Течение тонкого слоя пластического материала по грани упруго-деформируемого инструмента тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

//

Коваленко Павел Васильевич

Течение тонкого слоя пластического материала по грани упруго-деформируемого инструмента

Специальность 01.02.04 - «Механика деформируемого

твёрдого тела»

1 2 НОЯ 2X3

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 2009

003482911

Диссертация выполнена в Московском государственном техническом университете «МАМИ».

Научный руководитель:

кандидат технических наук, профессор

Бодунов Михаил Алексеевич

О—и'тиальмыг оппоненты!

наук, профессор

Васин Рудольф Алексеевич

доктор технических наук, профессор

Тутышкин Николай Дмитриевич

Ведущая организация:

Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, г. Москва

Защита состоится 2 декабря 2009 года в 14-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при ГОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу: 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92 (9-101).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Автореферат разослан « октября 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного соЕета^^С д_ Л.А. Толоконников

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Одним из требований, предъявляемым к современной технологии, является повышение точности изготовления заготовок на первых, более дешёвых операциях в процессах обработки давлением, чтобы последующая, более дорогая механическая обработка была минимальной. Эта проблема актуальна при получении тонкостенных изделий заданной точности, поскольку существенное влияние на конечную геометрию детали оказывает деформируемость тела инструмента.

В технологии обработки давлением выделяется широкий класс процессов, где течение материала происходит в относительно тонком слое. Для таких процессов характерны высокие удельные давления, на порядок превышающие величины сдвиговых напряжений. Возникающие под их действием, а также вследствие конечной жёсткости инструмента, деформации достигают величин, соизмеримых с толщиной обрабатываемой детали. Поэтому рассмотрение конкретных задач, решение которых позволит провести оценки конечной геометрии детали еще на стадии проектирования технологии, представляется актуальным. Подобные задачи рассматривались и ранее, однако их можно отнести к модельным, так как в качестве инструмента в них принималось полупространство. В связи с этим, с практической точки зрения могут быть интересны новые задачи течения тонкого слоя металла по поверхности инструмента, представляющего собой реальное упругое трёхмерное тело.

Цель работы.

Получение ряда численных решений тестовых и типовых задач течения тонкого пластического слоя по упруго-деформирумым поверхностям инструментов с привлечением современных специализированных программных средств; проведение широкого параметрического анализа этих решений; выделение классов однотипных процессов. Разработка модели

упругого инструмента, в которой зависимость перемещения его рабочих поверхностей от контактного давления представлена не в форме функционала как ранее, а в форме функции.

Научная новизна работы.

Впервые решены новые задачи в точной постановке о течении тонкого пластического слоя по плоской поверхности упругого трёхмерного тела. Предложена новая модель жёсткости упругого основания и методика определения параметров этой модели, которая заключается в сопоставлении приближенного решения с точным. Для решенных задач, следуя выбранной методике, определены константы, жёсткости инструмента. Анализ изменения найденных коэффициентов показал, что можно выделить классы задач (характеризуемых формой области, течения и формой инструмента), для которых эти параметры являются инвариантными пс отношению к некоторым параметрам процесса.

Достоверность основных результатов и.выводов диссертации обоснована строгими математическими формулировками задач, совладением численных результатов расчётов с некоторыми, получанными ранее аналитически, численным доказательством сходимости метода последовательных приближений.

Практическая значимость работы.

Разработанная в рамках диссертации методика, ориентированная на некоторые теоретические задачи и практические приложения, может быть непосредственно использована специалистами промышленных предприятий и НИИ при проектировании и расчёте новых современных технологических процессов и оснастки в технологии обработки давлением.

Апробация работы.

Работа велась в соответствии с заданием федерального агентства по образованию на проведение научных исследований по разработке комбинированных процессов обработки на основе принципов создания оптимальных методов обработки в машиностроении (гос. per. 01200903250) при поддержке

грантов Российского Фонда Фундаментальных Исследований № 06-08-003 91-а, № 09-08-00799-а.

Результаты работы обсуждались на следующих научных собраниях: международная молодёжная научная конференция «XXXIГГ Гагаринские чтения» (Москва, «МАТИ» - РГТУ им. К.Э. Циолковского, 3-7 апреля 2007 года); научная конференция «Ломоносовские чтения» (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 16-25 апреля 2007 года, 16-25 апреля 2008 года, 16-24 апреля 2009 года); международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, ТулГУ, 19-23 ноября 2007 года); ежегодная XIX Международная Интернет-ориентированная Конференция Молодых Учёных и Студентов по современным проблемам машиноведения - МИКМУС-2007 (Москва, ИМАШ РАН им. A.A. Благо-нравова, 5-7 декабря 2007 года); расширенный научный семинар по проблемам фундаментальной механики в теории обработки давлением (Москва, МГТУ - «МАМИ», 22-23 апреля 2008 года); международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики» поев. 85-летию со дня рождения проф. Л. А. Толоконникова (Тула, ТулГУ, 17-21 ноября 2008 года); III школа-семинар «Современные проблемы ресурса материалов и конструкций» (Москва, МГТУ - «МАМИ», 9-10 апреля 2009 года); научный семинар кафедры Математического моделирования ТулГу под ру-ков. проф. A.A. Маркина (Тула, ТулГУ, 30 июня 2009 года).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ.

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и содержит 68 рисунков, 9 таблиц и шесть приложений общим объёмом 150 страниц. Список литературы состоит из 94 наименований.

Содержание работы.

Во введении обоснована актуальность темы исследования, дан краткий обзор текущего состояния рассматриваемых вопросов, сформулированы цели работы.

Первая глава посвящена вопросам постановки задач течения пластического вещества по упруго-деформируемым поверхностям инструмента в рамках известной теории течения в тонком слое A.A. Ильюшина - И.А. Кийко. Для определения давления р в слое и его толщины Ii составляется система уравнений, состоящая из нелинейного дифференциального

Р(хо>Уо ) = та.< / и основных соотношений теории упругости, определяющих напряженно-деформируемое состояние тел инструментов . Полученная система уравнений призодится к безразмерному виду.

