Численное и физическое моделирование автоколебаний и авторотации тел в неограниченном потоке тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Моделирование вихревого слоя конечной толщины методом дискретных вихрей.

1.1. Цели и задачи исследования.

1.2. Задача о слое с периодическим возмущением.

1.3. Задача о свободном вихревом слое, разделяющем два потока, с локализованным начальным возмущением.

В ряде областей современной техники появляется необходимость рассмотрения нестационарных дозвуковых течений около вращающихся или колеблющихся плохообтекаемых тел и экранов (парашютные системы, антенные устройства, флюгера, паруса, различные тела с оперением и др.). Для обеспечения надежного функционирования данных технических систем необходим точный прогноз их поведения при наличии у них степеней свободы в зависимости от геометрических параметров и от ориентации в потоке. Однако обтекание таких тел характеризуется возникновением и развитием в результате отрыва с острых кромок сложной системы распределенных вихрей, а также потерей устойчивости вихревой пелены. Кроме того, существует нетривиальная взаимосвязь между картиной течения и движением самих тел. В такой ситуации применение прямых методов численного моделирования может быть затруднено. В связи с этим актуально как развитие более простых методов расчета, позволяющих воспроизвести динамику вихрей (например, метода дискретных вихрей), так и проведение экспериментальных исследований. Этим вопросам и посвящена настоящая диссертация.

Генерация, эволюция и взаимодействие свободных вихревых слоев являются преобладающими чертами многих аэродинамических течений (стационарных и нестационарных, сжимаемых и несжимаемых) около крыльев, плохообтекаемых тел или их компоновок. Вихревой слой, образующийся и существующий в спутном следе несущих поверхностей конечного размаха в крейсерском режиме, дает начало известной картине концевых вихрей. Сильно стреловидные крылья с острыми кромками, тонкие тела и более сложные конфигурации, встречающиеся в летательных аппаратах, при относительно больших углах атаки дают обширные области вихревого течения как вокруг тела, так и в его спутном следе (известная "задача больших а"). Эти течения могут быть симметричными или асимметричными и сопровождаться крупномасштабной потерей устойчивости (слияние и распад вихрей, многоячейковые вихри). Взаимодействие вихрей с управляемыми поверхностями приводит к серьезным проблемам в управлении. Таким образом, проблема моделирования вихревых течений представляет большой практический интерес, что побудило многих исследователей заняться этой проблемой.

Гельмгольц (1858) впервые показал, что в идеальной среде (как в жидкой, так и в газообразной) вихревые линии постоянно связаны с одними и теми же элементами среды и что вихревое течение можно моделировать конечным набором вихрей с подходящей циркуляцией и "бесконечно малым поперечным сечением", т.е. дискретными вихревыми линиями [1]. Современное развитие одного из классических вихревых методов - метода дискретных вихрей (МДВ) - связано с именем С.М. Белоцерковского [2-3], а математическое обоснование многих аспектов метода дал И.К. Лифанов [3-4].

Существо вычислительных методов вихрей составляет лагранжево или лагранжево-эйлерово описание поля завихренности при соответствующей его дискретизации [5]. Исследование обтекания сплошных (т.е. непроницаемых) тел с помощью методов вихрей требует задания граничного условия непротекания (т.е. равенства нормальной к поверхности тела скорости среды и нормальной скорости самой поверхности тела), которое должно выполняться в конечном наборе контрольных точек [6]. При этом сама поверхность тела моделируется с помощью расположенных на ней присоединенных вихрей [7]. Если моделируются плохообтекаемые тела, то предполагается, что рождение свободной завихренности происходит на острых кромках. Для задания граничного условия на острой кромке при моделировании отрывных течений обычно используется предположение [8] о непрерывности потока завихренности при сходе вихревой пелены с острых кромок обтекаемых тел. В случае, когда решается двумерная плоская задача, в качестве дискретных вихревых элементов используются бесконечные прямолинейные вихревые нити [9]. Скорости, индуцированные каждым вихревым элементом, вычисляются по закону Био-Савара, что позволяет в ряде случаев получить сравнительно простые аналитические выражения для этих скоростей [10].

