Нестационарные задачи течения тонкого пластического слоя по деформируемым поверхностям тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

СОЛОВЬЕВ Гариф Хусаинович

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕЧЕНИЯ ТОНКОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ ПО ДЕФОРМИРУЕМЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ

Специальность: 01.02.04 Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени

Москва 2,005

Работа выполнена на кафедре «Высшая математика» Московского государственного технического университета «МАМИ»

Научный руководитель:

доктор физико - математических наук, профессор Кадымов Вагид Ахмедович

Официальные оппоненты:

доктор физико - математических наук, профессор Бондарь Валентин Степанович доктор физико - математических наук, профессор

Георгиевский Дмитрий Владимирович

Ведущая организация:

Тульский государственный университет

» 2005 г- в го совета

— .о о часов на

Защита состоится__

заседании диссертационного совета Д 212.133.04 при Московском институте электроники и математики (Технический университет) по адресу: 109028 г.Москва, Б. Трехсветительский переулок, 3/12, стр.8

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского института электроники и математики.

Автореферат разослан « и, о/ 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф-м.н., доцент

В.МЛганов

з

№3*1 ЧУ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы»

Постоянно возрастающие требования к точности и качеству продукции машиностроения приводят к необходимости совершенствования существующих и создания новых, прогрессивных подходов и методов расчета и проектирования технологических задач обработки материалов давлением.

В настоящее время в машиностроение интенсивно внедряются новые технологические процессы, проходящие при комбинированных термосиловых воздействиях и скоростных режимах (сложное нагружение, сверхпластичность), находят широкое применение металлы и сплавы с заметной объемной сжимаемостью (порошковые материалы), проектируются технологические процессы, использующие специфику выбора рабочих поверхностей тел инструмента (как, например, поверхности с напылением либо с наплавкой) с целью обеспечения требуемых потоков течения обрабатываемого материала вблизи поверхностей контакта и лучшего заполнения труднодоступных мест под штампами. С другой стороны, возрастает интерес к технологическим процессам обработки давлением, проходящим в режиме удержания промежуточных смазок на контактной поверхности (так называемый "пластогидродинамический эффект"), что заметно влияет на ход физического процесса. При этом особую актуальность приобретает создание математических методов моделирования технологических процессов, одновременно включающих различные сопряженные факторы, такие как объемная сжимаемость обрабатываемого материала, деформируемость тел инструмента,

РОС.

Б (Г < ' -:г,л С.! „'Н'рЧтГ

гов1^;

температурные и силовые режимы нагружения, силы инерции, условия на поверхностях контакта и другие.

Работа велась в соответствии с заданием Министерства образования и науки Российской Федерации на проведение научных исследований по созданию физико-математических основ для проектирования и расчета технологических процессов обработки материалов давлением с целью повышения ресурса пластичности металла и улучшения эксплуатационных характеристик штампуемых изделий, (гос.рег. 01.2.00311033, гос.рег. № 01.200.210.855) при поддержке гранта министерства образования и науки РФ № А 03-2.10-757.

Цель работы состоит:

- в дальнейшем совершенствовании теории течения в тонком пластическом слое (ТТТПС) с включением в рассматриваемую математическую модель разнообразных особенностей, присущих рассматриваемым физическим процессам и продиктованных строгостью требований, предъявляемых к современным технологическим процессам:

- в постановке и решении с учетом вышесказанного новых математических задач пластической обработки давлением.

Методика исследований

В диссертациии используются основы математической теории пластического течения Мизеса - Сен-Венана, методы уравнений математической физики, включая метод характеристик для нелинейных уравнений в частных производных первого порядка, метод малого параметра, метод разделения переменных, метод вариации постоянных в

решении обыкновенных дифференциальных уравнений, а также классические принципы механики.

Научная новизна работы

Выведено нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка для определения контура свободно-растекающегося пластического слоя в пространстве между двумя сближающимися по заданному закону упругими поверхностями внешних тел инструмента. Его решение ищется в виде ряда по малому параметру, отвечающему за упругие перемещения контактных поверхностей. Для случая винклеровской модели упругого тела построены нулевое и первое приближения для определения контура свободно растекающейся области, в начальный момент имевшей в плане форму клина.

Поставлена и решена обобщенная задача Л.Прандтля об осадке пластической полосы с одновременным учетом объемной сжимаемости обрабатываемого материала, а также сил инерции. Получены поправки для полей напряжений и скоростей течения, вносимые силами инерции и объемной сжимаемостью материала.

Известная задача об осадке трехслойной центрально-симметричной полосы с крайними «мягкими» слоями в условиях неотрывного пластического течения всего объема обобщена на случай учета объемной сжимаемости внутреннего слоя.

Поставлена и решена осесимметричная задача о растекании на плоскости пластического слоя, обладающего деформационным и скоростным упрочнением. На основе полученного решения поставлена задача об ударе по пластическому слою, сформулированная в виде задачи Коши для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения

второго порядка относительно толщины слоя. В одном частном случае его решение выписано в квадратурах. Наконец, указанная осесимметричная задача обобщается на случай растекания слоя, составленного из объемно-сжимаемого материала. Выписаны точные решения для конкретного случая объемно-сжимаемого материала.

Достоверность результатов обеспечена использованием известных математических моделей изучаемых процессов, математической строгостью постановок задач и их анализа, сравнением с известными результатам.

Практическая ценность

Результаты диссертации представляют интерес для теории и практики расчета технологических процессов обработки материалов давлением. Они могут найти эффективное применение в научно-исследовательских организациях и конструкторских бюро, специализирующихся на проектировании и расчетах соответствующих технологических процессов, а также могут быть включены в программы спецкурсов для студентов машиностроительных факультетов.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались:

- на XXXIX международной научно-технической конференции ААИ «Приоритеты развития отечественного автотракторостроения и подготовки инженерных и научных кадров» (Москва, МГТУ "МАМИ", 25-26 сентября 2002 г.);

- на Всероссийской научной конференции " Современные проблемы математики, механики и информатики" (Тула,ТуГУ,20-22 ноября 2002г.);

- на международной научной конференции "Современные проблемы

математики, механики и информатики", посвященной 80-летию со дня рождения профессора Л.А.Толоконникова (Тула, ТуГУ, 18-21 ноября 2003 г.);

- на международной научно-технической конференции "Прогрессивные технологии и оборудование кузнечно-штамповочного производства", (Москва,МГТУ "МАМИ",1-3 декабря 2003 г.);

- на научной конференции " Ломоносовские чтения"(Москва,МГУ им. М.В.Ломоносова; 17-27 апреля 2003 г.)

