Численное моделирование микро- и макроразрушения в деформируемом твердом теле тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Л V

На правах рукописи

Лукьянов Александр Алексеевич

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МИКРО - И МАКРОРАЗРУШЕНИЯ В ДЕФОРМИРУЕМОМ ТВЕРДОМ

ТЕЛЕ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Липецк 2006

Работа выполнена на кафедре теоретической механики в ГОУ ВПО «Липецкий государственный технический университет»

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор

Пеньков Виктор Борисович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент

Лавит Игорь Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор

Петрова Вера Евгеньевна

Ведущая организация: Самарский государственный университет

р1/

Защита диссертации состоится*- I апреля 2006 г. в 7*7 часов на заседании диссертационного совета Д 212.271.02 в Тульском государственном университете по адресу: 300600, Тула, пр. Ленина, 92 (12-303).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.

Автореферат разослан марта 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета ^ Л. А. Толоконников

¿ООЬРг

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования

Диссертация посвящена изучению поведения материалов под действием интенсивных кратковременных нагрузок. Проблемы, требующие решения задач динамики деформируемого твердого тела, возникают в авиационной и космической промышленности, при конструировании объектов атомной и химической промышленности, а также во многих других отраслях современного машиностроения. Во всех таких задачах требуется описать поведение конструкционных материалов, подвергнутых действию кратковременных нагрузок различной природы, проанализировать, как распространяются и затухают в них ударные волны, как возникают и развиваются микро- и макроповреждения, образуются поверхности разрушения. Подход, который получил развитие в работах Л. М. Качанова и Ю. Н. Работнова, сформировавшийся к настоящему моменту времени в отдельную дисциплину механики сплошной среды и получивший название "Механика континуального разрушения", позволяет построить физически и математически корректную модель повреждаемого упругопла-стического материала (или термовязкоупругопластического материала), описывающую появление зон пониженного сопротивления материала, то есть "зон разрушения".

Большинство имеющихся моделей разрушения обнаруживают два основных недостатка: 1) неопределенная количественная связь с результатами физических экспериментов; 2) неустойчивое поведение численных моделей разрушения из-за сильной чувствительности к параметрам дискретизации.

Цель работы. Построение и численное исследование моделей, описывающих поведение повреждаемых термоупругопластичесих сред на всех стадиях процесса деформирования, включая образование и распространение новых материальных поверхностей.

Научная новизна работы

1. Рассмотрена термодинамически корректная модель повреждаемой тер-мовязкоупругопластической среды под действием импульсных нагрузок, возникающих в материале в результате высокоскоростного соударения.

2. Сформулирована общая начально-краевая задача и описан явный метод частиц (БРН - метод) для решения задач континуального разрушения. Расчеты выполняются с учетом сил инерции независимо от скорости макроразрушения (образование свободных поверхностей предполагается мгновенным), что позволяет учитывать возрастание скорости изменения напряженно - деформированного состояния с развитием зон разрушения, имеющих ослабленное сопротивление деформации.

3. На основе экспериментальных данных о плоском соударении пластин было проведено сравнение результатов численного эксперимента с экспериментальными данными, что позволило опреде 1ые пара-

метры материала.

4. Приведено трехмерное решение задачи о соударении тонких пластин. Представлено численное решение двумерной задачи о соударении пластин, результаты которого могут быть использованы, например, при моделировании процессов сварки взрывом.

Практическая ценность. Предложенные модели и способ решения задач позволяют решать широкий круг задач разрушения деформируемого твердого тела. В связи с этим возможно применение результатов работы к моделированию процессов высокоскоростного взаимодействия тел.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечиваются строгостью использованных математических методов, применением фундаментальных законов механики, применением феноменологических моделей, обоснованность которых подтверждена экспериментальными данными, а также сравнением получаемых результатов с уже имеющимися экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы доложены на V Всемирном Конгрессе по Вычислительной Механике (Вена, 2002), на V Международном Конгрессе по Математическому Моделированию (Дубна, 2002), на Международной Конференции "Ломоносовские чтения" (2001, 2002, 2003), на Международной Конференции "Нефтепроводы" (Канада, 2004), на Международых Конференции Европейского Космического Агенства (ESA) (Германия, 2004; Голландия, 2004) на семинаре по механике деформируемого твердого тела в ТулГу (2004, рук. проф. Маркин A.A.) и МГУ (2002, 2003, рук. акдемик Шемякин Е.И.).

На защиту выносятся следующие положения:

1. Термодинамически корректная модель повреждаемой термоупрувязко-гопластической среды с двумя параметрами повреждения.

2. Численное решение задачи о соударении тонких пластин, позволяющее определить нестандартные параметры.

3. Реализация метода частиц с использованием полного лагранжевого формализма.

4. Решение двумерных задач о соударении пластин.

5. Решение трехмерной задачи, описывающей соударение тонких пластин.

Публикации. По теме диссертации опублиовано 12 печатных работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы из 234 наименований, трех приложений и содержит 150 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулирована цель работы, дано обоснование актуальности работы. Приведен краткий обзор работ, связанных с механикой разрушения и численных методов решения задач континуального разрушения. В частности, приведен анализ работ по механике континуального разрушения: JI. М. Качанова и Ю. Н. Работнова, А. А. Ильюшина, В. И. Астафьева, Ю. П. Радаева, Л. В. Степановой, В. Б. Пенькова, И. М. Лавита, В. Тамужа, Н. Ромалиса, В. Е. Петровой, С. Мураками, Г. П. Черепанова, Chaboche, Krajcinovic, Lemaitre, Maugin и по численным методам решения: В. М. Фомина, А. И. Гулидова, И. И. Шабалина, А. Б. Киселева, С. М. Белоцерковского, Ю. М. Давыдова, Н. Г. Бура-го, В. А. Гриднева, Дж. Майнчена, С. Сака, Т. Belytschko, Y. Т. Gu, G. R. Liu, W. К. Liu, L. D. Libersky, J. J. Monaghan, J. P. Morris, P. W. Randies, M. L. Wil-kins.

В первой главе приведена общая постановка задачи и основные законы механики в полном лагранжевом формализме, где законы сохранения и определяющие уравнения выражены через материальные координаты X. Обозначим х - эйлеровы координаты. Рассмотрим тело Q в пространстве Е",п = 1,2,3 с границей Г. Образы тела и границы тела в начальной конфигурации обозначим £20, Г0. Начальную конфигурацию будем также называть отчетным состоянием. Движение среды описывается законом

х = ф(Х,1) (1)

и можно записать соотношение для перемещения в следующем виде:

w(X,t) = x-X = 0(X,t)-X (2)

Система уравнений содержит законы сохранения массы, импульса и энергии, а также кинематические соотношения:

pJ = РоЛ> ü = —V0P, é = —F:P + V0q, F = V0x,x = ú (3)

Po Po

где J0, J — якобиан в начальной и актуальной конфигурациях, соответственно, и — вектор перемещения, р0, р — начальная и текущая плотности, соответственно, Р — тензор напряжений Лагранжа, F — градиент деформации. Граничные условия запишем в следующем виде:

u(X, г) = й(Х, 0 на Г0", Р(Х, Í) • в0 = t(X, t) на Г'0 (4)

где й(Х,0, t(X,<) — перемещение и напряжение на границе, соответственно, п° — внешняя нормаль к области; при этом граница разбита на два класса: Пип = гл, ППГо=0.

В данной работе рассматривается процесс разрушения среды при ударном на-гружении, в большинстве случаев время процесса составляет несколько десятков мкс, поэтому разумно считать, что процесс адиабатический: V0q = о.

