Численное моделирование динамики пространственных парогазовых пузырей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Григорьева Ирина Владимировна

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПАРОГАЗОВЫХ ПУЗЫРЕЙ

I

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

I

I

I Автореферат

I диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Кемерово-2003

Работа выполнена в центре новых информационных технологий Кемеровского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Афанасьев К.Е.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Гузевский JI .Г.,

доктор физико-математических наук, профессор Бубенчиков A.M.

Ведущая организация: Институт вычислительных технологий СО РАН, г. Новосибирск

Защита диссертации состоится «_19» сентября 2003 года в 14 час. в конференц-зале на заседании Диссертационного совета Д 212.267.13 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по механике при Томском государственном университете по адресу: (634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, ТГУ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан "J8" августа 2003г.

Учеьый секретарь

Диссертационного совета, д.ф.-м.н., JrfTv/л as/

Профессор /Ю&йТ/' Ю.Ф. Христенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Работа посвящена исследованию динамики пространственного парогазового пузыря в идеальной несжимаемой жидкости. В ней рассматривается эволюция паровой и парогазовой сферической каверны в безграничной идеальной несжимаемой жидкости, изучается влияние силы тяжести, газосодержания и поверхностного натяжения на процесс эволюции пузыря. Основное внимание уделяется изучению взаимодействия парогазовой полости с различными твердыми стенками. В качестве инструмента численного исследования используется метод гра-1 ничных элементов.

Описанная в данной работе модель применяется для моделирования | различных, непохожих на первый взгляд, явлений. С одной стороны рас-

i сматривается динамика подводных взрывов, с другой стороны прогнозиру-

ется урон от кавитационной эрозии, когда изучение всего явления пузырьковой кавитации невозможно без изучения динамики одной, отдельно взятой, кави гационной полости. В последнее время особую актуальность приобрели задачи биофизики, а именно задача об исследовании течений в кровеносных сосудах (A.M.Бубенчиков, Д.К.Фирсов, Е.В.Альбрандт, 2001), а также задачи, возникающие при изучении надежности работы протеза митрального клапана сердца, в этом случае оценивается возможность урона от пузырьков, находящихся в потоке крови, стенкам митрального клапана (Changt'u Wu, Ned Н.С. Hwang, Y. К. Lin, 2001). Что же объединяет эти столь разные на первый взгляд явления? Одна из таких черт - это возникающие кумулятивные эффекты. Пузырь, развиваясь из кавитиционого зародыша (если это кавитационный пузырек (Р.Кнэпп, Дейли Дж., Хэммит Ф., 1974)), или образующийся при взрыве заряда (если рассматривается подводный взрыв Коул Р., 1950), в процессе своего роста, как правило, со-j храняет форму близкую к сферической. Достигнув наибольшего объема,

пузырь переходит в фазу замыкания. Близость твердой границы и (или) I действие силы тяжести нарушают одномерность течения, даже если в мо-

мент максимального расширения полость была сфсричсскок. ÏÏ ряде случаев в процессе замыкания пузыря формируется струйка жидкости, внедряющаяся в пузырь до момента касания его противоположной стенки. Такая струя может быть направлена в сторону стенки и иметь скорость порядка сотен, а при особых условиях, даже тысяч метров в секунду. Частицы на дальней от стенки поверхности пузыря, в случае если струя направлена к стенке, получают большее ускорение, то есть возникает классический кумулятивный эффект. Предполагается, чт

3 1

ШРГЦЩПМ ПП1Г III IMI

(»ОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С.Петербург щ . 09

мишеней определяется именно воздействием высокоскоростной кумулятивной струи, формирующейся на стадии -замыкания пузыря. Поэтому актуальной задачей является выяснение роли различных факторов, таких как наличие газа в пузыре, действие силы тяжести, положение твердой стенки, в процессе образования и развития кумулятивной струи.

Цель работы - изучить поведение пространственного парогазового пузыря при его эволюции как в безграничной жидкости, так и вблизи твердой стенки, а также выяснить влияние различных факторов, таких как наличие газа в пузыре, действие силы тяжести, поверхностного натяжения, положения стенки, на процесс образования и развития кумулятивной струи. Кроме того, необходимо оценить урон, наносимый струйкой твердой стенке (мишени), получить размерные характеристики струйки для различных типов пузырей (кавитационных пузырей и пузырей, возникающих при взрыве различных зарядов).

Научная новизна данной работы состоит в том, что исследование проводится в полной нелинейной пространственной постановке с учетом сил поверхностного натяжения, что позволяет получить значительно более полное представление об эволюции пузыря в случае несимметричной картины течения, в частности при эволюции пузыря около различных наклонных и угловых твердых стенок.

Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты способствуют более углубленному пониманию значения нелинейных эффектов при исследовании задач идеальной жидкости со свободными границами, а разработанный численный алгоритм расширяет возможности численного моделирования сложных гидродинамических задач.

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается аппробированностью используемых моделей гидродинамики, строгостью математической постановки задачи, тестированием результатов на известных аналитических решениях, сравнением с имеющимися данными экспериментальных и численных исследований.

Апробация работы. Результаты работы по мере их получения докладывались и обсуждались на VI Международной конференции «Вычислительные методы в задачах волновой гидродинамики» (Новосибирск, 1998г.), Сибирской школе-семинаре «Математические проблемы механики сплошных сред» (Новосибирск, 1998г.), Международной научной конфе-• » . 4

ренции «Моделирование, вычисления, проектирование в условиях неопределенности - 2000» (Уфа, 2000г.), VII Международной конференции «Вычислительные методы в задачах волновой гидродинамики» (Новосибирск, 2000г.), международной научной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Г.Г.Тумашева (Казань, 2000г), конференции «Конференция молодых ученых, посвященная 10-летию ИВТ СО РАН» (Новосибирск, 2000г.), конференции «Молодые ученые Кузбассу. Взгляд в XXI век» (Кемерово, 2001г.), международной летней научной школы «Гидродинамика больших скоростей» (Чебоксары, 2002г.), а также регулярно на научном семинаре «Численные методы решения задач механики сплошной среды» Кемеровского государственного университета (Кемерово, 1997-2003гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [2-5, 9, 10, 12, 13], тезисах и аннотациях докладов [1, 6-8, 11]. Из совместных публикаций в работу включены, как правило, результаты, полученные непосредственно автором по реализации численного алгоритма и анализу результатов. При использовании результатов соавторов даны соответствующие ссылки.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Главы диссертации разбиты, в общей сложности, на 17 параграфов. Диссертация содержит 46 рисунков, 40 графических таблиц, 6 таблиц и изложена на 158 страницах текста. Список литературы содержит 112 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описываются области, в которых используется данная модель, численный метод, использующийся в качестве инструмента численного моделирования, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, кратко излагается содержание диссертационной работы по главам.

В первой главе диссертации изложена общая постановка нелинейной пространственной задачи о динамике парогазового пузыря в идеальной несжимаемой тяжелой жидкости с учетом поверхностного натяжения, описана методика движения по времени и реализация метода граничных злементов (МГЭ) на каждом временном шаге.

Параграф 1./ содержит общую постановку пространственной задачи (Л.В. Овсянников, 1972). Здесь в пространстве /¿'точек х = (х, у, г) рассматривается область £2(г), ограниченная гладкими поверхностями ГО) -граница пузыря и 5 - твердая стенка.

Давление парогазовой смеси в пузыре складывается из давления насыщенных паров рИ и давления газа в пузыре, который, как предполагается, ведет себя адиабатически, р, = /;П(У(1/У)Г, где V - объем пузыря, а - объем и давление в начальный момент време-

ни /„, у - показатель адиабаты (у= 1.4). Давление на границе П7) Рг = Рп + Р.- где — 8к(х) - давление, соответствующее действию

сил поверхностного натяжения {6 - коэффициент поверхностного натяжения, к(х) - кривизна поверхности Г(/) в точке .?). На бесконечности жидкость покоится.

В начальный момент времени пузырь представляет собой сферу Гп радиуса /?„, с центром в начале координат. Из экспериментальных данных известно, что пузырь сохраняет форму близкую к сферической большую часть времени своего существования. Предполагается также, что в начальный момент времени жидкость покоится. В силу принятых предположений течение остается потенциальным во все последующие моменты времени.

Постановка задачи в безразмерных переменных имеет следующий вид. Потенциал поля скоростей <р = <р(г, х) удовлетворяет уравнению Лапласа

= ^еО(Г), (1)

а также кинематическому и динамическому условиям на свободной границе ГО):

— = ХеГЦ), (2)

ш

+ Ч-М?*=0, хеги). (3)

В качестве размерных величин в данном случае используются /\ „,- максимальный радиус пузыря при его расширении в безграничной жидкости в отсутствии сил тяжести, а также ,/Ар/р, где Ар = р„ — рн, где />,„ - давление в бесконечно удаленной точке, р - плотность жидкости. Такой способ перехода к безразмерным переменным приводится в книге Ю.Л.Левковского (1973), в работе 1.Я.В1аке, В.ВЛЫЬ и С.БоЬеПу (1986) и др. В уравнении (3) введены безразмерные параметры а = /?,„р\>/Ар - коэффициент плавучести, регулирующий действие силы тяжести, где # - ускорение силы тяжести, ¡5 - /'„/А/? характеризует начальное давление газа в пузыре, У/е = §1ЯтАр - коэффициент поверхностного натяжения. На твердой границе Я потенциал удовлетворяет условию непротекания

(V ?>'.//) = О, (4)

где п - внешняя по отношению к жидкости нормаль, а также условию на бесконечности

И"»0- (5)

Кроме того, необходимо задать положение свободной границы в начальный момент времени /=0 и распределение потенциала на ней:

ги = г<"

<р\ы> = <р( о. Л).

Таким образом, краевая задача об эволюции парогазового пузыря описывается уравнением (1) с краевыми условиями (2), (3), (4), (5) и начальными условиями (6). Задача является нелинейной в силу нелинейности динамического условия, а также в силу заранее неизвестного положения свободной границы.

В параграфе 1.2 описывается меюд движения по времени. Здесь нелинейная нестасгационарная задача сводятся к последовательности линейных задач на каждом временном шаге. Для этого в граничных условиях (2, 3) делается переход к конечно-разностным представлениям производных по времени с шагом Д/. Кинематическое и динамическое условия переписываются в следующем виде:

= (7)

Дг

<р(х + Дх, г + Дг)-й>0е, г) , 1.Г7 / ., I V,, У , ®

ГА------ :-> п -^м- Щ<р(х,й -агЬ)-Р\—~\ + У/ек.

М 2' {У{1)]

Шаг по времени выбирается автоматически исходя из условий, что узлы сетки не могут переместиться на расстояние больше заданного и не образуется пересечений границы (В.А.Коробицын, В.И.Пегов, 1993)

шах А,/ )

где /' - номер узла сетки, /"„„, 1"ых - минимальная и максимальная длина ребра исходной сетки, % необходимо подобрать так, чтобы расчетное время коллапса пузыря совпадало с известным аналитическим решением задачи Релея (А.Г.Терентьев, К.Е.Афанасьев, 1987). Таким образом, временной шаг напрямую зависит от вида сетки аппроксимирующей свободную поверхность, а также от скорости движения свободной границы.

Параграф 1.3 содержит описание двух подходов к построению поверхностной сетки граничных элементов по области решения. В качестве граничных были выбраны плоские треугольные элементы.

