Перенос примеси и конвекция в неоднородных по составу жидкостях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

804612553 На правах рукописи

Тараут Александр Владимирович

ПЕРЕНОС ПРИМЕСИ И КОНВЕКЦИЯ В НЕОДНОРОДНЫХ ПО СОСТАВУ ЖИДКОСТЯХ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 1 НОЯ 2010

Пермь-2010

004612558

На правах

Тараут Александр Владимирович

ПЕРЕНОС ПРИМЕСИ И КОНВЕКЦИЯ В НЕОДНОРОДНЫХ ПО СОСТАВУ ЖИДКОСТЯХ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь-2010

Работа выполнена на кафедре физики фазовых переходов физического факультета ГОУ ВПО «Пермский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

Смородин Борис Леонидович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Тарунин Евгений Леонидович

доктор физико-математических наук, профессор Саранин Владимир Александрович

Ведущая организация: Институт механики сплошных сред УрО РАН

Защита состоится «¿23 » « ¿ъ&тЗ^ЛЛ_» 2010 г. в 15 часов 15

минут на заседании диссертационногв'совета Д 212.189.06 в Пермском государственном университете (г. Пермь, ГСП, 614990, ул. Букирева, 15)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета.

Автореферат разослан « » « 0 » 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, канд. физ.-мат. наук, доцент

В.Г. Гилев

Актуальность проблемы. Объектами исследования являются перенос примеси, неустойчивость и процессы формирования конвективных структур в неоднородных жидких средах: 1) елабопроводящих жидкостях, имеющих заряженную примесь; 2) бинарных молекулярных смесях при наличии эффекта термодиффузии. Эти объекты имеют общие свойства. Перенос примеси: заряженной в слабопроводящей жидкости или одной из компонент бинарной смеси, — ключевым образом влияет на характер конвекции в подобных системах. Во-первых, в отличие от однородных жидкостей конвективная неустойчивость может быть связана с ростом колебательных возмущений: меняется тип бифуркации от равновесия к движению. Во-вторых, характер нелинейной эволюции конвективных структур обусловлен несколькими взаимосвязанными причинами: молекулярным переносом заряда (примеси) под влиянием внешнего электрического (теплового) поля; результирующим изменением внешней силы, действующей на элемент жидкости и конвективным переносом заряда (примеси) во внешнем поле. Под действием этих механизмов в неоднородных средах могут формироваться разнообразные протяженные и локализованные конвективные структуры, поведение которых в настоящее время интенсивно исследуется. Кроме того, явления тепло- и мас-сопереноса в неоднородных по составу жидкостях не только являются важной составляющей общего круга гидродинамических задач, но и часто встречаются в практических приложениях.

В то же время, поведение гидродинамических систем в электрическом поле имеет ряд особенностей, связанных с характером возникновения заряда в жидкости и взаимодействием его с внешним полем. При определённом соотношении между амплитудой и частотой переменного электрического поля возможны резонансные явления, выражающиеся в понижении порога конвекции, усилении интенсивности или изменении характера электроконвективных движений. Знание законов действия электрического поля на конвективные течения актуально и с практической точки зрения, в связи с проблемой эффективного управления конвекцией и массопереносом в различных технологических ситуациях, в частности, в высоковольтных устройствах, электрогидродинамических насосах и немеханических переключателях.

Транспортные явления и конвекция в бинарных смесях при наличии эффекта термодиффузии играют существенную роль в процессе формирования разнообразных структур, в том числе локализованных в пространстве состояний.

Исследования, вошедшие в диссертацию, проводились при поддержке РФФИ (гранты 03-01-00327, 05-01-00789, 07-01-96046) и СМЛ? (РЕ-009-0).

Цель работы: анализ различных механизмов переноса примеси в неоднородных по составу жидкостях (диэлектриках с заряженной примесью или бинарных смесях), их влияния на формирование и свойства конвективных структур, определение условий образования и характеристик протяженных и локализованных конвективных состояний, а также объяснение процес-

сов столкновения локализованных бегущих волн и локализованных стационарных состояний.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые

- в модели пороговой инжекции изучено влияние времени инжекции заряда на периодические процессы в электрическом поле плоского конденсатора, заполненного жидким полярным диэлектриком; проанализировано влияние частоты и амплитуды переменного электрического поля на распространение волны заряда;

- получены пороги параметрической неустойчивости слабопроводящей жидкости в переменном поле горизонтального конденсатора при наличии автономной инжекции и найдены режимы периодических, квазипериодических и нерегулярных электроконвективных колебаний;

- в слабопроводящей жидкости обнаружены бегущие волны с периодически меняющимся направлением движения; проанализировано их пространственно-временное поведение;

- обнаружено новое локализованное конвективное состояние бинарной смеси — две последовательных локализованных волны;

- проанализирована эволюция полей концентрации и выяснены причины формирования различных конвективных структур бинарной смеси, возникающих в результате столкновения локализованной бегущей волны и области локализованной стационарной конвекции (конвектона).

Автор защищает:

- результаты моделирования распространения заряженной примеси в постоянном или переменном поле горизонтального плоского конденсатора для модели пороговой инжекции;

- результаты анализа параметрической неустойчивости в переменном электрическом поле при наличии автономной инжекции заряда;

- результаты исследования нелинейных режимов электроконвекции слабопроводящей жидкости на основе модели автономной инжекции заряда, бифуркационные диаграммы и анализ пространственно-временных характеристик периодических режимов, квазипериодических бегущих волн, а также хаотических волновых режимов;

- вывод о том, что в зависимости от степени нагрева конечным результатом столкновения локализованной бегущей волны и конвектона может быть 1) две связанных локализованных бегущих волны, 2) конвектон с одним фронтом, генерирующим конвективные валы, 3) конвектон, генерирующий два противоположно движущихся фронта.

Научная и практическая ценность работы состоит в том, что

- показано, что в бинарной смеси могут существовать две связанные локализованные бегущие волны; выяснены причины формирования такого со-

стояния и динамика поля концентрации примеси;

- обнаруженные нелинейные конвективные волновые режимы и переходы между ними дополняют теорию волновых структур, позволяют более глубоко понять природу возникновения локализованных состояний и хаотических движений в неоднородных по составу жидкостях;

- результаты работы могут быть полезны как при планировании новых экспериментальных исследований, так и для решения практических задач об эффективном управлении конвективным движением неоднородных жидкостей в различных технологических ситуациях.

Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием апробированных методов исследования, хорошим согласием с ранее известными результатами в общих областях значений параметров, иллюстрируется наглядным графическим материалом; пороги устойчивости, полученные методом конечных разностей, согласуются с данными линейной теории.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в печатных работах [1—17]. Из них [3—6, 9-12, 16, 17] — статьи, остальные тезисы. В работах автор участвовал в постановке задач, обсуждениях и интерпретации результатов, проводил численные расчеты и аналитические вычисления.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на межвузовской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Физика для Пермского края» (Пермь, 2008, 2010); конференции молодых учёных "Неравновесные процессы в сплошных средах" (Пермь, 2004, 2005, 2007-2009); International conference "27th dynamics days Europe", Loughborough University, Great Britain, July 9-15, 2007, IX международной конференции "Современные проблемы электрофизики и электродинамики жидкостей" (С. Петербург, 2009); Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2007; 2009); Пермском гидродинамическом семинаре (Пермь, 2010).

Структура и содержание диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав с результатами исследований автора, заключения и списка литературы (148 названий). Общий объём диссертации 160 страниц, включая 93 рисунка и 1 таблицу.

В первой главе показана актуальность работы, приведён обзор литературы по электроконвекции и конвекции в бинарных смесях, дана общая характеристика работы, обсуждаются новизна и достоверность результатов.

Во второй главе исследуется влияние постоянного и переменного электрического поля на распространение волны заряда в плоском горизонтальном конденсаторе толщиной I, заполненном полярной слабопроводящей жидкостью (ст0 S1041 См/м) случае пороговой инжекции: инжекция заряда

происходит при достижении полем на аноде некоторого критического значения (1. Ро1апзку V. А., Рап-кгаГеуа I. Ь. I ЕксИт^а!. 1999. V. 48. Р. 27-41). 0 24 .