- на научной конференции " Ломоносовские чтения"(Москва,МГУ им. М.В.Ломоносова; 21-28 апреля 2004 г.);

- на международной научно-технической конференции "Современные проблемы математики, механики и информатики",(Тула, ТуГУ, 17-19 ноября 2004 г.);

Публикации

Основное содержание диссертации достаточно полно отражено в 9 научных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 104 страницах и включает 8 рисунков и графиков, а также библиографию из 100 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении представлен краткий обзор современного состояния развития проблемы пластических течений в тонком слое между двумя

сближающимися упругими поверхностями твердых внешних тел инструмента, подтверждается актуальность проводимых в работе исследований. Здесь же сформулирована краевая задача пластических течений в тонком слое, учитывающая наряду с объемной сжимаемостью материала обработки как упругие деформации тел инструмента, так и силы инерции. Она обобщает известные в литературе частные случаи постановок соответствующих краевых задач.

Первая глава диссертации целиком посвящена исследованию осесимметричной задачи пластического течения в тонком слое в динамической постановке:

.¿и .(ди диЛ д(Ир) пгт1

ди и 1 с1Н Л

— + - +--= 0, (2)

дг г к Ж

г = 0:и(г,г)=0, (3)

г = Л(0:р = а„ (4)

Выписано точное решение задачи (1)44) ,когда учитывается деформационное и скоростное упрочнение материала слоя:

(5)

/ \ 1 ¿/А г

А(0 Л 2 '

1тч рА(1) 2 р(г,*) = - тАг--

й(/) 4 Л(/) '

На основе полученного решения (6) сформулирована задача об ударе по пластическому слою в виде задачи Коши:

*"(>)=ДМ') (7)

где

1

' 2ж К $) А27А 2 А

"Т" _ ~~ т---

А2 л/А 16А4 Здесь:

—соответственно начальные толщина и радиус растекающегося

слоя;

О0,М - начальная скорость и масса ударяющего тела; Т5,р- предел текучести на сдвиг и плотность обрабатываемого материала;

к.

е(/) = степень деформации по А.А.Ильюшину (аналог

накопленной в частице деформации);

, ч де \йк

V (/) = — =----интенсивность скоростей деформаций.

Л А Л

Для случая, когда материал слоя обладает только деформационным

упрочнением (сг5 = <Т5 (б)), решение задачи (7) выписано в квадратурах.

Далее краевая задача (1)-(4) обобщается на случай объемно-сжимаемого материала, когда

р = р(а,иа).

(8)

при этом уравнение несжимаемости заменяется на уравнение сохранения массы

1 <1р 1 д(ги) 1 (Иг _

--£1 +--Ь—¿ +--= 0

р Ж г дг к <к

В одном частном случае объемно-сжимаемого материала

= р{ииУ^ решение задачи выписано в точном виде.

Во второй главе обобщается плоская задача Л.Прандтля об осадке пластической полосы на случай сжимаемого материала с учетом сил инерции:

дсг даг

дх ду

(ди ди ди^ —+и—+и— ч дг дх ду ,

(9)

д<т„, да

ху

УУ

' ди ди дил

дх ду

■ + и— + и дг дх ду

(Ю)

1 с1р ди ди л ■ +— + -—= 0,

р & дх ду

(И)

2(7---

^сЬе ду

'ди ди

(13)

где

р = р(<Т,иц^ = р011 + а/((Т,ииН - заданный закон объемной

сжимаемости материала.

В известных предположениях Прандтля получены поправки к решению, вызванные силами инерции и сжимаемостью материала, проводится анализ решения.

Здесь же обобщается задача об осадке трехслойной полосы в условиях неотрывного пластического течения с «мягкими» крайними слоями, когда средний слой предполагается объемно-сжимаемым. Решение ищется в виде степенного ряда по малому параметру сжимаемости, причем выписаны уравнения для определения первого приближения и представлены их решения.

В третьей главе рассматривается нестационарная задача о растекании пластического слоя между сближающимися плоскостями тел инструмента, дополнительно учитывающая упругие деформации воздействущих тел. Для случая винклеровского упругого тела +Хр{х,у^))

выведено нелинейное дифференциальное уравнение для определения контура у — растекающегося пластического слоя:

д<р

дт

г

д<рх

2Лт , Ь

(И)

К V 3 2

/

В частном случае растекания пластического слоя по недеформируемым поверхностям уравнение (14) переходит в известное дифференциальное уравнение, выведенное в работах В.Н.Безухова и ИА.Кийко. Получено решение в виде ряда по малому параметру. Для растекания области вида клина выписаны начальное и первое приближения.

Возникает вопрос: в какой мере обосновано предположение о том,что в нестационарных задачах растекания пластического слоя тело инструмента описывается моделью Винклера.

В качестве модели сравнения выберем упругое полупространство (см. Бодунов Д.М., Кийко И.А. Новая постановка задачи о течении тонкого слоя по деформируемым поверхностям // В сб. трудов международной научно-технической конференции "Прогрессивные технологии и оборудование кузнечно-штамповочного производства", М.,МГТУ "МАМИ", 2003 г.) В диссертации проводится сравнение изменений толщины слоя, возникающих вследствие конечной жесткости инстумента, вычисленных по разным моделям.

Приведем графики распределения нормальных упругих перемещений тел инструмента (штампов) вдоль оси симметрии в области контакта с пластическим слоем, имеющей форму квадрата (-1 < х < 1). В силу симметрии задачи достаточно привести распределение перемещений только на части оси симметрии (-1 < х < 0).

