Деформация и разрушение жесткопластических тел в условиях плоской деформации тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Общие соотношения.

1.1. Общие положения теории идеального жесткопластического тела.

1.2. Теория плоской деформации.

1.3. Определение полей деформаций.

1.4. Критерий выбора предпочтительного решения.

1.5. Условия проведения экспериментов на одноосное растяжение.

Глава 2. Деформация и разрушение жесткопластической полосы при одноосном деформировании.

2.1. Растяжение плоского образца с непрерывным полем скоростей.

2.2. Растяжение плоского образца с разрывным полем скоростей.

2.3. Деформирование плоского образца при одноосном сжатии.

2.4. Накопление пластических деформаций при последовательном растяжении и сжатии плоского образца.

2.5. Растяжение полосы с разрушением. Определение констант разрушения.

2.6. Растяжение полосы с круговой выточкой.

Глава 3. Накопление деформаций и пересчет кривых упрочнения.

3.1. Теоретические и экспериментальные величины деформации.

3.2. Новые координаты для кривых упрочнения.

Глава 4. Задача об изгибе полосы с растяжением.

Теория идеального жесткопластического тела является одним из наиболее разработанных разделов механики деформируемого твёрдого тела. Большинство работ посвящено задачам о предельном равновесии тел, т. е. задачам о возникновении пластического течения. Отдельные решения задач с учётом изменяющейся геометрии были получены Е. Ли, Е. Онатом, В. Прагером, О. Ричмондом, Р. Хиллом, это задачи о внедрении клина в полупространство, о раздавливании клина, о растяжении полосы. На их основе были получены полные решения определенного класса задач с учетом изменяющейся геометрии Г. И. Быковцевым, А. И. Хромовым.

Другой особенностью развития этой теории является то, что на её базе не была сформулирована теория разрушения, которая получила развитие на основе других моделей. Основные положения теории разрушения жесткопластиче-ских тел были сформулированы в работах А. И. Хромова, но не был сформулирован подход к определению констант разрушения. Развитие данного подхода для описания процессов разрушения актуально при расчётах технологических режимов обработки материалов давлением и резанием, при расчёте конструкций одноразового действия, при прогнозировании поведения конструкций в условиях экстремальной ситуации.

В связи с этим целью данной работы является разработка подхода к определению констант разрушения в условиях плоской деформации на основе стандартных механических испытаний.

Начальный этап развития механики разрушения, основанный на исследовании деформационных свойств тел связан с именами Р.Гука, Т. Юнга. Ш. Кулона, О. Мора и в дальнейшем определен построением математических моделей сплошной среды.

Формирование современных представлений о механике разрушения во многом связано с результатами анализа полей напряжений для конкретных задач в теории упругости (Г. Кирш, 1988 г., Г. В. Колосов, 1909 г., К. Инглис," 1913 г.), а также экспериментальных исследований (А.Ф.Иоффе, 1920г.).

Основы линейной механики разрушения упругих тел даны в основополагающей работе А. А. Гриффитса (1920 г.). После усовершенствования этой теории Дж. Ирвином и Е. Орованом, стало возможным применение ее в исследовании конкретных материалов.

Уже на начальном этапе исследований было ясно, что разрушение материалов тесно связано со свойствами пластичности. Дж. Ирвин и Е.Орован считали, что вершина трещины окружена зонами пластического течения, в которых поглощается основная часть энергии, предполагая, что эти зоны малы по сравнению с упругими. Следствием такого предположения служит вывод о том, что в окрестности вершины трещины преобладает упругое распределение напряжений.

Естественным шагом в дальнейшем развитии линейной механики разрушения стало применение ее к исследованию таких процессов упругопластиче-ского разрушения, для которых влиянием перераспределения напряжений и деформаций в зонах упругости и пластичности пренебречь нельзя. Подробный обзор основополагающих идей и результатов в этом направлении дан в работе [47].