В первом подходе исходная поверхность разбивается на отдельные треугольные опорные зоны. Описание опорной зоны включает в себя координаты ее вершин, вид поверхности (плоский или сферический (эллиптический) сегмент), а также количество точек разбиения на сторонах зоны. Каждая опорная зона, отображаясь на каноническую область, делится на заданное число элементов. Обратное преобразование позволяет получить требуемую поверхностную сетку (F.Ghassemi, 1982).

Второй подход разработан специально для построения сетки на поверхности сферы (эллипсоида). Исходным приближением поверхности сферы является икосаэдр, состоящий из 12 узлов и 20 элементов, все узлы которого лежат на поверхности дискретизируемой сферы. На каждой итерации стороны каждого элемента делятся пополам, образуя новые узлы, которые сдвигаются в радиальном направлении на поверхность сферы, после чего все новые узлы соединяются ребрами.

В параграфе 1.4 описывается метод граничных элементов (МГЭ), в качестве основного соотношения которого используется третья формула Грина

ФЖ*)+ К(я,<ГМ^У'Г(<?)= (10)

г г

где q — д<р/дп, (р - фундаментальное решение уравнения Лапласа, которое в пространственном случае записывается в виде <р* = 1/4яг(л\^), r(x,¿f) -расстояние между точками í и Í, ( - текущая точка на границе области Г, х - точка наблюдения на границе Г. Коэффициент С = со/2к, со представляет собой телесный угол, под которым видна поверхность из точки х.

Рис I. Локальная система координат на элементе

Для описания функций на границе используется технология плоских линейных треугольных граничных элементов. На элементах вводится локальная система координат (рис.1), тогда г = хгТ + / + г3£++ 12£2ег , где , /2 - длины сторон элемента, а г,, г2 - базисные векторы введенной системы координат, изменяющиеся вдоль сторон элемента от 0 до 1. Интегральные коэффициенты основного соотношения МГЭ выпишутся следующим образом

г,

С I

"ft/Г*

(cosQr-(x-x,) + cos/?-(y-y,) + cosf-(z-zf))

d&d^

о о

gi = f r, 0 о r

i - номер точки наблюдения, i ~\,N, N - количество узлов, j - номер элемента, j = l,M , М - количество элементов, Sj - площадь элемента, к = 1,3 -номер узла в локальной нумерации узлов на элементе, Х = х,$, +х242 + r = ^](x-x,)2+(y-y,)2+(z-z,)2 .

В случае когда х1 не принадлежит элементу Г;, интегралы А* и являются регулярными, в этом случае внутренние интегралы вычисляются аналитически, после чего получившийся интегралы вычисляется квадратурами Гаусса. Когда точка дг( является одной из вершин элемента Гу, интегралы А* и g* обладают особенностью. Интегралы А* имеют сильную особенность (|/г3), но вносят нулевой вклад в результирующую систему

уравнений, так как в числителе ядра стоит скалярное произведение вектора, лежащего в плоскости элемента, на ортогональный ему вектор (cos«, cosр, cosy), представляющий собой направляющие косинусы нормального вектора. Интегралы g* имеют особенность вида (1/г) и существуют в смысле главного значения по Коши, в этом случае внутренние интегралы вычисляются аналитически, после чего неопределенности раскрываются по правилу Лопиталя и получившиеся интегралы вычисляются также квадратурами Гаусса.

Кроме того, в данном параграфе уделяется внимание построению функции Грина для полубесконечных областей. В последнем пункте параграфа обсуждаются вопросы решения полученной системы линейных алгебраических уравнений. Квадратурные формулы для решения уравнений Фредгольма I рода с ядрами типа функций Грина порождают саморегуля-ризирующие алгоритмы, в которых параметром регуляризации является шаг квадратурной формулы (В.В.Воронин, В.А.Цецохо, 1985). При расчете тестовых задач были использованы как точные методы решения СЛАУ (метод Гаусса с выбором главного элемента), так и итерационные (метод Гаусса-Зейделя, метод нелинейной регуляризации (В.Н.Трушникова, 1979)), наиболее же приемлемым оказался метод Гаусса с выбором главного элемента с последующим итерационным уточнением из библиотеки IMSL Microsoft Fortran Power Station. <

И параграфе 1.5 описывается метод нахождения компонент вектора скорости в узлах на свободной границе области. Для вычисления компонент вектора скорости вычисляются касательные скорости по сторонам каждого элемента окружающего рассматриваемый узел. В качестве нор- 1

мальной компоненты скорости берется нормальная скорость ц, полученная из МГЭ. Переход к декартовой системе координат позволяет получить компоненты скорости в рассматриваемом узле сетки. В качестве результирующих берутся средние по всем окружающим узел элементам значения компонент вектора скорости.

В параграфе 1.6 рассматривается тестовая задача о движении абсолютно твердой сферы в безграничном объеме идеальной несжимаемой жидкости. Расчеты проводятся для ряда сеток первого типа (с различным количеством узлов) и для одной сетки второго типа с числом узлов 642. В ходе расчетов вычисляются относительные погрешности для нормальной скорости, градиента скорости и кинетической энергии, а также число обусловленности системы линейных уравнений. Значения погрешностей для сетки второго типа лежит заметно ниже кривой погрешности сеток первого типа, что объясняется более равномерной и однородной структурой данной сетки.

Во второй главе описывается численное моделирование пузырей, для которых известно аналитическое решение или получены различные аналитические оценки с использованием предположения об одномерности течения при отсутствии действия силы тяжести, твердой стенки и поверхностного натяжения.

В параграфе 2.1 проводится сравнение известного аналитического решения задачи Релея о замыкании сферического парогазового пузыря с решением, полученным в ходе численных расчетов. Аналитическое решение дает возможность выбрать оптимальные параметры в алгоритме движения по времени и верифицировать работу численного алгоритма в целом.

Сравнение зависимостей радиуса и радиальной скорости пузыря от времени показывает хорошую согласованность численных и анапитиче-

10

Рис 2 Зависимости объема пушря от времени для различных шачений /3. I - /?=0.4, 2- /7=0.5, 3- /?=0.6, 4 - /У =0.7, 5 - /9=0.8, 6 - 0=0.9.

ских результатов расчета, что говорит о точности и эффективности разработанных численных алгоритмов.

В параграфе 2.2 показывается, что наличие газа в пузыре оказывает принципиальное влияние на динамику сферического пузыря. Начальное

давление газа, пусть даже небольшое, при уменьшении объема пузыря повышается, противодействуя движущейся границе, замыкание пузыря сменяется расширением и наоборот, эволюция пузыря приобретает пульсирующий характер. Г.А.Хорошев (1973), приняв для упрощения показатель адиабаты ^=4/3, в результате численного интегрирования получил аппроксимирующую зависимость минального радиуса от параметра газосодержания р

Е,тт ~Ър/\ + ър-р^2. где £Ш||| - минимальный безразмерный радиус пузыря. Таким образом, пузырь, в начальный момент времени представляющий собой сферу 5„ радиуса \Ит (£, =1), сохраняя сферическую форму сжимается до минимального радиуса £гаш(Д), после чего вновь расширяется до исходного радиуса. Так как данная модель не предусматривает потерь энергии, то пульсации пузыря могут продолжаться бесконечно. На рис.2 приводятся результаты численных расчетов для различных значений параметра газосодержания. Здесь удается пройти всего несколько пульсаций, после чего происходит разрушение процесса численного счета из-за нарушения сферической симметрии пузыря. Расчеты показывают хорошее соответствие с известными аналитическими оценками минимального радиуса пузыря.

В параграфе 2.3 уделяется внимание вычислению интегральных характеристик задачи - кинетической и потенциальной энергий. Показывается консервативность численного алгоритма путем контроля выполнения закона сохранения полной энергии.

В третьей главе диссертации рассматривается влияние силы тяжести, наличия твердой стенки и поверхностного натяжения на динамику пузыря. Влияние силы тяжести и (или) близость твердой стенки приводят к нарушению сферической симметрии пузыря. В ряде случаев происходит образование кумулятивной струйки, внедряющейся в пузырь со стороны жидкости вплоть до касания противоположной стенки пузыря. Для всех описанных в данной главе расчетов в начальный момент времени пузырь представляет собой сферу Г0 малого радиуса 0ЛКт с центром в начале ко-

ординат, расположенную на расстоянии с1 от твердой стенки (рис.3). Начальное распределение потенциала берется из задачи Релея. Кроме того, в третьей главе проводится анализ основных характеристик струйки, таких как ее высота, направление развития, скорость вершины струйки и кинетической энергии.

В параграфе 3.1 описывается методика выделения струйки, для чего строится сечение пузыря плоскостью )-0, в котором выделяется струйка, как невыпуклая часть сечения, состоящая из наибольшего числа отрезков. После этого в трехмерном пространстве определяется набор элементов принадлежащих струйке. Вычисляются основные характеристики струйки, по которым оценивается урон, наносимый твердой стенке. К этим параметрам, в первую очередь, относятся направление развития струйки, скорость ее вершины, расстояние от вершины струйки до твердой стенки, а так же кинетическая энергия. Вводится величина, позволяющая оценивать возможность урона, наносимого струйкой мишени, - коэффициент пробоя струйки. Как описывается в книге В.К.Кедринского (2000), принципиаль-Рчс.4. Вычисление коэффициента ным ф ом 0 эрозийного

пробоя струики. , , ,-

эффекта служит длина пробоя струики.

Глубина проникания кумулятивной струи в мишень длина свободной кумулятивной струи ее плотность р1 (плотность жидкости) и плотность материала мишени рт связаны соотношением: Ьр = где Л = ^р^/ р„, . Построив вектор Х^), началом которого является вершина струйки хи, в направлении скорости вершины, с длинной равной высоте струйки А(, = |(хА, хе )| = А у и определив степень его вхождения в мишень получим коэффициент пробоя струйки 3р (рис.4). Величина ./,,, характеризует степень вхождения струйки в мишень при условии, что струйка достигает достаточной скорости Ьр = к!. При 0 < У/( < 1 - дает часть струйки, которая внедрилась бы в

мишень при Я = 1. В данном случае имеет огромное значение скорость, которую развивает струйка. Струйка не может нанести урон мишени, не развив достаточной для этого скорости.

ложения стенки и пузыря.

В параграфе 3.2 рассматривается влияние силы тяжести на процесс эволюции пузыря. Кроме того, исследуется значение наличия газа в пузыре в случае нарушения его сферической симметрии. Под влиянием силы тяжести пузырь, расширяясь до максимального объема, сохраняет сферическую форму, незначительно всплывая в направлении противоположном действию силы тяжести, на этапе замыкания происходит формирование и развитие струйки жидкости в направлении противоположном действию силы тяжести. Развитие струйки происходит до момента касания противоположной стенки пузыря, нарушение односвязности области приводит к разрушению численного счета. Значения коэффициентов а =0.025, 0.05, 0.1 и 0.2 и /3=100 взяты из работы Б.С.О^оп, ,Ш.В1аке (1982). При «=0.025 пузырь остается сферическим большую часть своей жизни -99.03% всего времени существования, при а =0.05 - 96.91%, при а =0.1 уже - 66.31% и при а =0.2 всего - 55.83%. Высота струйки при увеличении параметра плавучести растет, но скорость струйки при этом падает.

Газ в пузыре, при ненулевом коэффициенте газосодержания, оказывает сопротивление замыканию пузыря, продлевая таким образом время существования пузыря. Газонаполненный пузырь имеет больший объем в последние моменты своего существования, когда струйка касается противоположной стенки пузыря, и во время замыкания пузырь значительно больше всплывает в направлении противоположном действию силы тяжести. В таблице 1 приведены результаты расчета эволюции пузыря для набора параметров ое= 0.2, /£=100, №е=0Х), представлен пузырь в момент достижения максимального объема и две иллюстрации процесса его замыкания.

