулей МРз(2; —1, 2, 0).

Основные методы исследования

В работе используется техника универсальных семейств, конструкция Серра и техника Quot-схем для описания множеств стабильных пучков с классами Черна с\ = — 1, сг = 2 и сз = 0 на Р3.

3W. Bartfa Some properties о/ stable rank 2 vector bundles on P" - Mathematische Annalen v.226, pp. 125-150.

4 We ver G.P. The moduli of a class of rank 2 vector bundles on projective 3-space. - Thesis, Univ. Calif.

Berkley, 1977.

6J. Le Potier. Systèmes coherents et structures de nuveau. - Astérisque, 1993.

"Hartshorne R. Sols I. Stable rank 2 vector bundles on P1 with cj = -¡,г.г ~ 2 (English). Ц J. Reine Angew. Math. 325, 145-1S2 (1981).

'Meseguer J., Sols I., Stromme S. A. Compactification of a family of vector bundles on P3 (English). 18th Scand. Congr. Math., Proc., Aarhus 1980, Prog. Math. 11, 474-494 (1981).

Научная новизна

В работе впервые описаны все неприводимые компоненты схемы модулей стабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна с\ = — 1, с^ = 2 и сз = 0 на трехмерном проективном пространстве Р3.

Теоретическая и практическая значимость

Настоящая работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения схем модулей полустабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения на Р3.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической геометрии при кафедре алгебры Ярославского государственного педагогического университета им. К.Д.Ушинского в 2007, 2009 годах, на всероссийских школах-конференциях по алгебраической геометрии и комплексному анализу в 2008 и 2009 годах, на конференции "Чтения Ушинского"(Ярославль, 2004, 2006, 2009, 2010), на международных конференциях " Колмогоровские Чтения -V,VIII" (Ярославль, 2007, 2010).

Публикации автора

Результаты диссертации опубликованы в четырех статьях, вышедших в журналах, рекомендованных ВАК РФ. Они указаны в списке литературы в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. В первой главе имеется 4 параграфа, первый из которых имеет два пункта, во второй главе - 4 параграфа; первый, третий и четвертый параграфы имеют по два пункта.

Список литературы состоит из 23 наименований. Общий объем диссертации - 86 страниц.

Краткое содержание работы

Основной результат диссертации. В работе рассматривается схема модулей Гизекера-Маруямы М = Мрз(2; -1,2,0) стабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна С\ = -1, с2 = 2, с3 = 0 на Р3. Через Мд»3(-1,2) обозначается схема модулей локально свободных лучков ранга 2 с классами Черна а = -1, с2 = 2, с3 = 0 на Р3. В схеме М выделяются следующие подмножества пучков с особенностями:

М1 = {[£] € М | £уу/£ ~ кж, где х — некоторая точка в Р3}, (1)

= {[£] € М | Еуу/Е ~ кг©ку, где хну — различные точки в Р3},

(2)

и

Мз = {[£] € М I Е^/Е ~ От(1), где т -некоторая прямая в Р3}.

(3)

Основной результат диссертации сформулирован в следующей теореме.

Теорема 1. М является объединением четырех неприводимых компонент Мрз(-1,2), Мь М2 и М3, где Мрз(-1,2), Мь М2 и М3 суть замыкания множеств МРз(-1,2), Мь М2 и М3, размерности которых равны 15, 19 и 11 соответственно.

Глава 1. В этой главе рассматриваются все стабильные когерентные пучки без кручения ранга 2 с классами Черна а = -1, с2 = 2, с3 = 0 на пространстве Р3, имеющие нульмерные особенности.

В пункте 1.1.1 вводятся необходимые обозначения. Даются определения множеств пучков Мх и М2. Формулируется следующая теорема - основной результат главы 1.

Теорема 2. 1). Замыкание Мх в М множества пучков Мх, определенного в (1), является неприводимой 15-мерной компонентой в М.

2). Замыкание М2 в М множества пучков Ж2, определенного в (2), является неприводимой 19-мерной компонентой еМ.

3). Все пучки £ е М \ Мрз(-1,2) с нульмерными особенностями лежат в Мх и

Перейдем к описанию основных этапов доказательства теоремы 2, проводимых в настоящей главе.

В пункте 1.1.2 рассматриваются пучки [£] е М, входящие в точные тройки:

где сап : £ ->• - канонический морфизм, а пучок О = £уу/£ имеет размерность 0. Вычисление классов Черна пучков £2 и £уу дает равенства:

С1(£™) = -1, с2(£уу) = 2, сз(£ух/) = 2/(£>), 1 < 1(0) < 2, (5)

где ¿(0) - длина артинова пучка О.

В параграфе 1.2 рассматриваются множество пучков Мх, определенное в (1), и подмножество М1г рефлексивных пучков в схеме модулей МРз(2; -1,2,2). На Р3 х М1г существует универсальное семейство Р стабильных рефлексивных пучков. По этому семейству строится семейство Е пучков из Мх с базой Р(Р), где Мх - множество пучков, определенное в (1).

Доказывается, что модулярный морфизм / : Р^) -» М, I н-> [Е|

¿хР:1] является биекцией на свой образ, совпадающий сМх- Тем

самым, Мх - локально замкнутое подмножество в М.

Предложение 2. Схема Р(Е) неприводилш.

