Численное моделирование динамики взаимодействия физико-механических полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РГ6 од

КШВСЬКИЙ УН1ВЕРСИТЕТ ¡м. Т. Г. ШЕВЧЕНКА

1 ü MAÍl 1033

На правах рукопису УДК 519.6 : 531/534.01 : 517.958

Ш ИНКАРЕНКО Георпй Андржович

ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМ1КИ ВЗА6МОДП Ф13ИКО-МЕХАН1ЧНИХ ПОЛ1В

Спещальшсть 01.01.07 — обчислювальна математика

Автореферат

дисертацп на здобуття вченого ступеня доктора ф!зико-математичних наук

Khïb- 1993

Праця виконана на кафедр! прикладно! математики Льв1вського ун1верситету. 1м.I.Франка.

Науковий консультант: доктор ф!зико-математичних наук,

професор В.Л.МАКАРОВ

0ф1ц1йн1 опоненти: доктор ф!зико-математичних наук, професор В.Г.ЛИТВИНОВ

доктор ф!зико-магемагичних наук, професор I.М.МОЛЧАНОВ

доктор ф!зико-математичних наук, професор Ю.А.БеЛОВ

Пров1дна орган1зац1я: 1нститут математики АН Укра1ни

Захист в1дбудеться " _^ 1993 р. о

_ год1ш1 на зас1данн1 спец!ал1зовано1 ради Д 068.18.16 в

ауд.40 на факультет! кЮернетики Ки1вського ун!верситету 1м.Т.Г.Шевченка (252127 , Ки1в, проспект Акад.Глушкова, 6).

3 дисертац!ею можпа ознайомитись у б!бл1отец1 Ки1вського ун!верситету.

// /У У

Автореферат роз!сдано _^ /_ 1993 р.

Вчений секретар спец1ал1зовано! ради к.ф.-м.н., доцент

А.В.Кузьм1н

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА ПРАД1

Ащ/альн1ахь проблеш. Р1зномай1тн! вшмшв1 питания конструювання та технолог!! виготовленвя сучасних прилад!в приводить до складних початково-крайових задач провзаемод!ю пол!в р!зно! ф1зично! природа, анал1з характеристик яких зд!йснимий лише 1з застосуванняы чисельних метод!в. Под!бн1 ситуац!I виникают'ь, наприклад, в практиц! проектування електронно-проненевих та силових нап1впров1дникових прнлад1в, ' ав!ац!Яних ламп-фар, п'езокерам!чних перетворнзвач1в енергИ та Пдроакустпчних 1нформац!йно- вим!ршальних пристро1в, коли для постановки адекватпих задач потрЮно викорнстовувати основн! сп1вв!дношення термопруетост!, п' езозлектрячного ефекту та Пдропружност!.

3 огляду на склада! сть под!бн! матоматичн! нодвл! взаемод! I пол1в до тепер1шнього часу не завзди досл!даен! як з точки зору адекватност1 та коректност! 1х постановок, так 1 розробки над!йних обчислввальних схем та в1доов!дного програмного 1нструментар1я !х реал1зац!1.

Огляд .стану проблеш. За останн! десятир1ччя' метода досл1даень ф1зияи та механ!ки суц!льного середовшца доповнились засобаыи натематнчного ноделювання, як! значно розширили поле теоретичних досЛ1даень 1 дозволяють'. повн!ше задоволити запити 1нхенерно1 практики. Усп1шний розвиток цього напрямку вкзначаеться сун1сним використанням результат!в фушщ!онального анал!зу та теорИ узагальнених фуякц!й, вар!ац!йних принцшИв та проекц!йних метод!в, ор!ентованих на використання сучасних ношшвостей обчислювалыга! техн!ки. Важливу роль у становлвн! цього напрямку з!грали роботи М.С.Бахвалова. О.Н.БIлоцеркозського, 3.-Л.Л1онса, ГЛ.Марчука, О.А.Самарського, М.М.Яненка та 1нших.

1. Вар1ац1йн1 принципа I летюди механ!ки суц!льного середовища (В.Л.Бердичевський, К.Вас1дзу. К.Ланцош, Г.С.М1хл!н, Дж.Оден, Дж.Редд!, К.Ректорис, Л.0.Роз1н, Л.I.Седов) лежать в основ! найб!лыи потукних ыетод!в математичного моделквання,. оск!льки вони виступають як ун1вврсальний (а 1нод! 1 едино можливий) спос!б описания ф1зично виправданих законом!рностей математичнкми засобами. В залекност! в!д постановлено! мети вар!ац!йн! принцшш приводить до основно!, дво!сто1 або зм!шаних вар!ац!йних задач: ц! постановки доповнюють одна одну 1 дозволяють обгрунтовано вибирати найб!льш зручний метод. анал!зу розглядуваного явища.

Власне на цьому шляху були створен! потуш! чиселън! схеми варtau,iйно-рiзницевого леиюду та летоду CKimenma еле*еш1 в (МСЕ), як! тепер 1нод! об'еднуиться назвою "проекцiCno-ciшов( летоди" (ВЛ.Агошков, • В.Б.Андреев, С.К.Годунов, , М.Зламал, ВЛ.Корнеев, Р.Д.Лазаров, В.Л.Макаров, ГЛ.Марчук, С.Г.М!хл!н, I.М.Молчанов, П.-А.Рав'яр, О.С.Сахаров, Ф.Сьярле, Р.Темам, В.В.Шайдуров, Т.Хьюз та 1нш1). В класичних задачах м!н!м!зац11 квадратичних функц!онал!в ц! схеми визначають ппйкращi наблихення до точних розв'язк!в у вкбраних просторах апроксимац1й. Похибкн апроксимац!й цих схем онтимальн! i 1х розв'язки визначаються симетричними додатновизначнзши матрицами з р!дко заповненою структурою. Оск!льки трпангулювання облает! визначення розв'язку е, по сут1, екстраполиванням природного 1Ексенерного п!дходу до анал!зу конструкц1й шляхом 1х декомпозицН на п!дкострукц1Х, то проекц!йно-с1тков! схеми, особливо МСЕ, стали основою потужного програмного 1нструментар!ю для САПР (Б.Айронс, С.Ахмед, Р.Галлагер, О.Зенкевич, Р.М1лош, Е.М.Морозов, Г.П.Н1к!шков, В.О.Постнов, 0.С.Сахаров, А.Г.Угодчиков, E.XIhtoh, Т.Хьюз та 1нш!).

Разом з цим сл!д в!дзначити вакливу особлнв!сть задач взаемодИ р!зних пол!в - природн!сть зм1шаного характеру 1х вар!ац!йниг. постановок (у випадку статики чи усталених коливань так! задач1 зводяться до в!дшукання с!длових точок квадратичних функц!онал1в). Не дивлячись на наявн1 здобутки (I.Бабушка, М.Верков'е, Ф.Брезз!, К.Дхсонсон, №.Дуглас, Г.М.Кобельков, В.Г.Л1тв!нов, П.-А.Рав'яр, Р.Темам, Т.Хьюз, В.В.Шайдуров та !нш!) розробка ефективяих схем МСЕ для зм!шаних задач вимагатиме зусиль 1 в майбутньому.

2. Вар!ац!йн! принципи, як джерело нових моделей, давно стали об'ектом фундаментальних математичних досл!джень. Результати Фуннц1 опального анал1зу та кеорИ узагаланеких функцШ дозволяють усп!шно розв'язувати питания Kopemmocmi багатьох ф!зично виправданих вар!ац!йних задач (Р.Варга, Р.Деутре, Г.Дюво, 1.Главачек, Р.Глов!нський, В.М.Гончаренко, В.Киро,

О.А.Ладиженська, Ж.-Л.Л1онс, В.Г.Л1тв!нов, И.Нечас, С.Л.Соболев та 1нш1). Як правило, !снування розв'язк1в таких задач зд!йснюеться шляхом побудови апр!орних оц!нок для апроксилацШ rcubopaiHa-Pimu/a, створюючи таким чином ц!лком над!йну основу для единого nldxody як яaicnozo, так 1 чисельного анал1зу проблем

®1зики i механ1ки.

На додаток до цього об'еднання 1нтерполяц1йно! природа кусково визначених базис!в КСЕ та anplopmx енергетичних оц!нок дозволяв обчислювати порядки швидкост! зб!кност1 схем МСЕ (I-БабуЕка, Дк.Брембл, -М.Зламал, А.Нен1шек, В.Г.Корнеев, ГЛ.Марчук, К.Шцше, Г.Стренг, Ф.Сьярле, П.-А.Рав'яр та 1нш1). Цоправда, для зм!шаних вар1ац1йних задач згадан!, питашя внр1иуються б1лыи складнии шляхом 1 щэ далек! до завершения: тут для узгодкевня простор!в 8прокскмац1й нер!дко будуються нетрадкц1Ён1 базиса МСЕ (О.Брезз!, 1.Главачек, К.Дтонсон, П.-А.Рав'яр) або селективие редуковане 1нтегрування чи регуляризац!я 1з застосуванням штрафу (Д.Арнольд, I.Бабушка, Д.Малкус, О.С.Сахаров, Р.Темам, Т.Хьвз).

