Отображение барта пространства модулей стабильных векторных расслоений ранга два на проективной плоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Матыцина Татьяна Николаевна

ОТОБРАЖЕНИЕ БАРТА ПРОСТРАНСТВА МОДУЛЕЙ СТАБИЛЬНЫХ ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИЙ РАНГА ДВА НА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ

01 01 06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль - 2007

003070382

Работа выполпена на кафедре алгебры Ярославского государственного педагогического университета им К Д Ушинского

Научный руководитель -

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор

Тихомиров Александр Сергеевич

доктор физико-математических наук, доцент

Кулешов Сергей Алексеевич

доктор физико-математических

наук, профессор

Краснов Вячеслав Алексеевич

Ведущая организация - Владимирский государственный

университет

Защита состоится " М/ЛсИ*_2007 года в часов

на заседании диссертационного совета Д 212 002 03 при Ярославском государственном университете им П Г Демидова по адресу 150008, г Ярославль, ул Союзная, 144

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета им П Г Демидова

Автореферат разослан " 11 Ап/ииЖ 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета Яблокова С И

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Цели работы. Пространства модулей, те классов изоморфизма алгебраических векторных расслоений ранга 2 на проективной плоскости Р2 и их компактификации являются объектом пристального внимания алгебраических геометров в течение последних трех десятилетий, начиная со знаменитых работ В Барта [1], [2] и последующих статей Ж Ле Потье [6], К Хулека [4], М Маруямы [11], [12], ГЭллингсруда и С Стремме [3] и целого ряда других авторов вплоть до настоящего времени Это обусловлено с одной стороны богатой геометрией самих этих многообразий, обозначаемых ниже через М^с^п) (где с\ = 0 или -1 - первый класс Чженя, а п > 2 - второй класс Чженя расслоения), а с другой стороны многочисленными приложениями этих многообразий в других вопросах алгебраической геометрии и смежных областях В частности, при вычислении коэффициентов полиномов Дональдсона проективной плоскости Р2, являющимися универсальными константами гладкой структуры на Р2, возникает вопрос об инъективности отображения Барта (рп многообразия Мр2(0,п) (случай сг = 0) в пространство рп(п+з)/2 плохих кривых степени п в двойственной плоскости Р2, сопоставляющего классу [Е] изоморфизма расслоения Е кривую прямых подскока С{Е) расслоения Е, т е. таких прямых, ограничение на которые расслоения Е нетривиально Гипотезе об инъективности в общей точке отображения <рп при п > 4, возникшей в конце 80-ых гг, посвящена серия работ Ле Потье [7], [8], [9] В 1999 г А С Тихомиров в препринте [14] предложил индукционную процедуру для доказательства этой гипотезы Окончательное доказательство гипотезы об инъективности в общей точке отображения у>„ было дано в 2001 г в статье Ле Потье и Тихомирова [15]

В 2002 г А С Тихомиров сформулировал аналог предыдущей гипотезы для случая сх = — 1 В этом случае, как следует из работы К Хулека [4],

аналогом кривой прямых подскока расслоения Е является кривая С{Е) в Р2 двойных прямых подскока расслоения Е, здесь под двойной прямой I на Р2 понимается схема № с двойной структурой на I, те подсхема в Р2, задаваемая пучком идеалов Тцъуг — соответственно, схема № называется двойной прямой подскока расслоения Е, если h°(E\№) ф О Как показал Хулек в [4], кривая С{Е) имеет степень 2п — 2, так что мы получаем отображение ipn • [Е] н* С(Е) многообразия М$г{—1,п) в пространство р(п-1)(2"+1) плоских кривых степени 2п — 2 в Р2 Это отображение, называемое по аналогии со случаем ci = 0 отображением Барта, продолжается до морфизма <рп Мрг(—1,п) —> ]p(n-1)(2n+i)) где Mfi{—1, п) - замыкание многообразия Мрг(—1, п) по Гизекеру-Маруяме Согласно гипотезе А С.Тихомирова, морфизм ipn является инъективным в общей точке. При п = 2 справедливость этого утверждения очевидна, но уже при п > 3 эта проблема оставалась открытой

Целью настоящей диссертации является доказательство гипотезы А С Тихомирова Основной результат диссертации - следующая теорема

Теорема. Морфизм Барта М¥г{-1,п) Р(п"1)(2п+1) [Е] Н> С(Е) является инъективным в общей точке при п > 2

Из других результатов диссертации наиболее важными являются следующие

- для п = 3 дано явное описание отображения Барта <рз в терминах линейной алгебры и перечислены все слои отображения ¡рз,

- для п> 3 геометрически выделено плотное открытое подмножество в множестве тех точек в Мрг(—1,п), в которых отображение <рп квазиконечно,

- для п > 3 описана геометрия отображения <рп и его дифференциала в общей точке границы многообразия Мрг(—1,п), состоящей из классов нелокально свободных пучков

