Численное исследование влияния вязкости на процессы взаимодействия и распространения ударных волн тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Шоев Георгий Валерьевич

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ВЯЗКОСТИ НА ПРОЦЕССЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И РАСПРОСТРАНЕНИЯ

УДАРНЫХ ВОЛН

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 2013

005061960

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича Сибирского отделения Российской академии наук (ИТПМ СО РАН).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Иванов Михаил Самуилович Научный консультант: кандидат физико-математических наук,

Бондарь Евгений Александрович

Официальные оппоненты:

Миронов Сергей Григорьевич, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник, ФГБУН Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича Сибирского отделения РАН.

Чекмарев Сергей Федорович, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник, ФГБУН Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе Сибирского отделения РАН.

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, г. Санкт-Петербург

Защита состоится « » вцлргМ. 2013 г. часов на заседании

диссертационного совета Д003.035.02 по присуждению ученой степени кандидата наук в ФГБУН Институте теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, ул. Институтская, 4/1 (факс (383) 330-72-68).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБУН Института теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН.

Ваш отзыв на автореферат в 2-х экземплярах, заверенный печатью, просим выслать по адресу: 630090, Новосибирск, ул. Институтская, 4/1, ИТПМ СО РАН, ученому секретарю диссертационного совета Д003.035.02.

Автореферат разослан « » 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного --р\ ^^^^

совета, д.т.н. Засыпкин И.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Процессы взаимодействия и отражения ударных волн широко исследовались в различных газодинамических течениях. Однако некоторые наблюдаемые особенности этих процессов до сих пор не имеют удовлетворительных объяснений. Одним из таких примеров является трехволновая конфигурация скачков, которая возникает в области параметров, где подобной конфигурации существовать не должно согласно трехволновой теории Неймана, основанной на соотношениях Ренкина-Гюгонио для косых бесконечно тонких ударных волн. Это несоответствие известно в газовой динамике как парадокс Неймана.

Существует много различных газодинамических моделей для описания структуры течения в условиях парадокса Неймана. Не будем останавливаться на обзоре достоинств и недостатков таких моделей, а рассмотрим только модель Гудерлея, основные положения которой имеют численное подтверждение (Васильев и Крайко, 1999). В этой работе на основе уравнений Эйлера проведено численное моделирование процесса отражения ударной волны от клина. В окрестности точки пересечения ударных волн численно обнаружены центрированная волна разрежения и локальная сверхзвуковая область.

Учет эффектов вязкости и теплопроводности позволил построить модель (Штернберг, 1959) для описания течения при взаимодействии ударных волн в условиях парадокса Неймана. В этой модели вместо тройной точки (точки пересечения падающей и отраженной ударных волн и ножки Маха) существует малая зона вязкого течения, где происходит выравнивание параметров потока за ножкой Маха и отраженной ударной волной. Согласно вязкой модели течение в этой зоне характеризуется наличием сильных градиентов газодинамических параметров и классические соотношения Ренкина-Гюгонио на ударных волнах здесь не выполняются. Для проверки применимости этой модели в работе Штернберга предлагалось проведение экспериментальных исследований стационарного взаимодействия ударных волн в условиях парадокса Неймана в аэродинамических трубах низкой плотности, т.е. при низких числах Рейнольдса. Это позволило бы увеличить размер области, в которой происходит вязкое взаимодействие ударных волн, и детально исследовать структуру течения. Однако до настоящего времени структура течения в области взаимодействия ударных волн при низких числах Рейнольдса экспериментально так и не была исследована. Современное состояние вычислительных технологий позволяет провести такие актуальные численные исследования структуры течения в окрестности точки пересечения ударных волн.

За последнее время значительно вырос интерес к исследованию газодинамических течений на микромасштабах для разработки микроэлектромеханических систем (МЭМС). Одной из актуальных задач дальнейшего развития МЭМС-технологии является исследование взаимодействия ударных волн на микромасштабах. Одним из основных вопросов здесь является влияние вязкости на структуру течения в окрестности тройной точки при нерегулярном отражении ударных волн в стационарных потоках. Также процесс входа и распространения ударных волн в микроканалах при низких числах Рейнольдса требует детального исследования физических механизмов, определяющих динамику взаимодействия ударных волн.

Целью диссертационной работы является численный анализ влияния вязкости на структуру течения при взаимодействии ударных волн в стационарных потоках и на процесс их распространения в микроканалах.

Основные задачи исследования:

1) провести анализ влияния вязкости на структуру течения при махов-ском отражении сильных ударных волн (Мк>2,4 при у=5/3, где у - показатель адиабаты);

2) изучить влияние вязкости на ударно-волновую конфигурацию при маховском отражении слабых ударных волн (М:о<2,4 при у=5/3);

3) проанализировать влияние вязкости на угол наклона отраженной ударной волны и детали течения в окрестности точки пересечения ударных волн в условиях парадокса Неймана;

4) исследовать влияние вязкости и теплопроводности на процесс входа и распространения ударных волн в микроканалах при различных числах Кнудсена;

На защиту выносятся следующие положения, составляющие научную новизну работы.

1. Результаты численного исследования маховского отражения сильных ударных волн с учетом вязкости и теплопроводности. Показано, что в окрестности тройной точки структура течений при различных числах Рейнольдса совпадает в координатах, нормированных на среднюю длину свободного пробега в набегающем потоке. При низких числах Рейнольдса размер этой области соизмерим с характерным масштабом задачи и вязкость оказывает существенное влияние на всю структуру течения. При увеличении чисел Рейнольдса размер зоны, где течение определяется вязкими эффектами, уменьшается и в остальной области вязкость не оказывает существенного влияния на структуру течения.

2. Детальный анализ влияния вязкости на структуру течения в окрестности точки пересечения слабых ударных волн при маховском отраже-

нии. Показано, что в вязком потоке реализуются конфигурации с отраженной волной, направленной вниз по потоку, вне зависимости от положения отраженной ударной волны, соответствующей трехволновой теории.

3. Результаты моделирования взаимодействия слабых ударных волн в широком диапазоне чисел Рейнольдса в условиях парадокса Неймана. Показано, что существует механизм, позволяющий непрерывным образом осуществить переход от параметров течения за ножкой Маха к параметрам течения за отраженной волной через зону выравнивания, где течение существенно двумерное и соотношения Ренкина-Гюгонио на косых скачках не выполняются. Существование этой зоны позволяет разрешить парадокс Неймана.

4. Численное исследование входа и распространения ударной волны в микроканале с учетом вязкости и теплопроводности. При распространении ударных волн в микроканалах их интенсивность уменьшается и в зависимости от числа Кнудсена скорость движения ударной волны либо слабо изменяется по сравнению с начальной скоростью, либо существенно падает и волна движется со скоростью близкой к скорости звука.