Следует отметить, что в реальности после своего рождения свободный вихревой слой претерпевает существенную трансформацию, прежде чем превратиться в распределенный вихревой след. Эта трансформация связана с процессом потери устойчивости в результате развития малых возмущений слоя. Данный процесс сильно зависит от толщины сошедшего в поток слоя, которая в действительности и в физическом эксперименте из-за влияния вязкости всегда конечна. Это обстоятельство оказывает решающее влияние на характеристики развития неустойчивости слоя [11-13].

В традиционном варианте метода дискретных вихрей свободный вихревой слой моделируется однократной цепочкой вихрей [5-6,14]. Однако при любом выборе параметров дискретизации (расстояния между вихрями, циркуляции каждого вихря и шага по времени) такая цепочка всегда неустойчива, в отличие от вихревого слоя конечной толщины [11]. Это особенно важно при сопоставлении характерных масштабов и частот в случае колебаний потока. Неучет конечной толщины вихревых слоев может приводить к различным результатам при использовании метода дискретных вихрей, в частности и к совпадению расчетных параметров наименее неустойчивых дорожек Кармана с некоторыми экспериментами [5, 12,13]. Кроме того, при моделировании слоя однократной цепочкой физически не обоснован предельный переход при неограниченном возрастании числа вихрей и неограниченном уменьшении расстояний между ними, т.к. в пределе мы получим тангенциальную поверхность разрыва скорости, которая как математический объект существует, но физически не реализуется в силу своей абсолютной неустойчивости к любым малым возмущениям (см., например, работу [47]).

Для выявления закономерностей поведения реальных вихревых слоев в ряде работ была рассмотрена модельная задача о границе между двумя параллельными несжимаемыми потоками, которая представляет собой сдвиговой (т.е. вихревой) слой. Данная задача решалась аналитически, экспериментально и численно [15].

Аналитическое исследование неустойчивости свободного течения сдвига (неустойчивости Кельвина-Гельмгольца) впервые проведено Рэлеем [25]. В [25] в линейном приближении исследована зависимость характеристик устойчивости сдвигового слоя конечной толщины от длины волны малого периодического возмущения. Жидкость считалась невязкой и несжимаемой. Было показано, что сдвиговой слой устойчив к коротковолновым возмущениям и неустойчив к возмущениям с длиной волны, более чем в 5 раз превышающей толщину слоя. При этом максимальная неустойчивость имеет место, когда длина волны примерно в 8 раз превышает толщину слоя. В процессе потери устойчивости слой вырождается в совокупность когерентных вихревых структур. Как показано в [16], в этом случае линии тока стягиваются перед максимумами и минимумами волновых возмущений и расходятся за ними. Поэтому давление в "гребнях" и "впадинах" больше, чем вовне. Результирующие градиенты давления (противоположного знака) и моменты сил усиливают и закручивают начальную волну возмущения. Дополнительное исследование вопросов устойчивости вихревого слоя конечной толщины содержится в работе [48].

Метод дискретных вихрей при решении данной задачи, по-видимому, впервые применил Розенхед [17]. Он также исследовал эволюцию синусоидального возмущения двумерного вихревого слоя, разделяющего два потока одинаковой плотности с одинаковой, но противоположно направленной скоростью. Расчеты, проведенные вручную (более четырех временных шагов), продемонстрировали процесс свертывания, по крайней мере, на начальных стадиях движения. Однако этот результат был обнадеживающим отчасти благодаря отсутствию компьютера. В [18] расчеты Розенхеда были повторены еще раз, причем было сделано 16 временных шагов вместо четырех. В результате вихревой слой распался на вихревые кластеры самым неупорядоченным образом, что противоречило наблюдаемой в эксперименте картине жгутования вихревых слоев.