Методы работы и научная новизна При изучении используется геометрия открытого подмножества D границы компактификации

Гизекера-Маруямы 1,п) многообразия Мр2(—1, п), состоящего

из классов стабильных пучков без кручения с простой особенностью в единственной точке При исследовании морфизма ¡рп в окрестности дивизора £> применяются методы бирациональной и пучковой геометрии, в том числе конструкция Серра и техника идеалов Фиттинга, и используются свойства специальных подмногообразий многообразия Мрг(— 1,п) Основной инструмент исследования - разложение Штейна — ип-(рп морфизма Барта <рп в композицию стягивания {рп и конечного морфизма 1>п Для описания дифференциала ¿ип морфизма 1/п в точках многообразия <рп(1?) используются специфические свойства расслоений Хюльсбергена, в частности, задание кривых подскока таких расслоений явными уравнениями, позволяющие сводить проблему невырожденности ¿уп к задачам многомерной проективной геометрии

Все полученные в работе результаты являются новыми

Практическая и теоретическая значимость. Диссертация носит теоретический характер Ее результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении геометрических свойств многообразий модулей стабильных когерентных пучков на проективной плоскости и других рациональных поверхностях

Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической геометрии при кафедре алгебры Ярославского государственного педагогического университета им К Д Ушипского, на научных конференциях "Чтения Ушинского" (Ярославль, 2004 -2007 гг), на научной конференции "Студенты и молодые ученые КГТУ -производству" (Кострома, 20 - 22 апреля 2005 года), на Международной научной конференции "Колмогоровские чтения - V" (Ярославль, 2007г)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [16], [17], [18]

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы Текст диссертации изложен на 75 страницах

Список литературы содержит 29 наименований

Содержание диссертации

Во ВВЕДЕНИИ формулируются задачи, решаемые в диссертации, и дается обзор используемых методов и основных результатов диссертации

ГЛАВА 1 состоит из двух параграфов В параграфе 1 1 дается явное описание отображения Барта многообразия Мз = 3) модулей

стабильных расслоений ранга два на Р2 с классами Чженя С1 = —1, с2 = 3, и его компактификации Гизекера - Маруямы Мъ = 3)

в терминах линейной алгебры Для этого используется представление расслоений [£] 6 как комологических пучков £ = Кег /?/паа монады, то есть комплекса вида

О——-О,

где Н,К,Ь - векторные пространства над основным полем к = к, сЬаг(к) = 0, размерности сЬт^ И — 3, с1ш1к К = 2, сЬтк Ь — 2 Рассмотрим множество ОТ5 = {{К, Ъ) е СгххСг | («) = 0, (и) - пучок £ = Кег/З/шха стабилен, (ш) /3 - сюръективно, а - инъективно}, где

= С(2, Я ® У) и С2 = С?(Я ® У, 2) - грассмашаны, У = Н0{ОГ-{!))', з,~К = 1та, Ь — Кег Ь, # -2-» Я ® V, Я ® У Ь - гомоморфизмы, индуцированные отображениями а и /3 Как известно [5], многообразие Мз есть геометрический фактор УХ11 //БЬ(Н) в смысле геометрической теории инвариантов Рассмотрим композицию р 'Л6' ч- С] х (?2 А Р(И0 Р(Я4У) = Р14, где Ж = Л2(Я ® У) ® Л2(Я ® У), а р' -линейная проекция, соответствующая эпиморфизму ^ Л2Я®Л2Я® 52У ® Я2У р0Лх,сг Я ® Я ® 52У ® 52У ^ ¿V ® 52У 54У, где рг1 - проекция на прямое слагаемое, р : Л2 Я —т Н, р Л2 Я 4 Я-естественные изоморфизмы, а0.Я®Я-»к- каноническая проекция на слагаемое Ыс1# в разложении Я ® Я = Нот(Я, Я) = ккЗя Ф AdЯ Основной результат этого параграфа - следующая теорема

Теорема 1.1.1. Отображение р регулярно на ОТ8 и разлагается в композицию р : ЭД® М3 Ц- Р14 канонической проекции сап ОТ5 —> 913//БЬ{Н) ~ М3 и морфизма Барта щ • М3 -4 Р14 При этом <рз\Мз итективно

Далее в параграфе 11 дается частичное описание слоев морфизма (рз Рассмотрим в М3 подмногообразие дМ3 = М3 ч Мз не локально свободных пучков, и в нем открытое подмножество дМ3 =

{[£} € М3 | 6 Мрг(—1,2), £"/£ = кг, ж = Бш^ е Р2}.

Доказывается следующая теорема

Теорема 1.1.2. Инъективный в общей точке морфизм Барта <Рз : Мз Р14 . [5] С{£) не является вложением для [£] подмногообразия дМ3 слой (р31{фз{[£})) изоморфен Р3.

