Численно-аналитический метод расчета пластических течений с разрушением материала тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ГРИГОРЬЕВ Ян Юрьевич

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ С РАЗРУШЕНИЕМ МАТЕРИАЛА

01 02 04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003160665

Самара - 2007

003160665

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет»

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор, заслуженный деятель науки РФ,

профессор СГАУ

Хромов Александр Игоревич

Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор,

заведующий кафедрой «Механика» СамГТУ Клебанов Яков Мордухович кандидат физико-математических наук, доцент СамГУ

Сироченко Владимир Прохорович

Ведущая организация ГОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

Защита состоится « 06 » ноября 2007 года в 14 00 часов на заседании диссертационного совета Д 212218 06 при Самарском государственном университете по адресу 443011, г Самара, ул Академика Павлова,!

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Самарского государственного университета

Автореферат разослан «23» №.НТЯ БРЛ 2007 года

Ученый секретарь диссертационного совета

Глущенков В С

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы Многие среды обнаруживают при деформировании совместное появление упругих и пластических свойств Для описания поведения подобных сложных сред требуются соответствующие модели Данной фундаментальной проблеме посвящено большое число работ отечественных и зарубежных ученых Ю Н Работнова, Галина, А А Ильюшина, Л М Качанова, Б Е Победря, А А Буренина и др

Решение таких задач актуально при расчетах в механике, тесно связанных с вопросами оценки надежности конструкций в машиностроении, расчетах полей остаточных деформаций в элементах конструкций Анализ накопления больших пластических деформаций связан в первую очередь с анализом элементов конструкций, имеющих резкое изменение формы, которые принято называть концентраторами напряжений Вместе с этим эти точки являются концентраторами деформаций, определяющими несущую способность всей конструкции

Подобные задачи, как правило, решаются численными методами В окрестности угловых точек упругие свойства приводят к бесконечным значениям для напряжений и деформаций Такие окрестности угловых точек предполагается описывать с помощью модели идеального жесткопластического тела

По-существу все современные пакеты прикладных программ в механике (МБС, ЬЗ-БУЪГА и др ) являются численно-аналитическими, так как

позволяют включение суперэлементов, содержащих алгоритмы отличные от основного алгоритма, определяемого спектром математических моделей, обслуживаемого данным пакетом

Жесткопластическая модель - это одна из моделей, которая позволяет получить аналитическое распределение поля деформаций в окрестности концентраторов, с учетом изменения геометрии тела Суперэлемент, описанный жесткопластической моделью, дает возможность аналитически определить предельные деформации

Развитие фундаментальных соотношений теории идеальной пластичности связано с именами Г Гейрингер, Г Генки, В Койтера, Е Ли, А Надаи, Е Оната, В Прагера, Л Прандтля, Р Хилла и др Вопросам и задачам теории идеальной пластичности посвящены многочисленные работы отечественных авторов Б Д Аннина, Г И Быковцева, Б А Друянова, Д Д Ивлева, А.Ю Ишлинского, Л М Качанова, Ю В Немировского, Р И Непершина, Ю Н Радаева, В В Соколовского, С А Христиановича, А И Хромова и др

Реальные материалы обладают сложным комплексом свойств Попытка учесть их все сразу чрезвычайно усложняет анализ Однако зачастую необходимая информация может быть получена при помощи базовых моделей, к которым относится модель идеального жесткопластического тела

Одной из основных проблем этого направления является неравномерное распределение деформаций в пластической области Эксперименты показывают существование тонких слоев локализации деформаций, примыкающих к жесткопластическим границам с большим градиентом перемещений, что в теории жесткопластических тел соответствует особенностям поля скоростей

перемещений (точки, линии и поверхности разрывов различного порядка) Подобный эффект наблюдается также в окрестности точек резкого изменения формы тела (угловых точек, вершин трещин и т д ) Деформации в окрестности таких особенностей значительно превышают деформации в непрерывном поле скоростей перемещений и могут определять процессы разрушения тел

Фундаментальной проблемой механики деформируемого твердого тела и ее приложений является адекватное описание процессов зарождения и развития трещин Развитие этих исследований связано с именами Н Ф Морозова, Е М Морозова, Г П Черепанова, В И Астафьева и др Использование в этой области предлагаемых численно-аналитических методов представляется наиболее актуальным

Целью работы является исследование областей резкого изменения формы как концентраторов деформаций в виде У-образных вырезов в цилиндрических образцах, построение решений с учетом разрушения материала для упру-гопластических тел, решение пространственных упругопластических задач с помощью набора новых суперэлементов

Научная новизна работы заключается в следующем

- исследованы процессы деформирования и разрушения упругопластических образцов с У-образными вырезами при растяжении в условиях осесимметричной деформации, рассмотрены возможные случаи образования трещин в образце при растяжении на основе анализа полей деформаций в пластической области,

- построены суперэлементы для осесимметричных и плоских задач,

- разработан алгоритм расчета полей деформаций в окрестности угловых концентраторов для образцов с более сложной геометрией с использованием суперэлемента для плоских и осесимметричных задач

Достоверность полученных результатов основана на классических подходах механики сплошных сред и строгих математических выкладках

Практическая значимость работы Решение рассматриваемых задач актуально при разработке математических моделей поведения реальных элементов конструкций, оценки их надежности, разрушения при длительной эксплуатации с большим накоплением остаточных деформаций и в экстремальных условиях Использование предлагаемого суперэлемента в современных пакетах прикладных численно-аналитических программ в механике (МБС, А^УБ, ЬБ-БУКА и др), которые позволяют включение элементов, содержащих алгоритмы, отличные от основного алгоритма, определяемого спектром математических моделей, обслуживаемого данным пакетом, для расчета полей деформаций в окрестностях концентраторов напряжений

Апробаиия работы Результаты работы докладывались на

- Третьей Всероссийской научной конференции, Самара, 2006,

- Международной научно-технической конференции «Проблемы и перспективы развития двигателестроения», Самара, 2006,

- XXXI Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е В Золотова, Владивосток, 2006

- Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики», посвященной 70-летию со дня рождения академика В П Мясникова, Владивосток, 2006,

- VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия), Кисловодск, 2006,

- 2-м Международном форуме молодых ученых (7-й Международной конференции) «Актуальные проблемы современной науки», Самара, 2006,

- VIII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (зимняя сессия), Йошкар-Ола, 2007,