В [19-20] в рамках метода дискретных вихрей впервые исследовалась неустойчивость сдвигового слоя конечной толщины с линейным распределением скоростей (т.е. постоянной завихренностью). Используя три или четыре параллельных ряда линейных вихрей, удалось показать, что сдвиговой слой в целом, как и отдельные ряды, свертывается в вихревые жгуты (тем плотнее, чем больше скорость роста возмущения), что качественно соответствовало данным эксперимента. В [21] аналогичный толстый сдвиговой слой моделировался несколькими параллельными рядами вихрей, подобно тому, как это ранее делалось в [19]. При этом ядро вихря вращалось как твердое тело, а отдельная когерентная структура состояла из совокупности многих дискретных вихрей. Однако подобные подходы требовали рассмотрения достаточно большого количества вихрей, поэтому в то время не получили широкого распространения. В настоящее время благодаря мощному скачку в развитии вычислительной техники этот подход становится все более актуальным.

Альтернативным приближенным способом учета толщины вихревого слоя является введение соответствующих поправок к индуцированной скорости движения вихрей при моделировании слоя их однократной цепочкой [22-23]. Это позволило добиться неплохого согласования полученных в расчете характеристик устойчивости слоя с полученными ранее аналитически в работе [25] зависимостями инкремента возрастания амплитуды малых возмущений от длины волны.

В [24] при моделировании слоя смешения использовались вихревые "зерна" и метод случайных блужданий. Расчеты с "зернами" постоянного радиуса оказались неудовлетворительными. Однако при использовании экспоненциально расширяющихся (стареющих) зерен (вихрей Лэмба) результаты радикально изменились и пришли в хорошее согласие с данными эксперимента по напряжениям Рейнольдса и среднеквадратичным пульсациям скорости. Сделан вывод о том, что образование пар вихрей является основным механизмом роста возмущений.

Однако до настоящего времени оставался открытым вопрос, насколько характеристики устойчивости вихревого слоя при моделировании его системой цепочек дискретных вихрей на основе подхода [19-21] соответствуют результатам точного решения, полученного Рэлеем [25]. Таким образом, применение метода дискретных вихрей для моделирования эволюции вихревых слоев было не вполне обоснованным.

В связи с этим в первой главе настоящей диссертации проведено детальное исследование вихревого слоя конечной толщины, моделируемого в рамках метода дискретных вихрей несколькими вихревыми цепочками. Целями этого исследования были анализ характеристик устойчивости слоя и их сравнение как с результатами точного решения [25], так и с результатами расчетов [22-23], полученными при учете толщины слоя в рамках приближенного подхода. Еще одной причиной, по которой данное исследование представляло интерес, является то, что, как говорилось выше, до сих пор нет однозначного ответа на вопрос о сходимости решения, получаемого методом дискретных вихрей при измельчении вихрей и увеличении их числа. Представление вихревого слоя разным количеством цепочек с разной плотностью распределения вихрей при фиксированной суммарной толщине слоя и при фиксированной величине завихренности в нем может показать тенденции изменения решения при раздроблении вихрей.

Во второй главе диссертации осуществляется численное решение модельной задачи о двумерном нестационарном отрывном обтекании несжимаемой средой симметричной системы пластин, неподвижно закрепленных на круговом цилиндре ортогонально к его поверхности (рассмотрены случаи двух пластин и четырех пластин). Исследуется случай, когда данная конструкция может свободно вращаться вокруг оси симметрии за счет взаимодействия с потоком. Данная задача представляет интерес, поскольку при движении в воздухе различных тел с оперением даже при сверхзвуковых скоростях полета поперечное обтекание оперенной части тела может быть дозвуковым и даже достаточно медленным. Поэтому если использовать аналог гипотезы плоских сечений, т.е. рассчитывать поперечное обтекание в некотором сечении независимо от общей картины течения, то можно решать задачу в двумерной постановке и считать воздух несжимаемым [26].

