Численное исследование внутренних течений вязкого газа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

На правах рукописи

КАРАТАЕВ Сергей Георгиевич

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВНУТРЕННИХ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОГО ГАЗА

01.02.05"— механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1990

Работа выполнена в Вычислительном центре Академии наук СССР.

Научный руководитель

кандидат физико-математических наук, с. н. с.

КОТЕРОВ В. Н.

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук ГОЛОВАЧЕВ Ю. П. кандидат физико-математических наук КРИВЦОВ В. М.

Ведущая организация — Институт проблем механики.

Защита состоится « . » . /V.....199^г.

■в . часов на заседании специализированного совета

Д.002.32.01 при 'ВЦ АН СССР по адресу: 117967, г. Москва, ул. Вавилова, д. 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института АН СССР.

¿2

Автореферат разослан « . . . » . . .' . . 1990 г.

И. о. Ученого секретаря специализированного совета, доктор физико-математических наук

ШМЫГЛЕВСКИЙ Ю. Д.

- э -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблема« Изучение внутренних течений вязкого газа представляет значительный интерес благодаря многочисленным техническим приложениям. Кроме традиционных задач внутренней газо-, - гидродинамики, связанных' с необходимостью прогнозирования параметров потока в проточных частях разнообразных ¡энергетических установок, в последнее время появилась . новая область приложения таких исследований: конструирование,газодинамических каналов сверхзвуковых газовых лазеров (газодинамических, химических, алектроразрядаых).

Так как натурные эксперименты во многих случаях затруднены, а применение при теоретических исследованиях аналитических матодоа ограничено, то для решения подобных задач широко применяются численные методы. Численное моделирование течений вязкого газа на основе полных уравнений Навье-Стокса затруднительно и не. всегда оправдано ввиду больших затрат реаурсов ЭВМ. С другой стороны, приближение пограничного слоя далеко не всегда мотет адекватно описать исследуемые течения.

В связи о &ТШ большое распространение получили различные система упрощенных .("параболизовашшх") уравнений Навье-Стокса, решение котерих существенно проще интегрирования исходных уравнений Навьо-Стокоа. Тем не менее, до настоящего времени процедура "хшраболизашш" уравнений Навье-Стокса не может считаться до конца обоснованной, а методика решения таких уравнений оотаэтсл достаточно трудоемкой я мокет быть улучшена. Поэтому актуальным является* дальнейшее развитие этого направлзшя.

Цзль ргбога состоит в разработке высокоэффективного по затратам ресурсов ЭВМ и ■ надежно работапцего метода пряблигзшого решения стационарных уравнений Навье-Стокса для внутренних течений при больших числах Рейнольдса и сверхзвуковых скоростях в ядре потока, и исследование с помощью втого метода некоторых конкретных задач расчета вязких внутренних течений, включая течения с объемным теплогодводом.

Научная швазна изложенных в диссертационной работе результатов состоит в: ,

- разработке ■ эффективного■ алгоритма для численного моделирования безотрывных стационарных сверхзвуковнх течений

вязкого сжимаемого газа, основанного на использовании в качестве независимых переменных "функция тока-ортогональное дополнение";

- разработке алгоритма решения обратной задачи построения канала, обеспечивающего заданное распределение давления на стенке при безотрывных течениях вязкого газа;

- создание программы для решения как прямых так и обратных задач расчета внутренних течений вязкого газа;

- проведении численных исследований внутренних течений вязкого газа, в том числе и течений о теплоподводом, обусловленным диссипацией енергии \ в газовой разряде, возбуждающем сверхзвуковой СО-лазер; '

-.решение обратной задачи профилирования каналов, .в тси числе и при наличии объемного теплоподвода»

Практическая ценность представляемых в диссертации результатов заключается презде всего в высокой экономичности разработанного численного метода решения упрощенных уравнений Навье-Стокса. Предложенный в работе метод позволяет рассчитывать течения во всем пространстве потока о наличием до-, и сверхзвуковых областей единообразным способом ' в широком диапазоне чисел Рейнольдса. Созданная вычислительная программа полностью автономна и не требует от пользователя задания никаких управляющих параметров,вре^ нейбк>ДИмн& параметры выбираются в. процессе расчета автоматически. . ;

