Пластические течения в окрестности скругленных угловых вырезов

Патлина, Оксана Валерьевна

Пластические течения в окрестности скругленных угловых вырезов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Патлина, Оксана Валерьевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Самара МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Пластические течения в окрестности скругленных угловых вырезов»

Автореферат диссертации на тему "Пластические течения в окрестности скругленных угловых вырезов"

На правах рукописи 004601747

ПАТЛИНА Оксана Валерьевна

ПЛАСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ СКРУГЛЕННЫХ УГЛОВЫХ ВЫРЕЗОВ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток - 2010

004601747

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева» (Национальный исследовательский университет) на кафедре прочности летательных аппаратов

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор, заслуженный деятель науки РФ Хромов Александр Игоревич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Ковтанюк Лариса Валентиновна

кандидат физико-математических наук Лошманов Антон Юрьевич

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Чувашский государственный

педагогический университет им. И.Я. Яковлева» (г. Чебоксары)

Защита состоится « 06 » мая 2010 года в 10:00 часов на заседании диссертационного совета ДМ005.007.02 в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН по адресу: 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 5, аудитория 510, e-mail: dm00500702@iacp.dvo.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления ДВО РАН

Автореферат разослан «0 5"» апреля 2010 года

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н.

Дудко О.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Оценка качества конструкционных материалов с позиции континуальной механики разрушения занимает прочное место при разработке новых материалов и проектировании различного рода ответственных конструкций. Формулировка условия локального разрушения в рассматриваемой точке является важнейшим моментом в механике разрушения. Первостепенную роль в развитии трещин играет предшествующая разрушению пластическая деформация. Анализ пластических течений в окрестностях резкого изменения форм является актуальным, поскольку может служить основой для расчета необходимой энергии разрушения.

В общем случае под разрушением понимается не только распад тела на части. В понятие разрушения входит также необратимое пластическое течение, которое характеризуется остаточными деформациями и приводит к исчерпанию несущей способности. Напряженно-деформированное состояние, приобретенное в процессе службы, сопровождается рассеянием работы внутренних сил. Применение теории идеального жесткопластического тела к задачам механики разрушения актуально, поскольку она позволяет рассчитывать один из главных параметров истории деформирования -диссипацию механической энергии.

Теория идеального жесткопластического тела является наиболее разработанным разделом теории пластичности. В этой постановке полностью пренебрегают упругими деформациями. Жесткопластический анализ позволяет успешно описывать различные технологические процессы (такие как волочение, прессование, прокатка), решать задачи о внедрении штампов различной формы и растяжении образцов, ослабленных вырезами.

Вопросам и задачам теории идеальной пластичности посвящены многочисленные работы Б.Д. Аннина, Г.И. Быковцева, X. Гейрингер, Г. Генки, Б.А. Друянова, Д.Д. Ивлева, А.Ю. Ишлинского, JI.M. Качанова, В.Д. Клюшникова, Ю.В. Немировского, Р.И. Непершина, В.В. Соколовского, Р. Хилла, С. А. Христиановича и др.

Особенностью жесткопластического анализа является неединственность положения и вида пластической области и, вместе с тем, неединственность поля скоростей перемещений, определяющего изменение геометрии тела. Преимущества жесткопластического анализа заключаются в возможности:

- аналитического описания пластических течений с учетом изменения геометрии свободных поверхностей;

- оценки предельных (конечных) значений тензоров напряжений и деформаций в окрестностях резкого изменения геометрических форм тела (включая угловые точки).

Модель идеального жесткопластического тела является предельной по отношению к другим более сложным моделям деформируемых сред, поэтому

решения, полученные в ее рамках, могут служить оценкой для более сложных процессов деформирования.

Целью работы является построение возможных пластических течений и расчет диссипации энергии в окрестности вершины скругленного углового выреза с учетом изменения геометрии свободной поверхности жесткопластического тела.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- получено аналитическое описание формы свободной поверхности, образующейся из скругленного выреза в жесткопластической полосе при растяжении;

- разработан алгоритм определения диссипации энергии в окрестности скругленного выреза, учитывающий изменение геометрии свободной поверхности жесткопластического тела;

- сформулирован энергетический критерий, позволяющий установить момент перехода от непрерывного формообразования к появлению локальной трещины в вершине скругленного выреза в жесткопластическом теле;

- предложен численно-аналитический подход, позволяющий оценивать диссипацию энергии в окрестности скругленных вырезов при решении упругопластических задач.

Достоверность полученных результатов основана на сравнении с результатами численных расчетов и экспериментальными данными.

Практическая значимость работы. Решение рассматриваемых задач актуально для прогнозирования зарождения, распространения и остановки трещин в реальных конструкциях.

Апробаиияработы. Результаты работы докладывались на:

- Международной молодежной научной конференции «XXXIV Гагаринские чтения», Москва, 1-5 апреля 2008 г.;

- Пятой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара: СамГТУ, 29-31 мая 2008 г.;

- Шестой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара: СамГТУ, 1-4 июня 2009 г.;

- 7th EUROMECH Solid Mechanics Conference, Lisbon, Portugal, September 7-11,2009;

- Всероссийской конференции «Успехи механики сплошных сред», приуроченной к 70-летию академика В.А. Левина, Владивосток, 29 сентября -5 октября 2009 г.

Диссертация в целом была доложена на заседании кафедры прочности летательных аппаратов Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королева 17 декабря 2009 г.

Публикации по работе. По теме диссертации опубликовано 14 научных

работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (95 наименований). Объем работы - 155 страниц, в том числе 46 рисунков.

Во введении показана актуальность работы, обосновано применение модели идеального жесткопластического тела к задачам механики разрушения, приведено содержание диссертации по главам.

В первой главе представлены соотношения теории плоской деформации и критерии разрушения идеальных жесткопластических тел.

В первых двух параграфах приводятся общие соотношения вдоль линий скольжения, полная система уравнений теории плоской деформации идеального жесткопластического тела.

Третий параграф посвящен применению двойных степенных рядов к интегрированию уравнений плоской деформации.

