Математическое моделирование полей тензоров деформаций в пластических течениях с разрывным полем скоростей перемещений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ЛОШМАНОВ Антон Юрьевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ ТЕНЗОРОВ ДЕФОРМАЦИЙ В ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЯХ С РАЗРЫВНЫМ ПОЛЕМ СКОРОСТЕЙ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток - 2006

Работа выполнена в Институте машиноведения и металлургии ДВО РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор, заслуженный деятель науки РФ Хромов Александр Игоревич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Астафьев Владимир Иванович;

Зашита состоится « 23 » ноября 2006 года в 14:00 часов на заседании диссертационного совета ДМ 005.007.02 в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН по адресу: 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 5, аудитория 510.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления ДВО РАН.

Автореферат разослан « 19» октября 2006 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук Зиновьев Павел Владимирович.

Ведущая организация: Самарский государственный технический

университет.

к.ф.-м.н.

Дудко О.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из основных задач механики твердого тела является оценка прочности элементов, работающих в реальных условиях эксплуатации. Одним из параметров, существенно влияющим на запас прочности элементов конструкций, является степень деформированности материала. Степень деформированности материала оценивается различными параметрами, которые не всегда являются инвариантными. В данной работе деформированность материала оценивается тензорами конечных деформаций и их инвариантами, что позволяет корректно оценить деформации частиц материала, включая окрестности зон локализации пластических деформаций.

Развитие фундаментальных соотношений теории идеальной пластичности связано с именами Г. Гейрингер, Г. Генки, В. Койтера, Е. Ли, А. Надаи, Е. Оната, В. Прагера, Л. Прандтля, Р. Хилла и др. Вопросам и задачам теории идеальной пластичности посвящены многочисленные работы отечественных авторов: Б.Д. Аннина, Г.И. Быковцева, Б.А. Друянова, Д.Д. Ивлева, А.Ю. Ишлинского, Л.М. Качанова, Ю.В. Немировского, Р.И. Непершина, Ю.Н. Радаева, В.В. Соколовского, С.А. Христиановича, А.И. Хромова и др.

Реальные материалы обладают сложным комплексом свойств. Попытка учесть их все сразу чрезвычайно усложняет анализ. Однако зачастую необходимая информация может быть получена при помощи базовых моделей, к которым относится модель идеального жестко пластического тела.

Одной из основных проблем этого направления является то, что деформации в пластической области распределяются крайне неравномерно. Эксперименты показывают существование тонких слоев локализации деформаций (порядка 20-50 мкм), примыкающих к жесткопластическим границам с большим градиентом перемещении, что в теории жестко пластических тел соответствует особенностям поля скоростей перемещений (точки, линии и поверхности разрывов различного порядка). Подобный эффект наблюдается также в окрестности точек резкого изменения формы тела (например, угловых точек). Деформации в окрестности таких особенностей значительно превышают деформации в непрерывном поле скоростей перемещений и могут определять процессы разрушения тел.

Реальная прочность материала в составе конструкций на несколько порядков отличается от теоретически достижимой прочности, определяемой межатомными (межмолекуляриымн) связями. Снижение прочности объясняется наличием дефектов, приводящих к пластическому течению даже при относительно малых напряжениях, и трещин, в результате развития которых может наступить разрушение. В общем случае под разрушением подразумевается не только необратимый распад материалов на две или больше частей. 13 понятие разрушения входит также необратимое пластическое течение, которое характеризуется остаточной деформацией и

приводящее к исчерпанию несущей способности. Поэтому описание процесса накопления деформаций представляет отдельную актуальную задачу.

Целью работы является исследование процесса накопления пластических деформаций в условиях жестко пластического деформирования и их локализации при плоских пластических течениях с угловыми точками, содержащими при расчете полей напряжений и скоростей перемещений особенности типа поверхности разрыва скоростей и центра веера линий скольжения; определение зон возможного разрушения материала; описание процесса разрушения для задачи о растяжении полосы с вырезами в рамках плоской деформации.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- исследованы поля тензоров деформаций в задачах обработки материалов давлением (прямое прессование, обратное прессование, прошивка полосы, течение жесткопластического материала по каналу с угловым изгибом, выглаживание поверхности угловым штампом); в рассматриваемых задачах получены поля деформаций с учетом их накопления;

- исследованы процессы деформирования и разрушения полосы с V-образными вырезами при растяжении; рассмотрены возможные случаи образования трещин в полосе при растяжении на основе анализа полей деформаций в пластической области.