Важнейший момент в развитии теории трещин - формулировка условия локального разрушения. Простейший вариант этого условия был предложен уже Дж. Р. Ирвином (1948 г.). Он заключался в том, что коэффициент при особенности в выражении для напряжений в рассматриваемой точке в момент локального разрушения считается равным некоторой постоянной материала, при этом напряжения вычисляются в предположении, что тело идеально упругое.

В дальнейшем было предложено множество различных локальных критериев разрушения: трещины развиваются перпендикулярно направлению наибольших растягивающих напряжений (Н. Oschatz, 1933 г.); коэффициент интенсивности напряжений у вершины трещины достигает предельной величины (G. R. Irwin, 1957 - 1960 г.);

8к - теория разрушения (М. Я. Леонов, В. В. Панасюк. 1959 г.); принцип локальной симметрии (Г. И. Баренблатт, Г. П. Черепанов, 1961 г.); вариационный принцип теории трещин (Е. М. Морозов, Я. Б. Фридман, 1961 г.); энергетический критерий разрушения (Г. П. Черепанов, 1966 г.); инвариантные J и Г - интегралы, как мера упругопластического состояния (Г. П. Черепанов, .J. Rice, 1967 г.).

Это далеко неполный перечень критериев, указывающий основное направление исследований упругопластического разрушения. Основной особенностью этого подхода является относительная малость деформаций в пластической области, ограничиваемых деформациями охватывающей ее упругой области.

За последние десятилетия область исследований в механике разрушения значительно расширилась. Можно выделить основные направления: пластическое разрушение, хрупкое разрушение, усталостное разрушение, разрушение при ползучести, коррозионное разрушение, разрушение в условиях радиации.

Этому в значительной степени способствовало издание энциклопедического справочника "Разрушение" [51] под редакцией Г. Либоевица. Обзоры последних достижений достаточно полно представлены в работах [3, 41, 47, 48, 53,51,54,56,70].

В частности, в работе В. Э. Партона, Е. М. Морозова [47] даны современные представления о развитии магистральных трещин в упругопластических, линейных вязкоупругих средах, исследованы специальные задачи механики разрушения, учитывающие воздействие внешних сред на рост трещин, температурные задачи механики разрушения, разрушение при наличии электромагнитных полей.

В работе JI. И. Слепяна [57] рассмотрены статика, медленный рост и динамика трещин в нелинейно-упругих, упругопластических телах, а также в средах со структурой.

В работах Г.П.Черепанова [70, 71, 72] заложены теоретические основы применения аппарата инвариантных Г - интегралов и на их основе развита теория разрушения горных пород, рассмотрены различные аспекты теории разрушения композиционных материалов.

Другой крайний случай (по отношению к линейной механике разрушения), когда пластическая область преобладает над упругой и охватывает все поперечное сечение тела, остается мало изученным. Из немногочисленных работ, посвященных этому направлению, можно отметить работы Ф. А. Макклин-тока [40], А. Арагона [41] и JI. М. Качанова [33]. Ф. А. Макклинтоком [40] был предложен деформационный критерий разрушения [83] - разрушение наступает, когда деформации на некотором расстоянии перед вершиной трещины достигают предельной величины. Трудности чисто пластического аспекта разрушения связаны с необходимостью анализа деформированного состояния при больших деформациях с учетом изменения геометрии свободных поверхностей тела. Простейшей моделью пластического тела, позволяющей провести анализ процессам разрушения в рамках нелинейной механики, служит модель идеального жесткопластического тела. Этому направлению исследования процессов разрушения и посвящена данная работа.

