Общие двумерные задачи теории идеальной пластичности

Горский, Алексей Владимирович

Общие двумерные задачи теории идеальной пластичности тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Горский, Алексей Владимирович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Чебоксары МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Общие двумерные задачи теории идеальной пластичности»

Автореферат диссертации на тему "Общие двумерные задачи теории идеальной пластичности"

На правах рукописи

Горский Алексей Владимирович

ОБЩИЕ ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Чебоксары - 2004

Работа выполнена в Чувашском государственном педагогическом университете им. И.Я. Яковлева

Научный руководитель - Заслуженный деятель наук РФ,

доктор физико-математических наук, профессор Ивлев Дюис Данилович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Шашкин Александр Иванович,

кандидат физико-математических наук, доцент Максимова Людмила Анатольевна.

Ведущая организация: Воронежский государственный педагогический университет

Защита состоится 21 апреля 2004 г. в 10 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.300.02 при Чувашском государственном педагогическом университете им. И.Я. Яковлева по адресу: 428000, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, 38.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева

Автореферат разослан « Жарта 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ,мат. наук

Михайлова МЛ.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Современная техника предъявляет повышенные требования к прочностным свойствам машин, их деталей, а также различных конструкций и сооружений, уменьшению их веса, обьема и размеров, что приводит к необходимости использования неоднородных композитных материалов. Нахождение критериев, позволяющих определить предельные прочностные характеристики элементов конструкций, инженерных сооружений является одной из актуальных задач механики деформируемого твердого тела.

На основе экспериментов Треска, Сен-Венан сформулировал соотношения плоской задачи теории идеальной пластичности. Дальнейшее развитие фундаментальных соотношений теории идеальной пластичности связаны с именами Леви, Хаара, Кармана, Мизеса, Прандтля, Гейрингер, Генки, Рейсса, А.Ю. Ишлинского, С.А. Христиановича, В.В. Соколовского, Хилла, Прагера, Койтера и др.

Вопросам и задачам теории идеальной пластичности посвящены работы СЕ. Александрова, М.А Алимжанова, Б.Д. Аннина, М.А Артемова, В.И. Астафьева, В.А. Баскакова, И.А. Бережного, М.Я. Бровмана, А.А. Буренина, Г.И. Быковцева, Л.А Галина, Гартмана, Г.А Гениева, А.А. Гвоздева, Б.А Друянова, В.В. Дудукаленко, М.И. Ерхова, Л.В. Ершова, М.А За-дояна, Д.Д. Ивлева, Л.М. Качанова, Р.А Каюмова, В. Л. Колмогорова, В.Д. Коробкина, Е.В. Ломакина, Л.А. Максимовой, А.А. Маркина, Н.М. Матчен-ко, Б.Г. Миронова, М.В. Михайловой, СТ. Михлина, Е.М. Морозова, Ю.М. Мяснянкина, Надаи, Ю.В. Немировского, Р.И. Непершина, Ю.Н. Радаева, А.Ф. Ревуженко, А.Р. Ржаницина, Т.Д. Семыкиной, СИ. Сенашова, В.П. Тамужа, А.Д. Томленова, Л.А. Толоконникова, Ф. Ходжа, А.И. Хромова, Г.П. Черепанова, А.Д. Чернышова, Г.С Шапиро, А.И. Шашкина, С.А Шес-терикова, Е.И. Шемякина, СП. Яковлева и ряда других отечественных и зарубежных ученых.

Д.Д. Ивлев, Л.А. Максимова, Р.И. Непершин сформулировали соотношения общей плоской задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности и установили гиперболический характер уравнений общей плоской задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности. Развиты численные методы решения общих плоских задач теории идеальной пластичности при условии полной пластичности и дано решение общей плоской задачи о вдавливании плоского штампа в идеальное жестко пластическое полупространство при действии поперечных и продольных контактных касательных напряжений.

альной является задача учета свойств неоднородности материала, а также развитие методов решения подобных задач.

Неоднородность пластических свойств материалов может быть вызвана рядом причин. Неоднородность свойств материалов может возникнуть в результате неоднородного деформирования упрочняющегося материала при прокатке, штамповке, волочении и т.п. К неоднородному распределению пластических свойств может привести воздействие различных динамических нагрузок. Неоднородность пластических свойств материала может возникнуть в результате поверхностной обработки изделия, например, вследствие закалки и т.п. Пластическая неоднородность может быть вызвана воздействием радиационного облучения, а также в результате воздействия различных температурных градиентов, возникающих при литье и т.д.

В реферируемой работе рассматривается неоднородность пластических свойств материала, выражаемая зависимостью предела текучести от координат точек пластического материала. Уравнения неоднородного идеального жесткопластического тела получаются после замены постоянной предела текучести к на функцию, зависящую от координат точек пространства, называемую обычно пластической неоднородностью.

Целью работы является исследование двумерных статически определимых соотношений теории идеальной пластичности в декартовых и сферических координатах для однородного и неоднородного материала, развитие численных методов решения.

На защиту выносятся следующие результаты:

• Численное решение общей плоской задачи о вдавливании плоского штампа в однородное идеальное жесткопластическое полупространство при действии переменных контактных касательных напряжений;

• Численное решение общей плоской и плоской задач о вдавливании плоского штампа в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство при действии постоянных и переменных контактных касательных напряжений для случая экспоненциальной зависимости предела текучести материала от координат точек полупространства;

• Численное решение общей сферической задачи о вдавливании клинообразного в плане штампа с плоским основанием в однородное идеальное жесткопластическое полупространство с учетом сдвигающих усилий;

• Численное решение задачи сферического деформированного состояния и общей сферической задачи о вдавливании клинообразного в плане штампа в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство при действии постоянных и переменных контактных касательных напряжений для случая пластической неоднородности экспоненциального вида.

