Течение тонкого слоя идеально-пластического материала по деформируемым поверхностям тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

БОДУНОВ Дмитрий Михайлович

ТЕЧЕНИЕ ТОНКОГО СЛОЯ ИДЕАЛЬНО-ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ПО ДЕФОРМИРУЕМЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Тула 2004

Работа выполнена на кафедре «Высшая математика» в Московском государственном техническом университете «МАМИ» при поддержке гранта Министерства образования и науки Российской Федерации № А. 03 - 2.10 - 757.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Кийко Игорь Анатольевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Бондарь Валентин Степанович доктор технических наук, профессор Тутышкин Николай Дмитриевич

Ведущая организация:

Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН

Защита состоится

«<?/» ее

2004г. в

М*

/т ч;

О/о

на засе-

дании диссертационного совета Д 212.271.02 при Тульском государственном университете по адресу: 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92(9-101).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

Л.А. Толоконников

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Постоянное возрастание требований к точности изготовления деталей, в особенности тонкостенных, приводит к разработке новых производственных технологий обработки материалов давлением, которые, в свою очередь, должны иметь четкое математическое обоснование.

В настоящее время актуальны задачи пластических течений материалов с учетом различных сопряженных факторов, таких как анизотропия сил трения на контакте, объемная сжимаемость, течение материала в условиях интенсивного теплообмена, состояние сверхпластичности, деформируемость инструмента.

В технологии обработки давлением выделяется широкий класс процессов, характеризуемых общих свойством: течение материала в таких процессах происходит в сравнительно тонком слое. Для этого класса технологий учет конечной жесткости инструмента оказывается весьма существенным. Оценки показывают, что неточность изготовления тонкостенных деталей может по этой причине достигать недопустимо больших значений, поэтому теоретическое рассмотрение таких процессов является актуальным.

Общая теория течения тонких слоев металла по деформируемым поверхностям разработана, однако конкретные приложения ограничены осесимметричными и плоскими задачами. Потребности технологии обработки давлением такими приложениями, естественно, далеко не ограничены. В связи с этим, представляют практический интерес новые задачи теории течения в тонком слое, а также разработка методов их решения.

Цель работы.

Разработка эффективной методики решения нового класса задач течения пластического вещества в тонком слое по деформируемым поверхностям. Получение новых решений по различным методикам расчета для ряда конкретных примеров, численное установление скорости сходимости предлагаемого в работе метода последовательность приближений.

Научная новизна работы.

Разработан эффективный метод решения класса задач течения, основанный на сведении исходной нелинейной системы интегро-дифференциальных уравнений к одному нелинейному интеграль-

ному уравнению обобщенного гаммерштейновского типа, которое решается методом приближений. Скорость сходимости метода в зависимости от значений параметров задачи устанавливается численно. Рассмотрены конкретные примеры, проведен их подробный параметрический анализ.

Достоверность основных результатов, выводов и рекомендаций диссертации обоснована строгими математическими формулировками задач, совпадением результатов расчетов в первом приближении, полученных по различным методикам, численным доказательством сходимости метода приближений для интегрального уравнения известного типа.

Практическая значимость работы.

Результаты диссертации представляют интерес для теории и практики расчета технологических процессов обработки давлением. Они могут эффективно использоваться специалистами промышленных предприятий и НИИ, занимающимися проектированием и конструированием инструмента. Также результаты могут быть использованы в системе переподготовки кадров высшей квалификации, при подготовке магистров и аспирантов, в учебном процессе кафедр «Прикладная и вычислительная математика», «Теоретическая механика» и при чтении специальных курсов на некоторых технологических кафедрах.

Апробация работы.

Работа велась в соответствии с заданием министерства образования и науки Российской Федерации на проведение научных исследований по разработке физико-математических основ технологий пластического формоизменения с целью повышения пластичности металла и улучшения эксплуатационных характеристик штампуемых изделий (гос. per. О1.2.ОО311ОЗЗ, гос. per. № 01.200.210.855) при поддержке гранта министерства образования и науки РФ № А 03-2.10-757. Результаты работы обсуждались на: XXXIX международной научно-технической конференции ААИ «Приоритеты развития отечественного автотракторостроения и подготовки инженерных и научных кадров» (Москва, МГТУ-«МАМИ», 25-26 сентября 2002); московской конференции молодых ученых «Научно-технические проблемы развития московского мегаполиса» (Москва, ИМАШ РАН им. А.А. Благонравова, 19-21 ноября 2002); всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики механики, информатики» (Тула, ТулГУ, 20-22 ноября 2002 го-

да); международной молодежной научной конференции «XXIX Га-гаринские чтения» (Москва, «МАТИ»-РГТУ им. К.Э. Циолковского ,8-11 апреля 2003); научной конференции «Ломоносовские чтения» (Москва, МГУ им. Ломоносова, 17-27 апреля 2003 года, 21-28 апреля 2004 года); международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» поев. 80-летию со дня рождения проф. Л.А. Толоконникова (Тула, ТулГУ, 18-21 ноября 2003); международной научно-технической конференции «Прогрессивные технологии и. оборудование кузнечно-штамповочного производства» (Москва, МГТУ-«МАМИ»,1-3 декабря 2003); юбилейной XV международной Интернет конференции молодых ученых, аспирантов и студентов по современным проблемам машиноведения (Москва, 3-5 декабря, 2003).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ.

Структура и объем диссертации..

Работа состоит из введения, четырех глав и содержит 35 рисунков, 8 таблиц и три приложения общим объемом 163 страницы. Список литературы состоит из 92 наименований.

Содержание работы.

