Численное исследование бифуркаций в задаче о конвекции бинарной смеси в замкнутой области

Шкарапута, Александр Петрович

Численное исследование бифуркаций в задаче о конвекции бинарной смеси в замкнутой области тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Шкарапута, Александр Петрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Пермь МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Численное исследование бифуркаций в задаче о конвекции бинарной смеси в замкнутой области»

Автореферат диссертации на тему "Численное исследование бифуркаций в задаче о конвекции бинарной смеси в замкнутой области"

На правах рукописи

Шкарапута Александр Петрович

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ БИФУРКАЦИЙ В ЗАДАЧЕ О КОНВЕКЦИИ БИНАРНОЙ СМЕСИ В ЗАМКНУТОЙ

ОБЛАСТИ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь 2006

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и информатики Пермского государственного университета

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор

Русаков Сергей Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, доцент

Смородин Борис Леонидович

кандидат физ.-мат. наук. Перминов Анатолий Викторович

Ведущая организация: Тюменский государственный университет

Защита состоится «13» июня 2006 г. в 1515 на заседании диссертационного совета Д 212.189.06 в Пермском государственном университете по адресу: 614990. г. Пермь, ул. Букирева, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета.

Автореферат разослан и^лЛХ^Я-^ 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доцент С 1 гХьК'^йИМ Г.И. Субботин

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Явления тепло- и массопереноса в смесях являются важной составляющей в ряду общих гидродинамических проблем и имеют большую ценность с точки зрения практических приложений, обусловливающих, в свою очередь, интерес к моделированию и теоретическому изучению. В частности, эффект термодиффузии давно уже используется не только для сегрегации смеси, но и для разделения изотопов, а также при выращивании кристаллов. Это же явление лежит в основе изучения множества других проблем от геологии до астрофизики.

Для исследования процессов тепломассообмена большое значение имеют вопросы, связанные с проблемами возникновения и развития конвективного движения (т.е. относящиеся к теории устойчивости равновесия и течений сплошной среды), так как знание закономерностей устойчивости равновесия и течений во многих случаях позволяет управлять механизмами кризиса.

Данная работа представляет собой численное исследование явлений тепло- и массопереноса (важное значение здесь имеет эффект термодиффузии) в замкнутой области на основе хорошо известных уравнений бинарной нереагирующей смеси.

Простая конфигурация изучаемой полости, близкие к реальным внешние условия, а также выбор для исследования наиболее распространенных смесей дают основание полагать, что результаты имеют конкретные практические приложения. С другой стороны, универсальность подходов и выводов позволяют использовать их для более широкого класса задач.

В замкнутой области для построения линейной теории возникают значительные трудности (зачастую непреодолимые). Исследования же нелинейных эффектов, в особенности для осложняющих факторов, таких как эффект термодиффузии и слабое отклонение градиента температуры от вертикального положения, довольно сложны. Важную роль в таких исследованиях приобретает вычислительный эксперимент.

Цель работы. Исследование нелинейных режимов, возникающих в замкнутой области в результате взаимодействия тепловых и концентрационных механизмов. Поиск методов для изучения и описания бифуркационных картин для амплитудных характеристик решения. Построение бифуркационных карт на основе зависимостей для критических чисел.

Научная новизна диссертационной работы.

1. Впервые для ньютоновских жидкостей достаточно детально проведено исследование бифуркационных картин, которым соответствует до пяти стационарных решений.

2. На основании численных расчетов построены зависимости критических чисел Рэлея от числа Соре и угла наклона, согласующихся в наиболее простых случаях с линейной теорией для массива с теплоизолированными границами.

3. Для исследования конвекции бинарной смеси получено представление зависимости амплитудных характеристик решения от числа Рэлея в виде корней полинома. Проведен анализ зависимостей коэффициентов полинома от параметров задачи. В результате показано, что с их помощью можно:

- находить критические числа (соответствующие точкам бифуркации);

- отслеживать качественные перестройки бифуркационных картин.

Автором представляются к защите:

- результаты численных расчетов для квадратной (в некоторых случаях прямоугольной) полости, подогреваемой сверху и снизу при вертикальном градиенте температуры с учетом нормального и аномального эффектов термодиффузии для жидких и газовых смесей;

- результаты численных расчетов для квадратной полости подогреваемой сверху и снизу при почти вертикальном градиенте температуры с учетом нормального и аномального эффектов термодиффузии для жидких и газовых смесей;

- результаты обработки бифуркационных картин с помощью представления амплитудных характеристик в виде корней полинома.

Достоверность результатов. Результаты согласуются с данными, представленными в работах других авторов, либо в предельных случаях данной задачи (например, в отсутствии эффекта термодиффузии), либо в случаях с близкими задачами (бесконечный слой, замкнутая область с теплоизолированными границами).

Публикации. Основные материалы диссертации изложены в 14 работах. Во всех работах представлены результаты численных расчетов (для конвекции бинарной смеси и их анализ), выполненных А.П. Шкарапутой. Соавтором работ является научный руководитель соискателя, участвующий в постановке исследуемых задач и обсуждении полученных результатов. В работах [2] и [3] соавтором является А.А. Щипанов, исследовавший проблему кристаллизации в цилиндрической области. В работе [6] соавторами являются И.В. Мельников, Д.В. Порошин, АЛ. Шарифулин. Здесь приводится качественное сравнение численных результатов (полученных Шкарапутой А.П.) с результатами слабонелинейной модели, исследуемой данными авторами.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Всероссийской, научной конференции «Фридмановские чтения» (Пермь, IX 1998), International Conference. «Advanced problems in thermal convection» (Perm, Г ХГ2003), 14-й 'Зимнбй"школе по механике сплошных сред. (Пермь, II 2005), Шестом Всероссийском семинаре «Сеточные методы для краевых задач и приложения»:,:'7 (Казань, IX 2005), Конференции молодых ученых «Неравновесные переходы в сплошных средах» (Пермь, XII 2005), а также на Пермском городском гидродинамическом семинаре имени Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого и на кафедре прикладной математики и информатики Пермского государственного университета.

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы для разделения компонент смеси, где управляющим параметром может являться угол наклона полости, основой (и критерием применимости) построения моделей, связанных с нелинейными эффектами. Также они могут

быть полезны для изучения различных явлений, где важную роль играет термодиффузионный эффект.

Содержание и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и заключения. Общий объем диссертации составляет 130 страниц, включая 73 рисунка. Список литературы содержит 117 наименований.

Общее содержание работы

Во введении обосновывается актуальность работы, ставятся цели и задачи исследования, сформулированы положения, выносимые на защиту, и приведены сведения об апробации работы.

В первой главе представлен обзор публикаций. Так как диссертационная работа тесно связана с такими понятиями, как конвекция в замкнутой области, тепло- и массоперенос в бинарной смеси (в частности, эффект термодиффузии), устойчивость (неустойчивость) равновесия и течений (в свою очередь связанную с терминами: особенности, бифуркации, катастрофы), то в обзоре, с одной стороны, делается попытка охватить явления, связанные с этими понятиями, с другой - рассмотреть работы, которые наиболее близки к исследуемой задаче. На основании обзора делается вывод. об актуальности исследования неустойчивости равновесия и конвективных течений в замкнутой области с учетом эффекта термодиффузии.

