Теория пластического течения в механике разрушения и её приложения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Буханько Анастасия Андреевна

Теория пластического течения в механике разрушения и её приложения

01.02.04 - Механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2К кОН 2015

005570196

Самара - '2015

005570196

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Самарский государственный аэрокосмический университет имели академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет)»

Научный консультант: Хромов Александр Игоревич

заслуженный деятель науки РФ,

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: Буренин Анатолий Александрович

член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор, директор ФГБУН «Институт машиноведения и металлургии» ДВО РАН

Кургузов Владимир Дмитриевич доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник лаборатории механики разрушения материалов и конструкций ФГБУН «Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева» СО РАН

Радченко Владимир Павлович доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и информатики ФГБОУ ВПО «Самарский государственный технический университет»

Ведущая организация: ФГБОУ ВО «Сибирский государственный

аэрокосмическнй университет имени академика М. Ф. Решетнёва»

Защита диссертации состоится 10 сентября 2015 года в 14:30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.300.02 при ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева» по адресу: 428000, Чувашская Республика, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, 38, ауд. 406.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева» (ттV/. с!^р и. ее! и. ги).

Автореферат разослан « 15 » нюня 2015 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. паук, доцент

С. В. Тихонов

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования и степень её разработанности. Одной из основных задач механики деформируемого твёрдого тела является создание фундаментальных основ для описания процессов разрушения твердых тел при их деформировании, то есть разработка основ механики разрушения (построение моделей и алгоритмов расчёта конструкций п технологических процессов при больших пластических деформациях с учётом разрушения). Теория пластического течения, как один из важных разделов механики деформируемого твёрдого тела, позволяет описывать поведение реальных материалов при различных напряжённых состояниях в условиях пластического деформирования. В частности, теория пластичности позволяет решать геометрически нелинейные задачи, учитывающие изменение конфигурации частиц тела в пространстве, то есть учитывать изменения геометрии деформируемого тела; использовать в качестве меры деформаций тензоры конечных деформаций; получать аналитические решения различных задач.

Развитие фундаментальных соотношений теории пластического течения и пластических аспектов механики разрушения связано с именами Ю. Н. Работнова, А. Надан, Р. Хилла, Л. М. Качанова, А. Ю. Ишлннского, Д. Д. Ивлева, В. В. Соколовского, Г. И. Быковцева, А. И. Хромова, Ю. Н. Радасва, Р. И. Непершина, Ю. В. Немировского, Б. Д. Аннина, Г. П. Черепанова, С. И. Сенашова, Дж. Райса, Ф. Макклинтока, Дж. Ф. Нотта, Д. Броска, Е. М. Морозова, Ю. Г. Матвиенко, Н. Ф. Морозова и других известных учёных.

Состояние развития механики разрушения определяется использованием в качестве теоретической базы деформационной теории пластичности, в которой, как правило, не учитывается процесс разгрузки материала, что сводит используемую теорию к нелинейной теории упругости. Решение конкретных задач о разрушении связано с использованием в качестве меры деформаций тензора малых деформаций. Этот подход приводит к ряду физических противоречий, в частности, к неограниченному росту напряжений и накопленной диссипации энергии в окрестности вершины трещины. Необходимо отметить, что с физической точки зрения разрушается не область, а некоторая совокупность частиц в окрестности вершины трещины, то есть разрушение связывается с нарушением сплошности среды, когда две бесконечно близкие частицы расходятся на конечное расстояние1. Этот процесс можно связать с деформацией сплошной среды на разрывах поля скоростей перемещений. Такая возможность отсутствует в деформационной теории пластичности. Кроме того, известно, что при разрушении в окрестности вершины трещины практически во всех материалах экспериментально наблюдается наличие пластической области (хотя и достаточно малых размеров).

Известно, что разрушение представляет собой сложный, многоступенчатый процесс, который начинается задолго до появления видимых трещин. Разрушение возможно в результате развития содержащихся в теле реальных дефектов, и при оценке прочности необходимо учитывать имеющиеся в теле трещины, а следовательно, необходимо изучение влияния первоначальной обработки материала

1 Под частицей понимается некоторый элементарный объём материала.

на его трещиностойкость (упрочненпе/разупрочнетше материала при выглаживании, прокатке, обработке давлением и т.п.). Согласно Е. М. Морозову теория распространения трещин в пластических материалах должна включать в себя по крайней мере два элемента: решение упругопластической задачи с учётом конечности пластической деформации и с удовлетворением граничных условий на упругопластической границе: нахождение условия образования макротрещины в материале, который претерпел значительную деформацию.

Основным направлением исследований в механике разрушения являются процессы распространения трещин. Это направление подробно разработано и включает линейную и квазилинейную механику разрушения (теория Гриффитса и теория, учитывающая поправку Ирвина на пластические деформации), н нелинейные процессы распространения трещин (критерий раскрытия трещины, инвариантный интеграл Черепанова-Райса), которые изложены в большом количестве работ. Если размеры пластической области велики (области, где нарушаются соотношения линейной механики разрушения), то может использоваться нелинейная модель Леонова-Панасюка-Дагдейла для плоского напряжённого состояния (пластическая зона вырождается в отрезок, продолжающим трещину) или инва-риантый ./-интеграл.

Вместе с тем вопрос описания закономерностей и периода зарождения трещин в окрестности концентраторов напряжений остаётся в основном открытым. Исключение представляет гипотеза С. В. Серенсена о том, что зарождение трещины связано с исчерпанием состояния пластичности, которое в дальнейшем будем называть предельным состоянием материала. То есть считается, что при достижении предельного состояния пластическое течение возможно лишь при нарушении сплошности материала. Как правило, изучение предельных состояний материала связано с теорией прочности.

Проблема достижения материалом предельного состояния в настоящее время рассматривается, как правило, эмпирически. Экспериментальные подходы определения предельных состояний связаны с исследованиями в рамках теории малоцикловой усталости при разрушении материалов, зависящих от их пластических свойств и мало от упругих констант. В работах С. Фелтнера, Дж. Морроу и Д. Мартина вводится критериальная величина разрушения — удельная работа внутренних сил, связанная с упрочнением материала. Обоснованность выбора удельной работы внутренних сил в качестве критериальной величины связана с зависимостью диссипации энергии от истории деформирования материала. Отметим, что деформации не могут быть выбраны в качестве критериальной величины для описания процессов разрушения, поскольку могут обращаться в нуль, тогда как диссипация энергии может только накапливаться при деформировании.

Для устранения указанных недостатков в работе предлагается взгляд на механику разрушения с точки зрения теории пластического течения. Обоснованность использования теории пластического течения для описания процессов разрушения подтверждается основными соотношениями теории малоцикловой усталости н механики распространения трещин. Теория пластичности позволяет дать ясное описание процесса разрушения — процесс нарушения сплошности среды, который предполагается необратимым. Этот подход приводит к единой критериальной ве-

личине, определяющей момент зарождения трещины и условия ее распространения.

В работе процесс разрушения предлагается рассматривать в два этапа: доведение материала до предельного состояния (когда деформирование невозможно без разрушения) и дальнейшее развитие течения (распространения трещины). Первый процесс связывается с накоплением необратимых повреждений, определяемых деформированием материала. Этот необратимый процесс связывается теорией пластического течения с необратимым термодинамическим процессом рассеивания работы внутренних сил па пластических деформациях, который определяется ассоциированным законом пластического течения. Экспериментальной основой здесь является теоретическая трактовка поведения материала при малоцикловой усталости, которое в основном зависит от пластических свойств материала и мало от упругих. Второй процесс — распространение макротрещины, также описывается теорией пластического течения, как течение на разрывах поля скоростей перемещений. Для чего необходимо допустить существование таких разрывов. Это накладывает определённые ограничения на модель теории пластического течения (в частности, она должна приводить к уравнениям гиперболического, а не эллиптического типа).

Основные результаты получены при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований в рамках проектов № 01-01-00717-а «Влияние электротермического воздействия на процесс локализации пластических деформаций и разрушение материалов», № 04-01-00102-а «Концентраторы деформаций», № 08-08-99042-р_офи «Определение деформационных характеристик разрушения конструкционных материалов при малоцпкловых пластических деформациях», № 11-08-00580-а «Пластические критерии разрушения», X8 12-01-31283-мол_а «Поля деформаций и условия разрушения в окрестности вершины осссимметрнчноП трещины для пластических тел»; и неоднократно поддерживались фондом для представления на научных мероприятиях, проводимых в России и за рубежом: проекты \»№ 04-01-10654-3,05-01-10561-3, 00-01-10595-3, 07-08-08117-3, 08-08-09206-моб_з,09-08-09280-моб_з, 09-08-16025-моб_з_рос, 10-08-09370-моб_з, 11-08-16060-моб_з_рос, 12-08-09267-моб_з; а также при поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках проекта № 2.1.1/14141 «Теоретические и экспериментальные исследования влияния дисснпативных процессов на механические характеристики и разрушение материалов». Во всех проектах автор принимала участие в качестве руководителя или ответственного исполнителя.