Во введении обоснована актуальность темы исследования, дан краткий обзор текущего состояния рассматриваемых вопросов, сформулированы цели работы.

Первая глава посвящена вопросам постановки задач течения пластического вещества по упруго-деформируемым поверхностям инструмента в рамках известной теории течения в тонком слое А.А. Ильюшина - И.А. Кийко. Представлена основная система, состоящая из нелинейного дифференциального уравнения и интегрального соотношения, связывающая давление в слое и упругие перемещения контактных поверхностей тел инструмента; в безразмерных переменных система имеет вид: '

™ = <50 ЯН(х,у;У,у'^у' +ё0 ¡¡Н(х,у;х',у')г(х',у')с1х'с!у',(1)

Во второй главе формулируется вариант метода последовательных приближений, с помощью которого в дальнейшем ищется решение исходной интегро-дифференциальной системы. В §1 представлена общая схема метода приближений;

где к- номер итерации.

В качестве примера использования представленного метода приближений в §2 и 3 рассматривается течение материала в фиксированной квадратной области. В первом случае инструмент моделируется как упругое полупространство, тогда функция жесткости имеет вид:

Получена функция прогибов м^(;с:,>>)в первом приближении. Во втором случае функция жесткости моделирует инструмент как упругий слой толщины я на жестком основании: н 5 _{45 + 5') {6'[\ + 4а&-ц)}

^(х-х)2 - {у-у')2 «Я 8Я

Для различных значений толщины упругого слоя я получены выражения для функций Графически оценивается влияние

вида функции жесткости на величину упругого перемещения контактной поверхности тела инструмента. На рисунке 1 представлена серия кривых, обозначающих осевое (вверху) и граничное (внизу) сечение поверхности, построенной с помощью найденной функции прогибов ^''(х,^). В §4 и 5 рассматриваются течения в фиксированных областях, ограниченных прямоугольниками с разными соотношениями сторон. При этом используются аналогичные модели, описывающие инструмент обработки: Для всех выбранных значений параметров получены функции в первом приближе-

нии. Приведены серии сравнительных графиков, представляющих и>^(;с,_у)= и>П1!№.

В третьей главе разрабатывается новый эффективный подход для решения задач течения в фиксированной квадратной области (рис. 2), основанный на переходе от исходной нелинейной интегро-

" дифференциальной системы к нелинейному интегральному уравнению обобщенного гаммерштейновского типа. Вначале сделаем некоторые оценки:

Рис. 1.

Общее решение дифференциального уравнения системы (1) имеет вид :

сЬ

здесь у- линия тока, выходящая из точки (х0,.у0) контура; ее явное выражение у = /(х) находится из уравнения

„ г-, , дИ Ип

= 0. Поскольку п - 1 + и-, имеем:---

дх I

~ ~ у-, поэтому кривизна линии тока порядка В первой области

, . /, ,7{дк дИ , Л/ + (1 + у2] -——у

\ду дх

(рис. 2) будем иметь: — = Г(х,у;у )+ [/''¿¿г, — = \f.dx.

дх / ду /

Т.к.

{д2/д%

1, Р'х ~ Р*х ~ у,

получаем

оценку:

д2/дхГТ<<1/

И.А. Кийко, Теория пластического течения, М, МГУ, 1978г.

Рис. 2.

На основании указанных оценок из интегрального соотношения системы (1) выводится интегральное уравнение, решаемое в дальнейшем методом приближений:

+ -Йгг-х + ЛГ, [С2Л(х,у;У)--—- (2)

; 1 + ™{*\х',у) £ 1+ и/1*'(*>/)

где Хо и Х\~ масштабные безразмерные коэффициенты, и>0(х,у)-функция прогиба от действия силы, в безразмерных величинах равной единице, С0(х,у)- проинтегрированная по х' и по у функция жесткости Н(х,у',х,у), С1Ъ{х,у,х) и С24(х,у;у')- первообразные

функции жесткости. Константа определяется из условия

о

—Переменные хи^в подынтегральных

выражениях считаются параметрами.

В §1 проводятся серии расчетов процесса течения материала в фиксированной квадратной области по разработанной схеме. Отметим, что в первом приближении (и^ = 0) функции совпадают с рассчитанными по схеме §1 второй главы. Затем, вычислив интегральные слагаемые в (2) и константу Z(0,0), получаем новое выражение - функцию прогибов во втором приближении. Далее процесс повторяется. Третье приближение для выражения позволяет оценить скорость сходимости метода в зависимости от различных параметров. Рисунок 3 представляет осевые сечения поверхностей, построенных с помощью вычисленных функций

и(х' у) для трех приближений. Вычисления проводятся для различных значений толщин слоя. Следует отметить, что, при вычислении всех приближений начиная со второго, функция прогибов \^к\х,у)

с большой точностью аппроксимировалась полиномом Лагранжа 4-й степени.

§2 представляет использование нового подхода в случае, когда функция жесткости имеет другой вид. Результаты вычислений в первом приближении совпадают с полученными во второй главе.

Второе и третье приближения для функции находятся

по схеме, приведенной в §1.

В четвертой главе рассматривается течение тонкого слоя в фиксированной области, ограниченной произвольным прямоугольником. . Предлагается новый подход к решению таких задач; как и в случае с квадратной областью, выводится интегральное уравнение для определения функции прогибов. Для произвольной прямоугольной области (Рис. 4) оно имеет вид:

Рис.3

\ /

/ 0 а/\

Ы

Рис. 4. Произвольная прямоугольная область.