Методы исследования. Численное моделирование проводилось с использованием континуального и кинетического подходов с разрешением внутренней структуры ударных волн.

Для моделирования течений с использованием континуального подхода проводилось численное решение двумерных уравнений Эйлера и Навье-Стокса (НС). Эти уравнения решались на структурированной прямоугольной сетке с использованием схемы WENO 5-го порядка для конвективных членов и центрально-разностной схемой 4-го порядка для диффузионных членов. Интегрирование по времени проводилось с использованием схемы Рунге-Кутты 2-го порядка.

Для моделирования течений с использованием кинетического подхода проводилось численное решение уравнения Больцмана методом прямого статистического моделирования Монте-Карло (ПСМ). Расчеты методом ПСМ были проведены с использованием вычислительного комплекса SMILE, разработанного в лаборатории вычислительной аэродинамики ИТПМ СО РАН.

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается использованием верифицированных численных алгоритмов и программных комплексов и сравнением с экспериментальными данными. В работе проведены исследования сходимости численного решения, а также сравнение результатов расчетов, полученных двумя принципиально различными подходами, - континуальным и кинетическим.

Практическая ценность. Полученные результаты способствуют значительному продвижению в понимании особенностей течений с ударными волнами в вязком теплопроводном газе, а именно, существенному пониманию проблемы трехволновой сингулярности (парадокса Неймана). Результаты исследований могут иметь значение для приложений в аэрокосмической технике, энергетике, а также при создании МЭМС. В частности, эти результаты могут использоваться при разработке воздухозаборников перспективных сверхзвуковых и гиперзвуковых летательных аппаратов и при создании микроударных труб.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах ИТПМ СО РАН, ИТ СО РАН, Института механики жидкости (Сендай, Япония), а также на следующих ведущих научных конференциях: международных конференциях по методам аэрофизических исследований (1СМАЛ, Новосибирск, 2010, Казань, 2012), международных симпозиумах по взаимодействию ударных волн (Москва, 2010, Стокгольм, 2012), Международном симпозиуме по динамике разреженного газа (1ШВ27, Монтерей, Калифорния, США, 2010), 6-й, 8-й и 9-й международных конференциях по динамике потоков (Сендай, Япония, 2009, 2011, 2012), Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011), Международном симпозиуме по ударным волнам (188\У28, Манчестер, Англия, 2011).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 18 работах, из которых 4 изданы в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Личный вклад автора. Численные расчеты взаимодействия ударных волн на основе уравнений Эйлера, Навье-Стокса и Больцмана, результаты которых представлены в диссертации, проведены лично автором. Диссертант принимал активное участие в постановке задач, обсуждении результатов, подготовке печатных работ и докладов на конференциях. Результаты совместных работ представлены в диссертации с согласия соавторов.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 94 наименований. Объем диссертации составляет 134 страницы, включая 71 рисунок.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Обоснована актуальность проблем, рассматриваемых в работе, приведен литературный обзор, сформулированы цели и конкретные задачи диссертации, перечислены представленные в диссертации но-

М > 1 N.

мэр"

плоскость симметрии | М<1 | М>1

Рис. 1. Маховская конфигурация в стационарном потоке. 1Б - падающий скачок, ЕР - веер волн разрежения.

Рис. 2. Ударные поляры. М„=4, у=5/3.

вые результаты, их практическая ценность и положения, выносимые на защиту, описана структура диссертации.

В главе 1 рассматривается взаимодействие скачков, создаваемых двумя симметричными клиньями, помещенными в стационарный сверхзвуковой поток. Угол КЛИНЗ. и\у определяет направление потока за падающей волной. В стационарном потоке возможны две различные ударно-волновые конфигурации - регулярная и нерегулярная (маховская, рис. 1). Регулярная конфигурация состоит из падающего и отраженного скачков со сверхзвуковым потоком за отраженным скачком. Нерегулярное отражение характеризуется наличием ножки Маха МБ, в которой происходит торможение потока до дозвуковой скорости. Поток за ножкой Маха и отраженной волной И Б разделяется контактным разрывом ЗБ, исходящим из тройной точки Т.

Качественный и количественный анализ взаимодействия косых скачков часто проводится путем геометрических построений ударных поляр (рис. 2) на плоскости (е, р/р»), в которой показана связь угла поворота потока и давления за косым скачком. Ударные поляры строятся на основе соотношений Ренкина-Гюгонио для косых скачков. Из точки (0, 1) (см. рис. 2), соответствующей параметрам набегающего потока, строится ударная поляра падающей волны (1-ро1аг). Затем из точки, соответствующей параметрам течения за падающей ударной волной (например, 0№=15), строится ударная поляра отраженной волны (11-ро1аг). Для случая регулярного отражения косого скачка поляра отраженной волны всегда пересекает ось давления, и эта точка пересечения поляры отраженного скачка (Ю1) соответствует параметрам течения за отраженной волной. Для случая маховского отражения точка пересечения ударных поляр (МЯ, фактически это трехвол-новое решение) соответствует параметрам течения за тройной точкой, а

Рис. 3. Давление. Черные изолинии - ПСМ, белые - НС. М„=4, 7=5/3, 9„=25° Ке„=5-103, Кп=10~3.

0.38 0.4,^0.42 0.44

а) Плотность.

угол отклонения потока, в котором поляры пересекаются, соответствует углу наклона контактного разрыва SS (см. рис. 1).

Результаты расчетов маховского отражения сильных ударных волн представлены на рис. 3. Показано, что численное решение уравнений НС хорошо согласуется с результатами метода ПСМ при числах Рейнольдса Rew=PccMoow/|aOo=5-103, где характерный размер течения w - длина клина (см. рис. 1). Оба подхода дают углы наклона всех ударных волн (рис. 4, а) в окрестности тройной точки, согласующиеся с углами наклона, предсказываемыми трехволновой теорией Неймана. Сплошные (жирные) линии на рис. 4, а показывают расположение ударных волн согласно трехволновой теории. На рис. 4, б показана плоскость (е, р/рш), в которой точки А, В, С, D, Е, F соответствуют точкам в плоскости (x/w, y/w), показанным на рис. 3 и 4, а. Видно, что в точке С параметры потока отходят от части поляры, соответствующей ножке Маха, и приходят в точку Е к параметрам, соответствующим участку поляры за отраженной волной. Такое поведение параметров потока за ножкой Маха и отраженной волной показывает влияние вязкости на структуру течения в окрестности тройной точки.

Учет влияния вязкости вводит еще один дополнительный характерный масштаб длины, а именно среднюю длину свободного пробега молекул Рассмотрим течение в окрестности тройной точки в безразмерных координатах (х/Х», yfKo). Видно хорошее совпадение распределения давлений при различных числах Rew (рис. 5). Это означает подобие течений в окрестности тройной точки в «физических» координатах (х,у). При уменьшении числа Rew размер данной области подобия увеличивается и это может привести к заметному отклонению расчетной ударно-волновой конфигурации по сравнению с трехволновым решением. При увеличении числа Rew размер этой области подобия

5 в, deg10 15

6) Плоскость (е, р/ро). Рис. 4. Численное решение

уравнений НС. М»=4,7=5/3, 0W=25°, Rew=5-103, Kn=10~3.

