Численное исследование влияния инверсии плотности на конвекцию холодной воды в квадратной полости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Список иллюстраций

Список обозначений.

Введение.

Глава 1. Обзор литературы.

1.1 Инверсия плотности.

1.2 Наклон полости

1.3 Смешанная конвекция в полости.

1.4 Решения с колебаниями.

1.5 Прочие публикации.

1.6 Выводы к главе 1.

Глава 2. Тесты

2.1 Сравнение с работой [52].

2.2 Сравнение с работой [53].

2.3 Сравнение с работой [41].

2.4 Тесты на численную сходимость на различных сетках

2.5 Выводы к главе

Глава 3. Общая математическая модель.

Глава 4. Естественная конвекция в наклонной квадратной полости с холодной водой.

4.1 Постановка задачи.'.

4.2 Метод получения стационарных решений.

4.3 Анализ результатов расчётов.

4.4 Сравнение с результатами других авторов

4.5 Выводы к главе

Глава 5. Смешанная конвекция в квадратной полости с холодной водой.

5.1 Постановка задачи.

5.2 Метод получения стационарных решений.

5.3 Анализ результатов расчётов.

5.4 Выводы к главе

Глава 6. Автоколебательные решения.

6.1 Постановка задачи.

6.2 Анализ результатов расчётов.

Список иллюстраций

2.1 Сравнение тестовых расчётов с результатами, опубликованными М. К. Moallemi и К. S. Jang.

2.2 Сравнение тестовых расчётов с результатами авторов

R. Iwatsu, J. М. Hyun, К. Kuwahara. Картина течений.

2.3 Сравнение тестовых расчётов с результатами авторов

R. Iwatsu, J. М. Hyun, К. Kuwahara. Профили скоростей.

2.4 Тест по работе Н. Inaba и Т. Fukuda для задачи о естественной конвекции в наклонной полости. Приводится сравнение картин течения.■.

2.5 Тест для задачи о естественной конвекции в наклонной полости. Приводится зависимость Ати(ф) для сеток 39 х

39 и 76 х 76.

3.1 Начальные условия (угол наклона ф = 0, скорость движения верхней стенки Re = 0).

4.1 Расчётная область и система координат для задачи о наклонной полости.

4.2 Зависимость Nu(<f>)\ (1) для различных значений Gr

2) подробно - для Gr = 5 ■ 103.

4.3 Схематичное изображение типов конвекции.

4.4 Иллюстрация симметрии задачи: картины течений для четырёх значений угла наклона полости (Gr = 104)

4.5 Зависимость Ми(ф) для Gr = 2 • 104.

4.6 Зависимость Nu{r) на горячей и холодной стенках для Gr = 10'1. Область скачка при прямом ходе в районе первого гистерезиса.

4.7 Зависимость Nu{r) на горячей и холодной стенках для Gr = 104. Область скачка при обратном ходе в районе первого гистерезиса.

4.8 Зависимость Nu(r) на горячей и холодной стенках для Gr = 3 -103. Показана область скачка с нижней ветви на верхнюю.

4.9 Зависимость Ыи{ф) для Gr = 3 • 103.

4.10 Зависимость Ыи{ф) для симметричных и для несимметричных граничных условий по температуре.

4.11 Результаты, представленные авторами Inaba и Fukuda

5.1 Расчётная область и система координат для задачи о движущейся верхней стенке.

5.2 Зависимость Nu(Re) для Gr = 5 • 103. Приведены схематичные изображения функции тока.

5.3 Зависимость Nu(Re) для Gr = 4 • 103 (а) и Gr = 1,5 • 104:

5.4 Эволюция зависимости Nu(Re) с увеличением числа Грасгофа.

5.5 Бифуркация в жидкости с линейной зависимостью плотности от температуры.

6.1 Зависимость Nu(r) на горячей и холодной стенках для

Gr = 2 • 10 '. Re = 300.

6.2 Зависимость Nu(r) на горячей и холодной стенках для

Gr = 2 • 105, Re = 400.