Из предложения 2 и предыдущих результатов следует неравенство сИтТ[£]М > с11т/(Р(Ж)) = 15, где Т[£]М -касательное пространство в точке [£] к схеме модулей М. Далее, по конструкции схемы Р(Р) общие пучки £ семейства Е включаются в точные тройки:

О Зх{-1) £ -> аг1иг2 0, (6)

где ¿1 и /2 - скрещивающиеся прямые в Р3, а х £ 1\ и Ь - точка в Р3, составляют открытое подмножество в Мх-

Предложение 3. Для пучков £ из точной тройки (6) выполняется неравенство сНтЕх!;1^, £) < 15.

Предложение 3 вместе с равенством Т[£]М = Ех^Е, £), и предыдущим неравенством на размерность Т^М, означают, что замыкание Мх множества Мх в схеме М является неприводимой компонентой размерности 15. Это дает утверждение 1 теоремы 2.

В параграфе 1.3 рассматривается множество пучков М2, определенное в (2). Строится семейство Е пучков из М2 с базой Р, которая определяется явно с помощью многообразия модулей М2г рефлексивных пучков с классами Черна = —1, с2 = 2, сз = 4 на Р3. Доказывается, что модулярный морфизм / : Р -> М, определяемый семейством Е, является биекцией на свой образ, совпадающий с М2. Тем самым, М2 - локально замкнутое подмножество в М.

Предложение 4. Схема Р неприводима. Тем самым, и М2 = /(Р) неприводимо.

Предложение 4 и предыдущие результаты влекут неравенство &тТ[£]М > сКтМг = 19 для [£] € М2. Далее, по конструкции

семейства Е общие пучки [£] € М2 включаются в точные тройки О -> ^гих2(-1) ->• £ Ос -> 0, (7)

где С - коника в Р3.

Предложение 5. Для пучков £ из точной тройки (7) выполняется неравенство сНтЕхй (£, £) < 19.

Предложение 5 и предыдущее неравенство на сПт Т[£]М показывают, что М2 является неприводимой компонентой размерности 19 в схеме М. Это составляет утверждение 2 теоремы 2.

В параграфе 1.4 доказывается, что все пучки £ е М с нульмерными особенностями лежат в М] II М2. Для этого рассматривается множество пучков

Мо = {[£] € М | £УЧ,/£ - артинов пучок длины 2}.

Формулы (1) и (5) показывают, что множество пучков из М с нульмерными особенностями есть М1 и Мо- В этом параграфе строится семейство Е пучков из Мо с неприводимой базой Т, которая определяется явно как открытое подмножество проективного расслоения со слоем Р21 над Одю!;-схемой (^ио1;(20(—1) Ф 0(-2), 2). Доказывается, что модулярный морфизм / : Т —» М, определяемый семейством Е, является

сюръекцией Т на Мо-

Далее с использованием техники С^ио^схем доказывается, что Т неприводимо и, тем самым, замыкание М0 в М множества М0 неприводимо. Поэтому включение Мо С М0, вытекающее из определения этих множеств, и тот факт, что М2 - неприводимая компонента в М, дают следующее предложение.

Предложение 6. М0 С М0 = М2; тем самым, все пучки с нульмерными особенностями лежат в М1 и М2.

Это предложение составляет утверждение 3 теоремы 2. Глава 2 содержит описание всех стабильных когерентных пучков без кручения ранга 2 с классами Черна сх = -1, с2 = 2, сз = 0 на Р3, имеющих одномерные особенности. Рассматриваются следующие множества пучков в схеме модулей М:

М3 = {[£] е М | £уу/£ ~ От(1), где т -некоторая прямая в Р3};

(8)

М4 = {[£] € М | £уч//£ ~ О, где пучок □ включается тройку (10)};

(9)

0 -> к* 2 -). От 0, (10)

где х - некоторая точка в Р3, а т - некоторая прямая в Р3;

= {[£] € М | £уу/£ ~ где пучок из точной тройки (12)};

(П)

0 00 □ -> 04-1) 0, (12) где (}0 - артинов пучок длины 2, а т - некоторая прямая в Р3. Основным результатом главы 2 является следующая теорема.

Теорема 3. 1). Замыкание М3 множества М3 в схеме модулей М есть неприводимая компонента в М.

2). Множество М4 лежит, в М1 и не образует неприводимой компоненты в М, где Мх - множество пучков, определенное в (1). _

3). Множество М5 лежит вМ2 и не образует неприводимой компоненты в М, где М2 - множество пучков, определенное в (2).

Утверждения 1), 2) и 3) теоремы 3 доказываются в параграфах 2.2, 2.3 и 2.4 соответственно. Ниже приводится краткое описание основных этапов доказательства этой теоремы.

В пункте 2.1.1 вводятся необходимые обозначения. В пункте 2.1.2 рассматривается пучки [£] 6 М, включающиеся в точные тройки вида (4) такие, что сНт 0 = 1. По определению множество всех таких пучков, то есть пучков, имеющих одномерные особенности, есть объединение М3иМ4иМ5. Вычисление классов Черна пучков Evv для [£] е М3 и М4 и М5 дает равенства:

сг(£™) = -1, с2(в^ = 1, с3(£^) = 1. (13)

Доказывается, что для пучков £ е МзиМ4иМ5 пучки О = £уу/£ из (4) включаются в точные тройки вида:

О О0 О От(п) 0, (14)

где 00 - некоторый нульмерный пучок. Определяются возможные значения п и вид пучка Оо. Как оказалось, возможны три случая:

1) /(О0) =0, п = 1; 2) /(Оо) = 1, я = 0; 3) /(О0) = 2, п = -1.