Для решения представленной сложной нелинейной задачи принимается метод последовательных приближений. Его суть заключается в том, что найденное решение дифференциального уравнения подставляется в граничные условия задачи теории упругости, решение которой даёт функцию упругих перемещений контактных поверхностей инструмента и тонкого слоя металла. С помощью этой функции находится решение дифференциального уравнения в следующей итерации. Указанная последовательность вычислений продолжается до тех пор, пока два решения задачи теории упругости в смежных итерациях не станут мало отличимыми друг от друга с заданной точностью.

Представленная в первой главе общая постановка задач во второй главе рассматривается на конкретных типовых примерах, отличающихся друг от друга формой области, занятой тонким слоем, и формой инструмента. В частности в п.2.1, 2.2, 2.3 проводится решение задач, где форма грани инструмента, на которой происходит течение, и форма области течения - подобны: круглый слой на цилиндрическом инструменте, квадратный на кубе, прямоугольный на прямоугольном параллелепипеде. В п.2.4 этот принцип не соблюдён, здесь приводится задача течения круглого слоя по прямоугольной грани -упругого параллелепипеда. Для каждой

уравнения:

с

граничным условием:

из этих четырёх задач общая постановка дополняется частными особенностями каждого случая. Например, постановка осесимметричной задачи существенно упрощается в полярных координатах; для квадратной и прямоугольной области течения упрощается решение дифференциального уравнения, так как оно проводится для каждой из выделяемых в области течения подобластей отдельно с учётом принятых допущений. Каждая задача решается при широком диапазоне значений принятых относительных параметров. Для примера на рис. 1 приведено решение в каждой итерации метода приближений осесимметричной задачи по перемещениям. Эти решения показывают быструю сходимость выбранного метода. Рисунок 2 иллюстрирует решение в последних итерациях по давлению для четырёх принятых значений толщин.

за: х, 'J

"Ч-

I})) ЛК •*} 0111 С1«

Рис. 1

1-1. / я ~ т

Л I

Л -1

Я 30

^

/ /я зо

к ю

/ '

' Л

Рис. 2,

В третьей главе рассматривается новая модель упругого основания, суть которой заключается в представлении зависимости перемещения и давления в виде функции н' = \г(р). Приводится обоснование введения такой аппроксимации инструмента, указываются основные преимущества:

1.В этом случае линии тока являются прямыми, ортогональными контуру (проводится доказательство этого факта).

2. Для нахождения давления р отпадает необходимость на каждой итерации определять линии тока из решения нелиней-

ного дифференциального уравнения второго порядка, и оно определяется как интеграл вдоль прямой.

3. Аппроксимация iv = w(p) существенно упрощает некоторые уравнения задачи о растекании, что позволяет поставить её в значительно более простом виде.

4.Имея модель упруго инструмента в форме зависимости w~w(p) на стадии проектирования технологического процесса, можно заранее в приближённой степени провести оценки конечной геометрии обрабатываемой давлением детали. Таким образом, данная аппроксимация приближает актуальную для технологии задачу к эффективному инженерному использованию.

Следовательно, возникает проблема: определить вид зависимости u' = w(p) и параметры модели упругого основания, Предлагается находить модельное перемещение как функцию от давления в виде многочлена с конечным числом коэффициентов: w(p) = a,p + a7p1 + а3р3 + ... + «„// . Параметры модели жёсткости инструмента ак,к~1,...,п определяются из сравнения решения задачи течения с использованием модельной зависимости и точного решения задачи теории упругости. Предлагается и подробно описывается методика идентификации параметров новой модели для общей постановки задачи. В конечном счете, сами коэффициенты аппроксимации определяются методом наименьших квадратов:

JjV y)-wM(x,y,al,a2 ...«„ ))2dS = J(a,,a2 ...an) min (

s

где n'•/• - точное перемещение, wM - модельное перемещение, S - область, занятая слоем.

В четвёртой главе рассматриваются два варианта принятой общей модели упругого основания:

1.Одночленная аппроксимация: w(p)=a,p (так называемое винклеровское основание).

2. Двучленная аппроксимация: Ы'(р) = С11р + <12р~ (обобщённое винклеровское основание).

Эти два вида модели в п. 4.1, 4.2, 4.3, 4.4 подробно исследуются применительно к каждой из типовых задач, рассмотренных во второй главе. Корректируется -общая методика определения коэффициентов жёсткости инструмента с учётом частных особенностей каждой задачи. Найденные константы модели заносятся в сводную таблицу, позволяющую наглядно провести широкий параметрический анализ изменения коэффициентов (таблица 1 - для задачи о течении в квадратной области по грани упругого параллелепипеда).

Таблица 1

' * р' -1 т - Л

И У: I/ * У 4 1

/ |'0 одночленная »>» - 0.О1&Р - 0. ■'У'.'р

лнучпгчнан «■„ - осою/,-олаха'л »«-ЛДЙС/> *<ШХ\Х>Иг'

/ 20 однс-членнаи ». - 0.0162,■ «■„ - 0.0Ы! р Ч'а - ЯЛ.Ч;:

диучнгкняя ■л.-0,017?р-0А'Ю14:!> и'» -

1 То одночленная «V - 0№Яр «■» ■ о.о::0р • ол;>; р • ,"«4.7

¿[•/¡лапил «•„-о.агхр ~о.ох&1>> »„ - с.о.'/;/ ■■■сх'аж?' >•-.. - с МУ„Г -а«>:>;!!р- »> -ла^р-.'хш-'г'

1 40 одночленная л, - ашр м-.'ШСХр »> - ОЛ'Хр

двучленная ш.'-мьзгнт»?1 *. «ОЛЯр+ОХЯНр1 ч-, ^ООШр+СлХХЧр' »■„ »ЛЙ'Л'Р+ЙСЛ^ о'

Такой анализ показывает, что найденные константы жёсткости находятся в обратно пропорциональной зависимости от относительной толщины слоя. Кроме того, при одной и той же толщине, но при разных относительных размерах слоя коэффициенты меняются незначительно - с небольшим отклонением от определенного значения. Положительным моментом является тот факт, что в сложной нелинейной задаче коэффициенты несложным образом зависят от параметров системы. Значения коэффициентов аппроксимации в разных задачах (круг, квадрат, прямоугольник), но при схожих относитель-

ных параметре«, близки по абсолютной величине. Расхожде-. ние порядка несоответствия площадей, занимаемых слоями разной формы (или приблизительно среднего давления в слое). Этот факт говорит об определённой инвариантности коэффициентов по отношению к форме области течения (в некоторых пределах, конечно) начиная с некоторых относительных размеров инструмента и области течения. Отмеченное свойство инвариантности позволяет надеяться на эффективность предложенной модели и в более широких пределах изменения параметров системы (для других классов процессов) .

