Численное исследование неустойчивости течений вязкой жидкости во вращающихся объемах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

РГ6 ОД

на правах рукописи

Зиканов Олег Юрьевич

Численное исследование неустойчивости течений вязкой жидкости во вращающихся объемах

01.02.05 - механика жидкости газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата Физико-математических наук

МОСКВА - 1993

Работа выполнена в Институте проблем механики Российской академии наук

Научные руководители: доктор физико-математических

наук ГИ.М.Яворская) доктор физико-математических наук, профессор В.Б.Баранов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор В.Я.Шкадов кандидат Физико-математических наук Ю.Н.Беляев

Ведущая организация - Институт физики атмосферы РАН

Защита состоится "72" С>!А1993г. в ((л час в аудитории 16-24 на заседании специализированного совета Д.053.05.02 при МГУ им.М.ВЛомоносова (Москва, 119899, МГУ).

С диссертацией можно ознакомиться в Библиотеке механико-математического Факультета МГУ им. М.ВЛомотосова.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.05.02 при МГУ

профессор ч ВЯКарликов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ:

Все гидродинамические явления во Вселенной происходят во вращающихся системах. Только в одних случаях вращение не оказывает существенного влияния на течения, а в других -определяет его важнейшие особенности. Течения, которые изучаются в астро- и геофизике, а также возникающие во многих важных технических приложениях, принадлежат ко второй категории явлений.

Исследование реальных астро- и геофизических течений требует одновременного учета многих Факторов - сжимаемости, стратификации плотности, градиентов температуры и процессов переноса тепла, магнитных полей и гравитации. Такое исследование является очень трудной, часто невыполнимой в настоящее время задачей. Поэтому неудивительно, что на протяжении долгого времени сохраняется устойчивый интерес к модельным течениям, в которых влияние одного или нескольких Факторов отделено от влияния других. Возрастающий в последнее время интерес к таким задачам объясняется и тем, что они дают обширный материал для общей теории гидродинамической устойчивости и возникновения турбулентности.

Предметом исследования данной работы является устойчивость движения вязкой жидкости во вращающихся замкнутых объемах. Рассматриваемые в первой и второй главах течения объединяются тем, что на пределе устойчивости в обоих

случаях возникают движения типа азимутальных бегущих волн. ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

Численно исследовать неустойчивость и бифуркацию к трехмерным, периодическим по времени решениям типа бегущих азимутальных волн для двух течений: равновесие Буссинесковой жидкости в подогреваемом снизу вертикальном круговом, вращающемся цилиндре в случае малых чисел Прандтля, и основное течение в слое между двумя концентрическими сферами, вращающимися вокруг общей оси (сферическое течение Куэтта).

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ--

Численно, спектральным и полуспектральным методами, в широком диапазоне параметров решались линеаризованные и полные уравнения Буссинеска и Навье-Стокса. Это позволяло определять тип бифуркации и вид ответвляющихся решений.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА:

В первой главе диссертации впервые рассмотрено влияние наличия боковых стенок на явление колебательной неустойчивости подогреваемого снизу, вращающегося вокруг вертикальной оси горизонтального слоя при малых числах Прандтля.

Проведенное во второй, главе численное исследование является первой попыткой моделирования трехмерных течений, возникающих в слое между вращающимися сферами в случае

вращения обеих сфер.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ:

результаты, полученные з диссертации важны для общей теории гидродинамической ' устойчивости и могут быть использованы при исследовании крупномасштабных движений в астро- и геофизических объектах и в различных технических устройствах.

АПРОБАЦИЯ:

Результаты работы докладывались и получили положительную оценку на семинарах под руководством проф. В.Б.Баранова в 1991,1993 годах, на семинаре под руководством д.ф.м.н. С.Я.Герценштейна в 1992 году и на международной школе по нелинейным задачам теории гидродинамической устойчивости в 1993 году.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ:

Диссертация состоит из введения, двух глав и заключения, общий объем диссертации - 141. стр. Диссертация содержит 32 рисунка и 8 таблиц. Список литературы состоит из 87 наименований.