Возникает вопрос: может ли поперечное обтекание привести к развитию вращательных колебаний и вращению оперенного тела вокруг его оси и, если может, то при каких условиях ? Решение данного вопроса могло бы позволить не только предотвратить неконтролируемую авторотацию оперенных тел (форма которых в поперечном сечении может быть подобна цилиндру с четырьмя пластинами), но также снизить риск попадания самолетов в неуправляемый штопор (именно поэтому актуальна модельная задача о цилиндре с двумя пластинами - прообразе поперечного сечения самолета).

Изучение подобных проблем началось достаточно давно. Еще Н.Е. Жуковский рассматривал задачу о падении в воздухе вращающихся продолговатых пластин, а также задачу о самовращении в потоке воздуха вертушки, имеющей вид прямоугольной пластины, ось вращения которой, совпадая с осью симметрии, занимает вертикальное положение [27]. Н.Е. Жуковский первым предложил теоретическое объяснение того факта, что вертушка продолжает энергично вращаться в потоке воздуха после того, как ей сообщена начальная угловая скорость. Это объяснение основано на качественном анализе геометрии линий тока.

Существует ряд работ, в которых подобная задача решалась теоретически на основе квазистатической теории обтекания. В рамках этой теории аэродинамический момент, действующий на пластину, полностью определяется положением пластины относительно потока и вектором скорости центра давления относительно среды. В работе [28] при расчете воздействия среды на пластину предложено учесть влияние присоединенных масс, что дает возможность несколько расширить область применимости квазистатической теории. В результате удалось теоретически воспроизвести режимы автоколебаний и авторотации пластины при наличии у нее одной вращательной степени свободы (пластина считалась закрепленной на невесомом жестком стержне -державке). Полуэмпирический упрощенный подход к моделированию инерционных свойств потока среды, воздействующей на тело, предложен также в работе [29]. Однако подобные подходы не позволяют подробно исследовать механизм нестационарного взаимодействия пластины с потоком и выявить роль вихревой структуры потока в этом взаимодействии. Кроме того, в работе [30] на примере моделирования колебаний в потоке пластины бесконечного размаха на упругой подвеске показано, что при наличии существенных нелинейных эффектов, связанных со срывным режимом обтекания кромок пластины, нужно учитывать, что движение пластины зависит от действующей на нее аэродинамической нагрузки, которая сама зависит от движения пластины и от развивающегося вихревого следа, на который, в свою очередь, влияет характер движения пластины. Поэтому, вообще говоря, указанную взаимосвязь разрывать нельзя, и нужно проводить моделирование путем совместного решения систем уравнений динамики движения и нелинейной нестационарной аэродинамики. Практически это осуществляется последовательным решением этих уравнений шаг за шагом по времени.

В работе [31] для решения подобной задачи о падении в несжимаемой среде пластины бесконечного размаха был успешно использован метод дискретных вихрей. Это позволило одновременно решить задачу динамики и нестационарного обтекания и воспроизвести наблюдаемый в эксперименте эффект выхода падающей пластины на режим авторотации.

В работе [32] рассмотрено падение авторотирующей пластины с помощью численного метода, связывающего уравнения движения с тремя степенями свободы и двумерные уравнения Навье-Стокса. В данной работе задавалась начальная скорость движения пластины, и также был воспроизведен выход на режим авторотации.

Таким образом, в результате численного исследования была подтверждена возможность перехода свободно движущихся симметричных объектов при нестационарном обтекании к режиму авторотации. Однако при этом вопросы о возможности существования, наряду с режимом авторотации, режима автоколебаний таких объектов и об областях изменения геометрических параметров, для которых реализуется тот или иной режим, остались до конца не выясненными в рамках подхода, предполагающего совместное моделирование движения и нестационарного обтекания тел. Кроме того, был неясен вопрос, возможны ли переходные или неустойчивые режимы, когда после серии колебаний объект переходит к вращению или, наоборот, после нескольких оборотов объект переходит к колебаниям. Для решения этих проблем и было предпринято соответствующее исследование во второй главе диссертации.

