Численное моделирование кавитационных течений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

005000817

На правах рукописи

Маркина Надежда Леонидовна

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАВИТАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ

Специальность 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 7 НОЯ 2011

Москва-2011

005000817

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и программирования ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)».

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Ревизников Дмитрий Леонидович

доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник ИПМех РАН Алексин Владимир Адамович

кандидат физико-математических наук, заведующий сектором ГНЦ ФГУП "Центр Келдыша" Лаптев Игорь Вячеславович

ФГБОУ ВПО «Московский энергетический институт (национальный исследовательский университет)»

Защита состоится «18» ноября 2011 года в 10 часов на заседании диссертационного совета Д212.125.14 при ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» по адресу 125993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)».

Автореферат разослан 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д212.125.14, кандидат физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник v V Гидаспов В.Ю.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Широкая распространенность парожидкост-ных систем в природе и их интенсивное применение во многих современных отраслях производства обуславливает высокой интерес к задачам, связанным с проблемами механики кавитационных течений. Сложность экспериментального определения характеристик движения двухфазных сред приводит к необходимости численного моделирования рассматриваемых процессов.

Значительное увеличение мощности современных вычислительных комплексов позволяет использовать все более сложные и детализированные модели, учитывающие взаимное влияние микромасштабных процессов в пузырьках и макромасштабных гидродинамических процессов в жидкости. Решению этой актуальной задачи посвящена настоящая работа. Наиболее общим подходом для макроописания динамики парожидкостных сред является использование модифицированных уравнений Навье-Стокса. Несмотря на большой опыт применения таких уравнений, их численная реализация даже для несжимаемых жидкостей сопряжена со сложностями построения устойчивых алгоритмов, обеспечением быстрой сходимости итераций и проблемами дискретизации области расчета. Для двухфазных систем задача моделирования течения усложняется из-за необходимости адекватного учета тепломассообменных процессов между фазами, что отражается на устойчивости и сходимости алгоритмов численного моделирования. В связи с этим актуальным направлением представляется разработка комплекса алгоритмов для моделирования динамики двухфазных потоков с учетом многообразия факторов, влияющих на взаимодействие фаз. Это дает возможность более точно описать динамику парожидкостных сред и расширить понимание закономерностей развития кавитационных течений.

Цели работы.

1. Построение математической модели парогазового пузырька, позволяющей учитывать нестационарные процессы тепломассообмена с окружающей жидкостью.

2. Численное моделирование течения вязкой двухфазной жидкости в двумерном канале переменного сечения, анализ характеристик парожидко-стной среды при различных кавитационных режимах.

3. Численное исследование влияния состава и параметров дисперсной фазы на макромасштабные характеристики двухфазного течения.

Научная новизна.

Разработаны средства математического моделирования двухфазного течения в канале переменного сечения с учетом кавитационных эффектов, рассмотрены особенности и области применимости моделей и алгоритмов. Численно исследованы гидродинамические характеристики кавитационно-го течения в плоском канале. Выделены два вида пульсационного движения парожидкостной среды: пульсации кавитационного происхождения, преобладающие в зоне с относительно высоким содержанием паровой фазы и ослабевающие по мере удаления от стенки, и турбулентные пульсации, доминирующие в приосевой зоне тракта. Выявлено, что в режимах умеренной кавитации пульсации имеют периодический характер, а в режиме суперкавитации наблюдается хаотический характер пульсаций.

Предложена модификация математической модели нестационарного сопряженного тепломассообмена парогазового пузырька с окружающей жидкостью. Особенностями модели является точное выполнение интегрального баланса массы и учет пространственной неоднородности температуры и концентраций компонент в пузырьке. Разработаны численные алгоритмы моделирования эволюции двухкомпонентного пузырька в жидкости, на основе вычислительных экспериментов показано значительное влияние учета нестационарного характера тепломассообменых процессов на границе раздела фаз на характеристики автоколебательного режима пузырька.

Осуществлено сопряжение модели одиночного пузырька с моделью течения жидкости в канале, что позволило учесть взаимное влияние микромасштабных процессов в пузырьках и макромасштабных гидродинамических процессов в жидкости. Получены результаты по влиянию состава и параметров дисперсной фазы, таких как объемное газосодержание в жидкости, распределение зародышей кавитации по размерам, средний размер ядер кавитации, на макромасштабные характеристики двухфазного течения.

Достоверность и обоснованность результатов диссертационной работы обеспечивается применением стандартной методологии исследований в области вычислительной гидродинамики:

• использование фундаментальных уравнений гидродинамики при построении математических моделей;

• непротиворечивость получаемых решений общим гидродинамическим представлениям;

• качественное и количественное согласование получаемых результатов с данными экспериментов и решений подобных задач другими авторами.

Практическая ценность. Разработанные математические модели, алгоритмы и программы, имеют высокую значимость с точки зрения перспектив практического применения в пакетах прикладных программ моделирования кавитационных течений. Полученные результаты вычислительных экспериментов позволяют детально рассмотреть картину движения вязкой двухфазной жидкости, выявить особенности колебательных характеристик парожидкостной системы при различных кавитационных режимах, изучить влияние выбора модели дисперсной фазы на свойства течения, исследовать зависимость параметров потока от количества и распределения ядер кавитации в несущей фазе. Это позволяет обосновано подойти к проектированию систем, в основе которых лежат кавитационные эффекты, а также снизить неблагоприятное кавитационное воздействие на элементы конструкций, соприкасающихся с жидкостью.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на XIII международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (Ярополец, 2007), на VII международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Ъ1Р№2008) (Алушта, 2008), на XVII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2011) (Алушта, 2011), на заседании семинара кафедры ФГБОУ ВПО "МАИ (НИУ)" №202 "Ракетные двигатели" (Москва, 2011), на семинаре Института океанологии им. П.П.Ширшова РАН под руководством академика РАН Нигматулина Р.И. (Москва, 2011), на семинаре ФГБОУ ВПО "МАИ (НИУ)" под руководством члена-корреспондента РАН Пирумова У.Г. (Москва, 2011), на заседании семинара кафедры ФГБОУ ВПО "МЭИ (НИУ)" "Инженерная теплофизика" под руководством профессора, доктора технических наук Ягова В.В. (Москва, 2011).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ и 1 работа принята к публикации, из них 4 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для представления научных результатов диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура п объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. В работе содержится 36 рисунков и 147 библиографических ссылок. Общий объем работы составляет 107 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор литературы, посвященной вопросам математического моделирования кавитационных процессов. Проведен анализ математических моделей, описывающих динамику пузырька при изменении давления в окружающей жидкости, освещены подходы к моделированию течений с учетом кавитационных эффектов. Приводится обоснование ак-

туальности темы диссертационной работы, формулируются цели, кратко излагается ее содержание, приводятся данные по апробации работы.

Первая глава посвящена численному моделированию плоского течения вязкой парожидкостной смеси в канале переменного сечения на основе гомогенной модели кавитации. В основе математической модели лежит система нестационарных уравнений Навье-Стокса, дополненных уравнением фазового переноса с источниковыми слагаемыми, регулирующими межфазный массообмен:

Э ( 2 Эы4) Э ( ди) Эр

я Р*и -Р^г — =~тг- (1)

ЭI Эх V дх J ду у " ду J Эх

д(Р„у) di dv) д ( 2 ЭП Эр

Э t Эл: V ™ дх ) ду у т Эу) ду

| , d(/7„v) _ Q

Э t дх ду

да д(а и) día v) +

-+ —--+—--- = т — т (4)

Э t дх ду

Р„=а Pl + ( 1-а )Р, (5)

где t - время, и и v - компоненты вектора скорости, р - давление, рт -

эффективная плотность, а - объемная доля жидкой фазы, т~ - скорость

испарения, т* - скорость конденсации пара, р, - плотность жидкой фазы, Pv - плотность паровой фазы, Ц - динамическая вязкость. В данной работе

источниковые члены тГ и т+ являются функциями давления и содержат эмпирически определяемые коэффициенты Cprod и Cde¡l. В данной работе

т~ и т* вычислялись по формулам:

т* _ Ср'•>■! max(P~ PcavW-a) = Cdeslp, min(p- pco„0)a т (0.5p,Ul)t„ ' т (0.5/3,Ul)t.

где [/„ - средняя скорость течения в невозмущенном потоке; = - характерный временной масштаб; L,. - длина канала; рст - критическое значение давления.

Приведен модифицированный алгоритм PISO, применяемый для согласования полей скоростей, давления, плотности, в котором дискретиза-

ция уравнений производится по методу контрольного объема на разнесенной сетке.

С целью верификации используемой математической модели и алгоритма расчета проведено сравнение экспериментальных данных с результатами численного моделирования течения парожидкостной среды в плоском канале. В экспериментах жидкость из входного сечения шириной 32 мм поступает в узкое сечение канала шириной 4 мм и длиной 16 мм. Так как течение имеет вертикальную ось симметрии, в качестве расчетной области рассматривалась половина канала. На стенках канала ставились условия прилипания, на входе в канал задавался профиль скорости и . Истечение жидкости производилось в среду с атмосферным давлением, критическое давление рст, равнялось 3 КПа. Число кавитации рассчитывалось

по формуле (7 = ——где ра - атмосферное давление, ия - средняя 0.5 р,им

скорость жидкости на выходе из канала. Проводилось численное моделирование режимов течения, характеризующихся различной степенью развития кавитации. Режим зарождающейся кавитации представлен расчетом с числом кавитации сг = 1.27, для течений со слабо и сильно развитой кавитацией <7 = 0.95 и (7 = 0.78, для режима суперкавитации (7 = 0.65. В численных экспериментах применялась ламинарная модель течения.

На рисунке 1 показаны расчетные мгновенные поля распределения гидродинамических параметров для режима зарождающейся кавитации, (7=1.27. В месте сужения канала образуется зона с давлением, близким к критическому, что приводит к возникновению паровой фазы в данной области.

На рисунке 2 приведены графики экспериментально измеренных и рассчитанных продольных скоростей. Видно, что профили скорости

] 60Е+04 4.0Е+04 I 2.0Е+04 | 0.0Е*ШЗ

-2 -1 О

У

б) Поле давления, Па

а) Поле плотности, кг/м3

Рисунок 1 - Распределения гидродинамических параметров при а — 1.27

неплохо согласуются в первом сечении (рисунок 2 (а)), где наблюдается кавитационный режим. Ниже по потоку имеется рассогласование, связанное с использованием в расчетах ламинарной модели течения.

а) Сечение х = 0.5 мм б) Сечение х = 8 мм в) Сечение х = 13 мм

Рисунок 2 - Распределения усредненных по времени скоростей и при а = 1.27 .

