Исследование некоторых задач о растекании тонкого пластического слоя по поверхностям деформируемых упругих тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

539 374

--"оаоцд

Быстриков Сергей Константинович

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ О РАСТЕКАНИИ ТОНКОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ ПО ПОВЕРХНОСТЯМ ДЕФОРМИРУЕМЫХ

УПРУГИХ ТЕЛ

01 02.04 механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПГНИ КАНДИДАТА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

Москва 2006

003069808

Работа выполнена на кафедре «Высшая математика» Московского государственного технического университета «МАМИ» при поддержке гранта РФФИ № 06-08-00391 а

Научный руководитель-

доктор физико-математических наук, профессор Кадымов Вагид Ахмедович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических

наук, профессор

Бондарь Валентин Степанович

доктор технических наук, профессор Тутышкин Николай Дмитриевич

Ведущая организация

НИИ механики МГУ им М В Ломоносова

Защита состоится «25~» 2007 г в часов на

заседании диссертационного совета Д 212 133 04 при Московском институте электроники и математики (Технический университет) по адресу 115054, Москва, ул М Пионерская, д 12-18/4-6, стр 1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского института электроники и математики

Автореферат разослан «2,Ъ г

Ученый секретарь

диссертационного совета ^ /Р В.М Яганов

I/

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Постоянно возрастающие требования к точности и качеству продукции машиностроения приводят к необходимости совершенствования существующих и создания новых , прогрессивных подходов и методов расчета и проектирования технологических задач.

В настоящее время в машиностроение интенсивно внедряются новые технологические процессы , проходящие при комбинированных термосиловых воздействиях и скоростных режимах (сложное нагружение,

сверхпластичность) , находят широкое применение металлы и сплавы с заметной объемной сжимаемостью(порошковые материалы),проектируются технологические процессы, использующие специфику выбора рабочих поверхностей тел инструмента (как например , поверхности с напылением либо с наплавкой) с целью обеспечения заданных приконтактных потоков течения материала обработки, лучшего заполнения труднодоступных мест под штампами С другой стороны , начинают внедряться технологические процессы обработки давлением, проходящие в режиме удержания промежуточных смазок на контакте в течении одной стадии обработки(пластогидродимамический эффект), что заметно влияет на ход физического процесса. Таким образом, проблема разработки и совершенствования математических моделей и их методов расчета технологических процессов в машиностроении,

одновременно включающая различные сопряженные факторы ( такие как пластичность материала обработки , деформируемость тел инструмента, температурные и силовые режимы нагружения , условия на поверхностях контакта и др.; является актуальной.

Цель диссертационной работы состоит в применении уточненной математической модели для описания процессов течения тонких пластических слоев, позволяющей более строго ставить задачи пластической обработки металлов и получить точные их решения В работе обобщаются известные краевые задачи растекания пластических слоев между сближающимися поверхностями недеформируемых тел инструмента на случай учета упругих деформаций воздействующих тел и таким образом обобщаются методы решения соответствующих краевых задач и строятся новые решения конкретных практических задач растекания пластических слоев.

Методика исследований

В основу диссертации положен математический аппарат теории пластического течения Мизеса-Сен-Венана, методы исследования и решения нелинейных уравнений математической физики, такие как метод малого параметра и асимптотические методы, а также методы приближения решений степенными рядами специального вида, выбираемого в зависимости от поставленной начально-краевой задачи.

Научная новизна

В основу диссертации положена модель винклеровского упругого основания для описания поведения сближающихся внешних тел инструмента, между которыми растекается слой пластического материала. Для указанных задач выведено в строгом виде нелинейное дифференциальное уравнение эволюционного типа для определения контура растекающейся области. Ввиду чрезвычайной сложности изучаемой задачи предполагается, что область, занятая растекающимся пластическим слоем, обладает осью симметрии, так что оказываются известными линии ветвления течения В частном случае растекания пластического слоя по недеформируемым поверхностям показано, что это уравнение переходит в известное дифференциальное уравнение И.А.Кийко.

В настоящей работе отдельно исследуется характерный для практики случай малости параметра, представляющего отношение нормального упругого перемещения тел инструмента к толщине растекающегося пластического слоя. Это позволяет линеаризовать по малому параметру дифференциальное уравнение растекания пластического слоя Решение последнего дифференциального уравнения в диссертации ищется в виде суммы решения соответствующей «невозмущенной» задачи (растекание пластического слоя по недеформируемым поверхностям) и поправки, вызванной учетом упругих деформаций тел инструмента. Если считать решение «невозмущенной» задачи известным (такую задачу мы умеем решать1), то для определения упомянутой выше функции-поправки выведено линейьое неоднородное

б

дифференциальное уравнение с известными коэффициентами и правой частью, определяемыми из решения невозмущенной задачи

В диссертации получены в аналитическом виде поправочные функции для решения конкретных задач растекания пластического слоя. В литературе известны точные решения невозмущенных задач растекания пластического слоя в области, в начальный момент ограниченной кривой второго порядка гиперболой, эллипсом, параболой, парой пересекающихся прямых Для всех перечисленных задач в работе получены поправки-функции в виде степенного ряда специального вида, определяемого видом решения соответствующей

невозмущенной задачи В каждой задаче представлены выводы из полученных аналитических решений, согласующиеся с практикой

Достоверность результатов обеспечена использованием широко распространенных на практике математических моделей изучаемых процессов, математической строгостью постановок задач и их анализа, сравнением с известными результатами. Практическая ценность

Результаты диссертации представляют интерес для теории и практики расчета технологических процессов обработки материалов давлением Они могут найти эффективное применение в научно-исследовательских организациях и конструкторских бюро, специализирующихся на проектировании и проведении расчетов соответствующих технологических процессов, а также могут быть включены

в программы спецкурсов для студентов машиностроительных факультетов.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались: -на Ломоносовских чтениях (МГУ,2005г.); -на Международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики и информатики" (Тула, 2005г ,2006г );

-на Международном симпозиуме по пробл. мех деф.тел, посвящ. 95-летию А А Ильюшина (МГУ,2006).