В четвертом параграфе приведены методы расчета полей деформаций.

В пятом параграфе представлены критерии разрушения жесткопластических тел и рассмотрен вопрос о неединственности решения.

В шестом параграфе обозначены требования к построению и существованию полного решения для краевых задач жесткопластического анализа.

Во второй главе исследовано пластическое течение в окрестности скругленного углового выреза с постоянным углом раскрытия 25, основанное на решении Е. Ли для углового выреза. Жесткопластическая полоса растягивается в условиях плоской деформации с постоянной скоростью V (рис. 1). Поле скоростей перемещений в квадрате О'LEU однородно. Линии O'LKC и О' L'K'D являются линиями разрыва скоростей перемещений.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Рис. 1

В первом параграфе приведен обзор работ, посвященных исследованию геометрии свободной поверхности скругленного выреза.

Во втором параграфе изложен вывод уравнений свободной поверхности £(i), которая в физической плоскости Оху изображается кривой AFB (рис. 1). В плоскости характеристик а,/5 пластическая область ЛЕВ представляется прямоугольным треугольником (рис. 2).

Рис.2

Поля скоростей перемещений и линий скольжения в пластической области определяются следующими системами уравнений:

ди

-v = О,

да

Ж др as

да

-5 = 0, + Л = 0,

О)

где и,V - проекции скоростей перемещений на а,/? - линии; Я,5 - радиусы кривизны а, ¡5 - линий. Граничные условия для скоростей имеют вид

наАЕ: v = Fcose> = F-cos

14 4

cos

на BE: и =-Fsinp = + =-^[sin/? + cos/?],

V2 i=0 *

(2)

Решение краевой задачи (1), (2) для скоростей перемещений получено в двойных степенных рядах в окрестности точки :

ч т

tr "" / \т

V2 m,n=0 К

Коэффициенты £/„,„, Vmn заданы рекуррентными соотношениями

«-«>0;

Уравнения свободной поверхности £(/) представляются в параметрическом виде:

Ь^Л'О'.О» (5)

где / - время, / = - угол между касательной к 2(f) и осью Ох:

у'cos?'-х'sin/= 0. (6)

Здесь и далее штрихом обозначена производная по параметру у • В уравнениях движения частиц:

dt (7)

полные производные по времени имеют вид:

^(r)cosr-Kr(Dsinr, dt ду dt щ

t^f1—-№8шГ-Кг(Г)собГ. dt dydt

Здесь Г - обозначение зависимости y(t) вдоль траектории частицы; Vn и УТ - нормальная и касательная компоненты скорости частицы. Совместное решение уравнений (6), (8) приводит к системе

\ду

— = Vn(y)cosy-V¿(y)smy, |y = -V„(y)siny-V¿(y)cosy,

интегрирование которой по времени представление 2(0

У(У, 0 = [ У» (У)cos У~ К (.У) sin У] • * + У0 (У)> х(Г> 0 = [-^п (Г) eos y-V¿(y)smy]-t + x0 (у). Нормальная и касательная скорости частиц (рис. выражениями

С помощью формул (9) находится радиус кривизны свободной поверхности: Р(У, 0 = ™ = — = -К (Г) + K(r)\t + Ро 00 • (Ю)

определяет аналитическое

(9)

3) определяются

sin у cos у

В соотношениях (9), (10): yQ (j), xq (у), ро(у) - уравнения и радиус кривизны кривой, скругляющей угловой вырез в начальный момент времени.

В третьем параграфе определено перемещение прямой АС и рассмотрен закон движения частиц, сформировавших £(/) (рис. 1). Уравнения траекторий частиц (рис. 3) определяются интегрированием по времени системы (7): t

*(0= |^(Г(0)Л+*0(Г0).

Функция Г(/) находится из решения дифференциального уравнения ¿/Г _ УЛГ)-У'„{Т) л [КЛГ)+К„"(Г)]./-^о(Г)' которое можно получить, подставив уравнения (9) в систему (8). Функция Г(0 индивидуализирует частицу, которая перемещается вдоль свободной поверхности.

В четвертом параграфе изложен метод определения радиусов кривизны Я, 5 поля линий скольжения в области ЛЕВ (рис. 1). Граничные условия для второй системы уравнений (1) на участке АГВ задаются с помощью радиуса кривизны р(у, *) свободной поверхности, разложенного в

Рис.3

ряд в окрестности точки oj:

00 п (Р)(Х Л.оР

Я = = рМ-Е^ (а-аА)р. (11)

р=о р-

Решение краевой задачи (1), (11) определено в двойных степенных рядах:

«л

R(a,p,t) = -j= YRmn{a-aA)m-fin-t+R 0(а,/?),

Т0 (12)

5(а, А /) = ■^ £ S™ (а ■- «л )м • J3" ■ t + S0 (а, р),

V2 т,п=0

где Лд (a, fi) - -Sq (а,/?) = pQ(/)л/2 - радиусы кривизны а, р -линий скольжения в начальный момент времени. Радиус кривизны а -линий АЕ

■/ + *<>(*) (13)

т=0 т"

позволяет определить абсциссу точки Е : я74

хЕ(() = |л(сг, 0 cos ada +х(А). (14)

Коэффициенты Rmn^mn,am задаются рекуррентными соотношениями, аналогичными (4). Координата х(А) находится с помощью уравнений (9). Значения xE(t) — xE(0) для диапазона рассматриваемых углов Se[0,90°) интерполированы в функцию XE(S, t) = ХЕ{5) • t, которая позволяет задать закон уменьшения отрезка L{t) (рис. 4) с течением времени:

L(t) = L(0) + XE(ô)-t. (15)

Для определения местоположения частиц на участке оси абсцисс EF (а + р = л / 4) введена функция x{a,t). В уравнении движения частиц полная производная по времени имеет вид:

dt dt да dt хк ' v '

Т1 дх дх

Частные производные — и — определены с помощью радиусов кривизны dt да

а -линий скольжения (12). Полученная из решения уравнения (16) функция a(t) индивидуализирует частицы пластической области на участке EF и позволяет отслеживать их перемещения вдоль оси Ох.