1 - скорости, измеренные экспериментально; 2 - расчетные скорости.

Численное моделирование показало, что истечение сжимаемой жидкости из канала носит колебательный периодический характер. Рисунок 3 иллюстрирует расчетное абсолютное отклонение продольной скорости и' от усредненного по времени значения и в сечении * = 0.5мм. Отклонение скорости измерялось в точках, отстоящих от продольной оси канала на различном расстоянии.

А

{

а) 1.9 мм от продольной оси

б) 0.7 мм от продольной оси

Рисунок 3 - Абсолютное отклонение продольной скорости и' от усредненного по времени значения продольной скорости в сечении х = 0.5 мм, <7 = 1.27.

Увеличение расхода жидкости приводит к росту зоны низкого давления и возрастанию содержания паровой фазы. При этом приосевая область канала почти однородна и практически не содержит паровой фазы, в то время как в пристеночной зоне паросодержание является значительным.

В ~~5

У У

а) Фотография тече- б) Поле плотности,

ния кг/м3

Рисунок 4 - Распределения гидродинамических параметров при сг = 0.65 .

профилям скорости.

На рисунке 4 представлена экспериментальная фотография течения и расчетное мгновенное поле плотности для режима суперкавитации сг = 0.65.

На рисунке 5 сравниваются распределения экспериментально измеренных и рассчитанных скоростей. Видно, что результаты вычислительного и физического экспериментов неплохо согласуются как по размерам кавитационной зоны, так и по

а) Сечение х = 0.5 мм б) Сечение х = 8 мм в) Сечение х = 13 мм

Рисунок 5 - Усредненные по времени скорости И при (7 = 0.65 . 1 - эксперимент; 2-расчет.

Рисунок 6 иллюстрирует экспериментальный и расчетный графики среднеквадратичного отклонения скорости и от усредненного по времени значения при величинах числа кавитации а=1.21 и <7 = 0.65 . Как в режиме зарождающейся кавитации, так и в режиме суперкавитации наилучшее согласование флуктуаций скорости с экспериментальными данными получено в пристеночном слое, тогда как в приосевой зоне рассчитанные флуктуации скорости значительно слабее наблюдаемых в эксперименте. Таким образом, можно говорить о двух видах пульсационного движения паро-жидкостной среды. В зоне с высоким содержанием паровой фазы домини-

руют пульсации кавитационного происхождения, которые хорошо воспроизводятся в вычислительном эксперименте. По мере удаления от стенки пульсации данного вида ослабевают и основную роль начинают играть турбулентные пульсации. Следует отметить, что с уменьшением числа кавитации изменяется характер осцилляции скорости и: в режимах зарождающейся и слабой кавитации осцилляции скорости носят периодический характер (рисунок 3), в режиме суперкавитации колебания становятся хаотическими.

0 7

1

Ь б

а) Сечение х = 0.5 мм, <7=1.27 б) Сечение х = 15 мм, с = 0.65

Рисунок 6 - Среднеквадратичное отклонение скорости и от усредненного по времени значения в сечении. 1 - эксперимент; 2-расчет.

На рисунке 7 показана зависимость относительной величины кавитационной

зоны Ь^ где _ абсолютная длина

кавитационной зоны, Ьы - длина узкой части тракта, от величины перепада давления Р в тракте. Наблюдается хорошее согласование рассчитанной и экспериментальной кривых.

Во второй главе исследуются автоколебательные режимы сферического пузырька при изменении давления в жидкости. В основе математической модели лежит система обыкновенных дифференциальных уравнений, включающая в себя модифицированное с целью учета массообмена уравнение Релея-Плессета (6), уравнение движения границы пузырька (7),

11

Рисунок 7 - Зависимость величины кавитационной зоны от перепада давления в канале. 1- эксперимент; 2-расчет.

уравнение энергии в пузырьке (8), уравнение сохранения энергии в системе «парогазовый пузырек - окружающая жидкость» (9, 10), учитывающее нестационарность и неоднородность температуры по пространству, а также уравнение диффузии в парогазовой смеси (11). Используемые в математической модели уравнения получены в предположении о сферической симметрии пузырька и постоянстве давления по объему пузырька.

л рь

(В)

дт . _ ...З^ф,, 1 д [ эгу „эсэг.

Эг 9Г 1 Э ( г , Э7Л

дС дС 1 д ( 2

Здесь Л - радиус пузырька, г - пространственная координата, и„ - скорость жидкости на границе пузырька, ри - давление парогазовой смеси внутри пузырька, - давление жидкости, рь - плотность жидкости, р., -плотность парогазовой смеси, // - динамическая вязкость жидкости, а -поверхностное натяжение, Т, - температура границы раздела фаз, -удельный тепловой поток от газа к поверхности раздела, / - массовый поток пара через границу раздела фаз, срУ - удельная массовая теплоемкость пара при постоянном давлении, у - эффективный показатель адиабаты парогазовой смеси, который в рамках рассматриваемой модели предполагается постоянным, С - концентрация пара в пузырьке, ср!, и сра- удельные массовые теплоемкости смеси и инертного газа соответственно при постоянном давлении, Л,, - коэффициент теплопроводности газа, зависящий от температуры по степенному закону, Ль - коэффициент теплопроводности жидкости, О - коэффициент диффузии, с, - удельная массовая теплоемкость жидкости, ы - скорость газа в пузырьке.

На границе раздела фаз система замыкается уравнениями, описывающими тепломассообмен на поверхности раздела фаз (уравнения баланса массы, теплового баланса и соотношения на кривой насыщения):

где рУЗ - плотность пара на границе раздела фаз, 'Р - удельная теплота парообразования, Яу - газовая постоянная пара, и - удельные тепловые потоки от поверхности пузырька к жидкости и из газа к поверхности пузырька соответственно.

Для проведения численного моделирования автоколебательных процессов парогазовых образований в качестве траектории движения пузырьков бралось сечение, находящееся на расстоянии 0.3 мм от стенки узкой части канала, что связано с повышенным паросодержанием в пристеночной зоне канала (рисунок 4 (б)). На рисунке 8 представлены результаты, полученные для режима роста пузырька при падении давления в сечении канала при сг=0.65. Начальный радиус пузырька-45 мкм. Показано, что с изменением радиуса пузырька меняются температура парогазовой смеси и концентрация пара в пузырьке. Максимальные температуры газа в пузырьке достигаются в моменты максимального сжатия пузырька в ходе колебательного процесса и имеют характер температурных пиков. Проведенные вычислительные эксперименты показали, что повышение начального размера пузырька ведет к увеличению амплитуды колебаний, при этом в пузырьке возрастает концентрация паровой фазы и уровень температурных пиков, происходит смещение максимальных величин давления парогазовой смеси в область более высоких значений; увеличение перепада давления приводит к возрастанию частоты и амплитуды колебаний, повышается уровень пиков температуры и давления.

(12)

Т —Т —Т

1 Д-0 — 1 Я+0 i 5 »

(13)

(14)

(15)

10 0

б) Изменение радиуса пу- , „

' ,, ч в) Изменение радиуса пу-

зырька (1, левая шкала) и ,, ,

а) Распределение давления в 1 „ зырька (1, левая шкала) и

' и А температуры парогазовой г _ /

сечении канала ^ ^ концентрации паровой фазы

смеси в центре пузырька (2, .

г 5 (2, правая шкала)

правая шкала)

Рисунок 8 - Распределение давления в сечении канала и изменение параметров пузырька с начальным радиусом 45 мкм в сечении канала в режиме суперкавитации, а = 0.65

С целью сравнительного анализа проводились численные эксперименты с использованием более простой и распространенной модели пузырька, характеризующейся тремя различными температурами: температурой парогазовой смеси внутри пузырька (однородная по пространству температура), температурой границы раздела фаз и температурой окружающей жидкости. Для расчета теплообмена между поверхностью пузырька и окружающей жидкостью использовалось квазистационарное приближение.

На рисунке 9 представлены результаты численного эксперимента для пузырька с начальным радиусом 45 мкм с использованием модели сопряженного нестационарного тепломассообмена и квазистационарной модели. Приведенные на рисунке 9 результаты наглядно иллюстрируют важность учета пространственной неоднородности температуры и концентрации пара при расчете характеристик автоколебательного процесса парогазового пузырька. Видно, что учет нестационарного характера тепломассо-обменных процессов ведет к возрастанию расчетной амплитуды колебаний пузырька, повышению уровня температурных пиков и смещению максимальных величин давления парогазовой смеси в область более высоких значений.

6) Изменение температуры .,

а) Изменение радиуса пузырь- „ в) Изменение давления паро-

' г парогазовой смеси в центре

ка газовой смеси в пузырьке

пузырьков

Рисунок 9 - Сравнительный анализ математических моделей: 1-нестационарный сопряженный тепломассообмен; 2-квазистационарная модель.

В третьей главе реализовано сопряжение модели одиночного пузырька с моделью течения жидкости, что позволяет учесть взаимное влияние микромасштабных процессов в парогазовом пузырьке и макромас-штабных гидродинамических процессов в окружающей жидкости.

Процесс стационарного невязкого течения с парогазовыми пузырьками, имеющими монодисперсное распределение по размерам, в квазиодномерном приближении описывался уравнениями сохранения массы жидкости, сохранения числа пузырьков, уравнением импульсов:

-ЯиО=о; ±(пил)-о; % = (1-0^,

где х- координата, направленная вдоль оси канала, рь - плотность несущей фазы, р1 - давление в канале, и(х) - скорость течения жидкости в канале, А(х) - площадь поперечного сечения канала, п(х) - число пузырьков в единице объема, £(х) = п(х)У - объемное содержание парогазовой фазы,

V - - объем пузырька.

Типичная картина распределения параметров двухфазного течения в канале кругового сечения переменного сечения представлена на рисунке 10 (показана область нелинейных колебаний пузырьков). В расчетах использована модель нестационарного сопряженного тепломассообмена парогазового пузырька с окружающей жидкостью.