В первом параграфе главы обсуждается постановка задачи, формулируются характерные для пороговой инжекции граничные условия. Отличие данного рассмот- °-16 рения от исходной модели [1] за-

0.04 0.03

. . Рис. 1. Зависимость периода инжекции от

ключается в том, что коэффициенты еремет инжекции заряда поверхностной рекомбинации инжектированных ионов на катоде и аноде различны.

Во втором параграфе описывается метод численного решения, использующий сгущающуюся вблизи электродов расчетную сетку. Метод позволяет разрешить уравнения вблизи электродов, где за счет пороговой инжекции возникают сильные градиенты концентрации заряда.

В третьем параграфе вводится и анализируется новый параметр модели — время инжекции заряда т, (характерное время, за которое заряд поступает в конденсатор). Показано, что время между двумя инжекциями (период инжекции 7",) немонотонно увеличивается с ростом собственного времени инжекции т^ причем, в некотором интервале 7\ практически не меняется (рис. 1). За единицу измерения времени выбрано время релаксации заряда: ^2 с.

Поведение автоволн заряда в постоянном электрическом поле обсуждается в четвертом параграфе. Рассматриваются изменения со временем пространственных распределений концентрации инжектированного и диссоциировавшего заряда поперек слоя, а также интегральные характеристики заряда в слое и плотность тока. Проведен анализ влияния на процессы, происходящие в конденсаторе, величины критического поля Еа. Показано, что при малых значениях ЕС1, период инжекции мал (7*«1), и осредненное распределение заряда качественно похоже на его поведение в случае автономной инжекции.

В пятом параграфе рассмотрен случай модулированного поля. Обнаружено, что в случае, когда величина периода внешнего поля ГеЯ, кратна периоду инжекции в постоянном поле Т„ появляется несколько разных периодов инжекции, видимых на графиках зависимости поля на аноде и полного заряда Q, измеренного в единицах еио, от времени (е — элементарный заряд, «о ~Ю15 м-3—концентрация носителей).

В случае Гех, = 27} (рис.2) инжекция происходит дважды за период, причем промежуток времени между первой и второй инжекциями, соответствующий интервалу, на котором напряженность внешнего поля растет (период Г]), всегда меньше интервала времени между второй и первой инжекцией

следующего периода

внешнего поля (период Т2) — 7"[ < Т2 и выполняется соотношение: Гсх1 = Т\ + Т2. Увеличение Т2 по сравнению с Т\ объясняется тем, что на этом промежутке времени напряженность внешнего поля убывает или изменяется вблизи своего минимума (рис. 2) и скорость движения зарядов в конденсаторе под действием силы Кулона меньше. Отметим, что в конце интервала 7*2 в межэлектродном пространстве остается малый заряд из-за достаточно длительного взаимодействия с отрицательным электродом и отсутствия инжекции новых ионов. При очень низких частотах внешнего поля, например Гех, = 107*, достигаются моменты полной очистки слоя от ижектированного заряда.

Получены зависимости средней плотности тока ионов <Г>, измеренного в единицах аакТ/е!, от частоты и амплитуды модуляции внешнего поля. Зависимость <1>(1/7*ех1) имеет сложный характер — участки линейного роста чередуются спадами (рис. 3), что обусловлено нелинейным характером взаимодействий электрического поля и поля заряда, а также пороговым характером инжекции. В высокочастотной области средняя плотность тока меняется практически монотонно. В течение периода инжекции 7] внешнее поле испытывает множество колебаний, время разгона инжектированного заряда вблизи электрода резко уменьшается и динамика системы определяется осреднен-ными полями. Уменьшение амплитуды внешнего поля ведет к монотонному уменьшению средней плотности потока.

В третьей главе рассматривается задача об электроконвекции жидкости в электрическом поле горизонтального плоского конденсатора при на-

Рис. 2. Изменение со временем напряженности поля на аноде Еа, внешнего поля Ео и заряда в конденсаторе.

5 -'—..........—..........—........

10° 101 1В2 1 /г„

Рис. 3. Зависимость средней по времени плотности полного потока ионов от частоты внешнего поля. Амплитуда модуляции 11=0.1

(1)

линии автономной униполярной инжекции заряда с анода. Кроме инжектированного заряда в жидкости-носителе предполагается наличие собственных (диссоциировавших) ионов, обеспечивающих слабую собственную проводимость жидкости (2. Pontiga F., Castellanos A. Phys. Fluids. 1994. V. 6. Р. 16841701).

В первом параграфе третьей главы формулируется задача об электроконвекции жидкости, содержащей положительные п+ и отрицательные и_ заряды

dtp dtp^dy/ Да д9 Тг (дФ dq дФ dq

dt 8х dz dz dx~ V Pr dx M2{dx dz dz dx <p = JLyr, q = ({C + C0)n+-Cün_), Ч2Ф = -д, dn. dn. dw dn. dw T , „ . „ ч 2C0T CJC dt dx dz dz dx M ' M2 (Q/C+l)

dn_ dn_ dw dn_ dw T , _.ч 2CaT

-+-------—+—) =—V,

dt dx dz dz dx M M2

d9 t dSdy/ dSdyf _ 1 AJ di dx dz dz dx Pr

в слое с твёрдыми изотермическими границами:

z = 0: 3> = l+/7COs(firf), у/ = 0, dy/!dz = 0, ,9 = 1, j.+

С0/С +1 (2)

z = l: ф = 0, ц/ = 0, di/r/dz = 0, á> = 0, «.=0.

В системе уравнений (1), (2) (р — вихрь скорости, Ц>— функция тока, 3 — температура, q —■ заряд, Ф — электрический потенциал. Для чисел Ре-лея и Прандтля Ra = g/JQ/3/vj , Pr = v¡ % использованы стандартные обозначения, параметры С - enj1 /ееаУ0 и С0 = ertj2 /e£aVB характеризуют концентрацию инжектированных положительных ионов и равновесное значение концентрации диссоциировавших (примесных) ионов, соответственно; Т = ££0V0/vKp0 —электроконвективный параметр, а М = ^Jeejp^/к характеризует подвижность ионов (/ — толщина слоя, К — подвижность ионов, р0 — плотность жидкости, К0— средний напряжение между пластинами, £ — диэлектрическая проницаемость, е0 — электрическая постоянная). В уравнениях переноса ионов учтен дрейф в электрическом поле, конвективный перенос и диссоциация примеси. Для определения порогов устойчивости и анализа нелинейной электроконвекции использованы типичные для слабопрово-дящих жидкостей значения параметров М= 30, Рг = 10.

Во втором параграфе найдены пространственно-временные распреде-

1

ления заряда в неподвижной жидкости при модуляции потенциала на одном из электродов. Дня малых амплитуд внешнего воздействия г| решение получено с помощью разложения по малому параметру:

1

С + С0

С-[С2-2С02]

х z-

п.»1СМ-

Z---77 sin

й)Мг

\

Т (.

а для произвольных амплитуд с помощью численного моделирования с использованием метода конечных разностей. Показано, что в области парамет-Т

ров со » —-С, г] < 0.4, аналитическое решение хорошо описывает равно-

весные распределения электрических полей в диэлектрике.

В третьем параграфе на основе линеаризованных уравнений, полученных из (1) - (2), численно исследуется неустойчивость механического равновесия жидкости в постоянном (т=0) электрическом поле. Определены границы возникновения стационарных и колебательных электроконвективных течений в постоянном поле. Рассмотрены изотермический и неизотермический случаи: нагрев слоя снизу или сверху. Для изотермического случая в отсутствие собственных зарядов получено хорошее согласие порогов электроконвекции, найденных численно, с известным аналитическим выражением ГсС2 ~ 221. Показано, что колебательные режимы существуют, только начиная с определенного уровня инжекции заряда. Для колебательных возмущений определены критические волновые числа и найдены собственные частоты колебаний возмущений. В дальнейшем эта информация используется при анализе поведения жидкости в модулированном поле.