Научная новизна. Получены характеристические соотношения для напряжений и развиты численные методы расчета поля напряжений, позволяющие решать класс общих плоских и общих сферических задач для неоднородного материала с пределом текучести произвольного вида, описываемых системами уравнений и соотношениями, приведенными в настоящей работе.

Достоверность результатов обеспечивается использованием фундаментальных представлений теории идеальной пластичности, математических методов исследований и непротиворечивостью и сводимостью результатов данной работы к результатам других авторов.

Практическая ценность работы. Полученные результаты могут быть использованы при расчетах предельного состояния жесткопластиче-ских неоднородных сред, для более полного исследования ресурсов прочности, и, следовательно, более рационального проектирования сооружений и машин.

Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались:

• на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики и информатики» посвященной 80-летию со дня рождения профессора Л.А. Толоконникова (Тула, ноябрь 2003 г.);

• на школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2002);

• на семинарах по механике деформируемого твердого тела (Чебоксары, ЧГПУ, 2001-2004);

• на ежегодных итоговых конференциях научных сотрудников, докторантов и аспирантов ЧГПУ им. И.Я. Яковлева (Чебоксары, ЧГПУ, 2002, 2003);

• на ежегодных итоговых конференциях преподавателей ЧГПУ им. И.Я. Яковлева (Чебоксары, ЧГПУ, 2002,2003).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 6 работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения, заключения и списка литературы. Объем работы:

103 страницы, в том числе 82 рисунка и графика, список литературы содержит 75 наименований.

Основное содержание работы

Первая глава посвящена выводу характеристических соотношений, определяющих напряженное состояние общей плоской и плоской задач теории идеально пластического тела, учитывающие массовые силы и пластическую неоднородность материала произвольного вида зависящую от координат точек пространства. Предлагаются численные методы расчета поля напряжений в декартовой системе координат для полученных характеристических соотношений.

В первом параграфе определяются характеристические соотношения для общей плоской задачи теории идеально пластического тела, учитывающие массовые силы и пластическую неоднородность материала произвольного вида. Предполагается, что компоненты напряжений , отнесенные к пределу текучести к являются функциями двух координат х, у.

Рассматриваются условия полной пластичности:

<т, = <т2, <j3=<jt±2k (1.1)

где а, - компоненты главных напряжений, к - предел текучести.

Рассматривается пластическая неоднородность вида к(х,у,z) — k0G(x,у,z), где G(x,y,z)&0 непрерывная дифференцируемая

произвольная функция, kQ = const. Примем 2к0 = 1 за единицу напряжения.

Вводятся предположения для компонент напряжений: о"* =o\r(x,j/)G(*,y,z), =?v{x,y)G(x,y,z),

eTy=5y(x,y)p{x,y,z), T„=T„(x,y)G{x,yyz), (1.2)

о", = cf, (*, y)G(x, у, z), (x, y)G(x, y,z).

где crx, тху,... компоненты напряжений, отнесенные к пределу текучести

k(x,y,z).

Далее в соотношениях будем иметь дело с отнесенными к переду текучести компонентами напряжений а1,тхг,...,поэтому знак "волны" для

упрощения записи будем опускать.

Соотношения для отнесенных компонент напряжений имеют вид:

ах = <T + j±i-(l + cos(i/)cos2 £, rv =±-j(l + cosy)sin£cos£,

ау + + cos^Jsin21, r^ = ±-jsinj/sin£, (1.3) аг =<7+-i±i(l-cos(/), r„ = ±-^-sin^cos£,

a = ^{ax+ay + cr,),

Уравнения равновесия запишем в виде: да, дтт _ „ дт„ да, _ „ дт„ дх

дх ду

-+Л, =0,

дх dv

- + R2 = 0,

+—(1.4)

дх ду

где

_ ^ dG(x,y,z) . _ SGI^yvz) SG^jnz)

—т-г «X,--1- Г--h --1-

G^x.y.zJL йдг ду dz

, 1 л n . , ,SG(jr,y,z) , 1 . ,, 5G(x, y,z)

±—(l + cosscjsm£cos£—v / + -sin^cos^——i+F, 2 ду 2 dz

*2 =

dG(x,y,z) SG(x, y, z) dG(x,y,z)

+ F,

Gfc.y.z)

+ icrT-±i(l + cos^)sin2 + F2

\ 3 2 J ду 2 &

(1.5)

Л3 =

G{x,y,z) 1

dG(x,y,z) dG(x,y,z) dG(x,y,z)

" Sz

2 у дх 2 бу

^[(ilsin^cos^

i±i(l-COSi/)j

+ a +

dG(x,y,z)

Для исключения компоненты z в уравнениях равновесия (1.4) следует рассматривать неоднородность вида G(x, у, z) = a™ G{x, у), где m -const, ae/?t\{l}, G{x,y) - непрерывная дифференцируемая функция от двух координат х, у. При m * 0 следует брать компоненты массовой силы F, = О

(/=1,2,3).