Несмотря на бурное развитие механики разрушения, выработке большого числа критериев разрушения, постоянно ощупается их недостаточность. Теория трещин занимает особое место в механике деформируемого тела. Это связано с тем, что разрушение определяется процессами, происходящими как на макроуровне, так и на микроуровне. Поэтому построение частных критериев представляет большой интерес. Во-первых, они сами по себе могут хорошо описывать разрушение определенного класса материалов. Во-вторых, они способствуют пониманию процесса разрушения. Исходя из этого, могут быть выработаны рекомендации по выбору материала, требования к технологическим процессам и оценке несущей способности конструкции. Простейшие критерии могут служить своеобразными "реперными точками" для более сложных моделей разрушения. Идеализация картины разрушения, кроме того, включает рассмотрение некоторых простых форм разрушения, таких как отрыв, рост пор и т.д. С помощью интерполяции можно получить представление о промежуточных формах, поведения материала. Деформационная картина у вершины трещины имеет весьма тонкую структуру с очень большими градиентами деформаций, поэтому простейшие критерии могут быть использованы для рекомендации по испытанию материалов, а также для построения численных методов расчета [65,32,89].

Предлагаемая работа анализу процессов деформации и разрушения полосы из идеального жесткопластического материала, формулировке подхода для определения констант разрушения и их расчету для основных конструкционных материалов.

Наиболее полно разработанным разделом теории идеального жесткопластического тела является теория плоской деформации. Полная система уравнений плоского деформированного состояния была установлена Б. Сен-Венаном [95] еще в семидесятых годах 19-го столетия. Л. Прандтль [94] показал, что основные соотношения плоской задачи пластичности Приводят к гиперболической системе уравнений, и вычислил нагрузки, необходимые для вдавливания плоского штампа в полупространство и усеченный клин. Общая теория, лежащая в основе специальных решений Л. Прандтля, была дана Г. Генки [78], который обнаружил простые геометрические свойства поля линий скольжения и исследовал статически определимые случаи равновесия. Далее важнейшие результаты были получены X. Гейрингер [77]. С. Г. Михлиным [45], С. А. Хри-стиановичем [61]. В. В. Соколовским [58], создавшим строгий математический метод решения - метод характеристик. В окончательной форме принцип корректного подхода к решению задач плоской деформации был сформулирован в работах Р. Хилла [79], Е. Ли [82] и Дж. Бишопа [74], в которых впервые была отмечена необходимость построения согласованных полей напряжений и скоростей, дано понятие полного решения и рассмотрены методы построения и критерии существования статически допустимого продолжения поля напряжений в жесткие области.

В дальнейшем методы решения задач теории плоской деформации были значительно усовершенствованы в работах Д. Д. Ивлева. Г. И. Быковцева [1], В. В. Соколовского, Б. А. Друянова, в которых было получено множество решений задач со смешанными граничными условиями, имеющих большое практическое значение. Интересные приложения теории плоской деформации предложены в работах В.М.Сегала [55]. Значительный успех был достигнут и в развитии аналитических Методов в работах К. Каратеодори. Е. Шмидта [75], X. Гейрингер [77], Р. Хилла [79], Б. А. Друянова [12, 6,10, 13, 9,11, 8, 7, 14, 15], Д. Д. Ивлева [27], И. Ф. Коллинза [36], в которых было получено много точных решений.

Общая плоская задача как общий случай двумерной задачи, включающий в себя частные задачи о плоском деформированном состоянии и плоском напряженном состоянии, исследовалась Д. Д. Ивлевым [27].

Задача о плоском напряженном состоянии подробно исследовалась В. В. Соколовским [59].

Исследование осесимметричного состояния в первую очередь связано с именами А. Ю. Ишлинского [28,29], Р. Т. Шилда [96], Г. Липпмана [38].

Необходимо заметить, что несмотря на успешное решение плоских задач, их исследование проводилось, как правило, без учета изменения геометрии свободной поверхности. Исключение составляет ограниченное число решений, одно из них - это решение задачи о растяжении полосы с выточкой В. Прагера [90], В. В. Дудукаленко, Ю. М. Мяснянкина, В. Н. Николаенко [16].

Впервые задача о растяжении плоского образца была рассмотрена Е. Онатом и В. Прагером [91, 92, 93, 94]. В дальнейшем она рассматривалась в различных постановках в работах [66, 63, 67, 69,20,68, 19]. Различные подходы к описанию механизма локализации пластической области и образования шейки при растяжении жесткопластической полосы представлены в работах [43,25, 26, 64, 4, 50, 24, 42, 49, 22, 35, 87,2, 88, 97, 84, 81, 76, 21, 98, 86, 17, 85]. Задача об изгибе полосы с растяжением рассмотрена в работах [39,23, 73, 44,18, 34].