Графическим способом показывается степень приближения модельных функций перемещения и давления к точным, полученным во второй главе (рис.3 и 4 - для задачи о течении в квадратной области по грани упругого параллелепипеда).

Рис. 3 Рис. 4.

В конце четвёртой главы формулируется гипотеза о возможности рассматривать трёхмерный инструмент как полупространство для случаев, когда размеры пластического слоя по отношению к размерам инструмента малы. С целью проверки этого предположения в пятой главе разбираются задачи, отличные от типовых, рассмотренных во второй главе. В п.5.1 приводятся примеры, когда слой, ограниченный одним и тем же контуром, располагается на гранях инструмента различной формы (квадрат на прямоугольнике, прямоугольник

на квадрате, прямоугольник на прямоугольнике в разных взаимных расположениях - см. рис.5). Для этих задач находятся численные решения; на их основе определяются коэффициенты модели жёсткости упругого основания; проводится сопоставление результатов с полученными в предыдущих главах. Сравнительный анализ показывает, что решение не зависит от формы и расположения инструмента при малых размерах слоя относительно размеров инструмента. Это подтверждает и практическое равенство найденных коэффициентов аппроксимации (см. Таблицу 2).

п ~Щл

[м Ш".....

-в

Ж" *

У

В

-в

¡•I

в

_______________________-л \ / А..........................

/ ( ;

и

Рис.

Таблица 2

В Аппрокси- Прямоугольник: поперек, на прямоуголь нике Прямоугольник Прямоугольник вдоль на прямоугольнике

Р А мация на квадрате

1 Одночленная и = 0,029р и',, = 0,029р »'„ = 0,029 р

То Двучленная и 0,0229р + м\. = 0,0229р + = 0,0229 р +

+ 0,00039р2 + 0,00039р* ( 0,00038р2

В п.5.2 решается задача течения материале! в фиксированной области для случая, когда инструмент моделируется как полупространство. Рассматриваются три встречающиеся ранее формы области течения - круг, квадрат, прямоуголь-

ник. Здесь упругие перемещения контактирующих друг с другом поверхностей слоя и инструмента определяются не из решения задачи теории упругости как во второй главе, а из решения интегрального уравнения, в которое входит функция влияния инструмента (функция Грина), известная для полупространства. . Для определения давления р в слое и перемещений к- составляемся интегро-дифференциальная система уравнений, которая б безразмерных переменных имеет вид: / 1

Iр-аЛ />| -

р(хи, у0) =

1{, i + и/а; у)'

т4з

Н(х.у,х',у')=-

(1-У)

\ф, у) ()] || Н(х, у, х, у')р(х', у')с1х'(1у' .1

где Н - функция влияния для полупространства, ,

жЬ

51=2рт^8 - обезразмеривающие коэффициенты, т - множитель порядка единицы, / - характерный линейный размер слоя.

Проводится решение указанной системы уравнений методом последовательных приближений для трёх видов областей течения и четырёх значений толщин слоя. Выполняется аппроксимация упругого инструмента в форме полупространства моделью, выбранной в третьей главе; находятся параметры этой модели для каждого вида области, занятой слоем. Полученные результаты сравниваются с теми, что были получены для трёхмерного тела. Сравнительный анализ показывает, что, начиная с некоторого характерного размера инструмента, а значит - всех размеров, наблюдается вполне ожидаемый результат. А именно, то, что параметры аппроксимации жёсткости инструмента по новой модели этого инструмента и параметры, полученные на основе решения для полупространства - совпадают. Этот результат подтверждает полученый значительно ранее аналитически. Его суть заключается в

том, что аналогичная закономерность наблюдается, если аппроксимировать инструмент упругим слоем. Начиная с некоторой толщины слоя порядка 1,5 характерного размера области течения, аппроксимация инструмента слоем и полупространств ом фактически совпадает.

Основные результаты и выводы диссертационной работы:

1. Впервые решены новые задачи в точной постановке о течении тонкого пластического слоя по плоской грани упругого трёхмерного тела. Из сравнения решений сделан вывод: наблюдается практически малая зависимость деформаций от формы области, занятой слоем (квадрат, круг, прямоугольник) и формы инструмента (цилиндр, куб, параллелепипед) . Выявлены общие закономерности, которые затем используются во второй части работы.

2. Предложена новая модель жёсткости упругого основания в процессах течения тонкого пластического слоя по поверхности инструмента, которая обладает явными преимуществами. Прежде всего, это то, что в этом случае линии тока известны (прямые, ортогональные контуру) и нет необходимости их находить из решения сложного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка. Рассчитаны параметры модели по предложенной методике, которые подчиняются определенным закономерностям. На их основе удалось выделить классы задач (форма области и форма инструмента), для которых эти параметры являются инвариантными по отношению к некоторым параметрам процесса.

3.Показано, что, начиная с определенных относительных размеров области течения и упругого тела, его с большой точностью можно аппроксимировать полупространством.

Публикации по теме диссертации:

1. Бодунов М.А., Бодунов Д.М., Коваленко П. В. Задача о течении пластического вещества в фиксированной области, имеющей форму равнобокой трапеции. Инструмент -

упругое полупространство // Известия МГТУ МАМИ. - М., 2007. - Вып.1. - С. 229-239.

Бодунов Д.М., Кийко И.А., Коваленко П.В. Течение тонкого пластического слоя по деформируемым поверхностям // Тезисы докладов научной конференции "Ломоносовские чтения". - М., изд-во Московского университета, 2007. - С. 35.