В переменном электрическом поле (параграф 4) изучена параметрическая резонансная неустойчивость. Найдены области существования субгармонических, синхронных и квазипериодических возмущений (рис. 4), определены критические волновые числа кс и соответствующие частоты нейтральных колебаний, получены характеристики внешнего воздействия (амплитуды и частоты внешнего поля/= а>/2л), необходимые для эффективного возбуждения электроконвекции.

Внутри каждой резонансной области проанализированы спектры колебаний. В первой резонансной области определена зависимость расстройки (разность собственной и внешней частот колебаний) от амплитуды поля, демонстрирующая явление захвата частоты внешнего поля. Для первой и второй резонансных областей найдены зависимости критического значения управляющего параметра Гот амплитуды поля.

М

Рис. 4. Границы электроконвективной неустойчивости слабопроводящей жидкости при нагреве сверху на плоскости (1//;Т) при Яа = - ¡ООО, СУС = 0.2. Штриховые, штрих-пунктирные. сплошные линии — границы субгармонических, синхронных и квазипериодических колебаний, соответственно. Жирными пиниями отмечена зависимость критического волнового числа от периода для г] = 0.2

Рне. 5. Эволюция во времени частотного спектра колебании функции тока в точке при трансформации стоячей волны в бегущую. Дополнительно представлена форма изменения функции тока и гауссова окна; Г=3.1210'. Ло—1000

В четвёртой главе изучено поведение периодических вдоль горизонтальной оси х конечно-амплитудных электроконвективных движений слабопроводящей жидкости в горизонтальном конденсаторе, основанное на численном моделировании уравнений (1)— (2) с помощью метода конечных разностей. Соотношение собственных и инжектированных зарядов составляло С(/С = 0.2. Для различных режимов электроконвекции проанализирована эволюция полей функции тока, температуры и объёмной плотности электрического заряда.

В первом параграфе данной главы формулируется задача, обсуждается численный метод её решения, описывается конечно-разностная схема и методика обработки сигналов данных, применяемая для классификации различных режимов течения.

Второй параграф посвящен монотонной конвекции в постоянном поле при нагреве слоя снизу. Размер расчетной области £, = Ък1к =1.46. Рассмотрено взаимодействие инжекционного и термогравитационного механизмов конвекции. Показано, что увеличение степени нагрева и напряжения поля ведут к более интенсивному вращению конвективных вихрей — максимальное значение функции тока растет.

В третьем параграфе представлены результаты, касающиеся электроконвекции в постоянном поле при нагреве сверху. В этой

Ra = -2000

Рис. 6. Максимальное значение функции тока и частота бегущей волны в зависимости от значения параметраТ

ситуации за счет роста колеба- 4>тах тельных возмущений развива- 0.8 ется режим стоячей волны, который затем трансформируется в нелинейную бегущую волну. Изменение частоты в процессе эволюции продемонстрировано на рис. 5 на основе анализа спектра, проведенного с помощью гауссова окна (3. Fütterer С., Lücke М. Physical Review Е. 2002. Vol. 65. P. 118). Вблизи порога конвекции частота колебаний в переходном процессе совпадает с данными линейной теории, а в

нелинейном режиме бегущей волны частота меньше. Показано, что собственная частота сформированной бегущей волны понижается с ростом управляющего параметра Т и растет с увеличением интенсивности нагрева сверху (рис. 6).

В четвертом параграфе обсуждается электроконвекция в переменном поле (т=0.05) при нагреве сверху. Размеры расчетной области соответствуют критическим возмущениям на пороге электроконвекции

L = 2п/к = 1.46. Обнаружены различные решения: стоячие волны в режиме субгармонического (S) или синхронного (Н) отклика, фазово-модулирован-ные бегущие волны (MTW) в квазипериодическом режиме, а также более сложные пространственно-временные структуры: волны, изменяющие направление фазовой скорости (TFW); бегущие волны с нерегулярным (хаотическим) пространственно-временным поведением (CW). Фазовая скорость и функция тока непериодических колебательных режимов изменяется с течением времени нерегулярным

7ПО*

Рис. 7. Зависимости средней фазовой скорости и максимального значения функции тока от электрического параметра Т(На=-1000);/=1.78

0.8

0.4

JL

TW t

i

ч /

/

j_i_

H

H

0.5

1

1.5

/

образом (спектр Фурье колебаний функции тока в точке является сплошным). Анализ данного спектра с помощью гауссова окна показал «рождение» и «гибель» различных комбинационных частот с течением времени.

Для волновых режимов построена зависимость средней скорости горизонтального движения жидкости (uph ^ от значения электроконвективного параметра Т. В режиме фазово-модулированной (MTW) бегущей волны средняя приблизительно равна значению в постоянном

Рис. 8. Максимальное значение функции тока в

зависимости от частоты модуляции внешнего поля скорость

(Т = 3.081&, Ra=-1000) „„„„„,

1 своему

поле, в режиме бегущих волн с переменным направлением движения (TFW)

и в нерегулярных режимах (CW) эта скорость обращается в нуль (рис. 7).

Получены зависимости интенсивности конвективных течений (утах) от частоты модуляции, определен характер колебаний в подкритической и надкритической (по отношению к постоянному полю) областях. В подкритической области (рис. 8) в зависимости от частоты внешнего поля элекгрокон-векция демонстрирует синхронный (Н) или субгармонический (S) отклик, что согласуется с результатами линейной теории (гл. 3). Обнаружена область гистерезиса, в которой устойчивы оба этих режима. В узких интервалах частоты можно наблюдать модулированные бегущие волны (TW). В надкритической области в зависимости от частоты модуляции найдены режимы модулированных бегущих волн (MTW), бегущих волн с переменным направлением (TFW) и нерегулярные режимы (CW).

В пятой главе исследовано поведение локализованных конвективных состояний в бинарной смеси при аномальной термодиффузии. Численное моделирование проведено на основе метода конечных разностей в случае непроницаемых жестких границ при различной степени нагрева.

Первый параграф посвящен обсуждению геометрии задачи и уравнений, описывающих конвекцию бинарной смеси в приближении Буссинеска. В терминах функции тока у/, завихренности <р, температуры 3 и концентрации С система уравнений конвекции бинарной смеси запишется следующим образом:

д<р ~dt' д9_ dt'

\ду/ д9 I_dz дх

ду/ dtp дх dz ду/ 89 дх dz

= Д <р+

1

Rad(9 +CJ

Pr dx

&уг + ф = 0,

-L9. Pr dt

dy/ dC dz dx

dy/dC dx dz

s9).

В системе (3) для чисел Шмидта и параметра термодиффузии использованы стандартные обозначения. В расчетах использовались значения, характеризующие смесь этанола с водой Рг— 10, Бс = 1000, е =-0.08. Для всех полей на вертикальных границах расчетной области используются условия периодичности /(0, ¿) = /(Г, £), а условия на вертикальных границах примут вид:

При расчетах рассматривались области различной длины, соотношение длины к высоте вычислительной области достигало значений Г = 80.

Во втором параграфе рассмотрены протяженные и локализованные конвективные состояния бинарной смеси в случае аномальной термодиффузии. Обсуждаются области параметров, где существуют бегущие волны, режимы стационарной конвекции и локализованной бегущей волны (1ЛЛ¥). Рассмотрено поведение поля концентрации для каждого из режимов. Проанализировано явление изоляции стационарного конвективного состояния (конвектона, ЬБОС) от неподвижной жидкости за счет эффекта аномальной термодиффузии. Область параметров, при которых существует конвектон, расположена на бифуркационной диаграмме на ветви режимов стационарной конвекции.