На основе алгоритма решения прямых; задач ооздан метод ; решения обратных задач, не. требующий модификации разностных схем и итерационного щюцесса, что . позволяет решать комбинированные задачи на основе единого алгоритма, и единой вычислительной программой; " • ^

Разработанная методика решения уравнений Навье-Стокоа позволяет легко включать В процесс вычислений фазико-химическив : превращения в газе, учитывать турбулентность и т.д.," так как для этих, явлений характерно развитие процессов вдоль линий тока течения. . • • ' ' '

Метод решения уравнений, разработанная программа расчета, . а также результаты. численных расчетов и приведенные, в работе рекомендации, могут быть использованы в НИИ и КБ, заниманцихоя вопросами газодинамики и теплообмена.

Апробация работа. Основные результаты диссертации докладовались на Всесоюзно!", школе-семинаре по численным методам под руководством академика Л.А.Самарского (Владивосток, 1989г.), на семинаре по методам решения задач математической физики под руководством доктора физ.-мат. наук ю.Д.Шмыглевского . (ВЦ ЛН СССР, 1988г.), на семинаре по газовой динамике под руководством доктора фшз.-мат. наук Ю.П.Головачева (ЛФТИ, 19В9г.), на семинаре отдела механики сплошных сред (ВЦ АН СССР, 1990г.).

Публикация. По результатом работн имеется 4 публикации.

ОбЪОЫ п СТРТТЛТРЗ работа. Диссертация состоит из введения, вести глав, заключения, шока литературы и излокеиа на 111 страницах., включая 33 рисунков. Список цитируемой литературы включает 78 наименований.

С0ДВРЯШ5Е РАБОТЫ

Во вводеакн диссертации приводится крапай обзор методов решения уравнений Навье-Стокса, дается общая характеристика диссертационной работн и приводится краткое ее содержание.

Псртзпя глада диссертации посЬгщена общей постановке задачл. Для исследования уравнений . Навье-Стокса в качестве независимых перемешал используются переменные "функция тока (J) .- ортогональное дополнение ф", полные дифференциалы которых подчиняются соотношениям

ö\)=С1(ф)р7 (cosGdy - ainödr), efep -- С2(<р,ф)pV (oobBcLf + BinGciy)

где С, (ф)-заданная функция, С2 (ф,ф)-т1тегрирунций множитель, подлепзиий определения в процессе решения, р-плотность газа, У И в - модуль вектора '"скорости и его угол наклона к оси х. Система уравнений Навье-Стокса а переменных (ф,([>) приводится в 51.1 диссертации.

В §1.2 получены упрощенные уравнения Навье-Стокса в переменных (ф,ф). Эти упрощенные уравнения полностью содержат двумерные уравнения газовой динамики, уравнения пограничного слоя, уравнения вязкого ударного слоя, уравнения параболического приближения, а также обобщенные уравнения Прандтля (по поведу классификации упрощенных уравнений см. Ковоня В.М., Янегасо H.H. Метод растепления в задачах газовой

динамики. - Н.: Наука, 1981. 304 е.). Упрощенна уравнений в переменных (<р,ф) более обосновано, чем подобная операция в нормально-связанной системе координат, поскольку смысл "параболизация" состоит в пренебрежении молекулярным переносом ' вдоль линий тока Ст.е. вдоль линий <|>=oonst) во сравнению о конвективным переносом.

В §1.3 полученные упрощенные уравнения анализируются с целью выяснения фэрмы 'записи в переменных. (ф,ф) законов сохранения массы, имггульса и бнергии, а также для формулировки в етих переменных условий Ренкина-Гигонио на сильных разрывах при невязких течениях.

В §1-4 рассматриваются краевые условия для упрощенных уравнений Навье-Стокса. Для сверхзвуковых4 течений граничные условия долкны быть заданы на входа 8 канал, на, стенках (или оси симметрии) и на выгоде из канала, если в выходном срезе имеется область дозвукового течения. В качестве модельных условий на входе в канал в работе рассматриваются условия "ударного профиля" (Войнович П.А., Фурсекко A.A. Метод . глобальных итераций для расчета смешанных течений вязкого газа Дифференциальные уравнения.. 1984. Т.20, SI. С.1151-1156.), которые соответствуют набеганию сверхзвукового однородного потока на входной срез канала с бесконечно тонкими стенками.' V - '' '■';'•'

В дозвуковых областях выходного среза, канала может быть; задано давление Р, либо так называемые . -"мягкие.*1 условия (öP/ötp=Q или <Э2Р/<3<р2=Ю). Возможность постановки этих условий в диссертации, поясняется с помощью' рассмотрения/ дополнительного уравнения, являющегося точнымследствием системы ' упрощенных уравнений '.