Коваленко П,В. К вопросу о пластическом течении материала по деформируемым поверхностям инструмента / / Международная молодёжная научная конференция «XXXIII Гагарияские чтения». Тезисы докладов. - М., МАТИ -РГТУ им. К.Э. Циолковского, 2007. - с. 16. Бодунов М.А., Бодунов Д.К., Коваленко П. В. Течение тонкого слоя пластического вещества по торцевой поверхности упругого цилиндра // Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тезисы докладов. - Тула, ТулГУ,

2007. - С. 116-117. »

Коваленко П.В., Бодунов К.А., Бодунов Д.М. Течение тонкого слоя пластического материала по торцевой поверхности упругого цилиндра // XIX Международная Интернет-ориентированная Конференция Молодых Учёных и Студентов по современным проблемам машиноведения -МИКМУС-2007. Тезисы докладов. - М., ММАШ РАН им. A.A. Благонравова, 2007. - С. 219.

Бодунов М.А., Бодунов Д.М., Коваленко П. В. Течение тонкого слоя идеально-пластического материала по торцевой поверхности упругого цилиндра. // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. - Тула, 2008. - Вып.1. - С. 47-57.

7. Бодунов Д.М., Кийко И.А., Коваленко П.В. Течение тонкого слоя пластического материала по торцу упругого цилиндра // Тезисы докладов научной конференции "Ломоносовские чтения". - М., изд-ео Московского университета, 2008. - С. 37.

8. Коваленко П.В., Бодунов М.А., Бодунов Д.М., Исаев

слоя по упруго-деформируемым поверхностям инструмента // Труды расширенного научного семинара по проблемам фундаментальной механики в теории обработки давлением. - М., МГТУ-«МАМИ», 2008. - С. 165-182.

9. Коваленко П.В., Бодунов М.А., Бодунов Д.М. Об одной модели течения тонкого слоя материала по поверхности упругого параллелепипеда // Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики» поев. 85-летию со дня рождения проф. Л.А. Толоконникова. Тезисы докладов. - Тула, ТулГУ, 2008. - С. 216-217.

10. Бодунов М.А., Бодунов Д.М., Коваленко П.В. Течение тонкого пластического слоя по грани упругого параллелепипеда // Труды III школы-семинара «Современные проблемы ресурса материалов и конструкций». - М., МГТУ-«МАМИ», 2009. - С. 166-176.

11. Кийко И.А., Бодунов М.А., Бодунов Д.М., Коваленко П.В. Течение пластического слоя по грани упругого параллелепипеда // Тезисы докладов научной конференции "Ломоносовские чтения". - М., изд-во Московского университета, 2009. - С. 36.

Изд. лиц. ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать 21.10.2009.

Формат бумаги 60x84 1/16- Бумага офсетная.

Усл. печ. л. Уч.-изд. л. 1Д

Тираж 100 экз. Заказ 021

Тульский государственный университет.

300600, г. Тула, просп. Ленина, 92. . .

Введение.

Глава 1. Постановка задач.

Глава 2. Решение типовых задач.

2.1. Инструмент - упругий цилиндр, форма слоя круг.

2.2. Инструмент - упругий параллелепипед с квадратным сечением, форма слоя - квадрат.

2.3. Инструмент - упругий параллелепипед с прямоугольным сечением, форма слоя - прямоугольник

2.4. Инструмент - упругий параллелепипед с прямоугольным сечением, форма слоя - круг.

2.5. Выводы.

Глава 3. Новое определение жёсткости инструмента.

Глава 4. Вычисление параметров модели для типовых задач.

4.1 Вычисление параметров модели для задачи о течении в круговой области по грани упругого цилиндра.

4.2 Вычисление параметров модели для задачи о течении в квадратной области по грани упругого параллелепипеда.

4.3 Вычисление параметров модели для задачи о течении в прямоугольной области по грани упругого параллелепипеда.

4.4 Вычисление параметров модели для задачи о течении в круговой области по грани упругого параллелепипеда.

4.5 Выводы.

Глава 5. Дополнительные задачи. Сравнение результатов

5.1 Решение задач и вычисление параметров модели . Инструмент - упругий параллелепипед с прямоугольным и квадратным сечением, форма слоя - квадрат и прямоугольник, неподобные грани инструмента.

5.2 Решение задач и вычисление параметров модели . Инструмент - упругое полупространство.

5.3 Выводы.

Одним из требований, предъявляемым к современной технологии, является повышение точности изготовления заготовок на первых, более дешёвых операциях в процессах обработки давлением, чтобы последующая, более дорогая механическая обработка была минимальной. Эта проблема актуальна при получении тонкостенных изделий заданной точности, поскольку существенное влияние на конечную геометрию детали оказывает деформируемость тела инструмента.

Технологические процессы обработки давлением, происходящие в форме течения тонкого слоя по рабочим поверхностям инструмента - это сложные термомеханические процессы: они связаны с большими деформациями первоначальной заготовки; происходят при повышенной температуре и ее градиентов; заметное влияние на процесс могут оказывать скорости деформаций и параметры внутренней структуры материала (например, процессы обработки давлением материалов, находящихся в состоянии сверхпластичности), а также силы инерции и т.д. Очевидно, математическая модель, строго описывающая такие процессы, будет системой сильно нелинейных и чрезвычайно сложных интегро-дифференциальных уравнений; исследовать ее аналитическими методами практически невозможно.

Процессы пластического течения в тонком слое металла обладают рядом особенностей, в частности, для них характерны высокие удельные давления, на порядок превышающие величины сдвиговых напряжений. Возникающие под их действием, а также вследствие конечной жёсткости инструмента, деформации, достигают величин, соизмеримых с толщиной обрабатываемой детали. А значит, неучёт этих деформаций при проектировании технологической оснастки может отрицательно сказаться на получении детали в точности заданной геометрии .

Исходя из вышесказанного, а также- ввиду актуальности исследований, проводимых в отмеченной области механики, настоящая работа имеет своей целью получение ряда численных решений тестовых и типовых задач течения тонкого пластического слоя по упруго-деформирумым поверхностям инструментов с привлечением современных специализированных программных средств; проведение широкого параметрического анализа этих решений; выделение классов однотипных процессов .