В третьем параграфе проанализированы различные сценарии эволюции состояний, возникающих после столкновения локализованной бегущей волны и локализованного стационарного конвективного состояния (конвектона). Причины реализации того или иного сценария взаимодействия объяснены на основе анализа динамики полей концентрации и горизонтального движения узлов вертикальной скорости конвективных структур в сечении, расположенном на половине высоты конвективной ячейки (рис. 9). В зависимости от степени нагрева Яа конечное состояние представляет собой 1) пару последовательных локализованных бегущих волн, 2) область локализованной конвекции с одним движущимся фронтом, на котором происходит генерация конвективных валов, 3) область с двумя движущимися фронтами.

На первой стадии процесса конвектон неподвижен (вертикальные линии узлов на характеристической плоскости), а локализованная волна приближается к конвектону справа (рис. 9). Наклон полосы локализованной бегущей волны зависит от скорости дрейфа всей структуры, а линии узлов волны движутся с большей скоростью справа налево внутри наклонной полосы. На второй стадии происходит взаимодействие локализованных структур, где результирующая структура является ни конвектоном, ни локализованной бегущей волной в строгом смысле этого слова. На третьей стадии либо генерируется пара локализованных бегущих волн, либо сформировавшиеся фронты распространяются от конвектона, конвективные

(4)

¿ = 1:^ = 0, -^- = 0, 5 = 0, &

--£-= 0.

дг дг

8000 6000 4000 2000

валы захватывают области неподвижной жидкости.

В заключении перечислены основные результаты исследований, изложенных в диссертации.

■—■--—■-'--'—■—■ 0 . I .ишлш о

0 20 40 60 * 0 20 40 60 X 0 20 40 60 х

Рис. 9. Формирование двух локализованных бегущих воли (а), одного (б) и двух (в) фронтов, генерирующих конвективные валы. £—0.08, Иа=!854 (а), Ка=1866 (б), Йа=1875 (в).

6000

4000

2000

6000

4000

2000

Основные результаты и выводы

1. В модель пороговой инжекции введен новый параметр — время образования заряда на электроде, рассмотрено его влияние на период распространения автоволн заряда в постоянном электрическом поле плоского конденсатора со слабопроводящей жидкостью; для широкого диапазона частот модулированного электрического поля определены зависимости полного заряда в конденсаторе и плотности тока от времени.

2. В случае униполярной, независящей от времени (автономной) инжекции найдены пороги параметрической неустойчивости, соответствующие субгармоническим, синхронным и квазипериодическим нейтральным колебаниям. Определены амплитуды и частоты внешнего поля, необходимые для эффективного возбуждения электроконвекции.

3. Построены бифуркационные диаграммы режимов, возникающих в постоянном поле горизонтального конденсатора при нагреве снизу или сверху, найдены частоты нелинейных электроконвективных колебаний.

4. Получены зависимости интенсивности конвективных течений от безразмерного электрического параметра и от частоты внешнего поля. Определены области существования стоячих волн, квазипериодических бегущих волн и хаотического режима.

5. Предсказано существование нового локализованного конвективного состояния в бинарной смеси — двух последовательных локализованных волн.

6. Изучено столкновение локализованных бегущих волн и локализованной стационарной конвекции (конвектона) в смеси этанол-вода. Показано,

что в зависимости от интенсивности нагрева установившаяся структура представляет собой а) две последовательных локализованных бегущих волны; б) локализованной стационарной конвекции с одним фронтом, генерирующим конвективные валы; в) два противоположно направленных фронта, генерирующих конвективные валы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

(жирным шрифтом выделены журналы из списка ВАК)

1. Тараут А. В., Смородин Б. J1. Волны заряда в конденсаторе со слабопро-водящей жидкостью // Сб. тезисов конференции молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах". Пермь. 2004. С. 104-105.

2. Тараут А. В., Смородин Б. JI. Перенос заряда и формирование структур в слабопроводящей жидкости // Тез. докл. конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Пермь. 2006. С. 78-79,

3. Смородин Б. JI., Тараут А. В. Волны заряда в переменном поле конденсатора, заполненного полярной жидкостью // Вестник Пермского университета, Физика. 2006. Вып.1. С. 3-8.

4. Смородин Б. Л., Тараут А. В. Электроконвекция слабопроводящей жидкости в горизонтальном конденсаторе при наличии инжекции // Вестник Пермского университета, Физика. 2007. Вып. 1. С. 16-23.

5. Смородин Б. Л., Тараут А. В. О возбуждении колебательной и параметрической электроконвекции при наличии униполярной автономной инжекции // Материалы Всероссийской конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Пермь. 2007. С. 391-393.

6. Смородин Б.Л., Тараут A.B., Электроконвективные структуры: жизнь стоячих и бегущих волн // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая) Сборник статей. Часть 3. Екатеринбург: УрО РАН. 2007. С. 192-195.

7. Smorodin В. L., Taraut А. V. Dynamics of charge and electroconvective patterns in modulated electric field // International conference "27th dynamics days Europe", Loughborough University, Great Britain. 2007. P. 106-107.

8. Тараут А. В., Смородин Б. Л. Колебательные режимы электроконвекции слабопроводящей жидкости // Тезисы докладов межвузовской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Физика для Пермского края». 2008. С. 81-82.

9. Смородин Б. Л., Тараут А. В. Влияние модуляции электрического поля на распространение заряда в полярной слабопроводящей жидкости // Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т. 49, №1. С. 3-12.

10. Smorodin, В. L., Taraut А. V. Charge propagation in a low-conducting liquid under modulated electric field // Proceedings of IEEE International Conference on Diclectric Liquids, ICDL 2008 , art. no. 4622515 (4).

11. Смородин Б. Л., Тараут А. В. Электроконвекция слабопроводящей жидкости при наличии остаточной проводимости и инжекции // Вестник Пермского университета, Физика. 2009. №1. С. 7 - 12.

12. Смородин Б. Л., Тараут А. В. Электроконвективные волны слабопроводящей жидкости в переменном электрическом поле // Сб. докладов IX международной научной конференции «Современные проблемы элекро-физики и электрогидродинамики жидкостей». СПб. 2009. С. 110-112.

13.Смородин Б. Л., Тараут A.B. Динамика электроконвективных струюур слабопроводящей жидкости при наличии инжекции. Тезисы докладов XVI Зимней школы по механике сплошных сред (механика сплошных сред как основа современных технологий). Пермь: ИМСС УрО РАН. 2009. С. 305.

14. Смородин Б. Л., Тараут А. В. Локализованные структуры в горизонтальном слое бинарной смеси // Тезисы докладов Всероссийской конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Пермь.

2009. С. 77.

15. Тараут А. В., Смородин Б. Л. Взаимодействие локализованных конвективных структур в круговых каналах, заполненных бинарной смесью// Тезисы докладов межвузовской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Физика для Пермского края».

2010. С. 25-26.

16. Смородин Б. Л., Тараут А. В. Динамика бегущих волн в слое слабопроводящей жидкости в переменном поле // Вестник Пермского университета, Физика. 2010. №1. С. 3-8.

17. Смородин Б.Л., Тараут A.B. Параметрическая конвекция слабопроводящей жидкости в переменном электрическом поле // Известия РАН, Механика жидкости и газа. 2010. №1. С. 3 -11.

Подписано в печать ОЧ-. /О ..2010 г. Формат 60x84/16.

Усл. печ. л. 0.93. Тираж 100 экз. Заказ 5 2 О . Типография Пермского государственного университета. 614990, г.Пермь, ул.Букирева, 15.

Введение.

1. Явления переноса и конвекция неоднородной жидкости (смеси).

1.1. Обзор литературы.

1.1.1 Электроконвекция слабопроводящих жидкостей.

1.1.2. Конвекция бинарной смеси.

1.2 Общая характеристика диссертации.

2. Влияние электрического поля на перенос заряда при наличии пороговой инжекции.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Метод решения.

2.3 Время инжекции.

2.4 Автоволны заряда в постоянном поле.

2.5 Влияние переменного поля на распространение заряда.

3. Возникновение элекроконвекции при наличии автономной униполярной инжекции.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Механическое равновесие.