Вторая глава посвящена исследованию неустойчивости равновесия бинарной смеси в квадратной (в некоторых случаях прямоугольной) полости при строго вертикальном градиенте температуры.

Система уравнений решалась прямым численным интегрированием с помощью параметрической сплайн-схемы. Основные результаты, характеризующие конвективное движение, представлялись в виде зависимостей экстремальной функции тока от числа Рэлея.

Конвективное движение в бинарной смеси осуществляется с помощью двух механизмов: теплового и концентрационного. Из-за взаимодействия этих

механизмов корневой закон, соответствующий конвекции в отсутствие эффекта термодиффузии, может изменяться даже в отсутствие наклона полости.

А г" В С D

Рис. 1. Качественный вид бифуркационных картин при наличии эффекта термодиффузии

Качественный вид бифуркационных картин, полученных для данной постановки задачи, представлен на рис. 1. Рисунку 1,А соответствует обычная корневая зависимость вблизи критической точки. Такая картина соответствует задаче с подогревом снизу и нормальным эффектом термодиффузии при числах Льюиса, сравнимых с единицей (например, для газовых смесей). Аналогичная картина имеет место для задачи с подогревом сверху при аномальном эффекте термодиффузии. На рисунке 1,В представлена бифуркационная картина задачи с подогревом снизу и нормальным эффектом термодиффузии при числах Льюиса, много меньших единицы (например, для жидких смесей). Рисункам 1,С и 1Д> соответствует задача с подогревом снизу и аномальным эффектом термодиффузии. На первом из них отображена зависимость при малых (по модулю) числах Соре. В этом случае наблюдается эффект затягивания

устойчивости равновесия и имеется критическое число Рэлея, при котором происходит обратная вилочная бифуркация. Рисунку 2 соответствуют большие (по модулю) числа Соре. В этом случае неустойчивые решения не соединяются с осью абсцисс, и их ветви (для газовой смеси при е < -0.22) имеют асимптоты.

-10 1 Рис. 2. Зависимости критических чисел Рэлея от числа Соре для газовой смеси.1 Д — обычное критическое число Рэлея, 3 — «критическое» число Рэлея жесткого возбуждения.

Бифуркационная карта в случае подогрева снизу для газовой смеси в плоскости «критических» чисел Рэлея (Яас) - числа Соре (е) представлены на рис. 2. Аналогичные зависимости построены и для жидкой смеси. Показано, что зависимость критических чисел Рэлея (Ла*) от числа Лыоиса(£е) и числа

Яа *

Соре с точностью до О(в) определяется формулой: Ла* = -.....-■■—■......—, где

1 + (\ + а/Ье)Е

коэффициент а=1,5 для квадратной полости, Яа0* — 2585 соответствует критическому числу Рэлея в отсутствие эффекта термодиффузии.

В области отрицательных чисел Рэлея движение наблюдалось только при аномальном эффекте термодиффузии. Также были построены бифуркационные карты (и эмпирические зависимости) в плоскости критических чисел Рэлея -числа Соре. Для газовых смесей, с ростом числа Соре, в полости вдоль вертикальной оси обнаруживается трехвихревая структура. Средний вихрь вращается в противоположную сторону по отношению к верхнему и нижнему, вследствие этого имеется область, где с ростом числа Рэлея уменьшается эффективный тепловой поток через границы (определяемый числом Нуссельта).

Для более полного исследования эффектов в наиболее интересных случаях представлены зависимости кинетической энергии и числа Нуссельта от числа Рэлея.

В третьей главе рассматривается влияние угла наклона (по отношению к гравитационным силам) на устойчивость равновесия и конвективных течений в квадратной полости.

В случае подогрева снизу качественный вид бифуркационных картин с учетом угла наклона при нормальном эффекте термодиффузии показан на рис. 3. Для газовых смесей в этом случае реализуется только ситуация, представленная на рис. 3,0. Для жидких смесей имеют место все четыре ситуации. При соответствующих числах Соре с увеличением угла наклона последовательно реализуются картины под буквами А,В,С и Б. На рис. 3,В

имеется область гистерезиса между малоамплитудным и высокоамплитудным движением. Этой области соответствует пять стационарных решений.

А В 5 реш. С D

Рис. 3. Качественный вид бифуркационных картин для нормального Э1 при ненулевом угле наклона (подогрев снизу) >фекта термодиффузии

Для газовой и жидкой смеси построены бифуркационные поверхности в параметрическом пространстве «критических» чисел Рэлея, чисел Соре и угла наклона. Обозначены границы области, соответствующей пяти решениям (она ограничена не только большими углами наклона, но и большими (по модулю) числами Соре).

2000 3000

Рис. 4. А) Зависимость экстремальной функции тока от числа Рэлея для жидкой смеси при угле наклона а - Io и числе Соре е - 0.0 5\ 1,2 - устойчивые ветви решения, 3,4 -неустойчивые; В) Зависимости «критических» чисел Рэлея от угла наклона при с — 0.05 (1,2,3 — соответствуют Rai, Ra¡ и Ra¡)

На рис. 4,А представлен количественный вариант бифуркационной

картины с явлением гистерезиса при наклоне Ia и г = 0.05. На рис. 4,В

бифуркационная карта в плоскости «критических» чисел Рэлея — угла наклона

при том же значении числа Соре.

При аномальном эффекте термодиффузии (подогрев снизу) реализуются

ситуации, представленные на рис. 5. При появлении угла наклона симметрия

пропадает. Бифуркационные картины под буквами A,B.C,D рисунка 5

соответствуют поведению, как газовой, так и жидкой смеси. Из этих картин видно, что в той области, где угол наклона помогает конвекции, движение становится более интенсивным, а вместо нулевого решения (соответствующего механическому равновесию) возникает малоамплитудное. Между малоамплитудным и высокоамплитудным движением может наблюдаться явление гистерезиса (рис. 5,А и рис. 5,С), величина которого меняется с изменением угла наклона. Кроме того, меняется область, соответствующая пяти решениям, и при больших углах наклона она исчезает (рис. 5,С). Если и дальше увеличивать угол наклона, то ветвь малоамплитудного движения сливается с ветвью высокоамплитудного движения и гистерезис между ними пропадает

(рис. 5,Б).

А V ! в С Ч

5 рсш. /, "" 5 реш. -

0 С Е <

5 рсш. X.- - - 5 реш. -

Рис. 5. Качественный вид бифуркационных картин для аномального эффекта термодиффузии при ненулевом угле наклона (подогрев снизу)

В случае малых углов наклона и больших (по модулю) чисел Соре (рис. 5,В) амплитудная характеристика решения, соответствующая малоамплитудному движению, при достаточно больших числах Рэлея становится практически постоянной. Если неустойчивое решение и малоамплитудное решение имеют разные асимптоты, то они не соединяются, следовательно, в этом случае явления гистерезиса не наблюдается. Интересные результаты получаются для газовой смеси при Если г = -1, то

малоамплитудное движение пропадает (рис. 5,Е), а нулевое решение становится устойчивым при всех значениях числа Рэлея. Картина из-за угла

наклона остается несимметричной. Если |г|>1, то наблюдается переворот бифуркационной картины (рис. 5,Г) для малоамплитудного движения. Для газовой смеси при •£] < 1 построены бифуркационные карты в плоскости «критических» чисел Рэлея — угла наклона при различных значениях числа Соре.