Целью диссертационной работы является описание процессов зарождения и распространения трещин на основе теории пластического течения в рамках модели жёсткопластнческого тела.

Основными задачами работы являются:

1. Формулировка задач, моделирующих процессы деформирования и разрушения материача в рамках теории пластического течения на основе модели жёсткопластнческого тела.

2. Определение критериальной величины, характеризующей процессы доведения материала до предельного состояния и распространения трещины.

3. Установление связи выбранной критериальной величины с традиционными критериями механики разрушения.

4. Формулировка подхода к описанию предельного состояния упрочняющегося несжимаемого жёсткопластпческого тела.

5. Определение поверхности нагружеиия и условия пластичности, сохраняющих гиперболичность определяющих соотношений теории пластического течения.

Научная новизна состоит в описании процессов достижения материалом предельного состояния с позиций теории пластического течения в рамках модели упрочняющегося несжимаемого жёсткопластпческого тела, и понимании предельного состояния, как состояния предельного упрочнения (исчерпание пластичности материала).

Процесс распространения трещины рассматривается в рамках теории идеального жёсткопластпческого тела, что является новой областью приложения модели идеального жёсткопластпческого тела.

В рамках предлагаемого исследования поверхность нагружения и условие пластичности определяются соотношениями, содержащими второй и третий инварианты девиатора напряжения, что приводит к нарушению условия пропорциональности компонент тензора скорости деформации п девиатора напряжения; изменяется формулировка энергетического условия развития пластического течения для упрочняющегося тела. Добавление энергетического условия к системе уравнений в напряжениях приводит к новым постановкам задач теории пластического течения.

В работе за меру деформаций выбирается тензор конечных деформаций и рассматривается траектория движения частиц, что позволяет аналитически получить распределение полей деформаций и удельной работы внутренних сил (выбранную за единую критериальную величину), и исключить особенность (сингулярность) удельной диссипации энергии, в частности, в окрестности вершины трещины.

Теоретическая и практическая значимость.

Предлагаемый в исследовании подход позволяет описать процесс разрушения как совокупность процессов достижения материалом предельного состояния и распространения трещины с единых позиций, даёт новые методы расчёта модельных и прикладных задач теории пластического течения и механики разрушения.

Прикладное направление связано с приложением теории пластического течения к задачам технологической и эксплуатационной наследственности, которая определяется деформированием материала.

Методология и методы исследования. Задачи исследования решаются на основе деформационно-энергетического подхода к описанию процессов разрушения, сформулированного в рамках теории пластического течения, теории малоцикловой усталости н механики разрушения. С помощью методов, основанных на соотношениях теории пластического течения в рамках модели жёсткопластпческого тела, получены аналитические решения задач о локализации пластических деформаций в окрестности особенностей поля скоростей перемещений.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Методы аналитического расчёта распределения деформаций и удельной

диссипации энергии в задачах, моделирующих процессы деформирования и разрушения материала.

2. Поверхность нагружения и условие пластичности, связанные с линиями уровня поверхности деформационных состояний несжимаемого жссткопластнче-ского тела, сохраняющие гиперболичность определяющих соотношений теории пластического течения.

3. Критерии разрушения материала: доведения до предельного состояния (зарождение трещины) и образования новых свободных поверхностей (распространение трещины). В качестве критериальной величины выбрана удельная работа внутренних сил, что обосновывается её связью с термодинамической необратимостью процесса разрушения.

4. Подход к описанию предельных состояний пластических тел в пространстве главных напряжений, позволяющий учитывать эффект Баушингера и конечность деформаций материала, и обобщающий соотношения малоцикловой усталости на произвольные пространственные процессы деформирования.

5. Связь новой критериальной величины с традиционными критериями механики разрушения.

Обоснованность выносимых на защиту научных положений, выводов и рекомендаций подтверждается адекватностью модельных математических представлений реальному поведению материала при его деформировании и разрушении; корректностью использования математического аппарата, законов механики деформируемого твёрдого тела, соотношений теории малоцикловой усталости и механики разрушения; частичной проверкой прогнозируемых аналитически решений с известными экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались на международных и всероссийских конференциях и семинарах, а также за рубежом, в том числе на Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006, 2011); Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2006, 2008-2011, 2013); ICF Interquadrennial Conférence. Fracture Mcchanics in Design of Fracture Résistant Materials and Structures (Москва, 2007): Всероссийской и международной конференциях «Успехи механики сплошных сред», приуроченных к юбилею академика В. А. Левина (Владивосток, 2009, 2014); международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики», посвященной 80-летию Д. Д. Ивлева (Воронеж, 2010); Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики и процессов управления», посвящённой 75-летию со дня рождения академика В. П. Мясникова (Владивосток, 2011); Третьей международной конференции «Математическая физика и се приложения» (Самара, 2012); международной конференции «Живучесть и конструкционное материаловедение» (Москва, 2012); Всероссийской научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики», посвященной 75-летию со дня рождения д-ра физ.-мат. наук, профессора Г. И. Быковцева (Самара, 2013); международной на-учпо-нрактической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемого твердого тела, математического моделирования и пи-

формацнонных технологий» (Чебоксары, 2013); XXII International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (Аделаида, Австралия, 2008); 7th European Solid Mechanics Conference (Лиссабон, Португалия, 2009); 8th European Solid Mechanics Confe-rcnce (Грац, Австрия, 2012) и другие.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 54 научных работах, из них 18 работ в рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ.

Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, автор участвовала в постановке задач и их решении, как основной исполнитель.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Объём диссертации — 209 страниц. Работа содержит 50 рисунков, 1 таблицу и список использованных источников нз 210 наименований.

Основное содержание работы Во введении обоснована актуальность темы и показана степень её разработанности, сформулированы цель и задачи диссертационной работы, аргументирована научная новизна исследований, показаны теоретическая и практическая значимости полученных результатов, описаны методология и методы исследования, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе представлены используемые в работе основные положения теории пластического течения в рамках модели жёсткопластического тела: материал изначально и в процессе деформирования изотропный и однородный; пластическое деформирование не зависит от гидростатического давления; упругие деформации малы по сравнению с пластическими, и не учитываются; в пластической области выполняется условие несжимаемости

£-1+£2 + £З = 0; (1)

справедлив ассоциированный закон пластического течения:

= <2>

поверхность текучести, определяемая функцией /(гт,;), является выпуклой; мощность диссипации работы внутренних сил на пластических деформациях определяется соотношением

И'р - (Ту£у - А'сту^-. (3)

Здесь е^ — компоненты тензора скоростей деформации; оц — компоненты тензора напряжения; / — функция, определяющая закон пластичности; А' — некоторый положительный скалярный множитель, определяемый в каждой точке пути деформирования условием пластичности или упрочнения.

В первом разделе приведены основные соотношения, выполняющиеся вдоль характеристических линий, в условиях плоской и осесимметричной деформаций, позволяющие проводить расчёт полей напряжения и скорости перемещения с учётом изменения геометрии тел при конечных деформациях и движении особенностей ноля скоростей перемещений.

Второй и третий разделы посвящены методам аналитического определения распределения удельной работы внутренних сил (диссипации энергии) и деформации в пластической области и в окрестности особенностей поля линий скольжения (на линиях разрыва поля скоростей перемещений и в окрестности центра веера линий скольжения) в условиях плоской и осесимметричной деформации. Необходимость анализа распределения диссипации энергии и деформации в указанных областях возникает при изучении процессов деформирования и разрушения материала. В качестве основной величины, характеризующей распределение деформации. выбран тензор конечных деформаций Альмансп Е = [Е^]:

Е = 1 (I - ААТ) или Е,3 = ± (<% - ,

где I = [¿у] -единичный тензор, <5у — дельта Кронекера; хх, — лагранжевы и эйлеровы координаты частицы; А = = = [х",]—тензор дисторсии.

В частности, показано, что в однородном поле тензора скорости деформации при одноосном растяжении образца главные значения тензора Альмансн определяются следующими соотношениями: в условиях плоской деформации

<5(2+ .5) _ Д(2 + <Е)

Е1 = 2(Г7*Г Ег~--2~' Сз"°' ()

и при осеснмметричном деформировании

я, = е2 = Е3 = (5)

1 2(1+ д)2' 2 ' ^

где 5 — относительное удлинение плоского или цилиндрического образца при растяжении, определяемое экспериментально. При определении поля деформаций на линиях разрыва поля скоростей перемещений в условиях плоской деформации учитывается состояние частицы: до пересечения линии разрыва частица была недеформирована пли деформирована, и частица дважды пересекает линию разрыва. Определение поля деформаций в окрестности центра веера линий скольжения сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений в компонентах тензоров конечных деформаций Альманси Е или дисторсии А.