В параграфе 1.2 мы даем полное описание слоев морфизмов и <рз Для <ръ это описание является достаточно простым (р2 не инъективно на дМ2 = {[£] е Мрз(—1,2) | £ - не локально свободный пучок} и для [£] € £?Мг слой ^^(И)) — Р1 (предложение 1 2.1 диссертации) Для описания слоев отображения Барта щ Мз —>■ Р14 рассматриваем множества И^я^хг) = {[5] 6 Мз | £т/£ = К 0 у, Щх) = {[£] е Мз I £п/£ = к2}, ИЪ(®) •= {[5] е Мз | £уу¡£ = От, где т двоеточие с носителем в точке ж}, где х,х\,х2 - произвольные точки в Р2, х\ ф х2 Тогда ЗМ3 \ дМ$ =

и ихер>Шх) И ИЪ(*)), \У1(хъх2) = (УЪ1^*! + 2^))^, (хьх2) е 52Р2 \ ВД □ =

(^1(4ж))геа, х € Р2 (Здесь и всюду ниже для произвольной точки х € Р2 через х обозначается прямая в двойственной плоскости Р2, двойственная точке х ) Имеет место

Теорема 1.2.2. 1) Редуцированный слой морфизма <¿>3 Мз —Р14 над точкой С = 2x1 + 2ж2) г<?е (хь а;2) € £2Р2 \ Рдад, совпадает с Шх{хих2) и изоморфен Р1 х Р1

2) Редуцированный слой морфизма (рз М3 -> Р14 над точкой С — 4ж,

где х £ Р2, совпадает с LJ W¡(x) и изоморфен конусу с вершиной

W-jix) = [1Х ® Прг(1)] над поверхностью, изоморфной квадрике Р1 х Р1

Эта теорема вместе с теоремами 1 11,11 2 дает полное описание всех слоев морфизма ip¡ M¡ Р14

ГЛАВА 2 и глава 3 посвящены доказательству гипотезы А.С Тихомирова, то есть следующего основного результата диссертации

Теорема 2.1.3. Отображение Барта ipn . М^(—1,п) —> FNn ~ \Ор2(2п - 2)| . [£] Н> С{£), где Nn = (2n~2), п > 2, и С{£) - кривая двойных прямых подскока пучка £, итективно в общей точке

Здесь для определения отображения Барта <рп необходимо рассмотреть флаговое многообразие F С Р2 х г, на котором вводится двойная структура F'2) как дивизора в Р2 х Р2 с проекциями Р2 . F® —> Р2 и 52 F® Р2, при этом кривая двойных прямых подскока С{£) как кривая степени 2п — 2 в Р2 определяется пучком идеалов Фиттинга lc{£),P = 3-itt<3(R1q2*pl£)! при этом отображение Барта <рп МРз(—1, п) —> WNn \£] t-> С(£) является морфизмом [12]

В §2.1 главы 2 рассматриваются следующие подмножества в компактификации Гизекера-Маруямы Мп многообразия Мп = Mf¡{—1, п)

дМп = Мп \ Мп = {[£] 6 Мп | £ - не локально свободный пучок, то есть 1(£"/£) > 1} - дивизор в М„ классов не локально свободных пучков,

Мп = {[£] € Мп 11{£"/£) < 1} - плотное открытое подмножество в Мп, D = Мп П дМп = {[£] <= дМп | I(£"/£) = 1} - открытое плотное подмножество в дМп

Для всякого пучка [£] £ D имеется точная тройка О—*£—<-£"—^ка;—-0, где х — х(£) = Supp(£""/£) - точка; из этой тройки непосредственно следует, что кривая двойных прямых подскока С{£) пучка £ имеет вид С{£) - С(£") U х(£){2\ где x(£)W -двойная структура на х{£) как на прямой в Р2

В §2 2 этой главы мы приводим схему доказательства теоремы 2 13 Доказательство ведется методом математической индукции Из приведенного выше описания кривой С{£) для £ £ Б вытекает, что отображение у>„ | Б пропускается через отображение 7гп Б М„_х х Р2 • [£] ь> ([£■"], а;(£)) в диаграмме

Мп

Ч> п

Cin-2,

где С2„-2 •- <Рп(Мп) и Zn = <pn(D)

Далее, в этом параграфе мы устанавливаем важный для дальнейшего факт о том, что в Мп нет локально свободных пучков в прообразе при отображении ipn общей точки из Zn А именно, доказывается

Теорема 2.2.1. Подмножество Z'n = {С G С2п-2 | ^(С) = 7rn1(V'n1(C))} является плотным открытым подмножеством в Zn

Доказательство этой теоремы основано на оценке коразмерности в Мп подмножества расслоений, имеющих пучок двойных прямых подскока Оно представляет собой довольно длинное вычисление с использованием техники, аналогичной разработанной в [13, Theorem 3 3]

В силу этой теоремы достаточно исследовать поведение отображения <рп в окрестности открытого подмножества Б П iдивизора D

Другим важным фактом, используемым в дальнейшем при описании разложения Штейна мофизма ipn, является теорема 2 2 3, в которой мы доказываем, что для у — ([£о],я) € M„_ixP2 иР* .= тг"1^) справедливо OM„(D)\ti ~ Of 1 (—2), где Б понимается как гладкий дивизор Картье в

И

J

{[£'Ъх{Е)) е Mn_lXP2

I

С(£~) \Jx{£)W

Мп (действительно, 7ГП £> -4 Мп-\хР2 - гладкий морфизм со слоем Р1).