Определяющие соотношения представляют собой связи между характеристиками состояния бесконечно малого объема сплошной среды, накладываемые законами термодинамики. Образуем минимальный набор взаимно незави-

симых параметров состояния бесконечно малого объема сплошной сред: Т, ~е', е", со, а\ Т - температура, ~е' - тензор упругих деформаций, ~ер- тензор пластических деформаций, со, а - структурные параметры, определяемые далее и ответственные за изменение внутренней структуры сплошности среды (параметры поврежденности), то есть за развитие микропор, дислокаций, микротрещин. Предположим, что свободная энергия является функцией параметров состояния г,', со, а, Т, т.е. Г = Р(еу,еЦ,со,а,Т). Тогда из первого закона термодинамики, утверждающего закон сохранения энергии, и второго закона термодинамики (в форме неравенства Клаузиуса-Дюгема)

(5)

получаем следующее неравенство, справедливое при любых термомеханических процессах в среде:

I дР

(6)

де$ ' да да р Т где F = e-7$ - свободная энергия единицы массы, е - внутренняя энергия единицы массы, 5 - полная энтропия (состоящая из внутренней 5, > 0 и внешней энтропии 5е) единицы массы, р - плотность, q - вектор притока тепла. Однако, для получения определяющих соотношений, достаточно удобно использовать следующий термодинамический потенциал, получаемый при помощи преобразования Лежандра по следующей схеме:

в = (7)

Используя определение выше (7), достаточно просто получить скорость эволюции этого потенциала

О = (8)

р деЦ да да

И поскольку О = 0{<т;1,£Ц ,со,а,Т), то могут быть выписаны следующие соотношения:

' = - 80 5 = 80 30 = дР

ЗС- = ЗР дв_=д^ дт да' да да

Используя соотношения (6), (7), (9), и теорию Онзагера, термодинамический потенциал б = С(сг1/,е^,а>,а,Т) и функцию диссипации можно получить в следующим виде: термодинамический потенциал

\2

+

4 КМ (10)

+Л„£ Ч^Ж» + Ла IЧ'¿а + О0(Т)

и функция диссипации

, у (»)

где ЛГ - модуль всестороннего сжатия (растяжения), ц - модуль сдвига, а -первый инвариант тензора напряжений (<т = аи/3), Г>0 - параметр деформационной анизотропии материала, ~вр - девиаторная часть тензора скоростей пластических деформаций (пластическое течение предполагается несжимаемым), Кт, Ла - первый и второй параметр Онзагера, кр - эффективное напряжение (здесь используется предположение об эквивалентности скорости пластической диссипации в эффективном и нормальном пространстве напряжений), кТ > О — коэффициент теплопроводности. Кроме того, здесь предполагается, что упругие составляющие тензора деформации малы по сравнению с единицей. Эффект температурного расширения учитывается членом с коэффициентом ау. Составляющая скорости диссипации, отвечающая за пластическое течение, полагается однородной функцией первого порядка от скорости пластической деформации, что соответствует случаю упругопластической среды. Пластическая деформация растет при выполнении условия активного нагружения, то есть Ч р{Т,е' ,е" ,со,а)>0. Кроме того, предполагается, что пластическое течение несжимаемо (скорость диссипации зависит только от девиатора скорости пластической деформации, что обычно хорошо выполняется для многих металлов). Характеристики сопротивляемости среды, представленные модулями упругости и пределом текучести, зависящие от температуры, деформации, пластической деформации, также зависят от параметров поврежденности о, а: ц = я(«.«), К = К0ФК(а>,а), У = Уа<Ьу(ю,а), где /л0, К0 - модули упругости У0 -предел текучести, для неповрежденной сплошной среды. Изменение от 0 до 1 функций Ф„, Фк, Фу обеспечивает спад сопротивления среды с ростом повре-жеднности, который происходит при выполнении условий континуального разрушения (микроразрушения) у¥ш(Т,е',ер,со,а)> 0 и Ч'а(Т,е",ер,а),а)>0, При этом функции ЧРв и у¥а описывают скорость эволюции параметров поврежденно-стей о), а соответственно, и которые должны быть определены в свою очередь. Кинетика процесса макроразрушения будет определяться зависимостью скорости диссипации от скорости роста поврежденности. Будем предполагать, что предел текучести и модуль сдвига зависят от температуры, давления, плотности, интенсивности пластической деформации в соответствии с моделью Штейнберга-Гуинана:

r0=yJi+/fe;

1-М

Pa

-h(T-T0

(12)

Y<K{\ + /)s>jY^,Y<)0=0 при T>T„,

-Ur.-a-m)

ГаТ

°ы

/А) =^00

ехр

-мг-г.:

2а\

где е/ = ^еЦеЦ - интенсивность пластической деформации; Т„ - температура плавления материала; ц№>, Tm0, р, h, b - константы материала. Будем предполагать, что

Моо

В формулах (12),(13) мы обозначаем двумя нулями параметры неповрежденного материала. В результате определяющие соотношения принимают следующий вид:

^00 Мм *00

(13)

S = -—,е = F-T—,q = kTVT, дТ дТ т

Ъ = -р1+д*,д* = 2ц(е~~ер),

_ fid

ер = HQV р)^еР'-еР'-£->

(14)

(15)

где & - тензор напряжений, р - гидростатическое давление, а* - девиаторная часть тензора напряжений, е, - девиаторные части тензоров полной деформаций и пластической деформации, соответственно. Граничные условия имеют вид:

хе5.,,<г0:(ит,)•« = «;, хе8\Биг,1*0:{сгп)тг=р^ д;е57.,/>0:Г = Г,

где / = 1,2. Начальные условия имеют вид: хеУ,1 = 0: х = Х, г = у0, Г = Г0, ¡^ = 0, ео = 0, а = 0.

(16)

Во второй главе приведены системы определяющих соотношений. Система определяющих уравнений описывает поведение термоупругопластической повреждаемой среды. В диссертационной работе используются следующие

системы определяющих соотношений:

Модель I. Система определяющих уравнений модели повреждаемой термовяз-коупругопластической среды выглядит так:

= (17)

(18)

(5',)' (19)

а

¿$ = ¿¡ = 28.-Уд,

где <т', у, - шаровая и девиаторная части эффективного тензора напряжений, определяемые как

<г' = „ * .5'<;= . ., (20)

(1-®)(1-а) (1-ю)(1-а)

где значком V обозначена яумановская производная по времени от компонент

тензора:

= 5",^* - 5' ■ (21)

Заметим, что выражение для полного девиатора тензора деформаций состоит из трех слагаемых, в отличие от классической упругопластической модели. Дополнительное слагаемое, обусловленное развитием повреждений, может быть описано как деформации за счет развития повреждения. Разложение полных деформаций на упругие, пластические и деформации за счет развития повреждения также встречаются в других работах, но без термодинамической связи с другими уравнениями. Для описания эволюции пор в материале, воспользуемся следующим выражением

а> = р(со,сг) = £1—— * ° 11 -т

1-0)

о —о ... ет — ст _ +0)-Н(о-&)+ео-Н{а -а),

4%

2 2

сг* =-—Y0]nm,<r~ =—Y0lna>, (22)

которое состоит из трех слагаемых, первое из которых является развитием уравнения Качанова, Тулера (Tuler) и Бучера (Butcher) и описывает зарождение микропор. Последующие два слагаемые описывают расширение и схлопывание микропор; они получены из решения задачи о расширении и схлопывании сферической поры. Для описания сдвигового разрушения воспользуемся феноменологической моделью в предположении, что сдвиговое микроразрушение наступает при превышении интенсивностью пластических деформаций некоторой критической величины:

77 = % а ■- ®)0 -а),У = ¥„(}- й>)(1 - а), К = ^„(1-ш)(1-а),// = Л(1-й>)(1-а), рсаГ+а/гГ = + Л. а>2+Лв а2- ЛЫд,

д = -кфАТ.е', = =

Здесь обозначено: сг|;, е,', е* - компоненты тензора напряжения, упругой и неупругой (вязкопластической) деформации соответственно ( ец = е' + е?; = 0); Г - абсолютная температура; ц - тепловой поток; р - плотность, - интенсивность пластических деформаций; В, С, Аа, Аа, а,, гД - константы материала; ЛТ0, ц0> г]0, У0 - объемный модуль, модуль сдвига, динамическая вязкость и статический предел текучести для неповрежденного материала; са - теплоемкость при постоянных напряжениях; ог„- коэффициент объемного расширения; к - коэффициент теплопроводности; Н(х) - единичная функция Хевисай-да; точка над символом означает материальную (субстанциональную) производную по времени. Предположим, что предел текучести и модуль сдвига зависят от температуры, давления, плотности, интенсивности пластической деформации в соответствии с моделью Штейнберга-Гуинана.

Модель II. В модели модифицировано уравнение (17) для описания распространения ударных волн в материале. С учетом уравнения состояния в форме Грюнейзена (Сгипе1зеп) соотношение (17) приобретает вид:

где рЕт - уравнение состояния в форме Грюнейзена (Сггшгавеп).

Представленные модели учитывают появление и накопление повреждений в областях интенсивного растяжения, их залечивание при сжатии, а также накопление повреждений при сдвиге, тепловые эффекты. Механические, структурные и тепловые процессы являются взаимосвязанными.

Критерий начала макроразрушения.

Развитие интенсивного пластического течения и накопление микроструктуры повреждений является предразрушением материала (микроразрушения материала). В качестве начала макроразрушения (появление новых свободных поверхностей — берегов макроразрушения в материале) предлагается использовать энтропийный критерий, выраженный в терминах предельной удельной диссипации:

где I, — время начала макроразрушения, Д — константа материала (предельная удельная внутренняя энтропия).

(23)

(24)

dF=Kä>2 + Kaä\Dh = t~[dF)dt л p

Здесь — механическая диссипация; — диссипация континуального разрушения; dт — термическая диссипация.

