Численное моделирование движения внутренних и внешних спутников Юпитера

Баньщикова, Мария Александровна

Численное моделирование движения внутренних и внешних спутников Юпитера тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

Баньщикова, Мария Александровна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Томск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.03.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по астрономии на тему «Численное моделирование движения внутренних и внешних спутников Юпитера»

Автореферат диссертации на тему "Численное моделирование движения внутренних и внешних спутников Юпитера"

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВНУТРЕННИХ И ВНЕШНИХ СПУТНИКОВ ЮПИТЕРА

Специальность 01.03.01 — Астрометрия и небесная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На ирамах рукописи

БАНЫЦИКОВА Мария Александровна

* о ' < ■

I Ь I.;.<-'.Г

Санкт-Петербург 2009

003464547

Работа выполнена л ОСП НИИ прикладной математики и механики Томского государственного университета

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук Андюшев Виктор Анатольевич. Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Соколов Леонид Леонидович, Санкт-Петербургский государственный университет кандидат физико-математических наук Мельников Александр Викторович, Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН

Ведущая организация: Институт астрономии РАН

Защита состоится «14» апреля 2009 г. в 15 ч. 30 м. на заседании совета Д 212.232.15 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504. Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 28, ауд. 2143 (мате-матико-механический факультет).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ.

Автореферат разослан « » V Ь 2009

г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Орлов В.В.

Общая характеристика работы Актуальность проблемы

Интенсивное и широкое использование новых астрометрических средств наблюдения за последние десятилетия вызвало небывалое повышение точности и стремительное увеличение количества наблюдательной информации о движении как уже известных, так и постоянно открываемых спутников планет. Это обстоятельство к настоящему моменту естественным образом ставит перед специалистами в области теоретической астрономии актуальную проблему о пересмотре существующих и разработке новых математических моделей, интерпретирующих наблюдательный материал.

Цели работы

Целью настоящей работы является построение высокоточных численных моделей движения внутренних (близких) и внешних (далеких) спутников Юпитера, в том числе и новых, на основе всех имеющихся астрометрических наблюдений.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи.

1. Построена высокоточная численная модель движения спутников Юпитера.

2. Разработан и исследован способ для повышения быстродействия численного интегрирования уравнений движения за счет использования упрощенной модели влияния галилеевых спутников.

3. Исследована проблема множества решений в обратных задачах орбитальной динамики близких спутников.

4. Получены оценки орбитальных параметров близких и далеких спутников Юпитера по всем имеющимся астрометрическим наблюдениям.

5. При использовании линейных и нелинейных методов типа Монте-Карло построены начальные области возможных движений для всех далеких спутников Юпитера, а также численно исследована временная эволюция вероятностных областей.

Научная новизна работы

Научная новизна работы состоит в следующем.

1. Построена новая высокоточная численная модель движения внутренних и внешних спутников Юпитера, причем численное моделирование орбит внутренних спутников выполнено впервые.

2. Исследованы и решены проблемы численного моделирования возмущений от галилеевых спутников, связанные с чрезвычайной сложностью формального представления их движения и вызываемыми ими короткопериодическими возмущениями в орбитах далеких спутников.

3. Сформулирована и исследована проблема множества решений в обратных задачах орбитальной динамики близких спутников.

4. Впервые построены области возможных движений для всех далеких спутников Юпитера с использованием линейных и нелинейных методов типа Монте-Карло, а также численно исследована эволюция этих областей.

5. Предложен быстрый приближенный способ оценивания размера области возможных движений на любой момент времени на основе формул задачи двух тел, а также получены оценки времени достоверности построенных моделей для планирования наблюдений спутников на основе начальных вероятностных областей.

Совместно с В.А. Авдюшевым (научным руководителем) были получены следующие результаты: построены численные орбитальные модели внутренних и внешних спутников Юпитера (Авдюшев, Баньщикова, 2007а; Авдюшев, Баньщикова, 2008); изучена проблема неоднозначного определения орбит близких спутников (Авдюшев, Баньщикова, 2007Ъ; Баньщикова, Авдюшев, 2008), причем эта особенность в обратных задачах первоначально была обнаружена экспериментально автором данной работы, а затем объяснена Авдюшевым; применен и исследован составной подход, предложенный Авдюшевым, для уточнения орбитальных параметров близких спутников Юпитера (Авдюшев, Баньщикова, 2008).

Самостоятельно автором работы была исследована проблема численного моделирования возмущений от галилеевых спутников (Баныцикова, 2008а), в результате чего в задачах динамики далеких спутников для разрешения этой проблемы была использована формализация гауссовых колец, как упрощенное представление гравитационного влияния массивных спутников; из имеющихся спутниковых наблюдений получены новые оценки орбитальных параметров далеких спутников Юпитера; предложен быстрый приближенный способ оценивания размера области возможных движений на любой момент времени, а также вычислены оценки времени достоверности построенных моделей, полезные для планирования наблюдений спутников (Баныцикова, Авдюшев, 2006а); на основе моделирования областей возможных движений получены оценки неопределенностей в орбитальных параметрах для всех внешних спутников Юпитера (Авдюшев, Баныцикова, 2007а; Вап'вЬсЫкоуа, 2008).

Практическая значимость работы

Представленные в работе методы, а также разработанное на их основе программно-математическое обеспечение может быть использовано для высокоэффективного численного моделирования спутниковых орбит, например, с целью идентификации и планирования наблюдений небесных тел. Кроме того, применяемые здесь методики вполне приемлемы и для численного исследования иных задач, не рассматриваемых в работе, которые в плане моделирования имеют тесное родство с задачами околопланетной динамики. В частности, методы нелинейного оценивания параметрической точности могут быть весьма полезными в задачах астероидной опасности для оценки вероятности столкновения объектов с Землей, особенно в тех случаях, когда астероидная орбита определяется по немногочисленным наблюдениям на очень короткой дуге и потому имеет большие параметрические ошибки.

Апробация работы

По результатам исследования опубликовано 16 работ (Баныцикова, Авдюшев, 2004а; Баныцикова, 2004; Баныцикова, Авдюшев, 2004Ь; Баньщи-

кова, 2005; Баныцикова, Авдюшев, 2006а; Баныцикова, Авдюшев, 200бЬ; Баныцикова, 2000; Авдюшев, Баныцикова, 2007а; Баныцикова, Авдюшев, 2007; Авдюшев, Баныцикова, 2007Ь; Чершщов и др., 2007; Авдюшев, Баныцикова, 2008; Баныцикова, 2008а; Баныцикова, 2008Ь; Вап'вЬсЫкоуа, 2008; Баныцикова, Авдюшев, 2008): б тезисов и 10 статей, причем 5 из них в изданиях, рекомендуемых ВАК для публикации научных работ. Результаты исследовании докладывались и обсуждались на 10 конференциях:

1. XXXIII Международная студенческая научная конференция, г. Екатеринбург, 2-6 февраля 2004 г.;

2. Всероссийская астрономическая конференция ВАК-2004, г. Москва, 3-10 июня 2004 г.;

3. Всероссийская конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», г. Томск, 5-7 октября 2004 г.;

4. VIII съезд Астрономического общества, «Астрономия-2005» Состояние и перспективы развития, г. Москва, май 2005 г.

5. XXXV Международная студенческая научная конференция, г. Екатеринбург, 30 января - 3 февраля 2006 г.;

0. Всероссийская конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы современно]"! механики», г. Томск, 3-5 октября 2000 г.;

7. Всероссийская астрономическая конференция ВАК-2007, г. Казань, 18-21 сентября, 2007 г.;

8. XXXVII Международная студенческая научная конференция, г. Екатеринбург, 28 января - 1 февраля, 2008 г.;

9. Международная астрономическая конференция «Динамика тел Солнечной системы», г. Томск, 27 июля - 1 августа 2008 г.

