Условие пластичности, связанное с линиями уровня поверхности деформаций несжимаемого жесткопластического тела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ГРИГОРЬЕВА Анна Леонидовна

УСЛОВИЕ ПЛАСТИЧНОСТИ, СВЯЗАННОЕ С ЛИНИЯМИ УРОВНЯ ПОВЕРХНОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ НЕСЖИМАЕМОГО ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЛА

01 02 04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

иоз 160В5Э

Самара - 2007

003160659

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный

технический университет»

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор, заслуженный деятель науки РФ, профессор СГАУ Хромов Александр Игоревич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор, заведующий кафедры математика и информатика» СамГТУ Радченко Владимир Павлович кандидат физико-математических СГАУ

Буханько Анастасия Андреевна

Ведущая организация Институт автоматики и процессов управления ДВО

РАН

Защита состоится « Об » ноября 2007 года в 14 00 часов на заседании диссертационного совета Д 212218 06 при Самарском государственном университете по адресу 443011, г Самара, ул Академика Павлова, 1

«Прикладная

наук, доцент

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Самарского государственного университета

Автореферат разослан <<2Й)> С£МЖЩь£ 2007 года

Ученый секретарь диссертационного совета

Глущенков В С

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы Одной из основных задач механики деформируемого твердого тела является оценка прочности элементов конструкций Параметром, существенно влияющим на запас прочности элементов конструкций, является степень деформированности материала Степень деформированное™ материала оценивается различными методами Основным подходом к расчету полей деформаций является численный метод расчета Применение этого метода в отдельных случаях приводит к существенным погрешностям и неадекватному описанию Это относится в первую очередь к областям локализации пластических деформаций (угловые вырезы, вершины трещин и др ) В этих случаях актуальным является аналитическое описание полей деформаций Аналитическое описание полей деформаций позволяет выполнить теория жесткопластического тела Данная работа связана с актуальностью исследования накопления деформаций в технологических процессах обработки конструкционных материалов давлением, а также в связи с необходимостью разработки критериев разрушения материала, приводящих к более полному учету деформирования до разрушения Это может быть использовано при анализе поведения реальных элементов конструкций, оценки их надежности, разрушения при длительной эксплуатации с большим накоплением остаточных деформаций, а также в экстремальных условиях

История развития теории идеальной пластичности связано с именами Г Гейрингер, Г Генки, В Койтера, Е Ли, А Надаи, Е Оната, В Прагера, Л Прандтля, Р Хилла и др Теории идеальной пластичности посвящены многочисленные работы отечественных авторов Б Д Аннина, Г И Быковцева, Б А Друянова, Д Д Ивлева, А Ю Ишлинского, Л М Качанова, Ю В Немировского, Р И Непершина, Ю Н Радаева, В В Соколовского, С А Христиановича, А И Хромова и др

Целью работы является жесткопластический анализ процесса накопления деформаций и их локализации при плоской деформации и плоском напряженном деформировании в пластических течениях с угловыми вырезами при различных условиях пластичности, сравнение соответствующих пластических течений

Научная новизна работы заключается в следующем

- предложено новое условие текучести, связанное с линиями уровня поверхности деформационных состояний, построена поверхность нагружения, исследовано решение задачи при растяжении полосы без вырезов и проведен сравнительный анализ пластических течений при различных условиях текучести,

- исследованы процессы деформирования и разрушения полосы с V-образными вырезами при растяжении в плоском напряженном состоянии, рассмотрены возможные случаи образования трещин в полосе при растяжении на основе анализа полей деформаций в пластической области,

- исследовано поле деформаций при изгибе полосы с растяжением в плоском напряженном состоянии при различных условиях пластичности, проведен сравнительный анализ

Достоверность полученных результатов основана на классических подходах механики сплошных сред и строгих математических выкладках

Практическая значимость работы Решение рассматриваемых задач актуально при разработке математических моделей поведения реальных элементов конструкций, оценки их надежности, разрушения при длительной эксплуатации с большим накоплением остаточных деформаций и в экстремальных условиях Возможно применение нового условия, связанного с линиями уровня поверхности деформационных состояний, при разработке методов расчета технологических процессов обработки материалов давлением (прессование, волочение, прокатка), резанием, для проектирования оборудования, используемого при этих процессах

Апробация работы Результаты работы докладывались на

- Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики», посвященной 70-летию со дня рождения академика В П Мясникова, Владивосток, 2006,

- 7-ой конференции молодых ученых и студентов Актуальные проблемы современной науки, Самара Сам ГТУ, 2006,

- 15-ой Зимней школе по механике сплошных сред Екатеринбург, 2007,

- VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия), Кисловодск, 2006

Публикации по работе По теме диссертации опубликовано 9 научных работ и получено одно свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (105 наименований) Объем работы -136 страниц, в том числе 44 рисунка

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении показана актуальность поставленной проблемы, описано содержание диссертации по главам

В первой главе представлены основные соотношения теории пластического течения

В первом и втором параграфах приводятся основные соотношения теории пластических течений

ассоциированный закон течения

е„=Л-Г~, г, 7 = 1,2,3, (1)

дау

где X - некоторый неопределенный скалярный множитель, /(сгу ) - функция

текучести, ау — компоненты тензора напряжения, sy - компоненты тензора

деформаций,

различные условия пластичности

- Треска-Сен Венана- rmax = ^тах|сг, - <т2|, \а2 - сг3\, \а3 - сгт|} = к,

- Мизеса - (о~\ - <т2)2 + (<т2 - сг3)2 + (сг3 - ах)2 = 2<js2,

- новое условие пластичности, связанное с линиями уровня поверхности деформационных состояний идеального жесткопластического тела, где параметром деформационного упрочнения является величина H или h