3. Не дквлячнсь на спробн розповснднти апроксимацН МСЕ на просторово-чзсов1 облает!, на даннй час немае серйоэно! альтернатива рекурентнпм схемам ЮТегрування вар!ац1йних задач в час! (К.Бате, О.В.Гул1н, С.К.Годунов, М.Здшлал, 0.Зенкевич, Г.Г.Марчук, И.М.Носкальков, О.Шронне, К.Парк, 0. А. Самаре ький, Т.Хьюз). Разом з цим в1дзначимог що безпосередне використання проекц1йних процедур для нобудови чисельних схем 1нтегрування в час! зм!шанпх задач приводить до порушення обм!ну енерПею м!ж зв'язаними полями; тому забезпечення стДАкост! рекурентних схем для задач взаемодП винагае спец1альних зусиль для збереження адекватного механ1зму си5м1ну енерг1еи..

Иетаоо Oanoi rtpaul е

(I) побудова зручних для застосувазь вар1ац1йних задач (включапчи за необх1дн1стю 1х наяезшу регуляризацШ терко-, електро- та г!дропружност1 1 вменения умов 1х корвктно! розв*язуваност1;

(II) побудова та досл1дпення зб1шост! нап1вдискретних апроксимац!й Гальорк1на для згаданих клас!в задач . взаемодП з використанням в!дпов1дних базис!в МСЕ за просторовими зм1ннкми;

(III) побудова однокрохових рекурентних консервативних схем 1нтегрування в час! задач взаемодП та досл1д;:ання 1х ст1йкост1 1 зб1жност1;

(lv) розробка питань програмно! реал1зац1! запропонованих.схем та анал!з числових розв'язк1в прикладних задач.

Методы досл1дз&нь дано! прац! грунтуиться на побудов! та анал1з! апр!орних оц1нок для енергетичних норм наближених. розв'язк!в розглянутих клас1в задач;, такий п1дх!д дозволяв з

S

единих П03ИЦ1Й встановити як умови коректност! вар!ац1йних задач, так i умови ст!йкост1 та зб1жност! залропонованих проекц1йно-с1ткових схем.

Еаукова новизна результата прац! вшилае

- форму лювання узгоджених з принципом в!ртуальних роб1т початково-крайово! та вар1ац1йно1 задач! п'езовлектрики з нвлокальними крайовими умовами та доведения коректност! поОудовано! вар!ац1йно! задач!;

- форму лювання вар!ац!йних задач акустично! взаемодИ пружних т!л 1 п'езоелектрик1в 1з стисливов р!диною та встановленвя умов II коректност!j

- побудову енергетичних оц!нок похибки апроксимац!й методу ск1нченних елемевПв для розв'язк!в нестацЮнарних задач термопружност!, п'езовлектрики та акустично! взаемодИ прухних т1л з! стисливнми р!ДИН8№1;

побудову однокрокових Консервативннж рекурентних схем 1нтегрування в час1 вар!ац!йних задач термопрунност!, п'езовлектрики та акустично! взаемодИ;

- досл1дження crlflKOCTl та зб1*ност! похибок апроксиыацИ залропонованих однокрокових схем для згаданих задач механ!ки суц!льного середовища.

Достов1рн1скь каукових резулыват1в прац1 забезпечуеться (!) сум1свш1 застосуванням метод!в функц!онального анал!зу та теорИ узагальнених функц1й, вар1ац1йних та проекц1йних метод! в чисельного розв*язування задач механ!ки суц!льного середовища; (И) анал!зом наближених розв'язк!в, як! Оули знайден! для багатьох задач !нженврно! практики.

Практична значил1ахь npaui полягае в систематичн!й розробц! енергетичного п!дходу для анал!зу зы1ваних вар1ац1йних задач взаемодИ пол!в та проекц1йно-с1ткових метод!в 1х розв'язування. Безпосередне практично значения мае методика програмно! реал!зац11 запропонованих чисельних схем та пакета прикладних програм, за допомогою' яких зд!йснено анал!з р1звих конструкц!й балон!в електронно-променених прилад!в та . ламп-фар. силових нап!впров!дникових прилад!в, п'езоперетворювач!в енергП та акустичних вим!рювальних пристроГв. Результата прац! запроваджено в 1нженерну практику ВО "Мнескоп", ВО "1скра", HBO "Система" (м.Льв!в) та НВО "Перетворювач" (м.Запор!жжя); вони такой використовувались для читання дисципл!н спец!ал!зац11 та написания

€

навчальних пос!бник1в для студент!в факультету прикладно1 математики, як! спец!ал!зувались в галуз! математичного ыоделшашш.

Апробац1я основных резульшШв прац! була зд!йснена на. таких наукових конференц!я: X Всесоюзна конференц!я з теорП оболонок та пластин (Кута1с1, 1975), П-1Х ' Всесошзн!, школи-, сем!нари "Метод ск!нченних елемент1в в механ!ц! деформ!вних т1л" (Горький, 1975;. Кншн1в, 1977; Льв1в, 1979; Рига, 1981; Ки!в, 1983; Запор!жия, 1985; Челяб!нськ, 1987; Нарва, 1989), VI Всесоюзна конференц!я з електрошга-променевих та фотоелектронних прилад!в (Новосиб!рськ, 1976), П та Ш . Республ!канська конференц!я "Обчислювальна. математика в сучасноыу науково-техн!чному прогрес!" (Ки!в, 1978; Кан1в, 1982), IV та V Всесоюзна конференЩя з статики та динам!ки просторових конструкц!й (Ки1в, 1978, 1985), Всесоюзна школа молодих вчених "Теоретични! та прикладн1 проблеми обчислювально! математики" (Дрогобич, 1980), Ш Всесоюзна конференц!я з чисельних метод!в в теорП пруяност! та шгастичност! (М!асс, 1981), I та П Всесоюзна конференц!я з механ!ки неоднор!дних структур (Льв1в, 1983, 1987), Республ!канський симпозиум з диференц!альних та 1нтегральних р!вшшь (Одеса, 1982, 1987), I Всесоюзнйй симпозиум з математичних метод!в механ!ки деформ!вного твердого т!ла (Москва, 1984), Школа з теорН взаемод!! пруяннх оболонок з р1диною, газом 1 твердим деформ1вним т!лом (Казань, 1986), Рег1ональна конференц!я "Динам1чн1 задач! механ!ки .суд!льного 'середовища" (Геленджик, 1988, 1990), Школа "Чисельн! . метода механ!ки суц!льного середовища"- (Абакан, ,1989), Всесоюзнйй симпозиум "Взаемод!я акустичних хвиль з пружними т!лами" (Талл1нн,. 1989) та сем!нарах нроф.М.Зламала в Техн!чному ун!верситет! (Брно, 1983, 1990), проф.И.Нечаса в Карповому ун!верситет1 (Прага, 1983), проф.А.Ф.Ул!тка в Ка!вському. ун!верситет! (1987, 1992), проф.В.Г.Литвинова в 1нститут! механ!ки' АНУ (1992), проф.В.Л.Макарова в Ки1вськоыу ун!верситет! (1992). , проф. I.М.Молчанова в 1нститут! к!бернетики АНУ (1993), проф. 1.0.Луковського в 1нститут! математики АНУ (1993) та сем!нарах кафедри прикладао! математики Льв1вського ун!верситету (1978-1993).

Тематика дано! прац! була п!дтримана програмою "Математичне моделювання в наукових 1 техн!чних системах" Державного, ком!тету СРСР по народн!й осв!т1 (кер. О.А.Самарський), науковими

9е

програмами МШстерства осв!ти УкраЮТ (кер. Б. М. Бублик, М.О.Перестюк, А.Ф.Ул1тко) та програмою фундаментальних досл1джень Державного ком1тету по науц! та технолог!ям Укра1ни.

Публ1кацИ. Результати проведених досл1джень опубл1кован! в 74 наукових статтях та тезах допов!дей, склали матер!ал 4 учбових пос1бник1в, представлен1 в зв!тах ЦДЧ Льв1вського ун!верситету за 1974-1992 рр.

Структура та об'ел прац1. Дисертац1я складаеться з! вступу, п'яти роздШв та заключения; вона и1стить 242 стор!нку машинописного тексту, 19 стор1нок рисунк!в та таблиць. Б1бл1ограф1я включае 363 найменування.