Случаю 1) соответствует множество пучков Мз, случаю 2) -М4, случаю 3) - М5. Таким образом, Мз и М4 и М5 есть множество пучков с одномерными особенностями. Согласно предложению б пучки £ из М, с нульмерными особенностями, лежат в объединении Мх и М2. Пучки без особенностей, то есть локально свободные пучки, описываются схемой МРз(—1, 2). Так как особенности пучков из М не более чем одномерны, то из предыдущих результатов вытекает следующее предложение.

Предложение 9. Схема модулей М есть объединение множеств Мрз(-1, 2) и Мх и М2 и М3 и М4 и М5.

В параграфе 2.2 рассматривается множество пучков Мз. Основным результатом параграфа является следующее предложение, влекущее утверждение 1 теоремы 3.

и

Предложение 10. 1). Множество М3 является 11-мерным неприводимым подмножеством в схеме модулей М. 2). М3 есть неприводимая компонента размерности 11 в М.

Для доказательства предложения 10 строится семейство пучков Е с 11-мерной базой П, которая определяется явно с помощью схемы модулей рефлексивных пучков с классами Черна сх = -1, с2 = 1, с3 = 1 на Р3. В параграфе 2.2 доказывается, что схема П неприводима и биективно отображается на М3 посредством модулярного морфизма /, определяемого семейством Е. Тем самым, множество М3 неприводимо и имеет размерность 11. Отсюда вытекает утверждение 1 предложения 10.

Предложение 11. Для пучков [£] е Мз выполняется равенство Т[£]М = Е^Нв.Е) = к11.

Из предложения Ни равенства сПтМ3 = 11 вытекает, что М3 - неприводимая компонента размерности 11 в М, что дает утверждение 2 предложения 10.

В параграфе 2.3 рассматривается множество М4 пучков £, определенное в (9). Основным результатом параграфа является следующее предложение.

Предложение 12. 1). Множество М4 лежит в Мх как собственное подмножество. 2). Тем самым, М4 не является неприводимой компонентой в схеме модулей М.

Опишем схему доказательства предложения 12. В пункте 2.3.1 строится плоское семейство Е4 пучков из М с базой IV, которая явно описывается с помощью С^шЛ-схем. Доказывается, что схема IV неприводима и ее образ при модулярном морфизме / : 1У —> М, определяемом семейством Е4, есть М4. Отсюда вытекает следующее предложение.

Предложение 18. Замыкание М4 множества М4 е М неприводимо.

В пункте 2.3.2 доказывается, что множество пучков М4 лежит в неприводимой компоненте Мх. Для этого строится неприводимая схема П, точками которой являются наборы (1,у,т,х, < £ >), где / и т - прямые в Р3, х и у - точки в Р3, а £ € Ех^Йиу^ших!-!))- Далее рассматривается в П открытое плотное подмножество П* = {и — (1,у,т,х,< £ > ) € П и е Ех^Йи,, ^ <5(Нош№иу,0т(-1) © кх))},

где 8 - связывающий гомоморфизм в точной последовательности Ех^,-групп, индуцированной точной тройкой 0 —> Зтит(—1) 0(—1) -»■ От(—1) © К 0. На Р3 х П* определен пучок Е такой, что его ограничение сш = Е|]рзхш для произвольной точки ш = {I, у, т, х, < С >) е О* получается как расширение:

0 ->• атцг(-1) Ъиу -> 0, (15)

задаваемое элементом £ , Утих(~ 1)) х

<5(Нот(3(иу, От(—1) Ф кх)). Тем самым, определен морфизм и : П* М,ш !->■ [£ш]- В М4 рассматривается в плотное подмножество пучков М} = {[£]€ М4 | £уу/£ с* кт ф От}, где т - прямая, а х т - точка. В этом пункте доказывается, что морфизм и : ГГ сюръективен.

В пункте 2.3.3 рассматриваются точные тройки вида: 0 -» 0тиЛ-1) 3/ит кт ф 1) о, где ^шиР2,а

у = тп П Р2. Для фиксированных прямой I С Р2 и точки у е Р2 однозначно с точностью до пропорциональности определена сюръекция т? : 3Юу кх ф 3,^2 (-1), ядро которой есть пучок 1). Тем самым, имеется коммутативная диаграмма:

0 (16)

1

о — Зх(-1)—— Ъиу—^кхф?гр2(-1)^0

о—--£-~зти1--о

Зт1)х(—1) == Зтцх ( — 1)

I I

о о,

в которой £ - некоторый пучок ранга 2. Вертикальная средняя тройка в этой диаграмме совпадает с точной тройкой типа (15), то есть [£] е С другой стороны, центральная горизонтальная тройка:

О ^(-1) £ 0ти1 0. (17)

показывает, что [£] е Мь Далее строится неприводимое многообразие Т, точками которого являются наборы (1,у,т,х,¥2,< г >), где г е ЕхЬх(кх © ^р2(-1),ати1(-1)). Для произвольной точки и = (/, у, т, х, Р2, < г >) 6 Т элемент т определяет правую вертикальную тройку в (16), а сюръекция ту в (16) определяется тройкой (1,у,¥2) согласно сказанному выше. Определено отображение д : Т -> О, : (I, у, т,х,¥2, < т >) и-» (1,у,т,х,< £ >), где £ - элемент группы Ех^д^, Зтих(-1)), задающий центральную вертикальную тройку в диаграмме (16) как расширение. Далее доказывается, что морфизм ц доминантен, и рассматривается прообраз Т* множества П* с при отображении ¡1. В силу доминантности //., плотности ГГ в неприводимости Л и Т, подмножество Т* является открытым и плотным в Т. По построению морфизм /Л|Т. : Т* —>• Г2* доминантен. Отсюда в силу сюръективности и композиция

и о /х : Т* ^ М4 е—> М4 также доминантна. По конструкции для произвольной точки и € Т* пучки [£] = {и о включаются

в тройки вида (17) и принадлежат Мх. Отсюда следует, что М4 С Ж\. Так как сИт М4 = 13, а сПт Мх = 15, то М4 не является компонентой в схеме модулей М. Это дает доказательство предложения 12.

