Численно-аналитические методы исследования стойкости и оптимизации решений линейных дифференциальных и различных уравнения со случайными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

М1Шстерство осшти Украши Р Г 6 ЙГ"* ^Н'верситет Шевченка

- ДПР 139г:.

На правах рукопису

Фавваз Зейдан Джасам

Чис&гъно-аналтгичш методи досмджеют стШкоспй I оптимЬацп ршень лишних диферепщалышх / ргзиицевих ртить з вкпадковгши коеф'щкнтами

01.01 02 - дифсрсшвалып рдагяння

АВТОРЕФЕРАТ дасерташ! на здобутгя вченого соупеня кандидата фгзико - матсматичних наук

Ктв - 1994

Дисертац1я являеться- руколисом.

. Робота виконана ' на кафедр 1 вищЫ математики Ки1вського Державного Екояом1чного Ун1верситету.

Науковий кер1Еннк - доктор ф1вико-м^темагачних наук, професор Валеев К.Г.

0ф1ц1йн1 опоненги - доктор ф1еико-математичних наук, професор Наконечний О.Г., •

кандидат ф1эико-математичних наук, старший науковий сп1вроб1тник Колом1ець Б.Г.

Пров1дна орган1эац!я - Одеський дерайвний университет

Захист дисертацП . в1дбудеться "7.Л"о 1У. год,, на вас1данн! спец1ад1вовано1 вчено! ради К.010114 по- присудженню вче-ного ступеня кандидата ф1аико-математичних наук в КиТьському Ун1верси-тет1 1мен1 Тараса Шевченко за адресов: 252127, Ки1в, проспект ака-дем1ка Глупкова '6, механ!ка-матемзтичких факультет, ауд. 42

3 дисертай1еп можна ознайомихись в б!бл1отец1 Ки1вського Ун1верси-тету 1мен1 Таураса Шевченко, Ки1в, Еододимирська 68.

Автореферат рсз!сланий " №.Го _ 1994р.

Вчений секретар спец1ал1гоЕано! вчено! ради

Курченко О.О.

- 3 -

ЗАГАИЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА- РОЕОТИ

Актуальн^ть теми. Прикладн1 завдання сучасно! математики, стаб^л 1зац1я систем керування, побудова оптимального керування для ракет призводигь до необх1дносг! вивчення систем диференц!-альиих I р!зницевих р1внянь, як! залехагь в!д випадкових проце-о!в. Ця робота присвячека питаниям дослихення ст1йкост1 та оп-тии1зацП роэв"яэк!в л1н!йиих дифереиц1альнах га р1зницевих р!в~ нянь, як! залегать вхд марковоького та нагПвмарковвького випадково-го ск!пченнозначного процзсу.

Нагинпарковсыс! процеси вивчали П.Лев! , В.С.Королюк, I.«. Коваленко,-В.В.Ан1с1мов, А.Ф.Турб1н, Д.С.Сильвестров, В.1.Тихонов та 1нвп.

У робот! розгладались д>шаы1чп1 сисгвии, як1 залегать в1д ск1нченноэначного випадкового процесу. Вони одержали назву систем з випадковими станами I вивчалиеь у роботах З.М.Артеи"ева, 1.Я.Каца, М.П.Краеовського, Г.Н.МильитеЯна, Ь.М.Реп1на та шгшх.

Для доел 1дження сг1йкосП засгосовувався метод функц!«. Ляпунова, якии розвивали'Е.А.Барбашин, К.Г.Валеев, В. I.Зубов, В.М.Матрооов, 1,Г.Малк1н, В. В. Румянцев, В.Хан, Ы.Г.Четаев те Ьш1. Для досл!д*ення ст1йкосП сУоЛ&етичних еистеи метод функц!Я Ляпунова застосовували Д.Г.Коренввський, Д*.Г.Куинер, Р.З.Хасм1нський, Д.Я.Хуса(нов та 1нп1. У наш!й робот 1 знайдено. необх1дн1 1 достатн! умови 1снування сТоХастичних функц!й Ляпунова для л 1н1 Иних ди^ренц1альних ! р!зницевих р4внянь з нап1в-иарковг.ькцт хо9ф1Шснтами 1 стрийками роэв"лзк1в, сШвпадагчи-ми 1з сгрибками випадкового процеоу. Заэначимо, що сиетеми з1 отрибками вивчали И.А.Дев1о, 1.)1.Кац, Ы.О.Перестск, А.У.Саиоилен-ко, Р.Дх.Ел1ог га 1н;М.