Задача об одноосном сжатии плоского образца представлена работами [30,63,31,80].

Построение решений с учетом изменения геометрии необходимо во многих задачах пластического формоизменения тел. Особое значение влияния подвижных границ имеет место в задачах о разрушении. Это связано с тем, что деформирование материала в пластической области происходит крайне неравномерно. Можно условно выделить два типа деформирования: постепенное деформирование, происходящее в непрерывном поле скоростей с конечной скоростью деформации и мгновенное (скачкообразное) деформирование, которое происходит при пересечении частицей особенности поля линий скольжения (веер характеристик, линия разрыва скоростей). Как показывают конкретные примеры расчетов, второй тип деформирования определяющий. Величина деформации при этом определяется скоростью движения особенности поля линий скольжения, которая связана с изменением границ тела.

Указанный факт локализации пластических деформаций экспериментально подтверждается наличием "полос сдвига" (линий Людерса). В работе Дж. Р. Райса [52] локализация пластической деформации в полосе сдвига рассматривается как неустойчивость пластического течения и предшественник разрушения, (в этой же работе приводится обзор экспериментальных наблюдений).

В работе Дж. Р. Райса показано, что условие локализации тесно связано с особенностями определяющих соотношений для пластического течения. Локализации благоприятствует низкий модуль упрочнения материала. На основе физических данных предсказано наличие эффектов негладкости поверхности нагружения.

В работах Д. Д. Ивлева, Г. И. Быковцева установлено, что наличие особенностей у поверхности текучести приводит, как правило, к гиперболической системе разрешающих уравнений, которые допускают существование разрывов скоростей перемещений.

Возможность существования механизма разрушения на особенностях поля скоростей отмечено также в работе Ф. Макклинтока [40].

Содержание работы по главам распределяется следующим образом.

В первой главе приводятся основные соотношения теории идеального жесткопластического тела. В качестве условия текучести принимается условие Треска - Сен-Венана или Мизеса, оба этих условия приводят к одной и той же системе определяющих уравнений. Формулируются основные критерии выбора предпочтительного решения. Необходимость формулировки этих критериев связана с тем, что, как правило, поле скоростей перемещений неединственно. Выбор определенного поля скоростей приводит к соответствующему ему процессу деформирования, величинам деформации и условиям разрушения материала. Описываются условия проведения одного из основных механических экспериментов по определению механических констант материалов - одноосного растяжения плоских образцов.

Во второй главе рассматривается задача об одноосном деформировании плоского образца в различных постановках: с разрывным полем скоростей, когда пластическая область локализована на изолированных линиях разрыва (задача Оната - Прагера); и с непрерывным полем скоростей, когда пластическая область охватывает все поперечное сечение деформируемого образца. Исследуются получаемые поля деформаций в том и другом случае, полученные ре

11 шения сравниваются. Вводится деформационный критерий разрушения. Предлагается подход к описанию процесса разрушения при растяжении плоского образца. Вводятся новые константы разрушения материалов в виде значений инвариантных характеристик тензора деформаций, которые более удобны в теоретических вычислениях. Приводится методика их расчета по уже известным экспериментальным характеристикам, получаемым в процессе испытаний на одноосное растяжение. Исследуется процесс накопления пластических деформаций при циклическом растяжении и сжатии плоского образца. Решается задача о растяжении жесткопластической полосы с круговой выточкой с разрушением.

В третьей главе анализируются параметры, характеризующие кривые упрочнения. Анализ проводите я на основе задачи об одноосном растяжении (сжатии) плоского образца при однородном поле скоростей деформаций. Упрочнение предполагается изотропным. Предлагаются методики расчета новых координат для кривых упрочнения в зависимости от инвариантов тензора Альманси.