Далее, одним из основных результатов этого параграфа является теорема 2 2 5 о квазиконечности морфизма ¡рп на открытом подмножестве М* в Мп, где М* = <р~1{С*2п_2), а = {Сб С2п-2 | С -приведена и имеет (2) бифлекнодов} - плотное открытое подмножество в С2п-2 (Под бифлекнодом понимается обыкновенная двойная точка х на кривой С, в которой каждая ветвь кривой С имеем в х точку перегиба) Ввиду этой теоремы мы получаем факторизацию Штейна <рп М„ Сгп-2 —^ Сгп-2 отображения (/?„, где <рп - бирацпональный регулярный морфизм со связными слоями и морфизм ь>„ - квазиконечен Таким образом, для доказательства бирациональности морфизма (рп, достаточно показать, что ип - морфизм степени 1. Так как в силу теоремы 2 2 1 и вышеприведенной диаграммы слой морфизма ип над точкой г £ И'п теоретико-множественно является точкой, то для проверки его бирациональности достаточно найти точку у 6 такую, что и„ - неразветвленный в точке у, то есть

кег(Л/„|, . ТуС2п-2 —+ ТМу)С2п-г) = 0 (*)

Таким образом, доказательство теоремы 2 13 сводится к установлению равенства (*), которому будет посвящена глава 3.

Параграф 2 3 носит вспомогательный характер и посвящен построению специальной квазипроективной поверхности 5 в Мп, играющей в дальнейшем ключевую роль в доказательстве теоремы 2 13 Поверхность 5 строится таким образом, чтобы она удовлетворяла следующим условиям

(I) 5 содержит проективную прямую 1 такую,что 0$(1)|1 Ох(—2),

(II) существует морфизм з . 5 Мп такой, что 3 - вложение в окрестности 1 такое, что ч 1) С Мп и, кроме того,

(ш) з(Б) П И = .7(1) = Р* - трансверсальное пересечение О и ^(5) вдоль слоя Ру = к'1 (у) проекции 7Г„ О Мп-х х Р2 над точкой у = ([£о], х) е Мп-1 х Р2, где [¿"о] £ Мп-1 есть расслоение Хюльсбергена,

те такое расслоение £0, что /г°(<?о(1)) ф О

Построение поверхности S (и некоторой специальным образом выбираемой ее открытой аффинной части S* с координатами (z,t)) зависит от выбора пары (д,х0) 6 Gr{l,5n_1Z) х (Р2 \ I), где I -фиксированная проективная прямая в Р2, Sn~4 ~ Р"~- ее (п - 1)-ая симметрическая степень, Gr(l, 5n_1Z) - грассманниан прямых в пространстве S"-12, а хо G Р2 \ I - фиксированная точка В соответствии с этим обозначим 5 через S5,Jo (соответственно, S* через 5*1о) Всякая точка g € Gr(l,Sn~4), те прямая в пространстве Sn~ll, понимается как линейный ряд дивизоров степени п — 1 на I. В дальнейшем мы будем работать с плотным открытым подмножеством G в Gr(l, Sn~4), состоящем из линейных рядов д, не имеющих фиксированных точек В частности, по конструкции поверхности S (утверждение 2 31 диссертации) расслоение Хюльсбергена £0 определяется линейным рядом g G G и в дальнейшем обозначается £а(д) Тем самым, определен морфизм р . G Мп-1. g 1 V [£0(р)]

В ГЛАВЕ 3 изучаются кривые Хюльсбергена и устанавливается равенство (*), завершающее доказательство инъективности в общей точке отображения Барта <рп Параграф 3 1 является вспомогательным и посвящен следующему описанию по К Хулеку [4] расслоений Хюльсбергена (теорема 3 14 этого параграфа) Выбираем произвольные п точек х\, Х2,- ,хп Е Р2 и рассматриваем полный n-сторонник в Р2 со сторонами ij, , х„. Выбираем линейные формы 0 ф ft & Н°Ор(1), которые обращаются в ноль на хг и пусть Fk = IL^it У» ^ = 1, .,п, и W - n-мерное подпространство в Н°(Ор(2п — 2)), натянутое на формы Ffï. Тогда существует изоморфизм векторных пространств а • Extl0^(lY{l),Or) ^ W, где Y = {xu ,х„), со следующими свойствами

i) для общего £ е Ext10^(XY{l),Op2) пучок определяемый элементом £ как расширение £ . О —> Орг А- £((1) —> 2Гу(1) ~> О,