А Г в С / V с У 1 ч D

X V

Рис. 6. Качественный вид бифуркационных картин для аномального э< при ненулевом угле наклона (газовая смесь, подогрев сверху) )фекта термодиффузии

При подогреве сверху и нормальном эффекте термодиффузии в полости возникает течение, причем для газовой смеси с ростом числа Рэлея, как и в случае аномального эффекта термодиффузии, возникает трехвихревое, вдоль вертикальной оси течение. Однако в этом случае все три вихря сонаправлены. В случае аномального эффекта (подогрев сверху) в газовой смеси с ростом (по модулю) числа Соре наблюдается переворот бифуркационной картины (рис. 6, слева направо).

0.0

5И0

-0.8

1000

Ra.

_Ra

—i—

1500

0.994 0.996 0.998 1.000

1.002

Рис. 7. Л) Зависимость экстремальной функции тока от числа Рэлея для газовой смеси при угле наклона а = 20° и числе Соре е = -0.999; В) Зависимости «критических» чисел Рэлея от числа Соре при а = 20°_

На рис. 7,А представлен количественный вариант бифуркационной картины с явлением гистерезиса при наклоне 20° и £' = -0.999, на рис. 7,В

бифуркационная карта в плоскости «критических» чисел Рэлея — числа Соре при том же наклоне. Исследованы также зависимости «критических» чисел от числа Соре (в большем диапазоне значений) и от угла наклона полости.

В четвертой главе в тех областях, где число решений равно пяти, зависимости экстремальных значений функции тока от числа Рэлея представляются в виде корней полинома (г - - г2)(г - 23)(г - г^Хг - г5) = О, где г - амплитудная характеристика решения. В результате строится полиномиальная зависимость г5 - Аг4 + Вгэ -Сг2 + Ог-Е = 0, где коэффициенты полинома являются функциями числа Рэлея, числа Соре и угла наклона полости.

Для аномального эффекта термодиффузии, в отсутствии наклона, картина симметрична и полином принимает вид: г(г4 - 2а-г7 + Ь) = 0, где а = - В/2 =

)!2,Ъ = Т> = ^\12.

Вычисления коэффициентов в этом случае показали, что они имеют линейный (или слабонелинейный) вид (рис. 8). При Ь=0 число Рэлея совпадает с его критическим значением, если угол наклона этого коэффициента р положителен, то неустойчивая ветвь не соединяется с осью абсцисс и имеет асимптоту.

Рис. 8. Зависимости коэффициентов для газовой смеси: А) Зависимость а от числа Рэлея: 1 -£■ = 0, 2 -£' = —0.05, 3 - £ = —0.1, 4 - £' = -0.2; В) Зависимость Ь от числа Рэлея: 1 -е = -0.05, 2 - £ = —0,1, 3 - £• = -0.2 _

Таким образом, можно записать Ц>№ * -2аа{Яа- 2 + Ь0{Ка - Ка)) - 0.

В жидкой смеси Яаэ принимает значения равные Яа0 .

При наличии угла наклона все коэффициенты становятся ненулевымн. Их исследование показало, что они имеют линейный вид. Были проведены расчеты при разных углах наклона и числах Соре. Показано, что зависимости аналогов коэффициентов а и Ь (В и О соответственно) от числа Рэлея при разных углах наклона ложатся на одну линию. Показано, что с помощью коэффициентов полинома можно исследовать эффект «переворота» с ростом (по модулю) числа Соре. С помощью коэффициентов полинома был исследован и «переворот» при подогреве сверху. Аналогичные расчеты проведены для коэффициентов полинома, полученных при нормальном эффекте термодиффузии для жидкой смеси (в области пяти решений). Во всех случаях коэффициенты полинома имели линейный или слабонелинейный вид.

В этой же главе исследуется применимость лимитационного метода для построения неустойчивых ветвей решения. При использовании этого метода начальные условия строились с помощью комбинации полей (с разными весами), соответствующих устойчивым решениям, между которыми находится неустойчивое решение или с помощью произвольных полей. В результате применения этого метода показано, что он хорошо подходит для построения неустойчивых ветвей решения для бифуркаций разного типа. Приводятся поля функции тока, температуры и концентрации метастабильного решения, с хорошей точностью соответствующего неустойчивому решению.

В приложении рассматривается используемая параметрическая сплайн-схема. Оценивается погрешность результатов в зависимости от шага сетки, показывается, что погрешность величин, полученных численно, не превышает 3%. Рассматривается влияние шага по времени на результаты.

Основные результаты и выводы диссертационной работы

1. Обнаружено большое многообразие бифуркационных картин, обусловленное взаимодействием теплового и концентрационного механизмов переноса.

г.

2. В случае подогрева снизу как при нормальном, так и при аномальном эффекте термодиффузии имеются области параметров задачи, где число стационарных решений равно пяти. В жидкой смеси при нормальном эффекте термодиффузии и наличии угла наклона наблюдается гистерезис между малоамплитудным и высокоамплитудным движением.

3. Для аномального эффекта термодиффузии как при подогреве сверху, так и снизу для газовой смеси с изменением числа Соре обнаружен несимметричный «переворот» бифуркационной картины. При е = — 1 имеет место двусторонняя бифуркация.

4. В результате численных расчетов получены формулы для критических чисел Рэлея в зависимости от числа Льюиса и числа Соре. Дана оценка их применимости. В наиболее простых случаях показано, что они согласуются с линейной теорией для массива с теплоизолированными границами.

5. Зависимости амплитудных характеристик решения от числа Рэлея представлены в виде корней полинома. Проведен анализ коэффициентов полинома. Показано, что с их помощью можно находить критические числа Рэлея, судить о поведении неустойчивых ветвей, исследовать качественные перестройки бифуркационных картин.

6. Построены бифуркационные карты в параметрическом пространстве «критических» чисел Рэлея, числа Соре и угла наклона.

7. Для газовой смеси при подогреве сверху, с ростом числа Рэлея, обнаруживается трехвихревая (по вертикали) картина течения. Для нормального и аномального эффекта термодиффузии направление центрального вихря противоположно.

Список публикаций

1. Русаков C.B., Шкарапута А.П. Численное исследование конвекции бинарной смеси в квадратной полости при малых углах наклона // Известия РАЕН. Математика. Математическое моделирование. Информатика и управление. Серия МММИУ. Т. 8, №№ 1-2. Самара, 2004. - С. 55-67.

2. Русаков C.B., Шкарапута А.П., Щипанов A.A. Исследование процессов тепло-, массопереноса бинарной смеси с учетом эффекта термодиффузии // Труды Второй Российской национальной конференции по теплообмену. В 8 томах. Т. 3. Свободная конвекция. Тепломассообмен при химических превращениях. М.: Издательство МЭИ, 1998.-С. 132-135.

3. Русаков C.B., Шкарапута А.П., Щипанов A.A. Исследование процессов рудообразования в интрузивах на основе модели термодиффузии // Фридмановские чтения. Всероссийская научная конференция. Тезисы докладов. Пермь: Пермский ун-т, 1998. - С. 67-68.

4. Русаков C.B., Шкарапута А.П. Проблема устойчивости бинарной смеси в горизонтальном слое // Труды V Международной электронной научной конференции. Современные проблемы информатизации в технике и технологиях. Воронеж, 2000. — С. 31-32.

