Определение предельных состояний при вдавливании осесимметричных штампов с учетом сдвигающих усилий

Горский, Павел Владимирович

Определение предельных состояний при вдавливании осесимметричных штампов с учетом сдвигающих усилий тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Горский, Павел Владимирович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Чебоксары МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Определение предельных состояний при вдавливании осесимметричных штампов с учетом сдвигающих усилий»

Автореферат диссертации на тему "Определение предельных состояний при вдавливании осесимметричных штампов с учетом сдвигающих усилий"

На правах рукописи

Горский Павел Владимирович

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ СОСТОЯНИЙ ПРИ ВДАВЛИВАНИИ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ШТАМПОВ С УЧЕТОМ СДВИГАЮЩИХ УСИЛИЙ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Чебоксары - 2004

Работа выполнена в Чувашском государственном педагогическом университете им. И.Я. Яковлева

Научный руководитель - Заслуженный деятель наук РФ,

доктор физико-математических наук, профессор Ивлев Дюис Данилович

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Непершин Ростислав Иванович,

кандидат физико-математических наук, доцент Максимова Людмила Анатольевна.

Ведущая организация: Воронежский государственный университет

Защита состоится 22 апреля 2004 г. в 12 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.300.02 при Чувашском государственном педагогическом университете им. И.Я. Яковлева по адресу: 428000, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, 38.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева

Автореферат разослан « » марта 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного сове доктор физ.-мат. наук

Михайлова М.В.

w ж м п

Обшая характеристика работы

Актуальность темы. Решение осесимметричной задачи теории идеальной пластичности имеет большое значение для построения теории испытания материалов на твердость. Весьма часто о твердости материала судят по размерам отпечатка от давления какого-либо штампа, например стального шарика (метод Бринелля) или конического острия (метод Роквел-ла) на плоскую границу материала.

Осесимметричные задачи вдавливания штампов в жесткопластиче-ское полупространство впервые были рассмотрены Генки, который использовал условие полной пластичности Хаара, Кармана и сетку характеристик Прандтля для вдавливания плоских штампов. Впоследствии А.Ю. Ишлин-ский развил прямые численные методы определения предельных осесим-метричных состояний при условии полной пластичности и нашел предельную нагрузку при вдавливании плоских и сферических штампов (проба Бринелля).

Осесимметричные задачи теории идеальной пластичности рассматривали С.А. Александров, М.Я. Бровман, Б.А. Друянов, М.А. Задоян, В.А. Жалнин, Д.Д. Ивлев, B.C. Мищенко, Л.М. Качанов, В.Л. Колмогоров, В.Д. Коробкин, Л.А. Максимова, А.А. Маркин, Н.М. Матченко, М.В. Михайлова, Надаи, Р.И. Непершин, В.М. Пучков, Ю.Н. Радаев, А.Д. Томленое, Е.И. Шемякин, Шилд, С П. Яковлева и др.

Задачи статически определимого общего плоского состояния при совместном действии напряжений плоской и антиплоской задачи рассмотрены в работах Д.Д. Ивлева, Л.А. Максимовой, Р.И. Непершина. В реферируемой работе в аналогичной постановке рассматриваются двумерные осе-симметричные задачи.

Развитие современной техники предъявляет повышенные требования к прочностным свойствам машин и их составляющих элементов, а также различных сооружений и конструкций, уменьшению их веса, габаритов, что ведет к необходимости применения неоднородных композитных материалов в производстве.

В работе рассмотрено влияние свойств неоднородности пластического материала, когда предел текучести является функцией произвольного вида координат точек пространства. Проблемой учета свойств неоднородности материала в теории идеальной пластичности занимались А.А. Ильюшин, М.Т. Алимжанов, A.M. Алимжанов, Р.Ю. Амензаде, О.Д. Григорьев, Б.А Друянов, М.А. Задоян, Т.Л. Захарова, Д.Д. Ивлев, А.И. Кузнецов, В.А Ломакин, В. Ольшак, Я. Рыхлевский, А. Я. М. М.С. Спенсер, В Урбанов-ский, Е.А Целистова, и др.

задачами являются задачи о внедрении клина в пластическое полупространство, вдавливание жесткого сферического штампа, внедрение жесткой и раздавливание пластической пирамид и ряд других задач. Исследованию автомодельных задач теории идеальной пластичности посвящены работы Хилла, Ли, Тапера, А.Ю. Ишлинского, Д.Д. Ивлева, Р.И. Непершина, Шил-да и других авторов.

Целью работы является:

• исследование двумерных статически определимых соотношений в цилиндрических координатах задачи о вдавливании осесимметричных штампов с учетом сдвигающих усилий в однородное и неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство,

• развитие численных методов решения,

• построение автомодельного решения для задач о вдавливании жестких пирамид в идеальнопластическое полупространство.

На защиту выносятся следующие научные положения и результаты:

• Численное решение осесимметричной задачи о вдавливании кругового и кольцевого штампов в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство при действии различного вида контактных касательных, напряжений для случая экспоненциальной зависимости предела текучести материала от координат точек полупространства;

• Численное решение задачи о вдавливании кругового штампа с плоским основанием в однородное и неоднородное идеальное жесткопластиче-ское полупространство с учетом сдвигающих усилий для случая экспоненциальной зависимости предела текучести.

• Решение автомодельной задачи о наклонном внедрении жесткой правильной пирамиды в идеально пластическое полупространство при условии полной пластичности с учетом контактного трения на гранях пирамиды.

Научная новизна. Получены характеристические соотношения для напряжений в цилиндрической системе координат, развиты численные методы расчета поля напряжений, позволяющие решать класс осесимметрич-ных задач, учитывая свойства неоднородности пластического материала с пределом текучести произвольного вида, воздействие массовых сил, а также задач с учетом действия сдвигающих усилий, описываемых системами уравнений и соотношениями, приведенными в настоящей работе.

