Деформация и разрушение жесткопластических тел в условиях осесимметричной деформации тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

КОЗЛОВА Ольга Викторовна

ДЕФОРМАЦИЯ И РАЗРУШЕНИЕ ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ В УСЛОВИЯХ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток 2003

Работа выполнена в Институте машиноведения и металлургии ДВО РАН

Научный руководитель: Хромов Александр Игоревич, ^

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: Буренин Анатолий Александрович, с

доктор физико-математических наук, профессор Ярушина Виктория Михайловна, \

кандидат физико-математических наук, доцент

Ведущая организация: Самарский государственный университет

Защита состоится _ 2003 года в /Р ^ часов на заседании

диссертационного совета Д 005.007.02 в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН по адресу: 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 5, ауд. 510.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института автоматики и процессов управления ДВО РАН.

Автореферат разослан СтгАбЪЛ 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

М. А. Гузев

2оо 5 "/)

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Проблема описания процессов разрушения материалов в технологических процессах обработки материалов давлением, резанием, описание процессов разрушения элементов конструкций является одной из актуальных задач механики деформируемого твердого тела.

Существует множество моделей, на базе которых описывается процесс разрушения. Каждая из этих моделей имеет свою область применения и необходима для понимания процессов разрушения. Несмотря на их значительное разнообразие одна из моделей деформированных сред оставалась до настоящего времени недостаточно разработанной с точки зрения теории разрушения - это модель идеального жесткопластического тела, в рамках которой не была построена замкнутая теория разрушения.

Исследование по вопросам пластического деформирования и разрушения в рамках идеального жесткопластического тела проводилось многими учеными, такими как Дж. Бишоп, Г. И. Быковцев, X. Гейрингер, Г. Генки, Б. А. Друянов, Д. Д. Ивлев, А. Ю. Ишлинский, К. Каратеодори, Л. М. Качанов, Е. Ли, Г. Липпман, Ф. А. Макклинток, С. Г. Михлин, В. П. Мясников, В. Прагер, Л. Прандтль, Дж. Р. Райе, Б. Сен-Венан, В. В. Соколовский, Р. Хилл, Р. Т. Шилд и др.

Особый интерес здесь представляют процессы локализации пластических деформаций, теоретическое представление которых возможно благодаря описанию движения особенностей поля линий скольжения в пластической области. Описание движения этих особенностей тесно связано с описанием пластического течения с учетом изменения геометрии тела. Построение теории деформирования и разрушения идеального жесткопластического тепа с учетом изменения геометрии при значительных пластических деформациях является актуальным. Данная задача важна в частности для описания процессов деформирования и разрушения цилиндрических тел в условиях осесимметричной деформации при одноосном растяжении, так как одним из основных экспериментов по определению механических констант является эксперимент по одноосному растяжению цилиндрических образцов. На основе этих экспериментально полученных механических констант могут быть определены константы разрушения связанные с инвариантными характеристиками процесса деформирования.

Цель работы. В рамках теории идеального жесткопластического тела исследовать поля деформаций, полученных материалом в процессе осесимметричного деформирования и описать процесс разрушения цилиндрических образцов при одноосном растяжении с учетом изменения геометрии образца. Сформулировать

го*,. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

подход и определить константы разрушения в виде инвариантных характеристик на основе стандартных механических испытаний в условиях осесимметричной деформации, которые могут быть использованы в теоретических расчетах.

Научная новизна результатов, полученных в диссертационной работе, заключается в следующем:

На основе теории идеального жесткопластического тела предложен подход к описанию процесса разрушения и определению констант разрушения на основе с

стандартных механических испытаний в условиях осесимметричной деформации.

Достоверность полученных результатов базируется на корректном }

использовании модели идеального жесткопластического тела.

Применение и практическая иенность работы. Предложенная в работе математическая модель деформации и разрушения применима для описания поведения конструкционных материалов, обладающих свойством пластичности. Полученные константы разрушения для различных материалов могут быть непосредственно применены при расчете технологических процессов с материалами по механическим свойствам близким к идеальному жесткопластическому телу. Взаимосвязь между известными экспериментально определяемыми механическими характеристиками и тензорными характеристиками деформаций позволяет использовать экспериментальные данные в теоретических расчетах.

Апробаиия. Результаты работы докладывались и обсуждались на международной научной конференции «Самоорганизующиеся процессы в системах и технологиях» (г.Комсомольск-на-Амуре, 2000г.), одиннадцатой межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г.Самара, 2001г.), втором всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (летняя {

сессия, г.Самара, 2001 г), всероссийской математической школе-семинаре им. академика Е. В. Золотова (г. Владивосток, 2002 г.), международном форуме по проблемам науки, техники и образования (г.Москва, 2002г.), третьем всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия, г.Ростов-на-Дону, осенняя сессия, г.Сочи, 2002г.), на 13-ой Зимней школе по механике сплошных сред (г.Пермь, 2003г.).

Публикации по работе По теме диссертации опубликовано 14 работ.

У** а

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы - 92 страницы, в том числе 21 рисунок и 2 таблицы, включенные в текст.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткий обзор литературы, посвященной проблеме деформирования и разрушения идеальных жесткопластических тел. Дается обоснование актуальности темы и практической значимости работы, определяется цель работы. Кратко изложено содержание диссертационной работы по главам.

В первой главе рассматриваются общие вопросы теории идеального жесткопластического тела.

В первом параграфе приводятся основные уравнения теории осесимметричного течения.

Во втором параграфе приводится вывод кинематических и геометрических условий совместности для производных непрерывных функций на поверхностях разрыва производных.

В третьем параграфе показано, что вдоль поверхности разрыва скоростей перемещений реализуется плоская деформация.

В четвертом параграфе рассматриваются критерии выбора предпочтительного решения.

В качестве меры деформации выбран тензор конечных деформаций Альманси:

Е -I • 2

'& дХк ЗХ„4 » ах, Зх,,

(1)

где X,, х, - соответственно Лагранжевы и Эйлеровы координаты частиц.