В четвёртом разделе представлены критерии выбора предпочтительного пластического течения в случае неединственности поля скоростей перемещений и, как следствие, распределения деформаций в пластической области. В основу критериев заложены значения деформации () и диссипации энергии (1У): Пластическое течение развивается таким образом, что максимальное значе-

nue дефорлшции (диссипации энергии) в пластической области мииималъио:

infsup£à (mfsupW). (G)

dn „ \dn ) ^ '

где fi — возможные (локальные) зоны пластической области; dQ — возможные изменения пластической области при определённом пластическом течении, характеризуемые движением особенностей поля линий скольжения в данный момент.

Во второй главе рассмотрены задачи, позволяющие моделировать процессы деформирования и разрушения при неустановившемся и установившемся пластическом течении: внедрение клина, в жёсткопластическую полуплоскость; раздавливание острого и усечённого клиньев гладким плоским штампом; растяжение полосы с симметричными угловыми вырезами. Полученные в работе распределения конечных деформаций и анализ их значений является существенным дополнением к известным решениям этих задач. На основе сравнения скоростей перемещений частиц в пластической области и распределения деформаций сделаны выводы о возможности рассмотрения предлагаемых в задачах пластических течений с разрушением и без него. Отмечены наиболее «опасные» зоны для разрушения материала. В случае неединственности пластического течения осуществлён выбор предпочтительного решения на основе критерия (6).

В первом раздые для задачи о внедрении клина в жёсткопластическую полуплоскость показано, что до значения /х ~ 31,7° наибольшие деформации наблюдаются в окрестности центра веера линий скольжения, при /г > 31, Т наибольшие деформации на линии разрыва BDEC поля скоростей перемещений, рисунок 1. При этом учитывается, что в веер попадает частица, первоначально деформированная на участке ЕС линии разрыва.

Рисунок 1 — Пластическое течение при внедрении клина в жёсткопластическую

полуплоскость

Во втором разделе представлены возможные схемы пластического течения в задачах о раздавливании острого и усечённого клиньев гладким плоским штампом2: решения, обладающие симметрией — решения Хнлла и Пра.ндтля; и решение с несимметричным пластическим течением. При этом в задаче об остром клине

2 Ввиду достаточно большого объёма, занимаемого рисунками, схемы пластических течепий в автореферате не приводятся.

решения являются автомодельными и имеют место для углов раствора клина: /х > 26.6° в решении Хилла: ц > 14,04° в решении Прандтля: ц > 22,5е при несимметричном течении. Наибольшие деформации наблюдаются:

для решения Хилла при д € [26,6°; 44°) — в окрестности центра, веера линий скольжения; при ц > 44° — на линии разрыва:

для решения Прандтля при ц 6 [14,04°; 66, 3°) - в окрестности центра веера линий скольжения; при ц > 66,3° — на линии разрыва:

для несимметричного решения при ¡1 в [22, 5°; 53,3°) в окрестности центра веера линии скольжения; при ц > 53,3° на линии разрыва.

Указанные решения обобщены на случай раздавливания усечённого клина гладким плоским штампом. При этом пластические течения не являются геометрически подобными. Показано, что в этом случае пластическое течение начинается от поверхности конечного размера, из чего следует, что до определённого момента £ в центрированный веер попадают первоначально недеформированные частицы3 .

Для всех схем пластического течения в задачах о раздавливании острого и усечённого клиньев гладким плоским штампом определены координаты точек и уравнения линий, характеризующих геометрию пластической области, позволяющие получить аналитическое распределение деформации и диссипации энергии в окрестности особенностей поля линий скольжения. Сравнение наибольших значений деформаций, показывает, что в обоих случаях решение Прандтля является предпочтительным согласно критерию (6).

Третий раздел главы посвящён задаче об одноосном растяжении полосы, ослабленной симметричными У'-образнымн вырезами. На основе сравнения скоростей частиц в пластической области, примыкающих достаточно близко к вершине выреза, показано, что известные решения этой задачи, предложенные Е. Ли (с сохранением геометрии выреза) и О. Ричмондом (с вращением свободной поверхности), содержат определённые противоречия, и позволяют описывать пластическое течение без разрушения только в момент Ь = 0, и при £ > 0 течения возможны только с разрушением материала в окрестности вершины углового выреза.

Решение с несимметричным пластическим течением является полным в каждый момент времени и позволяет описывать процесс растяжение полосы с вырезами как с разрушением, так и без него. Предполагается, что в пластическом состоянии находится только верхняя (или нижняя) полуплоскость полосы, рисунок 2. Рассмотрены возможные случаи образования свободных поверхностей в процессе деформирования с учётом сохранения геометрии пластической области. Анализ распределения деформаций в окрестности вершины выреза (точка А) согласно (6), показывает, что минимальные деформации достигаются, когда вновь образующийся элемент свободной поверхности является продолжением её неде-формнрованпой без излома. На рисунке 3 положение вновь образующейся части свободной поверхности определяется углом /д, п условие минимальности деформаций достигается при щ = г). Расчёты показывают, что при уменьшении 1] точка А" приближается к точке У и при т] = 52.362° совмещается с ней. При этом

Под переменной I понимается монотонно возрастающий параметр, характеризующий изменение (развитие) пластического течения.

Рисунок 2 Несимметричное пластическое течение при растяжении полосы с 1/-образнымн вырезами

Рисунок 3 Возможные положения новой деформированной поверхности (7, = 60°)

эир Е\ —> 0,5. Из чего следует, что при т) < 52,362° пластическое течение полосы

возможно лишь при разрушении материала в окрестности вершины выреза, то есть возможно «превращение» выреза в трещину.

Отмечено, что при растяжении полосы в процессе несимметричного пластического течения частицы материала в окрестности точки А перемещаются из области ЛFG в нижнюю часть полосы за жёсткопластическую границу АЕ, являющейся линией разрыва поля скоростей перемещений. Поэтому процесс накопления диссипации состоит из двух этапов: первый — деформирование в веере ЕАЕ, второй — на линии разрыва скоростей АЕ.

На основе несимметричного течения может быть предложено решение, когда в пластическом состоянии находятся попеременно обе полуплоскости полосы — так называемое симметричное течение, при этом в процессе деформирования К-образный вырез сохраняет свою симметрию относительно первоначального положения свободной поверхности при условии щ = г). Если допустить, что в момент Ь £ [0, Д^] вектор т, определяющий направление движения угловой точки, был направлен в верхнюю полуплоскость полосы, то в следующий момент I € [Д«1,Д«2] пластическая зона может располагаться в нижней полуплоскости полосы, н вектор ш будет направлен вниз. В этом случае движение точки А будет зигзагообразным, и первоначальная геометрия К-образного выреза также сохраняется.

В четвёртом разделе представлена полная схема деформирования и разрушения плоского образца, на основе которой процесс разрушения материала предлагается рассматривать состоящим из двух этапов. На первом этапе происходит однородное деформирование образца; при достижении критического значения диссипации энергии IV,,, которая вложена в каждую частицу, происходит зарождение конечной макротрещины (рисунок 4,(а)). На втором этапе реализуется решение с

(а) (б)

Рисунок 4 — Схема деформирования и разрушения плоского образца: I этап (а) —доведение материала до предельного состояния (зарождение трещины, II этап (б) — образование новых свободных поверхностен (распространение трещины. И',)

разрывным полем скоростей перемещения (рисунок 4.(6)); для дальнейшего развития трещины (вплоть до разделения образца на две части) необходимо добавить энергию величиной И».

Критерии разрушения материала: доведения до предельного состояния (зарождение трещины) и образования новых свободных поверхностей (распространение трещины), сформулированы следующим образом:

Критерий зарождения трещины: Зарождение трещины происходит, когда работа внутренних сил на пластических деформациях достигает критической выичины

IV = \У.„

где \¥жж — удельная работа внутренних сил на пластических деформациях, связанных с упрочнением материала.

Критерий распространения трещины: Распространение трещины происходит, когда работа внутренних сил на пластических деформациях достигает критической величины

IV = IV..

Здесь IV, — удельная работа внутренних сил, которую необходимо «добавить» в материал для распространения трещины.

Выбор удельной работы внутренних сил в качестве критериальной величины обосновывается сё связью с термодинамической необратимостью процесса разрушения. В работе предложено процесс зарождения трещины описывать на основе модели упрочняющегося жёсткопластнческого тела; процесс распространения трещины — на основе модели идеального жёсткопластнческого тела.

В пятом разделе сделан вывод о том, что в теории пластического течения заложена модель разрушения, учитывающая изменение тензоров конечных деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения (на линиях разрыва поля скоростей перемещений, в окрестности центра веера линий скольжения).