10. VI Всероссийская конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», г. Томск, 25 сентября - 2 октября 2008 г.

Все результаты, представленные в диссертации, включены в отчет по госбюджетной теме «Математическое моделирование движения, распределения и орбитальной эволюции малых тел солнечной системы по результатам измерений» N госрегистрации 01.200.1 12390. Кроме того, отдельные результаты включены в отчеты по грантам, поддержанным РФФИ (05-02-17043-а, 08-02-00359-а).

Результаты, выносимые на защиту.

1. Высокоточная численная модель орбитального движения близких и далеких спутников Юпитера.

2. Результаты анализа эффективности различных способов для разрешения проблемы, возникающей при учете короткопериодических возмущений в численном интегрировании уравнений движения далеких спутников Юпитера иод действием влияния от галилеевых спутников.

3. Результаты исследования проблемы неоднозначного определения орбит близких спутников.

4. Новые оценки орбитальных параметров далеких и внутренних спутников Юпитера по всем имеющимся наблюдательным данным до 2008 г.

5. Результаты исследования областей возможных движений внутренних и внешних спутников Юпитера.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников (98 наименований) и шести приложений, содержит 48 рисунков и 27 таблиц. Общий объем работы составляет 125 страниц.

Краткое содержание диссертационной работы

Во введении обосновывается актуальность проблемы, формулируется цель исследования, представляются результаты выносимые на защиту, излагаются доводы, определяющие новизну и практическую значимость работы, описывается структура диссертации.

В первой главе диссертационной работы описана структура спутниковой системы Юпитера.. Дается обзор разработанных ранее другими авторами орбитальных моделей спутников Юпитера. Детально описывается орбитальная модель для внутренних и внешних спутников Юпитера, разработанная соискателем.

Построенная численная модель основана на дифференциальных уравнениях движения спутников в прямоугальных координатах с учетом возмущающих факторов от несферичности центральной планеты, галилеевых спутников, Солнца, планет-гигантов и релятивистских эффектов в рамках задачи Шварцшильда. Для численного интегрирования дифференциальных уравнений движения спутников Юпитера использовался интегратор Гаусса-Эверхарта. Формулируются проблемы учета влияния галилеевых спутников при численном моделировании орбит внутренних и внешних спутников. Первая проблема связана с чрезвычайной сложностью моделей движения галилеевых спутников. Сложность модели предполагает многочисленные вычисления, что ведет к существенному понижению быстродействия численного процесса. Вторая трудность имеет место при моделировании орбит далеких спутников. Своим влиянием гнлнлеевы спутники вносят коротконериодические возмущения в орбиту далекого спутника, что, в свою очередь, приводит при численном интегрировании орбиты к дроблению шага интегрирования, и соответственно к понижению быстродействия процесса моделирования, несмотря на малость самих возмущений от галилеевых спутников. Причем учет влияния от массивных спутников может понижать быстродействие в несколько десятков раз. С целью разрешения этих проблем рассмотрены и исследованы шесть упрощенных моделей влияния галилеевых спутников, пять из которых отличались друг от друга способами вычисления влияния от галилеевых спутников: высокоточная с использованием аналитической теории Леней (I); с круговой моделью орбит галилеевых спутников (II); с использованием гауссовых колец (III); многоточечная модель (IV); с модифицированным гравитационным параметром (V). В шестой модели (VI) влияния галилеевых спутников не учитывалось. Как показали результаты, с точки зрения соотношения точность-быстродействие модель III (с использованием гауссовых колец) оказывается самой эффективной для численного моделирования орбит внешних спутников, так как представляет движение внешнего спутника, точнее, чем

другие упрощенные модели V и VI (без короткопериодических возмущений от галилеевых спутников). Поэтому в орбитальных моделях внешних спутников для учета влияния галилеевых спутников использовались гауссовы кольца (III), а в моделях движения внутренних спутников положения галилеевых спутников вычислялись по высокоточной теории Леней (I).

Во второй главе излагается методика оценивания орбитальных параметров спутников Юпитера из наблюдений. Формулируется и исследуется проблема неоднозначного определения орбит внутренних спутников. Для эффективного решения обратной задачи предлагается составной подход, включающий в себя известные методы Гаусса-Ньютона и градиентного спуска совместно с так называемым проекционным методом. Рассматриваются и исследуются способы моделирования областей возможных движений для оценки параметрической точности в линейном и нелинейном случаях. Предлагается способ приближенного прогнозирования эволюции областей возможных движений.

Как известно, параметры орбитальной модели q определяются из наблюдений в рамках задачи наименьших квадратов, которая, как правило, сводится к минимизации некоторой целевой функции S, выражающей степень близости наблюдаемых и моделируемых положений объекта. В свою очередь, минимизация целевой функции выполняется итерационными методами типа Гаусса-Ньютона (1):

qjfc+1 = q к- Q-1G, (1)

где q — определяемые параметры, Q = АТА — нормальная матрица, G = —АТВ — градиент целевой функции S по q, А - матрица условных уравнений, В — вектор невязок модели.

Проблема неоднозначного определения орбит близких спутников, связанна с многочисленными минимумами принятой целевой функции обратной задачи, что фактически имеет место, когда орбита спутника определяется по ряду разрозненных наблюдений, распределенных на достаточно длительном интервале времени. На примере круговой двухпараметри-ческой задачи исследована проблема множества решений и показано, что поведение целевой функции обратной задачи в окрестности точных пара-

метрических значений хорошо описывается функцией:

= 1 - £ к} соз((/,- - /о)С - Д),

С = - О. = О' = 0,...,М),

/ Ъм — £]

а — относительная вариация большой полуоси; /3 - вариация аномалии в эпоху; Л/ — число групп наблюдений; /с,- = Л^/Лг — вес ^'-группы, определяемый числом наблюдений в группе Л^- при общем количестве а ^ — дата группы наблюдений, выбираемая как одно из значений I ^'-группы (при этом предполагается, что <С ¿2 ... Ьм)- Таким образом, величины ¿о и ^ 6 [0,1] = 1,..., М) представляют собой нормированное временное распределение соответственно начальной эпохи и групп наблюдений относительно первой группы. Как видно, функция F 27г-периодична по Д и при фиксированном а имеет единственный минимум на полуинтервале [До - тг, До + 1") Для любых До € (-оо, +оо), поэтому область исследования F по Д можно ограничить до любого полуинтервала длиной в 2я\ Наличие тригонометрических составляющих в (2) выявляет сложное поведение целевой функции, имеющей множество минимумов.