1 ар, 1 , Ö ,х ОТ , 7 ÖA (2) —AV— U- -s) - — I - — I —РГ— G, . f-1 ftp1- lrJ Ö<|>1 A Ö(J> J 7-1 <Эф

где /1=1 CjpV, Р-давление, Г-температура газа. М-локальное число

Маха, у-отношение геплоеыкостей, а правая часть уравнения G не

содержит производных ни от давления нй от температуры. При

заыорахешшх функциях А, V и учитывая уравнение состояния,

связывающее Р и Т, уравнение (2) мовво рассматривать как

параболическое уравнение для. давления со знакопеременным

коэффициентом (И -1 ) перед производной по направлению <р. Для

етого уравнения в сверхзвуковой части штока (Н>1) корректно задание граничного условия для давления на входе в канал ((р=0), а в дозвуковой части потока (М<1) справедливо задание граничного условия для давления на выходном срезе (<р= 1). В работе проведены исследования влияния граничного условия на . выходе из канала. Полученные результаты показывают, что их влияние сказывается лиаь непосредственно вблизи выходного среза, причем зона влияния уменьшается при увеличении числа Рейнольдса.

Постановка краевых условий на стезпсах канала при использовании переменных нетривиально, поскольку, в силу

условий прилипания на стенках, У=0, и преобразование координат »за етих границах области течения может вырождаться. В диссертационной работе показывается, что для предотвращения вырокдэния на функции и Сг(ф,ф) должны быть наложены

некоторые ограничения. В частности для безотрывного течения асимптотический вид функций при (¡мр" должен быть следующим

С, ((¡»„^(ф-ф77)-1, С2(ф)„С*{ф)((Нр!Т)"1.

где СГ-константа, С!(ф)-заданная функция от переменной вдоль

• г?

образующей канала, ф - координата стенки. Установлены также асимптотики поведения всех искомых функций при ф-'ф57. Эти асимптотики используются в дальнейшем для формулировки краевых условий для системы разностных уравнешгй, аппроксимирующих "парэболизовзшше" уравнения Нэвье-Стокоа в переменных (ф,ф). Еря численном решении задачи имеющийся произвол в выборе функций Сг и Gz может быть использован для регулировки расстановки узлов разностной соиси в фязотеской ' плоскости

Во второй глава диссертации рассматривается числеииый метод расчета упр<?щенннх уравнений Навье-Стокса в переменных ^ср,Ц>>. В частности, в §2.1 описывается разностная схема, в которой производные * от всех функций кроме давления • то переменной вдоль потока <р аппроксимируются односторонними разностями "назад" первого порядка точности, производные по ф аппроксимируются симметричной схемой второго порядка точности. Для дискретизации_ производной давлеггия по ф используется трехточвчяяя С1емв .

- а -

(Орл 1 pj-pj -d

löcpjt hv ■

где irj-весовой параметр, h - шаг разностной, сетки, по переменной

<р. • • ■'.'••"-'

Включение разности "вперед" в аппроксимацию производной давления обуславливается наличием в поле течения дозвуковых областей, где постановка задачи Коти становится некорректной, а маршевые схемы - неустойчивыми. Подобная аппроксимация используется во многих работах (см.напр., Головачев Ю.П., Тимофеев Е.В. Численное исследование сверхзвукового обтекания тел вязким газом о помощью метода глобальных .итераций.-Препринт 4ТИ им. А.Ф. Иоффе АН СССР. Л. 1938. .»1254. 29 с.). Однако, параметр а в них не зависит от разностного решения, а выбирается экспериментально. Такая неопределенность в выборе параметра приводит к, плахой сходимости итерационного' процесса, а зачастую и к расходимости последнего. В диссертации ,из анализа разностного аналога уравнения С2) для а предлагается следующее согласованное с разностным решением выражение.

aJ - ( И AJ (У

t ,2 UAib\ .