6л/б(сг, - <т2 )2 (сг2 -ст3)- 4л/б (о-! - <т2 )3 + + 6л[б(сг2 - с2(cTj - сг2) - 4л/б(сг2 - <т3)3 - ^

- (2л/2Я(ст2 - сг3)2 - l4ÏH{ax - а2){а2 -<т3) + + 2sÎ2H(al-<j2)2)9h' = kx

где Ä:, =(-2л/2Я3+6л/б)9/г'3, h = Ex+ Е2+ Еъ, = ,

3 — 2 ft

сг = (cTj + с2 + сг3 )/3, Я = -2/л/З + £2 + £3 ) + л/3, сг, - главные значения тензора напряжения, Е, - главные значения тензора деформаций Альманси, сг - среднее давление в точке, i = 1,2,3

Для получения нового условия пластичности предполагается, что пластическое тело несжимаемо Это условие определяет в пространстве Е, гиперболическую поверхность третьего порядка S - поверхность деформационных состояний несжимаемого жесткопластического тела (рис 1, где L - любой процесс деформирования, L0 - ортогональный процесс деформирования) На рис 2 представлены сечения поверхности S плоскостями параллельными девиатор-ной, находящимися на расстоянии d = h/-Jb от начала координат, s, - главные значения тензора скоростей деформаций, 1 — любой процесс деформирования, 10 - ортогональный процесс деформирования Точка О изображает исходное недеформированное состояние материала

Рис 3

Гиперболической поверхности ё ставится в соответствие поверхность на-гружения Эта цилиндрическая поверхность определяется линиями пересечения & с плоскостями параллельными девиаторной плоскости или их проекциями на девиаторную плоскость, которые в дальнейшем называются линиями уровня в пространстве Е1 и кривыми текучести в пространстве а, На рис 3 кривые текучести представлены для разных коэффициентов Н

Приведены поверхности нагружения для различных конструкционных материалов Получены свойства нового условия текучести, при Н —» л/3 кривые текучести стремятся к окружности (кривой текучести Мизеса), при Н -» оо кривая текучести стремится к треугольнику

Во второй главе рассмотрены пластические течения в задачах растяжения полосы при плоском напряженном состоянии и плоской деформации, а также приведены общие соотношения теории пластичности для нового условия текучести при плоском напряженном состоянии

В первом параграфе описаны основные соотношения теории пластичности при плоской деформации, а также условия существования полного решения Рассмотрено новое условие пластичности в условиях плоской деформации

(К -ст22)2 + 4ег122) | 63Н Й' + КК/З^, -а22)2 +4а]22Я =

(3)

= 36 Й'3(я3-7з3)

Рассмотрена система уравнений при плоской деформации для условия (3), которая совпадает с системой уравнений для условий пластичности Мизеса и Треска - Сен-Венана Связь между пределом текучести Мизеса — к и константой в условии (3) - кх определена в виде

(4к2) (бЗЯ h' + 20Sk)=kx

где кх =36h'(H3 -Зл/з)

При малом значении параметра И = условие (3) совпадает с условием

3 — 2 h

текучести Мизеса

Во втором параграфе рассмотрены основные отношения пластического течения при плоском напряженном состоянии, выведены основные соотношения для нового условия пластичности, получены уравнения характеристик

dy _ I У3sm& + Q(a>)-V3smocos(2<^))

dx у (- 7з sin со - Q(ф)~^¡3smcocos(2<p)), • (ос)

Ql + (р — const,

dy _ I (V3sma> + Q(<a>)~ Уз sin&>cos(2*^)) dx ]j (- л/з sin® - Q(ffl) - 7з sin ty cos(2f/>))' ■ (,4) Q, + (p = const

где Q] (m), a>(x, у) — функции определяющие положение точки на кривой

текучести, (р - угол между первым главным направлением сг, и осью х

Описан метод расчета полей деформаций и определения усилий при растяжении полосы, имеющей начальные размеры длина — /0, ширина — а0, толщина - /о для различных условий пластичности (рис 4 I, II - при условии пластичности Треска, III - условие пластичности Мизеса, IV - новое условие пластичности, где V = l - скорость движения концов полосы, a(t), f (?) -ширина и толщина пластины в текущий момент времени t) Также дана сравнительная характеристика решений при плоском напряженном состоянии для различных критериев пластичности на рис 5 условие пластичности Мизеса (III), новое условии пластичности (IV), условии пластичности Треска (I, II), где

Р/

/(4 к а)

Р — усилие при растяжении полосы, к — предел текучести материала, s -относительное удлинение образца

Коэффициенты описывающие изменение геометрии пластин задаются

формулами

a(t) а0 1

= —--для условия пластичности Мизеса,

m л i+?Ao

a(t) а0 1

-= —-=--для нового условия пластичности

/С) /о

При условии пластичности Треска изменяется лишь один линейный размер либо а, либо /

Данные коэффициенты позволяют экспериментально определить выбор условия текучести для конкретного конструкционного материала

Далее приведено решение задачи для полосы с разрывным полем скоростей, представленное на рис 6 для условия Мизеса, на рис 7 для нового условия пластичности где У^ — разрыв нормальной скорости, (), — скорости сужения полосы, с/, ¿у - новые единичные вектора

Рис 6 Рис 7

В третьей главе рассмотрены пластические течения в задачах о растяжении полосы с У-образными вырезами и без вырезов с их последующим разрушением