В качестве критерия выбора предпочтительного решения приводится следующее утверждение: пластическое течение развивается таким образом, что максимальная деформация (алгебраически наибольшее главное значение тензора Альманси Е|) минимальна:

¡пГзирЕ,, (2)

<т п

где П - возможные пластические области для полных решений задачи, <Ю -возможные изменения пластической области при пластическом течении в данный момент времени. В рассмотренных ниже задачах с)П характеризуется направлением

движения точки пересечения жесткопластических границ являющихся линиями разрыва скоростей перемещений.

Вместо критерия (2) можно использовать энергетический критерий выбора предпочтительного решения: пластическое течение развивается таким образом, что максимальная удельная диссипация энергии в пластической области минимальна:

¡пГвир^. (3)

да п

Критерий (2) и (3) эквивалентны.

В пятом параграфе приведена краткая характеристика полного решения в рамках теории жесткопластических тел.

В шестом параграфе описан деформационный критерий разрушения.

Предполагается, что разрушение жесткопластического материала в вершине трещины происходит, если первое алгебраически наибольшее главное значение тензора Альманси Е, достигает предельной величины Е :

Е, > Е*. (4)

Предполагается, что при осесимметричиой деформации направление развития трещины будет ортогонально оси симметрии.

В седьмом параграфе приводится вывод системы дифференциальных уравнений, описывающей процесс накопления пластических деформаций.

Вдоль траектории движения частицы процесс накопления пластических деформаций в условиях осесимметричиой деформации описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

с11 I " 8т ,г дг ) дг

<И г '

<11 { " дг "дг)дг (К " дг 'Ч Рг дг ) " дг

(5)

21 дг. дг У

с! д д „

где — = — + — V - материальная производная; г, г - радиальная и осевая координаты, А й 5х,

V, - скорость перемещения частиц материала.

Система (5) может быть преобразована путем замены переменных: Е„ =е + §со$29, Егг = е-всо529, ЕГ2 = з$т29, Е„ =е + усоз2ч/, Е^ = Е-усоз2у, ЕГ2=у51п2ч/,

где 6„=-

^д\1 Эх,

- тензор скоростей деформаций, величины е, g и е, у

определяют соответственно главные значения тензора Альманси Еч и тензора скоростей деформаций ец в плоскости переменных г, г; 9 - угол наклона первого главного направления тензора Е,, к оси г, V}/ - угол наклона первого главного направления тензора скоростей деформаций е^ к оси 2.

Учитывая условие несжимаемости жесткопластического материала: д\, дУ, V, . дт дг г система (5) окончательно примет вид:

^ + 2у^е-^со52(0-¥)=8^, (7)

42Р_Уг

Л г '

Накопление деформаций при осесимметрической деформации полностью характеризуются двумя независимыми инвариантами. Это связано с условием несжимаемости (6) идеального жесткопластического тела.

Вторая глава посвящена деформированию полого цилиндра при одноосном растяжении. Деформация цилиндра при одноосном растяжении исследовалась Р. Т. Шилдом, при этом поле скоростей перемещений предполагалось непрерывным.

Первый параграф описывает одноосное растяжение полого цилиндра при разрывном поле скоростей перемещений.

Задача рассматривается при кинематических граничных условиях, когда верхний и нижний концы цилиндра движутся вдоль оси ъ со скоростью У=1, соответственно, вверх и вниз (рис.1). Предполагается, что пластическая область в начальный момент времени 1=0 заключена внутри треугольной области ОВС. В процессе деформирования свободная поверхность изменяет форму, и границы пластической области становятся криволинейными (рис.2).

Решение задачи сводится к интегрированию следующих уравнений:

да. .

¿г

Аг

— = -ОДф

вдоль а

вдоль р

Рис. 1.

с!а - 2кс1ф = вдоль а,

«1а + 2к<1ф = — (<1г-ёг) вдоль р, г

(8),

(9)

(10)

Уравнения (10) при заданных граничных условиях, позволяют численным методом, описать процесс изменения формы цилиндра вплоть до разделения его на две части. Изменение геометрии свободной поверхности строится путем смещения точек поверхности по полю скоростей перемещений в каждый отдельный момент времени.

Жесткопластические границы ОВ и ОС являются при этом поверхностями разрыва скоростей перемещений.

Удельная диссипация энергии определяется соотношением:

[V.]

Рис. 2.

С + У„

(И)

где [V,] - разрыв касательной составляющей скоростей перемещений, О - нормальная скорость движения поверхности разрыва, У„ - нормальная составляющая скоростей перемещений.

Удельная диссипация энергии на поверхности разрыва скоростей перемещений взаимно однозначно связана с инвариантами тензора конечных деформаций Альманси, в частности, с первым главным значением:

\У2

(12)

Из уравнений (10) можно получить соотношения для разрыва касательной составляющей скоростей перемещений на поверхности ОВ:

и пренебрегая скоростью в с точностью до 0.1%, получить величину удельной диссипации энергии на поверхности разрыва ОВ:

(13)

V Г СОБф

отсюда следует, что величина W принимает наибольшее значение на внутренней

поверхности цилиндра( г = р), при <р = —: = 2.

4

Отсюда, согласно (12) на внутренней поверхности цилиндра, в окрестности точки пересечения линий разрыва, достигаются максимальные деформации и величина: Е, = л/2 -1.

Во втором параграфе рассматривается проблема неединственности решения задачи об одноосном растяжении полого цилиндра.

Предположим, что пластическое течение полого цилиндра в начальный момент времени 1=0 состоит из двух треугольных пластических областей ОВС и ОВ'С, где поверхности СВ' и ВС' являются поверхностями разрыва скоростей перемещений (рис.3), а точки их пересечения находятся не на внутренней поверхности полого цилиндра, а внутри его.

Рис.3

Аналогично решению, рассмотренному выше, максимальная деформация также достигается в окрестности точки пересечения линий разрыва (точка О). Сравнение этих двух решений, решений представленных на рис.1 и на рис.3, показывает, что максимальная деформация в первом решении меньше чем максимальная деформация во втором решении, так как р < р'. Следовательно, выбор положения точки пересечения линий разрыва существенно влияет на величину деформаций в ее окрестности: чем дальше находиться точка О от внутренней поверхности цилиндра, тем деформации больше. На основании критерия выбора предпочтительного решения предпочтительным является решение, когда точка пересечения линий разрыва, находится на внутренней поверхности цилиндра. Таким образом, предпочтительным оказывается решение, описанное на рис.1.