ES)

ч

• —l—

[

/

Рис. 1

KUNVItn W« «« 1X4 IM !I« IR4 IM ^ <№» UM US« UM

Рис. 2 Рис. 3

Для определения нестандартных параметров математической модели использовались экспериментальные данные по соударению пластин в одномерной постановке. Ударник сделан из алюминия, а мишень - из титана. Толщина А, = 2 мм для ударника, и А, =10 мм для мишени как в эксперименте (Канель и

др., 1996). На основе экспериментальных данных для скорости удара V0 = 660 —

с

были определены нестандартные параметры, предложенных моделей повреждаемых термовязкоупругопластических сред и уже на основе полученных данных проведен численный расчет для скорости удара Vo = 1900 —. Полученные

с

данные согласуются с экспериментальными данными рис 1. (Канель и др ., 1996). На рис. 2 изображены скорости тыльной поверхности мишени для модели «SPALL» (модель откольного разрушения с критерием максимального растягивающего напряжения) и для модели I диссертационной работы.

В третьей главе кратко описан метод частиц (SPH-метод). Метод частиц (безсеточный метод) обладает рядом преимуществ при моделировании больших деформаций и разрушения среды в сравнении с методами конечных элементов и конечных разностей. Несмотря на то, что безсеточные методы по природе имеют лагранжев характер, отказ от использования сеток в них позволяет иметь дело с большими локальными искажениями. Поэтому такие явления, как разрушение и другие неустойчивости, гораздо удобнее моделировать именно при помощи метода частиц. Впервые SPH-метод был представлен Люси (Lucy) и Гинголдом, Монаганом (Gingold, Monaghan). Методы этого типа сначала применялись для решения проблем газовой динамики. Метод был расширен для задач твердого тела, Либерским (Libersky) и др., которые применили его к проблемам динамического разрушения и фрагментации материала, где применение традиционных сеточных методов затруднено и порой невозможно. Факт разрушения после реализации критерия разрушения моделировался при помощи задания напряжения равным нулю.

БРН - аппроксимация

Изложим здесь основные уравнения, получаемые при использовании метода 8РН. В БРН-методе с лагранжевым ядром тестовые функции определяются как умножение объема частицы на весовую функцию:

Ф,(Х) = 0ЧХ-Х,Д)г;, (26)

где =

Ро

объем, ассоциированный с частицей J в начальной конфигура-

ции, Ар — радиус вирр»'. Ядро выбирается таким образом, что эиррИ' — компакт. Наиболее распространенная форма ядра может быть записана следующим образом:

-^-(1-1.5z2+0.75z3),0<z<1,

К

О,

1 < z < 2,

z >2,

(27)

где D — размерность пространства, z = —, r0=|x-xj, Е — константа, завило

сящая от размерности (3).

для D = 1,

3

—, для D = 2, In

для 0 = 3.

(28)

Область 5 = эиррЖ также называется областью влияния и определяет, какие со-

седние частицы влияют на заданную частицу. Соотношения между ядром и функциями форм определяются по методу аппроксимации. В БРН-методе, аппроксимация градиента функции определяется при помощи выражения:

уу = и, У0Ф, (X), У0Ф, (X) = У0ЩХ - X,, И0)У?. (29)

Выражение (4) получается при использовании следующих соотношений

Л(г)= \а(т')1¥(г-г',к)<1г ЧО(Й), (30)

а

формулы Монте-Карло

Л(г) = ХЖг>^(г-г,,/0-^+С>(Л2), (31)

jss р]

и интегрирования по частям.

Порядок аппроксимации соответствует степени полинома, который может быть представлен точно (в точной арифметике). Следующие условия задают, соответственно, нулевой и первый порядок точности:

= = (32)

=г, (33)

JtS № Мй

Для того, что бы получить нулевой порядок точности предполагается условие симметричности Монагана (Мопа§Ьап):

^ о, (34)

.л*

которое верно для однородного распределения частиц. Таким образом, получаем окончательное выражение

У0ш*(Х/) = -2>, -а,)У0ЩХ, -Х,Л)к;, (35)

Дискретизация уравнений

Используя соотношения (5), (6), (10), можно получить следующую систему уравнений (с учетом нормализации и коррекции) в лагранжевом формализме:

рпЛЛ¥ю = р1ЛА¥„ (Р), + 1 (36)

jes р]

где V, - градиент деформации частицы I (в начальной конфигурации полагаем Г,0 =1, I - единичный тензор), и; - вектор перемещения частицы I.

», (37)

\ рю р]а)

(¿;> = ÍZ'»,K-vy)®VrЛ% (38)

Чл! 1 Р1

Кроме того, в нормализование - корректном 8РН-методе, предполагается следующая процедура вычисления ■

Окончательно получаем.

А)

jes р]

В индексной форме выражение выше записывается так:

"Ра > Вра

А - 1 З»' „

л* р]

(40)

(41)

(42)

Выражение (17) представляет собой законченную формулировку нормализование - корректного 8РН-метода и обеспечивает первый порядок точности.

Для иллюстрации работоспособности предложенного вычислительного алгоритма и математической модели повреждения выполнены следующие модельные расчеты в четвертой главе:

а) Соударение медных пластин в осесимметрическом постановке. Рассмотрен удар пластины-ударника по нормали на покоящуюся пластину. Пластина-ударник (радиус 1.0 см, толщина Н=0.4 см) металась продуктами взрыва на медную преграду радиус 1.5 см, толщиной 1 см. На рис. 3-6 приведено положение пластин в различные моменты времени. Скорость налетающей пластины равна У0 = 100 —. Рис. 4-7 изображают распределение интенсивности пла-с

стических деформаций в различные моменты времени: г =5.209 мкс, г =18.8© мкс, /=Й,36К мкс.

Рис. 4.

Рис. 5.

Рис. 6.

Рис. 7.

б) основываясь на характеристиках процесса соударения тонких пластин, для вычислительных областей принимаем конфигурацию прямоугольного параллелепипеда (ударник- 0.01сл< х 0.01сл< х 0.2см, мишень - 0.01см X 0.0\см х 1.0см ) (см. рис.8). Условия симметричности применяются для боковых поверхностей рассматриваемой области; результатом этого является одноосное распространение волн вдоль параллелепипеда (основное свойство соударения тонких пластин). Условие свободных поверхностей реализуется на передней и задней поверхностях параллелепипедов (см. рис. 8). Все характеристики динамического процесса соударения пластин описываются достаточно хорошо (форма импульса, упругий предел Гюгонио, уровень напряжения); увеличение числа частиц не приводит к значительным улучшениям. Ударник сделан из алюминия, а мишень -из титана. Свойства материалов и параметры модели были идентичными рассмотренным в одномерной постановке. Рис. 8,9 изображают распределение объемной поврежденности а до разрушения (/ = 2.472мке) и после разрушения

(I = 3.24мке) для скорости удара У0 =660 — (модель I). Рис. 10,11 дают распреде-

с

ление полной внутренней удельной энтропии Г». Рис. 12,13 дают распределение температуры до разрушения (/ = 2.472 мке) и после разрушения (г = 3.24 мке)

для скорости удара У0 =660— (модель I). Аналогичное моделирование было

с

произведено для скорости удара У0 =1900 — (модель I). На рис. 14,15 изображе-

с

но положение частей пластины в момент времени с = 2.112 мке до разрушения и / = 2.952 мке после разрушения и распределение поврежденности со.

5ДмМ.*«1М*Ш1

I.

Рис. 8

Рис. 9

Б-!»1, Я*1кг 1

ШМ1 им*« мм*«

Б 10', Д*/кг

Рис. 10

Рис. И

Рис. 12

йлгж.

М4М1.

1«М1 I шм]

т, к1

Рис. 13

м&й&ММШ!

м*м

1.1Я*«

а»»

Рис. 14 Рис. 15

с) в заключении были рассмотрены двумерные задачи о разрушении пластин в осесимметрическом постановке. Рассмотрен нормальный удар пластины -ударника (упругопластического или повреждаемого) о покоящуюся пластину (повреждаемую). Пластина - ударник (радиус 1.0 см, толщина Н=0.4 см, сделанная из титана) металась на титановую преграду радиуса 1.5 см, толщиной 1 см. На рис. 16,17 приведено положение пластин в различные моменты времени (i =5.02Бмкс и г =£.062.мкс) при соударении упругопластической титановой пластины по нормали с покоящейся титановой пластиной (повреждаемой). Ско-

„ м

рость налетающей пластины равна У0 =700 —.

И

Рис. 16

Рис. 17

На рис. 18-21 приведено положение пластин в момент времени /=7.681 мкс при соударении упругопластической повреждаемой титановой пластины по норма-

ли с покоящейся титановой пластиной (повреждаемой). Скорость налетающей м

пластины равна V,, = 700 —.