Исследование поведения частиц материала и распределения деформаций в пластических областях позволяет предположить возможное поведение материала в окрестности пересечения особенностей поля линий скольжения, прогнозируя тем самым зоны, «опасные» для разрушения. Положение таких зон связано с точками пластической области, где нарушается условие непрерывности отображения конфигурации частиц в пластической области, когда две бесконечно близкие частицы расходятся на конечное расстояние. Пересечение особенностей может наблюдаться как в окрестности свободной поверхности, так и внутри пластической области, рисунок 5. На основе предложенных схем для всех пластических течений в рассматриваемых во второй главе задач выделены зоны, прогнозируемые для разрушения материала в окрестности псресечення/совпадсния особенностей поля скоростей перемещений.

Рисунок 5 — Схемы поведения частиц материала в окрестности пересечения особенностей поля лнний скольжения: (а)-(в) — в окрестности свободной поверхности (СП); (г)-(е) — внутри пластической области; (а), (г)-(е) — пересечение линий разрыва (ЛР) поля скоростей перемещений; (б), (в) — совпадение в одной точке двух центров вееров (ЦВ) линий

скольжения

В третьей главе определяются поверхность нагруження, условие пластичности и энергетическое условие развития пластического течения, позволяющие учитывать различия пределов текучести материала при растяжении и сжатии, и сохраняющие гиперболичность определяющих соотношений теории пластического течения.

В первом разделе рассматривается поверхность Е деформационных состояний упрочняющегося несжимаемого жёсткопластического тела, представляющая собой в пространстве главных значений тензора конечных деформаций Альманси гиперболическую поверхность третьего порядка, рисунок 6,(а). Математически уравнение этой поверхности определяется условием несжимаемости жёсткопластического тела. Все деформационные процессы описываются линиями Ь на этой поверхности или их проекциями I на дсвиаторной плоскости, вид которых зависит от истории нагруження. В сечениях плоскостями, параллельными дсвиаторной плоскости, проекции поверхности £, называемые в работе линиями уровня, имеют вид замкнутого криволинейного треугольника с тремя осями симметрии

сп

Рисунок б — Поверхность деформационных состояний Т, (а) и линии уровня (б)

(рисунок 6,(6)), определяемого системой уравнений, которая геометрически представляет пересечение поверхности Е и плоскости, параллельной девиаториой:

(1-2Е1)(1-2Я2)(1-2£;3) = 1,

Е\ + Е2 + Е3 = [Е,

где /е — первый инвариант тензора конечных деформаций Альманси, характеризующий уровень деформаций относительно поверхности Е. В девиаториой плоскости уравнение линий уровня принимает следующий вид

6ШВе + (3 - 2 1е)ППб = ± [(3 - 21Е)3 - 27] , (7)

где ПоЕ и И1пЕ — второй и третий инварианты девиатора для тензора конечных деформаций Альманси. На отдельной (фиксированной) линии уровня, характеризуемой определённым значением параметра |/£|, может быть поставлена задача теории идеальной пластичности.

Во втором разделе поверхность нагружения предложено связать с линиями уровня поверхности Е, для чего вводится пропорциональность между девпатора-мп для тензоров напряжения и конечных деформаций:

Ах = ЬЕВЕ, (8)

откуда следует связь между инвариантами рассматриваемых девиаторов:

Пп<! = /г|/ь£, Ш0„ = К\П10е. (9)

Соотношение (8) определяет подобие между линиями уровня поверхности деформационных состояний п условием пластичности в пространстве главных напряжений, что обосновывается геометрическим характером линий уровня поверхности Е и экспериментально подтверждаемым видом кривой текучести (выпуклый

замкнутый криволинейный треугольник с тремя осями симметрии в пространстве главных напряжении)4. Согласно (7) н (9) уравнение поверхности нагружения в инвариантах девиатора напряжения принимает вид

бIIIо. + M3 - 2Ie)IId. = [(3 - 2Ief - 27] , (10)

где IId„ и 11Id„ — второй и третий инварианты девиатора напряжения. Поверхность (10) представляет собой цилиндрическую поверхность, проекции которой на девиаторной плоскости имеют вид замкнутого криволинейного треугольника с тремя осями симметрии, и удовлетворяет необходимым требованиям: является выпуклой, гладкой и симметричной.

Для определения коэффициента пропорциональности /i£ предлагается перестроить диаграмму нагружения: предполагается использование гипотезы единой кривой, но построенной не в традиционных координатах интенсивностей касательных напряжений и деформаций сдвига, а в координатах предела текучести а$ и модуля первого инварианта тензора конечных деформаций Альмансн \Ie\- При этом используется связь между I^ и относительным удлинением образца 5 при одноосном растяжении согласно (5):

Ie{5) = Etf) + Е2{6) + Е3(6) = < 0- (П)

Коэффициент li£ предлагается определять из эксперимента на одноосное растяжение цилиндрического образца при ai = as, = ег;) = 0, откуда согласно (8) и (11) получаем

= ^з)^ > а (12)

В третьем pa3Ôejie рассматривается условие пластичности, определяемое проекциями поверхности нагружения (10) на девиаторной плоскости, которое в главных значениях тензора напряжения имеет вид

(2<Ti - сг2 - ¿гз)(2<Т2 - £г3 - £7i)(2er3 - ai - а2)+

(13)

+-hE{3 - 2Ie) [(<7, - а2)2 + (а2 - а3)2 + (а3 - а1)2] =

= ^[(3-2/к)3-27];

и проводится его сравнение с традиционно используемыми критериями Мизеса и Треска при различных деформационных состояниях. Известно, что классические

4 В частности, в работах:

Писа1>енко Г. С., Лебедев А. А. О форме предельной поверхности механического критерия прочности // Прикладная механика. 19G8. Т. 4, .V« 3. С. 45-50.

Поль Б. Микроскопические критерии пластического течения и хрупкого разрушения // Разрушение. Т. 2. Математические основы теория разрушения / Под ред. Г. Либовица. Москва: Мир. 1975. С. 336-520. Yu М. Н. Advances in strength theories for male-rials under complex stress state in the 20th century // Applied Mechanics Reviews. 2002. Vol. 55. no. 3. P. 1GU-218.

критерии пластичности определяются в девиаторной плоскости окружностью для условия Мизеса:

(cri - о-2? + (а2 ~ + (аз - ffi )2 = 24; (14)

и шестиугольником при условии Треска:

Cl — 02 = или 02 — СГз = ±С5 НЛП <Тз — <Ti = ±сгд; (15)

где erg предел текучести при одноосном растяжении цилиндрического образца. На рисунке 7 представлено графическое сравнение кривых текучести для условии Мизеса (14), Трсска (15) и условия пластичности (13) при фиксированном значении ers. Очевидно, что при малых значениях относительного удлинения <5 условие (13) практические совпадает с линией, определяющей условие Мизеса (14).

Рисунок 7 - Кривые текучести на девиаторной плоскости (при А" = 10% и <5 = 50%) для условий (14) — штриховая линия, (15) — штрихпунктирная линия, (13) — сплошная линия

Показано, что линия, характеризующая условие (13), пересекает проекции осей главных напряжений в точках, координаты которых определяются соотношениями

3*5,

l22(S+lf + l

3<5[(3 + 2<5)2 + 3]

2C0S {—)

1

as,

(1G)

где £ = arccos

1 -

54

. При этом очевидное наличие ещё одного кор-

(3 - 21Е)3\

ня которое объясняется существованием частей поверхности (10) со стороны отрицательных октантов пространства напряжений (рисунок 8), в дальнейшей работе не учитывается, поскольку согласно определению поверхности нагруже-иня - это «совокупность точек, представляющих различные напряжённые состояния...»5; а «точки, лежащие вне цилиндра, соответствуют невозможным напряжённым состояниям»6. Кроме того, очевидно, что поверхность нагружения должна охватывать начало координат7.

Надап Л. Пластичность и разрушение твёрдых те/1. Москва: Нзд-во иностранной лптсратз'ры, 1954.

Генки Г. О. К теории пластических деформации и вызываемых ими в материале остаточных напряжении

// Теория пластичности. СП. етатеЛ иод ред. Ю. Н. Работнона. Ы.: ПЛ. 1948. С. 114 135.

7 Апнин Б. Д., Черепанов Г. П. Упруго-пластическая задача. Новосибирск: Наука, 198:1.

Рисунок 8 — Проекция поверхности нагружения (10) на девиаторной плоскости

Точки пересечения (16) соответствуют пределам текучести материала при одноосном растяжении а$ н сжатии и^:

= V з^.

Х'з = V

(17)

Очевидно, что при использовании предлагаемого условия (13) наблюдается различие между пределами текучести на растяжение и сжатие (то есть учитывается эффект Баушннгера), отношение между которыми определяется согласно (10) и (17) выражением

¿[(3 + 2 <5)2 + 3]

2 [2(<5 + I)3 + 1]

2 сое

£ + 4тг

(18)

Величина — влияет на вид кривой текучести (рисунок 7): при а$ = Од кривая

является окружностью, при различных значениях и 0\7 кривая принимает треугольнообразный вид, стремясь в пределе к треугольнику:

1пп ^4 = 1.