Достоверность полученных результатов основана на классических подходах механики сплошных сред и строгих математических выкладках.

Практическаяш_знач71мость работы. Решение рассматриваемых задач актуально при разработке математических моделей поведения реальных элементов конструкций, оценки их надежности, разрушения при длительной эксплуатации с большим накоплением остаточных деформаций и в экстремальных условиях. Возможно применение данного подхода при разработке методов расчета технологических процессов обработки материалов давлением, резанием; для проектирования оборудования, используемого при этих процессах.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на:

- XXIX Дальневосточной школе-семинаре им. академика Е.В. Золотова, Владивосток, 2004;

- XXX Дальневосточной школе-семинаре им. академика Е.В. Золотова, Хабаровск, 2005;

- Научной конференции молодых учёных по механике сплошных сред, посвященной 80-летию со дня рождения чл.-корр. АН СССР A.A. Поздеева, Пермь, 2006;

- VIII Краевом конкурсе-конференции молодых ученых, Хабаровск, 2006;

- XXXIV Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", St. Petersburg (Repino), Russia, 2006;

III Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, 2006;

- Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики», посвященной 70-летию со дня рождения академика В.П. Мясникова, Владивосток, 2006;

- VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия), Кисловодск, 2006.

Публикации по работе. По теме диссертации опубликовано 12 научных работ и получено одно свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (92 наименования). Объем работы - 106 страниц, в том числе 35 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность поставленной проблемы, проанализированы вопросы исследования плоского деформированного состояния и разрушения идеального жестко пластического тела, описано содержание диссертации по главам.

В первой главе представлены соотношения теории плоской деформации идеального жесткопластического тела.

В первых двух параграфах приводятся основные положения теории: полная система уравнений теории плоской деформации идеального жесткопластического тела, общие соотношения вдоль линий скольжения. В третьем параграфе приведены условия построения полного решения задач теории пластичности.

В четвертом параграфе описан метод исследования деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения (линии разрыва поля скоростей перемещений и центра веера линий скольжения). В качестве меры деформаций используется тензор конечных деформаций Альманси Е^,

связанный с дисторсией А = ] = ], соотношениями:

™и Е=1-{1-АА"\ (1)

где х^j =дх^¡дXj ; д:(°, Ху - соответственно лагранжевы и эйлеровы

координаты частицы.

В пятом параграфе рассмотрена проблема неединственности пластического течения в задачах теории плоской деформации идеального жесткопластического тела. Для выбора предпочтительного решения используется критерий: предпочтительным является решение, для которого наибольшее значение первого главного значения тензора Альманси Е1 в пластической области минимально:

птГ 5ир£, у/).

V 9

В шестом параграфе формулируются критерии разрушения и выбора направления развития трещины:

- разрушение материала происходит, если деформации (алгебраически наибольшее главное значение тензора конечных деформаций Альманси Ек) превышают критическое значение Е,:

ф

- разрушение происходит в направлении, при котором приращение работы, необходимой для деформирования образца, максимально:

или направление разрушения ортогонально первому главному направлению.

Во второй главе рассмотрены пластические течения в задачах обработки материалов давлением.

В первом параграфе исследовано поле деформаций в окрестности особенности поля скоростей деформаций (центре веера линий скольжения) в задаче о течении жесткопластического материала по каналу с угловым изгибом (рис. 1,а). Показано, что движение центра веера поля линий скольжения существенно влияет на распределение поля деформаций.

Предложенный подход позволяет исследовать деформации с учетом их накопления в листовых деталях при выглаживании угловым штампом, при изгибе листов, при некоторых видах листовой прокатки (рис. 1,6).

Е\ > Е% или

(3)

(4)

Рис. 1

Во втором параграфе рассмотрена задача о прессовании полосы через симметричную матрицу с углом у наклона боковых стенок (рис. 2,а). Зоны

пластической деформации заштрихованы. Получено распределение поля деформаций в полосе на выходе из матрицы с учетом их накопления (рис. 2,6,

для случая у - 30°).

Рис. 2

Рассмотрен процесс прямого прессования (или выдавливания) листа из контейнера через матрицу с прямоугольными стенками и редуцированием в 50% (рис. 3,а). Распределение поля деформаций на выходе из матрицы представлено на рис. 3,6.

