Исследование энергетических спектров и характеристик рассеяния в системах трех частиц с кулоновским и контактным взаимодействием тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.16 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

4-2008-154

На правах рукописи УДК 539.18+539.143 ии^4ЬБ4Ю

МАЛЫХ Анастасия Владимировна

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СПЕКТРОВ И ХАРАКТЕРИСТИК РАССЕЯНИЯ В СИСТЕМАХ ТРЕХ ЧАСТИЦ С КУЛОНОВСКИМ И КОНТАКТНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

Специальность: 01.04.16 — физика ядра и элементарных частиц

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

0 5 ДЕК 2008

Дубна 2008

003456410

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук О.И. Картавцев (ЛЯП ОИЯИ)

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Л.Д. Блохинцев (НИИЯФ МГУ им. Д.В.Скобельцына)

доктор физико-математических наук, профессор

С.Л. Яковлев (СПбГУ, Физ. фак., кафедра вычислительной физики)

Ведущая организация:

Физический институт имени П.Н.Лебедева Российской академии наук, г. Москва.

Защита диссертации состоится декабря 2008 г. в 15— на заседании

диссертационного совета Д720.001.01 при Объединенном институте ядерных исследований, 141980, г. Дубна, Московской области, ЛТФ ОИЯИ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований.

Автореферат разослан

" ноября 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

А.Б. Арбузов

Общая характеристика диссертации

Актуальность темы. Диссертация посвящена актуальным проблемам низкоэнергетической трехчастичной динамики в применении к атомным и ядерным системам.

Существенное значение при описании атомных систем в пределе низких энергий играет тот факт, что взаимодействие между частицами с хорошей точностью может быть выбрано в виде потенциалов нулевого радиуса (контактного взаимодействия). Таким образом, энергии связи и характеристики рассеяния для трех частиц имеют универсальный характер, то есть не зависят от деталей взаимодействия, а определяются симметрией системы, кинематическими параметрами (отношением масс частиц) и безразмерными параметрами, описывающими взаимодействия (отношением длин рассеяния). Информация о трех-частичных энергиях и характеристиках рассеяния используется при изучении различных аспектов динамики многочастичных систем, например, в связи с активно исследуемыми в последние годы ультрахолодными квантовыми газами. Быстро развиваются исследования смесей ультрахолодных газов, в частности, экспериментально и теоретически рассматриваются смеси различных ферми-онов и бозонов с фермионами, изучается поведение примесей в квантовых газах. Современные экспериментальные методики предоставляют уникальные возможности для изменения в широких пределах свойств ультрахолодных газов, что позволяет исследовать принципиальные проблемы микроскопических квантовых состояний, в качестве примера которых следует указать образование Бозе-Эйнштейновского конденсата и появление сверхтекучести в бозонных системах, возникновение БКШ пар и двухатомных бозонных молекул в ферми-онных системах.

Интересной специфической возможностью является исследование ультрахолодных газов в ловушках различной формы, в частности, интенсивно исследуются ультрахолодные газы в оптических решетках, в которых движение является (квази)одномерным или (квази)двумерным. В этой связи можно заметить,

что изучение свойств трех частиц в конфигурационном пространстве низкой размерности имеет значение в связи с исследованием атомов, адсорбированных на поверхности, или в наноструктурах. Кроме того, точные аналитические решения для нескольких частиц с контактным взаимодействием, движущихся в одномерном конфигурационном пространстве, используются в ряде работ для анализа различных свойств мало- и многочастичных систем. Описание нескольких тел, движущихся в двумерном конфигурационном пространстве, имеет ряд специфических особенностей, например, таких как наличие двухчастичного связанного состояния с экспоненциально малой энергией для сколь угодно слабого потенциала с неположительным средним значением, существование хорошо обусловленного гамильтониана трех частиц с контактным взаимодействием, логарифмическая зависимость от энергии в разложении эффективного радиуса.

Контактные взаимодействия естественно возникают в теоретическом описании широкого круга квантовомеханических систем. Методы решения задачи на собственные значения и задачи рассеяния для систем с контактными взаимодействиями представляют общий интерес, таким образом полученные в диссертации усовершенствования подхода, связанного с решением гиперрадиальных уравнений, представляют собой заметное методическое достижение. Важно отметить, что разработанные подходы применимы к широкому кругу задач, которые не ограничиваются системами, рассмотренными в диссертации.

В течении ряда лет значительное внимание привлекает описание ядра 12С в а-кластерной модели. Образование ядра 12С в реакции с участием трех си-частиц играет ключевую роль в астрофизической проблеме нуклеосинтеза, поскольку является единственной возможностью сгорания гелия и образования более тяжелых элементов. Существенное значение в процессе образования ядра 12С играет предсказанный Хойлом припороговый За резонанс (О^-состояние 12С), который имеет принципиальное значение как пример трехчастичного распада. Благодаря существованию этого резонанса, а также припорогового а-а-резонанса, достаточно быстрое сгорание гелия объясняется двухступенчатым

резонансным механизмом реакции За —► 8Ве + а —» 12С*(0|) —» 12С + 7. Предсказанное резонансное О^-состояние 12С было обнаружено в экспериментах и до сих пор интенсивно изучается теоретически. Несмотря на то, что экспериментально свойства этого состояния хорошо изучены, теоретическое описание сравнимой точности встречает затруднения на протяжении всего периода исследования. Следует подчеркнуть, что значительные затруднения связаны с наличием принципиальной проблемы более общего характера, а именно, описания реакций и распадов в системе трех частиц с кулоновским взаимодействием. Разработка метода расчета О2 -состояние 12С может также рассматриваться как необходимый этап описания низкоэнергетических реакций с участием а-частиц, например, нерезонансной реакции горения гелия, идущей при малых энергиях и больших плотностях. Горение гелия в таких условиях происходит при аккреции на белых карликах и в нейтронных звездах. С другой стороны, расчет трехчастичных характеристик ядра 12С позволяет определить параметры самой а-кластерной модели. Построение эффективных взаимодействий для этой модели представляет значительный интерес для теоретического описания свойств различных ядер, для которых наличие а-кластеров является хорошим приближением.

Цель работы

• Изучение трехчастичной динамики систем, содержащих либо тождественные частицы либо частицы двух видов, обладающие различной перестановочной симметрией, как в трехмерном конфигурационном пространстве, так и в пространстве низкой размерности. Расчет энергий связи и характеристик рассеяния, определение асимптотического поведения решений, исследование изотопических зависимостей и вычисление универсальных констант.

• Построение эффективных потенциалов а-кластерной модели, описывающих основные двух- и трехчастичные характеристики. Изучение свойств За-системы вблизи трехчастичного порога, в частности, определение ха-

рактеристик возбужденного 0+ состояния ядра 12С.

• Развитие метода гиперсферических "поверхностных" функций: вывод аналитических выражений коэффициентов гиперрадиальных уравнений для систем трех частиц с контактным взаимодействием и разработка численных процедур для решения трехчастичных задач с кулоновским взаимодействием.

Научная новизна и практическая ценность

1. Определен колебательно-вращательный спектр систем трех частиц двух типов, в которых взаимодействие между различными частицами описывается потенциалами нулевого радиуса. Показано, что спектр может быть описан универсальной функцией для произвольных значений углового момента, количества колебательных состояний и отношения масс частиц. Для системы, содержащей два тождественных фермиона в состоянии с полным угловым моментом Ь = 1, были определены критические значения отношения масс, при которых появляются два нижних связанных состояния, изотопические зависимости энергий и ширин припороговых резонан-сов, а также сечения упругого 2+1 рассеяния и коэффициента рекомбинации при энергии в окрестности трехчастичного порога. Полученные изотопические зависимости дают возможность предсказывать свойства экспериментально исследуемых двухкомпонентных систем для широкого интервала значений отношения масс различных частиц, например, энергии связанных состояний позволяют оценить роль образования двух- и трехатомных молекул в многочастичной динамике, а также описывать фазовые переходы в зависимости от концентрации различных компонент в ультрахолодных газах. В экспериментах скорость трехчастичной рекомбинации определяет один из существенных каналов потерь частиц из ловушек и зачастую оказывается фактором, лимитирующим время удержания частиц в ловушках.

2. Вычислены трехчастичные энергии связи и длины 2+1 рассеяния состояний различной четности трех частиц (двух типов) с контактным парным взаимодействием. Исследована зависимость этих характеристик от двух безразмерных параметров - отношения масс различных частиц и отношения интенсивностей парных взаимодействий. Изучение зависимости от параметров взаимодействия имеет принципиальное значение в связи с уникальной возможностью управления двухчастичным взаимодействием в эксперименте, в частности, используя магнитное поле для подстройки энергии резонанса в связанном канале (резонанс Фешбаха).

3. Исследованы особенности описания трехчастичных систем в двумерном конфигурационном пространстве. Вычислены универсальные значения энер гий связи и длины 2 + 1 рассеяния для трех тождественных бозонов с контактным взаимодействием.

4. Получены аналитические выражения для всех коэффициентов гиперрадиальных уравнений, описывающих три частицы с контактным взаимодействием. Как вывод, так и сами выражения справедливы для различных систем с произвольной перестановочной симметрией и различной размерности конфигурационного пространства. Полученные аналитические выражения значительно облегчают анализ асимптотического поведения коэффициентов гиперрадиальных уравнений и его решений для больших и малых расстояний между частицами, а также позволяют увеличить точность численного расчета.

5. В а-кластерной модели построен набор эффективных потенциалов, воспроизводящих экспериментальные значения в 2а- и За-системах. Определение параметров а-кластерной модели имеет принципиальное значение для расчетов свойств различных а-кластерных ядер. Вычислены характеристики основного и возбужденного 0+ состояний ядра 12С. Определение параметров резонанса имеет целый ряд астрофизических приложений.