5. Русаков C.B., Шкарапута А.П. Численное моделирование устойчивости механического равновесия бинарной смеси с учетом эффекта Соре // Третья Всероссийская научная internet-конференция. Компьютерное и математическое моделирование в естественных и технических науках. Вып. 12. Тамбов, 2001.— С. 10-12.

6. I. Melnikov, D. Poroshin, S. Rusakov, A. Sharifulin, A. Shkaraputa. Influence of the Soret effect on convection of binary fluids in closed cavity with moved wall: analytical and CFD modeling // International Conference. Advanced problems in thermal convection. Abstracts. Perm, 2003. — P. 180.

7. Русаков C.B., Шкарапута А.П. Численное исследование влияния эффекта термодиффузии на устойчивость равновесия бинарной смеси // Гидродинамика. Межвуз. сб. науч. трудов. Вып. 14. Пермь, 2004. — С. 200-214.

8. Русаков C.B., Шкарапута А.П. Свидетельство об отраслевой регистрации разработки № 3575 от 17 мая 2004 года «Программа численного решения уравнений движения нереагирующей бинарной смеси в приближении Буссинеска с использованием параметрической сплайн-схемы».

9. Русаков C.B., Шкарапута А.П. Исследование бифуркационной картины для задачи о неустойчивости равновесия бинарной смеси в замкнутой области // Научно-Образовательный Центр «Неравновесные переходы в сплошных средах». Итоги работы за 2004 год. Пермь. 2005. - С. 46-49.

10. Русаков C.B., Шкарапута А.П. Численное исследование бифуркаций решений в задаче о конвекции бинарной смеси в замкнутой области. // XIV-я Международная Конференция по Вычислительной Механике и Современным Прикладным Программным Системам. Тез. конф., Алушта, Крым, 2005. — С. 398-399.

11. Русаков C.B., Шкарапута А.П. Численное исследование бифуркаций решений в задаче о конвекции бинарной смеси. // 14-я Зимняя школа по механике сплошных сред. Тез. конф., Пермь, 2005. — С. 257.

12. Шкарапута А.П. Многообразие бифуркационных картин в задаче о конвекции бинарной смеси в замкнутой области. // Конференция молодых ученых «Неравновесные переходы в сплошных средах» Тез. конф., Пермь, 2005.-С. 85-86.

13. Русаков C.B., Шкарапута А.П. Применение аппарата теории катастроф для исследования бифуркационных картин решений в задаче о конвекции бинарной смеси в замкнутой области. Н Гидродинамика. Межвуз. сб. науч. трудов. Пермь, вып. 15., 2005. —С. 136-148.

14. Русаков C.B., Шкарапута А.П. Проблема нахождения неустойчивых решений в конвективных задачах методом сеток. // Материалы Шестого Всеросийского семинара «Сеточные методы для краевых задач и приложения». Казань, 2005.-С.187-191.

Подписано в печать 10.05.2006. Формат 60x84 1/16.Бум.офс. Печать офсетная. Тираж 100 экз. Заказ № 384 Отпечатано на ризографе ООО Учебный центр «Информатика» 614990, Пермь, ул. Букирева, 15.

\б

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Шкарапута, Александр Петрович

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ЭФФЕКТА ТЕРМОДИФФУЗИИ В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ (БЕЗ УЧЕТА УГЛА НАКЛОНА).

2.1. Уравнения конвекции бинарной смеси.

2.2. Постановка задачи.

2.3. Характерные особенности поведения бинарной смеси в зависимости от знаков чисел Рэлея и Соре.

2.4. Подогрев снизу.

2.5. Подогрев сверху.

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ЭФФЕКТА ТЕРМОДИФФУЗИИ В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ С УЧЕТОМ УГЛА НАКЛОНА.

3.1. Основные изменения, связанные с появлением наклона полости

3.2. Подогрев снизу.

3.3. Подогрев сверху.

4. ОБРАБОТКА БИФУРКАЦИОННЫХ КАРТИН.

4.1. Л имитационный метод.

4.2. Общие принципы построения полиномиальных зависимостей. Исследование коэффициентов полинома для конвективного течения в полости без наклона.

4.3. Исследование полиномиальных зависимостей для конвективного течения при наличии наклона полости.

Введение диссертация по механике, на тему "Численное исследование бифуркаций в задаче о конвекции бинарной смеси в замкнутой области"

В отличие от обычного конвективного движения, возникающего в однокомпонентных жидкостях или газах, изучение неоднородных по составу и температуре жидких и газовых смесей имеет ряд особенностей. В таких смесях присутствуют уже не одна, а две, во многих случаях независимые, причины появления архимедовых сил (температура и концентрация).

В неоднородных смесях кроме теплопроводности возникает еще один диссипативный механизм - диффузия. Также конвективные процессы могут быть осложнены перекрестными кинетическими эффектами: термодиффузией и диффузионной теплопроводностью.

Термодиффузия в растворах была открыта немецким учёным К. Людвигом (1856) и исследована швейцарским учёным Ш. Соре (1879—1881). Эффект термодиффузии называют также (чаще всего в жидких смесях) эффектом Соре. Термодиффузия в газах была теоретически предсказана английским учёным С. Чепменом и шведским учёным Д. Энскогом (1911— 1917) на основе кинетической теории газов и экспериментально обнаружена английским учёными С. Чепменом и Ф. Дутсоном в 1917.

Исследования, проведенные Энскогом и Чэпменом до 1920 г., показали, что, если в смеси газов имеется температурный градиент, то один тип молекул будет стремиться концентрироваться в холодной области, а другой — в горячей. Это стремление зависит не только от молекулярных весов, но также от сил взаимодействия между молекулами. Более тяжелые молекулы могут собираться в горячей области, или в холодной, или совсем не накапливаться, в зависимости от природы внутримолекулярных сил. Направление разделения может измениться на обратное при изменении температуры или относительной концентрации.

Обратный, диффузионный термоэффект был открыт JI. Дюфуром в 1873 году. В его опытах при взаимной диффузии водорода и воздуха через пористую перегородку возникала разность температур.

В представленной работе основное внимание уделяется эффектам, возникающим вследствие термодиффузии (неоднородный нагрев приводит к появлению массопотока и разделению смеси). Диффузионная теплопроводность (диффузионный термоэффект) считается пренебрежимо малой.

В однокомпонентной неравномерно нагретой жидкости, в поле тяжести, механическое равновесие в большинстве случаев невозможно при сколь угодно малой неоднородности температур. Однако в случае, когда градиент температуры вертикален и постоянен, механическое равновесие может осуществляться. Если градиент температуры достаточно большой, то равновесие становится неустойчивым и развитие возмущений в таких системах приводит к конвективному движению.

В бинарной смеси картина усложняется. Неоднородность температурных полей и, связанная с ними неоднородность концентрационных полей, порождает неоднородность плотности смеси. Это приводит к свободноконвективному движению, которое, в свою очередь, искажает и размывает поля температуры и концентрации его породившие. Такое движение обычно называют термодиффузионной конвекцией.

Как и для однокомпонентной жидкости, при вертикальном градиенте температуры механическое равновесие возможно, но термодиффузионный механизм существенно влияет на величину температурных и концентрационных градиентов, при которых происходит конвективное движение, а также на характер самого движения.

В отличие от однокомпонентной жидкости, в бинарных смесях при сильной отрицательной термодиффузии существуют области параметров, где механическое равновесие устойчиво при отклонениях градиента температуры от вертикального направления.