U ; V > 1 л ,

где И^- локальное "разностное" число Маха покяса,.

Такой выбор параметра а при численном решении позволяет полностью исключить влияние граничных условий для' давления сверху потоку в дозвуковой области и влияние снизу по потоку а сверхзвуковой., ..-Л • . - .

В §2.1 рассматриваются итерационные {процессы для решения полученной системы разностных уравнений. Основой здесь является метод глобальных итераций СВойнович П.А., Фурсенко A.A. Метод глобальных итераций для расчета смешанных ' течений вязкого газа Дифференциальные .уравнения. 1934. Г.20, JJ7. С.1151-1156). в котором расчет осуществляется маршевым методом, а значения давления снизу по потоку в аппроксимации (3)

берутся с предыдущей глобальной - итерации. К преимуществам метода глобальных итераций следует отнести достаточную простоту и надекнооть, а также экономию памяти, поскольку для проведения

®

итераций требуется хранения в оперативной памяти ЭВМ только одного двумерного массива давления. Однако, метод обладает и рядом недостатков, в частности, число итераций, требуемых для достижения заданно® точности решения, зависит от числа Рейнольдса и числа узлов разностной сетки. Для устранения втих недостатков в диссертации предлагается использовать модифицированный итерационный метод, в котором в процесс глобальных итераций включается. расчет разностного аналога уравнения <2) ивршевым методой 'справа налево в дозвуковой области, что позволяет передавать информацию о граничном условии на выходе из канала по всей длине дозвуковой зоны. В диссертации проводится сравнение обоих итерационных методов, свидетельствующее в пользу предложенной модификации.

В третьей глава диссертации приведены примеры расчетов некоторых задач- механики «мошной среды. В качестве тестового расчета', для выяснения точности вычислительного алгоритма, в работе приводятся результаты расчетов коэффициента трения на плоской пластине. Подобная -задача хорошо исследована аналитическими методами и коеф£ицибнт трения на пластине может быть Достаточно точно вычислен иэ, гоэлуашшряческой формулы Янга. Проведенные для различных чисел Ке и Рг расчеты показывают.хорошее совпадение вычисленных значений коэффициента трения . о . теоретическими. Наибольшее отклонение численных результатов от аналитических наблюдается на начальной участке пЛ8Сишы, что естественно, т.к. на нем сказывается влияние . иоделышг условий"."ударного, профиля". На небольшом расстоянии отвхода вычисленные и теоретические значения практически совпадают, ч»о объясняется затуханием возмущений вниз по потоку и •дает основание использойать условия "ударного профиля" в ' дальнейших расчетах. «

Особый интерес для выяснения работоспособности и границ применимости . ал^^оритма имеет, задача о взаимодействии косого скачка уплотнения с пограничным слоем. Такая задача возникает, например, при расчете вязкого внутреннего обтекания тупого угла. Численное решение втой.. задачи, найденное при помощи алгоритма, изложенного во второй главе диссертации, позволило 'хорошо воспроизвести критерий отрыва, полученный из асимптотической теории' локально-отрывных течений. Данное

исследование позволяет определить границы применимости метода, и, в частности, дает основание утверждать, что предложенный метод позволяет рассчитывать течение вплоть до отрыва по крайней мере в области большое чисел Рейнольдса (йе^Ю5).

В главе 3 также приводятся результаты расчетов вязких течений в расширяющихся каналах, каналах с двумя изломами боковой стенки, а тэкке в канале, стенки которого образованы дугами окружностей. Расчеты демонстрируют возможность

• воспроизведения различных газодинамических структур! пограничных слоев, волн разреяения, косых и висячих скачков уплотнения.