В параграфе 2.4 доказывается, что множество пучков М5, определенное в (11), не является компонентой в схеме модулей М, откуда вытекает теорема 3. Основным результатом параграфа является следующее предложение.

Предложение 16. 1). М5 с М2.

2). М5 не составляет, компоненты в схеме М.

Опишем схему доказательства предложения 16. В пункте 2.4.1 доказывается, что множество М5 неприводимо. Строится плоское семейство Е пучков из М5, с неприводимой базой IV, которая явно определяется с помощью С^ио^схем. Доказывается, что образ схемы IV при модулярном морфизме /, определяемом семейством Е, есть М5. Далее доказывается, что схема IV неприводима. Отсюда вытекает следующее предложение.

Предложение 18. Множество М5 неприводилю.

В пункте 2.4.2 проводятся рассуждения параллельные рассуждениям в пункте 2.3.2 с заменой Мх на М2 и М4 на М5.

Сначала в этом пункте доказывается, что множество пучков М5 лежит в неприводимой компоненте М2. Для этого строится неприводимая схема П, точками которой являются наборы (/, т, Хи Х2, < £ >), где I и т - прямые в Р3, х\ и х2 ~ точки в Р3, а £ 6 Ех^р/, ЗтиХ1их2(~^))- Далее рассматривается в О открытое плотное подмножество П* := {ш = (/, т, а:х, х2, < £ >) 6 е Ех^(Эг,ати1]Ш;2(-1)) \ <5(Нот(Э,,От(-1) © кХ] © кТ2))}, где <5 -

связывающий гомоморфизм в точной последовательности Ех1> групп0 —» Нот^Оп^-^фк^фк*,,) Ех^р/, (-1)) А

ЕхЬ1^, 0(—1)) —¥ О, индуцированный точной тройкой 0 —> Зпгиххи*^-!) 0(-1) -> СМ-1) Ф кХ1 Ф кХ2 0. На Р3 х П* определяется пучок Е такой, что его ограничение — Е|Рзха,, на произвольную точку ш = (1,т,х1,х2, < £ >) € П* есть средний член расширения:

0 -> 0тих1их2(-1) £ш 0, (18)

задаваемого элементом £ € Ех^(3;, ^тичихгС-!)) \ 5(Нот(?;, От(—1) ф кХ1 ф к12)). Тем самым, определен морфизм и : О.* —м- [£ш]. В М5 рассматривается открытое плотное множество пучков:= {[£] € М5 | £™/£ ^ О^-^фк^фк^, Х\ ф Х2}. Далее доказывается, что О посредством морфизма у сюръективно отображается на М5.

Затем в пункте 2.4.2 рассматривается Орз-пучок 9 = кХ1 © кХ2 ф 0Рг(—1) и произвольное нетривиальное расширение:

0

тих1их2

(-1) -»• X 9 -> о, (19)

где т и I - скрещивающиеся прямые в Р3, х\ и Х2 ~ точки в Р3, не лежащие ни на т, ни на I, а Р2 - произвольная плоскость, проходящая через I и не содержащая точек Х\ и хо. Для произвольного нетривиального расширения (19) пучок X -является пучком без кручения ранга 1 с сх(Х) = 0. Поэтому X - пучок идеалов Зг некоторой подсхемы 2 в Р3. Очевидно, что 2 — т и т' - распавшаяся коника, где прямые т и т' пересекаются в точке т Г) Р2. Итак, имеется расширение 0 —> ?тиг1и12(-1) ->■ Отит' 8 0. Так как 1 С Р2 и хих2 # Р2, то однозначно с точностью до пропорциональности определена сюръекция 71 : -> 9, ядро которой есть пучок 0х^их2(—1). Это с

предыдущим расширением дает коммутативную диаграмму:

О 0 (20)

о—-Эци^—1)--а,——з---о

О-- Ух\1)Х2 1)-* £-" Утит' *" О

I _ I

О о,

в которой £ - некоторый пучок ранга 2, а средняя вертикальная тройка в этой диаграмме совпадает с точной тройкой (18). Центральная горизонтальная тройка показывает, что £ £ Мг, поскольку т и т' - коника. Далее строится многообразие Т, точками которого являются наборы (/, т, х\, х2, Р2, т), где т 6 Ех11(3,0тих1их2(~!))• Для произвольного точки у — (1,т,Х1,Х2,Р2,т) € Т элемент т определяет правую вертикальную тройку в (20), а сюръекция г) в (20) определяется парой (/,Р2), согласно сказанному выше. Тем самым, определен морфизм ¡1 : Т —V (I, тп, ж2,Р2, т) к-» (/, тп, Х\,Х2, < £ >), где £ - элемент группы Ех^р/, Зтих1Ш,2(—1)), задающий центральную вертикальную тройку в диаграмме (20) как расширение.

