Численное исследование процессов самовоздействия модулированных волн со сложной пространственно-временной структурой тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА. ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛВДИЙ II ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРС7ВШШ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА

ФМЗИЧЕСКИИ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

САРАТОВ Мухтар Ыуталович

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ СМЮВОЗДЕйСТВЙЯ . МОДУЛИРОВАННЫХ ВОЛН СО СЛОЖНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРБШШОИ

структурой Специальность 01.04.03- радиофизика.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на сояскояие уч<шоа степани кандидата физико-математических каук

Москва - 1932

Работа выполнена на кафедрэ акустики % ка|едро общей 4азики Е ВОЛНОВЫХ процзссов фаЗИЧЭСКОГО факукьють МГУ им. М.В.Ломоносова

Научшэ руководители: доктор Физхтл0-^латематнчас1цгх наук,

пра!-эссор •О.З.Рудедко^ кандидат впко-математаяэсаах ¡цаук Б.С.Абгйои.

Официальные оппоненты: доктор .(¡изяко-матеыаттесккг наук,

,-профессор 33.Д. Адааиюшп, •кандидат ■физЕко-матоыатичвоюд ¡наук С.Н. Лузгин.

Ведущая организация: Институт общей физики РАН.'

. Защита состоится " ■ 1992 г. а '/Т^часов

в ауд. на засвданЕи ШециплизароЕанного Явного Ссвэгго

К.053.05.92 отделения радисфгаики 'фадячаского факультета Московского Государственного университета ям. 'М.В.Ломоносова.

Адрес: 119899, г. Москва, Ленинские ¡Гора, '¡¿ГУ, фтзичэсккй факультет.

С диссертацией моею ознакомиться «в библиотеке (¡изачэско-го факультета МГУ.

"Афгврбферат разослан " (3 т £922 г,

//

7чвяв& 'Секретарь Содцзашкщрованваго /.V/'/.,'> У Совэ тя' 1£. 053.05.92 отделения редкф!- ¿х

8иня '5£язичо скогс факультета йГУ • кандидат "фавшсонлатематичеснгк 'наук И.В. Лебедева

ГГ ;..

. . I 1

Г, • - ) '• '■■Сч;/; !

I.ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Сановоздействиэ волн- нелинейный аффект, возникающий вследствие изменения интенсивной волной свойств среда, в которой она распространяется. В зашспмостн от физической природа водны самовоздействие мокет иметь саше разнообразный мехапизмы и формы проявления. В данной работе объектами теоретического рассмотрения были .выбраны такие процессы самовоздействия, как тепловая самофокусировка мощных акустических пучков, стационарная самофокусировка интен-сившх оптических пучков при керрозской нелинейности и саыо-кокпрессия одномерных оптических импульсов. Следует сказать, что все эта процесса теоретически описываются нелинейными эволюционными уравнениями в частных пронзводных (уравнение Хохлова- Заболотской- Кузнецова в акустика, одномерное и двумерное нелинейные уравнения Шредикгера в оптике) я, за редким исключением солитонных решений, эти уравнения не имеют аналитических решений.

По втой причине, в теоретическом исследования нелинейных процессов особое местб занимает численное моделирование. Начало этому (применительно к данной проблематике) было положено еще в 19о4г. Тауясом и др., рассчитавшими на ЭВМ профиль оптического волновода. Дальнейшее продвижение в изучении нелинейных волновых процессов в большой степени .опиралось ка использование вычислительных средств. Это касается, к примеру, основных результатов в задачах о тепловой самофокусировке квазигармокических звуковых, пучков, распространении оптических пучков в средах с насшдениом нелинейности .и т.д. .

Следует подчеркнуть, что результаты, получаемые в каждом проведенном численном эксперименте конкретны, и априорно их нэльзч обобщать или переносить на другие репешя с отличшши начальными и граничными условиями. И по сути, интересуясь распространением ваян оригинальной вреквнной или пространственной структуры в нелинейных средах, мы каждый раз имеем дело с новой задачей.

. В качестве таких волн (со сложной структурой) в цнсеертз-

цаи рассмотрены мощные акустические пучки с- пилообразным временным профилем, оптические пучки с кольцеобразной поперечной структурой поля и оптические импульсы, возникающие в модельных средах с совместным влиянием нелинейностей высших порядков.

