Численное исследование слабосвязанной трехчастичной системы с сильным короткодействующим отталкиванием тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

РТ О О Л

РУДНЕВ Владимир Александрович

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СЛАВОСВЯЗАННОЙ ТРЕХЧАСТИЧНОЙ СИСТЕМЫ С СИЛЬНЫМ КОРОТКОДЕЙСТВУЮЩИМ ОТТАЛКИВАНИЕМ

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре вычислительной физики физического факультет Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Яковлев Сергей Леонидович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Тулуб Александр Владимирович

кандидат физико-математических наук, доцент Мотовилов Александр Константинович

Ведущая организация: Институт высокопроизводительных вычислений и баз данных Министерства науки и технологии РФ, г. Санкт-Петербург

на заседании диссертационного совета К.063.57.17 по защите диссертаций на соис кание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном уни верситете (199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная д.7/9)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета СПбГ^

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

J

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации.

Объектом исследования настоящей работы являются небольшие кластеры атомов гелия - связанные состояния Не2 и Ноз. Количество работ, посвященных таким кластерам. быстро растет в последние годы. Сделанные в в начале 80-х годов [1] предсказания существования кластеров Не2 и Нез получили в начале 90-х годов экспериментальное подтверждение [2, 3] в наблюдении этих кластеров независимыми группами. С другой стороны, наметился существенный прогресс в создании построенных на основе первопринципов потенциалов межатомного взаимодействия [4, 5]. Оценка точности теоретического описания взаимодействия атомов гелия на сегодняшний день столь высока, что было предложено использовать теоретические результаты для калибровки экспериментального оборудования [6]. Таким образом, в настоящий момент теоретическое исследование малых гелиевых кластеров представляется наиболее точным методом исследования этих объектов. Для физики нескольких тел кластеры гелия представляют собой уникальный пример системы, особенности взаимодействия в которой (большая длина рассеяния, исключительно малая энергия связи в двухчастичной системе) позволяют рассматривать кластер Нез (тример) с точки зрения наблюдения в нем эффекта Ефимова [7, 8, 9, 22).

В технике исследования квантовых состояний нескольких частиц в последние годы наблюдается существенный прогресс. В значительной мере он связан с развитием техники численного решения уравнений Фаддеева в конфигурационном пространстве. На сегодняшний день уравнения Фаддеева в конфигурационном пространстве нашли широкое применение в исследовании систем нескольких нуклонов, в моделировании многих атомных ядер, ядерных реакций, в исследовании систем заряженных частиц.

Несмотря на широкое распространение уравнений Фаддеева в качестве инструмента теоретического исследования и численного моделирования систем нуклонов, легких ядер и систем заряженных частиц, применение уравнений Фаддеева в численном моделировании молекулярных систем ограничивается лишь отдельными редкими работами. Одной из причин редкого использования уравнений Фаддеева в исследованиях молекулярных систем можно назвать необходимость учитывать не только э-волновой вклад во взаимодействие в системе, что часто оказывается достаточным в ядерных задачах, но и вклады от взаимодействия частиц в состояниях с более высокими угловыми моментами. Основой для решения этой проблемы могут служить результаты работы [11], в которой разработан метод парциального анализа, позволяющий легко учесть вклады всех парциальных волн. Другой причиной, сдерживавшей применение уравнений Фаддеева в задачах молекулярной и химической физики, были отмеченные в литературе [22, 32] сложности использования разработанных на сегодняшний день численных методов решения уравнений Фаддеева к системам нескольких атомов. Эти сложности связывают с характерными особенностями модельных потенциалов межатомного взаимодействия. В качестве таких осо-

бенностей называют медленное, степенное убывание потенциалов на больших меж атомных расстояниях, что приводит к необходимости построения аппроксимации рс шений в больших областях конфигурационного пространства, и исключительно силь ное короткодействующее отталкивание, приводящее к потере стабильности широкс используемых сегодня методов численного решения уравнений Фаддесва. Преодоле нию трудностей, связанных с указанными обстоятельствами посвящена настояща; работа.

Цели и задачи работы

Целью настоящей работы была разработка методов решения уравнений Фаддсева пригодных для использования в численном моделировании систем грех атомов. 1 применение разработанных методов для расчета характеристик связанных состоянш трехчастичного кластера гелия. Будучи интересным объектом физического исследо вания сам по себе, тример гелия является также исключительно привлекательны-, объектом с точки зрения отработки вычислительных методов решения задачи трс: тел. Для этой системы существуют надежные модели межатомного взаимодействия показана высокая реалистичность аппроксимации потенциала системы суммой пар ных потенциалов, что позволяет рассчитывать на высокую физическую достовер ность результатов моделирования системы. С другой стороны, наличие сильного ко роткодеиствующего отталкивания и большая по сравнению с эффективным радиусоа. взаимодействия длина рассеяния в двухчастичной системе создают существенны! трудности для численных расчетов, что и делает тример гелия привлекательны;, объектом с точки зрения отработки численных методов.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

• анализ применимости существующих численных методов для исследованщ гримера гелия;

• реализация наиболее перспективных схем в виде компьютерной программы;

• анализ трудностей, возникающих при использовании избранных вычислительных схем;

• модификация существующих методов, позволяющая избежать возникающих : стандартных схемах проблем;

• реатизация предлагаемых модификаций в компьютерной программе;

• выполнение численных расчетов тримера гелия.