Далее в этом пункте доказывается, что морфизм ¡л доминантен. Доказательство этого утверждения проводится с помощью вычисления Ех^ групп, соответствующих расширений, участвующих в диаграмме (20). Рассматривается множество Т* - прообраз множества П* С П при морфизме //, которое в силу неприводимости Т является открытым плотным подмножеством в Т. Тем самым, морфизм ¡л : Т* —> О.* доминантен. Поэтому в

силу предложения 18 композиция ь> о ¡л : "Г* М5 также

доминантна. Отсюда ввиду того, что пучок [£] в диаграммы (20) принадлежит М2, следует, что М5 С М2. Тем самым, верно утверждение 1 предложения 16. Так как сНт М5 = 15, а сЦтМ2 = 19, то М5 не является компонентой в М. Отсюда следует утверждение 2 предложения 16. Теперь из предложений 10, 12 и 16 вытекает теорема 3.

Из теорем 2 и 3 следует основной результат настоящей диссертации - теорема 1.

Основное положение, выносимое на

защиту

Схема модулей Мрз(2; — 1,2,0) стабильных когерентных пучков ранга два с классами Черна = — 1, с2 = 2, сз — 0 на трехмерном проективном пространстве Р3 является объединением четырех неприводимых компонент размерностей 11, 11, 15 и 19.

Публикации автора по теме диссертации

1. Заводчиков М.А. О некотором семействе когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна с\ — — 1, с2 = 2, сз = 0 на трехмерном проективном пространстве (Часть I). // Ярославский педагогический вестник. - 2011.

- т.З (Естественные науки), №3,- С.45-54.

2. Заводчиков М.А. О некотором семействе когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна с\ = —1, с2 = 2, Сз = 0 на трехмерном проективном пространстве (Часть II).// Ярославский педагогический вестник. - 2011.

- т.З (Естественные науки), №4,- С.25-35.

3. Заводчиков М.А. Новые компоненты схелш модулей стабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения на трехмерном проективном пространстве Р3. // Моделирование и анализ информационных систем,- 2012.- т. 19, т. - С.5 - 18.

4. Заводчиков М.А. Компоненты схемы модулей стабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения на трехмерном проективном пространстве. // Ярославский педагогический вестник. - 2012. - т.З (Естественные науки), №1.- С.23-39.

Формат 60 х 92/16 Объем 1,25 п.л. Тираж 100 экз. Заказ №71 Типография ЯГПУ

61 12-1/964

ФГБОУ ВПО «ЯРОСЛАВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. К.Д. УШИНСКОГО»

МОДУЛИ СТАБИЛЬНЫХ ПУЧКОВ РАНГА ДВА С КЛАССАМИ ЧЕРНА С! = -1, С2 - 2, С3 = О НА ПРОЕКТИВНОМ

ПРОСТРАНСТВЕ

Специальность:

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Заводчиков Михаил Александрович

Научный руководитель -

доктор физико-математических наук, профессор А.С.Тихомиров

Ярославль 2012

Оглавление

Введение 3

*

1 Пучки с нульмерными особенностями 16

1.1 Предварительные вычисления и обозначения..................16

1.1.1 Обозначения ..............................................16

1.1.2 Предварительные вычисления для пучков из М с нульмерными особенностями............................17

1.2 Множество пучков Мх............................................19

1.3 Множество пучков ............................................27

1.4 Пучки с нульмерными особенностями, не дающие

*

неприводимых компонент в М ..................................33

2 Пучки с одномерными особенностями 42

2.1 Предварительные вычисления и обозначения..................42

2.1.1 Обозначения ..............................................42

2.1.2 Предварительные вычисления для пучков с одномерными особенностями............................43

2.2 Множество Жз....................................................45

2.3 Множество ЗУС4....................................................50

2.3.1 Неприводимость множества ..........................50

2.3.2 Включение множества М4 в М1 ........................57

2.4 Множество ....................................................64

2.4.1 Неприводимость множества М5..........................64

2.4.2 Включение множества М5 в М2 ........................72

Введение

Актуальность темы

Пространство модулей - это один из основных объектов изучения современной алгебраической геометрии, который появился в связи с проблемой классификации алгебраических объектов, таких как алгебраические кривые, поверхности, многообразия, векторные расслоения и когерентные пучки. Актуальность изучения пространств модулей обусловлена приложениями в дифференциальной геометрии, топологии и теоретической физике.

Например, в калибровочной теории пространства инстантонов с зарядом п интерпретируются как подмножества многообразий модулей стабильных векторных расслоений Е ранга 2 на СР3 с классами Черна с\ = 0 и С2 — гь, удовлетворяющих условию Н1(£^(—2)) = 0. Проблема классификации неприводимых компонент пространств модулей пучков ранга два на 3-мериом проективном пространстве с произвольными классами Черна в настоящий время далека от завершения. Поэтому рассмотрение частных случаев является актуальным исследованием, которое может помочь в развитии средств для решения общей проблемы.

Маруяма [5] показал, что для стабильных векторных расслоений с фиксированным многочленом Гильберта над проективным алгебраическим многообразием существует грубое пространство модулей и оно алгебраично. Для поверхностей это было доказано Гизекером [15].

Геометрия пространств модулей МРз(2; сь п, 0) стабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна с\ — 0 или -1, С2 = п, Сз — 0 на трехмерном проективном пространстве Р3 к настоящему моменту изучена только для малых п. А именно при С\ — 0 полная

классификация всех компонент пространства Мрз(2; 0, п, 0) получена лишь для п = 1 Бартом [18] и Уивером [16] и для п = 2 Хартсхорном [19] и Ле Потье [17]. При С\ = —1 число п принимает только четные значения, и известно, что для любого четного п пространство модулей Мрз(2; ~1,п,0) непусто и содержит компоненту Мрз(—1,п), которая является замыканием открытого множества Мрз(—1,п) локально свободных пучков. Р.Хартсхорн и И.Сольс [9] показали, что пространство модулей Мрз(—1,2) стабильных локально свободных пучков ранга 2 с классами Черна с\ — —1, с^ = 2 на Р3 является неприводимым неособым рациональным многообразием размерности 11. Х.Мезегер, И.Сольс и С.А.Стрёмме [10] описали замыкание Мрз(—1,2) многообразия МРз(—1,2) в схеме Мрз(2; —1,2,0).