Публикации

Основное содержание диссертации достаточно полно отражено в 9 публикациях автора, включая и тезисы научных конференций, список которых приведен в конце автореферата

Структура и об'ьем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав , заключения и списка литературы Работа изложена на 85 страницах и включает 5 рисунков и графиков, а также библиографию из 113 наименований

Содержание работы

Во введении представлен краткий обзор современного состояния проблемы пластических течений в тонком слое между сближающимися упругими поверхностями твердых внешних тел инструмента, подтверждается актуальность

проводимых в работе исследований Здесь же

сформулирована цель диссертационной работы, ее научная новизна

В первой главе выписаны уравнения нестационарной контактной задачи течения пластического елок по поверхностям упруго-деформируемых внешних тел инструмента, подчиняющихся модели винклеровского упругого основания (Н(х,у^)~ к(х,у,1)+Яр(х,у,1)), в

которой неизвестными являются кинематические параметры процесса (скорости течения, изменение формы растекающейся области в течение всего процесса деформирования, линии ветвления течения), а также контактное давление при известной начальной области и законе сближеьия тел инструмента (т е задан закон к = если считато тела инструмента

недеформируемыми) Для случая винклеровской модели система уравнений сильно упрощается, более того, она поддается анализу, исследованию и решению В случае, когда область течения обладает осью симметрии так, что известной оказывается линия ветвления течения,

выводится точное нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка для определения контура у = (р{х,{) растекающейся области

В |£>2 15 у

{Руср' + Е)2 2Е{Р<Р<Р' + Е)

■ + Е2

+

VJ

вм[ш - VD<p<p' + e] } = ф(х, t)[h{t) + kXa,]

BF + AM +-•

D

+

(p [x,t) <p{x,t)

<p{x,t)

E(t) = (h + кЯа J > 0, F(x,t) = F»(x,t) Я = "^f^ .

M(t) = {h + kXo,)— (1)

dt

В предельном случае течения, когда тела инструмента становятся недеформируемыми ( А —» 0 ) , оно переходит в известное уравнение растекания, выведенное И А Кийко Уравнение растекания от переменных

преобразовано к переменным (х,г), где г = r(i) = lnf ^V

степень деформации, пропорционально меняющаяся со временем В указанных переменных удобно проводить исследование уравнения растекания, с их помощью ранее были получены решения задачи о растекании пластического слоя по недеформируемым поверхностям

В этой же главе дифференциальное уравнение растекания выписано в безразмерных переменных (х,г)-штрихи над которыми ниже в целях удобства записи убираем-, при этом выделены два безразмерных параметра

V я _(2Яг/)/

/7 >Ло - /2

= ^ ,Аь = ч /И1' характеризующие малости толщины

слоя и упругих деформаций тел инструмента соответственно

Приводятся упрощения дифференциального уравнения растекания для двух клиновидных областей- близкой к полуплоскости (\<р'\ > 1 => (р'1 » 1) и для узкого клина «1) .

Во второй главе исследуется дифференциальное уравнение для определения контура растекающегося слоя для модели винклеровского упругого основания В предположении, что упругие перемещения тел инструмента малы по сравнению с толщиной слоя (т е Л0 «1) , дифференциальное уравнение растекания слоя упрощается

£(?>)=¿Л (2)

где

от 2

( *ч>\ а

3 2 ^

Решение задачи растекания пластического слоя по упругим поверхностям (возмущенная задача) ищется в виде суммы решения невозмущенной задачи (течение по недеформируемым поверхностям) и поправки, вызванной учетом упругих деформаций тел инструмента-

Если считать (ра{х,т) известной, то для определения

(р^{х,{) выведено линейное неоднородное дифференциальное уравнение с известными коэффициентами и известной правой частью

(3)

где

4 =

(р.о

<Ръ<р1 ,1+<р'0

- +

м

дт

<РЛ + <Р* Г

2 (<Р°2<Р''+ 2<Ро<Р,<Р°)~ 2(р+ ^)

Для каждого из двух задач растекания пластического слоя в клиновидной области выписаны решения <р,(х,т) = А(т)х,

и получены в аналитическом виде соответствующие поправки

<рХх,т) = с0(т)х2, (4)

где

-~А'(г)е 1

(¿г , Л(т) =

е2'Ал

для клиновидной области, близкой к полуплоскости;

ф)=е-±-\г<А%№. А(г)= , 2г

2 о Л/М0 -е

л/Г+Л

для узкой клиновидной области.

у=(рй(х,у)=Л(т).х

с0(г)< 0 - пэв

Растекание области в форме тупого клина

Представлены выводы из полученных решений, согласующиеся с практикой.

В третьей главе решена задача о растекании пластического слоя в области, в начальный момент ограниченной параболой, для которой известно решение невозмущенной задачи

Ф* =ах + Ь

Решение этой задачи ищется вблизи вершины

параболы, в которой г а

Ро (*)>!=> Р. >>]

В этом случае уравнение растекания (3) упрощается Его решение ищется в специальном виде, определяемом видом решения невозмущенной задачи-

= (ахтЬ)"+ Ь)к = ¿с<(ах + б)"",у = \¿,,

*-0 ЫО '

причем коэффициенты находятся из последовательной цепочки рекуррентных соотношений:

с.(т) = &е* , с0(г)< О,

Таким образом, найдена в аналитическом виде поправка к решению невозмущенной задачи в параболической области, из которой, в частности, следует, что учет упругих деформаций тел инструмента замедляет процесс расширения области растекания, ограниченной параболой

В этой же главе решена задача о растекании пластического слоя в области, в начальный момент ограниченной гиперболой-

(рх --4охг +Ъ ¿с,(гУ ,

о

где

с0(0) = с,(0) = с2(0)= =0 ,

с.(т) = С1(т) = С1(г) = 0,С,(г) = -|-е",си(г) = 0Д^2,

1

т2

Ъсъ - (1 + а)Ьсг - у аЬсг +~е2т

и т.д

а >0, /?<0

О

<*,(:■)=с,(г) - с.{г )=0.

О

1 а2 л,

Растекание области, ограниченной гиперболой

В заключение приводятся основные результаты и выводы В диссертации получила дальнейшее развитие теория течения в тонком пластическом слое (ТТТПС) по деформируемым поверхностям в постановке Ильюшина-Кийко. В ней представлены следующие научные результаты,принадлежащие лично автору:

1 Краевая задача о растекании пластического слоя по упруго-деформируемым поверхностям для случая

винклеровской модели упругого основания сведена к нелинейному дифференциальному уравнению эволюционного типа относительно одной неизвестной функции, определяющей границу контура свободно растекающейся области Показано, что в предельном случае (растекание пластического слоя по недеформируемым поверхностям) указанное уравнение переходит в известное уравнение свободного растекания пластического слоя, выведенное И А.Кийко.