Для общей плоской задачи теории идеальной пластичности имеем три семейства характеристик и три соотношения вдоль них:

шлкн:

, tg2// =

1 - eos у/ 2-y/cos^

соотношения вдоль характеристик (1.6):

, _ 1 1 + COSUf

da +-- -dE, +

вдоль а характеристики,

, . 1 1 + cosw da ±--' +

Rt+RA&1 +

sm^

Л Ca-Jcosy

smyr

Cpi

dx = 0

Л = 0

(1.6)

(1.7)

cos(i/

2 д/со %у/ вдоль р характеристики, где Са /! = соэ ^^со&ц/ ¿эт^,

В общем случае, при О имеет место третья характеристика: >

^сЬс

соотношение вдоль / характеристики (1.9):

(1.8)

(1.9)

, _ 1 w , da +-clg-^dy/+

ЛЯ

cos £

-Яг

dx = О,

(1.10)

где определяются соотношениями (1.5).

Во втором параграфе приводится упрощенный вариант, полученных в первом параграфе характеристических соотношений для общей плоской задачи теории идеальной пластичности для случая однородного материала.

Третий параграф посвящен плоской задачи ^ = 0 теории идеальной пластичности. Приводятся характеристические соотношения, учитывающие массовые силы для материала с пластической неоднородностью вида как частный случай характеристических соотношений общей

плоской задачи.

В четвертом параграфе приведены численные методы расчета поля напряжений для общей плоской задачи теории идеальной пластичности, учитывающие особенности построения поля характеристик в расчете поля напряжений для неоднородного материала и действии переменного контактного касательного напряжения.

Вторая глава посвящена общей плоской и плоской задачам о вдавливании плоского штампа в идеальное жесткопластическое полупространство.

В первом параграфе рассматривается общая плоская задача о вдавливании плоского штампа в однородное идеальное жесткопластическое полупространство при действии продольного и поперечного переменного контактного касательного напряжения.

Поле напряжений рассчитывается, используя метод интегрирования гиперболических дифференциальных уравнений общей плоской задачи, приведенный в четвертом параграфе первой главы.

На фиг. 1 показано поле характеристик и график распределения нормального напряжения -ау под штампом для однородного материала при • действии переменного контактного касательного напряжения вида т(х)/к = -0.4соз(2ях)+ 0.5, где х е [0;1] при у/ = 0.5.

Второй параграф посвящен плоской задаче о вдавливании штампа с плоским основанием в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство при действии постоянного и переменного контактного касательного напряжения. В этом случае у/ = 0 и тхг = Г>т = 0.

Рассматривается неоднородность вида к(х,у) = каС(х,у).

Поле напряжений определяется двумя семействами - характеристик и дифференциальными соотношениями вдоль них:

Фиг. 1

(2.1)

соотношения вдоль характеристик (2.1):

(2.2)

где - /? К определяются соотношениями:

(2.3)

Далее принимается ^ =Рг = 0.

Граничные условия совпадают с граничными условиями для плоской задачи о вдавливании плоского штампа в однородное полупространство.

На фиг. 2 приведено поле характеристик .и графики распределения нормальных напряжений -ау и -сту под гладким штампом для неоднородного материала с пределом текучести вида

Фиг. 2

В третьем параграфе приводится решение общей плоской задачи о вдавливании плоского штампа в неоднородное идеальное жесткопластиче-ское полупространство при действии продольных и поперечных контактных касательных напряжений.

Рассматривается неоднородность вида k(x,y,z) = k0a"zG(x,y), где к0 = const, т = const, а е R+ \ {1}, С(г, у) - непрерывная дифференцируемая функция от двух координат х, у.

Граничные условия совпадают с граничными условиями для общей плоской задачи о вдавливании плоского штампа в однородное идеальное жесткопластическое полупространство.

На фиг. 3 показан пример поля характеристик при действии пере-менногоконтактного касательного напряжения вида

для пластической неоднородности

вида к(х,у)= к0е"~у при ^/ = 0.5.

Фиг. 3

В случае общей плоской задачи для неоднородного материала, как и в случаях §§1,2 определяется снижение предельного давления на штамп в зависимости от контактного касательного напряжения и заметное изменение вида поля характеристик в зависимости от вида неоднородности и вида функции изменения контактного напряжения под штампом.

Полученные характеристические соотношения в сочетании с предложенными численными методами решения общей плоской задачи позволяют решать цикл общих плоских и плоских задач теории идеальной пластичности, учитывающих пластическую неоднородность материала произвольного вида, действие сдвигающих усилий, переменное контактное касательное напряжение, а также массовые силы.

Третья глава посвящена обобщению соотношений общей плоской задачи теории идеальной пластичности на сферическую систему координат рв<р для общей сферической задачи. Предлагаются численные методы расчета поля напряжений применительно к системе координат рВ<р для полученных характеристических соотношений. Структура третьей главы в целом совпадает со структурой первой главы. Дополнительно определяются характеристических соотношения для определения поля скоростей перемещений общей сферической задачи для однородного материала.

В первом параграфе приводятся характеристические соотношения для общей сферической задачи теории идеально пластического тела, учитывающие массовые силы и пластическую неоднородность материала произвольного вида в системе координат рв<р.

Для общей сферической задачи теории идеальной пластичности имеем три семейства характеристик и три соотношения вдоль них:

(3.1)

соотношения вдоль характеристик (3.1): /

, _ 1 1 + COSI/

da +--. +

2 tJcosi//

вдоль а характеристики,

R, +R2 sin«

sin^

d<p

dd)a CaJc os(/

de-0 (3.2)

этут

р Ср^соьу/

Я,

¿0 = 0 (3.3)

, , 1 1 + соз^

<1о±--. +

2 у/сову

вдоль р характеристики,

где Са р = соь^созу/ ±&т £,

В общем случае, при ц/Ф О имеет место третья характеристика:

соотношение вдоль у характеристики (3.4):

(3.4)

- 1 V J аа +

Я, +

ctg

сов^

Яг

¿0 = 0. (3.5)

Соотношения Я11Я2>Я3 определяются вполне аналогично (1.5).