- Зимней школе по механике сплошных сред (пятнадцатая), Пермь, 2007

Публикации по работе По теме диссертации опубликовано 13 научных

работ и получено одно свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (107 наименований) Объем работы -107 страниц, в том числе 34 рисунка

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении показана актуальность поставленной проблемы, приводится историческая справка исследования деформированного состояния упругопластических тел и разрушения идеального жесткопластического тела, описано содержание диссертации по главам

В первой главе представлены соотношения теории осесимметричной деформации идеального жесткопластического тела

В первом параграфе приводятся основные положения теории полная система уравнений теории пластического течения Во втором, третьем и четвертом параграфах приведены системы разрешающих уравнений при различных условиях текучести

В качестве меры деформаций используется тензор конечных деформаций Альманси Еу, связанный с тензором дисторсии А = \ау ]= , J соотношениями

Ev = l-(su -х1АЛ о)

где x°hJ = 9х;° jdXj , х(°, х} - соответственно лагранжевы и эйлеровы

координаты частицы

Во второй главе рассмотрен численно-аналитический подход к расчету полей напряжений и деформаций

В первом и втором параграфах на основе задачи о растяжении упруго-пластического тела с угловым вырезом рассматривается общая задача о построении суперэлементов, описывающих совместно с известными пакетами программ (MSC, ANSYS, LS-DYNA и др) условие накопления предельных деформаций в окрестности концентраторов Рассмотрено тело (рис 1) из упру-гопластического материала с угловым вырезом с углом раскрытия 28 в условиях осесимметричной деформации Предполагается, что в окрестности вершины выреза поведение материала адекватно описывается жесткопластической моделью Жесткопластическая область окружена упругопластической областью Т о предлагается исходную задачу заменить двумя внешней упругопластической задачей, решение которой строится численным методом, и внутренней задачей для жесткопластического тела, решение которой строится аналитически, т е сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений

Для решения внешней упругопластической задачи жесткопластическая область исключается Действие отброшенной области на образец заменяется напряжениями, приложенными вдоль всей жесткопластической границы Для внутренней задачи рассмотрена окрестность вершины углового выреза, где материал предполагается идеальным жесткопластическим Эта область представлена как суперэлемент (рис 1), построенный с помощью двух семейств линий скольжения а и

Предлагаемый суперэлемент является обобщением суперэяемента для случая плоской деформации предложенного А И Хромовым, А А Буханько, С J1 Степановым

Рис 1

Определение деформаций связано с интегрированием системы уравнений, связывающих тензор деформаций Еу и тензор скоростей деформаций

ОЕ„ Ш„

ГН

Л

где е1} =

- + Е,кУк>] +Е]кУК, = ву1

+ У}>, т_ „ й д

-, V, - скорость перемещении, — = — + К,

2 ск д1

дхк

(2)

■ материаль-

ная производная

Данная система уравнений при предельном переходе в поле линий скольжения жесткопластического суперэлемента при осесимметричной деформации в полярной системе координат сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений Пусть в центре веера линий скольжения сходятся линии семейства ¡3 Тогда компоненты тензора Альманси будут определяться системой уравнений, полученной А А. Буханько, Е С Каминской

дб

-А + 2у% соэ 2(в -у/) = 0,

да

у- А + 2у[е - ^ соб 2{в-у/) = 0,

¿X) г..

да

(3)

u-\a cosa+ 6 sinal -¡. г , ,, -i п

где А =---=-А =и- a cosa + Ь sina Здесь

ov J

u + — да

e = ^(Err +EZZ \ g = ~ (Err + Ezzf + 4 E^ , в, у/ - углы наклона первого (алгебраически наибольшего) главного направления тензоров Е ,еу, а - угол наклона а -линии к оси г, u,v — проекции скоростей перемещений на а,Р~ направления, m = a' i +¿'j - вектор скорости возможных изменений положения вершины углового выреза Если в центре веера линий скольжения сходятся линии семейства а, компоненты тензора Альманси определяться аналогичной системой уравнений

Поле скоростей внутри жесткопластической области определяется соотношениями

dS

du-vdd + Vr а = 0 (a - линия) dS а

dv + udd + Vr —— = 0 (/3-линия) 2 г

Интегрируя систему уравнений (3), можно получить распределение деформаций в окрестности точки А Предполагается, что предпочтительным является пластическое течение, приводящее к меньшим максимальным деформациям

inf sup Е], п

где supEj - наибольшее значение первого алгебраически наибольшего главного

го значения тензора Еу в окрестности точки А, о - пластическая область

В третьем параграфе рассмотрена упругопластическая задача, из которой определяются граничные условия для суперэлемента Отброшенная жесткопла-стическая область заменяется нагрузками, приложенными вдоль упругопласти-ческой границы, заданными тензорами вида

~р-к sin(20) к cos(20) 0 к сos(26>) p+ksm(29) 0 (4)

0 0 а9_

На границе СБЕ вдоль характеристических а -линий выполняются соотношения

¿jjp2tf)-(smí? +cos 0)^ = 0, (5)

где dSa — элемент длины вдоль о;-линии

Вдоль характеристических ¡3-линий выполняются соотношения

rff^ + 26>V(smé> + cos60— = 0, (6)

W-

где <18 р - элемент длины вдоль р -линии

Граничные условия (4) - (6) задаются на упругопластической границе при решении внешней упругопластической задачи, в которой жесткопластическая область исключена Нормальные скорости перемещений на пластической границе определяются из решения упругопластической задачи для тела в целом (за исключением суперэлемента) при заданных напряжениях на пластической границе и существенно зависят от нагрузок, приложенных к упругим областям Выбор размеров суперэлемента определяется из условий минимальности пластической области (характерного линейного размера, например отрезка АВ -радиуса суперэлемента) при сохранении полноты решения

Из решения внешней упругопластической задачи численным методом Эу

определяются величины и и — (рис 2), по которым находятся коэффициен-

да

ты А я А' системы уравнений (3) при заданном векторе ш =а\ +Ь'\ На этом этапе возможны два варианта пластического течения

1) при неограниченных деформациях материала,

2) при допустимых деформациях материала, определяемых характеристикой Е*

В четвертом параграфе исследованы соотношения для построения плоского суперэлемента при пространственном деформировании, когда тензор напряжений может быть представлен в виде

О л О

7ъъ)

Т =

а12 °22

"11 0-12

,0 0 Оз;