6.3 Зависимость Nu{r) на горячей и холодной стенках для

Gr = 2 ■ 105, R,e = 500.

6.4 Зависимость Nu(r) на горячей и холодной стенках для

Gr 2- 105, Re = 1000.

Латинские символы е9 единичный вектор, указывающий направление силы тяжести, е9 = (sin ф. — cos ф) g вектор ускорения свободного падения

9 модуль вектора g

L характерный размер полости

Р давление р' конвективная добавка к гидростатическому давлению t время

Т х.;у температура Декартовы координаты

V вектор скорости, v = (u,v)

Gr модифицированное число Грасгофа, Gr = где b = 1,

Nu число Нуссельта, Nu = Nu-h = Nuc в стационарном состоянии

Nuc число Нуссельта на холодной (верхней) стенке,

Nuh число Нуссельта на горячей (нижней) стенке, №". = -Jo (f)^o^

Pr число Прандтля, Рг =

P безразмерное давление, Р = ь*пcos^)L

Re число Рейнольдса, Re = Uc, где Uc - скорость движения верхней стенки

XX безразмерные декартовы координаты, X = Y = |

V безразмерный вектор скорости V = (U.V), где U = ^ и V = — и

Греческие символы a коэффициент температуропроводности р коэффициент температурного расширения, = 9,297173 ■ т безразмерное время, г = ^

Г] динамическая вязкость

В безразмерная температура, 0 = ^-т

V кинематическая вязкость р плотность

Рт, максимум плотности воды, рт = 999,972 кг/м

Ф угол наклона полости

Нижние индексы с на холодной стенке h на тёплой стенке т в точке инверсии плотности cl, hi локальные величины на соответствующих стенках (например, Nuci и Nuui)

Актуальность темы. Настоящая работа посвящена исследованию конвекции в квадратной полости с холодной водой. Задача рассматривалась в двух постановках: с переменным углом поворота полости (а) и с движущейся верхней стенкой (б).

Задача о наклонной полости встречается при проектировании солнечных батарей, в различных теплообменниках.

Задача с движущейся верхней стенкой применима для расчётов конвекции в водоёмах, на поверхности которых дует ветер, или по поверхности которых движется лёд; при производстве стекла (лист стекла скользит по поверхности охлаждающей жидкости), в производстве различных плёнок.

Как показывают многочисленные публикации (см. Главу 1: "Обзор литературы"), наличие экстремума в зависимости плотности жидкости от температуры значительно усложняет структуру конвективных течений. Типичным представителем класса жидкостей с экстремумом плотности является вода, которая имеет максимум плотности при температуре 4°С.

Задачи (а) и (б) объединяет тот факт, что для них удалось выявить гистерезис в поведении стационарных решений. Гистерезис — (от греч. hysteresis — отставание, запаздывание) — явление, которое состоит в том, что физическая величина, характеризующая состояние тела в данный момент времени, неоднозначно зависит от физической величины, характеризующей внешние условия. Наблюдается в тех случаях, когда состояние тела в данный момент определяется внешними условиями не только в тот же момент времени, но и в предыдущие моменты. Неоднозначная зависимость величин наблюдается в любых процессах, т. к. для изменения состояния тела всегда требуется определённое время (время релаксации) и реакция тела отстаёт по времени от начала вызвавшего её воздействия. Такое отставание тем меньше, чем медленнее изменяются внешние условия. Однако для некоторых процессов отставание при замедлении изменения внешних условий не уменьшается. В этих случаях неоднозначную зависимость величин называют гистрезисной, а само явление — гистерезисом. Наблюдается гистерезис при различных процессах (существуют примеры с гистерезисной зависимостью из областей экономики, медицины и др.) Наиболее известны магнитный, сегнетоэлектрический и упругий гистерезис.

При решении проблем, связанных с конвективным теплообменом, в настоящее время активно используются численные методы. В представленной работе для моделирования процессов теплопереноса использовался метод контрольного объёма. Уравнения гидродинамики решались с помощью алгоритма SIMPLER [1].