В четвертой главе дасоертацил приводится метод расчета полных уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдоа. Описанный во второй главе численный метод решения упрощенных уравнений позволяет во внутренних областях течения, удаленных от выходного среза капала, ■ включить в цроцесо итераций, отброшенные при упрощении члены тензора напряжений и теплового потока, определяя их о предыдущей итерации. Единообразная схема вычислений позволяет проводить раочэт упрощенных уравнений тем, где их применение справедливо и рассчитывать полные уравнения В областях, где упрощение, вообще говоря, но обосновано, например, в окрестностях изломов стенок, на скачках уплотнения и волнах разрежения,' т.е.- там, где характерный размер вдоль потока сравним с масштабом изменения решения в поперечном 15 потоку направлении. Для выяснения влияния молекулярного

• переноса вдоль потока на картину течения, в 'главе приведены, примеры расчетов канала о изломом стенки при различных числах Рейнольдса. Полученные результаты показывают, что пяляше отброшенных при упрощении уравнений Навье-Стокса членов мало и сказывается лишь при умеренных числах Рейнольдса (йе^Ю3). Это является хорошим аргументом, обосновывающим применение упрощенных уравнений Навье-Стокса для решения практических задач.

В пятой главе диссертации рассматривается алгоритм расчета обратных задач для течений вязкого газа. В то время как в процессе решения пряшх задач треоуетоя' определить шля газодинамических параметров в фиксированной физической области, в ооратных задачах требуется определить граница течения (или

чабть границ), обеспечивающие движение газа с заранее заданными . свойствами. В этой главе рассматривается постановка задачи об определении формы канала,. обеспечивающего заданное распределение давления на стенке, при вязком течении. В рамках моделирования течения упрощенными уравнениями Навье-Стокса, для такой задачи может быть сформулирован численный ме .од, базирующийся на алгоритме из второй главы диссертации. Система разностных уравнений для обратной задачи полностьв совпадает с системой разностных уравнений для прямой задачи. Единственное отличие заключается в том, что на йодлекащем профилированию , участке стенки граничное условие "фиксированной стенки" (задан угол наклона стенки) заменяется на граничное условие для давления, а угол наклона стенки считается неизвестным.

Подобное единообразие алгоритмов решения прямой и обратной задач, позволяет рассчитывать течения в каналах, часть стенок ко.торых фиксированы, а часть - профилируется. Примеры таких расчетов приводятся в диссертации. . .'

В Вестой глава диссертации рассматриваются течения о теплоподводои, обусловленным диссипацией анергии в электроразрядаой СО-лазере. Результаты расчетов течения в плоскопараллёльнои канала 6 разрядом объемной мощности (¿=150 бгя/сл подтверждают . существование пристеночного теплового пограничного слоя* резко' нарастающего вдоль потока и отрицательйо влияющего на процеоо лазерной гейерации (Войнович П.А. "Численное моделирование струйных и внутренних течений вязкого газа" - Дисо.на соискание степени канд. фюз;-мат. наук. ■ Л. 1984). Для предотвращения чрезмерного утолщения- атой области в диссертации. предлагается профилировать разрядный канал лазера. Показано, что использование канала с заданным постоянным /давлением позволяет получать течения более равномерные, в ядре, потока, чем течения в плоскопараллельном канале. • Кроме „ того, профилирование канала позволяет избежать возникновения косого скачка уплотнения на передней границе области тепловыделения, который появляется при течениях в плоскопараллельных каналах к' приводит к отрыву потока при

увеличении интенсивности теплоподвода. Так,, например, в

з

.диссертации отмечается, что при мощности разряда (¿=200 бт/см не .удается рассчитать безотрывное течение в плоскопараллельном

канале. В то ке время спрофилировать канал для безотрывного течения с разрядом той т.е мощности удается.

В закллчегош сформулированы основные результаты работы:

1. Разработан и реализован аффективный . алгоритм для моделирования стационарных безотрывных сверхзвуковых . течений вязкого газа. Моделирование проводится на основе численного решения упрощенных уравнений Навье-Стокса в переменных "функция тока - ортогональное дополнение". В связи с переходом к новым переменным

- получены ограничения на вид интегрирупдах множителей, входящих в якобиан преобразования.

- сконструированы корректные граничные условия прилипания для системы уравнений в новых переменных.

2. При дискретизации дайвренцяалышх уравнений в частных производных построена физически обоснованная разностная схема, в которой динамические и термодинамические параметры течения определяются внутри трубок тока 1е предельном случае невязкого течения и одной разностной ячейки поперек капало разностная схема перегодит в известное "гидравлическое" приближение). Для учета эллиптического характера упрощенных уравнений в дозвуковых областях течения приценяется разностная схема, алпроксимируэдая продольный градиент давления в ззидэ взвовегшых разностей "назад" и "вперед", позволявдап построить эффективный итерационный метод глобалышх яторацаЗ для ращения сиетош разностных уравнений. В 8тот известный ыатод в диссертации внесены следующие изменения; '

- весовой параметр в аппроксимация продольного градиента давления принимается зависяадм от рэшошя разностных уравнений на рассчитываемом слое;

аппроксимация весового шюаителя выбирается из дополнительного уравнения, позволяющего правильно учитывать области влияния граничных условий для системы упрощенных уравнений Навье-Стокса.