Во втором и третьем параграфах приводятся, как частные случаи, характеристические соотношения для общей сферической задачи для однородного материала и сферической задачи для материала с пластической неоднородностью произвольного вида к = к(&, <р)

Четвертый параграф посвящен определению характеристических соотношений для скоростей перемещений общей сферической задачи теории идеальной пластичности для однородного материала в системе коорди-нат/?0р.

Рассматриваются условие несжимаемости

Соотношения (3.6), (3.7) и формулы Коши для компонент скоростей деформаций образуют систему дифференциальных уравнений относительно неизвестных скоростей перемещений и, V, м. Эта система относится к гиперболическому типу с тремя характеристиками (3.1) и (3.4). Дифференциальные соотношения для Ни, ¿V и с1\\> вдоль характеристик имеют вид:

Л.Р.Т -

ав,

(3.8)

2 п.

у +

1 и,2-и,2

2л,

• + — 2

Лов \м>,

где п„п2,п3 н

2 3

г^вного напряжения <т,

сге

• V V е V • е

/7| = БШ ~, И2=С08уС05£, Щ = ССЖ БШ $ ,

(3.9)

(3-Ю)

при условиях полной пластичности

стг = <г, , ст, = ст2 ± 2А:.

В пятом параграфе приводятся численные методы расчета поля напряжений применительно к сферической системе координат рв<р для общей сферической задачи.

Четвертая глава посвящена общей сферической и сферической задачам о вдавливании клинообразного в плане штампа с плоским основанием в идеальное жестко пластическое полупространство.

6 первом параграфе рассматривается общая сферическая задача о вдавливании клинообразного в плане штампа с плоским основанием в однородное идеальное жесткопластическое полупространство при условии полной пластичности с учетом сдвигающих усилий для переменного контактного касательного напряжения. Случай вдавливания гладкого клинообразного в плане штампа с плоским основанием в идеальное жесткопласти-ческое полупространство был рассмотрен Д.Д. Ивлевым, Т.Н. Мартыновой и Д.Д. Ивлевым, Р.И. Непершиным.

Рассматривается условие полной пластичности:

где о", - компоненты главных напряжений, к - предел текучести.

Компоненты напряжений <тр ,... имеют вид:

сг0 + ч-сс*^)««2 ГР!Р {4.2)

о-р +&0

Для построения поля напряжений используются характеристические соотношения, приведенные во втором параграфе третьей главы и численные методы пятого параграфа той же главы.

Угол раствора клина для всех рассмотренных в этой главе примеров берется равным 1у, где у = 0.651.

На фиг. 4 приведены сравнительные графики распределения нормального напряжения под штампом при для различных значений параметра

На фиг. 5 показано поле характеристик и график напряжения под штампом при действии переменного контактного касательного напряжения вида

Фиг. 5

Определяется снижение предельного давления на штамп в зависимости от действия контактного касательного напряжения, как и в случае общей плоской задачи о вдавливании плоского штампа в идеальное жест-копластическое полупространство.

Второй параграф посвящен сферической задаче у/ = 0 о вдавливании клинообразного в плане штампа с плоским основанием в неоднородное идеальное жестко пластическое полупространство. Также приведено решение сферической задачи при действии контактного касательного напряжения под штампом.

На фиг. 6 показано поле характеристик и графики напряжений ~5в и

—Од под гладким штампом для пластической неоднородности материала вида

V ч>

Фиг. 6

Определяется заметное изменение вида поля характеристик в зависимости от вида пластической неоднородности.

В третьем параграфе рассматривается, приведенная в первом параграфе этой главы общая сферическая задача о вдавливании клинообразного в плане штампа с плоским основанием для случая материала с пластической неоднородностью.

На фиг. 7 приведен пример поля характеристик для материала с пластической неоднородностью вида при действии переменного контактного касательного напряжения вида т{<р)/к = 0.451п(2я-^>)+ 0.5,где $г>е[0;0.651] при ^ =0.5.

V ч>

Фиг. 7

Аналогично рассмотренным выше задачам, определяется снижение предельного давления на штамп в зависимости от контактного касательного напряжения и заметное изменение вида поля характеристик в зависимости от вида неоднородности и вида функции изменения контактного напряжения под штампом.

Полученные характеристические соотношения и приведенные численные методы решения общей сферической задачи позволяют решать в сферической системе координат рв<р цикл сферических и общих сферических задач теории идеальной пластичности, учитывающих пластическую неоднородность материала произвольного вида, действие сдвигающих усилий, переменное контактное касательное напряжение, а также массовые силы.

В приложении к диссертации указывается на общность вида характеристических соотношений для напряжений для общих плоской, осесим-метричной и сферической задач теории идеальной пластичности в случаях однородного материала и материала с произвольной пластической неоднородностью.

Общий вид характеристических соотношений для напряжений: а,р характеристики:

(5.1)

соотношения вдоль характеристик (5.1):

(5.2)

вдоль а характеристики,

с1Х = 0 (5.3)

вдоль р характеристики,

третья у характеристика

(5.4)

соотношение вдоль у характеристики (5.4):

(5.5)

где dX,dY =

dx,dy

dp, dz

для декартовой системы координат xyz, для цилиндрической системы координат рвг, de, sin д • d(p для сферической системы координат р6<р. Соотношения Л1(Й2,Л3 определяются для каждой задачи свои.

В приложении также приведен общий вид характеристических соотношений для скоростей перемещений для общих плоской, осесимметрич-ной и сферической задач в случае однородного материала.