Научная новизна

Следующие результаты, полученные в ходе работы, представляются автору новым] или не нашедшими достаточного отражения в существующей литературе:

• одновременное использование представления полного момента и декартовых координат для уравнений Фаддеева в дифференциальной форме допускает построение высокоэффективной численной схемы решения этих уравнений методом тензорной факторизации:

• предложенная в работе реализация метода тензорной факторизации позволяет заметно повысить скорость стандартного алгоритма при некоторых конфигурациях используемых сеток;

• впервые разработаны модификации метода тензорной факторизации, существенные при исследовании систем с сильным короткодействующим отталкиванием:

• достигнута наибольшая на сегодняшний день точность исследования моделей гримера гелия.

Положения, выносимые на защиту

• Разработан и реализован алгоритм численного решения уравнений Фаддеева в представлении полного момента в декартовых координатах методом тензорной факторизации;

• проанализированы особенности реализации метода тензорной факторизации, существенные для построения эффективного алгоритма;

• разработаны модификации метода тензорной факторизации, существенные при исследовании систем с сильным короткодействующим отталкиванием:

• достигнута наибольшая иа сегодняшний день точность исследования моделей тримера гелия.

Практическая ценность работы

Разработанные и реализованные в работе методы имеют значительные перспективы дальнейшего применения. Среди них - использование методов, развитых для расчета связанных состояний тримера гелия к расчетам рассеяния в системе Не-Нег, расчет связанных состояний трехатомных молекул, в частности Оз и МОэ, расчет реакций в системах атом + двухатомная молекула, обобщение предложенных методов численного решения уравнений Фаддеева для решения уравнений Якубовского. В этом, последнем случае метод может быть использован и самостоятельно, и на этапе расчета базиса в рамках метода кластерной редукции. Применение предложенного метода в дальнейшем исследовании трехчастичных кластеров гелия также имеет перспективы. Существующие на сегодняшний день возможности экспериментальной техники не позволяют выполнить измерения характеристик трехчастичных кластеров гелия

с точностью, с которой могут быть исследованы соответствующие теоретические модели. Однако, с развитием экспериментальной техники может приобрести большую актуальность вопрос оценки вклада релятивистских поправок в дисперсионные коэффициенты для системы Не-Не |33]. Предложенная и апробированная в настоящей работе техника может дать существенный вклад в исследование этого вопроса.

Апробация работы

Результаты работы были представлены в докладах на конференциях XVth Internatior Conference on Few-Body Problems in Physics, Groningen, Netherlands, July 22-26, 1997 (28j; 1st Intcrnatinal conference on Modern Trends in Computational Physics MTCP 98, Dubna, Russia, 15-20 June 1998 [29|, докладах на семинарах кафедры вычислительной физики СПбГУ, на семинаре Института Высокопроизводительных Вычислений и Баз Данных МН РФ, на семинаре группы теоретической физики факультета физики Freie Universität, Berlin. Основные результаты работы опубликованы в статьях [30, 31].

Структура работы

Работа состоит из введения, трех глав, заключения и двух приложений. В первой главе описан формализм дифференциальных уравнений Фаддеева для решения задачи на связанные состояния, представление полного момента для уравнений Фаддеева, обсуждаются симметрии входящих в уравнение операторов и решений уравнения. Во второй главе обсуждаются численные методы решения уравнений Фаддеева, приведено описание метода тензорной факторизации и метода декартовых координат, дано обоснование выбора эффективного метода решения задачи на связанные состояния, обсуждаются особенности применения предложенного метода для систем с сильным короткодействующим отталкиванием, предложены модификации рассмотренного метода. В третьей главе обсуждаются результаты численных расчетов тримера гелия. Основные результаты работы суммированы в заключении. Текст работы содержит 15 рисунков, 14 таблиц. Общий объем диссертации составляет 101 страницу, библиографический список содержит 50 наименований.

Содержание работы

В главе 1 задача поиска связанных состояний трех тел сформулирована как задача на собственные значения для оператора Фаддеева, для которого приведены дифференциальные уравнения и асимптотические граничные условия. Уравнения Фаддеева [10] в дифференциальной форме положены в основу исследования связанных состояний тримера гелия в силу простоты численной аппроксимации компонент Фаддеева по сравнению с аппроксимацией волновой функции. Рассмотрены основные используемые для уравнений Фаддеева способы редукции - бисферическое разложение и

представление полного момента. Редукция на основе представления полного момента имеет преимущества при исследовании систем с центральным взаимодействием, в таком представлении оператор Фаддеева локален. Введены гиперсферические и декартовы системы координат в конфигурационном пространстве. Симметрия гиперсферических координат соответствует симметрии операторов перестановки атомов, тогда как симметрия декартовых координат соответствует симметрии старшего члена в асимптотике компоненты Фаддеева. Для связанных состояний этот член отвечает виртуальному развалу системы на двухатомную подсистему и свободный атом, для рассеяния - упругому рассеянию свободного атома на связанном состоянии двух атомов. Хорошее представление этого члена особенно важно при исследовании состояний системы, энергия которых находится в окрестности двухчастичного порога (19, 20|. Приведены уравнения Фаддеева в представлении полного момента для трех тождественных бозонов:

(Я„° -г + С+ 4-С") - Е)ф, у, 2) = 0 , (1)

где Яд - свободный гамильтониан трех атомоа в состоянии с нулевым полным моментом

я0° = (-аг - % - (1 +1)9,(1 - ¿У'Ъ), (2)

У(х) - потенциал взаимодействия пары атомов, С± - элементы циклической группы порядка 3, операторы циклических подстановок. Следующие соотношения определяют их действие на координаты системы:

С~{ха,уа,2а] ={х1,у1,гу}

хп = + н- 2(3)

'чЯг,

Для тождественных частиц коэффициенты 5 принимают значения = = = = | , = = = = Приближенные граничные условия для компоненты Фаддеева <р:

дхЧ>(х,У, -г) и=я,= ~кг<р{х, У, г) 1*=«,

дуЧ>{х,У,г) 1в=я„= -к2Зу{х,у,г) |„=д, (4)

р(0, у, г) = ¡р(х, 0, г) = 0 ,

где ¿2 = г'л/Ез, к2з = 1^/Е — Е?, £г - энергия связанного состояния двухчастичной системы, Е - энергия трехчастичного состояния.