с

— - 1 XII

D l»", Дж/КГ '

DM10\ ДжЛсг "»•"-,

л.. £_*

Рис.20 Рис.21

Рис. 18 отражает распределение полной внутренней энтропии. Рис. 19 изображает часть внутренней энтропии соответствующей пластической диссипации. На рис. 20 изображается распределение сдвигового параметра поврежденности а. На рис. 21 изображено распределение температуры.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Построена связанная модель повреждаемого термовязкоупругопластического тела с внутренними параметрами состояния и критерием разрушения предельной удельной диссипации, позволяющая описывать разрушение в условиях сложного напряженного состояния.

2. На примере решения задачи о плоском соударении пластин показано, что модель позволяет правильно представить основные особенности процесса, а критерий разрушения применим для описания откольных разрушений. Представленные результаты численного исследования приводят к следующим заключениям:

а) Максимумы деформации е = еа, параметры поврежденности а, температуры Т и диссипации £> (а так же компонент £>м, йг) достигнуты в той же самой расчетной точке, где выполнился критерий разрушения (24).

б) При увеличении скорости удара У0, максимальное значение параметра

поврежденности со заметно уменьшается, и поэтому нельзя подобрать предельной величины поврежденности со для использования в качестве критерия разрушения.

в) При увеличении скорости удара У0 максимальные растягивающие деформация в = еа в сечениях-разрушения фактически неизменны. Поэтому вторая классическая теория (максимальная теория деформаций) может использоваться как критерий разрушения в проблеме откольного разрушения.

г) При увеличении скорости удара ¥0 вклад континуального разрушения йр по отношению к полному й уменьшается вблизи зоны откольного разрушения.

3. На основе экспериментальных данных о плоском соударении пластин были определены нестандартные параметры модели. Описан метод определения параметров, что позволяет на основе уже ставшем классическим экспериментального метода о плоском соударение пластин получить замкнутую теорию, а именно математическое описание среды и методологию определения параметров модели.

4. Приведено решение тестовой задачи о соударении упругопластических пластин (модель Прандтля - Рейсса) без повреждения; полученные численные решения согласуются с известными данными по деформированию упругопластических сред. Таким образом, имеется основание для вывода о высокой производительности и корректности реализации численного метода частиц.

5. Получено решение двумерной задачи о нормальном соударении пластины-ударника (упругопластического или повреждаемого) о покоящуюся пластину (повреждаемую). Результаты могут быть применены, например, к моделированию задач о сварке взрывом.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. Киселев А. Б., Лукьянов А. А., Численное моделирование кинетики фрагментов. Ломоносовские чтения, Апрель 2002, МГУ.

2. Киселев А. Б., Лукьянов А. А., Численное моделирование гидроразрыва. Ломоносовские чтения, Апрель 2003, МГУ.

3. Kiselev А. В., Lukyanov A. A., Numerical simulation of dynamic processes of irreversible deforming and micro and macrofracture of solids, Proceedings of the Fifth World Congress on Computational Mechanics (WCCM V), July 7-12, 2002, Vienna, Austria, Editors: Mang, H.A.; Rammerstorfer, F.G.; Eberhardsteiner, J., Publisher:

Vienna University of Technology, Austria, ISBN 3-9501554-0-6, http://wccm.tuwien.ac.at

4. Kiselev A. B., Lukyanov A. A., Mathematical Modelling of Dynamic Processes of Irreversible Deforming and Fracture of Solids and Structures//V International Congress on Mathematical Modelling, Book of Abstract, Vol. 1, Dubna (Sept. 30 -Oct. 6), JINR, 2002.

5. Kiselev A. B., Lukyanov A. A., Investigation of dynamic process of irreversible deformation: Micro- and Macro-fracture of solids and Structures, 5th Euromech Solid Mechanics Conference, 2003, Greece.

6. Kiselev A. B., Lukyanov A. A. Mathematical modelingof dynamic processes of irreversible deforming, micro- and macrofracture of solids and structures. International Journal of Forming Processes- 5/2002, P. 359 - 362.

7. Lukyanov A. A., Prediction of failure in metal structures based on thermodynamics of irreversible process, Proceeding IPC 2004, ASME.

8. Lukyanov A. A., Vignjevic R., Panov V., Bourne N., Modelling of Ductile Failure in Metals under Hypervelocity Impact loading, The First International Conference Computational Mechanics, Serbia, 2004.

9. Lukyanov A. A., Reveles J., Vignjevic R., Numerical simulation of failure in metals based on irreversible thermodynamics, EURODYN2005, Paris, 2005.

10. Lukyanov A. A., Reveles J., Vignjevic R., Simulation of hypervelocity impact and spacecraft shielding performance, Fourth European Conference on Space Debris, Darmstadt, Germany, April, 2005.

11. Lukyanov A. A., Vignjevic R., Reveles J., Simulation of High-Velocity Impact of Graphite/Epoxy Composite Laminates", The European Conference on spacecraft Structures, Materials & Mechanical Testing, ESTEC, Noordwijk, Netherlands, May, 2005.

12. Reveles, J., Lukyanov, A. A., R. Vignjevic, Numerical Simulation of Debris Impact on Thin Walled Metal Shields, European Conference on Spacecraft Structures, Materials and Mechanical Testing, European Space Agency, Netherlands, 2005.

♦

clûû6é_

Р- 55 95

f

Введение

Глава I. Постановка задачи и методы решения

§1.1 Постановка задачи

1.1.1 Законы сохранения.

§1.2 Математические модели разрушения.

1.2.1 Параметры поврежденности. Эффективные напряжения

1.2.2 Общий вид определяющих уравнений.

§ 1.3 Численные методы решения.

1.3.1 Представление разрушенного материала дискретными частицами

1.3.2 Моделирование разрушения материала в методе частиц

§ 1.4 Выводы.

Ф Глава II. Модель разрушения сплошной среды

§ 2.1 Термомеханическая модель деформирования и рассеянного разрушения сплошной среды.

2.1.1 Основные предположения.

2.1.2 Задача о расширении и схлопывании сферической поры в вязкопластическом материале.

2.1.3 Система определяющих уравнений

2.1.4 Критерий начала макроразрушеиия.

2.1.5 Определение констант материала.

• § 2.2 Численное решение задачи о соударении пластин.

2.2.1 Макроразрушеиие.

2.2.2 Одномерное соударение пластин (определение параметров модели).

2.2.3 Моделирование одномерного соударения пластин методом частиц

§2.3 Определяющие соотношения с учетом распространения ударных волн

2.3.1 Уравнение состояния.

2.3.2 Система уравнений с учетом уравнения состояния

§2.4 Выводы.

Глава III. Метод частиц (SPH - метод)

Ф 3.1.1 Бессеточные методы частиц (БСМЧ).78

3.1.2 Стратегия решения бессеточных методов.80

§ 3.2 Концепция метода частиц (SPH - method) .80

§ 3.3 Аппроксимация законов сохранения в лагранжевой форме . 84

3.3.1 Закон сохранения массы (уравнение неразрывности) . . 85

3.3.2 Закон сохранения импульса (уравнение движения) . 86

3.3.3 Закон сохранения энергии (уравнение притока внутренней энергии ).87

§ 3.4 Ядро аппроксимации.89

3.4.1 Выбор ядра аппроксимации .90

§ 3.5 Описание техники нормализации и корректировки.93

3.5.1 Нормализация ядра.93

3.5.2 Коррекция производных.94

3.5.3 Система уравнений с учетом нормализации и корректировки . . . . . , 97

§ 3.G Искусственная вязкость.98

§3.7 Выводы.100

Основные результаты работы в следующем:

1. Построена связанная модель повреждаемого термовязкоупру-гопластического тела с внутренними параметрами состояния и критерием разрушения предельной удельной диссипации, позволяющая описывать разрушение в условиях сложного напряженного состояния.

2. На примере решения задачи о плоском соударении пластин показано, что модель позволяет правильно представить основные особенности процесса, а критерий разрушения применим для описания откольных разрушений.

3. На основе экспериментальных данных о плоском соударении пластин были определены нестандартные параметры модели. Описан метод определения параметров, что позволяет на основе уже ставшем классическим экспериментального метода о плоском соударение пластин получить замкнутую теорию, а именно математическое описание среды и методологию определения параметров модели.

4. Приведено решение тестовой задачи о соударение упругопла-стических пластин (модель Прандтля - Рейсса) без повреждения; полученные численные решения согласуются с известными данными по деформированию упругопластических сред. Таким образом, имеется основание для вывода о высокой производительности и корректности реализации численного метода частиц.