с1х

Х\ 3(х,У,х)--ГаТ7~ \+ Х\ 4(Х'У,/)-

; 1 +^ V -у) о 1 ■

йу

I + уи(к)(х,у'У

Слагаемые данного соотношения имеют тот же физический

смысл, что и аналогичные слагаемые в уравнении (2)

>М = I

сЫ

1\ + ^\х\УУ

А*

+|)(*.о)= /■

1 +

В §2 и 3 рассматриваются задачи о течении в фиксированных прямоугольных областях, ограниченных прямоугольниками с различными соотношениями сторон. Проводится параметрический анализ. Получены выражения для функций прогибов в трех приближениях, причем первые приближения в точности совпадают с решениями, полученными по основной схеме метода приближений. Проводятся вычисления для двух различных видов функций жесткости и толщин слоя Приводятся серии графиков. Рисунки 5 и 6 представляют сечения поверхностей построенных в

результате вычисления в трех приближениях.

Рис. 5. Рис. 6.

В §4 сформулировано обобщение новой методики на случай области, ограниченной произвольным выпуклым многоугольником (Рис. 7).

Рис. 7.

Для рассмотрения указанной фигуры выберем систему координат Очевидно, что для области справедливы оценки, указанные в третьей главе. На этом основании перепишем интегральное соотношение для и{х,)>)в област^:

Рассмотрим теперь область в системе координат ось которой лежит на стороне СЕ. Ясно, что в выбранной системе координат выражение и^(*,,}>,) будет иметь вид, аналогичный

Таким же образом мы получаем соотношения и ^лмО^'-Уз)- На последнем шаге необходимо сделать обратное преобразование координат. Сумма интегралов по всем областям в исходной системе координат алгебраически будет выглядеть более сложно, однако, на процедуры вычисления в предлагаемой методике это не повлияет.

В заключении приводятся основные результаты и выводы, полученные в работе:

1. Разработан новый эффективный метод решения задач о течении тонкого пластического слоя в областях, ограниченных выпуклым многоугольником, с учетом конечной жесткости (упругой деформируемости) поверхностей инструмента. Метод основан на сведении нелинейной интегро-дифференциальной системы к интегральному уравнению, которое решается последовательными приближениями (с использованием численных методов).

2. Проведены конкретные расчеты для квадратной и прямоугольной областей. Параметрическим анализом решений установлена достаточно быстрая сходимость метода - во всех случаях третье приближение доставляло необходимую точность.

3. Показано, что первое приближение по разработанной схеме и предложенной ранее, совпадают и дают оценки максимальных деформаций инструмента.

4. Установлено, что в пределах изменения параметров, для которых проводились конкретные расчеты, с достаточной для приложений точностью в качестве функции влияния можно использовать функцию влияния для упругого полупространства.

По результатам диссертации опубликованы следующие работы:

1. Бодунов Д.М. К решению контактной краевой задачи о растекании пластического слоя на плоскости между упруго деформируемыми поверхностями // Тезисы доклада XXXIX Международной технической конференции ААИ «Приоритеты развития отечественного автотракторостроения и подготовки инженерных и научных кадров», 25-26 сентября 2002г., МГТУ «МАМИ», Москва.

2. Бодунов Д.М. Применение методов теории пластичности к проектированию прогрессивных технологий обработки давлением // Тезисы доклада Московской конференции молодых ученых «Научно-технические проблемы развития Московского мегаполиса», 19-21 ноября 2002г., ИМАШ им. А.А. Благонравова РАН, Москва.

3. Кадымов В А, Бодунов Д.М., Соловьев Г.Х. Некоторые новые решения контактных задач растекания пластических слоев // Тезисы доклада Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», 20-22 ноября 2002, ТулГУ, Тула.

4. Кийко И.А., Васин Р.А., Кадымов В А, Соловьев Г.Х., Бодунов Д.М. Пластические течения материалов (физико-математические основы обработки давлением) // В отчете по научно-исследовательской работе № 8.1 "Разработка физико-математических основ технологий пластического формоизменения с целью повышения пластичности металла и улучшения эксплуатационных характеристик штампуемости изделия", № гос. per. 01.200.210.855, Москва, 2002г.

5. Бодунов Д.М. Осесимметричная задача об осадке пластического слоя // Сб. избр. тр. XXXIX Межд. НТК ААИ «Приоритеты развития отеч. автотракторостроения и подготовки инженерных и научных кадров», М., МГТУ, ISBN-5-94-099-020-7.

6. Бодунов Д.М. Методы теории пластичности в применении к расчету и проектированию технологических процессов обработки давлением // Труды моек. конф. молодых ученых «Научно-технические проблемы развития московского мегаполиса», М, ИМЛШ РАН, 2003.

7. Кийко И.А., Бодунов Д.М. Новые постановки задач о течении тонкого слоя по деформируемым поверхностям // Тез. докл. конф. «Современные проблемы математики, механики и информатики», поев. 80-летию проф. JI.A. Толоконникова.

8. Кийко И.А., Бодунов Д.М. Новая постановка задачи о течении тонкого слоя по деформируемым поверхностям // Сборник научных трудов международной научно-технической конференции «Прогрессивные технологии и оборудование кузнечно-штампового производства».

9. Кийко И.А., Бодунов Д.М. К вопросу о пластическом течении материала по деформируемым поверхностям инструмента» // Тезисы доклада конф. «XXIX Гагаринские чтения», МАТИ РГТУ им. К.Э. Циолковского, 2003.

10. Кийко И.А., Бодунов Д.М. Осесимметричная задача о растекании пластического слоя по упруго-деформируемым поверхностям // Тезисы доклада конф. «Ломоносовские чтения», МГУ им. Ломоносова, 2003.