Цель работы

Целью диссертационной работы является классификация всех неприводимых компонент схемы модулей Мрв(2; —1,2,0).

Основные методы исследования

В работе используется техника универсальных семейств, конструкция Серра и техника СЗио1>схем для описания множеств стабильных пучков с классами Черна с\ = —1, С2 = 2 и сз = 0 на 1Р3.

Научная новизна

В работе впервые описаны все неприводимые компоненты схемы модулей стабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна С\ = — 1, сг = 2 и сз = 0 на трехмерном проективном пространстве

Р3.

Теоретическая и практическая значимость

Настоящая работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения схем модулей полустабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения на Р3.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической геометрии при кафедре алгебры Ярославского государственного педагогического университета им. К.Д.Ушинского в 2007, 2009 годах,

на всероссийских школ ах-конференциях по алгебраической геометрии и комплексному анализу в 2008 и 2009 годах, на конференции "Чтения Ушинского"(Ярославль, 2004, 2006, 2009, 2010), на международных конференциях "Колмогоровские Чтения - УДЧН"(Ярославль, 2007, 2010).

Публикации автора

Результаты диссертации опубликованы в четырех статьях, вышедших в журналах, рекомендованных ВАК РФ. Они указаны в списке литературы в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. В первой главе имеется 4 параграфа, первый из которых имеет два пункта, во второй главе - 4 параграфа: первый, третий и четвертый параграфы имеют 2 пункта. Список литературы состоит из 23 наименований. Общий объем диссертации - 86 страниц.

Краткое содержание работы

Основной результат диссертации. В работе рассматривается схема модулей Гизекера-Маруямы М = Мрз(2; —1,2,0) стабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна с\ — —1, с2 — 2, с3 — 0 на Р3. Через Мрз(—1,2) обозначается схема модулей локально свободных пучков ранга 2 с классами Черна с\ = —1, С2 = 2, сз — 0 на Р3. В схеме М выделяются следующие подмножества пучков с особенностями:

Жг = {[£] € М \ £уу/£ ~ кх, гдея - некоторая точка в Р3}, (1) Ж2 = {[£] € М | £ух//£ ~ крфЦ,, где х и у - различные точки в Р3}, (2)

и

Н3 = {[£] € М | £у7£ ^ От(1), где т - некоторая прямая в Р3}. (3)

Основной результат диссертации сформулирован в следующей теореме.

Теорема 1. М является объединением четырех неприводимых компонент Мра(—1,2), Мь М2 и где Мрз( —1,2), Mi; М2 и М3 суть замыкания множеств Мрз(—1,2), Mi, М2 и Мз, размерности которых равны 15, 19 и 11 соответственно.

Глава 1. В этой главе рассматриваются все стабильные когерентные пучки без кручения ранга 2 с классами Черна С\ — — 1, с2 — 2, С3 = 0 на пространстве Р3, имеющие нульмерные особенности.

В пункте 1.1.1 вводятся необходимые обозначения. Даются определения множеств пучков Mi и М2. Формулируется следующая теорема - основной результат главы 1.

Теорема 2, 1). Замыкание Mi в М множества пучков Мь определенного в (1.1), является неприводимой 15-мерной компонентой в

М.

2). Замыкание М2 в М множества пучков М2, определенного в (1.2), является неприводимой 19-мерной компонентой в М.

3). Все пучки £ € М \ Мрз(—1,2) с нульмерными особенностями лежат в Mi U М2.

Перейдем к описанию основных этапов доказательства теоремы 2, проводимых в настоящей главе.

В пункте 1.1.2 рассматриваются пучки [£] € М, входящие в точные тройки:

О £ £vv AQH-0, (4)

где can : £ —► £w - канонический морфизм, а пучок Q — £vv/£ имеет размерность 0. Вычисление классов Черна пучков Q и £w дает равенства:

cj(£vv) — —1, c2(£w) = 2, c3(£w) = 2/(Q), 1 < l(Q) < 2, (5)

где 1{Q) - длина артинова пучка Q.

В параграфе 1.2 рассматриваются множество пучков Mi, определенное в (1.1), и подмножество Mir рефлексивных пучков в схеме модулей Мрз(2;—1,2,2). На f3 х Mir существует универсальное семейство F

стабильных рефлексивных пучков. По этому семейству строится семейство Е пучков из Мх с базой Р(К), где М1 - множество пучков, определенное в

ал).

Доказывается, что модулярный морфизм / : Р(Е) —> М, £ (->■ [Е|гхр3] является биекцией на свой образ, совпадающий с Мь Тем самым, М1 -локально замкнутое подмножество в М.

Предложение 2. Схема Р(Е) неприводима.