а) Изменение давления в жид- б) Изменение объемного газо- в) Изменение радиуса пу-кости содержания в потоке зырька

Рисунок 10 - Распределение параметров двухфазного течения вдоль оси канала кругового сечения

Численное моделирование двухфазного потока в канале с геометрическими размерами, описанными в первой главе, показало, что применение квазиодномерной модели течения не позволяет получить удовлетворительных качественных и количественных характеристик кавитационного течения для данной задачи. В связи с этим было рассмотрено поведение совокупности пузырьков в сечении канала, находящегося на расстоянии 0.3 мм от стенки узкой части канала. На рисунке 8(а) показано изменение давления вдоль линии, по которой движутся пузырьки с экспоненциальным по радиусам распределением от 2 до 120 мкм. Рисунок 11 иллюстрирует изменение концентрации парогазовой фазы: для получения кривой 1 использовалась гомогенная модель двумерного течения, кривые 2 и 3 — результат моделирования полидисперсного потока с объемной долей газовой фазы 0.00214 на входе в канал. Для получения кривой 2 использована модель нестационарного сопряженного тепломассообмена пузырька с жидкостью, для кривой 3 тепломассообмен рассчитывался в квазистационарном приближении. Видно, что учет нестационарности тепло-

Рисунок 11 - Изменение концентрации парогазовой фазы вдоль оси канала в режиме суперкавитации, С = 0.65. 1 - осредненное по сечению канала значение концентрации паровой фазы; 2, 3 - концентрация парогазовой фазы, полученная при моделировании полидисперсного потока; 2 - нестационарный сопряженный тепломассообмен; 3 - квазистационарная модель тепломассообмена.

массобменых процессов пузырьков с жидкостью приводит к увеличению содержания паровой фазы в канале в несколько раз, что связано с высокой интенсивностью испарения жидкости в растущий пузырек при моделировании нестационарного тепломассообмена.

Численное исследование влияния распределения по размерам дисперсной фазы на входе в канал показало, что наличие зародышевых пузырьков большего радиуса при одинаковом газосодержании увеличивает размер кавитационной области вдоль оси канала, что связано с возрастанием инерции наиболее крупных пузырьков; равномерное распределение ядер кавитации в жидкости повышает уровень максимального паросодер-жания по сравнению с линейным и экспоненциальным распределениями; возрастание газосодержания в жидкости приводит к увеличению содержания парогазовой фазы в кавитационной области.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Разработаны средства математического моделирования двухфазного течения в каналах переменного сечения с учетом кавитационных эффектов. Сравнение данных вычислительного и физического экспериментов для различных режимов кавитации показало хорошее согласование результатов.

2. Исследованы пульсационные характеристики течения вязкой жидкости в канале переменного сечения в условиях кавитации. В режимах зарождающейся и слабой кавитации осцилляции скорости носят периодический характер. С уменьшением числа кавитации величина кавитационной зоны увеличивается, характер флуктуаций становится апериодич-ным. В пристеночных зонах, где интенсивность кавитации высока, рассчитанные амплитуды пульсаций хорошо согласуются с экспериментальными данными. В приосевой зоне расчетные амплитуды существенно ниже экспериментальных, что связано с ослаблением кавитационных эффектов и проявлением турбулентного характера течения.

3. Предложена модификация математической модели нестационарного сопряженного тепломассообмена парогазового пузырька с окружающей жидкостью, учитывающая пространственную неоднородность температурных полей газа и жидкости, а также неоднородность концентрации компонент в пузырьке. Отличительной особенностью предложенной модели является точное выполнение интегрального баланса массы.

4. Разработаны и реализованы эффективные вычислительные алгоритмы моделирования эволюции парогазового пузырька при изменении давления в окружающей жидкости. Получены данные о значительном влиянии начального радиуса пузырька и величины перепада давления в жидкости на основные характеристики колебательного процесса пузырька: частоту и амплитуду колебаний, время установления стационарного режима, максимальную температуру газа и концентрацию паровой фазы в пузырьке.

5. Проанализировано влияние учета нестационарного характера тепломас-сообменых процессов на границе раздела фаз на параметры эволюции пузырька. Сравнительный анализ результатов расчетов, полученных с использованием предложенной модели и более простой трехтемпера-турной модели пузырька, выявил, что упрощающее предположение о квазистацинарном характере тепломассообменных процессов в системе "пузырек - окружающая жидкость" приводит к уменьшению расчетной амплитуды колебаний пузырька, понижению уровня температурных пиков и максимальных величин давления парогазовой смеси.

6. Реализовано сопряжение модели одиночного пузырька с моделью течения жидкости в канале. В результате численного моделирования выявлено значительное влияние выбора модели дисперсной фазы на макро-масштабные характеристики движения двухфазной среды. Показано, что характеристики двухфазного течения зависят от концентрации и распределения ядер кавитации в жидкости по размерам: наличие зародышевых пузырьков большего радиуса при одинаковом газосодержа-

нии увеличивает размер кавитационной области вдоль оси тракта, при этом уровень максимального паросодержания возрастает; повышение газосодержания в жидкости приводит к увеличению содержания парогазовой фазы в кавитационной области.

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Маркина Н.Л. Численное моделирование автоколебательных режимов парогазового пузырька при резком изменении давления в потоке // Материалы XIII Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред". Тезисы докладов. - М.: Изд-во МАИ. - 2007. - С. 186-188.

2. Маркина Н.Л. Программный комплекс, моделирующий автоколебания пузырька при изменении давления в жидкости // Новые информационные технологии. Тезисы докладов XV Международной студенческой школы-семинара. - М.: МИЭМ. - 2007. - С. 388-390.

3. Маркина Н.Л., Ревизников Д.Л., Черкасов С.Г. Численное моделирование эволюции парогазовых образований при течении жидкости в канале. Перспективные энергетические технологии на земле и в космосе // Сб. статей под ред. акад. А. С. Коротеева - М.: ЗАО "Светлица". -2008.-С. 190-200.

4. Маркина Н.Л., Ревизников Д.Л., Черкасов С.Г. Численное моделирование автоколебательных режимов парогазовых образований при течении жидкости в канале // Материалы VII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (№Ш'2008). - М.: Изд-во МАИ. - 2008. - С. 298-300.

5. Маркина Н.Л. Программный комплекс, моделирующий автоколебательные режимы парогазовых образований в жидкости // Материалы XVI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2009). -М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ. - 2009. - С. 520-522.

6. Маркина H.JI., Ревизников Д.Л., Черкасов С.Г. Математическая модель сопряженного тепломассообмена парогазового пузырька с окружающей жидкостью // Вестник Московского авиационного института. - 2009. -Т.16. № 2. - С. 71-78.

7. Маркина Н.Л. Численное моделирование течения парогазовой смеси в канале переменного сечения // Материалы VIII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2010). -М.:Изд-воМАИ.-2010.-С. 186-188. '

8. Маркина Н.Л. Алгоритмы численного решения уравнений Навье-Стокса при наличии кавитации // Электронный журнал "Труды МАИ". -2011.-№44.

9. Маркина Н.Л., Ревизников Д.Л. Численное моделирование кавитацион-ных процессов в канале переменного сечения // Материалы XVII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2011). - М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ. - 2011. - С. 584-586.

10. Маркина Н.Л., Ревизников Д.Л. Численное моделирование течения жидкости при наличии кавитации // Вестник Московского авиационного института. - 2011. - Т.18. № 2. - С. 200-210.

11. Маркина Н.Л., Ревизников Д.Л., Черкасов С.Г. Исследование кавита-ционных процессов в канале переменного сечения // Известия РАН. Энергетика. - 2012. - № 1 (статья принята к публикации).

Маркина Надежда Леонидовна

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАВИТАЦИОННЫХ ТЕЧЕНИЙ

Подписано в печать 12.10.2011. Заказ № 299. Объем 1 усл.п.л. Тираж 75 экз.

Отпечатано в типографии «Лика». Тел.:(495)465-11-54 www.licka.ru

ВВЕДЕНИЕ.

1. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУХФАЗНОГО ТЕЧЕНИЯ В КАНАЛЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ГОМОГЕННОЙ МОДЕЛИ.

1.1. Математическая модель двухфазного течения.

1.2. Вычислительные алгоритмы.

1.3. Численное исследование структуры течения в канале переменного сечения.

Выводы к главе 1.

2. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ И ТЕПЛОМАССООБМЕНА ПАРОГАЗОВОГО СФЕРИЧЕСКОГО ПУЗЫРЬКА.

2.1. Математическая модель нестационарного сопряженного тепломассообмена парогазового пузырька с окружающей жидкостью.

2.2. Математическая модель квазистационарного тепломассообмена парогазового пузырька с окружающей жидкостью.

2.3. Численное исследование автоколебательных режимов парогазовых пузырьков в жидкости.

Выводы к главе 2.

3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУХФАЗНОГО ТЕЧЕНИЯ В КАНАЛЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ГЕТЕРОГЕННОЙ МОДЕЛИ.

3.1. Монодисперсное течение.

3.2. Полидисперсное течение.

Выводы к главе 3.

С проблемой возникновения и развития кавитации сталкиваются при рассмотрении широкого круга вопросов, связанных с течением жидкости: от проектирования средств передвижения в воде с большими скоростями, насосов, турбин, стенок рабочих участков гидродинамических труб, клапанов, жиклеров до исследования тока крови в сосудах [4, 11, 51, 54, 56, 63]. Явление кавитации в гидравлических системах может сопровождаться,' ' рядом неблагоприятных эффектов, таких как шум, эрозия, вибрация,, увеличение потерь энергии, уменьшение КПД. В то же время в теплоэнергетике, химической, пищевой, фармацевтической и других отраслях промышленности все более широкое распространение получают технологии, в основе которых лежат гидродинамические й теплофизические кавитационные эффекты [60, 102].

Сложность экспериментального определения характеристик движения двухфазных сред, а также необходимость решения ряда практических задач обуславливает интерес к численному моделированию кавитационных течений. В настоящем разделе дан обзор математических моделей различной степени сложности, позволяющих рассчитывать эволюцию одиночных пузырьков, рассмотрены подходы к моделированию кавитационных течений.

Явление кавитации представляет собой образование заполненных паром или парогазовой смесью пузырьков при локальном понижении давления в жидкости до давления насыщенных паров. Согласно принципам статистической механики в жидкости возможен механизм флуктуационного образования паровых пузырьков. В [75] приведены расчеты показывающие, что для возникновения парового пузырька к жидкости необходимо прикладывать растягивающие напряжения порядка 10 тысяч атмосфер. Однако в реальных условиях для образования паровой фазы в жидкости не требуется создавать столь больших растягивающих напряжений. Например, в воде комнатной температуры парообразование происходит при давлении 1-2 КПа близком к давлению насыщенных паров [17]. Основная причина снижения разрывной прочности жидкости обусловлена негомогенной структурой жидкости, содержащей нерастворенные газы в виде сферических микропузырьков радиуса 10"6-10"4м [9], которые называют ядрами кавитации. Ядра кавитации в виде газовых пузырьков могут возникать за счет диффузии газа из окружающей жидкости [17] и из-за присутствия на стенках, соприкасающихся с жидкостью, микроуглублений, заполненных газом [4, 54]. Перемещаясь с потоком в зону с пониженным давлением, пузырьки, переходят в режим автоколебаний, что сопровождается интенсивным тепломассообменом на межфазной границе.