Таблица I. Эволюция пузыря в безграничной несжимаемой жидкости при значениях параметров «=0.2, /?=100, \Уе=0.

В параграфе 3.3 рассматривается влияние твердой стенки на процесс эволюции пузыря. Пузырь в процессе эволюции притягивается твердой стенкой, что особенно заметно на этапе его замыкания. Также на этапе замыкания формируется кумулятивная струйка, направленная к твердой стенке. В отсутствии действия сил тяжести вид струйки определяется только удаленностью твердой стенки, но не ее наклоном (таблица 2). При приближении к твердой стенке высота, которой успевает достичь струйка,

растет, но скорость струйки при этом падает. Влияние твердой стенки на пузырь распространяется на 3-4 максимальных радиуса пузыря от стенки. При большем удалении пузыря от стенки ее влияние уже практически незаметно. Хотя деформация пузыря на поздних этапах стадии замыкания заметна даже на расстоянии 6 максимальных радиусов пузыря от твердой стенки.

Решение уравнения Лапласа, обеспечивающее автоматическое выполнение условия непротекания (4) для угловой стенки реализуется с помощью специального выбора функции Грина. В таблице 3 приведен пример эволюции пузыря под прямым углом, образованным твердыми стенками, при наличии силы тяжести.

Таблица 2. Эволюция пузыря около твердой стенки для набора параметров а =0.0,

/? = 100, М>=0.0.

(I)

а) (=1.1999

Ь) (=2.189

а) (=1.1994

Ь) (=2.189

с) (=2.357

В параграфе 3.3 рассматривается методика расчета кривизны в узлах поверхности Г, являющихся стыками плоских треугольных элементов, кроме того рассматривается влияние поверхностного натяжения на процесс эволюции паровых каватационных пузырей. Как описано в работе Р.Кнэппа, Дж.Дейли и Ф.Хэммита (1974) поверхностное натяжение имеет существенное значение только при эволюции кавитационных пузырей, содержанием газа в которых можно пренебречь. Силы поверхностного натяжения стремятся сжать каверну, образовавшуюся в жидкости. Поэтому при наличии поверхностного натяжения пузырь в процессе роста не достигает такого объема как в отсутствии поверхностного натяжения. На этапе замыкания пузыря поверхностное натяжение препятствует деформации поверхности пузыря поэтому в процессе замыкания и формирования струйки пузырь остается существенно более «гладким», что иллюстрируется рисунками приведенными в таблице 4.

Таблица 4. Эволюция пузыря около твердой стенки при ¿=1 /?ш, ОС =0.2.

В параграфе 3.4 проводится сравнение результатов расчетов задачи динамики парогазового пузыря в осесимметричной и пространственной постановках. Задачи решались для следующих наборов параметров:

1) ¿£=0.025, у®=100, \¥е=0, й= 1/?га, £=0 (пузырь эволюционирует под твердой стенкой при минимальном значении коэффициента плавучести);

2) «=0.1, /?=100, М!е=0, (I- 1/?,,,, £=л" (пузырь развивается над твердой стенкой при большем значении коэффициента плавучести).

Случай 1 приведен в таблице 5.

Таблица 5. Сравнение расчетов выполненных для пространственной и осесимметрич-

ной моделей для набора параметров а=0.025, /2=100, \Уе=0, £¡=1/? ,„, е=0.

15 1.5

/ш

4г£г

1 Шши

\ IЯ •Л

1.0 1Л

1," 15

-.0 -1 ■ -1(1 О 1 к» 1-1 1)/=1.167 -II) .11 й К) 1'. ¿0 2) (=2.198 3) 1=2.252 °

В параграфе 3.5 проводится сравнение с результатами расчетов выполненными в работе Q.X.Wang (1998) для пространственной задачи (пузырь эволюционирует около вертикальной и над наклонной стенками).

Хорошая согласованность результатов численных экспериментов для осесимметричного и пространственного случаев, а также совпадение с результатами других авторов подтверждает достоверность проведенных расчетов.

Четвертая глава диссертации посвящена исследованию совместного влияния твердой стенки, сил плавучести и параметра газосодержания на процесс эволюции пузыря. Изучается возможность предсказания направления миграции пузыря и направления развития струйки при помощи

импульса Кельвина. Рассматривается взаимодействие пузыря с различными стенками для различного сочетания этих параметров и проводится оценка их влияния на направление, величину и скорость струйки, а также оценивается возможность нанесения струйкой повреждений твердой стенке. Вычисляются размерные значения скоростей струйки и временные характеристики для различных типов пузырей.

В параграфе 3.1 уделяется внимание предсказанию направления движения пузыря и последующего образования струйки с помощью импульса Кельвина - величины, получаемой из вектора количества движения, при использовании ряда допущений. Нулевая кривая импульса Кельвина в случае эволюции пузыря над горизонтальной твердой стенкой выражается соотношением dja =0.442 (Best J.P., Blake J.R., 1994). Если параметры пузыря такие, что d4oc >0.442, пузырь мигрирует от стенки, если меньше -пузырь мигрирует к стенке.

не удается продолжить до момента образования струйки или в этом случае струйка не образуется вообще. Финальные фазы расчетов, обозначенных на рис.5 цифрами, приведены в таблице 6. Как показывают расчеты, возможность предсказания направления формирования струйки при помощи импульса Кельвина в случае эволюции пузыря около горизонтальных стенок весьма ограничена. Причем, если предсказания о том, что струйка направлена от твердой стенки, как правило, является верными, то предсказания о направлении струйки к твердой стенке в ряде случаев оказываются ошибочными или спорными.

На рисунке 5 при-

ведена нулевая кривая импульса Кельвина и нанесены результаты проведенных расчетов эволюции пузыря над горизонтальной твердой стенкой для различных значений коэффициента плавучести. Расчеты обозначены точками. В случае, когда образующаяся кумулятивная струйка направлена от твердой стенки, стрелка от расчета направлена вверх, и наоборот, когда струйка направлена к твердой стенке, стрелка от расчета указывает вниз. В случае, когда стрелки нет, расчет

0.0 -1-1-1-1-1-1-

ао о.5 1.о 1.5 ао г.5 ао а

Рис.5. Кривая импульса Кельвина с нанесенными результатами численных расчетов

Таблица 6. Формы пу ¡ырей в последние момеш ы существования.

13 10 я .3 1Д 13 и» ^^^^^^ 16 !> - > 1.0 10 0 -5 , // /1 / / /,•"-/ и •Л ¿«1 -1Л -»'в - . О '. н. 1ы> 2) ~<1 -Г'. —|Д1 -Л Л \ 1') п _0 3)

'У/ / У ///'/у ////'// / -«л -ГА -,* л •» и» п я 1)

«О 40

и 19

ъ * ф

0 0 А т

-л А

V У // // ' -V : V/ '/ .///'У/''/'' ' /—■?-*»>

«/>

'в ив

-(., ..'в -Ч о 1. 10 Г л * -.0 -> • -1Л « '• IV 1 • Л -,Ч -,'„ , ,'„ I V.

4) 5) 6)

В параграфе 4.2 исследуется процесс эволюции пузыря около различных наклонных твердых стенок для различных значений параметра плавучести а, параметра газосодержания /? = 100, без учета поверхностного натяжения \Уе=0. Расчеты проводятся для следующих значений параметров:

1. положение стенки е = я, Зя/4, я/2, я/4 иО;

2. удаленность от стенки <7=1 и 2 Ят;

3. параметр плавучести «=0.025, 0.05, 0.1, 0.2.

Расчеты объединены в серии по положению твердой стенки и уда- «

ленности от нее. В качестве примера рассматриваются три положения .

твердой стенки е = я, Зя/4 и я/4. I

Угол, наклона стенки е.—к ^

Пузырь располагается над горизонтальной стенкой. В случае, когда пузырь максимально приближен к твердой стенке с1 = 1 Ят, картина течения кардинально меняется при увеличении параметра плавучести (таблица 7). При небольших значениях ся=0.025 и 0.05 образуется острая кумулятивная струйка, направленная к твердой стенке и пузырь сильно смещается в направлении стенки, что объясняется тем, что в этих случаях влияние стенки преобладает. В случае №=0.025 и ./;,=0.96 вершина струйки развивает скорость 10.96 \JAplp м/с. При увеличении параметра плавучести

<х=0.1 и 0.2 струйка, направленная к твердой стенке, ужи не цл^.лл^.с. Графики зависимостей высоты, скорости струйки и коэффициента пробоя мишени от времени показаны на рисунках 6, 7 и 8.

Таблица 7. Эволюция пузырей около твердой стенки /Ы00, \Уе=0, с/=1Я т

Рис.8. Коэффициент пробоя мишени от времени 19

При большем удалении от стенки с/ = 2Ит картина течения существенно меняется. Здесь при всех значениях параметра а формируется кумулятивная струйка. В случае ¿»=0.025 формируется струйка, направленная к твердой стенке. При увеличении параметра плавучести «=0.05 направление струйки меняется, она уже направлена противоположно действию силы тяжести и формируется все на более ранних этапах.

Угол наклона стенки с = Зя7 4

Пузырь развивается над наклонной стенкой. В этом случае для всех значений параметра плавучести на этапе замыкания пузыря формируется струйка, внедряющаяся в пузырь. В таблице 8 приведены формы пузырей для различных моментов времени и значений параметра плавучести. Первоначальное расстояние от пузыря до стенки (1-\Ит. При минимальном значении параметра плавучести «=0.025 на этапе замыкания образуется острая струйка, направленная в сторону твердой стенки, незначительно отклоняемая силой тяжести. Угол градиента скорости с нормалью к стенке составляет 23.4 . В этом случае струйка имеет самую большую скорость для данного положения стенки 9.28-/Др/р м/с, при этом длина струйки составляет 0.56 Лшм, коэффициент пробоя струйки составляет 0.35. При оН).2 получаем очень широкую струйку, направление ее развития составляет угол больше 90" с нормалью к твердой стенке 93.6', эта струйка имеет наименьшую скорость и кинетическую энергию для данного положения стенки. На рисунках 9, 10 и 11 приведены графики зависимостей высоты, скорости струйки и коэффициента пробоя мишени от времени.

Таблица 8. Эволюция пузырей около твердой стенки при /3=100, \^е=0, с1= 1Ят

а =0.025

а =0.05

а =0.1

1р

а) 1=1.140

м

а) /= 1.135

(р

Ь) ¿=2.164

Ь) /=2.096

а =0.2

,1

ш

а)/=1.115

Ь) /=2.014

ВДВ»

а)/=1.176

Ь)/=1.894

■1 1 I • 1»

с) /=2.266 ' с) /=2.236 ' " с) 1=2.259 ' " " с) 1=2.23«

о.|

Рис. 9. Иысота кумулятивной струйки от времени

16 17 1В 1В 2 21 22 1

Рис.10. Скорость вершины струйки от времени

Рис. 11. Коэффициент пробоя мишени от времени

Угол наклона стенки е = я!4

Пузырь эволюционирует под наклонной стенкой. В этом случае при всех значениях параметра плавучести на этапе замыкания пузыря всегда формируется струйка направленная противоположно силе тяжести и незначительно отклоняемая твердой стенкой. Картины течений при различных значений параметра плавучести различаются уже не так значительно.

При расстоянии от стенки 1 Ит формирующиеся на этапе охлопывания пузыря кумулятивные струйки имеют достаточно большую высоту, особенно в случае «=0.2 - 0.72 Кт (таблица 9). В данном случае получаются положительные коэффициенты пробоя струйки от 0.94 («=0.025) до 0.71 (сх= 0.1), но при этом скорости струйки значительно меньше, чем во всех описанных раньше случаях (рис.13).