Глава 2 посвящна обзору численных методов, используемых при исследовании оператора Фаддеева [13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25]. Сформулированы понятия дискретизации оператора, приближенных собственных векторов и

собственных значений, порядка приближения, заполнность матрицы дискретизован-ного оператора. На основе введенных понятий обсуждается эффективность различных известных схем численного исследования решений уравнений Фаддеева. Выделены наиболее перспективные для численного исследования уравнении Фаддеева методы: .метод ортогональных коллокацин 126). методы, основанные на построении пространств Крылова [27], метод тензорной факторизации [12, 18). Показано, что применение этих методов к уравнениям Фаддеева в представлении полного момента в декартовых координатах ведет к высокоэффективной численной схеме. Значительное внимание уделено оценке сходимости алгоритма Арнольди для максимального и минимального собственных значений. Показано, что ограничения применимости алгоритма Арнольди к непосредственно к дискретизованному оператору Фаддеева связаны с ростом максимального собственного значения оператора с увеличением числа точек сстки, обоснована необходимость модификации задачи, которая может быть выполнена на основе метода тензорной факторизации. Указана эффективная реализация метода тензорной факторизации, построена модификация метода, позволяющая заметно сократить объем вычислений при использовании большой сетки по одной из координат. Показано, что трудности, возникающие при использовании "стандартной "схемы тензорной факторизации к системе с сильным короткодействующим отталкиванием, связаны с сильным понижением нижней границы спектра модифицированного оператора, что ведет к катастрофическому ухудшению оценок скор ости сходимости алгоритма Арнольди. Предложена модификация схемы, позволяющая разрешить указанную проблему.

Обоснованная и построенная в главе 2 схема численного решения уравнений Фаддеева для связанных состояний трех тел была реализована в компьютерной программе. Результаты численных расчетов и методы их обработки обсуждаются в главе 3. При вычислении наблюдаемых системы трех тол а использованном в настоящей работе представлении необходимо эффективно вычислять интегралы от функции трех переменных, имеющей довольно сложное пространственное поведение. В первой части предложен метод, позволяющий вычислять такие интегралы с небольшими затратами. Во второй части приведен краткий обзор потенциальных моделей взаимодействия атомов гелия, использованных в расчетах. В третьей части приведены результаты расчетов тримера гелия. Вычислены собственные энергии основного и возбужденного состояний тримера (Табл. 1), средний и средний квадратичный радиусы (Табл. 2 и 3), также приводятся результаты и для димера гелия. Проведено сравнение полученных результатов с расчетами других авторов. Показано, что расхождение с результатами других авторов для энергии основного состояния связано с более сложным угловым поведением компоненты Фаддеева, которое наиболее полно учтено в представленной диссертационной работе. Расхождения для возбужденного состояния связаны с большим вкладом кластерной волны, которое наиболее корректно учитывается также в представленной работе. Сделан вывод о наибольшей точности полученных а настоящей работе результатов. Указана существенная разница между свойствами основного и возбужденного состояний тримера. Энергия связи основного состояния молекулы Нез превышает энергию связи двухчастичной моле-

Ei - энергия связанного состояния Нег, Е? энергия связанного состояния Нв2, оы-■числепная на сетке, исполъз овапной в трехчастичных расчетах, £3 - энергия основного состояния Нез, Е3 - энергия возбуоюденного состояния Не3.

Потенциал Ео, шК Е2, шК Еъ К Е\, шК

HFD-ID -0.40229 -0.4024 -0.10612 -1.06

HFDHE2 -0.830124 -0.8305 -0.11713 -1.665

LM2M1 -1.20909 -1.212 -0.12465 [ -2.155

LM2M2 ¡ -1.303482 -1.304 -0.12641 -2.271

TTYPT -1.312262 -1.3121 -0.12640 -2.280

HFD-B | -1.685419 -1.68540 -0.13298 -2.734

LM2\Ila ¡ -1.52590 -1.527 -0.13024 -2.543

LM2V12a | -1.798436 -1.795 -0.13471 -2.S68

Таблица 1: Результаты расчетов энергий связи двух- и трехчастичных кластеров гелия.