Апробация работы

Основные результаты диссертации были представлены на международной летней школе "Нарушение СР-симметрии, бариогенезис и нейтрино" (Прероу, Германия, 15 - 21 сентября 2002 года), на рабочем совещании по вычислительной физике, посвященное памяти Станислава Меркурьева (Санкт-Петербург, Россия, 24-27 августа 2003 года), на DST-UNISA-JINR симпозиуме "Модели и методы в мало- и многочастичных системах" (Скукуза, Южная Африка, 6-9 февраля 2007 года), на международной летней школе имени Гельмгольца "Теория ядра и астрофизические приложения" (Дубна, Россия, 7-17 августа 2007 года), на 20-ой Европейской конференции по малочастичным проблемам в физике (Пиза, Италия, 10-14 сентября 2007 года), а также обсуждались на семинарах Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова ОИЯИ, Европейского центра теоретических исследований (Тренто, Италия), НовГУ им. Яр. Мудрого, Университета Южной Африки (Претория).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-8].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и двух приложений. Общий объем составляет 134 страницы, включая 22 рисунка, 11 таблиц и список литературы из 166 наименований.

Содержание работы

Введение содержит изложение проблем, изучаемых в диссертации, описание современного состояния исследований в данной области и литературный обзор. Формулируются цели исследования и поставленные в работе задачи, представлены используемые методы, а также изложена структура диссертации.

Первая глава диссертации посвящена расчету при низких энергиях свойств трех частиц с короткодействующим взаимодействием. В низкоэнергетическом

пределе двухчастичные характеристики не зависят от формы короткодействующих потенциалов и допускают универсальное описание. Таким образом, естественно использовать двухчастичные потенциалы, заданные в виде однопара-метричных потенциалов нулевого радиуса, например, имеющих вид граничных условий при нулевом расстоянии между соответствующими частицами. Обсуждается использование потенциалов нулевого радиуса в трехчастичных уравнениях, характерные особенности трехчастичных систем, рассмотренные в этой главе, а также приводится обзор опубликованных результатов по данной тематике.

В первом разделе рассматривается система трех частиц (двух типов) с контактным взаимодействием между неодинаковыми частицами [4,5,8]. Вычислен колебательно-вращательный трехчастичный спектр для произвольных значений отношений масс т/тх. Для наиболее интересного случая с двумя тождественными бозонами при четном полном угловом моменте Ь либо с двумя тождественными фермионами при нечетном Ь найдено асимптотическое поведение при больших т/тх критических значений Ь^т/тпх) « 0А01у/т/т1 и Ьь{т/т{) и 0.563у/гтфщ, таких что для Ь > Ьь{т/тх) отсутствуют связанные состояния, для Ьс(т/гп1) < Ь < Ьь{т/т\) число связанных состояний N конечно и не превышает Ытах « 1.1 \/Ь(Ь + 1) + 1/2, а при Ь < Ь^т/т^) число связанных состояний бесконечно. В интервале значений углового момента Ьс(тп/тп1) < Ь < Ьь{т/т\) энергии связи описываются универсальной функцией £(£,??), зависящей от двух масштабированных переменных С = ^ — и

у/ЦЬ+1)

г) = т ^олее Детально рассмотрен наиболее важный для описания

низкоэнергетических процессов пример трех частиц с двумя тождественными фермионами в состоянии Ь = 1. Изучены изотопические зависимости трехча-стичного спектра, сечения упругого 2+1 рассеяния и коэффициента рекомбинации. Основное и возбужденное состояния появляются при т/т,\ = Ах « 8.17260 и т/тг = А2 « 12.91743. Вычислены положения и ширины резонансов, в которые переходят связанные состояния при т/тх, приближающихся к А] и А2.

Обсуждена связь между возникновением трехчастичных связанных состояний с увеличением т/т\ и осциллирующим поведением сечений упругого 2+1 рассеяния и трехчастичной рекомбинации. В частности, существует связь двух интерференционных максимумов амплитуд рассеяния с возникновением двух связанных состояний в зависимости от т/т^. Аналогично, для Ь > 1 осциллирующая зависимость амплитуд рассеяния от т/гпх связана с рождением Л^^ связанных состояний.

Во втором разделе рассматривается система трех частиц (двух типов) с контактными взаимодействиями в одномерном конфигурационном пространстве [7]. В наиболее интересном случае, когда взаимодействие между разными частицами притягивающее, изучены зависимости трехчастичных энергий связи и длин 2 + 1 рассеяния для состояний произвольной четности от двух безразмерных параметров: отношение масс частиц и отношение интенсивностей парных взаимодействий. Для трехчастичной системы с двумя тождественными бозонами в случаях бесконечного и нулевого отталкивания между бозонами вычислены критические значения отношения масс, при которых рождаются связанные состояния и длина рассеяния становится нулевой. Необходимо отметить, что существует взаимно однозначное соответствие решений для двух трехчастичных систем: первой, в которой два тождественных бозона с бесконечным отталкиванием между ними, и второй, в которой два тождественных фермиона не взаимодействуют. Поэтому все полученные результаты для бозон-ных систем описывают и фермионный случай.

Существуют аналитические решения уравнения Шредингера для системы, состоящей из одной тяжелой частицы массы тпг и двух легких частиц массы т (в пределе т/тпх —> 0), как для нулевого, так и для бесконечного отталкивания легких частиц, а также получены решения для трех частиц одинаковой массы т = тщ с бесконечным отталкиванием тождественных частиц. Получено строгое доказательство, что гп/тщ = 1 - точная граница, справа от которой существует по крайней мере одно связанное состояние; кроме того, в системе трех частиц одинаковых масс существует только одно связанное состояние вне

зависимости от интенсивности взаимодействия между тождественными частицами. Вычислены асимптотические зависимости числа связанных состояний и длины рассеяния в пределе т/т\ —> оо, а также энергии связи и длины 2 + 1 рассеяния при сильном притяжении тождественных бозонов. Построена схематическая "фазовая'диаграмма, на которой задано число связанных состояний и знак длины 2+1 рассеяния в плоскости двух параметров: отношение масс частиц и отношение интенсивностей взаимодействий.

В третьем разделе рассматриваются три тождественных бозона с контактным взаимодействием в двумерном конфигурационном пространстве [3]. Получены универсальные значения энергий связи основного и возбужденного состояний и длина 2 + 1 рассеяния с высокой точностью. Исследовано асимптотическое поведение коэффициентов системы гиперрадиальных уравнений и их решений в пределе больших и малых расстояний между частицами, что позволило получить логарифмическкую асимптотику полной волновой функции вблизи точки трехчастичного столкновения.

Вторая глава содержит вывод аналитических выражений для коэффициентов гиперрадиальных уравнений [3,4]. Аналитические выражения одинаковой формы были получены для трех частиц (двух типов) произвольной симметрии в трехмерном и одномерном конфигурационных пространствах, и для трех тождественных бозонов в двухмерном конфигурационном пространстве. Как сам вывод, так и полученные выражения имеют значительно более широкую область применимости, в частности, аналогичные выражения могут быть получены для трех частиц произвольной перестановочной симметрии, с различными взаимодействиями между ними, а также в различных размерностях конфигурационного пространства. Метод вывода основан на наличии контактного взаимодействия между частицами, явной зависимости задачи на собственные значения на гиперсфере от гиперрадиуса и на использовании соотношения типа Хеллмана-Фейнмана. Аналитические выражения позволяют провести анализ асимптотического поведения коэффициентов системы гиперрадиальных уравнений и его решений как при больших, так и при малых расстояниях между

частицами. Кроме того, аналитические выражения удобны для проведения численных расчетов и улучшения их точности.

Третья глава посвящена изучению свойств 0+ состояний ядра 12С [1,2,6] в а-кластерной модели. Построен набор эффективных двух- и трехчастичных потенциалов а - кластерной модели, описывающих экспериментальные значения положения и ширины й-волнового а - а резонанса, й-, <1- и д-волновые фазы а -а рассеяния, энергии основного и возбужденного 0+ состояний ядра 12С и среднеквадратичный радиус основного состояния. Полученные результаты расчета показывают способность а-кластерной модели описывать такие тонкие характеристики, как чрезвычайно малая по ядерным масштабам ширина О2 состояния и экспериментально измеряемый структурный параметр - матричный элемент монопольного перехода О2 —> А именно, даже для локальных двухчастичных потенциалов рассчитанные величины находятся в разумном согласии с экспериментальными данными (отличающиеся множителем порядка 2) и, кроме того, слабо зависят от выбора двухчастичных и приемлемых трехчастичных потенциалов. Изучение термов гиперрадиальных уравнений и структуры волновой функции убедительно доказывает двухступенчатый механизм распада О2 состояния, что согласуется с общепринятой точкой зрения.

Необходимая точность вычисления характеристик 12С была достигнута с помощью решения уравнения на гиперсфере вариационным методом с гибким базисом пробных функций. С этой целью в базис были включены полностью симметризованные гипергармоники, позволяющие описать волновую функцию в области малых расстояний между частицами, и функции, описывающие кластерную конфигурацию а + 8Ве.

В заключении суммируются результаты, выдвигаемые на защиту.

В приложении А изложен метод гиперсферических "поверхностных" функций: введены гиперрадиальные координаты, записано уравнение на гиперсфере, а также определены коэффициенты гиперрадиальных уравнений. Система гиперрадиальных уравнений записана в двух эквивалентных формах. Обсуждается асимптотика эффективных потенциалов, а также особенности расчета

в двумерном случае. Кроме того, применение метода проиллюстрировано на точно решаемой задаче трех тождественных бозонов с контактными взаимодействиями в одномерном конфигурационном пространстве.

В приложении Б описаны используемые численные процедуры. Приведены подробности численного расчета и оценка точности вычисленных коэффициентов гиперрадиальных уравнений для систем трех частиц с контактным взаимодействием (с помощью аналитических выражений) и с кулоновским взаимодействием (посредством вариационного метода). Сформулированы граничные условия для системы гиперрадиальных уравнений, соответствующие задаче на связанные состояния и задаче рассеяния. Приведены подробности численного интегрирования системы гиперрадиальных уравнений.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Определен колебательно-вращательный спектр трех частиц (двух типов) с контактным взаимодействием для произвольных значений отношений масс. Получена универсальная функция, описывающая спектр энергии. Для системы, содержащей два тождественных фермиона, в состоянии с полным угловым моментом Ь = 1 определены изотопические зависимости трехчастичных энергий связи и сечений упругого и неупругого рассеяния.

2. Исследована система трех частиц (двух типов) с контактным взаимодействием в одномерном конфигурационном пространстве, определены энергии связи и длины 2 + 1 рассеяния. Получен ряд аналитических и качественных результатов. Построена схематическая "фазовая'диаграмма, на которой задано число связанных состояний и знак длины 2+1 рассеяния в плоскости двух параметров — отношения масс и отношения интенсивностей взаимодействий.