Для удобства исследования целевой функции на предмет множества решений в работе также введена безразмерная характеристика Ф, минимумы которой однозначно соответствуют минимумам F на любой полосе а е ( оо, +эс) и Д £ [До ~ До + я"). Функция Ф имеет вид:

Для двух групп наблюдений одинакового веса (спутник Адрастея) функция Ф(0 имеет множество равнозначных минимума (рисунок 1), что говорит о существованиии проблемы выбора правильного решения, наилучшим образом представляющее действительную спутниковую орбиту.

В данной главе также исследуется эффективность метода Гаусса.Ньютона для численного решения обратных задач орбитальной динамики близких спутников. Результаты показали, что при различных рассматриваемых

ф(0

(3)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Рис. 1: Поведение Ф(() для двух групп наблюдений одинакового веса (спутник Адрастея)

начальных приближениях итерационный процесс сходится только в 0.4% случаях, причем за большое количество итераций (порядка 5000 итераций). Для достижения более быстрой сходимости итерационного процесса в работе предлагается составной подход, где совместно с методом Гаусса-Ньютона используются метод градиентного спуска и так называемый проекционный способ.

Использование составного подхода показало высокую эффективность при определении орбит близких спутников. При его применении скорость сходимости итерационного процесса возрастает в сотни раз в сравнении с использованием только одной итерационной схемы Гаусса-Ньютона (1).

Для оценки точности орбитальных параметров внутренних и внешних спутников использовались так называемые области возможных движений (Milani, 1999; Bordovitsyna et al., 2001; Williams et al., 2005; Muinonen et al., 2006; Авдюшев, Баныцикова, 2007a), моделирование которых в данной работе рассматривалось в рамках линейной и нелинейной задач наименьших квадратов (НК).

В линейном случае построение области возможных движений основывалось на использовании матрицы Холецкого С1/2 по формуле

q = q + С!/2?7, (4)

где q — НК-оценки орбитальных параметров, т] — К-мерный случайный вектор, несмещенный и нормально распределенный с единичной дисперсией, К =■ 6 — число оцениваемых параметров, в качестве которых выступают компоненты вектора начального динамического состояния.

Известно, что связь между представлениями наблюдений моделью и ее параметрами нелинейна. Поэтому использование оценок линейной задачи наименьших квадратов для моделирования областей возможных движений будет обосновано только в том случае, если эти области достаточно малы, где указанная связь достаточно хорошо представляется линейной аппроксимацией. Иначе оценки линейной НК-задачи будут недостоверно описывать вероятностные области.

Для того чтобы определить, можно ли использовать оценки линейной задачи наименьших квадратов для моделирования областей возможных движений в нелинейной задаче, вводится так называемый коэффициент нелинейности х, выражающий степень влияния нелинейности на распределение параметрических ошибок:

где S — значения целевой функции на поверхности доверительного эллипсоида (Draper, Smith Н., 1981) линеаризированной задачи, S — ожидаемые значения целевой функции в линейном случае, S — значение целевой функции в оценке. Данный коэффициент (5) позволяет в нелинейном случае приближенно оценить степень отклонения уровенной поверхности от эллипсоидальной.

Если >с достаточно большая величина (> 0.1), нелинейностью нельзя пренебрегать. В этом случае необходимо прибегать к нелинейному оцениванию, и для исследования неопределенностей в орбитальных параметрах можно использовать метод вариации наблюдений. Данный метод состоит в следующем. В представления наблюдений спутника Рс, полученные с помощью численной модели по параметрическим оценкам, многократно вносятся случайные величины ¿Р. распределенные по нормальному закону с заданной дисперсией а2; и для каждой выборки моделируемых наблюдений P^ + JP решается нелинейная задача наименьших квадратов. В итоге, получаем область возможных движений

q : S(q) = ||РГ + ¿Р - PC(q)||2 - mm, (6)

где Pc(q) — представление наблюдений по параметрам q согласно принятой динамической модели в обратной задаче.

В последнем разделе главы 2 описан способ прогнозирования эволюции области возможных движений. Для грубой оценки размеров больших областей возможных слабовозмущенных движений можно воспользоваться формулами круговой задачи двух тел. Нетрудно показать, что вариации начальных данных круговой орбиты приводят к вариациям в векторе положения

|Дх| « 2а sin Al = An(t- t0), (7)

где An — вариация в среднем движении.

Вместе с тем на основе круговой задачи можно ввести некоторое характеристическое время AttoV-

Atiol = 2 (g)

\Ап\ 2 а

приближенно определяющее временной интервал, на котором построенная модель может быть пригодна для планирования наблюдения объекта с угловой ошибкой 7toi- В качестве \Ап\ выбирается максимальное из всех отклонений возможных средних движений от номинального, |х(,„;)| — топо-центрическое расстояние-до объекта.

В третьей главе представлены численные результаты моделирования движения внутренних спутников Юпитера по имеющимся наблюдениям. Описывается динамика и используемые наблюдения близких спутников.

Начальные оценки орбитальных параметров qo предварительно были получены нами из наблюдений методом Лапласа. Для уточнения орбитальных параметров использовался составной подход, описанный во второй главе. Отправляясь от начальных приближений qo, всего за несколько десятков итераций мы получили оценки орбитальных параметров q = (хо,Хо), минимизирующие целевую функцию с заданной точностью. Полученные оценки параметров дают среднеквадратические ошибки, не превышающие величину 0.4", что говорит о хорошем согласии с внешней точностью наземных наблюдений.

Ввиду малого количества групп спутниковых наблюдений для Адрас-теи и Метиды в работе исследована проблема неоднозначного определения орбитальных параметров данных объектов. Несмотря па малость средне-квадратических ошибок для этих спутников, существуют еще и другие минимумы целевой функции, в которых ошибки принимают близкие чиаче-

0.2

-0.1637 -0.1636 -0.1635 -0.1634 -0.1633

Энергия Я-103 (a.e.Vcyr2)

Рис. 2: Среднеквадратические ошибки для различных решений (Адрастея)

ния. Для Адрастеи были исследованы 50 таких минимумов, тогда как для Метиды — 2.

Примечательно, что для Адрастеи абсолютный минимум целевой функции достигается именно в первоначально найденном нами решении q. Однако, в его окрестности имеются соседние, представляющие значения а, которые отличаются от сг на величины меньше 0.01" (рисунок 2). Поэтому у нас есть веское основание подозревать, что наилучшие (в смысле ближайшие к истинным параметрам) оценки вполне вероятно могут находиться в соседних минимумах. Что касается Метиды, то результаты исследования двух подозрительных решений окончательно развеяли сомнения по поводу их принадлежности к потенциально приемлемым для описания спутниковой орбиты. Результаты показали, что среднеквадратические ошибки смежных решений существенно больше ошибки изначально полученного решения.

Полученные эфемериды мы сравнили с эфемеридами HACA (JUP230) (Jacobson, 1994). Результаты показали, что наши результаты для Амаль-теи очень хорошо согласуются с эфемеридой HACA, тогда как для других спутников — несколько хуже. Это объясняется тем, что у давно известного спутника очень много наблюдательных данных, охватывающих более длительный интервал времени, нежели у спутников, открытых только в 1979 г.

Полученное нами решение для Адрастеи показало очень плохое согласие с .ГОР230. Мы проверили соседние решения и оказалось, что эфемерида Л!Р230 хорошо согласуется с одним из соседних решений.