КОРОТКИЙ ЗМ1СТ ПРАЦ1 1. В першому розд!л! дисертацН вивчаеться наступна початодо-крайоба задача термопрутост1 для матер!ал1в з короткочасною пам'яттю:

знайт вектор пруашх зл(щекь ^ ш

прир1т тетерамури в=в(х^) вЮносно телператури Гц ненапрухеного стану так1, що

"Сч - А) - "1з,з= 0

С 0' +

3.3 + гО»13е13

VI - О

в Ох (О,Г]

°13 = сЦктект(и) - + а«]пае1оп1и')

"1 = ' Нзв.3> еи(и) = 2 {и1,3 + "ЗД5

и^ = 0 на ГцхЮ.Л, гцсг, тез(ги)>0

(1.1)

'и

= д1 на гахЮ,Г], гд = гчги

0 = 0 на г0х[о,Г], г0сг, тез(г0)>О

= & на Г^хЮ.Т), гь = ГчГ0

и] = ид , и'| = у0 , е| = 0П |г=о ^ Ь=о и |г=о и

в Й.

Тут й - обмежена зв'язна область точбк х=

евшгёдового

. ......с-ЬК., . .. -

простору и" з неперервною за Л1пш1цем границею г,

одйничний вектор зовн1шньо! нормал! до г; р, се - густина маси та. коеф!ц!ент теплоемност! при пост!йи1й дефорнацИ в!дпов!дно.

В1дносно модул!в—пружност!—I , в'язкост! {а, I,

I I .1 I

теплопров1дност! 1 температурпих напружень

припускаеться, що вони волод!ють звичайними властивостями симетрИ -та ел!птичност1; р'- ■= = ' - • - "

--Тут 1 -дал1, де це не в!дзначено окремо, передбачаеться" Шдсумовання в!д 1 до п за 1ндексами, що иовторюються. За допущения

и0 е "7 = | V е П1(0)" | V = 0 на Гц | е б = | Е е гМа) I 5 - 0 на Г9 |

У0я Е = ¿2(а)п

1 6 X2со,Т;Н), ш е I2(0,Т;2), I = 12(Я),

Ь е 1г(0,Г;12(г )"), П е Ъг (0,Т',Ьг (Г ))

О П

(1.2)-

в!дносно даних задач! (1.1) сформульовпно настушу вар!ац1йну задачу термопружносх1.... ....- ... ' -.......:____

■ задано уо -(и ,е ->бУх(?, уоеЯ - • -—.;■-

та CZ.ii) е Бг(0,Т;7'хС); знайти пару у = (и,в)е1г(0,Т;7х0) тану, що _ .(1.3)

т(и-и),у) + с(и(*).т) -

- ьсот.у) - < кп.у >

з(0*(л,«) +.ь(еа).е) + = < к«,? >

УУ е 7 у^ е С

т(и'(0)-Уо, у) = 0, сСиС0;-ио, V) = О

з(в(0)-е-о,- о

Тут V та G' - спряжен1 простора до простор!в V та G

в!дпов!дно; -

m(u,v) = J pujyjäx. cfu,vJ=J c^^E^ruJe^fvjcte,

Q Q

a(u,v) = J a^e^ru^fvjdr.

Q

bfi.vj = J STijEjjWcir, VU.VeV (1.4)

Q

<1,ч> = m(i.v) + J SjUjdr ve.^eC

Го

3(9,4) = J CcT^ в&х, Q

Äfe.e; - J ^1xlJ0tl5jiJ(ix,

Q

<M,5> = J - J

Q Th

В якост! першого Крюку для побудови обчислювально! схеми

розв'язувашя задач! (1.3) використана нап!вдискретизац!я

Гальорк!на за просторовими зм!нними. 3 ц!ею метою ■ вибираеться

параметр дискретизац!! ft -» О I в!дпов1диа йому посл!довн!сть

ск!нченновкм 1 рштх простор!в апрокскмац!й Шя 7^-» со, din

со при h -» 0) 1з простору 7x0.

Якщо для конкретного вибору 7г>0 заф!ксувати деяк! базиси г -*dimVh с >dlmGh

^ V-Л та i5if простор1в 7Ь та G^, то в!дома процедура

Гальорк1на приводить до" задач! Кош!

Г w(t) + AU' (t) + cu(t) - BTrct; = l(t)

I ST-(t) + KY(t) + BJ(t) = F(t) VtefO,24

M-(Q) = 7q, OI(O) = UQ, SY(0) = 7Q (1.5)

для в!дшукання коеф!ц!ент1в Ud^lU^t)} та YCtJ^Y^t)) розклад!в нап!вдискретизац!1 Гальорк1на l*'h=^uh,0h-' в!дносно вибраних базис!в. Оск!льки

cwnenpwHi jsampuui /4={a(Vj,Vj.)},

(McfVj.Vj.)}, S={sC51,v;j;> та K^fefq.ejJ) додато Визнанен1,

то задача Кош! (1.5) однозначно розв"язуеться в!дносно вектор!в

иа) та У^), що в свою чергу приводить до однозначного в1дшукання наШвдискретно! апроксимацП Гальорк!на ^=(1^,0^) у вигляд!

(ИшУь (ИпЮд

«уо - .у ^' ^гг^ . 0ьа) - ) ^" и.т)-

для будь-якого Ь>0.

Б1льше цього, анал!з р1вняння балансу енергИ

гаг *

(1.8)

= <гт,\1^)> + <иа),вьт> vte<-o,г]. УЛ>О,

де

|?ь82 - + с(иь,ий) + з(вь,еь)|

та побудова належних апр!оршп оц!нок показали, що посл!довн!сть нап1вдискретних гшроксимац1й утворюе обмежену мнохину,. з

яко! можна вибрати зб!жну при Л -» 0 п1дпосл!довн1сть. Границя ч>=Ги,0.) тагам чином побудовано! посл1довност! задовольняе р1вняння задач1 (1.3) 1, отже, справедлива Теорема 1.С.1 (про коректн!сть задач! термопружност!)

За допущенъ (1.2) вар1ац1Сна задана (1.3) волод1е единил розв'язкол ц>-(и,р) вшил, що

иеБю(а, Т',7), ве1ю<-0,5Р; 2^(0, Т;в)

и'е^(0,Т1Н)(^(0,Т;Г), 0'€12СО,Г;С') (1.9)

и-е12(0,Т;7-)

I при цъолу

.¡»ал2 * * к * ц^!2 * |0О|2 *

(1.10)

+ | [ + ]йт |

Тут 1 дал! символи та К вживаються для позначення норм в спряжения просторах 1 р!зних додатних сталих, значения яких не

ХО

залегать в!д ва^гчпн, що пас ц1каапять.

Прл побудов! апр!орпих оц!нок швидкост! зб!;н:ост1 нап1вдискретнпх апроксинацМ припускаеться, що

просторп та С^ характеризуются (типовпми для методу ск!нчешшх елемент!в) властивостями:

для кокного Уе7пХ, Х=Як+1 С о.)п, к5:0,

знайдуться у^еУ^ та K=conзt>0 так1, що (1.11)

ьк+1-ш1у

¡V - Уь|п>£! * К71К+' ш|у|„. Ояик.

для кожного £евгр, ¡Г-^1 (а), ргО, знайдуться та так!, що (1.12)

5« " «ц1в<0 4 о^р.

Тод! ззстосуванпя певншл чином п1д!браних оператор!в орхогоаальдого прозктуваная па просторп 7Ь та та апал!з енергетичного р!вняння для похибкл ¿¡1Ct^=V|1(t^-t|>(t) дозволяе довести

Теорему 1.7.1 ( про зб!ш!сть пап1вдкскрзтшгх апроксимац!й)

Вехсй у=(и,в) - розв'язок зсЗач1 хзргопрухноап1 (1.3) £ биб1р посл10обноал1 простср1в {Т^хв^У для ОЮшукання наШбдисарелзшх апроксшацЮ у^Си^.р^.) забгзпечуе викснштя угх>в (1.11) ш (1.12).

ГаЗ{ посл1довн1апь зб1гае^ься при П -» 0 до роэв'язку

V задачI (1.3). Б1лъхе цъого, яедэ для Сетсих ц1лш К г 0 ш р г О вшопан1 вшиочеит

(1.13)

2 +

по :::3и.9:-;1с~ь гЗЬпюсгЛ потг&си. оц1нкою

ГО Я2 +

О

(1.14)

Г 1 t

* к Ь2к Г |у012 + у^(|и(3)ал2 + | ](х)12 сЗг)1

* ^ 1=Й X 0 X ^

а

1 t . h2P [ |e0|2 , ,eftj|| * ^ J dt]}.

te[0,T]

Для завершения дискретизацП задач! термопружност! (1.3) 1з

використанням апроксимац!й

»

uhrt>n - u2ft;iuJ + üt«ft;[i - oit)iv3 + u2fiju3+1

ebft)all - uftjle3 + Bftje^1, (1.15)

Ät-tj+r t3. на [t3,i3+1]

запропоновано одаокрокову рекурентну схему Шегрування в час! нан!вдискретизовано1 задач!:

задано крон {шегрування bt>О, паралетр у>0 ma mpiOtcy ^О^.и^.е-Ье^хУ^хС^;

знайт npiütcy vJ+1=cvJ+1 .и3"1"1.О3"1"1 JeVVGh шшу, що

j4 г J+1 1 J+1 Л

m(v ,v) + rü«a(v c,v) + ¿ütc(v ,vn

(1.16)

1 H

- >Utb(e ,v) = rafv-'.v; + (i - jJitafv^vJ

+ 1),V> - cfu3,v)j vve7b

j4 J4 1 j4

s(e S?) + .?) + ¿ütb(5-v J

= sie3,?; + Cy - 2 Mtife3,?) + ^ At<n(t 1),?>

v3+1=2v''+z - v3, u^1 =u3 + ¿tv^2 6 Gh

03+1=2eJ+? - e3, J=0,1.....N

Тут тр!йка ifpm=fvm,um,0raJ анроксимуе значения UjjftujJ.ejjfij,,;) в момент часу tra=raüt, m=0,..,N+1, (N+1 Ш = Т.