- ч -

При досл}дкенн1 систем керувания найбиыи вакливими е питания стаб!л|зац!I та оптиьйзацП розв"язк!в. Ш питания втачали у сво1х роботах Ю.М.Андреев, В.М.Аргец"ев, М.Аок!, В.Г.Бол-тяноький, 1.Брайоон, В.Б.Лар1н, В.М.Вонем, Р.6.Калман, Н.Н.мой-оеев, Ю.П .Петров, К.й.0сгрем, С.Л.Чанг, Дж.Дж.Ф !орент!н та Шш!.

1з заэначеного випливае актуалыЦсть досл!диувано1 теми.

Нега роботи - досл1дження ст!йкоот1 1 опг№1зац1я роэв"яз-к!в системи л!нШних диференц1альних I р!аницевих р!внянь з нап!в-ыаркозськиии коеф^ентт 1 стрибкани розв"язк1в.'

■Методи доол{дкення. У робот! заотосовуютьоя методи теорИ 1)ункд1й Ляпунова, геор!! наП1вмарковськкх процвс¡в, теорП оптимального керування, чисельн! методи.

Иа.укова новизна. У робот! виведен! мочении р!вняння для пошит 1в першого та другого порядку для випадкових розв"язи5в систеии л Лпйних 1 р1зницевюс р'шнянь з нап^вкарковськаш кое$1-ц1енгани ! випадковкми стрибками розв"лзк1В, знайден! необуЛдн! 1 достатн! умови ¡снування <3?ункц1й Ляпунова, необх1дн1 I доотатк1 унови стН1кост1 розв"яэк1в у оередньому квадратичному, необх!дн! уиови олтииальност! розв"язк!в систем керування з наП!виарковсь-к 1*1.1 и коеф.|ц1енгаш1. • - .

Практична ц1нн1сгь роботи. Одержан! результати ыають теорв-тичкв значения' I иожуть застоеовувахися при розв"язанн! прангичних задач досл!жяення оистеи керування при наявноот! випадкових збуренв.

Апробаи1я робо.ги, 1!атер!алн диоергацН обговорювалися на пауков;«-'оеМиарах у Ки1всысому деркавноыу економ|чному ун!верси-тет1, у К!:1воькоку иол!техн!чноиу 1нотитут1, на конверсии!I "Мо^ доякванна ! доол!дкення сПИноот! ироцес!в" у «ЛСнев! в 1093 р.

• Пубд!кац1ï. Oohobkï результати диоертацП оЛубл1кован1 в роботах /1-6/.

Структура диоергацП. ¿ncepTauiя окладаеться i3 вступу, грыж роздШв, якi uioiaib 13 параграФ1в, buchobkîb, описку л1-тератури, додалМв, як 1 н'югять результат« розв"язанвя прикла-. д1в, представления таблицами та графиками, а також програни.

3L1ICÎ ДИСЕРТАЦ!I

У встугц пуститься короткий огляд л1терагури, лодазтьоя обгрунтування актуальное^ теми, зроблэний короткий огляд эи i cl у дксертацП.

У первому розд!Л1 дошджуегься ciifiKicïb розв"нзк!в снотени диферешиальншс р^вняиь i3 иатвмарновоышми коефпи-е к таи и.*

У §1.1. викладаютьоя В1ДОм1 результат з leopiî на^вмар-ковських скЕнчеинозначних npoueoiB. Нехай випадковиЛ иа'Нв-

иарковоьиий процес, що набувае значения Q(,...... , э

iMOBipHOOTHiiti If Якщо вхдоцГ

№тенсизноот1 переходу ... и) 1з стану Q ^

в стан , то при q

де tj -(М,2. - поыенти отрибк!в процесу

' рД)) , ^(А) ~ иатриця перех1Дних 1:jo-

vBipiiocïei;, яка задовоиьняе 1итегральне р1внянця «

да иозначено

- б -

Вводиться понятия лапiBmpKiBCiKo!. функцИ, яка заленить вiд HaniBiiapKiBObKoro лроцесу • НехаЙ задан! И детер1йно-

вап;пх функций l|KÜ) (v-J 0 ) • Якщо ij (jrQ ),?...)

