Численное моделирование естественной конвекции холодной воды в квадратной ячейке тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. КРАТКИЙ ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

2. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ.

2.1. Метод контрольного объема.

2.2. Решение систем линейных алгебраических уравнений.

2.3. Алгоритмы расчета поля течения.

2.4. Особенности задания граничных условий.

2.5. Тестовые задачи.

ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ 2.

3. ЕСТЕСТВЕННАЯ КОНВЕКЦИЯ ХОЛОДНОЙ ВОДЫ

В КВАДРАТНОЙ ЯЧЕЙКЕ.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Математическая модель.

3.3. Стационарные решения.

3.4. Автоколебательные решения.

3.5. Влияние граничных условий.

3.6. Анализ применимости приближения Буссинеска.

ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ 3.

Естественно-конвективный теплообмен играет важную роль во многих явлениях и технологических процессах, встречающихся в природе и современной технике. В связи с этим, естественная конвекция жидкостей в замкнутых полостях является объектом многих экспериментальных и теоретических работ, количество которых лавинообразно возрастает из-за развития численных методов моделирования и вычислительной техники наряду с усовершенствованием методов измерения и визуализации экспериментальных данных.

Особый интерес вызывает изучение естественной конвекции воды, так как она имеет немонотонную зависимость плотности от температуры с максимумом около 4°С. Это приводит к качественному и количественному отличию конвективных течений в холодной воде от течений в жидкостях, у которых эта зависимость линейна. Конвекция воды встречается в различных технических установках, влияет на формирование термических режимов водоемов, на процессы образования и таяния льда и, поэтому, эти отличия заслуживают отдельных исследований.

В связи с быстрым развитием вычислительной техники, в последние десятилетия успешно развиваются и применяются методы численного решения задач теплообмена и динамики жидкости. Однако, несмотря на все увеличивающиеся мощности, запросы исследователей и вычислителей растут еще быстрее. Поэтому, существует необходимость выбора наиболее оптимальных методов из множества доступных в настоящее время для решения конкретных типов задач.

Целью работы являлось численное моделирование естественной конвекции холодной воды в квадратной ячейке; изучение стационарных и периодических автоколебательных режимов течения, возникающих в этой задаче; создание необходимого программного обеспечения и выбор оптимальных методов получения стационарных и изучения нестационарных свободноконвективных течений в замкнутых прямоугольных полостях. Научная новизна работы заключается в следующем:

- В задаче о естественной конвекции воды в квадратной полости с учетом экстремума плотности установлен факт существования стационарных и автоколебательных решений при одних и тех же значениях параметров задачи. Обнаружено, что средний по времени теплоперенос через полость у автоколебательных режимов всегда меньше, чем в случае стационарных течений при том же значении числа Грасгофа.

- Впервые обнаружено и описано стационарное симметричное решение с четырехвихревой структурой течения, которое существует как до появления периодических автоколебательных решений, так и после их исчезновения. Получен диапазон значений числа Грасгофа, в котором при различных начальных условиях существуют три симметричных стационарных решения.

- Обнаружено, что уменьшение области теплообмена на границе полости приводит не только к изменению количественных характеристик задачи, но и к появлению решений, имеющих качественно отличную структуру течения.

- Показано, что учет зависимости теплофизических характеристик воды (вязкости, теплопроводности) от температуры не оказывает существенного влияния на полученные решения задачи.

- Предложена модификация алгоритма SIMPLE для изучения характеристик нестационарных течений. Создан комплекс программ с различными схемами дискретизации уравнений и алгоритмами нахождения поля течения. На основании тестовых расчетов рекомендованы наиболее оптимальные варианты для нахождения стационарных и исследования автоколебательных решений задач о естественной конвекции в прямоугольных полостях.

Научное и практическое значение работы заключается в следующем:

Создан комплекс программ для решения задач конвекции жидкости несколькими алгоритмами с использованием различных схем дискретизации. Рекомендованы конкретные варианты методов решения для стационарных и нестационарных задач естественной конвекции жидкости в прямоугольных полостях.

На основе созданного программного обеспечения решена задача о естественной конвекции холодной воды в квадратной ячейке в широком диапазоне значений числа Грасгофа. Из-за нелинейности, данная задача допускает множество решений, стационарных и автоколебательных. Знание их характеристик актуально при разработке различных технологических установок как с целью выбора решения с наибольшим теплопереносом (например, для теплообменников), так и с целью недопущения реализации автоколебательных решений с нежелательными частотами колебаний.