Также мы оценили точность полученных орбитальных параметров близких спутников Юпитера с использованием вероятностных областей. Результаты показали, что нелинейность используемых моделей для близких спутников настолько значительна, что ковариационные матрицы, строго говоря, оказываются совершенно бесполезными для вероятностного описания распределений параметрических ошибок и в данном случае следует прибегать к нелинейному оцениванию. Несмотря на то, что вероятностные области для близких спутников существенно меньше областей для далеких спутников, тем не менее они оказываются еще достаточно большими для их описания в контексте линейной НК-задачи. Недостатком использования нелинейного оценивания является многократное численное решение нелинейной НК-задачи, что делает практически невозможным его реализацию применительно к оцениванию точности орбитальных параметров близких спутников, поскольку выполнение каждой итерации метода Гаусса-Ньютона вследствие долгосрочного численного интепшрования даже па современных компьютерах занимает несколько часов. В связи с этими трудностями мы не строим области возможных параметров для близких спутников с использование их высокоточных динамических моделей.

Используя простую модель кеплеровского движения мы воспроизвели обратную задачу для близкого спутника Юпитера Адрастеи и по схемам (4) и (6) (линейного и нелинейного оценивания) построили области возможных параметров. Причем среднеквадратическая ошибка наблюдений была 0.2". На рисунке 3 показаны проекции этих областей, ориентированные относительно собственных векторов соответствующей ковариационной матрицы (иначе говоря, относительно главных осей доверительного эллипсоида линеаризированной задачи). Здесь приводятся только проекции вдоль собственного вектора \\'| с наименьшим собственным числом, и, как видно из рисунка, вероятностные области совершенно не согласуются /ФУг с другом.

Четвертая глава, посвящена моделированию движения внешних спутников Юпитера. Описывается динамика и используемые наблюдения внешних спутников. Определяются и уточняются орбиты 54 спутников Юшг-

2е-006

1Е-006

£ О

-1Е-006

щА?,'.

4е-006

2е-006

? О

-2е-006

(

. ■ .-эда

- ■ ^Зя Кар'5"'"-:- •

'■ 1 ври ■'..

" *• • •,

-2е-006 -1---4е-006

-2е-008 -1е-008 о 1е-008 2е-008 -2е-008 -1е-008 о 1е-008 2е-008

6е-005

зе-005

а о

-зе-005

-6е-005

■ щ Г*3-* ■ ИЛ-:-;'.. .. . т-.-

■ ■■•' _I

8е-005

4е-005

£ О

¡¿8-- к ■'•' ■ ЮЛ-:.....

ш РМ-:.-.: •. ___•

8е-005

-2е-008 -1е-008 о 1е-008 2е-008 -2е-008 -1е-008 о 1е-008 2е-008 и>, и>,

0.0002

0.0001

а о

-0.0001

-0.0002

]

-2е-008 -1е-008 о 1е-008 2е-008 И>1

Рис. 3: Проекции вероятностных областей для Адрастеи относительно НК-оценок на плоскости, определяемые собственными векторами соответствующей ковариационной матрицы: линейные оценки представлены серым цветом, нелинейные — черным.

-4Е-0С5

-4Е-005

-2Е-005 , С 2Е-005

х, (а.е.)

-0.04 -0.04

\ \

-0.02 _ О 0.02

х,-х„1 (а.е.)

Рис. 4: Вероятностные области, полученные по ковариационным матрицам на основе реальных спутниковых наблюдений, для Фемисто и Э/2003 Л04

тера, в том числе 46 новых спутников, открытых в период с 1999 г. но 2003 г., а также строятся области возможных движений. Как показывают результаты, несмотря на малость среднеквадратической ошибки для далеких спутников, соответствующие им области возможных начальных параметров оказываются весьма разнообразными не только по размеру, но и по форме (рисунок 4).

Большие начальные вероятностные области вообще говорят о том, что наблюдений для соответствующих спутников пока не достаточно для уверенного прогноза спутникового движения, например, с целью планирования наблюдений в будущем.

При планировании наземных наблюдений требуемая точность прогноза движения непосредственно определяется размерами сканируемого наблюдательным средством участка неба, где ожидается появление объекта. Например, если мы намечаем провести наблюдение спутника 8/2003 .110 через оборот, ожидая его появление на достаточно большом участке 1° х 1°, использование динамической модели спутника для выработки целеуказания наблюдателю в данном случае оказывается неприемлемым, поскольку вероятностная область для Б 2003 ДО настолько обширна, что значительная часть ее выпадает за пределы обозреваемого поля, центр которого настроен на прогнозируемое положение объекта и, следовательно, есть вероятность потерять спутник.

100000 10000 1000 Р 100

X я

и 10 1

0.1 0.01

Рис. 5: Максимальные угловые отклонения возможных спутниковых положений от соответствующих номинальных на геоцентрической небесной сфере через один оборот

В качестве характеристики размера вероятностной области в проекции на небесную сферу мы взяли максимальное угловое отклонение возможных положений (а1,5г) от номинального (а, 5), полученного из НК-оценок:

Smax = max \ (аг — а)2 cos2 5 + (8г — 5)2. (9)

г=1,...,ЛГ v

Мы оценили величины smax для каждого спутника через один оборот при N = 1000. Результаты приведены на рисунке 5, где спутники следуют в порядке их открытия.

Как видно по значениям smax, помимо S/2003 J10 имеется еще ряд объектов (а именно: S/2003 J02, S/2003 J03, S/2003 J04, S/2003 J12 и S/2003 J23), которые могут быть потеряны при попытке обнаружить их через оборот на участке неба с угловыми размерами порядка 1°. Естественно, при уменьшении угла обзора потенциально исчезающих объектов становится больше.

Для далеких спутников Юпитера мы вычислили значения коэффициента я (5). Как показали результаты, почти все именованные спутники (кро-

Спутник

ме Кале) имеют достаточно малые коэффициенты нелинейности, которые составляют величины порядка 0.001 и меньше. Размеры вероятностных областей для именованных спутников сравнительно небольшие и поэтому вариации областей за счет такой нелинейности можно считать незначительными, следовательно, мы можем использовать линейные оценки. В то же время значения показателя нелинейности х для некоторых неименованных спутников (открытых в 2003 г.) достаточно большие и поэтому для определения точности орбитальных параметров этих спутников мы не могли использовать линейные оценки и прибегали к нелинейному оцениванию. С этой целью были пересмотрены точностные характеристики для спутников J02, J03, J04, J09, ДО, J12 и J14 группы S/2003, у которых х > 0.01.

Кроме того, в данном разделе представлены результаты исследования орбитальной эволюции новых спутников на длительных интервалах времени. Было обнаружено, что некоторые возможные орбиты спутника S/2003 J02 выходят за пределы гравитационной сферы Юпитера, иначе говоря, имеется вероятность, что объект станет астероидом (рисунок G). По предварительным линейным оценкам вероятность того, что уже за 100 лет спутник сменит свое амплуа, составляет приблизительно 0.06. Однако уже по нелинейным оценкам эта вероятность оказывается на порядок меньше и составляет 0.005.