5. Получено решение двумерной задачи о нормальном соударении пластины-ударника (упругопластического или повреждаемого) о покоящуюся пластину (повреждаемую). Результаты могут быть применены, например, к моделированию задач о сварке взрывом.

Заключение

1. Аптуков В. Н. Модель термоупругопластической поврежденной сред. Пиложение к откольному разрушению // ФГВ. 1986. Т. 22. Л/"£ 6. С. 120-130.

2. Астафьев В. И., Григорова Т. В., Пастухов В. А, Влияние поврежденности материала на напряженно-деформированное состояние в окрестности ввершины трещины при ползучести// ФХММ. 1992. Т. 28. № 1. С. 5-11.

3. Астафьев В. И., Ширяева JI. К. Накопление поврежденности в металах под напряжением// Известия РАН. Мех. тверд, тела. №■ 3. С. 111-119.

4. Астафьев В. И., Радаев Ю. П., Степанова JI. В. Прикладная механика разрушения. Изд-во Самарского Ун-та., 1999.

5. Ахмадеев Н. X. Исследование откольного разрушения при ударном деформировании. Модель повреждаемой среды // ПМТФ, 1993, №■ 1, С. 158-167.

6. Белов Н. Н., Корнеев А. И., Николаев А. П. Численный анализ разрушения в плитах при действии импульсных нагру-зок//ПМТФ. 1985. №■ 5. С. 132-136.

7. Белоцерковский С. М., Давыдов Ю. М. Метод крупных частиц в газодинамике. М.: Наука. 1982. 392 с.

8. Бойко В. М., Гулидов А. И., Папырин А. Н. и др. Экспериментально-теоретическое исследование отскока коротких стержней от твердой преграды// ПМТФ. 1982. Л/"-5. С. 129-133.

9. Бураго Н. Г., Глушко А. И., Ковшов А. Н., Термодинамический метод получения определяющих уравнений для моделей сплошных сред // Изв. РАН. МТТ. 2000, 6, С. 4-15.

10. Бураго Н. Г., Ковшов А. Н., Модель дилатирующей разрушающейся среды// Изв. РАН. МТТ. 2001, №- 5, С. 112-117.

11. Вакуленко А. А., Качанов JI. М., Континуальная теория среды с трещинами// Изв. АН СССР. МТТ. 1971, №■ 4, С. 159166.

12. Владимиров В. С. Обобщенные функции в матиматической физике// Изд. "Наука", Москва, 1976, 280 с.

13. Волков И. А., Рузанов А. И. Численное исследование разрушения слоистых преград при импульсном нагруже-нии//Прикладные проблемы прочности и пластич. Горький. 1986. Вып. 33. С. 83-90.

14. Высокоскоростные ударные явления / Под ред. В. Н. Николаевского. М.: Мир. 1973. 528 с.

15. Галиев Ш. У. Нелинейные волны в ограниченных сплошных средах. Изд.-во "Наукова думка". Киев. 1988.

16. Гильманов А. Н. Методы адаптивных сеток в задачах газовой динамики. М.: Наука. Физматлит, 2000. 247 с.

17. Гладышев А. М., Гулидов А. И., Ковеня В. М. и др. Взрывное метание, аэродинамика и удар твердого тела. Численный эксперимент//Моделирование в механике. 1991. Т. 5. N° 2. С. 7-19.

18. Гладышев А. М., Гулидов А. И., Сапожников Г. А. Фомин В. М., Шабалин И. И. Применение принципов дискретно-континуального представления среды в задачах высокоскоростного взаимодействия тел// Моделирование в механике. 1993. Т. 7. Я- 4. С. 36-51.

19. Глушко А. И. Исследование откола как процесса образования микропор //Изв. АН СССР. МТТ. 1978, Л^ 5, С. 132-140.

20. Голубев В. К. О расширении пор в пластических металлах при отколах// ПМТФ. 1983. №-6. С. 159-165.

21. Гольдсмит В. Удар, теория и физические свойства соударяющихся тел. М.: Стройиздат. 1965. 379 с.

22. Гриднева В. А., Корнеев А. И., Трушков В. Г. Численный расчет напряженного состояния и разрушения плиты конечной толщины при ударе бойками различной формы// Изв. АН СССР. МТТ. 1977. 1. С. 146-157.

23. Гриднева В. А., Немирович-Данченко М. М. Метод разделения точек сетки для численного расчета разрушения твердых тел// Томе: Томский ун-т, 1983. Рукопись деп. в ВИНИТИ. N. 3258-83 деп.

24. Гриднева В. А., Шахтмейстер JI. И. Исследование удара под углом методом "крупных частиц"// Вопросы механики и прикладной математики. Томск. 1983. С. 85-90.

25. Гулидов А. И., Фомин В. М. Модификация метода Уилкинса для расчета задач соударения тел// Препринт. АН СССР. Сиб. отд-ние, ИТПМ: N° 49. Новосибирск. 1980. 23 с.

26. Гулидов А. И., Фомин В. М. Численное моделирование отскока осесимметричных стержней от твердой преграды// ПМТФ. 1980. №■ 3. Новосибирск. 1980. С. 126-132.

27. Гулидов А. И., Шабалин И. И., Метод свободных элементов// Препринт №■ 9-94, Новосибирс: ИТПМ СО АН СССР, 1982. С. 182-192.

28. Гулидов А. И., Фомин В. М., Яненко Н. Н. Численное моделирование проникания тел в упругопластическом приближении// Проблемы математики и механики. Новосибирск: Наука. 1983. С. 71-81.

29. Гулидов А. И., Фомин В. М., Шабалин И. И. Численное моделирование разрушения сдвигом// Механика быстропроте-кающих процессов.-Новосибирск: ИГ СО АН СССР, 1984.

30. Гулидов А. И., Шабалин И. И. Численная реализация трагичных условий в динамических контактных задачах// Препринт. АН СССР. Сиб. отд-ние. ИТПМ: № 12-87. Новосибирск. 1987. 37 с.

31. Гулидов А. И., Шабалин И. И. Численный алгоритм моделирования закритического откола при соударении пластин// Моделирование в механике. 1990. Т. 4. J\f- 4. С. 11-18.

32. Гулидов А. И. Организация вычислительного процесса и структура данных при численном решении динамических задач механики деформируемых сред// Моделирование в механике. Новосибирск: 1991. №■ 3. С. 127-141.

33. Гулидов А. И., Шабалин И. И. Метод свободных элементов. Приложение к решению задач разрушения упругопластиче-ских тел в процессе ударного взаимодействия//Препринт. АН РАН. Сиб. отд-ние. ИТПМ: 9-94. Новосибирск. 1994. 32 с.

34. Ильюшин А. А., Об одной теории длительнй прочности// Изв. АН СССР МТТ. 1967. 3. С. 21-35.

35. Ишлинский А. Ю., Ивлев Д. Д. Математическая теория пластичности. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2001.

36. Канель Г. И., Разоренов С. В., Фортов В. Е. Откольная прочность металлов в широком диапозоне амплитуд ударной нагрузки// Докл. АН СССР. 1987. Т. 294. Л^ 2. С. 350-352.

37. Качанов JI. М., О времени до разрушения в условиях ползучести// Изв. АН СССР, ОТН, 1958, №• 8, С. 26-31.

38. Качанов JI. М. Основы механики разрушения. М.:Наука, 1974. 312 с.

39. Качанов JI. М. Основы теории пластичночсти. М.:Наука, 1969. 420 с.

40. Киселев А. Б. Развитие метода Уилкинса для решения трехмерных задач соударения деформируемых тел//Взаимодействие волн в деформируемых средах. М.: МГУ. 1984. С. 87-100.

41. Киселев А. Б. О критерии динамического разрушения при ударном взаимодействии упругопластических тел// Вестн. МГУ. Сер. Математика, Механика. 1986. Af-б. С. 45-51.

42. Киселев А. Б., Максимов В. Ф. Численное решение трехмерной задачи пробивания тонкой упругопластической преграды/ / VI Всесоюз. съезд по теорет. и прикл. механике: Аннот. докл.- Ташкент: ФАН. 1986.

43. Киселев А. Б. Численное моделирование разрушения при распространении упругопластических волн// Теория распространения волн в упругих и упругопластических средах. Новосибирск: ИГД СО АН СССР. 1987.

44. Киселев А. Б., Рыбакин, Б. П. Численное исследование от-кольного разрушения при взрывном и ударном нагружении// Препринт, Кишенев — 1989. 39 с.

45. Киселев А. Б., Юмашев М. В. Деформирование и разрушение при ударном нагружении. Модель повреждаемой термоупругопластической среды//Ж. прикл. механ. и техн. функц., 1990. М-Ъ. С. 116 -123

46. Киселев А. Б., Кабак Н. Е., Метод построения расчетных сеток с выделением внутренних контактных границ// Моделирование в механике. 1990. Т. 4. М-Ъ. С. 96-110.