3. Изучена система трех тождественных бозонов с контактным взаимодействием в двумерном конфигурационном пространстве. Получены точные значения энергий связи и длина 2 + 1 рассеяния, исследовано асимптотическое поведение всех коэффициентов системы гиперрадиальных уравнений и определено

поведение полной волновой функции вблизи точки тройного столкновения.

4. Дан вывод аналитических выражений для коэффициентов гиперрадиальных уравнений, описывающих систему трех частиц с контактным взаимодействием.

5. Построен набор эффективных двух- и трехчастичных потенциалов а - кластерной модели, описывающий экспериментальные значения положения и ширины в-волнового а - а резонанса, 5-, й- и р-волновые фазы а - а рассеяния, энергии основного и возбужденного 0+ состояний ядра 12С и среднеквадратичный радиус основного состояния.

6. В а-кластерной модели определены ширина возбужденного состояния 12С, матричный элемент монопольного перехода (Оз" —► 0+) и среднеквадратичный радиус возбужденного состояния Я(2). Исследован механизм распада состояния на три а-частицы.

Публикации по результатам диссертации:

1] S. I. Fedotov, О. I. Kartavtsev, V. I. Kochkin, and А. V. Malykh, За-cluster structure of the 0+ states in 12C and the effective a - a interactions, Phys. Rev. С 70, 014006 (2004)

2] S. I. Fedotov, О. I. Kartavtsev, and A. V. Malykh, Effective three-body interactions in the a-cluster model for the 12C nucleus, Eur. Phys. J. A 26, 201 (2005)

3] О. I. Kartavtsev and A. V. Malykh, Universal low-energy properties of three two-dimensional bosons, Phys. Rev. A 74, 042506 (2006)

4] О. I. Kartavtsev and A. V. Malykh, Low-energy three-body dynamics in binary quantum gases, J. Phys. В 40, 1429 (2007)

5] О. I. Kartavtsev and A. V. Malykh, Universal description of the rotational-vibrational spectrum of three particles with zero-range interactions, Письма ЖЭТФ т. 86, стр. 713 (2007)

6] S. I. Fedotov, О. I. Kartavtsev, and A. V. Malykh, Effective three-body interactions in the a-cluster model for the l2C nucleus, Proc. of the DST-UNISA-JINR Symposium "Models and Methods in Few- and Many-Body Systems", ed. S.A.Sofianos, Pretoria, UNISA Press, p. 64 (2007)

7] О. I. Kartavtsev, A. V. Malykh, and S. A. Sofianos, Bound states and scattering lengths of three two-component particles with zero-range interactions under one-dimensional confinement, Препринт ОИЯИ E4-2008-146/LANL arXiv.0808.2704 [physics.atom-ph]/ ЖЭТФ т. 135, вып. 2 (2009)

8] О. I. Kartavtsev and A. V. Malykh, Universal three-body dynamics in binary mixtures of ultra-cold atoms, Few Body Syst., to be published

Получено 6 ноября 2008 г.

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.

Подписано в печать 7.11.2008. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,93. Уч.-изд. л. 0,84. Тираж 100 экз. Заказ № 56381.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@jinr.ru www.jinr.ru/publ ish/

Введение

Глава 1 Универсальное низкоэнергетическое описание трехчастичных систем

1.1 Описание трехчастичых свойств двухкомпонентных систем

1.1.1 Задача на собственные значения.

1.1.2 Полный угловой момент Ь=1.

1.1.3 Полный угловой момент Ь> 2.

1.1.4 Колебательно-вращательный спектр.

1.1.5 Выводы.

1.2 Низкоэнергетическая трехчастичная динамика в двухкомпонентных одномерных системах.

1.2.1 Постановка задачи и метод.

1.2.2 Точные решения.

1.2.3 Численный расчет.

1.2.4 Основные закономерности и асимптотические зависимости

1.2.5 Двухпараметрическое описание спектра и длин рассеяния.

1.2.6 Выводы.

1.3 Три тождественных двумерных бозона.

1.3.1 Задача на собственные значения.

1.3.2 Асимптотические разложения

1.3.3 Численные результаты

1.3.4 Выводы.

Глава 2 Аналитические выражения для коэффициентов гиперрадиальных уравнений

Глава 3 Описание ядра 12С в «-кластерной модели и эффективные потенциалы взаимодействия

3.1 Определение характеристик 12С из гиперрадиального разложения

3.2 Двухчастичные потенциалы

3.3 Термы и свойства собственных функций уравнения на гиперсфере

3.4 Расчет свойств 0+ состояний ядра 12С.

3.5 Выводы.

Изучение различных аспектов трехчастичной динамики при низких и сверхнизких энергиях представляет важное значение для экспериментальных и теоретических исследований в различных областях атомной и ядерной физики. Диссертация посвящена исследованию характеристик трех частиц с короткодействующими взаимодействиями, а также трех а-частиц, в которых существенную роль играет кулоновское отталкивание. Изучение свойств трех частиц с короткодействующими взаимодействиями имеет важное значение для современных исследований атомных и молекулярных ультрахолодных газов, а так же представляют интерес для изучения динамики многочастичных систем. Проблема описания процессов с участием трех а-частиц связана с исследованием свойств ядра 12С, в котором особое значение имеет состояние, предсказанное Хойлом [1] (возбужденное Оз состояние ядра 12С) для объяснения распространенности тяжелых элементов во Вселенной и изучаемое экспериментально и теоретически в течение многих лет. Кроме того, построение а-кластерной модели имеет значение для вычисления характеристик ядер, содержащих а-частицы.

Существенное значение при описании атомных систем в пределе низких энергий играет тот факт, что взаимодействие между частицами с хорошей точностью может быть выбрано в виде потенциалов нулевого радиуса (контактного взаимодействия). Таким образом, энергии связи и характеристики рассеяния для трех частиц имеют универсальный характер, то есть не зависят от деталей взаимодействия, а определяются симметрией системы, кинематическими параметрами (отношением масс частиц) и безразмерными параметрами, описывающими взаимодействия (отношением длин рассеяния). Информация о трехчастичных энергиях и характеристиках рассеяния используется при изучении различных аспектов динамики многочастичных систем, например, в связи с активно исследуемыми в последние годы теоретически (например, см. [2, 3, 4]) и экспериментально (например, см. [5, 6]) ультрахолодными квантовыми газами. Изучение зависимости от параметров взаимодействия имеет принципиальное значение в связи с уникальной возможностью управления двухчастичным взаимодействием в эксперименте, в частности, используя магнитное поле для подстройки энергии резонанса в связанном канале (резонанс Фешбаха) или используя резонансы, возникающие благодаря ограничению движения в поперечном направлении [7].

В последние годы возник определенный интерес к микроскопическому описанию элементарных процессов в ультрахолодных газах, например, вычислен коэффициент трехчастичной рекомбинации для бесспиновых бозонов [8, 9, 10], фермионов [11] и частиц с внутренними степенями свободы [12]. Для трех тождественных бозонов с резонансным р-волновым взаимодействием недавно было предсказано бесконечное число связанных 1+ состояний [13]. С другой стороны, необходимо упомянуть быстро растущий интерес к исследованию смесей ультрахолодных газов [14, 15, 16, 17, 18, 19, 20]. Например, экспериментально и теоретически рассматриваются смеси различных фермионов [15, 16, 21] и бозонов с фермионами [22, 14], изучается влияние примесей в квантовых газах [23, 24]. Современные экспериментальные методики предоставляют уникальные возможности для изменения в широких пределах свойств ультрахолодных газов, что позволяет исследовать принципиальные проблемы микроскопических квантовых состояний, в качестве примера которых следует указать образование Бозе-Эйнштейновского конденсата и появление сверхтекучести в бозонных системах [5, 6], возникновение БКШ пар [22, 15] и двухатомных бозонных молекул в ферми-онных системах.

Интересной специфической возможностью является исследование ультрахолодных газов в ловушках различной формы, в частности, интенсивно исследуются ультрахолодные газы в оптических решетках, в которых движение является (квази)одномерным [5, 25, 26, 22] или (ква-зи)двумерным [2, 5, 6, 27, 28, 29, 30]. Недавно были проведены эксперименты с атомами в наноструктурах [31, 32, 33]. Изучение свойств трех частиц в двумерном конфигурационном пространстве имеет значение в связи с исследованием атомов, адсорбированных на поверхности, таких как атомы гелия, адсорбированные на графите [34] и атомы водорода.на гелиевых пленках [35, 36], в том числе, в [37] наблюдали квазиконденсат; в [38] измеряли коэффициент трехчастичной рекомбинации; а также этим исследованиям посвящен ряд теоретических работ [39, 40, 41, 42]. Описание нескольких тел, движущихся в двумерном конфигурационном пространстве, имеет ряд специфических особенностей [43, 44, 40, 45], описанных подробно в Главе 1. Различные аспекты трехчастичной динамики изучались в случае двумерного движения, в том числе, трехчастич-ные энергии связи рассмотрены в работах [46, 47, 48, 49], низкоэнергетическое рассеяние атома на димерной молекуле в [50], низкоэнергетическое рассеяние 3 —> 3 в [51, 52]. Трехчастичная динамика изучалась в случае одномерного движения, в том числе, энергии связи трех частиц двух типов рассмотрены в [53], низкоэнергетическая трехчастичная рекомбинация в [54], кроме того, следует отметить метод интегральных уравнений, использованный в [55] и различные варианты гиперсферических разложений, рассмотренные в [56, 57].

Из этого круга явлений в диссертации изучена трехчастичная динамика систем, содержащих либо тождественные частицы либо частицы двух видов, обладающие различной перестановочной симметрией, как в трехмерном конфигурационном пространстве, так и в пространстве низкой размерности. Для таких систем вычислены энергии связи и характеристики рассеяния, определены асимптотические поведения решений, исследованы изотопические зависимости и вычислены универсальные константы.