Даны упрощенные представления дифференциального уравнения растекания для двух случаев: растекания пластического слоя в узкой клиновидной области и в тупой клиновидной области, близкой к полуплоскости 2. Подробно исследован случай малости параметра, характеризующего отношение нормального упругого перемещения тел инструмента к толщине растекающегося пластического слоя Для этого случая проведена линеаризация уравнения растекания по малому параметру. Решение последнего уравнения построено в виде суммы решения невозмущенной задачи (растекание пластического слоя по недеформируемым поверхностям) и поправочной

функции, вызванной учетом упругих деформаций тел инструмента. Считая решение невозмущенной задачи известным, в диссертации получено линейное неоднородное дифференциальное уравнение для определения поправочной функции.

3 Решен класс задач растекания пластического слоя в области, в начальный момент ограниченной кривой второго порядка (эллипсом, гиперболой, параболой, парой пересекающихся прямых) Для всех перечисленных задач в диссертации получены точные представления относительно поправочных функций в виде степенных рядов специального вида, определяемых видом решения соответствующей невозмущеьной задачи, причем точно находятся все коэффициенты в указанном разложении Представлены следствия из полученных решений

По результатам диссертации опубликованы следующие работы-

1. Быстриков С. К К выводу точного дифференциального уравнения растекания пластического слоя между сближающимися упруго-пластическими плоскостями

//Тез докл междунар н конф «Соврем Пробл Матем ,мех , инф-ки»,поев 85-летию со дня

рожд С.Б.Стечкина Тула.ТулГУ,2005 -с.174-175 2 Кийко И А ,Кадымов В А ,Соловьев Г X., Быстриков С К О растекании пластического слоя по поверхностям, упругая податливость которых описывается моделью винклеровского основания // Тез докл на

Ломон.чтениях М .МГУ,2005.-с.110.

3 Быстриков С. К. Некоторые новые исследования задач растекания пластических слоев // Рук.деп.в ВИНИТИ РАН,№5 68-В200 6 -18с.

4 Кадымов В.А ,Быстриков С К.Некоторые новые решения нестационарных задач растекания пластического слоя по деформируемым поверхностям // Тез.докл. междунар н конф. «соврем. Пробл Матем ,мех ,инф-ки»,поев 85-летию со дня рожд С Б Стечкина. Тула- ТулГУ,2005 -с.201

5. Быстриков С К.Вывод точного дифференциального уравнения растекания пластического слоя между сближающимися упруго-пластическими по Винклеру плоскостями и его исследование // Изв ТулГУ.Сер Матем Мех.Инф.,2006,т.12,вып 2 -с.24-29.

6. Кадымов В.А ,Быстриков С К Некоторые новые решения нестационарных задач растекания пластического слоя по деформируемым поверхностям // Изв.ТулГУ.Сер Матем Мех.Инф 2006,т 11,в.2 -с.54-60

7. Кадымов В А. ,Быстриков С.К Обобщения постановок краевых задач теории течения тонких пластических слоев и новые решения // Сб тр. междунар симп. по пробл мех. деф тел, поев. 95-летию со дня рожд. А.А.Ильюшина.-М.-МГУ,2006 -с

8 Кадымов В А. ,Быстриков С К Математическая модель процесса растекания пластического слоя по упруго-деформируемым поверхностям и новые решения// Тез докл. междунар. н. конф «Соврем. Пробл. Матем ,мех ,инф-ки», поев . 10-летию Механико-математического факультета Тул Гос.Ун-та. Тула ТулГУ,2006 -с 135-136.

9 Кадымов В А , Кийко И.А , Соловьев Г.Х., Бодунов Д М , Бодунов М А , Быстриков С.К «Развитие теоретических основ пластического деформирования в операциях холодной штамповки»//В отчете по НИР № 1 11 06,№ гос. per 01.2 00311033,Москва,2006 г.

Подписано в печать 02 04 2007 Исполнено 03 04 2007 г Печать трафаретная

Заказ Ка 244 Тираж 80 экз

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш , (495) 975-78-56 www autoreferat ru

ВВЕДЕНИЕ. Обзор современного состояния развития теории течения тонких пластических слоев. Краткое содержание диссертации.

ГЛАВА I. ВЫВОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ РАСТЕКАНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ ПО УПРУГО-ДЕФОРМИРУЕМЫМ

ПОВЕРХНОСТЯМ. МОДЕЛЬ ВИНКЛЕРОВСКОГО УПРУГОГО

ОСНОВАНИЯ.

§ 1.1. Постановка нестационарной задачи течения пластического слоя по упруго-деформируемым поверхностям.

§ 1.2. Вывод уравнения растекания пластического слоя между поверхностями упругих винклеровских тел.

§ 1.3. О предельном переходе в точном дифференциальном уравнении растекания пластического слоя.

§ 1.4. Преобразование дифференциального уравнения растекания к переменным (х,г).

§ 1.5. Дифференциальное уравнение растекания в безразмерных величинах.

§ 1.6. Упрощение точного дифференциального уравнения растекания для клиновидных областей.

ГЛАВА II. ПОСТАНОВКА НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ РАСТЕКАНИЯ ПЛАСТИЧЕСКИХ СЛОЕВ ПО УПРУГО-ДЕФОРМИРУЕМЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ В ВОЗМУЩЕНИЯХ. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ. ВЫВОД РЕШЕНИЯ

ВОЗМУЩЕННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДВУХ клиновидных ОБЛАСТЕЙ.

§ 2.1. Постановка нестационарной задачи определения контура растекающегося пластического слоя по упруго-деформируемым поверхностям в возмущениях.

§ 2.2. Решение задачи о растекании пластического слоя в области, ограниченной парой пересекающихся прямых.

ГЛАВА III. ВЫВОД РЕШЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОЙ ЗАДАЧИ О РАСТЕКАНИИ ПЛАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ В ОБЛАСТИ, ОГРАНИЧЕННОЙ В НАЧАЛЬНЫЙ МОМЕНТ СООТВЕТСТВЕННО ПАРАБОЛОЙ И

ГИПЕРБОЛОЙ.

§ 3.1. Решение в возмущениях задачи о растекании пластического слоя в параболической области.

§ 3.2. Решение в возмущениях задачи о растекании пластического слоя в гиперболической области.