Построен метод решение автомодельной задачи о наклонном внедрении л-угольных жестких пирамид в идеальнопластическое полупространство с учетом контактного трения на гранях пирамиды.

Достоверность результатов обеспечивается использованием фундаментальных представлений теории идеальной пластичности, математиче-

ских методов исследований и непротиворечивостью, а также сводимостью результатов данной работы к результатам других авторов.

Практическая ценность работы. Полученные результаты могут быть использованы при расчетах предельного состояния жесткопластиче-ских неоднородных сред. Учет свойств неоднородности материала позволяет более точно оценивать ресурсы прочности, что позволит рациональнее проектировать сооружения и машины. Численные методы могут быть использованы для решения подобных задач, описываемых аналогичными системами уравнений и соотношениями.

Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались:

• на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики и информатики» посвященной 80-летию со дня рождения профессора Л.А. Толоконникова (Тула, ноябрь 2003 г.);

• на школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2002);

• на семинарах по механике деформируемого твердого тела (Чебоксары, ЧГПУ, 2001-2004);

• на ежегодных итоговых конференциях научных сотрудников, докторантов и аспирантов ЧГПУ им. И.Я. Яковлева (Чебоксары, ЧГПУ, 2002, 2003);

• на ежегодных итоговых конференциях преподавателей ЧГПУ им. И.Я.' Яковлева (Чебоксары, ЧГПУ, 2002,2003).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 7 работах. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем работы: 95 страниц, 67 рисунков и графиков, список литературы содержит 80 наименований.

Основное содержание работы

Первая глава посвящена выводу характеристических соотношений в цилиндрической системе координат, позволяющих определить напряженное состояние осесимметричной задачи о вдавливании штампов с учетом свойств неоднородности пластического материала, когда предел текучести является функцией произвольного вида координат точек пространства, а также задачи о вдавливании осесимметричных штампов с учетом сдвиговых усилий и воздействия массовых сил. Находятся характеристические соотношения для определения поля скоростей в случае однородного материала. Излагаются численные методы расчета поля напряжения, исходя из полученных характеристических соотношений.

В первом параграфе определяются характеристические соотношения в цилиндрических координатах для задачи о вдавливании осесиммет-

ричных штампов с учетом сдвиговых усилии, воздействия массовых сил для неоднородного материала с пределом текучести произвольного вида. Предполагается, что отнесенные к пределу текучести компоненты напряжений ст4 являются функциями двух координат p,z.

Рассматриваются условия полной пластичности:

<Tl,2=Or2,3. CTj=<T| + 2£ (1.1)

где <г, - компоненты главных напряжений, к - предел текучести.

Рассматривается пластическая неоднородность произвольного вида k(p,0,z). Предел текучести полагается функцией трех координат точек

пространства где - непрерывная диффе-

ренцируемая произвольная функция, кд = const. За единицу напряжения принимается 2к„ = 1.

Вводятся предположения для компонент напряжений:

<7р = ае\р,2уЗ{р,в,2), г^ =т#{р,хуз{р,в,2), о-в =aa(p,z)G(p,e,z), ^T^fazfiip.e.z), сгг = az (р, z)g(p, в, z), rte = rte (р, z)G(p, в, z),

(1.2)

где - компоненты напряжений, отнесенные к

Далее ниже в соотношениях будут только отнесенные к пределу текучести компоненты напряжений, для простоты записи знак «волны» будем опускать.

Компоненты напряжений, отнесенные к пределу текучести, при условии полной пластичности (1.1), используя соотношения для направляющих косинусов (1.14), приводятся к виду:

1.1/.. \ 2 , . 1 -

сгр =о-Т j±-(l + cos^)cos2 Грв = ±-sin^cosf, °в =CT + i±i(l-COSii'), Tpj = + cos^)sm £cos £ , аг =cr=Fj± j(l + cos^)sinJi, rte =±^sin^sm£, a = i(a?+ae+az), a = cr2±j.

(1.3)

Уравнения равновесия:

дт„ дт0g Sr. dr.

—£- + —2- + Л. =0, —+ —^ + =0, —!■

dp dz dp dz dp

(1.4)

где

Д gp-°e , 1 1 р G{p,9,z)

dG{p,e,z) , Se 5G(£Az)

= ±y—[(l +cosacos2 £ —(l-COS $!/)]+

Н--7-4 <Х+ -±-(l +COSACOS2 £-^ 7±

G(p,0,z)[l 3 2 dp

. sinocos £ 5GÍ/7, 1 /, \ . , e dG(p, 0, z) „

±—--2--—-L±— (l + cosy)sin£cos£— ' + F|

2p 80 2 dz

dG(p,9,z) t dG{p,e,z) , _ dGip^z)

+ ег,

+ Ft

p G(p, 0, z)

fr + cos^sin^cos^ 1 17, 1 /, \ . E S\8G(p,0,

- - 2, "^M^I^005^'^005^ ф

2 p 80 \ Ъ 2 5z 3

5G(p,g,z) , o-9 aG(p,fl,z) , _ ¿)G(p,6>,z) , g

То,

_ 2l>

G{p,6,z)

, sin eos ¿ =+—£-2. + .

У 1 . ^aGÍp.^z) ^-«nrco-íj——¿ +

G(p,0,z)

-1ЛЙ s\dG{p,efz)^ 1 . . K8GÍp,0,z) „ 1 ,,

+ + (1.5)

Рассмотрение неоднородности вида G(p,0,z) = ameG{p,z), где m = const, aef?+ \{1}, G(p,z)>0 - непрерывная дифференцируемая функция, позволяет исключить компоненты в в уравнениях равновесия (1.4). При т ф 0 для исключения 0 потребуется пренебречь воздействием массовых сил F¡ =0 (¿=1,2,3).