ПУБЛИКАЦИИ:

Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ:

Во ВВЕДЕНИИ обоснована актуальность работы, сформулирована цель исследований и кратко описано содержание работы.

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ рассмотрена конвективная устойчивость погреваемого снизу> вращающегося вокруг вертикальной оси цилиндрического объема жидкости. Предполагалось, что выполнено приближение Буссинеска и что число Прандтля мало (Рг?-0.025, 0-1). Как известно, в этом случае,- при достаточно больших числах Тейлора (характеризующих интенсивность вращения) в бесконечном горизонтальном слое конвективная неустойчивость связана с растущими осциллирующими возмущениями. Исследовалось влияние наличия твердых боковых стенок на это явление. В качестве граничных условий для температуры на боковых стенках принимались идеализированные условия бесконечно теплопроводной или абсолютно теплоизолирующей границы. Дно и крышка цилиндра предполагались твердыми, бесконечно теплопроводными и поддерживающимися при постоянных температурах.

В РАЗДЕЛЕ 1.1 обоснована важность решения такого рода задач и дан краткий обзор литературы.

РАЗДЕЛ 1.2 посвящен численному решению линейной задачи о конвективной устойчивости состояния механического равновесия (во вращающейся вместе с цилиндром системе координат). Задача решалась методом Галеркина для осесимметричной и первых девяти неосесимметричных мод в

следующем диапазоне параметров: А-0.5,1.0,2.0. 0£0~;1200. Здесь А - отношение радиуса цилиндра к его высоте, О- — параметр, характеризующий интенсивность вращения <51- угловая скорость вращения цилиндра, - его высота, })

кинематическая вязкость) . Обнаружено, что в присутствии боковых стенок колебательная неустойчивость имеет место в диапазоне параметров, качественно подобном диапазону в случае бесконечного слоя (Фкг.1). При этом, наиболее опасные осциллирующие возмущения имеют вид бегущих азимутальных волн, распространяющихся в направлении, противоположном направлению вращения цилиндра с Фазовой скоростью, имеющей величину порядна скорости вращения (Фиг.2).

Решение -линейной задачи показало, что замкнутость объема течения снимает характерное для бесконечного горизонтального слоя вырождение по типу наиболее опасной моды <отг>ччая или бегущая вална) и ее пространственной структуре. Поэтому при выполнении описанного в РАЗДЕЛЕ 1.5 плабонелинейного анализа не было необходимости решать задачу отбора Физически реализуемого течения из множества, возникающего при решении линейной задачи. Достаточно было лишь определить, устойчивы или нет ответвляющиеся решения типа бегущих азимутальных волн. При числах Рэлея, мало отличающихся от критического, решение нелинейных нестационарных уравнений для возмущений находилось при помощи разложения по степеням малой амплитуды ответвляющегося периодического решения £ . Для самого числа Рэлея и частоты

осцилляций бегущих волн использовались аналогичные разложения. Вычислены коэффициенты до членов второго порядка по иогочителько Так, для Р 60: ""£.0)'-.

Вычисления доказали, что всюду -.1 рассмотренном диапазоне параметров Р?2>0 . Следовательно, имеет кости ¿-^критическая бифуркация Хопфи._ Как известно, в отсм случае огветъляющиеся периодические решения в малой закритичности у:тойчивы в линейнол! при5лижелии.

Во ВТОРОЙ ГЛАВЕ рассмотрена первая неустойчивость сдвигового течения между вращающимися вокруг общей оси концентрическими сферами - сферического течения Куэтта <СТЮ. Задача имеет определяющее параметры: относительную толщину

- к отношение

слоя ¿Г-^У/^ , число Рейнольдса ^ и

угловых скоростей ОЗ-Фг/^* или заменяющее его ыорое число Рейнольдса Ясг - • одесь Кг и - радиусы и

углевые скорости вр&щения внутренней и внешней сфер, "О -кинематическая вязкость. Вычисления проводились для тонкого слоя 5" "0.11 при вращении обеих сфер в одну или противоположные стороны.