В течении ряда лет значительное внимание привлекает описание ядра 12С. Образование ядра 12С в реакции с участием трех а-частиц играет ключевую роль в астрофизической проблеме нуклеосинтеза, поскольку является единственной возможностью сгорания гелия и образования более тяжелых элементов [58, 1]. Существенное значение в процессе образования ядра 12С играет предсказанный Хойлом припоро-говый За резонанс (О^-состояние 12С). Благодаря существованию этого резонанса, а также припорогового а-а резонанса, достаточно быстрое сгорание гелия объясняется двухступенчатым резонансным механизмом реакции За —» 8Ве + а —► 12С*(0о~) —> 12С + 7. Предсказанное резонансное 0Í-состояние 12С было обнаружено экспериментально при изучении реакции 14N(cZ, cv)12C [59] и /5-распада 12В [60], а также изучалось в последующих работах [61, 62].

Несмотря на то, что экспериментально свойства этого состояния хорошо изучены, теоретическое описание сравнимой точности встречает затруднения на протяжении всего периода исследования. Следует подчеркнуть, что значительные затруднения в расчете связаны с наличием принципиальной проблемы более общего характера, а именно, описания реакций и распадов в системе трех частиц с кулоновским взаимодействием. В ядерной физике и астрофизике такие процессы активно исследуются, образование ядра 12С в реакции с участием трех а-частиц - наиболее известный трехчастичный процесс. В качестве других примеров отметим активно обсуждающуюся проблему двухпротонной радиоактивности (см. подробный обзор в [63, 64]), а также экспериментальное изучение дол-гоживущего распада 1+-состояния 12С [65, 66]. Основная трудность в исследования таких систем заключается в описании волновой функции непрерывного спектра трех (или более) заряженных частиц (трехчастичный континуум) [67].

Особую трудность в расчете характеристик -состояния ядра

12С также представляет получение чрезвычайно малой по ядерным масштабам ширины Г ~ 8 эВ этого состояния. При рассмотрении 12С как многочастичной системы, например, в модели оболочек [61, 62], описать узкий резонанс не удалось. В ряде работ [68, 69, 70, 71, 72] О^-состояние ядра 12С и »-кластерные состояния более тяжелых ядер рассматривались в связи с проблемой конденсацией а-частиц. Для сравнительно успешного описания ядра 12С широко используется а-кластерная модель [73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90]. Одним из существенных аргументов, доказывающих применимость этой модели, является тот факт, что ряд состояний ядра 12С имеет а-кластерную структуру. Наиболее ярко выраженную кластеризацию еледует ожидать для припорогового Оо -состояния, которое имеет принципиальное значение как пример трехчастичного распада.

При рассмотрении трехчастичных распадов значительный интерес представляет выяснение механизма таких реакций. Качественные характеристики многочастичных распадов на основе представлений о проницаемости многомерных кулоновских потенциальных барьеров рассмотрены в [91]. Имеются экспериментальные данные [92], указывающие на то, что механизм распада (^'-состояния является последовательным 12С*(0^) —> 8Ве + а —> За. Кроме резонансной За реакции в астрофизических приложениях существенное значение имеет впервые рассмотренная в [93] нерезонансная За реакция при малых энергиях и больших плотностях. Сгорание гелия в таких условиях происходит в процессе аккреции на белые карлики и нейтронные звезды. Нерезонансный процесс рассматривался в ряде работ [94, 74, 95, 96] с использованием двухчастичных представлений. Следует заметить, что в области столь низких энергий погрешность расчета скорости реакции может меняться на несколько порядков.

Разработка метода расчета (^-состояния 12С может также рассматриваться как необходимый этап описания низкоэнергетических реакций с участием а-частиц, например, описанной выше нерезонансной реакции горения гелия. С другой стороны, расчет трехчастичных характеристик ядра 12С позволяет определить параметры самой а-кластерной модели. Построение эффективных взаимодействий для этой модели представляет значительный интерес для теоретического описания свойств различных ядер, для которых наличие ск-кластеров является хорошим приближением. В связи со всем вышеизложенным одной из целей диссертации является построение эффективных потенциалов ^-кластерной модели, описывающих основные двух- и трехчастичные характеристики, а также изучение свойств За-системы вблизи трехчастичного порога, в частности, определение характеристик возбужденного Оз состояния ядра 12С [81, 85, 86].

В значительной части диссертации расчет проводится с помощью метода гиперсферических "поверхностных" функций (приложение А) [97], который широко используется в решении различных проблем нескольких тел. Преимущество данного метода в том, что он позволяет единообразно рассматривать как задачу на связанные состояния, так и задачу двух- и трехчастичного рассеяния, а также учитывать различные симметрии задачи естественном образом.

Контактные взаимодействия [44, 98, 99, 100, 101, 102] возникают в теоретическом описании широкого круга квантовомеханических систем. Методы решения задачи на собственные значения и задачи рассеяния для систем с контактными взаимодействиями представляют общий интерес, таким образом, рассмотренные в диссертации усовершенствования подхода, связанного с решением гиперрадиальных уравнений, представляют собой заметное методическое достижение. А именно, полученные аналитические выражения для матричных элементов системы гиперрадиальных уравнений [103, 104, 105, 106] применимы к широкому кругу задач, который не ограничивается системами, рассмотренными в диссертации.

Для решения трехчастичных задач с кулоновским взаимодействием необходимо адаптировать численную процедуру решения уравнения на собственные значения на гиперсфере. Для этого, в случае системы трех а-частиц, в вариационном методе решения использовался гибкий базис пробных функций. Последние позволяют воспроизвести волновую функцию при больших и малых расстояниях между частицами.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и двух приложений. В конце каждой главы приводятся полученные в ней результаты.

Основные результаты диссертации содержатся работах [81, 85, 104, 105, 106, 86, 108, 107], а также были представлены на

• международной летней школе "Нарушение СР-симметрии, бариоге-незис и нейтрино" (Прероу, Германия, 15-21 сентября 2002 года),

• рабочем совещании по вычислительной физике, посвященное памяти Станислава Меркурьева (Санкт-Петербург, Россия, 24-27 августа 2003 года),

• DST-UNISA-JINR симпозиуме "Модели и методы в мало- и многочастичных системах" (Скукуза, национальный Крюгер-парк, Южная Африка, 6-9 февраля 2007 года),

• международной летней школе имени Гельмгольца "Теория ядра и астрофизические приложения" (Дубна, Россия, 7-17 августа 2007 года),

• 20-ая Европейской конференции по малочастичным проблемам в физике (Пиза, Италия, 10-14 сентября 2007 года). а также обсуждались на семинарах Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова ОИЯИ, Европейского центра теоретических исследований (Тренто, Италия), НовГУ им. Яр. Мудрого, Университета Южной Африки (Претория).

В заключении хочу поблагодарить своего научного руководителя Картавцева Олега Ивановича за постановку задач, и большую помощь, оказанную при выполнении данной работы.

Выражаю свою признательность своему соавтору Федотову Сергею Ивановичу, в том числе, и за полезные комментарии по поводу текста диссертации.

За доброе отношение и полезные обсуждения хочу поблагодарить Беляева Владимира Борисовича.

Я благодарна дирекции Лаборатории теоретической физики и лаборатории ядерных проблем ОИЯИ за предоставленную возможность провести данные исследования. Хочу также поблагодарить коллектив Новгородского Государственного Университета, в особенности Захарова Анатолия Юльевича, за оказанную мне поддержку.

А. Метод гиперсферических "поверхностных" функций

Гамильтониан трехчастичной системы в системе центра масс имеет вид: з

Я = + , (А.1) г=1 где {ijk} - циклические перестановки {123}, h — 1, потенциал в паре (jk) равен Vjk(\vj — г&|) = Vjk Масштабированные переменные Якоби

- Xj, у i связаны с радиус-векторами r¿, массами mi частиц следующими соотношениями x¿ = ^ (г,- - rfc) , у,- = (п - ) , (А.2) rrij + Шк J где приведенные массы //¿, Дг- имеют вид

Hi = m3mk/(mj + тк) , Дг- = пц(т3 + тк)/(ггц + rrij + mk) . (А.З)

Различные наборы координат Якоби связаны между собой соотношениями

Xi = - COSCÜkXj - SÍll OJkyj , Уj = Sm CükXj - cos tokyj (A A) где mi(mi + rrij +mk) i = ± arctg ч / —------(A.5) y m3mk углы кинематического вращения, знак выбирается в зависимости от четности или нечетности перестановки {ijk} в {123}.

Для получения системы гиперрадиальных уравнений используются - гиперрадиус р (0 < р < оо) и углы О = Xi, yi), связанные с переменными Якоби соотношениями

Xi = psina¿ , yi = р cos Oii , (A.6)

X¿ = Xi/Xi , у г = У i/Vi ■ (А.7)

Из (А.4) следует соотношение между различными наборами гиперсферических переменных cos 2ai = cos 2u}f. cos 2aj + sin 2cu^ sin 2aj cos 6j , (A.8) sin 2 ai cos в i — cos sin 2a j cos 9j =p sin 2u>k cos 2 ocj , (A. 9) где 0i (0 < 6i < it) - угол между векторами x¿ и yif то есть cos= (x¿y¿).

В гиперсферических координатах гамильтониан (А.1) в пространстве размерности d имеет вид: где Л2 - квадрат оператора обобщенного углового момента в пространстве размерности 2d-1 и он равен

Л2 = -^2> <*=1, (АЛ1) д2 д 1? 1

Л2 = —2 — 2(d— 1)ctg2ai~--Ь —г^--1--т— , d>l , (A.12) oaf oai sir cos^ где lx- и ly¿ - операторы углового момента соответствующие векторам хг-и y¿.

В основе метода лежит представление суммарной волновой функции 3-х частиц в виде разложения оо ф =р-(М-1)/2 J2fn(p)^n(^p) (А. 13) п= 1 по функциям на гиперсфере Фп(0,,р) (при фиксированном гиперрадиусе), удовлетворяющим уравнению

Фп(П,р) = 0 (А. 14) и симметрии задачи. Для каждого значения переменной р, решение уравнения на гиперсфере (А. 14) дает бесконечное число дискретных собственных значений, которые удобно записать в виде еп(р) = £2(р) — с/ — I)2, и соответствующие собственные функции Ф„ нормированные условием

ФП|ФШ) = ¿тп . (А. 15)

•]•) означает интегрирование по инвариантному объему на гиперсфере сЮ, = (зт2а.У~1с1а ¿х^уг (или (Ю, = с1а для (1 — 1).

