Предельное состояние тонкого пластически анизотропного слоя, сжимаемого сближающимися гранями упругих параллелепипедов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

(......ИМ-'

Бородин Иван Валентинович

ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ ТОНКОГО ПЛАСТИЧЕСКИ АНИЗОТРОПНОГО СЛОЯ, СЖИМАЕМОГО СБЛИЖАЮЩИМИСЯ ГРАНЯМИ УПРУГИХ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДОВ

Специальность 01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 5 АПР 2015

005567202 туда_2015

005567202

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ)».

Научный руководитель: кандидат технических наук, доцент

Бодунов Михаил Алексеевич

Официальные оппоненты: Кирсанов Михаил Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский университет «МЭИ», профессор кафедры «Теоретическая механика и мехатроника»

Кузнецов Евгений Евгеньевич кандидат физико-математических наук, ФГБОУ ВПО «Тульский Государственный университет», доцент кафедры «Строительство, строительные материалы и конструкции»

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова» (НИИ Механики)

Защита диссертации состоится 13 мая 2015 г. в 16— часов на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 при ФГБОУ ВПО «Тульский Государственный университет» по адресу: 300012, г. Тула, пр. Ленина 92. (12-105).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет». http://tsu.tula.ru/science/dissertation/diss-212-271-02/borodin-iv/

Автореферат разослан 31 марта 2015 г. Ученый секретарь

диссертационного совета .-KÍ Толоконников Лев Алексеевич

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В современной технологии изготовления деталей, в особенности тонкостенных, широко распространены процессы обработки давлением, где сама деталь представляет собой относительно тонкую заготовку. В процессе обработки тонкостенных деталей в слое развиваются высокие давления, под действием которых могут возникать упругие деформации инструментов. Неучет таких деформаций в ряде случаев может оказаться неоправданным, т.к. они соизмеримы с толщиной обрабатываемой детали.

Задачи подобного вида рассматривались, однако интересы исследователей в большей степени касались случаев, описывающих процессы обработки изотропных материалов, изотропного трения. Последнее время значительный интерес вызывают формулировки и исследования подобных задач с учетом анизотропии материала и контактного трения.

Цель работы. Постановка и численное исследование задачи о предельном состоянии тонкого слоя пластически анизотропного материала, сжимаемого сближающимися поверхности упруго-деформируемых параллелепипедов и проведение широкого параметрического анализа решения; анализ напряженно-деформированного состояния в теле инструмента.

Научная новизна. В рамках теории пластического течения впервые сформулированы и исследованы задачи о предельном состоянии тонкого пластически анизотропного слоя, сжимаемого сближающимися поверхностями упругих тел. Рассмотрены случаи прямоугольной и эллиптической формы слоя. Проведен подробный параметрический анализ моделей и сделана оценка влияния параметра анизотропии на скорость сходимости метода последовательных приближений.

Теоретическая ценность. Разработаны новые математические модели предельного состояния слоя пластически анизотропного материала, сжимаемого упругими инструментами; предложен эффективный метод последовательных приближений для решения сформулированных задач; показана фактическая сходимость метода последовательных приближений.

Практическая значимость. Результаты диссертации представляют интерес для моделирования некоторых технологических процессов обработки давлением. Разработанная в рамках диссертации методика может быть непосредственно использована специалистами промышленных предприятий и НИИ при проектировании и расчёте новых современных технологических процессов и оснастки в технологии обработки давлением.

Достоверность получеппых результатов обеспечивается использованием фундаментальных положений механики деформируемого твердого тела, а так-

же сравнением полученных численных решений с имеющимися решениями для случая изотропного материала.

Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались: на научных конференциях «Ломоносовские чтения» (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 15-24 апреля 2013 года и 14-23 апреля 2014 года); на международных научных конференциях «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, Тульский государственный университет, 16-20 сентября 2013 года, 17-21 сентября 2012 года, 15-19 сентября 2014 года); на аспирантском семинаре кафедры теории упругости Московского государственного университета (г. Москва, 12 ноября 2014 года); на научном семинаре кафедры Математического моделирования ТулГу под руков. проф. A.A. Маркина (Тула, ТулГУ, 15 января 2015 года).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, 3 из которых в изданиях, рекомендованных ВАК, 4 — в тезисах докладов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех основных разделов, заключения и списка литературы. Полный объем диссертации 92 страницы текста с 57 рисунками и 8 таблицами. Список литературы содержит 87 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится краткий анализ работ других исследователей по данной проблеме, формулируется цель, ставятся задачи работы, аргументируется научная новизна и практическая значимость представляемой работы.

В первой главе приведена постановка задачи о предельном состоянии тонкого слоя пластически анизотропного материала, сжимаемого сближающимися поверхностями упругих тел инструментов (см. Рис.1), моделируемых в одном случае как полупространство и в другом случае как параллелепипед, в рамках известной теории течения в тонком слое A.A. Ильюшина — И.А. Кийко.

В рамках данной работы не затрагивается кинематика; рассматривается момент времени Аt, когда весь слой

Рис. 1: Общая схема процесса

полностью перешел в состояние пластичности, а граница контура Г практически не изменилась.

Материал слоя предполагается анизотропным, конкретно — ортотропным. Свойство анизотропии материала моделируется способом, предложенным И.А. Кийко — как отношение пределов текучести материала вдоль главных осей. Трение принимается изотропным.

Задача решается в предположении, что оба инструмента обладают одинаковыми физическими свойствами и геометрией. В этом случае допускается, что при равномерном сближении поверхностей инструментов средняя плоскость ОХ У (см. Рис. 1) остается неподвижной и неизменной. Вследствие симметрии процесса, рассматривается упрощенная задача: тонкий слой пластически-анизотропного материала расположен на упругом теле инструмента, а на верхней границе слоя (г = Но) выполнены условия непроницаемости.

Нахождение неизвестной толщины слоя и распределения давления в нем при сжатии параллельными поверхностями упруго-деформируемых тел представляется основной целью исследования.

Основные уравнения, входящие в систему, связывающую давление в тонком слое и упругие перемещения контактных поверхностей тел инструмента, учитывая анизотропию свойств материала слоя в безразмерных переменных имеют следующий вид:

fdPY ni(dPy 4/íy 1

Ы =зЫ w (i)

w{x,y)=S0 JJ H(x,y,x',y')dx'dy' + дг JJ H(x, y, x\ y')P(x', y') dx'dy', (2) s s

SXaJ e 25XtJ2 c 1 - fj2 где do = ——, oí = —~2—, o =-—--характеризует размерность функции

fifí IIq 7Г£/

жесткости, анизотропия свойств материала слоя фигурирует параметром /3 = тн

Граничные условия приняты в форме свободного растекания. Если контур Г свободен от внешних воздействий (сгхх = ауу = 0), то Р(х о, у а) = as. Если граница является пазом (так что в него может свободно втекать металл слоя), ширина паза порядка или меньше толщины слоя ha, то приближённым условием свободного втекания будет Р[х0, у0) = 1as. В общем случае: Р(х0, у0) = Xas.

Величина w — функция прогиба — находится аналитически, при моделировании инструмента упругим полупространством, или численно, решая совместно задачу теории упругости и задачу предельного состояния. В случае, когда

инструмент моделируется полупространством, принимая функцию жесткости

Н(х, у, х', у') = из решения задачи Буссинеска, для ги

уЧх - х'У + (у - у')2 справедливо (2). Во втором случае нахождение функции жесткости Н для упругого параллелепипеда представляет собой самостоятельную трудную задачу, поэтому для нахождения V) ставится задача теории упругости для тел инструментов.

В этом случае ги определяется не аналитически, а из решения задачи теории упругости и представляется в аналитическом виде путем аппроксимации перемещений точек верхней грани параллелепипеда. Фактическое решение задачи теории упругости в примерах, рассмотренных в настоящей работе, получено с использованием вычислительного комплекса АЫЗУБ.