поменги сгрибкiB ^>(1) i внконана piBHicTb.

^(l) - Oy; > 10 макаеио •

У Я.2. шшеден! иоиенги! р1вняння для розв"язання-оистени лНИйних ди£еренц1альккх р1внянь нал1вмарковськтш ное5Лц1ен-гаш!

Для задания систеии (5) вводимо h детврыШованих систем niHiiimix диференц1альних р!внянь

-^'A^UXW; UhKm^ т

Припускав пая, що при rj й* 1 ^ lj м при 'b(V) = Рк

система р!внявь (5) набувае вигляду • .

Додатково припускаемо, ио при ös

розв"язок X (I) скохвиа (5) гае сгрибок вигляду

(8)

J J | ,

1. КеобхЛдно 1 досхатньо, щоб система (2Ь) при £>>0 мала розв"яэок Ск>0 . (к-1,...,И)

2. НеобхШо ! досгатньо, щоб зб1гався метод лосл1довних наблияень при розв"яэуванн1 системи (26) При в>о

3. Доагахньо, щоб при цеяких оиметричних матрицях Ск>0 виконувалися нер!внос11

о

йодан! узнгальнвння двяких рвэулы?ат1в для випадку фувкцМ

У другому роздШ вивчаюгься л1н1йн1 р!зницев1 р|вняння з коеф1ц!енгаыи, як! запеиать в|д ск!кче«позначного нзП1вмарк1всь-кого процесс дискретного в час!. Дискретний нап!вмарковсьний процэс розглядаеться як окреииЯ зипадок неперервного на-

¡Пвмарковського процеоу "^("1) при

(28)

Де

- Функц!я Д1рака. Бводятьоя функцП

■а»

Якщо - момент и стрибк ¡в нагПвтарк обо того процеоу к {о;|,2 ...; ; *„< ...) , и вдвмо ■

р1внюгь

РЦ^срып»^)

Р^.ЦМ*) (V-»,(30) •

да магрмщ пврвхЦии* 1ыоп1рностей

задовопь-

няе матричному р1 зппцевому р|вкянию

(К'ода...)- (31)

Розглядаеться систему лШйних pi3muôBHx р^внянь s напшларковськиии козф1ц1ектами

(за)

Система р^внпнь (32) визначаетьоя через h детермтвовааих систем

......ь) (33)

Якщо при виконана piBHiCTb ös , то система piBHflHb (32) мае вигляд

(^^Kj) • (34)

Якцо при ' виконана píbhíotí го

У момент стрибка розв"язок . "Х^ ынониться на неосв^.'

ыатрицю Cts » якщо "Ъу, Переходить ¡з стану 0S в стан . Нехай венторний,раП|выарковський процес «аз щльн!оть

.¡HOBipHOcrefl

' ' s-l 3

Теорема 2.1. Якщо . X ц( К т О 1,2... j - виДадковий розв"я-

V.30K сив теми (33) i К.' -стрнбки на^Ивиарковсшого процесу >

■ ТО

де оператор задовольняв р1вняннв

де позначено

R(s)Ml6aRt(s}li; ; Hsl-upls^v '

R j - сИоХасгичн! операюри, визначен! формулами

(ев)

Розв"язок р1вняння (37) моке буги представлений у вигляд!

(s-o,^...) С»)

де оператор Ц в розв"язком операторного р1вняння lJ|(s)rS(s)^U)+|s(x)\ll7)U(v^ (^ъуг...) (40)

На основ! оистеии р!внянь (39), (40) виведен! моментн1 р!вняиня для розв"язування система (32). Використовувно позна-чення (Iô), (18). (

Теорема'2.2, Нехай виконан! умови теореми 2.1. Тод! • иатеиатичне .опод!вания

випадкового роз-

в"язку внзначазгьоя системою р1внянь

^ЫКЫМк(0) 4 vy^s-j)^-j)VKф + KÙk |ls-i,CKlM(^-p'Vjj) (КЧ....Н)

jr| ' (41)

*

а матриця момоиг!в другого порядку D(b)* (b)-X(<i)> -

- in -

Еклшчаеться системою магр'йчаих. р:внянь

Dc(s) Ok(0)4/k\S) А ^ (,-]) ;

м,.,и) (42)

У §2,2. виведен! ыоценгн! р1вняння в окрецому випадку, коли наП|вцарковсьний процес в марковським диокретним у 4aci процеоом.