Несмотря на то что перепады плотности, возникающие вследствие термодиффузии, чаще всего малы, термодиффузионная конвекция может существенно влиять на конвективное движение и его устойчивость, играть важную роль в процессе формирования концентрационных полей, а также быть причиной многих других эффектов.

В настоящее время явление термодиффузии широко используется в прикладных областях (от метода обогащения урана, выращивания кристаллов до цветной печати и сушки кроссовок). В некоторых случаях этот эффект является побочным и даже нежелательным.

Таким образом, изучение термодиффузионной конвекции важно как в фундаментальной области, так и в плане ее практического применения.

Теоретическое исследование термодиффузионной конвекции может быть проведено с достаточной точностью на основе уравнений конвекции в приближении Обербека-Буссинеска, которые широко используются при решении задач конвективной устойчивости и во многих случаях дают удовлетворительное согласие теории с экспериментом. Значительные погрешности при использовании данного приближения могут возникнуть в случае значительных перепадов температур или смешении газов, сильно отличающихся по молекулярному весу.

И если в начале 40-х годов ХХ-го века Г.Д. Смит писал, что «теория термодиффузии в газах достаточно сложна; теории явления термодиффузии в жидкостях совсем нет», то сейчас имеется уже множество теоретических и экспериментальных работ, в которых довольно подробно исследована эта проблема.

В большинстве теоретических работ в качестве объекта исследования выбирается плоский горизонтальный слой жидкости или газа. Задача в такой постановке имеет простую геометрию, и во многих случаях удается получить аналитическое решение (в частности построена линейная теория). Кроме того, универсальность задачи часто позволяет использовать результаты на практике. Однако при усложнении геометрии задачи, бывает затруднительно построить даже линейную теорию, в таких случаях важную роль в изучении конвективных течений приобретают вычислительные эксперименты, которые с развитием вычислительной техники позволяют получать все более точные и более подробные результаты.

Актуальность работы. Основываясь на вышеизложенном можно сделать вывод о том, что явления тепло- и массопереноса в смесях являются важной составляющей в ряду общих гидродинамических проблем и имеют большую ценность с точки зрения практических приложений, обуславливающих, в свою очередь, интерес к моделированию и теоретическому изучению.

Данная работа представляет собой численное исследование явлений тепло- и массопереноса (важное значение здесь имеет эффект термодиффузии) в замкнутой (квадратной, в некоторых случаях прямоугольной) области на основе хорошо известных уравнений бинарной нереагирующей смеси.

Простая конфигурация изучаемой полости, близкие к реальным внешние условия, а также выбор для исследования наиболее распространенных смесей, дают основание полагать, что результаты имеют конкретные практические приложения. С другой стороны, универсальность подходов и выводов позволяет использовать их для более широкого класса задач.

Целью работы является исследование нелинейных режимов, возникающих в замкнутой области в результате взаимодействия тепловых и концентрационных механизмов. Поиск методов для изучения и описания бифуркационных картин для амплитудных характеристик решения. Построение бифуркационных карт на основе зависимостей для критических чисел.

Основные результаты и выводы диссертационной работы

2. В случае подогрева снизу, как при нормальном, так и при аномальном эффекте термодиффузии имеются области параметров задачи, где число стационарных решений равно пяти. В жидкой смеси при нормальном эффекте термодиффузии и наличии угла наклона наблюдается гистерезис между малоамплитудным и высокоамплитудным движением.

3. Для аномального эффекта термодиффузии, как при подогреве сверху, так и снизу для газовой смеси с изменением числа Соре, обнаружен несимметричный «переворот» бифуркационной картины. При в = - 1 имеет место двусторонняя бифуркация.

7. Для газовой смеси при подогреве сверху с ростом числа Рэлея обнаруживается трехвихревая (по вертикали) картина течения. Для нормального и аномального эффекта термодиффузии направления центральных вихрей противоположны.

Научная новизна диссертационной работы

3. Для исследования конвекции бинарной смеси получено представление зависимости амплитудных характеристик решения от числа Рэлея в виде корней полинома. Проведен анализ зависимостей коэффициентов полинома от параметров задачи, в результате чего показано, что с их помощью можно:

- находить критические числа (соответствующие точкам бифуркации);

- отслеживать качественные перестройки бифуркационных картин. Автором представляются к защите:

- результаты численных расчетов для квадратной полости, подогреваемой сверху и снизу при почти вертикальном градиенте температуры с учетом нормального и аномального эффектов термодиффузии для жидких и газовых смесей;

Публикации. Основные материалы диссертации изложены в 14 работах [104-117]. Во всех работах представлены результаты численных расчетов для конвекции бинарной смеси и их анализ, выполненные А.П. Шкарапутой. Соавтором работ является научный руководитель соискателя, участвующий в постановке исследуемых задач и обсуждении полученных результатов. В [104] и [105] соавтором является А. А. Щипанов, исследовавший проблему кристаллизации в цилиндрической области. В работе [108] соавторами являются И.В. Мельников, Д.В. Порошин, А.Н. Шарифулин. Здесь приводится качественное сравнение численных результатов, полученных соискателем, с результатами слабонелинейной модели, исследуемой данными авторами.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Всероссийской научной конференции «Фридмановские чтения» (Пермь, IX 1998), International Conference «Advanced problems in thermal convection» (Perm, XI 2003), 14-й Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, II 2005), Шестом Всероссийском семинаре «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань, IX 2005), конференции молодых ученых «Неравновесные переходы в сплошных средах» (Пермь, XII 2005), а также на Пермском городском гидродинамическом семинаре имени Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого и на кафедре прикладной математики и информатики Пермского государственного университета.

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы: для разделения компонент смеси, где управляющим параметром может являться угол наклона полости; быть основой (и критерием применимости) для построения моделей, связанных с нелинейными эффектами. Также они могут быть полезны для изучения различных явлений, где важную роль играет термодиффузионный эффект.

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации проведено численное исследование неустойчивости механического равновесия и конвективных течений бинарной смеси в замкнутой (квадратной, в некоторых случаях прямоугольной) области с учетом эффекта термодиффузии. Расчеты проведены для полости, подогреваемой сверху или снизу, при нормальном и аномальном эффекте термодиффузии. Исследовано влияние на устойчивость и структуру конвективного течения малого наклона полости по отношению к направлению гравитационной силы.

В результате варьирования параметров задачи обнаружено большое многообразие бифуркационных картин, обусловленное взаимодействием теплового и концентрационного механизмов переноса. В случае подогрева снизу, как при нормальном, так и при аномальном эффекте термодиффузии обнаружены области параметров задачи, где число стационарных решений равно пяти. Для аномального эффекта термодиффузии, как при подогреве сверху, так и снизу для газовой смеси с изменением числа Соре обнаружен несимметричный «переворот» бифуркационной картины.

Построены бифуркационные карты в параметрическом пространстве «критических» чисел Рэлея, числа Соре и угла наклона и получены формулы для критических чисел Рэлея в зависимости от числа Льюиса и числа Соре. Дана оценка их применимости. В наиболее простых случаях показано, что они согласуются с линейной теорией для массива с теплоизолированными границами.