и

является расслоением Хюльсбергена с ненулевым сечением s £ Н°(£^( 1)), и кривая подскока С(£), называемая кривой Хюльсбергена, задается уравнением {сг(£) = 0},

и) при представлении элемента £ в стандартном виде £ = (ci,.. ,с„), с, € kXl, г = 1, ,п, (здесь используется изоморфизм Extp^ (2у (1), Орз) = ©™=1кг> - см [2, section 5 2]) пучок является расслоением тогда и только тогда, когда с, ^ 0 для всех i. При этом = ckFl

В параграфе 3 2 проводится исследование кривых Хюльсбергена и доказывается равенство (*) В начале этого параграфа изучается образ поверхности S, определенной выше, при отображении Барта tp„

Пусть {fx = 0} - уравнение прямой х в Р2, соответствующей произвольной точке х £ Р2, xi(z) € Dtv I - дивизор степени

п — 1 на I, соответствующий точке z линейного ряда д € G, и го € Р2 - фиксированная точка Используя вышеприведенное описание расслоений Хюльсбергена, рассмотрим кривую Хюльсбергена Uuls{g) •= <pn-i(£0(g))

\Ofi{2n — 4)| = р^«-!

Далее, в этом параграфе доказывается лемма

Лемма 3.2.1. Пусть (Р^»)* = {С £ Рл" | С - приведена} Тогда 7iuls(g) € (Рл'п)* для общего g £ G Другими словами, G* = {g е G | 'Huls(g) 6 (Р^")*} - плотное открытое подмножество в Gr(l,Sn~4) такое, что (р х 1 )(G* х (Р2 \ 0) С Мп-\ х р2> где р G —> М„_ 1 : g [5o(ff)] - морфизм, определенный в §2.3

Теперь для любой точки (z,t) € S*tXo, понимаемой через вложение j ' S Мп как пучок из Мп, рассмотрим соответствующую этому пучку кривую двойных прямых подскока C(z,t) = <Pn(z, t) В данном

параграфе мы находим следующее уравнение кривой С (г, I)

С(2,г) = {г*2-2 + /2Ф2"-4 = 0}, (*,4) € Б;^,

где Ф2"-2 = ПГ^/Дм е Н°(Ор(2п - 2)) Проверяется, что кривая с уравнением Ф2"-2 = 0 как точка в пространстве описывает конику, когда г пробегает прямую д в проективном пространстве Бп~11 Обозначим эту конику через О(д) Отсюда и из вышеприведенного уравнения кривой вытекает следующее описание образа

поверхности при отображении Барта <рп

Лемма 3.2.2. Для общей точки (д,х0) € Сг(1,5п_10 х (Р2 \ I)

г) поверхность Яд,Хо = <рп{Зд,х0) является открытым подмножеством квадратичного конуса в проективном пространстве Рл\ и морфизм (рп —> Л?гТо есть стягивание (-2)-кривой

^ РпЧУ) - 1 е ^о- г<?е у = ([¿оЫ],яо),

гг) для V) = ип{у), касательное пространство ТтИд<Ха описывается следующим образом ТтНд,Хо = Брап( и (с1 <рп\г){Уг)) — к3, где Ух =

тяня, л, = {(«,*) \teA1}, гег;

Для произвольной подсхемы X в проективном пространстве Р^" и точки х £ X через V ТхХ обозначим касательное проективное пространство к А" в точке а;, те подпространство в Р^", проходящее через х и однозначно определенное условием ТХ(Т ТхХ) = ТхХ, где ТхХ - это касательное по Зарискому пространство к^в точке х Тогда утверждение п) леммы 3 2 2 может быть переформулировано следующим образом

(а) ТТтЯд<Ха = Ярап(ги, в(д)) = 8рап(Д5,1о) ~ Р3

Рассмотрим морфизм ц Р*»-1 х Р2 —> Р^" (С,х) И Сих<-2\ и пусть Вп = гт{ц), соответственно В* ~ р((РЛ"-1)* х Р2) Заметим, что морфизм ц . (Р^»-1)* х Р2 В* - изоморфизм, так как кривая С <5 (Р^-1)* - приведена Тем самым, ¡л Р^"-1 х Р2 -> Вп - бирациональный морфизм При этом из определения ц легко следует, что Ып = {(С, х) €

Рл"- X Р2 I Гр(одА»(х {х}) П х Р2) = {0}} ~ плотное

открытое подмножество в Р^"-» х Р2, содержащее В*, такое, что для любой точки ю = (С, х) € Ып имеют место равенства

(b) ТТМп = ЭрапМР*- х {*}), ц{{С} х Р2)),

(c) х {х}) П ц{{С} х Р2) = {ш}

Равенства (а)-(с) лежат в основе геометрических конструкций, используемых в дальнейшем для описания дифференциала отображения ип в равенстве (*)

Ключевым результатом этого параграфа является следующая теорема о непустоте и, тем самым, плотности в {?г( 1,5П_1/) х (Р2 ч I) множества

V» {(<7,хо) € вг^-Н) х (Р2 ч 0 | (НиЬ(д),х0) € £/„}.