Целью работа является теоретическое изучение процессов самоБоздейсгвия волн со сложной пространственной п временной структурой, имеодих различную физическую природу. Научная новизна работы.

1) впервые получены количественные характеристики временного к пространствоjffloro масштабов процесса тепловой само- и дефокусировки пилообразных звуковых воли;

2) показана теоретическая эозмопность всшптотической автомодельной самофокусировки для кольцеобразных оптических пучков;

3) найдено точное решение модельной задачи, описывающее автомодельную само- и - декомпрессия одномерных оптических -импульсов в неконсервативных нелинейных (кубических) средах с усилением (поглощением);

Научная и практическая ценность работа. Полученные в главе I количественные характеристики могут быть использоваш при планировании вксперимевтов с мощным ультразвуковым излучением и. использованы-прк анализе получаемых результатов. Из результатов главы II следуют аналитические формулц для' фокусного расстояния, параметров кольцеобразных лазерных пучков п мощности, которую ыокао сконцентрировать в малой области пространства. Это дает возможность управления поведением такта: пучкоз. Кроме этого, эти результаты позволяют осуществить управляемую самокомпресгаго импульсов в широком временном диапазоне при использовании модулированного уЬиления. Практической ценностью результатов глэвы III является анализ влияния нелилеЙностеЗ высота: порядков на динамику распространения оптичвеках солитонов. Найденный класс смешанных солитонов и анализ ах устойчивости показывает возможность их использования на практике (например в линиях связи). В то не время, учитывая пространстванно-времэннуп аналоги» в оптике, аналитические результаты главы III могут дать более глубокое

понимание теоретических результатов но двумерным оптическим волноводам в средах с насыщением нелинейности. Апробация -работы. Результата излагаемые в диссертационной работе были доложены на 12-м Международном симпозиуме по нелинейной акустике (Остин, CUJA, 1990) и на XIV-ой Мегсдуна-родной конференции по когерентной и нелинейной оптике (Санкт-Петербург, 1991),

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения, содержащего библиографии. Общий объем работы 85 страниц машинописного текста, включающей I таблицу и 22 рисунка.

И. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Первая глава яосвяцена теоретическому описании процесса тепловой самофокусировки (ТСФ) пилообразных звуковых пучков в среде без дисперсии. Этот эффект обусловлен нелинейным поглощением, неоднородным по сечению пучка; он моьиэг наблюдаться в идеальных (недиссипативных) средах. ТСФ пилообразных волн была предсказана и экспериментально обнаружена недавно. Ее численное исследование проведено впервые в наших работах. В §1 приводится вывод уравнений, используемых для описания ТСФ пилообразных боли. При распространении акустических волн в жидкостях возникают три мода возмущений:.акустическая, энтропийная и гидродинамическая. Эффект ТСФ является результатом взаимодействия первых двух мод. Полагается, что гидродинамическая мода не возбуждается и для описания процесса распространения мовдюй звуковой волны используется следующая система уравнений:

модифицированное уравнение Хохлова-Заболотской-Кузнецова - ■

гО о го о

и неоднородное уравнение теплопроводности-

Здесь Р- акустическое давление, Т- усрздтнпи по периоду

волна температура среды, б=(1/со) (¿>с/йТ)р- температурный коэффициент скорости звука с; с , р0-невозмущеннне скорость звука и плотность среды; в, ь-параметра нелинейности и диссипации, х-координата вдоль оси пучка, ч=1:-х/с0, 1-время, ДА-лазласиан по поперечной координате г, ж- коэффициент теплопроводности и ср-теплоемкость среда.

Уравнение (I) достаточно сложное для анализе, и для его упрощения используется прлблтаедае геометрической акустики. При атом (I) преобразуется к виду

ар £ р ¿Р ь , «з-ф <?Р . Ахф р _п Пч

"¡д о)

гО о ~о о

-Ц + ет = О. (4)

Для пилообразной волны с амплитудой А и периодом 2тс/и уравнения (2) и (3) принимают бзд

(5)

= А5 (6)

Такии образом, система уравнений (5), (6) и (4) описывает тепловое сачовоздействие пилообразных волн.