Внасл!док леми Лакса-М!льграма система з двох перших р!внянь

з4

схеми (1.16) мае единий розв'язок (V ,в ). Зауважимо, що структура дискретизованих в час! р!внянь термопружност1 (як 1 для вс!х розглянутих нижче клас!в задач) е характерною для класичних зм!шаних вар!ац!йних задач; алгебра!чний залис цих р!внянь приводить до системи, матриця яко! е сумою симетрично! додатно визначено! та антисиметрично! матриць.

Завдяки апроксЕыац!ям (1.15) однокрокова схема (1.16) (на в!дм!ну в!д кЛасично! схе>£1 Ньсмарха) дозволяе точно задовольнпти вс! початков! умови 1 виконувати !нтегрування в час! з! зм!ншпл кроком. Б!льше цього, вкб!р вузлових значень швидкостей зм!щень

з4 з4

7 та приросту температуря ев якост! розв'язку систем л!н!йних алгебра!чних р!внянь схеми (1.16) приводить до максимального спрсщення процесу рекурентного обчислення правих частин цих систем.

В!дзначено, що безпосередне застосування методу ортогональних нев'язок для побудови схем 1нтегрувашя в час! зм!шаних вар!ац1йних задач завжди супроводжуеться порушенням механ!зму обм!ну енерг!ею м!к зв'язаними полями ф!зично р!зно! природи (в даному випадку - взаемоперетворення механ!чноТ та теплово! енергИ). Представлен! в (1.16) р!вняння виражають собою регуляризац!ю згаданих проекц!йних р!внянь !з використанням селективного !нтегрування член!в енергообм!ну. Цим самим вилучаються дисбалансн! складов! енергетичного р!вняння ц!лком дискретизовано! задач!" 1 з'являеться можлив!сть зд!йснити енергетичний анал!з ст!йкост! та зб!кност! схеми (1.16).. Зокрема, вживаниям норм

5к1И|2 = {вг^.у®; + с(\1т,ит) + зсега,ет;}

(1.17)

|/|2 = {а^,^ + кСвт,еш)}

I розклэд!в в рздп Тейлора для похибки апроксимац!! в час!

еа - Гха,еа,рп;

- ^ - - М-* - (1 -18)

побудовано апр!орн! оц!шш вигляду

Sc^l2 ♦

ш 4.1

+ (7 + \ + } И.19)

m=0,1,...,N

де посл!довност1 л1н1йшх функц1онал1в (Cj), (Ej>cV" 1 <Dj}, <Pj}cG' , якщо

UjjeC^fO.rsVjjJ, ejjeC^fO.r^jj; (1.20)

Теора:.и 1.8.1 (про o3i~lc7i> c~k^gi;oi;.o1 рекургнтЕо! czc?=m)

Еахай - ртзЗ'йзо:; ? iird 6Suciv~c~ ю i caScr-it

mepAonpymomi.

Todi одиокрокова рекуремша схет (1.16) е безуловно (бЮносно бибору кроку йгаегрубшшя üt) cmiflKoa для 6cix зночень (1 параметра

т * g (1-21)

i единил чияол вигначае при tt ■* 0 зб!кн( 61бносно норя (1.17) апрокашщИ уИ Оля розб'язку Б1лыае цъого, ягодо на водаток cnpaSeöJiuSl б гмэчетсгк (1.20), го похчбш гщх сспрокашщШ ггараготеризушъся оц{няояи (1.19). Овите, лаксиладький порядок mövdKOcmi 3ÖisHocai Оосязагаься виборол у = ^ + Cüt, C=const>0, i бия цього випадну

m 3+i

Je11""1!2 + ÄtV^le ™|2 s Km4 (1.22)

2. В другому розд!л! дисертацИ побудовано наступну лоделъ п'езоелетртнш прутих mljt з ненульовою електрнчною пров!дн1стю

знайтл öetsnop пругних згЛцснъ от елетричний nomsuuicu p=p(x,t) maai, що

p(U£ - f±) - o±it3 = 0

®i,m + Jm.m " 0

в Qx(0,T]

°1з = cljkmekra(u) - ekl3Ek(p) + aiJtoneKm(u'> iV

®к - ек«£и(и) + экА^ ЫР> - - Р,Ш- ^ - 2кА

(2.1)

и^ = 0 на гцх(0,Л, Гцсг, шез(гц)>0

"1?3 = НЭ Гах[0-Л' Га " ^и р = О на Грх[0,Т], Грсг, г>.ез(гр)>0

* К = 0 на Г„к[О.ГТ. Г„сГ,

гр = 0

Н * К* - 1 на 'о-1,3

ге

- "А<"Р>к = 0 на гех[О.Л, г0=гчгЙигу и| =1и , и'| -Уп , Р| -рп В О.

Тут на додаток до ран!ше втсористаних позначень символи {э^} та зарезервовано для п'езомодул1в,

д!електричних проникливостей та електричних нров!дностей п'езоелектрика в!дпов!дно; при цьому припускаеться;' що тензор п'езомодул!в е симетричним За двома останн1ми !ндексами, а обидва тензори О^} та {г^} симетричн! та ел1птичн1 одночасно.

2.1. За допущения, що дан! задач! (2.1) задовольняготь (ц!лком приг!дн! для застосувань) умови

ЦдеУ, ЧаеН, Ге12(0,Т-,Н), 5е12(0,Т;12(Га)П), 1е1Г(0,Т),

(2.2)

Р0еЯ = |деН1 (Й)П I Ч = 0' на Гр,

ЕСд) - = О на ге|

сформульовано в!дпов1дву (2.1) вар!ац1йну задачу п'езоелектрики: задано ^(^Ро)*7*®' у0еВ (1,г) б2?С0,Г;7'*в');

о

знайти пару (р=(0,р)е1^("0,Г;7хд) току, що гд(и-(*),у) + а(и*(1),у) + с(и(П,у) - (2.3)

- е(рШ,у) = <1(П,у> э(р*(ю.ц) + + егд.и-ш.) - <гш,д>

т(и'(0)-У0,ч) = 0, сСи(0.)-и0,у; = 0, ууе7 эСрео;-р0,ч; = о, удеч,

де на додаток до (1.4) вжито таких позначень

о

э(р,ч) - | э]Я[р^(р)Ет(д№, ууе7

о (2.4)

^Ср.д; - | г^в^к(р)Бт(д;сЬг. уде<г .

а

<г,ф> = 1д|г I 1е

2.2. В прац! показано, що для пов!льно зм!нних (або ц!лком

пост1йних в час1) нввантажень, реакц!я п'езоелектрика визначаеться

розв'язком вар1ац1Йно! задач!:

знаОши пару ч>=(и,р)е7хд шоку, що

с(и,у) - е(р,у) = <Х,у> уу е 7 (2.5)

э(р,д) + е(д,и.) = <г,ч> удед

Тут на в!дм!ну в!д означення функц1оналу г в (2.4)

<г,д > = | реяй1 + ржд|г уде<3,

с 6

де ре, - в1дом! розпод!ли електричних заряд!в в област1 о та на електрод! ге.

Теорема 2.2.1 ( про екв!валентн!сть вар!ац1йних задач)

Вар1аЦ1на задана (2.5) екб1бсиенота заданХ про Мдлову точку

знайти пару ч>=(u,p^eVxQ таку, що

Ъ(м^) * 1(а,р) '< 1СУ,р; . у(у,д;е7х0 (2.6)

квадратичного функц1оналу

= - з(д,д)У ~ (2.7)

- <1,у> + <г,д> Ящо при цьолу розб'язок ф.=Си,р} задач1 (2.5) 1снуе, то

Ци,р) = ^эГр.р.) - сСи,и;| + еф.ц;

Насл1дком леми Лакса-М1льграма е Теорема 2.2.2 (про коректн!сть вар!ац!но! задач!) Пехай

Ъе1?<Га)а. |р,|<+Ш (2.8)

Го9{ бар(ац(йш задана п'езоелешкрики (2.5) ¿пе единил розв'язок ф=(и,р)еУ*(1 аакий, цо

М =|сси.и; + э(Р.Р)}7 * + ¡г|2|г (2.9)

Яйцо режим робота п'езоелектрика не призводить до появи нелокально! крайово! умовн (тобто Г0=0), то розв'язок задач! (2.5) можна зд!йснити вживаниям стандартних апроксимац!й методу ск!нченних елемент!в. Хоча коота така апроксимац!я вже не буде найфащим (в сенс! енергетично! порми в - о) наближенням, тим не меншв мае м!сце

Теорема 2.2.3 (про апроксимацП Гальорк!на)

Пехай р~(и,р)еФ=7х(3 - розв'язок задачI (2.5) 1 нехай посл(довн{сть апроксихацШ Гальорн1на що будуешься у

ск1кченновил1рних просторах £з Ф, як( володЬапь нплегншш.