11. Бодунов Д.М. К вопросу о точности изготовления тонкостенных деталей в технологии обработки давлением» // Тезисы докл. Юбилейной XV Международной Интернет - конференции молодых ученых, аспирантов и студентов по современным проблемам машиноведения.

12. Кадымов В.А., Кийко И.А., Соловьев Г.Х., Бодунов М.А., Бодунов Д.М. Пластические течения материалов (физико-математические основы обработки давлением) // В отчете по научно-исследовательской работе № 1.9.03 "Разработка физико-математических основ технологий пластического формоизменения с целью повышения пластичности металла и улучшения эксплуатационных характеристик штампуемости изделия", № гос. per. 01.2.00311033, Москва, 2003г.

13. Бодунов Д.М. Осадка тонкого слоя пластического материала с учетом жесткости инструмента // Тезисы доклада конф. «XXX Га-гаринские чтения», МАТИ РГТУ им. К.Э. Циолковского, 2004.

14. Кийко И.А., Бодунов Д.М. Новые постановки задач о течении тонкого слоя по деформируемым поверхностям // Тезисы доклада конф. «Ломоносовские чтения», МГУ им. Ломоносова, 2004.

И и лна ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в мечап, {в.ОЦ-ОЦ Формаг бумаги 60x84 '/„. Бумага офсетная Усл-печ.л. А0 Уч.-изд л О.. К Тираж экз Закат ¿66

Тульский государственный уннвсрстсч 300600, г.Тула, просп Ленина, 92

Отечагано в редакционно-тдатсльском центре Тульского государственного университета 300600, г Гула, ул.Болднна, 15!

8 0 34

ВВЕДЕНИЕ.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ.

2. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ.

2.1. ОБЩАЯ СХЕМА МЕТОДА.

2.2. ЗАДАЧА О ТЕЧЕНИИ В ФИКСИРОВАННОЙ КВАДРАТНОЙ ОБЛАСТИ. ИНСТРУМЕНТ - УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО.

2.3. ЗАДАЧА О ТЕЧЕНИИ В ФИКСИРОВАННОЙ КВАДРАТНОЙ ОБЛАСТИ. ИНСТРУМЕНТ - УПРУГИЙ СЛОЙ НА ЖЕСТКОМ ОСНОВАНИИ.

2.4. ЗАДАЧА О ТЕЧЕНИИ В ФИКСИРОВАННОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ. ИНСТРУМЕНТ - УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО.

2.5. ЗАДАЧА О ТЕЧЕНИИ В ФИКСИРОВАННОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ. ИНСТРУМЕНТ - УПРУГИЙ СЛОЙ НА

ЖЕСТКОМ ОСНОВАНИИ.

2.6. ВЫВОДЫ.

3. ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ КВАДРАТНОЙ ОБЛАСТИ.

3.1. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ К РАСЧЕТАМ ПРОЦЕССА ТЕЧЕНИЯ В КВАДРАТНОЙ ОБЛАСТИ.

ИНСТРУМЕНТ - УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО.

3.2. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ К РАСЧЕТАМ ПРОЦЕССА ТЕЧЕНИЯ В КВАДРАТНОЙ ОБЛАСТИ. ИНСТРУМЕНТ -УПРУГИЙ СЛОЙ НА ЖЕСТКОМ ОСНОВАНИИ.

3.3. ВЫВОДЫ.

4. ВЫВОД ИНТЕГАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ

ОБЛАСТИ.

4.1. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ К РАСЧЕТАМ ПРОЦЕССА ТЕЧЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ. ИНСТРУМЕНТ -УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО.

4.2. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ К РАСЧЕТАМ ПРОЦЕССА ТЕЧЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ. ИНСТРУМЕНТ -УПРУГИЙ СЛОЙ НА ЖЕСТКОМ ОСНОВАНИИ.

4.3. ОБОБЩЕИНЕ МЕТОДИКИ НА СЛУЧАЙ ЛЮБОЙ ПОЛИГОНАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ.

4.4. ВЫВОДЫ.

Постоянное возрастание требований к точности изготовления деталей, в особенности тонкостенных, приводит к разработке новых производственных технологий обработки материалов давлением, которые, в свою очередь, должны иметь четкое математическое обоснование.

В настоящее время актуальны задачи пластических течений материалов с учетом различных сопряженных факторов, таких как анизотропия сил трения на контакте, объемная сжимаемость, течение материала в условиях интенсивного теплообмена, состояние сверхпластичности, деформируемость поверхности инструмента.

Диссертация посвящена исследованию одного; класса нестационарных пространственных задач течения тонкого пластического слоя между двумя сближающимися поверхностями твердых внешних тел, разработке новых подходов и методов их решения. К таким задачам приводят большинство технологических процессов обработки материалов давлением: штамповка и прессование тонкостенных элементов конструкций, дрессировка, тонколистовая прокатка и т.д. Это сложные физические процессы с разнообразием определяющих параметров, протекающие при комбинированных температурных и силовых воздействиях. Важную роль в них чаще играет деформационное и скоростное упрочнение материала. Для процессов пластического течения в тонком слое характерны высокие давления, на порядок превышающие величины сдвиговых напряжений. А значит, неоправданным может оказаться неучет упругих деформаций самих воздействующих тел, что сказывается на точности изготовления конечной детали. Математическое моделирование процессов с развитыми пластическими формоизменениями, и в частности, течений в тонких слоях усложняется тем, что в них, как правило, неизвестными оказываются как границы областей течения, так не определены и сами граничные условия. И хотя на сегодняшний день существуют геометрически нелинейные теории пластичности, в том числе и вариант теории упругопластических процессов А.А. Ильюшина при конечных деформациях, однако, в силу их чрезвычайной математической сложности, они не нашли еще широкого практического применения. Наиболее распространенной и обоснованной для описания процессов пластического течения металлов в широком диапазоне изменения температур и скорости деформации по праву считается теория пластичности для траекторий малой кривизны [7,21,27, 61,73,74, 90] .