3.3 Электроконвективная неустойчивость.

3.4 Модулированное поле. Параметрическая неустойчивость.

4. Нелинейные режимы электроконвекции при автономной униполярной инжекции.

4.1 Метод решения.

4.2 Нагрев снизу: Режим стационарной конвекции в постоянном поле.

4.3 Режим бегущих волн в постоянном поле: нагрев сверху.

4.4 Бегущие волны в переменном поле.

5. Локализованные структуры в горизонтальном слое бинарной смеси.

5.1 Система уравнений конвекции бинарной смеси.

5.2 Конвективные состояния бинарной смеси в случае аномальной термодиффузии.

5.2.1 Протяженные состояния.

5.2.2 Локализованные бегущие волны.

5.2.3 Конвектон — локализованная стационарная конвекция.

5.3 Столкновение локализованных бегущих волн и конвектонов

В силовых полях различной природы (гравитационных, вибрационных, электромагнитных) жидкости или газы могут приходить в движение. Конвективные течения возникают из-за пространственной неоднородности свойств среды (плотности, электропроводности, намагниченности). Проблема конвективной устойчивости и конвективных течений — одна из фундаментальных проблем гидродинамики [1—12]. Конвекция является причиной множества природных явлений, лежит в основе океанических и атмосферных течений, процессов в недрах и оболочках звёзд. Знание законов и механизмов конвекции широко используется в технологических процессах на Земле и в условиях микрогравитации.

В случае, когда плотность жидкости зависит только от температуры, возникает термогравитационная (или тепловая) конвекция [1, 3]. В неоднородных по составу жидких смесях конвекция, связанная с перераспределением концентрации одной из компонент (примеси), проявляет себя большим разнообразием физических явлений [13-14], чем в. чистых жидкостях. Например, добавление небольшого количества этилового спирта в воду, качественно меняет не только характер возникновения конвекции (прямая бифуркация сменяется обратной), но и приводит к образованию разнообразных пространственно протяженных и локализованных структур.

Другой пример неоднородной по составу жидкости — находящийся в электрическом поле жидкий диэлектрик, содержащий заряженные примеси (ионы). Под влиянием особых (электроконвективных) механизмов неустойчивости, связанных с разнообразными способами возникновения свободного или связанного электрического заряда в жидкости, электоконвективные течения могут возникнуть [8-12] не только при неоднородном нагреве, но и в изотермическом случае. Взаимодействие свободных зарядов с электрическим полем может привести к возникновению конвекции жидкости даже в невесомости. В Земных условиях электрическое поле сдвигает пороги тепловой конвекции, и может качественно изменять характер конвективных течений. Электроконвекция проявляет себя не только в электролитах и жидких кристаллах, но и в средах, которые считаются хорошими изоляторами (конденсаторное или трансформаторное масло, фреон, бензол).

При некоторых условиях жидкость остается в покое, хотя при этом тепловое равновесие отсутствует. В случае термогравитационного механизма конвекции это происходит, когда градиент температуры имеет постоянное значение и параллелен полю тяжести. Если вертикальная величина неоднородности температуры превосходит некоторое пороговое значение, механическое равновесие теряет устойчивость и возникает конвекция.

Теоретическое рассмотрение конвективных течений смесей ведётся на основе нелинейной системы дифференциальных уравнений в частных производных, включающей уравнение неразрывности, уравнение движения вязкой жидкости (уравнение Навье-Стокса), уравнение переноса тепла, уравнения переноса примеси. В случае электроконвекции их дополняют закон сохранения заряда, соотношения электростатики и соотношения, характеризующие свойства среды [8-12, 15]. В общем случае система нелинейных уравнений не может быть решена аналитически.

Возможны разные способы решения задач о конвекции. На первом этапе: линейной теории конвективной устойчивости, — анализируется поведение малых возмущений, что позволяет пренебречь нелинейными слагаемыми в уравнениях. Данная теория позволяет получить критические характеристики, при которых малые возмущения механического равновесия или течения начинают расти. Широкий спектр механизмов, приводящих к возникновению конвекции, а также набор математических и численных методов, используемых при решении задач линейной теории, рассмотрен в работах [38].

Динамика возмущений конечной амплитуды и перестройка конвективных структур могут быть изучены только на базе полной системы нелинейных уравнений.

Аналитический метод нелинейного анализа конвекции состоит в разложении полей, характеризующих задачу, в ряды по степеням малого параметра надкритичности, при которой исследуется конвективное движение [16-19]. В связи с этим данный метод применим лишь при небольших значениях надкритичности. В результате исследования можно определить характер бифуркации нелинейных режимов конвекции, а в случае прямой бифуркации найти форму надкритических течений. В случае обратной бифуркации конвекция конечной амплитуды возникает скачком, появляется область гистерезиса между теплопроводным и конвективным режимами. Такое поведение экспериментально обнаружено и теоретически проанализировано при исследовании конвекции в бинарных смесях с отрицательным коэффициентом термодиффузии [13].

Для изучения конвективных структур при конечных амплитудах скорости течения применяется другой подход, использующий метод прямого численного моделирования, в котором частные производные в нелинейных уравнениях заменяются их конечно-разностными аналогами. Метод конечных разностей позволяет найти характеристики вторичных режимов вдали от точки бифуркации, рассматривать как периодические, так и локализованные конвективные состояния. Обоснование различных приёмов расчёта конвективных течений конечной амплитуды содержится в большом числе монографий [20-30].

Еще один аспект исследования нелинейных уравнений гидродинамики связан с бурным развитием нелинейной физики во второй половине XX века, когда был изучен широкий класс новых явлений, связанных с хаотическим поведением в детерминированных системах [31-36]. В механике жидкостей хаотические движения наблюдались гораздо раньше (турбулентные течения), но в последнее время их заметили в несложных механических и электрических системах. В ходе исследований стало ясно, что дифференциальные уравнения могут иметь непериодические решения, ведущие себя случайным образом, хотя сами уравнения не содержат стохастических слагаемых. Появились новые математические подходы к анализу хаотических решений в различных системах [31—36], в том числе и в системах нелинейных уравнений конвекции [32].

Настоящая диссертационная работа направлена на исследование конвекции неоднородных по составу жидкостей (смесей). В случае примесей, способствующих образованию заряда, изучены распространение заряда (примеси) в неподвижной жидкости, а также электроконвекция неоднородно нагретых жидких диэлектриков: линейная устойчивость и нелинейные режимы течения в плоском горизонтальном конденсаторе, находящемся в постоянном или переменном электрическом поле. При этом рассмотрены инжек-ционный и диссоционный механизмы зарядообразования. В случае бинарной непроводящей смеси с помощью численного моделирования методом конечных разностей исследовано взаимодействие локализованных состояний: столкновение локализованных бегущих волн и локализованных стационарных состояний (конвектонов).

Заключение

1. В модель пороговой инжекции введен новый параметр — время образования заряда на электроде, рассмотрено его влияние на период распространения автоволн заряда в постоянном электрическом поле плоского конденсатора со слабопроводящей жидкостью; для широкого диапазона частот модулированного электрического поля определены зависимости полного заряда в конденсаторе и плотности тока от времени.

2. В случае униполярной, не зависящей от времени (автономной) инжекции найдены пороги параметрической неустойчивости, соответствующие субгармоническим, синхронным и квазипериодическим нейтральным колебаниям. Определены амплитуды и частоты внешнего поля, необходимые для эффективного возбуждения электроконвекции.

3. Построены бифуркационные диаграммы режимов, возникающих в постоянном поле горизонтального конденсатора при нагреве снизу или сверху, найдены частоты нелинейных электроконвективных колебаний.

4. Получены зависимости интенсивности конвективных течений от безразмерного электрического параметра и от частоты внешнего поля. Определены области существования стоячих волн, квазипериодических бегущих волн и хаотического режима.

5. Предсказано существование нового локализованного конвективного состояния в бинарной смеси — двух последовательных локализованных волн.