В случае ег33 = с + а, при условии пластичности Мизеса {<тх-<т2)2 +(а2 -сг3)2 +(<т3 -о-,)2 =2К2 имеем обобщенный случай плоской деформации при новом пределе текучести Кх, определяемом соотношением 4К2 =4К2 —3с2 Это дает, возможность использования изложенного выше алгоритма, но для плоской деформации

Рис 2

В третьей главе рассмотрена задача о разрушении кругового цилиндра при одноосном растяжении

В первом параграфе рассмотрена задача о растяжении упругопластического цилиндра с угловым круговым вырезом, имеющего радиус г = 200 мм и длину / = ЮООлш, с углом выреза 28 = 20° и глубиной выреза h = 20мм, при кинематических граничных условиях Верхний и нижний

концы цилиндра (линии ¿, и Ь2) движутся с постоянной скоростью V = 1лу-

вдоль оси Z, соответственно, вверх и вниз Материал образца предполагается упругопластическим Пластическое состояние определяется по критерию Мизеса В качестве материала выбирается алюминий со следующими

свойствами модуль упругости Е = 6,769 108 Ц/ ,, коэффициент Пуассона

/ мм

ß = 0,33 Пластические свойства задаются кривой текучести (рис 3)

При прямом применении пакета MSC Marc 2005 к решению задачи при вышеуказанных условиях возникает проблема сходимости вычислительных процессов в окрестности вершины выреза Для решения задачи используется алгоритм, предложенный во второй главе На первом этапе ставится внешняя упругопластическая задача, в которой исключена из рассмотрения жесткопластическая область (рис 5 ) Размеры области выбираются из условий минимальности, при которых не будет превышения предела текучести За характеризующий размер жесткопластической области принимается радиус веера характеристик R Показано, что R зависит от величины нагрузки, глубины выреза, а также от свойств материала образца Для данной задачи величина R = 2 Зависимость характеризующего размера области R от перемещений U, приложенных на концах образца, показана на рис 4

Рис. 5 Рис. 6

Внешняя упруго пластическая задача решается методом конечных элементов.

Из решения внешней упругопластической задачи определяется распределение скоростей на границе суперэлемента. На рис. 6 показано распределение нормальных скоростей, полученное на границе жесткопластической области.

Рассматривались различные материалы, нагрузки и радиусы жесткопластической области. Установлено, что при больших нагрузках граничные условия, приложенные на жесткопластической границе, не влияют на распределение напряжений и перемещений в окрестности суперэлемента. Также было замечено, что для исключения больших погрешностей, радиус И жесткопластической области должен быть соизмерим с растягивающими перемещениями и .

Распределение скоростей на границе суперэлемента является исходным лля внутренней жесткопластической задачи.

Найденные величины и и -—■ определяют коэффициенты Л и А' система

мы уравнений (3) при заданном векторе тяаЧ+А^ ,

Для определения поля деформаций в окрестности центра веера линий скольжения используются уравнения (2) в компонентах тензора дисторсии А :

дац

да«

Ш дхь

Щк л Ч] аГ

к = 1,2,3.

В центре веера линий скольжения сходятся линии семейства (3, компоненты тензора дисторсии определяются системой уравнений

да1\

да

А-ап зюасоза + а,? сов а - О,

да]2 -

да да

А-а,2 эта сова+ а22 соз а = О,

А-аи ЕШ аг+ «|2 соэа ята = О,

да-,-, —

'22 да

А~а1У а + ап соьа з!гиж = О,

А' = 0,

да

-г, г , ,, 1 — и-ш'соза + Ь'ъта] где А =и-\а соэа + г» вта , А =-ь---

т

и + — да

Предложен алгоритм описания процесса разрушения и определения направления движения точки А Для нового положения вершины трещины алгоритм продолжается в цикле В результате решения задачи определен угол между вектором, определяющим движение вершины выреза А, и осью Ог у/ = 127°9', определена скорость движения трещины при этом угле |т| = 8,566 Перемещение может быть направлено равновероятно как в нижнюю, так и в верхнюю части суперэлемента Поэтому траектория движения вершины имеет зигзагообразный вид, в среднем совпадающий с осью симметрии (осью Ог)

Во втором параграфе рассмотрена задача о растяжении упругопластиче-ского цилиндра с внутренним вырезом, с применением изложенного выше алгоритма Построен суперэлемент представленный на рис 7

Граничные условия на жесткопластической границе задаются согласно (4), (6) Установлено, что в отличие от задачи с внешним вырезом, граничные условия, приложенные на жесткопластической границе, оказывают существенное влияние на распределение напряжений и перемещений в окрестности суперэлемента, в случае внутренних вырезов

Поле напряжений для внешней упругопластической задачи показано на рис 8 Из решения этой задачи получено распределение скоростей на границе (рис 9), которое является исходным для внутренней жесткопластической задачи В центре веера линий скольжения сходятся линии семейства а, компоненты тензора дисторсии определяются системой уравнений, аналогичной (7) В остальном алгоритм такой же, как для задачи с внешним вырезом

В результате решения определен угол между вектором, определяющим движение вершины выреза А, и осью Ог у/= 61°5'

Накопление деформаций происходит быстрее в окрестности внешней выточки, нежели в области вершин внутреннего выреза при осесимметричном деформировании. Таким образом, разрушение материала при осесимметричной деформации происходит быстрее, когда трещина развивается снаружи

Размер суперэлемента для задачи с внутренним вырезом будет меньше, чем при решении задачи с внешней У-образной выточкой Нужно приложить большие усилия для того, чтобы материал начал разрушаться в задаче с внутренним вырезом

Упругапластмчв'ское тело

гттттг,

Рис. 7

Рис. 8

Т -JS -1 -и 'I 4J о «4 I 13 1

Рис. 9

В четвертой главе предложено решение пространственных задач о растяжении образцов с V-образны ми вырезами.

В первом параграфе рассмотрено обобщение осесимметричной деформации на пространственный случай.