В настоящее время предложен ряд математических моделей различной степени сложности, позволяющих рассчитывать эволюцию одиночных газовых, паровых и парогазовых пузырьков при изменении давления в окружающей жидкости. Эти вопросы подробно освещены в ряде монографий и обзоров [14, 19, 21, 26, 29, 45, 46, 63, 83, 88, 94, 136].

Наиболее простой подход к моделированию связан с предположением о сферичности формы пузырька, что соответствует минимуму свободной энергии поверхности. Первые теоретические исследования задачи о сжатии сферически-симметричной гомобарической газовой полости в невязкой несжимаемой жидкости при резком повышении давления на бесконечном удалении от полости приведены в [124]. В работах [118, 119] получено уравнение (1), учитывающее вязкость жидкости и поверхностное натяжение при пульсациях пузырька. Оно получило название уравнения Рэлея-Плессета:

2 pLR PlR pL ' (l> где R - радиус пузырька, рю - давление в жидкости на бесконечном удалении от пузырька, pg - давление газа в пузырьке, pL - плотность жидкости, <т - поверхностное натяжение, /и - динамическая вязкость. Допущение о несжимаемости жидкости, принятое при выводе уравнения Релея-Плессета, не позволяет адекватно описать динамику пузырька, когда скорость движения его стенок становится соизмеримой со скоростью звука в жидкости. В уравнении Келлера (2) [101] учтены потери на акустическое излучение: • ^ ( • А

1- — с RR+-R2 2 i-- ■Зс

V V у f plr plr

1+* с v y

P* r

Pl

Plc

2) где с - скорость звука. В ряде работ применяются различные модификации уравнения Релея-Плессета, позволяющие моделировать сжимаемость жидкости [21, 48, 63, 93, 100, 105, 108, 121].

В [113] для описания изменения давления газа в пузырьке применен политропический закон, получено уравнение Нолтинга-Непайреса, описывающее изменение радиуса пузырька в поле ультразвуковой волны в предположении о несжимаемости жидкости. В уравнении Херинга-Флина [74] учтены потере на акустическое излучение для скоростей движения стенки пузырька не превышающих скорости звука в жидкости. Более строгое уравнение Кирквуда-Бёте [76] описывает пульсации пузырька с произвольными скоростями. В [30] показано, что политропический закон, используемый в [113] для вычисления давления газа в пузырьке, справедлив только на стадии расширения кавитационного пузырька и предложена формула, более точно описывающая изменение давления в пузырьке при сжатии. Следует отметить, что процесс пульсаций пузырька можно считать адиабатическим только при достаточно высоких частотах колебаний, когда газ в пузырьке не успевает охлаждаться и нагреваться, в общем случае давление в пузырьке следует определять из уравнения энергии.

В [107] предложена математическая модель, учитывающая пространственную неоднородность давления в пузырьке. Результаты численного моделирования, приведенные в [107], свидетельствуют, что учет неоднородности давления в пузырьке существенно не влияет на динамику колебаний пузырька. В работах [15, 40, 41, 46, 114] используется модель гомобарического пузырька с неоднородным пространственным распределением полей температуры и плотности в пузырьке. В [49] отмечается, что предположение о неоднородности полей температуры и плотности и однородности давления в пузырьке является оправданным для широкого класса задач из-за того, что характерное время, требуемое для гомогенизации температурного поля в пузырьке, значительно превышает время, обеспечивающее гомобаричность.

В ряде работ [например 10, 15, 20, 48, 55, 77, 114] считается, что парогазовая смесь в пузырьке подчиняется уравнению состояния совершенного газа, но, как показано в работах [31, 108, 110], неидеальность газа может влиять на динамику кавитационных пузырьков. В [29, 31] показано, что использование моделей реального газа в пузырьке может увеличить теплообмен на межфазной границе по сравнению со случаем идеального газа. Наиболее простые модели, использующие уравнение состояния Ван-дер-Ваальса, не учитывающие термическую диффузию в газе и тепломассообменные процессы между пузырьком и жидкостью, предложены в [108, 146]. В [111] уравнение состояния Ван-дер-Ваальса модифицировано с целью учета потерь энергии на процессы ионизации и диссоциации. В [147] парогазовая смесь в пузырьке считается неидеальной, моделируются фазовые переходы и теплообмен на поверхности пузырька, вводится тепловой пограничный слой в жидкости, учитывается влияние эндотермических химических реакций в газовой фазе на динамику пузырька.

Важную роль при колебаниях кавитационных пузырьков играют процессы теплопереноса и теплообмена между пузырьком и жидкостью. Приближенно интенсивность межфазного теплообмена может задаваться эмпирическими формулами посредством безразмерных параметров [10, 43,

137, 139]. Тепловые потоки на поверхности пузырька можно вычислить точно, решая уравнение энергии в пузырьке и в окружающей пузырек жидкости [16, 40, 41, 48, 49, 114].

В холодной жидкости при больших перепадах давления на начальной стадии роста или схлопывания пузырька возможно инерционное поведение кавитационной полости, при котором на изменение радиуса пузырька не влияют фазовые переходы [45]. В общем случае* динамика пузырька определяется действием как инерционного, так и теплового механизма, при котором вследствие подвода или отвода теплоты на границе раздела сред происходят фазовые переходы. При наличии фазовых переходов скорость перемещения границы пузырька и скорость жидкости на границе пузырька йК-Т1 1 связаны соотношением ~~г — и л , где у и ик - удельный поток массы и ш р£ скорость жидкости на границе раздела фаз соответственно. В [46] уравнение Релея-Плессета модифицировано с целью учета массообмена. Массовый поток можно вычислять в квазистационарном приближении, пользуясь безразмерными параметрами [10, 43, 132]. В работах [46, 114, 115] интенсивность фазовых превращений задается формулой Герца-Кнудсена-Ленгмюра, содержащей эмпирически определяемый коэффициент аккомодации. В [10, 46] отмечено, что наличие фазовых переходов уменьшает собственную частоту колебаний и оказывает демпфирующее воздействие на пульсации пузырька.

Класс математических моделей гомобарического кавитационного пузырька, учитывающих вязкость жидкости, теплопроводность газа и жидкости, поверхностное натяжение и позволяющих достаточно точно описать нестационарные тепломассообменные процессы на границе раздела фаз благодаря учету пространственной неоднородности полей температуры и плотности в пузырьке, предложен в монографиях [46, 47]. Этот подход используется в работах [48, 49, 50, 114] для газовых, паровых и парогазовых пузырьков. Для описания изменения давления в пузырьке интегрируется уравнение энергии в пузырьке в предположении о его однокомпонентности. Скорость газа вычисляется по явной формуле, полученной интегрированием уравнения энергии в дивергентной форме. В [15, 16, 41] предложены математические модели, являющиеся развитием моделей [46, 47], обеспечивающие точное выполнение интегрального баланса массы для парового И'парогазового пузырьков.

В большинстве работ по динамике кавитационных каверн рассматривается сферически-симметричная задача об эволюции одиночного пузырька, и не учитывается, что при быстром сжатии пузырек может деформироваться, терять устойчивость и распадаться на более мелкие фрагменты [13, 87, 91]. Качественный анализ устойчивости сферических межфазных границ без учета эффектов вязкости приведен в монографии [46]. Влияние вязкости жидкости на устойчивость сферической формы пузырька рассмотрено в работах [1, 91, 97, 104]. Наиболее распространенным подходом учета деформаций при исследовании динамики пузырьков является представление радиуса пузырька в виде суперпозиции его сферической составляющей и малых сферических гармоник, описывающих возмущения поверхности пузырька [82, 87, 104, 122]. Такое представление справедливо лишь в случае малых искажений- формы и не применимо на стадии высокоскоростного сжатия пузырька. В [96] исследуется деформация пузырька при сильном сжатии, в [2] математическая модель несферического пузырька описывается уравнениями динамики жидкости и газа. Модели, учитывающие дробление пузырьков, индуцированные неустойчивостью поверхности пузырька и разностью скоростей фаз предложены в [18]. Фрагментация пузырьков увеличивает межфазную поверхность, что приводит к интенсификации тепломассообменных процессов в жидкости [18, 99].

Достоверное моделирование динамики пузырька является важной задачей исследования кавитационных течений, так как в проявлении комплекса свойств двухфазных систем основную роль играют процессы на межфазной границе, определяющие взаимодействие дискретной и несущей фаз. Ниже рассмотрены подходы к моделированию двухфазных потоков, проведен анализ математических моделей, описывающих гидродинамику кавитационных течений.

В зависимости от объемной концентрации фаз, скорости движения потока, геометрии и ориентации канала, свойств фаз в каналах устанавливаются различные режимы течения [4, 24, 26, 46, 72]. При пузырьковом режиме почти сферические каверны проходят через зону пониженного давления, в результате чего пузырьки начинают пульсировать. Для пузырькового режима характерно истинное объемное паросодержание (р < 0.3. При больших объемных концентрациях пузырьки сливаются, образуя пузыри размером, соизмеримым с поперечным диаметром канала, и режим течения переходит в снарядный. При высоких скоростях течения снарядная структура потока теряет устойчивость, помимо слияния пузырьков начинает происходить их дробление, что приводит к гомогенизации потока. Такой режим называют эмульсионным или вспененным. При высоком объемном паросодержании (р > 0.7 устанавливается дисперсно-кольцевой режим течения, при котором жидкая фаза движется по внутренней стенке канала в виде пленки, а паровая фаза составляет ядро потока. При этом с поверхности пленки могут срываться капли и уноситься в ядро потока. Если вскипание жидкости происходит преимущественно на стенке канала, то устанавливается обращенный дисперсно-кольцевой режим, при котором ядро потока составляет жидкость, в пристеночной зоне образуется паровая пленка. Для идентификации режима течения двухфазного потока используются режимные диаграммы [24, 95], которые дают достаточно грубую оценку структуры течения. В [137] граница перехода между различными режимами определяется на основе физических моделей. Определение структуры потока является важнейшей задачей моделирования двухфазного течения, так как режимы, отличающиеся своей структурой и характером движения фаз, ' описываются различными математическими моделями [46, 72].

Существует несколько основных подходов к моделированию многофазных течений. Наиболее простой из них — гомогенный, в котором многофазная среда рассматривается как квазиоднородная и характеризуется эффективными значениями плотности, температуры, скорости, давления [12, 24, 72].