Выше мы отметили лишь некоторые характерные особенности, присущие процессам пластического течения в тонком слое. Это оказывается вполне достаточным подтверждением актуальности исследований, проводимых в отмеченной области механики.

Истоки данной тематики исследований уходят к классической задаче JI. Прандтля [72] о сжатии полосы из идеальнопластического материала между двумя сближающимися жесткими плоскостями. JT. Прандтль нашел поле напряжений, а Надаи [64] построил кинематическую картину этого течения, подчиняющегося условию пластичности Мизеса.

Эксперименты по данной проблеме проводились Е.П. Унксовым [88,89], А.Д. Томленовым [82], И.Я. Тарновским [79,80], В.М. Сегалом [75] и другими учеными.

На основе анализа решения Прандтля - Надаи А. А. Ильюшин выдвинул гипотезы кинематического характера, а также относительно сил трения на контакте, с помощью которых построил эффективную теорию течения в тонком пластическом слое [22-26]. В работе А.А. Ильюшина [24] решена задача о растекании тонкого кольцевого пластического слоя постоянной толщины. В работах А. А. Ильюшина [25], И.А. Кийко [39] исследована нестационарная плоская задача течения в полосе с неоднородностью свойств по толщине, вызванной интенсивным теплообменом с внешними телами.

Существенный вклад в развитие теории течения в тонком пластическом слое внес И.А. Кийко [32-38] . Им сформулирована задача течения в тонком пластическом слое в пространстве между двумя сближающимися поверхностями упруго-деформируемых тел, предложен вариационный метод решения задач [32]. В работах П.М. Огибалова, И.А. Кийко и JI.K. Кийко [бб-68] рассчитаны с помощью метода песчаной аналогии контактные давления, общие усилия прессования ребристых пластин, а также проведена экспериментальная проверка теоретических результатов. Следует отметить работы И.В Костарева [45,46], который на основе теории течения тонких пластических слоев разработал методы расчета процессов штамповки ребристых поковок сложной формы. В работе Ю.С. Арутюнова [5] для решения задач течения пластических слоев использован метод преобразования Лежандра, с помощью которого исследованы плоские и осесимметричные задачи, построены эпюры истинных контактных давлений. Можно выделить работы С. С. Григоряна [14], А.Н. Мохель и P.J1. Салганик [62], В. А.

Кадымова [47-58] и многих других авторов [1-4,6,1113,16,17, 19,20,28-31,40-43, 60, 63, 65] .

Задача JI. Прандтля о сжатии пластической полосы, усложненная учетом разных дополнительных факторов, продолжает привлекать внимание многих исследователей.

Из обзора можно сделать следующий вывод: общая теория течения тонких слоев металла по деформируемым поверхностям разработана, однако конкретные приложения ограничены осесимметричными и плоскими задачами. Потребности технологии обработки давлением такими приложениями, естественно, далеко не ограничены. Этими соображениями обусловлена цель диссертации.

Цель исследований состоит в разработке эффективных аналитических и численных методов исследования нового класса задач о течении тонкого слоя пластического материала по поверхностям тел инструмента с учетом их деформируемости.

Научная новизна.

Разработан новый эффективный метод решения класса задач пластического формоизменения, основанный на теории течения в тонком пластическом слое по деформируемым поверхностям. Метод основан на сведении исходной нелинейной системы интегро-дифференциальных уравнений к одному нелинейному интегральному уравнению обобщенного гаммерштейновского типа, которое решается методом приближений. Скорость сходимости метода в зависимости от значений параметров задачи устанавливается численно. Рассмотрены конкретные примеры, проведен их подробный параметрический анализ.

Практическая ценность.

Результаты диссертации представляют интерес для теории и практики расчета технологических процессов обработки давлением. Они могут эффективно использоваться специалистами промышленных предприятий и НИИ, занимающимися проектированием и конструированием инструмента. Разработанные в диссертации подходы и методы решения нестационарных задач течения пластических слоев могут быть включены в спецкурсы для студентов механико-математических и машиностроительных факультетов, а также могут быть использованы в системе переподготовки кадров высшей квалификации, при подготовке магистров и аспирантов.

Публикации.

Исследованиям пластических течений в тонких слоях посвящено 13 работ автора. Основное содержание диссертации отражено в цитированных публикациях автора [8-10,91] .

Апробация.

Работа велась в соответствии с заданием министерства образования и науки Российской Федерации на проведение научных исследований по разработке физико-математических основ технологий пластического формоизменения с целью повышения пластичности металла и улучшения эксплуатационных характеристик штампуемых изделий (гос. per. 01.2.00311033, гос. per. № 01.200.210.855) при поддержке гранта министерства образования и науки РФ № А

03-2.10-757. Результаты работы обсуждались на: XXXIX Международной научно-технической конференции ААИ «Приоритеты развития отечественного автотракторостроения и подготовки инженерных и научных кадров» (Москва, МГТУ-«МАМИ», 25-26 сентября 2002); московской конференции молодых ученых «Научно-технические проблемы развития московского мегаполиса» (Москва, ИМАШ РАН им. А. А. Благонравова, 19-21 ноября 2002); всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, ТулГУ, 20-22 ноября 2002 года); международной молодежной научной конференции «XXIX Гагаринские чтения» (Москва, «МАТИ»-РГТУ им. К.Э. Циолковского ,8-11 апреля 2003); научной конференции «Ломоносовские чтения» (Москва, МГУ им. Ломоносова, 17-27 апреля 2003 года, 21-28 апреля 2004 года); международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» поев. 80-летию со дня рождения проф. Л.А. Толоконникова (Тула, ТулГУ, 18-21 ноября 2003); международной научно-технической конференции «Прогрессивные технологии и оборудование кузнечно-штамповочного производства» (Москва, МГТУ-«МАМИ»,1-3 декабря 2003); юбилейной XV международной Интернет конференции молодых ученых, аспирантов и студентов по современным проблемам машиноведения (Москва, 3-5 декабря, 2003) .