Пятый параграф посвящен определению объемной плотности энергии диссипации W , которая в жесткопластическом анализе совпадает с работой внутренних сил:

f I

4i<w*=J

RVdcc +UJ S

du dß

dt. (17)

- тензор скоростей

Рис.4

о о

Здесь к - максимальное касательное напряжение;

деформаций; <т,у - тензор напряжений.

Диссипация энергии является одним из параметров, позволяющих учитывать историю деформирования частиц. Накопление диссипации энергии в материале является одной из причин разрушения, поэтому расчет W важен для прогноза q изменений геометрии тела. На рис. 4 изображены: свободная поверхность для угла

8 = 70°, 1(0) = 100, / = 1, Л) =-0.94; поле

линий скольжения; значения W для частиц, занимающих в рассматриваемый момент времени точки пространства А, Е, F,K,L. При проведении всех численных расчетов принималась скорость V = 1.

Экспериментальные исследования не подтверждают существование линий разрыва скоростей перемещений, поэтому полученное в главе 2 решение имеет ограниченное применение и ниже используется для построения более общего поля.

В третьей главе исследовано пластическое течение в окрестности скругленного углового выреза с переменным углом раскрытия 25(f)

(рис. 5). Поле построено на основе решения О. Ричмонда для углового выреза. Линий разрыва скоростей перемещений в рассматриваемом течении нет.

В первом параграфе показана справедливость соотношений (1)-(4)

для ______скоростей перемещений

рассматриваемого поля. Уменьшение угла S(t) вызвано вращением прямых АС и BD, которое происходит из-за линейности поля скоростей в жестком квадрате E'LEL':

dS ^ -Уп(А) _-Уп(С) dt АР CP

Рис.5

Точка Р - мгновенный центр скоростей перемещений, АР = L(t) + CP , L(i) = Е' Е = АС = BD .

Определение нормальных скоростей Vn(A) и Vn(C) из граничных условий на линиях АЕ и LKC привело к соотношению dS = -V dt L(t) '

Во втором параграфе изложен вывод уравнений свободной поверхности, которые представляются в параметрическом виде, совпадающим с (5). Совместное рассмотрение уравнений (6), (8) приводит к выражению

pin о=-J\vn (г, т+Уп (г, mm+ро (г) , о 8>

где S(t) ~ неизвестная функция. Обозначим р = -\yn(y,8(t)) + Vn{y,8(t))\ и применим к интегралу (18) теорему о среднем. Получим уравнение t

\pdt = p-F(t), (19)

где F(t) - неизвестная функция времени; р = р(у, 8{t)). Правая часть уравнения (19) с учетом начального условия в каждый момент времени t соответствует решению (10). Это позволяет применить формулу, аналогичную (15), для определения закона поворота прямых АС и BD :

=_±_. (20)

dt ДО Ц0) + 2 ■ ХЕ{5) ■ F(t) 4 7

Неизвестная функция F(t) представляется в виде ряда:

Точкой обозначены производные по времени /. Функция <5(0 находится из решения дифференциального уравнения (20). Коэффициенты разложения (21) определяются дифференцированием уравнений (19), (20). Соотношение (19) предполагает существование двух форм уравнений для S(/): (

Ar, 0 = |[ Уп (У, Sit)) cos y-Vn (г, S(t)) sin y]dt+у о (у),

о t

xir, 0 = j[- Уп (У. <5(0) sin У - V' (у, <5(0) cos y]dt + х0 (у)

1 Ыг,0 = [ У„ (Г, <5(0) cos у - Гп(г, 5(0)sin у] ■ F(t) + у0(у), \х(у, 0 = t-V„ (у, S(t)) cos г - к; (у, 5(0) s ту]- F(t) + х0 (г).

В третьем параграфе определено перемещение прямой АС и рассмотрена кинематика частиц, сформировавших свободную поверхность 2(0 • Алгоритм нахождения траекторий частиц аналогичен рассмотренному в главе 2.

В четвертом параграфе определены радиусы кривизны R,S поля линий скольжения, объемная плотность энергии диссипации W для частиц, деформирующихся на свободной поверхности и оси Ох; рассмотрен вопрос о существовании полного решения. Решение краевой задачи (1), (11) принимает вид:

R(a, ß,t) = ~j= £ Rm„ {Sit) ){a -aA)m-ßn- F{t) + R0(a,ß),

"v2 m>„=0

S{a,ß,t) = -~ £Smn{5(t)){a-aÄ)m-ßn-F(t) + S0(ar, ß), V2 mn=0

где a^ =-~+S(t). Коэффициенты Rmn(S), Smn(S) получены интерполяцией значений Rm„, Smn для рассматриваемого диапазона углов

S е (0,90°). Для частиц, расположенных на оси Ох, формула (17) принимает вид:

Т2Ы -«w-' <22)

и г0

где i0 - момент достижения частицей точки пространства Е. Первый интеграл в формуле (22) описывает накопление диссипации энергии частицей за период деформирования на участке О'Е. Второй интеграл описывает накопление диссипации на участке EF. На свободной поверхности

R = -S = ру/2

. Поэтому формула (17) принимает вид

i ,и{т, s(t)) - v(r(o, sä))+J^(r(o, т)+0 (по, <s«) w=7il - [уп(тл())+ шоло)}-т+роШ dt' (23)

Формула (23) описывает накопление диссипации энергии для частиц, деформирующихся на свободной поверхности АР В. Вычислительным

что максимальное значение W

достигает в

кУ

0.049 2.548 Рис. 6

экспериментом установлено точке F.

На рис. 6 приведены свободные поверхности для углов

0(0) = 30°, ¿(1) = 26.003° ; / = 1,

1(0) = 20, ро = -0.94 ; поле

линий скольжения; значения W . для частиц, занимающих в рассматриваемый момент

времени точки пространства

A,E,F.

Вторая и третья глава представляют собой алгоритм определения функций, необходимых для расчета объемной плотности диссипации энергии W по формулам (22) и (23).

Четвертая глава посвящена вопросу применения жесткопластических моделей к описанию процессов пластического течения в реальных телах.