5—юс <Тс 2

В работе рассматривается сравнение значения условного предела текучести на сжатие прогнозируемого по условному пределу текучести на растяжение согласно (18), с экспериментальным. Погрешность вычислений для выбранных конструкционных материалов (деформируемые стали) не превышает 7%.

Согласно ассоциированному закону пластического течения (2) главные значения тензора скорости деформации при условии пластичности (13) определяются выражениями

£1 = = ЗА'[ - 2{а, - а3)2 + (а, - <т2)2 + (а3 - а,)2+

+^(3-2/Е)(2а1-<г2-<73)]; £2 = А'^- = ЗА'[ - 2(сгз - + (а2 - <т3)2 + (а, - а2)2+

+^(3-2/Е)(2(т2-(т3-а1)]; = = ЗА' [ " 2(<Т1 " СТ2)2 + ^ + ~

+у(3-2/я)(2<т3-<П-<г2)].

Суммирование соотношений (19) приводит к выполнению условия несжимаемости (1). Далее

рассматриваются особенности нового условия пластичности при различных деформационных состояниях. При плоской деформации условие (13) принимает следующий вид:

[(2ах -0у- а:){2аи -а,- ах) - 9 т2у] (2 аг - ах - оу)+ +|МЗ - 21Е) [(ах - ау)2 + (ау - аг)2 + (а, - ах)2 + 6тт2у] =

= у [(3 ~ 21Е)3 - 27] .

Компоненты тензора скорости деформации согласно (2) определяются соотношениями

= А'Й~ = ЗА' [ - 2{аУ ~ + - + - *х)2 + Зтху+

г

еу = А аау = ЗА' [ -2(а* - + - + - + К+

+^(3-21Е)(2ау-а2-ах)]; (20)

£г = А'Й = ЗЛ' [" 2(ах" ау? + (<т-'" а*)2 + ~ ~ 6т*у+

+у(3-2/£)(2аг-аг-ав)];

Г'"' = = 9А'^ [" (2<Тг " ^ " ^+ Т(3 " 2/е)] '

Показано, что при ег = 0 вид нового условия пластичности совпадает с условием Мнзеса:

(<г, - оу)2 + 4т2ц = К{6)ст1 (21)

отличие заключается в определении третьего «внсплоского» главного значения тензора напряжений:

1 1 (i + 47Г

<Т; = ^(ах + ау) - -Ы3 - 21Е) cos f

Здесь

4 (3 - 21Е? +

<5(2+ <5) . ... <52(3 + 25) Ei = J, . = - . . £ = iW<-eos

27

.(3 - 21ЕУ

- 1

2(1 +J)2' 2(1 +J)2'

Соотношения (20) приводят к выполнению условия несжимаемости

ех + Еу + ez = 0

и условия соосности тензора скорости деформации п девиатора напряжения: ех — еу _ дах д(Ту _ сг.г — оу _ sx —

Vxy

df 6aZ

2 t

xy

2 r.

xy

однако не выполняется пропорциональность их компонент £у ф А'йу, то есть при использовании условия (21) не выполняются уравнения теории пластичности Сен-Венана—Мизеса.

При осеснмметрпчной деформации условие (13) определяется выражением

[(2ат -аг- aip){2az - а^ - <тт) - 9т2,] (2а v - ат - az)+

+|ftE(3 - 2IE) [(ffr - + К - + {?* - + 6t«]

= ^[(3-2/B)3-27],

(22)

Как правило, решения задач строятся при предположении условия полной пластичности. В работе показано, что при = а3 «третий закон пластичности»8 в виде

2стз — 01 — 02 _ 2е3 — £i — Е2 а 1 — о"2 — £2

выполняется для условия (13) согласно (19) при 03 = а\ или 0з = а2, что определяет условие полной пластичности. В случае а3 = 0\ условие (13) принимает

вид

ai-a2 = -hE{3 - 21Е) [2 cos Ф + 1]; (23)

8 Падай А. Пластичность и разрушение твёрдых тел. Москва: Пхт-во иностранной литературы, 1954.

а при егз = сг2 получаем

0-1 - СГ2 = -Л£(3 - 21Е) [2 cos Ф - 1] .

Здесь Ф = ! + 6,2.3, Ф = | + 6.2,3, Ç

arccos

54

(3 - 21 Еу

1

(24) 6 = О,

f - 2îT е 4л

Сравнение решений (23) и (24) е условием пластичности Треска (15) приводит к системе соотношений9

ffl - СТ2 = ±KI2{à)aS « TO-.V, CTl - £72 = ±K*(â)(Ts,

где

КЦб) = -К{'(5) = i3 ~ 21 е)

2(3Ех - 1Е)

К<(6) = -К<'(6) =

(3 - 21Е)

2cos

3

£ + 4тг

+ 1

(25)

2(3 Е!-1е)

С учётом (1G) и (17) окончательно получаем:

ai - <72 = ±0-5, <71 - <72 = ±0-5.

Аналогично получаются две другие системы соотношений:

в случае = а2 при условии полной пластичности а2 = 04 или а2 = аз

03-а1 = ±<т+, <7з - cri = iaj; (26)

■ в случае а.^ = а1 при условии полной пластичности аг = а2 или ах = а3

02- 03 = à:(Tg, (72 - <73 = ±<7с .

(27)

Уравнения (25)-(27) определяют два шестиугольника, изображённых на рисунке 9. При этом внутренний шестиугольник совпадает с условием Треска (15). На рисунке 9 показано, как полученные шестиугольники ассоциируются с новым условием пластичности (13) (треугольнообразная гладкая кривая изображена пунктирной линией).

Подстановка известных соотношений для напряжений:

0г=Р + дсоз2ф, а, = р - 9сое2ф, тг; = дзт20,

__ <71 + (7 2 _ (71 — <72

2 ' <! ~ 2-' ~ >'гол М0ЖЛУ первым главным напряжением и

осью г; в условие (22) позволяет определить третье главное значение а^. - при о^- р = ч (ст. = а{)

1

1, 1

= + 0г) + ~hE(з - 21Е) [2 cos Ф + 1]

Индекс «I» ссютиетствует решению (23). «II» ]к:шенин) (24).

Рисунок 9 - Графическое сравнение условий (25)—(27) с условием Треска (15) на девиаторной плоскости

- при <7р - Р = —9 = °2)

^ = \(ат + аг) - |Ая(3 - 21Е) [2со8Ф - 1] ,

которое очевидно связано с решениями (23) и (24), что позволяет выбрать значения а*. сравнимые с условием Треска.

При плоском напряжённом состоянии (а3 = 0) условие пластичности определяется выражением

(2<71 - <Т2)(2СТ2 - агК-сп - о2) + -Лв(3 - 21Е) [<г? - ахаг + =

(28)

= ^[(3-2/Б)3-27].

Условие текучести при растяжении и кручении (ах - и, тху = т) определяется линией

*(2а2 + От2) + |М3 - 21Е)(а2 + Зт2) = ^ [(3 - 2/£)3 - 27] . (29)

На рисунке 10 представлены кривые текучести в плоскости относительных напряжений ( —, — ) для плоского напряжённого состояния и в плоскости ( —, — )

для растяжения и кручения. Очевидно, что при <5 0 линии (28) и (29) приближаются к эллипсам, характеризующим условие Мизеса в указанных деформационных состояниях.

Компоненты тензора скорости деформации су определены согласно ассоциированному закону пластического течения

(2) для всех рассмотренных деформационных состояний.

В работе показано, что характер гиперболичности системы уравнений для напряжений, состоящей из дифференциальных уравнений равновесия и нового

а,

.—--^---

( ( « \V 05 i1

(б)

Рисунок 10 Кривые текучести при плоском напряжённом состоянии (а), при растяжении и кручений (б): условие Мизеса - штриховая линия, условие Треска - шрихпунктпрпая линия, условия (28) и (2.0) сплошная линия

условия пластичности, сохраняется; структура системы совпадает с соответствующими структурами систем дифференциальных уравнении при условии Мизеса в плоской деформации и при условии Треска в осеснммстричной деформации при условии полной пластичности.

В четвёртом разделе получено энергетическое условие развития пластического течения и рассмотрены его особенности при различных деформационных состояниях. Подстановка в формулу (3) главных значений тензора скорости деформации (19) приводит к следующему виду энергетического условия в инвариантах девнатора напряжения:

27/Яд , + 3/z£(3 - 2Ie)IId, = hvp,

Л

или в главных значениях тензора напряжения:

(2ег! - <т2 - оз)(2ст2 - сгг - <т1)(2сгз - ст; - ,т2)+

+\hE{3 - 21Е) [fo - а2)2 + (а2 - ст3)2 + (а3 - сц)2] = {Щ

А

При одноосном растяжении цилиндрического образца, когда ах = as, o2 = (j¿ = 0, условие (30) преобразуется к виду

6(1+ d)3 _ Wj ¿(ó2 + 3¿ + 3) ~~ Л'

(31)

где скалярный множитель А' должен определяться в каждой точке пути деформирования условием пластичности или упрочнения. В следующей главе получена связь величины \Ур с параметром упрочнения, которая при условии (31) позволяет определить скалярный множитель А' в виде конечного соотношения при одноосном растяжении цилиндрического образца,

В работе показано, что при условии плоской деформации энергетическое условие (30) с точностью до множителя совпадает с самим условием пластично-

сти (21), как и при осесиммстричиоП деформации при условии полной пластичности. В частности, при плоской деформации получена пропорциональность множителя Л' и удельной мощности диссипации работы внутренних сил на пластических деформациях Цгр:

А'

2/\ (<5)о"!