Сформулированные задачи решаются методом последовательных приближений. Численные решения представлены для слоя в форме прямоугольника с со-2 3 2 3

отношением сторон у и ^ и в форме эллипса с соотношением полуосей — и -

для значений параметра В = 0.7... 1.3 и — = — ... —.

I 10 40

Во второй главе представлено численное решение задачи о предельном состоянии тонкого пластически анизотропного слоя на границе упругого полупространства. Как было отмечено выше, каждая итерация метода приближений приводит к необходимости перехода от одной системы координат к другой. Таким образом, задача для определения давления решается в плоскости Охт/, а задача по определению прогибов в плоскости Оху.

Задача исследована для случаев формы слоя в виде прямоугольника с различным соотношением сторон и эллипса (см. рис.2). При решении методом после-

Рис. 2: Геометрия процесса для полупространства

довательных приближений считается, что на начальном этапе тела инструмента абсолютно жёсткие, следовательно, = 0 в «нулевом» приближении.

Алгоритм нахождения неизвестных функций Р(х, у) и м}{х, у) для области слоя прямоугольной формы методом последовательных приближений следующий:

1.г, = /3-

У

дР __ 1 2 дР _ 1 2

а — Т1 , > — Р

дх Ь 1 + и>' дгI Ь1 + и>

3. Р(К\х0,Г10)=0

4. у = Рп

Г (К), \ , П МН с /7 Р(к){х\у')<1х'(1у'

5 ^ =и ж^Ь)+/у н1у%о

Я 5

где К = 1... п - номер итерации метода последовательных приближений, ■ш^\х,у{х)) = 0.

Для эллиптической области алгоритм аналогичный, за исключением пункта 2:

¿х

11

л \

а), = 0.7,^1

// /

-08 -06 -0.4 -О

^де пр^олржйние

"'-"•7-Го

Рис. 3: Сечение ю(х,0) для прямоугольной области

а) /3 = 1.1, у = — ' I 20

Рис. 4: Сечение и/(х,0) для эллиптической области

Представленные результаты (см. рис. 3-4) показывают, что для большинства значений параметров достаточно 4-5 итерации метода последовательных приближений, чтобы считать решение достаточно точным.

В третьей главе рассматриваются задачи предельного состояния тонкого слоя пластически анизотропного материала, сжимаемого упругими инструментами, моделируемыми параллелепипедами.

б) Графическая интерпретация результата решения задачи теории а) Моделирование нагружения упругости

упругого параллелепипеда на первом шаге итерационного процесса

Рис. 5: Решение совместной задачи теории упругости и задачи о предельном

состоянии

—2-е приближение. 2-е приближение.

= 1.1 1

" То

К одной грани приложено давление со стороны слоя, занимающего область прямоугольной или эллиптической формы, вторая — свободно оперта на жесткое

основание, боковая поверхность — свободная. Граничные условия приняты в форме проскальзывания.

Аналогично, как и в случае, когда инструмент моделируется полупространством, необходимо определить давление в нулевом приближении Р^ в системе Охт). Мы так же будем считать, что на начальном этапе тела инструмента абсолютно жёсткие ги = 0. Следовательно, давление в нулевом приближении моделируется следующим образом (см. рис.5а).

Определив функцию давления Р(х, у) (у = /Зг]) в первом приближении, ги, начиная со второй итерации, вычисляется следующим образом: так как аналитический вид функции ги неизвестен, то после решения задачи теории упругости в Ашув выбираются все точки верхней грани параллелепипеда, в каждой из которых берется значение перемещения Де = {х — х0, У — Уо, 2 — го} (см. Рис. 56) и аппроксимируются гладкой поверхностью.

Алгоритм нахождения неизвестных функций Р(х, у) и ю(х, у) для задачи предельного состояния тонкого слоя на грани упруго-деформируемого параллелепипеда методом последовательных приближений следующий:

1.7? = /3-У

9 тт (л дР 1 2 дР 12

I. Для прямоугольной области: —— =--: —— = р--

ах Ь1 + ги ог\ Ь 1+'ш

Хс

Для эллиптической области: Р(кНх,г]) = VI + к2 / -... -—-¿х

3 I + ги(к~1){х,г](х))

3. Р№(%ш) = 0

4. у = 0Г1

5. Определение упругих перемещений из решения задачи теории упругости

п

6. ь№(х>у)= ^ а^хУ

где К = 1... п - номер итерации метода последовательных приближений, «;№>(*, у(х))=0.