Поскольку поведение рассматриваемого объекта во многом определяется динамикой свободных вихревых слоев и процессами развития их неустойчивости, было важно правильно смоделировать развитие возмущений в слоях. С этой целью во второй главе использовалась модификация метода дискретных вихрей, апробированная и обоснованная в первой главе. В данной модификации вихревой слой в момент его отрыва с острых кромок заменялся не одной, как в традиционном варианте метода, а двумя вихревыми цепочками. Это позволило учесть конечную толщину реального вихревого слоя. При этом предполагалось, что начальное распределение завихренности в слое в момент его рождения однородно.

Наконец, третья глава диссертации посвящена экспериментальному исследованию поведения аналогичных конструкций в случае конечной длины цилиндра при их нестационарном обтекании дозвуковым потоком воздуха. Для сравнения было также исследовано движение в потоке воздуха "вертушки Н.Е. Жуковского" - прямоугольной пластины при наличии у нее одной вращательной степени свободы (ось вращения делила пластину на два равных прямоугольника).

Экспериментальные исследования нестационарного обтекания вращающихся и колеблющихся объектов проводились и ранее. В работах [33-34] исследовались аэродинамические характеристики типовых элементов антенных устройств, в качестве которых выступали вращающиеся пластины различной формы. В работе [35] также определялись аэродинамические характеристики различных вращающихся тел. Зависимость нестационарных характеристик прямоугольных крыльев от их удлинения исследовалась в работе [36]. Нестационарные динамические характеристики профиля КАСА-0018 получены в работе [37].

Однако в перечисленных работах закон движения объектов был задан. Экспериментальных данных о свободном движении плохообтекаемых тел, даже при наличии всего лишь одной вращательной степени свободы, в литературе значительно меньше. В качестве примера можно привести работу Н.Е. Жуковского [27], в которой произведена обработка результатов экспериментов с самовращением прямоугольных пластинок, проведенных в Аэродинамическом институте в Кучине, и показано, что угловая скорость вращения пластины практически линейно зависит от скорости потока. Однако вопрос о возможности выхода пластины на режим самовращения из состояния покоя в данной работе не исследовался. В работах [38-40] экспериментально исследовано явление динамического гистерезиса при вращении прямоугольной пластины и определены условия, при которых возможен ее выход на режим свободного вращения из начального состояния покоя. Однако вопрос о поведении объектов более сложной геометрии при наличии вращательной степени свободы остается пока малоизученным.

В связи с этим было необходимо продолжить экспериментальные исследования в данном направлении, расширить класс изучаемых объектов и получить систематические экспериментальные данные об их поведении при наличии вращательной степени свободы в зависимости от геометрических параметров и от начальной ориентации относительно набегающего потока. При этом важно было установить особенности различных режимов поведения тел, включая автоколебания, авторотацию и различные переходные режимы, провести их классификацию и определить области изменения параметров, для которых реализуется тот или иной режим. Данные результаты позволили бы, во-первых, проверить адекватность применяемых во второй главе диссертации расчетных моделей и, во-вторых, получить некоторые практические рекомендации для предотвращения выхода оперенных объектов или самолетов в процессе полета на нежелательный режим.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследован вопрос об адекватном численном моделировании эволюции реальных свободных вихревых слоев, возникающих при отрыве с острых кромок, в рамках метода дискретных вихрей. Предложено представлять двумерные вихревые слои конечной толщины в виде нескольких параллельных цепочек бесконечных вихревых нитей.