-0 08

-ое

■02

Р1 Г2 РЭ

Рис. 1 Графики распределения нормальных упругих перемещений

( к О

под штампом для квадратной области ~ у = • Пояснения к рис. 1:

Р1- Функция, описывающая нормальное упругое перемещение инструмента (М> = "й/), полученная по модели упругого полупространства ; Р2, РЗ - Функции, описывающие нормальные упругие перемещения под штампом по модели Винклера, полученные на основе выведенной автором

формулы = = Лр = у[4Ят^ + (к + кЛа5 )2 - И,

где в-параметр длины дуги вдоль оси симметрии,отсчитываемый от края

квадратной области: 5 = = х + 1,т.е. в рассматриваемом случае

Функции распределения нормальных перемещений Р1 и Р2 отличаются значением параметра Я, причем на графике РЗ параметр Я выбирается из условия равенства величины прогиба в центре области при сравнении со

случаем упругого полупространства, а на графике F2 параметр X выбран из условия минимума среднеквадратичного отклонения перемещений: о

J(w - wx )2dx min

-i

X

Рис. 2. Графики распределения нормальных упругих перемещений под

' к п

штампом для параметра

I 15

Как видно из рис. 1 и 2, распределение перемещений в квадратной области, полученное по модели Винклера, удовлетворительно описывает истинное поле упругих перемещений, если параметр Я выбирать из условия близости

среднеквадратичного отклонения. Результаты счета показывают, что максимальное относительное отклонение уох от м> не превышает 15%. Таким образом, можно сделать следующий важный вывод: в нестационарных задачах растекания пластических слоев в качестве расчетной может быть принята модель винклеровского упругого основания.

В заключение приводятся основные результаты и выводы, полученные в работе.

Диссертационная работа посвящена дальнейшему развитию теории течения в тонком пластическом слое (ТТТПС) по упруго-деформируемым поверхностям в постановке Ильюшина-Кийко. В ней получены следующие научные результаты:

1. Выведено нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка для определения контура пластического слоя, свободно растекающегося между двумя сближающимися упруго-деформируемыми плоскостями внешних тел инструмента. В частности, при отсутствии упругих деформаций тел инструмента оно переходит в известное уравнение, выведенное И.А.Кийко.

Предложен метод построения его решения в виде ряда по малому параметру, отвечающему за упругие перемещения. Для случая Винклеровской модели упругого тела построены нулевое и первое приближения для определения контура растекающегося слоя, в начальный момент имевшего в плане форму клина.

2. Дано обобщение постановки задачи Л.Прандтля об осадке пластической полосы с одновременным влиянием сил инерции и объемной сжимаемости материала. В предположении малости параметров В и

ОС .отвечающих соответственно за динамичность процесса и объемную

сжимаемость материала, получены поправки для напряжений и скоростей течения, вносимые силами инерции и объемной сжимаемостью материала. Тем самым получила дальнейшее обоснование теория ТТПС в высокоскоростных процессах пластического течения слоев из объемно-сжимаемого материала.

3. Рассматривается известная задача об осадке трехслойной пластической полосы, обладающей центральной симметрией и составленной из "мягких" крайних слоев, в условиях непрерывного пластического течения всей полосы. Она развивается на случай, когда внутренний слой считается объемно-сжимаемым.

Выписана система линейных уравнений в частных производных первого порядка для определения первого приближения относительно скоростей течения. Поле напряжений (с точностью до <т) при этом, как показано, совпадает с известным решением для объемно-несжимаемой трехслойной полосы.

4. Поставлена осесимметричная задача о растекании пластического слоя, обладающего деформационным и скоростным упрочнением, в динамической постановке. Получено ее решение в аналитическом виде. На основе полученного решения поставлена задача об ударе по пластическому слою. Она сформулирована в виде задачи Коши для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка для определения конечной толщины осаживаемого слоя. В одном частном случае решение задачи Коши получено в квадратурах.

Данная осесимметричная задача обобщена на случай объемно-сжимаемого материала. Предложен метод разложения в ряд по малому параметру сжимаемости.

Для одного частного случая объемной сжимаемости ее решение выписано в точном виде.

По результатам диссертации опубликованы следующие работы:

1. Соловьев Г.Х Контактные задачи динамики пластических слоев (соавтор Кадымов В.А.)//Доклады XXXIX Международной научно-технической

конференции "Приоритеты развития отечественного

автомобилестроения". МАМИ, 2002 .- с. 10-11.

2. Соловьев Г.Х К решению динамических контактных задач о растекании пластического слоя //Доклады XXXIX Международной научно-технической конференции "Приоритеты развития отечественного автомобилестроения". МАМИ, 2002 .- с.22-24.

3. Соловьев Г.Х. Некоторые новые решения контактных задач растекания пластического слоя (соавторы Кадымов В.А., Бодунов Д.М.)/Лезисы докладов Всероссийской научной конференции "Современные проблемы механики и информатики. Тула, ТГУ, 2002.-1с.

4. Соловьев Г.Х. Обобщение задачи Прандтля на случай трехслойной полосы сжимаемого материала (соавтор Кадымов В.А.) // Тезисы докладов на Ломоносовских чтениях. МГУ, 2003.

5. Соловьев Г.Х. К вопросу об оптимальном проектировании процессов штамповки тонкостенных деталей (соавтор Кадымов В А ) // Тезисы докладов на Ломоносовских чтениях. МГУ, 2004.

6. Соловьев Г.Х. Динамическая задача о растекании тонкого пластического слоя сжимаемого материала//Сб. Н. трудов междунар. научно-техн. конференции "Прогрессивные технологии и оборудование кузн.-штамп, производства", М. МАМИ, 2003. - с. 359-361.

7. Соловьев Г.Х. Плоская задача о сжатии пластической полосы из сжимаемого материала в динамической постановке // Рук. деп. в ВИНИТИ РАН, №1573 - В2004.-24с.

8. Соловьев Г.Х. К постановке и решению нестационарной задачи растекания пластического слоя между упруго-деформируемыми поверхностями // Рук. деп. в ВИНИТИ РАН, №1574 - В2004.-18с.

9. Соловьев Г.Х. Об одной нестационарной задаче растекания пластического слоя // Тезисы докладов Международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики и информатики. Тула, ТГУ, 2004.-1 с.

Соловьев Гариф Хусаинович

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

«НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕЧЕНИЯ ТОНКОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ ПО ДЕФОРМИРУЕМЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ»

Подписано в печать Заказ - С<г Тираж 80

Бумага типографская_Формат 60x90/16_

МГТУ «МАМИ», Москва, 107023, Б.Семеновская ул., 38

РНБ Русский фонд

2005-4 42004

2 2 ФЕВ 2005

ВВЕДЕНИЕ.