Третья глава посвящена деформации сплошного цилиндра при одноосном растяжении.

В первом параграфе описывается одноосное растяжение сплошного цилиндра из жесткопластического материала при однородном поле скоростей перемещений.

Рассматривается цилиндрический образец из жесткопластического материала подвергнутый одноосному растяжению. Линии скольжения являются прямыми, наклоненными под углом л/4 к осям координат (рис.4). Предполагается, что весь образец находиться в однородном . напряженном состоянии:

о„ = 0,аи = 2к,а„=0,аГ1=0. Решение для непрерывного однородного поля - скоростей перемещений определяется из условия несжимаемости и условия изотропии при (р = л/4:

/\ /р\ /\

\/

Эи Э\у и „ — +—+- = 0, дг дг. г

Эи <Э\у Эг дг

(14)

0.

Рис.4

Решение системы (14) находится в виде и = ч(г), = тогда система уравнений (14) будет

иметь решение: V

№ = — г.

XI

И2

Удельная диссипация энергии для поля скоростей (15) будет равна: к Ь

Во втором параграфе описан процесс накопления пластических деформаций в однородном поле скоростей перемещений.

Процесс накопления деформаций связан с интегрированием системы уравнений

(7), при 6 = - постоянном в процессе всего деформирования. Учитывая, что

однородное поле скоростей перемещений при одноосном растяжении цилиндра имеет вид (15) и материал в начальный момент времени не был деформирован

е11=о=0'8и = 0' получим:

г 1 ё(2 + е)

+ g = E2=e-g = -Í£, E3=r2Ew = -iE,

2(l + ef 2 2

где s =--относительное удлинение образца.

h0

(17)

Рис. 5

На рис.5 показана зависимость первого главного (алгебраически наибольшего) значения тензора Альманси от относительного удлинения цилиндрического образца.

Третий параграф третьей главы описывает одноосное растяжение сплошного цилиндра при непрерывном неоднородном поле скоростей перемещений.

Решение уравнений (14) в виде

u = Ru(r)Zu(z), w = Rw(r)Zw(z) имеет следующий вид:

JÓ(Ar) ,, sinAz

u = -2i—iconst, w = V-,

JÓ(A) sin Ah

где J0(r) - функция Бесселя.

Удельная диссипация энергии равна:

(18)

W = = (19)

к sinAh

Сравнение решений однородного и неоднородного поля скоростей перемещений по максимальному значению удельной диссипации энергии показывает, что первое решение приводит к меньшим величинам максимальной диссипации энергии. Поэтому, согласно энергетическому критерию выбора предпочтительного решения, решение для однородного поля скоростей перемещений является предпочтительным.

В четвертом параграфе приводится решение задачи об одноосном растяжении сплошного цилиндра из жесткопластического материала с разрывным полем скоростей перемещений.

Решение задачи о растяжении цилиндра рассматривается как предельное решение задачи о растяжении полого цилиндра при стремлении радиуса внутреннего отверстия к нулю.

Наибольшие деформации получает материал, находящийся в плоскости симметрии пластического течения, которая ортогональна оси симметрии цилиндрической системы координат. В этой плоскости траекториями движения частиц являются прямые линии, совпадающие с осью г. Линии скольжения пересекают

Я гч

траекторию движения частицы под постоянным углом —. Эти траектории

4

соответствуют пути простого деформирования частиц материала, когда главные направления тензора скоростей деформаций сохраняют свое значение и совпадают с соответствующими главными значениями тензора конечных деформаций Альманси и всегда направлены по осям г и z. Поэтому, согласно введенному критерию разрушения, в дальнейшем рассматривается процесс накопления деформаций частицами, находящимися на оси г. Деформация этих частиц складывается из двух частей: деформаций накопленных в непрерывном поле скоростей перемещений, в этом случае имеет место соотношение: i

Е„ = Je„(r0,70,t)dt, (20)

о

и деформаций, получаемых частицей при переходе частицы через поверхность разрыва скоростей перемещений.

Для вычисления накопления деформаций, получаемых частицей на двух этапах деформирования, используется связь между тензором конечных деформаций Альманси

Гах.

(1) и дисторсией: А =

5х,

В пятом параграфе исследуется решение Шилда задачи об одноосном сжатии круглого цилиндра из жесткопластического материала.

Показано, что это решение приводит к большим величинам диссипации энергии по сравнению с решением, полученным при однородном поле скоростей перемещений, что соответствует большим деформациям материала.

Поэтому из всех рассмотренных решений на основе критерия предпочтительного решения (3) предпочтительным является решение с однородным полем скоростей перемещений.

Четвертая глава описывает разрушение цилиндрического образца при одноосном растяжении и определение констант разрушения.

В первом параграфе описана задача о растяжении цилиндра с разрушением, в качестве критерия разрушения выбран критерий (1).

Расчеты деформирования цилиндра с учетом разрушения и изменения геометрии показывают, что деформации частицы при пересечении поверхности разрыва скоростей перемещений значительно превышают (на порядок) деформации накопленные частицей во время ее нахождения во внутренних точках пластической области. Поэтому деформациями внутри пластической области можно пренебречь, что позволяет сформулировать упрощенный подход к описанию процесса разрушения, предполагая, что разрушение определяют только деформации на поверхности разрыва скоростей перемещений.

В этом случае интегрирование уравнений:

Рис. 7

<Ш-\Л'с1ф + и—- = 0 на а-линии, 2т

а\У + и<1ф + и

2г

= 0 на р - линии.

например, вдоль поверхности разрыва ОВ приводит к соотношению:

= (22)

где р - координата положения вершины трещины на оси г (рис.7).