Теорема 3.2.4.Множество Уп есть плотное открытое подмножество в Сгг( 1, Бп~11) х (Р2ч/) и для почти любой замкнутой точки (д, Хо) £ V,, пересечение подпространств 8рап(ад, ©(#)) и Т{С,хо) в пространстве Р№в, где С = %и1з{д) иги = х0), есть точка ги

Из этой теоремы и равенств (а)-(с) непосредственно следует, что множество V; - {(д,2г0) € Уп | Т^с,ха)Щ,хй П гт{йц\{С,х0)) = кег^КС,^)) = {0}, С = Ш1з(д)} = {(д,х0) £ У„ | гт(ф|(С,®0)) = Т^с^Ид,^ ® гт(<1ц\(С,х0)), кет(с1ц\(С,х0)) - {0}, С = 'Ни1з(д)} - плотное открытое подмножество в Уп Соответственно, ввиду леммы32 1 множество V* •= также есть плотное

открытое подмножество в Уп

Наконец, используя факторизацию Штейна ¡р„ • Л4п Сщ-г —^ Сг„-г отображения <р„ и разложение морфизма <рп\Б в композицию В Мп_1 х Р2 описанные в §2 2, получаем следующие

заключительные результаты, необходимые для доказательства равенства (*).

Утверждение 3.2.6. Для точек (д,х0) £ V*, у = (р х 1)(д,х0) £ М*_1 х Р2, ги — фп(у) и прямой Р^ = у) имеем равенства•

Span^U^Iz){TzMn)) = (йфп\у){Ту{М*_1 x P2)) ф TwRg,Xo ~ k4"~6® ©к3 ~ k4n~3.

Лемма 3.2.7. В условиях утверждения 3 2 6 справедливы равенства ТуС2П-2 = Span( L1Шп\г){ТгМп)), dimTyC2n-2 = 4n - 3

Из этих утверждений следует непосредственно цепочка

равенств {dvn\y){TyC2n^) = (di/n|y)(Span( UШп\г){ТгМп)) =

zSPJ

Span( U(dva\y){dipn\t)(T,Mn)) - Span( U (d<pn\z)(TzMn)) = k4""3 ~

z 6JFj ze pj

— TyC2n-2, дающих равенство (*), завершающее доказательство теоремы 213

Список литературы

1 Barth W. Some properties of stable rank-2 vector bundles on Pn, Math Ann 226(1977), 125-150

2 Barth W. Moduli of vector bundles on the projective plane // Invent Math 42 (1977), 63-91

3 Ellingsrud G., Str0mme S.A. On the rationality of the moduli space for stable rank-2 vector bundles on P2 Lect Notes Math 1273 (1987), 363-371

4 Hulek K. Stable Rang-2 Vektor Bundles on P2 with ci Odd, Math Ann 242, 241-266 (1979)

5 Le Potier J. A propos de la construction de l'espace de modules des faisceaux semi-stables sur le plan projectif Bull Soc math France, 122(1994), 363-369

6 Le Potier J. Fibres stables de rang 2 sur P2(C) // Math Ann. 241 (1979), 217-256

7 Le Potier J. Fibrés stables sur le plan projectif et quartiques de Luroth Exposé donné a Jussieu le 30 11 1989

8 Le Potier J. Morphisme de Barth et quartiques de Luroth Preprint Pans (1998)

9 Le Potier J. Faisceaux semi-stables et systèmes cohérents. Vector bundles m algebraic geometry (Durham, 1993), London Math Soc Lect Note Ser 208 (1995), 179-239

10 Le Potier, J. Lectures on vector bundles, Université Paris VII, Cambridge University Press, (1997), 251

11 Maruyama M. Moduli of stable sheaves J,II, J Math Kyoto Umv 17 (1977), 91-126, 18 (1978), 557-614

12 Maruyama, M Moduli of stable sheaves - generalities and the curves of jumping lines of vector bundles on P2, Advanced Studies m Pure Math , I, Alg Var and Anal Var , Kmokumya and North-Holland (1983), 1-27

13 Str0mme S.A. Ample divisors on fine moduli spaces on the projective plane, Math Z , 187 (1984), 405-423

14 Tikhomirov A.S. Barth map of the moduli space of stable rank-2 vector bundles on P2 Max-Planck-Institut fur Mathematik, Preprint Series 1999 (9), 1-21

15 Tikhomirov A.S., Le Potier J. Sur le morphisme de Barth, Ann Scient Éc Norm Sup ,4e série, t 34, 2001, 573-629

Публикации по теме диссертации

16 Матыцина Т.Н. Отображение Барта пространства модулей Мрг(—1,3) стабильных векторных расслоений ранга 2 на Р2 //Вестник КГУ им H А Некрасова - 2005г - №6 - С 8-14