Рис. 3

Рассмотрены процессы обратного прессования (рис. 4,а) и прошивки (рис. 5,а) полосы с редуцированием в 50%, которые описываются тем же

полным решением, что и прямое прессование. Распределение полей деформаций с учетом их накопления представлены на рис. 4,6 и рис. 5,6. Показано, что процессы обратного прессования и прошивки сводятся к процессу прямого прессования, при этом неоднородное пластическое течение и распределение деформаций в пластической области не меняются.

В третьем параграфе рассмотрена задача о выглаживании поверхности твердым (недеформируемым) угловым штампом с углом раствора 2ц (рис. 6,а). Рассматривается стационарное пластическое течение, т.е. поля скоростей и деформаций постоянны с течением времени. Поле линий скольжения и распределение поля тензора деформаций по высоте к представлены на рис. 6,6.

а)

б)

О

Л 0.5 к! т н, ТУ 0.5

\4: Уч !< Л \х:/ / / _—;—« ; 'С1 УХ \ 1 \ \\х:

г 11/2

Ц

в,

Рис.4

Рис. 5

В третьей главе рассмотрена задача о растяжении полосы с V-образными вырезами.

В первом параграфе рассмотрены известные решения этой задачи: решения Е. Ли (обобщения решений Хилла и Прандтля задачи о внедрении плоского штампа в жесткопластическое полупространство) и решение О. Ричмонда, содержащие ряд противоречий и не существующие как решения с развивающимися пластическими течениями.

Во втором параграфе рассмотрено известное решение с несимметричным пластическим течением (рис. 7,а) для углов вырезов

£е(52.4°,90°]. Для углов <5^52.4° деформации в пластической области

достигают значения Е1 — 0.5, т.е. в этом случае возможно разрушение

материала.

Согласно критерию выбора предпочтительного пластического течения (2) направление движения вершин вырезов выбирается таким, что свободная поверхность образуется под углом 32~6 (рис. 7,а). При этом в процессе деформирования У-образные вырезы в полосе остаются симметричными относительно линии ААХ. Это приводит к неоднозначности пластического

течения, связанной с возможностью нахождения в пластическом состоянии как верхней, так и нижней частей полосы в различные промежутки времени.

Рис. 7

На основе этого в третьем параграфе рассматривается решение (рис. 8,а), когда в пластическом состоянии попеременно находятся верхняя и нижняя части полосы. Рассматривается пластическое течение при равных промежутках времени ( Л/1 = Ы2 ), которое при стремлении Ы — Д^ + Д/2 к

нулю приводит к симметричному пластическому течению. При этом вершина выреза движется по горизонтали.

На рис. 8,6 представлено распределение деформаций в окрестности центра веера линий скольжения (точка А) и на линиях разрыва скоростей перемещений, наблюдаемое в области С1А1ВАС в момент времени Д*2 для

случая 6 = 60°. В процессе деформирования полосы на каждом временном шаге значения деформаций, полученные на предыдущем шаге, являются

начальными значениями для данного шага, т.е. учитывается история процесса деформирования.

Выбор предпочтительного направления движения вершины выреза (положения пластической области в верхней или нижней частях полосы) в текущий момент времени невозможен. Он определяется предыдущей историей деформирования, а также случайными факторами (наличием в

реальных материалах микродефектов, микронеоднородностей, пористости и т.д.). На основании этого в четвертом параграфе предлагается новое решение задачи о растяжении полосы с вырезами без разрушения, когда положение пластической области (в верхней или нижней частях полосы) выбирается случайным образом (рис. 9,а).

На рис. 9,6 представлено распределение деформаций в окрестности центра веера линий скольжения (точка А) и на линиях разрыва скоростей деформаций, наблюдаемое в области С, А] ВАС в процессе растяжения

полосы для случая б — 60°.

Сравнение рис. 7,6, 8,6 и 9,6 показывает, что наибольшие деформации получают частицы в окрестности центра веера поля линий скольжения и при симметричном пластическом течении они минимальны. Т.е. это решение является предпочтительным, согласно критерию выбора предпочтительного пластического течения (2), используемого в данной работе.

В четвертой главе предложены решения задачи о разрушении полосы с У-образными вырезами при растяжении.