В первом параграфе приведено решение задачи при плоском напряженном состоянии для условия текучести Мизеса и новом условии Рассмотрена

А'

В'

а о

V

«а»

А сг

В

продольное сечение

А'

л: в;

* \ -г/

поперечное сечение

а) б)

Рис 8

деформация полосы в поперечном и продольном сечениях (рис 8) с распространением сквозной трещины представленной на рис 8а), где А'О', В'О', А О, В О - линии характеристик и внутренней трещины

представленной на рис 86), где А[0', В[0', АхО, ВхО - линии характеристик Предложено решение этой задачи при условии

Щ=1У2 = IV, (4)

где Щ, И>2 - удельная диссипация энергии на поверхностях разрыва скоростей перемещений соответственно в продольном и поперечном сечениях, Ж* — константа разрушения Исследована зависимость усилия, необходимого для деформации полосы от направления движения вершины трещины, определяемого векторами С1 и с2

При решении по условию текучести Мизеса было получено, что наименьшее падение усилия достигается при (рг = 35°56' и срх= 45° В этом случае приращение работы, затраченной на деформацию полосы до разрушения, будет наибольшей, а скорость распространения сквозной трещины наименьшей

Далее предложено решение этой задачи при использовании нового условия пластичности, откуда следует, что наименьшее падение усилия достигается при <р2 = 50°57', (р^ = 45° В этом случае приращение работы, затраченной на дефор-

мацию полосы будет наибольшей, а скорость распространения сквозной трещины наименьшей

На рис 9 представлено сравнение усилий необходимых для деформирования полосы при условии пластичности Мизеса (1) и новом условии (2), г — время

В третьем параграфе рассмотрена задача о разрушении полосы с У-образными вырезами при плоском напряженном состоянии Вершинами трещин, распространяющихся со свободной поверхности, являются вершины У-образных вырезов В различные промежутки времени в пластическом состоянии попеременно находятся верхняя и нижняя части полосы Получаем в

Рис 10

процессе растяжения, зигзагообразное распространение трещины, что объясняет экспериментально наблюдаемое (рис 106, 8 - угол между свободной поверхностью и осью х) для случая 8 = 60°

Предложено решение задачи о разрушении полосы в окрестности вырезов для углов 8 < 54 2°, когда выбор направления развития трещины в текущий момент времени определяется случайным образом Условие разрушения материала

ЕХ=Е*< 0,5

В этом случае максимальные значения деформаций ограничиваются определенной величиной Е,, являющейся константой разрушения данного конструкционного материала, т е учитываются механические свойства материала

Разработаны алгоритмы построения свободных поверхностей в процессе разрушения Изменение положения этих поверхностей описываются смещением точек поверхностей за выбранный интервал времени А1 согласно скоростям жестких областей, к которым они примыкают

В четвертой главе рассмотрено пластическое течение в задаче об изгибе полосы с растяжением при плоском напряженном состоянии (рис 11, а -

В первом параграфе исследовано решение данной задачи с использованием условия пластичности Мизеса Полоса разбивается на две части Деформация полосы при этом осуществляется изгибающим моментом и растягивающим усилием (рис 12, СО, О А, ОО, ОВ - линии характеристик)

Рис 12

Рис 13

Рис 14

04 08

Рис 15

В качестве вспомогательной задачи, рассматривается задача о растяжении жесткопластической полосы, которая рассматривалась в главе 2 (рис 13, ОХ'У - новая система координат, а — ширина полосы) В результате решения задачи определяется поле деформаций е, которое зависит от угла поворота вала ср (рис 14, Л - радиус вала, рис 15)

Во втором параграфе рассматривается решение задачи с использованием нового условия текучести Для остальных частиц жесткой области лсоо' величина накопленной деформации определяется из условия, что частицы, лежащие

на отдельной прямой, пересекающей дугу О'Б под углом — -50°77', совер-

шают переход из пластической области в жесткую одновременно, следовательно, получают одинаковую деформацию

На рис 16 приведены зависимости отношений, описывающих изменение геометрии от угла поворота ср для различных условиях пластичности для условия Мизеса (линия 1), для нового условия пластичности (линия 2), а— ширина полосы, / — толщина полосы

а(ф)/%)

15 2 2.5 1 4 45 5 55 6

Рис 16

Данные зависимости позволяют экспериментально определить выбор условия текучести для конкретного конструкционного материала

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1 Представлено новое условие текучести, связанное с линиями уровня поверхности деформационных состояний Построены поверхности нагружения для различных конструкционных материалов

2 Получены поля тензоров деформаций с учетом их накопления и локализации в задачах о растяжении полосы без разрушения с однородным и разрывным полями скоростей перемещений при различных условия текучести в плоской деформации и плоском напряженном состоянии

3 Предложено новое решение задачи о растяжении полосы с разрушение без вырезов в условиях плоского напряженного состояния, при новом условии пластичности и с У-образными вырезами при условии пластичности Мизеса На основе анализа поля тензора деформаций производится выбор предпочтительного пластического течения

4 Представлено решение полосы с изгибом при растяжении для различных условий текучести при плоском напряженном состоянии

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ, ОПУБЛИКОВАННЫХ В ВЕДУЩИХ РЕЦЕНЗИРУЕМЫХ НАУЧНЫХ ЖУРНАЛАХ И ИЗДАНИЯХ, ОПРЕДЕЛЕННЫХ ВАК

1 Хромов А И, Кочеров Е П, Григорьева А Л Деформационно-энергетический критерий растяжения жесткопластических тел // Доклады Российской Академии Наук, Сер механика, 2007, том 413, №4, С 481 - 485