Как отмечалось выше, математическая постановка задачи о течении тонкого пластического слоя по поверхностям инструмента с учетом упругих деформаций приводит к системам сложных нелинейных связанных дифференциальных уравнений. Разработка математических моделей, способных с одной стороны более просто описать отмеченные явления, а с другой стать хорошим инструментом для точного и достоверного расчета технологических процессов, представляет собой актуальную задачу. Исходя из этого, одна из частей настоящей работы посвящена разработке модели упругого инструмента, где зависимость перемещения его рабочих поверхно-! стей от контактного давления представлена не в форме < функционала как ранее, а в форме функции. Такое упрощение, позволит получить ряд преимуществ: помимо существенного упрощения, некоторых теоретических выкладок такой подход' позволит приблизить решения задач течения к эффективному' инженерному использованию.

Истоки данной тематики исследований уходят к задаче о сжатии полосы из идеальнопластического материала между двумя сближающимися жёсткими плоскостями (задача Прандтля [94]). Позднее, в 1950-е годы Р. Хиллом рассматривались задачи прокатки с учётом деформирования валков в приближённой инженерной постановке [92].

В эти же годы (1954-55 гг.) А. А. Ильюшин разработал теорию течения тонких слоев металла по поверхностям тел инструмента [26-30] — блестящий пример глубокого и всестороннего анализа классической задачи JI. Прандтля о сжатии тонкой полосы и смелого обобщения свойств решения этой задачи на случай течения слоя по поверхностям сравнительно произвольной формы. Теория получила многочисленные приложения, подтверждения практикой обработки давлением (тонколистовая штамповка, прокатка и т. п.) и существенное развитие. В общем виде сформулирована задача о течении тонкого слоя по поверхностям упруго деформируемых тел инструментов [26,30], в некоторых частных случаях обоснован метод последовательных приближений как эффективный способ решения конкретных задач. Исследованы процессы течения тонких слоев из заметно сжимаемых материалов (типа спеченных порошков); на частных примерах изучена возможная неустойчивость течения и т. д.

Эксперименты по данной проблеме проводились Е.П. Ун-ксовым [89, 90], А.Д. Томленовым [84], И.Я. Тарновским [80,81], В.М. Сегалом [72], и другими учёными.

Однако существенный вклад в развитие теории течения в тонком пластическом слое внёс И.А. Кийко, начиная с работ которого [43-46,49-52] подробнейшим образом стало исследоваться влияние деформируемости тела инструмента на процесс течения. Им сформулирована задача течения в тонком пластическом слое в пространстве между двумя сближающимися поверхностями упруго-деформируемых тел, предложен вариационный метод решения задач [43], исследованы процессы течения в условиях теплообмена, когда имеется существенная разница в начальных температурах слоя и тел инструментов [4 9] . В работах П.М. Огибалова, И.А. Кийко и JI.K. Кийко [6б—68] рассчитаны с помощью метода песчаной аналогии контактные давления, общие усилия прессования ребристых пластин, а также проведена экспериментальная проверка теоретических результатов. В работе Ю.С. Арутюнова [1] для решения задач течения пластических слоев использован метод преобразования Лежандра, с помощью которого исследованы плоские и осесимметричные задачи, построены эпюры истинных контактных давлений. Следует отметить работы С. С. Григоряна [15], А. Н. Мохель и P.J1. Салганик [63], В.А. Кадымова [31-39], Г.Х. Соловьёва [38,78, 79], С.К. Быстрикова [10,11,36-38] и многих других авторов [2,1214,18-21,24,25,40-42,55,57,61,64,93].

Этот краткий обзор исследований в данной области механики показывает, насколько огромный потенциал идей заложен в общую теорию течения тонких слоев её основоположниками - А.А. Ильюшиным и И.А. Кийко. Множество этих научных идей нашли воплощение в работах их учеников и последователей, некоторые находятся в процессе разрешения, а иные - в силу таких факторов как, например, уровень развития вычислительной и экспериментальной техники и др. - ждут своего времени. Настоящая работа имеет своей целью продолжить ряд исследований по этой тематике - в частности, в ней осуществлен переход от модельного подхода, реализованного в работе Д.М. Бодунова [6], где в качестве контактирующих со слоем тел принимается полупространство, к задаче в более строгой постановке - течение тонкого пластического слоя происходит между двумя сближающимися друг с другом упругими трёхмерными телами.

Научная новизна.

Впервые решены новые задачи в точной постановке о течении тонкого пластического слоя по плоской поверхности упругого трёхмерного тела. Из сравнения решений сделан определенный вывод о некоторых закономерностях поведения этих упругих тел в зависимости от формы тел и формы тонкого слоя. Закономерность заключается в том, что наблюдается практически малая зависимость деформаций от формы области, занятой слоем (квадрат, круг, прямоугольник) и формы инструмента (цилиндр, куб, параллелепипед). Выявлены общие закономерности, которые затем используются во второй части работы, где сформулирована гипотеза о новой модели упругого основания и разработана методика идентификации параметров этой модели. Оказалось, что и здесь наблюдаются также определенные закономерности, на основе которых удалось выделить классы задач (форма области и форма инструмента) , для которых эти параметры являются инвариантными по отношению к некоторым параметрам процесса. Также показано, что, начиная с определенных относительных размеров области течения и упругого тела, его с очень большой точностью можно аппроксимировать полупространством. В этом случае решение сводится к простым квадратурам, вследствие того, что функция влияния известна .

Практическая ценность.

Разработанная в рамках диссертации методика, ориентированная на некоторые теоретические задачи и практические приложения, может быть непосредственно использована специалистами промышленных предприятий и НИИ при проектировании и расчёте новых современных технологических процессов и оснастки в технологии обработки давлением.

Публикации.

Всего теме диссертационного исследования посвящено 11 опубликованных работ автора. Основные научные результаты отражены в [8,9,56].

Апробация.

Работа велась в соответствии с заданием федерального агентства по образованию на проведение научных исследований по разработке комбинированных процессов обработки на основе принципов создания оптимальных методов обработки в машиностроении (гос. per. 01200903250) при поддержке грантов Российского Фонда Фундаментальных Исследований № 06-08-00391-а, № 09-08-00799-а.