У 52.il. виведен! необх1дн1 i досгатн! умови отШкост1 розв"язк1в системи (32). Нульовий розв"язок оистеыи (32) назива-сгься в середньому оИйкий, якщо зб!гаегься иагричний

ряд -

^ ж

1з в середньоцу Lj crifiKOcifвиплиае асииптогична criii-Kicib у серэдньоцу квадратичному.

Те орана 2.3. Для того, щоб нульовий розв"язок систени (32) був аоимптогично стпишм у середньому квадратичному .необхйно, щоб зиконувались умови

^^K^IIVK^)'!2--0 (КН....» т

Теорема 2Л. Нехай виконан! умови reopsi.ni 2.1. i необхи-Hi уцови ClitiKOOli (W). Для того, щоб нульовий розв"язок сиге-ми (32) був у середньому 1_,г отШким

I. Необх1дно .$ доетагньо, щоб система р^внянь

■ Ок(о) + 2 Сл((s)Stii(s))CKt . ' -(W)

при Dt(o)>0 нала розв"язок S^>o

2. НэобхЦно 1 цостатньо, щоб зб!гався метод, поел ¡довнях наблнкёнь при розв"язанн1 окстени (45).

3. Доотатньо, щоб при деякнх оиметричних матрицях ■ 5 >0 ^ виконувалиоь Н9р1БН0СТ1 '

4. Необх1дно'1 доотатньо, щоб система р!внянь (45) мала ' розв"язок ^>0 (к-ул)

Вводяться оановн1 о>ГоХаотичн1 функцП Ляпунова * =»

\(Х)= |хв=х#>в = т

да 1*/ (Х)т ХВХ', Б >0 позитивно визначвна

квадратична Форма. Для матрицв Ск = ..., ь) одержана <■ оиотаиа ыатричних р1внянь

с,(*)Л^Ъс^Дш^) (.8)

1 .»)

Теорема 2.5. Нвхай винонан! умов и тэореии 2.1, I необ-х1дн1 умови сгШкоот! (44). Для того, щоб нульовий розв"язок оиотеми (32) був у серэдньоыу ог1йкчм .

1. Нвобх1дно 1 доотатньо, щоб система р!вкянь (48) при . Ь>0 мала ровв"яаок С^О = ..>)

2. НеобхЦно I достатньо> щоб зб1гавоя метод лосдЦовпих набликень при розв"язува1ш1 оиотеми (48);

3.,Доотатньо, щоб Д[и деяких онцетричпих катрицлх V (2 <.....И) виконувадис! «атр::чн1 !1вр1вноог1

У тротьому созд1л! виведон! необх1дн1 унови оптнкальност! розв"язк1в лШйнлх оистем ди^8гонц1альних р1зни1[авих р!впявь,

- 16 -

як1 ьИстять вектори керування. -

Розглядаетьсй лШйна система керування

(^(1)) (50)

з наЩвмарковськими ноефщ1енташ1. Шукаемо вектор керування и(1)|з умов ыШиума квадратичного функцЮнала

>

(51)

з наШвшрковськиыи коаф!ц1ентами. Шуказться опгмшьне керування вигляду

(52)

11рипуокаеться, що олгишзована' система (50) мае стрибки розв"язк!в вигляду (8). ■

Те орана 3.1. иптимальне керування II ({) (52) визначазтьоя 13 системи рхвнянь

и^кч^ж'изм^^)-. и-и.ч, (53)

де катриця I • задов олыше р1внянняы

■-йш - - -

ОК;,)

7 1 • (*= I .. »

Де А,{\) 6,(0/ СЦЦМ*) - окреп! значения

матркць ■ '■'•':

У §3.2. розглянуго окремиП випа^ок, коли коеф!ц1енти системи (50) е кусково сгалими.