2 Григорьева А Л, Кочеров Е П, Хромов А И Поверхность нагружения, связанная с линиями уровня поверхности деформаций несжимаемого жесткопластического тела // Вестник САМГТУ Сер физ -мат науки Самара СамГТУ, 2006 Вып 43, С. 88-91

Личный вклад автора В работах [1, 2] в рамках сформулированной научным руководителем проблемы автор получил необходимые для теоретического анализа и численных расчетов соотношения и провел необходимые вычисления

СПИСОК ДРУГИХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Хромов А И, Кочеров Е П, Григорьева А Л Условия пластичности, согласованные с деформационными состояниями жесткопластического тела // Фундаментальные и прикладные вопросы механики Материалы Всероссийской конференции, посвященной 70-летию академика В П Мясникова (25-30 сентября 2006 г Владивосток), Владивосток, ИАПУ ДВО РАН 2006 С 40-42

2 Григорьева АЛ Линии уровня поверхности нагружения жесткопластисческих тел для конструкционных материалов // Актуальные проблемы современной науки труды 2-го Международного форума (7-й конференции молодых ученых и студентов) Самара СамГТУ 2006 С 138 — 141

3 Григорьева АЛ Поверхность нагружения, связанная с линиями уровня поверхности деформационных состояний несжимаемых жесткопластического тела// Вестник Чувашского государственного педагогического университета имени И Я Яковлева серия механика предельного состояние Чебоксары ЧПГУ 2007 №1, С 33-36

4 Григорьева А Л Поверхность нагружения жесткопластисческих тел для конструкционных материалов // Обозрение прикладной и промышленной математики / 2007 Т 14, Вып.2 С 283 - 285

5 Григорьева А Л Построение поверхности нагружения, связанной с линиями уровня поверхности деформационных состояний для некоторых конструкционных материалов // 15-ая Зимняя школа по механике сплошных сред 26 февраля - 3 марта 2007г Сб статей Часть 1 Екатеринбург УрО РАН 2007 С 286-289

6 Григорьева А Л, Бормотин К С, Григорьев Я Ю, Олейников А И 2 иЗй инженерный анализ и программные решения для оценки технологичности проектов // Вестник КнАГТУ, Вып 2 Сб 2 Сб науч докладов третьей конференции -Комсомольск-на-Амуре -КнАГТУ 2004 С 10-12

7 Григорьева А Л, Кочеров Е П, Хромов А И, Григорьев Я Ю Поверхность нагружения, связанная с линиями уровня поверхности деформаций не-

сжимаемого жесткопластического тела, для конструкционных метериа-лов(РПН) / Св-во о per прогр для ЭВМ № 2007611209 от 21 03 2007

Личный вклад автора Работы [2, 3, 4, 5] выполнены автором лично В работах [1, 6, 7] в рамках сформулированной научным руководителем проблемы автор получил необходимые для теоретического анализа и численных расчетов соотношения и провел необходимые вычисления

Подписано в печать 27 сентября 2007 г Формат 60x84/16 Бумага офсетная Печать оперативная Объем 1 п л Тираж 100 экз Заказ № /4-2,8 443011 г. Самара, ул Академика Павлова, 1 Отпечатано УОП СамГУ

Введение

Глава 1. Основные соотношения пластического состояния

1.1. Ассоциированный закон течения.

1.2. Условие пластичности

1.2.1. Условие пластичности Треска - Сен-Венана.

1.2.2. Условие пластичности Мизеса.

1.2.3. Условие пластичности, связанное с линиями уровня поверхности деформаций.

Глава 2. Одноосное растяжение различных образцов

2.1. Плоская деформация.

2.1.1. Основные уравнения. Условие текучести Треска-Сен Венана, условие текучести Мизеса. Условие текучести, связанное с линиями уровня поверхности деформаций.

2.1.2. Соотношения вдоль линий скольжения.

2.1.3. Построение полного решения.

2.1.4. Деформации в окрестности особенностей поля линий скольжения.

2.1.5. Растяжение полосы с непрерывным полем скоростей перемеще ний.

2.1.6. Растяжение полосы с разрывным полем скоростей перемещений.

2.2. Плоское напряженное состояние. Одноосное растяжение плоских образцов

2.2.1. Уравнения плоского напряженного состояния при условии текучести Мизеса.

2.2.2. Построение решений при новом условии текучести. Основные соотношения.

Глава 3. Разрушение жесткопластических тел при плоском напряженном состоянии. Разрушение полосы с V-образными вырезами

3.1. Построение решений при условии текучести Мизеса.

3.1.1. Неединственность решения с разрывным полем скоростей перемещений.

3.1.2. Растяжение полосы без вырезов с разрушением.

3.2. Построение решений при новом условии текучести.

3.2.1. Неединственность решения с разрывным полем скоростей перемещений.

3.2.2. Растяжение полосы без вырезов с разрушением.

3.3. Разрушение полосы с V-образным вырезом.

Глава 4. Изгиб полосы с растяжением при плоском напряженном состоянии

4.1. Решение при условии текучести Мизеса.

4.2. Решение при новом условии текучести.

Одной из важных проблем механики деформируемого твердого тела является построение моделей и алгоритмов расчета конструкций и технологических процессов при больших пластических деформациях с учетом разрушения. Исследование этой проблемы заключается в решении задач с учетом изменения геометрии деформируемых тел и формулировке критериев разрушения. Зачастую необходимая информация может быть получена при помощи простейших моделей, к которым относиться модель идеального жесткопластического тела.