Собственные функции и соответствующие собственные значения используются для построения системы гиперрадиальных уравнений (ГРУ), которая, используя разложение (А. 13) для уравнение Шредингера #Ф = Е'Ф с гамильтонианом (АЛО), получается в двух эквивалентных формах

Ар ад = о, ад = о, (а. ш)

А-17) где {(р) означает вектор-функцию с компонентами радиальных функций п{р), и(р) - диагональная матрица, элементы которой равны ипп{р) = 4£,1(р)+(2^-3)(2^-1) = £-1/4 ^ и и р^ антисимметричная и симметричная матрицы с матричными элементами

Рпт(р) = ф „ (1фт\ р /

1ФП ¿Фт

1р д,р

Тождество оо

Рптп — ^ ^ QnkQmk

А. 18) (А. 19)

А. 20) а;=1 обеспечивает эквивалентность бесконечных систем уравнений в виде (А.16) и (А.17). Эффективный потенциал в пом канале для конечной системы из м ГРУ (А. 16) равен

К»м = +рпМ, а для (А. 17) равен

А.21)

А.22) к=1

Хотя две бесконечные системы ГРУ (А. 16) и (А. 17) эквивалентны, конечные системы дают разные результаты,'что позволяет в практических расчетах оценивать сходимость с увеличением числа ГРУ М. Важно, что решение конечной системы из м ГРУ в первой форме (А. 16) дает верхние границы ь\ для точной энергии г-го состояния щ, ьгез1 для положения резонанса Еге8^ и для точной длины рассеяния А, то есть е\ы) > е{, > ЕгеаА и А^м) > А [163, 164]. Доказательство может быть получено, наблюдая, что конечная система ГРУ в виде (А. 16) может быть получена применением вариационного принципа с пробной функцией, содержащей ограниченную сумму в виде (А. 13). С другой стороны, решение системы ГРУ (А. 17), по крайней мере в одноканальном приближении, дает нижнюю границу для энергии основного состояния [163]. Несмотря на то, что решение системы (А. 17) не требует расчета Рпт(Я), система (А. 17) обычно обеспечивает более медленную сходимость с увеличением числа уравнений. Заметим, что возможность вычисления длины рассеяния решением обрезанной системы (А. 17) должна быть проанализирована исходя из поведения эффективного потенциала в первом канале У^^(р). Если У^^(р) содержит дальнодействующий терм, который убывает медленнее, чем 1/4р2 для каждого ограниченного М, то данное обрезание системы не позволяет вычислить длину рассеяния.

Заметим, что для решения двумерной задачи, оказалось удобным вместо гиперрадиуса использовать переменную Я = \пр и заменить в разложении (А. 13) радиальную функцию Г —> е~Л//2£. Тогда ГРУ имеют тот же вид (А. 16), (А. 17) при замене р Я, Е е2НЕ, и и —>■ е2Ни + 1/4. В определении матричных элементов (А. 18) и (А. 19) так же производится замена р —> Я.

Давно известно (см., например, [131, 132]), что одномерная задача для системы из N тождественных частиц с взаимодействиями нулевого радиуса (в этом случае - это обычные Дираковские 5-функции) решается точно. Это обеспечивает хорошую возможность проверить используемый метод и проконтролировать численную точность.

Рассмотрим систему из трех тождественных бозонов массы т, с интенсивностью взаимодействия между частицами А. Выберем единицы

К = т = Л = 1. Из-за симметрии системы можно решать задачу на собственные значения на интервале 0 < а < 1г/6 с дополнительным граничным условием = 0 в точке су — тг/6. В рамках ПНР взаимодействие да описывается граничным условием lim а—>0 + da ^

Ф = 0 , (А.23) которое следует из уравнения (1.43). Решение задачи на собственные значения на окружности ^+ fn^ ®n{oi,p) = 0 имеет вид Фп(ск,р) =

Вп cos(a—7г/6)£п, где собственные значения £2(/?) определяются из трансцендентного уравнения + pctg££ = 0 . (А.24) 5

Благодаря простой зависимости £(р) (А.24), можно, используя выражения (2.9), (2.12), (2.16), вывести простые аналитические выражения для матричных элементов. Например, cos4 | [ж (ж2 — 3) (х — 2 sin х) — 6ж2 cos х + 3 sin2 ж]

Рпп — тг~о7 : : л ' (А.25) x¿{x + smi)4 где ж = |f„(/o).

Заключение

В диссертации проведены исследования систем трех частиц с контактным взаимодействием в одно-, двух- и трехмерных конфигурационных пространствах, а также исследовались 0+-состояния ядра 12С в а-кластерной модели.

На защиту выдвигаются следующие результаты

1. Определен колебательно-вращательный спектр трех частиц (двух типов) с контактным взаимодействием для произвольных значений отношений масс. Получена универсальная функция, описывающая спектр энергии. Для системы, содержащей два тождественных фермиона, в состоянии с полным угловым моментом Ь — 1 определены изотопические зависимости трехчастичных энергий связи и сечений упругого и неупругого рассеяния.

2. Исследована система трех частиц (двух типов) с контактным взаимодействием в одномерном конфигурационном пространстве, определены энергии связи и длины 2 + 1 рассеяния. Получен ряд аналитических и качественных результатов. Построена схематическая "фазовая" диаграмма, на которой задано число связанных состояний и знак длины 2 + 1 рассеяния в плоскости двух параметров — отношения масс и отношения интенсивностей взаимодействий.

3. Изучена система трех тождественных бозонов с контактным взаимодействием в двумерном конфигурационном пространстве. Получены точные значения энергий связи и длина 2 + 1 рассеяния, исследовано асимптотическое поведение всех коэффициентов системы гиперрадиальных уравнений и определено поведение полной волновой функции вблизи точки тройного столкновения.

4. Дан вывод аналитических выражений для коэффициентов гиперрадиальных уравнений, описывающих систему трех частиц с контактным взаимодействием.

5. Построен набор эффективных двух- и трехчастичных потенциалов а - кластерной модели, описывающий экспериментальные значения положения и ширины s-волнового а - а резонанса, s-, d- и д-волновые фазы а - а рассеяния, энергии основного и возбужденного 0+ состояний ядра 12с и среднеквадратичный радиус основного состояния.

6. В а-кластерной модели определены ширина возбужденного Оо" состояния 12С, матричный элемент монопольного перехода (Oj —> 0+) и среднеквадратичный радиус возбужденного состояния R(2\ Исследован механизм распада состояния на три а-частицы.

1. Hoyle, F. On Nuclear Reactions Occuring in Very Hot STARS. 1. the Synthesis of Elements from Carbon to Nickel / F. Hoyle // Astrophys. J. Suppl. — 1954.-Vol. 1,- P. 121.

2. Petrov, D. S. Bose-Einstein Condensation in Quasi-2D Trapped Gases / D. S. Petrov, M. Holzmann, G. V. Shlyapnikov // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol. 84. - P. 2551.

3. Petrov, D. S. Interatomic collisions in a tightly confined Bose gas / D. S. Petrov, G. V. Shlyapnikov // Phys. Rev. A. 2001. - Vol. 64. -P. 012706.

4. Bao, C. G. Effect of hard-core repulsion on the structures of a trapped two-dimensional three-boson system / C. G. Bao, Y. He, G. M. Huang, T. Y. Shi // Phys. Rev. A. 2002. - Vol. 65. - P. 022508.

5. Realization of Bose-Einstein Condensates in Lower Dimensions / A. Görlitz, J. M. Vogels, A. E. Leanhardt, C. Raman, T. L. Gus-tavson, J. R. Abo-Shaeer, A. P. Chikkatur et al. // Phys. Rev. Lett. — 2001,-Vol. 87,- P. 130402.

6. Rychtarik, D. Two-Dimensional Bose-Einstein Condensate in an Optical Surface Trap / D. Rychtarik, B. Engeser, H.-C. Nägerl, R. Grimm // Phys. Rev. Lett. 2004. - Vol. 92. - P. 173003.

7. Olshanii, M. Atomic Scattering in the Presence of an External Confinement and a Gas of Impenetrable Bosons / M. Olshanii // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol. 81. - P. 938.

8. Fedichev, P. O. Three-Body Recombination of Ultracold Atoms to a Weakly Bound s Level / P. O. Fedichev, M. W. Reynolds, G. V. Shlyapnikov // Phys. Rev. Lett. 1996. - Vol. 77. - P. 2921.

9. Nielsen, E. Low-Energy Recombination of Identical Bosons by Three-Body Collisions / E. Nielsen, J. H. Macek // Phys. Rev. Lett. — 1999. Vol. 83. - P. 1566.

10. Esry, B. D. Recombination of Three Atoms in the Ultracold Limit / B. D. Esry, C. H. Greene, J. J. P. Burke // Phys. Rev. Lett. 1999. — Vol. 83.-P. 1751.

11. Petrov, D. S. Three-body problem in Fermi gases with short-range interparticle interaction / D. S. Petrov // Phys. Rev. A. — 2003,— Vol. 67,- P. 010703(R).

12. Kartavtsev, O. I. Low-energy three-body recombination near a Fesh-bach resonance / O. I. Kartavtsev, J. H. Macek // Few-Body Syst. — 2002.-Vol. 31.-P. 249.

13. Macek, J. H. Exact solution for three particles interacting via zerorange potentials / J. H. Macek, S. Y. Ovchinnikov, G. Gasaneo // Phys. Rev. A. 2006. - Vol. 73. - P. 032704.

14. Karpiuk, T. On the stability of bose-fermi mixtures / T. Karpiuk, M. Brewczyk, M. Gajda, K. Rzazewski // J. Phys. B. — 2005,-Vol. 38.- P. L215.

15. Shin, Y. Observation of phase separation in a strongly interacting imbalanced fermi gas / Y. Shin, M. W. Zwierlein, C. H. Schunck, A. Schirotzek, W. Ketterle // Phys. Rev. Lett. 2006. - Vol. 97. -P. 030401.

16. Chevy, F. Density profile of a trapped strongly interacting fermi gas with unbalanced spin populations / F. Chevy // Phys. Rev. Lett. — 2006,- Vol. 96.- P. 130401.

17. Deh, B. Feshbach resonances in mixtures of ultracold 6Li and 87Rb gases / B. Deh, C. Marzok, C. Zimmermann, P. W. Courteille // Phys. Rev. A. 2008. - Vol. 77. - P. 010701.