Результаты работы обсуждались на следующих научных собраниях: международная молодёжная научная конференция «XXXIII Гагаринские чтения» (Москва, «МАТИ» - РГТУ им. К.Э. Циолковского, 3-7 апреля 2007 года); научная конференция «Ломоносовские чтения» (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 16-25 апреля 2007 года, 16-25 апреля 2008 года, 16-24 апреля 2009 года); международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, ТулГУ, 19-23 ноября 2007 года); ежегодная XIX Международная Интернет-ориентированная Конференция Молодых Учёных и Студентов по современным проблемам машиноведения - МИКМУС—2007 (Москва, ИМАШ РАН им. А.А. Благо-нравова, 5-7 декабря 2007 года); расширенный научный семинар по проблемам фундаментальной механики в теории обработки давлением (Москва, МГТУ - «МАМИ», 22-23 апреля 2008 года); международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики» поев. 85-летию со дня рождения проф. Л. А. Толоконникова (Тула, ТулГУ, 17-21 ноября 2008 года); III школа-семинар «Современные проблемы ресурса материалов и конструкций» (Москва, МГТУ - «МАМИ», 9-10 апреля 2009 года) ; научный семинар кафедры Математического моделирования ТулГу под ру-ков. проф. А.А. Маркина (Тула, ТулГУ, 30 июня 2009 года).

Считаю своим приятным долгом выразить глубокую признательность и благодарность заслуженному деятелю науки РФ, профессору МГУ им. М.В. Ломоносова Игорю Анатольевичу Кийко и моему научному руководителю, профессору МГТУ «МШИ» Михаилу Алексеевичу Бодунову - за постоянное внимание и помощь при выполнении работы.

5.3 ВЫВОДЫ

1. Начиная с некоторого характерного размера инструмента, а значит - всех размеров, наблюдается вполне ожидаемый результат. А именно, то, что параметры аппроксимации жёсткости инструмента по новой модели этого инструмента (то есть параметры, полученные на основе точного решения задачи) и параметры, полученные на основе решения для полупространства (а это тоже точное решение) - совпадают.

2. Этот результат подтверждает полученый значительно ранее аналитически [50] . Его суть заключается в том, что аналогичная закономерность наблюдается, если аппроксимировать инструмент упругим слоем. Начиная с некоторой толщины слоя порядка 1,5 характерного размера области течения, аппроксимация инструмента слоем и полупространством фактически совпадает.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Впервые решены новые задачи в точной постановке о течении тонкого пластического слоя по плоской грани упругого трёхмерного тела. Из сравнения решений сделан определенный вывод о некоторых закономерностях поведения этих упругих тел в зависимости от их формы и формы тонкого слоя. Закономерность заключается в том, что наблюдается практически малая зависимость деформаций от формы области, занятой слоем (квадрат, круг, прямоугольник) и формы инструмента (цилиндр, куб, параллелепипед) . Выявлены общие закономерности, которые затем используются во второй части работы.

2. Предложена новая модель жёсткости упругого основания в процессах течения тонкого пластического слоя по поверхности инструмента, которая хотя и является приближённой, имеет несомненные достоинства. Прежде всего, это то, что в этом случае линии тока известны (прямые, ортогональные контуру) и нет необходимости их находить из решения сложного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка. Предложена методика определения параметров модели, которая заключается в сопоставлении приближенного решения с точным. По выбранной методике рассчитаны параметры этой модели; оказалось, что и здесь также наблюдаются определенные закономерности, на основе которых удалось выделить классы задач (форма области и форма инструмента) , для которых эти параметры являются инвариантными по отношению к некоторым параметрам процесса.

3. Показано, что, начиная с определенных относительных размеров области течения и упругого тела, его с большой точностью можно аппроксимировать полупространством. Это также является существенным упрощением, так как в этом случае решение сводится к простым квадратурам, вследствие того, что функция влияния для полупространства известна.

1. Арутюнов Ю.С., Гонор А. Л. Осаживание тонких поковок произвольной формы в плане // Изв. АН ССР. Мех. и мат-е. 1963, № 1. - с. 166-171.

2. Безухов B.H. Об осадке пластического слоя некруговой формы в плане // Дис. канд. физ.-мат.н. М, 1955. - 78 с.

3. Безухов H.И. Теория упругости и пластичности // М., Гостехизд. 1953. - 420 с.

4. Бодунов Д.М. Методы теории пластичности в применении к расчету и проектированию технологических процессов обработки давлением // Труды моек. конф. молодых ученых «Научно-технические проблемы развития московского мегаполиса», М, ИМАШ РАН, 2003.

5. Бодунов Д.М. Осесимметричная задача об осадке пластического слоя // Сб. избр. тр. XXXIX Межд. НТК ААИ «Приоритеты развития отеч. автотракторостроения и подготовки инженерных и научных кадров», М., МГТУ, ISBN-5-94-099-020-7.

6. Бодунов Д.М. Течение тонкого слоя идеально-пластического материала по деформируемым поверхностям: Дис. канд. физ.-мат.н. М., МГТУ МАМИ, 2004. - 163 с.

7. Бодунов Д.М., Кийко И.А. Новая постановка задачи о течении тонкого слоя по деформируемым поверхностям // В сб. научн. тр. межд. научно-технической конф. «Прогрессивные технологии и оборудование кузнечно-штампового производства». М., МГТУ-МАМИ, 2 003.

8. Бодунов М.А., Бодунов Д.М., Коваленко П.В. Течение тонкого пластического слоя по грани упругого параллелепипеда // Тр. III шк.-сем. «Современные проблемы ресурса материалов и конструкций». М., МГТУ-МАМИ, 2009. - с. 166-176.

9. Бодунов М.А., Бодунов Д.М., Коваленко П.В. Течение тонкого слоя идеально-пластического материала по торцевой поверхности упругого цилиндра // Известия ТулГУ, 2008.

10. Быстриков С.К. Вывод точного дифференциального уравнения растекания пластического слоя между сближающимися упруго-деформируемыми по Винклеру плоскостями и его исследование // Изв. ТулГУ. Сер. Матем. Мех. Ин-форм., 2006, т. 12, в.1. с. 2.

11. Быстриков С.К. Исследование некоторых задач о растекании тонкого пластического слоя по поверхностям деформируемых упругих тел: Автореф. дис. канд. физ.-мат.н., М., МГТУ МАМИ, 2006.

12. Георгиевский Д.В. Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел // УРСС, М., 1998.

13. Гордон В.А., Тинякова Е.В., Шоркин B.C. О пластическом поведении материала в поверхностном слое твердого тела // Исслед. в обл. теории, технол. и обор. ОМД, Орлов.ГТУ, 1998. с. 150-153.