Из предложения 2 и предыдущих результатов следует неравенство сИтТ[£)М > Шш/(Р(Р)) = 15, где Т[£]М - касательное пространство в точке [£] к схеме модулей М. Далее, по конструкции схемы Р(Р) общие пучки £ семейства Е включаются в точные тройки:

0-4Ь(-1)-»£-+5111Ла-+0) (6)

где и ¿2 ~ скрещивающиеся прямые в Р3, а х £ 1\ и ¿2 ~ точка в 1Р3, составляют открытое подмножество в Мь

Предложение 3. Для пучков £ из точной тройки (1.13) выполняется неравенство ШшЕх11(£,£) < 15.

Предложение 3 вместе с равенством Т^М = Ех11(£, £), и предыдущим неравенством на размерность Т[£]М, означают, что замыкание М1 множества ЗУС1 в схеме М является неприводимой компонентой размерности 15. Это дает утверждение 1 теоремы 2.

В параграфе 1.3 рассматривается множество пучков М2, определенное в (1.2). Строится семейство Е пучков из Жъ с базой Р, которая определяется явно с помощью многообразия модулей Мгг рефлексивных пучков с классами Черна С\ = —1, = 2, С3 = 4 на Р3. Доказывается, что модулярный морфизм / : Р -4- М, определяемый семейством Е, является биекцией на свой образ, совпадающий с М2. Тем самым, - локально замкнутое подмножество в М.

Предложение 4. Схема Р неприводима. Тем самым, и М? = /(Р) неприводимо.

Предложение 4 и предыдущие результаты влекут неравенство сНтТ[£]М > сЦтМ2 = 19 для [£] € Мг- Далее, по конструкции семейства

Е общие пучки [£] € М2 включаются в точные тройки

О 0XlUX2{~l) £ Ос -> 0, (7)

где С - коника в Р3.

Предложение 5. Для пучков £ из точной тройки (1.46) выполняется неравенство dim EJxt1(£, £) < 19.

Предложение 5 и предыдущее неравенство на dim Т|£]М показывают, что У&2 является неприводимой компонентой размерности 19 в схеме М. Это составляет утверждение 2 теоремы 2.

В параграфе 1.4 доказывается, что все пучки £ € М с нульмерными особенностями лежат в Ж1 U Ж2. Для этого рассматривается множество пучков

Ж0 — {[£] € М | £w/£ - артинов пучок длины 2}.

Формулы (1) и (5) показывают, что множество пучков из М с нульмерными особенностями есть Mj U Mo. В этом параграфе строится семейство Е пучков из Но с неприводимой базой Т, которая определяется явно как открытое подмножество проективного расслоения со слоем Р21 над Quot-схемой Quot(20(—1)ф0(—2), 2). Доказывается, что модулярный морфизм / : Т —> М, определяемый семейством Е, является сюръекдией Т на Но-

Далее с использованием техники Quot-схем доказывается, что Т неприводимо и, тем самым, замыкание Мо в М множества Мо неприводимо. Поэтому включение Ж2 С Мо, вытекающее из определения этих множеств, и тот факт, что Ж2 - неприводимая компонента в М, дают следующее предложение.

Предложение 6. Жо С Мо = Ж%; тем самым, все пучки с нульмерными особенностями лежат в Mi UM2.

Это предложение составляет утверждение 3 теоремы 2.

Глава 2 содержит описание всех стабильных когерентных пучков без кручения ранга 2 с классами Черна Cj = — 1, Ci — 2, С3 — 0 на Р3, имеющих одномерные особенности. Рассматриваются следующие множества пучков в схеме модулей М:

М3 = {(£] € М | £уу/£ с- От(1), где т - некоторая прямая в 1Р3}; (8)

МА - {[£] € М | £ух//£ ~ 0, где пучок О включается тройку (2.3)}; (9)

(10)

где х - некоторая точка в Р3, а т - некоторая прямая в Р3; М5 = {[£] е М 1 ~ О, где 0 - пучок из точной тройки (2.5)}; (11)

0 О0 О От(-1) 0, (12)

где Оо - артинов пучок длины 2, а т - некоторая прямая в Р3. Основным результатом главы 2 является следующая теорема.

Теорема 3. 1). Замыкание Мз множества М3 в схеме модулей М есть неприводимая компонента в М.

2). Множество ЭУС4 лежит в Мх и не образует неприводимой компоненты в М, где М^ - множество пучков, определенное в (1.1).

3). Множество М5 лежит в и не образует неприводимой компоненты в М, где - множество пучков, определенное в (1.2).

Утверждения 1), 2) и 3) теоремы 3 доказываются в параграфах 2.2, 2.3 и 2.4 соответственно. Ниже приводится краткое описание основных этапов доказательства этой теоремы.

В пункте 2,1.1 вводятся необходимые обозначения. В пункте 2.1.2 рассматривается пучки [£] € М, включающиеся в точные тройки вида (1.3) такие, что сНт 2 — 1. По определению множество всех таких пучков, то есть пучков, имеющих одномерные особенности, есть объединение Мз и М4 и М5. Вычисление классов Черна пучков £для [£] в Мз и Н4 и Н5 дает равенства:

С1(£™) = -1, с2(£уу) = 1, с3(£^ = 1. (13)

Доказывается, что для пучков £ € Мз иЖ4 и М5 пучки 0 = £vv/£ из (1.3) включаются в точные тройки вида:

0 О0 -» Я От(п) -> 0, (14)

где Оо - некоторый нульмерный пучок. Определяются возможные значения п и вид пучка Оо. Как оказалось, возможны три случая:

1) г(Оо) = 0, п = 1; 2) 1(й0) = 1, п = 0; 3) 1{й0) = 2, п = -1.