Кардинальным вопросом для теории пластичности является переход от упругих деформаций к пластическим.

В 1868 году Х.Треска на основе экспериментального исследования сформулировал положение о том, что вне зависимости от схемы напряженного состояния максимальное касательное напряжение достигло некоторой критической величины. В дальнейшем Б.Сен-Венан, используя это положение, вывел основные уравнения пластичности для изотропного несжимаемого материала при условии совпадения направления главных напряжений и деформаций.

В 1904 году М.Губер сформулировал условие пластичности, считая, что для перехода в пластическое состояние независимо от схемы напряженного состояния интенсивность напряжений должна достичь определенной величины. Работа М.Губера долгое время была неизвестной, и сходное условие было предложено Р.Мизесом в 1913 году. Математическую запись условия пластичности Р.Мизес рассматривал как некоторое приближение к условию пластичности Сен-Венана, имеющее единую запись для всех схем напряженного состояния.

В 1925 году Г.Генки показал, что математическая запись условия Р.Мизеса соответствует условию постоянства энергии формоизменения, необходимой для перехода в пластическое состояние вне зависимости от схемы напряженного состояния [29-34, 57, 62, 66, 69, 88, 91, 93-96, 101-105].

В дальнейшем, экспериментальными работами В.Лоде, М.Роше, Э.Эйхингера, Г.Тейлора, Х.Квини, Г.А. Смирнова-Аляева и других было показано, что для пластичных материалов энергетическое условие пластичности Губера-Мизеса-Генки ближе соответствсует действительности, чем условие Треска-Сен-Венана.

Важные результаты достигнуты в работах Р.Шмидта, Е.Девиса, доказавших, что при простом нагружении направляющие тензоров напряжений и деформаций равны и коаксиальны, а октаэдрические напряжения являются функциями октаэдрического сдвига.

Введение в математические зависимости функций, характеризующих неоднородность напряженно-деформированного состояния и зависимость свойств металла от координат, открывает большие возможности получения более общих уравнений, относящихся к идеальной пластичности.

Это направление в настоящее время успешно разрабатывается и разрабатывалось Б.Д. Анина, Г.И. Быковцева, Б.А. Друянова, М.И. Ерхова, A.A. Ильюшина, JIM. Качанова, Е.В. Ломакина, П.П. Мосолова, В.П, Мясникова, А. На-даи, Ю.В. Немировского, Р.И. Непершина, Ю.Н. Работнова, Е. Ли и др. [1-3, 1519,23-29,34-36,38, 49-51, 65, 70-72, 82-84, 90-91].

Совершенствование математической теории пластичности позволило приблизить получаемые решения к задачам практики обработки металлов давлением [23, 26, 29, 36, 40, 63, 64]. Получены решения многих технологических задач о одноосном растяжении плоского и цилиндрического образцов, растяжение полосы с V-образным вырезами, волочении, прокатки и прессовании. Вместе с тем эти задачи рассматривались в основном как задачи предельного равновесия или задачи об установившемся пластическом течении.

В рамках этой теории дано ограниченное число решений с учетом изменения формы геометрии свободных поверхностей: решения задач о растяжении полосы в условиях плоской деформации, плоского напряженного состояния, о растяжении полосы с вырезами [85, 86, 90, 91, 98-100]. При решении подобных задач деформации материала использовались разные критерии текучести.

При формулировке принципа максимума Мизеса применяется понятие удельной скорости диссипации энергии, которое определено в точках непрерывности для скоростей перемещений. Возможна формулировка и других критериев. Эти приводит к заданию деформационно-энергетического критерия, связанного с линиями уровня поверхности деформаций. Одной из характеристик, дающих точное количественное описание деформаций в точке, является тензор конечных деформаций Альманси:

В работах [16, 17,30, 68, 71-72] показано, что деформации в пластической области распределяются крайне неравномерно и основные деформации, как правило, наблюдаются на особенностях поля линий скольжения: линия разрыва поля скоростей перемещений и центр веера линий скольжения.

Другой особенностью современного состояния теории жесткопластиче-ского тела является незаконченность теории разрушения жесткопластического тела. Разрушение идеальных пластических материалов рассматривалось в работах [37, 43, 45, 52, 53]. В этих работах отмечалась возможность разрушения материала на особенностях поля линий скольжения. Деформация - один из основных параметров, который входит в определяющие соотношения теории идеального жесткопластического тела (ассоциированный закон пластического течения) через тензор скоростей деформаций. Естественно ввести эти величины в критерий разрушения.

Формулировка выбора предпочтительного решения должно быть основано на общих термодинамических и экспериментальных закономерностях. Одной из таких экспериментально замеченных закономерностей является то, что упрочнение материала есть осреднение деформаций по объему осредняемого тела [61]. На основе этого сформулирован деформационный критерий выбора предпочтительного решения [86, 89]: предпочтительным является решение, для которого наибольшее значение первого главного значения тензора Альман-си в пластической области минимально, а также минимально значение диссипации энергии £>0 = ^¡(7^1. о

Целью данной работы является исследование полей деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения (линии разрыва поля скоростей перемещений и центра веера линий скольжения, которые по существу являются концентраторами деформаций) при различных критериях разрушения; определение преимуществ деформационно-энергетического критерия при решении различных задач.