В диссертации исследуются нестационарные контактные задачи растекания пластических слоев между сближающимися по заданному закону поверхностями упругих тел инструмента, подчиняющихся модели винклеровского упругого основания. К указанным задачам примыкает большинство технологических процессов обработки материалов давлением: штамповка и прессование тонкостенных элементов конструкций, дрессировка, тонколистовая прокатка и др. По существу, это сложные физические процессы с разнообразием определяющих параметров, протекающие при комбинированных температурных и силовых воздействиях. Немаловажную роль в них играет деформационное и скоростное упрочнение материала. Существенным оказывается учет неоднородностей свойств материала слоя, в том числе как начально заданных неоднородностей (течения в многослойном пакете), так и неоднородностей, вызванных теплообменом с внешними телами (горячие процессы), тепловыделениями за счет диссипации механической энергии и разогрева в результате работы сил контактного трения скольжения. В высокоскоростных процессах обработки давлением значимую роль могут играть силы инерции. Для процессов пластического течения в тонком слое характерны высокие давления, на порядок превышающие величины сдвиговых напряжений. а значит, неоправданным может оказаться неучет упругих деформаций самих воздействующих тел, что сказывается на точности изготовления конечной детали. Последнему вопросу в настоящей работе придается первостепенное значение. С другой стороны, в процессах растекания пластических слоев значимую роль может играть объемная сжимаемость материала обработки (порошковые материалы) . Важно уметь выбирать режимы эффективного применения промежуточных смазок в процессах растекания пластических слоев, что также сказывается на результатах расчетов (накопление деформаций вблизи поверхности контакта и возможные разрушения, экономия энергозатрат). Следует также отметить, что в практику пластической обработки материалов давлением активно внедряются штампы и инструменты, имеющие контактные поверхности с анизотропными свойствами относительно сил трения (поверхности с рельефными очертаниями), в связи с чем приходится по-другому осмыслить и поставить условия на поверхностях контакта. Другой важной особенностью процессов пластического течения в тонких слоях является то, что в них, как правило, неизвестными оказываются как границы областей течения, так не определены и сами граничные условия. Актуальной остается проблема определения закона изменения границы растекающейся области пластического слоя при одновременном учете разнообразия присущих рассматриваемым процессам характерных особенностей их протекания. При проектировании и расчете технологических процессов производства ребристых пластин и оболочек сталкиваются с определением как границы растекающейся области, так и количества затекающего в пазы материала. На сегодняшний день уже появились и получают дальнейшее развитие геометрически нелинейные теории пластичности, в том числе и вариант теории упруго-пластических процессов А.А.Ильюшина на случай конечных деформаций (П.В.Трусов, JT.А. Толоконников, Г.Л.Бровко, В.И.Левитас, E.H.Lee и др.), однако в силу их чрезвычайной математической сложности они не нашли еще широкого практического применения, в том числе и в расчетах процессов пластической обработки давлением. Наибольшее признание при описании процессов пластического течения металлов в широком диапазоне изменения температур и скорости деформации получила теория пластичности для траекторий малой кривизны.

В основу настоящей диссертации положена теория течения в тонком пластическом слое, предложенная А.А.Ильюшиным. Данная теория берет начало с качественного анализа решения Л.Прандтля классической задачи о сжатии полосы из идеально-пластического материала между двумя шероховатыми плоскостями тел инструмента. Прандтль построил предельное поле напряжений, подчиняющееся условию пластичности Мизеса, а Надаи дополнил его кинематической картиной течения. определяется характерные толщина и линейный размер слоя. В частности, решение Прандтля-Надаи подтверждает

Точность данного решения параметром факт о проскальзывании материала полосы вдоль поверхности контакта.

Результаты проведенных Е.П.Унксовым [107] экспериментов по осадке свинцовых полос, осуществленных в условиях полного контакта, показали, что вдоль поверхности контакта вблизи свободного края располагается зона скольжения, где сила трения подчиняется закону Кулона {T = JUp). Далее она переходит в зону торможения, где сила давления возрастает вглубь слоя, а сила трения при этом принимает максимальное значение (Г = Г.). И, наконец, ближе к линии ветвления течения примыкает зона застоя, где напряжение трения убывает до минимального значения. С уменьшением отношения )г т.е. с утоньшением полосы, размеры зон скольжения и торможения соответственно уменьшаются. Экспериментальные данные по определению напряжений на поверхности контакта приводятся в работах [91,98,99,107,108].

На основе проведенного анализа решения Прандтля-Надаи А.А.Ильюшин выдвинул гипотезы кинематического характера, а также относительно сил трения на контакте, с помощью которых построил эффективную теорию течения в тонком пластическом слое [22,23].Указанные течения характеризуются высокими контактными давлениями, на порядок превышающие сдвиговые напряжения: Л

-> 0 при Р -» 00 , так что определяющими механическими параметрами в таких процессах являются контактное давление р, а также скорости течения U,U вдоль слоя. В этой же работе приводятся постановки трех основных задач течения в тонком пластическом слое. Представим ниже первую основную задачу течения пластического слоя в упрощенной постановке с помощью нелинейных уравнений в частных производных первого порядка:

1) (2)

3) давления основной формой ds2 = A2da2 + B2dp2 в главных осях . Здесь h(a,p,t)~ известный закон изменения толщины слоя, причем тела инструмента предполагаются не деформируемыми,

U^OC,= 1,2 - заданные скорости внутренних движений внешних тел, JJL- коэффициенты трения, 7^/?,//., напряжения трения на контакте, которые считаются известными из опыта функциями указанных аргументов,

Рй (//) - заданное давление в точках контура sradp = -— h u-vx u-v{

1 I — — | 2

V Iy-Uil v-v.

My dh+ 1 d(hBu) 1 d(hAv) dt AB да AB dp для определения скоростей u{cl,P,t\v(cc,P,t), p(cc,P,t) в области S(a,P,t) на заданной поверхности с первой дифференциальной

U-U; растекающейся области, ju - параметр, меняющийся вдоль контура. В частности, для свободно растекающейся области имеем /?0(//)=<7.

Краевая задача для растекающегося пластического слоя в постановке (1)~ (3),с использованием метода характеристик, в каждой стадии процесса растекания в работе [56] сведена к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений da cosy d/5 sin у dp ds A ds В ds П, (4) dy U n . a ^ l „ . \ fsmy + -^-cosy +—[Apcosy - Basmy), ds Q v A ■ В

AB с краевыми условиями в точках контура области = <*(ц\ Р = Р(ц\р = р(м\Р = Р(м\ Я = (5) с одновременным вычислением вдоль характеристических линий двух интегралов

J,(s) = exp^- )y/(s')ds\ о .V

Тогда для скорости течения в слое = 77-7W(*W2(s))> (7) h(s) где у- угол между касательной к линии тока и осью а; u = -u(cos yi + sin yj);

А- постоянная, определяемая из условия ветвления течения v(s = speepa) = 0 в неизвестных, но определяемых в ходе решения (4) точек следа ребра поверхности давления; значения dp др Р = —,Я = да др в условиях (5) для точек однозначно из выполнения условий dpn da dB — = р — + q—, d/л dju d/л контура выбираются

8) fpY r + kBJ

-Q2(a,p) = 0, (9)

A = FB -Ret pr fi q ft ' где использованы обозначения dh h dt

11 1 . wis) =--+ —cosy +—sinr,

R{s) R Ra

10)

11)

R = V

JdA AB dj3 Y y

A =

1 dB\

-1 V

AB da касательные радиусы кривизны линии а и р на основной поверхности;

-геодезическая кривизна линии уровня р(а,р) = const.