17 Матыцина Т.Н. О свойствах стабильных алгебраических пучков ранга 2 на Р2, - Кострома Изд-во КГТУ "Студенты и молодые ученые КГТУ - производству" - 2005г - С 68

18 Матыцина Т.Н. Отображение Барта пространства модулей Мр{—1,п) стабильных векторных расслоений ранга два на проективной плоскости j j Вестник КГУ им НА Некрасова -2006г - М2 - С 4-12

Матыцина Татьяна Николаевна

АВТОРЕФЕРАТ

Отпечатано в салоне оперативной печати «GUT» ИПУльрихСА г Кострома ул Щемиловкад15 Формат 60x84/16 Бумага офсетная Печл 1 Тираж ЮОэкз Заказ № 79

Введение.

Глава 1. Отображение Барта пространства модулей Мрг(-1,з) стабильных векторных расслоений ранга два на проективной плоскости Р2.

1.1. Отображение Барта </?з пространства модулей Мрг(—1,3).

1.2. Описание слоев отображения <рп при п = 2 и п = 3.

Глава 2. Отображение Барта (рп пространства модулей MF(-l,n) стабильных векторных расслоений ранга 2 на Р2.

2.1. Предварительные сведения и обозначения.

2.2. Схема доказательства основного результата.

2.3. Конструкция специальной поверхности S в компактификации Мрг(—1,п) пространства Мрг(—1,п).,.

Глава 3. Доказательство инъективности в общей точке отображения Барта </?п.

3.1. Расслоения Хюльсбергена.

3.2. Кривые Хюльсбергена. Доказательство теоремы 2.1.3.

Актуальность темы. Цели работы.

Пространства модулей, т.е. классов изоморфизма алгебраических векторных расслоений ранга 2 на проективной плоскости р2 и их компактификации являются объектом пристального внимания алгебраических геометров в течение последних трех десятилетий, начиная со знаменитых работ В.Барта [2], [3] и последующих статей Ж.Ле Потье [И], К.Хулека [7], М.Маруямы [18], [19], Г.Эллингсруда и С.Стрёмме [5] и целого ряда других авторов вплоть до настоящего времени. Это обусловлено с одной стороны богатой геометрией самих этих многообразий, обозначаемых ниже через M^{ci,n) (где с\ — О или —1 - первый класс Чжэня, а п > 2 - второй класс Чжэня расслоения), а с другой стороны многочисленными приложениями этих многообразий в других вопросах алгебраической геометрии и смежных областях. В частности, при вычислении коэффициентов полиномов Дональдсона проективной плоскости Р2, являющимися универсальными константами гладкой структуры на Р2, возникает вопрос об инъективности отображения Барта (рп многообразия Мрг(0, п) (случай с\ = 0) в пространство рп(п+3)/2 плоских кривых степени п, сопоставляющего классу [Е] изоморфизма расслоения Е кривую прямых подскока С(Е) расслоения Е, т.е. прямых, ограничение на которые расслоения Е нетривиально. Гипотезе об инъективности в общей точке отображения (рп при п > 4, возникшей в конце 80-ых гг., посвящена серия работ JTe Потье [12], [13], [14]. В 1999 г. А.С.Тихомиров в препринте [22] предложил индукционную процедуру для доказательства этой гипотезы. Окончательное доказательство гипотезы об инъективности в общей точке отображения <рп было дано в 2001 г. в статье JTe Потье и Тихомирова [17].

В 2002 г. А.С.Тихомиров сформулировал аналог предыдущей гипотезы для случая с\ = —1. В этом случае, как следует из работы К.Хулека [7], аналогом кривой прямых подскока расслоения Е является кривая С(Е) в Р2 двойных прямых подскока расслоения Е; здесь под двойной прямой I на Р2 понимается схема № с двойной структурой на I, т.е. подсхема в Р2, задаваемая пучком идеалов Тр)^ := соответственно, схема № называется двойной прямой подскока расслоения Е, если h°(E\№) ф 0. Как показал К.Хулек в [7], кривая С(Е) имеет степень 2п — 2, так что мы получаем отображение : [Е] и- С(Е) многообразия Мра(-1,п) в пространство p(n1)(2n+1) плоских кривых степени 2п — 2 в Р2. Это отображение, называемое по аналогии со случаем с\ = 0 отображением Барта, продолжается до морфизма <рп : Мрг(—l,n) -> р(п~1)(2п+1)} где Мрг(—1,п) - замыкание многообразия Мрг(—1,п) по Гизекеру-Маруяме. Согласно гипотезе А.С.Тихомирова, мор-физм ipn является инъективным в общей точке. При п — 2 справедливость этого утверждения очевидна, но уже при п > 3 эта проблема оставалась открытой.