В четвертой главе рассматривается задача об изгибе полосы с растяжением. Исследуется режим изгиба, когда сжимающие напряжения в полосе отсутствуют.

Заключение

1. Предложено решение задачи, описывающей одноосное растяжение и сжатие плоского образца, в основу которой положено предположение об однородности поля деформаций, охватывающем все поперечное сечение образца.

2. В рамках предложенных решений задач о сжатии и растяжении плоского образца проведено исследование процесса накопления пластических деформаций при циклическом растяжении и сжатии;

3. Исходя из гипотезы об однородности поля скоростей на начальном этапе деформирования, предложено решение задачи об одноосном растяжении жесткопластической полосы с разрушением.

4. Предложен подход к определению констант разрушения материалов, удобных в теоретических вычислениях, позволяющих определить начало разрушения - момент появления макротрещины внутри образца и процесс распространения макротрещины. Предложена методика их расчета из экспериментальных данных, получаемых в ходе стандартных механических испытаний образцов.

5. Получено решение задачи о растяжении полосы с круговой выточкой численным методом. Показано, что при использовании деформационного критерия разрушения, зарождение и распространение макротрещины происходит из центра образца.

6. Установлена связь между экспериментально определяемыми механическими характеристиками степени деформации и используемыми в теоретических исследованиях инвариантами тензора Альманси. Предложена схема пересчета экспериментально получаемых кривых упрочнения в зависимости от инвариантов тензора Альманси.

7. Получено аналитическое решение задачи об изгибе полосы с растяжением в новой постановке.

1. Быковцев Г. И., Ивлев Д. Д. Теория пластичности. Владивосток: Даль-наука, 1998.-528 с.

2. Артемов М. А., Ивлев Д. Д. Об идеально-пластическом состоянии призматических тел переменного прямоугольного сечения // Докл. РАН. -1997.-353, 1.-С. 47-50.

3. Атомистика разрушения: Сб. Статей 1983-1985 гг.//Сост. А. Ю. Ишлин-ский.- М.: Мир, 1987.- 248 с.

4. Батаев А. А., Тушинский JI. И., Которое С. А., Батаев В. А. Локализация пластического течения в холоднодеформированной стали 18ЮА // Металловед. и терм, обраб. мет. 1998. - 6. - С. 34-36.

5. Годунов С. К. Элементы механики сплошной среды М.: Наука, 1978304 с.

6. Друянов Б. А. Метод решения статически неопределимых задач плоского течения идеальнопластических тел//Докл. АН СССР, 1962.-Т.143, №4.- С.808-810.

7. Друянов Б. А. О движении цилиндрического индентора по поверхности полупространства // Теория трения и износа.- М.: Наука, 1965.

8. Друянов Б. А. О деформации полосы при волочении через криволинейную матрицу//МТТ.- 1966.-№1.- С.125-131.

9. Друянов Б. А. О полных решениях некоторых задач деформации полосы //МТТ.- 1968.- №2.-С.171-173.

10. Друянов Б. А. Начальное течение полосы при непоступательном вдавливании штампа // Изв. АН СССР.- МТТ.- 1969.- №2.- С.95-98.

11. Друянов Б. А. Волочение полосы через криволинейную матрицу // ПМФТ.-1962.- № 1.- С. 165-168.

12. Друянов Б.А. Об интегрировании уравнений плоского течения идеально-пластических тел//Докл. АН СССР.- 1965 .-Т. 167.- №5.- С. 1023-1024.

13. Друянов Б.А. Начальное течение полосы при вдавливании гладкого криволинейного штампам // Исследование пластического течения металлов.-М.: Наука, 1970.- С.98-106.

14. Друянов Б. А. О применении жесткопластического анализа к некоторым технологическим задачам//Изв. АН СССР.- МТТ.- 1971.- №3.- С. 179-183.

15. Друянов Б.А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности.-М.: Машиностроение, 1990.- 272 с.

16. Дудукаленко В.В., Мяснянкин Ю. М. Об определении изменяющейся границы тела при плоском пластическом деформировании // Науч. тр. фак. прикл. мат. и мех. Воронеж, ун-та.- 1971.- Вып. 2.- С.131-134.