Достоверность результатов работы обусловлена использованием фундаментальных физических законов, корректностью математической постановки, а также подтверждается тестовыми расчетами для проверки используемого программного обеспечения. В качестве тестов рассматривались экспериментальные и численные работы других авторов.

Основные результаты работы докладывались на Окружной конференции молодых ученых и специалистов ХМАО (Сургут, 2000), на Межвузовской конференции молодых ученых и специалистов (Сургут, 2001) и на Международной конференции многофазных систем (Уфа, 2000). Обсуждение результатов проводилось на семинаре кафедры Физической механики Московского физико-технического института под руководством профессора Э.Е. Сона (МФТИ, Москва), на семинаре Московского энергетического института под руководством профессора Г.Г. Янькова (Москва), на семинаре факультета механики Корейского института наук и технологий под руководством профессора Дж.М. Хьюна (Таеджон, Южная Корея) и на семинарах Лаборатории математического моделирования Сургутского государственного университета под руководством профессора П.Т. Зубкова (Сургут).

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. В первой главе приведен обзор литературы по экспериментальным и теоретическим исследованиям особенностей конвекции воды вблизи температуры экстремума плотности. Во второй главе кратко описаны методы решения задач конвекции-диффузии. Приведено сравнение результатов, полученных с помощью созданного программного обеспечения, с численными и экспериментальными данными других авторов. На примере тестовых задач сделан выбор оптимальных алгоритмов и схем дискретизации для нахождения стационарных и исследования нестационарных режимов свободно-конвективного течения в замкнутых прямоугольных полостях. В третьей главе сформулирована постановка задачи и описана математическая модель естественной конвекции холодной воды в квадратной ячейке. Исследованы стационарные и автоколебательные решения поставленной задачи. Проанализировано влияние на теплоперенос и структуру течения уменьшения области теплообмена. Рассмотрен вопрос о применимости к данной задаче постановки, аналогичной приближению Буссинеска. В заключении сформулированы основные результаты и выводы.

ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ 3

В результате численного исследования задачи о естественной конвекции воды в квадратной ячейке вблизи температуры максимума плотности при различных начальных условиях получено четыре стационарных и три периодических автоколебательных решения в диапазоне значений числа Грасгофа от 0 до 1О6. о

Стационарные конвективные течения возникают при <3г>1.95-10 . При

Ог>9.7-Ю5 не удалось получить стационарное решение ни при каких начальных условиях.

Три решения являются симметричными относительно центральной вертикальной оси полости (первое реализуется при 2.75-103 <0г<3.81-104, второе - 2.85-103 <0г<5-105, третье - 2.9-Ю4<Ог<9.7-Ю5), а четвертое о о несимметрично (1.95-10 <0г<6-Ю ). Одно из этих решений имеет структуру течения, состоящую из одного основного вихря, два - из двух вихрей, и еще одно - из четырех основных вихрей. Выявлен диапазон значений числа

Грасгофа (2.9-104<Ог<3.81-Ю4), в котором при различных начальных условиях реализуются сразу три симметричных стационарных решения.

Для всех конвективных стационарных решений в поведении локальных тепловых потоков на горизонтальных стенках выявлены следующие закономерности: существуют диапазоны значений числа Грасгофа (различные для каждого решения), в которых локальный тепловой поток становится меньше того значения, которое устанавливается при отсутствии конвективного течения (то есть 1Чи10С < 1); при увеличении числа Грасгофа, максимум локального теплового потока перемещается с нижней стенки на верхнюю.

Для поставленной задачи выявлены следующие диапазоны существования периодических автоколебательных решений:

5.ы05<0г<9.5-105 - первое решение, возникающее из второго симметричного стационарного решения и имеющее подобную структуру течения;

5 5

1.3-10 <вг<5.5-10 - второе решение, которое также как и первое -симметричное;

2-105 <0г<2.9-105 - третье, несимметричное решение.

Таким образом получено, что при одних и тех же значениях параметров задачи могут существовать как стационарные, так и автоколебательные решения.