В первом параграфе проведено сравнение с численной схемой А. Ванга по определению скоростей перемещений точек свободной поверхности и результатами Дж. Джойса (рис. 7), экспериментально исследовавшим форму £(i) путем растяжения образцов Шарпи-Изода. Эксперименты Дж. Джойса показали, однако, что «округлая Рис- ?

конфигурация оказывается неустойчивой»: непрерывная деформация свободной поверхности скругленного выреза сменяется локальным острым надрезом в вершине (рис. 7). Критерий перехода Дж. Джойс не установил. Ф. Макклинток, описывая эксперимент Дж. Джойса, связывал появление локальной трещины с дефектами начальной формы выреза, вместе с этим указывая на необходимость четкого математического описания данного явления.

Во втором параграфе на основе формулы (23) сформулирован энергетический критерий перехода от затупления скругленного выреза к локальному разрушению в вершине:

Непрерывное формообразование скругленной поверхности углового выреза, вызванное поперечным растяжением образца, будет продолжаться до тех пор, пока значение объемной плотности энергии диссипации в вершине свободной поверхности в момент времени t* не достигнет критического значения Wt :

_ jJ-A. *«)- vfe, *('))+ ^ (f, *<o)+ § (f, Ô(f))

W* "V2 l - К (f, ô(t))+ V¿(f,S(t))\ Fit) + PO (f ) dt'

Величина W* есть пластическая характеристика материала, которую можно определить экспериментально из испытаний на одноосное растяжение.

В третьем параграфе предложен численно-аналитический подход, позволяющий использовать пластическое течение, рассмотренное в главе 3, для описания поля диссипации энергии в окрестности скругленного выреза при решении упругопластических задач.

Пластическое течение (рис. 5) не содержит линий разрыва скоростей перемещений. Это позволяет «вклеить» жесткопластическую модель в упругопластическую задачу. Предлагается считать локальную пластическую зону в окрестности скругленного углового выреза - жесткопластической. Решение задачи проводится в два этапа.

На первом этапе из решения внешней упругопластической задачи (например, с помощью конечно-элементного пакета ANSYS) определяется распределение нормальных скоростей на жесткопластической границе. Проводится оптимальный выбор размера жесткопластической области для наилучшей стыковки полей напряжений, деформаций и скоростей перемещений.

На втором этапе, используя нормальные скорости на линиях LKC, U К' D, можно поставить граничные условия на линиях АЕ, ВЕ и свести задачу к рассмотренной в главе 3.

Преимущество предложенного подхода заключается в точном определении диссипации энергии в самых сложных участках пластического течения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Получено аналитическое описание формы свободной поверхности, образующейся из скругленного выреза в жесткопластической полосе при растяжении.

2. Разработан алгоритм определения диссипации энергии в окрестности скругленного выреза, учитывающий изменение геометрии свободной поверхности жесткопластического тела.

3. Сформулирован энергетический критерий, позволяющий установить момент перехода от непрерывного формообразования (затупления) к появлению локальной трещины в вершине скругленного выреза в жесткопластическом теле.

4. Предложен численно-аналитический подход, позволяющий оценивать диссипацию энергии в окрестности скругленных вырезов при решении упругопластических задач.

ПУБЛИКАЦИИ ПО МАТЕРИАЛАМ ДИССЕРТАЦИИ

- из перечня ВАК:

1. Григорьев Я.Ю., Патлина О.В., Шацкий А.Н. Метод расчета предельных пластических деформаций в зоне углового концентратора // Вест. СГАУ, 2006. №2 (10). Ч. 2. С. 319-322.

2. Шацкий А.Н., Григорьев Я.Ю., Патлина О.В. О расчете предельных пластический деформаций в зоне углового выреза // Вест. СамГТУ. Сер.: Физ.-мат. науки. 2007. №1 (14). С. 161-164.

3. Хромов А.И., Буханько A.A., Патлина О.В., Кочеров Е.П. Растяжение полосы с симметричными угловыми вырезами // Вест. СамГТУ. Сер.; Физ.-мат. науки. 2008. № 1 (16). С. 53-58.

4. Патлина О.В., Самойлов В.А., Шацкий А.Н. К расчету процессов распространения трещины с использованием энергетического условия разрушения II Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ, 2008. Т. 15, № 5. С. 916-917.

- в других изданиях:

5. Патлина О.В., Кочеров Е.П., Шацкий А.Н. Растяжение упругопластической полосы с боковым разрезом // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды третьей Всероссийской научной конференции. Самара: СамГТУ, 2006. Ч. 1. С. 160-163.

6. Шацкий А.Н., Григорьев Я.Ю., Патлина О.В. Метод расчета предельных пластических деформаций в зоне углового концентратора // Проблемы и перспективы развития двигателестроения. Материалы докладов междунар. науч.-техн. конф. Самара, 21-23 июня 2006 г. Самара: СГАУ, 2006. Ч. 1.С. 9-10.

7. Григорьев Я.Ю., Патлина О.В. Применение суперэлементов к решению задач о растяжении образцов с угловыми вырезами // XXXI Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: [тезисы]. Владивосток: Дальнаука, 2006. С. 135.

8. Патлина О.В. Расчет поля деформаций при растяжении упругопластической полосы с V-образными вырезами // Фундаментальные и прикладные вопросы механики. Материалы Всероссийской конференции, посвященной 70-летию академика В.П. Мясникова. Владивосток, 25-30 сентября 2006 г. Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2006. С. 83-84.

9. Патлина О.В. О расчете полей деформаций в окрестности вершины трещины // Актуальные проблемы современной науки: Труды 2-го международного форума. Самара, 20-23 ноября 2006 г. Самара: СамГТУ, 2006. С. 197-200.

10. Буханько A.A., Патлина О.В. Растяжение полосы с симметричными угловыми вырезами // XXXIV Гагаринские чтения. Научные труды Международной молодежной научной конференции в 8 томах. Москва, 1-5 апреля 2008 г. М.: МАТИ, 2008. Т.1. С. 112-114.