Зависимости амплитудных характеристик решения от числа Рэлея (при разных углах наклона и числах Соре) представлены в виде корней полинома. Проведен анализ коэффициентов полинома. Показано, что с их помощью можно находить критические числа Рэлея, судить о поведении неустойчивых ветвей, исследовать качественные перестройки бифуркационных картин.

Для газовой смеси при подогреве сверху с ростом числа Рэлея обнаружена трехвихревая (по вертикали) картина течения. Для нормального и аномального эффекта термодиффузии направления центральных вихрей противоположны.

БЛАГОДАРНОСТИ

В заключение выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю Сергею Владимировичу Русакову за предоставление интересной темы исследований, за постоянную помощь и поддержку на всех этапах работы.

Особую признательность хочу выразить Дмитрию Викторовичу Любимову, Бэле Исаковне Мызниковой и Евгению Леонидовичу Тарунину за обсуждение результатов и полезные замечания.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Шкарапута, Александр Петрович, Пермь

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М., Наука, 1986, 736 с.

2. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М., Наука, 1989. 320 с.

3. Шапошников И.Г. К вопросу об учете явлений диффузионных явлений в бинарной смеси//ЖТФ, 1951, т. 21, №11, С. 1309.

4. Шапошников И.Г. О некоторых гидродинамических величинах для смеси//УФН, 1952, т. 48, вып.1,С. 119-122.

5. Шапошников И.Г. К теории конвективных явлений в бинарной смеси // ПММ,1953, Т. 17. вып. 5. С. 604-606.

6. Смит Г.Д. Атомная энергия для военных целей // Государственное транспортное железнодорожное издательство М. 1946, С. 165-174. -Официальный отчет о разработке атомной бомбы под наблюдением правительства США. Пер. с англ. под ред. Г.Н. Иванова.

7. Косов Н.Д., Богатырев А.Ф., Курлапанов Л.И. Термодиффузионный барроэффект. \\ ЖТФ, 169, т. 39, № 6 С.119-1125.

8. Косов Н.Д. К определению коэффициентов диффузии газов в различных системах отсчета. \\ Известия АН СССР (Серия физ.- мат.), 1970, №6, С. 67-68.

9. Larkin В.К. Heat flow to a confined fluid in zero gravity \\ Thermophys. Spacecraft and Planet Bodies N.Y.: Acad. Press 1967 P. 819-832.

10. Никулин Д.А., Потехин Г.С., Стрелец M.X. Приближенная система уравнений для описания нестационарной естественной конвекции в бинарных и газовых смесях. \\ Известия АН СССР: МЖГ, 1980, № 5, С. 57-59.

11. Никулин Д. А., Стрелец М.Х. Расчет нестационарной концентрационной естественной конвекции в бинарных смесях газов спроизвольным отношением плотностей. \\ Известия АН СССР: МЖГ, 1982, № 4, С. 27-31.

12. Никулин Д.А. О применимости приближения Буссинеска для решения задач нестационарной концентрационной естественной конвекции.\\ Известия АН СССР: МЖГ, 1982, № 5, с. 153-155.

13. Латышев А.В., Юшканов А.А. Анализ соотношений Онзагера аналитическими методами в кинетической теории газов \\ Известия РАН: МЖГ, 2001,№ 1,С. 173-181.

14. Пальцев Л.А. О диссипативных потоках в смеси многоатомных газов \\ Известия РАН: МЖГ, 2002, № 5, С. 169-179.

15. Гапоненко Ю.А. Микроконвекция в бинарной системе. \\ Известия РАН: МЖГ, 2003, №1. с. 67-79.

16. Косов В.Н., Жаврин Ю.И. Коэффициенты диффузии некоторых бинарных трехкомпонентных газовых смесей , содержащих фреон -12. // Теплофизические свойства веществ и материалов. М. : Из-во стандартов, 1989. Вып. 28. С. 112-122.

17. Жаврин Ю.И., Косов В.Н., Селезнев В.Д. Аномальная гравитационная неустойчивость механического равновесия при диффузионном смешении в изотермических трехкомпонентных газовых смесях. \\ Известия РАН МЖГ, 2000, №3, С. 185-192.

18. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 342 с.

19. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир, 1981. 638 С.

20. Hurle D.T.G., Jakeman Е. Significance of the Soret effect in the Rayleigh -Jefreyes problem. // Phys. Fluids, 1969, v.12, N12, Part 1, P. 2704-2705.

21. Hurle D.T.G., Jakeman E. Soret driven thermosolutal convection. // Jurnal of Fluid Mecanics, 1971, v.47, N4, P. 667-687.

22. Galdwell D.R. Non linear effects in Rayleigh - Bernard experiment. // Jurnal of Fluid Mecanics, 1971, v.42, N4, P. 161-175.

23. Gal dwell D.R. Thermosolutal convection in a solution with large negative Soret coefficient // Jurnal of Fluid Mecanics, 1976, v.74, N1, P. 129-142.

24. Platten J.K., Ghavepeyer G.An hysteresis loop in the tow component Bernard problem. // Heat Mass Transfer, 1975, Vol. 18, N9, P. 1071-1075.

25. Platten J.K., Ghavepeyer G. Nonlinear two dimensional Bernard convection with Soret effect: free boundaries. // Heat Mass Transfer, 1977, Vol. 20, N2 P.l 13-122.

26. C.M. Surko, Paul Kolonder, A.Passner and R. W. Walden. Finite-amplitude traveling-wave convection in binary fluid mixtures. // Physica 23D, Norh-Holland, Amsterdam, 1986. P. 220-229.

27. Artiz-Goken J.A., Velarde M.G. Natural versus forced convection in the two-component Bernard problem. New theoretical resalts. // J. Non-Equilibr. Thermodin. 1981, v.6, N3, P. 159-164.

28. Букреев В.И., Гусев, A.B., Романов E.M. Влияние молекулярной диффузии на устойчивость сдвиговых течений стратифицированной жидкости \\ Известия РАН: МЖГ, 1993, № 1, С. 35-47.

29. Смородин Б.Л. Конвекция бинарной смеси при наличии эффекта термодиффузии и переменного градиента температуры // ПМТФ, 2002, т. 43, N2, С. 54-61.

30. Abernathey J.R., Rosenberger F. Soret diffusion and convectiv stsbiliti in a closed vertical cylinder. // Phys. Fluids, 1981, v.24, N3, P. 377-381.

31. Jun Liu and Guenter Ahiers. RayLeigh-Benard convection in binary-gas mixtures: Termophysical properties and the onset of convection. // Physical Review, 1997. N6. P. 6950-6968.

32. Holliger St., Lucke M., and Muller H. W. Model for convection in binary liquids. // Physical Review E vol. 57, №4, 1998. P. 4250-4264.

33. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M. Сорокин Л.Е. Об устойчивости конвективного течения бинарной смеси с термодиффузией // ПММД982, Т. 46 вып. 1. С. 66-71.

34. Сорокин JI.E. О колебательной неустойчивости плоскопараллельного конвективного течения бинарной смеси // Конвективные течения. Пермь: Перм. пед. ин-т, 1981. С. 69-75.

35. Соркин J1.E. Подкитические движения бинарной смеси с аномальной термодиффузией в вертикальном слое \\ Известия РАН: МЖГ, 2001. №1. С. 1419.

36. Славнова Э.И. О влиянии концентрации раствора на конвективное движение с ячеистой структурой потока. \\ Пермь. Гидродинамика, вып. 2: Уч. зап. Пермск. ун-т, 1970, С. 151-156.