При более значительном удалении от стенки, как и во всех вышеописанных случаях, пузырь достаточно долго сохраняет форму близкую к сферической. В конце этапа замыкания пузыря формируется струйка, образующая углы с твердой стенкой 15.3 , 23.4 , 32.4" и 37.8' для о#=0.025, 0.05, 0.1 и 0.2 соответственно, с увеличением а высота струйки возрастает, скорость струйки соответственно падает 9.20^1 Ар/р, 6.99 4.73л[Кр/р и 3.20-,/Др!р м/с. Кроме того, пузырек располагается достаточно далеко от твердой стенки и при наибольшей высоте струйки коэф-

фициент пробоя струйки остается отрицательным, к тому же вершины струек имеют минимальную скорость.

Таблица 9. Эволюция пузырей около твердой щенки при /9=100, \Уе=0, с1= IЯт.

а =0.025 а =0.05 «=0.1 «=0.2 ,1

||||к »1

а) ¿=¡.121 4 -.1 а)/=¡.124 ' 1 '1 . -а) /= 1.131 " а) (=1.119

,.1 ' 1 - 11|>

............... Ь) /=2.0X2 •1 Ь)/=2.048 Ь) /=2.016 •1 - Ь)/=1.770

; % Г; %

с) /=2.258 с) /=2 261 с) /=2.261 " „ с)/=2.2*08 '

Рис. !2. Высота кумулятивной струйки Рис. 13. Оорость вершины струйки

от времени от времени

Рис. 14. Коэффициент пробоя мишени от времени 22

В параграфе 4.3 анализируются и обобщаются данные расчетов эволюции газонаполненного пузыря около твердой стенки, кроме того, уделяется внимание вычислению размерных скоростей струек и времени существования пузыря. На основе приведенных расчетов получается, что при эволюции парогазового пузыря около плоских твердых стенок (¡1 < 2к1п) на этапе замыкания пузыря в большинстве случаев происходит развитие струйки жидкости, внедряющейся в пузырь. Данная модель не позволяет продолжать расчет в случае нарушения односвязности области и пересечений границы. В работе т.ВЫсе, У.Тотка и R.PЛong (1998) описывается экспериментальное и численное моделирование эволюции пузыря около твердой стенки. После касания струйкой противоположной стенки пузыря, происходит преобразование пузыря в один, а иногда даже два вращающихся тороидальных пузыря. В таблице 10 приведены безразмерные значения высоты струйки, коэффициента пробоя струйки, угла между градиентом поля скоростей и внешней (по отношению к жидкости) нормалью к твердой стенке, кинетической энергии струйки и пузыря в целом. Эти данные приводятся для расчетов с расстоянием от стенки 1 /?„, и только для тех случаев, когда на этапе замыкания формируется кумулятивная струйка. В этих случаях кумулятивный эффект развивается наиболее ярко, пузырь располагается достаточно близко к твердой стенке, прослойка жидкости между пузырем и стенкой минимальна. Получить ненулевые коэффициенты пробоя струйки удается только для этого расстояния от стенки. Максимальная высота струйки получается для случая £ = /г/4, ое=0.2 — 0.72 Ят м, для этого случая получается и наибольшая длина пробоя струйки ¿7У(,=0.58Л„, м. При этом максимальное значение скорости струйки, полученное в случае е = л, ££=0.05, равняется 163.6д/Др/р м/с.

Таблица 10. Безразмерные характеристики пузыря и струйки при эволюции пузыря около твердых стенок на расстоянии с1 = 1ЯШ, для различных углов наклона стенки ей __ значений параметра плавучести а. __

е а Н К в Т1 р Т р

л 0.025 0.64 0.96 0 813.7 178.9

0.05 0.52 0.49 0 1094.6 243.5

3 л 0.025 0.56 0.62 23.4 698.2 154.7

4 0.05 0.22 - 48.6 585.9 132.9

0.1 0.25 - 76.5 474.1 103.1

0.2 0.39 - 93.6 229.0 41.6

л 0.025 0.55 0.67 25.2 612.7 136.2

2 0.05 0.36 - 42.3 508.6 115.6

0.1 0.41 - 58.5 380.3 86.4

0.2 0.62 - 70.2 213.8 53.3

л 0.025 0.61 0.94 15.3 596.0 133.5

4 0.05 0.56 0.81 23.4 495.1 111.3

0.1 0.59 0.71 32.4 385.0 87.0

0.2 0.72 0.79 37.8 255.4 62.1

0 0.025 0.54 0.86 0 558.1 125.9

0.05 0.54 0.86 0 468.9 107.9

0.1 0.56 0.81 0 354.2 85.6

0.2 0.64 0.84 0 222.2 61.4

В таблице 11 приводятся параметры экспериментальных испытаний для двух кавитационных пузырей и для двух подводных взрывов. В первых двух случаях рассматриваются кавитационные пузыри, максимальный радиус которых составляет 1.27 и 10 мм, описанные в книге Р.Кнэппа, Дж.Дейли и Ф.Хэммита (1974). В двух последующих случаях описываются пузыри, образующиеся при выбросе продуктов детонации в случае подводного взрыва. В третьем случае рассматривается пузырь, формирующийся при взрыве подводной мины (описан в книге Г.Ламба (1947)), а четвертый - пузырь, максимальный радиус которого составляет 115м, образующийся при взрыве ядерного заряда "Вигвам" мощностью 30 Кт (описан в статье Дж.У.Притчетта (1974)).

В таблице 12 приводятся безразмерные и размерные V (нижний индекс при v соответствует номеру строки в таблице 11) максимальные и минимальные значения скорости вершины струйки для различных пузырей. Скорость струйки пузыря всегда конечна, и, как видно из приведенных графиков скоростей струйки (рис. 7, 10, 13), в ряде случаев значение скорости, достигнув определенной величины, больше не растет, график скорости в этих случаях образует «полку». Из таблицы 12 видно, что скорость струйки кавитационного пузыря не превышает 200 м/с. Таким образом, струйка одиночного кавитационного пузыря не способна причинить урон стенке, так как по данным, приведенным в работе В.К.Кедринского (2000), минимальная необходимая для этого скорость для материала мишени алюминия составляет 1,83-10^ м/с. При взрыве мины максимальная скорость струйки составляет 205.4м/с. При ядерном взрыве скорость вершины струйки имеет порядок скорости звука в воде, хотя и не превышает ее, и достигает 1086.7м/с. Время эволюции пузырей для разных типов пузырей существенно варьируется. Так для кавитационных пузырей первого типа время существования составляет от 0.00021 до 0.00023с, для кавитационных пузырей второго типа 0.00167 - 0.00182с, для пузыря, образующегося при взрыве мины - 0.4 - 0.445с, при взрыве ядерного заряда - 3.61 -4 с.

I аблица 11. Масштабные множители при переходе к размерным характеристикам

струйки для различных типов пузыре

К |А/)|, атм

1 0.999 0.00127 10.06 0.0001

2 1.48 0.01 12.25 0.0008

3 1.6 2.5 12.73 0.196

4 44.09 115 66.85 1.720

Таблица 12. Максимальное и минимальное безразмерные и размерные скорости

сгруек V, (/-номер строки в таблице 11) для различных типов пузырей.

£ а "2 "4

Ж 0.05 16.26 163.6 199.2 205.4 1086.7

/г/2 0.2 2.78 28.0 34.1 35.1 185.8

Основные результаты диссертации

Основные положения диссертации, выносимые автором на защиту, состоят в следующем:

1. Разработан численный алгоритм решения нестационарных пространственных задач динамики жидкости со свободными границами методом линейных граничных элементов. Отработан алгоритм автоматического выбора шага по времени.

2. Решены новые нестационарные задачи динамики пространственного парогазового пузыря:

• о пульсации парогазового пузыря, минимальный радиус которого зависит от параметра газосодержания. Минимальные радиусы пузыря, полученные при численных расчетах, удовлетворяют существующим аналитическим оценкам.

• о взаимодействие парогазового пузыря с наклонными и угловыми твердыми стенками.

3. Разработана методика выделения струйки и определения ее характеристик, таких как высота струйки, скорость ее вершины, кинетическая энергия. Введена величина, позволяющая оценивать возможность урона, наносимого струйкой мишени, - коэффициент пробоя струйки.

4. Изучено в пространственной постановке влияние силы тяжести, содержания газа, поверхностного натяжения и близости стенки на процесс эволюции пузыря.

5. Исследуется консервативность численного алгоритма на основе выполнения закона сохранения энергии. Приводятся формы пузыря при его эволюции около различных плоских наклонных и угловых стенок на различном расстоянии от них, для различных значений параметра плавучести.

6. Приводится анализ направления развития кумулятивной струйки и возможного урона, наносимого струйкой твердой стенке в зависимости от положения стенки и значения параметра плавучести, для различных типов пузырей.

Список опубликованных работ по теме диссертации

1. Афанасьев К.Е., Григорьева И.В. Исследование эволюции пространственного газового пузыря в идеальной несжимаемой жидкости// Тезисы доклада, Материалы конференции «Вычислительные технологии - 98» -Новосибирск, ] 998, http://www.ict.nsc.ru/ws/CT98/.

2 Григорьева И.В., Гудов А.М. Препроцессор для расчета пространственных задач со свободной поверхностью// Вычислительные технологии. -Новосибирск. ИВТ СО РАН, 4, N0 6, 1999, С.68-76.

3. Григорьева И.В. Особенности численного решения пространственных задач динамики идеальной несжимаемой жидкости методом граничных элементов// Труды международной научной конференции «Моделирование, вычисления, проектирование в условиях неопределенности - 2000» -Уфа, 2000, С. 176-180.

4. Григорьева И.В. Исследование эволюции пространственного газового пузыря в идеальной несжимаемой жидкости.// Вестник Кемеровского государственного университета.. Выпуск 4, Кемерово, 2000, С. 123-128.

5. Афанасьев К.Е., Григорьева И.В. Исследование эволюции пространственного кавитационного пузыря около твердой стенки в идеальной несжимаемой жидкости при наличии поверхностного натяжения.// Туды математического центра имени Н.И. Лобачевского, Том 7, Краевые задачи аэрородинамики и их приложения. Материалы международной научной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Г.Г. Тумашева (Казань, 21-24 ноября, 2000г), Казань, 2000, С. 38-42.

6. Афанасьев К.Е., Григорьева И.В. Исследование эволюции пространственного газового пузыря около твердой стенки в идеальной несжимаемой жидкости// Тезисы доклада, Материалы конференции «Вычислительные технологии 2000» - Новосибирск, 2000, http://www.ict.nsc.ru/ws/ct-2000/.

7. Григорьева И.В. Исследование взаимодействия пространственного кавшационного пузыря с различными твердыми стенками в идеальной несжимаемой жидкости при наличии поверхностного натяжения// Сборник трудов КемТИПП - Кемерово, 2000, С.63-65.

8. Григорьева И.В. Моделирование эволюции пространственного газового пузыря// Тезисы доклада, Материалы конференции «Конференция молодых ученых, посвященная 10-летию ИВТ СО РАН» - Новосибирск, 2000, http://www.ict.nsc.ai/ws/

9. Григорьева И.В. Моделирование эволюции пространственного газового пузыря около твердых стенок в идеальной несжимаемой жидкости при наличии поверхностного натяжения// Труды конференции «Конферен-

26

ция молодых ученых, посвященная 10-летию ИВТ СО РАН», Т П: Математическое моделирование, Новосибирск, 2001, С. 36-39. 10. Григорьева И.В. Моделирование эволюции простраственного газового пузыря около твердой стенки в идеальной несжимаемой жидкости при наличии поверхностного натяжения.// В сб.: Сборник трудов областной научной конференции «Молодые ученые Кузбассу. Взгляд в XXI век» Математические, химические, физико-технические науки, Кемерово, 2001, С. 53-56.