-90 x/X„ -80 -70

Рис. 5. Давление (ПСМ) при Rew=5-103 и Rew=104. М»=4,7=5/3, ew=25°.

уменьшается, и поэтому вязкость не оказывает заметного влияния на полную структуру течения. Таким образом, при больших числах Яе« вязкость оказывает влияние только в малой окрестности тройной точки, соизмеримой с толщиной ударной волны, и не изменяет углы наклона отраженной ударной волны и ножки Маха.

Глава 2 посвящена изучению влияния вязкости на структуру течения при нерегулярном отражении слабых ударных волн (М,»<2,4 при у=5/3). Ударные поляры в плоскости (в, рфоо) для различных углов клина 0«, соответствующие случаям нерегулярного отражения ударных волн (Мш=1,7), рассмотренным во второй главе, представлены на рис. 6.

Последовательное изменение 0« от значений, соответствующих маховскому отражению, до значения 0№, соответствующего парадоксу Неймана, через промежуточные значения 9Л, позволяет провести качественный анализ структуры течения. Для углов клина 6,Л, меньших критического значения 13,38° формально существует трехволновое решение. Однако в отличие от отражения сильных ударных волн здесь возникает область дозвукового течения за отраженной ударной волной.

При 0«=8,5° пересечение ударных поляр дает маховскую конфигурацию с отраженной волной, направленной вниз по потоку. При этом угол поворота потока в отраженной волне уменьшается, т.е. происходит обратный разворот потока. При угле клина 0№=9,627° отраженная волна становится нормальной по отношению к потоку за падающей волной и при переходе через отраженную волну направление потока не изменяется. При 0№=12° отраженный скачок направлен против потока за падающим скачком и угол поворота потока за отраженным скачком увеличивается. Отметим, что во всех выше рассмотренных случаях течение за отраженной волной является дозвуковым. Однако при дальнейшем увеличении угла клина (0„=13°) трехволновое решение дает сверхзвуковой поток за отраженной волной. При 0«=13,5° поляры отраженной и падающей ударных волн не пересекаются (решения нет), что соответствует условиям парадокса Неймана. Однако в этом случае можно построить четырех-волновое решение Гудерлея (рис. 7). Параметры в области 1 соответст-

5 е, с!ед 10 Тб

Рис. 6. Ударные поляры. М»=1,7, у=5/3.

в, аеа

Рис. 7. Решение Гудерлея. М„=1,7,7=5/3,в„=13,5°.

e) 6W=13° Рис. 8. Результаты расчетов (ПСМ) при М„=1,7, 7=5/3,

Яе„=2123, Кл=10~3. а, б, в, ж - изолинии числа Маха.

г, д, е, з - плоскость (в, р/р«,).

ж) 0„=13,5°

з) 9w=13,5°

вуют параметрам в звуковой точке на поляре отраженной ударной волны. Переход из области 1 в область 2 осуществляется через центрированную волну Прандтля-Майера РМ. Угол поворота потока и давление в области 2 соответствуют параметрам в точке пересечения кривой РМ и поляры падающей ударной волны. Угол поворота потока и давление в области 2 равно углу поворота потока и давлению в области 3. Таким образом можно найти параметры течения в окрестности точки пересечения ударных волн.

Результаты расчетов при Моо=1,7, 7=5/3, Ке„=2123 и различных углах клина представлены на рис. 8. Расчеты были проведены на основе уравнений НС и методом ПСМ, который позволяет получить не только все поле течения, но и детально рассмотреть внутреннюю структуру ударных волн. Также как и в случае отражения сильных ударных волн, в рассматриваемом случае численное решение уравнений НС (белые линии на рис. 8, ж) хорошо согласуется с результатами расчета методом ПСМ (черные линии рис. 8, ж).

а) 0w=9,627°

в) 0W=13°

10

Для всех рассмотренных случаев за отраженной волной и ножкой Маха в расчетах формируется замкнутая зона дозвукового течения, при этом геометрия звуковой линии качественно схожа для всех маховских конфигураций. Белыми линиями показано расположение ударных волн согласно трехволновой теории. Точки А, В, С, D, Е на полях течений соответствуют точкам в плоскостях (о, р/роо). Согласно трехволновой теории течение за отраженной волной при 0W=9,627°, 0W=12° (рис. 8, г, д) является дозвуковым, так как точка пересечения поляр лежит на. дозвуковой части поляры отраженной волны. При 0W=13° (рис. 8, е) точка пересечения ударных поляр С' лежит на сверхзвуковой части поляры отраженной волны, и поэтому поток за отраженной волной согласно трехволновой теории должен быть сверхзвуковым. Однако в расчетах, как отмечалось ранее, в этом случае (0W=13°) реализуется дозвуковое течение.

Следует отметить, что, в отличие от отражения сильных ударных волн, при отражении слабых ударных волн влияние вязкости приводит к значительному изменению угла наклона отраженной волны по сравнению с углом наклона, полученным из трехволнового решения.

Результаты расчетов на основе уравнений НС и методом ПСМ в условиях парадокса Неймана (0W=13,5°) при числе Рейнольдса Rew=2123 показаны на рис. 8, ж, з. Хорошо видно, что в этом случае учет вязкости не позволяет получить численные решения близкие к решению Гудерлея (см. рис. 7, 8, з). Расчеты при более высоких числах Рейнольдса, представленные во второй половине этой главы, позволили приблизиться к решению Гудерлея.

В целом можно заключить, что результаты расчетов при числах Рейнольдса Rew~103 показали наличие зоны, в которой не выполняются соотношения Ренкина-Гюгонио (области, где численные данные не лежат на ударных полярах). Эта зона наблюдается во всех рассмотренных случаях, когда существует трехволновое решение, а также в условиях парадокса Неймана.

В случае когда трехволновое решение существует, углы отраженных волн и угол поворота потока за тройной точкой сильно отличаются от результатов трехволновой теории. Однако неизвестно, как будет изменяться структура течения при увеличении числа Рейнольдса и согласуются ли результаты трехволновой теории с результатами численного моделирования при больших числах Рейнольдса.