Из (11) и (22) следует, что наибольшее значение Е, достигается в частицах пересекающих линии разрыва скоростей перемещений ближе к оси цилиндра и достигает максимального значения в вершине трещины. В частности для поверхности

разрыва ОВ, в вершине трещины г = р, <р = —:

4

V — IV

XV = , (23)

Скорость движения вершины трещины связана с величинами Ои Ш соотношениями: Ф ОЦ2.-1). (24)

<и 4г гуи )

Если трещина не распространяется, то в = 0, = 2, Е, = л/2-1« 0.414. (25)

Величины (25) не зависят от р. При р—>0 значения (25) будут соответствовать сплошному цилиндру, т.е. наибольшие деформации будут испытывать частицы находящиеся на оси цилиндра, поэтому предположение о том, что разрушению будут подвергаться частицы расположенные в окрестности оси цилиндра, является обоснованным.

Из соотношений (23) - (25) и критерия (4) следует: если материал не разрушается при Е | = -¡2 — 1 или ^ =2, то разделение цилиндра на две части будет описывать процесс пластического течения без разрушения материала. Конечная площадь поперечного сечения цилиндра будет равна нулю (Р=0).

Во втором параграфе в отличии от первого параграфа описан полный процесс накопления деформаций, включая деформации в непрерывном поле скоростей перемещения. Этот процесс можно разбить на три этапа:

1) деформирование материала в однородном поле скоростей деформаций до образования макротрещины, этот процесс был описан во втором параграфе третьей главы и происходит до некоторой критической деформации: Е,=Е": (Е*"-характеризует склонность материала к зарождению макротрещины).

2) деформирование материала в непрерывном поле скоростей деформаций в пластической области до попадания материала в вершину трещины;

3) деформирование материала при пересечении жесткопластической границы, являющейся поверхностью разрыва скоростей перемещений (было описано в четвертом параграфе третьей главы).

На втором этапе в вершину трещины попадают частицы находящиеся на оси г, поэтому процесс накопления деформаций связан с интегрированием системы дифференциальных уравнений (5). За начальные условия для системы уравнений (5) принимаются деформации приобретенные частицами в момент времени (= 1р в однородном поле скоростей перемещений, которые рассчитываются по пункту 1), отсюда решение системы (5) примет вид:

Е =

1-(1 + Ер> 1

-2/ ¿0

.в, 4

1-

1

ь+кг

-Г'1". -2 - 'Л

'г

• Е.

Г / г

где ер - относительное удлинение цилиндрического образца в момент времени 1р.

Интегралы, стоящие в степени, вычисляются численно, а подынтегральные функции рассчитываются на основе численного решения системы (10) в каждый момент времени, с граничными условиями, соответствующими положению свободной поверхности.

На рис. 8а представлен рентгеновский снимок «шейки» образца

непосредственно перед разрушением (взятый из книги А. Надаи «Пластичность и разрушение твердых тел», 1954), на рис. 86 снимок из книги Фридмана (опыты Людвика), а также результаты численного расчета формы «шейки» и трещины на основе модели разрушения идеального жестко-пластического тела (сплошная белая линия). Изменение геометрии свободной

поверхности строилось численно, путем смещения точек поверхности по полю скоростей перемещений в каждый отдельный

Рис. 8

момент времени.

Третий параграф посвящен определению основных констант разрушения для различных материалов.

Константы разрушения рассчитываются исходя из предположения, что образование шейки связано с появлением макротрещины; т.е. предполагается, что деформация цилиндра на первом этапе происходит при однородном поле скоростей перемещений, на втором этапе при возникновении на оси цилиндра макротрещины, решение для непрерывного поля скоростей деформаций не возможно и развитие пластического течения описывается разрывным полем скоростей перемещений. Указанный подход позволяет связать механические характеристики с инвариантными характеристиками тензора конечных деформаций Альманси, учитывать деформации внутри пластической области; данный подход реализован численно.

В процессе одноосного растяжения образца определяются следующие механические характеристики: относительное сужение ц/ и относительное удлинение образца при разрушении 5;

V = 100%, 8 = »-^- (26)

ро Ьо

где Р0 = лй.г- площадь поперечного сечения образца перед образованием шейки, Ь0 -высота цилиндрического образца перед образованием шейки, Р = яр?~ площадь поперечного сечения образца непосредственно перед разрушением, Ь - высота цилиндрического образца непосредственно перед разрушением.

Условие у<100% или Р>0 означает, что внутри цилиндра в процессе растяжения развивалась трещина.

Для определения констант разрушения итерационным методом Ньютона решается система нелинейных уравнений:

б(Е\Е")=5т

\1»(Е\Е")= \|)т' , -

где 6т и - экспериментально полученные механические характеристики реальных материалов.

Таблица 1. Константы разрушения для различных материалов

материал 5,% Ч>,% -* XV Е' Е"

13X11Н2В2МФ, сталь 13 55 0.453 0.249 0.14 0.063

Т!-6А1-4\', титановый сплав 10 23 0.35 0.208 0.142 0.064

АК6, алюминиевый сплав 13 40 0.487 0.267 0.2 0.087

БрСЗО, бронза 5 7 0.15 0.097 0.049 0.024

ВД17, алюминиевый сплав 12 21 0.419 0.242 0.2 0.087

Л070-1, латунь, твердая 10 28 0.35 0.207 0.133 0.061

МЛ8, магниевый сплав 7 8 0.25 0.156 0.11 0.051

СЧ10, чугун 7 20 0.124 0.2 0.49 0.024

Х14Н5Д2МБ, сталь 15 63 0.57 0.296 0.2 0.087

где Е **, Ш - характеризует склонность материала к зарождению макротрещины, т.е. определяет переход от однородного поля скоростей перемещений к

неоднородному; Е *, — определяет скорость развития трещины в материале.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Получено решение задачи об одноосном растяжении полого цилиндра с разрывным полем скоростей перемещений.

2. Исследовано решение задачи об одноосном растяжении сплошного цилиндра.

3. Получено решение задачи об одноосном растяжении сплошного цилиндра с разрушением.

4. Сформулирован подход к определению констант разрушения в виде инвариантов тензора конечных деформаций Альманси по стандартным механическим характеристикам: относительного сужения и относительного удлинения образца

5. Определены константы разрушения для различных конструкционных материалов.

6. Исследован процесс накопления деформаций при пластическом течении с разрушением с учетом нахождения материала в непрерывном поле скоростей перемещений и пересечении поверхности разрыва.