И. Афанасьев К.Е.,Григорьева И.В. Эволюция пространственного парогазового пузыря в идеальной несжимаемой жидкости возле твердых стенок.// Тезисы докладов международной летней научной школы «Гидродинамика больших скоростей», 16-23 июня 2002, Чебоксары, С.20.

12. Konstantin E.AFANASŒV, Irene V. GRIGORŒVA. THE INVESTIGATION OF BUOYANT GAS BUBBLE DYNAMICS NEAR AN INCLINED WALL// The conf. «High Speed Hydrodynamics», June 2002, Cheboksary, Russia, p. 111 -118.

13. Афанасьев K.E., Гудов A.M., Короткое Г.Г., Долаев P.P., Григорьева И.В., Березин E.H., Стуколов C.B. Пакет прикладных программ для задач идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2002611284 от 31 июля 2002г. (РОСПАТЕНТ).

Подписано к печати 12.08.2003. Формат 60х84'/[6. Бумага офсетная № I. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,6. Тираж 100 экз. Заказ № 598

Издательство «Кузбассвузиэдат». 650043, г. Кемерово, ул. Ермака, 7. Тел.: 58-34-48

1^72 5 I« 12 72 8

§1 Постановка задачи.

§2 Метод движения по времени.

§3 Построение сетки граничных элементов.

3.1 Первый подход.

3.2 Второй подход.

§4 Метод граничных элементов.

4.1 Гоаничные элементы и интерполирующие функции.

4.2 Вычисление интегралов.

4.3 Вычисление диагонального коэффициента матрицы Н.

4.4 Функция Гоина для полубесконечных областей.

4.5 Решение системы линейных алгебраических уравнений.

§5 Вычисление поля скоростей.

§6 Задача о движении абсолютно твердой сферы в безграничной идеальной несжимаемой жидкости.

Глава 2. Динамика сферического пузыря.

§1 Задача Релея.

§2 Замыкание газонаполненного пузыря.

§3 Закон сохранения энергии.

Выводы.

Глава 3. Влияние силы тяжести, положения твердой стенки и поверхностного натяжения на динамику пузыря.

§1 Вычисление характеристик струйки. Метод оценки урона, наносимого струйкой твердой стенке.

§2 Влияние силы тяжести.

§3 Влияние твердой стенки.

3.1 Плоские стенки.

3.2 Угловые стенки.

§4 Влияние поверхностного натяжения.

§5 Сравнительный анализ расчета с использованием пространственной и осесимметричной моделей.

§6 Сравнительный анализ расчетов полученных с помощью разработанного метода граничных элементов с расчетами описанными в работе Вэнга (Q.X. Wang).

Выводы.

Глава 4. Динамика парогазовых пузырей около наклонных стенок.

§1 Импульс количества движения.

§2 Исследование форм пузыря и характеристик струйки.

2.1 Угол наклона стенки s = л:.

2.2 Угол наклона стенки s=Зя74.

2.3 Угол наклона стенки е=к/2.

2.4 Угол наклона стенки е = л-/4.

2.5 Угол наклона стенки s = 0.0.

§3 Характеристики струйки. Переход к размерным величинам144 Выводы.

Описанная в данной работе модель применяется для моделирования различных, непохожих на первый взгляд, явлений. С одной стороны рассматривается динамика подводных взрывов, с другой стороны прогнозируется урон от кавитационной эрозии, когда изучение всего явления пузырьковой кавитации невозможно без изучения динамики одной, отдельно взятой, кавитационной полости. В последнее время особую актуальность приобрели задачи биофизики, а именно задача об исследовании течений в кровеносных сосудах [20, 21], а также задачи, возникающие при изучении надежности работы протеза митрального клапана сердца [86], в этом случае оценивается возможность урона от пузырьков жидкости, находящихся в потоке крови, стенкам митрального клапана. Что же объединяет эти столь разные на первый взгляд явления? Одна из таких черт - это возникающие кумулятивные эффекты. Пузырь, развиваясь из кавитиционого зародыша (если это кавитационный пузырек), или образующийся при взрыве заряда (если рассматривается подводный взрыв), в процессе своего роста, как правило, сохраняет форму близкую к сферической [52]. Достигнув наибольшего объема, пузырь переходит в фазу замыкания. Близость твердой границы и (или) действие силы тяжести нарушают одномерность течения, даже если в момент максимального расширения полость была сферической. В ряде случаев в процессе замыкания пузыря формируется струйка жидкости, внедряющаяся в пузырь до момента касания его противоположной стенки. Такая струя может быть направлена в сторону стенки и иметь скорость порядка сотен, а при особых условиях, даже тысяч метров в секунду [102]. Частицы на дальней от стенки поверхности пузыря, в случае если струя направлена к стенке, получают большее ускорение, то есть возникает классический кумулятивный эффект [47]. Предполагается, что механизм разрушения мишеней определяется именно воздействием высокоскоростной кумулятивной струи, формирующейся на стадии замыкания пузыря [47]. Поэтому актуальной задачей является выяснение роли различных факторов, таких как наличие газа в пузыре, действие силы тяжести, положение твердой стенки, в процессе образования и развития кумулятивной струи.

Исследование задачи об эволюции пузыря имеет достаточно долгую историю. Особый вклад в понимание механизма развития сферических каверн, представляющих собой идеализированную модель нестационарных перемещающихся каверн, внес лорд Релей, опубликовавший в 1917 г. статью "О давлении развивающемся в жидкости при схлопывании сферической каверны". Релей использовал предложенную в 1859 г. Безантом постановку задачи о сферически симметричной пустой полости, мгновенно образующейся в бесконечном объеме невесомой идеальной несжимаемой жидкости, при постоянном давлении на бесконечности. Теоретическое исследование стационарного безотрывного обтекания сферического пузыря в вязкой безграничной жидкости нашли свое отражение в работах [26, 60] и др. Результаты этих исследований показали, что существует широкий диапазон чисел Рейнольдса, при которых распределение нормальных напряжений на границе пузыря мало отличается от давления в жидкости вблизи его границы при потенциальном обтекании потоком идеальной жидкости. Поэтому, исследование стационарной формы пузыря и ее устойчивости при движении можно проводить используя модель идеальной жидкости. В такой постановке задачи о движении пузыря решаются начиная с работы Н.Е.Жуковского [42]. Подробный обзор теоретических и экспериментальных результатов, полученных до 1975 года, приведены в работах Е.И.Забабахина [43], а также О.В.Воинова и А.Г.Петрова [25]. Достаточно полно рассматривается динамика сферических кавитационных пузырей в книге Ю.Л.Левковского [54], влияние твердой стенки на замыкание сферической каверны рассмотрено в работе Ю.Л.Левковского и Г.Г. Судакова [55]. Последние достижения в этой области отражены в работе В.К.Кедринского [47]. Поведение пузыря в вязкой жидкости описывается в работе П.К.Волкова [28].

Решение нестационарных задач о движении и схлопывании пузыря в жидкости приводит к необходимости рассматривать нелинейные эффекты, которые характеризуются накоплением кинетической энергии в довольно малом объеме жидкости и резким ростом скоростей на свободной границе. В процессе замыкания пузырь уменьшается до столь малого объема, что влияние сжимаемости на процесс замыкания пузыря становится весьма существенным. Тем не менее, экспериментальные исследования показывают, что около 90% времени своего существования пузырь находится в состоянии, когда его радиус не достигает той критической величины, хотя и успевает потерять сферическою форму [48, 52].

Задача о динамике пузыря относится к классу задач со свободными границами, которые бурно развиваются последние годы, что связано с огромным прикладным значением достижений в этой области. Однако аналитические исследования подобных задач весьма затруднительны, так как даже в рамках модели идеальной жидкости наличие свободной границы приводит к существенно нелинейным результатам. Кроме того, на свободной границе, как правило, задаются нелинейные краевые условия. Постановки таких задач и методы их решения описаны в книге М.А.Лаврентьева и Б.В.Шабата [53], а также в работах [17, 26, 40, 41, 68] и многих других.

С появлением быстродействующих и высокопроизводительных компьютеров стало развиваться направление численного моделирования. Первые работы, посвященные исследованию эволюции пузыря около твердой стенки, были выполнены в осесимметричной постановке. Оригинальные численные результаты о процессе схлопывания пузырька в безграничной жидкости около твердой стенки получили M.S. Plesset и R.B. Chapman [99], О.В. Воинов и В.В. Воинов [24], M.S. Plesset и A. Prosperetti [100], Т.М. Mitchell и F.G.Hammit [98]. Поведение полусферического пузырька, присоединенного своим основанием к твердой стенке изучали А. Shima и К. Nakajima [107]. Работы J.R. Blake и др. [82, 83] посвящены исследованию влияния твердой стенки и свободной поверхности на эволюцию первоначально расширяющегося пузыря. Направление миграции пузыря и направление развития кумулятивной струйки в упомянутых работах определяется через импульс количества движения (импульс Кельвина). Теоретические исследования импульса Кельвина можно найти в работах J.P.Best и J.R.Blake [76, 78]. Набор методов, используемых для изучения эволюции как кавитационных, так получаемых в результате взрывов, пузырей, достаточно широк и по сей день постоянно пополняется. Один из методов широко применяемых для данного круга задач - метод граничных элементов, использованный и в данной работе. Наиболее известные работы посвященные моделированию осесимметричного пузыря методом граничных элементов - [77, 82, 83] и др. Известно всего несколько подобных работ в пространственной постановке [85, 111]. В работе [112] описан подход, позволяющий проводить расчет перехода от пузыря к тору, то есть от односвязной к двусвязной области методом граничных элементов. Использование метода конечных элементов для задач эволюции пузыря описано в работах [103, 109], метода объемов жидкости (volume-of-fluid method) - [97], метода Лагранжа-Томсона - [110], метода обобщенных вихрей (generalized vortex method) - [101].

Большое внимание при изучении динамики пузыря отводится также эксперименту, хотя техника эксперимента в этом случае чрезвычайно сложна [79, 80]. Экспериментальные результаты можно найти в работах Benjamin Т.В. и Ellis А.Т. [75], Lauterborn W. и Bolle И. [96], Shima А. и Nakajiama К. [107], Гривнина Ю.А. Зубрилов С.П.[30] а также в ряде более поздних работ Kedrinskii К.А. и Stepanov V.A. [94], Tomita Y. и др.[105], Shima А. [106], Blake J.R. и др. [84], S.J. Shaw [108], N.J. Lawson и др. [97], Field J.E. [87], Hooton M.C. и Blake J.R. [92].

В настоящее время расчет пространственных задач уже не лежит за пределами возможностей современных компьютеров и, более того, не является чем-то экстраординарным. Тем не менее, как сам расчет пространственной задачи, так и анализ результатов все еще остается достаточно сложным и трудоемким процессом, известно всего несколько работ посвященных исследованию эволюции пространственных пузырей [85], взаимодействию пузыря с твердой стенкой [111]. Работа [84] посвящена как экспериментальному так и численному моделированию эволюции пузыря и тора образующегося в результате замыкания пузыря. В работе [101] описывается исследование пульсации пространственного пузыря в безграничной несжимаемой жидкости с учетом поверхностного натяжения в поле переменного давления.