В первом параграфе на основе решения задачи без разрушения предложено новое решение задачи о разрушении полосы в окрестности

вырезов для углов б -й 52.4° (£,=0.5).

Вершинами трещин, распространяющихся со свободной поверхности, являются вершины У-образных вырезов. В различные промежутки времени в пластическом состоянии попеременно находятся верхняя и нижняя части полосы, при условии бх=бг= б в процессе растяжения, что объясняет экспериментально наблюдаемое зигзагообразное распространение трещины

(рис. 10, б = 50°).

Предлагается решение задачи о разрушении полосы в окрестности

вырезов для углов б ^52.4°, когда выбор направления развития трещины в текущий момент времени определяется случайным образом (рис. 11,

б = 50°).

Реальные конструкционные материалы могут не выдерживать значений деформаций = 0.5 и начнут разрушаться при меньших значениях. В этом случае максимальные значения деформаций ограничиваются определенной величиной являющейся константой

разрушения данного конструкционного материала, т.е. учитываются механические свойства материала. И тогда пластическое течение соответствует условию бх = б2 < б.

Рис. 10 Рис. 11

Во втором параграфе рассматривается пластическое течение, в котором деформации материала достигают своего критического значения Е. в

пластической области в окрестности точки Е (рис. 7). Рассматривается возможное образование трещины внутри материала (рис. 12).

Рис. 12

Рис. 13

Ii третьем параграфе предполагается, что деформации достигают критических значений Et как в окрестности угловых точек вырезов (точки

А, A i ), так и внутри пластической области (точка Е ). В этом случае будет происходить образование внешних и внутренней трещин (рис. 13).

Разработаны алгоритмы построения свободных поверхностей в процессе разрушения. Изменение положения этих поверхностей описываются смешением точек поверхностей за выбранный интервал времени Л/ согласно скоростям жестких областей, к которым они примыкают.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Разработан алгоритм и программа расчета полей тензоров деформаций в окрестности особенностей поля скоростей перемещений для решения плоских задач в рамках модели идеального жесткопластического тела.

2. Получены поля тензоров деформаций с учетом их накопления и локализации в задачах о течении жесткопластического материала по каналу с угловой точкой, прессовании полосы, выглаживании поверхности жестким угловым штампом.

3. Предложено новое решение задачи о растяжении полосы с V-образными вырезами без разрушения. На основе анализа поля тензора деформаций производится выбор предпочтительного пластического течения.

4. Рассмотрены возможные случаи образования трещин в полосе с V-образными вырезами при растяжении на основе анализа полей тензоров деформаций в пластической области с учетом механических свойств конструкционных материалов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО МАТЕРИАЛАМ ДИССЕРТАЦИИ

1. Лошманов А.Ю. Расчет полей деформаций в задачах обработки материалов давлением // Вестник ДВО РАН. 2006. № 4. С. 127-133.

2. Буханько A.A., Лошманов А.Ю., Хромов А.И. Расчет полей деформации в задачах обработки материалов давлением при наличии особенностей поля скоростей перемещений // КШП. ОМД. 2006. №9. С. 2227.

3. Лошманов А.Ю. Выглаживание поверхности угловым штампом // Обозрение прикладной и промышленной математики / Тезисы докладов. М.: ОПиПМ. Т. 13. Вып. 2. 2006. С. 333-334.

4. Bukhanko A.A., Loshmanov A.Yu. Problems of technological plasticity theory // Book of abstracts. XXXIV Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics1', June 25 - July I, 2006, St. Petersburg (Repino), Russia. P. 23.

5. Ьуханько A.A., Лошманов А.Ю. Математическое моделирование полей деформации в пластических течениях с разрывным нолем скоростей

перемещений // Фундаментальные и прикладные вопросы механики: Материалы Всероссийской конференции, посвященной 70-летию со дня рождения академика В.П. Мясникова (Владивосток, 25-30 сентября 2006 г.). Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2006. С. 31-33.

6. Лошманов А.Ю., Буханько A.A. Прошивка жесткопластической полосы // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Третьей Всероссийской научной конференции. Ч. 1: Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций. Самара: СамГТУ, 2006. С. 136-139.

7. Лошманов А.Ю. Анализ полей остаточных деформаций в задачах технологической теории пластичности И Научная конференция молодых учёных по механике сплошных сред, посвященная 80-летию со дня рождения чл.-корр. АН СССР A.A. Поздеева. Сборник научных трудов. Екатеринбург: УрО РАН, 2006. С. 83-85.