17. Жигалкин К. А. Изгиб полосы с растяжением // Обозрение прикл. и про-мышл. матем. / Тез. докл. М - 2002 - Т.9.- Вып.2 - С.373 - 375.

18. Жигалкин К. А. Накопление деформаций и пересчет кривых упрочнения // Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова / Тезисы докладов. Владивосток: "Дальнаука". - 2002. - С.75-76.

19. Жигалкин К. А. Накопление пластической деформации при последовательном растяжении и сжатии плоского образца // Обозрение прикл. и промышл. матем. / Тез. докл. М.: Редакция журнала "ОПиП".- 2002-Т.9.-Вып.1.-С.189- 190.

20. Захарова Т. Л. Об образовании шейки при растяжении идеально пластической неоднородной анизотропной полосы // Изв. Инж.-технол. акад. Чуваш. Респ. 1996. - № 2. - С. 33-35.

21. Захарова Т. J1. Об образовании шейки при растяжении идеально пластической изотропной полосы // Докл. РАН бывш. Докл. АН СССР. -1998.- 358, 3.-С. 340-342.

22. Звороно Б. П. Пластический изгиб с растяжением широкой полосы //Кузнечно-штамповочное производство. 1988. - №5. - С.13-15.

23. Ивлев Д. Д., Максимова J1. А. Об образовании шейки при течении жест-копластической плоской полосы // Изв. Инж.-технол. акад. Чуваш. Респ. -1997-1998. 3-4 - 1-2. - С. 16s27. - Рус.

24. Ивлев Д. Д., Максимова Л. А О возмущенном течении растягиваемой идеально-пластической полосы // Докл. РАН. 1998. - 363, 5. - С. 632633.

25. Ивлев Д. Д., Максимова Л. А. Об идеальном жесткопластическом течении плоской полосы // Докл. РАН. 1998. - 363,4. - С. 483-485.

26. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности.- М.: Наука, 1966.- 232 с.

27. Ишлинский А. Ю. Осесимметричная задача пластичности и проба Брине-ля //ПММ.- 1944.- Т.8, вып. 3.- С.201-224.

28. Ишлинский А. Ю. Прикладные задачи механики.- Кн. 1. Механика вязко-пластических и не вполне упругих тел.- М.: Наука, 1986.- 360 с.

29. Кадымов В. А., Махутов Н. А. Об одном обобщении задачи Л. Прандтля о сжатии пластической полосы и его приложении // Пробл. машиностр. и надеж, машин. 1998. - 6. - С. 30-34.

30. Кадымов В. А., Махутов Н. А. Об одном обобщении задачи Л. Прандтля о сжатии пластической полосы и его приложении // Пробл. машиностр. и надеж, машин. 1998. - 6. - С. 30-34.

31. Каминский А. А., Кипнис Л. А., Колмакова В. А. Расчет пластической зоны в конце трещины в рамках модели "трезубец" // Прикл. мех. (Киев). -1997.- 33, 5.-С. 70-76.

32. Качанов Л. М. Основы механики разрушения.- М.: Наука, 1974.- 312 с.

33. Клименков А. Н. Выявление предельной деформации при изгибе с растяжением полосы на ребро // Прогрес. технол. авиац. и машиностроит. пр-ва / Воронеж, гос. техн. ун-т, НИИ автоматизир. средств пр-ва и контроля. Воронеж, 1996. - С. 38-41.

34. Колбасников Н. Г., Мете Ю. А., Трифанова И. Ю. Вероятностный критерий пластичности // Изв. вузов. Чер. металлургия. 1997. - 7. - С. 23-28.

35. Коллинз И. Ф. Алгебра и геометрия полей линий скольжения с приложением к краевым задачам // Механика: Сб. переводов.- 1969.-№4.- С.94-152.

36. Кроха В. А. Упрочнение металлов при холодной пластической деформации: Справочник. -М.: Машиностроение, 1980. 157 с.