Основная цель данной работы - изучить поведение пространственного парогазового пузыря при его эволюции как в безграничной жидкости, так и вблизи твердой стенки, а также выяснить влияние различных факторов, таких как наличие газа в пузыре, действие силы тяжести, поверхностного натяжения, положения стенки, на процесс образования и развития кумулятивной струи. Кроме того, необходимо оценить урон, наносимый струйкой твердой стенке (мишени), получить размерные характеристики струйки для различных типов пузырей кавитационных пузырей и пузырей, возникающих при взрыве различных зарядов).

В первой главе диссертации изложена общая постановка нелинейной пространственной задачи о динамике пространственного парогазового пузыря в идеальной несжимаемой тяжелой жидкости с учетом поверхностного натяжения, описана методика движения по времени и реализация метода граничных элементов (МГЭ) на каждом временном шаге.

Описание общей нелинейной постановки задачи приведено в работе JI.B. Овсянникова [61], обезразмеривание переменных при переходе к численной реализации - в работах [54, 82].

Используемый в работе метод граничных элементов является разновидностью метода граничных интегральных уравнений, который применяется для анализа краевых задач еще с начала века. Неоспоримым преимуществом метода является то, что для нахождения неизвестных функций внутри области используются уравнения, записанные по границе, и являющиеся формулировкой исходной поставленной задачи, ведущей к точному решению. Известно, что численное интегрирование всегда представляет собой более устойчивый и точный процесс, чем численное дифференцирование. Кроме того, переход к уравнению, записанному по границе, позволяет снизить размерность задачи на единицу, что в пространственном случае чрезвычайно важно. Матрица порожденная МГЭ является полнозаполненной, в отличии от других популярных методов -метода конечных элементов [3, 44, 49, 63] и разностных схем [16, 59], при реализации которых матрица получается сильно разреженной или ленточной. Основные теоретические результаты и современные достижения в области решения интегральных уравнений отражены в работах В.Г.Мазьи [58],

A.Ф.Верланя и В.С.Сизикова [23].

Численная реализация метода граничных интегральных уравнений начинается с метода Крылова-Боголюбова, описанного в 1929 году. Изложение этого подхода, который по принятой на сегодняшний день классификации можно отнести к методам с постоянными граничными элементами или методу "панелей", можно найти в работе Л.В.Канторовича и

B.И.Крылова [45].

В данном случае в качестве основного соотношения метода граничных элементов используется третья формула Грина, записанная для д(р потенциала поля скоростей (р и его нормальной производной q = -— дп

Г Г где ^"-фундаментальное решение уравнения Лапласа, q* - его дп нормальная производная, С = cojln, со - телесный угол, под которым видна поверхность из точки х.

Граница области Г аппроксимируется набором плоских или криволинейных треугольных или четырехугольных элементов, на которых искомые величины могут быть аппроксимированы постоянными, линейными или квадратичными функциями. В зависимости от этого элементы называются "постоянными", "линейными" или "квадратичными", что в свою очередь определяет число узлов на элементе. Записав уравнение (v.l) для всех узлов границы (называемых точками наблюдения) дискретный аналог основного соотношения МГЭ (v.l) и вычислив необходимые интегральные коэффициенты, получим систему линейных алгебраических уравнений для неизвестных значений искомых функций в узлах границы. Сведение интегральной формулировки исходной задачи к системе линейных алгебраических уравнений подробно описано в работе [65].

Полный обзор метода граничных элементов можно найти в работах [19] и [18].

Для дискретизации интегрального соотношения (v.l) в диссертации используются линейные треугольные элементы. Соотношение (v.l) на каждом шаге по времени приводится к интегральному уравнению Фредгольма первого рода относительно неизвестных значений нормальной производной, которое является некорректным по Адамару [23]. Однако известно, что если интегральные коэффициенты имеют сильную особенность, которая вычисляется в смысле главного значения по Коши, как в нашем случае, то результирующая система линейных алгебраических уравнений имеет диагональное преобладание, при решении которой наблюдается эффект "саморегуляризации" [58].

Для верификации работы МГЭ на каждом временном шаге проводятся тестовые расчеты по движению твердой сферы в безграничном потоке идеальной несжимаемой жидкости [67].

Вторая глава посвящена решению задачи динамики пузыря в безграничном объеме идеальной несжимаемой, лишенной капиллярных свойств, невесомой жидкости под действием постоянного перепада давления. Приводится численное решение задачи Релея. Под действием постоянного перепада давления пузырь с исходного радиуса R0=Rm замыкается полностью за время t* =0.91468--■■ -lAp/p. В этой задаче распределение

Rm потенциала и скоростей на границе пузыря известно во все моменты времени. Если в начальный момент времени взять отрицательный перепад давления и соответствующее ему значение потенциала, то пузырь с начального малого радиуса /?0=0.1/?те (/0 = 0.00155 - -JAp]p) под

Rm действием растягивающих напряжений увеличится до максимального радиуса Rm, а затем при смене растягивающих напряжений избыточным давлением перейдет в фазу замыкания. В этом случае полное время жизни пузыря составит 2t*. Эта задача имеет существенно нелинейный характер и является прекрасной возможностью для тестирования численно алгоритма, отладки методики нахождения поля скоростей и подбора оптимальных параметров в алгоритме автоматического выбора шага по времени.

Также во второй главе исследуется задача об эволюции парогазового пузыря в безграничной идеальной несжимаемой невесомой, лишенной капиллярных свойств жидкости [54]. Данная задача отличается от задачи Релея предположением о том, что в начальный момент времени в пузыре находится некоторое количество газа, который в дальнейшем ведет себя адиабатически. Наличие газа в пузыре оказывает принципиальное влияние на его поведение. Как бы ни было мало начальное давление газа, при замыкании пузыря из начального радиуса R0 = Rm, давление в пузыре увеличивается, приостанавливая рано или поздно процесс замыкания пузыря. Пузырь замыкается до минимального радиуса, зависящего от параметра газосодержания (такая оценка приводится в работе [74]), после чего вновь расширяется до исходного радиуса, оставаясь сферическим. Такие пульсации пузыря, то есть сменяющие друг друга этапы расширения и замыкания, могут продолжаться бесконечно, так как потерь энергии не происходит, потенциальная и кинетическая энергия переходят одна в другую. В процессе же численного моделирования удается пройти всего несколько пульсаций пузыря, после чего происходит разрушение численно счета из-за нарушения сферической симметрии пузыря. В работе [101] описывается численное моделирование пульсаций пространственного парогазового пузыря в безграничной идеальной несжимаемой жидкости с учетом поверхностного натяжения в поле переменного давления. Моделирование осуществляется методом обобщенных вихрей (generalized vortex method), в этом случае удается пройти всего лишь несколько пульсаций пузыря, и что интересно потеря сферической симметрии пузыря в работе [101] происходит аналогично тому, что наблюдается в диссертационном исследовании.

Во второй главе, кроме описанных задач, исследуется консервативность МГЭ путем контроля за выполнением закона сохранения энергии, приведенного в статье [25].

В третьей главе рассматривается эволюция пузыря в безграничной жидкости под действие силы тяжести, а также в невесомой жидкости около плоских и угловых твердых стенок. Влияние этих факторов приводит к нарушению сферической симметрии пузыря, что особенно заметно на этапе замыкания, когда происходит развитие струи жидкости, внедряющейся в пузырь. Особое внимание уделяется анализу характеристик струйки, методика выделения струйки и расчета ее характеристик описывается в первом параграфе данной главы. В качестве основных характеристик струйки используются высота струйки и скорость ее вершины, а так же, кинетическая энергия струйки и всего пузыря. Для оценки возможности урона, наносимого струйкой твердой стенке, на основании рассуждений приведенных в книге В.К.Кедринского [47] строится характеристика -коэффициент пробоя струйки. Этот коэффициент позволяет оценить возможность нанесения урона твердой стенке, при условии, что струйка развивает необходимую для этого скорость.

В третьей главе диссертации так же изучается влияние силы тяжести и газосодержания на процесс эволюции пузыря. В случае наличия силы тяжести струйка развивается в направлении противоположном ее действию, высота и скорость струйки зависят от величины коэффициента плавучести. Значения коэффициентов плавучести берутся из описанных экспериментальных работ [79, 80, 90]. В этом же параграфе рассматривается влияние содержания газа на динамику пузыря в случае, когда пузырь утрачивает сферическою форму.

При эволюции пузыря около твердой стенки наблюдается описанный, как в экспериментальных, так и в посвященных численному моделированию работах, эффект притяжения пузыря твердой стенкой и последующего формирования кумулятивной струйки развивающейся по направлению к ней. Этот эффект наблюдается независимо от наклона твердой стенки и определяется только расстоянием до нее. Вопрос о том, на каком расстоянии от стенки должен находиться пузырь, чтобы ее влияние оставалось заметным, также исследуется в третьей главе. Значение параметра газосодержания берется из описанных экспериментальных работ [84]. Приводится сравнение вычисленных скоростей струйки со скоростями, описанными в экспериментальных работах [80], а также со скоростями, полученными при расчете осесимметричной задачи, описанной в работе [82]. Здесь же, проводится сравнение форм пузыря, полученных при решении задачи в пространственной постановке с задачами в осесимметричной постановке, реализованой в работе К.Е.Афанасьева и А.М.Гудова [8].

Кроме того, в третьей главе диссертации рассматривается вопрос о влиянии поверхностного натяжения на процесс эволюции пузыря. Рассматривается методика вычисления поверхностного натяжения в узлах сетки, являющихся стыком плоских треугольных элементов. Считается, что действие поверхностного натяжения существенно только для паровых кавитационных пузырей, содержание газа в которых пренебрежимо мало [48, 93], поэтому в работе приводятся расчеты с коэффициентами поверхностного натяжения для кавитационных пузырей. Силы поверхностного натяжения стремятся сжать каверну, образовавшуюся в жидкости [48], а также препятствуют деформации пузыря на этапе его замыкания, заметно сокращая время существования пузыря. Наличие газа в пузыре препятствует его замыканию, отчасти компенсируя действие сил поверхностного натяжения, что подтверждается численными расчетами. Тем не менее, как показывают численные расчеты, под действие поверхностного натяжения даже пузырь со значительным содержанием газа замыкается, оставаясь значительно более гладким, чем в случае отсутствия сил поверхностного натяжения.

Четвертая глава диссертации посвящена исследованию динамики парогазового пузыря около наклонных твердых стенок, а также изучению возможности предсказания направления миграции пузыря и последующего образования струйки с использованием импульса Кельвина.

В ряде работ, посвященных эволюции парогазовых пузырей, описывается методика предсказания направления миграции пузыря и последующего образования струйки с использованием величины, которую можно получить из вектора количества движения, сделав ряд допущений [76, 78, 82, 83]. В первом параграфе четвертой главы диссертации приводится последовательность рассуждений для получения данной оценки и обсуждается достоверность предсказаний, полученных с ее помощью.

Пузырь развивается из малого сферически симметричного пузыря, расположенного на расстоянии одного или двух максимальных радиусов от твердой стенки. В процессе роста пузырь, как правило, сохраняет близкую к сферической форму. В случае, когда стенка расположена на расстоянии одного максимального радиуса от пузыря, при достижении максимального объема пузырь несколько "уплощается" со стороны твердой стенки. На этапе замыкания пузыря рассматриваются несколько вариантов дальнейшего развития течения. Пузырь, замыкаясь, может образовывать острые грани или вершины, например, пузырь принимает форму капли, что проводит к дальнейшем разрушению численного расчета и предсказать дальнейшее поведение пузыря в этом случае не представляется возможным. Другой вариант развития событий, когда просматривается тенденция к разделению пузыря на два отдельных более мелких пузыря. Наиболее же вероятный вариант развития событий, когда на этапе замыкания формируется струйка, внедряющаяся в пузырь. Характеристики струйки определяются преимущественно положением твердой стенки и величиной коэффициента плавучести. В большинстве случаев расчет удается продлить до момента касания твердой стенкой противоположной стенки пузыря. Существует несколько как экспериментальных так и численных работ, описывающих дальнейшее преобразование такого пузыря в тороидальный и дальнейшую его эволюцию [81, 84].