При решении задачи о вдавливании осесимметричных штампов с учетом сдвигающих усилий у/ Ф 0 будем иметь три семейства характеристик и дифференциальные соотношения вдоль них:

1ЫКН]

, tg2// =

1 — cos у/

(1.6)

соотношение вдоль а характеристики (1.6)

. _ 1 1 + COStf z -y/COSfi/

HI).

Sinv

С Л

COS Iff

dp = 0, (1.7)

соотношение вдоль p характеристики (1.6)

' '¿О

sm^ Сpyjcos у/

dp = 0, (1.8)

, . 1 1 + COSj/ _ n

2 Jcosys

где Ce ^ - cos %-Jcos у/ ± sin £ •

В общем случае, при у/ Ф 0 имеет место третья характеристика:

f£l (1.9)

соотношение вдоль у характеристики (1.9) имеет вид:

dcr T^ctg^-dy/ +

COS £

dp = 0,

(1.10)

где определяются соотношениями (1.5).

Во втором параграфе, как частный случай, приведены соотношения для задачи о вдавливании осесимметричных штампов с учетом сдвиговых усилий при схожих предположениях для однородного материала в{р,в,г)= 1.

В третьем параграфе приведена постановка задачи и характеристические соотношения для осесимметричной задачи у/ = 0 теории идеальной пластичности с учетом действия массовых сил для материала с пластической неоднородностью произвольного вида к = к(0, <р) как частный случай .характеристических соотношений, выведенных в первом параграфе.

В четвертом параграфе приводятся численные методы расчета поля напряжений задачи о вдавливании осесимметричных штампов с учетом сдвигающих усилий. А также, указывается на особенности последовательного прямого (от свободной границы к штампу) и обратного (от штампа к свободной границе) методов построения поля характеристик в задаче при наличии действия сдвигающих усилий под штампом

Предложено использование характеристического определителя системы дифференциальных уравнений альтернативой использованию соотношений вдоль характеристик, а также использование свойства третьей характеристики быть биссектрисой угла, образованного двумя другими характеристиками, в решении задачи Коши. Три дифференциальных соотно-

шения вдоль характеристик заменяются функцией-определителем Д5 = Д, (¿р, ¿/сг, от десяти переменных, при этом зна-

ние уравнений характеристик в приведенном виде остается необходимым.

Также приводится итерационная процедура граничной задачи для случая переменного касательного давления под штампом в задаче о вдавливании осесимметричных штампов с учетом сдвиговых усилий в пластическое полупространство.

Пятый параграф посвящен выводу характеристических соотношений, позволяющих определить поле скоростей перемещений для задачи о вдавливании осесимметричных штампов с учетом сдвигающих усилий у/Ф 0 в случае однородного материала С(р, в, г) = 1.

Составим систему из условия несжимаемости:

(1.11)

и условия изотропии:

Образованная система дифференциальных уравнений вместе с формулами Коши относительно неизвестных и, v, щ скоростей перемещений принадлежит к гиперболическому типу. Аналогично задаче определения поля напряжений имеем три характеристики (1.9), (1.10) и три дифференциальных соотношения вдоль этих характеристик:

<ьР,г

¿р, (1.13)

- , 5*2 --Р 2 /от,

53=-

и п,

Р 2 рпхпг

где И|,И2,И3 - направляющие косинусы главного напряжения <т31 при условиях полной пластичности (1.1):

И, = С08^-С0$£ , яг=в Я3 = С05-у5т£. (Ы4)

Указывается на ряд особенностей построения поля скоростей перемещений, связанный с особенностями при построении поля напряжений.

Вторая глава посвящена численным решениям задачи о вдавливании круговых штампов с плоским основанием в идеальное жесткопластиче-ское полупространство с учетом сдвиговых усилий и свойств неоднородности материала, исходя из характеристических соотношений, численных алгоритмов и методов, полученных в первой главе.

В первом параграфе приводится численное решение задачи о вдавливании кругового в плане штампа с плоским основанием в однородное жесткопластическое полупространство с учетом сдвигающихусилий у/^й для различных случаев действия контактных касательных напряжений под штампом, в том числе действия переменных касательных напряжений. Случай внедрения гладкого кругового штампа для однородного материала был рассмотрен А.Ю. Ишлинским.

Задача решается с использованием условия полной пластичности, которое в главных напряжениях имеет вид

где «у. - компоненты главных напряжений, к - предел текучести. За единицу напряжения примем! 2к0 = 1.

Компоненты напряжений <тр, г ,... имеют вид:

> ^г' ^з - компоненты массовых сил.

При построении решения используются характеристические соотношения (1.5) - (1.10) (в соотношениях берется нижний знак), полученные во втором параграфе первой главы. Также применяется метод интегрирования гиперболических дифференциальных уравнений и построения поля характеристик, приведенные в пятом параграфе той же главы. Решение строится для однородного материала С(р, в, г)=1 при пренебрежении воздействия массовых сил = Рг = = 0.

Ниже на фиг. 1 приведены графики распределения нормальных напряжений под штампом для различных случаев касательного напряжения а) ^ = 0, £ = */2, г = 0

б) ^ = 0.2, £ = 1.559, г = 0.2&

в) у = 0.4, £ = 1.522, т-ОАк

г) ^ = 0.5, £ = 1.366, т = 0.6к

д) у = 0.5, £ = 1.176, г = 0.8&

Второй и третий параграфы посвящены численным решениям осе-симметричной задачи = 0 о вдавливании круговых (второй параграф), и кольцевых (третий параграф) в плане штампов с плоским основанием в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство при действии различного вида касательного напряжения под штампом. В рассматриваемых постановках задачи = 0, тогда компоненты касательных напряжений

1рв

= г«=0.