Решение таких задач актуально при разработке методов расчета технологических процессов, обработки материалов давлением, резанием, тесно связанных с решением контактных задач; для проектирования оборудования, используемого при этих процессах; при расчете оценки несущей способности конструкций при длительной эксплуатации с большим накоплением остаточных деформаций и в экстремальных условиях; при расчете конструкций одноразового действия. Анализ накопления больших пластических деформаций связан в первую очередь с исследованием деформаций в окрестности элементов конструкций с резким изменением геометрии свободной поверхности, которые принято называть концентраторами напряжений. Эти элементы с точки зрения теории идеального жесткопластического тела являются концентраторами деформаций, определяющими несущую способность всей конструкции.

При использовании нового критерия энергия диссипации при деформировании будет наименьшей, тем самым разрушение конструкционного материала будет предсказано раньше. Путь деформирования измениться.

В первой главе данной работы представлены основные соотношения пластического состояния идеального жесткопластического тела. Описаны существующие условия текучести Мизеса и Треска. В рамках теории упрочняющегося жесткопластического тела рассмотрен деформационно-энергетический критерий разрушения. Введена поверхность нагружения, связанная с линиями уровня поверхности деформаций и позволяющая выделить диссипацию энергии как параметр, определяющий разрушение. Рассмотрены свойства новой поверхности нагружения, которые приводят к оптимальной диссипации энергии. Приведены различные поверхности нагружения для различных конструкционных материалов и проведено их сравнение.

Во второй главе рассмотрены задачи теории плоской деформации, и плоского напряженного состояния идеального жесткопластического тела. Рассмотрены пластические течения с учетом изменения геометрии тела в процессе деформирования материала при растяжении полосы с непрерывным и разрывным полем скоростей, внедрении Получено распределение деформаций и усилие потраченное при растяжении для критерия Мизеса и нового условия текучести. Проведен сравнительный анализ полученных результатов. Произведен выбор предпочтительного решения.

В третьей главе рассмотрена задача о растяжении полосы с внутренней трещиной и с У-образными концентраторами деформации при плоском напряженном состоянии. Проанализировано поле скоростей в пластической области для решения при условии текучести Мизеса и новом условии текучести, проведен сравнительный анализ и выбрано предпочтительное решение.

В четвертой главе рассмотрена задача о изгиб полосы с растяжением при плоском напряженном состоянии. Проанализированы решения полученные при условии текучести Мизеса и новом условии текучести. Проведен сравнительный анализ полученных результатов и представлено предпочтительное решение.

В работе принята тройная нумерация формул: первая цифра - номер главы, вторая - номер пункта; двойная нумерация рисунков: первая цифра - номер главы; двойная нумерация таблиц: первая цифра - номер главы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие результаты:

1. Представлено новое условие текучести, связанное с линиями уровня поверхности деформационных состояний. Построены поверхности нагружения для различных конструкционных материалов.

2. Получены поля тензоров деформаций с учетом их накопления и локализации в задачах о растяжении полосы без разрушения с однородным и разрывным полями скоростей перемещений при различных условия текучести в плоской деформации и плоском напряженном состоянии.

3. Предложено новое решение задачи о растяжении полосы с разрушение без вырезов в условиях плоского напряженного состояния, при новом условии пластичности и с У-образными вырезами при условии пластичности Мизеса. На основе анализа поля тензора деформаций производится выбор предпочтительного пластического течения.

4. Представлено решение полосы с изгибом при растяжении для различных условий текучести при плоском напряженном состоянии.

1. Аннин Б.Д. Современные модели пластических тел. Новосибирск: НГУ, 1975. 96 с.

2. Аннин Б.Д., Жигалкин В.М. Поведение материалов в условиях сложного нагружения. Новосибирск: Изд-во Со РАН, 1999. 342 с.

3. Астафьев В.И., Радаев Ю.Н., Степанова JI.B. Нелинейная механика разрушения. Самара: СамГТУ, 2001. 632 с.

4. Бриджмен П. Исследование больших пластических деформаций и разрыва. -М: Ил., 1955.444 с.

5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. Москва: ГИТТЛ, 1948. 556 с.

6. Буханько A.A., Хромов А.И. Определение полей деформаций в окрестности особенностей поля линий скольжения // Вестник КнАГТУ: Вып.2 Сб. 1 Прогрессивные технологии в машиностроении: Ч.З: Сб. науч. тр., 2000, с. 8-14.

7. Буханько A.A. Задача о прессовании полосы // Труды одиннадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", ч.1. Самара: СамГТУ, 2001. С. 35-37.

8. Буханько A.A. Исследование полей деформаций в задаче о прессовании полосы // Прикладные задачи механики деформируемого твердого тела. Вып.2. Владивосток: Дальнаука, 2001. С. 37-44.

9. Буханько A.A. АВТОРЕФЕРАТ уступа под действием плоского штампа // Обозрение прикладной и промышленной математики / Тезисы докладов. -М.: ОПиПМ, Т. 9, вып. 1,2002. С. 173-175.

10. Буханько A.A., Хромов А.И. Поля деформаций при внедрении клинообразных и плоских штампов // Дальневосточный математический журнал. -Владивосток: Дальнаука, ч. 3, № 2, 2002. С.311-319.

11. Буханько A.A. Концентраторы деформаций // Дальневосточная школа-семинар им. академика Е.В. Золотова.- Владивосток: Дальнаука, 2002. С. 71-72.

12. Буханько A.A. Растяжение полосы с V-образными вырезами в рамках теории плоской деформации // Зимняя школа по механике сплошных сред (тринадцатая). Тезисы докладов. Екатеринбург: УрО РАН, 2003. С.65.

13. Буханько A.A. Разрушение полосы с V-образными вырезами при растяжении // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ, Т. 10, вып. 1,2003 г. С. 111-113.

14. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Об определении предельной нагрузки тел, вдавливаемых в пластическую среду // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1961. № 1. С. 173-174

15. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука. 1998. 528 с.

16. Быковцев Г.И., Хромов А.И. Плоская деформация идеальных жесткопла-стических тел с учетом изменения границы // Изв. АН СССР. МТТ, 1979. №2. С.71-78.

17. Быковцев Г.И., Хромов А.И. Плоская контактная задача для идеальных же-сткопластических тел // V Всесоюз. съезд пл теоретич. и прикл. механике. Алма-Ата, 1981. С.83.

18. Быковцев Г.И., Хромов А.И. Разрушение идеальных жесткопластических тел // Сибирская школа по современным проблемам механики деформируемого твердого тела / Тезисы докладов. Якутск, 1990. С.30-31.

19. Введение в механику сплошных сред: учеб. пособие / Черных К.Ф. Изд-во Ленингр. ун-та, 1984. 280 с.

20. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, - 1978. 304 с.

21. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Гос.изд.физ.-мат.лит., 1963. 660с.

22. Джонсон У., Меллор П. Теория пластичности для инженеров. М.Е Машиностроение, 1979. 567 с.

23. Друянов Б.А. Начальное течение полосы при вдавливании гладкого криволинейного штампа // Исследование пластического течения металлов. М.: Наука, 1973. С. 98-106.

24. Друянов Б.А. О полных решениях некоторых задач деформации полосы // МТТ, 1968. № 2. С.171-173.

25. Друянов Б.А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности. М.: Машиностроение, 1990. - 272 с.

26. Дудукаленко В.В„ Мяснянкин Ю.М. Об определении изменяющейся границы тела при плоском пластическом деформировании // На-уч.тр.фак.прикл.мат. и мех.Воронеж.ун-та, 1971. Вып.2, С.131-134

27. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы / В.К. Семенченко. М.: Мир, 1974. 604 с.

28. Ерхов М.И. Теория идеальнопластических тел и конструкций. М.: Наука, 1978.352 с.

29. Ивлев Д.Д. К построению теории идеальной пластичности // ПММ, 1958. Т.22, вып.6. С.850-855.

30. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. В 2 т. Т.1. Теория идеальной пластичности. -М.: Физматлит, 2001. 448 с.

31. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. В 2 т. Т.2.Общие вопросы. Жест-копластическое и упругопластическое состояние тел. Упрочнение. Деформационные теории. Сложные среды. М.: Физматлит, 2002. 448 с.

32. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. 232 с.

33. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела. -М.: Наука, 1978. 208 с.

34. Ильюшин A.A. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948.

35. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики. К.1. Механика вязкопла-стических и не вполне упругих тел. М.: Наука, 1986. 360 с.

36. Качанов JI.M. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 312 с.

37. Качанов J1.M. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с.

38. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1979.208 с.

39. Койтер В. Соотношения между напряжениями и деформациями // Механика, №2,1960.

40. Колесников Ю.В., Морозов Е.М. Механика контактного разрушения. М.: Наука, 1989.224 с.

41. Корнев В.М. Модификация критерия разрушения Нейбера-Новожилова для угловых вырезов (антиплоская задача). // Прикладная механика и техническая физика. Т.43, № 1 2002. С. 153-139.

42. Кроха В.А. Упрочнение металлов при холодной пластической деформации: Справочник. М: Машиностроение, 1980. 157 с.

43. Леонов М.Я. Механика деформаций и разрушения. Фрунзе: Илим, 1981. 236 с.

44. Макаров К.А., Меркулов В.И., Егорова Ю.Г., Хромов А.И. Пластический изгиб листа с растяжением // Кузнечно-штамповочное производство. 1999. № 1.С. 9-12.

45. Макклинток Ф., Арагон А. Деформация и разрушение материалов. М.: Мир, 1970. 443 с.

46. Михлин С.Г. Математическая теория пластичности // Некоторые новые вопросы механики сплошной среды. М.: Изд-во АН СССР, 1938.

47. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 56 с.

48. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. Проблемы динамики разрушения твердых тел. СПб: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1997. 132 с.

49. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопластических сред. М.: Наука, 1981.208 с.

50. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т.2. М.: Мир, 1969. 864 с.

51. Пластичность и разрушение / под ред. В.Л. Колмогорова. М.: Металлургия, 1977. 336 с.

52. Прагер В. Проблемы теории пластичности, Физматгиз, 1958.

53. Прагер В., Ходж Ф.Г. Теория идеально пластических тел. М.: Издательство иностранной литературы, - 1956. 400 с.

54. Проблемы механики неупругих деформаций: Сборник статей. К семидесятилетию Д.Д. Ивлева. М.: Физматлит, 2001. 400 с.

55. Работнов Ю.Н. Введение в механику разрушения. М.: Наука, 1987. 80 с.

56. Работнов Ю.Н. Избранные труды. Проблемы механики деформируемого твердого тела. -М.: Наука, 1991.196 с.

57. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела: Учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1988. 712 с.

58. Разрушение: Энциклопедический справочник / под ред. Г. Либовица. М.: Мир, Т.1,1973. 616 е.; Т.2,1975. 764 е.; Т.З, 1976. 797 с.

59. Райе Дж.Р. Локализация пластических деформаций // Теоретическая и прикладная механика. Труды XIV Междунар. конгр. ШТАМ. М.: Мир, 1979. С. 438-471.

60. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.2. М.: Наука, 1970. 568 с.

61. Слепян Л.И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1990. 296 с.