ПУБЛИКАЦИИ ПО МАТЕРИАЛАМ ДИССЕРТАЦИИ

1. О.В. Козлова, А.И. Хромов. Константы разрушения для идеальных жесткопластических тел // Доклады академии наук, том 385, №3, 2002 июль, стр.342-345.

2. Хромов А.И., Козлова О.В. Деформация и разрушение жестко-пластического цилиндра. Проблемы механики неупругих деформаций. Сборник статей к семидесятилетию Д. Д. Ивлева. Москва, Физматлит, 2001, с.343-350.

3. А.И. Хромов, О.В. Козлова. Деформация полого цилиндра при одноосном растяжении // Вестник КнАГТУ «Прогрессивные технологии в машиностроении» / Комсомольск-на-Амуре, выпуск 2, сборник 1, часть 3,, 2000, с.15-18.

4. О.В. Козлова, А.И. Хромов. Определение констант разрушения для модели идеального жесткопластического тела // Материалы международной научной конференции «Синергетика 2000». Самооргонизующие процессы в системах и технологиях / Комсомольск-на-Амуре: КнАГТУ, 2000, стр. 14.

5. О.В.Козлова. Деформация и разрушение идеального жесткопластического цилиндра. Прикладные задачи механики деформируемого твердого тела и прогрессивные технологии в машиностроении. Выпуск 2, Владивосток, Дапьнаука, 2001, стр.17-22.

6. А.И. Хромов, О.В. Козлова. Константы разрушения для модели идеального жесткопластического тела // Математическое моделирование и краевые задачи / Труды одиннадцатой межвузовской конференции. 29-31 мая 2001, часть 1, Самара, стр. 204-207.

7. Козлова О.В., Хромов А.И. Процесс разрушения цилиндрического образца при одноосном растяжении // Обозрение прикладной и промышленной математики / Тезисы докладов, Москва, ТВП, 2001, том 8, выпуск 1,, стр.221-222.

8. О.В. Козлова, А.И. Хромов. О неединственности решения задачи об одноосном растяжении полого образца // Вестник КнАГТУ «Прогрессивные технологии в машиностроении» / Комсомольск-на-Амуре: КнАГТУ, выпуск 3, сборник 2, 2002, стр. 137-140.

9. O.B. Козлова. Определение основных констант разрушения на различных этапах пластического растяжения // Обозрение прикладной и промышленной математики / Тезисы докладов. Москва, 2002, том 9, выпуск 1, стр.207-208.

Ю.О.В. Козлова. Накопление деформаций при осесимметричном пластическом течении // Дальневосточная математическая школа-семинар им академика Е.В. Золотова / Тезисы докладов. Владивосток: Дальнаука, 2002, стр. 79-80.

11. О.В.Козлова. Процесс накопления пластических деформаций в условиях осесимметрической деформации. Обозрение прикладной и промышленной математики, 2002, том 9, выпуск 3, Москва, стр.620-621.

12. Козлова О.В. Деформирование жесткопластических материалов при осесимметричном пластическом течении // Труды международного форума по проблемам науки, техники и образования. Том 2, М.:Академия наук о Земле, 2002, с.127-128.

13. О.В.Козлова. Выбор предпочтительного решения для задачи об одноосном растяжении цилиндра из жесткопластического материала // Тринадцатая зимняя школа по механике сплошных сред / Тезисы докладов. 2003, с.212.

14. Khromov A.I., Buhanko A.A., Zchigalkin K.A., Kozlova O.V. Deformations and distraction of materials at localization of plastic deformations // Book of abstracts. XXXI Summer Sclool-Conference "Advanced Problem in Mechanics", June 22 - July 2, 2003, St. Peterburg (Repino), Russia. P.55.

Личный вклад автора Работы 5, 9, 10 - 13 выполнены автором лично. В рамках

поставленной задачи научным руководителем Хромовым А.И., Козловой О.В.

получены необходимые соотношения и расчеты.

\7А о

»17407 '

КОЗЛОВА Ольга Викторовна

ДЕФОРМАЦИЯ И РАЗРУШЕНИЕ ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ В УСЛОВИЯХ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ

Автореферат

Подписано к печати 20.10.2003г. Печать офсетная. Формат 60x84 1/16 Бумага писчая. Усл.печ. 1,16. Тираж 100. Заказ 17456

Полиграфическая лаборатория Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет» 681013, Комсомольск-на-Амуре, пр.Ленина, 27.

Введение

Глава 1. Общие соотношения

1.1 Основные уравнения теории осесимметричного течения

1.2 Геометрические и кинематические условия совместности

1.3 Определение поля деформаций на поверхности разрыва 24 скоростей fffc' 1.4. Критерий выбора предпочтительного решения

1.5 Полное решение

1.6 Критерий разрушения ^

1.7 Вывод системы дифференциальных уравнений, описывающей 35 процесс накопления пластических деформаций

Глава 2. Деформация полого цилиндра при одноосном 43 растяжении

• 2.1 Одноосное растяжение полого цилиндра при разрывном поле скоростей перемещений 2.2 Неединственность решения задачи об одноосном растяжении 47 полого цилиндра

Глава 3. Деформация сплошного цилиндра при одноосном 50 растяжении

3.1 Одноосное растяжение сплошного цилиндра из 50 жесткопластического материала при однородном поле скоростей перемещений

3.2 Накопление пластических деформаций в однородном поле 54 скоростей перемещений при одноосном растяжении цилиндра

3.3 Одноосное растяжение сплошного цилиндра при 58 непрерывном неоднородном поле скоростей перемещений

3.4 Одноосное растяжение сплошного цилиндра из 61 жесткопластического материала с разрывным полем скоростей перемещений

3.5 Решение Шилда fa

Глава 4. Разрушение цилиндрического образца при одноосном растяжении. Определение констант разрушения

4.1 Одноосное растяжение жесткопластического сплошного 71 цилиндра с разрушением

4.2 Процесс накопления деформаций в задаче о растяжении 75 цилиндра с разрушением

4.3 Определение основных констант разрушения для различных 79 материалов

Модель идеального жесткопластического тела представляет большой интерес для исследования, так как допускает корректную постановку задач с учетом изменения геометрии и их аналитическое решение.