Полученный диапазон существования четырехвихревого стационарного решения позволяет сделать вывод о том, что оно реализуется как до появления периодических автоколебательных решений, так и после их исчезновения.

Средний по времени теплоперенос через полость в автоколебательных решениях всегда меньше, чем в случае реализации стационарных решений при тех же значениях параметров задачи. При увеличении числа Грасгофа и частота, и амплитуда колебаний растет. Решение, имеющее большую частоту, имеет меньшую амплитуду колебаний, и наоборот.

Проведен анализ уменьшения области теплообмена на горизонтальных стенках полости до размеров 0.5Н при фиксированном значении числа

Грасгофа (Ог=2-Ю5). Вместо двух стационарных (симметричных) и двух автоколебательных (симметричного и несимметричного) решений получены качественно отличные от них три стационарных (два симметричных и одно несимметричное) и одно автоколебательное (несимметричное). Интенсивность течения уменьшилась, также как и теплоперенос через полость. Частота автоколебаний увеличилась, но их амплитуда стала меньше.

Проведен анализ применимости приближения Буссинеска, к моделированию рассматриваемой задачи. Наиболее ощутимое влияние переменность свойств воды оказывает на интенсивность течения в вихрях, тогда как среднее число Нуссельта почти не меняется.

При увеличении числа Грасгофа разница между значениями характеристик течений с постоянными и переменными теплофизическими свойствами уменьшается. Значение вг, при котором возникает то или иное решение, не меняется, но сужается диапазон существования решений. В автоколебательных решениях переменность свойств воды приводит не только к изменению интенсивностей течения в вихрях, но и к увеличению амплитуды колебаний. В целом, сравнение результатов показало правомочность использования постановки задачи, аналогичной приближению Буссинеска, для моделирования естественной конвекции холодной воды в ячейке с изотермическими горизонтальными и адиабатическими вертикальными стенками.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1) Проведено сравнение затрат машинного времени на получение стационарных решений задачи о естественной конвекции в квадратной полости алгоритмами SIMPLE, SIMPLEC и SIMPLER. По результатам этих исследований сделан вывод о том, что наиболее эффективным является алгоритм SIMPLER. Например, при конвекции холодной воды в ячейке с

Gr = 2.5-10 , алгоритм SIMPLE дает стационарное решение на 112%, а SIMPLEC - на 72% медленнее, чем алгоритм SIMPLER при тех же значениях параметров задачи.

2) Для решения нестационарных задач о естественной конвекции предложена модификация алгоритма SIMPLE, в рамках которой дискретные аналоги уравнения движения записываются по явной схеме. Показано, что полученный модифицированный алгоритм наиболее эффективен при изучении нестационарных задач. Так, на расчетной сетке 52x52 с его помощью 10000 итераций считаются на 39% быстрее обычного SIMPLE и на 79% быстрее алгоритма SIMPLER.

3) Рассмотрен вопрос о применении различных схем дискретизации для исследования характеристик автоколебательных режимов течения. Показано, что схема степенного закона приводит к занижению амплитуды колебаний, и, чтобы этого избежать, приходится использовать более мелкую расчетную сетку. По результатам исследований, оптимальной признана схема дискретизации конвективных членов QUICK.

4) Проведено численное исследование естественной конвекции воды в квадратной ячейке с теплоизолированными вертикальными и изотермическими горизонтальными стенками. Рассмотренный диапазон температур включает температуру максимума плотности воды. При различных начальных условиях получено четыре стационарных и три периодических автоколебательных решения в диапазоне значений числа Грасгофа от 0 до 106.

5) Выяснено, что задача имеет стационарные решения с конвективным

3 5 течением при 1.95 • 10 < Ог < 9.7 • 10 . Течение одного из решений состоит из

3 3 одного основного вихря (и оно существует при 1.95-10 <0г<6-10 ), двух

3 3 других решений - из двух вихрей (2.7-10 <0г<3.81-10 и з ^

2.85-10 <0г<5-10 ), и еще одного - из четырех основных вихрей

2.9-104 < вг < 9.7 -105). Таким образом, выявлен диапазон значении числа

Грасгофа (2.9-104 < вг < 3.81-104), в котором при различных начальных условиях реализуются три стационарных решения с симметричной структурой течения. Кроме того, для всех стационарных решений выявлено качественное подобие в поведении максимальных и минимальных значений локального теплового потока на горизонтальных стенках при увеличении числа Грасгофа.