47. Киселев А. Б., Юмашев, М. В. Численное исследование ударного сжатия микропоры в термоупруговязкопластическом материале// Вест. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1992. N° 1. С. 78-83.

48. Киселев А. Б., Юмашев М. В., Математическая модель деформирования и разрушения твердого топлива при ударном нагружении // Ж. прикл. механ. и техн. физики. 1992. N-6. С. 126 134.

49. Киселев А. Б. О численном интегрировании уравнений течения упрочняющейся упругопластической среды// Вест. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1995. N°4. С. 71 74.

50. Киселев А. Б., Математическое моделирование динамического деформирования и комбинированного микроразрушения термоупруговязкопластической среды//Вест. Моск. Ун.-та Матем. Механ., 1998. N° 6. С.32 -40.

51. Киселев А. Б., Лукьянов А. А., Численное моделирование кинетики фрагментов. Ломоносовские чтения, Апрель 2002. МГУ 1 с.

52. Киселев А. Б., Лукьянов А. А., Численное моделирование гидроразрыва. Ломоносовские чтения, Апрель 2003. МГУ. 1 с.

53. Кондауров В. И., Кукуджанов В. Н. О решении многомерных задач динамики идеально термоупругопластических тел// Численные методы решения задач теории упругости и лпа-стичности/Матер. V Всесоюз. конф. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР. 1978. С. 89 104.

54. Кондауров В. И. Тензорная модель континуального разрушения твердых тел//Научные труды Института теплофизики экстремальных состояний ОИВТ РАН. Вып. 3. М.: ОИВТ РАН. 2000.

55. Кондауров В. И., Фортов В. Е., Основы термодинамики конденсированной среды. М.: МФТИ. 2002. 336 с.

56. Коробейников С. Н., Худяков Ю. С., Шутов А. В., Математическое моделирование хрупкого разрушения тонких тел // Вычислительные методы и программирование. 2002. Т. 3. С. 187-210.

57. Коротких Ю. Г., Рузанов А. И. Исследование динамического разрушения упругопластических тел// Прикл. механика. 1978. Т. 14. N° 5. С. 3-9.

58. Кукуджанов В. Н., Численное моделирование динамических процессов деформирования и разрушения упругопластических сред// Успехи механики. 1985. Т. 8. N- 4. С. 21-65.

59. Кукуджанов В. Н., Микроскопическая модель разрушения неупругого материала и ее применение к исследованию локализации деформаций// Изв. PA. МТТ. N° 5. 1999.

60. Лавит И. М. Рост трещины в условиях квазихрупкого разрушения при монотонно возрастающей и циклической нагруз-ках//Известия РАН. МТТ. №■ 2. 2001. С. 109-120.

61. Лавит И. М. Энергитический баланс окрестности кончика трещины в упругопластической среде//Известия РАН. МТТ. N° 3. 2001. С. 123-131.

62. Леви М. К вопросу об общих уравнениях внутренних движений, возникающих в тверых пластических телах за пределами упругости / Сб. ст.: Теория пластичности. М.: Гос. изд.-во иностр. литературы. 1948. С. 20-23.

63. Левитас В. И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. Киев: Наукова Думка. 1987. 232 с

64. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.:Наука. 1980. 512 с.

65. Майнчен Дж. и Сак С. Метод расчета "Тензор"/ Вычислительные методы в гидродинамике под ред. Б. Олдера, С. Фернбаха, М. Ротенберг. М.: Мир. 1967. С. 185-211.

66. Меньшиков Г. П., Одинцов В. А., Чудов JI. А. Внедрение цилиндрического ударника в конечную плиту // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. N° 1. С. 125-130.

67. Минин В. Ф., Мусатов В. В., Селезнев А. И., Фрумин В. JI. Модификация метода "крупных частиц"для решения двумерных нестационарных задач механики сплошных сред// ДСС. Новосибирск. 1985. Вып. 73. С. 78-85.

68. Морозов Е. М., Никишков Г. П. Метод конечных элементов в механике разрушения. М.: Наука. 1980. 254 с.

69. Мураками С., Радаев Ю. Н., Математическая модель трехмерного анизотропного состояния поврежденности// Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1996. N° 4. С. 93-110.

70. Нигматулин Р. И., Холин Н. Н. Скоростное деформирование металлов// Изв. АН СССР. МТТ. 1982. N° 5. С. 78-83.

71. Никифоровский В. С., Шемякин Е. И. Динамическое разрушение твердых тел. Новосибирск.: Наука. 1979. 272 с.

72. Никитин JI. В. Распространение упруговязкопластических волн в толстостенной трубе // Изв. вузов СССР. Машиностроение. 1958. No. 3, 4. С. 14-23.

73. Новожилов В. В. О переспективах феноменологического подхода к проблеме разрушения/ В книге: Механика деформируемых тел и конструкций. М.: Машиностроение. 1975. С. 349-359.

74. Онами М., Ивасимидзу С. и др. Введение в микромеханику. М.: Металлургия. 1987. 280 с.

75. Прагер В., Ходж Ф. Теория идеально пластических тел. М.: Изд.-во иностр. лит.-ры. 1956. 398 с.

76. Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности стические. Изд.-во МГУ. 1995. 365 с.

77. Пэжина П. Основные вопросы вязкопластичности. М. 1968.

78. Работнов Ю. Н. О механизме длительного разрушения/ Сб. "Вопросы прочности материалов и конструкций". М.: Изд-во АН СССР. 1959. С. 5-7.

79. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.:Наука. 1966. 752 с.

80. Работнов Ю. Н. Избранные труды. Проблемы механики деформируемого твердого тела. М.: Наука. 1991. 196 с.

81. Радаев Ю. Н. Термодинамическая модель накопления анизотропной поврежденности в твердых телах// IX Коференция по прочности и пластичности. Москва. 1996. Труды конференции. Т. 2. М. 1996. С. 148-153.

82. Радаев Ю. Н. Теория конечных деформаций сплошных сред. Самара: Изд.-во гос. университета. 1997. 103 с.

83. Радаев Ю. Н. Тензорные меры поврежденности и гармонический анализ тонкой структуры поврежденности// Вестник Самарского гос. университета. 1998. Я- 2(8). С. 79-105.

84. Радаев Ю. Н. Точное усреднение тонкой структуры поврежденности// Вестник Самарского гос. университета. 1999. Я- 2(12). С. 71-96.

85. Реснянский А. Д., Мержиевский JI. А. Применение метода подвижных сеток в задачах разрушения твердых тел//Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР. 1984. Вып. 66. С. 150-157.

86. Робул Г. И. Применение метода частиц в ячейках к решению задач о высокоскоростном ударе// Числ. методы в аэродин. М.: 1980. Я- 5. С. 76-84.

87. Римский В. К., Сабодаш П. Ф. Численное моделирование осе-симметричной динамической контакной задачи об ударе по упругому слою тупым конусом//Прикл. механика. 1980. Т. 16. N° 8. С. 84-92.

88. Рузанов А. И. Численное исследование откольной прочности с учетом микроповреждений// Изв. АН СССР. МТТ. 1984. N° 5. С. 109-115.

89. Рузанов А. И., Романычева JI. К., Волков И. А. Построение расчетных моделей и численный анализ разрушения твердых тел при импульсных нагрузках./ Меаника быстро протика-ющих процессов. Новосибирс: Ин-т гидродинамики СО АН СССР. 1984. С. 98-105.

90. Сапожников Г. А. Совместный метод потоков жидкости и частиц в ячейках для расчета газодинамических течений // Вопросы разработки и эксплуатации пакетов прикл. программ. Новосибирск. 1981. С. 89-97.

91. Селиванов В. В., Соловьев В. С., Сысоев Н. Н., Ударные и детанационные волны. Методы исследования. М.: Изд.-во Моск. Ун.-та. 1990. 256 с.

92. Седов JI. И. Механика сплошных сред. М. Том 1, 2. 1970.

93. Соколовский В. В. Теория пластичности. М.: Высш. шк. 1969. 608 с.

94. Соснин О. В. О Варианте теории ползучести с энергетическими параметрами упрочнения/ Механика Деформируемых Тел и Конструкций. М.Машиностроение. 1975.

95. Сугак С. Г., Канель Г. И., Фортов В. Е. и др. Численное моделирование действия взрыва на железную плиту// ФГВ. 1983. N- 2. С. 121-128.

96. Уилкинс М. JI. Расчет упругопластических течений// Вычислительные методы в гидродинамике/ Под ред. Б. Олдера, С. Фернбаха, М. Ротенберга. М.: Мир. 1967. С. 212 -263.