При численном моделировании задачи эволюции пузыря все характеристики динамики пузыря получаются в безразмерном виде. Поэтому интересно перейти к размерным величинам и получить реальные характеристики различных пузырей. В данной работе рассматриваются кавитационные пузыри радиусом 1.27 и 10 мм, описанные в книге Р.Кнэппа, Дж. Дейли и Ф.Хэммита [48], кроме того, рассматривается пузырь, образующийся при взрыве мины с начальным радиусом 1м, описанный в книге Г.Ламба [57], и пузырь, образуемый ядерным взрывом "Вигвам" мощностью ЗОКт, описанным в работе Дж.У. Притчетт [64]. Для всех этих пузырей приводятся размерные высоты и скорости струек, а также полное время эволюции пузырей.

Таким образом на защиту выносятся следующие результаты:

1. Разработан численный алгоритм решения нестационарных пространственных задач динамики жидкости со свободными границами методом линейных граничных элементов. Отработан алгоритм автоматического выбора шага по времени.

2. Решены новые нестационарные задачи динамики пространственного парогазового пузыря:

1. о пульсации парогазового пузыря, минимальный радиус которого зависит от параметра газосодержания. Минимальные радиусы пузыря, полученные при численных расчетах, удовлетворяют существующим аналитическим оценкам.

2. о взаимодействие парогазового пузыря с наклонными и угловыми твердыми стенками.

3. Разработана методика выделения струйки и определения ее характеристик, таких как высота струйки, скорость ее вершины, кинетическая энергия. Введена величина, позволяющая оценивать возможность урона, наносимого струйкой мишени, - коэффициент пробоя струйки.

4. Изучено в пространственной постановке влияние силы тяжести, содержания газа, поверхностного натяжения и близости стенки на процесс эволюции пузыря.

5. Исследуется консервативность численного алгоритма на основе выполнения закона сохранения энергии. Приводятся формы пузыря при его эволюции около различных плоских наклонных и угловых стенок на различном расстоянии от них, для различных значений параметра плавучести.

6. Приводится анализ направления развития кумулятивной струйки и возможного урона, наносимого струйкой твердой стенке в зависимости от положения стенки и значения параметра плавучести, для различных типов пузырей.

Результаты работы по мере их получения докладывались и обсуждались на VI Международной конференции «Вычислительные методы в задачах волновой гидродинамики» (Новосибирск, 1998г.), Сибирской школе-семинаре «Математические проблемы механики сплошных сред» (Новосибирск, 1998г.), Международной научной конференции «Моделирование, вычисления, проектирование в условиях неопределенности - 2000» (Уфа, 2000г.), VII Международной конференции «Вычислительные методы в задачах волновой гидродинамики» (Новосибирск, 2000г.), международной научной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Г.Г. Тумашева (Казань, 2000г), конференции «Конференция молодых ученых, посвященная 10-летию ИВТ СО РАН» (Новосибирск, 2000), конференции «Молодые ученые Кузбассу. Взгляд в XXI век» (Кемерово, 2001), международной летней научной школы «Гидродинамика больших скоростей» (Чебоксары, 2002), а также регулярно на научном семинаре «Численные методы решения задач механики сплошной среды» Кемеровского государственного университета (Кемерово, 1997-2003гг.).

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [6, 11, 32,

33, 35, 36, 37, 74], и тезисах и аннотациях докладов [4, 5, 7, 31, 34].

Автор диссертации выражает глубокую признательность научному руководителю К.Е.Афанасьеву - за постоянное внимание, терпение, творческие идеи и неоценимую помощь при выполнении работы.

Выводы

На основании проведенных расчетов можно сделать следующие выводы

1. Существует множество вариантов эволюции пузыря около наклонных стенок в безграничном объеме идеальной несжимаемой жидкости. Это объясняется тем, что деформации пузыря на этапе его замыкания вызывается многими факторами - наличием действия силы тяжести, наклоном и удаленностью стенки, а кроме того на нее способны влиять наличие газа в пузыре и поверхностное натяжение. В большинстве случаев эволюции парогазового пузыря около близко расположенной (не более двух максимальных радиусов) твердой стенки без учета поверхностного натяжения на этапе замыкания пузыря формируется кумулятивная струйка.

2. Возможность предсказывать направление формирования струйки при помощи импульса Кельвина, в случае эволюции пузыря около горизонтальных стенок, весьма ограничена. Причем, как показывают расчеты, предсказание о том, что струйка направлена от твердой стенки как правило является верным, в то время как предсказания о том, что струйка будет направлена к твердой стенке в ряде случаев оказываются ошибочными или спорными.

3. Скорость струйки во всех приведенных расчетах конечна. Высота струйки не превышает 0.64 Rm, кинетическая энергия струйки в моменты времени предшествующие замыканию в среднем в четыре раза превышаю полную кинетическую энергию.

4. Скорости струйки и временные характеристики для различного типа пузырей различаются принципиально. Так для описанных в [48] кавитационных пузырей не превышает 200 м/с. В случае пузыря, образующегося при взрыве мины, скорость струйки достигает 5175.9м/с, что более чем в три раза превышает скорость звука в воде.

В случае ядерного взрыва, описанного с статье [64], скорость струйки превышает скорость звука в воде в десятки раз и достигает 22996м/с. Временные характеристики взрывов также различаются принципиально.

5. На вопрос о том, способен ли единичный кавитационный пузырь нанести урон мишени - твердой стенке, проведенные расчеты дают однозначный отрицательный ответ. Кумулятивная струйка, формирующаяся на этапе замыкания одиночного кавитационного пузыря, не развивает необходимую для этого скорость.

1. Абрамович М., Стигаи И. Справочник по специальным функциям.// М.: Наука, 1979.

2. Афанасьев К.Е. Моделирование свободных границ в гидродинамике идеальной жидкости.//'Тидродинамика больших скоростей" Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова -Чебоксары, 1996, С.3-10.

3. Афанасьев К.Е., Афанасьева М.М., Терентьев А.Г. Исследование эволюции свободных границ методами конечных и граничных элементов при нестационарном движении тел в идеальной несжимаемой жидкости.// Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа., 1986, №5, С.8-13.

4. Афанасьев К.Е., Григорьева И.В. Исследование эволюции пространственного газового пузыря в идеальной несжимаемой жидкости// Тезисы доклада, Материалы конференции «Вычислительные технологии 98» - Новосибирск, 1998, http://www.ict.nsc.ru/ws/CT98/.

5. Афанасьев К.Е. Григорьева И.В. Эволюция пространственного парогазового пузыря в идеальной несжимаемой жидкости возле твердых стенок.// Тезисы докладов международной летней научнойшколы «Гидродинамика больших скоростей», 16-23 июня 2002, Чебоксары, С.20.

6. Афанасьев К.Е., Гудов A.M. Информационные технологии в численных расчетах.//Кемерово, 2001.

7. Афанасьев К.Е., Гудов A.M. Численное моделирование динамики пространственного пузыря методом граничных элементов. // Моделирование в механике: сб. науч. трудов, Новосибирск, N 1, 24, Т.7, 1993, С.11-19.

8. Афанасьев К.Е., Гудов A.M. Захаров Ю.Н. Исследование эволюции пространственного газового пузыря методом граничных элементов. // Вычислительные технологии, Инс-т выч. технологий СО РАН, Новосибирск, N 3, Т.1, 1992, С.158-167.

9. Афанасьев К.Е., Гудов A.M. Моделирование трехмерных задач о движении сферы методом граничных элементов.// Гидродинамика больших скоростей: тезисы докладов IV всесоюзной научной школы (Чебоксары, 25.06-01.07.1989), Чебоксары, 1989, С 6-6.

10. Афанасьев К.Е., Самойлова Т.И. Техника использования метода граничных элементов в задачах со свободными границами.// Вычислительные технологии, Новосибирск, 1995, вып.7, №11, С.19-37.

11. Бартеньев О.В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека IMSL.

12. Бахвалов Н.С. Численные методы., М.: Наука, 1975.

13. Белых В.Н. Теорема существования и единственности решения задачи о сферическом пузыре.// В сб.: Динамика сплошной среды, Новосибирск, 12, 1972, С.63-76.

14. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках., М.: Мир, 1984.

15. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел JI. Методы граничных элементов. М.:Мир, 1987.

16. Бубенчиков A.M., Фирсов Д.К., Альбрандт Е.В, Гемодинамика крупных кровеносных сосудов с аневризмой.// Вестник Томского гос. университета, Бюллетень оперативной научной информации 2001г., №4, Численные методы в гидродинамики вязкой жидкости.

17. Валандер С.В. Лекции по гидромеханике., Л.: Издательство Ленинградского университета, 1978.

18. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Справочное пособие., Киев: Наукова думка, 1986

19. Воинов О.В., Воинов В.В. О схеме захлопывания кавитационного пузырька около стенки и образования кумулятивной струйки. Док. АН СССР, №1, 227, 1976, С.63-66.

20. Воинов О.В., Петров А.Г. Движение пузырей в жидкости.// Итоги науки и техники. МЖГ, ВИНИТИ, № 10,1976, С.86-147.

21. Волков П.К. Численное решение задачи обтекания газового пузыря вязкой жидкостью//ЧММСС, Т. 13, N1, Новосибирск, 1982, С.44-55.

22. Волков П.К., Кузнецов Б.Г., Численное решение задачи о стационарном обтекании вязкой жидкостью газовой полости в трубе// ЧММСС, Т. 13, N5, 1982, С.20-31.

23. Волков П.К. Гидродинамика всплывающих пузырей и капель. //ИФЖ, N1,66, 1994, С.93-123.

24. Воронин В.В., Цецохо В.А. Численное решение интегрального уравнения I рода с логарифмической особенностью методом интерполяции и коллокации.// ЖВММФ.- 1981. Т.21, No 1.-С.40-50.

25. Гривнин Ю.А., Зубрилов С.П. Кавитация на поверхности твердых тел.//Ленинград «Судостроение», 1985.

26. Григорьева И.В. Исследование взаимодействия пространственного кавитационного пузыря с различными твердыми стенками видеальной несжимаемой жидкости при наличии поверхностного натяжения// Сборник трудов КемТИПП Кемерово, 2000, С.63-65.

27. Григорьева И.В. Исследование эволюции пространственного газового пузыря в идеальной несжимаемой жидкости.// Вестник Кемеровского государственного университета., Выпуск 4, Кемерово, 2000, С. 123128.

28. Григорьева И.В. Моделирование эволюции пространственного газового пузыря// Тезисы доклада, Материалы конференции «Конференция молодых ученых, посвященная 10-летию ИВТ СО РАН» Новосибирск, 2000, http://www.ict.nsc.ru/ws/

29. Григорьева И.В., Гудов A.M. Препроцессор для расчета пространственных задач со свободной поверхностью// Вычислительные технологии. Новосибирск. ИВТ СО РАН, 4, No 6, 1999, С.68-76.