37. Липман Г. Теория главных траекторий при осесимметричной пластической деформации //Механика: Сб. переводов.- 1963.- №3.- С. 155-167.

38. Макаров К.А., Меркулов В. И., Егорова Ю. Г., Хромов А. И. Пластический изгиб листа с растяжением // Кузнечно-штамповочное производство. -1999. -№1.- С.9-12.

39. Макклинток Ф. Пластические аспекты разрушения // Разрушение-Т. 111.- С.67-262.

40. Макклинток Ф., Арагон А. Деформация и разрушение материалов М.: Мир, 1970.-443 с.

41. Максимова Л. А. Об образовании шейки в полосе из идеального жестко-пластического материала // Изв. Нац. акад. наук и искусств Чуваш. Респ.-1997.- 4.-С. 95-100.

42. Максимова Л. А. О течении полосы из идеального жесткопластического материала, ослабленного пологими выточками // Изв. РАН. Мех. тверд, тела.- 1999.- 3.- С. 65-69.

43. Михлин С. Г. Математическая теория пластичности // Некоторые новые вопросы механики сплошной среды.- М.: Изд-во АН СССР, 1983.

44. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел.- ИЛ, 1954.

45. Партон В. 3., Морозов Е. М. Механика упругопластического разрушения.- М.: Наука, 1985.- 504 с.

46. Партон В. 3. Механика разрушения: От теории к практике.- М.:Наука, 1990.- 240 с,

47. Петров Г. В., Чекмарев Г. Е. О деформировании плоской полосы из упрочняющегося материала, ослабленной пологими выточками // Докл. РАН.- 1998.- 358, 5.- С.630-632.

48. Петров Г. В., Чекмарев Г. Е. О плоской задаче деформировании тел из упрочняющегося материала // Изв. Инж.-технол. акад. Чуваш. Респ.-1997-1998.- 3-4 1-2.- С. 57-60.

49. Разрушение: Энциклопед. справочник / Под ред. Г. Либоевица.- М.: Мир, 1973.- Т.1.- 616 е.; 1975.- Т.2.- 764 е.; 1976.- Т.З.- 797 с.

50. Райе. Дж. Р. Локализация пластической деформации // Теоретическая и прикладная механика. Труды XIV Междунар. конгр. IUTAM.- М.: Мир, 1979.- С.438-471.

51. Роботнов Ю. Н. Введение в механику разрушения М.:Наука, 1987.- 80 с.

52. Свердко В. П., Сегал В. М. Обзор современного состояния теории обработки металлов давлением // Кузнечно-штамповочное производство.-1970,- №9.- С. 2-7.

53. Сегал В.М. Технологические задачи теории пластичности.- Минск: Наука и техника, 1977.- 256 с.

54. Сиратори М., Миеси Т., Мацусита X. Вычислительная механика разрушения.- М.: Мир, 1969.- 334 с.

55. Слепян JI. И. Механика трещин.- Л.: Судостроение, 1990.- 296 с.

56. Соколовский В. В. Построение полей напряжений и скоростей в задачах пластического течения // Инж. журн.- 1961.- Т. 1, вып. 3.- С. 116-121.

57. Соколовский В. В. Теория пластичности.- М.: Высш. шк., 1969.- 608 с.

58. Фридман Я.Б. Механические свойства металлов В 2 ч. - М.: Машиностроение, 1974.-Ч. 2.-368 с.

59. Христианович С.А. Плоская задача математической теории пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре: Мат.сб. (Нов. сер.).-1983.- Т. 1, вып. 4.

60. Хромов А. И. Разрушение жесткопластических тел. Владивосток: Дальнаука, 1996.- 181 с.

61. Хромов А. И., Щибрикова Е. В. Сжатие полосы в поле сил тяжести // Пробл. мех. сплош. среды / РАН. ДВО. Ин-т автомат, и процессов упр.-Владивосток, 1996.- С. 196-201.