* Вводный РАЗДЕЛ 5.1 посвящен обоснованию необходимости изучения течения в сферическом вращающемся слое. Изучение такого точения представляется весьма актуальным в связи с обширными астро- и геофизическими приложениями. Кроме того, СТК является гораздо более общим течением (три ненулевые компоненты скорости, зависимость от двух координат), чем обычно изучаемые в теории устойчивости и перехода к

турбулентности одномерные течения или состояния механического равновесия. Поэтому, изучение СТК может дать обширный материал для этой теории.

В РАЗДЕЛЕ 2.2 кратко изложены результаты некоторых из большого числа опубликованных в последнее время работ, посявщенных исследованию СТК. Особое внимание уделено экспериментальным работам И.М.Яворской, ЕН.Ееляэва и их сотрудников, особенно той их части, которая касается устойчивости и переходов к различным вторичным течениям в тонком слое 5"-0.11. (Следует сказать, что появление тех или иных режимов и структура переходов между ними очень сильно зависит от значения 8). В качестве критического параметра в этих работах использовался (1?е2) • Эксперименты показали, что принцип смены устойчивости имеет место лишь узком диапазоне ??е2< 1940, где на пределе устойчивости

появляется осесимметричное стационарное течение с парой кольцевых вихрей, напоминающих вихри Тейлора в течении между вращающимися цилиндрами. Вихри расположены в приэкваториальной области по разные стороны экватора. Вне вышеупомянутого интервала значений Яе2 на пределе устойчивости появляются различные трехмерные течения, имеющие вид азимутальных бегущих волн. В обзоре вычислительных работ показано, что до сих пор численно исследовался только случай вращения одной внутренней сферы (1?е2-0). Практически во всех работах рассматривались исключительно осесимметричныа режимы. (Например, достаточно хорошо изучена первая неустойчивость

основного течения и переход к течению с парой вихрей Тейлора). Исключением были только работы ЕМ.Астафьевой, в которых решалась линейная задача об устойчивости основного течения относительно неосескмметричных возмущений. В этих работах рассматривался гораздо более толстый, чем 5" -0.11, слой и случай Ре2-0.

В РАЗДЕЛЕ 2.3 дана постановка ' задачи и описаны численные методы ее реиения. Осесимметричнов основное течение и вторичные стационарные осесимметричные течения находились из решения полных нестационарных уравнений вязкой несжимаемой жидкости методом установления. Исследовалась устойчивость основного течения в линейном приближении относительно осесимметричных и трехмерных возмущений. Предпринята попытка исследовать вторичные трехмерные периодические течения путем решения полной системы уравнений Навье-Стокса и неразрывности. В качестве численного метода применялся разработанный в работах Н.М.Астафьевой полу спектральный метод. Использовались разложения по сферическим Функциям азимутального и меридионального углов. Уравнения в частных производных для коэффициентов, зависящих от Г3Ь решались методом конечных разностей.

В РАЗДЕЛЕ 2.4 изложены полученные результаты. Показано влияние вращения внешней сферы на структуру и интегральные характеристики основного течения. В интервале -1200--1?е2^2500 исследована устойчивость основного течения в линейном приближении относительно осесимметричной моды и первых девяти

неосесимметричных мод. Кривая устойчивости и номера наиболее опасных мод приведены на Фиг.З. Определены области значений Re2, где наиболее опасными становятся неососимметричныэ осциллирующие возмущения. Эти области оказались качественно подобны экспериментально полученным областям, где на пределе устойчивости появлялись трехмерные нестационарные течения. При неустойчивость обусловлена нэосесимметричными и

антисимметричными относительно экватора возмущениями типа бегущих азимутальных волн. При этом азимутальное волновое число наиболее опаской моды m растет с ростом Re2 (от m-i при Rc2;181i до im-7 при Re2-25C0) . Иной тип неосесимметричных возмущений начинает преобладать при Re2<-646. Наиболео опасными становятся экваторосимметричные нестационарные возмущения с m -1, а, затем, с ит=2. При -645srE2<1811 неустойчивость обусловлена осесимметричньши,