Показано, что при моделировании слоя двумя и более цепочками дискретных вихрей характеристики его устойчивости при периодических возмущениях оказываются близкими к реальным, т.е. зависимость инкремента возрастания амплитуды возмущения от длины волны согласуется с теорией Рэлея. Также показано, что в свободных слоях смешения, моделируемых двумя и более цепочками, при локализованном начальном возмущении развивается неустойчивость Кельвина-Гельмгольца с длиной волны, близкой к точке максимума для инкремента возрастания амплитуды периодического возмущения.

На основе предложенной модификации метода дискретных вихрей осуществлено численное моделирование двумерного нестационарного отрывного обтекания несжимаемой средой симметричной системы пластин, неподвижно закрепленных на круговом цилиндре ортогонально к его поверхности (рассмотрены случаи двух пластин и четырех пластин). Исследован случай, когда данная конструкция может свободно вращаться вокруг оси симметрии за счет взаимодействия с потоком.

В результате расчетов получено, что в зависимости от числа пластин, от их относительной длины и от начального угла наклона выделенной пластины к вектору скорости набегающего потока возможны два принципиально различных режима поведения конструкции. Первый режим - это свободные колебания около положения с углом наклона, близким к 90°, для случая двух пластин и с углом наклона, близким к 45°, для случая четырех пластин. Второй режим - это свободное вращение за счет взаимодействия с набегающим потоком. Получены также различные переходные режимы. Определены области изменения параметров, для которых в расчете реализуется тот или иной режим.

Проведено экспериментальное исследование поведения аналогичных конструкций в случае конечной длины цилиндра при их обтекании дозвуковым потоком воздуха. В результате эксперимента подтверждено существование режимов автоколебаний и авторотации исследуемых тел, а также различных переходных режимов.

В результате эксперимента получено, что режим авторотации реализуется при начальных углах атаки выделенной пластины, близких к 0°, а режим автоколебаний - при начальных углах атаки, близких к 90°, в случае двух пластин и при начальных углах атаки, близких к 45°, в случае четырех пластин, что качественно соответствует результатам расчетов.

Экспериментально исследовано влияние относительной длины пластин на реализацию того или иного режима. Показано, что с ростом относительной длины пластин диапазон начальных углов атаки, для которого выход на режим авторотации происходит сразу после освобождения конструкции, сначала расширяется, а затем сужается, что качественно соответствует результатам расчетов.

Апробированная в диссертации модификация метода дискретных вихрей, учитывающая конечную толщину свободных вихревых слоев, позволит расширить область применимости и степень обоснованности данного метода и исследовать его сходимость.

Использование предложенной в диссертации модификации метода дискретных вихрей позволит более точно рассчитывать эволюцию реальных свободных вихревых слоев при решении нестационарных задач аэрогидродинамики, в том числе, при решении сложных сопряженных задач о нестационарном обтекании твердых тел при наличии у них степеней свободы.

Численные и экспериментальные результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы при выборе оптимальных геометрических параметров различных технических устройств. Одновременно с этим показана принципиальная возможность создания новых типов устройств для использования энергии ветра, у которых ось вращения ортогональна набегающему потоку.

1. Tait P.G. "On 1.tegrals of the Hydrodynamic Equations which Express Vortex Method", Phil. Mag. (4), 1867, vol.33, pp.485-512.

2. Белоцерковский C.M. Основные идеи методов дискретных вихрей и дискретных особенностей. Вопросы кибернетики: Сборник научных трудов, АН СССР, 1986.

3. Белоцерковский С.М., ЛифановИ.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. Москва, Наука, 1985.

4. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. Москва, Янус-К, 1995.

5. Сарпкайя Т. Вычислительные методы вихрей. Фримановская лекция (1988). Современное машиностроение, серия А, 1989, №10, с. 1-60.

6. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М., Наука, 1978, 352 с.

7. Жуковский Н.Е. О присоединенных вихрях (1906). Избранные сочинения, т. 2, Москва-Ленинград, Гостехиздат, 1948.