37. Славнова Э.И. О свободной тепловой конвекции в водных растворах солей, заполняющие вертикальные трубы круглого сечения. ИФЖ, 1963, т. 6, № 3, С. 106-109.

38. Братухин Ю.К., Шлиомис М.И. О конвективной неустойчивости смеси в шаровой полости. \\ Пермь. Гидродинамика, вып. 1: Уч. зап. Пермск. ун-т, 1968, С. 75-82.

39. Huppert Herbert Е., Turner J. S. Stewart Dable diffusive convection. // Jurnal of Fluid Mechanics, 1981, v. 106, N5, P.239-329.

40. Федотов К. H. Тонкая термохалинная структура вод океана. // М. Гидрометиоиздат, 1976, 184 с.

41. Turner J. S. Dable diffusive phenomena. // Anny.Rev. Fluid Mech, Palo Alto, v.6 Calif., 1976, P. 37-56.

42. Губин B.E., Хазаев H.H. О термоконцентрационной конвекции. \\ Известия АН СССР: МЖГ, 1970, т.З, С. 166-169.

43. В.Д., Пшеничников А.Ф. Ячеистая конвекция в стратифицированной среде. Уч. зап. Пермск. ун-т, 1974 , № 316, С. 197-203.

44. Некрасов В.Н., Попов В.А., Чашечкин Ю.Д. Формирование периодической структуры конвективного течения при боковом нагреве стратифицированной жидкости \\ Известия АН СССР: Физика атмосферы и океана, 1976, т. 12, С. 1191-1200.

45. Глухов А.Ф. Экспериментальное исследование тепловой конвекции в смесях в условиях гравитационного расслоения. // Канд. дис. / Перм. ун-т. Пермь, 1995. 142 с.

46. Глухов А.Ф., Демин В.А. Экспериментальное и теоретическое исследование конвекции бинарной смеси в связных каналах. // Вестн. Пермск. ун-та. Пермь, 2006. Физика. Вып. 1. С. 15-23.

47. Накорякова С.Б. К вопросу об устойчивости механического равновесия неравномерно нагретой бинарной смеси // Сб. научн. тр. Пермск. Политехи, ин-та, 1963, N13, С.58-66.

48. Келлер И.О. О конвективной неустойчивости бинарной смеси с учетом эффекта Соре. \\ Известия РАН: МЖГ, 1996. №6. С. 161-165.

49. Пинягин А.Ю. Исследование концентрационных полей в газовых смесях при совместном действии диффузионных и конвективных потоков // Канд. дис. / Перм. ун-т. Пермь , 1982. 155 с.

50. Йюнси Р., Калаче Д., Харкати А. (Алжир) Численное моделирование тепловой и концентрационной естественной конвекции в пористой области при встречном течении \\ Известия РАН: МЖГ, 2002, № 6, С. 11-111.

51. Магометбеков Х.Г. Свободноконвективное течение бинарной смеси в тонком пористом колце. \\ Известия РАН: МЖГ, 1997. №6. С. 161-165.

52. Русакова O.JL, Тарунин E.J1. Бифуркационные режимы свободной конвекции при наличии теплового излучения и наклона полости. \\ Известия РАН: МЖГ, 1997. №6. С. 161-165.

53. Самойлович Ю.А. Кристаллизация слитка в электромагнитном поле. // М., "Металлургия", 1986, 169 с.

54. Цаплин А.И. Теплофизика внешних воздействий при кристаллизации стальных слитков на машинах непрерывного литья. // Екатеринбург, УрО РАН, 1995.238 с.

55. Ибламинов Р.Г. Опыт прогнозирования свойств рудных залежей Саранского месторождения хромитов на основе моделирования их зональности // Вестник Пермского университета Геология. Вып. 4., 1997. С.75-85.

56. Щипанов А.А. Численное моделирование процесса кристаллизации бинарной смеси с учетом эффекта термодиффузии // Гидродинамика Вып. 14. Пермь, изд-во Перм. ун-та, 2004. С. 248-262.

57. Полежаев В.И., Федюшкин А.И. Гидродинамические эффекты концентрационного расслоения в замкнутых объемах. // Известия АН СССР: МЖГ, 1980, №3, С. 11-18.

58. Василенко С.А., Лобов Н.И., Любимова Т.П. Влияние высокочастотных аксиальных вибраций на тепломассообмен при выращивании кристаллов методом Бриджена // Гидродинамика Вып. 14. Пермь, изд-во Перм. ун-та, 2004. С. 62-79.

59. Любимова Т.П., Оспенников Н.А. Численное исследование влияния высокочастотных вибраций на морфологическую неустойчивость при направленной кристаллизации бинарных сплавов // Гидродинамика Вып. 15. Пермь, изд-во Перм. ун-та, 2005. С. 75-87.

60. Любимова Т.П., Хлыбов О.А. Численное моделирование процесса выращивания кристалла Ga:Ge по методу Ahial Heating Process в присутствии вращающегося магнитного поля // Гидродинамика Вып. 15. Пермь, изд-во Перм. ун-та, 2005. С. 87-98.

61. Ингель JI.X. Нестационарная конвекция бинарной смеси у плоской вертикальной поверхности. \\ Известия РАН: МЖГ, 2002, № 3, С. 92-97.

62. Дьяконов С.Н., Никольский А.Н. Термофорез летучей сферы в бинарной газовой смеси с учетом термодиффузионных и стефановских эффектов \\ Дифференциальные уравнения и процессы управления (электронный журнал), www.neva.Ri/iurnal, 2001, № 1, С. 17-26.

63. Галкин B.C., Русаков С.В. Исследование применимости макроскопических моделей структуры ударной волны в бинарной смеси инертных газов \\ Известия РАН: МЖГ, 2003, № 4, С. 131-143.

64. Галкин B.C. Уравнения Барнета для многокомпонентных смесей многоатомных газов \\ ПММ, 2000, т. 64. Вып. 4, С. 590-604.

65. Гинсбург И.С., Ентов В.М. О динамике тонкой оторочки примеси с учетом диффузии и необратимости сорбции. \\ Известия РАН: МЖГ, 1993. №3. С. 101-111.

66. Бердиковецкий П.Г, Полонский Д.Г., Шапиро А.А. Анализ конвективной неустойчивости смеси в поритой среде \\ Известия РАН: МЖГ, 1993. №1. С. 110-119.

67. Бердиковецкий П.Г, Полонский Д.Г., Шапиро А.А. Конвективная устойчивость равновесия бинарной смеси в трещино-пористой среде \\ Известия РАН: МЖГ, 1994. №1. С. 88-97.

68. Базелян А.Е. Светоиндуцированный дрейф бинарной газовой смеси в канале. \\ Известия АН СССР: МЖГ, 1990. №2. С. 159-165.

69. Гершуни Г.З., Колесников А.К., Легро Ж.К., Мызникова Б.И. Вибрационно-конвективная устойчивость квазиравновесия горизонтального слоя бинарной смеси с эффектом Соре. // Вибрационные эффекты в гидродинамике. Пермь: Из-во Перм. ун-та, 1998. С. 82-96.