У §3.3. розглядаетьоя дискретна система керування

( К - О, 2...) ' (55)

з нап!вмарковськими коеф1ц1ентами. Шукаеться вектор керування 1з умов м!н1муыу квадратичного функц1оналу

V = - |о ( ХК^ ХК4 и<1( К.^к) • (56) '

Припускаеться, що оптимальне управл1ння мае вигляд

и(,г^(к.Ъ|<)Хк (К» О, (,?..) (57)

Припускаетьоя, що оптим!зована система (55) мае стрибки розв"язк1в вигляду (35).

Теорема 3.2. Необх1дн1 умови оптимальное!1 роэв"язк1в системи (55) визначаютьоя системою р!зницевих р!внянь

; -о.м^^юр.^об^к^'в^^^^ллк.о (56)

.....

де > .

^[йг(ЧО ^А1 ^

-V ¿ ■ (59)

У ЙМ. розглядаетьоя окрений випадок системи (55) з кусково сталими коеф1ц!ентаыи.

У §3.5. досл1джу«гься одна задача переел Цування в детерм!-нован1й 1 с^оХастичн!й постановках. Керована бомба падав э деякоТ висоти 1 иамагаетьсявлучити в ц1ль. В1доие положения ц!л1 I швидк!сть II руху. Ц1ль не мае (нформацМ про положения бомби, але завдяки руху 1 зы!н1 напрлмку шввдкоет! за дегери!но-

- 1В -

ванкм або виладковии законов наыагаегься збШшиги в!дстань до точки над1ння бомби.

Возглпдаются р!зн! окреи! випадки при лШйному 1 нел!н!йно-иу закон! керування. Одержан! результат наведен! в додатку 3.'

У додатках I, 2 розглянуго чисельне розв"язання задач синтезу оптимального керування для диференцгаявного 1 ргзницелого р!вняння.

Основн! науков! результат, вм!щен! у диоертац!и, опубл1ко-ван! в наотупних роботах:

1. Оавваз З.Д. йобудова функцП Ляпунова для оистеыи нел!н1йних Д1ференц!апьних р!внянь з випадковою правою частиною, -Ки!в, 1993. - 7 с. (Деп. в УкрНДШ'П 27.05.1993. - Кг 1067. УК 93).

2. Фагзаз У.Д. Про роэз'^зуваиня однШ задач! сЗо^отично! оПтмПзацН. - Ки1в, 1993. - II о. (ДеП. в УкрНД1НТ1 02.02.1993. -КЗ 75 - УК93). '

3. Фавваз З.Д. ОП1ии!зац1я розв"язк!в сисгешлшШшх дире-ронЩапьних р!вяянь !з випадковими коеф!д1ентами. Тези укра!нсько! конуеронцИ "Моделюэання |" доспикеиня отШкостI сиотем. Ч.Н. -Кп1в: тозариотво » Знания" Укра1на, 1993. - С.49-50.

4. ВзлеевК.Г,, Фаотаз З.Д. Синтез оптимального керування для снстеу л)н!йних р!зиицевих р1внянь !з наШвмаркегаськици-вппадковши коеОШеитами. -КиГв, 1992. - 14" о.'(Деп. в УкрЩЩЩ 18.00.92 -!.'? 1№Э - УК92).

5. Бадеев К.Г., Фавваз З.Д. №гин1зац1я роэв"язк!в скстеми л!и!Пних дн1еренц1альних-р1внянь з нап!виарков.ськими впипдков'.т ков^Лц1ентами. - К:;5в,' 1902. - 12 с. (Деп. в УкрНДШ'П 18.03.02. - .1448 - УК 92).

6. Ванеев К .Г., Фавваз З.Д. Оп^ПзаЩя Розв«Язк1в оио-ю. л1н1йних диференц!альних р1вн.иь з вппадковшк коефЩ1-„М«И. - К,13, Ивз; - 13 С. (ДОП. в УкрНДШИ 02.02.IWB. -

;? та - УК 93).

П|дп. до друку ДДО/ 94. Формат 60Х84'/ц. .

Пап1р друк. Л . Слое!6 дружу офссгни). Умовн. друк. ври. £}93 ■ Умовн. фарбо-в1дб. . Обл.-вид. «рк. /,0

Тираж . Зам. Ж У-АоО .

«Ирма «В1П0Л» 252151, КнТв, вул. Волинськ«, 60.