Целью данной работы являлось численное моделирование и исследование процессов конвективного теплообмена в замкнутых полостях, заполненных жидкостью, у которой зависимость плотности от температуры имеет максимум на рассматриваемом промежутке температур; исследование характера трансформаций, происходящих в стационарных решениях при постепенном изменении управляющих параметров задачи.

В работе защищаются результаты исследования следующих процессов:

1. Естественной стационарной конвекции в наклонной квадратной полости с холодной водой;

2. Смешанной конвекции в холодной воде в квадратной полости с движущейся верней стенкой.

Под холодной водой здесь и далее будем понимать воду с температурой близкой к точке инверсии плотности.

Новизна данной работы заключается в следующем

1. Произведены исследования естественной конвекции в наклонной квадратной полости и смешанной конвекции в квадратной полости для холодной воды вблизи точки инверсии плотности. Исследования проводились методом продолжения по параметру, с небольшим шагом по параметру.

2. В рамках математической модели естественной конвекции в приближении Буссинеска с учётом инверсии плотности жидкости обнаружено явление гистерезиса. Проведено подробное его исследование. Установлено, что за это явление в данной задаче отвечает инверсия плотности.

3. Обнаружено, что автоколебательное решение, свойственное задаче о смешанной конвекции при больших значениях числа Грасго-фа Gr при достаточно большой скорости движения верхней стенки трансформируется в стационарное.

Достоверность результатов обусловлена использованием методов механики сплошных сред при разработке математических моделей тепло- и массопереноса и их физической и математической непротиворечивостью в рамках физических законов. Результаты численных расчётов подтверждаются тестовыми расчётами, экспериментальными и теоретические работами других авторов.

Практическое значение работы. Результаты данной работы позволяют лучше понять процессы формирования стационарных течений в полостях, заполненных жидкостью, температура которой близка к точке инверсии плотности (на примере холодной воды). Они могут быть использованы при проектировании различных теплообменников, солнечных батарей и т.д.

Апробация работы и публикации. Основные результаты работы докладывались на:

• конференция СНТ'01 (Second International Symposium on Advances in Computational Heat Transfer, Palm Cove, Queensland, Australia, 2001)

• XIII Школа-семинар молодых учёных и специалистов под руководством академика А. И. Леонтьева «Физические основы экспериментального и математического моделирования процессов газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках» (Санкт-Петербург, 2001)

• VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001)

• конференции молодых учёных (Сургут)

• семинар в МФТИ под руководством профессора Э. Е. Сона (Москва)

• семинары лаборатории математического моделирования Сургутского государственного университета под руководством профессора П. Т. Зубкова (Сургут)

По результатам диссертации опубликовано 8 печатных работ [2-9].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения, содержит 101 страницу, 26 рисунков, 1 таблицу, библиографию из 74 наименований.

6.3 Выводы к главе 6

Проведённый численный эксперимент подтвердил предположение о том, что при достаточно большой скорости движения верхней стенки автоколебательные решения могут перейти в стационарные. Показано, что с увеличением числа Грасгофа сохраняется обнаруженная ранее тенденция к увеличению области, в которой влияние естественной и вынужденной конвекций сопоставимы.

6.4. Зависимость чисел Nu на горячей и холодной стенках от безразмерного времени г 1000.

Заключение

1. Проведено численное исследование естественной конвекции в наклонной квадратной полости с холодной водой. Исследование проводилось для ряда значений числа Грасгофа из диапазона 3,5 • 103 -т- 2 • 104. Построены графики зависимости Ыи(ф) с приведёнными на них схематичными изображениями картин течений. Для ряда значений угла наклона полости ф приведены графики, иллюстрирующие процесс выхода на стационар. В ходе исследований был обнаружен эффект гистерезиса в поведении стационарных решений и зависимости ЛГи(<£). Показано, что выбор симметричных относительно точки инверсии плотности граничных условий оказывает существенное влияние на интенсивность конвективных течений в полости, а также на существование гистерезиса.