8. Хромов А.И., Буханько A.A., Лошманов А.Ю. Течение жесткопластического материала по каналу постоянной высоты с круговым изгибом и угловой точкой // Вестник Чувашского государственного педагогического университета имени И.Я. Яковлева. № 1 (48), 2006. С. 147150.

9. Лошманов А.Ю., Буханько A.A. Исследование полей деформаций в задаче о прессовании полосы // Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е. В. Золотова: тезисы докладов. Владивосток: Дальнаука, 2004. С. 107-108.

10. Буханько A.A., Лошманов А.Ю. Поля деформаций в окрестности особенностей пластической области // Проблемы механики сплошных сред и смежные вопросы технологии машиностроения: Сборник докладов третьей конференции. Владивосток - Комсомольск-на-Амуре, сентябрь 2004 г. Комсомольск-на-Амуре: ИМиМ ДВО РАН, 2005. С. 233-241.

11. Лошманов А.Ю. Об одном решении задачи о растяжении полосы с V-образными концентраторами деформаций // XXX Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: тезисы докладов. Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2005. С. 162-163.

12. Лошманов А.Ю. Расчет полей деформаций в пластических течениях с разрывным полем скоростей перемещений // XXXI Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова: тезисы докладов. Владивосток: Дальнаука, 2006. С. 138-139.

13. Буханько A.A., Лошманов А.Ю., Хромов А.И. Концентраторы деформации. Определение полей деформаций в их окрестности / Св-во о per. прогр. для ЭВМ № 2005611824 от 25.07.2005.

Личный вклад автора. Работы [1, 3, 7, 11, 12] выполнены автором лично. В работах [2, 4-6, 8-10, 13] в рамках сформулированной научным руководителем проблемы автор получил необходимые для теоретического

анализа и численных расчетов соотношения и провел необходимые вычисления.

Лошманов Антон Юрьевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ ТЕНЗОРОВ ДЕФОРМАЦИЙ В ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЯХ С РАЗРЫВНЫМ ПОЛЕМ СКОРОСТЕЙ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Автореферат

Подписано в печать 15 октября 2006 г. Усл. п. л. 0,8 Уч.-изд. л. 0,7 Формат 60*84/16._Тираж 100 экз._Заказ 93

Издано в ИМиМ ДВО РАН. Комсомольск-на-Амуре, ул. Металлургов, 1

Огисчатано участком оперативной печати ИМмМ ДВО РАН, Комсомольск-на-Амуре, ул. Металлургов, 1

Введение.

Глава 1. Соотношения теории плоской деформации идеального жесткопластического тела.

1.1. Теория плоской деформации.

1.2. Соотношения вдоль линий скольжения.

1.3. Построение полного решения.

1.4. Деформации в окрестности особенностей поля линий скольжения.

1.4.1. Деформации на линии разрыва поля скоростей перемещений.

1.4.2. Деформации в окрестности центра веера линий скольжения.

1.5. Неединственность решения. Критерии выбора предпочтительного решения.

1.6. Критерии разрушения и выбора направления распространения трещины.

Глава 2. Задачи обработки материалов давлением.

2.1. Течение жесткопластического материала по каналу с угловым изгибом.

2.2. Прессование жесткопластической полосы.

2.2.1. Прессование полосы через прямоугольную матрицу.

2.2.2. Обратное прессование и прошивка полосы.

2.3. Выглаживание поверхности угловым штампом.

Глава 3. Растяжение полосы с V-образными вырезами.

3.1. Известные решения задачи.

3.2. Несимметричное решение.

3.3. Симметричное решение.

3.4. Решение со случайным фактором.

Глава 4. Разрушение полосы с V-образными вырезами при растяжении.

4.1. Разрушение полосы в окрестности вершин V-образных вырезов.

4.2. Разрушение полосы при распространении внутренней трещины.

4.2. Разрушение полосы при распространении внешних и внутренней трещин.

Одной из основных задач механики твердого тела является оценка прочности элементов, работающих в реальных условиях эксплуатации. Одним из параметров, существенно влияющим на запас прочности элементов конструкций, является степень деформированности материала. Степень деформированности материала оценивается различными параметрами, которые не всегда являются инвариантными. В данной работе деформированность материала оценивается тензорами конечных деформаций и их инвариантами, что позволяет корректно оценить деформации частиц материала, включая окрестности зон локализации пластических деформаций.