Задачу о вдавливании круговых и кольцевых в плане штампов решаем с использованием условий полной пластичности:

СТ|=0"2, <Тз = <72 + 2к, для внутреннего случая (СР) (2.5)

£72 = Оз > для внешнего случая (ЫЕ) (2.6)

где с( - компоненты главных напряжений, к - предел текучести (Фиг. 2).

Для решения задачи о вдавливании кругового штампа используем условие полной пластичности (2.6) и оба условия (2.5) и (2.6) - для задачи о вдавливании кольцевого штампа.

В случае кругового штампа все величины размерности длины отнесем к радиусу штампа. Для кольцевого штампа в третьем параграфе все величины отнесем к наибольшему радиусу окружности штампа (фиг. 2).

В постановке задачи рассматривается неоднородность произвольного вида к(р,г). Предел текучести к представляется в виде к(р, г) = к0С(р,г), где - произвольная дифференцируемая непрерывная функция,

к0 = сот!.

Вводится подстановка:

Ор = о9 [р, г)в(р, г), егв = (р, г)в(р, г)

стг=аг{р,гУ}{р,2), V =тр2(р,гУз(р,г). (2.7)

При = компоненты касательных напряжений т0в = = 0. Тогда компоненты напряжений, отнесенные к пределу текучести, (1.3) имеют вид:

(2.8)

где

Поле напряжений будет определяться двумя семействами - ха-

рактеристик и дифференциальными соотношениями вдоль них:

соотношения вдоль характеристик (2.9) имеют вид:

(1(7 + (1% +

вдоль а характеристики,

УР=о

(2.9)

(2.10)

(2.11)

вдоль р характеристики,

где /?|,Л2 определяются соотношениями:

=±

СОБ £

Р I

др

+ г„

я2 =

= ±-- +

2р

Р 1

С{р,г)

3 ) др & .

дС(р,г) ш _

±зш£соз£-

Эр

(2.12)

& Щр^г)

-(Т + -±51П £ -+ —Г"5—г

Эр к 3 М & . С{р,г)

Далее принимается = = 0.

Поле напряжений рассчитывается аналогично задачи о вдавливании кругового штампа с учетом сдвиговых усилий. В характеристических соотношениях берется нижний знак.

На фиг. 3 показано поле характеристик, графики распределения нормальных напряжений -сгг и -а,

родности вида, где С{р,г)~ е'р+2'/2.

дня гладкого штампа г^ = 0 и неодно-

Фиг. 3

При вдавливании кольцевого штампа пластическая зона материала возникает как с внешней, так и внутренней стороны штампа. Задача сводится к построению решения от внутренней А С и внешней ВМ частей свободной границ пластического материала (Фиг. 2) независимо одно от другого и определению точки ¥, соответствующей точке пересечения графиков напряжений — сгг для внутреннего и внешнего случаев (Фиг. 4).

Задача решается аналогично численным методом. В случае построе- -ния решения от свободной.внутренней границы полупространства АС следует брать верхние знаки в соотношениях, приведенных выше; от границы ВМ - нижние знаки.

На фиг. 4 приведены поле характеристик и графики напряжений —аг при действии неравномерного продольного касательного напряжения вида

тр:{р)/к ~ -0-4со&(2л'/э)+0.5, у/ = 0 для неоднородного материала с пределом текучести к(р,.

Фиг. 4

В зависимости от пересечения сетки характеристик с осью симметрии кольцевого штампа возможны три случая расположения сетки характеристик.

В четвертом параграфе приводится решение задаче о вдавливании кругового в плане штампа с плоским основанием в неоднородное С{р,0,г)фО жесткопластическое полупространство с учетом сдвигающих усилий у/ Ф 0.

Поле напряжений рассчитывается аналогично предыдущим задачам. В решении используются соотношения и численные методы, полученные в первой главе.

На фиг. 5 показан пример построения поля характеристик при совместном влиянии сдвигаюгцих усилий вида т{р)/к = -0.2соъ{27гр}+ 0.5 , где

и свойств неоднородности материала с предел текучести вида <{р,2)-к0С{р,г) = к0е^*1^ при (/ = 0.2 на напряженное состояние материала при вдавливании кругового штампа

Приведенные выше характеристические соотношения в сочетании с предложенными численными методами позволяют также построение поля характеристик для задачи о вдавливании штампа в неоднородное жестко-пластическое полупространство при действии переменного контактного касательного напряжения под штампом с учетом массовых сил, а также криволинейной границей штампа одновременно.

1(2 1

СИ *

Фиг. 5

Третья глава посвящена автомодельному решению задач о наклонном внедрении жестких правильных п-угольных пирамид в идеально пластическое полупространство при условии полной пластичности с учетом контактного трения на гранях пирамиды. Задача моделирует испытание материалов на твердость внедрением жесткой пирамиды. А.Ю. Ишлинским было рассмотрено предельное состояние идеально пластического пространства при вдавливании сферического жесткого штампа - проба Бринелля. Автомодельное решение задачи о перпендикулярном внедрении жесткой треугольной и квадратной пирамиды с учетом контактного трения на гранях пирамиды было получено Д.Д. Ивлевым, А.Ю. Ишлинским, Р.И. Не-першиным.

В первом параграфе приведено геометрическое описание построения решения задачи о наклонном внедрении жесткой п - угольной пирамиды в идеально пластическое полупространство. В качестве метода решения задачи предлагается метод координат.

Во втором параграфе приводится построение решения задачи относительно реализуемых случаев пластического течения материала.

В такой постановке задачи возможны три случая пластического течения, реализуемые в зависимости от конфигурации «клина», определяемом пятью параметрами п, £, 8 И--//. Параметр и определяет число боковых граней пирамиды, £ - угол отклонения грани пирамиды от оси внедрения, - угол поворота пирамиды вокруг оси - угол, образо-

ванный осью внедрения пирамиды и нормалью к границе пластического полупространства и /Л - параметр, задающий напряжение контактного трения на границе контакта

Критериями реализуемого случая являются:

1 случай: СЮк ОН> 0 и - ОС7* -С,Я>0 (фиг. 6),

2 случай: ОсГк ■ ОН < О (фиг. 7),

3 случай: 0(Гк-0Н>0 и -О^-С^Я<0 (фиг. 8).