6) В представленной задаче существуют три периодических автоколебательных решения в следующих диапазонах значений числа

Грасгофа: 5.1-105 <вг <9.5-105 - первое решение, которое возникает вследствие потери устойчивости стационарным решением, и имеющее подобную структуру течения; 1.3-105 < вг < 5.5-105 - второе решение, которое также как и первое - симметричное; 2-105 < вг < 2.9-105 - третье решение, имеющее несимметричную структуру течения. Получены зависимости характеристик колебаний от числа Грасгофа.

7) Обнаружено, что стационарные и автоколебательные решения могут существовать при одних и тех же значениях параметров задачи. Выявлено, что средний по времени теплоперенос через полость в изученных автоколебательных решениях всегда меньше, чем в случае реализации стационарных решений при тех же значениях параметров задачи. Кроме того, полученный диапазон существования четырехвихревого стационарного решения позволяет сделать вывод о том, что оно реализуется как до появления периодических автоколебательных решений (при увеличении числа Грасгофа), так и после их исчезновения.

8) Уменьшение области теплообмена на горизонтальных стенках при фиксированном значении числа Грасгофа приводит к появлению качественно иных решений. Однако и в этом случае в зависимости от начальных условий реализуются как стационарные, так и автоколебательное решение при фиксированном значении числа Грасгофа. Среднее число Нуссельта уменьшается, течение в полости становится менее интенсивным. Частота колебаний увеличивается, амплитуда - уменьшается.

9) Проведен анализ применимости постановки, аналогичной приближению Буссинеска, к задаче о естественной конвекции холодной воды в квадратной ячейке, подогреваемой снизу. Получено, что наиболее ощутимое влияние переменность свойств воды оказывает на интенсивность течения в вихрях, тогда как средний теплоперенос через полость практически не меняется. Для стационарных решений диапазон существования уменьшается, но при увеличении числа Грасгофа также уменьшается и разница между решениями задачи с постоянными теплофизическими свойствами и решениями с переменными свойствами воды. В автоколебательных решениях увеличивается амплитуда колебаний.

1. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392с.

2. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий A.A. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 319с.

3. Гебхарт Б., Джалурия К, Махаджан Р., Саммакия Б. Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен. М.: Мир, 1991. 2т.

4. Ostrach S. Natural convection in enclosures // J. Heat Transfer. 1988. V.110. P.1175-1190.

5. Hyun J.M. Unsteady buoyant convection in an enclosure // Advances in Heat Transfer. 1994. V.24. P.277-320.

6. Свободная конвекция: Тр. 1-й Рос. нац. конф. по теплообмену. М.: Изд-во МЭИ, 1994. Т.2.

7. Полежаев В.И. Свободная конвекция: обзор моделей, методов и приложений. // Свободная конвекция: Тр. 1-й Рос. нац. конф. по теплообмену. М.: Изд-во МЭИ, 1994. Т.2, С.3-10.

8. Свободная конвекция. Тепломассообмен при химических превращениях: Тр. 2-й Рос. нац. конф. по теплообмену. М.: Изд-во МЭИ, 1998. Т.З.

9. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. М.: Мир, 1991.2т.

10. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. М.: Мир, 1990. 2т.

11. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984. 150 с.

12. Полежаев В.И., Бунэ A.B., Дубовик КГ и др. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса. М.: Наука, 1987. 271с.

13. Тарунин Е.Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990. 225 с.

14. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М.: Эдиториал УРСС, 1999. 248с.

15. Patankar S.V. Recent development in computational heat transfer // J. Heat Transfer. 1988. V.l 10. P.1037-1045.

16. Шмыглевский Ю.Д. Аналитические исследования динамики газа и жидкости. М.: Эдиториал УРСС, 1999. 232с.

17. Пшеничников А.Ф. Свободная конвекция воды между вертикальными плоскостями при температурах, близких к 4°С // Гидродинамика. Пермь: Изд-во Перм. ун.-та. 1971. вып.З. С. 169-172.

18. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Шихое В.М. Неустойчивость конвективного течения воды вблизи 4°С // Изв. АН СССР. МЖГ. 1979. No2. С.189-192.