Приведенные характеристические соотношения, сводимы к известным характеристическим соотношениям и являются их обобщением на пластическую неоднородность материала, учет воздействия массовых сил, а также учет сдвигающих усилий в общих двумерных задачах теории идеальной пластичности.

Основные результаты и выводы

1. Получены характеристические соотношения, определяющие напряженное состояние плоской и общей плоской, сферической и общей сферической задач теории идеально пластического тела, учитывающие массовые силы и пластическую неоднородность материала с пределом текучести произвольного вида от трех координат точек пространства;

2. Получены характеристические соотношения для скоростей перемещений общей сферической задачи теории идеально пластического тела;

3. Развиты и обобщены численные методы расчета поля напряжений для общей плоской задачи на сферическую систему координат рв(р для общей сферической задачи, учет пластической неоднородности материала, а также действие переменного контактного касательного напряжения под штампом;

4. Получено численное решение общей плоской задачи о вдавливании плоского штампа в однородное идеальное жесткопластическое полупространство при действии переменных контактных касательных напряжений;

5. Получены численные решения плоской и общей плоской задач о вдавливании плоского штампа в неоднородное идеальное жесткопластиче-ское полупространство при действии постоянных и переменных контактных касательных напряжений для случая экспоненциальной зависимости предела текучести материала от координат точек полупространства;

6. Получено численное решение обшей сферической задачи о вдавливании клинообразного в плане штампа с плоским основанием в однородное идеальное жесткопластическое полупространство при действии постоянных и переменных контактных касательных напряжений;

7. Получено численное решение сферической и общей сферической задач о вдавливании клинообразного в плане штампа с плоским основанием в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство при действии контактных касательных напряжений для случая экспоненциальной пластической неоднородности материала.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Горский А.В. О вдавливании клинообразного в плане штампа с плоским основанием в пространственно неоднородное жесткопластическое полупространство при действии контактных касательных напряжений // Науч.-информ. вестник докторантов, аспирантов, студентов. - 2003. - №2. - С. 10-20.

2. Горский А.В. О вдавливании клинообразного в плане штампа с плоским основанием в пространственно неоднородное жесткопластическое полупространство при действии контактных касательных напряжений // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов Международной научной конференции. - Тула: Изд-во ТулГУ. - 2003. - С. 116-121.

3. Горский А. В., Горский П. В., Ивлев Д. Д. О соотношениях плоской задачи теории упругопластического тела для неоднородного материала. // Известия ИТА ЧР. - Чебоксары. - 1999. - №№ 3(16), 4(17). - 2000. - №№ 1(18), 2(19), 3(20), 4(21). - 2001. - №№ 1 (22), 2(23), 3(24), 4(25). - С. 52-59.

4. Горский П. В., Горский А. В. О соотношениях общей плоской задачи теории идеальной пластичности для неоднородного материала. // Известия ИТА ЧР. - Чебоксары. - 1999. - №№ 3(16), 4(17). - 2000. - №№ 1(18), 2(19), 3(20), 4(21). - 2001. - №№ 1(22), 2(23), 3(24), 4(25). - С. 155-157.

5. Горский А.В., Горский П.В. О характеристических соотношениях для напряжений и скоростей перемещений общей плоской, осесимметрической и сферической задач теории идеальной пластичности // Науч.-информ. вестник докторантов, аспирантов, студентов. - 2003. - № 1. - Т. 1. - С. 10-20.

6. Горский А.В., Горский П.В. О соотношениях общей плоской, осесиммет-рической и сферической задач теории идеальнопластического тела для неоднородного материала // Науч.-информ. вестник докторантов, аспирантов, студентов. - 2003. - №1. - Т.2. - С. 7-15.

Личный вклад автора. Работы [1,2] выполнены автором лично. В работах [3,5] в рамках сформулированной научным руководителем проблемы получены необходимые соотношения и проведены численные расчеты. В работе [4] получены характеристические соотношения. В работе [6] получены соотношения для плоской и сферической задач в случае неоднородного материала.

Подписано к печати 42.оЧ_ОУх-.. Формат 60x84/16.

Объем I пл. Тираж 100 экз. 2095» Офсетная лаборатория ЧI П У

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Горский, Алексей Владимирович

Введение.

Глава I. ОБЩАЯ ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА

§1. Соотношения общей плоской задачи теории идеальной пластичности для неоднородного материала.

§2. Соотношения общей плоской задачи теории идеальной пластичности для однородного материала.

§3. Плоская задача теории идеальной пластичности для неоднородного материала.

§4. Численные методы расчета поля напряжений для общей плоской задачи.

Глава II. ЗАДАЧА О ВДАВЛИВАНИИ ПЛОСКОГО ШТАМПА В

ИДЕАЛЬНОЕ ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО

§ 1. Общая плоская задача о вдавливании плоского штампа в однородное идеальное жесткопластическое полупространство при действии переменного контактного касательного напряжения

§2. Плоская задача о вдавливании плоского штампа в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство.

§3. Общая плоская задача о вдавливании плоского штампа в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство

Глава III. ДВУМЕРНОЕ ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ

§1. Общая сферическая задача теории идеальной пластичности для неоднородного материала.

§2. Соотношения общей сферической задачи теории идеальной пластичности для однородного материала.

§3. Сферическая задача теории идеальной пластичности для неоднородного материала.

§4. Характеристические соотношения для скоростей перемещений в случае общей сферической задачи.

§5. Численные методы расчета поля напряжений для общей сферической задачи.