Энергетическое условие предлагается использовать в качестве дополнительного а системе определяющих соотношений теории упрочняющегося несжимаемого жёсткоиластического тела.

В четвёртой главе предложен подход к описанию предельных состояний пластических тел в пространстве главных напряжений, при котором вместе с поверхностью нагружения, связанной с линиями уровня поверхности Е деформационных состояний упрочняющегося несжимаемого жёсткоиластического тела, учитывается эффект Баушпнгера и конечность деформаций материала. Под предельным состоянием в работе понимается состояние исчерпания материалом его пластических свойств (предельное упрочнение).

В первом разделе рассматривается деформационно-энергетический подход к описанию процесса доведения материала до предельного состояния, позволяющий обобщить соотношения малоцикловой усталости на произвольные пространственные процессы деформирования, включая повторно статические нагружения с произвольной формой цикла. Выбор удельной диссипации энерпш в качестве критериальной величины подтверждается многочисленными опытами на малоцикловую усталость, основным экспериментальным соотношением которой является формула Коффина-Мэнсона:

ерЫт = М, (32)

где гр ширина петли гистерезиса; Дг число циклов; т, М константы материала. Согласно энергетической трактовке формулы (32), данной С. Фелтнером, Дж. Морроу и Д. Мартином, мерой повреждения материала является суммарная энергия, рассеиваемая в единице объёма материала, вследствие наличия необратимых пластических деформаций, связанных с упрочнением материала. Материал достигает предельного состояния, когда накапливаемая энергия достигает критической величины:

= 1УС, (33)

Л"= 1

где Л'р-число циклов до разрушения: И'д- -энергия, рассеиваемая в единице объёма материала при ЛГ-ом цикле; IV, - критическая величина энергии, равная энергии разрушения при статическом разрыве. При нелинейном законе упрочнения формула (32) принимает общий вид:

АерМ'п = Л/(И',„). (34)

где IV,, - диссипация энергия, необходимая для доведения материала до предельного состояния. Учитывая, что разрушение материала после определённого числа

циклов связано с накоплениями деформаций и исчерпанием пластичности (с предельным деформационным упрочнением), предлагается связать предельное состояние материала с его предельным упрочнением и с соответствующим ему положением поверхности нагруження. Соотношение (33) не содержит упругих констант и, следовательно, при расчёте можно ограничиться рассмотрением упрочняющегося жёеткопластического тела. Связь между поверхностью нагруження и предельным состоянием материала определяется гипотезой, высказанной С. В. Се-ренсеном: предельным состоянием материала считается состояние исчерпания его пластических свойств, то есть состояние предельного упрочнения. В работе предполагается, что при определённом уровне деформирования условие пластичности определяется формой линии уровня, размер которой соответствует диаграмме нагруження для конкретного материала.

Связь между поверхностями деформационных состояний (7) и пагружения (10) предлагается определять на основе гипотезы единой кривой в виде зависимости ст5(|/е|) текущего значения предела текучести материала от параметра упрочнения, в качестве которого выбран модуль первого инварианта 1Е тензора "конечных деформаций Альманеи, характеризующий уровень деформаций относительно поверхности деформационных состоянии несжимаемого жссткопластнческого тела. Построение поверхности нагруження для конкретных материалов предлагается связывать с описанием процессов одноосного деформирования плоских и цилиндрических образцов с использованием первого инварианта тензора конечных деформаций, определяемого через относительное удлинение образца 6 при растяжении: при плоской деформации согласно соотношениям (4), при осесим-метричной деформации — соотношениям (5).

Во втором разделе показано, что поведение предложенной в работе поверхности нагруження при упрочнении отличается от традиционных (изотропного и трансляционного). Согласно (10) закон упрочнения определяется в виде

6/7/д, + Л£(3 - 21Е)П^ = Р(\1Е\). (35)

где Г -возрастающая функция параметра \1Е\. Показано, что с ростом пластических деформаций поверхность расширяется, однако характер упрочнения является неравномерным, что объясняется различием пределов текучести материала при растяжении и сжатии, учитываемого в предложенном условии пластичности.

Определена связь удельной мощности диссипации работы внутренних сил IV и выбранного параметра упрочнения |/£|: Р

где Шр = стге, > 0 - диссипативная функция (3); 1Е < 0, < 0, кЕ > 0. Из (36)

следует, что если параметр |/£| не изменяется, то диссипация энергии равна нулю, то есть нагруженне вдоль линии уровня поверхности деформационных состояний не должно приводить к пластическим деформациям. Используя величину коэффициента пропорциональности 1гЕ(6) согласно (12) условие (36) принимает

следующий вид

-ЫУ {1 + 6)2 (37)

51>5{52 + 35 + 3) М р

В качестве монотонного возрастающего параметра I, характеризующего развитие

пластического течения, может быть принята величина относительного удлинения

<5 цилиндрического образца при одноосном растяжении. Тогда согласно (И), (31)

и (37) получаем конечное соотношение для определения скалярного множителя:

, . 1 сИЕ{6) 1 ¿(¿2 + 3<? + 3)

Л(й)_-б4(й-)(1 + й") М ~ о%(6) 6(1 + 6У '

связывающего компоненты тензора скорости деформации с компонентами тензора напряжения согласно ассоциированному закону пластического течения (2) при

условии пластичности (13).

В третьем разделе предложен метод определения повреждаемости материала в поверхностном слое при технологической обработке на примере задачи о выглаживании жёсткопластической полуплоскости острым клином в условиях плоской деформации, рисунок И. Повреждаемость характеризуется критическим значением удельной работы внутренних сил на пластических деформациях, связанных с упрочнением материала. Деформации в поверхностном слое при обработке выглаживанием предлагается рассматривать как однократное циклическое нагру-женис при N = 0, 5 и экспериментально определяемом Ас,, из технологического процесса, что позволяет использовать формулу (34) в виде

ДерМт = М(\У„), XV.. = \Уе - И^, (38)

где IV.. - работа внутренних сил, характеризующая зарождение макротрещины в исходном материале; IV'1 работа внутренних сил в поверхностном слое на пластических деформациях, связанных с его упрочнением; И^ - суммарная работа внутренних сил (33), необходимая для разрушения в повреждённом материале.

Рисунок 11 — Пластическое течение при выглаживании жёсткопластической полуплоскости

острым клином

Получены распределения диссипации энергии в пластической области и деформации вдоль траектории движения частиц, состоящей из семи участков. Показано, что в окрестности точки Е однородность деформирования пропадает и существенно зависит от величины нормальной скорости частиц, которая при о = 0

равна нулю. Это приводит к возрастанию деформации до критического значения Е1 - 0, 5 и к неограниченному возрастанию удельной работы внутренних сил. что. в свою очередь, приводит к нарушению сплошности материала (к разрушению) то есть указывает на возможность зарождения макротрещнн в подповерхностном слое толщиной а!

Процессы деформирования на активных участках 2, 4 и 6 трактуются как полуциклы жесткого деформирования в интервале начальных л конечных деформаций соответствующего этапа. Откуда следует, что в повреждении материала участвует не вся рассеянная энергия, а только её часть XVк, связанная с упрочнением. Очевидно, что рассеиваемая работа внутренних сил при однократном выглаживании вызывает повреждение и снижает способность материала упрочняться. Согласно (38) это приводит к уменьшению величины IV,, на величину \¥н что соответствует уменьшению ресурса упрочнения материма. Согласно предложенной на рисунке 12 схеме значения IV.. и определяются по конечным деформациям частицы после пересечения ею пластической области:

- на рисунке 12,(а) показаны изменения параметра упрочнения \1Е\ на активных участках 2, 4 и 6 траектории движения частиц в зависимости от угла ц раствора выглаживающего клина; значения параметра упрочнения определяются по вычисленным аналитически главным значениям тензора конечных деформаций Альмапси:

\1Е\ = \Е1+Е2\:

- на рисунке 12,(6) представлена зависимость параметра упрочпеиня |/в| от относительного удлинения образца определяемого из эксперимента на одноос-

\ \©

ч

\ 5)

(6)

89 ^

5 ю 0 1 5 и 2 0 25

О" ! г (В)

// 1

/ / / /

ы, 1 -

л. 1 |-

5=0,257

Рисунок 12 Схема определения части работы внутренних сил. характеризующей поврежденность материала и процесса выглаживания (на примере стали ЭК79)

ное растяжение цилиндрического образца, которая согласно (4) принимает вид

ö2(2 + <5)2.

|/s| = | Ei + Е21 =

2(1+ (5)2

- на рисунке 12.(в) показана диаграмма растяжения а - S стали ЭК79; значения диссипации энергии И',, и Wh определяются заштрихованными площадями фигуры, ограниченной кривой диаграммы растяжения и условным пределом текучести сг0 2 Д-'1Я выбранного материала.