Рассмотрена упруго пластическая задача о растяжении образца произвольной формы с V-образной выточкой (рис. 10). L - линия вершин V-образиого выреза. Считается, что перемещения частиц материала происходят в плоскости, ортогональной линии вершин выреза, а перемещения вдоль линии вершины выреза малы. Пусть L - произвольная гладкая линия, заданная в полярной системе координат (р, г . Разобьем линию вершин выреза на малые части (рис. 11 ) и каждой части поставим в соответствие сегмент с углом dtp (рис. 12 ). Предполагается, что каждая часть соответствует сегменту некоторой осесимметричной задачи с осью симметрии, расположенной на расстоянии г(р).Для определения >\<р) используется уравнение

и

следующее из соотношения е^ = и/г для осесимметричной задачи. Здесь и - иt - перемещения по оси г в точке С, £~ - скорость деформаций по направлению

Жесткопластическое тело

Рис 12

** ~ <Ь„

А

Ч> 9

Здесь V2, у)р — скорости по направлению <р, соответственно, в точках В, А, — длина дуги АВ Скорости V2, в окрестности вершины выреза определяются из решения упругопластической задачи Величина £гр счит ается постоянной ввиду малости угла ¿ф

Изложенный в главе 3 алгоритм решения осесимметричной задачи позволяет рассчитать деформации в окрестности вершины выреза и определить направление движения трещины для данного угла <р Делая обход вдоль всей линии г = р{ср), можно рассчитать новое положение линии вершин трещины Когда г—> оо, возможны случаи аналогичные плоской деформации или плоского напряженного состояния Кроме того, необходимо учитывать тип выреза в локальной осесимметричной задаче (внутренний или внешний)

Во втором параграфе решена задача об одноосном растяжении упругопластического эллиптического цилиндра с угловым вырезом с помощью алгоритма предложенного в первом параграфе Образующей цилиндра является эллипс с полуосями а = 50 мм и Ъ = 40 мм. Задача решается методом конечных элементов в численно-аналитическом программном комплексе

Для определения деформаций в окрестности линии вершин выреза используется численно-аналитический подход, предложенный в главе 2 Для этого применяется обобщение осесимметричной задачи Линия Ь разбивается на части, и каждой части ставится в соответствие некоторая осесимметричная задача Определяются параметры этих задач, радиусы г

Определено, что накопление деформаций происходит быстрее в точках, соответствующих большему радиусу, с уменьшением которого, уменьшаются значения напряжений и деформаций Разрушение начинается в точках большой полуоси эллипса (а = 50мм), где радиус достигает своего наибольшего значения

В третьем параграфе решена задача о растяжении упругопластического прямоугольного стержня со сглаженными углами и угловым вырезом Линия вершин выреза разбивается на части (рис 13) Кривые С'С", D"D', А'А", В"В' представляют собой дуги окружностей радиуса R'

На участках линии вершин выреза С'С", £>"£>', А'А", В"В' каждому элементу dL, ставится в соответствие некоторая осесимметричная задача и применяется предложенный алгоритм

На участках C"D", D'A', А"В", В'С' элементам dL, соответствуют радиусы г —> оо, и каждому элементу линии вершин выреза соответствует некоторая задача при условном плоском напряженном состоянии Определены соотношения для плоского напряженного состояния совместно с A JI Григорьевой, построен суперэлемент (рис 14) и рассмотрен алгоритм, предложенный в главе 2 Было определено, что накопление деформаций происходит быстрее на участках C"D", D'A', А"В", В'С', где начинается разрушение

ytE

Рис 13

Рис 14

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1 Предложен численно-аналитический метод расчета пластических течений с разрушением материала в условиях осесимметричной деформации

2 Разработаны алгоритм и программа расчета полей тензоров деформаций в окрестности особенностей поля скоростей перемещений для решения упругопластических осесимметричных задач с помощью суперэлемента, определенного в рамках модели идеального жесткопластического тела

3 Получены поля тензоров деформаций с учетом их накопления и локализации в задачах о растяжении упругопластических цилиндрических образцов с внешними и внутренними угловыми вырезами Определены области возможного образования трещин при ограничении максимальных деформаций

4 Предложено обобщение численно-аналитического метода на случай пространственных задач с использованием осесимметричного и обобщенных плоских суперэлементов

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ОПУБЛИКОВАННЫХ В ВЕДУЩИХ РЕЦЕНЗИРУЕМЫХ НАУЧНЫХ ЖУРНАЛАХ И ИЗДАНИЯХ, ОПРЕДЕЛЕННЫХ ВАК

1 Григорьев Я Ю, Патлина О В , Шацкий АН О расчете предельных пластических деформаций в зоне углового выреза // Вестник СамГТУ Серия «Физико-математические науки» №1(14) - 2007 Самара СамГТУ. 2007 С 161 -164

2 Григорьев Я Ю Метод расчета предельных пластических деформаций в зоне углового выреза // Обозрение прикладной и промышленной математики М 2006 Т 13 Вып 4 -С 628

3. Григорьев Я Ю , Патлина О В , Шацкий А Н Метод расчета предельных пластических деформаций в зоне углового концентратора // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им Королева 2006 №2(10)ч 2 С 319-322

СПИСОК ДРУГИХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

4 Олейников А И, Бормотин К С , Григорьев Я Ю , Клешнина АЛ 2 и 3(1 инженерный анализ и программные решения для оценки технологичности проектов // Вестник КнАГТУ Вып 2 Сб 2 . Сб науч тр - Комсомольск-на-Амуре - КнаГТУ 2004

5 Олейников А И, Бормотин К С, Григорьев Я Ю , Клешнина А Л Сумароков Г С Программные решения МБС для оценки технологичности проектов // Форум МБС, М 2004

6 Григорьев Я Ю, Каминская Е С, Шацкий А Н Растяжение пластического цилиндра с окружным надрезом // Математическое моделирование и краевые задачи МЗЗ Труды Третьей Всероссийской научной конференции Ч 1 Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций Самара СамГТУ 2006 С 48-50

7 Григорьев Я Ю , Патлина О В , Шацкий А Н Метод расчета предельных пластических деформаций в зоне углового концентратора // Проблемы и перспективы развития двигателестроения / Материалы докладов международной научно-технической конференции 21 - 23 июня 2006 г -Самара СГАУ 2006 -В 24 Ч 1 С 9-10

8 Григорьев Я.Ю , Патлина О В Применение суперэлементов к решению задач о растяжении образцов с угловыми вырезами // XXXI Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е В Золотова Тезисы докладов -Владивосток Дальнаука 2006 С 135

9 Григорьев ЯЮ Определение предельных пластических деформаций в вершине углового выреза при осесимметричной деформации // Фундаментальные и прикладные вопросы механики Материалы Всероссийской конференции, посвященной 70-летию академика В П Мясникова 25 - 3 О сентября 2006 г, Владивосток -Владивосток 2006 С 38-40