19. Higgins J.M., Gebhart В. The stability of vertical buoyancy-induced flow in cold water // J. Heat Transfer. 1983. V.l05. P.767-773.

20. Qureshi Z.H., Gebhart B. The stability of vertical thermal buoyancy induced flows in cold pure and saline water // Int. J. Heat Mass Transfer. 1986. V.29. No9. P.1383-1392.

21. Joshi Y., Gebhart В. Measurements and visualizations of transient and steady-state vertical natural convection flow in cold water // Int. J. Heat Mass Transfer. 1986. V.29. Noll. P.1723-1740.

22. Mollendorf J. C., Jahn К. H. Onset of convection in a horizontal layer of cold water // J. Heat Transfer. 1983. V.l05. P.460-464.

23. Vasseur P., Robillard L. Transient natural convection heat transfer in a mass of water cooled through 4°C // Int. J. Heat Mass Transfer. 1980. V.23. P.1195-1205.

24. Robillard L,, Vasseur P. Convective response of a mass of water near 4°C to a constant cooling rate applied on its boundaries // J. Fluid Mech. 1982. V.118. P.123-141.

25. Robillard L., Vasseur P. Transient natural convection heat transfer of water with maximum density effect and supercooling // J. Heat Transfer. 1981. V.103. P.528-534.

26. McDonough M.W., Faghri A. Experimental and numerical analyses of the natural convection of water through its density maximum in a rectangular enclosure // Int. J. Heat Mass Transfer. 1994. V.37. P.783-801.

27. Braga S.L., Viskanta R. Transient natural convection of water near its density extremum in rectangular cavity // Int. J. Heat Mass Transfer. 1992. V.35. P.861-875.

28. Kimura S., Bejan A. The boundary layer natural convection regime in a rectangular cavity with uniform heat flux from the side // J. Heat Transfer. 1984. V.106. P.98-103.

29. Kimura S., Zubkov P.T. Natural convection in a rectangular space due to constant heat flux from the side // Proc. 4th JSME-KSME Thermal Engineering Conference. Kobe. Japan. 2000. V.2.

30. Watson A. The effect of the inversion temperature on natural convection of water in an enclosed rectangular cavity // Q. J. Mech. Applied Math. 1972. V.25. No4. P.423-446.

31. Reizes J.A., Leonardi E., de Vahl Davis G. Natural convection near the density extremum of water // Proc. of 4th Int. Conf. on Numerical Methods in Laminar and Turbulent Flow. Swansea. 1985. V.l. P.794-804.

32. Lin D.S., Nansteel M. W. Natural convection heat transfer in a square enclosure containing water near its density maximum // Int. J. Heat Mass Transfer. 1987. V.30.P.2319-2329.

33. Nishimura T., Wake A., Fukumori E. Natural convection of water near the density extremum for a wide range of Rayleigh numbers // Numerical Heat Transfer, Part A. 1995. V.27. P.433-449.

34. Nishimura T., Hayashida Y., Mineoka M., Wake A, Oscillatory natural convection of water near the density extremum at high Rayleigh numbers // Int. J. Heat Mass Transfer. 1997. V.40. P.3449-3465.

35. Lee C.H., Hyun J.M., Kwak H.S. Oscillatory enclosed buoyant convection of a fluid with the density maximum // Int. J. Heat Mass Transfer. 2000. V.43. P.3747-3751.

36. Kwak H.S., Hyun J.M. Natural convection in an enclosure having a vertical sidewall with time-varying temperature // J. Fluid Mech. 1996. V.329. P.65-88.

37. Kwak H.S., Kuwahara K, Hyun J.M. Resonant enhancement of natural convection heat transfer in a square enclosure // Int. J. Heat Mass Transfer. 1998. V.41. P.2837-2846.

38. KwakH.S., Kuwahara K, Hyun J.M. Prediction of the resonance frequency of natural convection in an enclosure with time-periodic heating imposed on one sidewall // Int. J. Heat Mass Transfer. 1998. V.41. P.3157-3160.

39. Lankford K., Bejan A. Natural convection in vertical enclosure filled with water near 4°C // J. Heat Transfer. 1986. V.108. P.755-763.