антисимметричными относительно экватора возмущениями, рост которых приводит к течению с парой вихрей Тейлора. Это течение было исследовано в малой закритичности в рамках полных нелинейных уравнений. Обнаружено, что если при Re?-0 переход к течению с парой вихрей Тейлора и обратно имеет очень маленький гистерезис порядка 1, то при увеличении Re2 до 2050 этот гистерезис возрастает до - 2.1. Исследование ответвляющихся нестационарных трехмерных решений оказалось чрезвычайно сложным, т.к. решение уравнений Кавье-Стокса в этом случае требует очень больших затрат машинного времени. Все же удалось получить решения типа бегущих волн при

^-2050. По пространства иной структуре решение подобно обнаруженному в эксперименте течению, нмэтацеку вид разомкнутых вихрей 'Тейлора.ПодтЕержден экспериментальный результат о существовании осесимметричных и нэоеесинметричных течений при одних и тех же значениях параметров. Обнаружено, что решения типа ^егЛих волн ответвляется докритичэски. При этом, нвосйсимметрично!? и огосимиетрлчяое рэие.чия переходят в основное течение при одном и том же Диаграмма решений при Ре2-20Ь0, построенная как график зависимости передаваемого на внешнюю сферу момента от Не:х для различных режимов приведена на Фиг.4.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Численно решена задача с конвективной устойчивости жидкости во вращающемся, подогреваемом снизу цилиндрическом объем» в случав малых чисел Прандтля. Обнаружено, что характерная для этого случая колебательная неустойчивость проявляется в виде растущих возмущений типа бегущих азимутальных волн. При помощи слабонелинейного анализа показано, что периодические решения ответвляются закритически и устойчивы в линейном приближении.

2. Численно рассмотрена устойчивость СТК в тонком слое 5 -0.11 в случае вращения обеих сфер. Найдены области

значений параметров, в которых неустойчивость обусловлена растущими возмущениями типа бегущих азимутальных волн. Зги области оказались качественно подобны обнаруженным в эксперименте. Линейный анализ показал, что при вращении* сфер в одну сторону наиболее опасными являются антисимметричные относительно экватора возмущения. Напротив, при больших отрицательных первая неустойчивость основного течения

связана с растущими неосесимметричными. симметричными относительно экватора возмущениями. Проведен нелинейный анализ вторичных осесимметричных и неосесимметричных течений, который позволил раскрыть их пространственную структуру. Показано, что при 1?Ег>0 вторичные решения ответвляются докритически.

К-10"3

Фиг. 4. Критические числа Рэлея дляРг=0.025.

-- теплоизолирующие боковые стенки,

--- теплопроводные боковые стенки,

----- _ бесконечный слой С1Л .

Изломы на графиках соответствуют смене номера наиболее опасной моды.

Фиг.2. Частоты осцилляцкй нейтральных возмущений и номера наиболее опасной моды для Рг =0.025

- - теплоизолирующие боковые стенки,

--- - теплопроводные боковые стенки,

------- - бесконечный слой С1] .

3 5 V'Ъ

2-103 /У\ // //

2 1 Ш=0 у \ У/' // // /V у

\ \ -¿Г'' лФ с~-1-1-1- -1-1-1- —1—

-105

103

2-10*

Фиг.З. Кривые устойчивости основного течения,

------экспериментальные данные,--результаты

расчетов, т - азимутальное волновое число.

Т2

__________

2460 2480 2500 1

Фиг.4. Зависимость углового момента Т^, передаваемог на внешнюю сферу от числа ве^ для различны* режимов течения. 9ег-2050.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

1. Зиканов О.Ю., Яворская И.М. МЖГ, " 1, 1989.

2. Яворская И.М., Зиканов O.D. Прерринт ИПМ РАН ы513, 1991.

Подписано к печати 20.07.93 Обьем1,Оп.л. Формат 60x84 1/16 Заказ 135 Тираж 100

ТОО "Нерей". ВНИРО. 107140, Москва, В.Красносельская, 17