10 Григорьев ЯЮ Задача о растяжении стержня с внешними и внутренними вырезами // Актуальные проблемы современной науки труды 2-го международного форума (7-й Международной конференции молодых ученых и студентом) Естественные науки Части 1 - 3 Математика Математическое моделирование Механика Самара Изд-во СамГТУ Самара

2006 С 136-138

11 Григорьев ЯЮ Задачи о растяжении цилиндрических образцов с окружными угловыми вырезами // Вестник ЧГПУ им И Я Яковлева Серия Механика предельного состояния ГОУ ВПО «ЧГПУ им И Я Яковлева», Чебоксары 2007 С 45 - 50

12 Григорьев Я Ю Решение задач о растяжении цилиндрических образцов с окружными вырезами // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая) Сборник статей В 3-х частях Часть 1 Екатеринбург УрО РАН

2007

13 Григорьев ЯЮ Решение задачи о растяжении цилиндрического образца с окружным угловым вырезом // Обозрение прикладной и промышленной математики М 2007 Т 14 Вып 2 — С 282-283

14 Григорьева AJI Кочеров ЕП, Хромов АИ, Григорьев ЯЮ Поверхность нагружения, связанная с линиями уровня поверхности деформаций несжимаемого жесткопластического тела, для конструкционных материалов (РПН) / Св-во о per прогр для ЭВМ № 2007611209 от 21 03 2007

Личный вклад автора Работы [2-3,11- 14] выполнены автором лично В работах [1, 4 -10 ] в рамках сформулированной научным руководителем проблемы автор получил необходимые для теоретического анализа и численных расчетов соотношения и провел необходимые вычисления

Подписано в печать 27 сентября 2007 г Формат 60x84/16 Бумага офсетная Печать оперативная Объем 1 п л Тираж 100 экз Заказ Ш1422 443011 г Самара, ул Академика Павлова, 1 Отпечатано УОП СамГУ

Введение

Глава 1. Основные положения механики сплошных сред. Уравнения пластического состояния. Осесимметричное деформирование.

1.1. Теория пластического течения.

1.2. Осесимметричная деформация.

1.3. Уравнения осесимметричной деформации идеального жесткопластического тела при условии текучести Треска-Сен

Венана.

1.4. Уравнения осесимметричной деформации идеального жесткопластического тела при условии текучести Мизеса.

Глава 2. Численно-аналитический подход к расчету полей напряжений и деформаций.

2.1. Общие замечания.

2.2. Суперэлемент.

2.3. Решение упругой задачи. Определение граничных условий

2.4. Обобщение плоской деформации при пространственном деформировании

Глава 3. Задача о разрушении кругового цилиндра при одноосном растяжении

3.1. Задача о растяжении упругопластического цилиндра с угловым круговым вырезом.

3.2. Задача о растяжении упругопластического цилиндра с внутренним вырезом

Глава 4. Пространственная задача

4.1, Обобщение осесимметричной деформации на пространственный случай

-34.2. Задача об одноосном растяжении упругопластического эллиптического цилиндра с угловым вырезом

4.3. Задача о растяжении упругопластического прямоугольного стержня со сглаженными углами и угловым вырезом

Многие среды обнаруживают при деформировании совместное появление упругих и пластических свойств. Для описания поведения подобных сложных сред требуются соответствующие модели. Данной фундаментальной проблеме посвящены работы В.И. Астафьева, А.А. Буренина, А.А. Ильюшина, J1.M. Качанова, Б.Е. Победря [3, 35, 38]. Рассматривается построение основных соотношений связи между напряженным и деформированным состояниями для достаточно широкого класса реологически сложных сплошных сред. В основу построений положено три основных механизма деформирования: упругий, пластический и вязкопластический. Первый механизм определят обратимый процесс деформирования, второй и третий - необратимые.

Интенсивное развитие теории упругости началось со второй половины

XVIII века. В 1755 г. Л.Эйлер вывел уравнения движения идеальной однородной сплошной среды [60]. В 1822 г. O.JI. Коши разработал систему уравнений, характеризующих напряженное состояние материальных точек деформируемой среды, кроме того, он получил уравнения, связывающие деформации с перемещениями, и установил для упругих деформаций связь между напряжениями и деформациями для изотропного тела [68].

Трудами Б. Сен-Венана, С. Пуассона, JI. Навье, У. Томсона и др. в конце

XIX века сформулированы основные положения, создан математический аппарат теории упругости и решен ряд задач, не потерявших ценности в настоящее время. В дальнейшем теория упругости развивалась в трудах С.П. Тимошенко, Н.И. Мусхелишвили, JI.C. Лейбензона, Ю.Н. Работнова, И.А. Одинга, С.В. Серенсена и многих других [59, 67, 82].

Механика пластически деформируемого тела, для которого характерно отсутствие линейной зависимости деформаций от напряжений, развивались с использованием достижений теории упругости. Кардинальным вопросом для теории пластичности является определение условий перехода от упругих деформаций к пластическим.

Развитие фундаментальных соотношений теории идеальной пластичности связано с именами М. Леви, Р. Мизеса, Треска, Сен-Венана, J1. Прандтля, Г. Гейрингер, А. Райса, А.Ю. Ишлинского, С.А. Христиановича, В.В. Соколовского, Р. Хилла, Д.Д. Ивлева, В. Прагера, В. Койтера [29-33, 35, 60, 64, 69, 73, 86, 94, 96, 99-102, 105]. Вопросам и задачам теории идеальной пластичности посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных авторов: Б.Д. Анина, Г.И. Быковцева, Б.А. Друянова, М.И. Ерхова, А.А. Ильюшина, JI.M. Качанова, Е.В. Ломакина, П.П. Мосолова, В.П, Мясникова, А. Надаи, Ю.В. Немировского, Р.И. Непершина, Ю.Н. Работнова, Е. Ли и др. [1-2, 10-14,23-29, 35, 39, 51-52, 68, 75-78, 83-91,95-96,105].

Теория пластичности развивалась как технологическая теория пластичности, задачи которой были прямо связаны со многими задачами обработки металлов давлением, резанием [23, 26, 29, 36, 38-39, 53, 65]. Получены решения многих технологических задач о внедрении штампов различной формы, волочении, прокатки и прессовании. Вместе с тем эти задачи рассматривались в основном как задачи предельного равновесия или задачи об установившемся пластическом течении.