В последнем разделе для всей совокупности далеких спутников даются временные интервалы достоверности Attoi (8), на которых построенные орбитальные модели могут быть пригодны для численного представления спутникового движения в угловых геоцентрических координатах с заданной точностью. Как показали результаты, для спутников с богатой хронологией наблюдательных данных интервалы достоверности, соответствующие угловой точности 7tot = 1", достаточно большие, от 10 лет (Фемн-сто) до G0 лет (Гималия). Интервалы достоверности для других (новых) спутников гораздо меньше и не превосходят одного орбитального периода, кроме Каллирое. Результаты для некоторых неименованных спутников не приводятся вовсе, поскольку размеры уже их начальных вероятностных областей в проекции на небесную сферу оказываются больше -ytnI — 1".

В Заключении перечислены основные результаты диссертационной ра,-боты.

-12 -8 -4 0 4 8 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4

Xj (а.е.) х, (а.е.)

Рис. 6: Вероятностная область спутника S/2003 J02 через 100 лет. Рисунок

справа — увеличенный фрагмент рисунка слева

Список опубликованных работ по теме диссертации

Авдюшев В.А., Баньщикова М.А. Области возможных движений новых спутников Юпитера // Астрон. вест. 2007а. Т. 41. N 5. С. 446-452.

Авдюшев В.А., Баньщикова М.А. Особенности в решении обратных задач динамики близких спутников // Тр. всероссийской астрономической конференции ВАК-2007. Изд-во КГУ. 2007b. С. 3-4.

Авдюшев В.А., Баньщикова М.А. Определение орбит близких спутников Юпитера // Астрон. вестн., 2008. Т. 42. N 5. С. 156-195-

Баньщикова М.А. Численная теория движения близких спутников Юпитера // Физика космоса: Тр. 33 междунар. студ. научн. конф., Екатеринбург, 2-6 февраля 2004 г. Екатеринбург: Изд-во УрГУ. 2004. С. 261.

Баньщикова М.А. Высокоточное численное моделирование движения спутников Юпитера // Тез. докл. VIII съезда Астрономического общества «Астрономия — 2005». Состояние и перспективы развития. М.: Изд-во ГАИШ МГУ, 2005. С. 17.

Баньщикова М.А. Моделирование областей возможных движений спутников Юпитера // Физика космоса: Тр. 35 междунар. студ. научн. конф., 30 января - 3 февраля 2006 г. Екатеринбург: Изд-во УрГУ. 2006. С. 241.

Баньщикова М.А. Моделирование влияния галилеевых спутников в задачах динамики близких и далеких спутников Юпитера // Изв. вузов. Физика. 2008а. N 1. С. 60-65.

Баньщикова М.А. Исследование областей возможных движений для далеких спутников Юпитера // Физика космоса: Тр. 37 международ, студ. научн. конф., 28 января - 1 феврали 2008. Екатеринбург: Изд-во УрГУ. 2008b. С. 252.

Баныцикова М.А., Аидюшеи В.А. Численное моделирование движения Амальтеи и Тебы, близких спутников Юпитера // IV Всероссийская конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», г. Томск, 5-7 октября 2004 г. Томск: Изд-во ТГУ, 2004а. С. 333.

Баныцикова М.А., Авдюшев В.А. Численное моделирование движения близких спутников Юпитера // Тез. докладов на всероссийской астрономической конференции «Горизонты вселенной» ВАК-2004. М.: ГА-ИШ МГУ. 2004b. С. 203.

Баныцикова М.А., Авдюшев В.А. Численное моделирование динамики спутников Юпитера // Изв. вузов. Физика. 2006а. N 2. Приложение. С. 74-82.

Баныцикова М.А., Авдюшев В.А. Исследование областей возможных движений новых далеких спутников Юпитера // Матер. V Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики». Томск: Изд-во ТГУ. 2006b. С. 413-414.

Баныцикова М.А., Авдюшев В.А. Исследование областей возможных движений далеких спутников Юпитера // Тр. всероссийской астрономической конференции ВАК-2007. Изд-во КГУ. 2007. С. 46-47.

Баныцикова М.А., Акдюшев В.А. Исследование проблемы множества решений в обратных задачах близких спутников планет // Матер. VI Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики». Томск: Изд-во ТГУ. 2008. С. 411.

Черницов A.M., Тамаров В.А., Авдюшев В.А., Баныцикова М.А., Дубае Ü.M. Особенности определения доверительных областей в пространстве начальных параметров движения малых тел солнечной системы // Изв. вузов. Физика. 2007. Приложение. Вып. 3. С. 33-43.

Ban'shchikova М.А. Investigation of' Region of Possible Motions for Jovian Outer Satellites // Proc. Internat. Astron. Conf., Tomsk, Jule 27 - August 1, 2008. Tomsk: Tomsk State University. 2008. P. 19.

Список цитируемой литературы

Bordovitsyna Т., Avdyushev V., Chernitsov A. New Trends in Numerical Simulation of the Motion of Small Bodies of the Solar System // Celest. Mecli. 2001. V. 80. I. 3. P. 227-247. Draper N.R., Smith H. Applied Regression Analysis. John Wiley and Sons Ltd. 1981. 709 p.

Jacobson R.A. Revised Ephemerides of the Inner Jovian Satellites // JPL IOM.

V. 314. 1994. P. 10-101. Milani A. The Identification Problem I: Recovery of Lost Asteroids // Icarus.

1999. V. 137. P. 269-292. Muinonen K., Virtanen J., Granvik M., LaaksoT. Asteroid Orbits Using PhaseSpace Volumes of Variation // Мои. Not. R. Astron. Soc. 2006. V. 368. P. 809-818.

Williams I.P., Ryabova G.O., Baturin A.P., Chernitsov A.M. Are asteroid 2003 EHl and comet C/1490 Y1 dynamically related? // Earth, Moon, and Planets. 2005. V. 95. P. 11-18.

Подписано к печати 26.02.09. Формат 60 х 84 Vi« . Бумага офсетная. Гарнитура Times. Печать цифровая. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 4398.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 19S504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043,428-6919

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Баньщикова, Мария Александровна

ВВЕДЕНИЕ

1 ЧИСЛЕННАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКОВ ЮПИТЕРА

1.1 Структура спутниковой системы Юпитера.

1.2 Орбитальные модели спутников Юпитера.

1.2.1 Орбитальные модели внутренних спутников.

1.2.2 Орбитальные модели галилеевых спутников.

1.2.3 Орбитальные модели внешних спутников.

1.3 Формальное представление модели.

1.4 Дифференциальные уравнения спутникового движения.

1.4.1 Притяжение Юпитера.

1.4.2 Притяжение Солнца и планет.

1.4.3 Релятивистские эффекты.

1.5 Притяжение галилеевых спутников.

1.5.1 Проблема моделирования возмущений от галилеевых спутников

1.5.2 Упрощенная теория движения галилеевых спутников

1.5.3 Использование гауссовых колец.

1.5.4 Способы вычисления эллиптических интегралов

1.5.5 Многоточечная модель.

1.5.6 Использование модифицированного гравитационного параметра

1.5.7 Эффективность использования упрощенных моделей влияния галилеевых спутников.

1.6 Интегратор Гаусса-Эверхарта для численного решения дифференциальных уравнений первого порядка.

1.7 Координатные и временные преобразования.