6. Изучено столкновение локализованных бегущих волн и локализованной стационарной конвекции (конвектона) в смеси этанол-вода. Показано, что в зависимости от интенсивности нагрева установившаяся структура представляет собой а) две последовательных локализованных бегущих волны; б) локализованной стационарной конвекции с одним фронтом, генерирующим конвективные валы; в) два противоположно направленных фронта, генерирующих конвективные валы.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Смородину Борису Леонидовичу за предоставление интересной темы для исследования, неоценимую помощь и поддержку на всех этапах выполнения работы. Также автор благодарит Мызникову Белу Исаковну за полезные советы и замечания.

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. T. VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. - 736 с.

2. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. - 840 с.

3. Гершуни Е. М., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. - 392 с.

4. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Непомнящий А. А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. - 320 с.

5. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. — М.: Мир, 1971.-350 с.

6. Гольдштик М. А., Штерн В. Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. — Новосибирск: Наука, 1972. — 392 с.

7. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир, 1981. - 638 с.

8. Болога М. К., Гроссу Ф.П., Кожухарь И. А. Электроконвекция и теплообмен. Кишинев: Штиинца, 1977. — 320 с.

9. Остроумов Г. А. Взаимодействие электрических и гидродинамических полей. М.: Физматгиз, 1972. - 292 с.

10. Стишков Ю. К., Остапенко А. А. Электрогидродинамические течения в жидких диэлектриках. Л.: Изд-во ЛГУ, 1989. - 172 с.

11. Саранин В. А. Равновесие жидкостей и его устойчивость. М., Институт компьютерных исследований, 2002. - 144 с.

12. Саранин В. А. Устойчивость равновесия, зарядка, конвекция и взаимодействие жидких масс в электрических полях. Издательство: РХД, 2009. -332 с.

13. Platten J.K., Legros J.C. Convection in Fluids. Springer-Verlag. Berlin, 1984. -680 p.

14. Cross M. C., Hohenberg P.C. Pattern formation outside of equilibrium // Rev. Mod. Phys, 1993.-V. 65.-P. 851-1112.

15. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука, 1982. — 624 с.

16. Вайнберг М. М. Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. - 527 с.

17. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. -М.: Мир, 1983.-301 с.

18. Найфэ А. X. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. - 535 с.

19. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1985. - 420 с.

20. Том А., Эйплт К. Числовые расчёты полей в технике и физике. Москва-Ленинград: Энергия, 1964. - 208 с.

21. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука, 1971.- 552 с.

22. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. Москва, Мир, 1980. - 616 с.

23. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. - 279 с.

24. Пасконов В. М., Полежаев В. И., Чудов Л. А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. - 288 с.

25. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. - 152 с.

26. Полежаев В. И., Бунэ А. В., Верезуб и др. Математическое моделирование тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса. — М.: Наука, 1987.- 272 с.

27. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидродинамика и теплообмен. Том I. М.: Мир, 1990. - 384 с.

28. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидродинамика и теплообмен. Том 2. — М.: Мир. 1990. 392 с.

29. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Изд-во ИЛ, 1963. 487 с.

30. Тарунин Е. Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. — Иркутск : изд-во Иркут. ун-та, 1990. — 228 с.

31. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. -М.: Мир, 1981.-528 с.

32. Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. -М.: Наука, 1984.-432 с

33. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение. М.: Мир, 1988. - 240 с.

34. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1990. - 312 с.

35. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991. - 368 с.

36. Кузнецов С. П. Динамический хаос (курс лекций). — М.: Издательство физ.-мат. лит, 2001. — 296 с.

37. Фарадей М. Экспериментальные исследования по электричеству. — М.: Изд-во АН СССР, 1947. 540 с.

38. Жакин А. И. Ионная электропроводность и комплексообразование в жидких диэлектриках // Успехи физ. наук. 2003. - Т. 173, №1. - С. 51-68.

39. Сканави Г. И. Физика диэлектриков: область слабых полей. М. Физмат-гиз, 1949.-500 с.

40. Сканави Г. И. Физика диэлектриков: область сильных полей. — М. Физ-матгиз, 1958.-908 с.

41. Адамчевский И. Электрическая проводимость жидких диэлектриков. Л. Энергия, 1972.-296 с.

42. Жакин А. И. Исследование электроконвекции и электроконвективного теплопреноса в жидких диэлектриках при униполярной инжекционной проводимости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1988. - №2. - С. 14-20.

43. Жакин А. И. Развитие электроконвекции в жидких диэлектриках // Изв. АН СССР. МЖГ. 1989. - №1. - С. 34-42.

44. Верещага А. Н., Тарунин Е. Л. Надкритические режимы униполярной конвекции в замкнутой полости // Численное и экспериментальное моделирование гидродинамических явлений в невесомости. Свердловск: УрО АН СССР.- 1988.-С. 93-99.

45. Верещага А. Н. Унарная электроконвекция в плоском слое// Гидродинамика и процессы тепломассопереноса. Свердловск: УрО АН СССР. 1989. -С. 42-47.

46. Тарунин Е. Л., Ямшина Ю. А. Расчет электрогидродинамичского течения в сильно неоднородных электрических полях // Магнитная гидродинамика. — 1990.-№2.-С. 142-144.

47. Тарунин Е. Л., Ямшинина Ю. А. Ветвление стационарных решений системы уравнений электрогидродинамики при униполярной инжекции // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 1994. - №3. - С. 23-29.

48. Ермолаев И. А., Жбанов А. И. Численное исследование униполярной инжекции при электроконвективном движении в плоском слое трансформаторного масла // Изв. РАН. МЖГ. 2003. - № 6. - С. 3-7.

49. Pontiga F., Castellanos A. Physical mechanism of instability in a liquid layer subjected to an electric field and thermal gradient // Phys. Fluids. 1994. — V. 6. — P. 1684—1701.

50. Polansky V. A., Pankrat'eva I. L. Electric current oscillations in low conducting liquids // J. Electrostat. 1999. - V. 48. - P. 27-41.

51. Панкратьева И. Л., Полянский В. А. Моделирование электрогидродинамических течений в слабопроводящих жидкостях // ПМТФ. — 1995. -Т. 36, №4. С. 36^4.

52. Панкратьева И. Л., Полянский В. А. Образование сильных электрических полей при течении жидкости в узких каналах // Докл. РАН. — 2005. — Т. 403, №5.-С. 619-622.

53. Prybylov V. N. Experimental study of electrization current of dielectric liquids in cylindrical pipe // Colloid. J. 1996. - V. 58. - P. 524-527.

54. Atten P., Lacroix J. C., Malraison В., Chaotic motion in a coulomb force driven instability: Large aspect ratio experiments // Physics Letters A. 1980. - V. 79, N4.-P. 255-258.

55. Malrison В., Atten P. Chaotic behavior of instability due to unipolar injection a dielectric liquid // Phys. Rev. Lett. 1982. - V. 49. - P. 723-726.

56. Tsai P., Daya Z. A., Deyirmenjian V. В., Morris S. W. Direct numerical simulation of supercritical annular electroconvection // Phys. Rev. E. 2007. -V. 76. -P. 026305.

57. Daya Z. A., Deyirmenjian V. В., Morris S. W., J. R. de Bruyn, Annular Electroconvection with Shear // Phys. Rev. Lett. -1998.-Vol. 80, N 5, P.964-967.

58. Tsai P., Morris S. W., Daya Z. A., Localized states in sheared electroconvection // EPL. 2008. - V. 84. - P. 14003.

59. Felici N. Phenomenes hydro et aerodynamiques dans la conduction des dielectriques fluids // Revue Gen. Electricite. 1969. - T. 78. - P. 717-734.

60. Castellanos A., Atten P., Velarde M. G. Electrothermal Convection: Felici's Hydraulic Model and the Landau Picture of Non-Equilibrium Phase Transitions // J. Non-Equilib. Thermodyn. 1984. - V. 9. - P. 235-243.