В рамках этой теории дано ограниченное число решений с учетом изменения формы геометрии свободных поверхностей: решения задач о растяжении полосы в условиях, о вдавливании клина в полупространство, решение задачи о вдавливании криволинейного штампа в полупространство, [91-92, 95-96, 103-106]. При решении подобных задач деформации материала оценивались по полю перемещения частиц, находящихся в начальный момент времени в узлах прямоугольной сетки и изменению формы геометрии свободных поверхностей, ограничивающих деформируемое тело. Данные характеристики только качественно описывают поведение среды и не характеризуют (собственно) деформации материала как изменения относительного расстояния между частицами. Это приводит к ограниченному использованию получаемых результатов. Одной из характеристик, дающих точное количественное описание деформаций в точке, является тензор конечных деформаций Альманси:

В работах [11,12, 30, 33,75-76] показано, что деформации в пластической области распределяются крайне неравномерно и основные деформации, как правило, наблюдаются на особенностях поля линий скольжения: линия разрыва поля скоростей перемещений и центр веера линий скольжения.

Решение задачи с учетом изменения геометрии необходимо для определения полей деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения (линия разрыва поля скоростей перемещений и центр веера характеристик). Так как изменение свободной поверхности определяет изменение положения этих особенностей. Деформации на них значительно превышают деформации в непрерывном поле скоростей перемещений. Эти деформации могут определять процессы разрушения материала.

Другой особенностью современного состояния теории жесткопластического тела является незаконченность теории разрушения жесткопластического тела. Разрушение идеальных пластических материалов рассматривалось в работах [38, 45, 46, 52]. В этих работах отмечалась возможность разрушения материала на особенностях поля линий скольжения. Но при этом не была представлена теория расчета деформаций в окрестности этих особенностей и поэтому не была сформулирована замкнутая теория распространения трещин при разрушении. Деформация - один из основных параметров, который входит в определяющие соотношения теории идеального жесткопластического тела (ассоциированный закон пластического течения) через тензор скоростей деформаций. Естественно ввести эти величины в критерий разрушения.

При выборе деформационного критерия разрушения возникает другая проблема теории идеального жесткопластического тела - неединственность поля скоростей перемещений. Данная неединственность связана с тем, что модель идеального жесткопластического тела является предельной моделью по отношению к другим более сложным моделям: упруго пластическое тело, упрочняющееся пластическое тело, упругое вязкопластическое тело и т.п. В рамках этих моделей решение задач является, как правило, единственным и этим решениям должно соответствовать некоторое определенное решение для идеального жесткопластического тела при предельных значениях параметров, характеризующих эти модели.

Формулировка выбора предпочтительного решения должна быть основана на общих термодинамических и экспериментальных закономерностях. Одной из таких экспериментально замеченных закономерностей является то, что упрочнение материала есть осреднение деформаций по объему осредняемого тела [69]. На основе этого сформулирован деформационный критерий выбора предпочтительного решения [76-77]: предпочтительным является решение, для которого наибольшее значение первого главного значения тензора Альманси Ej в пластической области минимально.

Целью данной работы является исследование областей резкого изменения формы как концентраторов деформаций в виде V-образных вырезов в цилиндрических образцах; построение решений с учетом разрушения материала для сложных моделей упругопластических тел; решение пространственных упругопластических задач с помощью созданного суперэлемента для осисемметричной деформации.

Решение таких задач актуально при расчетах в механике, тесно связанных с вопросами оценки надежности конструкций в машиностроении, расчетах полей остаточных деформаций в элементах конструкций. Анализ накопления больших пластических деформаций связан в первую очередь с исследованием деформаций в окрестности элементов конструкций с резким изменением геометрии свободной поверхности, которые принято называть концентраторами напряжений. Эти элементы с точки зрения теории идеального жесткопластического тела являются концентраторами деформаций, определяющими несущую способность всей конструкции.

По-существу все современные пакеты прикладных программ в механике (MSC, ANSYS, LS-DYNA и др.) являются численно-аналитическими, так как позволяют включение суперэлементов, содержащих алгоритмы отличные от основного алгоритма, определяемого спектром математических моделей, обслуживаемого данным пакетом.

В первой главе данной работы представлены основные соотношения теории осесимметричной деформации идеального жесткопластического тела. Рассмотрена теория пластического течения. Обозначены требования к построению и существованию полного решения задач теории идеального жесткопластического тела.

Во второй главе рассмотрен численно-аналитический подход к расчету

-■» Мь полей напряжений и деформаций для известных пакетов программ (MSC). Описан метод исследования деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения (линия разрыва поля скоростей перемещений и центр веера характеристик), построен суперэлемент при осесимметричной деформации. Сформулирован используемый деформационный критерий выбора предпочтительного решения. Формулируются критерии разрушения и выбора направления развития трещины. Определены граничные условия для внешней упругой задачи.

В третьей главе решены задачи о растяжении упругопластических цилиндров с внешним угловым круговым вырезом и внутренним вырезом. Установлена связь между выбором размеров суперэлемента и условиями задачи. Применен соответствующий алгоритм, определены направления движения трещин. При одинаковых условиях накопление деформаций происходит быстрее в окрестности вершин внешнего выреза, а значит, быстрее происходит разрушение.

В четвертой главе рассмотрен алгоритм расчета задач о растяжении упругопластических образцов произвольной формы сведением к осесимметричным задачам. Определены параметры таких осесимметричных задач. Решена задача о растяжении эллиптического цилиндра.

В работе принята тройная нумерация формул: первая цифра - номер главы, вторая - номер пункта; и двойная нумерация рисунков: первая цифра -номер главы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложен численно-аналитический метод расчета пластических течений с разрушением материала в условиях осесимметричной деформации.

2. Разработан алгоритм и программа расчета полей тензоров деформаций в окрестности особенностей поля скоростей перемещений для решения упругопластических осесимметричных задач с помощью суперэлемента, определенного в рамках модели идеального жесткопластического тела.

3. Получены поля тензоров деформаций с учетом их накопления и локализации в задачах о растяжении упругопластических цилиндрических образцов с внешними и внутренними угловыми вырезами. Определены области возможного образования трещин при ограничении максимальных деформаций.

4. Предложено обобщение численно-аналитического метода на случай пространственных задач с использованием осесимметричного и обобщенных плоских суперэлементов.

1. Аннин Б.Д. Современные модели пластических тел. Новосибирск: НГУ, 1975.96 с.

2. Аннин Б.Д., Жигалкин В.М. Поведение материалов в условиях сложного нагружения. Новосибирск: Изд-во Со РАН, 1999. 342 с.