В работе А.А.Ильюшина [22] решена задача о растекании тонкого кольцевого слоя постоянной толщины. В работах А.А.Ильюшина [24], И.А.Кийко [38] исследована нестационарная плоская задача пластического течения в полосе с неоднородностью свойств по толщине, вызванной интенсивным теплообменом с внешними телами. Для определения зон затвердевания, примыкающих к поверхности контакта, привлекается принцип минимума мощности внешних сил. С учетом последнего обстоятельства им предложен один вариант теории пластических течений в тонком слое. В работе А.И.Кузнецова [45] выписывается формальное решение задачи об осадке пластической полосы с заданной неоднородностью свойств по толщине, однако не дается его обоснование. Для решения задач течения пластического слоя постоянной толщины на плоскости А.А.Ильюшин предложил метод аналогий с песчаной насыпью [23] , когда линии тока являются прямыми, он нашел выражение для скоростей течения в точках контура свободно растекающейся области где R- радиус кривизны в точке контура, fQ-величина, характеризующая точку ребра поверхности давления вдоль рассматриваемой линии тока. На основе формулы (12) В.Н.Безухов[5] вывел дифференциальное уравнение, позволяющее восстановить контур у = у(х,е) свободно растекающегося пластического слоя y2y'a + 2y{\ + y;) = 2yt , (13) по известной начальной области y{*>e)L о = Ф)

Дифференциальное уравнение (12) для восстановления контура свободно растекающегося слоя на плоскости для более общего случая h = h(x,y,t) выведено в работе И.А.Кийко [35] .

В работе [23] поставлена стационарная задача о прокатке листа при малой степени обжатия, исследован вопрос о существовании участка сцепления. В работе

4] решена эта задача при произвольной степени обжатия, причем доказана теорема А.А.Ильюшина о существовании зоны застоя в зависимости от ширины прокатываемого листа.

Существенный вклад в развитие теории течения в тонком пластическом слое внес И.А.Кийко [30-43] .Им сформулирована задача течения в тонком пластическом слое в пространстве между двумя сближающимися упругими поверхностями внешних тел, предложен вариационный метод для определения давления под штампами. В работах П.М.Огибалова и И.А.Кийко [78,79] рассчитаны с помощью метода песчаной аналогии контактные давления, общие усилия прессования ребристых пластин,а также проведена экспериментальная проверка теоретических результатов. В работе [7] предложен эффективный численно-аналитический способ определения контактного давления, а также упругих перемещений под штампом, представлены результаты их счета для области в плане формы прямоугольника, при этом упругие перемещения под штампом рассчитаны как по формулам для упругого полупространства, так и по формулам для упругой плиты. Следует отметить также работы И.В.Костарева [47, 48], который на основе теории течения тонких пластических слоев разработал методы расчета процессов штамповки ребристых поковок сложной формы. В работе Ю.С.Арутюнова[4] применен метод преобразования Лежандра, с помощью которого исследованы плоские и осесимметричные задачи течения пластических слоев, построены эпюры контактных давлений. Большой вклад в развитие теории течения тонких пластических слоев (ТТТПС) внес В.А.Кадымов. Им разработан общий метод расчета нестационарных задач растекания пластических слоев[51], предложена новая постановка краевой задачи течения пластических слоев по поверхностям, обладающими анизотропными свойствами относительно сил трения на контакте. где тензор (р характеризует пару трущихся поверхностей. В частности, из (14) следует, что векторы Т и V — VT, вообще говоря, не коллинеарны. Для нее обоснован метод характеристик.

И наконец, следует отметить работы С.С.Григоряна [14], Д.Д.Ивлева[26], Л.К.Кийко[77] , А.Н.Мохель и P.JI.Салганика[73], А.А.Остсемина[81] , С.И.Сенашова[88], В.В.Соколовского[91], Н.Д.Тутышкина[105], J1.M.Флитмана [113],посвященные различным обобщениям задачи Л.Прандтля о сжатии пластической полосы.

Передадим краткое содержание диссертации.

Цель диссертационной работы состоит в применении уточненной математической модели применительно к процессам течения тонких пластических слоев, позволяющей более строго ставить задачи пластической обработки металлов и получить тем самым более точные их решения. В работе обобщаются известные краевые задачи растекания пластических слоев между сближающимися поверхностями недеформируемых тел инструмента на случай учета упругих деформаций воздействующих тел и таким образом обобщаются методы решения соответствующих краевых задач и строятся новые решения конкретных практических задач растекания пластических слоев.

Методика исследований. В основу диссертации положен математический аппарат теории пластического течения Мизеса-Сен-Венана, методы исследования и решения нелинейных уравнений математической физики, такие как метод малого параметра и асимптотические методы, а также методы приближения решений степенными рядами специального вида, выбираемого в зависимости от поставленной начально-краевой задачи.

Научная новизна. Во всей диссертации принимается модель винклеровского упругого основания для описания поведения сближающихся внешних тел инструмента, между которыми растекается слой пластического материала. Для указанных задач выведено в строгом виде нелинейное дифференциальное уравнение эволюционного типа для определения контура растекающейся области. Ввиду чрезвычайной сложности изучаемой задачи предполагается, что область, занятая растекающимся пластическим слоем, обладает осью симметрии, так что оказываются известными линии ветвления течения. В частном случае растекания пластического слоя по недеформируемым поверхностям показано, что это уравнение переходит в известное дифференциальное уравнение И.А.Кийко.

В настоящей работе отдельно исследуется характерный для практики случай малости параметра, представляющего отношение нормального упругого перемещения тел инструмента к толщине растекающегося пластического слоя. Это позволяет линеаризовать по малому параметру дифференциальное уравнение растекания пластического слоя. Решение последнего дифференциального уравнения в диссертации ищется в виде суммы решения соответствующей «невозмущенной» задачи (растекание пластического слоя по недеформируемым поверхностям) и поправки, вызванной учетом упругих деформаций тел инструмента. Если считать решение «невозмущенной» задачи известным (такую задачу мы умеем решать!), то для определения упомянутой выше функции-поправки выведено линейное неоднородное дифференциальное уравнение с известными коэффициентами и правой частью, определяемыми из решения невозмущенной задачи.