61. Castellanos A., Atten P., Velarde M. G. Oscillatory and steady convection in dielectric liquid layers subjected to unipolar injection and temperature gradient // Phys. Fluids. 1984. - Vol. 27, No. 7. - P. 1607-1615.

62. Worraker W. J., Richardson A. T. The effect of temperature-induced variations in charge carrier mobility on stationary electrohydrodynamic instability // J. Fluid. Mech. 1979. - V. 93, N. 1. - P. 29-45.

63. Atten P., Lacroix J. C., Double injection with recombination: EHD linear and non-linear study // J. Electrostatics. 1978. - V. 5. - P. 453-461.

64. Chicon R., Castellanos A., Martin E. Numerical modeling of Coulomb-driven convection in insulating liquids // Fluid Mech. 1997. V. 344. - P. 43-66.

65. Gross M. J., Porter J. E. Electrically induced convection in dielectric liquids // Nature. 1966.-V. 212, N. 5068.-P. 1343-1345.

66. Turnbull R. J. Electroconvective instability with a stabilizing temperature gradient. II. Experimental results // Phys. Fluids. 1968. - V. 11, N. 12. - P. 25972603.

67. Lee Ch. O. Thermal instability of a slightly conducting liquid layer in a vertical electric field// Proc. 5th Int. Heat Transfer Conf. Tokyo. 1974. - V. 3. - P. 173-177.

68. Косвинцев С. P. Экспериментальное исследование электроконвекции в плоском слое неоднородно нагретой слабопроводящей жидкости// Вестн. Перм. ун-та. 1994. Вып. 2. (Физика). - С. 128-140.

69. Turnbull R. J. Electroconvective instability with a stabilizing temperature gradient. I. Theory//Phys. Fluids. 1968.-V. 11,N. 12.-P. 2588-2596.

70. Bradley R. Overstable electroconvective instabilities // Quart. J. Mech. appl. Math. 1978. -V. 31, Pt. 3. - P. 381-390.

71. Martin P. J., Richardson A. T. Conductivity Models of Electrothemal Convection in a Plane Layer of Dielectric Liguid// Heat Transfer. 1984. - V. 106. - P. 131-136.

72. Жданов С. А., Косвинцев С. P., Макарихин И. Ю. Влияние электрического поля на устойчивость термогравитационного течения в вертикальном конденсаторе// Журн. эксперим. и теор. Физики. 2000. — Т. 117, Вып. 2. - С. 398-406.

73. Саранин В. А. О конвективной устойчивости слабопроводящей жидкости в электрическом поле // Изв. АН СССР. МЖГ. 1976. -N 5. - С. 16-23.

74. Макарихин И. Ю. О влиянии электрического поля на устойчивость конвективного течения в вертикальной полости // Изв. РАН. МЖГ. — 1994. — N 5. -С. 35—41.

75. Roberts P. Н. Electrohydrodynamic convection // Quart. J. Mech. Appl. Math. 1969. - V. 22, N. 2. - P. 211-220.

76. Turnbull R. J., Melcher J. R. Electrohydrodynamic rayleigh-Taylor bulk instability // Phys. Fluids. 1969. - V. 12, N. 6. - P. 1160-1166.

77. Takashima M., Hamabata H. The stability of natural convection in a vertical layer of dielectric fluid in the presence of a horizontal ac electric field // J. Phys. Soc. Japan. 1984. - V. 53, N. 5. - P. 1728-1736.

78. Иоффе H. В., Калинин H. В., Эйдельман Е. Д. Возможность дорэлеев-ской конвекции в жидких полупроводниках // Письма в ЖТФ. 1976. - Т. 2, Вып. 9. - С. 395-396.

79. Саранин В. А. Влияние электрического поля термо-ЭДС на возникновение конвекции в ионных расплавах // Магнитная гидродинамика. — 1983. — №1. С. 85-89.

80. Эйдельман Е. Д. Влияние граничных условий на возникновение дорэле-евской конвекции в жидких полупроводниках // Журн. технич. физ. — 1987. — Т. 57, Вып. 6. С. 1145-1147.

81. Эйдельман Е. Д. Конвекция под действием термоэлектрического поля в жидких полупроводниках // Журн. эксперим. и теор. физ. 1993. - Т. 103, Вып. 5.-С. 1633-1644.

82. Эйдельман Е. Д. Термоэлектрическая конвекция в горизонтальном слое жидкости // Журн. эксперим. и теор. физики. 1993. - Т. 104, Вып. 3(9). - С. 3058-3069.

83. В. L. Smorodin, G. Z. Gershuni, М. G. Velarde, On the parametric excitation of thermoelectric instability in a liquid layer open to air // International Journal of Heat Mass Transfer.- 1999.-V. 42.-P. 3159-3168.

84. Пуятс В. В. Электроконвекция при импульсном электрическом поле // Электронная обработка металлов. 1971. - №6. - С. 44-50.

85. Стишков Ю. К., Остапенко А. А. Электрогидродинамические течения в переменном электрическом поле // Магнитная гидродинамика. — 1980. — N 3. -С. 139-142.

86. Бережнов В. В., Косвинцев С. Р. Экспериментальное исследование электроконвективной неустойчивости неоднородно нагретой слабопроводящей жидкости в переменных и импульсных электрических полях // Вестник Перм. ун-та. 1995. - Вып. 4 (Физика). - С. 128-140.

87. Семенов В. А. Параметрическая неустойчивость неравномерно нагретого горизонтального слоя жидкого диэлектрика в переменном электрическом поле // Изв. РАН. МЖГ. 1993. -N 5. - С. 184-186.

88. Smorodin В. L., Velarde М. G. Electrothermoconvective instability of an oh-mic liquid layer in an unsteady electric field // Journal of Electroctatics. — 2000. -48/3-4.-P. 261-277.

89. Smorodin B. L., Velarde M. G. On the parametric excitation of electrothermal instability in a dielectric liquid layer using an alternating electric field // Journal of Electroctatics. 2001. - 50/3, - P. 205-226.

90. Ильин B.A., Смородин Б.Л. Периодические и хаотические режимы электроконвекции жидкого диэлектрика в горизонтальном конденсаторе// Письма в журнал технической физики. -2005. Т. 31. - №10. - С. 57-63.

91. Köhler W., Wiegand S. Lecture Notes in Physics. V. 584, Thermal nonequili-brium phenomena in fluid mixtures. Eds. Springer. 2002. - 470 p.

92. Philosophical Magazine. Special Issue: selected papers from the Fith International Meeting on Thermodiffusion. 2003. - V. 83, N17-18.

93. Шапошников И. Г. К вопросу об учете диффузионных явлений в бинарной смеси // ЖТФ. 1951. - Т. 21, №11. - С. 1309.

94. Шапошников И. Г. О некоторых гидродинамических величинах для смеси //УФН.- 1952. -Т. 28, Вып. 1.-С. 119-122.

95. Шапошников И. Г. К теории конвективных явлений в бинарной смеси // ПММ. 1953. - Т. 17, Вып. 5. - С. 604-606.

96. Гапоненко Ю. А. Микроконвекция в бинарной системе // Известия РАН. МЖГ. 2003. - №1. - С. 67-79.

97. Surko С. М., Ohlsen D. R., Yamamoto S. Y., Kolodner P. Confined states of traveling-wave convection // Phys. Rev. A. 1991. - V. 43. - P. 7101-7104.

98. Kolodner P. Drift, shape, and intrinsic destabilization of pulses of traveling-wave convection // Phys. Rev. A. 1991. - V. 44. - P. 6448-6465.

99. Hurle D. T. G., Jakeman E. Significance of the Soret effect in Rayleigh-Jefreyes problem // Phys. Fluids. 1969. - V. 12, N. 12, part 1. - P. 2704-2705.

100. Hurle D. T. G., Jakeman E. Sore-driven thermosolutal convection // Journal of Fluid Mechanics. 1971. - V. 74, N. 4. - P. 667-687.

101. Galdwell D. R. Thermosolutal convection in a solution with large negative Sore coefficient// Journal of Fluid Mechanics. 1976. - V. 74, N. 1. - P. 129-142.