В случае парадокса Неймана, локальных сверхзвуковых областей, соответствующих модели Гудерлея, за тройной точкой обнаружено не было. В настоящий момент не ясно, может ли «вязкая» структура течения при числе Рейнольдса Rew—wo непрерывным образом перейти в четырех-

волновую конфигурацию Гудерлея с локальной сверхзвуковой зоной. Для полного понимания структуры течения в окрестности тройной точки проводилось параметрическое исследование численного решения уравнений НС при изменении числа Рейнольдса от Яеи-Ю3 до Яе^Ю9. Расчеты проводились с использованием техники вложенных расчетных областей, которая заключается в следующем. Численное решение во всей расчетной области интерполируется на небольшую подобласть вблизи тройной точки, и расчет продолжается в этой подобласти до достижения стационарного решения. Далее в этой подобласти выделяется следующая подобласть, включающая тройную точку, в которую интерполируется решение, полученное на текущей итерации, расчет продолжается. Таким образом, используя последовательность вложенных расчетных областей, можно достичь пространственного разрешения вычислительной сетки в окрестности тройной точки, необходимого для разрешения структуры ударных волн даже при больших числах Рейнольдса.

Результаты расчетов при различных числах Рейнольдса для случая маховского отражения с отраженной волной, направленной вниз по потоку, показаны на рис. 9. Расположение ударных волн согласно трехволновой теории показано белыми линиями. При увеличении числа Рейнольдса происходит заметное увеличение углов поворота потока за тройной точкой и углов наклона ударных

1'Б.Б31э -"""^6

,E1i756.5СЮ

б) Rew=2'10

20, deg4 в

в) Плоскость (в, р/рм). Рис. 9. Численное решение уравнений НС при различных числах Рейнольдса. а), б) Угол поворота потока. М„=1,7,7=5/3, 0W=8,5°. в) Плоскость (в, р/р„).

волн. Фактически полученные результаты свидетельствуют о сходимости численного решения уравнений НС по числу Рейнольдса к трехволново-му решению.

Результаты расчетов в условиях парадокса Неймана при различных числах Рейнольдса показаны на рис. 10. Хорошо видно, что при увеличении числа Рейнольдса численные данные в плоскости (о, р/р») прибли-

Rew=6x1О

__ ^Rew=1.6x10*i

T4 14.2 e' deg 14.4

а) Плоскость (в, p/p«), 1 - решение Гудерлея

i.e '/л /Л

mW

I.O^Q ö

tu

Raw = 1.6x10*1

жаются к кривои, соответствующей решению Гудерлея. На рис. 10, б показана окрестность тройной точки в координатах, нормированных на среднюю длину свободного пробега молекул в набегающем потоке Я®. Размер этой области составляет 300х570Хм. Как уже отмечалось, при 11евд=2123 за отраженной волной формируется область с дозвуковым течением. Однако при увеличении числа Рей-нольдса до Кеи,= 1,6-109 структура течения сильно изменяется. Угол наклона отраженной ударной волны увеличивается и происходит заметное изменение формы звуковой линии, которое приводит к формированию локальной сверхзвуковой области. При этом в плоскости (е, р/роо) численные данные практически совпадают с кривой, соответствующей решению Гудерлея.

Сравнение численного решения уравнений Эйлера с численным решением уравнений НС при 11е№=1,6-109 показано на рис. 11, на котором приведено поле давления в окрестности тройной точки. Размер этой зоны составляет 3,6-10~7х6,5-10~7м>, - длина наклонной части клина (см. рис. 1). В вязком случае отраженная ударная волна является очень слабой, поэтому она толще падающей в несколько раз (рис. 11, слева). В случае уравнений Эйлера (рис. 11, справа) толщина ударных волн составляет несколько ячеек и не зависит от интенсивности ударной волны, поэтому толщина падающей и отраженной ударных волн примерно одинаковая. В целом, можно утверждать, что невязкое (уравнения Эйлера) и вязкое (уравнения НС) решения дают локальную сверхзвуковую область за тройной точкой, но эти области имеют разную структуру течения. Отметим, что структура локальной сверхзвуковой области, полученной при численном решении уравнений Эйлера сквозным счетом с использованием техники вложенных расчетных об-

б) Плотность Рис. 10. Результаты расчетов (НС) при различных числах Рейнольдса. Моо=1,7, у=5/3, е»=13,5°.

Рис. 11. Сравнение численных решений уравнений Эйлера и НС при 11е„=1,6-109. Изолинии давления. Мс»=1,7, у=5/3, 0„=13,5°.

ластей, качественно совпадает со структурой этой области, полученной Васильевым и Ольховским (2009), с выделением падающего и маховско-го скачков.

Таким образом, можно заключить, что в широком диапазоне чисел Рейнольдса окрестность тройной точки является зоной выравнивания параметров потока от значений за ножкой Маха к значениям за отраженной ударной волной. В этой зоне параметры течения отличаются от параметров, предсказываемых трехволновой и четырехволновой (в случае парадокса Неймана) теориями. Учет влияния вязкости позволяет построить физическое решение, в котором отраженная волна будет направлена вниз по потоку, а не против него, как этого требует невязкая модель Гудерлея. Существование зоны конечного размера в окрестности тройной точки, в которой не выполняются соотношения Ренкина-Гюгонио, полностью объясняет парадокс Неймана.

В главе 3 рассматривается задача о входе и распространении ударной волны (М|5=2,03) по микроканалу при различных числах Кнудсена Кп=8-10~3-8-10-1, вычисленных по полувысоте микроканала Н. Число Маха ударной волны соответствует условиям эксперимента (Миршекари и Бруиетт, 2009). Вычислительная область, использованная для решения этой задачи, представлена на рис. 12. Сравнение результатов вычислений на основе уравнений Эйлера и НС позволяет оценить влияние эффектов вязкости и теплопроводности на распространение ударной волны в микроканале.

На рис. 13 представлены результаты численного моделирования на основе уравнений НС при Кп=8Т0~3. На поле течения хорошо видно, что за входом в микроканал образуется несколько слабых скачков. На плоскости симметрии в макроканале возникает маховское отражение ударной волны. На верхней стенке микроканала образуется пограничный слой. Случай с числом Кнудсена Кп=8-10~3 соответствует условиям эксперимента, проведенного Миршекари и Бруиеттом (2009).

В настоящей работе дополнительно проводилась оценка скорости распространения ударной волны в микроканале на основе квазиодномер-

Ударная волна

М1Э

Микроканал

I

Макроканал

н

Плоскость симметрии

Рис. 12. Вычислительная область.

Рис. 13. Изолинии числа Маха (НС) при /=0,2 мкс. М|5=2,03, у=1,4, Кп=8-10"3.

500

'6.

Мк-2.03 N8 Еикег

ЕхрвНтагЛ Оиаа!1-0 той«

1 1,ц» 2

Рис. 14. Диаграмма х)

1=0,575 ц» 8

\ Б

а) 1 - разделительная пластина.