вмютвосвши щ1льиост1. То01

(!) для кожного ф1щ:ованого Л>0 апрокашщ1 я ф^еФ^ однозначно визначаеться розв'язкоя сисшвш р16нянъ ТалъоркЬю. з додато визначеною (аяе несилетринноо) лхярицею;

(11) посл1довн1сть {у^} зб1гаеться при 7г -» 0 до розв'язку <|> зaЭaчí (2.5); б1лыае цъого, ящо

¥>еФПЙк+1('о.)п+1 (2.10)

для деякого ц1лого йгО, то ложна побудуваш. току посл1довн1сть {ф^} простор1д апроксшкщШ летоду ск1нченних елеяенпИв, що зб{хн1сшь {1(1^} буде харашеризувашись оц1нкою

!№ - ч»ц| * ®11с1И1с+1>0 (2.11)

//

1з K=const>0 , 40 не sasesus» 6iô h ш v>.

Для розв'язування задач п'езоелектрики з нелокальною крайовою умовою (характерною для механ!чного навантахення п'езоперетворювача 1з роз1мкнешши електродами) на простор!

Q°=jqeff1(Q)n | q = о на гр| визначаеться б!л1н1йна форма

r(p,q) = J | ^fpj - VP-'Vk} E^CqjdT vp.qeQ0, Г8

яка дозволяв дата нове озвачення простору Q, а саме

Q - (q е Q0 | T(q,q) - □>, ! сформуливати посл!довн!сть регулярнзованих задач п'езоелектрики

задано cconst>0, le?", знаОяи пару ^=(ue,p£)e«0=VxQ° паку, цо c(uc,v) - e(pe,v) = <I.u> WcV (2.12)

3(pE,q) + e(q,uEJ + e~1?epe,qj

= J pBqdi + mes-1(Tejp, Jqdr vqcQ° Q Г

Вжита тут регуляризац!я задач! п'езоелектрики (2.5) мае яоний ф!зичзий зм!ст - задача (2.12) описуе повед1нку п'езоелектрика, електроди якого волод1ють електричним опором порядку величина е. Б1дьше цього, справедлива

Теорема 2.2.4 (про зб!зш!сть регуляризуючо! посл!довност!) Еехай виконано улови аеорели 2.2.2.

Todi nocuidoÔHciab розв'язк 16 {»|е)сФ0 регуляризованих задач (2.12) при с -» 0 зб1еаетъся в npocmcpl до розв'язку уеФ задач1 (2.5) i при цьолу

- | s КЕ|р,яез~1 ГГ0; + Djiu.p^l^j. (2.13)

На в!да!ну в!д задач! (2.5) кожна 1з регуляризоваяих задач (2.12) п!ддаеться розв'язуванню стандартною техн!кою методу ск!нченних елемент!в ! при цьому мае м!сце Теорема 2.2.5 (про зб!ш!сть апроксимац!й регулярнзованих задач)

Пехай феФ - розв'язок зadani (2.5), принолу для детого tel вшонуеться улова (2.10). Еехай в1дпов1дно до цього & пари знагобшъся як апроксияацИ Галъорк1па регуляризованих задач (2.12) в ск1нченновил1рних просторах з

влаапивостят

iZ

для кожного 9ЬеФ°пЯ1с+1Со.)п+1

знайдуться ^бф^ та К=сопз^О так!, що (2.14)

То01За улови, чо

—1 ?1г

е Л -» 0 при е -» 0 та Л -» О, юсл10овн1акь {*>£} з/Нгаеться до роэв'язку » эадан1 (2.5) I в {ьолу випавку

IV - * Ие|р,иёз"1<тв; + Р1('и,р>1|^г

+ Л2к(1 + 0 (2.15)

2.3. В!дносно важливо1 для застосувань задач! про в!дшукання змпл1туд усталених вимушених коливань п'езоелектрика

задано кругову частоту и>0, (I,г)е7'хб'; знаОти пару *=(и,р)е7ед пану, чо - иги(и,7) + (иа(и,у) + с(и,у) (2.16)

- е(р,у) - <1,У> УУеУ {ыэ(р,ч) + г(р.д) + ^(д.и) = <г,д> уцед

(оведена

Георема 2.3.1 (про устал8н1 вимушен! коливання п* езоелвктрик1в) Для Оудь-яких знанень круговых частая й>0

(I) Вар1ац10на задана (2.16) те единой ^озб'язок р, принояу

♦ 0"1|р]2| ♦ <Г1|1§*}2; (2.17)

(II) коеф1ц1енш розюаду. апроксштИ Галъорк1па ^ за 'юзисод простору Ф^ единил чинол визнанаххпься сиапето р1внянъ з >одсшо Визначеною лшрицею

(II!) За налегтого Вибору {узгодяеного (з запасол гладкост1 юзв'язку 9 задан1 (2.16)) простор1В посл1довн1аяь апроксшххцШ д^} зб1гаеяься до розВ'язку V задачI (2.16) I при цъдму лшахжься \ipmm оц1нки ивидкост1 зб1гност1 Вигляду (2.11).

2.4. Нестац!онарну вар!ац!йну задачу п'езоалектржси (2.3) арактеризують

еорема 2.4.2 (про коректн!сть вар!ац!йно! задач! (2.3))

При допут^еннях (2.2) про дан1 задачI (2.3) знайдеться едина ара ф=(и,р) пака, щч забободьняе р(бняння ц1е1 задан1 I Волод1е ласшВостяхй

VElfCO.Ti*), p'eZ?fO ,T-,Q-) (2.18)

u-£L°(0,T;E)[\l?(0,Ti7), U"eLZ(0,T;7-)

(Ii)

IgflvftJI2 + IvftJI2 - <l(t),U'(t)> * <r(t),p(t)>

Vt> О

de ' ■

|<?Ш| - |«(u4t).u4tjj+c(u(t),uftj>»(ptt),pftj)j2

r 4 (2-19)

1»ал ■- |crtu'(t),u-a;j + zip(t),p(t)Ad

Теорема 2.4.3 (про зб1жн!сть над!вдискретних апроксимац!й)

Нехай v=(u,p) - розб'язок aadani (2.3), приложу для деякого натурального жать л1сце внлтення

u,u' ,u-el£(a,TiVfiJ)3 (Mffk+1f 0ЛП р,р'е1?(0,Т;0гр), r=ffk+Voj Припустило шш, що простора апроксшюцШ 4^13$ бибрано такия чинол, що виконуеться улова (2.14).

Todi nocuidoÖHicab шт1вдискргпшх апроксижщШ Тальорк1на ^fujjftj.pjjftj; при h -» 0 зб1гаеться öo розв'язку v(t) sadmi (2.3), принолу lUÖUdHiCIUb 3ÖiKH0CBli похибки Ajj(t)=v(t) -характеризуешься такое оц1нкоо

IV^I2 + jW^ f 0

i Bi^llfft^ik+I.Q * (2.20)

+ ^[ipftily + |иЧтЛ§ + |u-fTi|g ]}, Vt>0

Для чисельного 1нтегрування нап1вдискретно1 задач! п'езрелектрики побудована наступна однокрокова рекурентна схема:

задано üt,7=const>0, ip;'=('v'',u;',p;'.)e7j1x$j1;

знайти mpitUcy ,u-'+1. в^Ъе^хФ^ тку, що

rüt|a(vJ+?,v) + ^ütc(v3+z,v)| 1

- ¿üte(p Sv) weVb

(2.21)

vq 6 Оц

Георема 2.4.4 (про зб1жн!сть рекурвнтно! схвми)

Пехай розв'язон v^fUjj.Pjj.) нал Í вдискрето i задач i г'езоелектрики такий, цо

UjjeC^CO.T'.VjjJ, pjjC^CO.T-.QjjJ,

I при цьолу функцИ y=Cvn,um,praJeVj1xOj1 визнакахшься схелсю (2.21) i вузлах cimau tm=mbt, m=0,...,N+1, üt(fh-1)rT. Toa i справедлив i Hacmymi ибердвення.

(I) Схела (2.21) безуловно ШОносно выбору величина крону 1нтегрування üí) crnlQsa в cenci норм.