18. Taglieber, M. Quantum Degenerate Two-Species Fermi-Fermi Mixture Coexisting with a Bose-Einstein Condensate / M. Taglieber, A.C. Voigt, T. Aoki, T. W. Hänsch, K. Dieckmann // Phys. Rev, Lett. — 2008. Vol. 100. - P. 010401.

19. Capponi, S. Molecular superfluid phase in systems of one-dimensional multicomponent fermionic cold atoms / S. Capponi, G. Roux, P. Le-cheminant, P. Azaria, E. Boulat, S. R. White // Phys. Rev. A.— 2008. Vol. 77. - P. 013624.

20. Zöllner, S. Composite fermionization of one-dimensional Bose-Bose mixtures / S. Zöllner, H.-D. Meyer, P. Schmelcher // Phys. Rev. A. 2008. - Vol. 78. - P. 013629.

21. I skin, M. Two-species fermion mixtures with population imbalance / M. Iskin, C. A. R. S. de Melo // Phys. Rev. Lett. 2006. - Vol. 97. -P. 100404.

22. Ospelkaus, C. Interaction-driven dynamics of 40K 87Rb fermion-boson gas mixtures in the large-particle-number limit / C. Ospelkaus, S. Ospelkaus, K. Sengstock, K. Bongs // Phys. Rev. Lett. — 2006. — Vol. 96.- P. 020401.

23. Cucchietti, F. M. Strong-coupling polarons in dilute gas bose-einstein condensates / F. M. Cucchietti, E. Timmermans // Phys. Rev. Lett. — 2006,-Vol. 96,- P. 210401.

24. Kalas, R. M. Interaction-induced localization of an impurity in a trapped bose-einstein condensate / R. M. Kalas, D. Blume // Phys. Rev. A. 2006. - Vol. 73. - P. 043608.

25. Moritz, H. Confinement Induced Molecules in a ID Fermi Gas / H. Moritz, T. Stöferle, K. Günter, M. Köhl, T. Esslinger // Phys. Rev. Lett. 2005. - Vol. 94. - P. 210401.

26. Sadler, L. E. Spontaneous symmetry breaking in a quenched ferromagnetic spinor Bose-Einstein condensate / L. E. Sadler, J. M. Higbie, S. R. Leslie, M. Vengalattore, D. M. Stamper-Kurn // Nature. — 2006. Vol. 443. - P. 312.

27. Mora, C. Atom-Dimer Scattering for Confined Ultracold Fermion Gases / C. Mora, R. Egger, A. O. Gogolin, A. Komnik // Phys. Rev. Lett. 2004. - Vol. 93. - P. 170403.

28. Mora, C. Three-body problem for ultracold atoms in quasi-one-dimensional traps / C. Mora, R. Egger, A. O. Gogolin // Phys. Rev.

29. A. 2005. - Vol. 71. - P. 052705.

30. Yurovsky, V. A. One-Dimensional Bose Chemistry: Effects of Nonin-tegrability / V. A. Yurovsky, A. Ben-Reuven, M. Olshanii // Phys. Rev. Lett. 2006. - Vol. 96. - P. 163201.

31. Rizzi, M. Pairing of one-dimensional Bose-Fermi mixtures with unequal masses / M. Rizzi, A. Imambekov // Phys. Rev. A. — 2008,— Vol. 77.- P. 023621.

32. Johnson, A. C. Coulomb-Modified Fano Resonance in a One-Lead Quantum Dot / A. C. Johnson, C. M. Marcus, M. P. Hanson, A. C. Gossard // Phys. Rev. Lett. 2004. - Vol. 93. - P. 106803.

33. Slachmuylders, A. F. Trions in cylindrical nanowires with a dielectric mismatch / A. F. Slachmuylders, B. Partoens, W. Magnus, F. M. Peeters // Phys. Rev. B. 2007. - Vol. 76. - P. 075405.

34. Olendski, O. Analytical and numerical study of a curved planar waveguide with combined Dirichlet and Neumann boundary conditions in a uniform magnetic field / O. Olendski, L. Mikhailovska // Phys. Rev.

35. B. 2008. - Vol. 77. - P. 174405.

36. Dash, J. G. Helium films from two to three dimensions / J. G. Dash // Phys. Rep. 1978. - Vol. 38. - P. 177.

37. Hess, H. F. Temperature and Magnetic Field Dependence of Three-Body Recombination in Spin-Polarized Hydrogen / H. F. Hess, D. A.

38. Bell, G. P. Kochanski, D. Kleppner, T. J. Greytak // Phys. Rev. Lett. —1984,-Vol. 52,- P. 1520.

39. Sprik, R. Compression experiments with spin-polarized atomic hydrogen / R. Sprik, J. T. M. Walraven, I. F. Silvera // Phys. Rev. B. —1985.-Vol. 32.-P. 5668.

40. Safonov, A. I. Observation of Quasicondensate in Two-Dimensional Atomic Hydrogen / A. I. Safonov, S. A. Vasilyev, I. S. Yasnikov, I. I. Lukashevich, S. Jaakkola // Phys. Rev. Lett. 1998,— Vol. 81.— P. 4545.

41. Jarvinen, J. Three-body recombination in two-dimensional atomic hydrogen gas / J. Jarvinen, J. Ahokas, S. Jaakkola, S. Vasilyev // Phys. Rev. A. 2005. - Vol. 72. - P. 052713.

42. Каган, Ю. Квадидвумерный спин-поляризованный атомарный водород / Ю. Каган, Г. В. Шляпников, И. А. Вартаньянц, Н. А. Глухов // Письма ЖЭТФ.- 1982,- Vol. 35.- Р. 386.- JETP Lett. 35, 477 (1982).

43. Bruch, L. W. Binding of three identical bosons in two dimensions / L. W. Bruch, J. A. Tjon // Phys. Rev. A. 1979. - Vol. 19. - P. 425.

44. Lim, T. K. Nonexistence of the Efimov effect in two dimensions / T. K. Lim, P. A. Maurone // Phys. Rev. B.- 1980,- Vol. 22.-P. 1467.

45. Petrov, D. S. Superfluid transition in quasi-two-dimensional Fermi gases / D. S. Petrov, M. A. Baranov, G. V. Shlyapnikov // Phys. Rev. A. 2003. - Vol. 67. - P. 031601.

46. Cabral, F. Trimer binding in two dimensions / F. Cabral, L. W. Bruch // /. Chem. Phys. 1979. - Vol. 70. - P. 4669.

47. Tjon, J. A. Bound states of four identical bosons in two dimensions / J. A. Tjon // Phys. Rev. A. 1980. - Vol. 21. - P. 1334.

48. Nielsen, E. Structure and Occurrence of Three-Body Halos in Two Dimensions / E. Nielsen, D. V. Fedorov, A. S. Jensen // Few-Body Syst. 1999. - Vol. 27. - P. 15.

49. Vranjes, L. Helium trimers and tetramers in two dimensions and quasi-two-dimensions / L. Vranjes, S. Kilic // Phys. Rev. A.— 2002. Vol. 65. - P. 042506.

50. Adhikari, S. K. Model independence of scattering of three identical bosons in two dimensions / S. K. Adhikari, A. Delfino, T. Frederico, L. Tomio // Phys. Rev. A. 1993. - Vol. 47. - P. 1093.

51. Adhikari, S. K. Low-energy behavior of few-particle scattering amplitudes in two dimensions / S. K. Adhikari, W. G. Gibson // Phys. Rev. A. 1992. - Vol. 46. - P. 3967.

52. Klemm, A. D. Behaviour of adiabatic potentials in the scattering of three particles / A. D. Klemm, S. Y. Larsen // Few-Body Syst. — 1990,- Vol. 9.-P. 123.

53. Cornean, H. D. On Critical Stability of Three Quantum Charges Interacting Through Delta Potentials / H. D. Cornean, P. Duclos, B. Ri-caud // Few-Body Syst. 2006. - Vol. 38. - P. 125.

54. Mehta, N. P. Three-body recombination in one dimension / N. P. Mehta, B. D. Esry, C. H. Greene // Phys. Rev. A.— 2007,-Vol. 76,- P. 022711.

55. Mehta, N. P. Three bosons in one dimension with short-range interactions: Zero-range potentials / N. P. Mehta, J. R. Shepard // Phys. Rev. A. 2005. - Vol. 72. - P. 032728.

56. Amaya-Tapia, A. Three-Body Phase Shift in One-Dimensional 2 + 1 Scattering / A. Amaya-Tapia, S. Y. Larsen, J. Popiel // Few-Body Syst. 1998. - Vol. 23. - P. 87.

57. Amaya-Tapia, A. Integral representation of one-dimensional three particle scattering for delta function interactions / A. Amaya-Tapia, G. Gasaneo, S. Ovchinnikov, J. H. Macek, S. Y. Larsen // /. Math. Phys. 2004. - Vol. 45. - P. 3533.

58. Salpeter, E. E. Nuclear Reactions in Stars Without Hydrogen / E. E. Salpeter // Astrophys. J. 1952. - Vol. 115. - P. 326.

59. Dunbar, D. N. F. The 7.68-Mev State in C12 / D. N. F. Dunbar, R. E. Pixley, W. A. Wenzel, W. Whaling // Phys. Rev. 1953. - Vol. 92. -P. 649.

60. Cook, C. W. B12, 12C, and the Red Giants / C. W. Cook, W. A. Fowler, C. C. Lauritsen, T. Lauritsen // Phys. Rev. — 1957,— Vol. 107,— P. 508.

61. Kanada-En'yo, Y. Variation after Angular Momentum Projection for the Study of Excited States Based on Antisymmetrized Molecular Dynamics / Y. Kanada-En'yo // Phys. Rev. Lett. 1998. — Vol. 81. — P. 5291.

62. Vary, P. N. J. P. Properties of 12C in the Ab Initio Nuclear Shell Model / P. N. J. P. Vary, B. R. Barrett // Phys. Rev. Lett. 2000. -Vol. 84. - P. 5728.

63. Grigorenko, L. V. Two-proton radioactivity and three-body decay: General problems and theoretical approach / L. V. Grigorenko, R. C. Johnson, I. G. Mukha, I. J. Thompson, M. V. Zhukov // Phys. Rev. C. 2001. - Vol. 64. - P. 054002.