14. Григорьев И.П., Ивлев Д. Д. О сдавливании круглого в плане идеальнопластического слоя шероховатыми плитами //Изв. РАН., Мех. тверд, тела. 2000, № 1. с. 129-140.

15. Григорян С.С. Об одной задаче JI. Прандтля и теории течения пластического вещества по поверхностям // ДАН СССР. 1981, т.257, № 5. с. 1075-1077.

16. Губкин С.И. Пластическая деформация металлов // м., Металлургизд. I960. - 190 с.

17. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики // Изд. Наука, М., 1970. 664 с.

18. Дмитриев A.M., Воронцов A. JI. Определение с учетом упругой деформации матрицы технологических параметров штамповки выдавливанием // Весты. МГТУ, Сер. ма-шиностр., 2002, № 2. с. 7 6-93.

19. Друянов Б.А. О применимости жесткопластического анализа к некоторым технологическим задачам // Изв. АН СССР, Мех. тв. Тела. 1971, № 3. - с. 179-183.

20. Ершов J1.B. О приближенном решении осесимметричных упруго пластических задач методом малого параметра // Пробл. мех. деф. тв. тел и горных пород. Сб. статей к 70-летию Ершова JI.B., 2002.

21. Ершов J1.B., Ивлев Д.Д., Романов А. Д. Об обобщениях решения JI. Прандтля о сжатии пластического слоя шероховатыми плитами // Сборн. «Соврем, пробл. мех. и авиации». М.,1962. - с. 137-144.

22. Зубчанинов В. Г. Математическая теория пластичности // Тверь, Изд-во ТГТУ, 2002. 300 с.

23. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности // М., Наука. 1966. - 231 с.

24. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю., Максимова JT.A. О свойствах течений изотропной среды // Докл. РАН. 2000, 375, № 2. с. 191-194.

25. Ивлев Д.Д., Максимова JI. А. О плоских течениях идеально жесткопластической среды // Докл. РАН, 2000, 370, № 1. с. 43-45.

26. Ильюшин А. А. Вопросы теории течения пластического вещества по поверхностям // Прикл. матем. и мех. -1954, т. 18, № 3. с. 265-288.

27. Ильюшин А.А. Пластичность // Изд. АН СССР, М., 19 63.- 376 с.

28. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды // М., МГУ -1978. 288 с.

29. Ильюшин А.А. Некоторые вопросы теории пластического течения // Изв. АН СССР. 1958, № 2. с. 64-8 6.

30. Ильюшин А.А. Полная пластичность в процессах течения между жесткими поверхностями, аналогия с песчаной насыпью и некоторые приложения // Прикл. матем. и мех. 1955, т. 19, № 6. - с. 693-713.

31. Кадымов В. А. Граничные уравнения теории обработки металлов давлением // Деп. в ВИНИТИ АН СССР. № 8284- В88. 18 с.

32. Кадымов В.А. К решению задачи JI. Прандтля об осадке полосы из идеально-пластического материала // В сб. «Трехмерные зад. мех-ки структ.-неодн. сред». Воронеж, 1991. с. 107-114.

33. Кадымов В.А. Некоторые точные решения задач теории течения пластического вещества // В. сб. «Некот. вопр. матем. и механ.» М , МГУ - 1981. - с. 93.

34. Кадымов В.А. Нестационарные задачи течений в тонком пластическом слое // Дисс. докт. физ.-мат. наук. -Баку, Ин-т математики и механики. 1994. - 226 с.

35. Кадымов В. А. Расчет пластических течений в тонком слое металла // Teorijska i primenjena mechanika (Белград). 1987, № 13. - с. 55-63.

36. Кадымов В.А., Быстриков С.К. Некоторые новые решения нестационарных задач растекания пластического слоя по деформируемым поверхностям // Изв. ТулГУ. Сер. Матем. Мех. Информ., 2006, т. 11, в.2. с.54-60.

37. Кадымов В.А., Быстриков С.К. Обобщения постановок краевых задач теории течения тонких пластических слоев и новые решения // Упругость и неупругость. -М., URSS, 2006. С. 153-160.

38. Кадымов В.А., Соловьёв Г.Х., Быстриков С.К. О растекании пластического слоя по поверхностям, упругая податливость которых описывается моделью винклеров-ского основания // Тез. докл. конф. «Ломоносовские чтения». МГУ им. М.В. Ломоносова, 2005.

39. Кадымов В.А., Чулафич 3. Метод и точные решения задач течения в тонком слое металла // Изв. АН Азерб. ССР. 1983, № 3. - с.50-55.

40. Кальменев А.А., Лукашкин Н.Д. Состояние теории расчета давления и усилия при холодной тонколистовой прокатке // Сталь., 2001., № 11. с. 44-47.

41. Капланова Е.В. Давление металла на валки при холодной круговой прокатке тонких дисков // Захист металлург1чних машин вд.д поломок. 2002., № 6. с. 61-67.

42. Качанов Л.М. Основы теории пластичности // М., Наука. 1969. - 420 с.

43. Кийко И. А. Вариационный принцип в задачах течения тонкого слоя пластического вещества // ДАН СССР. -1964, т. 157, № 3. с. 551-553.

44. Кийко И.А. Теория пластического течения // М., МГУ -1975. 75 с.

45. Кийко И.А. Точное решение одной задачи пластического течения в тонком слое по упругим поверхностям // ДАН СССР. 1965, т. 161, № 1. - с. 40-42.

46. Кийко И.А. К теории пластического течения в тонком слое по деформируемым поверхностям // Изв. АН СССР, Мех. тв. тела. 1966, № 5. - с. 123-126.

47. Кийко И.А. Научное наследие А.А. Ильюшина // Упругость и неупругость. М., Изд-во Моск. Унив., 2001. - с. 17-31.

48. Кийко И.А. Теория вязкопластических течений // Упругость и неупругость. М., URSS, 2006. - с. 12-26.

49. Кийко И. А. Теория пластического течения в тонком слое металла // Научн основы прогресс, техники и технологии. М., Машин-е, 1985. - с. 102-133.