Существенное упрощение позволяет сделать безаберрационное прибляязняэ: полагая волновой фронт сферическим с нзмэняадвйся кривизной §, из (б) получзм

-ГГ 11 + • ^

где * (х.О= ехрс.г з- вспомогательная функция, Р0=

А(х=0,г=0)- амплитуда водш на оси пучка на входе н среду, £>(£)= А(х=0,г)/Ро=Ф(г/а)- функция, ошсываадая поперечное распрадолешю амплитуда волпн на входе, а- начальный радиус пучка, хр=1фо0®/(ешРо)- характерное расстояние, на котором происходит заметное нелинейное поглощение волны.

Для определения структуры пучка Д(х,г.О в (7) необходимс еычяслзть вспомогательную функцию -г:

Г4-^ = 0Т„, (8!

ех

где Т2 (x,t)- юэф^ыциент при г*в разлозаэтш температуры Т по поперечной координате:. Т= Т-Т,г?2+... Для вычисления Т2, в свою очередь, необходимо расчитать температурное поле Т, пользуясь (6). Однако в двух случаях оказывается возмоенш определить Т2 не еычисляя Т: в случае установившейся ТСФ и в случае начального этапа Т№.

В §2 рассматривается установившийся рэтач процесса ТСФ, который соответствует условии <»T/at=0 в (6). Используя выра-кениэ (7), мо!шо вычислить Т2. и тогда для -f следует уравнение, которое имеет вид

_d!± = tl3siqri (б)_____ _ (9)

rfj2 f'(I + П t f )3

о

где г=х/х0 (хц=';сг|С! рос^/(Ззеег(/)- характерная длина, не зависящая от амплитуда волки Ро), П=гоух , К-тор- соответст-Beiffio безразмерные координата, амплитуда волны ка входе в среду и начальная кривизна вольевого фронта.

Таким образом, нахождение амплитуды А(х,г) сьэлось к расчету i из (9), (10) и использованию функциональной связи (7). Решение задачи зависит от параметров П и К, кроме-того, поведение решения качественно метется при изменении знака в. При 0>0 происходит дефокусировка, при ö<0- сТюкусирозка.

Ка рис.1-2 приведены результаты численного расчета амплитуды A(z,r) и радиусз а(г) по фор^лам (7)-(10) в среда с 5<0. Предполагалось, что пучок на входе в среду является гзуссовзким; Ф{г/а)=ехр(-г*/аг) с плоским ьолношм фронтом (НЮ). Видно, что с увеличением расстояния = пыплитуда А сначала уменьшается, а затем возрастает, и па некотором расстоянии образуется фокус. Кроме того, -касшщяомце кзлинайное поглощение и изотропизация пучка сильнее проявляются при мйнъеш. значениях амплитуды (,П=0Д).

Приводите« таблица значений длшш самофс-кусировчи Зф для различных значений П, из которой следу??, что длина срма|?о-куссровки 2ф быстро уменьшается о /е&аичонием ачплитудц волны П. Для сравнения, в тайяице гртедеяы оцг, е.ц-л'кмя

г ^ г

Ряс Л. Распределение амплитуда еолкы при самофокусировке

0,5

1

0,5

0^010Д1~510 50100 гоо

Рис.2. Зависимости радиуса нуч-ка во и амплитуды волна на оси й0от расстояния г.

Р51С.З. Зависимость радиуса пучка ао от координаты г нрп различной кривизне волков"гэ фронта (К) в дефокуснрущей среде.

г "у вычисленные аналитически, для длины самофокусировки при больших значениях амплитуда (П>5) и z^* для 11=52 в ЩМбЛИХЭ-Шт "тонкой линзы".

Проведены расчета в случае дуфокускрущей средн (б'-О, П=Ю) при различной начальной грзшизлю г.оллсюго фронта пучка. Зависимость радиуса пучка на оси волш от прейденного расстояния (рис.о) еранндзаегся с гшалогичней зкрислюсты» ч отсутсииэ саыовопдействмл (."=0).

В рассматривается начальный этап ТСФ, счютвотсгаунаий периоду времени, ограниченному характерным временем установления температуры t0=poc; а1/ (12а;). Полагая, что па начальном этапе процессы теплороводаости несущественны и отбрасывая соответствующий член уравнения (8), имеем Я? 2 £(л\3

ТОоРОСР

Коэффициент Т находится аналогично случаю стационарной ТСФ, при этом учитывается поперечная структура пучка. Относительно -f(x,t) получается замкнутее уравнение a, I d*f , П3з1дп(б)

с граничными условиями - .

+ i j = I,. | = к . (13)

Здесь через e=t/t0 обозначено текущее время, нормированное на характерное время теплопроводности tQ (0*1).