Пластические свойства различных материалов были известны очень давно и изучались еще Кулоном (1776 г.). Систематические исследования пластических течений металлов были проведены Треска (1869 г.). В частности, он отметил основное свойство металлов в состоянии текучести - малую зависимость напряжений от величины происшедшей деформации, что явилось основой для построения теории идеального жесткопластического тела.

Теоретические основы описания этого явления были заложены в 1871 г. Б. Сен-Венаном [92] и М. Леви [82]. В этих работах, по существу в их современном виде, были сформулированы определяющие соотношения для жесткопластической среды в случае плоских [92] и пространственных [82] течений с условием пластичности Треска.

Реальные материалы обладают сложным комплексом свойств. Попытка учесть их все сразу чрезвычайно усложняет анализ. Однако зачастую необходимая информация может быть получена при помощи базовых моделей, к которым относится модель идеального жесткопластического тела; в этой модели полностью пренебрегают упругими деформациями. В такой постановке тело остается совершенно недеформируемым («жестким»), пока напряженное состояние в нем не станет где-либо удовлетворять условию текучести и не возникнет возможность пластического течения. При этом некоторые части тела останутся жесткими.

Естественно, что эта схема не всегда пригодна. Она приведет к подходящему приближенному решению, если пластическая область такова, что ничто не сдерживает развития пластических деформаций. Благодаря этому пластические деформации могут значительно превзойти упругие, что оправдывает использование схемы жесткопластического тела. При незначительном упрочнении совпадение теоретических и экспериментальных результатов для процессов холодной обработки металлов хорошее, и отклонения рассчитанных величин от опытных не превышают 10% [22].

Модель идеальной жесткопластической среды была переоткрыта Р. Мизесом в 1913 г. [84]. Основные соотношения были сформулированы с использованием условия текучести, предполагающего постоянным в области пластического течения интенсивность девиатора напряжений. Несколько раньше это же условие текучести было предложено М. Губером (1904 г.). Позднее Р. Мизес [84] сформулировал основные соотношения модели жесткопластической среды для произвольного гладкого условия текучести и вывел ассоциированный закон течения. Аналогичное построение для сингулярного условия текучести было дано Райссом.

Развитие фундаментальных соотношений теории идеальной пластичности связано также с именами Г. Гейрингер, Г. Генки, В. Койтера, Е. Ли, А. Надаи, Е. Оната, В. Прагера, Л. Прандтля, Р. Хилла и др. [59, 73, 77, 78, 87-90]. Вопросам и задачам теории идеальной пластичности посвящены многочисленные работы отечественных авторов: Б.Д. Анина, Г.И. Быковцева, Б.А. Друянова, Д.Д. Ивлева, А.Ю. Ишлинского, Л.М. Качанова, Ю.В. Немировского, Р.И. Непершина, Ю.Н. Радаева, В.В. Соколовского, С.А. Христиановича, А.И. Хромова и др. [1, 5, 10, 11, 20-22].

Жесткопластический анализ позволяет исследовать механику большинства процессов обработки материалов давлением. К настоящему времени получены решения многих важных технологических задач, причем в ряде случаев найдены простые аналитические зависимости между параметрами процессов и искомыми величинами. К таким задачам можно отнести задачи о внедрении штампов различной формы, волочении, прокатки, прессовании, растяжении полосы в условиях плоской деформации, сжатии плоским штампом клинообразной заготовки [4, 10, 11, 27].

При решении подобных задач деформации материала традиционно оценивались по полю перемещения частиц, находящихся в начальный момент времени в узлах прямоугольной сетки. Данные характеристики только качественно описывают поведение среды и не характеризуют, собственно, деформации материала как изменения относительного расстояния между частицами. Это приводит к ограниченному использованию получаемых результатов.

Другой проблемой этого направления является то, что деформации в пластической области распределяются крайне неравномерно. Эксперименты показывают существование тонких слоев локализации деформаций (порядка 20-50 мкм), примыкающих к жесткопластическим границам с большим градиентом скоростей перемещений, что в теории жесткопластических тел соответствует особенностям поля скоростей перемещений (точки, линии и поверхности разрывов различного порядка). Подобный эффект наблюдается также окрестности точек резкого изменения формы тела (например, угловых точек) [3, 4, 15, 16, 51, 64, 66]. Деформации в окрестности таких особенностей значительно превышают деформации в непрерывном поле скоростей перемещений и могут определять процессы разрушения материала. Поэтому особый интерес представляет определение полей деформаций именно в окрестности этих особенностей.