Таблица 2: Оценка среднего радиуса кластеров гелия для различных модельных потенциалов, А

Потенциал Основное состояние Нез Возбужденное состояние Не3 Не2

HFD-ID 5.80 62.75 91.50

HFDHE2 5.65 55.26 64.21

LM2M1 5.57 51.53 53.85

LM2M2 5.55 50.79 52.00

TTYPT 5.55 50.76 51.84

HFD-B 5.48 48.33 46.18

LM2Mla 5.51 49.28 48.34

LM2M2a 5.46 47.72 44.82

Таблица 3: Оценка среднеквадратичного радиуса кластеров гелия для различны: модельных потенциалов, А

Потенциал Основное состояние He3 Возбужденное состояние Нез Не2

HFD-ID 6.64 75.38 126.73

HFDHE2 6.46 66.25 88.18

LM2M1 6.35 61.74 73.54

LM2M2 6.32 60.85 70.93

TTYPT 6.33 60.81 70.70

HFD-B 6.23 57.89 62.71

LM2Mla 6.27 59.03 65.76

LM2M2a 6.21 57.17 60.79

кулы примерно в 100 раз, его средний радиус приблизительно в 10 раз меньше сред него радиуса двухчастичной молекулы. В то же время средний радиус возбужден ного состояния трехчастичной молекулы близок к среднему радиусу двухчастичной а энергия связи даже несколько меньше энергии связи димера. Это обстоятельств! заставляет обратить внимание на необходимость заботиться об отсутствии димеро в экспериментальной среде при измерении свойств тримера, и наоборот, проверят отсутствие трехчастичных кластеров при измерении свойств двухчастичных.

Результаты работы суммированы в заключении. В приложении А приведены едн ницы измерения и физические константы, использованные в работе. В приложена Б даны выражения для базисных функции в использованном в работе пространств^ сплайнов.

Основные публикации по теме диссертации

1. В.А.Руднев, С.Л.Яковлев, О ложных решениях уравнений Фаддеева // Ядер ная физика - 1995. - T.5S. - N.10. - С. 1762-1771

2. S.L.Yakovlev, V.A.Roudnev, Application of the Faddeev equations in configuratioi spaceto calculations of the He trimer, Few Body XV Conference Handbook Groningen, 1997

3. V.Roudnev, S.Yakovlev, Report on the 1st International Conference Modern Trend in Computational Physics, JINR, Dubna, 1998

4. V.Roudnev, S.Yakovlev, Improved tensor-trick algorithm: application to Heliur trimer// Computer Physics Communications - 2000. - V.126. - N.l-2 - P.162-164

5. V.Roudnev, S.Yakovlev, The investigation of He trimer on the base of Faddeev equations in configuration space // Chem. Phys. Lett. - 2000. - V.328. - N.l-2 -P.97-106

Список литературы

1] R.Feltgen, H.Kirst, K.A.Kohler, H.Pauli, F.Torello // J.Chem.Phys. - 1982. - V.76. -N.5 - P.2360

2] W.Schollkopf and J.P.Toennies // J. Chem. Phys. - 1996. - V.104. - N.3. - P.1155

3] F. Luo, C. F. Giese and W. R. Gentry // J. Chem. Phys. - 1996. - V.104. - N.3. -P.1151

4| K.T.Tang, J. P. Toennis and C. L. Yiu // Phys. Rev.Lett. - 1995. - V.74. - N.9 -P.1546

5] B. Liu and A.. D. McLean // J. Chem. Phys. - 1989. - V.91. - N.4 - P.2348

6] Ronald A. Aziz, Alec R. Janzen, Michael R. Moldover// Phys. Rev. Lett. - 1995. -V.74. - N.9-P. 1586

7| V. Efirnov// Phys.Lett. В - 1970. - V.33. - P.563

8] Т. K. Lim and M.A.Zuniga// J. Chem. Phys. - 1974. - V.63. - N.5 - P.2245

9] Th. Cornelius, W. Glockle// J. Chem. Phys. - 1986. -V.85 - P.3906

10] Меркурьев С.П., Фаддеев Л.Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц. // VI.: Наука. 1985.

11] V. V. Kostrykin, A. A. Kvitsinsky, S. P. Merkuriev// Few-Body Systems - 1989. -V.6 - P.97

12] N. W. Schellingerhout, L. P. Kok, G. D. Bosveld// Phys. Rev. A. - 1989. - V.40 -P.5568-5576

13] A.Laverne,C.Gignoux // Nuclear Physics - 1973. - V.A203. - P.597.

14] S. P.Merkuriev,C.Gignoux,A.Laveme // Ann.of Phys. - 1976. - V.99. - P.30.

15] J.J.Benayon,C.Gignoux,J.Chauvin // Phys.Rev. - 1982. - V. C23. - P.1854.

16] G.L.Payne,J.L.Friar,B.F.Gibson,I.R.Afnan // Phys.Rev. - 1980. - V. C22. - P.823.

17] G.L.Payne,J.L.Friar,B.F.Gibson // Phys.Rev.- 1982.- V.C26.- P.1385.

[18j N. W. Schellingerhout Factorizability in the numerical Few-Body Problem Ph.D. thesis, Groningen, 1995.

[19] J. Carbonell, C. Gignoux, S. P. Merkuriev// Few-Body Systems, Suppl.6 - 1992. • P.298-303

[20] J. Carbonell, C. Gignoux, S. P. Merkuriev// Few-Body Systems - 1993. - V.15 - P.1E

[21] A.Kvitsinsky, C.Y.Hu// Few-Body Systems - 1992. - V.12 - P.7-19

[22] E. A. Kolganova, A. K. Motovilov, S.A. Sofianos // J. Phys. B. - 1998. - V.31. - N.6 - p.1279, LANL e-print chem-ph/9612012

[23] A. K. Motovilov, W.Sandhas, S.A. Sofianos J., E. A. Kolganova// LANL E-print physics/9910016, submitted to Phys. Rev. A

[24] Филихин И.Н., Яковлев С.Л. Расчет характеристик низкоэнергетического рассеяния для системы трех заряженных частиц. // Вестник С. Петерб. ун-та. -

1992. - сер.4, вып.З. - С.24-29.