В модели многоскоростного континуума [46, 61] многофазное течение представляет собой совокупность N континуумов, в котором каждая фаза заполняет один и тот же объем. В каждой точке, занятой смесью, определяется N приведенных плотностей, N скоростей и других параметров. К каждой составляющей континуума применяются уравнения сохранения массы, импульса и энергии. Для учета межфазного обмена массой, импульсом и энергией вводятся гипотезы о форме и площади поверхности межфазных границ. Такой подход применен в [55] для описания течения жидкости с пузырьками пара. Расчетная область в этой работе разбивается на ячейки, каждая из которых содержит пробную дисперсную частицу - сферический пузырек пара, объем которого равен суммарному объему пузырьков находящихся в ячейке. Моделирование микропроцессов в пробной дисперсной частице позволяет вычислить массовые и тепловые потоки на границе раздела фаз в каждой ячейке и замкнуть систему уравнений движения парожидкостной смеси, состоящей из уравнений сохранения масс несущей и дисперсной фаз, уравнения сохранения числа дисперсных частиц, уравнения совместного деформирования фаз, уравнения теплового баланса фаз.

В модели раздельного течения принимается, что все фазы имеют свои характеристики и для каждой фазы записываются уравнения неразрывности, движения и энергии, которые решаются совместно с уравнениями, описывающими взаимодействие фаз между собой и стенками канала. Использование такой модели дает возможность достаточно точно описать картину течения в случае существования четкой границы раздела фаз (например, пленочные течения парожидкостной смеси).

С увеличением вычислительных мощностей получил развитие метод многомасштабного моделирования [7, 92, 115]. Так как в проявлении комплекса свойств многофазного течения важную роль играют процессы на межфазной границе (например, в пузырьковом, снарядном, дисперсном режимах течения), представляет интерес моделирование взаимного влияния микромасштабных процессов в дисперсной фазе и макромасштабных гидродинамических процессов. Также многомасштабный подход позволяет рассматривать движение дисперсных частиц, размеры которых сопоставимы с размерами каналов, в которых течет многофазная смесь, в то время как в методах моделирования гетерогенных течений, основанных на осреднении параметров фаз, принимается допущение, что размеры неоднородностей во много раз меньше расстояний, на которых существенно меняются макроскопические параметры смеси.

Среди первых работ по моделированию кавитационных течений можно отметить [85, 86, 125], в которых движение жидкости полагалось потенциальным и движение жидкости описывалось уравнениями Эйлера. В последние десятилетия широкое распространение получило численное моделирование многофазных сред, на основе гомогенной модели и использовании уравнений Навье-Стокса [59, 112]. При расчете параметров движения двухфазного потока наибольшую сложность представляет определение эффективной плотности смеси, которая зависит от интенсивности тепломассообменных процессов несущей и дисперсной фаз.

Ряд работ, посвященных численному моделированию кавитации в криогенных жидкостях, достаточно ограничен, что сопряжено со сложностью решения системы уравнений движения и неразрывности совместно с уравнением энергии [140, 141]. В большинстве моделей кавитационное течение считается изотермическим, и одним из популярных методов получения пространственной неоднородности поля плотности стало включение в систему уравнений Навье-Стокса уравнения состояния, позволяющего задать плотность как функцию от давления [85, 132]. Однако в работе [128] отмечается противоречивость такого подхода, связанная с тем, что баротропная зависимость плотности от давления ведет к обращению бароклинного момента в ноль. Другим распространенным подходом является введение в математическую модель уравнения переноса с источниковыми слагаемыми, регулирующими межфазный массообмен. В работах [81, 103, 109, 130, 131] предложен ряд источниковых членов, являющихся функциями давления и содержащих эмпирически определяемые коэффициенты. В [128] скорость конденсации и испарения вычисляется через нахождение скоростей интерфейсов между паром и жидкостью. Подробный анализ кавитационных моделей и влияния выбора источниковых функций на характеристики течения приведен в [90]. На примере вычислительных экспериментов обтекания профиля гидрокрыла двумерным потоком в [90] показано, что изменение значений эмпирических коэффициентов в правой части уравнения переноса существенно влияет на структуру кавитационной области.

С вычислительной точки зрения задача моделирования кавитационных течений существенно усложняется по сравнению с расчетом характеристик несжимаемых жидкостей, т.к. на нелинейность уравнений Навье-Стокса накладывается нелинейность, присущая процессам межфазного обмена, что в значительной мере ужесточает требования к устойчивости и сходимости вычислительных алгоритмов.

Широкое применение в задачах вычислительной гидродинамики получили методы, основанные на процедуре коррекции поля давления (SIMPLE-подобные алгоритмы). Алгоритм SIMPLE (Semi-Implicit Method for

Pressure-Linked Equations) [52] представляет собой итерационную процедуру, на каждом шаге которой из дискретных аналогов уравнений количества движения и неразрывности вычисляются поправки давления. Используя полученные поправки, производится коррекция полей скоростей и давления. SIMPLER [117], SIMPLEC [142], SIMPLEX [143], SIMPLET [129], PISO [84, 98], CLEAR [138] - модификации SIMPLE алгоритма, позволяющие увеличить устойчивость и скорость сходимости итерационного решения.

В [144] была предложена модификация SIMPLE-подобных алгоритмов для возможности учета сжимаемости потока. Связывание полей« плотности и давления производилась по формуле = р" + с а А др дРу р\ где р' - поправка

1+1 поля давления, р , р - текущее и скорректированное поля давлении, для вычисления производной р? дР описывающей 1 скорость звука, использовалось уравнение состояния: с а др др

RT В [25] приведены формулы для вычисления скорости звука в гомогенной смеси. В [126, 127] предложены два метода расчета аналога скорости звука Ср 5 адаптированные для применения в SIMPLE-подобных алгоритмах. В методе SoS-1 (Speed of

Sound) Cp = C(l-a), где С - константа, влияющая на скорость сходимости алгоритма, а - объемная доля жидкой фазы. Метод SoS-2 предполагает расчет аналога скорости звука с использованием центрально-разностной аппроксимации производной Ср —

Л+1 ~Pi-1

Отмечено, что использование

Р,+\~Рг-\ схемы SoS-2 дает лучшее согласование результатов вычислительного и физического экспериментов, но обладает меньшей устойчивостью, чем SoS-1. Подробный обзор и анализ модифицированных алгоритмов SIMPLE, SIMPLER, SIMPLEC, SIMPLIEST, SIMPLEX, SIMPLEM, PISO, PRIME основанных на процедуре коррекции поля давления и учитывающих сжимаемость фаз можно найти в работах [84, 112].

Таким образом, широкая распространенность парожидкостных систем в природе и их интенсивное применение во многих современных отраслях производства обуславливает высокой интерес к задачам, связанным с проблемами механики кавитационных течений. Сложность экспериментального определения характеристик движения двухфазных сред приводит к необходимости численного моделирования рассматриваемых процессов.

Значительное увеличение мощности современных вычислительных комплексов позволяет использовать все более сложные и детализированные модели, учитывающие взаимное влияние микромасштабных процессов в пузырьках и макромасштабных гидродинамических процессов в жидкости. Решению этой актуальной задачи посвящена настоящая-работа. Наиболее общим подходом для макроописания динамики парожидкостных сред является использование модифицированных уравнений Навье-Стокса. Несмотря на большой опыт применения таких уравнений, их численная реализация даже для несжимаемых жидкостей сопряжена со сложностями построения устойчивых алгоритмов, обеспечением быстрой сходимости итераций и проблемами дискретизации области расчета. Для двухфазных систем задача моделирования течения усложняется из-за необходимости адекватного учета тепломассообменных процессов между фазами, что отражается на устойчивости и сходимости алгоритмов численного моделирования. В связи с этим актуальным направлением представляется разработка комплекса алгоритмов для моделирования динамики двухфазных потоков с учетом многообразия факторов, влияющих на взаимодействие фаз. Это дает возможность более точно описать динамику парожидкостных сред и расширить понимание закономерностей развития кавитационных течений.

Настоящая работа посвящена численному моделированию кавитационных процессов и изучению динамики течения двухфазной парожидкостной среды. Рассмотрен комплекс задач, связанных с моделированием кавитационных течений, среди которых - построение математической модели нестационарного сопряженного тепломассообмена одиночного пузырька с жидкостью, разработка эффективного алгоритма моделирования автоколебательных режимов пузырьков, моделирование двухфазного течения вязкой жидкости в двумерном канале с учетом кавитационных эффектов, сопряжение модели пузырька с квазиодномерной стационарной моделью течения жидкости в канале. Проведено численное исследование характеристик течения и сравнение полученных результатов с экспериментальными данными,-для различных кавитационных режимов.

Цели и задачи работы.

1. Анализ современных подходов к численному моделированию двухфазных парожидкостных потоков.

2. Построение математической модели парогазового пузырька, позволяющей учитывать нестационарные процессы тепломассообмена с окружающей жидкостью.

3. Разработка алгоритмов численного моделирования эволюции парогазового пузырька при изменении давления в окружающей жидкости.

4. Численное моделирование течения вязкой двухфазной жидкости в двумерном канале переменного сечения с использованием гомогенной модели кавитации.

5. Анализ характеристик парожидкостного течения при различных кавитационных режимах.

6. Сопряжение модели одиночного пузырька с моделью течения жидкости с целью анализа влияния модели дисперсной фазы на характеристики движения двухфазной среды.

7. Численное исследование влияния состава и параметров дисперсной фазы на макромасштабные характеристики двухфазного течения.

Научная новизна.

Разработаны средства математического моделирования двухфазного течения в квазиодномерном и двумерном каналах переменного сечения с учетом кавитационных эффектов, рассмотрены особенности и области применимости моделей и алгоритмов. Численно исследованы гидродинамические характеристики кавитационного течения в плоском канале. Выделены два вида пульсационного движения парожидкостной среды: пульсации кавитационного происхождения, преобладающие в зоне с относительно высоким содержанием паровой фазы и ослабевающие по мере удаления от стенки, и турбулентные пульсации, доминирующие в приосевой зоне тракта. Выявлено, что в режимах умеренной кавитации пульсации имеют периодический характер, а в режиме суперкавитации наблюдается хаотический характер пульсаций.

Предложена модификация математической модели нестационарного сопряженного тепломассообмена парогазового пузырька с окружающей жидкостью. Особенностями модели является точное выполнение интегрального баланса массы и учет пространственной неоднородности температуры и концентраций компонент в пузырьке. Разработаны численные алгоритмы моделирования эволюции двухкомпонентного пузырька- в жидкости, на основе вычислительных экспериментов показано значительное влияние учета нестационарного характера тепломассообменых процессов на границе раздела фаз на характеристики автоколебательного режима пузырька.