8. Белоцерковский С.М., Котовский В.Н., Ништ М.И., Федоров P.M. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел. Москва, Наука, 1988.

9. Горелов Д.Н. Методы решения плоских краевых задач теории крыла. Новосибирск, издательство Сибирского отделения РАН, 2000. 216 с.

10. Ю.Бабкин В.И., Белоцерковский С.М., Гуляев В.В., ДворакА.В. Струи и несущие поверхности. Моделирование на ЭВМ. Москва, "Наука", 1989,208 с.

11. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М., Мир, 1971,350 с.

12. Герценштейн С.Я. Гидродинамическая турбулентность и неустойчивость. Материалы юбилейной конференции. В сб.

13. Аэромеханика и космические исследования», М., Изд. ЦНИИС, 2002, с. 44-52.

14. Петров Г.И. Об устойчивости вихревых слоев. Труды ЦАГИ, 1937, вып. 304, 24 с.

15. Белоцерковский С.М., Гиневский A.C. Моделирование турбулентных струй и следов на основе метода дискретных вихрей. М., Физ-мат. лит., 1995, 386 с.

16. Но С. М. and HuerreP. Perturbed Free Shear Layers. Ann. Rev. Fluid Mech., 1984, Vol. 16, pp. 365-424.

17. Rizzi A. and EngquistB. Selected Topics in the Theory and Practice of Computational Fluid Dynamics. J. comput. Phys., 1987, Vol. 72, pp. 169.

18. Rosenhead L. The Formation of Vortices from a Surface of Discontinuity. Proc. Roy. Soc. Series A, 1931, Vol. 134, pp. 170-192.

19. Birkhoff G.D. and Fisher. Do Vortex Sheets Roll up? Circ. Mat. Palermo, 1959, Ser. 2, Vol. 8, pp. 77-90.

20. Michalke A. On the Instability and Nonlinear Development of Disturbed Shear Layer. Hermann Fottinger Inst. Fur Stromungstechnik, Berlin TN, 1963, №2.

21. Michalke A. Zur Instabilität und Nichtlinearen Entwicklung and Gestorten Schierschicht. Ing. Arch., 1964, vol. 33, pp. 264-276.

22. Acton E. The Modeling of Large Eddies in a Two-Dimensional Shear Layer. J. Fluid Mech., 1976, Vol. 76, pp. 561-592.

23. Дынникова Г.Я. Моделирование неустойчивости Кельвина-Гельмгольца модифицированным методом дискретных вихрей. Учёные записки ЦАГИ, том XXII, №3, 1991, с. 25-34.

24. Дынникова Г.Я. Моделирование свободного сдвигового течения методом непрерывного вихревого слоя // Известия РАН, механика жидкости и газа, 1999, № 1, с. 42-50.

25. BabaN. and MiyataH. Higher-Order Accurate Difference Solutions of Vortex Generation from a Circular Cylinder in an Oscillatory Flow. J. Comput. Phys., 1987, Vol. 69, pp.362-396.

26. Rayleigh L. The theory of sound. V. I. London, 1926. (Рэлей Д. Теория звука. Т. 1. М., Гостехиздат, 1955, 503 с.)

27. Аэродинамика ракет: в 2-х книгах. Книга 2. Пер. с англ. / Под ред. М. Хемша, Дж. Нилсена. М.: Мир, 1989, 426 с.

28. Жуковский Н.Е. О падении в воздухе легких продолговатых тел, вращающихся около своей продольной оси (статья первая и статья вторая). // Полн. собр. соч., М.; JL: Государственное издательство технико-теоретической литературы. 1949. Т. 4. С. 41-68.

29. Локшин Б.Я., Самсонов В.А. Расчетно-аналитическое исследование поведения аэродинамического маятника. // Вестник Московского университета, серия 1 (математика и механика). 1996. № 6. С. 50-52.