1=0,675 ц»

:2Н

ьйкИ

в

ной модели Саласа (1991) без учета вязкости. Предполагается, что падающая ударная волна отражается от стенки с разрывом поперечного сечения канала как от жесткой стенки и формируется отраженная волна. В результате перед входом в микроканал образуется область высокого давления; это приводит к тому, что газ с нулевой скоростью из области перед входом в микроканал переходит в микроканал и разгоняется до локальной скорости звука. Таким образом, на входе в микроканал возникает течение газа, отличное от изначально покоящегося газа. Это приводит к задаче распада произвольного разрыва между состоянием на входе в микроканал и состоянием изначально покоящегося газа.

Зависимости координаты ударной волны от времени, полученные в модели Саласа и численном моделировании, и эксперименте, представлены на рис. 14. В момент времени /=0 положение падающей ударной волны совпадает с входом в микроканал. Сплошной линией обозначено распространение ударной волны с постоянной скоростью, равной скорости падающей ударной волны. После входа происходит ускорение (усиление) ударной волны. Затем в невязком случае ударная волна движется практически с постоянной скоростью. Штриховая линия (М8=2,42) соответствует результату модели Саласа. Небольшие отличия наблюдаются между результатами квазиодномерной модели и результатами вычислений на основе двумерных уравнений Эйлера. Эти различия связаны с двумерным характером течения в окрестности входа в микроканал (см., например, рис. 13) и его конечными размерами. Ускорение ударной волны в вязком случае также происходит из-за влияния высокого давления перед входом в микроканал, однако из-за теплопотерь и трения на стенках максимальная скорость ударной волны после входа в микроканал меньше, чем в невязком случае. В расчетах (НС) и эксперименте происходит затухание ударной волны из-за взаимодействия со стенками.

в

:=10Н

б) Й=2Я, Я=ЮН. Рис. 15. Изолинии числа Маха

(ПСМ) при Кп=8-1(Г2. ¿■-ударная волна, распространяющаяся в микроканале.

Результаты проведенных вычислений позволяют заключить, что при распространении ударной волны в микроканале при Кп=8ТО~3 существует два конкурирующих процесса, влияющих на скорость движения ударной волны - усиление и затухание ударной волны. Исходя из результатов, представленных на рис. 14, можно предположить, что при Кп=8ТО~3 влияние обоих процессов на распространение ударной волны взаимно компенсируется. Кроме того, на основе полученных данных можно предположить, что при уменьшении числа Кнудсена ускорение ударной волны будет увеличиваться и при Кп—»0 (или 11е—юо) распространение ударной волны внутри микроканала будет стремиться к невязкому решению. В то же время характер движения ударной волны при более высоких числах Кнудсена остается неясным. Поэтому в данной главе проводится ещё одна серия расчетов при более высоких числах Кнудсена.

Расчеты при числе Кнудсена Кп=8 10~ не выявили ускорения ударной волны в окрестности входа в микроканал, при дальнейшем распространении наблюдалось затухание волны до скорости звука. Таким образом, можно заключить, что фактором, определяющим скорость движения ударной волны, является взаимодействие со стенкой микроканала, а повышение давления на входе вносит значительно меньший вклад. При большем числе Кнудсена Кп=8 10~' происходит очень быстрое затухание ударной волны, и можно утверждать, что ударная волна фактически не формируется в микроканале. Чтобы качественно оценить влияние повышения давления на входе при Кп=8Т0~2, были проведены дополнительные расчеты для геометрии входа с разделительной пластиной (рис. 15, а).

Режим течения при Кп=810~2 с быстрым затуханием ударной волны отличается от режима течения при Кп=810~3. В данной главе показано, что геометрия входа в микроканал может заметно повлиять на распространение ударной волны, поэтому можно предположить, что правильное изменение геометрии входа может привести к ускорению ударной волны при Кп=81(Г2. Так как перед входом в микроканал течение газа является дозвуковым, то для ускорения газа можно исполь-

различных геометрий входа: канал с разрывом поперечного сечения (7), соединение двух каналов с пластиной (2), соединение двух каналов через закругление радиуса Я=2Н (3) и Д=10Н (4) при Кп=8-10"2 (ПСМ).

зовать вход с постепенно сужающимся сечением, например, в виде сектора с углом 90° (рис. 15, б).

Сравнение траекторий ударных волн для всех геометрий показано на рис. 16. Хорошо видно, что в случае с разделительной пластиной волна распространяется с меньшей скоростью, чем в остальных случаях. Для случая с геометрией 4 ударная волна распространяется с наибольшей скоростью. С некоторого момента времени, волна начинает распространяться со скоростью, близкой к скорости звука (штриховая линия на рис. 16) в покоящемся газе, для всех рассмотренных случаев.

В заключении сформулированы основные выводы работы.

1. Результаты расчетов маховского отражения сильных ударных волн с учетом вязкости показали, что существует локальная зона (соизмеримая с толщиной ударных волн) в окрестности тройной точки, где параметры течения отличаются от значений, предсказываемых трехволновой теорией. Численно продемонстрировано, что поля течений в этой зоне в исследованном диапазоне чисел Рейнольдса совпадают в координатах, нормированных на среднюю длину свободного пробега в набегающем потоке. Следовательно, для сильных ударных волн вязкость оказывает только локальное влияние на масштабах соизмеримых с толщиной ударных волн.

2. Численно показано, что при маховском отражении слабых ударных волн в окрестности тройной точки формируется вязкая зона двумерного течения, в которой не выполняются соотношения Ренкина-Гюгонио на косых скачках. Наличие такой вязкой зоны приводит к существенному изменению угла наклона отраженной волны по сравнению с углом наклона, предсказываемым трехволновой теорией. Это изменение проявляется только для случаев, когда трехволновое решение дает отраженную волну, направленную вверх по потоку за падающим скачком. Для случаев, когда трехволновое решение дает отраженную волну, направленную вниз по потоку за падающей волной, вязкость не приводит к качественному изменению ударно-волновой конфигурации.

3. На основе численного моделирования с учетом вязкости показано, что при отражении ударных волн в условиях парадокса Неймана структура течения качественно совпадает со структурой течения при маховском отражении слабых ударных волн (когда существует трехволновое решение). В окрестности тройной точки вязкость также приводит к формированию зоны выравнивания, в которой параметры за ножкой Маха непрерывно переходят к параметрам за отраженной волной. Существование этой зоны выравнивания, где соотношения Ренкина-Гюгонио не выполняются, позволяет разрешить парадокс Неймана.

4. Результаты численного моделирования входа и распространения ударной волны в микроканале показали усиление ударной волны в окрестности входа в микроканал. При дальнейшем распространении ударной волны происходит ее затухание, что согласуется с экспериментальными данными. Усиление ударной волны обусловлено влиянием высокого давления за отраженной от стенки волной перед входом в микроканал. Показано, что геометрия входа также влияет на процесс распространения ударной волны в окрестности входа в микроканал. На достаточно большом расстоянии от входа в микроканал влияние вязкости становится значительным и приводит к значительному затуханию (ослаблению) ударных волн. Темп этого затухания зависит от числа Кнудсена (Рейнольдса).