40. Ivey G.N., Hamblin P.F. Convection near the temperature of maximum density for high Rayleigh number, low aspect ratio, rectangular cavities // J. Heat Transfer. 1989. V.l 11. P.100-105.

41. Tong W., Koster J. N. Natural convection of water in a rectangular cavity including density inversion 11 Int. J. Heat Fluid Flow. 1993. V.14. P.336-375.

42. Tong W., Koster J. N. Density inversion effect on transient natural convection in a rectangular enclosure 11 Int. J. Heat Mass Transfer. 1994. V.37. P.927-938.

43. Tong W., Koster J. N. Aspect ratio effect on natural convection in water near its density maximum temperature // Int. J. Heat Fluid Flow. 1999. V.20. P.624-633.

44. Ho C.J., Ти F.J. Numerical study on oscillatory convection of cold water in a tall vertical enclosure // Int. J. Numerical Methods Heat Fluid Flow. 1999. V.9. No4. P.487-508.

45. Inaba H., Fukuda T. An experimental study of natural convection in an inclined rectangular cavity filled with water at its density extremum // J. Heat Transfer. 1984. V.106. P. 109-115.

46. Inaba H., Fukuda T. Natural convection in an inclined square cavity in regions of density inversion of water // J. Fluid Mech. 1984. V.142. P.363-381.

47. Upton T.D., Watt D. W. Experimental study of transient natural convection in an inclined rectangular enclosure // Int. J. Heat Mass Transfer. 1997. V.40. No9. P.2679-2690.

48. Гершуни Г.З., Жухоеицкий E.M., Тарунин E.JJ. Численное исследование конвекции жидкости, подогреваемой снизу // Изв. АН СССР, МЖГ. 1966. No6. С.93-99.

49. Блохин А. С., Блохина Н. С. Начало конвекции в жидкости вблизи температуры инверсии плотности // ДАН СССР. 1970. Т.193. No4. С.805-807.

50. Блохин А. С., Блохина Н.С., Макаееа О.С. Самовозбуждающиеся колебания в жидкости при развитой конвекции // ДАН СССР. сер. Геофиз. 1973. Т.201. Nol. С.75-78.

51. Forbes R. Е., Cooper J. W. Natural convection in a horizontal layer of water cooled from above to near freezing // J. Heat Transfer. 1975. V.97. P.47-53.

52. Gorelikov A. V., Klimin V.G., Zubkov P.T. Natural convection of water near to density inversion point // Proc. of Int. Conf. on Fluid Engineering. Tokyo, 1997. V.3. P.1617-1621.

53. Гореликов A.B. Естественноконвективный теплообмен в системах лед-вода. Дисс. . канд. физ.-матем. наук, Институт механики многофазных систем СО РАН, Тюмень, 1998.

54. Зубков П.Т., Климин В.Г. Численное исследование естественной конвекции чистой воды вблизи точки инверсии плотности // Изв. РАН, МЖГ. 1999. No4. С.171-176.

55. Гореликов А.В., Зубков П.Т., Моргун Д.А. Смешанная конвекция чистой воды в квадратной ячейке с движущейся верхней стенкой // Математическое моделирование. 2000. Т. 12. No8. С.69-76.

56. Moallemi М.К., Jang K.S. Prandtl number effects on laminar mixed convection heat transfer in a lid-driven cavity // Int. J. Heat Mass Transfer. 1992. V.35. No8. P.1881-1892.

57. Iwatsu R., Hyun J.M. Three-dimensional driven-cavity flows with a vertical temperature gradient // Int. J. Heat Mass Transfer. 1995. V.38. Nol8. P.3319-3328

58. Kitagawa H., Sasaguchi K., Kuwabara K., Kusano K. Transient cooling of water around a cylinder in a rectangular cavity a numerical analysis of the effect of the position of the cylinder // Int. J. Heat Mass Transfer. 1998. V.41. No20. P.3149-3156.

59. Родионов С.П. Естественная конвекция воды в нагреваемой снизу замкнутой трехмерной прямоугольной полости вблизи точки инверсии плотности // Труды РНКТ-2. М.: Изд-во МЭИ. 1998. Т.З. С.136-140.

60. Zubkov Р.Т., Yakovlev A.V. Natural convection of cold water in cubical cavity // Proc. Int. Conf. on Heat Transfer Science and Technology. Beijing. 2000. P.223-228.