На Рис. 6 показано сравнение результатов решения для функции прогиба при различных значениях параметра анизотропии /3 = 0.7, 1.25.

Как видно из результатов (6), при относительной толщине у = ^ параметр анизотропии практически не оказывает влияния на скорость сходимости метода

а) р = 0.7 б) Р = 1.25

Рис. 7: Сечение w(x, 0) для прямоугольной области с параметрами у = —,

I 30

а 1 А = 2

приближений. Однако, для более тонкого слоя влияние параметра анизотропии оказывается существенным, что показано на Рис. 3^.

Степень влияния относительной толщины слоя на процесс сходимости пока-

D * "7 k 11

зана на Рис. 6-7 при различных значениях — = — ... —.

i 10 40

Как показывают результаты (см. Рис. 8), значение относительной толщины слоя оказывают влияние на скорость сходимости метода последовательных при-

/3 = 1.25 h _ i Т ~ 30

t- i

А~ 1

--1 -е приближение

.........3-е приближение

---4-е прибгижеиие

11 -е приближение. ■2-е приближение. 3-е приближение.

Рис. 8: Сечение и>(х, 0) для прямоугольной области с параметрами — = —,

а _ I 30

А ~ 2

Ь 1

олижении. Для значения — = — достоверное решение получаем 3 шаге, а для к 1

значения — = — необходимо проделать 6-7 итераций.

Ниже представлено поведение функции при различных параметрах анизо-

к к 1 тропии ¡3 и относительной толщины слоя у (см. Рис. 9). Так для — = — 3-е

к

приближение уже можно считать достоверным, а для — = — достоверным можно считать 8-е.

Рис.9 демонстрирует следующий научный результат: значение параметра

анизотропии практически не влияет на результат решения, если относительная к 1

толщина слоя — ^ —, и напротив, если слой является относительно тонким, то значение ¡3 оказывает существенное влияние на конечный результат.

Решение задачи теории упругости методом конечного элемента сопровождается значительным количеством результатов различного характера; в частности имеется полная картина о компонентах тензоров напряжений и перемещений выбранного элемента. В работе проведен анализ напряженно-деформированного состояния тела инструмента для различных решений, полученных при конкретных значениях параметров модели. Для одного из полученных решений задачи о предельном состоянии слоя на грани параллелепипеда, со следующими пара-

-1 -е приближение

-2-е приближение

......3-е приближение

---4-е приближение

-5 -е приближение

/3 = 1.25, 7 = П) (0 =

= 0.7, !} =

1

II)

а _ 1

--Анизотропный материал

—— - Изотропный материал

_ 1 ос X

_1 1

-07 1

/3 = 0.7, 1

Рис. 9: Сечение функции прогиба ш в 5-10-ом приближениях для различных

параметров

метрами:

1. Для инструмента: В = 1, Л = 2В, Я = 4В

2. Для слоя: а = ^-А, Ъ = \в, у = ¿г, /3=1.25

^ I, /А)

ниже представлен анализ напряженно-деформированного состояния в теле инструмента. Считая достаточным количество итераций метода последовательных приближений, используем полученные решения для ги и Р.

Распределение нормальных напряжений агх в инструменте изображено на (Рис. 11 а). Как видно из графика, максимальные нормальные напряжения сосредоточены не на поверхности параллелепипеда, а внутри на некотором углублении от поверхности.

Если рассматривать линию, соответствующую слою на поверхности г = 0, то четко просматриваются зона нагружения и зона свободная от нагрузки: для данной задачи это интервалы [-1,1] и [-2, -1) и (1,2] соответственно. Также при я = О картина хорошо согласуется с состоянием в слое: распределение напряжения на границе параллелепипеда практически совпадает с распределением давления со стороны слоя.