2. Проведено численное исследование смешанной конвекции в квадратной полости с холодной водой под влиянием скользящей верхней границы. Исследование проведено для чисел Грасгофа Gr : 3,5 • 103 -г 3 • 104 и для чисел Рейнольдса в диапазоне (О ^ Re < 300). Приведены графики зависимости iV?/(Re) со схематичными картинами течений. Показано, что наличие экстремума плотности при одновременном влиянии естественной и вынужденной конвекции приводит к более сложному развитию течений, чем в случае линейной жидкости; при наличии только естественной или только вынужденной конвекции. Зависимость Nu(Re) имеет сложный нелинейный вид с локальными максимумами и минимумами и несколькими ветвями решений. В этой задаче также был обнаружен эффект гистерезиса.

3. Проведено исследование влияния движущейся верхней стенки на автоколебательное решение. Исследование проводилось для числа Грасгофа Gr = 2 • 105. Показано, что колебания, присущие естественноконвективному решению для этого числа Грасгофа, при достаточно больших скоростях движения верхней границы подавляются, и удаётся получить стационарное решение. Приведены графики зависимости Nu(Re) и картины течений, иллюстрирующие выход на стационарное или автоколебательное решение.

1. Патанкар С. Численные методы задач теплообмена и динамики жидкости // М.: Энергоатомиздат, -1984

2. Гореликов А. В., Зубков П. Т., Моргун Д. А. Смешанная конвекция чистой воды в квадратной ячейке с движущейся верхней стенкой // Математическое Моделирование -2000, -Т.12, вып.8. -С. 69-76

3. Гореликов А. В., Зубков П. Т., Моргун Д. А. Численное исследование конвекции воды вблизи экстремума плотности в квадратной полости с движущейся верхней стенкой // Изв. РАН. МЖГ. -2001, вып.2. -С. 23-28

4. Kalabin Е. V., Morgun D. A., Zubkov Р. Т. Hysteresis phenomena in the problem of cold water natural convection in a square cavity // Proc. of CHT'01 -2001, -Vol.2, -P. 827-834

5. Зубков П. Т., Моргун Д. А. Конвекция холодной воды в квадратной ячейке с движущейся верхней стенкой // Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Екатеринбург: УрО РАН -2001, -С. 281

6. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости // М.: Наука, -1972

7. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Непомнящих А. А. Устойчивость конвективных течений // М.: Наука, -1989

8. Тарунин Е. J1. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции // Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, -1990

9. Гебхарт В., Джалурия И., Махаджан Р., Саммакия Б. Свободно-конвективные течения, тепло- и массообмен, в 2-х кн. // М: Мир, -1991

10. Braga S. L., Viskanta R. Transient natural convection of water near its density extremum in a rectangular cavity // Int. J. Heat Mass Transfer -1992, -Vol.35, No.4. -P. 861-875

11. Gebhart В., Mollendorf J. A new density relation for pure and saline water // Deep-Sea Res. -1977, -Vol.24, No.9. -P. 83R848

12. Форбс , Купер Естественная конвекция в горизонтальном слое воды при охлаждении сверху до температуры, близкой к точке замерзания // Теплопередача вып.1. -С. 46-52

13. Gilpin R. R. Cooling of a horizontal cylinder of water through its maximum density point at 4°C // Int. J. Heat Mass Transfer -1975, -Vol.18, -P. 1307-1315

14. Gobin D., Bennacer R. Double diffusive natural convection in aqueous solutions near the density maximum // Int. Comm. Heat Mass Transfer -1996, -Vol.23, No.7. -P. 971-982

15. Higgins J. M., Gebhart B. The stability of vertical buiyancy-induced flow in cold water // J. Heat Transfer -1983, -Vol.105, -P. 767-773