61. Gilpin R.R. Cooling of a horizontal cylinder of water through its maximum density point at 4°C // Int. J. Heat Mass Transfer. 1975. V. 18. P. 1307-1315.

62. Cheng К. C., Takeuchi M. Transient natural convection of water in a horizontal pipe with constant cooling rate through 4°C // J. Heat Transfer. 1976. V.98. P.581-587.

63. Seki N., Fukusako S., Nakaoka M. Experimental study on natural convection heat transfer with density inversion of water between two horizontal concentric cylinders // J. Heat Transfer. 1975. V.97. P.556-561.

64. Nguyen Т.Н., Vasseur P., Robillard L. Natural convection between horizontal concentric cylinders with density inversion of water for low Rayleigh number // Int. J. Heat Mass Transfer. 1982. V.25. P.1559-1568.

65. Vasseur P., Robillard L., Chandra Shekar B. Natural convection heat transfer of water within a horizontal cylindrical annulus with density inversion effects // J. Heat Transfer. 1983. Y. 105. P. 117-123.

66. Ho C.J., Lin Y.H. Laminar natural convection of cold water enclosed in a horizontal annulus with mixed boundary conditions // Int. J. Heat Mass Transfer. 1988. V.31. P.2113-2121.

67. Ho C.J., Lin Y.H. Natural convection heat transfer of cold water within an eccentric horizontal cylindrical annulus // J. Heat Transfer. 1988. V.110. P.894-900.

68. Lin D.S., Nansteel M.W. Natural convection in a vertical annulus containing water near the density maximum // J. Heat Transfer. 1987. V.109. P.899-905.

69. Ho C.J., Lin Y.H. Natural convection of cold water in a vertical annulus with constant heat flux on the inner wall // J. Heat Transfer. 1990. V.l 12. P.l 17-123.

70. Ho C.J., Tu F.J. Transition to oscillatory natural convection of cold water in a vertical annulus // Int. J. Heat Mass Transfer. 1998. V.41. Nol 1. P.1559-1572.

71. Kwak H.S., Kuwahara K., Hyun J.M. Convective cool-down of a contained fluid through its maximum density temperature // Int. J. Heat Mass Transfer. 1998. V.41. P.323-333.

72. Агапкин B.M., Зубков П.Т., Югов В.П. Термогравитационная конвекция низкотемпературной воды в трубопроводе с электронагревательными элементами // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1991. No5. С.130-134.

73. Hwang G.J., Tsai С. W. Theoretical and experimental studies of laminar mixed convection in water pipe flow with density inversion effect // Int. J. Heat Mass Transfer. 1997. V.40. No9. P.2019-2033.

74. Yang S.J., Hwang G.J., Tsai С. W. Maximum density effect on laminar water pipe flow solidification // Int. J. Heat Mass Transfer. 1998. V.41. No24. P.4251-4257.

75. Галиев И.М., Зубков П.Т. Влияние инверсии плотности воды на плоскопараллельное течение и теплоперенос в канале постоянной ширины // Изв. РАН, МЖГ. 2000. Nol. С.

76. Галиев ИМ. Исследование течений и теплообмена в каналахпри наличии естественной конвекции. Дисс. . канд. физ.-матем. наук, Институт теоретической и прикладной механики СО РАН, Тюмень, 1999.

77. Но C.J., Chiou S.P., Ни C.S. Heat transfer characteristics of a rectangular natural circulation loop containing water near its density extreme // Int. J. Heat Mass Transfer. 1997. V.40. Nol5. P.3553-3558.

78. Hadji L., Jin X.-X. Penetrative convection induced by the freezing of seawater // Int. J. Heat Mass Transfer. 1996. V.39. Nol8. P.3823-3834.

79. Brewster R.A., Gebhart В. The effects of supercooling and freezing on natural convection in seawater // Int. J. Heat Mass Transfer. 1994. V.37. No4. P.543-552.

80. Gobin D., Bennacer R. Double diffusive natural convection in aqueous solutions near the density maximum // Int. Comm. Heat Mass Transfer. 1996. V.23. P.917-982.

81. Holzbecher E. Numerical studies on thermal convection in cold groundwater // Int. J. Heat Mass Transfer. 1997. V.40. No3. P.605-612.