1. Обзор современного состояния развития теории течения тонких пластических слоев.

2.Краткое содержание диссертации.

3.Обобщение постановки задачи пластического течения в тонком слое

глава i. осесимметричные задачи пластического

ТЕЧЕНИЯ В ТОНКОМ СЛОЕ.

1.1 Точные решения динамических контактных задач о растекании тонкого пластического слоя.

1.2 Задача об ударе по пластическому слою.

1.3 Учет объемной сжимаемости.

1.4 Точное решение динамической задачи для структурно-сжимаемого материала при p = p{vu).

глава ii.некоторые обобщения классической задачи прандтля об осадке пластической полосы.

2.1 Плоская задача об осадке пластической полосы из сжимаемого материала с учетом сил инерции.

2.2 Задача о трехслойной полосе из сжимаемого материала.

глава iii. нестационарные задачи растекания пластических слоев.:

3.1 Постановка нестационарной задачи течения пластического слоя по упруго-деформируемы:.! поверхностям.

3.2 Модель винклеровского упругого тела. Вывод дифференциального уравнения для определения контура свободно-растекающегося пластического слоя.

3.3 Обоснование применимости модели Винклера в решении задач о растекании пластических слоев.

1.Обзор современного состояния развития теории течения тонких пластических слоев.

В диссертации исследуется один специальный класс нестационарных пространственных задач течения тонкого пластического слоя между двумя сближающимися по заданному закону поверхностями внешних тел инструмента. К указанны:.! задачам примыкает большинство технологических процессов обработки материалов давлением: штамповка и прессование тонкостенных элементов конструкций, дрессировка, тонколистовая прокатка и др. Это сложные физические процессы с разнообразием определяющих параметров, протекающие при' комбинированных температурных и силовых воздействиях. Немаловажную роль в них играет деформационное и скоростное упрочнение материала. Существенным оказывается учет неоднородностей свойств материала слоя, в том числе как начально заданных неоднородностей (течения в многослойном пакете), так и неоднородностей, вызванных теплообменом с внешними телами (горячие процессы), тепловыделениями за счет диссипации механической энергии и разогрева в результате работы сил контактного трения скольжения. В высокоскоростных процессах обработки давлением значимую роль могут играть силы инерции. Для процессов пластического течения в тонком слое характерны высокие давления, на порядок превышающие величины сдвиговых напряжений. А значит, неоправданным может оказаться неучет упругих деформаций самих воздействующих тел , что сказывается на точности изготовления конечной детали. С другой стороны, может оказаться существенным роль объемной . сжимаемости материала обработки. Важно уметь выбирать режимы эффективного применения промежуточных смазок в процессах растекания пластических слоев, что также сказывается на результатах расчетов (накопление деформаций вблизи поверхности контакта и возможные разрушения, экономия энергозатрат). Отметим также, что в практику пластической обработки материалов давлением активно внедряются штампы и инструменты, имеющие контактные поверхности с анизотропными свойствами относительно сил трения (поверхности с рельефными очертаниями), в связи с чем приходится по-другому осмыслить и поставить условия на поверхностях контакта. Другой важной особенностью процессов пластического течения в тонких слоях является то, что в них, как правило, неизвестными оказываются как границы областей течения,так неопределены и сами граничные условия. На сегодняшний день уже появились и получают дальнейшее развитие геометрически нелинейные теории пластичности, в том числе и вариант теории упруго-пластических процессов А.А.Ильюшина при конечных деформациях (П.В.Трусов, JI. А. Толоконников, В .И.Левитас, А. А.Маркин, Е. Н. Lee, Г.JI. Бров ко, и др.),однако в силу их чрезвычайной математической сложности они не нашли еще широкого практического применения,в том числе и в расчетах процессов пластической обработки давлением. Наибольшее признание при описании процессов пластического течения металлов в широком диапазоне изменения температур и скорости деформации получила теория пластичности для траекторий малой кривизны.

В основу настоящей диссертации положена теория течения в тонком пластическом слое, предложенная А. А. Ильюшиным. Истоки данной теории уходят к классической задаче Л.Прандтля о сжатии полосы из идеально-пластического материала между двумя шероховатыми плоскостями тел инструмента. .Прандтль построил предельное поле напряжений, подчиняющееся условию пластичности Мизеса, а Надаи дополнил его кинематической картиной течения. В частности, решение Прандтля-Надаи подтверждает факт о проскальзывании материала полосы вдоль поверхности контакта.

Результаты проведенных Е.П.Унксовым [91] экспериментов по осадке свинцовых полос, осуществленных в условиях полного контакта, показали, что вдоль поверхности контакта вблизи свободного края располагается зона скольжения, где сила трения подчиняется закону Кулона (Т — [Лр) .Далее она переходит в зону торможения, где сила давления возрастает вглубь слоя, а сила трения при этом принимает максимальное значение (Г = т5) . И наконец, ближе к линии ветвления течения примыкает зона застоя, где напряжение трения убывает до минимального значения. С уменьшением скольжения и торможения соответственно уменьшаются. отношения т.е. с утоньшением полосы, размеры зон

Экспериментальные данные по определению напряжений на поверхности контакта приводятся в работах [83,85,73,76,95].

На основе анализа решения Прандтля-Надаи А.А.Ильюшин выдвинул гипотезы . кинематического характера, а также относительно сил трения на контакте, с помощью которых построил эффективную теорию течения в тонком пластическом слое [19,20].Указанные течения характеризуются высокими контактными давлениями, на порядок превышающие сдвиговые напряжения: сг V N У

->0 при р —> СО , так что определяющими механическими параметрами .в таких процессах являются контактное давление р, а также скорости течения U,L> вдоль слоя. В этой же работе приводятся постановки трех основных задач течения в тонком пластическом слое. Выпишем упрощенную постановку в виде системы нелинейных уравнений в частных производных первого порядка: grad (р) = -и-и,

Ti т,^ V и — и v — v. J

8h+ 1 d(hBu) + 1 d{hAv) Ht AB да AB dp ' i: pIs^PXV) , (3) для определения скоростей ii(a,J3,t},v(cc,j3,t), давления p{fC,P,t) в области s{a,pj) на заданной основной поверхности с первой дифференциальной формой ds1 = A2da2 + B2dpl в главных осях а,/?.Здесь h(a,J3,t)~ известный закон изменения толщины слоя, и{(сс, = 1,2 заданные скорости внутренних движений внешних тел, //коэффициенты трения, 7]^p,JLl., О — - напряжения трения на контакте, которые считаются известными из опыта функциями указанных аргументов, Р0{м) ~ заданное давление в точках контура растекающейся области, [Л -параметр, меняющийся вдоль контура. В частности, для свободно растекающейся области имеем р0 (//) = <JS .