(3.1)

(3.2)

(3.3)

Фиг. 6

Фиг. 7

Третий параграф посвящен описанию сводного алгоритма итогового построения решения задачи о наклонном внедрении пирамиды.

Приводится алгоритм построения пластических зон, образуемых при внедрении пирамиды, для конкретной конфигурации пирамиды (Фиг. 9) и алгоритм построения графиков зависимости общего вертикального давления от угла наклона грани к оси пирамиды в этом случае.

Основные результаты и выводы

1. Получены характеристические соотношения для напряжений в цилиндрической системе координат, развиты численные методы расчета поля напряжений, позволяющие решать класс осесимметричных задач теории идеальной пластичности, учитывая свойства неоднородности пластического материала с пределом текучести произвольного вида, воздействие массовых сил, а также задач с учетом действия сдвигающих усилий при , описызаемые системами уравнений и соотношениями, приведенными в реферируемой работе.

2. Получено численное решение осесимметричной задачи о вдавливании круговых штампов в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство при действии различного вида контактных касательных напряжений под штампом для случая экспоненциальной зависимости предела текучести материала от координат точек полупространства;

3. Найдено численное решение осесимметричной задачи о вдавливании кольцевых штампов в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство при действии различного вида касательного напряжения под штампом для случая экспоненциальной зависимости предела текучести материала от координат точек полупространства;

4. Получено численное решение задачи о вдавливании кругового штампа с плоским основанием в неоднородное жесткопластическое полупространство с учетом сдвигающих усилий для случая экспоненциальной зависимости предела текучести.

5. Получено автомодельное решение задачи о наклонном внедрении жестких правильных пирамид в идеальнопластическое полупространство при условии полной пластичности с учетом контактного трения на гранях пирамиды.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Горский П.В. О вдавливании кругового в плане штампа с плоским основанием в пространственно неоднородное жестко пластическое полупространство при действии контактных касательных напряжений // На-уч.-информ. вестник докторантов, аспирантов, студентов. - 2003. - №2. - С. 20-29.

2. Горский П.В. О вдавливании кругового в плане штампа с плоским основанием в пространственно неоднородное жесткопластическое полупространство при действии контактных касательных напряжений. — Тула: Изд-во ТулГУ, 2003. - С. 121-126.

3. Горский А. В., Горский П.В. Задача о внедрении клина в идеальное жесткопластическое полупространство // Сборник научных трудов докторантов, научных сотрудников, аспирантов и студентов. Вып. 10. - Чебоксары: ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2002. - С. 11-15.

4. Горский А.В., Горский П.В. Задача о внедрении клина в идеальную жесткопластическую полосу // Сборник научных трудов докторантов, научных сотрудников, аспирантов и студентов. Вып. 10. - Чебоксары: ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2002. - С. 16-24.

5. Горский А.В., Горский П.В. О характеристических соотношениях для напряжений и скоростей перемещений общей плоской, осесимметриче-ской и сферической задач теории идеальной пластичности // Науч.-информ. вестник докторантов, аспирантов, студентов. - 2003. - №1. — Т.1.-С. 10-20.

6. Горский А.В., Горский П.В. О соотношениях общей плоской, осесим-метрической и сферической задач теории идеальнопластического тела для неоднородного материала // Науч.-информ. вестник докторантов, аспирантов, студентов. — 2003. — № 1. - Т.2. — С. 7-15.

7. Горский А.В., Горский П.В. О внедрении жесткой пирамиды в идеально пластическое полупространство // Проблемы механики: сб. статей. К 90-летию со дня рождения.АЮ. Ишлинского. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.-С. 255-261.

Личный вклад автора. Работы [1,2] выполнены автором лично. В работах [3,4,5,7] в рамках сформулированной научным руководителем проблемы получены необходимые соотношения и проведены численные расчеты. В работе [6] получены соотношения для осесимметричной задачи в случае неоднородного материала.

Подписано к печати i2-oft. QV t. . Формат 60x84/16.

Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. З.^ОЭо. Офсетная лаборатория ЧГПУ

• -5ÎÛ--

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Горский, Павел Владимирович

Введение.

Глава I. ДВУМЕРНОЕ ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ В

ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ

§1. Соотношения задачи о вдавливании осесимметричных штампов с учетом сдвигающих усилий для неоднородного материала.

§2. Характеристические соотношения задачи о вдавливании осесимметричных штампов с учетом сдвигающих усилий для однородного материала.

§3. Соотношения осесимметричной задачи теории идеальной пластичности для неоднородного материала.

§4. Численные методы расчета поля напряжений задачи о вдавливании осесимметричных штампов с учетом сдвигающих усилий.

§5. Характеристические соотношения для скоростей перемещений задачи о вдавливании осесимметричных штампов с учетом сдвигающих усилий.

Глава II. ЗАДАЧА О ВДАЛИВАНИИ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ШТАМПОВ

§1. Задача о вдавливании круговых штампов в однородное идеальное жесткопластическое полупространство с учетом сдвигающих усилий.

§2. Осесимметричная задача о вдавливании круговых штампов в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство.

• §3. Осесимметричная задача о вдавливании кольцевых штампов в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство.

§4. Задача о вдавливании круговых штампов в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство при действии сдвигающих усилий.

Глава III. АВТОМОДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА О ВНЕДРЕНИИ ЖЕСТКИХ ПИРАМИД В ИДЕЛЬНОПЛАСТИЧЕСКОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО

§1. Геометрическое описание построения решения задачи о наклонном внедрении жесткой пирамиды в идеальнопластическое полупространство.