3. Астафьев В.И., Радаев Ю.Н., Степанова Л.В. Нелинейная механика разрушения. Самара: СамГТУ, 2001. 632 с.

4. Бриджмен II. Исследование больших пластических деформаций и разрыва. -М.: Ил., 1955.444 с.

5. Буханько А.А., Хромов А.И. Определение полей деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения // Вестник КнАГТУ: Вып.2 Сб. 1 Прогрессивные технологии в машиностроении: Ч.З: Сб. науч. тр., 2000, с. 8-14.

6. Буханько А.А. Концентраторы деформаций // Дальневосточная школа-семинар им. академика Е.В. Золотова.- Владивосток: Дальнаука, 2002. С. 71-72.

7. Буханько А.А. Растяжение полосы с V-образными вырезами в рамках теории плоской деформации // Зимняя школа по механике сплошных сред (тринадцатая). Тезисы докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 2003. С.65.

8. Буханько А.А. Разрушение полосы с V-образными вырезами при растяжении // Обозрение прикладной и промышленной математики. М: ОПиПМ, Т. 10, вып. 1,2003 г. С. 111-113.

9. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Об определении предельной нагрузки тел, вдавливаемых в пластическую среду // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1961. № 1. С. 173-174

10. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука. 1998. 528 с.

11. Быковцев Г.И., Хромов А.И. Плоская деформация идеальных жесткопла-стических тел с учетом изменения границы // Изв. АН СССР. МТТ, 1979. № 2. С.71-78.

12. Быковцев Г.И., Хромов А.И. Плоская контактная задача для идеальных же-сткопластических тел // V Всесоюз. съезд пл теоретич. и прикл. механике. Алма-Ата, 1981. С.83.

13. Быковцев Г.И., Хромов А.И. Разрушение идеальных жесткопластических тел // Сибирская школа по современным проблемам механики деформируемого твердого тела / Тезисы докладов. Якутск, 1990. С.30-31.

14. Введение в механику сплошных сред: учеб. пособие / Черных К.Ф. Изд-во Ленингр. ун-та, 1984. 280 с.

15. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, - 1978. 304 с.

16. Григорьев Я.Ю. Задачи о растяжении цилиндрических образцов с окружными угловыми вырезами // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. ГОУ ВПО «ЧГПУ им. И.Я. Яковлева», Чебоксары, 2007. с. 45 50.

17. Григорьев Я.Ю., Патлина О.В., Шацкий А.Н. О расчете предельных пластических деформаций в зоне углового выреза // Вестник СамГТУ. Серия «Физико-математические науки» №1(14) 2007. Самара: СамГТУ, 2007. с. 161-164.

18. Григорьев Я.Ю., Патлина О.В., Шацкий А.Н. Метод расчета предельных пластических деформаций в зоне углового концентратора // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. Королева. 2006, №2(10) ч.2. С. 319-322.

19. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Гос.изд.физ.-мат.лит., 1963. 660с.

20. Джонсон У., Меллор П. Теория пластичности для инженеров. М.Е Машиностроение, 1979. 567 с.

21. Друянов Б.А. Начальное течение полосы при вдавливании гладкого криволинейного штампа // Исследование пластического течения металлов. М.: Наука, 1973. С. 98-106.

22. Друянов Б.А. О полных решениях некоторых задач деформации полосы // МТТ, 1968. №2. С.171-173.

23. Друянов Б.А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности. М.: Машиностроение, 1990.-272 с.

24. Дудукаленко В.В„ Мяснянкин Ю.М. Об определении изменяющейся границы тела при плоском пластическом деформировании // На-уч.тр.фак.прикл.мат. и мех.Воронеж.ун-та, 1971. Вып.2, С.131-134

25. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы / В.К. Семенченко. М.: Мир, 1974. 604 с.

26. Ерхов М.И. Теория идеальнопластических тел и конструкций. М.: Наука, 1978. 352 с.

27. Ивлев Д.Д. К построению теории идеальной пластичности // ПММ, 1958. Т.22, вып.6. С.850-855.-10231. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. В 2 т. Т.1. Теория идеальной пластичности. М.: Физматлит, 2001. 448 с.

28. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. В 2 т. Т.2.0бщие вопросы. Жест-копластическое и упругопластическое состояние тел. Упрочнение. Деформационные теории. Сложные среды. М.: Физматлит, 2002. 448 с.

29. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. 232 с.

30. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела. -М.: Наука, 1978. 208 с.

31. Илыошин А.А. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948.

32. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики. К.1. Механика вязкопла-стических и не вполне упругих тел. М.: Наука, 1986. 360 с.

33. Качанов JI.M. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 312 с.

34. Качанов JT.M. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с.

35. Кроха В.А. Упрочнение металлов при холодной пластической деформации: Справочник. М.: Машиностроение, 1980. - 157 с.

36. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1979. 208 с.

37. Козлова О.В., Хромов А.И. Константы разрушения для идеальных жестко-пластических тел// Докл.РАН, 2002.Т.385, № 3, с. 342-345.

38. Койтер В. Соотношения между напряжениями и деформациями // Механика, №2, 1960.

39. Колесников Ю.В., Морозов Е.М. Механика контактного разрушения. М.: Наука, 1989. 224 с.

40. Корнев В.М. Модификация критерия разрушения Нейбера-Новожилова для угловых вырезов (антиплоская задача). // Прикладная механика и техническая физика. Т.43,№ 1-2002. С. 153-139.

41. Леонов М.Я. Механика деформаций и разрушения. Фрунзе: Илим, 1981. 236 с.

42. Макклинток Ф. Пластические аспекты разрушения // Разрушение, т. 111. С. 67-262.

43. Макклинток Ф., Арагон А. Деформация и разрушение материалов. М.: Мир, 1970. 443 с.

44. Михлин С.Г. Математическая теория пластичности // Некоторые новые вопросы механики сплошной среды. М.: Изд-во АН СССР, 1938.

45. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 56 с.

46. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. Проблемы динамики разрушения твердых тел. -СПб: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1997. 132 с.

47. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопластических сред. М.: Наука, 1981.208 с.

48. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т.2. М.: Мир, 1969. 864 с.

49. Пластичность и разрушение / под ред. В.Л. Колмогорова. М.: Металлургия, 1977.336 с.

50. Прагер В. Проблемы теории пластичности, Физматгиз, 1958.