Осуществлено сопряжение модели одиночного пузырька с моделью течения жидкости в канале, что позволило учесть взаимное влияние микромасштабных процессов в пузырьках и макромасштабных гидродинамических процессов в жидкости. Получены результаты по влиянию состава и параметров дисперсной фазы, таких как объемное газосодержание в жидкости, распределение зародышей кавитации по радиусам, средний размер ядер кавитации, на макромасштабные характеристики двухфазного течения.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались и обсуждались

• на XIII международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" (Ярополец, 2007);

• на VII международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (№>Ш'2008) (Алушта, 2008);

• на XVII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'2011) (Алушта, 2011);

• на заседании семинара кафедры ФГБОУ ВПО "МАИ (НИУ)" №202 "Ракетные двигатели" (Москва, 2011);

• на семинаре Института океанологии им. П.П.Ширшова РАН под руководством академика РАН Нигматулина Р.И. (Москва, 2011);

• на семинаре ФГБОУ ВПО "МАИ (НИУ)" под руководством члена-корреспондента РАН Пирумова У.Г. (Москва, 2011);

• на заседании семинара кафедры ФГБОУ ВПО "МЭИ (НИУ)" "Инженерная теплофизика" под руководством профессора, доктора технических наук Ягова В.В. (Москва, 2011).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано в 10 работ [32—41] и 1 работа [42] принята к публикации, из них 4 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК для представления научных результатов диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук.

Во введении диссертационной работы дан обзор литературы, посвященной вопросам математического моделирования кавитационных процессов. Проведен анализ математических моделей, описывающих динамику пузырька при изменении давления в окружающей жидкости, освещены подходы к моделированию течений с учетом кавитационных эффектов.

Первая глава работы посвящена численному моделированию плоского течения вязкой парожидкостной смеси на основе гомогенной модели в канале переменного сечения. В основе математической модели лежат нестационарные уравнения Навье-Стокса, дополненные уравнением фазового переноса с источниковыми слагаемыми, регулирующими межфазный массообмен. Приведен модифицированный алгоритм PISO, применяемый для согласования полей скоростей, давления, плотности, в котором дискретизация уравнений производится по методу контрольного объема на разнесенной сетке. С целью верификации используемой математической модели и алгоритма расчета проведено сравнение экспериментальных данных с результатами численного моделирования течения парожидкостной среды в плоском канале. С помощью вычислительных экспериментов исследованы гидродинамические характеристики движения парожидкостной среды, выявлены некоторые особенности течения для различных кавитационных режимов.

Во второй главе исследуются автоколебательные режимы сферического пузырька при изменении давления в жидкости. Предложена математическая модель парогазового гомобарического пузырька, учитывающая тепломассообменные процессы на границе раздела фаз, поверхностное натяжение, пространственную неоднородность температурных полей газа и жидкости, неоднородность концентраций компонент в пузырьке. Рассмотрены две методики расчета эволюционных параметров пузырька для предложенной модели, из которых выявлена более предпочтительная. Представленные в главе результаты вычислительных экспериментов демонстрируют, что характеристики колебательного режима, существенно зависят от начального радиуса пузырька и величины перепада давления в жидкости. С целью сравнительного анализа проведено численное моделирование эволюции пузырька с использованием более простой и распространенной трехтемпературной модели, в которой тепломассообмен на поверхности пузырька рассчитывается в квазистационарном приближении. Проиллюстрирована важность учета нестационарного характера тепломассообменых процессов на границе раздела фаз при расчете характеристик автоколебательного процесса.

В третьей главе реализовано сопряжение модели одиночного пузырька с моделью течения жидкости, рассмотрено движение двухфазной жидкости в канале переменного сечения. Установлено значительное влияние выбора модели дисперсной фазы на макромасштабные параметры кавитационного течения. Показано, что моделирование несущей фазы в квазиодномерном приближении не позволяет удовлетворительно качественно и количественно описать двухфазное течение. Выполнено численное исследование влияния концентрации растворенного в жидкости газа и распределения зародышей кавитации по размеру на характеристики кавитационного течения.

ВЫВОДЫ К ГЛАВЕ 3

Рассмотрены монодисперсные и полидисперсные течения с парогазовыми пузырьками в канале переменного сечения. Выявлено, что использование квазиодномерной модели для несущей фазы не позволяет получить удовлетворительных качественных и количественных характеристик кавитационного течения, что связано с невозможностью адекватного учета вязких эффектов вблизи стенки канала и существенной неоднородностью распределения полей скоростей и давления в канале:

Численные эксперименты по моделированию полидисперсного кавитационного потока выявили существенное влияние выбора модели дисперсной фазы на макромасштабные характеристики движения двухфазной среды. Так использование квазистационарного приближения при моделировании тепломассобменых процессов пузырьков с жидкостью приводит к значительному понижению оценки содержания паровой фазы в канале. Также показано, что характеристики двухфазного течения зависят от концентрации и распределения ядер кавитации в жидкости: наличие зародышевых пузырьков большего радиуса при той (же концентрации газа увеличивает размер кавитационной области вдоль оси тракта, при этом уровень максимального паросодержания возрастает; повышение газосодержания в жидкости приводит к увеличению содержания парогазовой фазы в кавитационной области. Полученные результаты хорошо согласуются с известными экспериментальными и расчетными данными, что свидетельствует об адекватности используемых математических моделей и вычислительных алгоритмов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения диссертационной работы получены следующие результаты:

1. Разработаны средства математического моделирования двухфазного течения в каналах переменного сечения с учетом кавитационных эффектов. Сравнение данных вычислительного и физического экспериментов для различных режимов кавитации показало хорошее согласование результатов.

2. Исследованы пульсационные характеристики течения вязкой жидкости в канале переменного сечения в условиях кавитации. В режимах зарождающейся и слабой кавитации осцилляции скорости носят периодический характер. С уменьшением числа кавитации величина кавитационной зоны увеличивается, характер флуктуаций становится апериодичным. В пристеночных зонах, где интенсивность кавитации высока, рассчитанные амплитуды пульсаций хорошо согласуются с экспериментальными данными. В приосевой зоне расчетные амплитуды существенно ниже экспериментальных, что связано с ослаблением кавитационных эффектов и проявлением турбулентного характера течения.

3. Предложена модификация математической модели нестационарного сопряженного тепломассообмена парогазового пузырька с окружающей жидкостью, учитывающая пространственную неоднородность температурных полей газа и жидкости, а также неоднородность концентрации компонент в пузырьке. Отличительной особенностью предложенной модели является точное выполнение интегрального баланса массы.

4. Разработаны и реализованы эффективные вычислительные алгоритмы моделирования эволюции парогазового пузырька при изменении давления в окружающей жидкости. Получены данные о значительном влиянии начального радиуса пузырька и величины перепада давления в жидкости на основные характеристики колебательного процесса пузырька: частоту и амплитуду колебаний, время установления стационарного режима, максимальную температуру газа и концентрацию паровой фазы в пузырьке.

5. Проанализировано влияние учета нестационарного характера -тепломассообменых процессов на границе раздела фаз на параметры эволюции пузырька. Сравнительный анализ результатов расчетов, полученных с использованием предложенной модели и более простой трехтемпературной модели пузырька, выявил, что упрощающее предположение о квазистацинарном характере тепломассообменных процессов в системе "пузырек - окружающая жидкость" приводит к уменьшению расчетной амплитуды колебаний пузырька, понижению уровня температурных пиков и максимальных величин давления парогазовой смеси.

6. Реализовано сопряжение модели одиночного пузырька с моделью течения жидкости в канале. В результате численного моделирования выявлено значительное влияние выбора модели дисперсной фазы на макромасштабные характеристики движения двухфазной среды. Показано, что характеристики двухфазного течения зависят от концентрации и распределения ядер кавитации в жидкости по размерам: наличие зародышевых пузырьков большего радиуса при одинаковом газосодержании увеличивает размер кавитационной области вдоль оси тракта, при этом уровень максимального паросодержания возрастает; повышение газосодержания в жидкости приводит к увеличению содержания парогазовой фазы в кавитационной области.

1. Аганин A.A., Ильгамов М.А. Динамика пузырька газа в вязкой жидкости с немалыми искажениями сферической формы // Сб. статей "Динамика газовых пузырьков и аэрозолей". — Казань: КГУ им. В.И.Ульянова-Ленина, 2003.-С. 7-22.

2. Аганин A.A., Халитова Т.Ф., Хисматуллина H.A. Метод численного решения задач сильного сжатия несферического кавитационного пузырька // Вычислительные технологии. 2010. - Т.15. № 1. — С. 14-32.

3. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидродинамика и теплообмен. Т.2. -М.: Мир, 1990. -392 с.

4. Арзуманов Э.С. Кавитация в местных гидравлических сопротивлениях. — М.: Энергия, 1978. 304 с.

5. Артемов В.И., Яньков Г.Г., Карпов В.Е., Макаров М.В. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена в элементах теплотехнического и энергетического оборудования // Теплоэнергетика. 2000. - № 7. - С. 52-59.

6. Винников В. В., Ревизников Д. Л., Способин А. В. Двухфазный ударный слой при обтекании тел сверхзвуковым запыленным потоком // Математическое моделирование. — 2009. Т. 21. № 12 . - С. 89-102.

7. Воинов О.В., Петров А.Г. Движение пузырей в жидкости // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. — 1976. Т. 10. — С. 86-147.

8. Гаврилов JI.P. Содержание свободного газа в жидкостях и методы его измерения // Физические основы ультразвуковой технологии / Под ред. Л.Д. Розенберга. -М.: Наука, 1970. С. 395-426.

9. Галимзянов М.Н., Лепихин С.А. Истечение двухфазной смеси через сопло с учетом фазовых переходов // Вестник СамГУ -Естественнонаучная серия. 2010. - № 2(76). - С. 96-104.

10. Ганиев Р.Ф. (ред.) Колебательные явления в многофазных средах и их использование в технологии. Киев: Техника, 1980, - 142.С.

11. Ганиев Р.Ф., Украинский Л.Е. Нелинейная волновая механика и технологии. М.: Научно-издательский центр "Регулярная и хаотическая динамика", 2008, - 712 с.

12. Гривнин Ю.А., Зубрилов С.П., Ларин В.А. Влияние физических свойств жидкости на пульсацию и разрушение несферических кавитационных полостей // Журнал физической химии. 1980. - Т.54. № 1,-С. 56-59.