Краевая задача для растекающегося пластического слоя в постановке (1)- (3),с использованием метода характеристик, в каждой стадии процесса растекания в работе [50] сведена к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений da cos у dB sin / dp ~ =-— = —— = Q, (4) ds A ds В ds dy if CI. . Cln } 1 ds CI f-s'my + -^-cosy +—{Apcosy - Basmy\ 4 " AB

V A ■ В у с краевыми условиями в точках контура области а = а(/л\Р = /?(//), р = p(ji\ р = р(/л), q = q(ju), (5) с одновременным вычислением вдоль характеристических линий двух интегралов

Jx(s) = ехр

5 Л

J y/(s')ds S0 s f s \

J2(s)= J*^")exp -JV(s') ds"

6)

V у

Тогда для скорости течения в слое h(s)

7) где у- угол между касательной к линии тока и осью а; и = -l>(cos// + smyj);

А - постоянная, определяемая из условия ветвления течения v(s = SРЕБРА) = 0 в неизвестных, но определяемых в ходе решения (4) точек следа ребра dp др поверхности давления; значения р =-,q =- в да др условиях (5) для точек контура выбираются однозначно из выполнения условий dpn da dB = p-+ q—, df-i dju df.i

8)

F{a{ju),p{ju\pQ{ju),p,q) = A = F.B - F а Ф 0 , г™и J и '

V (q V + 1 P

Aj

- Q2 (a, J3) = 0,(9) где использованы обозначения 2dh о - —i- > о, n{s) =-г W dt

11)

11 1 .

1^(5) =--+-COS У Л--Sin У.

R(s) Rfi R

R = 1 R J 1 dBY'

-касательные радиусы

АВдр) ' УАВда) кривизны линий СС п (5 на. основной поверхности;

1 , ч д/ . 3/ dy

- X\s) = —— Sin/--— COS/ = —--геодезическая

R(s) Ada Вдр d/j кривизна линии уровня p{cc1J3') — COYlSt.

В работе А.А.Ильюшина [19] решена задача о растекании тонкого кольцевого слоя постоянной толщины. В работах А.А.Ильюшина [21], И.А.Кийко [33] исследована нестационарная плоская задача пластического течения в полосе с неоднородностью свойств по толщине, вызванной интенсивны:-! теплообменом с внешними телами. Для определения зон затвердевания, примыкающих к поверхности контакта, привлекается принцип минимума мощности внешних сил. С учетом последнего обстоятельства им предложен один вариант теории пластических течений в тонком слое. В работе А.И.Кузнецова [39] выписывается формальное решение задачи об осадке пластической полосы с заданной неоднородностью свойстз по толщине, однако не дается его обоснование. Для решения задач течения пластического слоя постоянной толщины на плоскости А.А.Ильюшин предложил метод аналогий с песчаной насыпью [20] , когда линии тока являются прямыми, он нашел выражение для скоростей течения в точках контура свободно растекающейся области и =

1 de

2 dt

2 Л

R-Sl R К

12) где R- радиус кривизны в точке контура, Г0~ величина, характеризующая точку ребра поверхности давления здоль рассматриваемой линии тока. На основе формулы (12) В.Н.Безухов[5] вывел дифференциальное уравнение, позволяющее восстановить контур y = J/(x, (?) свободно растекающегося пластического слоя

УгУи+Ы1 + У'!) = 2у. > (13) по известной начальной области

У(х>е)!.« = Ф)

Дифференциальное уравнение (12) для восстановления контура свободно растекающегося слоя на плоскости для более общего случая h = h(x,y,t) выведено в работе И.А.Кийко [32] .

В работе [20] поставлена стационарная задача о прокатке листа при малой степени обжатия, исследован вопрос о существовании участка сцепления. В работе [4] решена эта задача при произвольной степени обжатия, причем доказана теорема А.А.Ильюшина о существовании зоны застоя в зависимости от ширины прокатываемого листа.

Существенный вклад в развитие теории течения в тонком пластическом слое внес И.А.Кийко [27-37] .Им сформулирована задача течения в тонком пластическом слое в пространстве между двумя сближающимися упругими поверхностями внешних тел, .предложен вариационный метод для определения давления под штампами. г. В" работах П.М.Огибалова и И.А.Кийко [64,65] рассчитаны С помощью метода песчаной аналогии контактные давления, общие усилия прессования ребристых пластин,а также проведена экспериментальная проверка теоретических результатов. В работе [7] предложен эффективный численно-аналитический способ определения контактного давления, а также упругих перемещений под штампом, представлены результаты их счета для области в плане формы прямоугольника, при этом упругие перемещения под штампом рассчитаны как по формулам для упругого полупространства, так и по формулам для упругой плиты. Следует отметить также работы

И.В.Костарева[41,42],который на основе теории течения тонких пластических слоев разработал методы расчета процессов штамповки ребристых покозок сложной формы. В работе Ю.С.Арутюнова[4] применен метод преобразования Лежандра,с помощью которого исследованы плоские и осесимметричные задачи течения пластических слоев, построены эпюры контактных давлений. Большой вклад в развитие теории течения тонких пластических слоев (ТТТПС) внес 3.А.Кадымов. Им разработан общий метод расчета нестационарных задач растекания пластических слоев[50], предложена новая постановка краевой задачи течения пластических слоев по поверхностям, обладающими анизотропными свойствами относительно сил трения на контакте. т=-(р[р,\и-ит) J , (14)

4 у и-ит где тензор (р характеризует пару трущихся поверхностей. В частности, из (14) следует, что векторы Т и U — Vj, вообще говоря, не коллинеарны. Для нее обоснован метод характеристик.