[25] Яковлев C.JL, Филихин И.Н. Метод сильной связи каналов для уравнений Фад-деева. Низкоэнергетическое нуклоп-дейтронное рассеяние. // Ядерная физика, -

1993. - т. 56, вып. 12. - С. 98-106.

[26] С. de Boor,В. Swartz// SIAM J. Numer. Anal. - 1973. - V.10 - P.582-606

[27] Y. Saad,№imerical methods for large eigenvalue problems, Manchester University Press in Algorithms and architectures for Advanced Scientific Computing, NY, 1992.

[28] S.L.Yakovlev, V.A.Roudnev, Application of the Faddeev equations in configuration spaceto calculations of the He trimer, Few Body XV Conference Handbook, Groningen. 1997

[29| V.Roudnev, S.Yakovlev, Report on the 1st International Conference Modern Trends in Computational Physics, JINR, Dubna, 1998

[30] V.Roudnev, S.Yakovlev, Improved tensor-trick algorithm: application to Helium trimer// Computer Physics Communications - 2000. - V.126. - N.l-2 - P.162-164

[31] V.Roudnev, S.Yakovlev, The investigation of He trimer on the base of Faddeev equations in configuration space// LANL e-print physics/99012030, принято к публикации Chem. Phys. Lett.

[32] F.Ciesielski, J. Carbonell// LANL e-print nucl-th/9804031

[33] M.J.Jamieson, G.W.F.Drake, A.Dalgarno // Phys. Rev. -1995. - V.A51, N.4, - P.3358

Введение

1 Дифференциальная формулировка задачи нескольких частиц

1.1 Кинематика системы трех тел.

1.2 Модельное описание тримера гелия.

1.3 Редукция уравнений.

1.4 Представление оператора Фаддеева в декартовых и гиперсферических координатах

2 Численные методы решения уравнений Фаддеева

2.1 Обзор методов дискретизации оператора Фаддеева.

2.2 Метод ортогональных коллокаций и дискретизация оператора Фаддеева

2.3 Метод Арнольди для дискретизованного оператора.

2.4 Ускорение сходимости и тензорная факторизация.

2.5 Модификации уравнений для исследования систем с короткодействующим отталкиванием.

3 Расчеты тримера гелия

3.1 Вычисление волновой функции, функции плотности и средних значений наблюдаемых.

3.2 Потенциальные модели взаимодействия атомов гелия

3.3 Свойства связанных состояний тримера гелия.

Основным объектом исследования настоящей работы являются небольшие кластеры атомов гелия - связанные состояния Нв2 и Нез- Количество работ, посвященных таким кластерам, быстро растет в последние годы. Этот интерес стимулируется несколькими обстоятельствами. Сделанные в начале 80-х годов [1] предсказания существования кластеров Нег получили в начале 90-х годов экспериментальное подтверждение [2, 3] в наблюдении кластеров Не2 и Не3 независимыми группами. С другой стороны, наметился существенный прогресс в создании построенных на основе первопринципов потенциалов межатомного взаимодействия [4, 5]. Оценка точности теоретического описания взаимодействия атомов гелия на сегодняшний день столь высока, что было предложено использовать теоретические результаты для калибровки экспериментального оборудования [6]. Таким образом, в настоящий момент теоретическое исследование малых гелиевых кластеров представляется наиболее точным методом исследования этих объектов. Для физики нескольких тел кластеры гелия представляют собой уникальный пример системы, особенности взаимодействия в которой (большая длина рассеяния, исключительно малая энергия связи в двухчастичной системе) позволяют рассматривать кластер Нез (тример) с точки зрения наблюдения в нем эффекта Ефимова [7, 8, 9, 10].

В технике исследования квантовых состояний нескольких частиц в последние годы также наблюдается существенный прогресс. В значительной мере он связан с развитием техники численного решения уравнений Фаддеева в конфигурационном пространстве. На сегодняшний день уравнения Фаддеева в конфигурационном пространстве нашли широкое применение в исследовании систем нескольких нуклонов, в моделировании многих атомных ядер, ядерных реакций, в исследовании систем заряженных частиц. Основой широты и успешности применения уравнений Фадцеева явилась строго математически обоснованная квантовая теория рассеяния систем нескольких тел [11], в значительной мере опирающаяся на формализм уравнений Фадцеева. Одной из привлекательных особенностей уравнений Фадцеева является простота численной аппроксимации их решений по сравнению с аппроксимацией волновых функций. В то же время системы уравнений Фадцеева эквивалентны уравнению Шредингера, и волновая функция может быть однозначно восстановлена по их решениям. В начале 90-х годов были предложены новые эффективные методы решения задач нескольких частиц. Наиболее существенными для настоящей работы являются метод уравнений Фадцеева в представлении полного момента [12], метод тензорной факторизации (tensor trick) [13, 14] и метод декартовых координат [15, 16]. Метод декартовых координат позволяет корректно учесть поведение трехчастичной волновой функции на больших расстояниях от центра масс системы, что особенно важно для исследования слабосвязанных систем, подобных тримеру гелия. Использование уравнений Фадцеева в представлении полного момента позволяет выполнить редукцию уравнений, сохранив, в отличие от разложения по бисферическому базису, локальную структуру оператора Фадцеева. При дискретизации уравнений эта локальная структура приводит к разреженной структуре матриц, что позволяет эффективно совместить преимущества метода декартовых координат и использовать алгоритм тензорной факторизации. Другим важным преимуществом представления полного момента является возможность более качественно чем при использовании других представлений передать угловое поведение компоненты Фадцеева.