Исследование по вопросам пластического деформирования и разрушения в рамках идеального жесткопластического тела проводилось многими учеными, такими как Дж. Бишоп, Г. И. Быковцев, X. Гейрингер, Г. Генки, Б. А. Друянов, Д. Д. Ивлев, А. Ю. Ишлинский, К. Каратеодори, JI. М. Качанов, Е. Ли, Г. Липпман, Ф. А. Макклинток, С. Г. Михлин, В. П. Мясников, В. Прагер, Л. Прандтль, Дж. Р. Райе, Б. Сен-Венан, В. В. Соколовский, Р. Хилл, С. А. Христианович, Р. Т. Шилд, и др.

Исследование осесимметричного состояния в первую очередь связано с именами А. Ю. Ишлинского, Г. Липмана, Р. Т. Шилда.

Теория идеального жесткопластического тела до недавнего времени рассматривалась в первую очередь как теория предельного равновесия. Не смотря на успешное решение задач, их исследование проводилось, как правило, без учета изменения геометрии свободной поверхности. Построение решений с учетом изменения геометрии необходимо во многих задачах пластического формоизменения тел. Влияние подвижных границ имеет особое значение в задачах об исследовании деформирования материала на поверхностях разрыва скоростей перемещений и разрушении. В связи с этим при расчете и проектировании большинства технологических процессов необходимо учитывать изменение геометрии тел в процессе деформирования.

Так как деформирование частиц материала в пластической области неоднородно и эксперименты показывают существование крайне тонких слоев локализации деформаций (порядка 20-50 мк), примыкающих к жесткопластическим границам с большим градиентом скоростей перемещений. Это в теории жесткопластических тел соответствует разрыву скоростей перемещений. Поэтому значительный интерес представляет исследование деформаций на этих поверхностях. Они могут определять процесс разрушения материала, так как значительно превышают деформации внутри пластической области с непрерывным полем скоростей деформаций. В связи с этим ставится задача о расчете распределения деформаций в окрестности поверхностей разрыва скоростей перемещений.

Другой особенностью жесткопластических тел является то, что на базе этой модели не построена теория' разрушения, вместе с тем в жесткопластическом теле деформации и напряжения конечны, поэтому формулировка критерия разрушения может вестись более корректно, по сравнению с другими моделями, по одному из этих параметров. В данной работе принимается деформационный критерий разрушения. В связи с таким выбором критерия разрушения встает вопрос о единственности поля скоростей перемещений в пластической области, который решается введением деформационного критерия выбора . предпочтительного решения. .

Так как жесткопластическая модель является предельной моделью, то решение для нее неединственное. Например, модель упрочняющегося жесткопластического тела в рамках этой теории имеет единственное решение, при стремлении параметров упрочнения к нулю можно получить определенное решение соответствующее идеальному жесткопластическому телу. Указанный предельный переход можно осуществить только численно, т.к. аналитических решений в рамках упрочняющегося жесткопластического тела не получено. Поэтому критерий выбора предпочтительного решения должен быть сформулирован на основе общих термодинамических и экспериментальных закономерностях. Такой подход был сформулирован в работе [48] в которой отмечено, на основе экспериментальных данных, что упрочнение материала вызывает осреднение деформаций по объему испытываемого образца, другими словами, в деформирование вовлекается максимально возможный объем деформируемого образца, что уменьшает максимальные деформации материала в процессе деформирования. На основе этого в работе принимается критерий выбора предпочтительного решения сформулированный в работе [54].

Полное разрушение твердых тел обычно определяется как разделение тела на части под действием механических нагрузок или напряжений. По сравнению с упругой, пластической и вязкой, а также и высокоэластической деформацией разрушение является гораздо более локальным и потому более структурно чувствительным процессом. Это обусловлено тем, что развитие трещины определяется, прежде всего, явлениями впереди и вблизи ее вершины, т.е. в объемах, которые очень малы (тысячные доли миллиметра) по сравнению с размерами макроскопических тел (десятки миллиметров). Таким образом, характеристики макроразрушения тела обусловлено локальными процессами. Поэтому недостаточная локальность методов по сравнению с локальностью изучаемого процесса особенно резко проявляется при изучении разрушения [61]. Разрушение является заключительной стадией почти всякой развивающейся деформации. Поэтому научное значение закономерностей разрушения очень велико.

Решение задач с учетом разрушения материала при пластическом течении является актуальным, т.к. позволяет предсказывать критические режимы технологических процессов обработки материалов давлением, описать поведение конструкции в экстремальных условиях, проводить полный расчет конструкций одноразового действия. В настоящее время существует множество подходов к описанию аспектов пластического разрушения. Принимается следующий критерий разрушения: разрушение жесткопластического материала в вершине трещины происходит, если первое алгебраически наибольшее главное значение тензора Альманси Е\ достигает предельной величины Е\

Целью данной работы является описание процессов деформирования и разрушения идеальных жесткопластических тел в условиях осесимметричной деформации. Формулировка подхода к определению констант разрушения на основе стандартных экспериментальных данных по одноосному растяжению цилиндрических образцов.

Содержание работы по главам распределяется следующим образом.

В первой главе рассматриваются общие вопросы теории идеального жесткопластического тела, приводятся основные уравнения теории осесимметричного течения. В качестве условия текучести принимается условие текучести Треска-Сен-Венана. Показано, что вдоль поверхности разрыва скоростей перемещений реализуется плоская деформация. Описан критерий выбора предпочтительного решения. В качестве критерия разрушения принимается деформационный критерий разрушения. Приводится вывод системы дифференциальных уравнений, описывающей процесс накопления пластических деформаций.

Во второй главе рассматривается одноосное растяжение полого цилиндра при разрывном поле скоростей перемещений, задача решена с учетом изменения геометрии свободной поверхности цилиндра. Исследуется неединственность решения задачи об одноосном растяжении полого цилиндра.