В диссертации получены в аналитическом виде поправочные функции для решения конкретных задач растекания пластического слоя. В литературе известны точные решения невозмущенных задач растекания пластического слоя в области, в начальный момент ограниченной кривой второго порядка: гиперболой, эллипсом, параболой, парой пересекающихся прямых. Для всех перечисленных задач в работе получены поправки-функции в виде степенного ряда специального вида, определяемого видом решения соответствующей невозмущенной задачи. В каждой задаче представлены выводы из полученных аналитических решений, согласующиеся с практикой.

Достоверность результатов обеспечена использованием широко распространенных на практике математических моделей изучаемых процессов, математической строгостью постановок задач и их анализа, сравнением с известными результатами.

Изложим кратко основное содержание работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 112 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получила дальнейшее развитие теория течения в тонком пластическом слое (ТТТПС) по деформируемым поверхностям в постановке Ильюшина-Кийко. В ней представлены следующие научные результаты, принадлежащие лично автору:

1. Краевая задача о растекании пластического слоя по упруго-деформируемым поверхностям для случая винклеровской модели упругого основания сведена к нелинейному дифференциальному уравнению эволюционного типа относительно одной неизвестной функции, определяющей границу контура свободно растекающейся области. Показано, что в предельном случае (растекание пластического слоя по недеформируемым поверхностям) указанное уравнение переходит в известное уравнение свободного растекания пластического слоя, выведенное И.А.Кийко.

Даны упрощенные представления дифференциального уравнения растекания для двух случаев растекания пластического слоя в узкой клиновидной области и в тупой клиновидной области, близкой к полуплоскости. 2. Подробно исследуется случай малости параметра, характеризующего отношение нормального упругого перемещения тел инструмента к толщине растекающегося пластического слоя. Для этого случая проведена линеаризация уравнения растекания по малому параметру. Решение последнего уравнения строится в виде суммы решения невозмущенной задачи (растекание пластического слоя по недеформируемым поверхностям) и поправочной функции, вызванной учетом упругих деформаций тел инструмента. Считая решение невозмущенной задачи известной, для определения поправочной функции в диссертации получено линейное неоднородное дифференциальное уравнение с известными коэффициентами. 3. Решен класс задач растекания пластического слоя в области, в начальный момент ограниченной кривой второго порядка (эллипсом, гиперболой, параболой, парой пересекающихся прямых). Для всех перечисленных задач в диссертации получены точные представления для поправочных функций в виде степенных рядов специального вида, определяемых видом решения соответствующей невозмущенной задачи, причем точно находятся все коэффициенты в указанном разложении. Представлены следствия из полученных решений.

1. Александров С.Е., 0 разрывных полях скоростей при произвольной деформации идеального жесткопластического тела // Докл. РАН. - 1992, 324, № 4, с. 769-772.

2. Александров С.Е., Мишурис С.Е. Осесимметричное пластическое течение двухслойного материала через конический канал // Докл. РАН. 2003. 390, № 2, с. 196199.

3. Аргатов И.И. Давление на упругое полупространство штампа с поверхностью, близкой к эллиптическому параболоиду //Пробл. машиностр. и надежности машин, 2000, № 1. с. 101-105.

4. Арутюнов Ю.С., Гонор A.JI. Осаживание тонких поковок произвольной формы в плане // Изв. АН ССР. Мех. и мате. 1963, № 1. - с. 166-171.

5. Безухов В.Н. Об осадке пластического слоя некруговой формы в плане // Дис. канд. физ.-мат.н. М, 1955. -78с.

6. Безухов Н.И. Теория упругости и пластичности // М., Гостехизд. -1953. 420с.

7. Бодунов Д.М., Кийко И.А. Новая постановка задачи о течении тонкого слоя по деформируемым поверхностям // В сб. научн. тр. межд. научно-технической конф. «Прогрессивные технологии и оборудование кузнечно-штампового производства», М., МГТУ-МАМИ, 2003г.

8. Быстриков С. К. К выводу точного дифференциального уравнения растекания пластического слоя между сближающимися упруго-пластическими плоскостями

9. Тез.докл. междунар. н. конф. «Соврем. Пробл. Матем.,мех.,инф-ки»,поев.85-летию со днярожд.С.Б.Стечкина.Тула:ТулГУ, 2005.-с.174-175.

10. Быстриков С.К. Вывод точного дифференциального уравнения растекания пластического слоя между сближающимися упруго-пластическими по Винклеру плоскостями и его исследование // Изв.ТулГУ.Сер.Матем.Мех.Инф., 200 6, т.12,вып.2.-с.24-29.

11. Быстриков С.К. Некоторые новые исследования задач растекания пластических слоев // Рук.деп.в ВИНИТИ РАН,№568-В2006.-18с.

12. Георгиевский Д.В.Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел // УРСС, М., 1998.

13. Георгиевский Д.В. Возмущения поверхностей скольжения в пространственной теории идеальной пластичности //Вестн.Моск.Унта. Сер. 1, Матем. Мех. 2001, №3 . -с. 45-50 .

14. Гордон В.А., Тинякова Е.В., Шоркин B.C. О пластическом поведении материала в поверхностном слое твердого тела // Исслед. в обл. теории, технол. и обор. ОМД, Орлов.ГТУ, 1998, с. 150-153.

15. Григорьев И.П., Ивлев Д.Д. О сдавливании круглого в плане идеальнопластического слоя шероховатыми плитами //Изв. РАН., Мех. тверд, тела. 2000, № 1, с. 129-140.

16. Григорян С.С. Об одной задаче JI. Прандтля и теории течения пластического вещества по поверхностям // ДАН СССР. 1981, т.257, № 5. с. 1075-1077.

17. Губкин С.И. Пластическая деформация металлов // М., Металлургизд. I960. - 190с.

18. Друянов Б. А. О применимости жесткопластического анализа к некоторым технологическим задачам // Изв. АН СССР, Мех. тв. Тела. 1971, № 3, - с. 179-183.

19. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики // Изд. Наука, М., 1970, 664с.

20. Ершов J1.B., Ивлев Д.Д., Романов А.Д. Об обобщениях решения JI. Прандтля о сжатии пластического слоя' шероховатыми плитами // Сборн. «Соврем, пробл. мех. и авиации». М.,1962, - с. 137-144.

21. Ершов JI.B. О приближенном решении осесимметричных упруго пластических задач методом малого параметра // Пробл. мех. деф. тв. тел и горных пород. Сб. статей к 70-летию Ершова Л.В., 2002.

22. Зубчанинов В.Г. Математическая теория пластичности // Тверь, Изд-во ТГТУ, 2002, 300с.

23. Ильюшин А.А. Пластичность // Изд. АН СССР, М., 1963.- 376с.