В представленном на схеме случае угол клина принят равным // = 89° и отношение площадей ^ и 5,6. Это означает, что ресурс материала в поверхностном

слое при однократном выглаживании исчерпан на 17,9%.

Пятая глава посвящена описанию процесса распространения трещины в упругопластическом материале. Рассматривается схема пластического течения дпя трещины отрыва, аналогично предложенной в работе Дж. Райса для математического выреза10, где в качестве меры деформации используется «техническая» деформация сдвига (тензор малых деформаций) и при интегрировании тензора скорости деформации не учитывается изменение конфигурации частиц в окрестности вершины трещины.

В первом разделе предложена модель установившего пластического течения в окрестности вершины распространяющейся трещины при условии, что материал почти достиг предельного состояния, что является основанием применения модели идеального жёсткопластического тела для описания процесса распространения трещины. Окрестность вершины трещины представлена составной, рисунок 13: внешняя часть является упругопластнческой, где напряжённо-деформированное состояние может быть определено известными численными методами; внутренняя область, ограниченная контуром ACDBEFGA, является жёсткоштастической, что позволяет определять поля деформации и диссипации энергии аналитически.

Предложенная модель учитывает изменение конфигурации частиц материала в пластической области, и при переходе к предельной траектории движения частиц позволяет исключить из рассмотрения особенность поля диссипации энергии типа 1/г в окрестности вершины трещины. Гипотеза об установившемся пластическом течении позволяет не учитывать вращение свободных поверхностей границы трещины, и предполагает сохранение угла раскрытия трещины для образующихся при её распространении элементов свободной поверхности.

Получены распределения деформации и удельной диссипации энергии в пластической области вдоль траектории движения частиц, состоящей из двух участков (рисунок 14): прямолинейного Li в однородном поле деформирования (область ЕАВ) и криволинейного ¿2 в веере характеристик EAF (BAD). Причём необходимо рассматривать траектории в нижней и верхней частях пластической области. Предполагается, что две бесконечно близкие частицы расходятся на конечное расстояние с течением времени (см. рисунок 5,(в)), то есть разрушается не область, а совокупность частиц в окрестности вершины трещины. Общая энергия,

ш Райс д. Математические методы в механике разрушения // Разрушение. Т. 2. Математические основы теории разрушения / Под ред. Г. Либовнца. Москва: Мир, 19,5. С. 204-335.

Рисунок 13 - Схема пластического течения в Рисунок 14 - Напряжённо-

окрестностм вершины трещины деформированное состояние и

траектории движения частиц в окрестности вершины трещины

необходимая для доведения материала до предельного состояния и дальнейшего распространения трещины, определяется выражением

<л>

При этом первое слагаемое естественно отнести к первому этапу разрушения (зарождение трещины). Второе (удвоенное) слагаемое определяет, сколько энергии необходимо для образований верхней и нижней частей свободной поверхности Отмечено, что именно рассматриваемая в работе предельная траектория движения частиц, состоящая из отрезка О А и бесконечно малой дуги в окрестности точки А (рисунок 14), позволяет получить распределение диссипации энергии и деформаций в окрестности вершины трещины аналитически.

На основе закона сохранения энергии определён пластический интеграл, зна-которого в предельном случае (при рассмотрении предельной траектории):

ченне

_ 4х/2к - с[\ ^ •>р--

771

дь' \ ) & +и(4°)

стремится к значению традиционного инвариантного ./-интеграла:

3р ~ (41)

При этом рассеянно работы внутренних сил в конечной жёсткопластической области не учитывается (то есть не учитывается неинварнантность ./-интеграта в жссткопластической области). Соотношение (40) верно для малых пластических областей. Если эта область достаточно велика и трещина распространяется с постоянной скоростью тп, предлагается использовать интеграл по всей жёсткопластической области и (без стягивания жёсткопластического контура в точку Л)

и считать, что

3Уа , . 2\/2й1

2 к

<А)

Знак приближённого равенства предполагает наличие «невязки» по касательной скорости [Ут] на унругонластической границе и неучёт потенциальной упругой

энергии в области II.

Используя известную зависимость значения ./-интеграла с раскрытием трещины 6к Для тонкой пластины из идеалыюпластического материала:

3 = СТя^к,

выполняемую при условии пластичности Трсска, где = 2к ' предел текучести при растяжении; в работе определена связь пластического интеграла с 4-моделыо разрушения в случае предельной траектории движения частиц в пластической области, когда справедливо (41), и для малых углов раскрытия трещины т], из которой следует связь ¿«..-модели разрушения с углом раскрытия трещины г? в предлагаемом в работе подходе:

Далее в работе выражение (40) предлагается использовать для определения критического значения диссипации энергии которую необходимо добавить в материал для распространения трещины, по критическому значению ./-интеграла ./*, определяемого из эксперимента. Согласно (39) и (40) соотношение между этими критическими величинами определяется выражением

Г (--\-u\dip

31 _ 2у/2¿1 Vду )

И7, ~ тп ^ (ди \ Л-р:

« /<Эн \difi

которое справедливо для плоских и цилиндрических образцов для случая, когда при одноосном растяжении отсутствует чётко выраженная «шейка»; и аналогично (40) имеет место для малых пластических областей. Для пластической области конечных размеров и при постоянной скорости распространения трещины соотношение между критическим значениями диссипации энергии и ./-интеграла должно определяться согласно (39) и (42) выражением

...

V

^ /ди \ с!^

■гт'иНт

которое может быть использовано для определения характерного размера пластической области а = О А, необходимого для доведения материма до предельного

состояния при движении частицы вдоль предельной траектории с последующим ее разрушением в верхнем и нижнем веерах линий скольжения при установившемся режиме распространения трещины.

Отмечено, что описание процесса образования двух новых свободных поверхностей при разрушении возможно при наличии в пластической области двойной особой точки поля скоростей перемещений (в представленной па рисунке 13 схеме - в виде совпадения двух центров вееров линий скольжения в вершине трещины). Это условие обеспечивает расхождение на конечное расстояние двух бесконечно близких частиц перед вершиной трещины, которые деформируются но двум предельным траекториям в окрестности центров вееров линий скольжения

Во втором раздые предложена модель неустановившегося пластического течения, позволяющая описать процесс затупления углового выреза, при несимметричном пластическом течении (рисунок 15), когда частицы перемещаются с одной стороны выреза на другую, рисунок 16. При этом нарушения сплошности материала (разрушения) не происходит. В отличие от течения с разрушением (рисунок 13) частица материала пересекает пластическую область «справа-палево» (при нахождении в пластическом состоянии верхней полуплоскости): первоначально частица деформируется в веере ЕАГ и далее испытывает дополнительные пластические деформации на линии разрыва АЕ ноля скоростей перемещений. Данное замечание учитывается при определении распределения деформации и диссипации энергии в пластической области.

ч • •

Рисунок 15 — Схема пластического течения в окрестности верщнны К-образного выреза без разрушения

Рисунок 1С — Движение частиц в окрестности вершины выреза без разрушения

В заключении к работе отмечено, что предложенный подход позволяет описать процесс разрушения как совокупность процессов достижения материмом предельного состояния и распространения трещины с единых позиций, даёт новые методы расчета модельных и прикладных задач теории пластического течения н механики разрушения.

Основные результаты работы определяются следующими положениями: 1. Сформулированы задачи, моделирующие процессы деформирования и разрушения материма в рамках теории пластического течения. Под разрушением понимается нарушение сплошности среды (нарушение непрерывности отображения

конфигурации материальных частиц); при непрерывном пластическом течении две бесконечно близкие частицы всегда остаются бесконечно близкими.

2 Показано, что в теории пластического течения заложена модель разрушения, учитывающая изменение тензоров конечных деформаций в окрестности

особенностей поля скоростей перемещений.

3 Сформулированы критерии разрушения материма при пластическом течении При этом'процесс разрушения необходимо рассматривается как совокупность процессов доведения материала до предельного состояния (зарождение макротре-щипы) и распространения макротрещины, что следует из экспериментального наблюдения процессов разрушения образцов.

4 Определена единая критериальная величина достижения материалом предельного состояния и условия распространения трещины. В качестве критериальной величины принята удельная работа внутренних сил.