70. Gershuni G.Z., Kolesnikov А.К., Legros J.C., Myznikova B.I. On the convective instability of a horizontal binary mixture layer with Sorer effect under transversal high frequency vibration // Heat Mass Transfer, 1999, 42, P. 547-553.

71. Gershuni G.Z., Kolesnikov A.K., Legros J.C., Myznikova B.I. On the vibrational convective instability of a horizontal, binary-mixture layer with Sorer effect. // Jurnal of Fluid Mecanics, 1997, vol.330, P. 251-269.

72. Гершуни Г.З., Колесников A.K., Jlerpo Ж.К., Мызникова Б.И. Вибрационная конвекция в горизонтальном слое бинарной смеси с эффектом Соре // Вибрационные эффекты в гидродинамике. Пермь: Из-во Перм. ун-та, 1998. С. 97-108.

73. Мызникова Б.И., Смородин Б.Л. О конвективной устойчивости горизонтального слоя двухкомпонентной смеси в модулированном поле внешних сил \\ Известия РАН: МЖГ, 2001. №1. С. 3-13.

74. Мызникова Б.И., Смородин Б.Л. Нелинейная динамика структур бинарной смеси под действием вибраций конечной частоты. // ЖЭТФ, 2005, т. 128, Вып. 6, С. 1299-1206.

75. Мызникова Б.И., Смородин Б.Л. Об устойчивости термовибрационного течения бинарной газовой смеси \\ Аэромеханика и газовая динамика, 2002, №3. С. 77-83.

76. Smorodin B.L., Myznicova B.I. Convective instability of thermovibrational flow of binary mixture in the presence of the Soret effect. \\ Philosophical Magazine, 2003, Vol. 83, N 17-18, P. 2155-2170.

77. Gerald Bardan, Hicham Khallouf and Abdelkader Mojtabi. Theoretical and numerical study of double diffusive convection with vibration. // Fluid Dynamics Research Vol. 28, N. 3, P. 159-187.

78. Любимов Д.В., Перминов A.B. Влияние акустических вибраций на конвективный пограничный слой. // Гидродинамика Вып. 13. Пермь, изд-во Перм. ун-та, 2002. С. 141 -152.

79. Пригожин И. От существующего к возникающему // М.: Наука, 1985.327 с.

80. Осипов А.И. Термодинамика вчера, сегодня, завтра. Часть 2. неравновесная термодинамика // Соросовский Образовательный Журнал. 1999. №5. С. 91-97.

81. Рубин А.Б. Термодинамика биологических процессов. // Соросовский Образовательный Журнал. 1998. № 10. С. 77-83.

82. Арнольд В.И. Теория катастроф // М.: Наука, 1990. 128 с.

83. Арнольд В.И., А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде Особенности дифференцируемых отображений // М.:МЦНМО, 2004. 672 с.

84. Странные аттракторы // М.: Мир, 1981. С 254. Новое в зарубежной науке, Математика, ред. Серии Колмогоров А.Н., С.П. Новиков.

85. Анищенко B.C. Устойчивость, бифуркации, катастрофы // Соросовский Образовательный Журнал. 2000, т. 6, № 6, С. 105-109.

86. Скобелев Б.Ю. Нелинейная теория гидродинамической устойчивости и бифуркации решений уравнений Навье-Стокса \\ Известия АН СССР: МЖГ, 1990. №1. С. 9-15.

87. Чернатынский В.И., Шлиомис М.И. Конвекция вблизи критических чисел Рэлея при почти вертикальном градиенте температуры. \\ Известия АН СССР: МЖГ, 1973, N1, С. 64-70.

88. Любимова Т.П. Конвекция неньютоновской жидкости при почти вертикальном подогреве // Уч. зап. Пермск. Ун-та, 1974. № 316. Гидродинамика. Вып. 5. С. 138-148

89. Тарунин E.JI. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. // Иркутск, изд-во Иркут. ун-та, 1990. 228 с.

90. Никитин А.И., Шарифулин А.Н. О бифуркациях стационарных режимов тепловой конвекции в замкнутой полости, порождаемой особенностью типа сборки Уитни // АН СССР Уральск, науч. Центр. В сб. Процессы тепло- и массопереноса вязкой жидкости, 1986. С. 32-39.

91. Чернатынский В.И. Структура и устойчивость конвективных течений в цилиндрических и иных ограниченных областях // Докт. дис. / Перм. ун-т. Пермь , 2006. 263 с.

92. Любимова Т.П. О конвективных движениях неньютоновской жидкости в замкнутой полости, подогреваемой снизу // Известия АН СССР: МЖГ, 1974, № 2, С. 181-184.

93. Келлер И.О., Тарунин Е.Л. Построение неустойчивых решений в задачах с ветвлением. // Вестн. Перм. ун-та, 1997 ММИ, Вып. 1. С. 126-137.

94. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., Наука, 1983, 616 с.

95. Русаков С.В. Параметрическая сплайн-схема для задач динамики вязкой жидкости // ДАН РАН. Математика. 1993. Т. 328, N 3. С. 292-295.

96. Русаков С.В. Разностные сплайн-схемы для задач тепло- и массопереноса. Иркутск, 1990. 124 с.

97. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.

98. Петер Булл ер. Физико-химическая термодинамика вещества. Санкт-Петербург, СПБ, «Янус», 2001. 192 с.

99. Бокштейн Б.С. Термодиффузия // Соросовский Образовательный Журнал. 1999, № 4, С. 40-43.

100. Гельперин И.И., Зеликсон Г.М., Раппорт Л.Л. Справочник по разделению газовых смесей. М.: Госхимиздат, 1963. 512 с.

101. Русаков С.В., Шкарапута А.П., Щипанов А.А. Исследование процессов рудообразования в интрузивах на основе модели термодиффузии //

102. Фридмоновские чтения. Всероссийская научная конференция. Тезисы докладов. Пермь: Пермский ун-т, 1998. С. 67-68.

103. Русаков С.В., Шкарапута А.П. Проблема устойчивости бинарной смеси в горизонтальном слое // Труды V Международной электронной научной конференции. Современные проблемы информатизации в технике и технологиях. Воронеж, 2000. С. 31-32.

104. Русаков С.В., Шкарапута А.П. Численное исследование влияния эффекта термодиффузии на устойчивость равновесия бинарной смеси // Гидродинамика. Межвуз. сб. науч. трудов. Пермь, вып. 14., 2004. С. 200-214.

105. Русаков С.В., Шкарапута А.П. Численное исследование бифуркаций решений в задаче о конвекции бинарной смеси. // 14-я Зимняя школа по механике сплошных сред. Тез. конф., Пермь, 2005. С. 257.

106. Шкарапута А.П. Многообразие бифуркационных картин в задаче о конвекции бинарной смеси в замкнутой области. // Конференция молодых ученых «Неравновесные переходы в сплошных средах» Тез. конф., Пермь, 2005. С. 85-86.

107. Русаков С.В., Шкарапута А.П. Применение аппарата теории катастроф для исследования бифуркационных картин решений в задаче о конвекции бинарной смеси в замкнутой области. // Гидродинамика. Межвуз. сб. науч. трудов. Пермь, вып. 15., 2005. С. 136-148.

108. Русаков С.В., Шкарапута А.П. Проблема нахождения неустойчивых решений в конвективных задачах методом сеток. // Материалы Шестого Всеросийского семинара «Сеточные методы для краевых задач и приложения». Казань, 2005. С. 187-191.