24. Ильюшин А.А. Вопросы теории течения пластического вещества по поверхностям // Прикл. матем. и мех. -1954, т. 18, № 3. с. 265-288.

25. Ильюшин А.А. Полная пластичность в процессах течения между жесткими поверхностями, аналогия с песчаной насыпью и некоторые приложения // Прикл. матем. и мех.- 1955, т. 19, № 6. с. 693-713.

26. Ильюшин А.А. Некоторые вопросы теории пластического течения // Изв. АН СССР. 1958, № 2. с. 64-86.2 6.Ильюшин А.А. Механика сплошной среды // М., МГУ -1978. 288с.

27. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности // М., Наука. 1966, - 231с.

28. Ивлев Д.Д. О пространственном течении идеально-пластического материала, сжатого шероховатыми плитами

29. Изв. РАН. МТТ.1998,№1.-с.5-12.

30. Кальменев А.А., Лукашкин Н.Д. Состояние теории расчета давления и усилия при холодной тонколистовой прокатке // Сталь., 2001., № 11, с. 44-47.

31. Кийко И.А. Обобщение задачи Л.Прандтля об осадке полосы из сжимаемого материала // Вестник МГУ.-2002, №4.-с.47-52.

32. Кийко И. А. Вариационный принцип в задачах течения тонкого слоя пластического вещества // ДАН СССР. 1964, т. 157, № 3, с. 551-553.

33. Кийко И.А. Течение тонкого слоя пластического материала по упруго-деформируемым поверхностям / / Инжен. журн. 1965, т. 5, вып. 2. - с. 372-375.

34. Кийко И.А. Точное решение одной задачи пластического течения в тонком слое по упругим поверхностям // ДАН СССР. 1965, т. 161, № 1. - с. 40-42.

35. Кийко И.А. К теории пластического течения в тонком слое по деформируемым поверхностям // Изв. АН СССР, Мех. тв. тела. 1966, № 5, с. 123-126.

36. Кийко И. А. Теория пластического течения в тонком слое металла // Научн основы прогресс. техники и технологии. М., Машиностроение, 1985. с. 102-133.

37. Кийко И.А., Морозов Н.А. Методы теории пластичности в ОМД // Сб. Пластическая деформация легких и спец. сплавов, М., Металлургия, 1971.

38. Кийко И. А., Кадымов В. А. Обобщение задачи J1. Прандтля о сжатии полосы // Вестник Моск. ун-та. Сер. Математика. Механика., 2003, № 4, с. 50-56.

39. Кийко И.А. Теория пластического течения // М., МГУ -1978, 75с.

40. ЗЭ.Кийко И.А., Кийко JI.K. Постановка задачи о пластическом течении сжимаемого материала // Вестник МГУ. -1980, № 4. с. 67—70.

41. Кийко И.А.,Кадымов В. А. Задача Прандтля о сжатии двухслойной пластической полосы //Сб.тр. научной конф. "Прогрессивные технологии и обор. кузн.-штамп, пр-ва".-М.:МАМИ,2003.-с.61-66.

42. Кийко И. А. Технология обработки давлением и новые постановки задач в теории пластичности //Тр.IX всеросс. конф. по прочн. и пластичности, т.3.-М.,1996.- с.145-149.

43. Кийко И.А. О сухом трении твердых тел при упруго-пластических деформациях // Журн.Пробл. машиностр. и автоматиз.,№4,2004.- с.67 72.

44. Кузнецов А.И. Задача о неоднородном пластическом слое //Archiwum mech.stosovaney.-1960,v.12,№2.-pp.163-172.

45. Колмогоров В.Jl. Механика обработки металлов давлением // Изд. УрГТУ-УПИ, Екатеринбург, 2001.

46. Костарев И.В., Казьмин А.В. Исследование процесса штамповки деталей с ребрами жесткости // Изв. вузов. Машин-е. 1981, № 5. - с.114-116.

47. Кадымов В.А. Некоторые точные решения задач теории течения пластического вещества // В. сб. «Некот. вопр. матем. и механ.» М., МГУ - 1981. - с. 93.

48. Кадымов В.А., Чулафич 3. Метод и точные решения задач течения в тонком слое металла // Изв. АН Азерб. ССР. 1983, № 3. - с.50-55.

49. Кадымов В.А., Огибалов П.М. Некоторые основные аспекты теории течения металла // В сб. тр. XVI Югосл. симпоз. по теор. и прикл. механике. 1984 - 6с.

50. Кадымов В.А., Огибалов П.М. К постановке и решению краевой задачи течения металла в тонком слое // Тез. докл. III Всесоюзн. конф. «Смешан, зад. мех. деф. тв. тела». Харьков. - 1985.

51. Кадымов В.А., Чулафич 3. Prikaz torije tecenja plasticnog materijala po povrsima I neki novi staticki problemi // Zb. radova sa III Jugoslav. Simpoz. iz teorije plasticnosti. Plitvicka. - 1983. - 13s.

52. Кадымов В.A. Berucksichtigung des Einflussesfester Schmierstoffe bei Kontaktaufgaben der Umformtechnik 11 Technische Mechanik (Germany), 10(1989)3. -p. 178-182.

53. Кадымов В.А. Расчет пластических течений в тонком слое металла // Teorijska i primenjena mechanika (Белград). -1987, № 13, с. 55-63.

54. Кадымов В.А. К постановке и решению одного класса задач штамповки с учетом активного влияния промежуточной среды // В сб. «Исслед. в обл. теории, технол. и оборудов. штамп, пр-ва». Тула, 1990 - с. 22-31.

55. Кадымов В. А. Граничные уравнения теории обработки металлов давлением // Деп. в ВИНИТИ АН СССР. № 8284 -В88. -18с.

56. Кадымов В.А. Нестационарные задачи течений в тонком пластическом слое // Дисс. докт. физ.-мат. наук. Баку., Ин-т математики и механики. 1994 - 226с.

57. Кадымов В.А. К решению задачи JI. Прандтля об осадке полосы из идеально-пластического материала // В сб. «Трехмерные зад. мех-ки структ.-неодн. сред». -Воронеж, 1991.-с. 107-114.

58. V.Kadymov, R.Wille. Plastic flow in piecewise-homogeneous layer//ZAMM.-1995,v.75,№S1.-pp.293-294.

59. V.Kadymov. Mathematical modeling of contact problems of plastic flow//Nonlinear analysis.-1997,v.30,№8.-pp.5259-5265.

60. Кадымов В.A.,Соловьев Г.Х. Обобщение задачи Прандтля на случай трехслойной полосы сжимаемогоматериала. //Тезисы докладов на Ломоносовских чтениях. МГУ ,2003.