§2. Построение решения относительно реализуемых случаев пластического течения материала.

§3. Построение итогового решения задачи о наклонном внедрении жесткой пирамиды.

Введение диссертация по механике, на тему "Определение предельных состояний при вдавливании осесимметричных штампов с учетом сдвигающих усилий"

Решение осесимметричной задачи теории идеальной пластичности имеет большое значение для построения теории испытания материалов на твердость. Весьма часто о твердости материала судят по размерам отпечатка от давления какого-либо штампа, например стального шарика (метод Бринелля) или конического острия (метод Роквелла) на плоскую границу материала. Экспериментальные данные показали, что так называемые числа твердости по Бринеллю и по Роквеллу связаны определенным образом с временным сопротивлением материала и его пределом текучести.

A.Ю. Ишлинский развил прямые численные методы определения предельных осесимметричных состояний при условии полной пластичности и нашел предельную нагрузку при вдавливании плоских и сферических штампов (проба Бринелля).

Осесимметричные задачи теории идеальной пластичности рассматривали С.А. Александров, М.Я. Бровман, Б.А. Друянов, М.А. Задоян,

B.А. Жалнин, Д.Д. Ивлев, B.C. Мищенко, JI.M. Качанов, В.Л. Колмогоров, В.Д. Коробкин, JI.A. Максимова, А.А. Маркин, Н.М. Матченко, М.В. Михайлова, Надаи, Р.И. Непершин, В.М. Пучков, Ю.Н. Радаев, А.Д. Томленов, Е.И. Шемякин, Шилд, С.П. Яковлева и др.

Задачи статически определимого общего плоского состояния при совместном действии напряжений плоской и антиплоской задачи рассмотрены в работах Д.Д. Ивлева, JI.A. Максимовой, Р.И. Непершина. В ф реферируемой работе в аналогичной постановке рассматриваются двумерные осесимметричные задачи.

В работе рассмотрено влияние свойств неоднородности пластического материала, когда предел текучести является функцией произвольного вида координат точек пространства. Проблемой учета свойств неоднородности материала в теории идеальной пластичности занимались А.А. Ильюшин, М.Т. Алимжанов, A.M. Алимжанов, Р.Ю. Амензаде, О.Д. Григорьев, Б.А. Друянов, М.А. Задоян, Т.Д. Захарова, Д.Д. Ивлев, А.И. Кузнецов, В.А. Ломакин, В. Ольшак, Я. Рыхлевский, А. Я. М. М.С. # Спенсер, В Урбановский, Е.А. Целистова, и др.

В реферируемой работе также рассмотрена автомодельная задача о вдавливании жестких пирамид в идеальнопластическое полупространство. Автомодельные задачи рассматривали Хилл, Ли и Тапер. Автомодельными задачами являются задачи о внедрении клина в пластическое полупространство, вдавливание жесткого сферического штампа, внедрение жесткой и раздавливание пластической пирамид и ряд других задач. Исследованию автомодельных задач теории идеальной пластичности посвящены работы Хилла, Ли, Тапера, А.Ю. Ишлинского, Д.Д. Ивлева, Р.И. Непершина, Шилда и других авторов.

Целью настоящей работы является: • исследование двумерных статически определимых соотношений в цилиндрических координатах задачи о вдавливании осесимметрич

• ных штампов с учетом сдвигающих усилий в однородное и неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство,

• развитие численных методов решения,

Работа состоит из трех глав.

Первая глава посвящена выводу характеристических соотношений в цилиндрической системе координат, позволяющих определить напряженное состояние осесимметричной задачи о вдавливании штампов с учетом свойств неоднородности пластического материала, когда предел текучести является функцией произвольного вида координат точек пространства, а также задачи о вдавливании осесимметричных штампов с учетом сдвигающих усилий и воздействия массовых сил. Находятся характеристические соотношения для определения поля скоростей в случае однородного материала. Излагаются численные методы расчета поля напряжения, исходя из полученных характеристических соотношений.

Во второй главе приводятся численные решения осесимметричной задачи о вдавливании круговых и кольцевых штампов в однородное и неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство при действии различных видов контактных касательных напряжений под штампом в случае экспоненциальной зависимости предела текучести материала от координат точек полупространства. А также приводится численное решение задачи о вдавливании круговых штампов с учетом сдвигающих усилий в случае однородного материала и материала с пластической неоднородностью.

В третьей главе приводится автомодельное решение задачи о наклонном внедрении жестких правильных «-угольных пирамид в идеально пластическое полупространство при условии полной пластичности с учетом контактного трения на гранях пирамиды. Приводятся графики зависимости общего вертикального давления от угла ^ наклона грани к оси пирамиды. Задача моделирует испытание материалов на твердость внедрением жесткой пирамиды.

На защиту выносятся следующие научные полоэюения и результаты:

• Численное решение осесимметричной задачи о вдавливании кругового и кольцевого штампов в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство при действии различного вида контактных касательных напряжений для случая экспоненциальной зависимости предела текучести материала от координат точек полупространства;

• Численное решение задачи о вдавливании кругового штампа с плоским основанием в однородное и неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство с учетом сдвигающих усилий для случая экспоненциальной зависимости предела текучести.

Научная новизна. Получены характеристические соотношения для напряжений в цилиндрической системе координат, развиты численные методы расчета поля напряжений, позволяющие решать класс осесим-метричных задач, учитывая свойства неоднородности пластического материала с пределом текучести произвольного вида, воздействие массовых сил, а также задач с учетом действия сдвиговых усилий, описываемых системами уравнений и соотношениями, приведенными в настоящей работе.

Построен метод решение автомодельной задачи о наклонном внедрении я-угольных жестких пирамид в идеальнопластическое полупространство с учетом контактного трения на гранях пирамиды.

Достоверность результатов обеспечивается использованием фундаментальных представлений теории идеальной пластичности, математических методов исследований и непротиворечивостью, а также сводимостью результатов данной работы к результатам других авторов.