16. Ho C. J., Chiou S. P., Ни C. S. Heat transfer characteristics of a rectangular natural circulation loop containing water near its density extreme // Int. J. of Heat and Mass Transfer -1997, -Vol.40, No.15. -P. 3553-3558

17. Ho C. J., Lin Y. H. Laminar natural convection of cold water enclosed in a horizontal annulus with mixed boundary conditions // Int. J. Heat Mass Transfer -1988, -Vol.31, No.10. -P. 2113-2121

18. Ho C. J., Lin Y. H. Natural convection of cold water in a vertical annulus with constant heat flux on the inner wall //J. Heat Transfer, Trans. ASME -1990, -Vol.112, -P. 117-123

19. Hoizbecher Ekkehard Numerical studies on thermal convection in cold groundwater // Int. J. Heat Mass Transfer -1997, -Vol.40, No.3. -P. 605-612

20. Qureshi Z. H., Gebhart B. The stability of vertical thermal buoyancy induced flows in cold pure and saline water // Int. J. Heat Mass Transfer -1986, -Vol.29, No.9. -P. 1383-1392

21. Joshi Y., Gebhart B. Measurements and visualizations of transient and steady-state vertical natural convection flow in cold water // Int. J. Heat Mass Transfer -1986, -Vol.29, No.11. -P. 1723-1740

22. Kwak Ho Sang, Kuwahara Kunio, Hyun Jae Min Convective cool-down of a contained fluid through its maximum density temperature // Int. J. Heat Mass Transfer -1998, -Vol.41, No.2. -P. 323-333

23. Lankford К. E., Bejan A. Natural convection in a vertical enclosurefilled with water near 4°C // J. Heat Transfer, Trans. ASME -1986, -Vol.108, -P. 755-763

24. Моллендорф , Джэн Возникновение конвекции в горизонтальном слое холодной воды // Теплопередача -1983, -Т.105, вып.З. -С. 37-42

25. Nishimura Т., Wake A., Fukumori Е. Natural convection of water near the density extremum for a wide range of Rayleigh numbers // Numerical Heat Transfer -1995, -Vol.A, No.27. -P. 433-449

26. Vasseur P., Robillard L. Transient natural convection heat transfer in a mass of water cooled through 4°C // Int. J. Heat Mass Transfer -1980, -Vol.23, -P. 1195-1205

27. Робиллар , Вассер Нестационарный теплообмен при естественной конвекции воды с учетом эффектов максимума плотности и переохлаждения // Теплопередача -1981, -Т.103, вып.З. -С. 149-156

28. Robillard L., Vasseur P. Convective response of a mass of water near 4°C to a constant cooling rate applied on its boundaries // J. Fluid Mech. -1982, -Vol.118, -P. 123-141

29. Mamou M., Robillard L., Vasseur P. Thermoconvective instability in a horizontal porous cavity saturated with cold water // Int. J. Heat Mass Transfer -1999, -Vol.42, -P. 4487-4500

30. Родионов С. П. Естественная конвекция воды в нагреваемой снизу замкнутой трёхмерной прямоугольной полости вблизи точки инверсии плотности // Тр. 2-й Рос. нац. конф. по теплообмену. М.: МЭИ -1998, -Т.З, -С. 136-140

31. Sasaguchi К., Kuwabara К., Kusano К., Kitagawa Н. Transient cooling of water around a cylinder in a rectangular cavity a numerical analysis of the effect of the position of the cylinder // Int. J. Heat Mass Transfer -1998, -Vol.41, -P. 3149-3156

32. Seki N., Fukusako S., Nakaoka M. Experimental study on natural convection heat transfer with density inversion of water between two horizontal concentric cylinders // J. Heat Transfer, Trans. ASME -1975, -P. 556-561

33. Tong W., Koster J. N. Density inversion effect on transient natural convection in a rectangular enclosure // Int. J. Heat Mass Transfer -1994, -Vol.37, No.6. -P. 927-938

34. Tong Wei Aspect ratio effect on natural convection in water near its density maximum temperature // Int. J. Heat and Fluid Flow -1999, -Vol.20, -P. 624-633