Если, однако, провести перенормировку г=Пг, 9=119, то-"задача становится о, нопараметричаекей с параметром Й=Й/П=х р.-На рис.4 приведены результаты численного расчета зависимостей ао G) к Ао(z) для последовательных моментов времени 3 в фскусирувдвй среде. Волновой фронт на вз. да в среду считался плоским: Й=0. На рис.5 сплогзгой линией изобракгна зависимость координаты точки "охлопывания"(фокуса) от,- времени в. Пунктирной Ливией изображена аналогичная, зависимость, , полученная в приближении, когда масштаб нелинейного поглощения велик по сравнен:® с масштабом самофокуехфовкл. -

Вторая глава посвящена теоретическому описанию асшптоти-ческого и точного автомодельных процессов самовоздействия оптических волн, В §1 приводятся точные автомодельные реие-

-И • vnt^T-r •

Рис.4. Зависимости характеристик прзш от. расстояния г в последовательные моменты времени 0 при (К=0).

Глс.С. Координата точки "охлопывания" йф в зависимости от времени 9.

Рис.о. Зависимость параметра автоыодолыгости ■>'=-'„($} от пройденного рг.с-

■ СТОЯНИЯ

шя двумерной задачи стационарной сьмофок! сировкн интенсивных оптических пучков в нелинейной кубической сродв, опксн-ввемой нелинейным .уравнением И1редингора (ЮТ)

2i -j-f" + ' а | ср |sip = О, ' (15)

с граничными условиями

# L=0, I ф i;,e =0 . (IS)

( fp=E/Eo- безразмерная амплитуда, нормированная па ггаковое значение пом; г- поперечная координа-ха, нормированная на радиус пучка а; г^/х^-коордпната распространения, r.d=k92-характерная дггфракциоачая дли«; а-хл/7.г L = (¡<аг коэфрщиент нелинейности).

Отмечается, что все точные автомодельное решения задачи (15)—(16) имеыт глсбялььнй мьксамуи интенсивности на оси пучка, ч что вое они описывают лисЗо освсидаетричнпо волновода в велинеФюй среде, ллбо расходящиеся пучки. Однако, для решений (15) с провалом значения интенсивности нп оси пучка, и пмопцих кольцеобразную структуру, граничило условия (16) выполняются асимптотически, и том точнее, чом больпэ размори кольца. При это;»; профяль поперечного сечения интенсивности кольцеобразных пучков дриблитсавтса к irpo<iii.iB oi ибакщей (.•дно-мерного фундаментального солитона.

В §2 в качестве пучков, фоку сиру кдо.ся аошпуотичвски автомодельным образом, предлагается колы'.еобрззшэ ..учки, mi8w>o нз бхо^о в среду слгдугауг логррычкув стрд:туру амплитуды

|--

ф(г=0,г) - (2/а) ЛГ'аГЧ—у—), (17)

здесь г , К- Оеэрагмэрш«* рачку с и татди^ш колта.

Кок п(Ж808Я числеидгА эксперямснт, повьдвдгие пучка wvoaio аппроксимируется шчзазунльм (при го/\(0)*-5)

|VU,r)|s.-(2/a)"V-(OCi,-,r^rj - л. О<а<;ф

п условие бвтсмоделъноитц кок К'дпс на

рис.6, выполняется прак-пгаэскч до точки "схдляывагдя" т^. Здось A(z)-= мах|ф(г,г)| - rairxEoe значенье амплитуды и С/гг|ф(г,г)|\tirf J !ф(/ ,r) ¡ViirJ1-'*- parjnyc кильцп.

В §3 получено точное автокодельнае релеьие сядато само-

компрессии импульсов в диспергирующих, кубически нелинейных и а. консервативных средах. Распространение оптических. импульсов в .таких средах описывается модифицированным однокзр-¿аы „равнением Шрэдшггера ■ •

Й1 - ~ а|ф|*ф '- iß(z )ф = 0. (13)

Здесь йопроьогвдащзе время, нормировано на ддителгаость импульса to', ß(s)- переменный ко&Зфщиент усиления (поглощения) среда; остальные обозначения те м, что и в §1-2. FeaöKib уравнения (18) идете;' в следующем виде:

и

4>(1,г (y^j-jexpt-i fa-g-y.^'. r - гг^т!!^3' <Tii) где -f- амплитудный профиль огиб&ищей поля, . сохраняющий при распространении свой функциональный вид, TU)- изменяющаяся длительность импульса. Надставляя (19) в (18), для неизвестных функций Т, ч: и ß имеем следующую систему уравнений:

Т' ' fe)'T3(z)=7 . . (20)

1' ' ~ (2a-I)f + (4/T)z"jt ■ + си3 =0," .f-r (t/T) (21) '>"' . "|3<2)=-Т' (z)/T(2)', (22)

здесь 7(константа разделения) • параметр, прянимащий значения 7<0. Из сравнения вирах ;ний (22) и (19) следует, что переменная кривизна фазового фронта импульса оказывается равной текущему значению коэффициента усиления, изменяющемуся вдоль координаты распространения., -

Различным значениям параметра 7 соответствуют различные профии автомодельного ревепия (19). Среди всех 'возмохншс значений 7 существует, выделенный случай:- 7=0, которому, отвечает импульс с профилем . фундаментального солитона: " -f=(2/a)i"'2cir1 (t/T)., Соответствующая ему 'динамика изменения длительности ими/льса шлеет вид: Т(г )=T(0)(I-ß(0)z). В свою очеред. закон модуляции коэффициента усиления должен имь ¿ъ ... вгде р(г) = ß(0)(I-ß(0)z)~ä. На рис .7 изображены зависимости максимального значения амшигауди огибающей i<p(0,z)| и дли-1 тельности ктульса Т (t) от пройденного расстояния = (о=2) да соответствующего. вида модуляции усиления ßu). ,; , В случае поглощаицей среды с монотонно уменьшающимся ко-'• ьиЙРицпентом поглощения ß(z)= ß(0) (J+ß(0)z)"' и при противо-

Зависимость максимальной амшштуды огибающей |ср | и' длительности ш,пульса Т от косрданатн а при автомодельной самокомпрессии с усилением.

0,5 -

О 5' Ю ?5

Ряс.8. Профиля стацйонарнах яшульсов в средах с сошэсувьи

деПствиеч нелыейно^тк третьего и пятого порядков

и ^

г

4

£

Рйс.О. Эволгаия максимума огтйапцзй. гауссова вхор/ сигнала в модельной среде.

подокном направлении "чирпа" входного импульса, вместо усиления наблюдалась автомодельная декомпрессия. Импульс расплевался, сохраняя при ьтом форму фундомэнтольного ООЛИТОНа с длительностью, увеличивавшейся по закону: Т(г)= Т(0)(1+р(0)2).

Третья глава посвяцена теоретическому исследованию распространения и устойчивости стационарных оптических импульсов в средах с совместным действием нелинейности третьего и пятого порядков. В §1 приводятся и классифицируются указанные стационарные решения. Рассмотрение задачи распространения оптических всл1ювых пакетов в нелинейной среда, содержащей лишь . ¿линейности третьего и пятого порядков, базируется на нелинейном уравнении Щредингэра с добавлением следующего членя в разложении вектора нелинейной поляризации:

24 ---= а1ф|г<р + р|ф|Ч, (23)

д Я"

где а и р коэффициенты нелинейности соответственно третьего к пятого порядков. Уравнения (23) имует аналитическое решение <ри,г") = ф(т) ехр(-1 Г'г/г), где

ФЮ = --13--------(24)

г г /~а + р* * ехр(21Ч) + ехр(-2Га)

), Р-форм-фактор (постоянная распространения).

Проведэна классификация решений (24) при различных соотношениях а, р и параметра Г (рис.8).

В §2 для двумерного параметрического пространства (а,рг*) определены области существования устойчиигл к неустойчивых стационарных решений. Показано, что критерием устойчивости ЯЕЛяетпя условие Е<Е..(., где В «О.гбилЗ/^)"1- критическая плотность 8нй])гик, которую несут стационарное ранения, соответствуют« нелинейной срвде. н^лшейюоть которой состоит

ю

;шшь нь.нэлигейЬ'Х-™ пятого порядка' (а=-0); Е-(Т/2)г

-<н

шюлчюсть зноргы ктульса. Ст&циошршо решения (24) неус-гсй-шзд при с^О, 0.когда имеет мьсто обратное соотношение Е?Ес1 . ДаШШЬ .ХЗСШ бЫЛИ ЛОДТГАрВДНН Ц ЧЛСЛбЬНОМ БКСПврИ-1лд\:те нл /;гсС'пач;-.л г,;а.ш г/.льчшм г.'яыуцажм различно»! чем-':ТЫ й й'ЖЦ.