Целью настоящей диссертации является доказательство гипотезы А.С.Тихомирова. Основной результат диссертации - следующая теорема.

Теорема. Морфизм Барта ipn : Mpa(-l,n) -> p("-i)(2"+i) : [Щ ^ с(Е) является инъективным в общей точке при п > 2.

Из других результатов диссертации наиболее важными являются следующие:

- для п = 3 дано явное описание отображения Барта <р$ в терминах линейной алгебры и перечислены все слои отображения </?з;

- для п > 3 геометрически выделено плотное открытое подмножество в множестве тех точек в Мрг(—1, п), в которых отображение (рп квазиконечно;

- для п > 3 описана геометрия отображения ipn и его дифференциала в общей точке границы многообразия Мрг(—1,п), состоящей из классов нелокально свободных пучков.

Методы работы и научная новизна.

При изучении используется геометрия открытого подмножества D границы компактификации Гизекера-Маруямы Мрг(—1,п) многообразия Мрг(—1,п), состоящего из классов стабильных пучков без кручения с простой особенностью в единственной точке. При исследовании морфизма ipn в окрестности дивизора D применяются методы бирациональной и пучковой геометрии, в том числе конструкция Серра и техника идеалов Фиттинга, и используются свойства специальных подмногообразий многообразия Мрг(—1,п). Основной инструмент исследования - разложение Штейна <рп — vn-^pn морфизма Барта (рп в композицию стягивания (рп и конечного морфизма ип. Для описания дифференциала dvn морфизма ип в точках многообразия <pn(D) используются специфические свойства расслоений Хюльсбергена, в частности, задание кривых подскока таких расслоений явными уравнениями, позволяющие сводить проблему невырожденности dun к задачам многомерной проективной геометрии.

Все полученные в работе результаты являются новыми.

Практическая и теоретическая значимость.

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении геометрических свойств многообразий модулей стабильных когерентных пучков на проективной плоскости и других рациональных поверхностях.

Апробация.

Результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической геометрии при кафедре алгебры Ярославского государственного педагогического университета им. К.Д.Ушинского, на научных конференциях "Чтения Ушинского" (Ярославль, 2004 - 2007 гг.), на научной конференции "Студенты и молодые ученые КГТУ - производству" (Кострома, 20 - 22 апреля 2005 года), на Международной научной конференции "Колмогоровские чтения -V" (Ярославль, 2007 г.).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [27], [28], [29].

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Текст диссертации изложен на 75 страницах. Список литературы содержит 29 наименований.

1. Barth W. Moduli of vector bundles on the protective plane. Invent. Math. 42 (1977). P. 63-

2. Barth W. Some properties of stable rank-2 vector bundles on P", Math. Ann. 226(1977), 125-

3. Eisenbud D Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer, NY, 1995, 785 pp. Ellingsrud G., Str0mme S.A. On the rationality of the moduli space for stable rank-2 vector bundles on P. Lect. Notes Math. 1273 (1987), 363-

4. Grauert H., Riemenschneider O. Verschwindungssatze fur analytische Kohomologiegruppen auf komplexen Raumen, Invent, math. 11(1970), 263-

5. Hulek K. Stable Rang-2 Vektor Bundles on P with ci Odd, Math.Ann. 242, 241-266 (1979). Kempf G., Knudsen F., Mumford D., Saint-Donat B. Toroidal embeddings I, Lect. Notes Math. 339, Berlin-HeidelbergNY: Springer (1973). Lange H. Universal Families of Extensions, Journal of Algebra 83 (1983), 101-112. Le Potier J A propos de la construction de Iespace de modules des faisceaux semi-stables sur le plan projectif Bull. Soc. math. France, 122(1994), 363-369. 73 [6] [7] [8] [9] [10]

6. Maruyama M. Moduli of stable sheaves generalities and the curves of jumping lines of vector bundles on P, Advanced Studies in Pure Math., I, Alg. Var. and Anal. Var., Kinokuniya and NorthHolland (1983), 1-

7. Reid M. Canonical 3-folds, Algebraic Geometry Angers 1979: Sijthoff and NoordhofT (1980), 273-310. Str0mme S.A. Ample divisors on fine moduli spaces on the projective plane, Math. Z., 187 (1984), 405-

8. Tikhomirov A.S. Barth map of the moduli space of stable rank-2 vector bundles on P. Max-Planck-Institut fur Mathematik, Preprint Series 1999 (9). [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] 74

9. Матыцина Т.Н. О свойствах стабильных алгебраических пучков ранга 2 на Р", Кострома: Изд-во КГТУ "Студенты и молодые ученые КГТУ производству." 2005г.

10. Матыцина Т.Н. Отобраотение Барта пространства модулей Мр2(—l,n) стабильных векторных расслоений ранга два на проективной плоскости. Ц Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова. 2006г. K12 4-12. [25] [26] [27] [28] [29] 75