35. Зубков П. Т., Климин В. Г. Численное исследование естественной конвекции чистой воды вблизи точки инверсии плотности // Изв. РАН. МЖГ. -1999, вып.4. -С. 171-176

36. Hart J. Е. Stability of the flow in a differentially heated inclined box // J. Fluid Mech. -1971, -Vol.47, No.3. -P. 547-576

37. Inaba H., Fukuda T. Natural convection in an inclined square cavity in regions of density inversion of water // J. Fluid Mech. -1984, -Vol.142, -P. 363-381

38. Inaba H., Fukuda T. An experimental study of natural convection in an inclined rectangular cavity filled with water at its density extremum // J. Heat Transfer, Trans. ASME -1984, -Vol.106, -P. 109-115

39. Reizes J. A., Leonardi E., De Vahl Davis G. Natural convection near the density extremum of water // Proc. of the 4-th Int. Conf. held at Swansea -1985

40. Raji A., Hasnaoui M., Zrikem Z. Natural Convection in interacting cavities heated from below // Int. J. Num. Methods for Heat & Fluid Flow -1997, -Vol.7, No.6. -P. 580-597

41. Rasoul J., Prinos P. Natural convection in an inclined enclosure // Int. J. Num. Methods for Heat & Fluid Flow -1997, -Vol.7, No.5. -P. 438-478

42. Chen Y.-M., Liou J.-K. Time-dependent double-diffusive convection due to salt stratified fluid layer with differential heating in an inclined cavity // Int. J. Heat Mass Transfer -1997, -Vol.40, No.3. -P. 711-725

43. Upton T. D., Watt D. W. Experimental study of transient natural convection in an inclined rectangular enclosure // Int. J. Heat Mass Transfer -1997, -Vol.40, No.11. -P. 2679-2690

44. Hsiao Shih-Wen Natural convection in an inclined porous cavity with variable porosity and thermal dispersion effects // Int. J. Num. Methods for Heat & Fluid Flow -1998, -Vol.8, No.l. -P. 97-117

45. Koseff J. R., Street R. L. The lid-driven cavity flow: a synthesis of qualitative and quantitative observations // ASME J. Fluids Engng -1984, -Vol.106, -P. 390-398

46. Prasad A. K., Koseff J. R. Reynolds number and end-wall effects on a lid-driven cavity flow // Phys. Fluids A -1989, -Vol.1, No.2. -P. 208-218

47. Aidun С. K., Triantofillopoulos N. G., Benson J. D. Global stability of a lid-driven cavity with throughflow: Flow visualisation studies // Phys. Fluids A -1991, -Vol.3, No.9. -P. 2081-2091

48. Moallemi M. K., Jang K. S. Prandtl number effects on laminar mixed convection heat transfer in a lid-driven cavity // Int. J. Heat Mass Transfer -1992, -Vol.35, No.8. -P. 1881-1892

49. Iwatsu R., Hyun J. M., Kuwahara K. Mixed convection in a driven cavity with a stable vertical temperature gradient // Int. J. Heat Mass Transfer -1993, -Vol.36, No.6. -P. 1601-1608

50. Iwatsu R., Hyun J. M. Three-dimensional driven-cavity flows witha vertical temperature gradient // Int. J. Heat Mass Transfer -1995, -Vol.38, No.18. -P. 3319-3328

51. Botella O., Peyret R. Benchmark spectral results on the lid-driven cavity flow // Computers & Fluids -1998, -Vol.27, No.4. -P. 421-433

52. Hwang G. J., Tsai C. W. Theoretical and experimental studies of laminar mixed convection in water pipe flow with density inversion effect // Int. J. Heat Mass Transfer -1997, -Vol.40, No.9. -P. 2019-2033

53. Nishimura Т., Hayashida Y., Mineoka M., Wake A. Oscillatory natural convection of water near the density extremum at high Rayleigh numbers // Int. J. Heat Mass Transfer -1997, -Vol.40, No. 14. -P. 3449-3465