64. Grigorenko, L. V. Two-proton radioactivity and three-body decay. II. Exploratory studies of lifetimes and correlations / L. V. Grigorenko, M. V. Zhukov // Phys. Rev. C. 2003. - Vol. 68. - P. 054005.

65. Clarification of the three-body decay of 12C (12.71 mev) / H. O. U. Fynbo, Y. Prezado, U. C. Bergmann, M. J. G. Borge, P. Den-dooven, W. X. Huang, J. Huikari et al. // Phys. Rev. Lett. 2003. -Vol. 91.- P. 082502.

66. Revised rates for the stellar triple-alpha process from measurement of 12C nuclear resonances / H. O. U. Fynbo, C. A. Diget, U. C. Bergmann, M. J. G. Borge, J. Cederkäll, P. Dendooven, L. M. Fraile et al. // Nature. 2005. - Vol. 433. - P. 136.

67. Garrido, E. Necessary conditions for accurate computations of three-body partial decay widths / E. Garrido, A. S. Jensen, D. V. Fedorov // Phys. Rev. C. 2008. - Vol. 78. - P. 034004.

68. Tohsaki, A. Alpha Cluster Condensation in 12C and 160 / A. Tohsaki, H. Horiuchi, P. Schuck, G. Röpke // Phys. Rev. Lett. 2001.-Vol. 87,- P. 192501.

69. Yamada, T. Dilute multi-alpha cluster states in nuclei / T. Yamada, P. Schuck // Phys. Rev. C. 2004. - Vol. 69. - P. 024309.

70. Funaki, Y. Resonance states in 12C and ce-particle condensation / Y. Funaki, A. Tohsaki, H. Horiuchi, P. Schuck, G. Röpke // Eur. Phys. J. A.- 2005. Vol. 24. - P. 321.

71. Funaki, Y. Inelastic form factors to alpha-particle condensate states in 12C and 160: What can we learn? / Y. Funaki, A. Tohsaki, H. Horiuchi, P. Schuck, G. Röpke // Eur. Phys. J. A.- 2006. Vol. 28. - P. 259.

72. Chernykh, M. Structure of the Hoyle State in 12C / M. Chernykh, H. Feldmeier, T. Neff, P. von Neumann-Cosel, A. Richter // Phys. Rev. Lett. 2007. - Vol. 98. - P. 032501.

73. Portilho, 0. Three-body potential among alpha particles / O. Portilho, D. Agrello, S. Coon // Phys. Rev. C. 1983. - Vol. 27. - P. 2923.

74. Langanke, K. The triple-alpha-reaction at low temperatures / K. Langanke, M. Wiescher, F.-K. Thielemann // Z. Phys. A. — 1986. — Vol. 324. P. 147.

75. Descouvemont, P. Microscopic theory of the 8Be(a,7)12C reaction in a three-cluster model / P. Descouvemont, D. Baye // Phys. Rev. C. — 1987,- Vol. 36,- P. 54.

76. Fedorov, D. V. The three-body continuum Coulomb problem and the 3a structure of 12C / D. V. Fedorov, A. S. Jensen // Phys. Lett. B. — 1996,-Vol. 389.-P. 631.

77. Pichler, P. Three-alpha structures in 12C / P. Pichler, H. Oberhummer, A. Csoto, S. A. Moszkowski // Nucl. Phys. A. — 1997,— Vol. 618.- P. 55.

78. Филихин, H. H. 0^-резонанс ядра 12C в кластерной модели о;8Ве / Н. Н. Филихин // ЯФ. 2000. - Vol. 63. - Р. 1612.

79. Филихин, Н. Н. Ядро 160 в кластерной модели 4а / Н. Н. Филихин, С. Л. Яковлев // ЯФ. 2000. - Vol. 63. - Р. 409.

80. Tursunov, Е. М. Comparative variational studies of 0+ states in three-a models / E. M. Tursunov, D. Baye, P. Descouvemont // Nucl. Phys. A. 2003. - Vol. 723. - P. 365.

81. Fedotov, S. I. За-cluster structure of the 0+ states in 12C and the effective a —a interactions / S. I. Fedotov, О. I. Kartavtsev, V. I. Kochkin, A. V. Malykh // Phys. Rev. C. 2004. - Vol. 70. - P. 014006.

82. Kurokawa, C. New broad 0+ state in 12C / C. Kurokawa, K. Kato // Phys. Rev. C. 2005. - Vol. 71. - P. 021301 (R).

83. Itagaki, N. Simplified method to include the tensor contribution in a-cluster model / N. Itagaki, H. Masui, M. Ito, S. Aoyama, , K. Ikeda // Phys. Rev. C. 2006. - Vol. 73. - P. 034310.

84. Filikhiri, I. 0+ states of the 12C nucleus: the Faddeev calculation in configuration space / I. Filikhin, V. M. Suslov, B. Vlahovic // /. Phys. G. 2005. - Vol. 31. - P. 1207.

85. Fedotov, S. I. Effective three-body interactions in the ce-cluster model for the 12C nucleus / S. I. Fedotov, O. I. Kartavtsev, A. V. Malykh // Eur. Phys. J. A.- 2005. Vol. 26. - P. 201.

86. Kartavtsev, O. I. Multi-Cluster Decay of Atomic Nuclei / O. I. Kartavtsev // Few-Body Syst. 2004. - Vol. 34. - P. 39.

87. Limits for the 3a branching ratio of the decay of the 7.65 MeV, 0^ state in 12C / M. Freer, A. H. Wuosmaa, R. R. Betts, D. J. Henderson, P. Wilt, R. W. Zurmuhle, D. P. Balamuth et al. // Phys. Rev. C. -1994.-Vol. 49,- P. R1751.

88. Cameron, A. G. W, Pycnonuclear Reations and Nova Explosions / A. G. W. Cameron // Astrophys. J. ~ 1959. Vol. 130. - P. 916.

89. Nomoto, K. The triple alpha reaction at low temperatures in accreting white dwarfs and neutron stars / K. Nomoto, F.-K. Thielemann, S. Miyaji // Astron. Astrophys. 1985. - Vol. 149. - P. 239.

90. Fushiki, I. S-matrix calculation of the triple-alpha reaction / I. Fushiki,

91. D. Q. Lamb // Astrophys. J. 1987. - Vol. 317. - P. 368.

92. Schramm, S. Pycnonuclear triple-alpha fusion rates / S. Schramm, K. Langanke, S. E. Koonin // Astrophys. J. 1992. - Vol. 397. -P. 579.

93. Macek, J. H. Properties of autoionizing states of He / J. H. Macek // /. Phys. B. 1968. - Vol. 1. - P. 831.

94. Demkov, Y. N. Zero-range potentials and their applications in atomic physics / Y. N. Demkov, V. N. Ostrovskii. — New York: Plenum Press, 1988.

95. Wodkiewicz, K. Fermi pseudopotential in arbitrary dimensions / K. Wodkiewicz // Phys. Rev. A. 1991. - Vol. 43. - P. 68.

96. Idziaszek, Z. Pseudopotential Method for Higher Partial Wave Scattering / Z. Idziaszek, T. Calarco // Phys. Rev. Lett.— 2006.— Vol. 96.- P. 013201.

97. Braaten, E. Universality in the three-body problem for 4He atoms /

98. E. Braaten, H.-W. Hammer 11 Phys. Rev. A. 2003.- Vol. 67,-P. 042706.

99. Hammer, H.-W. Universal Properties of Two-Dimensional Boson Droplets / H.-W. Hammer, D. T. Son // Phys. Rev. Lett. 2004. -Vol. 93,- P. 250408.

100. Kartavtsev, О. I. Universal description of the He3 system at low energy / О. I. Kartavtsev // Few-Body Syst. Suppl. 1999. - Vol. 10. -P. 199.

101. Kartavtsev, О. I. Universal low-energy properties of three two-dimensional bosons / О. I. Kartavtsev, A. V. Malykh // Phys. Rev. A. 2006. - Vol. 74. - P. 042506.

102. Kartavtsev, О. I. Low-energy three-body dynamics in binary quantum gases / О. I. Kartavtsev, A. V. Malykh /¡ J. Phys. B. 2007. -Vol. 40. - P. 1429.

103. Картавцев, О. И. Универсальный колебательно-вращательный спектр трех частиц с контактными взаимодействиями / О. И. Картавцев, А. В. Малых // Письма ЖЭТФ. 2007. - Vol. 86. -Pp. 713-717,- JETP Lett., 86, 10, 625-629, (2007).

104. Kartavtsev, О. I. Universal three-body dynamics in binary mixtures of ultra-cold atoms / О. I. Kartavtsev, A. V. Malykh // to be published in Few Body Syst. — 2008.

105. Ферми, Э. / Э. Ферми. — Москва: Наука, 1971. — Р. 611. — Перевод Е. Fermi, Nuova cim. 11, 157, (1934).

106. Bollé, D. Scattering observables in arbitrary dimension n > 2 / D. Bollé, F. Gesztesy // Phys. Rev. A. 1984. - Vol. 30. - P. 1279.

107. Скорняков, Г. В. Задача трех тел при короткодействующих силах. Рассеяние нейтронов малой энергии дейтонами / Г. В. Скорняков, К. А. Тер-Мартиросян // ЖЭТФ. 1956. - Vol. 31. - Р. 775.

108. Минлос, Р. А. О точечном взаимодействии системы из трех частиц в квантовой механике / Р. А. Минлос, JI. Д. Фаддеев // Доклады АН СССР. 1961.-Vol. 141.-Pp. 1335-1338.

109. Минлос, Р. А. Замечания о задаче трех тел с точечным взаимодействием / Р. А. Минлос, J1. Д. Фаддеев // ЖЭТФ. — 1961. Vol. 41.- Pp. 1850-1851.

110. Efimov, V. Energy levels arising from resonant two-body forces in a three-body system / V. Efimov // Phys. Rev. B. 1970. - Vol. 33. -P. 563.

111. Ефимов, В. Слабосвязанные состояния трех резонансно взаимодействующипх частиц / В. Ефимов // ЯФ,— 1970. — Vol. 12. Р. 1080.

112. Efimov, V. Energy levels of three resonantly interacting particles / V. Efimov // Nucl. Phys. A. 1973. - Vol. 210. - P. 157.

113. Jensen, A. S. Efimov states in asymmetric systems / A. S. Jensen, D. V. Fedorov // Europhys. Lett 2003. - Vol. 62. - P. 336.