Считаю своим долгом выразить глубокую признательность моему учителю, заслуженному профессору МГУ им. Ломоносова Игорю Анатольевичу Кийко за постоянное внимание и помощь при выполнении работы.

4.4 ВЫВОДЫ

В качестве основного вывода по четвертой главе можно выделить тот факт, что предложенная методика решения данного класса задач течения показывает сходство со случаем течения материала в квадратной области. Скорость сходимости метода приближений в большей степени зависит от толщины слоя, нежели от величины соотношения сторон прямоугольной области.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1.Разработан новый эффективный метод решения задач о течении тонкого пластического слоя в областях, ограниченных выпуклым многоугольником, с учетом конечной жесткости (упругой деформируемости) поверхностей инструмента. Метод основан на сведении нелинейной интегро-дифференциальной системы к интегральному уравнению, которое решается последовательными приближениями (с использованием численных методов).

2.Проведены конкретные расчеты для квадратной и прямоугольной областей. Параметрическим анализом решений установлена достаточно быстрая сходимость метода - во всех случаях третье приближение доставляло необходимую точность.

3.Показано, что первое приближение по разработанной схеме и предложенной в [32], совпадают и дают оценки максимальных деформаций инструмента.

1. Акуленко Л.Д., Георгиевский Д.В., Климов Д.М., Кумакшев С.А., Нестеров С.В. Выдавливание вязкопластического материала с малым пределом текучести из плоского конфузора // Изв. РАН, Мех. тв. тела, 2003, № 4, с. 183-197.

2. Александров С.Е., О разрывных полях скоростей при произвольной деформации идеального жесткопластического тела // Докл. РАН. 1992, 324, № 4, с. 769-772.

3. Александров С.Е., Мишурис С.Е. Осесимметричное пластическое течение двухслойного материала через конический канал // Докл. РАН. 2003. 390, № 2, с. 196199.

4. Аргатов И.И. Давление на упругое полупространство штампа с поверхностью, близкой к эллиптическому параболоиду //Пробл. машиностр. и надежности машин, 2000, № 1. с. 101-105.

5. Арутюнов Ю.С., Гонор А. Л. Осаживание тонких поковок произвольной формы в плане // Изв. АН ССР. Мех. и мат-е. 1963, № 1. - с. 166-171.

6. Безухов В.Н. Об осадке пластического слоя некруговой формы в плане // Дис. канд. физ.-мат.н. М, 1955. - 78с.

7. Безухов Н.И. Теория упругости и пластичности // М., Гостехизд. -1953. 420с.

8. Бодунов Д.М. Осесимметричная задача об осадке пластического слоя // Сб. избр. тр. XXXIX Межд. НТК ААИ «Приоритеты развития отеч. автотракторостроения иподготовки инженерных и научных кадров», М., МГТУ, ISBNS' 94-0 9 9- 02 0-7 .

9. Бодунов Д.М. Методы теории пластичности в применении к расчету и проектированию технологических процессов обработки давлением // Труды моек. конф. молодых ученых «Научно-технические проблемы развития московского мегаполиса», М, ИМАШ РАН, 2003.

10. Бодунов Д.М., Кийко И.А. Новая постановка задачи о течении тонкого слоя по деформируемым поверхностям // В сб. научн. тр. межд. научно-технической конф. «Прогрессивные технологии и оборудование кузнечно-штампового производства», М., МГТУ-МАМИ, 2003г.

11. Георгиевский Д.В. Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел // УРСС, М., 1998.

12. Гордон В.А., Тинякова Е.В., Шоркин B.C. О пластическом поведении материала в поверхностном слое твердого тела // Исслед. в обл. теории, технол. и обор. ОМД, Орлов.ГТУ, 1998, с. 150-153.

13. Григорьев И.П., Ивлев Д.Д. О сдавливании круглого в плане идеальнопластического слоя шероховатыми плитами //Изв. РАН., Мех. тверд, тела. 2000, № 1, с. 129140.

14. Григорян С. С. Об одной задаче JI. Прандтля и теории течения пластического вещества по поверхностям // ДАН СССР. 1981, т.257, № 5. с. 1075-1077.

15. Губкин С.И. Пластическая деформация металлов // М., Металлургизд. I960. - 190с.

16. Дмитриев A.M., Воронцов A.JI. Определение с учетом упругой деформации матрицы технологическихпараметров штамповки выдавливанием // Вестн. МГТУ, Сер. машиностр., 2002, № 2, с. 7 6-93.

17. Друянов Б. А. О применимости жесткопластического анализа к некоторым технологическим задачам // Изв. АН СССР, Мех. тв. Тела. 1971, № 3, - с. 179-183.

18. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики // Изд. Наука, М., 1970, 664с.

19. Ершов JI. В., Ивлев Д. Д., Романов А. Д. Об обобщениях решения JI. Прандтля о сжатии пластического слоя шероховатыми плитами // Сборн. «Соврем, пробл. мех. и авиации». М.,1962, - с. 137-144.