IjA - ^.V111; * crum,um; * з({Р,гР)

+ ¿t^ [arvJ+2,vJ+2; + 2CpJ+2.pJ+2;]}2, (2.22)

шцо tí паролеmp у задовольняе улову

т г 2-

(II) Ягсщо выкопана улова cmidHocmt, то значения у™ при üt -» О зб1гашься вЮносно норки (2.22) до значень Cu¿ftn];,Uj1ft1D;,ptlfím;; £ похииОка

ега = fv"1 u¿rtra;,um - VV^ - pb(tm)) трактеризуеться наступною оц1нкою швидкост1 зб1хноап1

= rafv^.v; + (i - ^)tta(v^.v)

• + ¿üt|<l(t^),v> - cCu^.v;}

э (pJ+Z.g) + r¿tz(p ,q) +

-3 fpJ * Í7 - jMtzCp^.qJ + T¡&t<r(t 1),q>

1 l^ VJ+1 = - v3, uJ+1 = u3 + ütv*^

= 2pJ+? - pJ. J=0.1.....N

(е®*"1|2 + (1 - ^{¡е®*1! + - и-а^л!

* кгд^/сг - 1)г\\%-\га + Ш2« 1 <2-23>

ш .

+ * ^З1*]}' 0=0.....Ы

Тут К=сопз1>0, значения яко4 не зсиежшь 613 ша (

СВ^.С^еФ' - Сеяк1 функц1ошли, що залегать 61д и^ I р^ га 1х похЮних по часу до четвертого та ■ третього порядку в(впов1дно. Отхе, оплшюлъний порядок зб1жноса1 схеяи (2.21) дор1вняе двоя I досягается за выбору C=conзt>Q.

В1дзначаеться, що отриман1 в розд!лах 1 та 2 результата можуть усп1шво використовуватись для досшдасепня та побудови проекц!йно-с1ткових схем розв'язування задач п!роелектрики.

3. Трет1й розд!л дисертацИ присвячений задачам акустично1 взаелодИ прухних ти з( стисливою р1диною. За допущения, що' пружне т!ло (в1дпов1дно р1дина) займае обмежену область п (в1дпов1дно 0) в кп з неперервною за Л1пшщем гранщею г (в1дпов1дио Э) . та гс=гпЭ - поверхня 1х контакту, вивчаеться наступна початково-крайова задача:

знайти вектор пружних зМщень ^^(хД)^ ^ и 1ла

та папенц1ал швиЗкоаяей чм>{хЛ) р{0ини шк1, по

"И - н) - "13.3 = 0

°13 = с13кюект(и) + ^к^кт^ в ЙХ(0'Т]

'13

(и) =

1

{и1,3 + и3.1]

—- 1тг V Л -х В Ох (□,24

= 0 на ГцхГО.Г], гцсг, шез(ги)>0 аЦ"3 = на гох[0'Т]' госГ 'гоЛги=0'

(3.1)

= на rcxI0'r]' r(Tr4ruurV

«1 = 0 на S^xtO.T], S^cS, mes(Sv)>0

= P,v на Svx[0,n, Sv = S4(Sfürcí

u| = Un , U'l = V0 В Q

|t=o ^ |t=o u

= Vn . V' I = í>n В D

t=0 u t=0 u

Тут (на додаток до ран!шз введених позначень) рг та ся -

густота та свидк!сть звуку р1дтпт в1дпов!дно,

одпштчшД Ез::тср соеп1епьо* порглал! до ncBspxni S.

"СИУСПСГЗЧИа ПО ЗЗДСПО 1Т"П'СТГТи*™С™ПЛ Та HC4qTKOBÎ доп! для р!дпни задовольняють умовл

»0

Ф = I V е Я1 (23) I ф = 0 на Sv I

çq £ G = L2{D)n, X e 12(0,Г;С) Ф e I2(0,7;I2(SV))

(3.2)

(3.3)

цосл1дпуеться наступпа вар!ац1ппа задача акустпчно! взаемодП

задано w0=(UQ,t/i0)e7x<¡>, y0=(v0,p0JeffxG, ?

знаОжа пару w=(u,v>)el' (0,Т\Ухф) шоку, що

m(u"(t),v) + a(u'(t),v) + c(u(t),v)

- b(v,v(t)) = <ï(t),v> IJ(p"(t),ç) + eo(v'(t),<p) + b(U' (t),ip)

+ a(v(t),<p; = <X(i),ï» rafu40;-v0,v; = 0, cfufOj-UQ.vJ = 0 li(v' (0)~V>Q,<p) = o, cxCvCO^-tfQ,ï>J = 0 Тут на додаток до ран!ше вжитих позначень

b(v,qi) = J çV^U^dl, VVe7

VV e V

Vp e 7

(3.4)

<*(4>зф) = | V JP ^Зх, Б

<Х,(Р> = | Хрйх + | ФрСУ^.реф

В Зу

та c.=const>0 розглядаеться як параметр регулярпзйц! I задач! акустично! взаемодН; при е=0 задача (3.3) вщхдаусться до в1дпов!дно! (3.1) вар!ац!йно1 задач!.

Правоы!ра!сть тако1 рзгулярпзац!I обгруптовуать наступн! результата.

Теорема 3.2.1 ( про розв'язуван!сть регуляризовано! задач! акустично! взаемодП) Для кожного фШсобаного значения параметра с>0 задана (3.3) допускав единый розв'язок »е=("ие,<р£;, причолу

(О,Т;У), у=7хф

та

и£е£2(0,Г;У')

|ш£|2 * | \и-с(х)\гйх

(3.5)

(3.6)

де

* к | ¡«Стл^ь о

¡и!41 = т(и'.и') + ц(«>'Ж) + с(и,и) + <х(ф, V) р

|У/|С = а(и,и) + са(у,«>)

Теорема 3.2.2 (про коректн!сть вар!ац!йно! задач! акустично! взаемодП) Нехай ка додаток до гШотез (3.2)

<>-еЬг(0,Т;1?(8ч)) (З.Т)

Тод1 при е=0 1снуе один I лшг один розв'язок к'=(и,у)) задач{ (3.3) такий, що

weLmCO,Г;П, ш~е12(0,Г;Г')

(3.8)

2У

Теорема 3.2.3 (про зб1ш!сть регуляризуючо! посл!довност1) Нехай вшонано улови попереднъо1 теореш i wpiA цього

r^(O.TiY-),

Todi nocAidoeniaub {w£> роз0'язк(б регуляризоваких задач (3.3) при с -* 0 зб1гаеться до розв'язку \з=(и.ч>) заван1 (3.3) з е=0 1 при цъолу

|w rt;-wct;i2 + Г |w:fTj-w'a;|2dT е о t (3-9)

s ej а(ч'(х),р'(х)йх О

Доведешя коректност! Bapiaqlftnnx задач акустичЕо! взаемод! Г зд!йснено з використашям апр!орних оц!нок (у випадку е=0 застосовуеться лема Гровуолла) для нап1вдяскр8тштх 8проксимац1й Гальорк1на. Зокрема, для чисельно! реал!зац11 останн1х мопсе вниватись один i той же клас Сазнсних функц1й катоду ск!нченних елемент!в як для набликення компонент зм!щень пругиього т1ла, так 1 потешЦаду швидкостей р!дини. В такпх вппадках мае м!сце Теорема 3.3.1 (про оц!нку зб1гаост! нап!вдпскретних апроксимац!й)

Нехай w£(t) - розв'язок задачi натуральне ft гаже, що

(w0,y0)ew=ffk+1(Q>xffk+1

Припустило покоя, и;о проспори

(3.3), причояу знаОдеться

(3.10)

в Я1ШЗГ волод1ть

Мдиуковуться власитвостяш

нап1вдискрет1 апроксшхщП вигляду (1.11).

Todi посл1довн1спь (w^ft.)} зб1гаеться при h -* О до розв'язку задан1 (3.3), принолу похибка нап1вдискренизаца

*c(t)

e=w£(t)-w£tlCt) характеризуется оцЬжия

IV^I + f \^(г)\гйт

s т

2k{iy0i

w

w

Лт+1)

CrJD

(3.11)

H

VtelO.Tl.

Для 1нтегрування нап1вдискретно! задач! акустично! взаемодИ

•2S"

поДудовазо одиэкрокову рекурзнтжу czsirj, квадратпчну апроксшац!ю

тс з B.tKopiicxo3yc

ШеЬа{1 - a2(t))W3 +

+ Atuft;<i - uftjjs3 b>(t)=(t - t^J/At, At=t

на [t3.tj+1]

(3.12)

J+1 "

Яйцо црзначкти через (P®,Vm) та (7я,f10) коефЩенти розтшд1в. u/n=Cum,vmj та sm=fvm,pmJ за вибрашш базисом простору та

побудована cxe;.;a use наступну алгебраХчпу структуру

задало параметр;! c,&t,p,i^const>0 зпа^ниарг. U/^+b,

так1, цо

- ^tB

HAtB

= ¿At

Ut+6t{ie+2btp)At

иП

A A

(3.13)

Г73

Fd

27

Теорема 3.4.1 (про ст1йк!сть та зб!ка!сть однокроково! схеьга) Пехай - розб'язок задач! (3.3), причолу

гв

с

о

о

рилусшло шко», що бдя троксиюцИ значень С* а допологою схехи (3.13) в1дшуковуться (иР,^), т=0,..., N+1, г (К+1 )=г.