В третьей главе описана деформация сплошного цилиндра при одноосном растяжении как предельное решение задачи о растяжении полого цилиндра при стремлении радиуса внутреннего отверстия к нулю. Получено решение при однородном поле скоростей перемещений, при непрерывном неоднородном поле скоростей перемещений, а также с разрывным полем скоростей перемещений. Исследуется процесс накопления пластических деформаций при осесимметричном пластическом течении в однородном поле скоростей перемещений для задачи о растяжении цилиндра. Делается выбор предпочтительного решения из бесчисленного множества решений. Предпочтительным оказывается решение для однородного поля скоростей перемещений.

Четвертая глава посвящена разрушению цилиндрического образца при одноосном растяжении. Исследован процесс накопления деформаций в задаче о растяжении цилиндра с разрушением. Предложен подход к определению констант разрушения. Определены основные константы разрушения для различных материалов. Установлена связь между традиционными характеристиками разрушения материалов (6 -относительное удлинение образца, гр— относительное сужение образца) и инвариантными тензорными характеристиками: Е„ - первым инвариантом тензора Альманси, характеризующим момент зарождения макротрещины, Е* — первым инвариантом тензора Альманси, характеризующим процесс разрушения в вершине трещины.

Заключение

В работе получены следующие основные результаты:

1. Получено решение задачи об одноосном растяжении полого цилиндра с разрывным полем скоростей перемещений.

2. Исследованы решения задачи об одноосном растяжении сплошного цилиндра в различных постановках и выбрано предпочтительное решение.

3. Получено решение задачи об одноосном растяжении сплошного цилиндра с разрушением.

4. Сформулирован подход к определению констант разрушения в виде ^ инвариантов тензора конечных деформаций Альманси по стандартным механическим характеристикам: относительного сужения и относительного удлинения образца при разрушении.

5. Определены константы разрушения для различных конструкционных материалов. <

6. Исследован процесс накопления деформаций при пластическом течении с разрушением с учетом нахождения материала в непрерывном поле скоростей перемещений и пересечении поверхности разрыва.

1. Астафьев В.И., Радаев Ю.Н., Степанова JI.B., Нелинейная механика разрушения. Самара: «СамГУ», 2001, 632с.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Гос.изд.физ.-мат. лит. Т.1, 1962, 464 е.; Т.2, 1960, 620 с.

3. Бриджмен П. Исследование больших пластических деформаций и разрыва. М.: Ил, 1955. 444 с.

4. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998.-528 с.

5. Введение в механику сплошных сред: Учеб. Пособие/ Черных К.Ф., Изд-во Ленингр. Ун-та, 1984, 280с.

6. Гейрингер X., Фрейденталь А. Математическая теория неупругой сплошной среды, М., Физматгиз, 1962, 432с

7. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды, «Наука», М., 1978,304с.

8. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука, Гл.ред.физ.-мат.лит. 1969, 336 с.

9. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Гос.изд.физ.-мат. лит. 1963. 660 с.

10. Джонсон У., Меллор П. Теория пластичности для инженеров. М.: Машиностроение, 1979. 567 с.

11. Друянов Б.А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности. М.: Машиностроение, 1990.-272 с. '

12. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы / В.К.Семенченко, «Мир», М., 1974, 304с.

13. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. Выпуск 2. Т.1. Теория идеальной пластичности. М.: Физматлит, 2001.— 448 с.

14. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. Выпуск 2. Т.2. Общие вопросы. Жесткопластическое и упругопластическое состояние тел.

15. Упрочнение. Деформационные теории. Сложные среды. — М.:1. Физматлит, 2002 448 с.

16. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М: Наука, 1966. 232 с.

17. Ишлинский А.Ю. Осесимметричная задача пластичности и проба Бринелля // ПММ, 1944, т.8, вып.З, с.201-224

18. Ишлинский А.Ю., Прикладные задачи механики. Книга1. Механика вязкопластических и не вполне упругих тел. М.: Наука, 1986, 360с.

19. Качанов JI.M. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 312 с. ^ 19. Качанов JI.M. Основы теории пластичности. М.: Наука, Гл.ред.физ.мат.лит. 1969, 420 с.

20. Козлова О.В. Деформация и разрушение идеального жесткопластического цилиндра // Прикладные задачи механики деформируемого твердого тела и' прогрессивные технологии в машиностроении / Владивосток, Дальнаука, Выпуск 2, 2001, стр. 1722.

21. Козлова О.В. Накопление деформаций при осесимметричном пластическом течении // Дальневосточная математическая школа-семинар им академика Е.В. Золотова. Тезисы докладов / Владивосток: Дальнаука, 2002, стр. 79-80.

22. Козлова О.В. Определение основных констант разрушения на различных этапах пластического растяжения // Обозрение прикладной и промышленной математики / Москва, ТВП, 2002, том 9, выпуск 1, стр.207-208.

23. Козлова О.В. Процесс накопления пластических деформаций в условиях бсесимметрической деформации // Обозрение прикладной и промышленной математики / Москва: ТВП, 2002, том 9, выпуск 3, стр.620-621.

24. Козлова О.В., А.И. Хромов. Константы разрушения для идеальных жесткопластических тел // Доклады академии наук / том 385, №3, 2002 июль, стр.342-345.

25. Козлова О.В., Хромов А.И. Процесс разрушения цилиндрического образца при одноосном растяжении // Обозрение прикладной и промышленной математики / Москва, ТВП, 2001, том 8, выпуск 1, стр.221-222.

26. Козлова О.В., Хромов А.И. О неединственности решения задачи об одноосном растяжении полого образца // Вестник КнАГТУ, Прогрессивные технологии в машиностроении / Комсомольск-на-Амуре: КнАГТУ, выпуск 3, сборник 2, 2002, стр. 137-140.

27. Койтер В. Соотношения между напряжениями и деформациями, Механика, №2, 1960

28. Конструкционные материалы: Справочник. Под общ. ред. Б.Н.Арзамасова. М.: Машиностроение, 1990. - 388 с.

29. Леонов М.Я. Механика деформаций и разрушения. Фрунзе: Илим, 1981.236 с.

30. Липпман Г. Теория главных траекторий при осесимметричной пластической деформации // Механика: Сб.переводов. 1963. №3. с.155-167.