114. Ovchinnikov, Y. N. Number of bound states of three-body systems and efimov's effect / Y. N. Ovchinnikov, I. M. Sigal // Ann. Phys. — 1979,-Vol. 123.-P. 274.

115. Шерматов, M. X. О точечном взаимодействии двух фермионов и одной частицы иной природы / М. X. Шерматов // ТМФ. — 2003. — Vol. 136. Р. 257,- Theor. Math. Phys. 136, 1119, 2003.

116. Яфаев, Д. Р. К теории дискретного спектра трехчастичного оператора шредингера / Д. Р. Яфаев // Машем, сб.— 1974. — Vol. 94. Р. 567.

117. Яфаев, Д. Р. О конечности дискретного спектра трехчастичного оператора шредингера / Д. Р. Яфаев // ТМФ. — 1975. — Vol. 25. — Р. 185.

118. Thomas, L. Н. The interaction between a neutron and a proton and the structure of H3 / L. H. Thomas // Phys. Rev. 1935. - Vol. 47. -P. 903.

119. Данилов, Г. К задаче трех тел при короткодействующих силах / Г. Данилов // ЖЭТФ. 1961. - Vol. 40. - Р. 498.

120. Павлов, Б. Модель потенциала нулувого радиуса с внутренней структурой / Б. Павлов // ТМФ. 1984. - Vol. 59. - Р. 345.

121. Шондин, Ю. Г. К задаче трех частиц с ¿»-потенциалами / Ю. Г. Шондин // ТМФ. 1982. - Vol. 51. - Р. 181.

122. Albeverio, S. A class of exactly solvable three-body quantum mechanical problems and the universal low energy behavior / S. Albeverio, R. Hoegh-Krohn, Т. T. Wu // Phys. Lett. A. — 1981.- Vol. 83.-P. 1053.

123. Richard, J.-M. Limits on the Domain of Coupling Constants for Binding iV-Body Systems with No Bound Subsystems / J.-M. Richard, S. Fleck // Phys. Rev. Lett. 1994. - Vol. 73. - P. 1464.

124. Li, Y. Halo state in realistic molecular systems / Y. Li, Q. Gou, T. Shi // Phys. Rev. A. 2006. - Vol. 74. - P. 032502.

125. D'Incao, J. P. Mass dependence of ultracold three-body collision rates / J. P. D'Incao, B. D. Esry // Phys. Rev. A. 2006. - Vol. 73. -P. 030702(R).

126. Petrov, D. S. Scattering properties of weakly bound dimers of fermion-ic atoms / D. S. Petrov, C. Salomon, G. V. Shlyapnikov // Phys. Rev. A. 2005. - Vol. 71. - P. 012708.

127. McGuire, J. B. Study of Exactly Soluble One-Dimensional N-Body Problems / J. B. McGuire // /. Math. Phys.- 1964,- Vol. 5.-P. 622.

128. Lieb, E. H. Exact Analysis of an Interacting Bose Gas. I. The General Solution and the Ground State / E. H. Lieb, W. Liniger // Phys. Rev. 1963. - Vol. 130. - P. 1605.

129. Li, Y.-Q. Exact results of the ground state and excitation properties of a two-component interacting Bose system / Y.-Q. Li, S.-J. Gu, Z.-J. Ying, U. Eckern // Europhys. Lett. 2003. - Vol. 61. - P. 368.

130. Girardeau, M. D. Soluble Models of Strongly Interacting Ultracold Gas Mixtures in Tight Waveguides / M. D. Girardeau, A. Minguzzi // Phys. Rev. Lett. 2007. - Vol. 99. - P. 230402.

131. Zvonarev, M. B. Spin Dynamics in a One-Dimensional Ferromagnetic Bose Gas / M. B. Zvonarev, V. V. Cheianov, T. Giamarchi // Phys. Rev. Lett. 2007. - Vol. 99. - P. 240404.

132. Guan, X.-W. Ferromagnetic behavior in the strongly interacting two-component Bose gas / X.-W. Guan, M. T. Batchelor, M. Takahashi // Phys. Rev. A. 2007. - Vol. 76. - P. 043617.

133. Simon, B. The Bound State of Weakly Coupled Schrodinger Operators in One and Two Dimensions / B. Simon // Ann. Phys. — 1976.— Vol. 97. P. 279.

134. Blume, D. Threshold behavior of bosonic two-dimensional few-body systems / D. Blume // Phys. Rev. B. 2005. - Vol. 72. - P. 094510.

135. Adhikari, S. K. Efimov and Thomas effects and the model dependence of three-particle observables in two and three dimensions / S. K. Adhikari, A. Delfino, T. Frederico, I. D. Goldman, L. Tomio // Phys. Rev. A. 1988. - Vol. 37. - P. 3666.

136. Fedorov, D. V. Efimov effect in coordinate space Faddeev equations / D. V. Fedorov, A. S. Jensen // Phys. Rev. Lett. 1993. — Vol. 71. — P. 4103.

137. Platter, L. Universal Properties of the Four-Boson System in Two Dimensions / l. Platter, H.-W. Hammer, U.-G. Meißner // Few-Body Syst. 2004. - Vol. 35. - P. 169.

138. Nielsen, E. Three-body halos in two dimensions / E. Nielsen, D. V. Fedorov, A. S. Jensen // Phys. Rev. A. 1997. - Vol. 56. - P. 3287.

139. Bateman, H. Higher transcendental functions / H. Bateman, A. Erdélyi. — New York Toronto - London: Mc Graw-Hill, 1953.

140. Nielsen, E. The three-body problem with short-range interactions /

141. E. Nielsen, D. V. Fedorov, A. S. Jensen, E. Garrido // Phys. Rep. — 2001.-Vol. 347.-P. 373.

142. Esry, B. D. Threshold laws for three-body recombination / B. D. Es-ry, C. H. Greene, H. Suno // Phys. Rev. A. — 2001.- Vol. 65.— P. 010705.

143. Pen'kov, F. iVi. Lifetime of efimov states of negative two-atom ions /

144. F. M. Pen'kov // Phys. Rev. A. 1999. - Vol. 60. - P. 3756.

145. Girardeau, M. Relationship between Systems of Impenetrable Bosons and Fermions in One Dimension / M. Girardeau //J. Math. Phys. — I960. Vol. 1,- P. 516.

146. Gaudin, M. Solution exacte d'un probleme modele a trois corps. Etat lié / M. Gaudin, B. Derrida // /. Phys. (Paris). 1975. - Vol. 36. -P. 1183.

147. Rosenthal, C. M. Solution of the Delta Function Model for Heliumlike Ions / C. M. Rosenthal // J. Chem. Phys. — 1971. Vol. 55. -P. 2474.

148. Verhaar, B. J. Scattering length and effective range for scattering in a plane and in higher dimensions / B. J. Verhaar, L. P. H. de Goey, J. P. H. W. van den Eijnde, E. J. D. Vredenbregt // Phys. Rev. A.— 1985.-Vol. 32,- P. 1424.

149. O'Malley, Т. F. Modification of Effective-Range Theory in the Presence of a Long-Range (r~4) Potential / T. F. O'Malley, L. Spruch, L. Rosenberg // /. Math. Phys. 1961. - Vol. 2. - P. 491.

150. Voronin, A. Y. Quantum motion of a neutron in a waveguide in the gravitational field / A. Y. Voronin, H. Abele, S. Bae/31er, V. V. Nesvizhevsky, A. K. Petukhov, К. V. Protasov, A. Westphal // Phys. Rev. D. 2006. - Vol. 73. - P. 044029.

151. Соловьев, E. А. Неадибатические переходы в атомных столкновениях / Е. А. Соловьев // УФН,— 1989.— Vol. 157. — Р. 437.

152. Stolyarov, А. V. Analog of the Hellmann-Feynman theorem in multichannel quantum-defect theory / A. V. Stolyarov, M. S. Child // Phys. Rev. A. 2001. - Vol. 63. - P. 052510.

153. Ali, S. Phenomenological a — a potentials / S. Ali, A. R. Bodmer // Nucl. Phys. 1966. - Vol. 80. - P. 99.

154. Sick, I. Precise root-mean-square radius of 4He / I. Sick // Phys. Rev. C. 2008. - Vol. 77. - P.:041302.

155. Ajzenberg-Selove, F. Energy levels of light nuclei A = 5-10 / F. Ajzenberg-Selove // Nucl. Phys. A. 1988. - Vol. 490. - P. 1.

156. Atomic effects on a-a scattering to the 8Be ground state / S. Wustenbecker, H. W. Becker, H. Ebbing, W. H. Schulte, M. Berhei-de, M. Buschmann, C. Rolfs et al. // Z. Phys. A.- 1992. — Vol. 344. P. 205.

157. Ajzenberg-Selove, F. Energy levels of light nuclei A = 11-12 / F. Ajzenberg-Selove // Nucl. Phys. A. 1990. - Vol. 506. - P. 1.

158. Offermann, E. A. J. M. Energy dependence of the form factor for elastic electron scattering from 12C / E. A. J. M. Offermann, L. S. Cardman, C. W. de Jager, H. Miska, C. de Vries, H. de Vries // Phys. Rev. C. 1991. - Vol. 44. - P. 1096.

159. Reuter, W. Nuclear charge distribution and rms radius of 12C from absolute elastic electron scattering measurements / W. Reuter, G. Fricke, K. Merie, H. Miska // Phys. Rev. C. 1982. - Vol. 26. - P. 806.

160. Starace, A. F. Atomic hydrogen in a uniform magnetic field: Low-lying energy levels for fields below 109 G / A. F. Starace, G. L. Webster // Phys. Rev. A. 1979. - Vol. 19. - P. 1629.

161. Coelho, H. T. Proof of basic inequalities in the hyperspherical formalism for the N-body problem / H. T. Coelho, J. E. Hornos // Phys. Rev. A. 1991. - Vol. 43. - P. 6379.

162. Smith, F. T. A Symmetric Representation for Three-Body Problems. I. Motion in a Plane / F. T. Smith // J. Math. Phys. 1962. - Vol. 3. -P. 735.

163. Dragt, A. J. Classification of Three-Particle States According to Sty3 / A. J. Dragt // J. Math. Phys. 1965. - Vol. 6. - P. 533.