Несмотря на широкое распространение уравнений Фадцеева в качестве инструмента теоретического исследования и численного моделирования систем нуклонов, легких ядер и систем заряженных частиц, применение уравнений Фад-деева в численном моделировании молекулярных систем ограничивается лишь отдельными редкими работами. Одной из причин редкого использования уравнений Фаддеева в исследованиях молекулярных систем можно назвать необходимость учитывать не только в-волновой вклад во взаимодействие в системе, что часто оказывается достаточным в ядерных задачах, но и вклады от взаимодействия частиц в состояниях с более высокими угловыми моментами. Основой для решения этой проблемы могут служить результаты работы [12], в которой разработан метод парциального анализа, позволяющий легко учесть вклады всех парциальных волн. Другой причиной, сдерживавшей применение уравнений Фаддеева в задачах молекулярной и химической физики, были отмеченные в литературе [10, 17] сложности использования разработанных на сегодняшний день численных методов решения уравнений Фаддеева к системам нескольких атомов. Эти сложности связывают с характерными особенностями модельных потенциалов межатомного взаимодействия. В качестве таких особенностей называют медленное, степенное убывание потенциалов на больших межатомных расстояниях, что приводит к необходимости построения аппроксимации решений в больших областях конфигурационного пространства, и исключительно сильное короткодействующее отталкивание, приводящее к потере стабильности широко используемых сегодня методов численного решения уравнений Фаддеева.

Главной целью настоящей работы была разработка методов решения уравнений Фаддеева пригодных для использования в численном моделировании систем трех атомов. Разрабатываемые методы применялись для расчета характеристик связанных состояний трехчастичного кластера гелия. Будучи интересным объектом физического исследования сам по себе, тример гелия является также исключительно привлекательным объектом с точки зрения отработки вычислительных методов решения задачи трех тел. Для этой системы существуют надежные модели межатомного взаимодействия, показана высокая реалистичность аппроксимации потенциала системы суммой парных потенциалов, что позволяет рассчитывать на высокую физическую достоверность результатов моделирования системы. С другой стороны, наличие сильного короткодействующего отталкивания и большая по сравнению с эффективным радиусом взаимодействия длина рассеяния в двухчастичной системе создают существенные трудности для численных расчетов, что и делает тример гелия привлекательным объектом с точки зрения отработки численных методов. Таким образом, второй целью настоящей работы было исследование связанных состояний трех атомов гелия на основе разрабатываемых методов численного решения уравнений Фаддеева в конфигурационном пространстве.

Для достижения поставленных целей решались следующие задачи:

• анализ применимости существующих численных методов для исследования тримера гелия;

• реализация наиболее перспективных схем в виде компьютерной программы;

• анализ трудностей, возникающих при использовании избранных вычислительных схем;

• модификация существующих методов, позволяющая избежать проблем, возникающих в стандартных схемах;

• реализация предлагаемых модификаций в компьютерной программе;

• выполнение численных расчетов тримера гелия.

В результате были построены алгоритмы, позволяющие с наибольшей доступной на сегодняшний день точностью получить энергии связи и волновые функции системы трех слабосвязанных частиц сильно отталкивающихся на малых расстояниях. Для различных модельных потенциалов выполнены расчеты основного и возбужденного состояний тримера гелия. Произведено сравнение полученных результатов с результатами исследований тримера гелия, выполненных другими методами [9, 10, 18, 16, 19, 20, 21, 22]. Дано объяснение некоторого расхождения в оценке энергии связи основного состояния, полученной в рамках настоящей работы, с результатами других авторов. Результаты работы [22] воспроизведены как частный случай в рамках предложенного метода.

Работа состоит из введения, трех глав и заключения. В первой главе описан формализм дифференциальных уравнений Фаддеева для решения задачи на связанные состояния, представление полного момента для уравнений Фаддеева, обсуждаются симметрии входящих в уравнение операторов и решений уравнения. Во второй главе обсуждаются численные методы решения уравнений Фаддеева, приведено описание метода тензорной факторизации и метода декартовых координат, дано обоснование выбора эффективного метода решения задачи на связанные состояния, обсуждаются особенности применения предложенного метода для систем с сильным короткодействующим отталкиванием, предложены модификации рассмотренного метода. В третьей главе обсуждаются результаты численных расчетов димера и тримера гелия. Основные результаты работы суммированы в заключении.

результаты работы [22] воспроизведены в рамках настоящей работы в форме простейшего из использованных приближений; отмечена схожесть свойств возбужденного состояния тримера гелия со свойствами димера гелия; сходство свойств димера и возбужден лого состояния тримера может быть объяснено высоким вкладом двухчастичной волновой функции в компоненту Фаддеева для возбужденного состояния;

• отмечены преимущества использования уравнений Фаддеева в расчетах связанных состояний трех частиц перед использованием уравнения Шредин-гера.

Заключение

Суммируем основные итоги представленной работы.