30. Гудов A.M., Афанасьева М.М. Моделирование пространственных задач идеальной жидкости методом граничных элементов.// Гидродинамика больших скоростей: Межвуз. сб. науч. тр., Чуваш, унт, Чебоксары, 1990, С. 15-24.

31. Гудов A.M. Численное моделирование возмущение свободной поверхности, вызванных коллапсом газового пузыря.// В сб.:

32. Вычислительные технологии. Новосибирск: ИВТ СО РАН, Т.4, N 11, 1993, 92-103.

33. Гузевский Л.Г., Расчет осесимметричных течений со свободными поверхностями.// ДАН СССР, 1975, т.225, №2, С. 268-272.

34. Гузевский Л.Г., Численный анализ кавитационных течений.// Институт теплофизики СОАН СССР, Препринт/40-79, Новосибирск, 1979,36с.

35. Жуковский Н.Е. Определение движения жидкости при каком-нибудь условии, данном на линии тока. Собр. соч. Т.2 Гидродинамика. М.-Л.,Гостехиздат, 1949, С.640-653.

36. Забабахин Е.И. Явление неограниченной кумуляции. В сб.: Механика в СССР за 50 лет., М.:Наука, Т.2, 1970, С.313-342.

37. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.

38. Канторович Л.В., Крылов В.И., Приближенные методы высшего анализа. М.-Л.: Гифмл, 1962.

39. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение., М.: Мир, 1998.

40. Кедринский В.К. Гидродинамика взрыва. Эксперимент и модели. Новосибирск, Издательство Сибирского отделения РАН, 2000г.

41. Кнэпп Р., Дейли Дж., Хэммит Ф. Кавитация., М.: Мир, 1974.

42. Коннон Дж., Бреббия К. Метод конечных элементов в механике жидкости.-Л.: Судостроение, 1979.

43. Корн Г, Корн Т Справочник по математике для научных работников и инженеров., М.: Наука, 1974.

44. Коробицын В.А., Пегов В.И. Численное исследование эволюции границы раздела двух жидкостей// Механика жидкости и газа, №5, 1993, С128-133.

45. Коул Р. Подводные взрывы, М.:ИЛ,1950.

46. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели., М.: Наука, 1973.

47. Левковский Л.В. Структура кавитационных течений.// Л., 1973.

48. Левковский Ю.Л. Судакова Г.Г. Влияние твердой стенки на замыкание сферической коверны.// Инж.-физ. ж., 1968, 15, №2, С.241-247.

49. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа.// М.: Наука, 1987.

50. Ламб Г. Гидродинамика./ЮГИЗ-ГосТехИздат, Москва-Ленинград, 1947.

51. Мазья В.Г. Граничные интегральные уравнения//Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Совр. пробл. мат.: фундам. направления, Т.27, 1988, С.131-228.

52. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики., М.: Наука 1989.

53. Мерч К.А. Динамика кавитационных пузырьков и кавитирующих жидкостей. В кн.: Эрозия: Пер. с англ./Под ред. К.Прис, М.:Мир, 1982, С.331-381.

54. Овсянников Л.В. О всплытии пузыря. В сб.: Некоторые проблемы математики и механики., М.: Наука, 1972.

55. Патрашев А.Н. Гидромеханика. М.: ВИВМС СССР, 1953.

56. Полежаев В.И., Федосеев А.И. Методы конечных элементов в задачах гидромеханики, тепло- и массообмена// ИПМ АН СССР, препринт № 160, 1981,82с.

57. Притчетт Дж.У. Расчеты явлений при подводных взрывах в условиях несжимаемости.// Подводные и подземные взрывы., М.:Мир, 1974, С.44-57

58. Риццо Ф. Метод граничных интегральных уравнений современный вычислительный метод прикладной механики. В кн.: Метод граничных интегральных уравнений., М.: Наука, 1978, С.11-17.

59. Роджерс Д.Ф. Алгоритмические основы машинной графики. М.:»Мир», 1989.

60. Седов Л.И. Механика сплошной среды.//Москва «Наука», 1984, т.2.

61. Терентьев А.Г., Афанасьев К.Е. Численные методы в гидродинамике: Уч. пособие, Чебоксары: ЧГУ, 1987.

62. Тихонов А.Г., Арсенин В .Я. Методы решения некорректных задач., М.: Наука, 1979

63. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики., М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953.

64. Форсайт Дж., Малкольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений.-М.: Мир, 1980.

65. Форсайт Дж., Моулер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969.

66. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т.2, М., 1973.

67. Afanasiev K.E., Grigorieva I.V. The Investigation of buoyant gas bubble dynamics near an inclined wall// «High Speed Hydrodynamics», June 2002, Cheboksary, Russia, p. 111-118.

68. Benjamin T.B., Ellis A.T. The collapse of cavitation bubbles and the pressures thereby produced against solid boundaries. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A260, 221-240, 1966

69. Best J.P., Blake J.R. An estimate of the Kelvin impulse of a transient cavity.//J. Fluid Mech., N 261, 1994, P. 75-93.

70. Best J.P., Kucera A. A numerical investigation of non-spherical rebounding bubbles.//J. Fluid Mech., Vol.245, 1992, P. 137-154.

71. Best J.R. The Kelvin impulse: application to cavitation bubble dynamics. J. Aust. Math. Soc. Ser. B30, 1988, P. 127-146.

72. Blake, J. R., Gibson, D.C. Growth and collapse of a vapour cavity near a free surface.//J. Fluid Mech. 111, pp. 123-140, 1981

73. Blake J.R., Gibson D.C. Cavitation bubbles near boundaries. Ann. Rev. Fluid Mech., N19, 1987, P. 99-123.

74. Blake J.R., Hooton M.C., Robinson P.B., Tong R.P. Collapsing cavities toroidal bubbles and jet impact// Philos. Trans. R. Soc. London Ser. A335, 1997, P. 537-550.

75. Blake J.R., Taib B.B., Doherty G. Transient cavities near boundaries. Part 1. Rigid boundary. J. Fluid Mech., N 170, 1986, P. 479-498.

76. Blake J.R., Taib B.B., Doherty G. Transient cavities near boundaries. Part 1. Free surface. J. Fluid Mech., N 181, 1987, P. 197-212.

77. Blake J.R., Tomita Y., Tong R.P. The Art, Craft and Science of Modelling Jet Impact in a Collapsing Cavitation Bubble. Applied Scientific Research 58:77-90: 1998

78. Chahine G.L. Strong interactions bubble/bubble and bubble/flow // Bubble Dynamics and Interface Phenomena, Kluwer Academic Publihers, 1994, P.l 95-206

79. Changfu Wu, Ned H.C.Hwang, Y.K.Lin A fracture Mechanics Model for Cavitation Damage in Mechanical Heart Valve Prostheses. Cardiovascular Engineering: An International Journal, Vol.1, No.4, December 2001.

80. Field J.E. Experimental studies of bubble collapse.// Bubble Dynamics and Interface Phenomena, Kluwer Academic Publihers, 1994, P. 17-31.

81. Ghassemi F. Automatic mesh generation scheme.// Computing and Structures, Vol.15, No.6, pp 613-626, 1982.

82. Gibson D.C. Cavitation adjacent to plane boundaries.//Proc. 3rd Aust. Conf. On hydraulic and Fluid Mechanics, pp. 210-214.

83. Gibson, D.C. & Blake, J. R. Growth and collapse of bubbles near deformable surfaces.// Appl. Sci.Res. 38, pp. 215-224, 1982

84. Gumerov N.A. Chahine G.L. An inverse method for the acoustic detection, localization and determination of the shape evolution of a bubble.// Inverse Problems 16(2000), P. 1741-1760.

85. Hooton M.C., Blake J.R. Behavior of an underwater explosion bubble near a rigid boundary: Theory and experiment.// .// Bubble Dynamics and Interface Phenomena, Kluwer Academic Publihers, 1994, P.421-428.

86. Ivany R.D., Collapse of a Cavitation Bubble in Viscous Compressible Liquid Numerical and Experimental analysis. The University of Michigan, Nuclear Engeneering Department, 1965.

87. Kedrinskii V.K., Stepanov V.A. Cavitation effects in thin films // Proc. 12th Intern. Symp. On Nonlinear Acoustics. Austin, Texas, 1990/ L.;N.Y.: Elsevier Applied Sci., 1990.

88. Kurbatskii K.A., Kedrinskii V.K. Collapse of a bubble in the cavitational zone near a rigid boundary // Abstr. 124th Meeting of ASA. New Orlean, USA, Oct. 31 -Nov. 4, 1992. P. 2453.

89. Lauterborn W., Bolle H. Experimantal investigations of cavitation bubble collapse in the neighbourhood of solid boundary. J. Fluid Mech., 1975, 72, P.391-399.

90. Lawson N.J., Rudman M., Guerra A., Lion J.-L. Experimental and numerical comparisons of the break up of a large bubble.// Experiments in fluids, Springer-Verlag, 1999, 26, P. 524-534.

91. Mitchell T.M., Hammit F.G. Asymmetric cavitation bubble collapse.// J.Engng., Trans. ASME, 195, 29, 1973.

92. Plesset M.S., Chapman R.B. Collapse of an initially spherical vapour cavity in the neighbourhood of a solid boundary// J/Fluid Mech., Vol.47,Part 11,1971, P.283-290.

93. Plesset M.S.,Prosperetti A. Bubble dynamics and cavitation.// Ann. Rev. Fluid Mech.,N9, 1977, P. 145-185.

94. Pozrikidis C. Numerical Simulation of Three-Dimentional Bubble Oscilations by a Generalized Vortex Method.// Theoret. Comput. Fluid Dynamics (2002) 16: 151-169.

95. Prosperetti A. Bubble dynamics: Some things we did not know 10 years ago.// Bubble Dynamics and Interface Phenomena, Kluwer Academic Publihers, 1994, P.3-16.

96. Rogers J.C.W., Szymczak W.G., Computations of violent surface motions: Comparisons with theory and experiment.// Phil. Trans. R. Soc. Lond.,1997, A 355, P. 649-663.

97. Tomita Y., Shima A. Mechanisms of impulse pressure generation and damage pit formation by bubble collapse.// J. Fluid Mech., 1986, vol. 169, P.535-564.

98. Tomita Y., Shima A., Takahashi H. The behavior of a laser-produced bubble near a rigid wall with various configurations // Proc. Cavitation'91 Symp., The first joint ASME-JSME Fluid Engn. Conf., Portland, 1991, P. 19-25.

99. Shima A. Studies on bubble dynamics.// Shock Waves, Springer-Verlag, 1997, 7, P. 33-42.

100. Shima A., Nakajiama K. The collapse of non-hemispherical bubble attached to a solid wall.// J. Fluid Mech., Vol.80, Part 2, 1977, P. 368-391.

101. Shaw S.J., Schiffers W.P., Gentry T.P. and Emmony D.C. A study of the interaction of a laser-generated cavity with a nearby solid boundary // J. Phys. D.: Appl. Phys. 32, 1999, 1612-1617.

102. Sussman M., Smereka P., Axisymmetric free boundary problems.// J.Fluid Mech., 1997, 341, P. 269-294.

103. Van Der Geld C.W.M. On the motion of a spherical bubble deforming near a plane wall// Journal of Engineering Mathematics, 42:2002, P 91-118.

104. Wang Q.X. The Evolution of a Gas Bubble Near an Inclined Wall // Theoret. Comput. Fluid Dynamics (1998) 12: P. 29-51.

105. Zhang S., Duncan J.H., Chahine G The final stage of the collapse of a cavitation bubble in the vanity of a rigid wall.// Fluid Mech., 1993, 257, P.147-181.