20. Ершов J1.B. О приближенном решении осесимметричных упруго пластических задач методом малого параметра // Пробл. мех. деф. тв. тел и горных пород. Сб. статей к 70-летию Ершова Л.В., 2002.

21. Зубчанинов В.Г. Математическая теория пластичности // Тверь, Изд-во ТГТУ, 2002, 300с.

22. Ильюшин А. А. Пластичность // Изд. АН СССР, 1963. 376с.

23. Ильюшин А. А. Вопросы теории течения пластического вещества по поверхностям // Прикл. матем. и мех. 1954, т. 18, № 3. - с. 265-288.

24. Ильюшин А.А. Полная пластичность в процессах течения между жесткими поверхностями, аналогия с песчаной насыпью и некоторые приложения // Прикл. матем. и мех. -1955, т. 19, № 6. с. 693-713.

25. Ильюшин А.А. Некоторые вопросы теории пластического течения // Изв. АН СССР. 1958, № 2, с. 64-86.

26. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды // М., МГУ- 1978. 288с.

27. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности // М., Наука. 1966, - 231с.

28. Ивлев Д. Д., Ишлинский А.Ю., Максимова JI.A. О свойствах течений изотропной среды // Докл. РАН. 2000, 375, № 2., с. 191-194.

29. Ивлев Д. Д., Максимова JI.A. О плоских течениях идеально жесткопластической среды // Докл. РАН, 2000, 370, № 1, с. 43-45.

30. Кальменев А.А., Лукашкин Н.Д. Состояние теории расчета давления и усилия при холодной тонколистовой прокатке // Сталь., 2001., № 11, с. 44-47.

31. Капланова Е.В. Давление металла на валки при холодной круговой прокатке тонких дисков / / Захист металлургилних машин вл.д поломок. 2002., №6, с. 61-67.

32. Кийко И. А. Вариационный принцип в задачах течения тонкого слоя пластического вещества // ДАН СССР.- 1964, т. 157, № 3, с. 551-553.

33. Кийко И. А. Течение тонкого слоя пластического материала по упруго-деформируемым поверхностям // Инжен. журн. 1965, т. 5, вып. 2. - с. 372-375.

34. Кийко И. А. Точное решение одной задачи пластического течения в тонком слое по упругим поверхностям // ДАН СССР. 1965, т. 161, № 1. - с. 4042.

35. Кийко И. А. К теории пластического течения в тонком слое по деформируемым поверхностям // Изв. АН СССР, Мех. тв. тела. 1966, № 5, с. 123-126.

36. Кийко И.А. Теория пластического течения в тонком слое металла // Научн основы прогресс. техники и технологии. М., Машин-е, 1985. с. 102-133.

37. Кийко И.А., Морозов Н.А. Методы теории пластичности в ОМД // Сб. Пластическая деформация легких и спец. сплавов, М., Металлургия, 1971.

38. Кийко И. А., Кадымов В. А. Обобщение задачи J1. Прандтля о сжатии полосы // Вестник Моск. ун-та, Сер. Математика. Механика., 2003, № 4, с. 50-56.

39. Кийко И.А. Теория пластического течения // М., МГУ 1975, 75с.

40. Козлова О. В. Накопление деформаций при осесимметричном пластическом течении // Дальневост. мат. школа-семинар им. ак. Золотова Е.В., Владивосток, 2002, с. 79-80.

41. Качанов JI.M. Основы теории пластичности // М., Наука. 1969. - 420с.

42. Kachanov L.M. Foundations of the theory of plasticity // Amsterdam 1971/

43. Клюшников В.Д. Плоское установившееся течение жестко-пластического материала // Докл. АН СССР. 1988, 303, № 4. - с. 815-817.

44. Колмогоров B.J1. Механика обработки металлов давлением // Изд. УрГТУ-УПИ, Екатеринбург, 2001.

45. Костарев И.В., Казьмин А.В. Исследование процесса штамповки деталей с ребрами жесткости // Изв. вузов. Машин-е. 1981, № 5. - с.114-116.

46. Костарев И.В., Баев Б.А. Использование положений теории течения тонкого пластического слоя дляпроектирования технологических процессов // Технология легких сплавов. 1979, № 7, - с.47-50.

47. Кадымов В. А. Некоторые задачи теории пластического течения // Изв. АН Азерб. ССР. 1981, № 3. -с. 45-52.

48. Кадымов В.А. Некоторые точные решения задач теории течения пластического вещества // В. сб. «Некот. вопр. матем. и механ.» М., МГУ - 1981. - с. 93.

49. Кадымов В.А., Чулафич 3. Метод и точные решения задач течения в тонком слое металла // Изв. АН Азерб. ССР. 1983, № 3. - с.50-55.

50. Кадымов В.А., Огибалов П.М. Некоторые основные аспекты теории течения металла // В сб. тр. XVI Югосл. симпоз. по теор. и прикл. механике. 1984 - бс.

51. Кадымов В.А., Огибалов П.М. К постановке и решению краевой задачи течения металла в тонком слое // Тез. докл. III Всесоюзн. конф. «Смешан, зад. мех. деф. тв. тела». Харьков. - 1985.

52. Кадымов В.А., Чулафич 3. Prikaz torije tecenja plasticnog materijala po povrsima I neki novi staticki problemi // Zb. radova sa III Jugoslav. Simpoz. iz teorije plasticnosti. Plitvicka. - 1983. - 13s.

53. Кадымов В. A. Beriicksichtigung des Einflussesfester Schmierstoffe bei Kontaktaufgaben der Umformtechnik // Technische Mechanik (Germany) , 10(1989)3. p. 178-182.