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ РАБОТЫ

1. Шоев Г.В., Бондарь Е.А., Хотяновский Д.В., Кудрявцев А.Н., Марута К., Иванов М.С. Численное исследование входа и распространения ударной волны в микроканале И Теплофизика и аэромеханика, 2012. Т. 19, №1. С. 19-34.

2. Ivanov М. S., Bondar Ye.A., Khotyanovsky D.V., Kudryavtsev A.N., Shoev G.V. Viscosity effects on weak irregular reflection of shock waves in steady flow // Progress in aerospace sciences, 2010. Vol. 46. P. 89-105.

3. Khotyanovsky D.V., Bondar Y.A., Kudryavtsev A.N., Shoev G.V., Ivanov M.S. Viscous effects in steady reflection of strong shock waves // AIAA Journal, 2009. Vol. 47, №5. P. 1263-1269.

4. Шоев Г.В. Численное моделирование входа и распространения ударной волны в микроканале // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011. № 4, Ч. 2. С. 567-569.

5. Иванов М.С., Бондарь Е.А., Хотяновский Д.В., Кудрявцев А.Н., Шоев Г.В. Влияние вязкости на нерегулярное отражение косых скачков уплотнении // Проблемы и достижения прикладной математики и механики: к 70-летию акад. В.М.Фомина, 2010. С. 205-215.

6. Khotyanovsky D.V., A.N. Kudryavtsev, Bondar Ye.A., Shoev G.V., Ivanov M.S. Viscosity effects on weak shock wave reflection // International Symposium on Shock Wave: proceedings, Vol. 2. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2009. P. 1555-1560.

7. Ivanov M.S., Bondar Ye.A., Khotyanovsky D.V., Kudryavtsev A.N., Shoev G.V. Effects of viscosity on steady reflection of weak shock waves II AIAA Thermophysics Conference: AIAA Paper, 2008. Paper 4257.

8. Ivanov M.S., Khotyanovsky D.V., Shoev G.V., Bondar Ye.A., Kudryavtsev A.N. Viscous simulations of steady irregular reflection of weak shock waves // 18th International Shock Interaction Symposium. Rouen, 2008. P. 47-50.

9. Bondar Ye.A., Khotyanovsky D.V., Kudryavtsev A.N., Shoev G.V., Ivanov M.S. On non-Rankine-Hugoniot conditions behind steady configurations of strong shock waves // 18th International Shock Interaction Symposium. Rouen, 2008. P. 39-42.

10. Khotyanovsky D.V., Shoev G.V., Bondar Ye.A., Kudryavtsev A.N., Ivanov M.S. Viscosity effects on weak irregular reflection of shock waves in steady flow // International

Symposium on Rarefied Gas Dynamics: AIP conference proceedings. Vol. 1084, New York 2009. P. 329-334.

ll.Shoev G.V., Khotyanovsky D.V., Bondar Ye. A., Kudryavtsev A.N., IvanovM.S. Numerical study of three-shock intersection at von Neumann paradox condition // 27th International Symposium on Shock Waves 2009. New York: Curran Associates, Inc., 2011. P. 302-307.

12. Ivanov M.S., Bondar Ye.A., Khotyanovsky D.V., Shoev G.V., Kudryavtsev A.N. Numerical simulation of the shock wave propagation in a narrow microchannel // International Conference on the Methods of Aerophysical Research: Abstracts. Pt. 2. Novosibirsk, 2010. P. 87-88.

13. Shoev G.V., Khotyanovsky D.V., Bondar Ye.A., Kudryavtsev A.N., Ivanov M.S. Numerical study of the von Neumann paradox in steady flow // International Conference on the Methods of Aerophysical Research: Abstracts. Pt. 2. Novosibirsk, 2010. P. 228-229.

14. Shoev G.V., Bondar Ye.A., Khotyanovsky D.V., Kudryavtsev A.N., Mirshekari G., Brouillette M., Ivanov M.S. Numerical study of the shock wave propagation in a micron-scale contracting channel // International Symposium on Rarefied Gas Dynamics: AIP conference proceedings. Vol. 1333. New York, 2011. P. 778-783.

15. Shoev G.V., Khotyanovsky D.V., Bondar Ye.A., Kudryavtsev A.N., Ivanov M.S. Numerical study of triple-shock-wave structure in steady irregular reflection // International Symposium on Rarefied Gas Dynamics: AIP conference proceedings. Vol. 1333. New York, 2011. P. 325-330.

16. Shoev G.V., Ivanov M.S., Khotyanovsky D.V., Bondar Y.A., Kudryavtsev A.N. Supersonic patches in steady irregular reflection of weak shock waves // 28th International Symposium on Shock Waves. Vol. 2. Berlin; Heidelberg: Springer, 2012. P. 543-548.

17. Shoev G.V., Bondar Ye.A., Khotyanovsky D.V., Kudryavtsev A.N., Mirshekari G., Brouillette M., Ivanov M.S. Numerical simulation of Shockwave entry and propagation in a microchannel // 28th International Symposium on Shock Waves. Vol. 2, Berlin; Heidelberg: Springer, 2012. P. 931-937.

18. Shoev G.V., Bondar Y.A., Khotyanovsky D.V., Kudryavtsev A.N., Ivanov M.S. Numerical study of shock wave entry and propagation in a contracting microchannel // AIAA Thermophysics Conference: AIAA paper, 2011. Paper 3132.

I.

(

Ответственный за выпуск Г.В. Шоев Подписано к печати 05.03.2013 Формат бумаги 60x84/16, Усл. печ. л. 1.0, Уч.-изд. л. 1.0, Заказ № 3, Тираж 100 экз. Отпечатано в ЗАО «ДокументСервис» 630090, Новосибирск-90, Институтская 4/1

Сибирское отделение Российской Академии наук Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ВЯЗКОСТИ НА ПРОЦЕССЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И РАСПРОСТРАНЕНИЯ

УДАРНЫХ ВОЛН

Специальность 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Шоев Георгий Валерьевич

Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор М.С. Иванов

Научный консультант: к.ф.-м.н., Бондарь Е.А.