13. Григорян С. С., Якимов Ю. Л., Апштейн Э. 3. Поведение пузырьков воздуха в жидкости при вибрации // Fluid dynamics transactions, Warszawa- 1967.-Vol.3. pp. 713-719.

14. Десятов A.B., Ильмов Д.Н., Черкасов С.Г. Математической моделирование эволюции одиночного сферического парового пузырька при его сжатии внешним давлением // Теплофизика высоких температур.- 2008. Т.46. № 1. - С. 92-99.

15. Иванов А.Н. Гидродинамика развитых кавитационных течений. Л.: Судостроение, 1980. - 240 с.

16. Ивашнев O.E. Самоподдерживающиеся ударные волны в неравновесно кипящей жидкости. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук; 01.02.05; М., 2009. - 249 с.

17. Ивашнев O.E., Смирнов H.H. Тепловой рост парового пузырька, движущегося в перегретой жидкости // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2004. №3. С. 69-84.

18. Кедринский В.К., Фомин П.А., Таратута С.П. Динамика одиночного пузырька в жидкости при наличии химических реакций и межфазного тепло- и моссообмена // Прикладная механика и техническая физика. — 1999. Т.40. № 2. - С. 119-127.

19. Кнэпп Р., Дейли Дж., Хэммит Ф. Кавитация. М.: Мир, 1974. - 668 с.

20. Кузма-Кичта Ю.А., Устинов А.К., Устинов A.A., Холпанов Л.П., Моделирование колебаний границы раздела фаз при кипении // Теоретические Основы Химической Технологии. — 2002. — Т. 6. — С. 2-24.

21. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 608 с.

22. Кутателадзе С.С., Стырикович М.А. Гидродинамика газожидкостных систем. — М.: Энергия, 1976. 297 с.

23. Кутателадзе С.С., Накоряков В.Е. Тепломассообмен и волны в газожидкостных системах. Новосибирск.: Наука, 1984. — 301 с.

24. Лабунцов Д.А, Ягов В.В. Механика двухфазных систем: Учебное пособие для вузов. — М.: Издательство МЭИ, 2000. — 374 с.

25. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, Т. VI, Гидродинамика. М.: Наука, 1988. - 736 с.

26. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Государственное издательство технико-теоритической литературы, 1950.- 679 с.

27. Маргулис М.А. Сонолюминесценция // Успехи физических паук. Обзоры актуальных проблем. 2000. - Т. 170. № 3. - С. 263-287.

28. Маргулис М.А. Максименко H.A. О неадекватности тепловой теории кавитационных процессов. // ДАН СССР. 1991. - Т.319. - С. 656-659.

29. Маргулис И.А., Маргулис М.И. Динамика одиночного кавитационного пузырька // Журнал физической химии. 2000. - Т. 74. № 3. - С. 566-574.

30. Маркина H.JI. Программный комплекс, моделирующий автоколебания пузырька при изменении давления в жидкости // Новые информационные технологии. Тезисы докладов XV Международной студенческой школы-семинара. М.: МИЭМ. - 2007. - С. 388-390.

31. Маркина H.JI. Численное моделирование течения парогазовой смеси в канале переменного сечения // Материалы VIII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2010). М.: Изд-во МАИ. - 2010. - С. 186-188.

32. Маркина H.JI. Алгоритмы численного решения уравнений Навье-Стокса при наличии кавитации // Электронный журнал "Труды МАИ". 2011. -№44.

33. Маркина Н.Л., Ревизников Д.Л. Численное моделирование течения жидкости при наличии кавитации // Вестник Московского авиационного института. 2011. - Т.18. № 2. - С. 200-210.

34. Маркина Н.Л., Ревизников Д.Л., Черкасов С.Г. Математическая модель сопряженного тепломассообмена парогазового пузырька с окружающей жидкостью // Вестник Московского авиационного института. — 2009. — Т.16. № 2. С. 71-78.

35. Маркина Н.Л., Ревизников Д.Л., Черкасов С.Г. Исследование кавитационных процессов в канале переменного сечения // Известия РАН. Энергетика. 2012. - № 1.

36. Мельситов А.Н., Петушков В.А. Высокоскоростная динамика двухфазной газожидкостной среды с теплообменом между фазами // Математическое моделирование. — 2000. Т.12. № 12. — С. 35-54.

37. Назаров Г.С. Экспериментальное исследование кавитационных характеристик сужающихся насадков // Инженерно-физический журнал. 1968. - Т. XIV, № 3 - С. 423-429.

38. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р. Волновая динамика газо- и парожидкостных сред. М.: Энергоатомиздат, 1990. - 248 с.

39. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч I, Ч II. М.: Наука, 1987.

40. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978.-336 с.

41. Нигматулин Р.И:, Ахатов И.Ш., Вахитова Н.К. Вынужденные колебания газового пузырька в сферическом объеме сжимаемой жидкости // Прикладная механика и техническая физика. 1999. — Т.40. № 2. — С. 111-118.

42. Нигматулин Р.И., Хабеев Н.С. Динамика паровых пузырьков // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1974. - № 5. - С. 94-100.

43. Нигматулин Р.И., Хабеев Н.С. Теплообмен газового пузырька с жидкостью // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа 1975. - № 3.-С. 59-67.

44. Овсянников Б.В. Теория и расчет турбонасосных агрегатов ЖРД. — М.: Машиностроение, 1986.-376 с.

45. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. -М.: Энергоатомиздат, 1984. 152 с.

46. Петров И.Б., Лобанов А.И. Лекции по вычислительной математике. М.: Интернет-Университет Информационных Технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — 523 с.

47. Петухов Б.С., Генин Л.Г., Ковалев С.А. Теплообмен в ядерных энергетических установках. — М.: Энергоатомиздат, 1986. — 472 с.

48. Петушков В.А., Мельситов А.Н. Двухфазное парожидкостное течение в переходных режимах // Математическое моделирование. — 2003. — Т. 15. № 10.-С. 109-128.

49. Пирсол И. Кавитация. М.: Мир, 1975. - 95 с.

50. Пирумов У.Г. Численные методы. М.: Дрофа, 2004. - 222 с.

51. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Газовая динамика сопел. М.: Наука, 1990. -368 с.

52. Полежаев В.И., Бунэ А.В, Верезуби H.A. и др. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса. М: Наука, 1987. - 272 с.

53. Промтов М.А. Перспективы применения кавитационных технологий для интенсификации химико-технологических процессов // Вестник ТГТУ. — 2008. Т. 14. № 4. - С. 861-869.

54. Рахматулин Х.А. Основы газовой динамики взаимопроникающих движений сплошных сред // Прикладная математика и механика. — 1956. -Т.20.№2.-С. 184-195.

55. Ревизников Д.Л., Формалев В.Ф. Численные методы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 400 с.

56. Рождественский В.В. Кавитация. — Л.: Судостроение, 1977. 246 с.

57. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. - 618 с.

58. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. — 616 с.

59. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы математической физики. — М.: Научный мир, 2000. 316 с.

60. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.2. М.: Наука, 1970. - 568 с.

61. Сиов Б.Н. Истечение жидкости через насадки. — М.: Машиностроение, 1968.- 140 с.

62. Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах. — М.: Машиностроение, 1974. -212 с.

63. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972. 735 с.

64. Украинский Л.Е. Динамическое поведение газовых включений в вязкой жидкости. В сб. "Проблемы механики" под. Ред. Д.М. Климова. — М.: Физматлит, 2003. 215-220 с.

65. Уоллис Г. Одномерные двухфазные течения. М.: Мир, 1972. - 440 с.

66. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Т.1, 2. — М.: Мир, 1991.

67. Флинн Г. Физика акустической кавитации в жидкостях // Физическая акустика / Под ред. У. Мезона. М.: Мир, 1967. - Т.1. - С. 7-138.

68. Френкель Я.И. Кинетическая теория жидкостей. М.: Издательство Академии наук СССР, 1945. - 424 с.

69. Шутилов В.А. Основы физики ультразвука: Учеб. пособие. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. - 280 с.

70. Ягов В.В. О предельном законе роста паровых пузырей в области весьма низких давлений (большие числа Якоба) // Теплофизика высоких температур. 1988. -Т.26. № 2. - С. 335-341.

71. Яненко Н.Н. Методы дробных шагов решения задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967. - 195 с.

72. Яньков Г.Г., Масленников В.А., Альперович И.Г. Моделирование процессов теплообмена в дисперсных средах // Теплоэнергетика. — 1994. -Т.З.- С. 40.

73. Яньков Г.Г., Артемов В.И., Карпов В.Е., Зорин В.М. Разработка математических моделей пористых сред и численный анализ процессов тепломассообмена в элементах оборудования АЭС // Вестник МЭИ. — 2006.-№5.-С. 72-86.

74. Ahuja V., Hosangadi A., Arunajatesan S. Simulations of cavitating flows using hybrid unstructured meshes // Journal of Fluids Engineering. 2001. -Vol. 123.-Pp. 331-340.

75. Birkhoff G. Stability of spherical bubbles // Quarterly of Applied Mathematics. 1956. - Vol. 13. - Pp. 451-453.

76. Brenner M.P., Hilgenfeldt S., Lohse D. Single-bubble sonoluminescence // Reviews of modern physics. 2002. - Vol. 74. - Pp. 425-483.

77. Burgreen G.W. Studies of pressure-velocity coupling schemes for analysis of incompressible and compressible flows. NASA-CR-181526. 1987. - 83 p.

78. Delannoy Y., Kueny J.L. Cavity flow predictions based on the Euler equations // Cavitation and Multi-Phase Flow Forum, ASME-FED. 1990. - Vol. 98. -Pp. 153-158.

79. Deshpande M., Feng J., Merkle C.L. Nonlinear Euler analysis of 2-D cavity flow // Cavitation and Multiphase Flow Forum FED. 1992. - Vol. 135. - Pp. 213-219.

80. Eller A.I., Crum L.A. Instability of the motion of a pulsating bubble in a sound field // Journal of the Acoustical Society of America. 1970. - Vol. 47. № 3. -Pp. 762-767.

81. Feng Z.G., Leal L.G. Nonlinear Bubble Dynamics // Annu. Rev. Fluid. Mech.- 1997. Vol. 29. - Pp. 201-242.

82. Ferziger J.H., Peric M. Computational Methods for Fluid Dynamics. Berlin: Springer-Velag, 2002. - 431 p.

83. Frikha S., Coutier-Delgosha O., Astolfi J.A. Influence of the Cavitation Model on the Simulation of Cloud Cavitation on 2D Foil Section // International Journal of Rotating Machinery. 2008. - Vol. 2008. - 12 p.