И. Хромов А.И., Буханько A.A., Патлина О.В. Деформационно-энергетические критерии и разрушение пластических тел в окрестности концентраторов деформаций // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды пятой Всероссийской научной конференции с международным участием. Самара: СамГТУ, 2008. Ч. 1. С. 342-345.

12. Буханько A.A., Патлина О.В. Затупление углового выреза // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием. Самара: СамГТУ, 2009. Ч. 1. С. 194-196.

13. Alexander I. Khromov, Anastasia A. Bukhanko, Oksana V. Patlina. The Problem of Blunting of an Angular Notch (Crack Tip) // Proceedings of the 7th EUROMECH Solid Mechanics Conference. Lisbon, Portugal, 7-11 Sept. 2009. P. 57-58.

14. Буханько A.A., Патлина O.B. Затупление углового выреза в жесткопластической полосе // Успехи механики сплошных сред. Тезисы всероссийской конференции, приуроченной к 70-летию академика В.А. Левина. Владивосток: Дальнаука, 2009. С. 79-80.

Личный вклад автора. Работы [8, 9] выполнены автором лично. В работах [1-7, 10-14] в рамках сформулированной научным руководителем проблемы автор получила необходимые для теоретического анализа и численных расчетов соотношения и провела необходимые вычисления.

Основные результаты диссертации получены при финансовой поддержке Федерального агентства по образованию РФ (проект № 2.1.1/889 -«Теоретические и экспериментальные исследования влияния диссипативных процессов на механические характеристики и разрушение материалов»).

ПЛАСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ СКРУГЛЕННЫХ УГЛОВЫХ ВЫРЕЗОВ

Издано в АмГПГУ, 681000, г. Комсомольск-на-Амуре, ул. Кирова, 17, корп. 2

Отпечатано в типографии издательства: ФГОУ ВПО «Амурский гуманитарно-педагогический

государственный университет», 681000, г. Комсомольск-на-Амуре, ул. Кирова, 17, корп. 2

Патлина Оксана Валерьевна

Автореферат

Подписано в печать 30.03.2010 г. Формат 60*84/16._

Усл. п. л. 1 Тираж 100 экз.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Патлина, Оксана Валерьевна

Основные обозначения.

Введение.

Глава 1. Основы теории идеального жесткопластического тела.

1.1. Теория плоской деформации.

1.2. Соотношения вдоль линий скольжения.

1.3. Интегрирование уравнений плоской деформации.

1.4. Определение полей деформаций.

1.5. Критерии разрушения и неединственность решения.

1.6. Построение полного решения.

Глава 2. Пластическое течение в окрестности скругленного углового выреза с постоянным углом раскрытия.

2.1. Обзор работ.

2.2. Вывод уравнения свободной поверхности.

2.3. Траектории движения частиц.

2.4. Определение радиусов кривизны поля линий скольжения.

2.5. Диссипация энергии и полнота решения.

Глава 3. Пластическое течение в окрестности скругленного углового выреза с переменным углом раскрытия.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Вывод уравнения свободной поверхности.

3.3. Траектории движения частиц.

3.4. Диссипация энергии и полнота решения.

Глава 4. Применение модели к решению упругопластических задач.

4.1. Сравнение с экспериментами.

4.2. Критерий перехода от затупления к разрушению в вершине.

4.3. Численно-аналитический метод оценки диссипации энергии.

Введение диссертация по механике, на тему "Пластические течения в окрестности скругленных угловых вырезов"

Оценка качества конструкционных материалов с позиции континуальной механики разрушения занимает прочное место при разработке новых материалов и проектировании различного рода ответственных конструкций. Формулировка условия локального разрушения в рассматриваемой точке является важнейшим моментом в механике разрушения. Первостепенную роль в развитии трещин играет предшествующая разрушению пластическая деформация. Анализ пластических течений в окрестностях резкого изменения форм является актуальным, поскольку может служить основой для расчета необходимой энергии разрушения.

В общем случае под разрушением понимается не только распад тела на части. В понятие разрушения входит также необратимое пластическое течение, которое характеризуется остаточными деформациями и приводит к исчерпанию несущей способности. Напряженно-деформированное состояние, приобретенное в процессе службы, сопровождается рассеянием работы внутренних сил. Применение теории идеального жесткопластического тела к задачам механики разрушения актуально, поскольку она позволяет рассчитывать один из главных параметров истории деформирования — диссипацию механической энергии.

Модель идеального жесткопластического тела является наиболее разработанным разделом теории пластичности. В этой постановке полностью пренебрегают упругими деформациями. Теория идеального жесткопластического тела базируется на экстремальном принципе неравновесной термодинамики — принципе максимума Мизеса, который можно рассматривать как вариант формулировки принципа Онзагера. Жесткопластический анализ позволяет успешно описывать различные технологические процессы (такие как волочение, прессование, прокатка), решать задачи о внедрении штампов различной формы и растяжении образцов, ослабленных вырезами. Особый интерес представляет исследование задач с учетом изменения геометрии свободных поверхностей. Модель идеального жесткопластического тела является предельной по отношению к другим более сложным моделям деформируемых сред (упрочняющемуся жестко пластическому телу, упрочняющемуся упругопластическому телу и т. п.). Поэтому решения, полученные в ее рамках, могут служить оценкой для более сложных процессов деформирования.

Область применимости жесткопластического анализа к решению прикладных задач можно иллюстрировать с помощью диаграммы сг - е. Традиционное применение идеальной пластичности к задачам обработки металлов давлением состоит в фиксировании предела текучести между значениями сгт (предел текучести) и сг в (предел прочности).