Глава IV. ЗАДАЧА О ВДАВЛИВАНИИ КЛИНООБРАЗНОГО В ПЛАНЕ ШТАМПА В ИДЕАЛЬНОЕ ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКОЕ

ПОЛУПРОСТРАНСТВО

§ 1. Задача о вдавливании клинообразного в плане штампа с плоским основанием в однородное идеальное жесткопластиче-ское полупространство при действии контактного касательного напряжения с учетом сдвигающих усилий.

§2. Сферическая задача о вдавливании клинообразного в плане штампа в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство.:.

§3. Общая сферическая задача о вдавливании клинообразного в плане штампа в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство.

Введение диссертация по механике, на тему "Общие двумерные задачи теории идеальной пластичности"

Современная техника предъявляет повышенные требования к прочностным свойствам машин, их деталей, а также различных конструкций и сооружений, уменьшению их веса, объема и размеров, что приводит к необходимости использования неоднородных композитных материалов. Нахождение критериев, позволяющих определить предельные прочностные характеристики элементов конструкций, инженерных сооружений является одной из актуальных задач механики деформируемого твердого тела.

На основе экспериментов Треска, Сен-Венан сформулировал соотношения плоской задачи теории идеальной пластичности. Дальнейшее развитие фундаментальных соотношений теории идеальной пластичности связаны с именами Леви, Хаара, Кармана, Мизеса, Прандтля, Гей-рингер, Генки, Рейсса, А.Ю. Ишлинского, С.А. Христиановича, В.В. Соколовского, Хилла, Прагера, Койтера и др.

Вопросам и задачам теории идеальной пластичности посвящены работы С.Е. Александрова, М.А. Алимжанова, Б.Д. Аннина, М.А. Арте-мова, В.И. Астафьева, В.А. Баскакова, И.А. Бережного, М.Я. Бровмана, A.A. Буренина, Г.И. Быковцева, JI.A. Галина, Гартмана, Г.А. Гениева, A.A. Гвоздева, Б.А. Друянова, В.В. Дудукаленко, М.И. Ерхова, JT.B. Ершова, М.А. Задояна, Д.Д. Ивлева, J1.M. Качанова, P.A. Каюмова, B.JI. Колмогорова, В.Д. Коробкина, Е.В. Ломакина, Л.А. Максимовой, A.A. Маркина, Н.М. Матченко, Б.Г. Миронова, М.В. Михайловой, С.Г. Мих-лина, Е.М. Морозова, Ю.М. Мяснянкина, Надаи, Ю.В. Немировского, Р.И. Непершина, Ю.Н. Радаева, А.Ф. Ревуженко, А.Р. Ржаницина, Т.Д. Семыкиной, С.И. Сенашова, В.П. Тамужа, А.Д. Томленова, Л.А. Толо-конникова, Ф. Ходжа, А.И. Хромова, Г.П. Черепанова, А.Д. Чернышова,

Г.С. Шапиро, А.И. Шашкина, С.А. Шестерикова, Е.И. Шемякина, С.П. Яковлева и ряда других отечественных и зарубежных ученых.

Д.Д. Ивлев, Л.А. Максимова, Р.И. Непершин сформулировали соотношения общей плоской задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности и установили гиперболический характер уравнений общей плоской задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности. Развиты численные методы решения общих плоских задач теории идеальной пластичности при условии полной пластичности и дано решение общей плоской задачи о вдавливании плоского штампа в жесткопластическое полупространство при действии поперечных и продольных контактных касательных напряжений.

Точные и приближенные аналитические решения, получаемые в рамках теории идеальной пластичности, широко используются при расчетах технологических процессов обработки металлов давлением и др. Актуальной является задача учета свойств неоднородности материала, а также развитие методов решения подобных задач.

В настоящей работе рассматривается неоднородность пластических свойств материала, выражаемая зависимостью предела текучести от координат точек пластического материала. Уравнения неоднородного идеального жесткопластического тела получаются после замены постоянной предела текучести к на функцию, зависящую от координат точек пространства, называемую обычно пластической неоднородностью.

Целью настоящей работы является исследование двумерных статически определимых соотношений теории идеальной пластичности в декартовых и сферических координатах для однородного и неоднородного материала, развитие численных методов решения.

Работа состоит и четырех глав.

В первой главе, посвященной общей плоской задачи, определяются характеристические соотношения для определения поля напряжений, учитывающие массовые силы и пластическую неоднородность материала произвольного вида то трех координат точек пространства. Далее приводятся численные методы расчета поля напряжений с учетом особенностей построения поля характеристик в расчете поля напряжений для случая неоднородности материала, а также переменного контактного касательного напряжения.

Во второй главе рассматриваются общая плоская и плоская задачи теории идеальной пластичности о вдавливании плоского штампа в жест-копластическое полупространство. Приводятся численные решения общей плоской и плоской задач о вдавливании плоского штампа в однородное и неоднородное жесткопластическое полупространство при действии переменного контактного касательного напряжения для случая экспоненциальной зависимости предела текучести материала от координат точек полупространства. Также приводится, полученное при апробации численных методов и характеристических соотношений, приведенных в первой главе численное решение плоской задачи о вдавливании плоского штампа в жесткопластическое полупространство с выбранной произвольно неоднородностью вида к{х,у) = = к0 5т(3/сс/4)(1 + у)/ 2 + 1.1.

Третьей глава посвящена общей сферической задаче. Определяются в сферической системе координат рвср характеристические соотношения для напряжений, учитывающие массовые силы и пластическую неоднородность материала произвольного вида. Также приводятся характеристические соотношения для определения поля скоростей перемещений для случая однородного материала. Предлагаются численные методы расчета поля напряжений применительно к системе координат рвср.