Случаю 1) соответствует множество пучков Мз, случаю 2) - М4, случаю 3) - Мб- Таким образом, МзиМ4иМ& есть множество пучков с одномерными особенностями. Согласно предложению 6 пучки £ из М, с нульмерными особенностями, лежат в объединении !М1 и Ж^. Пучки без особенностей, то есть локально свободные пучки, описываются схемой Мрз(—1,2). Так как особенности пучков из М не более чем одномерны, то из предыдущих результатов вытекает следующее предложение.

Предложение 9. Схема модулей М есть объединение множеств Мрз(-1,2) и Мх и М2 и М3 и М4 и М5.

В параграфе 2.2 рассматривается множество пучков М3. Основным результатом параграфа является следующее предложение, влекущее утверждение 1 теоремы 3.

Предложение 10. 1). Множество Мз является 11-мерным неприводимым подмножеством в схеме модулей М. 2). Мз есть неприводимая компонента размерности 11 в М.

Для доказательства предложения 10 строится семейство пучков Е с 11-мерной базой П, которая определяется явно с помощью схемы модулей рефлексивных пучков с классами Черна ~ — 1, С2 = 1, сз = 1 на Р3. В параграфе 2.2 доказывается, что схема П неприводима и биективно отображается на Мз посредством модулярного морфизма /, определяемого семейством Е. Тем самым, множество Мз неприводимо и имеет размерность 11. Отсюда вытекает утверждение 1 предложения 10.

Предложение 11. Для пучков [£] € Мз выполняется равенство Т[£]М = Ех1^(£, £) = к11.

Из предложения 11 и равенства сНтМз — 11 вытекает, что Мз -неприводимая компонента размерности 11 в М, что дает утверждение 2 предложения 10.

В параграфе 2.3 рассматривается множество М4 пучков £, определенное

в (2.2). Основным результатом параграфа является следующее предложение.

Предложение 12. 1). Множество М4 лежит в М} как собственное подмножество. 2). Тем самим, М4 не является неприводимой компонентой в схеме модулей М.

Опишем схему доказательства предложения 12. В пункте 2.3.1 строится плоское семейство Е4 пучков из М с базой которая явно описывается с помощью С^шЛ-схем. Доказывается, что схема IV неприводима и ее образ при модулярном морфизме / : V/ —> М, определяемом семейством Е4, есть М4. Отсюда вытекает следующее предложение.

Предложение 18. Замыкание М4 множества М4 в М неприводимо.

В пункте 2.3.2 доказывается, что множество пучков Ж4 лежит в неприводимой компоненте Мь Для этого строится неприводимая схема П, точками которой являются наборы (¿,у,т,х,<£ >), где £ и т - прямые в 1Р3, х и у - точки в Р3, а £ € Ех^(3{иу,3тиаг(—1)). Далее рассматривается в П открытое плотное подмножество П* = {со = (/, у, т, ж, < £ >) е | £ € Ех^(а/иу,ати;с(-1)) \ ¿(Нот(^иу,0т(-1) ф кх))}, где 6 - связывающий гомоморфизм в точной последовательности Ех^групп, индуцированной точной тройкой 0 Зтих(-1) 0(-1) -)• 0т(—1) ф кх 0. На Р3 х определен пучок Е такой, что его ограничение = 2£(рзхи) для произвольной точки ш = т,х,< £ >) € £2* получается как расширение:

о -> ^(-1) Оюу о, (15)

задаваемое элементом £ € Ех11(^иу, 7тих(—1)) ч ¿(Нот^и^, От(—1) ф кх)). Тем самым, определен морфизм и : О,* М,и> [£„]. В Ж4 рассматривается в плотное подмножество пучков М4 = {[£] € М4 | ~ кх Ф 0т}, где т - прямая, а х £ т - точка. В этом пункте

доказывается, что морфизм V : П* сюръективен.

В пункте 2.3.3 рассматриваются точные тройки вида; 0 —Зтих(—1) Зйлп кд ф 0, где х £ т и Р2, а у = т П Р2. Для

фиксированных прямой I С Р2 и точки у € Р2 однозначно с точностью

до пропорциональности определена сюръекция у : Зщу —> кж Ф 1),

ядро которой есть пучок ^(—1). Тем самым, имеется коммутативная диаграмма:

0 0 (16)

1 I

—0юУ п > к^ ф а,,р2(-1) —- о

-^ £-Зтиг-- О

I I

-$ тих ( 1)

о о,

в которой £ - некоторый пучок ранга 2. Вертикальная средняя тройка в этой диаграмме совпадает с точной тройкой типа (2.29), то есть [£] Е М4. С другой стороны, центральная горизонтальная тройка:

О Зж(-1) ^ £ ^ дти1 0. (17)

показывает, что [£] € Далее строится неприводимое многообразие Т, точками которого являются наборы у, га, х, Р2, < г >), где г € Ех11(ка;ф 5у,рз(—1),Зтих{—!))• Для произвольной точки и = (1,у,т,х:¥2,< г > ) е Т элемент т определяет правую вертикальную тройку в (2.31), а сюръекция г? в (2.31) определяется тройкой (¿,у,Р2) согласно сказанному выше. Определено отображение ¡л : Т —> : т, ж, Р2, < г >) (¿,г/, < £ >), где £ - элемент группы 1)), задающий

центральную вертикальную тройку в диаграмме (2.31) как расширение. Далее доказывается, что морфизм ц, доминантен, и рассматривается прообраз Т* множества £"2* С £1 при отображении д. В силу доминантности /¿, плотности в П, неприводимости П и Т, подмножество Т* является открытым и плотным в Т. По построению морфизм : Т* —> Г2* доминантен. Отсюда в си