Малоиспользуемая область применения в теоретических исследованиях — продолжение диаграммы сг - а за а ^ предел прочности сгв по жесткопластическому закону. Вместе с этим, данный вид экстраполяции используется во всех конечно-элементных пакетах программ типа АЫ8У8. Разработка области применения идеальной пластичности является одной из задач данной работы. а х О

Особенностью жесткопластического анализа является неединственность положения и вида пластической области, и вместе с тем, неединственность поля скоростей перемещений, определяющего изменение геометрии тела. Преимущества заключаются в возможности:

- построения аналитического описания пластических течений с учетом изменения геометрии свободных поверхностей;

Первые работы по теории пластичности были выполнены в семидесятых годах XIX века Б. Сен-Венаном и М. Леви, которым принадлежит создание одного из вариантов теории пластичности, а также получение основных уравнений задачи плоской деформации. В 1909 г. опубликована работа А. Хаар и Т. Кармана, в которой была сделана попытка вывода основных уравнений из вариационного принципа. В статье Р. Мизеса (1913 г.) система уравнений Сен-Венана - Леви дополнилась условием пластичности, которое раньше было получено М. Губером. Г. Генки, Л. Прандтль и Р. Мизес вывели основные уравнения различных вариантов теории пластичности и получили решения задачи плоской деформации. В 20-х годах XX века в ряде работ были опубликованы результаты экспериментальной проверки различных гипотез.

Вопросам и задачам теории идеальной пластичности посвящены многочисленные работы: Б.Д. Аннина, Г.И. Быковцева, X. Гейрингер, Г. Генки, Б.А. Друянова, Д.Д. Ивлева, А.Ю. Ишлинского, Л.М. Качанова, В.Д. Клюшникова, Ю.В. Немировского, Р.И. Непершина, В.В. Соколовского, Р. Хилла, С.А. Христиановича и др.

Важнейшим моментом в механике трещин является формулировка условия локального разрушения в рассматриваемой точке контура трещины. Критерий разрушения не следует из уравнений равновесия и движения механики сплошной среды. Он является дополнительным краевым условием при решении вопроса о предельном равновесии тела с трещиной. Наиболее просто формулируется условие локального разрушения в теории квазихрупких трещин, когда пластическая область у вершины трещины мала по сравнению с длиной трещины и размерами образца. Если в области вершины трещины произошла заметная пластическая деформация, или образец находится в области общей текучести, то локальные напряжения и деформации уже нельзя рассчитать, используя значение приложенного напряжения. Использование обычных численных методов приводит к значительным трудностям. Поэтому разработка методов оценки напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины представляет собой актуальную задачу.

Крайний случай (по отношению к линейной механике разрушения), когда пластическая область преобладает над упругой и охватывает все поперечное сечение тела, остается мало изученным. Трудности чисто пластического аспекта разрушения связаны с необходимостью анализа деформированного состояния при больших деформациях с учетом изменения геометрии свободных поверхностей тела. Из немногочисленных трудов, посвященных этому направлению, следует отметить работы А. Ванга, Дж. Джойса, Л.М. Качанова, Ф. Макклинтока.

Одной из основных причин разрушения является диссипация механической энергии в материале. Расчет диссипации энергии Ж при больших пластических деформациях представляет определенные трудности, вызванные необходимостью интегрирования вдоль пути деформирования частиц: деформаций; ¿0 и £ — время.

Анализ пластических течений в окрестности угловых и скругленных вырезов является актуальным, поскольку может служить основой для расчета необходимой энергии разрушения. Энергетический критерий разрушения является наиболее универсальным на сегодняшний день. Для жесткопластического тела он сформулирован в [71]: разрушение в заданной точке образца наступает при достижении объемной плотностью диссипации энергии Ж некоторого критического значения . Альтернативой энергетическому условию является использование деформационного критерия: разрушение в заданной точке образца наступает по достижении первым главным значением тензора конечных деформаций Альманси Ех предельного

Здесь сг,у — тензор напряжений; тензор скоростей значения Е*. Величины Ж* и Е* есть пластические характеристики материала, определяемые экспериментально из испытаний на одноосное растяжение [31].

Целью данной работы является построение возможных пластических течений и расчет диссипации энергии в окрестности вершины скругленного углового выреза с учетом изменения геометрии свободной поверхности жесткопластического тела. Решение подобных задач актуально для прогнозирования зарождения, распространения и остановки трещин в реальных конструкциях.

В первой главе представлены основные соотношения теории плоской деформации. Рассмотрены методы интегрирования уравнений плоской деформации с использованием двойных степенных рядов. Приведены методы расчета полей деформаций. Введены критерии разрушения жесткопластических тел. Обозначены требования к построению и существованию полного решения задач теории идеального жесткопластического тела.

Во второй главе рассматривается пластическое течение в окрестности скругленного углового выреза с постоянным углом раскрытия 26. В первом параграфе приведен обзор работ, посвященных исследованию формы свободной поверхности £(/), образующейся при растяжении полосы со скругленным угловым вырезом. Во втором параграфе с помощью двойных степенных рядов определено поле скоростей перемещений в пластической области и предложен вывод аналитических уравнений свободной поверхности Е(/). Уравнение £(/) найдено в параметрическом виде. Параметрами являются: у — угол между касательной к £(/) и осью Ох; время t. В третьем параграфе построены траектории частиц, сформировавших £(0, и проанализирована их кинематика. В четвертом параграфе изложен алгоритм определения радиусов кривизны поля линий скольжения, основанный на использовании радиуса кривизны £(/)• В пятом параграфе на основе полученных полей скоростей перемещений и радиусов кривизны исследована диссипация энергии в пластической области и на линиях разрыва скоростей. Рассмотрен вопрос о полноте решения.

В третьей главе исследуется пластическое течение в окрестности скругленного выреза с переменным углом раскрытия. В первом параграфе определяется поле скоростей перемещений в двойных степенных рядах и устанавливается число неизвестных величин. Во втором параграфе предложен аналитический вывод уравнения свободной поверхности. В третьем параграфе рассмотрена кинематика частиц на свободной поверхности. В четвертом параграфе получено поле радиусов кривизны линий скольжения и исследована диссипация энергии частиц в пластической области. Рассмотрен вопрос о полноте решения.

Четвертая глава посвящена вопросу применения жесткопластических моделей к описанию процессов пластического течения в реальных телах. В первом параграфе проведено сравнение с численной схемой А. Ванга по определению скоростей перемещений точек свободной поверхности и с экспериментом Дж. Джойса, исследовавшим форму Х(7). Во втором параграфе предложен энергетический критерий, позволяющий установить переход от непрерывного формообразования (затупления) к разрушению в вершине Е(/). В третьем параграфе предложен численно-аналитический подход, позволяющий использовать пластическое течение, рассмотренное в главе 3, для описания поля диссипации энергии в окрестности скругленного выреза при решении упругопластических задач.