В §3 изучена саруктурная устойчивость стационарных решений уравнения (23) при взаимодействиях ("столкновениях") между собой. Отмечается, что взаимодействия в общем случае носят не упругий характер, но при слабом в.чаянии нелинейности пятого порядка (р«а) стационарное импульсы могут рассматриваться как квазисолитоны.

§4 посвящен вопросу зволющш нестационарных импульсов. В качестве достаточного 1фитерия для эволюции произюльных импульсов и последуидэго выхода пз к одной из стационарных фор* предлагается уга известное нам условие Е<Есг. 3 противном случае ма%в? иметь место "взрывная" самокмпрессня (коллапс) импульса. Достаточное условие коллапса имеет вид:

= Л 1'4\|' - 4- М* > < •>00

На рис.9 изображено характерное изменение пикового значения огибапцей шггопсибвдсти гаусеовской входной волны в процессе ее распространения з нелинейной среде с совместным действием нелинейности третьего (а=1,5) и пятого ф=0,7Б) порядаов..

основные жзулъгаты и выводу.

X. Рассчитаны характерные временные л простр&нственнш масштабы процесса тепловой само- и дефокусировки пилообразных звуковых волн с приближении г90метр1гческсй акустика и а отсутствие аберраций саиоиаведенной тепловой линзы.

2. Показана специфдаз (вследствие нашгквйгого поглощения ■ звука и в отличив от ГСФ гармонически вол;) процесса (ее немонотонность, явление «яотрошзацип а.'<тлкгудн в поперечном сечении пучка и др.).

3. Предложены про$яли поперечного распрэделогш; поли двумэр-пых оптических пучков, шэщие провал па осп, самофокусирующихся асимптотически автомодельным образом. 1!аЯдена формула для оценки фокусного расстояния.

4. Найдено точное рэшепкэ модемной згдаш, описньащбэ авломодольцуп само- и декскшрессвю одномерных оптических шшульсов в неконсервативЕых кубически нелинейных средах с усилением (поглощением).

5. Найдены параметрические области существования- устойчивых стационарных импульсов, распространяющихся в средах с совместным действием нелинейности третьего и пятого порядков.

6. Предлокен механизм получения взрывной самокомпрессии лазерных импульсов для композитных сред с положительной нелинейностью пятого порядка. Найдено необходимое условие для "охлопывания" импульсов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. О.В., Руденко, N.M. Сагатов, O.A. Сапожников. Тепловая самофок"сировка пилообразных волн.-КЭТФ, т.98, n3, с.808-BI8 (1990).

2. B.C. Азимов, М.М. Сагатов, А.П. Сухоруков. Образование и распространение стационарных лазерных импульсов в средах

1 с совместным действием нелинейностей третьего и пятого порядков.- Квант, электроника, 18, nI, сЛ04-106 (1991).

3. B.C. Азимов, В.Т. Платоненко, U.M. Сагатов. Об одном автомодельном ранении, возникающем при самофокусировке кольцеобразных лазерных пучковю.-Квант., електроника, 18, N3, с.323-325 (1991).

4. Б.С. Азимов, М.М. Сагатов. Об эффекте взрывной компрессии лазерных импульсов.-Вест. Мосх. Ун-та, сер.З физ.-астр., т.32, N2, с. 96 (1991).

Б. Б.О. Аьимов, М.М. Сагатов, А.П. Сухоруков. Автомодельная самэкошрессия импульсов в средах с модулировании усилением.-Квант. блекгроника, 18, м7, с.867-868 (1991). ' •

6. Б.С. Азимов. М.М. Сагатов. Сб ?4фэкте взрывной компрессии лазерных импульсов.- Тезисы XIV Мевд. конф. по когерентной я нелинейной оптике, ч.Ш, с.98 , 24-27 сент. 1991г. Ленинград-

7. Б.С. Азимоь, М.М. Сагатов, А.П. Сухоруков. О формировании семейства солитоиов в средах с совместным действием ноли-кайностей третьего и пятого порядков.- Тезисы XIV Межд. кояф.'го когерентной и нелинейной оптике,. ч.Ш, с.96, 24-27.CPHT. 1?91г. Л зшхрад.