Задача исследования связанных состояний трехчастичной системы сформулирована как задача на исследование дискретного спектра дифференциального оператора Фаддеева с соответствующими асимптотическими граничными условиями, сформулированы приближенные граничные условия. Обсуждение методов редукции оператора Фаддеева привело к заключению о наличии существенных преимуществ представления полного момента перед бисферическим разложением для широкого класса задач. Рассмотрены вопросы представления оператора Фаддеева в гиперсферических и декартовых координатах с точки зрения симметрии различных вкладов в асимптотику компоненты Фаддеева для волновой функции. Отмечена предпочтительность использования декартовых координат для представления компонент, в асимптотику которых существенный вклад дает двухчастичная кластерная волна. Проведено подробное обсуждение методов численного исследования оператора Фаддеева, выделены наиболее перспективные методы, которые могут обеспечить наибольшее увеличение точности приближения компонент Фаддеева при наименьшем возможном росте вычислительных затрат. К таким методам отнесены метод ортогональных коллокаций, метод Арнольди для модифицированного оператора и метод тензорной факторизации. Значительное внимание уделено применению имеющихся оценок сходимости метода Арнольди к дискретизованному оператору Фаддеева и его модификациям. На основании этих оценок указаны причины трудностей, возникающие при применении стандартной схемы применения методов, основанных на построении пространств Крылова к модифицированным дискретизованным уравнениям в случае систем с сильным короткодействующим отталкиванием: сильный короткодействующий кор существенно изменяет границы спектра модифицированного дискретизованного оператора, что делает стандартную схему трудноприменимой. Предложена модификация дискретизованного оператора Фаддеева, для которой указанная трудность становится легко преодолимой. Предложенная модифицированная численная схема была реализована в компьютерной программе, которая была использована для исследования основного и возбужденного состояний тримера гелия на основе девяти различных потенциальных моделей. Приведены результаты такого исследования, а также методы обработки результатов численного эксперимента. Анализ и сравнение полученных результатов с имеющимися в литературе данными показали, что предложенная численная схема позволяет исследовать связанные состояния тримера гелия - один из наиболее сложных объектов исследования - с наивысшей доступной на сегодняшний день точностью. В отличие от других известных методов исследования трехчастичных систем, она обеспечила одинаково высокую точность и для основного, и для возбужденного состояний исследуемой системы, что позволяет предполагать использование подобной схемы весьма перспективным и для других задач химической физики. Для всех использованных в работе модельных потенциалов приведены полученные в результате исследования оценки собственной энергии основного и возбужденного состояний трехчастичного кластера гелия, средний и среднеквадратичный радиусы этих кластеров, а также соответствующие характеристики двухчастичного связанного состояния. Исследование показало значительное отличие в свойствах основного и возбужденного состояний тримера. Отмечено сходство свойств возбужденного состояния тримера со свойствами димера, которое может сказываться на результатах экспериментальных исследований их характеристик.

Таким образом ожидаемые цели диссертационной работы достигнуты: построенная высокоэффективная схема исследования связанных состояний трехча-стичных кластеров успешно применена для исследования связанных состояний тримера гелия.

Разработанные и реализованные в работе методы имеют значительные перспективы дальнейшего применения. Среди них - использование методов, развитых для расчета связанных состояний тримера гелия к расчетам рассеяния в системе Не-Не2, расчет связанных состояний трехатомных молекул, в частности Оз и N02, расчет реакций в системах атом 4- двухатомная молекула, обобщение предложенных методов численного решения уравнений Фаддеева для решения уравнений Якубовского. В этом, последнем случае метод может быть использован и самостоятельно, и на этапе расчета базиса в рамках метода кластерной редукции. Применение предложенного метода в дальнейшем исследовании трехчастичных кластеров гелия также имеет перспективы. Существующие на сегодняшний день возможности экспериментальной техники не позволяют выполнить измерения характеристик трехчастичных кластеров гелия с точностью, с которой могут быть исследованы соответствующие теоретические модели. Однако, с развитием экспериментальной техники может приобрести большую актуальность вопрос оценки вклада релятивистских поправок в дисперсионные коэффициенты для системы Не - Не [50]. Предложенная и апробированная в настоящей работе техника может дать существенный вклад в исследование этого вопроса.

1. R.Feltgen, H.Kirst, K.A.Kohler, H.Pauli, F.Torello // J.Chem.Phys. - 1982. -V.76. -N.5 - P.2360

2. W.Schollkopf and J.P.Toennies // J. Chem. Phys. 1996. - V.104. - N.3. - P.1155

3. F. Luo, C. F. Giese and W. R. Gentry // J. Chem. Phys. 1996. - V.104. - N.3.- P.1151

4. K.T.Tang, J. P. Toennis and C. L. Yiu // Phys. Rev.Lett. 1995. - V.74. - N.9 -P.1546

5. B. Liu and A. D. McLean // J. Chem. Phys. 1989. - V.91. - N.4 - P.2348

6. Ronald A. Aziz, Alec R. Janzen, Michael R. Moldover// Phys. Rev. Lett. 1995.- V.74. N.9 - P.1586

7. V. Efimov// Phys.Lett. В 1970. - V.33. - P.563

8. Т. K. Lim and M.A.Zuniga// J. Chem. Phys. 1974. - V.63. - N.5 - P.2245

9. Th. Cornelius, W. Glockle// J. Chem. Phys. 1986. -V.85 - P.3906

10. E. A. Kolganova, A. K. Motovilov, S.A. Sofianos //J. Phys. B. 1998. - V.31.- N.6 p.1279, LANL e-print chem-ph/9612012

11. Меркурьев С.П., Фаддеев JI.Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц. // М.: Наука. 1985.