В работе принята тройная нумерация формул: первая цифра - номер главы, вторая - номер пункта; и двойная — нумерация рисунков: первая цифра — номер главы.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие результаты:

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Патлина, Оксана Валерьевна, Самара

1. Агамирзян JI.C. Решение задач статики сыпучей и пластической сред при помощи рядов метацилиндрических функций // Инж. журн. 1961. Т.1, №4. С. 76-85.

2. Аркулис Г.Э., Дорогобид В.Г. Теория пластичности. М: Металлургия, 1987. 350 с.

3. Бернштейн M.JL, Займовский В.А. Механические свойства металлов. М: Металлургия, 1979. 494 с.

4. Браун У., Сроули Дж. Испытания высокопрочных металлических материалов на вязкость разрушения при плоской деформации. М: Мир, 1972. 245 с.

5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по высшей математике. М: Наука, 1981.718 с.

6. Буханько A.A. Растяжение полосы с V-образными вырезами в рамках теории плоской деформации // Зимняя школа по механике сплошных сред (тринадцатая): тезисы. Екатеринбург: УрО РАН, 2003. С. 65.

7. Буханько A.A. Разрушение полосы с V-образными вырезами при растяжении // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ,Т. 10, вып. 1, 2003. С. 111-113.

8. Быковцев Г.И., Хромов А.И. Плоская деформация идеальных жесткопластических тел с учетом изменения границы // Изв. АН СССР. МТТ, 1979. №2. С. 71-78.

9. Быковцев Г.И., Хромов А.И. Разрушение идеальных жесткопластических тел // Сибирская школа по современным проблемам механики деформируемого твердого тела: тезисы. Якутск, 1990. С. 30-31.

10. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998. 529 с.

11. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. 304 с.

12. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, 1978. 304 с.

13. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Гос.изд.физ.-мат.лит., 1963. 660 с.

14. Джонсон У., Меллор П. Теория пластичности для инженеров. М.: Машиностроение, 1979. 567 с.

15. Друянов Б.А. Об интегрировании уравнений плоского течения идеальнопластических тел // Докл. АН СССР, 1965. Т.167, № 5. С. 10231024.

16. Друянов Б.А. О полных решениях некоторых задач деформации полосы // МТТ, 1968. № 2. С. 171-173.

17. Дудукаленко В.В, Мяснянкин Ю.М. Об определении изменяющейся границы тела при плоском пластическом деформировании // Науч.тр.фак.прикл.мат. и мех.Воронеж.ун-та, 1971. Вып.2, С. 131-134.

18. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы /В.К. Семенченко. М.: Мир, 1974. 604 с.

19. Жуковец И.И. Механические испытания металлов. М: Высшая школа. 1986, 200 с.

20. Ивлев Д.Д. К построению теории идеальной пластичности // ПММ, 1958. Т.22, вып.6. С. 850-855.

21. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. 232 с.

22. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. Т.1. Теория идеальной пластичности. М.: Физматлит, 2001. 448 с.

23. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. Т.2. Общие вопросы. Жесткопластическое и упругопластическое состояние тел. Упрочнение. Деформационные теории. Сложные среды. М.: Физматлит, 2002. 448 с.

24. Ильюшин A.A. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948.

25. Карзов Г.П. Физико-математическое моделирование процессов разрушения. СПб, 1993. 390 с.

26. Качанов JI.M. Основы теории пластичности. М: Наука, 1969. 420 с.

27. Качанов JI.M. Основы механики разрушения. М: Наука, 1974. 311 с.

28. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во МГУ, . 1979. 208 с.

29. Козлова О.В, Наумкин А.П., Хромов А.И., Шамрай С.А. Пластические константы разрушения. КнАГТУ, 2005. 52 с.

30. Коллинз И.Ф. Алгебра и геометрия полей линий скольжения с „ приложением к краевым задачам // Механика: Сб. переводов, 1969. №4. С. 94-152.

31. Колос В.И. К интегрированию уравнений плоской деформации идеальнопластического тела // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1963, № 1.

32. Леонов М.Я. Механика деформаций и разрушения. Фрунзе: Илим, 1981. 236 с.

33. Лошманов А.Ю. Об одном решении задачи о растяжении полосы с V-образными концентраторами деформаций // XXX Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: тезисы. Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2005. С. 162-163.

34. Макклинток Ф., Аргон А. Деформация и разрушение материалов. М.: Мир, 1970. 443 с.

35. Макклинток Ф. Пластические аспекты разрушения // Разрушение. М.: Мир, 1976. Т.З. С. 133-229.

36. Михлин С.Г. Математическая теория пластичности // Некоторые новые вопросы механики сплошной среды. М.: Изд-во АН СССР, 1938.

37. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М: Наука, 1984. 255 с.

38. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопластических сред. М.: Наука, 1981.208 с.

39. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т.2. М.: Мир, 1969. 864 с.

40. Нотт Дж.Ф. Основы механики разрушения. М: Металлургия, 1978. 255 с.

41. Партон В.З. Механика разрушения от теории к практике. М: Наука, 1990. 239 с.

42. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. Основы механики разрушения. М: Издательство ЛКИ, 2008. 352 с.

43. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. Специальные задачи механики разрушения. М: Издательство ЛКИ, 2008. 192 с.

44. Патлина О.В. О расчете полей деформаций в окрестности вершины трещины // Актуальные проблемы современной науки: Труды 2-го международного форума. 20-23 ноября 2006 г., Самара. С. 197-200.

45. Патлина О.В., Самойлов В.А., Шацкий А.Н. К расчету процессов распространения трещины с использованием энергетического условия разрушения // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ, 2008. Т. 15, № 5. С. 916-917.

46. Прагер В., Ходж Ф.Г. Теория идеально пластических тел. М.: Издательство иностранной литературы, 1956. 400 с.