И наконец, следует отметить работы С.С.Григоряна [11], Д.Д.Ивлева[23], JI .К.Кийко[36] , А.Н.Мохель и

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена дальнейшему развитию теории течения в тонком пластическом слое (ТТТПС) по упруго-деформируемым поверхностям в постановке Ильюшина-Кийко. В ней получены следующие научные результаты : 1. Выведено нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка для определения контура пластического слоя, свободно растекающегося между двумя сближающимися упруго-деформируемыми плоскостями внешних тел инструмента. В частности, при отсутствии упругих деформаций тел инструмента оно переходит в известное уравнение ,выведенное И.А.Кийко.

Предложен метод построения его решения в виде ряда по малому параметру , отвечающему за упругие перемещения .Для случая Винклеровской модели упругого тела построены нулевое и первое приближения для. определения контура растекающегося слоя, в начальный момент имевшего в плане форму клина.

2. Дано обобщение постановки задачи Л.Прандтля об осадке пластической полосы с одновременным влиянием сил инерции и объемной сжимаемости материала. В предположении малости параметров £ и сс,отвечающих соответственно за динамичность процесса и объемную сжимаемость материала, получены поправки для напряжений и скоростей течения, вносимые силами инерции и объемной сжимаемостью материала. Тем самым получила дальнейшее обоснование теория ТТПС высокоскоростных процессах пластического течения слоев и объемно-сжимаемого материала.

3. Рассматривается известная задача об осадке трехслойно пластической полосы, обладающей центральной симметрией' составленной из "мягких" крайних слоев, в условия непрерывного пластического течения всей полосы. Он развивается на случай, когда внутренний слой считаете объемно-сжимаемым.

Выписана система линейных уравнений в частных производнь первого порядка для определения первого приближен относительно скоростей течения. Поле напряжений , при этог-как показано, совпадает с известным решением для объемн несжимаемой трехслойной полосы.

4. Поставлена осесимметричная задача о растекан пластического слоя, обладающего деформационным скоростным упрочнением, в динамической постановке. Получено ее решение в аналитическом виде.

На основе полученного решения поставлена задача об ударе по пластическому слою. Она сформулирована в виде задачи Коши для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка для определения конечной толщины осаживаемого слоя. В одном частном случае решение задачи Коши полученов в квадратурах.

Данная осесимметричная задача обобщена на случай объемно-сжимаемого материала. Предложен метод разложения в ряд по малому параметру сжимаемости.

Для одного частного случая объемной сжимаемости ее решение выписано в точном виде.

1. Александров С.Е., О разрывных полях скоростей при произвольной деформации идеального жесткопластического тела // Докл. РАН. - 1992, 324, № 4, с. 769-772.

2. Александров С.Е., Мишурис С.Е. Осесимметрично пластическое течение двухслойного материала чере конический канал // Докл. РАН. 2003. 390, № 2, с. 196-199.

3. Аргатов И.И. Давление на упругое полупространство штамп с- поверхностью, близкой к эллиптическому параболоид //Пробл. машиностр. и надежности машин, 2ООО, № 1. с 101-105.

4. Арутюнов Ю.С., Гонор A.JI. Осаживание тонких поковок произвольной формы в плане // Изв. АН ССР. Мех. и мат-е. 1963, № 1. - с. 166-171.

5. Безухов В. Н. Об осадке пластического слоя некруговой формы в плане // Дис. канд. физ.-мат.н. М, 1955. - 78с.'

6. Безухов Н.И. Теория упругости и пластичности // -М., Гостехизд. -1953. 420с.

7. Бодунов Д.М., Кийко И.А. Новая постановка задачи о течении тонкого слоя по деформируемым поверхностям // В сб. научн. тр. межд. научно-технической конф. «Прогрессивные технологии и оборудование кузнечно-штампового производства», М., МГТУ-МАМИ, 2003г.

8. Георгиевский Д.В. Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел // УРСС, М., 1998.

9. Гордон В.А., Тинякова Е.В., Шоркин B.C. О пластическом поведении материала в поверхностном слое твердого тела // Исслед. в обл. теории, технол. и обор. ОМД, Орлов.ГТУ, 1998, с. 150-153.

10. Григорьев И.П., Ивлев Д.Д. О сдавливании круглого в плане идеальнопластического слоя шероховатыми плитами //Изв. РАН., Мех. тверд, тела. 2000, № 1, с. 129-140.

11. Григорян С.С. Об одной задаче JI. Прандтля и теории течения пластического вещества по поверхностям // ДАН СССР. 1981, т.257, I? 5. с. 1075-1077.

12. Губкин С.И. Пластическая деформация металлов "II М., Металлургизд. 1960. - 190с.

13. Друянов Б. А. О применимости жесткопластическог анализа к некоторым технологическим задачам / / Изв. А СССР, Мех. тв. Тела. 1971, № 3, - с. 179-183.

14. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики // Изд. Наука, М., 1970, 664с.

15. Ершов JI. В., Ивлев Д. Д., Романов А. Д. Об обобщениях решения JI. Прандтля о сжатии пластического слоя шероховатыми плитами // Сборн. «Соврем, пробл. мех. и авиации». М.,1962, - с. 137-144.

16. Ершов JI.B. О приближенном решении осесимметричных упруго пластических задач методом малого параметра // Пробл. мех. деф. тв. тел и горных пород. Сб. статей к 70-летию Ершова JI.B., 2002.

17. Зубчанинов В.Г. Математическая теория пластичности // Тверь, Изд-во ТГТУ, 2002, 300с.

18. Ильюшин А. А. Пластичность // Изд. АН СССР, М., 1963. 376с.

19. Ильюшин А.А. Вопросы теории течения пластического вещества по поверхностям // Прикл. матем. и мех. 1954, т. 18, № 3. - с. 265-288.

20. Ильюшин А. А. Полная пластичность в процессах течения между жесткими поверхностями, аналогия с песчаной насыпью и некоторые приложения // Прикл. матем. и мех. -1955, т. 19, № 6. с. 693-713.

21. Ильюшин А. А. Некоторые вопросы теории пластического течения // Изв. АН СССР. 1958, № 2, с. 6486.

22. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды // М., МГУ -1978. 288с.

23. Ивлев Д. Д. Теория идеальной пластичности // М., Наука. 1966, - 231с.

24. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю., Максимова- JI.A. О свойствах течений изотропной среды // Докл. РАН. .2000, 375, № 2., с. 191-194.