97. Уилкинс М. JL, Френч С., Сорем М. Конечно-разностная схема для задач, зависящих от трех пространственных координат и времени// Числ. методы в мех. жидкостей. М.: Мир.1973.

98. Харлоу Ф. X. Численный метод частиц в ячеках для решения задач гидродинамики // Вычисл. методы в гидродинамике / Под ред. Б. Олдера, С. Фернбаха, М. Ротенберга. М.: Мир. 1967. С. 316-342.

99. Христианович С. А., Шемякин Е .И. К теории идеальной пластичности// Изв. АН СССР. МТТ. 1967. Я- 4. С. 86-97.

100. Фомин, В. М., Гулидов А. Н., Сапожников Г. А. и др., Высокоскоростное взаимодействие тел/ Новосибирск. Изд.-во СО РАН. 1999. 600 с.

101. Фонарев А. В. Применение произвольных треугольных разностных сеток к решению задач импульсного деформирования упругопластических тел// Модели деформирования и разрушения композиционных материалов. Свердловск: УНЦ АН СССР. 1988. С. 84-89.

102. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука.1974. 640 с.

103. Чудновский А. И. О разрушении макротел/ Исследования по упругости и пластичности. JL: Изд.-во Ленинградского университета. 1973. Я- 9. С. 3-40.

104. Шестериков С. А., Юмашева М. А. Конкретизация уравнений состояния в теории ползучести// Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1984. Я3. С. 126-141.

105. Atluri S. N. and Zhu Т., A new meshless local Petrov-Galerkin (MPLG) approach in computational mechanics// Computational Mechanics 22. 1998. P. 117-127.

106. Atluri S. N., Cho J. Y. and Kim H. G. Analysis of thin beams, using the meshless local Petrov-Galerkin (MLPG) method, withgeneralized moving least squares interpolation// Computational Mechanics 24. 1999. P. 334-347.

107. Atluri S. N., Shen S. P. The meshless local Petrov-Galerkin (MLPG) method.// Tech. Science Press. USA, 2002.

108. Bamman D. J. and Aifantis E. C. A damage model for ductile metals// Nuclear Engineering and Design 116. 1989. P. 355-362.

109. Bamman D. J. and Chiesa M. L., McDonald A. Kawahara W. A., Dike J. J., and Revelli V. D. Prediction of ductile failure in metal structures, In Failure criteria and analysis in dynamic response// ASME AMD. 107. P. 7-12.

110. Barder Т. M., Seaman L., Crewdson R. C. and Curran D. R. Dynamic fracture criteria for ductile and brittle metals// J. Mater. 7. 1972. P. 393-401.

111. Belytschko Т., Lin J. I. A three-dimensional impact-penetration algorithm with erosion// Computers and Structures, 1987. V. 25. No. 3. P. 95-104.

112. Belytschko Т., Krongauz Y., Dolbow J. and Gerlach C. On the completeness of the meshfree particle methods // Int. J. for Numerical Meth. in Engineering 43 (5). 1998. P. 785-819.

113. Belytschko Т., Krongauz Y., Organ D., Fleming M., and Krysl P. Meshless methods: an overview and recently developments // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 139. 1996. P. 3-47.

114. Belytschko Т., Lu Y. Y., Gu L., Element-Free Galerkin methods //Int. J. for Numerical Meth. in Engineering 37. 1994. P. 229256.

115. Bertolf L. D., Buxton L. D., Thorue B. J., Byers R. K., Stevens A. L., Thompson S. L. Damage in steel plates from hypervelocity impact II. Numerical results and spall measurements// J. Appl. Phys. 1975. V.46. No. 9. P. 3776-3783.

116. Bonet J., Kulasegaram S. A Simplified Approach to Enhance the Performance of Smooth Particle Hydrodynamics// Comput. Methods Appl. Mech. Eng 126. 2002. P.133-155.

117. Bonet J., Kulasegaram S., Rodriguez-Paz M. X., Profit M. Variational Formulation for the Smooth Particle Hydrodynamics (SPH) simulation of fluid and solid problems// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 193. 2004. P. 1245-1256.

118. Bonet J., Kulesagaram S. Correction and Stabilisation of Smooth Particle Hydrodynamics methods with applications metal forming simulation// Int. Jour. Num. Mehtods. Enginr. 47. 2000. P.1189-1214.

119. Brunig M. An Anisotropic Ductile Damage Model Based on Irreversible Thermodynamics// Int. Journal of Plasticity 19. 2003. P. 1679-1713.

120. Brunig M. Numerical Analysis of Anisotropic Ductile Continuum Damage// Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 192. 2003. P. 2949-2976.

121. Carroll M. M. and Holt A. C. Static and dynamic pore-collapse relations for ductile porous materials //J. Appl. Phys. 43. P. 1626-1636.

122. Chaboche J. L. Continuum damage mechanics: Part I General concepts // J. Appl. Mech. 1988. V. 55. No. 1. P. 59-64.

123. Chaboche J. L. Continuum damage mechanics: Part II Damge growth, crack initiation, and crack growth //J. Appl. Mech. 1988. V. 55. No. 1. P. 65-72.

124. Chen J. K. and Beraun J. E., A generalized smoothed particle hydrodynamics method for nonlinear dynamic problems// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 190. 2000. P. 225-239.

125. Chen J. К., Beraun J. E. and Carney Т. C., A corrective smoothed particle method for boundary value problems in heat conduction// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 46. 1999. P. 231-252.

126. Chen J. K., Beraun J. E. and Jih C. J., An improvement for tensile instability in smoothed particle hydrodynamics// Computational Mechanics 23. 1999. P. 279-287.

127. Chen J. K., Beraun J. E. and Jih C. J., Complitness of corrective smoothed particle method for linear elastodynamics// Computational Mechanics 24. 1999. P. 273-285.

128. Cocks A. C. F. Inelastic deformation of porous materials// J. Mech. Phys. Solids 37. 1989. P. 693-715.

129. Cortes R. The growth of microvoids under intense dynamic loading // Int. J. Solids Struct. 29. 1992. P. 1339-1349.

130. Curran D. R., Seamon L. and Shockey D. A. Dynamic fracture in solids // Phys. Today 30. 1977. P. 46-55.

131. Curran D. R., Seamon L. and Shockey D. A. Dynamic failure of solids // Phys. Rep. 147. 1987. P. 254-388.

132. Coleman B. D., Gurtin M. Thermodynamics with internal variables// J. Chem. Phys. 1967. V. 47. P. 597-613.

133. Davison L., Stevens A. L. Thermodynamic constitution of spalling elastic bodies// J. Appl. Phys. 1973. V. 44. P. 668-674.

134. Daux C., Moes N., Dolbow J., Sukumar N., Belytschko T. Arbitrary branched and intersecting cracks with the extended finite element method // Int. J. Numerical Methods in Engng. 2000. V. 48. No. 12. P. 1741-1760.

135. Dolbow J., Moes N., Belytschko Т., An extended finite element method for modelling crack growth with fritional conatct // Comput. Methods Appl. Mech. and Engng. 2001. V. 190. No. 51-52. P. 6825-6846.

136. Duarte С. A. and Oden J. Т., An HP adaptive method using clouds //Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 139, 1996, P. 237-262.

137. Espanol P. Fluid particle model// Physical Review E 57/3. 1998. P. 2325-2341.

138. Fleming M. Y., Chu A., Moran В., Belytschko T. Enriched element-free Galerkin methods for singular fields // Int. J. Numerical Methods in Engng. 1997. V. 40. No. 8. P. 1483-1504.

139. Gentry R. A., Martin R. E., and Daly B. J. An Eulerian differencing method for unsteady compressible flow problems// J. of Computational Physics 1. 1966. P. 87-118.

140. Gingold R. A., Monaghan J. J. Smoothed particle hydrodynamics: theory and applications to non-spherical stars// Mon. Not. R. Astr. Soc., 181, 1977, p. 375-389.

141. Gu Y. Т., Liu G. R., A local point interpolation method for static and dynamic analysis of thin beams// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 190. 2001. P. 5515-5528.

142. Gu Y. Т., Liu G. R., A meshless local Petrov-Galerkin (MLPG) method for free and forced vibration analysis for solids// Computational Mechanics 27 (3). 2001. P. 188-198.

143. Gu Y. Т., Liu G. R., A meshless local Petrov-Galerkin (MLPG) formulation for static and free vibration analysis of thin plates// Computer Modeling in Engineering and Sciences 2 (4). 2001. P. 463-476.

144. Gu Y. Т., Liu G. R., A boundary point interpolation method for stress analysis of solids// Computational Mechanics 28 (1). 2002. P. 47-54.

145. Gu Y. Т., Liu G. R., A boundary radial point interpolation method (BRPIM) for 2-D structural analysis// Structural Engineering and Mechanics, An International Journal 15(5).