5. Сформулирован подход к описанию предельных состояний упрочняющегося несжимаемого жссткопластпчсского тела. Подход основан на гипотезе С. В. Се-ренсена об исчерпании пластичности материала, из которого следует, что пре-т,счьное состояние связано с предельным упрочнением материала или предельным усювием пластичности. Предложенное условие пластичности связывается со взаимным расположением сечсннй поверхности деформационных состояний несжимаемого жёсткопластнческого тела и поверхностью пагруження.

6 Установлена связь новой критериальной величины с традиционными критериями механики разрушения (инвариантный ./-интеграл, ^-модель разрушения).

7. Сформулированы задачи приложения рассматриваемого подхода к вопросам технологической и эксплуатационной наследственности и её влияния на тре-

щнностойкость элементов конструкций.

Рекомендации и перспективы дальнейшей разработки темы. Полученные на основе теории пластического течения результаты существенно расширяют область приложения механики разрушения. В дальнейшем развитии темы резупьтаты работы определяют направления, связанные с описанием момента зарождения трещины в упругопластических материалах; исследованием областей локализации пластических деформаций, являющихся, как правило, источником развития трещин, но представляющих в настоящее время дискуссионный характер- исследованием влияния технологических процессов и эксплуатационной на-счедственностн на приближение материала к предельному состоянию, связанных с различными деформационными процессами (механическая обработка деталей конструкций, повреждение материма при различных ударных воздействиях при

эксплуатации и другие).

Перспективным представляется использование аналитических результатов при реализации численных расчётов для различных деформационных процессов, связанных с пластическим деформированием. В частности, внедрение предложенного подхода в пакеты программ численного расчёта тина МБС.Магс, А^УЬ.

Публикации по теме диссертации

в рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Буханько А. А., Хромов А. И. Поля деформаций пр„ внедрении клинообразных и плоских штампов // Дальневосточный математический журнал 2002 Т. 3, № 2. С. 311-319.

2. Хромов А. И, Буханько А. А., Степанов С. Л. Концентраторы деформаций // Доклады Академии наук. 2000. Т. 407, № 6. С. 777-781.

3. Хромов А. И., Буханько А. А., Козлова О. В., Степанов С. Л. Пластические константы разрушения // Прикладная механика и техническая физика 2006 Т. 47, № 2. С. 147-155.

4. Буханько А. А., Лошманов А. Ю., Хромов А. И. Расчёт полей деформаций в задачах обработки материалов давлением при наличии особенностей поля скоростей перемещений // Кузнечно-штамповочное производство. Обработка материалов давлением. 2000. № 9. С. 22-27.

5. Хромов А. И., Буханько А. А., Лошманов А. Ю. Течение жёсткопластического материала по каналу постоянной высоты с круговым изгибом и угловой точкой // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. 2006. № 1(48). С. 147-150.

6. Буханько А. А., Степанов С. Л., Хромов А. И. Растяжения полосы с У-образ-ными вырезами и разрушение пластических тел // Известия Российской академии наук. Механика твёрдого тела. 2007. Х» 3. С. 177-186.

7. Хромов А. И., Буханько А. А., Патлииа О. В., Кочеров Е. П. Растяжение полосы с симметричными угловыми вырезали! // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические гауки 2008. № 1(16). С. 53-58. '

8. Буханько А. А., Григорьева А. Л., Кочеров Е. П., Хромов А. И. Деформационно-энергетический критерий разрушения жёсткопластичсских тел // Известия Российской академии наук. Механика твёрдого тела, 2009. № 6. С. 178-186.

9. Буханько А. А., Кочеров Е. П., Самойлов В. А. Адиабатическое распределение диссипации энергии в окрестности центра веера характеристик // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Фнзико-мате-матические науки. 2009. № 2(19). С. 252 256.

10. Кочеров Е. П., Буханько А. А.. Хромов А. И. Деформационно-энергетический подход и малоцикловая усталость материалов // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. академика С. П. Королёва (национального исследовательского университета). 2011. Лг« 3-1. С 23-27

11. Хромов А. И., Буханько А. А., Кочеров Е. П. Деформационно-энергетический подход к описанию процессов разрушения пластических тел /,/ Вестник Нижегородского университета им. И. II. Лобачевского. 2011. №4(4) С 1839 1840

12. Буханько А. А., Хромов А. И. Пластическое течение в вершине трещины' деформации и энергетический критерий разрушения // Доклады Академии паук. 2012. Т. 442, № 3. С. 333-336.

13. Буханько А. А., Хромов А. II. Пластическое течение в окрестности вершины

трещины. Энергетический критерий разрушения и его связь с J-ннтсгралом // Прикладная механика и техническая физика. 2012. Т. 53, ЛГо 6. С. 112 120.

14. Буханько А. А., Кочеров Е. П., Ончшпшкова С. А. Методика оценки влияния поверхностной обработки на малоцнкловую усталость материала // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. академика С. П. Королёва (национального исследовательского университета). 2012. № 5(36). С. 92-96.

15 Буханько А. А. Условие пластичности, связанное с линиями уровня поверхности деформационных состояний, и особенности его приложения в теории идеальной пластичности // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-матсматнческие науки. 2013. У 1(30). С. 199-206.

16. Буханько А. А. Условие пластичности, связанное с линиями уровня поверхности деформационных состояний, для различных процессов деформирования // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 2013. № 9-2(110). С. 43-54.

17 Хромов А. И., Буханько А. А., Овчинникова С. А. Предельное состояние и малоцикловая усталость пластических материалов // Дальневосточный математический журнал. 2013. Т. 13, № 1. С. 148-158.

18 Буханько А. А.. Лошманов А. Ю., Хромов А. И. Предельные состояния пластических тел // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2013. № 3(17). С. 94-102.

в других научных изданиях

19 Хромов А. И., Буханько А. А., Степанов С. Л. Концентраторы деформаций и разрушение пластических тел // Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород: Сборник статей к 75-летию Е. И. Шемякина. Москва:

Физматлит, 2006. С. 809-819.

20 Khromov А. I., Buklianko A. A., Stepanov S. L., Koclierov E. P. Concentrators of deformations and fracture of plastic bodies // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2008. Vol. 215, no. 2. P. 457 466.

21 Khromov A. I., Bukhanko A. A, Kocherov E. P., Fedorchenko D. G. Deformation and Fracture of Plastic Bodies in a Neighborhood of Strain Concentrators // Assessment of Reliability of Materials and Structures: Problems and Solutions: Proceedings of the Intern. Conference. SPb.: Polytechnic University Publishing, 2008. P. 162-165.

22 Khromov A I., Bukhanko A. A. Strain-Energy Criteria and Fracture ot Plastic Bodies in a Neighborhood of Strain Concentrators // XXII International Congress of Theoretical and Applied Mechanics. Abstract Book. 2008. P. 245.

23. Буханько А. А., Кочеров E. П., Хромов А. И. Разрушение пластических тел // Сборник трудов международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики», посвящёнпой 80-летию Д. Д. Ивлева, Воронеж: Издатсльско-полиграфический центр ВГУ, 2010. С. 80 -84.

24. Буханько А. А., Кочеров Е. П.. Хромов А. И. Деформационно-энергетический подход к оценке прочности элементов конструкций // Труды международной конференции «Живучесть и конструкционное материаловедение» Т 1 Москва: ИМАШ РАН, 2012. С. 46 55.

25. Буханько А. А., Лошманов А. Ю„ Хромов А. И. Предельные состояния пластических тел // Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемого твердого тела, математического моделирования и информационных технологий: сб. ст. по мат-лам междуп. научп.-практ. конф.: в 2 ч. Ч. 1. Механика деформируемого твердого тела. Чебоксары: Чуваш, гос. нед. ун-т, 2013. С. 37—42. 5

2G. Буханько А. А., Лошманов А. Ю., Хромов А. И. Обобщение теорий пластического течения и малоцпкловой усталости на механику разрушения // Труды VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела: в 2 т. Т. 1. Ростов-на-Дону Изд-во ЮФУ 2013. С. 115 119. '

27. Буханько А. А., Хромов А. И. Энергетическое условие развития пластического течения, связанное с линиями уровня поверхности деформационных состояний // Материалы VIII Всероссийской конференции по механике деформируемого твердого тела. Чебоксары: Чуваш, гос. под. ун-т. 2014 С 68 71

28. Btikhanko A. A., Loshmanov A. Y., Khromov A. I. Limiting states of plastic materials // Proceedings of the International Conference on Numerical Analysis and Applied Mathematics 2014 (ICXAAM-2014), 22-28 September 2014 Rhodes Greece. Vol. 1648. American Institute of Physics, 2015.

Автореферат разрешён к печати диссертационным советом Д 212.300.02 при ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева» 08.0G.2015 г.

Подписано в печать 09.0G.2015 г. Формат 60x84/16. Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. псч. л. 2,25. Тираж 150 экз. Заказ Л"® 2331

Отпечатано в отделе полиграфии ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева» 428000, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, д. 38