61. Кадымов В.А.,Бодунов Д.М.,Соловьев Г.Х. Некоторые новые решения контактных задач растекания пластических слоев// Изв.ТулГУ.Сер.Матем.Мех.Инф.,2004,т.10,вып.2.-с.94-104.

62. Кадымов В. А. К решению нестационарной задачи растекания пластических слоев // Изв.ТулГУ.Сер.Матем.Мех.Инф.2005,т.11,в.2.-с.40-45.

63. Кадымов В.А. Некоторые новые задачи теории течения пластических слоев // Тр. Междунар.научн. конф «Соврем, достиж. в теории и технологии обр.мет. давл. ».-С.Петербург,2005.- с.53- 57.

64. Кадымов В.А. ,Быстриков С.К.Некоторые новые решения нестационарных задач растекания пластического слоя по деформируемым поверхностям // Изв.ТулГУ.Сер.Матем.Мех.Инф.200б, т.11,в.2.-с.54-60.

65. Кадымов В.А. ,Быстриков С.К.Обобщения постановок краевых задач теории течения тонких пластических слоев и новые решения // Сб.тр. междунар. симп. по пробл. мех. деф. тел, поев. 95-летию со дня рожд. А. А.Ильюшина. -М. :МГУ, 2006.-е.

66. Курант Р. Уравнения с частными производными // М., Мир. 1964. -830с.

67. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести // М., Машин-е. 1975. - 400с.

68. Мохель А.Н., Салганик P.JI. Тонкий идеально-пластичный слой с произвольным контуром, сжимаемый между жесткими плитами // Докл. АН СССР 1987, 293, № 4. - с. 809-813.

69. Мясищев А. А. Решение в рядах задачи о сжатии жесткопластического слоя шероховатыми плитами // Изв. вузов. Черн. металл-я. 1986, № 1, - с. 81-103.

70. В кн. «Расчеты процессов пласт, форм-я мет.», М., Мир, 1962, с. 73-77.

71. Пластическое течение материалов. Физико-математические основы технологии обработки давлением .4.1и2.Под ред И.А.Кийко.-М.:МГУ-2003.

72. Поздеев А.А., Няшин Ю.И., Трусов П.В. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. М., Наука. - 1986.

73. Prandtl L. Anwendungsbeispiele zu einem Henckyschen satz uberdas plastische Gleichgewicht //ZAMM/ 1923, № 3, - p. 401-406.

74. Седов JT.И. Механика сплошной среды, т. 1 и 2 // М., Наука. 1970. - 536с. И 568с.

75. Седов Л.И. Методы подобия и размерностей в механике // М., Наука. 1967. - 468с.

76. Сегал В.М. Технологические задачи теории пластичности // Минск, Наука и техн. 1977 -253с.

77. СенашовС.И. Поля скоростей в задаче Прандтля о сжатии пластического слоя //Журн.прикл.мех.и техн. физ.- 1984,№1.- с.155- 156.

78. Смиров-Аляев Г.А., Розенберг В.М. Теория пластических деформаций металлов // М.-Л., Машгиз. 1956. 367с.

79. Соколов Jl.Д. Сопротивление материалов пластической деформации // М., Метал-я. 1963. - 284с.

80. Соколовский В.В. Теория пластичности // М., Высшая школа. 1969. - 608с.

81. Соловьев Г.Х. Контактные задачи динамики пластических слоев (соавтор Кадымов В.А.)//Доклады XXXIX Международной научно-технической конференции "Приоритеты развития отечественного автомобилестроения". МАМИ ,2002 .- с.10-11.

82. Соловьев Г.Х. К решению динамических контактных задач о растекании пластического слоя // Там-же., с.22- 24.

83. Соловьев Г.Х. Об одной нестационарной задаче растекания пластического слоя // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т.Н. Вып.З. 2005. -С.139-146.

84. Соловьев Г.Х. Динамическая задача о растекании тонкого пластического слоя сжимаемого материала//Сб.Н трудов междун научно-тех конференции "Прогрессивные технологии и оборудование кузн-штамп производства" ,М. МАМИ ,2003.-с.359-361.

85. Соловьев Г.Х Плоская задача о сжатии пластической полосы из сжимаемого материала в динамической постановке // Рук.деп.в ВИНИТИ РАН,№1573-В2004.-24с.

86. Соловьев Г.Х К постановке и решению нестационарной задачи растекания пластического слоя между упруго-деформируемыми поверхностями // Рук.деп.в ВИНИТИ РАН,№1574-В2004.-18с.

87. Тарновский И.Я., Поздеев А. А. и др. Теория обработки металлов давлением // М., Металлургизд. 1963. 672с.

88. Тарновский И.Я., Леванов А.Н., Посеваткин М.И. Контактные напряжения при пластической деформации / / М., Металлургия. 1966. - 279с.

89. Толоконников JI.A., Маркин А. А. Определяющие соотношения при конечных деформациях // Пробл. мех. деф. тв. тела, Калинин. 1986. - с. 49-57.

90. Томленов А.Д. Теория пластического деформирования металлов // М., Металлургия. 1972. - 408с.

91. Толоконников Л. А., Пеньков В.Б. Некоторые эффективные решения задачи о скольжении металла в слое // Прикл. мех. 1990, 26, № 9. - с. 75-82.

92. Томсен Э., Янг К., Кобояши Ш. Механика пластических деформаций при обработке металлов // М., Машиностроение. 1969. 503с.

93. Трикоми Ф. Интегральные уравнения // Изд. ИЛ, М., 1960, 300с.

94. Тутышкин Н.Д. Осадка полосы между плоскопараллельными плитами // Изв. вузов. Машиностроение. 1982, № 5. - с. 33-37.

95. Тутышкин Н.Д. Осесимметричное сжатие тонкослойного пластического материала // В сб. «Иссл. в обл. пласт, и обраб. мет. давлением». Тула, 1984. - с. 80-85.

96. Унксов Е.П. Инженерные методы расчета усилий при обработке металла давлением // М., Машгиз. 1955. -280с.

97. Унксов Е.П., Джонсон У., Колмогоров B.JI. и др. Теория пластических деформаций металлов // М., Машиностроение. 1969. 503с.

98. Хилл Р. Математическая теория пластичности // М., Гостехиздат. -1956. 407с.

99. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления // Изд. Наука, 1969, т. 2., 800с.

100. Флитман JI.M. Пограничный слой в потоке пластической среды вблизи шероховатой поверхности //Прикл.матем. и мех.- 1985,49,№4.- с.663- 669.