Применение для расчета деформационного состояния в окрестности выше указанных особенностей традиционных конечно-разностных и конечно-элементных методов, использующих свойство непрерывности функций и соответствующих их производных, существенно ограничено сходимостью и аппроксимацией процесса. Поэтому исследование полей деформаций в окрестности их особенностей необходимо вести аналитическими методами, понижая размерность задачи и сводя ее к интегрированию, например, систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Реальная прочность материала в составе конструкций на несколько порядков отличается от теоретически достижимой прочности, определяемой межатомными (межмолекулярными) связями. Снижение прочности объясняется наличием дефектов, приводящих к пластическому течению даже при относительно малых напряжениях, и трещин, в результате развития которых может наступить разрушение. В общем случае под разрушением подразумевается не только необратимый распад материалов на две или больше частей. В понятие разрушения входит также необратимое пластическое течение, которое характеризуется остаточной деформацией и приводящее к исчерпанию несущей способности. Поэтому описание процесса накопления деформаций представляет отдельную задачу.

Крайний случай (по отношению к линейной механике разрушения), когда пластическая область преобладает над упругой и охватывает все поперечное сечение тела, остается мало изученным. Из немногочисленных работ, посвященных этому направлению, следует отметить работы Ф.А. Макклинтока [83], А. Арагона и JI.M. Качанова [21, 22]. Трудности чисто пластического аспекта разрушения связаны с необходимостью анализа деформированного состояния при больших деформациях с учетом изменения геометрии свободных поверхностей тела. Современные пакеты программ расчета напряженно-деформированного состояния твердых тел типа Nastran, Ansys, LS-DYNA и др. позволяют оценить деформированное состояние тел для относительно малых деформаций. Под деформированным состоянием тел понимаются поля тензоров деформаций (тензоры конечных деформаций Альманси, Грина и др.). Эти поля, как правило, данными пакетами программ не определяются.

Целью данной работы является жесткопластический анализ процесса накопления пластических деформаций и их локализация при плоских пластических течениях с угловыми точками, содержащими при расчете полей напряжений и скоростей перемещений особенности типа поверхности разрыва скоростей и центра веера линий скольжения; определение зон возможного разрушения материала; описание процесса разрушения для задачи о растяжении полосы с вырезами в рамках плоской деформации.

Решение таких задач актуально при разработке математических моделей поведения реальных элементов конструкций, оценки их надежности, разрушения при длительной эксплуатации с большим накоплением остаточных деформаций и в экстремальных условиях. Это связано, в первую очередь, с тем, что пластические деформации в каждой частице детали и элемента конструкции несут информацию об истории ее работы, начиная с начала ее изготовления. Возможно применение данного подхода при разработке методов расчета технологических процессов обработки материалов давлением, резанием; для проектирования оборудования, используемого при этих процессах.

В первой главе представлены основные соотношения теории плоской деформации идеального жесткопластического тела. Описан метод исследования деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения (линия разрыва поля скоростей перемещений и центр веера характеристик) и накопления деформаций, полученных материалом в процессе деформирования. Обозначены требования к построению и существованию полного решения задач теории идеального жесткопластического тела. Сформулирован используемый деформационный критерий выбора предпочтительного решения. Формулируются критерии разрушения и выбора направления развития трещины.

Во второй главе рассмотрены задачи обработки материалов давлением. Получены соотношения, определяющие распределение поля деформаций задаче о течении материала по каналу с угловой точкой. Приведены расчеты для случаев, когда угловая точка находится в покое или является движущейся. Получены распределения деформаций с учетом их накопления в пластических течениях при прямом прессовании, обратном прессовании и прошивке полосы.

Получены соотношения, определяющие распределение поля деформаций при выглаживании поверхности жестким угловым штампом.