82. Blake K.R., Bejan A., Poulikakos D. Natural convection near 4°C in a water saturated porous layer heated from below 11 Int. J. Heat Mass Transfer. 1984. V.27. P.2355-2364.

83. Poulikakos D. Onset of convection in a horizontal porous layer saturated with cold water // Int. J. Heat Mass Transfer. 1985. V.28. P.1899-1905.

84. Robillard L., Vasseur P., Mamou M. Thermoconvective instability in a horizontal porous cavity saturated with cold water // Int. J. Heat Mass Transfer. 1999. V.42. No24, P.4487-4500.

85. Chang W.-J., Yang D.-F. Transient natural convection of water near its density extremum in a rectangular cavity filled with porous medium // Numerical Heat Transfer, Part A. 1995. V.28. P.619-633.

86. Leonard B.P. A Stable and accurate convective modelling procedure based on quadratic upstream interpolation // Сотр. Meth. Appl. Mech. Engineering. 1979. V.19. P.59-98.

87. Pollard A., Siu A.L.-W. The calculation of some laminar flows using various discretization schemes // Сотр. Meth. Appl. Mech. Engineering. 1982. V.35. P.293-313.

88. Mohamad A.A., Viskanta R. An evaluation of different discretization schemes for natural convection of low-Prandtl-number fluids in cavities // Numerical Heat Transfer, PartB. 1989. V.16. P.179-192.

89. Janssen R.J.A., Henkes R.A.W.M. Accuracy of finite-volume discretizations for the bifurcating natural-convection flow in a square cavity // Numerical Heat Transfer, Part B. 1993. V.24. P. 191-207.

90. Van Doormaal J.P., Raithby G.D. Enhancements of the SIMPLE method for predicting incompressible fluid flows // Numerical Heat Transfer. 1984. V.7. P.147-163.

91. Вержбицкий B.M. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. М.: «Высшая школа», 2000. 266с.

92. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. СПб.: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1998. 472с.

93. Sebben S., Baliga B.R. Some extensions of tridiagonal and pentadiagonal matrix algorithms //Numerical Heat Transfer, Part B. 1995. V.28. P.323-351.

94. Ландау Л.Д., ЛифшщЕ.М. Гидродинамика. M.: Наука, 1986. 736 с.

95. Голъдштейн Р.В., Городцов В.А. Механика сплошных сред. Часть 1. М.: Наука. Физматлит, 2000. 256с.

96. Moore D.R., Weiss N.O. Nonlinear penetrative convection // J. Fluid Mechanics. 1973. V.61. P.553-581.

97. Fujii Т. Fundamentals of free convection heat transfer // Prog. Heat Transfer Engineering. 1974. V.3. P.66-67.

98. Gebhart В., Mollendorf J. A new density relation for pure and saline water // Deep Sea Res. 1977. Y.24. No 9. P.831-848.

99. Физические величины: Справочник /Под. ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мелихова. -М.: Энергоатомиздат, 1991. 1232с.

100. Гудзовский А.В. О зависимости стационарных режимов свободной конвекции от начальной температуры // Докл. РАН. 1998. Т.363. No.3. С.334-337.

101. Kalabin Е. V., Zubkov Р. Т., Natural convection of cold water in a rectangle // Proc. of Symposium on Energy Engineering. Hong Kong: Begell House, 2000. V.l. P.328-333.

102. Kalabin E.V., Sviridov E.M., Zubkov P.Т., Steady and self-oscillatory regimes of natural convection in square cavity filled by water // Proc. of Intern. Conf. on Multiphase Systems. Ufa, 2000. P.59-64.

103. Kalabin E.V., Sviridov E.M., Zubkov P. Т., Steady and unsteady water flow's in square cavity with large Grashof numbers // Proc. of 5th Intern. Conf. on Heat Transfer. Beijing: Higher Education Press, 2000. P.217-222.

104. Kalabin E.V., Zubkov P.Т., Influence of boundary conditions on cold water natural convection in square cavity // Int. J. Transport Phenomena, 2001. принято к печати.

105. Зубков П.Т., Калабин Е.В. Численное исследование естественной конвекции воды вблизи точки инверсии плотности при числах Грасгофа до 106 // Изв. РАН, МЖГ. 2001. No6. С. 103-110.