31. Макклинток Ф., Арагон А. Деформация и разрушение материалов. М. Мир, 1970. 443 с.

32. Мак-Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ. М.: Гос. изд. физ. -мат. лит., 1963, 412 с.

33. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 56 с.

34. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопластических сред. М.: Наука,-1981. 208 с.

35. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. ИЛ. 1954.

36. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т.2, М: Мир, 1969, 864с.

37. Писаренко Г. С., Можаровский Н.С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести. Киев.: Наукова Думка, 1981 -301с.

38. Прагер В. Проблемы теории пластичности, Физматгиз, 1958

39. Работнов Ю.Н. Введение в механику разрушения. М. : Наука, 1987. 80с.

40. Работнов Ю.Н., Избранные труды. Проблемы механики деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1991,196с

41. Разрушение: Энциклопедический справочник / под ред. Г.Либовца. М.: Мир, 1873, Т.1, 616 е.; 1975, Т.2, 764 е.; 1976, Т.З, 797 с.

42. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: . 1970. Т.1. 492 е.; Т.2. 568с.

43. Слепян Л.И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1990. 296 с.

44. Соколовский В.В. Теория пластичности, М., «Высш. Школа», 1969, 608с.

45. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Выс.шк., 1979,318 с.

46. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах, М.: Мир, 1964 -489с.

47. Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. Часть вторая. Механические испытания. Конструкционная прочность. М.: Машиностроение. 1974. 368с.

48. Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. Часть первая. Деформация и разрушение. М.: Машиностроение. 1974. 472с.

49. Хаар и Карман, сб. «Теория пластичности», издательство иностранной литературы, стр.41-56, 1948

50. Харцберг Р.В. Деформация и механика разрушения конструкционных материалов. М.: Металлургия, 1989. 576 с.

51. Хилл Р. Математическая теория пластичности. — М.: Гос. издательство технико-теоретической литературы, 1956 407с.

52. Хромов А.И. Деформация и разрушение жесткопластических тел. Владивосток.: Дальнаука, 1996.-181с.

53. Хромов А.И. Деформация и разрушение жесткопластической полосы . при растяжении // МТТ / № 1, 2002, с. 13 6-143.

54. Хромов А.И. Локализация пластических деформаций и разрушение жесткопластических тел. ДАН РАН 1998, т 362, №2, с.202-205.

55. Хромов А.И., Козлова О.В. Деформация и разрушение жесткопластического цилиндра. Проблемы механики неупругих деформаций. Сборник статей к семидесятилетию Д. Д. Ивлева. Москва, Физматлит, 2001, с.343-350.я

56. Хромов А.И., Козлова О.В. Деформация полого цилиндра при одноосном растяжении // Вестник КнАГТУ / Комсомольск-на-Амуре, КнАГТУ, выпуск 2, Прогрессивные технологии в машиностроении, сборник 1, часть 3, 2000, с. 15-18.

57. Хромов А.И., Козлова О.В. Константы разрушения для модели идеального жесткопластического тела. Математическое моделирование и краевые задачи // Труды одиннадцатой межвузовской конференции / Самара, 29-31 мая 2001, часть 1, стр. 204-207.

58. Черепанов Г.П., Ершов Л.В. Механика разрушения. М.: Машиностроение, 1977. 224 с.

59. Шилд Р.Т. О пластическом течении металлов в условиях осевой симметрии. Механика: сб. переводов,,1957, №2, с.102-122.

60. Шнейдерович P.M. Левин О.А. Измерение полей пластических деформаций методом муара. М: Машиностроение, 1972, 152с.

61. Bishop J.F.W. On the complete solushion to problems deformation of a plastic-rigid material // J. Mech. and Phys. Solids. 1953. V.2, №1. P.43-53.

62. Caratheodori C., Schmidt E. Uber die Hencky-Prandtlischen Kurven // ZAMM. 1923. Bd.3, h.6. P.468.

63. Drucker D.C., Greenberg H.J., Prager W. The safity factor of an elastic-plastic body in plane strain // J. Appl. Mechanics. 1951. №18. P.371-378.

64. Frendental A.M., Geiringer H. The mathematical theories of the inelastic continuum // Handbuch der Physik. Berlin, 1958. V.6.

65. Geiringer-Pollaczek H. Beitag zum Vollstandig ebenen Plastizitatsproblem. Verhandlungen d.3. Intemat. Kongress fur technische Mechanik. Stockholm. 1930. V.2. P.185-190.

66. Hadamard J., Lecons sur la propagation des ondes et les equations de l'hydrodymique, Paris, 1903.

67. Hency H. Uber einige statisch bestimmten Falle des Gleichgewichts in plastischen Korpern // ZAMM, 1923. Bd.3, h.4. P.241-251.

68. Hill R., Discontinuity relations in mechanics of solid, Progress in Solid Mechanics, vol.11, 1961, p.247-276.

69. Hill R. The mathematical theory of plasticity. Oxford. 1950.

70. Koiter W.T. General theorems for elastic-plastic solids // Progress in solid mechanics. 1960. V.l. ch.IV.t

71. Lee E. H. The theoretical analisys of metal forming problems in plane strain//J. Appl. Mech. 1952. V.19. P.97-103.

72. Levi-Civita Т., Caracteristiques des systemes differentials et propagation des ondes (Paris), 1932.

73. MacClintock F.A. Ductile Fracture instability in shear // J. Appl. Mech. 1958. V.25.№4. P.582-587.

74. Prager W. Problem der Plastizitatstheorie. Basel, 1955.

75. Prager W. Problem der Plastizitatstheorie. Basel, 1995

76. Prager W., Hodge Ph.G. Theory of perfectly plastic solids. N. Y., 1951.

77. Prandl L. Anwendungsbeispiele zu einem Henckyschen Satz uber das plastische Gleichgewicht // ZAMM. 1923. BD.III, h.6.

78. Prandl L. Uber die Harte des plastischer korper // ZAMM, 1921. Bd. 1, h.1.

79. Schield R.F. Plastic potential theory and Prandtl bearing capacity solytion // J. Appl. Mech. 1954. V.21. №2.

80. Thomas T.Y., J.Ration. Mech. And Analisys, 7, 893, 1958.