ГсхН справедливI нашути твердхення.

(I) За улови, що паралетри р та т схехи. (3.13) задовольняххпъ ер1вност1

Р *. т * 2 (3.14)

хела (3.13) безуяовно ст1йка вЮносно норжи ||.

(II) Яш>' виконаШ улови стИ1коап1 (3.14), то значения шга,зм.)еУ^ при Н -» 0 зб1гахт>ся до значень. ^ъ^ш^ '

видкХст зб1гсност1 похибки йт=Сет,рт;=Гшга - щеЬат;,зт -зраюлеризуешься оц1нкою

|Ага+1!2 * Д^ * Д^ЛРУ

■■ (3.15)

+ 2^2|ср - 7ЛРш|| * (1 - ВР3+2|||

* кт2 + Д*2!^!«]- т=0.....N

з М§=с(и,и)+а(у,ч>), Р^.Й^еУ та Е=сопз^0, значения яко4 не иехть 616 ^ та

4. Четвертой розд!л дисертацИ присвячений досл!дженнго задач [дроелектропружност!, як! вивикають, зокрема, в практиц! эоектування електроакустичних 1нформац1йно- вим!рювальних жстро!в. Яшцо такий пристр!й складаеться 1з пружного електрично зйтрального т!ла, стисливо! р!дини та п'езоелектрика, як! зймають в простор! к11 обмежен! облает! о.,, о2 та °з в!дпов1дно, ) анал!з характеристик взаемодИ акустичних та електричного пол!в такому пристро! можна виконати за допомогою розв'язку наступно! ¡р!ац1йно! задач!:

задано (и0,?0,р0)е7хФхд та (У0,<р0)еНхР;

знаОт вектор зл1щенъ пружнха т1л ие12С0,Т;7) потенц1ал швидкостей рЮини ч>е12Г0,Г;Ф) та електричний потенц1си ре12С0,Т;б) п'езоелектрика так1, що (4.1)

т(1Г(П,у) + а(и-т,у) + c(u(t),v) -

- Ь(у,<|)'(Ш - e(p(t),v) = <l(t),v>

<j(«>"(t),ç>) + b(u'(t),p) + ea(v'(t),p) -

+ a(*i(í),pj = <X(t),p> 3(p'(t),q) + z{p(t),q) + e(q,u'(t)) = <r(t),p>

ш(а- (0)-yQ,4) - 0, cCuCO^-Uq.vJ = 0 vv e 7

ft(v'(0)-90,p) = 0, afvf0;-vg,!)j = 0 V(P e Ф

3(p(0)-pQ,q) =0 vq e Q

Тут

7 =

Ф = Q =

veffVo^g)11 I v=0 на r^Ur^j peff1(аг)'I 9=0 на r^j qeff1fQ3; I q=0 на ф

И = I2fQ1UQ2;, F = L2(Q3)

E(q}-»\(q)»l-О на r^j

cCu

afu.vj -

гх - границя облает! Ojj r^Q^Qj, 1<;J, 1,3=1,2,3,

í в пор1вшшн! з понзрздгШлп позначеннязл зм1нп вноситься липз Д! визначення сгладоЕпх р1взяЕпя руху прущих т!л, а саме

mfu.vj « ) ' J p1u1u1dr, Т^ТТз qx

TZ I oijtoi'ljMW**1*'

b(v.ç) = J çUjPjdir + J py^dr, vpe®

r12 r23

<l-v> = TZ ÍJ "Л^ * J, ôivl•

to r¿

(4.2)

В1дзначаеться, що використання нозначень

2.8

Г = 7хф, и =

Н(ш,у)=т(п,у) + ц(у,р)

Ае(Ш,у)=а(и,Ч) + еа(у,ф)

С(Ш,у)=С(\1,У) + а(\р, ч>) Чу=(Ч,<р)еУ

В(10,у)=Ь(и,ч>) - Ь(у,ч>) удеб (4.3)

<Ъ,у>=<1,ч> + <х,<р> >зволяе записати задачу (4.1) в нзступному вигляд! задано (и>0,р0)£Ух(1, у0Е.и

знаОш пару (1в,р)£1?(0,Т1¥х(2) току, що м(иг(г),у) * ле(гя-а),у) + с(иа),у)

* в(т-н),у) - в(ра),у) = <т),у> (4.4)

з (р-(г),ц) + г(ра),ц) + в(яжа)) = <га),$> Ы(ш-(0)-у0,у)=0, С(т(0)-Ю0,у)=0. чуеУ э(р(0)-р0,ч)=0 уде(3

В наведеному запис! структура вар1ац!йно! задач! дроелектропружност! -(4.1) сп!впадае з структурою вар!ац!йно! дач! п'езоелектрики (2.3) 1, отке, II анал!з може бути втсонаний позиц!й вжитих ран!ше засоб!в п.2.3. Так, за прийнятих в зд!лах 2,3 допущень в!дносно даних задач!

(!) встановлено однозначну розв'язуван!сть вар!ац!йно! задач! дроелектропрузхност! про вимуиен! усталей! коливання; (11) доведено коректн!сть вар!ац1йно! задач! (4.4); (!!!) розглянуто нап!вдискретизац!ю Гальорк!на за простровими 1ншши задач! (4.3), доведено зб!жн!сть нап!вдискретних роксимац!й до розв'язку задач! (4.4) 1 побудовано оц!нки вдкост! зб!хшост! енергетично! норми похибки нап!вдискретизац!1 типового для методу ск!нченних елемент!в вибору простор!в роксимац1й 1з У*(};

(IV) под!бно до схеми (2.21) запропоновано консервативну зокрокову рекурентну схему 1нтегрування задач! (4.4), гановлено достатню умову II ст!йкост! та побудовано апр!орн! [нки швидкост! II зб"1жност!.

Зд!йснений анал!з задач! г!дроелектропружност! !люструе клив!сть 1 можливост! одержаних в розд!лах 1-3 результат!в при зченн! р!зноман!тних задач взаемодН. В1дзначено, зокрема, що

застосування результатов розд!лу 1 дозволило б виконати анал!з теплових ефект!в в електроакустичних пристроях.

5. П'ятий роэд!л роботи присвячений питашшы npospamol peaxisauli проеацШяо-с1жових схел дия задач взае/юдИ та результатам чиселыгаго досл!даення прикладних задач.

Сск1льки застосування рекурентних схем приводить розв'язування початково-крайових задач до посл!довного розв'язування одвотшшпх крайових задач, то в к!нцевому рахунку ефективн!сть проекц1йно-с!тково1 схеми визиачаеться усп1шош реал!зац1ею процедура Гальорк1на.

В дан!й робот! для цього вживались !зопаранетричн! (б1л1п1йн! або квадратичн!) ацроксинацИ на с1тках 1з кривол!н!йних чотирикутних ск1нчениих елемент!в. Шсля вибору бажано! апроксимацИ раз 1 назавади табулшться значения базисних функц!й та 1х перших пох!двих. (в лоКальних координатах) у вузлах квадратури Гаусса; тод! обчислення доданку (в!д розглядуваного вузла чи ск1нченного елемента с!тки) у в1дпов1дний коеф!ц1ент системи р!внянь МОЕ зд1йснюеться п!дсумовуванням значень п!д1нтегральних функц!й у вузлах квадратури. Для м!н1м1зац!1 обчислень перед початком такого п!дсумовування (знову таки один раз для конного ск!нченного елементу) обчислюються 1 запам'ятовуються значения якоб!ану переходу до локальних координат у вузлах квадратури.

Формування систем р!внянь МСЕ зд!йснюеться двома способами. Яйцо в основн1й пам'ят!" ЕОМ можна розм!стити групу р1внянь, к!льк1сть яких не менша ц1вширини стр!чки ненульових коеф!ц!ент!в матриц!, то обчисляязться одразу вс! коеф1ц!енти, що утворюють ненульов! доданки в систем! МСЕ в!д розглядуваного ск!нченного елемента; формування р!внянь виконуеться до тих nip, доки вони можуть бути записан1 в основну пам'ять ЕОМ, п1сля цього зд!йснюеться прямий х1д виклшчеяня за Гауссом або факторизаЩя Холецького по вс!х т!льки що сформованих р!вняниях та 1х перенесения у зови!шню пам'ять. Цей процес повторюеться доти, поки не будуть проглянут1 вс! ск!нченн! елементи триангуляцИ; п!сля цього зд1йснюеться обернена п!дстановка Гаусса або пряма та обернена постановки Холецького.

У другому п!дход! проглядаеться група тих ск!нченних елемент!в, як! м!стять розглядуваний розрахунковий вузел триангуляцИ, 1 на них обчислюються лише т! доданки, як! суттев!