Рис. 10: Анализ напряженно-деформированного состояния упругого параллелепипеда (инструмента)

Рис. 11

а) ^-компонента нормальных напряжений в сечении плоскостью

у = 0

б) Интенсивность напряжений по Р. Мизесу в центральном стержне параллелепипеда: х = 0, у = 0, —Н^г^О для разных высот

Согласно условию пластичности Мизеса, пластические деформации возникают тогда, когда интенсивность напряжений достигает предела текучести материала аа. Характер распределения интенсивности напряжений по толщине параллелепипеда в области нагружения демонстрирует график на Рис. 116. Данный результат хорошо согласуется с принципом Сен-Венана; максимальная интенсивность напряжений сосредоточена под поверхностью в области нагружения и быстро уменьшается после некоторого значения по мере удаления от зоны действия давления.

Для задачи с параметрами (3) были вычислены тензоры напряжений в узлах сетки параллелепипеда и в каждой этой точке была найдена интенсивность напряжений. В результате сравнения, оказалось, что максимальные значения интенсивности сосредоточены в «центральном стержне» параллелепипеда (см. Рис. 10): совокупность точек с координатами х = 0, у = 0, 2 = —Н...0 (см. Рис.116). Было исследовано влияние высоты инструмента Н на интенсивность напряжений. Результат представлен на Рис. 116.

В заключении приведены основные результаты работы:

1. Разработана новая математическая модель предельного состояния тонкого слоя пластически анизотропного материала на грани упругого параллелепипеда; для исследования полученной математической модели предложен и фактически реализован метод последовательных приближений, установлена область параметров, для которых численно показана быстрая сходимость метода;

2. Исследован класс задач о предельном состоянии пластически анизотропного материала слоя в форме прямоугольника и эллипса на границе упругого полупространства и на грани упруго-деформируемого параллелепипеда; установлены границы параметров, которые обеспечивают быструю сходимость метода последовательных приближений;

3. Впервые в задачах течения тонкого слоя по грани упругого инструмента, моделируемого параллелепипедом, поставлена и исследована задача о напряженно-деформированном состоянии в теле самого инструмента.

Публикации автора по теме диссертации

1. Бородин И.В., Бодунов М.А., Бодунов Д.М. Течение тонкого пластически ани-зотропного слоя по поверхностям упругих тел // Тезисы доклада научной кон-ференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». — 2013. — С. 72.

2. Бородин И.В., Бодунов Д.М., Бодунов М.А. Течение тонкого слоя пластически анизотропного материала по поверхности упругого полупространства // Известия МГТУ «МАМИ». - 2013. - Т. 3, № 1(15). - С. 13-18.

3. Бородин И.В., Бодунов Д.М., Бодунов М.А. О напряженно-деформированном состоянии инструмента в процессах течения тонкого пластического слоя // Известия МГТУ «МАМИ». — 2014. — № 4(22). — С. 11-15.

4. Бородин И.В., Бодунов М.А., Бодунов Д.М. Течение тонкого слоя пластически анизотропного материала по грани упругого параллелепипеда // Тезисы доклада научной конференции «Современные проблемы математики, механи-ки, информатики». — 2014. — С. 172.

5. Бородин И.В., Бодунов Д.М., Кийко И.А. Течение тонкого пластически анизо-тропного слоя по поверхностям упругих тел // Тезисы доклада научной кон-ференции «Ломоносовские чтения». — 2013. — С. 69.

6. Бородин И.В., Бодунов М.А., Кийко Л.К. Течение тонкого слоя пластически анизотропного материала по грани упругого параллелепипеда // Известия МГ-ТУ «МАМИ». - 2014. - № 3(21). - С. 22-29.

7. Бородин И.В., Бодунов Д.М., Кийко И.А. Течение тонкого слоя пластически анизотропного материала по грани упругого параллелепипеда // Тезисы доклада научной конференции «Ломоносовские чтения». — 2014. — С. 72.

Подписано в печать: 16.03.2015 Объем: 0,8 п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 363 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, пр-т Вернадского, д. 39 (495) 363-78-90; www.reglet.ru