47. Прагер В. Проблемы теории пластичности, Физматгиз, 1958. 136 с.

48. Проблемы механики неупругих деформаций: Сборник статей к 70-летию Д.Д. Ивлева. М.: Физматлит, 2001. 400 с.

49. Работнов Ю.Н. Введение в механику разрушения. М.: Наука, 1987. 80 с.

50. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела: Учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1988. 712 с.

51. Работнов Ю.Н. Избранные труды. Проблемы механики деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1991. 196 с.

52. Разрушение: Энциклопедический справочник / под ред. Г. Либовица. М.: Мир. Т.1, 1973. 616 е.; Т.2, 1975. 764 е.; Т.З, 1976. 797 с.

53. Райе Дж.Р. Локализация пластических деформаций // Теоретическая и прикладная механика: Труды XIV Междунар. конгр. ЮТАМ. М.: Мир, 1979. С. 438-471.

54. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.2. М.: Наука, 1970. 568 с.

55. Слепян Л.И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1990. 296 с.

56. Соколовский В.В. Построение полей напряжений и скоростей в задачах пластического течения // Инж. журн, 1961. Т.1, вып.З. С.116-121.

57. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969. 608 с.

58. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир, 1964. 308 с.

59. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 494 с.

60. Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. 4.1. Деформация и разрушение. М: Машиностроение, 1974. 472 с.

61. Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. 4.2. Механические испытания. Конструкционная прочность. М: Машиностроение, 1974. 368 с.

62. Хеллан К. Введение в механику разрушения. М: Мир, 1988. 365 с.

63. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит, 1956. 407 с.

64. Ходж Ф. Краевые задачи пластичности. Пластичность и термопластичность. М.: Машиностроение, 1983. 598 с.

65. Хромов А.И. Интегрирование уравнений плоской деформации идеальных жесткопластических тел и построение полных решений // Прикладные задачи механики деформируемых сред. Владивосток: ДВО АН СССР, 1991. С.152-171.

66. Хромов А.И. Деформация и разрушение жесткопластических тел. Владивосток: Дальнаука, 1996. 181 с.

67. Хромов А.И. Локализация пластических деформаций и разрушение идеальных жесткопластических тел // Докл. РАН, 1998. Т. 362, № 2. С. 202205.

68. Хромов А.И. Деформация и разрушение жесткопластической полосы при растяжении //Механика твердого тела, 2002. № 1. С. 136-142.

69. Хромов А.И., Козлова О.В. Разрушение жесткопластических тел. Константы разрушения. Владивосток: Дальнаука, 2005. 159 с.

70. Хромов А.И. Разрушение жесткопластических тел. Константы разрушения // Известия РАН. МТТ, 2005. № 3. С. 137-152.

71. Хромов А.И., Буханько А.А., Степанов С.Л. Концентраторы деформаций // ДАН, 2006. № 1

72. Хромов А. И., Буханько А.А., Патлина О.В., Кочеров Е.П. Растяжение полосы с симметричными угловыми вырезами // Вест. СамГТУ. Сер.: Физ.-мат. науки, 2008. №1 (16). С. 53-58.

73. Черепанов Г.П., Ершов Л.В. Механика разрушения. М.: Машиностроение, 1977. 224 с.

74. Шацкий А.Н., Григорьев Я.Ю., Патлина О.В. О расчете предельных пластический деформаций в зоне углового выреза // Вест. СамГТУ. Сер.: Физ.-мат. науки. 2007. №1 (14). С. 161-164.

75. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969. 424 с.

76. Bishop J.F.W. On the complete solution to problems of deformation of a plastic-rigid material // J. Mach. and Phys. Solids, 1953. V.2, № 1. P. 43-53.

77. Bishop J.F.W., Green A.P., Hill R. A note on the deformable region in a rigid-plastic body // J. Mach. and Phys. Solids, 1956. V. 4. P. 256-258.

78. Ewing D.J.F., Hill R. The plastic constraint of V-notched tension bars. // J. Mach. And Phys. Solids, 1967. V. 15. P. 115-124.

79. Frendental A.M., Geiringer H. The mathematical theories of the inelastic continuum // Handbuch der Physic. Berlin, 1958. V.6.

80. Hency H. Uber einige statisch bestimmten Falle des Gleichgewichts in plastischen Korpern // ZAMM, 1923. BD.3, H.4. P. 241-251.

81. Hill R. The mathematical theory of plasticity. Oxford: Clarendon Press, 1950. 355 p.

82. Hill R. On the State of Stress in a Plastic-Rigid Body at the Yield Point // Phil. Mag., 1951. V. 42. P. 868-875.

83. Hill R. On the problem of uniqueness in the theory of a rigid plastic solids // J. Mech. Phys. Solids, 1956. V.4. P. 247-255; 1957. V. 5. № 3; 1957. V. 5. № 4.

84. Johnson M. A., Large Scale Ductile Geometry Changes at a Crack Tip // M. S. thesis Brown Univ., Providence, 1968.

85. Joyce J. A., Tensile Plastic Deformation at Notch Roots // M. S. thesis. Dept. of Mechanical Eng., M.I.T., Cambridge, 1968.

86. Lee E.H. The theoretical analysis of metal forming problems in plane strain // J. Appl. Mech., V.19, 1952. P. 97-103.

87. Lee E.H. Plastic Flow in a V-Notched Bar Pulled in Tension // J. Appl. Mech., 1952, V.19. P. 331-336.

88. Neimark J. E., The Fully Plastic, Plane-Strain Tension of a Notched Bar // J. Appl. Mech., 35, 1958. P. 111-116.

89. Onat E.T., Prager W. The Necking of a Tension Specimen in Plane Plastic Flow // J. Mech. And Phys. Solids, 1954. V. 25, № 4. P. 491-493.

90. Prager W., Hodg Ph.G. Theory of perfectly plastic solids. N.Y., 1951.

91. Richmond O. Plane strain necking of V-notched and un-notched tensile bars // J. Mech. And Phys. Solids, 1969. V.17. P. 83-90.

92. Wang A. J., Quart. Appl. Math., 11, 1954. P. 427-3438.