30. Самсонов В.А., Селюцкий Ю.Д. О возможности учета инерционных свойств потока среды, воздействующей на тело. Москва, Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2000.

31. Апаринов В.А., Морозов В.И. Нелинейные колебания тонкого профиля в нестационарном потоке при отрывном и безотрывном обтекании. // Взаимодействие оболочек с жидкостью. Казань: АН СССР, Каз. Филиал, 1981, вып. 14, с. 170-176.

32. Апаринов В.А., НиштМ.И., Стрелков Г.Н. Математическое моделирование падения в жидкости пластины бесконечного размаха. //Известия АН СССР, механика твердого тела. 1989. № з. С. 179-184.

33. Gallarvay C.R., Hankey W.L. Free-falling Autorotating Plate a Coupled Fluid and Flight Mechanics Problem. J. Aircraft. 1985, 22, № 11.

34. Худяков Г.Е., МасеевМ.М., ТимошукЛ.Т. Исследование азимутального момента типовых элементов антенных устройств. Отчет Института механики МГУ, №1727, 1975.

35. Масеев М.М., МолинаМ.Л., Тимошук Л.Т., Худяков Г.Е. Исследование аэродинамических характеристик элементов антенных устройств. Отчет Института механики МГУ, № 2862, 1983.

36. Масеев М.М., Худяков Г.Е. Экспериментальное исследование аэродинамических характеристик вращающегося тела. Отчет Института механики МГУ, №2099, 1978.

37. Гребешов Э.П., Шакарвене Е.П. Нестационарные характеристики трех прямоугольных крыльев различного удлинения. Труды ЦАГИ, выпуск 2485, 1989.

38. Карликов В.П., Хомяков А.Н., Шоломович Г.И. Нестационарные динамические характеристики профиля ЫАСА-0018. Отчет Института механики МГУ № 4042, 1991.

39. Андронов П.Р., ИсвандХ. Численное и физическое моделирование обтекания вращающейся пластины // Отчет № 4607, Институт механики МГУ. Москва. 2002. 91 с.

40. Гоман О.Г., КарплюкВ.И., НиштМ.И., Судаков А.Г. Численное моделирование осесимметричных отрывных течений несжимаемой жидкости. Под ред. Ништа М.И. Москва, Машиностроение, 1993.

41. Аэродинамические трубы Института механики. Научные труды Института механики, №14,1971.

42. Нестеров Ю.А., Розенбаум К.Р., Слезингер И.И. Шестикомпонентные весы для определения аэродинамических характеристик вращающихся объектов. Отчет Института механики МГУ, №1174, 1972.

43. Беляева Р.В. и др. Наладка и испытания шестикомпонентных весов 6КВ. Отчет Института механики МГУ, №1469, 1973.

44. Аэродинамические установки Института механики МГУ. / Под ред. Г.Г.Черного, А.И. Зубкова, Ю.А.Панова. М.: Издательство Московского университета, 1985, 44 с.

45. Горлин С.М. Экспериментальная аэромеханика. Москва, Высшая школа, 1970, 423 с.

46. Ландау Л.Д., ЛифшицЕ.М. Теоретическая физика: Учебное пособие. В 10 т. Т. 6. Гидродинамика. 3-е изд., перераб. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 736 с.

47. Сэффмэн Ф.Дж. Динамика вихрей. М.: Научный мир, 2000, 376 с.

48. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. Пер. с англ. Москва, «Мир», 1973.

49. Седов Л.И. Механика сплошной среды (том 1). Москва, Наука, 1973, 536 с.

50. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. Москва, Наука, 1966,448 с.

51. Кочин Н.Е., КибельИ.А., РозеН.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1. Москва, Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1955, 560 с.

52. Прандтль Л. Гидроаэромеханика. Москва, ИЛ, 1951.

53. М. Ван-Дайк. Альбом течений жидкости и газа: пер., с англ. М.: Мир, 1986, 184 с.