В третьей главе рассмотрена задача о растяжении полосы с V-образными концентраторами деформации. Рассмотрены известные решения этой задачи: решение Е. Ли (обобщения решений Хилла и Прандтля задачи о внедрении плоского штампа в жесткопластическое полупространство), решение О. Ричмонда и решение с несимметричным пластическим течением. Рассмотрено решение, когда в пластическом состоянии попеременно находятся верхняя и нижняя части полосы. Предложено новое решение этой задачи, когда положение пластической области (в верхней или нижней частях полосы) выбирается случайным образом.

В четвертой главе рассмотрена задача о разрушении полосы с V-образными вырезами при растяжении. Предложено решение задачи о разрушении полосы в окрестности вершин вырезов на основе решения задачи без разрушения. Предложены схемы построения свободных поверхностей и процесса разрушения при распространении внутренней трещины и комбинации внутренней и внешних трещин.

В работе принята тройная нумерация формул: первая цифра - номер главы, вторая - номер пункта; и двойная нумерация рисунков: первая цифра -номер главы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие результаты:

1. Разработан алгоритм и программа расчета полей тензоров деформаций в окрестности особенностей поля скоростей перемещений для решения плоских задач в рамках модели идеального жесткопластического тела.

2. Получены поля тензоров деформаций с учетом их накопления и локализации в задачах:

- течение жесткопластического материала по каналу с угловой точкой;

- прессование полосы;

- выглаживание поверхности жестким угловым штампом.

3. Предложено новое решение задачи о растяжении полосы с V-образными вырезами без разрушения. На основе анализа поля тензора деформаций производится выбор предпочтительного пластического течения.

4. Рассмотрены возможные случаи образования трещин в полосе с V-образными вырезами при растяжении на основе анализа полей тензоров деформаций в пластической области с учетом механических свойств конструкционных материалов. й

1. Аннин Б.Д. Современные модели пластических тел. Новосибирск: НГУ, 1975.96 с.

2. Бриджмен П. Исследование больших пластических деформаций и разрыва. -М.: Ил., 1955.444 с.

3. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука. 1998. 528 с.

4. Быковцев Г.И., Хромов А.И. Плоская деформация идеальных жесткопластических тел с учетом изменения границы // Изв. АН СССР. МТТ, 1979. №2. С.71-78.

5. Введение в механику сплошных сред: учеб. пособие / Черных К.Ф. Изд-во Ленингр. ун-та, 1984. 280 с.

6. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, - 1978. 304 с.

7. Джонсон У., Меллор П. Теория пластичности для инженеров. М.Е Машиностроение, 1979. 567 с.

8. Друянов Б.А. О полных решениях некоторых задач деформации полосы // МТТ, 1968. №2. С.171-173.1114,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,

9. Друянов Б.А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности. М.: Машиностроение, 1990.-272 с.

10. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы / В.К. Семенченко. М.: Мир, 1974. 604 с.

11. Ерхов М.И. Теория идеальнопластических тел и конструкций. М.: Наука,1978. 352 с.

12. Ивлев Д.Д. К построению теории идеальной пластичности // ПММ, 1958. Т.22, вып.6. С.850-855.

13. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. В 2 т. Т.1. Теория идеальной пластичности. -М.: Физматлит, 2001. 448 с.

14. Козлова О.В., Хромов А.И. Константы разрушения для идеальных жесткопластических тел // Доклады АН. 2002. Т. 385. № 3. С.342-345. Койтер В. Соотношения между напряжениями и деформациями // Механика, № 2,1960.

15. Колесников Ю.В., Морозов Е.М. Механика контактного разрушения. М.: Наука, 1989. 224 с.

16. Корнев В.М. Модификация критерия разрушения Нейбера-Новожилова для угловых вырезов (антиплоская задача). // ПМТФ. Т.43, № 1 2002. С. 153139.

17. Леонов М.Я. Механика деформаций и разрушения. Фрунзе: Илим, 1981. 236 с.

18. Лошманов А.Ю. Выглаживание поверхности угловым штампом // Обозрение прикладной и промышленной математики / Тезисы докладов. -М.: ОПиПМ, Т. 13, вып. 2, 2006. С. 333-334.

19. Лошманов А. Ю. Об одном решении задачи о растяжении полосы с V-образными концентраторами деформаций // XXX Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е. В. Золотова : тезисы докладов. Хабаровск : Изд-во ДВГУПС, 2005. С. 162-163.

20. Лошманов А.Ю. Расчет полей деформаций в задачах обработки материалов давлением // Вестник ДВО РАН. 2006. № 4. С. 127-133.35