2 МЕТОДИКА ОЦЕНИВАНИЯ ОРБИТАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ СПУТНИКОВ ЮПИТЕРА ИЗ НАБЛЮДЕНИЙ

2.1 Определение орбитальных параметров.

2.2 Проблема неоднозначного определения орбит близких спутников.

2.2.1 Исследование свойств метода Гаусса-Ньютона на примере задачи двух тел.

2.2.2 Метод градиентного спуска и проекционный метод.

2.3 Моделирование областей возможных движений в рамках линейной задачи.

2.3.1 Доверительная область.

2.3.2 Построение начальных областей возможных движений.

2.4 Моделирование областей возможных движений в рамках нелинейной задачи.

2.4.1 Оценка нелинейности обратной задачи.

2.4.2 Нелинейное оценивание параметрической точности.

2.5 Прогнозирование эволюции области возможных движений

3 МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВНУТРЕННИХ СПУТНИКОВ ЮПИТЕРА ПО НАБЛЮДЕНИЯМ

3.1 Описание орбит внутренних спутников Юпитера.

3.2 Описание наблюдений внутренних спутников Юпитера

3.3 Проблема неоднозначного определения орбит внутренних спутников Юпитера

3.4 Численные результаты

3.4.1 Определение орбитальных параметров.

3.4.2 Другие оценки.

3.4.3 Сравнение с эфемеридами JUP

3.5 Оценка точности орбитальных параметров внутренних спутников Юпитера.

4 МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВНЕШНИХ СПУТНИКОВ

ЮПИТЕРА ПО НАБЛЮДЕНИЯМ

4.1 Описание орбит внешних спутников Юпитера.

4.2 Описание наблюдений внешних спутников Юпитера.

4.3 Определение орбитальных параметров и оценка их точности.

4.4 Нелинейное моделирование начальных областей возможных движений внешних спутников

4.5 S/2003 J02: спутник или астероид?

4.6 Оценки интервалов достоверности численной модели.

Введение диссертация по астрономии, на тему "Численное моделирование движения внутренних и внешних спутников Юпитера"

Цели работы

Целыо настоящей работы является построение высокоточных численных моделей движения внутренних (близких) и внешних (далеких) спутников Юпитера, в том числе и новых, на основе всех имеющихся астрометрических наблюдений.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи.

1. Построена высокоточная численная модель движения спутников Юпитера.

3. Исследована проблема множества решений в обратных задачах орбитальной динамики близких спутников.

Научная новизна работы

Научная новизна работы состоит в следующем.

2. Исследованы н решены проблемы численного моделирования возмущений от гали-леевых спутников, связанные с чрезвычайной сложностью формального представления их движения и вызываемыми ими короткопериодическими возмущениями в орбитах далеких спутников.

5. Предложен быстрый приближенный способ оценивания размера области возможных движений па любой момент времени на основе формул задачи двух тел, а также получены оценки времени достоверности построенных моделей для планирования наблюдений спутников па основе начальных вероятностных областей.

Совместно с В.А. Авдюшевым (научным руководителем) были получены следующие результаты: построены численные орбитальные модели внутренних и внешних спутников Юпитера (Авдюшев, Баныцикова, 2007а; Авдюшев, Бапыцикова, 2008); изучена проблема неоднозначного определения орбит близких спутников (Авдюшев, Баныцикова, 2007b; Баныцикова, Авдюшев, 2008), причем эта особенность в обратных задачах первоначально была обнаружена экспериментально автором данной работы, а затем объяснена Авдюшевым; применен и исследован составной подход, предложенный Авдюшевым, для уточнения орбитальных параметров близких спутников Юпитера (Авдюшев, Баныцикова, 2008).

Самостоятельно автором работы была исследована проблема численного моделирования возмущений от галилеевых спутников (Баныцикова, 2008а), в результате чего в задачах динамики далеких спутников для разрешения этой проблемы была использована формализация гауссовых колец, как упрощенное представление гравитационного влияния массивных спутников; из имеющихся спутниковых наблюдений получены новые оценки орбитальных параметров далеких спутников Юпитера; предложен быстрый приближенный способ оценивания размера области возможных движений па любой момент времени, а также вычислены оценки времени достоверности построенных моделей, полезные для планирования наблюдений спутников (Баныцикова, Авдюшев, 2006а); на основе моделирования областей возможных движений получены оценки неопределенностей в орбитальных параметрах для всех внешних спутников Юпитера (Авдюшев, Бапыцикова, 2007а; Ban'shchikova, 2008).

Практическая значимость работы

Представленные в работе методы, а также разработанное на их основе программно-математическое обеспечение может быть использовано для высокоэффективного числепного моделирования спутниковых орбит, например, с целыо идентификации и планирования наблюдений небесных тел. Кроме того, применяемые здесь методики вполне приемлемы и для численного исследования иных задач, не рассматриваемых в работе, которые в плане моделирования имеют тесное родство с задачами околопланетной динамики. В частности, методы нелинейного оценивания параметрической точности могут быть весьма полезными в задачах астероидной опасности для оценки вероятности столкновения объектов с Землей, особенно в тех случаях, когда астероидная орбита определяется по немногочисленным наблюдениям на очень короткой дуге и потому имеет большие параметрические ошибки.

Апробация работы

По результатам исследования опубликовано 16 работ (Баныцикова, Авдюшев, 2004а; Баныцикова, 2004; Баныцикова, Авдюшев, 2004b; Баныцикова, 2005; Баныцикова, Авдюшев, 2006а; Баныцикова, Авдюшев, 2006b; Баныцикова, 2006; Авдюшев, Баныцикова, 2007а; Баныцикова, Авдюшев, 2007; Авдюшев, Баныцикова, 2007b; Черпицов и др., 2007; Авдюшев, Баныцикова, 2008; Баныцикова, 2008а; Баныцикова, 2008b; Ban'shchikova, 2008; Баныцикова, Авдюшев, 2008): 6 тезисов и 10 статей, причем 5 из них в изданиях, рекомендуемых ВАК для публикации научных работ. Результаты исследований докладывались и обсуждались на 10 конференциях:

1. XXXIII Международная студенческая научная конференция, г. Екатеринбург, 2-6 февраля 2004 г.;

2. Всероссийская астрономическая конференция ВАК-2004, г. Москва, 3-10 июня 2004 г.;

4. VIII съезд Астрономического общества, «Астрономия-2005» Состояние и перспективы развития, г. Москва, май 2005 г.

5. XXXV Международная студенческая научная конференция, г. Екатеринбург, 30 января - 3 февраля 2006 г.;

6. Всероссийская конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», г. Томск, 3-5 октября 2006 г.;

7. Всероссийская астрономическая конференция ВАК-2007, г. Казань, 18-21 сентября, 2007 г.;

8. XXXVII Международная студенческая научная конференция, г. Екатеринбург, 28 января - 1 февраля, 2008 г.;

Результаты, выносимые на защиту.

1. Высокоточная численная модель орбитального движения близких и далеких спутников Юпитера.

2. Результаты анализа эффективности различных способов для разрешения проблемы, возникающей при учете короткопернодических возмущений в численном интегрировании уравнений движения далеких спутников Юпитера под действием влияния от галнлеевых спутников.

3. Результаты исследования проблемы неоднозначного определения орбит близких спутников.