Новосибирск 2013

Оглавление

ОГЛАВЛЕНИЕ............................................................................................................................................................2

ВВЕДЕНИЕ..................................................................................................................................................................3

1. ОТРАЖЕНИЕ СИЛЬНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН...............................................................................................17

1.1. Постановка задачи......................................................................................................................................17

1.2. Техника ударных поляр..............................................................................................................................19

13. Численные методы. Начальные и граничные условия...................................................................24

1.4. Маховское отражение................................................................................................................................32

2. ОТРАЖЕНИЕ СЛАБЫХ УДАРНЫХ ВОЛН..................................................................................................46

2.1. Постановка задачи......................................................................................................................................46

2.2. Четырехволновая модель Гудерлея.......................................................................................................50

" 2.3. Построение численных данных в плоскостях (u/u„, v/u«,), (е,р/рм), (о,р/рш) и (е,Т/Тм)................52

2.4. Маховское отражение с отраженной волной направленной перпендикулярно к

потоку за падающей волной при rew~103...........................................................................................................54

2.5. Маховское отражение с отраженной волной направленной вверх

по потоку при rew~103...............................................................................................................................................59

2.6. Маховское отражение с приходящей отраженной волной при Rew~103.....................................63

2.7. Нерегулярное отражение в условиях парадокса Неймана при Rev~103......................................67

2.8. Техника вложенных расчетных областей...........................................................................................71

2.9. Маховское отражение с отраженной волной направленной вниз по

потоку при Ке«=103-109 .............................................................................................................................................. 74

2.10. Нерегулярное отражение в условиях парадокса Неймана при Rew=103-109.............................81

2.11. Сравнение с моделью Штернберга с учетом вязкости..................................................................88

3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН НА МИКРОМАСШТАБАХ...................................................94

3.1. Постановка задачи. Численные методы и граничные условия....................................................94

3.2. Исследование входа и распространения ударной волны в микроканале..................................96

3.3. Сравнение с моделью Саласа для распространения ударной волны в канале с

ч

разрывом площади поперечного сечения........................................................................................................100

3.4. Сравнение результатов расчетов с учетом вязкости и теплопроводности

при Kn=8-10 3 с экспериментальными данными.............................................................................................106

3.5. Исследование входа и распространения ударной волны в микроканале при Kn=8-10"2......113

3.6. Влияние геометрии входа на распространение ударной волны внутри

микроканала при KN=8'10"2....................................................................................................................................116

3.7. Исследование входа и распространения ударной волны в микроканале при Kn=8-10"1......120

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.......................................................................................................................................................124

ЛИТЕРАТУРА.........................................................................................................................................................126

Введение

Задача об отражении ударной волны от твердой поверхности или плоскости симметрии является одной из классических задач газовой динамики. Как установил в конце XIX века Э. Мах [1], при достаточно больших углах падения обычное регулярное отражения сменяется нерегулярным (маховским). При маховском отражении точка, в которой встречаются падающая и отраженная волна, расположена на некотором расстоянии от отражающей плоскости и соединяется с ней третьей, почти нормальной к набегающему потоку и слегка искривленной ударной волной («ножкой Маха»), Возникновение нерегулярного отражения является одним из следствий нелинейной природы ударных волн, делающей их отражение существенно более сложным для изучения, чем отражение линейных акустических или электромагнитных волн.

Исследование критериев перехода к маховскому отражению сильных ударных волн (М>2,2 при у=1,4) было начато в 40-ых годах прошлого века в работах Дж. фон Неймана [2], [3], который показал, что регулярное отражение невозможно, если угол падения волны а становится больше аа,

значения, соответствующего критерию максимального отклонения потока. Анализ маховской конфигурации в окрестности тройной точки приводит к другому критерию, определяющему минимальный угол при котором возможно существование маховского отражения {критерий механического равновесия или критерий фон Неймана). Для достаточно сильных ударных волн ам так что существует диапазон углов падения (область двойного решения), внутри которого теоретически не запрещено существование как регулярной так и маховской ударно-волновой конфигурации. Размер области двойного решения аа - аИ быстро увеличивается с ростом числа Маха.

В конце 1970 гг. X. Хорнунг высказал предположение о возможном существовании гистерезиса при переходе между регулярным и маховским

отражением в стационарных течениях. Именно, при увеличении а маховское отражение будет возникать при а = а,, при его же уменьшении обратный переход к регулярному отражению будет происходить только по достижении а = аи. Проведенные Хорнунгом эксперименты не подтвердили, однако, данное предположение - переход всегда наблюдался вблизи ам. После этого общепринятой точкой зрения стало, что в случае сильных стационарных ударных волн переход к маховскому отражению происходит в соответствии с критерием фон Неймана.

В середине 1990-х годов, в ИТПМ СО РАН были начаты численные исследования отражения ударных волн, в которых впервые было обнаружено существование гистерезиса. В апреле 1995 г. эти результаты были опубликованы в [4], а в декабре того же года появилась статья [5] французских и израильских ученых, в которой было доложено об экспериментальном наблюдении данного явления. Однако, если основные детали гистерезиса, обнаруженного численно, согласовывались с гипотезой X. Хорнунга, то в экспериментах ситуация была менее ясной. В частности, переход к маховскому отражению происходил примерно в середине области двойного решения.

Численное и экспериментальное наблюдение гистерезиса вызвало

большой интерес как у нас в стране, так и за рубежом. В последующее

десятилетие данная тема стала предметом интенсивного изучения, в

котором активное участие принимали специалисты ИТПМ СО РАН,

которыми был выполнен большой объем численных исследований.

Расчеты проводились как путем решения уравнений Эйлера и Навье-

Стокса, так и с помощью метода прямого статистического моделирования

решения кинетического уравнения Больцмана. Следует сказать, что,

несмотря на простоту формулировки, рассматриваемая задача

представляет значительные трудности для численного моделирования. Это

связано как с самой природой изучаемого явления (неединственность

стационарного состояния, его зависимость от предыстории), так и с тем,

4

что расчеты необходимо выполнять при гиперзвуковых числах Маха, когда поле течения включает сильную, почти прямую ударную волну (ножку Маха) с зоной дозвукового течения за ней и область очень сильного разрежения за клином. Кроме того, во многих случаях, особенно для сравнения экспериментом, необходимо проводить трехмерные расчеты, учитывая конечный размах клиньев - генераторов ударных волн. Эти проблемы были преодолены, используя разработанные вычислительные программы, основанные на применении современных схем сквозного счета высокого порядка точности для решения континуальных уравнений, и схемы мажорантной частоты - для статистического моделирования. Программы были распараллелены для применения на многопроцессорных ЭВМ.

Расчеты, проведенные с помощью континуального и кинетического подходов, с большой надежностью показали, что в диапазоне ам <а < а,, при одинаковых параметрах набегающего потока, в зависимости от начальных условий, в качестве стационарного решения действительно может быть получена, как регулярная, так и маховская ударно-волновая конфигурация. Их смена при плавном изменении угла сопровождается гистерезисом, при этом углы переходов находятся в отличном согласии с теоретическими критериями.

Для экспериментального подтверждения результатов численного моделирования [4], [6]-[13] были проведены исследования в аэродинамических трубах ИТПМ СО РАН. Было получено очень хорошее количественное согласие расчетных и экспериментальных данных. Это доказало способность современных численных алгоритмов описывать с высокой точностью такие сложные пространственные конфигурации ударных волн.