54. Кадымов В.А. Расчет пластических течений в тонком слое металла // Teorijska i primenjena mechanika (Белград). -1987, № 13, с. 55-63.

55. Кадымов В.А. К постановке и решению одного класса задач штамповки с учетом активного влияния промежуточной среды // В сб. «Исслед. в обл. теории, технол. и обор, штамп, пр-ва». Тула, 1990 - с. 22-31.

56. Кадымов В. А. Граничные уравнения теории обработки металлов давлением // Деп. в ВИНИТИ АН СССР. № 8284 В88. -18с.

57. Кадымов В. А. Нестационарные задачи течений в тонком пластическом слое // Дисс. докт. физ.-мат. наук. -Баку., Ин-т математики и механкики. 1994 - 226с.

58. Кадымов В. А. К решению задачи JI. Прандтля об осадке полосы из идеально-пластического материала // В сб. «Трехмерные зад. мех-ки структ.-неодн. сред». -Воронеж, 1991. с. 107-114.

59. Курант Р. Уравнения с частными производными // М., Мир. 1964. -830с.

60. Ломакин Е.В. Пластическое течение дилатирующей среды в условиях плоской деформации // Изв. РАН, Мех. тверд, тела, 2000, № 6, с. 58-68.

61. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести // М., Машин-е. 1975. - 400с.

62. Мохель А.Н., Салганик Р.Л. Тонкий идеальнопластичный слой с произвольным контуром, сжимаемый между жесткими плитами // Докл. АН СССР 1987, 293, № 4. - с. 809-813.

63. Мясищев А. А. Решение в рядах задачи о сжатии жесткопластического слоя шероховатыми плитами // Изв. вузов. Черн. металл-я. 1986, № 1, - с. 81-103.

64. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел // М., Ил. 1954. - 647с.

65. Непершин Р.И. Кинематически определимые плоского пластического течения жесткопластического тела // Пробл. мех. неупр. дефор. Сб. статей. К 70-летию Д.Д. Ивлева, М., Физматлит, 2001, с. 245-259.

66. Огибалов П.М., Кийко И.А., Кийко JI.K. Растекание тонкого пластического слоя // Прикл. механика. 1988, т. 24, № 10. - с. 88-94.

67. Огибалов П.М., Кийко И. А. задачи пластических течений // Инжен. журн. 1961, т.1, вып. 3. - с. 181184.

68. Огибалов П.М., Кийко И.А. Определение усилий штамповки и прессования некоторых элементов конструкций // В кн. «Расчеты процессов пласт, форм-я мет.», М., Мир,- 1962, с. 73-77.

69. Огородников В.А. Оценка деформируемости металлов при обработке давлением // Кузнечно-штамповое производство, 1977, э.З, с. 15-18.

70. Остсемин А.А. Обобщение решения задачи Прандтля о сжатии пластического слоя двумя шероховатыми плитами // Пробл. прочн. 1991, № 12. - с. 70-74.

71. Поздеев А.А., Няшин Ю.И., Трусов П. В. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. М., Наука. - 1986.

72. Prandtl L. Anwendungsbeispiele zu einem Henckyschen satz iiberdas plastische Gleichgewicht //ZAMM/- 1923, № 3, p. 401-406.

73. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т. 1 и 2 // М., Наука. 1970. - 536с. И 568с.

74. Седов Л.И. Методы подобия и размерностей в механике // М., Наука. 1967. - 4 68с.

75. Сегал В.М. Технологические задачи теории пластичности // Минск, Наука и техн. 1977 -253с.

76. Смиров-Аляев Г.А., Розенберг В.М. Теория пластических деформаций металлов // М.-Л., Машгиз. -1956. 367с.

77. Соколов Л.Д. Сопротивление материалов пластической деформации // М., Метал-я. 1963. - 284с.

78. Соколовский В. В. Теория пластичности // М., Высшая школа. 1969. - 608с.

79. Тарновский И.Я., Поздеев А.А. и др. Теория обработки металлов давлением // М., Металлургизд. 1963. - 672с.

80. Тарновский И.Я., Леванов А.Н., Посеваткин М.И. Контактные напряжения при пластической деформации // М., Металл-я. 1966. - 279с.

81. Толоконников Л.А., Маркин А. А. Определяющие соотношения при конечных деформациях // Пробл. мех. деф. тв. тела, Калинин. 198 6. - с. 4 9-57.

82. Томленов А. Д. Теория пластического деформирования металлов // М., Металл-я. 1972. - 408с.

83. Толоконников Л. А., Пеньков В. Б. Некоторые эффективные решения задачи о скольжении металла в слое // Прикл. мех. 1990, 26, № 9. - с. 75-82.

84. Томсен Э., Янг К., Кобояши Ш. Механика пластических деформаций при обработке металлов // М., Машин-е. 1969. 503с.

85. Трикоми Ф. Интегральные уравнения // Изд. ИЛ, М., 1960, 300с.

86. Тутышкин Н.Д. Осадка полосы между плоскопараллельными плитами // Изв. вузов. Машин-е. -1982, № 5. с. 33-37.

87. Тутышкин Н.Д. Осесимметричное сжатие тонкослойного пластического материала // В сб. «Иссл. в обл. пласт, и обраб. мет. давлением». Тула, 1984. - с. 80-85.

88. Унксов Е.П. Инженерные методы расчета усилий при обработке металла давлением // М., Машгиз. 1955. -280с.

89. Унксов Е.П., Джонсон У., Колмогоров B.JI. и др. Теория пластических деформаций металлов // М., Машин-е. -1969. 503с.

90. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления // Изд. Наука, 1969, т. 2., 800с.