84. Gaitan D. F., Holt G. Nonlinear bubble dynamics and light emission in single-bubble sonoluminescence // Journal of the Acoustical Society of America. -1998. Vol. 103. - Pp. 3046-3058.

85. Ghoniem N.M., Busso E.P., Kioussis N., Huang H. Multiscale modeling of nanomechanics and micromechanics: an overview // Philosophical magazine.- 2003. Vol. 83. - Pp. 3475-3528.

86. Gilmore F.R. The growth or collapse of a spherical bubble in a viscous compressible liquid. Hydrodynamics Laboratory, California Institute of Technology, Pasadena. — 1952. Report № 26-4. - 40 p.

87. Hammit F.G. Bubble dynamics of cavitation and boiling. University of Michigan. 1977. - Report № UMICH 014456-7-1. - 15 p.

88. Hewitt G.F., Roberts D.N. Studies of two-phase flow patterns by simultaneous X-ray and flash Photography. Technical report, Atomic Energy Research Establishment, Harwell. AERE-M 2159. 1969.

89. Iooss G., Laure P., Rossi M. Stability of a compressed gas bubble in a viscous fluid // Physics of Fluids. 1989. - Vol. 1. № 6. - Pp. 915-923.

90. Issa R.I. Solution of the Implicitly Discretised Fluid Flow Equations by Operator-Splitting // Journal of Computational Physics. 1985. - Vol. 62. -Pp. 40-65.

91. Keller J. B., Miksis M. J. Bubble oscillations of large amplitude // Journal of the Acoustical Society of America. 1980. - Vol. 68. № 2. - Pp. 628-633.

92. Keller J.B., Kolodner I.I. Damping of underwater explosion bubble oscillations. Journal of Applied Physics. 1956. - Vol. 27. - Pp. 1152-1161.

93. Kulagin V.A., Kulagina T.A., Kulagina L.V. Nanotechnology Cavitational Effects in the Heat-and-Power Engineering and Other Branches of Production // Journal of Siberian Federal University. Engineering & Technologies. — 2008. Pp. 76-85.

94. Lamb H. Hydrodynamics. New York: Dover Publications, 1945. -374 p.

95. Lastman G.J., Wentzell R.A. Comparison of five models of spherical bubble response in an inviscid compressible liquid // Journal of the Acoustical Society of America. 1981. - Vol. 69. - Pp. 638-642.

96. Lee C., Tae-Seong R. Flow instability due to cryogenic cavitation in the downstream of orifice // Journal of Mechanical Science and Technology. -2009. Vol. 23. - Pp. 623-649.

97. Lin H., Storey B.D., Szeri A.J; Inertially driven inhomogeneities in,violently collapsing bubbles: the validity of Rayleigh-Plesset equation // Journal of Fluid Mech. 2002. - Vol: 452. - Pp. 145-162.

98. Lofstedt R., Barber B.P., Putterman S. J. Toward a hydrodynamic theory of sonoluminescence // Phys. Fluids. 1993. - Vol.5. - Pp. 2911-2928.

99. Merkle C.L., Feng J.Z., Buelow P.E.O. Computational modeling of the dynamics of sheet cavitation // Third International Symposium on Cavitation. -1998.- Pp. 307-311.

100. Minsier V., Poorst J. Modeling of shock wave emission during acoustically-driven cavitation-induced cleaning processes // Solid State Phenomena. -2008. -Vol. 134. -Pp. 197-200. ^

101. Moss W.C., Clarke D.B., White J.W., Young D.A. Hydrodynamic simulations of bubble collapse and picosecond sonoluminescence // Phys. Fluids. 1994. -Vol. 6.-Pp. 2979-2985.

102. Moukalled F., Darwish M. A Unified Formulation of the Segregated Class of Algorithms for Fluid Flow at All Speeds // Numerical Heat Transfer. 1999. -Vol.37. -Pp. 103-139.

103. Noltingk B.E., Neppiras E.A. Cavitation produced by ultrasonics // Proc. Phys. Soc. 1950. - Vol. 63B. - Pp. 673-685.

104. Nigmatulin R.I., Khabeev N.S., Nagiev F.B. Dynamics heat and mass transfer of vapour-gas bubbles in a liquid // International Journal Heat Mass Trensfer. -1981. Vol. 24. №6.-Pp. 1033-1044.

105. Nigmatulin R.I., Akhatov I.Sh., Topolnikov A.S., Bolotnova R.Kh., Vakhitova N.K., Lahey R.T., Taleyarkhan R.P. Theory of supercompression of vapor bubbles and nanoscale thermonuclear fusion // Physics of fluids. -2005. Vol. 17. № 107106.-Pp. 1-31.

106. Panasenko G.P. Multi-Scale Modelling for Structures and Composites. Springer-2005.-398 p.

107. Patankar S.V. A Calculation Procedure for Two-dimensional Elliptic Situations // Nummerical Heat Transfer. 1981. - Vol. 4. - Pp. 409-425.

108. Plesset M.S. The dynamics of cavitation bubbles // Journal of Applied Mechanics. 1949.- № 16. - Pp. 228-231.

109. Plesset M.S., Zwick S.A. The growth of vapor bubbles in superheated liquids // Journal of Applied Physics. 1954. - Vol. 25. - Pp. 493-500.

110. Prosperetti A. Viscous effects on perturbed spherical flows // Quarterly of Applied Mathematics. 1977. - Vol. 34. - Pp. 339-352.

111. Prosperetti A., Lezzi A. 1986, Bubble dynamics in a compressible liquid. First-order theory // Journal of Fluid Mechanics. — 1986. Vol. 168, - Pp. 457478.

112. Prosperetti A., Seminara G. Linear stability of a growing or collapsing bubble in a slightly viscous liquid // Physics of fluids. 1978. - Vol. 21. - Pp. 14651470.

113. Rautova J., Kozubkova M. Influence of air content in water on cavitation region in mathematical model // Transactions of the VSB. Technical University of Ostrava, Mechanical Series. 2010. -№ 10. - Pp. 291-300.

114. Rayleigh O.M. On the pressure developed in a liquid during the collapse of a spherical cavity // Physical Magazine. 1917. - Vol. 34. № 200. - Pp. 94-98.

115. Reboud J.L., Sauvage-Boutar E., Desclaux J. Partial cavitation model for cryogenic fluids // Cavitation and Multiphase Flow Forum FED. 1990. — Vol.98. -Pp. 165-170.

116. Senocak I., Shyy W. Computations of unsteady cavitation with a pressure-based method. 2003. Proceedings of ASME. - Paper № FEDSM2003-45009.

117. Senocak I., Shyy W. Interfacial dynamics-based modeling of turbulent cavitating flows, Part-1: Model development and steady-state computations // International Journal for Num. Methods in Fluids. 2004. - Vol. 44. - Pp. 975-997.

118. Senocak I., Shyy W. Interfacial dynamics-based modeling of turbulent cavitating flows, Part-2: Time-dependent computations // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 2004. - Vol. 44. - Pp. 997-1016.

119. Sheng Y., Shoukri M., Sheng G., Wood P. A modification to the SIMPLE method for buoyancydriven flows // Numerical Heat Transfer. 1998. - Vol. 33.-Pp. 65-78.

120. Singhal A.K., Athavale M.M., Li H., Jiang Y. Mathematical basis and validation of the full cavitation model // Journal of fluids engineering. — 2002. Vol. 124. № 3. - Pp. 617-624.

121. Singhal A.K., Vaidya N., Leonard A.D. Multi-dimensional Simulation of Cavitating Flows Using a PDF Model for Phase Change // Proceeding of ASME Fluids Engineering Division Summer Meeting. 1997. - Vol. 4. — Pp. 1-8.

122. Song C.S., He J. Numerical simulation of cavitating flows by single-phase flow approach // Third International Symposium on Cavitation. — 1998. — Vol. 2.-Pp. 295-300.

123. Sou A., Maulana M., Isozaki K., Hosokawa S., Tomiyama A. Effects of nozzle geometry on cavitation in nozzles of pressure atomizers // Journal of Fluid Science and Technology. 2008. - Vol.3. № 5. - Pp. 622-632.

124. Sou A., Tomiyama A., Hosokawa S., Nigorikawa S., Maeda T. Cavitation in a two-dimensional nozzle and liquid jet atomization (LDV Measurement ofliquid velocity in a nozzle) // JSME International Journal. 2006. - Vol. 49. №4.-Pp. 1253-1259.

125. Storey B.D., Szeri A.J. A reduced model of cavitation physics for use in sonochemistry // Proc. R. Soc. London. 2001. - Vol. 457. - Pp. 1685-1700.

126. Suslick K.S. Sonoluminescence and Sonochemistry. Encyclopedia of Physical Science and Technology, third Edition. San Diego: Academic Press Inc, 2001. -22 p.

127. Taitel Y. Flow pattern transition in two-phase flow // Proc. of 9-th Int. Heat Transfer Conf. Jerusalem. 1990. - Vol. 1. - Pp. 237-254.

128. Toegel R., Gompf B., Pecha R., Lohse D. Does water vapor prevent upscaling sonoluminescence // Physical review Letters. 2000. - Vol. 85. - Pp. 31653168.

129. Tokumasu T., Sekino Y., Kamijo K. A new modeling of sheet cavitation considering the thermodynamic effects // Proceedings of 5th International Symposium on Cavitation. 2003. - Cav03-GS-16-003. - 6 p.

130. Utturkar Y., Thakur S.S., Shyy W. Computational modeling of thermodynamic effects in cryogenic cavitation // Proceedings of 43rd AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit. 2005. - AIAA Paper. - Pp. 49794993.

131. Van Doormaal J. R., Raithby G.D. Enhancements of the SIMPLE method for predicting incompressible fluid flows // Numerical Heat Transfer. — 1984. — Vol. 7. №2.-Pp. 147-163.

132. Van Doormaal J.P., Raithby G.D. An Evaluation of the Segregated Approach for Predicting Incompressible Fluid Flow. 1985. - ASME Paper 85-HT-9.to predicting viscous compressible flow // Journal of Turbomachinery. — 1987. Vol. 109. - Pp. 268-277.

133. Wang G., Ostoja-Starzewski M. Large eddy simulation of a sheet/cloud cavitation on a NACA0015 hydrofoil // Applied Mathematical Modelling. -2007. Vol. 31. - Pp. 417^147.

134. Wu C.C., Roberts P.H. Shock wave propagation in a sonoluminescencing gas bubble. // Physical review letters. 1993. - Vol. 70. - Pp. 3424-3427.

135. Yasui K. Alternative model of single-bubble sonoluminescence // Physical review. 1997. - Vol. 56. - Pp. 6750-6760.