54. Kwak Ho Sang, Kuwahara Kunio, Hyun Jae Min Resonant enhancement of natural convection heat transfer in a square enclosure // Int. J. Heat Mass Transfer -1998, -Vol.41, -P. 2837-2846

55. Kwak Ho Sang, Kuwahara Kunio, Hyun Jae Min Technical Note. Prediction of the resonance frequency of natural convection in an enclosure with timeperiodic heating imposed on one sidewall // Int. J. Heat Mass Transfer -1998, -Vol.41, -P. 3157-3160

56. Ho C. J., Tu F. J. Transition to oscillatory natural convection of cold water in a vertical annulus // Int. J. Heat Mass Transfer -1998, -Vol.41, No.ll. -P. 1559-1572

57. Ho C. J., Tu F. J. Numerical study on oscillatory convection of cold water in a tall vertical enclosure // Int. J. Num. Methods for Heat & Fluid Flow -1999, -Vol.9, No.4. -P. 487-508

58. Kalabin E. V., Sviridov E. M., Zubkov P. T. Steady and self-oscillatory regimes of natural convection in square cavity filled by water // Proc. of ICMS'2000 -2000, -P. 59-64

59. Akay H. U., Ecer A., Fekete К. A semi-explicit parallel solver for viscous incompressible flows // Comput. Methods Appl. Mech. Engng. -1998, -Vol.151, -P. 1-12

60. Al-Najem N. M., Khanafer К. M., El-Refaee M. M. Numerical study of laminar natural convection in tilted enclosure with transverse magnetic field // Int. J. Num. Methods for Heat & Fluid Flow -1998, -Vol.8, No.6. -P. 651-672

61. Anderson P. D., Galaktionov 0. S., Peters G. W. M., van de Vosse F. N., Meijer H. E. H. Chaotic fluid mixing in non-quasi-static time-periodic cavity flows // Int. J. Heat and Fluid Flow -2000, -Vol.21, -P. 176-185

62. Angirasa D., Peterson G. P., Pop I. Combined heat and mass transfer by natural convection with opposing buoyancy effects in a fluid saturated porous medium // Int. J. Heat Mass Transfer -1997, -Vol.40, No.12. -P. 2755-2773

63. Brewster R. A., Gebhart B. The effects of supercooling and freezing on natural convection in seawater // Int. J. Heat Mass Transfer -1994, -Vol.37, No.4. -P. 543-552

64. Chao Z., Bokil A. A quasi-three-dimensional approach to simulate the two-phase fluid flow and heat transfer in condensers // Int. J. Heat Mass Transfer -1997, -Vol.40, No. 15. -P. 3537-3546

65. Cuckovic-Dzodzo D. M., Dzodzo M. В., Pavlovic M. D. Laminar natural convection in a fully partitioned enclosure containing fluid with nonlinear thermophysical properties // Int. J. Heat and Fluid Flow -1999, -Vol.20, -P. 614-623

66. Sun Y. S., Emery A. F. Effects of wall conduction, internal heat sources and an internal baffle on natural convection heat transfer in a rectangular enclosure // Int. J. Heat Mass Transfer -1997, -Vol.40, No.4. -P. 915-929

67. Shou-Shing H., Shyh-Shyan Y. Flow structure and temperature measurements in a 3-D vertical free convective enclosure at high Rayleigh numbers // Int. J. Heat Mass Transfer -1997, -Vol.40, No.6. -P. 1467-1480

68. Liang S. F., Acrivos A. Stability of buoyancy-driven convection in a tilted slot // Int. J. Heat Mass Transfer -1970, -Vol.13, -P. 449-458

69. Sammouda H., Belghith A., Surry C. Finite element simulation of transient natural convection of low-Prandtl-number fluids in heated cavity // Int. J. Num. Methods for Heat & Fluid Flow -1999, -Vol.9, No.5. -P. 612-624