102. Artiz-Goken J. A., Velarde M. G. Natural versus forced convection in the two component Bernard problem. New theoretical results // J. Non-Equilibr. Thermodin. 1981. -V. 6, N. 3. - P. 159-164.

103. Platten J. K., Ghavepeyer G. An hysteresis loop in the two component Bernard problem // Heat Mass Transfere. 1975. - V. 18, N. 9. - P. 1071-1075.

104. Smorodin B. L., Lücke M. Convection in binary fluid mixtures with modulated heating // Phys. Rev. E. 2009. - V. 79. - P. 026315(11).

105. Hollinger St., Lücke M., Müller H. W. Model for convection in binary liquids // Phys. Rev. E. 1998. - V. 57, N. 4. - P. 4250-4264.

106. Ohlsen D. R., Yamamoto S. Y., Surko S. M., Kolodner P. Transition from traveling-wave to stationary convection in fluid mixtures // Phys. Rev. Lett. -1990.-V. 65.-P. 1431-1434.

107. Barten W., Lücke M., Hort W., Kamps M. Fully developed traveling-wave convection in binary fluid mixtures // Phys. Rev. Lett. 1989. - V. 63. - P. 376379.

108. Bensimon D., Pumir A., Shraiman B. I. Nonlinear theory of traveling wave convection in binary mixtures // J. Phys. France. 1989. - V. 50. - P. 3089-3108.

109. Futterer C., Liicke M. Growth of binary fluid convection: Role of the concentration field // Physical Review E. 2002. - Vol. 65. - P. 1-18.

110. Matura P., Liicke M. Driving convection in a fluid layer by a temperature gradient or a heat current // Phys. Rev. E. 2006. - V. 73. - P. 037301(4).

111. Heinrichs R., Ahlers G., Cannell D. S. // Traveling waves and spatial variation in the convection of a binary mixture. Phys. Rev. A. 1987. - V. 35. - P. 2761-2764.

112. Moses E., Fineberg J., Steinberg V. Multistability and confined traveling-wave patterns in a convecting binary mixture // Phys. Rev. A. 1987. - V. 35. - P. 2757-2760.

113. Cross. C. M. Structure of nonlinear traveling-wave states in finite geometries // Phys. Rev. A. 1988. -V. 38. - P. 3593-3600.

114. Kolodner P., Bensimon D., Surko C. M. Traveling-wave convection in an annulus // Phys. Rev. Lett. 1988. - V. 60. - P. 1723-1726.

115. Bensimon D., Kolodner P., Surko C. M., Williams H., Croquette V. Competing and coexisting dynamical states of travelling-wave convection in an annulus // J. Fluid Mech. 1990. - V. 217. - P. 441^67.

116. Niemela J., Ahlers G., Cannell D. S. Localized traveling-wave states in binary-fluid convection // Phys. Rev. Lett. 1990. - V. 64. - P. 1365-1368.

117. Anderson K. E., Behringer R. P. Long time scales in traveling wave convection patterns // Phys. Lett. A. 1990. - V. 145. - P. 323.

118. Anderson K. E., Behringer R. P. Traveling wave convection patterns in an annular cell//PhysicaD.- 1991.-V. 51.-P. 444-^49.

119. Barten W., Liicke M., Kamps M. Localized traveling-wave convection in binary-fluid mixtures // Phys. Rev.Lett. 1991. - V. 66. - P. 2621-2624.

120. Liicke M., Barten W., Kamps M. Convection in binary mixtures: the role of the concentration field // Physica D. 1992. - V. 61. - P. 183-196.

121. Barten W., Lucke M., Kamps M., Schmitz R. Convection in binary fluid mixtures. II. Localized travelling waves // Phys.Rev. E. 1995. - V. 51. - P. 5662-5680.

122. Jung D., Lucke M. Localized waves without the existence of extended waves: oscillatory convection of binary mixtures with strong Soret effect // Phys. Rev. Lett. V. 2002. - V. 89, N. 5. - P. 054502.

123. Batiste O., Knobloch E. Simulations of Localized States of Stationary Convection in 3He-4He Mixtures // Phys. Rev. Lett. 2005. - V. 95. - P. 244501(4).

124. Blanchflower S. Magnetohydrodynamic convectons // Phys. Lett. A. 1999. - V. 261.-P. 74-81.

125. Batiste O., Knobloch E., Alonso A., Mercader I. Spatially localized binary fluid convection // J. Fluid Mech. 2006. - V. 560. - P. 149-158.

126. Kolodner P. Coexisting traveling waves and steady rolls in binary-fluid convection // Phys. Rev. E. 1993. - V. 48. - P. R665-R668.

127. Kolodner P., Slimani S., Aubry N., Lima R. Characterization of dispersive chaos and related states of binary-fluid convection // Physica D. — 1995. V. 85. -P. 165-224.

128. Jung D., Lucke M. Bistability of moving and self-pinned fronts of supercritical localized convection structures // EPL. 2007. - V. 80. - P. 14002(6).

129. Pomeau Y. Front motion, metastability and subcritical bifurcations in hydrodynamics // Physyca D. 1986. - V. 23. - P. 3-11.

130. Тараут А. В., Смородин Б. JI. Волны заряда в конденсаторе со слабо-проводящей жидкостью // Сб. тезисов конференции молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах", Пермь. 2004. - С. 104-105.

131. Тараут А. В., Смородин Б. JI. Перенос заряда и формирование структур в слабопроводящей жидкости // Тез. докл. конференции молодых ученых «Не-равновесные процессы в сплошных средах». Пермь. 2006. - С. 78-79.

132. Смородин Б. JL, Тараут А. В. Волны заряда в переменном поле конденсатора, заполненного полярной жидкостью // Вестник Пермского университета, Физика. 2006. - Вып.1, - С. 3-8.

133. Смородин Б. JI., Тараут А. В. Электроконвекция слабопроводящей жидкости в горизонтальном конденсаторе при наличии инжекции // Вестник Пермского университета, Физика. 2007. - Вып.1 (6). - С. 16-23.

134. Смородин Б. Л., Тараут А. В. Электроконвективные структуры: жизнь стоячих и бегущих волн // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая) Сборник статей. Часть 3. Екатеринбург: УрО РАН. 2007. — С. 192195.

135. Smorodin В. L., Taraut А. V. Dynamics of charge and electroconvective patterns in modulated electric field // International conference "27th dynamics days Europe", Loughborough University, Great Britain . 2007. - P. 106-107.

136. Тараут А. В., Смородин Б. Л. Колебательные режимы электроконвекции слабопроводящей жидкости // Тезисы докладов межвузовской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Физика для Пермского края». — 2008. — С. 81-82.

137. Смородин Б. Л., Тараут А. В. Влияние модуляции электрического поля на распространение заряда в полярной слабопроводящей жидкости // Прикладная механика и техническая физика. 2008. - Т. 49, № 1. - С. 3-12.

138. Smorodin В. L., Taraut А. V. Charge propagation in a low-conducting liquid under modulated electric field // Proceedings of IEEE International Conference on Dielectric Liquids, 2008 , art. no. 4622515.

139. Смородин Б. Л., Тараут А. В. Электроконвекция слабопроводящей жидкости при наличии остаточной проводимости и инжекции // Вестник Пермского университета, Физика. 2009. - №1(27). - С. 7-12.

140. Смородин Б. Л. , Тараут А. В. Локализованые структуры в горизонтальном слое бинарной смеси // Тезисы докладов Всероссийской конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Пермь. -2009.-С. 77.

141. Смородин Б. Л., Тараут А. В. Динамика бегущих волн в слое слабопроводящей жидкости в переменном поле // Вестник Пермского университета, Физика.-2010.-№ 1(36).-С. 3-8.

142. Смородин Б. Л., Тараут А. В. Параметрическая конвекция слабопроводящей жидкости в переменном электрическом поле // Известия РАН, Механика жидкости и газа. — 2010. №1. - С. 3-11.