Практическая ценность работы. Полученные результаты могут быть использованы при расчетах предельного состояния жесткопласти-ческих неоднородных сред. Учет свойств неоднородности материала позволяет более точно оценивать ресурсы прочности, что позволит рациональнее проектировать сооружения и машины. Численные методы могут быть использованы для решения подобных задач, описываемых аналогичными системами уравнений и соотношениями.

Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались:

• на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики и информатики» посвященной 80-летию со дня рождения профессора JI.A. Толоконникова (Тула, ноябрь 2003 г.);

• на школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2002);

• на семинарах по механике деформируемого твердого тела (Чебоксары, ЧГПУ, 2001-2004);

• на ежегодных итоговых конференциях научных сотрудников, докторантов и аспирантов ЧГПУ им. И.Я. Яковлева (Чебоксары, ЧГПУ, 2002, 2003); на ежегодных итоговых конференциях преподавателей ЧГПУ И.Я. Яковлева (Чебоксары, ЧГПУ, 2002, 2003). Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 7 работах.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Основные результаты и выводы

1. Получены характеристические соотношения для напряжений в цилиндрической системе координат, развиты численные методы расчета поля напряжений, позволяющие решать класс осесимметричных задач теории идеальной пластичности, учитывая свойства неоднородности пластического материала с пределом текучести произвольного вида, воздействие массовых сил, а также задач с учетом действия сдвигающих усилий при ^0, описываемые системами уравнений и соотношениями, приведенными в реферируемой работе.

3. Найдено численное решение осесимметричной задачи о вдавливании кольцевых штампов в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство при действии различного вида контактных касательного напряжения под штампом для случая экспоненциальной зависимости предела текучести материала от координат точек полупространства;

4. Получено численное решение задачи о вдавливании кругового штампа с плоским основанием в неоднородное жесткопластическое полупространство с учетом сдвигающих усилий т в ^Tq, ф 0 для случая экспоненциальной зависимости предела текучести, а также предела текучести произвольного вида.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Горский, Павел Владимирович, Чебоксары

1. Алимжанов A.M. Упругопластическое напряженно деформированное состояние толстостенной цилиндрической трубы под действием неравномерного внешнего давления // Механика и моделирование процессов технологии (ММПТ). - 1995. - № 1. - С. 24-31.

2. Алимжанов A.M. Упругопластическая задача, учитывающая неоднородность механических свойств материала // Докл. АН СССР. 1978.- Т. 242. № 6. - С. 1281-1284.

3. Арутюнян Н.Х., Колмановский В.Б. Теория ползучести неоднородных тел. -М.: Наука, 1983.-336 с.

4. Амензаде Р.Ю., Шестереков С.А. Нелинейное поведение неоднородного по толщине кольца из композитного материала // Изв. РАН. МТТ,- 1996.-№5.-С. 151-154.

5. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д., Мартынова Т.Н. К теории осесимметрич-ного состояния идеально пластического материала // ПМТФ. 1964. -№5.

6. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998. - 528 с.

7. Генки Г. О некоторых статически определимых случаях равновесия в пластических телах // Сборник «Теория пластичности». М., 1948.

8. Горский А.В., Горский П.В. Задача о внедрении клина в идеальное жесткопластическое полупространство // Сборник научных трудов докторантов, научных сотрудников, аспирантов и студентов. Вып. 10.- Чебоксары: ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2002. С. 11-15.

9. Горский А.В., Горский П.В. Задача о внедрении клина в идеальную жесткопластическую полосу // Сборник научных трудов докторантов,научных сотрудников, аспирантов и студентов. Вып. 10. Чебоксары: ЧГПУ им. И. Я. Яковлева, 2002. - С. 16-24.

10. П.Горский А.В., Горский П.В. О соотношениях общей плоской, осе-симметрической и сферической задач теории идеальнопластического тела для неоднородного материала // Науч.-информ. вестник докторантов, аспирантов, студентов. -2003. №1. -Т.2. - С. 7-15.

11. Горский А.В., Горский П.В. О внедрении жесткой пирамиды в идеально пластическое полупространство // Проблемы механики: сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2003. - С. 255-261.

12. Григорьев О.Д. Задача Прандтля для анизотропного, неоднородного по толщине пластического слоя и равновесие полупространства поддействием распределенной нагрузки // Инженерный журнал. МТТ. -1966. -№3.

13. Григорьев О.Д. Некоторые задачи теории пластичности неоднородных тел // Труды НИИВТ. 1969. - Вып. 48. - 206 с.

14. П.Григорьев О.Д. О пластическом равновесии неоднородной полуплоскости при вдавливании гладкого плоского штампа // Прикладная механика. 1968. - Т. 4. - Вып. 1.

15. Друянов Б.А. Вдавливание жесткого штампа в тонкую пластически неоднородную полосу // Известия АН СССР. ОНТ. Механика и машиностроение. 1960. - № 4.

16. Друянов Б.А. Вдавливание шероховатого штампа в толстую пластически неоднородную полосу // Известия АН СССР. ОНТ. Механика и машиностроение. 1960. - № 6.

17. Друянов Б.А. Начальное течение неоднородной полосы при вдавливании шероховатого штампа // Инженерный журнал. МТТ. -1961. № 3.

18. Друянов Б.А. Предельное равновесие пластически неоднородного клина // Докл. АН СССР. 1959. - Т. 127. - № 5.

19. Друянов Б.А. Численное решение задачи о вдавливании гладкого штампа в пластически неоднородную полуплоскость // Известия АН СССР. ОНТ. Механика и машиностроение. 1961. - № 3.

20. Друянов Б.А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности. М.: Машиностроение, 1990. - 272 с.

21. Ерхов М.А. Теория идеально пластических тел и конструкций. М.: Наука, 1978.-352 с.