Таким образом, в результате выполненного в ИТПМ СО РАН цикла работ была фактически решена одна из последних остававшихся нерешенными задач классической газовой динамики - установлены

5

условия перехода между регулярным и нерегулярным взаимодействием сильных ударных волн в стационарных течениях. Группа сотрудников ИТПМ СО РАН (М.С. Иванов, А.Н. Кудрявцев, Д.В. Хотяновский) была удостоина премии РАН им. А.Н. Крылова за выдающиеся работы по использованию вычислительной техники в решении задач механики и математической физики.

Для отражения сильных ударных волн многочисленные расчеты [14] на основе уравнений Эйлера дают достаточно хорошее согласие с трехволновой теорией. В численном моделировании [15] на основе уравнений Эйлера с использованием схем сквозного счета за тройной точкой наблюдается небольшая область, где давление и температура отличаются от предсказаний трехволновой теории. Необходимо отметить, что при использовании схем сквозного счета всегда присутствует схемная вязкость, которая может влиять на численное решение. Однако детального исследования влияния вязкости (физической, не численной) и теплопроводности на структуру течения в окрестности тройной точки при отражении сильных ударных волн проведено не было.

Стационарное отражение ударных волн играет очень важную роль в аэродинамике. Регулярное и нерегулярное отражение ударных волн является характерным примером течения в воздухозаборнике на сверхзвуковом летательном аппарате. Однако, несмотря на обширный материал экспериментальных и численных исследований, некоторые наблюдаемые явления при нерегулярном стационарном отражении ударных волн до сих пор не имеют удовлетворительных объяснений. Одним из таких явлений является трехволновая конфигурация ударных волн, которая возникает в области параметров, где согласно теории Неймана подобной конфигурации существовать не должно. Это несоответствие получило название парадокс Неймана [16]-[23]. Впервые противоречия экспериментальных данных с трехволновой теорией обнаружил Уайт [16], [17]. При изучении взаимодействия слабых ударных

волн (М<2,2 при у=1,4) помимо количественных расхождений с теорией Неймана он обнаружил маховские конфигурации для таких параметров потока, где трехволновая теория не предсказывает существования маховской конфигурации. Многочисленные последующие эксперименты подтвердили упомянутое несоответствие.

Можно выделить два различных подхода для разрешения парадокса Неймана: первый подход использует модель идеального газа; второй -учитывает вязкость и теплопроводность. Далее рассмотрим основные результаты исследований, полученные в рамках этих подходов более подробно.

В исследованиях применяющих первый подход, основанный на модели идеального газа, предполагалось существование газодинамических особенностей в окрестности тройной точки или применялась модификация граничных условий, которые позволяют построить решение в условиях парадокса Неймана. В частности, предполагалось наличие волн сжатия, локального веера волн разрежения (модель Гудерлея, [24], [25]), коррекция условия параллельности потоков на контактной поверхности [18], [26]-[28]. Также к особенностям относятся центрированная волна разрежения, исходящая из тройной точки, и локальная сверхзвуковая зона («supersonic patch» - сверхзвуковая заплатка), полученные в [23], [29]-[35].

Первые попытки численного моделирования нерегулярного отражения в условиях парадокса Неймана были сделаны в [20] на основе уравнений Эйлера с использованием схем сквозного счета со вторым порядком точности на адаптивно-сгущающейся сетке. На основе полученных результатов в [20] сделан вывод, что отраженная волна в окрестности тройной точки переходит в волну сжатия. Наиболее подробные численные исследования в рамках уравнений Эйлера были проведены в работе [23], в которой впервые численно была подтверждена гипотеза Гудерлея о наличии центрированного веера волн разрежения в окрестности тройной точки. В этой же работе, отмечена необходимость

дальнейших исследований отражения ударных волн с учетом вязкости. Численное моделирование [31] на основе уравнений Эйлера показало, что размеры сверхзвуковых заплаток составляют порядка ~10"5Ь, где Ь -высота ножки Маха. В то же время, в [36] расчеты, проведенные с использованием схем сквозного счета и схем с различными комбинациями выделения скачков (включая контактный разрыв), не подтвердили существования локальных сверхзвуковых зон за тройной точкой. В целом можно заключить, что вопрос о существовании этих локальных сверхзвуковых особенностей остается открытым. Численное моделирование [37], [38] в рамках уравнений мелкой воды также показали наличие четырехволновой конфигурации и сверхкритической области за тройной точкой с числом Фруда (аналог числа Маха) Б>1. Размер этой области составлял ~10"39-Ь, где Ь - высота ножки Маха. Отметим, что исследование структур таких малых пространственных масштабов требует учета неидеальности газа и, следовательно, использования подхода, учитывающего вязкость и теплопроводность.

Результатом исследований с использованием этого подхода стало качественное совпадение структуры течения в окрестности тройной точки, полученное в недавних экспериментальных [39] и численных [32]-[35] исследованиях: была обнаружена ударно-волновая конфигурация подобная четырехволновой конфигурации Гудерлея. Однако еще слишком рано говорить об экспериментальном подтверждении гипотезы Гудерлея, так как размеры локальных сверхзвуковых зон отличаются более чем на порядок (менее 1% от высоты ножки Маха в расчетах и -10% в эксперименте). Отметим, что экспериментальные исследования нерегулярного отражения ударных волн в условиях парадокса Неймана также были проведены в [40]-[43]. Однако в [40]-[43] существование локальных сверхзвуковых зон подтверждено не было. Количественное различие результатов экспериментальных и численных исследований

указывает на необходимость более детального анализа влияния вязкости и теплопроводности на структуру течения в окрестности тройной точки.

Другой подход для разрешения парадокса Неймана - это попытаться учесть эффекты вязкости и теплопроводности [44], [45], [46] в окрестности точки пересечения ударных волн. Принимая во внимание конечную толщину ударных волн, течение в этой области существенно отличается от течения, описываемого невязкой теорией. В работе [44] впервые было сделано предположение об определяющем влиянии вязкости на структуру течения и построена теоретическая модель нерегулярного отражения в окрестности точки пересечения слабых ударных волн. Как отмечается в [44], в области пересечения должна быть зона двумерного течения, которая была названа «поп Rankine-Hugoniot shock wave zone», где существенную роль играют градиенты параметров потока вдоль фронта ударной волны. Эта область является зоной перехода, разделяющей ударные волны в условно верхней и нижней части течения, для которых выполняются соотношения Ренкина-Гюгонио. Размер этой зоны оценивался как толщина нескольких ударных волн. Именно поэтому, из-за недостаточного разрешения поля течения в окрестности точки пересечения ударных волн невозможно подтвердить или опровергнуть существование такой вязкой зоны, основываясь на экспериментальных результатах. Как отмечается в [44] одним из возможных способов определения структуры течения в окрестности тройной точки является проведение экспериментов в ударных трубах низкой плотности (т.е. при низких числах Рейнольдса), где возможно провести детальные измерения в