25. Ивлев Д. Д., Максимова JI.A. О плоских течениях идеально жесткопластической среды // Докл. РАН, 2000, 370, № 1, с. 43-45.

26. Кальменев А.А., Лукашкин Н.Д. Состояние теории расчета давления и усилия при холодной тонколистовой прокатке // Сталь., 2001., № 11, с. 44-47.

27. Кийко И.А. Обобщение задачи Л.Прандтля об осадке полосы из сжимаемого материала // Вестник МГУ.-2002, №4.-с.47-52.

28. Кийко И.А. Вариационный принцип в задачах течения тонкого слоя пластического вещества // ДАН СССР. 1964, т. 157, № 3, - с. 551-553.

29. Кийко И.А. Течение тонкого слоя пластического материала по упруго-деформируемым поверхностям // Инжен. журн. 1965, т. 5, вып. 2. - с. 372-375.

30. Кийко И. А. Точное решение одной задачи пластического течения в тонком слое по упругим поверхностям // ДАН СССР. 1965, т. 161, № 1. - с. 40-42.

31. Кийко И.А. К теории пластического течения в тонког-слое по деформируемым поверхностям // Изв. АН СССР, Мех. тв. тела. 1966, № 5, с. 123-126.

32. Кийко И.А. Теория пластического течения в tohkon слое металла // Научн основы прогресс. техники ъ технологии. М., Машиностроение, 1985. с. 102-133.

33. Кийко И.А., Морозов Н.А. Методы теории пластичности в ОМД // Сб. Пластическая деформация легких и спец. сплавов, М., Металлургия, 1971.

34. Кийко И. А., Кадымов В. А. Обобщение задачи JI. Прандтля о сжатии полосы // Вестник Моск. ун-та, Сер. Математика. Механика., 2003, № 4, с. 50-5 6.

35. Кийко И.А. Теория пластического течения // М., МГУ 1978, 75с.

36. Кийко И. А., Кийко JI.K. Постановка задачи о пластическом течении сжимаемого материала // Вестник МГУ. -1980, К'- 4. с. 67—70.

37. Кийко И.А.,Кадымов В.А. Задача Прандтля о сжатии двухслойной пластической полосы //Сб.тр. научной конф. ''Прогрессивные технологии и обор. кузн. -штамп, пр-ва".-М.:МАМИ,2003.-с.61-66.

38. Качанов JI.M. Основы теории пластичности // М., Наука. 1969. - 420с.

39. Кузнецов А.И. Задача о неоднородном пластическом слое //Archiwum mech. stosovaney.-1960, v. 12, N'2 . -pp. 163172.

40. Колмогоров B.JI. Механика обработки металло давлением // Изд. УрГТУ-УПИ, Екатеринбург, 2001.

41. Костарев И.В., Казьмин А.В. Исследование процесс штамповки деталей с ребрами жесткости // Изв. вузов Машин-е. 1981, № 5. - с.114-116.

42. Костарев И.В., Баев Б. А. Использование положени теории течения тонкого пластического слоя дл проектирования технологических процессов // Технологи легких сплавов. 1979, № 7, - с.47-50.

43. Кадьслов В.А. Некоторые задачи теории пластического течения // Изв. АН Азерб. ССР. 1981, № 3. -с. 45-52.

44. Кадьслов В.А. Некоторые точные решения задач теории течения пластического вещества // В. сб. «Некот. вопр. матем. и механ.» М., МГУ - 1981. - с. 93.

45. Кадьслов В.А., Чулафич 3. Метод и точные решения' задач течения в тонком слое металла // Изв. АН Азерб. ССР. 1983, № 3. - с.50-55.

46. Кадьслов В.А., Огибалов П.М. Некоторые основные аспекты теории течения металла // В сб. тр. XVI Югосл. симпоз. по теор. и прикл. механике. 1984 - 6с.

47. Кадьслов В.А., Огибалов П.М. К постановке и решению краевой задачи течения металла в тонком слое // Тез. докл. III Всесоюзн. конф. «Смешан, зад. мех. деф. тв. тела». -Харьков. 1985.

48. Кадьслов В.А., Чулафич 3. Prikaz torije tecenja plasticnog materijala po povrsima I neki novi staticki problemi // Zb. radova sa III Jugoslav. Simpoz. iz teorije plasticnosti. Plitvicka. - 1983. - 13s.

49. Кадьслов В.A. Beriicksichtigung des Einflussesfester Schmierstoffe bei Kontaktaufgaben der Umformtechnik // Technische Mechanik (Germany), 10(1989)3. p. 178-182.

50. Кадьслов В.А. Расчет пластических течений в тонком слое металла // Teorijska i primenjena mechanika (Белград). -1987, № 13, с. 55-63.

51. Кадьслов В.А. К постановке и решению одного класса задач штамповки с учетом активного влияния промежуточной среды // В сб. «Исслед. в обл. теории, технол. и обор, штамп, пр-ва». Тула, 1990 - с. 22---31.

52. Кадымов В.А. Граничные уравнения теории обработки металлов давлением // Деп. в ВИНИТИ АН СССР. № 8284 В88. -18с.

53. Кадымов В. А. Нестационарные задачи течений в тонком пластическом слое // Дисс. докт. физ.-мат. наук. -Баку., Ин-т математики и механики. 1994 - 22бс.

54. Кадымов В. А. К решению задачи JI. Прандтля об осадке полосы из идеально-пластического материала // В сб. «Трехмерные зад. мех-ки структ.-неодн. сред». Воронеж, 1991. - с. 107-114.

55. V.Kadymov, R.VIille. Plastic flow in piecewise-homogeneous layer//ZAMM.-1995,v.75, K'Sl.-pp.293-294.

56. V.Kadymov. Mathematical modeling of contact problems of plastic flow//Nonlinear analysis.-1997,v.30,№8.-pp.5259-5265.

57. Курант P. Уравнения с частными производными // М., Мир. 1964. -830с.

58. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести // М., Машин-е. 1975. - 400с.

59. Мохель А.Н., Салганик P.JI. Тонкий идеально-пластичный слой с произвольным контуром, сжимаемый между жесткими плитами // Докл. АН СССР 1987, 293, № 4. - с. 809-813.

60. Мясищев А. А. Решение в рядах задачи о сжатии жесткопластического слоя шероховатыми плитами // Изв. вузов. Черн. металл-я. 1986, К' 1, - с. 81-103.

61. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел // М., Ил. 1954. - 647с.

62. Непершин Р.И. Кинематически определимые .плоского пластического течения жесткопластического тела // Пробл. мех. неупр. дефор. Сб. статей. К 70-летию Д.Д. Ивлева, М., Физматлит, 2001, с. 245-259.

63. Огибалов П.М., Кийко И.А., Кийко JI.K. Растекание тонкого пластического-слоя // Прикл. механика. 1988, т. 24, № 10. - с. 88—94. .

64. Огибалов П.М., Кийко И.А. задачи пластических течений // Инжен. журн. 1961, т.1, вып. 3. - с. 181-184.

65. Огибалов П.М., Кийко И. А. Определение усилий штамповки и прессования некоторых элементов конструкций // В кн. «Расчеты процессов пласт, форм-я мет.», М., Мир, -1962, с. 73-77.

66. Огородников В. А. Оценка деформируемости металлов при обработке давлением // Кузнечно-штамповое производство, 1977, э.З, с. 15-18.

67. Остсемин А.А. Обобщение решения задачи Прандтля о сжатии пластического слоя двумя шероховатыми плитами // Пробл. прочн. 1991, II' 12. - с. 70-74.

68. Поздеев А.А., Няшин Ю.И., Трусов П.В. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. М., Наука. - 1986.

69. Prandtl L. Anwendungsbeispiele zu einem Henckyschen satz tiberdas plastische Gleichgewicht //ZAMM/ 1923, № 3, - p. 401-406.

70. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т. 1 и 2 // М., Наука. 1970. - 536с. И 568с.

71. Седов Л.И. Методы подобия и размерностей в механике // М., Наука. 1967. - 468с.

72. Сегал В.М. Технологические задачи теории пластичности // Минск, Наука и техн. 1977 -253с.

73. СенашовС.И. Поля скоростей в задаче Прандтля о сжатии пластического слоя //Журн.прикл.мех.и техн.'физ.-1984,№1.- с.155- 156.

74. Смиров-Аляев Г.А., Розенберг В.М. Теория пластических 'деформаций металлов // M.-JI., Машгиз. 1956. - 367с.

75. Соколов Л.Д. Сопротивление материалов пластической деформации // М., Метал-я. 1963. - 284с.

76. Соколовский В.В. Теория пластичности // М., Высшая школа. 1969. - 608с.

77. Соловьев Г.Х. Контактные задачи динамики пластических слоев (соавтор Кадымов В.А.)//Доклады XXXIX Международной научно-технической конференции "Приоритеты развития отечественного автомобилестроения''''. МАМИ ,2002 .- с. 10-11.

78. Соловьев Г.Х. К решению динамических контактных задач о растекании пластического слоя // Там-же., с. 22- 24.

79. Соловьев Г.Х. Некоторые новые решения контактных задач растекания пластического слоя (соавторы Кадымов В.А.,Бодунов Д.М.)//Тезисы докладов Всероссийской научньй конференции "Современные проблемы механики и информатики. Тула ,ТГУ, 2002.

80. Соловьев Г.Х. Обобщение задачи Прандтля на случай трехслойной полосы сжимемого материала.(соавтор Кадымов В .А.)//Тезисы докладов на Ломоносовских чтениях. МГУ ,2003.

81. Соловьев Г.Х. К вопросу об оптимальном проектировании процессов штамповки тонкостенных деталей(соавтор Кадымов В А )//Тезисы докладов на Ломоносовских чтениях .МГУ, 2004.

82. Соловьев Г.Х. Динамическая задача о растекании тонкого пластического слоя сжимаемого материала//Сб.Н трудов междун научно-тех конференции "Прогрессивные технологии и оборудование кузн-штамп производства" , М. МАМИ ,2003.-с.359-361.

83. Соловьев Г.Х Плоская задача о сжатии пластической полосы из сжимаемого материала в динамической постановке // Рук.деп.в ВИНИТИ РАН,№1573-В2004.-24с.

84. Соловьев Г.Х К постановке и решению нестационарной задачи растекания пластического слоя между упруго-деформируемыми поверхностями

85. Рук.деп.в ВИНИТИ РАН,№1574-В2004.-18с.

86. Тарновский И.Я., Поздеев А.А. и др. Теория обработки металлов давлением // М., Металлургизд. 1963. - 672с.

87. Тарновский И.Я., Леванов А.Н., Посеваткин М.И. Контактные напряжения при пластической деформации // М., Металлургия. 1966. - 27 9с.

88. Толоконников Л.А., Маркин А. А. Определяющие соотношения при конечных деформациях // Пробл. мех. деф. тв. тела, Калинин. 1986. - с. 49-57.

89. Томленов А. Д. Теория пластического деформирования металлов // М., Металлургия. 1972. - 408с.

90. Толоконников Л.А., Пеньков В.Б. Некоторые эффективные решения задачи о скольжении металла в слое // Прикл. мех. 1990, 26, № 9. - с. 75-82.

91. ЭО.Томсен Э., Янг К., Кобояши Ш. Механика пластических деформаций при обработке металлов // М., Машиностроение. 1969. 503с.

92. Трикоми Ф. Интегральные уравнения // Изд. ИЛ, М., I960, 300с.

93. Тутышкин Н.Д. Осадка полосы между плоскопараллельными плитами // Изв. вузов. Машиностроение. 1982, № 5. - с. 33-37 .

94. Тутышкин Н.Д. Осесимметричное сжатие тонкослойного пластического материала // В сб. «Иссл. в обл. пласт, и обраб. мет. давлением». Тула, 1984. - с. 80-85.

95. Унксов Е.П. Инженерные методы расчета усилий при обработке металла давлением // М., Машгиз. 1955. -280с.

96. Унксов Е.П., Джонсон У., Колмогоров B.JI. и др. Теория пластических деформаций металлов // М., Машиностроение. -1969. 503с.

97. Хилл Р. Математическая теория пластичности // М., Гостехиздат. -1956. 407с.

98. Оихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления // Изд. Наука, 1969, т. 2., 800с. ЮО.Флитман JT.M. Пограничный слой в потоке пластической среды вблизи шероховатой поверхности //Прикл.матем. и мех.- 1985,49,^4.- с.ббЗ- 669.