62. Соколовский В.В. Построение полей напряжений и скоростей в задачах пластического течения // Инж.журн. 1961. Т.1, вып.З. С.116-121.

63. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969. 608 с.

64. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1979. 318 с.

65. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. М.: Мир, 1964. 308 с.

66. Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. В 2ч. 4.1. Деформация и разрушение. -М.: Машиностроение, 1974. 472 с.

67. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит, 1956. 407 с.

68. Ходж Ф. Краевые задачи пластичности. Пластичность и термопластичность. М.: Машиностроение, 1983. 598 с.

69. Христианович С.А. Плоская задача математической теории пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре: Мат. сб. (Нов. сер.) 1938. Т. 1, вып. 4.

70. Христианович С.А., Михлин С.Г., Девисон Б.Б. Некоторые вопросы механики сплошных сред. Изд-во АН СССР, 1938.

71. Хромов А.И. Деформация и разрушение жесткопластических тел. Владивосток: Дальнаука, 1996, 181 с.

72. Хромов А.И. Деформация и разрушение жесткопластической полосы при растяжении. // Механика твердого тела. № 1. 2002. С. 136-142.

73. Хромов А.И. Локализация пластических деформаций и разрушение идеальных жесткопластических тел // Докл. РАН. 1998. Т. 362, № 2. С. 202205.

74. Хромов А.И., Жигалкин К.А. Математическое моделирование процесса деформирования материалов//Дальневосточный математический журнал. -Владивосток: Дальнаука, ч. 3, № 1,2002. С. 93-101.

75. Хромов А.И., Козлова О.А. Разрушение жесткопластических тел. Константы разрушения. Владивосток: Дальнаука, 2005. 157 с.

76. Хромов А.И., Кочеров Е.П., Григорьева А.Л. Деформационно-энергетический критерий растяжения жесткопластических тел // Докл.Ран. 2007. Т413, №4.С.1-5.

77. Черепанов Г.П., Ершов Л.В. Механика разрушения. М.: Машиностроение, 1977. 224 с.

78. Чудин Г. Экстремальные принципы термодинимики необратимых процессов и механики сплошной среды. М.: Мир, 1966. 135 с.

79. Bishop J.F.W. On the complete solution to problems of deformation of a plastic-rigid material. J. Mach. and Phys. Solids, 1953, v.2, n.l. P.43-53.

80. Bishop J.F.W., Green A.P., Hill R. A note on the deformable region in a rigid-plastic body. J. Mach. and Phys. Solids, 1956, v. 4. P. 256-258.

81. Frendental A.M., Geiringer H. The mathematical theories of the inelastic continuum // Handbuch der Physic. Berlin, 1958. V.6.

82. Ewing D.J.F., Hill R. The plastic constraint of V-notched tension bars. J. Mach. and Phys. Solids, 1967, v. 15. P. 115-124.

83. Geiringer H. Fondements mathématiques de la theorie des corps plastiques isotropes. Memorial des sciences mathématiques. Gauthier-Villars, Paris, 1937.

84. Green A.P. The plastic yielding of shallow notched bars due to bending. J. Mach. and Phys. Solids, 1956, v. 4. P. 259-268.

85. Hadamard J., Leçons sur la propagation des ondes et les équations de l'hydrodynamique, Paris, 1903.

86. Hency H. Uber einige statisch bestimmten Falle des Gleichgewichts in plastischen Korpern//ZAMM, 1923. BD.3, h.4. P.241-251.

87. Hill R. Discontinuity relations in mechanics of solid, Progress in Solid Mechanics, vol.11,1961. P. 247-276.

88. Hill R. On the State of Stress in a Plastic-Rigid Body at the Yield Point. Phil. Mag., 1951, v. 42. P. 868-875.

89. Hill R. On discontinuous plastic states, witch special reference to a localized necking in thin sheets. JMPS, 1.1, N. 1,1952.

90. Koiter W.T. General theorem for elastic-plastic solids // Progress in Solid Mechanics, 1960. V.l, ch.IV.

91. Lee E.H. The theoretical analysis of metal forming problems in plane strain. J. appl. Mech., v.19,1952. P. 97-103.

92. Lee E.H. Plastic Flow in a V-Notched Bar Pulled in Tension. J. appl. Mech., 1952, v.19. P.331-336.

93. Levy M. Sur lintegration des equtions aus differences partielles relatives aux pouvments interieurs des corps solids ductiles lorsque ces mouvements ont lieu parplaus puralleles // C.R. Acad.Sci. (Paris), 1871. V.73. P.1098-1103

94. MacClintock F.A. Ductile Fracture instability in shear // J. Appl. Mech., 1958. V.25, № 4. P. 582-587.

95. Neimark J.E. The Fully Plastic, Plane-Strain Tension of a Notched Bar. J. appl. Mech., 1968, v. 35. P. 111-116.

96. Onat E.T., Prager W. The Necking of a Tension Speciment in Plane Plastic Flow, 1954, v. 25, № 4. P. 491-493.

97. Prager W. Problem der Plastizitatstheotie. Basel, 1955.

98. Prager W., Hodg Ph.G. Theory of perfectly plastic solids. N.Y., 1951.

99. Prandtl L. Anwendungsbiespiele zu einem Henckysehen Satz über das plastische Gleichgewicht // ZAMM, 1923. BD.III, h.6.

100. Prandtl L. Uber die Harte des plastischer Korper // ZAMM, 1921. BDI, h.l.

101. Richmond O. Plane strain necking of V-notched and un-notehed tensile bars. J. Mech. Phys. Solids, 1969, v. 17. P. 83-90.