ЗО

для формування р!внянь згаданого розрахункового вузла. Переваги цього п!дходу стають особливо наочними для великих значевь ширини стр!чки (або фронту) нвнульових коеф!ц!ент!в матриц!: розв'язування системи р!внянь зд!йсниме, якщо в основн!й пам'ят! вдаеться розм!стити хоча б два ц!лком сформован! р!вняння системи «СЕ.

При розв'язуванн! систем р!внянь (ЖЕ перевага в!ддаеться методу Гаусса або, якщо це мсшгаво, методу Холецького. 31дзначаеться, що при анал!з! усталених коливань п!сля прямого юду Гаусса можна визначити к!льк!сть резонансних частот цискретно! модал1, що лежать нгокче винушувчо! частота (кр!м цього, задаючи р!зн! частота збуження могна при бажанн! визначити 5ек1лька нижчих власних частот та форм коливань конструкц!I).

Клвчова особлив1сть програмно1 реал!зац!1 обчислювальних схем хая задач взаемодП пов'язана 1з поняттям фрагменту, «» який [нтерпретуеться як певна частина облас'г! визначення шуканого эозв'язку або тип суц!льного середовица чи деяка сукупн!сть ж1нченних елемент1в триангуляцН. Лише це поняття об'еднуе вс! фоки процесу розв'язування задач1, шизшаэти в!д п!дготовки шх1днпз дают 1 зак!няуючи обробкою вузлових Значень розв'язк!в. Рому, ксшен крок обчислввального процэсу стае в!дносно простою задачею, що рвал!зуеться власникй ■ програмними засобами, а ззаемозв'язок в1дпов!дних програм ■ для р!зних крок!в побудови юзв'язку зд!йснюеться орган!зацНею налвано! структури 1нформац11 ¡!дносно вшшаних фрагмент!в. В1дзн2чаеться, що власне на ц!й >снов! процес накопичення дискретних моделей р!зноман!тних :уц1льних середовнд стае наст1льки прлродним, як 1 поповнення ¡1бл1отек р!зних апроксииац!й на ск1нченних елементах.

Ефектквн!сть наведеного п!дходу до програмно! реал!зац!1 южливостей проекц1йно-с!ткових схем 1люструеться , анал!зом юзв'язк1в таких пракладних задач: прогнозування м1цност! балон!в ¡лектронно-променевих прилад!в на д!ю атмосферного тиску та зм!ну емператури; прогнозування м!цност! скляних оболонок ав1ац!йних ямп-фар на д!ю надлиикового тиску наповнювача; прогнозування |1цност1 та оптим1зац!я конструкц!й силових нап!впров!дникових рилад!в при термоцикл!чних випробуваннях та навантаженн! мпульсами ударних струм!в; розрахунок ампл!тудно-частотних арактеристгос п'езокерам!чних перетворювач!в енергИ та акустичних им1рювальних камер атестування г!дрофон!в.

OcnoôHi результат дисертац!! опубл1кован1 в працях.

1. Савула Я.Г., Флейшман Н.П., Иинкаренко Г.А. Расчет пластинчатых конструкций методом конечных элементов //Тр. X Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. - Тблиси: Мецниереба, 19Г5. - Т. 2. - С. 222-229.

2. Шинкаренко Г.А., Савула Я.Г., Вовк В.Н. Применение МКЭ в задаче кручения неоднородных стершей // Метод конечных элементов в строительной механике. - Горький: Изд-во Горьк. ун-та, 1975. •С. 108—11 Т.

3. Савула Я.Г., Шинкаренко Г.А. Метод ск!нченних елемент!в. .-Льв1в: Вшца школа, 1976. - 80 с.

4. Савула Я.Г., Шинкаренко Г.А. Расчет трубчатых оболочек с пространственной осью полуаналитическим методом конечных элементов // Известия АН СССР. Механика твердого тела. - 1980.

- M 2. - С. 168-173.

5. DtagKapeHKO Г.А., Григорян С.С., Дияк I.I. Чисельне досл!дження нестац!онарного осесиметричного теплообм!ну методом ск!нченних

• елемент!в // В1сник Льв1в. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 1980. -Вин.16. - С7 25-31.

6. Савула Я.Г., Шинкаренко Г.А. , Вовк В.Н. Некоторые приложения метода конечных элементов. - Львов: Изд-во Львов, ун-та, 1981.

- 88 с .

7. Шинкаренко Г.А., Забродская М.В. Расчет тонких, оболочек вращения методом конечных элементов // Повышение качества электронно-лучевых приборов. Материалы научн.-техн. конф. Киев: Наук, думка, 1981. - С7 51-62.

8. Вовк В.Д., Шинкаренко Г.А. Розв'язування осесиметричних задач теорИ пружност! методом ск!нченних елемент!в // В1сник Льв1в. ун-ту. Сер. мех.-мат. 1982, вин.19. - С.51- 58.

9. Дияк I.I., Савула Я.Г., Шинкаренко Г.А. Розрахунок термонапружень в осесиметричних т!лах на основ! методу ск!нченних елемент!в // В!сник Льв!в. ун-ту. Сер. мех.-мат. 1982, вип.19. - С. 38-44.

10. Вовк В.Д., Вовк В.Н., Дыяк И.И., Савула Я.Г., Шинкаренко Г.А., Щербатый М.В. Расчет и оптимизация баллонов электронно-лучевых приборов // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Матер. ТО Всесоюз. конф. - Новосибирск, 1982. . -С. 147-155.

11. Горлач В.М., Шинкаренко Г.А. Численное моделирование

акустических волн в упругих телах с жидкостью: осесимметричные квазиустановившиеся процессы. - Львов, 1985. - 38 с. - Деп. в УкрНИИНТИ 10.09.85, И 2122.

2. Горлач В.М., Иинкаренко Г.А. Численное моделирование акустических волн в упругих телах с жидкостью: динамические процессы. - Львов, 1987. - 33 с. - Деп. в УкрНИИНТИ 22.12.87, N 3256.

3. Токарь А.Ю., Иинкаренко Г.А. Исследование краевых задач электроупругости для акустических пьезопреобразователей. Львов, 1987. - 30 с. - Деп. в УкрНИИНТИ 17.09.87, Н 2581.

4. Иинкаренко Г.А., Вовк В.Д. Численный алгоритм решения осесимметричных динамических задач теории упругости. - Львов,

1987. - 38 с. - Деп. в УкрНИИНТИ 7.09.87, Н 2308.

5. Иинкаренко Г.А., Вовк В.Д. Численный анализ задач динамики осесимметрических конструкций // Динамика и прочность машин. -

1988. - Вып.47. - С. 72-76.

6. Горлач В.М., Токарь A.D., Иинкаренко Г.А. Численное моделирование акустического взаимодействия упругих, электроупругих тел и жидкости // Взаимодействие акустических волн с упругими телами: Кр. тезисы докл. Всесоюз. симпозиума. -Таллин, 1989. - С. 68-72.

7. Иинкаренко Г.А. Про одну модиф!кац!ю схеми Ньюмарка // В1сник Льв1в. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 1989. Вип.31.- С. 46-52.

8. Иинкаренко Г.А., Лишггейн К.В. Численное исследование смешанных вариационных' задач методом конечных элементов. -Львов, 1989. - 33 с. - Деп. в УкрНИИНТИ 15.06.89, ff 1703.

9. Дорош А.Г., Токарь A.D., Шинкаренко Г.А. Расчет динамических характеристик осесимметричных пьезопреобразователей методом конечных элементов // Методы и средства определения метролог, характеристик измерит, информ. систем: Сб. научн. тр. - Львов: ВНИИМИУС, 1990. - С. 106-111.

0. Дыяк И.И., Коссак О.С., Савула Я.Г., Шинкаренко Г.А. Расчет и оптимизация термонапряжений в паянных силовых полупроводниковых приборах // Теорет. электротехника. - 1990. - Вып. 48. - С. 24-28.

:1. Шинкаренко Г.А. Постановка та розв*язуван1сть початково-крайових задач електров'язкопружност! // В1сник Льв1в. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 1990. - Вил. 33. - С. 10-16.

:2. Шинкаренко Г.А. Апроксимац1я вар!ац1йних задач

електров'язкопружност!. I. Hanl вдаскре тез ац!я Гальорк1на // В1сник Льв1в. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 1991. - Вин. 35. - С. 50-56.

23. Шинкаренко Г.А. Апроксимац1я вар1ац1йних задач електров'язкопружност!. П. Однокрокова схема 1нтегрування в час! // В!сник Льв!в. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 1991. - Вип. 35. - С. 56-62.

24. Шинкаренко Г.А. Проекц!йно-с!тков! метода розв'язування початково-крайових задач. - Ки!в: НМК ВО, 1991. - 88 с.

25. Остуд!н Б.А., Шинкаренко Г.А..Метода функц!онального анал!зу в обчислювальн!й матзматиц!: Функц1ональн1 простэри. - Ки1в: НМК ВО, 1992. - 152 с.

■ЗУ