4. Новые оценки орбитальных параметров далеких п внутренних спутников Юпитера по всем имеющимся наблюдательным данным до 2008 г.

5. Результаты исследования областей возможных движений внутренних и внешних спутников Юпитера.

Краткое содержание диссертационной работы

Заключение диссертации по теме "Астрометрия и небесная механика"

7. Результаты исследования эволюции областей возможных движений показали, что среди новых спутников имеются такие (S/2003 J02, S/2003 ЛОЗ, S/2003 J04, S/2003 J10, S/2003 J12, S/2003 J23), орбиты которых еще не могут быть определены с приемлемой для планирования наблюдений точностью ввиду недостаточного количества наблюдательной информации. Орбиты этих объектов определяются настолько неуверенно, что их прогнозируемые положения (уже через оборот) могут содержать довольно большие ошибки, соизмеримые с размерами самих орбит.

8. Введено характеристическое время Attoi, определяющее временной интервал, на котором построенная нами модель может быть пригодна для задач идентификации объекта, а также представлен быстрый и приближенный способ оценивания размера области возможных движений на любой момент времени на основе начальной вероятностной области с использованием формул задачи двух тел.

9. В результате исследования эволюции вероятностных областей обнаружено, что объект S/2003 J02 с вероятностью 0.005 через 50 лет может стать астероидом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список источников диссертации и автореферата по астрономии, кандидата физико-математических наук, Баньщикова, Мария Александровна, Томск

1. Авдюшев В.А. Интегратор Гаусса-Эверхарта. Новый фортран-код // Матер, все-росс. конф. «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», г. Томск, 3-5 октября 2006 г. Томск: Изд-во ТГУ, 200G. С. 413-414.

2. Авдюшев В.А. Актуальные проблемы в определении спутниковых орбит // Тр. 37-й междунар. студ. пауч. конф. Екатеринбург, 28 января 1 февраля 2008 г. Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 2008. С. 21-35.

3. Авдюшев В.А., Баиыцикова М.А. Области возможных движений новых спутников Юпитера // Астроп. вест. 2007а. Т. 41. N 5. С. 446-452.

4. Авдюшев В.А., Баныцикова М.А. Особенности в решении обратных задач динамики близких спутников // Тр. всероссийской астрономической конференции ВАК-2007. Изд-во КГУ. 2007b. С. 3-4.

5. Авдюшев В.А., Баныцикова М.А. Определение орбит близких спутников Юпитера // Астроп. вести., 2008. Т. 42. N 5. С. 156-195.

6. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкии Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. Справочное изд. М.: Фин. и стат. 1983. 471 с.

7. Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. М.: Наука. 1977. 360 с.

8. Андронов A.M., Копытов Е.А., Грннглаз Л.Я. Теория вероятностей и математическая статистика. СПб.: Питер, 2004. 464 с.

9. Аразов Г.Т. Аналитическая теория движения пятого спутника Юпитера // Изв. АН АзССР. Серия физ.-тех и мат. наук. Т. 2. 1972. С. 75-81.

10. Астрономический ежегодник на 2006 год / под редакцией Н.И. Глебова, М.В. Лукашо-вой, М.Л. Свешникова, В.И. Скрипничеико / СПб: Изд-во ИПА РАН, 2005. 708 с.

11. Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин B.C. Методы оптимизации. М: Изд-во МГТУ, 2001. 439 с.

12. Баныцикова М.А. Численная теория движения близких спутников Юпитера // Физика космоса: Тр. 33 междунар. студ. научи, конф., Екатеринбург, 2-6 февраля 2004 г. Екатеринбург: Изд-во УрГУ. 2004. С. 261.

13. Баныцикова М.А. Высокоточное численное моделирование движения спутников Юпитера // Тез. докл. VIII съезда Астрономического общества «Астрономия — 2005». Состояние и перспективы развития. М.: Изд-во ГАИШ МГУ, 2005. С. 17.

14. Баныцикова М.А. Моделирование областей возможных движений спутников Юпитера // Физика космоса: Тр. 35 междунар. студ. научн, конф., 30 января 3 февраля 2006 г. Екатеринбург: Изд-во УрГУ. 2006. С. 241.

15. Баныцикова М.А. Моделирование влияния галилеевых спутников в задачах динамики близких и далеких спутников Юпитера // Изв. вузов. Физика. 2008а. N 1. С. 60-65.

16. Баныцикова М.А. Исследование областей возможных движений для далеких спутников Юпитера // Физика космоса: Тр. 37 международ, студ. научн. конф., 28 января -1 февраля 2008b. Екатеринбург: Изд-во УрГУ. 2008. С. 252.

17. Баныцикова М.А., Авдюшев В.А. Численное моделирование движения близких спутников Юпитера // Тез. докладов на всероссийской астрономической конференции «Горизонты вселенной» ВАК-2004. М.: ГАИШ МГУ. 2004b. С. 203.

18. Баныцикова М.А., Авдюшев В.А. Численное моделирование динамики спутников Юпитера // Изв. вузов. Физика. 2006а. N 2. Приложение. С. 74-82.

19. Баныцикова М.А., Авдюшев В.А. Исследование областей возможных движений новых далеких спутников Юпитера // Матер. V Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики». Томск: Изд-во ТГУ. 2006b. С. 413-414.

20. Баныцикова М.А., Авдюшев В.А. Исследование областей возможных движений далеких спутников Юпитера // Тр. всероссийской астрономической конференции ВАК-2007. Изд-во КГУ. 2007. С. 46-47.

21. Баныцикова М.А., Авдюшев В.А. Исследование проблемы множества решений в обратных задачах близких спутников планет // Матер. VI Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики». Томск: Изд-во ТГУ. 2008. С. 411.

22. Бордовицына Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики. М.: Наука. 1984. 136 с.

23. Бордовицына Т.В., Быкова JI.E. Теория движения и эфемериды VI и VII спутников Юпитера на 1979-2000 годы // Изд-во ТГУ. 1978. 120 с.

24. Бордовицына Т.В., Быкова Л.Е., Бороненко Т.С. и др. Численные и численно-аналитические алгоритмы прогнозирования движения ИСЗ. Томск: Изд-во ТГУ, 1991. 156 с.

25. Брумберг В.А. Релятивистская небесная механика. М: Наука. 1972. 382 с.

26. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. М.: ОНИКС 21 век. 2005. 432 с.

27. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. М.: Фин. и стат. 1981. 302 с.

28. Дубошип Г.Н. Теория притяжения. М.: Изд-во физ.-мат. лит. 1961. 208 с.

29. Емельянов Н.В., Арло Ж.Ю., Варфоломееев М.И. и др. Создание теорий движения, эфемерид и баз данных для естественных спутников планет // Космич. исслед. 2006. Т. 44. С. 136-145.

30. Железнов Н.Б. Исследование вероятности столкновения астероида с Землей методом Монте-Карло // Тр. 37-й междунар. студ. науч. копф. Екатеринбург, 28 января -1 февраля 2008 г. Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 2008. С. 258.

31. Кирюшенков В.Н. Аналитическая теория движения пятого спутника Юпитера. Дисс. канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ. 1969.

32. Ланс Дж.Н. Численные методы для быстродействующих вычислительных машин. М.: Изд-во ин. лит-ры, 1962. 208 с.