В четвертой главе рассматриваются общая сферическая и сферическая задачи о вдавливании клинообразного в плане штампа в жесткопластическое полупространство. Получены численные решения общей сферической и сферической задач о вдавливании клинообразного в плане штампа в однородное и неоднородное жесткопластическое полупространство при действии постоянного и переменного контактного касательного напряжения для случае пластической неоднородности экспоненциальной вида. Аналогично второй главе, приводится численное решение сферической задачи о вдавливании клинообразного в плане штампа в неоднородное жесткопластическое полупространство с отличной от экспоненциального вида пластической неоднородностью к = к(в, (р) = з1п(3^/4)(1 - в)/2 + 1.1.

На защиту выносятся следующие результаты:

• Численное решение общей плоской задачи о вдавливании плоского штампа в однородное жесткопластическое полупространство при действии переменных контактных касательных напряжений;

• Численное решение общей плоской и плоской задач о вдавливании плоского штампа в неоднородное жесткопластическое полупространство при действии постоянных и переменных контактных касательных напряжений для случая экспоненциальной зависимости предела текучести материала от координат точек полупространства;

• Численное решение общей сферической задачи о вдавливании клинообразного в плане штампа с плоским основанием в однородное жесткопластическое полупространство с учетом сдвиговых усилий;

• Численное решение задачи сферического деформированного состояния и общей сферической задачи о вдавливании клинообразного в плане штампа в неоднородное жесткопластическое полупространство при действии постоянных и переменных контактных касательных напряжений для случая пластической неоднородности экспоненциального вида.

Научная новизна Получены характеристические соотношения для напряжений и развиты численные методы расчета поля напряжений, позволяющие решать класс общих плоских и общих сферических задач для неоднородного материала с пределом текучести произвольного вида, описываемых системами уравнений и соотношениями, приведенными в настоящей работе.

Практическая ценность работы. Полученные результаты могут быть использованы при расчетах предельного состояния жесткопласти-ческих неоднородных сред, для более полного исследования ресурсов прочности, и, следовательно, более рационального проектирования сооружений и машин.

Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались:

• на школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2002);

• на семинарах по механике деформируемого твердого тела (Чебоксары, ЧГПУ, 2001-2004);

• на ежегодных итоговых конференциях преподавателей ЧГПУ им. И.Я. Яковлева (Чебоксары, ЧГПУ, 2002,2003).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 6 работах.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Основные результаты и выводы

4. Получено численное решение общей плоской задачи о вдавливании плоского штампа в однородное жесткопластическое полупространство при действии переменных контактных касательных напряжений;

5. Получены численные решения плоской и общей плоской задач о вдавливании плоского штампа в неоднородное жесткопластическое полупространство при действии постоянных и переменных контактных касательных напряжений для случая экспоненциальной зависимости предела текучести материала от координат точек полупространства;

6. Получено численное решение общей сферической задачи о вдавливании клинообразного в плане штампа с плоским основанием в однородное жесткопластическое полупространство при действии постоянных и переменных контактных касательных напряжений; Получено численное решение сферической и общей сферической задач о вдавливании клинообразного в плане штампа с плоским основанием в неоднородное жесткопластическое полупространство при действии контактных касательных напряжений для случая экспоненциальной пластической неоднородности материала.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Горский, Алексей Владимирович, Чебоксары

1. Алимжанов A.M. Упругопластическая задача, учитывающая неоднородность механических свойств материала // Докл. АН СССР. - 1978. - Т. 242. - № 6. - С. 1281-1284.

2. Арутюнян Н.Х., Колмановский В.Б. Теория ползучести неоднородных тел.-М.: Наука, 1983.-336 с.

3. Быковцев Г.И. О поле скоростей при вдавливании плоского штампа в пластическое полупространство // ПММ. 1961, - Т. XXV. - №3.

4. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998. - 528 с.

5. Григорьев О.Д. Задача Прандтля для анизотропного, неоднородного по толщине пластического слоя и равновесие полупространства под действием распределенной нагрузки // Инженерный журнал. МТТ. — 1966.-№3.

6. И.Григорьев О.Д. Некоторые задачи теории пластичности неоднородных тел // Труды НИИВТ. 1969. - Вып. 48. - 206 с.

7. Н.Григорьев О.Д. О пластическом равновесии неоднородной полуплоскости при вдавливании гладкого плоского штампа // Прикладная механика. 1968. - Т. 4. - Вып. 1.

8. Друянов Б.А. Вдавливание жесткого штампа в тонкую пластически неоднородную полосу // Известия АН СССР. ОНТ. Механика и машиностроение. — 1960. № 4.

9. Друянов Б.А. Вдавливание шероховатого штампа в толстую пластически неоднородную полосу // Известия АН СССР. ОНТ. Механика и машиностроение. — 1960. № 6.

10. Друянов Б.А. Начальное течение неоднородной полосы при вдавливании шероховатого штампа // Инженерный журнал. МТТ. 1961. - №3.

11. Друянов Б.А. Предельное равновесие пластически неоднородного клина // Докл. АН СССР. 1959. - Т. 127. - № 5.

12. Друянов Б.А. Численное решение задачи о вдавливании гладкого штампа в пластически неоднородную полуплоскость // Известия АН СССР. ОНТ. Механика и машиностроение. 1961. - № 3.

13. Друянов Б.А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности. М.: Машиностроение, 1990. - 272 с.

14. Захарова T.JL, Ивлев Д.Д. Приближенное решение плоских задач для идеальных упругопластических неоднородных тел // Известия ИТА ЧР. 1995. -№ 1.-С. 27-38.

15. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред.: В 2 т. Т. 1. Теория идеальной пластичности. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 448 с.

16. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред.: В 2 т. Т. 2. Общие вопросы. Жесткопластическое и упругопластическое состояние тел. Упрочнение. Деформационные теории. Сложные среды. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.-448 с.

17. Ивлев Д.Д. О разрывных решениях пространственных задач теории идеальной пластичности. // ПММ. 1958. - 22:4, С. 480-486.

18. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. - 231 с.

19. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела. -М.: Наука, 1971.-232 с.

20. Ивлев Д.Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упругопласти-ческого тела. М.: Наука, 1978. - 208 с.

21. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю., Непершин Р.И. О характеристических соотношениях для напряжений и скоростей перемещений пространственной задачи идеальнопластического тела при условии полной пластичности. //ДАН РАН. -2001. Т. 381. -№ 5. - С. 616-622.

22. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А. О свойствах соотношений общей плоской задачи теории идеальной пластичности // Докл. РАН. 2000. -Т.373. -№1. - С. 39-41.

23. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А., Непершин Р.И. Об определении поля скоростей идеально пластического течения в случае общей плоской задачи // ДАН. 2001. Т.379. - №6.

24. Ивлев Д.Д., Максимова Л.А., Непершин Р.И. О вдавливании плоского штампа в идеальное жесткопластическое полупространство при действии контактных касательных напряжениях // ПММ. — 2002. — Т.66. -№1.

25. Ивлев Д.Д., Мартынова Т.Н. О сферическом деформированном состоянии пластических сред // ПМТФ. 1961. - № 1.

26. Ильюшин A.A. Пластичность. M.-JI.: Гостехиздат, 1948. - 376 с.

27. Ишлинский А.Ю. Осесимметрическая задача пластичности и проба Бринелля. // ПММ. 1944. - Т. 8. - Вып. 3. - С. 201-224.

28. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 704 с.

29. Качанов JI.M. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. — 402 с.

30. Кузнецов А.И. Задача о неоднородном пластическом слое // Arch. Mech. Stos., 13.-1961.-№5.

31. Кузнецов А.И. Кручение неоднородных пластических стержней // Известия АН СССР. ОНТ. 1958. - Вып. 11.

32. Кузнецов А.И. Плоская деформация неоднородных пластических тел // Вестник ЛГУ. Сер. мат., мех. и астр. 1958. - № 13. - Вып. 3. - С. 112-131.

33. Kuznetsov A.I. The problem of torsion and plane strain of non-homogeneous body // Arch. Mech. Stos., 13.- 1958.- № 4.- P. 447-462.

34. Прагер В., Ходж Ф.Г. Теория идеально пластических тел. М.: Изд-во ин. Литературы, 1956.

35. Прагер В. Проблемы теории пластичности. М.: Физматгиз, 1958.

36. Прандтль Примеры применения теоремы теорем Генки к равновесию пластических тел. В кн.: Теория пластичности. - М.: Иностр. лит., 1948.-С. 102-113.

37. Рыхлевский Я. О произвольной малой пластической неоднородности // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. 1963. - Т. 11. - № 6.

38. Rychlewski J., Ostrowska J. On the initial plastic flow of body with arbitrary small non-homogeneity // Arch. Mech. Stos., 15. 1963. - № 4.

39. Rychlewski J. Plane strain of plastic non-homogeneous body in neighborhood of its boundary // Arch. Mech. Stos., 13. 1964. - № 4.

40. Rychlewski J. Plastic torsion of the bars with jump non-homogeneity // Arch. Mech. Stos., 11.- 1965. № 2.

41. Rychlewski J. Plastic torsion of a rectangular bar with step non-homogeneity // Arch. Mech. Stos., 11.- 1965.- № 4.

42. Соколовский B.B. Построение полей напряжений и скоростей в задачах пластического течения // Инженерный журнал. 1961. - Т. 1. -Вып. 3.

43. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высш. школа, 1969. -608 с.

44. Spenser A.J.M. Perturbation methods in plasticity, plane strain of non homogeneous plastic solids // Mech. And Phys. Solids. 1961. - Vol. 9. - № 4.

45. Хилл P. Математическая теория пластичности. M.: Гостехиздат, 1950.-407 с.

46. Хрисианович С.А. Плоская задача математической теории пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре // Матем. сб., новая серия. 1936. - Т. 1 (43). - Вып. 4.

47. Целистова Е.А. О влиянии неоднородности на напряженное состояние слоя из идеальнопластического материала // Механика микронеоднородных материалов и разрушение: Тез. докл. Всерос. науч. сем. -Пермь: ПермГТУ, 1999. С. 53.

48. Целистова Е.А. Задача о напряженном состоянии неоднородного иде-альнопластического слоя // Сб. научных трудов студентов, аспирантов и докторантов ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Чебоксары, 1999. -Вып. 5.-Т. 1.-С. 12-13.

49. Целистова Е.А. Исследование влияния неоднородности материала на напряженное состояние идеальнопластического слоя // Известия ИТА ЧР. Чебоксары, 1999. - С. 52-56.

50. Цел истова Е.А. Пространственное течение идеальнопластического слоя в случае неоднородных свойств материала // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Естеств. и физ.-мат. науки. 1999. - № 7. - С. 45-47.

51. Целистова Е.А. О сжатии неоднородного идеальнопластического слоя шероховатыми плитами // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Физ.-мат. науки. Чебоксары, 2000. - Вып. № 1. - С. 118-120. Физ.-мат. науки. - Чебоксары, 2000. - Вып. № 1.-С. 118-120.