50. Кийко И. А. Теория пластического течения в тонком слое металла. М.: Инст. мех. МГУ, 1971. - 66 с.

51. Кийко И.А. Теория пластического течения. М. : Изд-во МГУ, 1978. с. 50-57.

52. Кийко И.А. Течение тонкого слоя пластического материала по упруго-деформируемым поверхностям // Инжен. журн. 1965, т. 5, вып. 2. - с. 372-375.

53. Кийко И.А., Кадымов В. А. Обобщение задачи J1. Прандтля о сжатии полосы // Вестник Моск. ун-та, Сер. Математика. Механика, 2003, № 4. с. 50-56.

54. Кийко И.А., Морозов Н.А. Методы теории пластичности в ОМД // Сб. Пластическая деформация легких и спец. сплавов, М., Металлургия, 1971.

55. Клюшников В.Д. Плоское установившееся течение жестко-пластического материала // Докл. АН СССР. 1988, 303, № 4. - с. 815-817.

56. Козлова О.В. Накопление деформаций при осесимметрич-ном пластическом течении // Дальневост. мат. школа-семинар им. ак. Золотова Е.В., Владивосток, 2002. -с. 79-80.

57. Колмогоров B.JI. Механика обработки металлов давлением // Изд. УрГТУ-УПИ, Екатеринбург, 2001.

58. Костарев И.В., Баев Б.А. Использование положений теории течения тонкого пластического слоя для проектирования технологических процессов // Технология легких сплавов. 1979, № 1. - с. 47-50.

59. Курант Р. Уравнения с частными производными // М., Мир. 1964. - 830 с.

60. Ломакин Е.В. Пластическое течение дилатирующей среды в условиях плоской деформации // Изв. РАН, Мех. тверд, тела, 2000, № 6. с. 58-68.

61. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести // М., Машин-е, 1975. 400 с.

62. Мохель А.Н., Салганик P.J1. Тонкий идеальнопластичный слой с произвольным контуром, сжимаемый между жесткими плитами // Докл. АН СССР 1987, 2 93, № 4. - с. 809-813.

63. Мясищев А.А. Решение в рядах задачи о сжатии жестко-пластического слоя шероховатыми плитами // Изв. вузов. Черн. металл-я. 1986, № 1. - с. 81-103.

64. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел // М., Ил., 1954. 647 с.

65. Огибалов П.М., Кийко И. А. задачи пластических течений // Инжен. журн. 1961, т.1, вып. 3. - с. 181184.

66. Огибалов П.М., Кийко И.А. Определение усилий штамповки и прессования некоторых элементов конструкций // В кн. «Расчеты процессов пласт, форм-я мет.», М., Мир, 1962. с. 73-77.

67. Огибалов П.М., Кийко И.А., Кийко JI.K. Растекание тонкого пластического слоя // Прикл. механика. 1988, т. 24, № 10. с. 88-94.

68. Огородников В.А. Оценка деформируемости металлов при обработке давлением // Кузнечно-штамповое производство, 1977, з.З. с. 15-18.

69. Остсемин А. А. Обобщение решения задачи Прандтля о сжатии пластического слоя двумя шероховатыми плитами // Пробл. прочн., 1991, № 12. с. 70-74.

70. Поздеев А.А., Няшин Ю.И., Трусов П. В. Большие упру-гопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. М., Наука. - 1986.

71. Седов Л.И. Методы подобия и размерностей в механике // М., Наука, 1967. 468 с.

72. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т. 1 и 2 // М., Наука., 1970. 536 с. и 568 с.

73. Смиров-Аляев Г.А., Розенберг В.М. Теория пластических деформаций металлов // М.-Л., Машгиз., 1956. -367 с.

74. Соколов Л. Д. Сопротивление материалов пластической деформации // М., Метал-я. 1963. - 284с.

75. Соколовский В.В. Теория пластичности // М., Высшая школа, 1969. 608 с.

76. Соловьёв Г.Х. К постановке и решению нестационарной задачи растекания пластического слоя между упруго-деформируемыми поверхностями // Рук. деп. в ВИНИТИ РАН №1574-В2004 18 С.

77. Соловьёв Г.Х. Нестационарные задачи течения тонкого пластического слоя по деформируемым поверхностям: Дис. канд. физ.-мат.н., М., МГТУ МАМИ, 2 005. -104с.

78. Тарновский И.Я., Леванов А.Н., Посеваткин М.И. Контактные напряжения при пластической деформации // М., Металл-я. 1966. - 279 с.

79. Тарновский И.Я., Поздеев А. А. и др. Теория обработки металлов давлением // М., Металлургизд. 1963. -672 с.

80. Толоконников Л.А., Маркин А. А. Определяющие соотношения при конечных деформациях // Пробл. мех. деф. тв. тела, Калинин. 1986. - с. 49-57.

81. Томленов А. Д. Теория пластического деформирования металлов // М., Металл-я. 1972. - 408 с.

82. Томсен Э., Янг К., Кобояши Ш. Механика пластических деформаций при обработке металлов // М., Машин-е. 1969. 503 с.

83. Трикоми Ф. Интегральные уравнения // Изд. ИЛ, М., 1960. 300 с.

84. Тутышкин Н.Д. Осадка полосы между плоскопараллельными плитами // Изв. вузов. Машин-е. 1982, № 5. с. 33-37.

85. Тутышкин Н.Д. Осесимметричное сжатие тонкослойного пластического материала // В сб. «Иссл. в обл. пласт, и обраб. мет. давлением». Тула, 1984. - с. 80-85.

86. Унксов Е.П. Инженерные методы расчета усилий при обработке металла давлением // М., Машгиз. 1955. 280с.

87. Унксов Е.П., Джонсон У., Колмогоров В. Л. и др. Теория пластических деформаций металлов // М., Машине. 1969. - 503 с.

88. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления // Изд. Наука, 1969, т. 2. с. 498-502.

89. Хилл Р. Математическая теория пластичности // М., Гостехиздат. 1956. - 407 с.

90. Kachanov L.M. Foundations of the theory of plasticity // Amsterdam 1971.

91. Prandtl L. Anwendungsbeispiele zu einem Henckyschen satz uberdas plastische Gleichgewicht //ZAMM/ 1923, № 3, p. 401-406.