33. Ледовская И.В., Йокерс К., Карпов Н.В., Сергеев А.В. Астрометрические ПЗС-наблюдения спутников Юпитера Тебы и Амальтеи и спутника Сатурна Фебы в 1998 г. // Кинематика и физика небес, тел. 1999. Т. 15. N 6. С. 483-488.

34. Проскурин В.Ф., Исакович Л.Д. Нормальные места VI спутника Юпитера, Вюлл. ИТА. Вып. 5, 1962.

35. Токмалаева С.С. Аналитическая теория движения VII спутника Юпитера. Тр. ИТА. Вып. 5, 1956.

36. Черпицов A.M., Дубае О.М., Тамаров В.А. Способы уменьшения нелинейности задачи наименьших квадратов при построении областей возможных движений астероидов // Изв. вузов. Физика. 2006. Приложение. Т. 49. Вып. 2. С. 44-51.

37. Черницов A.M., Тамаров В.А., Авдюшев В.А., Баныцикова М.А., Дубае О.М. Особенности определения доверительных областей в пространстве начальных параметров движения малых тел солнечной системы // Изв. вузов. Физика. 2007. Приложение. Вып. 3. С. 33-43.

38. Эскобал П. Методы Определения орбит. Москва: Мир. 1970. 472 с.

39. Aksnes К. The Motion of Jupiter XIII, Leda, 1974-2000 // Astron. J. 1978. V. 83. P. 12491256.

40. Ban'shchikova M.A. Investigation of Region of Possible Motions for Jovian Outer Satellites // Proc. Internat. Astron. Conf., Tomsk, Jule 27 August 1, 2008. Tomsk: Tomsk State University. 2008. P. 19.

41. Bates D.M., Watts D.G. Relative Curvature Measures of Nonlinearity // J. R. Statist. Soc. 1980. V. 42. N 1. P. 1-25.

42. Bobone J. Nuevos Elementos del VI (sexto) Satelite de Jupiter. Astron. J. 1935. V. 44. ISS 1032. P. 165-168.

43. Bobone J. Nuevos Elementos del VII (septimo) Satelite de Jupiter. Astron. J. 1936. V. 45. ISS 1055. P. 189-191.

44. Bobone J. Tables del VI (sexto) Satelite de Jupiter. A.N., 1937a. V. 262. P. 321.

45. Bobone J. Tables del VII (septimo) Satelite de Jupiter. A.N., 1937b. V. 263. P. 401.

46. Bordovitsyna Т., Avdyushev V., Chernitsov A. New Trends in Numerical Simulation of the Motion of Small Bodies of the Solar System // Celest. Mech. 2001. V. 80. I. 3. P. 227247.

47. Breiter S. The Theory of Motion of JV Amalthea // Astron. Astrophys. V. 314. 1996. P. 966976.

48. Butcher J.C. Implicit Runge-Kutta Processes // Math. Comput. 1964. V. 18. P. 50-64.

49. Colin F. Bestimmung der Bahnelemente des V. Jupiters mondes // Astron. Nachr. V. 142. 1897. P. 289-338.

50. Cowell P.H., Crommelin A.G.D., Davidson C. Jupiter's Eighth Satellite // Mon. Not. R.

51. Astron. Soe. 1909. V. 69. P. 421. Crominelin A.G.D. Provisional Elements of Jupiter Satellite VI. V. 65. 1905a. P. 5. Crommelin A.G.D. The Sixth and Seventh Satellites of Jupiter. The Observatory. V. 28. 1905b. P. 361.

52. Crommelin A.G.D. Jupiter's New Satellites. The Observatory. V. 28. 1905c. P. 362. Delaunay C. Not sur les Mouvements de Perigee et du Noend de la Lune. Comptes Rendus. 1872. V. 74. P. 1.

53. Delaunay C. Theorie du Mouvement de la Lune. Mem. Acad, des Se. de France., 1860-1867. V. 28. P 29.

54. Draper N.R., Smith H. Applied Regression Analysis. John Wiley and Sons Ltd. 1981. 709 p. Emelyanov N.V. Ephemerides of the outer Jovian satellites // Astron. Astrophys, 2005. V.

55. I. 3. P. 1173-1179. Everhart E. A New Method for Integrating Orbits // Bulletin of the American Astronomical

56. Society. 1973. V. 5. P. 389. Everhart E. Implicit Single Sequence Methods for Integrating Orbits // Celest. Mech. 1974. V. 10. P. 35-55.

57. Planets. I The Galilean Satellites in 1977 // Astron. J. 1979. V. 84. P. 429-435. Jacobson R.A. Revised Ephemerides of the Inner Jovian Satellites // JPL ЮМ. V. 314. 1994. P. 10-101.

58. Jacobson R.A. The Orbits of the Outer Jovian Satellites // Astron. J. 2000. V. 120. I. 5. P. 2679-2686.

59. Kulyk I., Jockers K., Karpov N., Sergeev A. Astrometric CCD Observations of the Inner

60. Mallama A., Aelion M., Mallama C.A. Jovian Satellite Positions from Hubble Space

61. Telescope Images // Icarus. 2004. V. 167. I. 2. P. 320-329. Milani A. The Identification Problem I: Recovery of Lost Asteroids // Icarus. 1999. V. 137. P. 269-292.

62. Muinonen K., Virtanen J., Granvik M., Laakso T. Asteroid Orbits Using Phase-Space

63. Rocher P. The Jovian satellites JVI and JVII — Ephemerides for the years 1981-1990 // Astronomy and Astrophysics Supplement Series (ISSN 0365-0138), 1983. V. 52. P. 333372. In French.

64. Rocher P., Chapront J. Observations and ephemerides of the faint satellites of Jupiter //

65. Sampson R.A. Theory of the four great satellites of Jupiter // Mon. Notic. Roy. Astron.

66. IAU Circ., 7900. V. 1. 2002. Standish E.M. JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE405/LE405 // Interoffice

67. Memorandum. V. 312. 1998. P. 1-18. Sudbury P.V. The Motion of Jupiter's Fifth Satellite // Icarus. V. 10. 1969. P. 116-143. The Astronomical Almanac for the year 1999 / USA by the U.S. Government Printing Office

68. Van Biesbroeck G. Observations of Jupiter's Fifth Satellite // Astron. J. 1955. V. 60. P. 275.

69. Van Woerkom A.J.J. The Motion of Jupiter's Fifth Satellite, 1892-1949 // Astronomical papers prepared for the use of the American ephemeris and nautical alamanac. V. 13. 1950. P. 1-77.

70. Veiga C.H., Vieira Martins R. CCD Astrometric Observations of Amalthea and Thebe // Astron. Astrophys. 2005. V. 437. I. 3. P. 1147-1150.

71. Vu D.T., Sagnier J.L. Mouvement des satellites galileens de Jupiter: mise sur ordinateur de la theorie de Sampson // Bull. Groupe Rech. Geod. Spat., 1974. N. 11. P. 3-67.

72. Williams I.P., Ryabova G.O., Baturin A.P., Chernitsov A.M. Are asteroid 2003 EH1 and comet C/1490 Y1 dynamically related? // Earth, Moon, and Planets. 2005. V. 95. P. 11-18.