12. V. V. Kostrykin, A. A. Kvitsinsky, S. P. Merkuriev// Few-Body Systems 1989.- V.6 P.97

13. N. W. Schellingerhout, L. P. Kok, G. D. Bosveld// Phys. Rev. A. 1989. - V.40- P.5568-5576

14. N. W. Schellingerhout Factorizability in the numerical Few-Body Problem, Ph.D. thesis, Groningen, 1995.

15. J. Carbonell, C. Gignoux, S. P. Merkuriev// Few-Body Systems, Suppl.6 1992.- P.298-303

16. J. Carbonell, C. Gignoux, S. P. Merkuriev// Few-Body Systems 1993. - V.15- P.15

17. F.Ciesielski, J. Carbonell// LANL e-print nucl-th/9804031

18. V. R. Pandharipande, J. G. Zabolitzky, S. C. Pieper, R. B. Wiringa, and U. Helmbrecht // Phys. Rev. Lett. 1983. - V.50 - P.1676

19. B.D.Esry, C.D.Lin and Chris H. Green // Phys. Rev. A.- 1996. -V.54 N.l P.394.

20. M.Lewerenz// J.Chem.Phys 1997. - V.106- P.4596

21. E. Nielsen, D. V. Fedorov and A. S. Jensen// J. Phys. B 1998. -V.31 P.4085 ; LANL e-print physics/9806020

22. A. K. Motovilov, W.Sandhas, S.A. Sofianos J., E. A. Kolganova// LANL E-print physics/9910016, submitted to Phys. Rev. A

23. J. C. Mester, E. S.Meyer, M. W. Reynolds, T.E. Huber, Z. Zhao, B. Freedman, J. Kim and I.F.Silvera // Phys. Rev.Lett. 1993. - V.71. - N.9. - P.1343

24. R.Ahlrichs, P.Penco, and G.Scoles // Chem.Phys. 1976. - V.19 - P.119

25. R. A. Aziz, V. P. S. Nain, J. S. Carley, W. L. Taylor, and G. T. McConville // J. Chem. Phys. 1979. -V.70. - P.4330

26. R. A. Aziz, F. R. W. McCourt and С. С. K. Wong // Mol. Phys. 1987. - V.61- P.1487

27. R. A. Aziz and M. J. Slaman //J. Chem. Phys. 1991. - V.94. - P.8047

28. T. van Mourik and J. H. van Lenthe // J. Chem. Phys. 1995. - V.102. - N.19.- P.7479

29. R.J. Vos, J.H. van Lenthe, F.B. van Duijneveldt, неопубликовано, цитируется в работе 27]

30. E.L.Duman, В.М. Smirnov // Opt.Spectros. 1970. - V.29. - P.229.

31. J. В. Anderson, C.A. Traynor and B. M. Boghosian// J. Chem. Phys. 1993. -V.99 N.l - P.345

32. I.Roeggen and J.Almlöff // J.Chem.Phys. 1995. V.102. - N.18 - P.

33. T. K. Lim, S.K. Duffy and W.C.Damert// Phys. Rev. Lett. 1977. - V.38. - N.7- P.341

34. C. de Boor,В. Swartz// SIAM J. Numer. Anal. 1973. - V.10 - P.582-606

35. Филихин И.H., Яковлев С.JI. Расчет, характеристик низкоэнергетического рассеяния для системы трех заряженных частиц. // Вестник С. Петерб. унта. 1992. - сер.4, вып.З. - С.24-29.

36. Яковлев С.Л., Филихин И.Н. Метод сильной связи каналов для уравнений Фаддеева. Низкоэнергетическое нуклон-дейтронное рассеяние. // Ядерная физика, 1993. - т. 56, вып. 12. - С. 98-106.

37. Y. Saad,Numerical methods for large eigenvalue problems, Manchester University Press in Algorithms and architectures for Advanced Scientific Computing, NY, 1992.

38. V.Roudnev, S.Yakovlev, Improved tensor-trick algorithm: application to Helium trimer// Computer Physics Communications 2000. - V.126. - N.l-2 - P.162-164

39. V.Roudnev, S.Yakovlev, The investigation of He trimer on the base of Faddeev equations in configuration space// LANL e-print physics/99012030, принято к публикации Chem. Phys. Lett.

40. S.L.Yakovlev, V.A.Roudnev, Application of the Faddeev equations in configuration spaceto calculations of the He trimer, Few Body XV Conference Handbook, Groningen, 1997

41. V.Roudnev, S.Yakovlev, Report on the 1st International Conference Modern Trends in Computational Physics, JINR, Dubna, 1998

42. T. Gonzalez-Lezana, J.Rubayo-Soneira, S.Miret-artes, F.A. Gianturco, G. Delgado-Barrio and P.Villarreal// Phys.Rev.Lett. 1999. V.82. - N.8. - P.1648

43. A.Kvitsinsky, C.Y.Hu// Few-Body Systems 1992. - V.12 - P.7-19

44. A.Laverne,C.Gignoux // Nuclear Physics 1973. - V.A203. - P.597.

45. S.P.Merkuriev,C.Gignoux,A.Laverne // Ann.of Phys. 1976. - V.99. - P.30.

46. J. J.Benayon,С.Gignoux, J.Chauvin // Phys.Rev. 1982. - V. C23. - P.1854.

47. G.L.Payne,J.L.Friar,B.F.Gibson,I.R.Afnan // Phys.Rev. 1980. - V. C22. -P.823.

48. G.L.Payne,J.L.Friar,B.F.Gibson // Phys.Rev.- 1982.- V.C26.- P.1385.

49. M.J.Jamieson, G.W.F.Drake, A.Dalgarno // Phys. Rev. 1995. - V.A51, N.4, -P.3358