3. Внесение втих изменений в алгоритм решения делает метод работоспособным и автономным. От пользователя не требуется подбора никаких■параметров в процессе решения. Все необходимые шраме три выбираются г. процессе ращения автоматически. В процессе рсиения не треоуется применения каких-либо

релаксационных процедур для устранения расходимости процесса. Не требуется ,также заботиться о начальном приближении поля давления для итерационного процесса. Как показывают расчеты, метод сходится при любой начальном приближении.

4. Предложена модификация метода глобальных итераций, существенно ускоряющая сходимость итерационного процесса. >

5. Проведено численное решение некоторых задач. Рассчитаны течения в широком диапазоне чисел Рейнольдса в расширяющихся каналах* каналах о изломами стешси к течения в разворачивающей поток канале. Расчеты показывает хорошие возможности воспроизведения различных газодинамических структур: пограничных слоев, волн разрекения, косых и висячих скачков уплотнения. Сравнение результатов расчетов предотрывных течений 6 результатами теории локально-отрывных течений дает возможность утверждать, что предложенный метод позволяет рассчитывать течения,' Слизкие к отрывным, по крайней мере в области больших чиселРейнольдса, где справедлива упомянутая асимптотическая теория. -.

6. Разработан алгоритм решения полных уравнений; Навье-Стокса при больсих числах Рейнольдса, основанный на включении в итерационная процесс реяения упрощенных уравнений членов, отброшенных при упрощений, вычисленных с предыдущей глобальной итерации.

7. Впервые рассматривается постановка и метод решения обратных задач Для -.вйзких течений. Сформулирована задача о профилирований Канала, обеспвчЕИвапцего заданное распределение давления на стенке. Методика построение каналов основывается на решении упрощенных уравнений^ Навье-Стокса, позволяющих учитывать взаимное влияние пограничного слоя и области почти кевязкого течения. Численный метод решения обратных задач аналогичен методу решения прямых задач, И профымрование канала ыогет быть осуществлено в раикаг единого. с прямыми задачами алгоритм. Получены результаты реа'ения некоторых обратных задач для течения газа в каналах, часть стенок которых фиксирована, а часть профилируется.

О. Рассмотрены прямые и обратные задачи течения вязкого газа с .объемным теплоподводом, обусловленным диссипацией енергии в газовом разряде, возбуадаодеи сверхзвуковой СО-лазер. Сравнение

результатов течений в шгаскопараллельном и профилированном квявлах показывает, что в профилированной канале создаются более благоприятные для генерации лазерного излучения условия. Показано, что при высоких мощностях разряда профилированный канал допускает безотрывные течения, в то время как, судя по результатам расчетов, в шюокопараллельноы канале безотрывных течений не существует.

Основные результата диссертации опубликованы в следующих, работах:

1. Каратаев С.Г. Численный мет<?д расчета вязких течений. - В сб. "Математическое моделирование в естествознании и технологии". Тезисы докл. Всес.школы-семинара "Численные метода и мэтемат. ыоделяр.Владивосток. 1989. С.33-34. .

2. Каратаев С.Г. Численный метод расчета течений в каналах. Сообщение по прикладной математике. М. ВЦ АН СССР. 1989. 34о.

3. Каратаев С.Г., Катеров В.К.. Численный метод расчета сверхзвуковых течений вязкого газа//Е.шчиол.матем. и ыатем. физики. 1990. Т.29. Й4- 0.536-600.

4. Каратаев С.Г. О задаче профилирования канала, обеспечиваю'-щего заданное распределение давления но стенке, при точении вязкого газа. Сообщение по прикладной математик». К. ВЦ АН СССР. 1990. 12о.

Подписано в печать <2£ Закеа 8 . Тяраг /<££>.

Типограф ХОЙУ ¡.'лнвгстроя СССР