22. Ивлев Д.Д. К теории осесимметричного напряженного состояния при условии пластичности Треска // Известия АН СССР. ОТН №6. -1959.

23. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. - 231 с.

24. Ивлев Д.Д. О разрывных решениях пространственных задач теории идеальной пластичности. // ПММ. 1958. - 22:4. - С. 480-486.

25. Ивлев Д.Д. О вдавливании тонкого тела вращения в пластическое полупространство // ПМТФ. 1960. - №4.

26. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела.-М.: Наука, 1971.-232 с.

27. Ивлев Д.Д., Максимова JI.A. О свойствах соотношений общей плоской задачи теории идеальной пластичности // Докл. РАН. 2000. -Т.373. — №1. С. 39-41.

28. Ивлев Д.Д., Максимова JI.A., Непершин Р.И. Об определении поля скоростей идеально пластического течения в случае общей плоской задачи // ДАН. 2001. Т.379. - №6.

29. Ивлев Д.Д., Максимова JI.A., Непершии Р.И. О вдавливании плоского штампа в идеальное жесткопластическое полупространство при действии контактных касательных напряжениях // ПММ. 2002. - Т.66. -№1.

30. Ивлев Д.Д., Мартынова Т.Н. Об условии полной пластичности для осесимметричного состояния // ПМТФ. 1963. - №3.

31. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю., Непершин Р.И. О характеристических соотношениях для напряжений и скоростей перемещений пространственной задачи идеальнопластического тела при условии полной пластичности. //ДАН РАН. 2001. - Т. 381. - № 5. - С. 616-622.

32. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю., Непершин Р.И. Внедрение пирамиды в идеально пластическое полупространство // ДАН РАН. 2002. - Т. 385.-№6.-С. 766-769.

33. Ильюшин A.A. Пластичность. M.-JI.: Гостехиздат, 1948. - 376 с.

34. Ильюшин A.A., Огибалов П.М. О прочности оболочек толстостенного цилиндра и полого шара, подвергнутых облучению // Инженерный сборник. 1960. - № 28. - С. 134-144.

35. Ишлинский А.Ю. Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринелля. // ПММ. 1944. - Т. 8. - Вып. 3. - С. 201-224.

36. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д., Математическая теория пластичности. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 704 с.

37. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. - 402

38. Кузнецов А.И. Задача о неоднородном пластическом слое // Arch. Mech. Stos., 13.- 1961.-№5.

39. Кузнецов А.И. Кручение неоднородных пластических стержней // Известия АН СССР. ОНТ. 1958. - Вып. 11.

40. Кузнецов А.И. Плоская деформация неоднородных пластических тел // Вестник ЛГУ. Сер. мат., мех. и астр. 1958. - № 13. - Вып. 3. - С. 112- 131.

41. Kuznetsov A.I. The problem of torsion and plane strain of non-homogeneous body // Arch. Mech. Stos., 13.- 1958.- № 4.- P. 447-462.

42. Липпман Г. Теория главных траекторий при осесимметричной пластической деформации // Сб. пер. «Механика». 1963. - №3.

43. Прагер В., Ходж Ф.Г. Теория идеально пластических тел. М.: Изд-во ин. Литературы, 1956.

44. Прагер В. Проблемы теории пластичности. М.: Физматгиз, 1958.

45. Прандтль Примеры применения теоремы теорем Генки к равновесию пластических тел. В кн.: Теория пластичности. - М.: Иностр. лит., 1948.-С. 102-113.

46. Рыхлевский Я. О произвольной малой пластической неоднородности // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. 1963. - Т. 11. - № 6.

47. Rychlewski J., Ostrowska J. On the initial plastic flow of body with arbitrary small non-homogeneity // Arch. Mech. Stos., 15. 1963. - № 4.

48. Rychlewski J. Plane strain of plastic non-homogeneous body in neighborhood of its boundary // Arch. Mech. Stos., 13.- 1964.- № 4.

49. Rychlewski J. Plastic torsion of the bars with jump non-homogeneity // Arch. Mech. Stos., 11.- 1965.- № 2.

50. Rychlewski J. Plastic torsion of a rectangular bar with step non-homogeneity // Arch. Mech. Stos., 11.- 1965.- № 4.

51. Соколовский В.В. Построение полей напряжений и скоростей в задачах пластического течения // Инженерный журнал. 1961. - Т. 1. -Вып. 3.

52. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высш. школа, 1969. -608 с.

53. Spenser A.J.M. Perturbation methods in plasticity, plane strain of non homogeneous plastic solids // Mech. And Phys. Solids. 1961. - Vol. 9. - Л» 4.

54. Хилл P. Математическая теория пластичности. M.: Гостехиздат. 1950.-407 с.

55. Целистова Е.А. О влиянии неоднородности на напряженное состояние слоя из идеальнопластического материала // Механика микронеоднородных материалов и разрушение: Тез. докл. Всерос. науч. сем. -Пермь: ПермГТУ, 1999. С. 53.

56. Целистова Е.А. Исследование влияния неоднородности материала на напряженное состояние идеальнопластического слоя // Известия ИТ А ЧР. Чебоксары, 1999. - С. 52-56.

57. Целистова Е.А. Пространственное течение идеальнопластического слоя в случае неоднородных свойств материала // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Естеств. И физ.-мат. науки. 1999. - № 7. - С. 45-47.

58. Целистова Е.А. О сжатии неоднородного идеальнопластического слоя шероховатыми плитами // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Физ.-мат. науки. Чебоксары, 2000. - Вып. № 1. - С. 118-120. Фи з.-мат. науки. - Чебоксары, 2000. - Вып. № 1. - С. 118-120.

59. Шилд Р.Т. О пластическом течении металла в условиях осевой симметрии // Сб. переводов «Механика». М.: ИИЛ, 1957. - № 1.