51. Прагер В., Ходж Ф.Г. Теория идеально пластических тел. М.: Издательство иностранной литературы, - 1956. 400 с.

52. Проблемы механики неупругих деформаций: Сборник статей. К семидесятилетию Д.Д. Ивлева. М.: Физматлит, 2001. 400 с.

53. Работнов Ю.Н. Введение в механику разрушения. М.: Наука, 1987. 80 с.

54. Работнов Ю.Н. Избранные труды. Проблемы механики деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1991. 196 с.

55. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела: Учеб. пособие для вузов. -М.: Наука, 1988. 712 с.

56. Разрушение: Энциклопедический справочник / под ред. Г. Либовица. М.: Мир, Т. 1, 1973. 616 е.; Т.2, 1975.764 с.; Т.З, 1976.797 с.

57. Райе Дж.Р. Локализация пластических деформаций // Теоретическая и прикладная механика. Труды XIV Междунар. конгр. ЮТАМ. М.: Мир, 1979. С. 438-471.

58. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.2. М.: Наука, 1970. 568 с.

59. Слепяп Л.И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1990. 296 с.

60. Соколовский В.В. Построение полей напряжений и скоростей в задачах пластического течения //Инж.журн. 1961. Т.1, вып.З. С.116-121.

61. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969. 608 с.

62. Тимошенко С.И., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1975. 576 с.

63. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1979. 318 с.

64. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир, 1964.308 с.

65. Унксов У.П., Джонсон У., Колмогоров В.Л. и др. Теория пластических деформаций металлов. Под ред. Е.П. Унксова, А.Г. Овчинникова. М.: Машиностроение, 1983. - 598 с.

66. Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. В 2ч. 4.1. Деформация и разрушение. М.: Машиностроение, 1974. 472 с.

67. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гос. изд-во техи,-теорет. лит, 1956. 407 с.

68. Ходж Ф. Краевые задачи пластичности. Пластичность и термопластичность. М.: Машиностроение, 1983. 598 с.

69. Хромов А.И. Деформация и разрушение жесткопластических тел. Владивосток: Дальнаука, 1996, 181 с.

70. Хромов А.И. Деформация и разрушение жесткопластической полосы при растяжении. // Механика твердого тела. № 1. 2002. С. 136-142.

71. Хромов А.И. Локализация пластических деформаций и разрушение идеальных жесткопластических тел // Докл. РАН. 1998. Т. 362, № 2. С. 202205.

72. Хромов А.И., Буханько А.А., Степанов С.Л. Концентраторы деформаций// ДАН, 2006, №1.

73. Хромов А.И., Козлова О.В. разрушение жесткопластических тел. Константы разрушения// Владивосток: Дальнаука, 2005.

74. Чрепанов Г.П., Ершов Л.В. Механика разрушения. М.: Машиностроение, 1977. 224 с.

75. Шулькин Ю.Б. Теория упругих стержневых конструкций. М.: Наук. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 272 с.

76. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969.

77. Bishop J.F.W. On the complete solution to problems of deformation of a plastic-rigid material. J. Mach. and Phys. Solids, 1953, v.2, n.l. P.43-53.

78. Bishop J.F.W., Green A.P., Hill R. A note on the deformable region in a rigid-plastic body. J. Mach. and Phys. Solids, 1956, v. 4. P. 256-258.

79. Frendental A.M., Geiringer H. The mathematical theories of the inelastic continuum // Handbuch der Physic. Berlin, 1958. V.6.

80. Ewing D.J.F., Hill R. The plastic constraint of V-notched tension bars. J. Mach. and Phys. Solids, 1967, v. 15. P. 115-124.

81. Geiringer H. Fondements mathematiques de la theorie des corps plastiques isotropes. Memorial des sciences mathematiques. Gauthier-Villars, Paris, 1937.

82. Green A.P. The plastic yielding of shallow notched bars due to bending. J. Mach. and Phys. Solids, 1956, v. 4. P. 259-268.

83. Hadamard J., Lecons sur la propagation des ondes et les equations de rhydrodynamique, Paris, 1903.

84. Hency H. Uber einige statisch bestimmten Falle des Gleichgewichts in plasti-schen Korpern //ZAMM, 1923. BD.3, h.4. P.241-251.

85. Hill R. Discontinuity relations in mechanics of solid, Progress in Solid Mechanics, vol.11, 1961. P. 247-276.

86. Hill R. On the State of Stress in a Plastic-Rigid Body at the Yield Point. Phil. Mag., 1951, v. 42. P. 868-875.

87. Hill R., Lee E.H., Tupper S.J. The theory of wedge indentation of ductile materi-als//Proc. Roy. Soc. L., 1947. Ser. A. v. 188. 273 p.

88. Koiter W.T. General theorem for elastic-plastic solids // Progress in Solid Mechanics, I960. V.l, ch.IV.

89. Lee E.H. The theoretical analysis of metal forming problems in plane strain. J. appl. Mech., v. 19,1952. P. 97-103.

90. Lee E.H. Plastic Flow in a V-Notched Bar Pulled in Tension. J. appl. Mech., 1952, v.l9. P.331-336.

91. Levy M. Sur Integration des equtions aus differences partielles relatives aux pouvments interieurs des corps solids ductiles lorsque ces mouvements ont lieu parplaus puralleles // C.R. Acad.Sci. (Paris), 1871. V.73. P.1098-1103

92. MacClintock F.A. Ductile Fracture instability in shear // J. Appl. Mech., 1958. V.25, № 4. P. 582-587.

93. Neimark J.E. The Fully Plastic, Plane-Strain Tension of a Notched Bar. J. appl. Mech., 1968, v. 35. P. 111-116.lOl.Onat E.T., Prager W. The Necking of a Tension Speciment in Plane Plastic Flow, 1954, v. 25, № 4. P. 491-493.

94. Prager W. Problem der Plastizitatstheotie. Basel, 1955.

95. Prager W., HodgPh.G. Theory of perfectly plastic solids. N.Y., 1951.-107104. Prandtl L. Anwendungsbiespiele zu einem Henckyschen Satz uber das plastische Gleichgewicht II Ik MM, 1923. BD.III, h .6.

96. Prandtl L. Uber die Harte des plastischer Korper // ZAMM, 1921. BDI, h.l.

97. Richmond O. Plane strain necking of V-notched and un-notched tensile bars. J. Mech. Phys. Solids, 1969, v. 17. P. 83-90.