62. Хромов А. И. Локализация пластических деформаций и разрушение идеальных жесткопластических тел // Докл. РАН.- 1998.- 362, 2.- С. 202-205.

63. Хромов А. И. Локализация пластических деформаций и разрушение идеальных жесткопластических тел // Докл. РАН- 1998.- Т.362.- №2-С. 202-205.

64. Хромов А. И. Деформация и разрушение жесткопластической полосы при растяжении // Механика твердого тела. 2000. -№1. - С. 136-142.

65. Хромов А. И., Жигалкин К. А. Математическое моделирование процесса деформирования материалов // Дальневосточный математический журнал. Ч. 3. - № 1. - Владивосток: "Дальнаука". - 2002. - С.93-101.

66. Черепанов Г. П., Ершов ji. В. Механика разрушения.- М.: Машиностроения, 1977.-224 с.

67. Черепанов Г. П. Механика разрушения композиционных материалов.-М.: Наука, 1983.-296 с.

68. Черепанов Г. П. Механика разрушения горных пород в процессе бурения.- М.: Недра, 1987.- 308 с.

69. Чудин В. Н. Изгиб с растяжением элементов корпусных конструкций // Кузнечно-штамповочное производство 2001- №6 - С. 3-6.

70. Bishop J. F.W. On the complete solution to problems deformation of a plastic-rigid material // J. Mech. and Phys Solids.- 1953.- V.2, №1.- P. 43-53.

71. Caratheodori C., Schmidt E. Uiber die Hencky-Prandtlischen Kurven // ZAMM.- 1923.- Bd. 3, h 6.- P. 468.

72. Geiringer-Pollaczek H. Beitrag zum Vollstandig ebenen Plastizitatsproblem // Verhandlungen d. 3. Internal / Kongress fur technische Mechanik.- Stockholm, 1930.- V.2.-P. 185-190.

73. Hency H. Uber einige statisch bestimmten Falle des Gleichgewichts in pias-tischen, Korpern // ZAMM, 1923.- Bd.3 h.4.- P. 241-251.

74. Hill R. The mathematical theory of plasticity.- Oxford, 1950.

75. Kadymov V., Wille R. Пластическое течение конечного однородного слоя. Plastic flow in piece-wise-homogeneous layer II Z. angew. Math, und Mech. -1995.- 75, Suppl. nl.- C. 293-294.

76. Lee E. H. The theoretical analysis of metal forming problems in plane strain // J. Appl. Mech.- 1952.-Y. 19.-P. 97-103.

77. MacClintock F. A. Ductile fracture insability in shear // J. Appl. Mech.- 1958.-V.25.- №4.- P. 582-587.

78. Moritoki H., Okuyama E. Внутренний критерий пластической неустойчивости. Intrinsic criterion of plastic instability // Nihon kikai gakkai ronbunshu. Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A.- 1996.- 62, № 601.- C. 2157-2164.

79. Moritoki H., Okuyama E. Связь пластической нестабильности с многозначностью. Correlation of plastic instability with multiplicity // Nihon kikai gakkai ronbunshu. Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A.- 1998.- 64, 617.-C. 193-199.

80. Onat E., Prager W. // J. Appl. Phys.- 1954.- № 4.- P. 491-493.

81. Prager W, Hodge Ph G. Theory of perfectly plastic solids.- N. Y., 1951.

82. Prager W A Geometrical Discussion of the slip line field in plane flow // Trans. Roy Inst. Technology.- Stockholm, 1953.- № 65.

83. Prager W. Problem der Plastizitatstheorie.- Basel, 1955.- 1955.

84. Prandl L. Yber die Harte des plastischer Korper // ZAMM, 1921.- Bd. 1, h. 1.

85. Schield R F, Plastic potential theory and Prandtl bearing capacity solution // J. Appl. Mech.- 1954.- V.21.- №2.

86. Zahorski S. Шейкообразование при стационарной вытяжке полимерных волокон. Necking in steady-state drawing of polymer fibres // Arch. Mech. -1996. 48, 6. - C. 1101sl 113.-Англ.