146. Harlow F. H. The particle-in-cell computing method for fluid dynamics // In Methods in Computational Physics, Fundamental Methods in Hydrodynamics, Vol. 3. 1964. Academic Press, New York.

147. Hayhurst D. R., Brown P. R., Morrison C. J. The role of continuum damage in creep crack growth// Phyl. Trans. Roy. Soc., London. 1984. V. A311. P. 131-158.

148. Hoogerbrugge P. J., Koelman J. M. V. A. Simulating microscopic hydrodynamic phenomena with dissipative particle dynamics// Europhysics Letters 19 (3). 1992. P. 155-160.

149. Johnson G. R., Stryk R. A. Eroding interface and improved tetrahedral element algorithms for high-velocity impact computations in three dimensions // Int. J. Impact Engng. 1987. V. 5. No. 1-4. P. 411-421.

150. Johnson G. R., Stryk R. A. Recent EPIC code developments for high velocity impact // Int. J. Impact Engng. 1990. V. 10. P. 281-294.

151. Ju J. W. Isotropic and anisotropic damage variables in continuum damage mechanics// J. Engineering Mechanics. 1990. V. 116. No. 12. P. 2764-2770.

152. Kachanov L. M. Introduction to Continuum Damage Mechanics. Dordrecht, Boston: Martinus Nijhoff, 1986. 135 pp.

153. Kachanov L. M. Effective elastic properties of cracked solids: critical review of some basic concepts//Appl. Mech. Rev. 1992. V. 45. P. 304-335.

154. Eberhardsteiner, J., Publisher: Vienna University of Technology, Austria, ISBN 3-9501554-0-6, http://wccm.tuwien.ac.at

155. Kiselev А. В., Lukyanov A. A. Mathematical modeling of dynamic processes of irreversible deforming, micro- and macrofracture of solids and structures// International Journal of Forming Processes- 5/2002. P. 359 -362.

156. Kiselev А. В., Lukyanov A. A., Investigation of dynamic process of irreversible deformation: Micro- and Macro-fracture of solids and Structures, 5th Euromech Solid Mechanics Conference, 2003, Greece.

157. Koshizuka S., Nobe A., and Oka Y., Numerical analysis of breaking waves using the moving particle semi-implicit method// Int. Journal fpr Numerical Methods in Fluids 26, 1998, P. 751769.

158. Krajcinovic D., Fonseka G. U. The continuous damage theory of brittle materials. Part I: General theory// J. Appl. Mech. 1981. V. 48. No. 4. P. 809-815.

159. Krajcinovic D. Constitutive equations for damage materials// J. App. Mech. 1983. V. 50. P. 355-360.

160. Krajcinovic D. Damage Mechanics. Amstredam: Elsevier Science В. V. 1996. 762 pp.

161. Krysl P. and Belytschko T. Analysis of thin plates by the Element-Free Galerkin method//Computational Mechanics 17, 1996, 26-35.

162. Laguna P. Smoothed particle interpolation// The Astrophysical Journal 439, 1995. P. 814-821.

163. Ladeveze P. Nonlinear computational structural mechanics. New York: Springer. 1999. P. 1-220.

164. Lemaitre J. Continuum damage mechanics model for ductile fracture// J. Eng. Materials and Technology. 1985. V. 107. P. 83-89.

165. Lemaitre J. Coupled elasto-plasticity and damage constitutive equations// Сотр. Math. Appl. Mech. and Eng. 1985. V. 51. P. 31-49.

166. Lemaitre J. A Course on Damage Mechanics. Berlin: Springer-Verlag, 1992. 210 pp.

167. Lemaitre J., Chaboche J. L. Mechanics of Materials. Cambridge: Cambridge University Press, A Course on Damage Mechanics. 1990.

168. Li S. and Liu W. K. Meshfree and particle methods and their applications// Applied Mechanics Review 55(1). 2002. P. 1-34.

169. Li S., Hao W. and Liu W. K. Numerical simulation of large deformation of thin shell structures using meshfree methods// Computational Mechanics 25. 2000. P. 102-116.

170. Li S., Rosakis A. J., Belytschko T. and Hao W. Mesh-free Galerkin simulation of dynamic shear band propagation and failure mode transition// Int. Journal of Solids and Structures 39(5). 2002. P. 1213-1240.

171. Li S., Liu W. K., Meshfree Particle Methods. Springer-Verlag. Berlin. 2004. 502 p.

172. Libersky L.D., Petschek A.G. Smooth particle hydrodynamics with strength of materials // Advances in the Free Lagrange Method, Lecture Notes in Physics. 1990. P. 395.

173. Libersky L. D., Petschek A. G., Garney Т. C., Hipp J. R. and Allahdadi F. A., High strain Lagrangian hydrodynamics-a three-dimensional SPH code for dynamic material // J. of Computational Physics 109. 1993. P. 67-75.

174. Liszka Т., Orkisz J. The finite difference method at arbitrary irregular grids and its applications in applied mechanics // Computers and Structures 11. 1980. P. 117-142.

175. Liu W. K. and Chen Y. Wavelet and multiple-scale reproducing kernel methods// Int. Journal for Numerical Methods in Fluids 21. 1995. P. 901-931.

176. Liu W. K., Jun S. and Zhang Y. F. Reproducing Kernel Particle Methods // Int. Journal for Numerical Methods in Fluids 20. 1995. P. 1081-1106.

177. Liu W. K., Jun S., Li S., Adee J., and Belytschko T. Reproducing Kernel Particle Methods for structural dynamics// Int. Journal for Numerical Methods in Engineering 38. 1995. P. 1655-1679.

178. Liu G. R. A point assembly Mesh Free Methods: moving beyond the finite element method//CRC Press, Boca Raton. 2002.

179. Liu G. R. Mesh Free Metmethod for stress analysis for solids // In. V. P. W. Shim et al. (Eds.): Impact Response of Materials and Structures, Oxford. 1999. P. 475-480.

180. Liu G. R. and Chen X. L. A mesh-free method for static and free vibration analysis of thin plates of complicated shape// Journal of Sound and Vibration 241 (5). 2001. P. 839-855.

181. Liu G. R. and Gu Y. T. A local point interpolation method for stress analysis of two-dimensional solids// Structural Engineering and Mechanics 11(2). 2001. P. 221-236.

182. Liu G. R. and Gu Y. T. A local radial point interpolation method (LR-PIM) for free vibration analysis of 2-D solids// Journal of sound and vibration 246 (1). 2001. P. 29-46.

183. Liu G. R. and Gu Y. T. A trully meshless method based on the strong-weak form // In. Liu G. R. (Ed.) Advances in Meshfree and X-FEM Methods. 2002. P. 259-261.

184. Liu G. R. and Gu Y. T. A meshfree weak-strong (MWS) form method// 25th World Conference on Boundary Element Methods, 8-10 September, 2003, Split, Croatia.

185. Liu G. R., Liu, M. В., Smoothed Particle Hydrodynamics: a meshfree particle method// World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 2003. P. 449.

186. Lu T. J., Chow C. L. On constitutive equations of inelastic solids with anisotropic damage// Theoretical and Applied Fracture Mechanics. V. 14. 1990. P. 187-218.

187. Liu M.B., Liu G.R., Particle Hydrodynamics: A Meshfree Particle Method. World Scientific Publishing.

188. Liu G. R., Dai K. Y., Lim К. M. and Gu Y. T. A radial point interpolation method for simulation of two-dimensional piezoelectric structures// Smart Materials and Structures 12(2). 2002. 171-180.

189. Lin H., Atluri S. N. Analysis of incompressible Navier-Stokes flows by the meshless MLPG method// Computer Modelling in Engineering and Sciences 2(2). 2001. P. 117-142.

190. Lubarda V. A., Krajcinovic D. Damage tensor and the crack density distribution// Int. J. Solids Structures. 1993. V. 30. No. 20. P. 2859-2877.

191. Lubarda V. A., Krajcinovic D. Some Fundamental Issues in Rate Theory of Damage-Elastoplasticity// Int. J. Plasticity 11. 1995. P. 763-797.

192. Lucy L. В. Numerical approach to testing the fission hypothesis// Astronomical Journal 82. 1977. P. 1013-1024.

193. Lukyanov A. A. Prediction of failure in metal structures based on thermodynamics of irreversible process//Proceeding IPC2004, ASME.

194. Lukyanov A. A., Reveles J., Vignjevic R. Numerical simulation of failure in metals based on irreversible thermodynamics// EURODYN2005, Paris, 2005.

195. Lukyanov A. A., Reveles J., Vignjevic R., Simulation of hypervelocity impact and spacecraft shielding performance//Fourth European Conference on Space Debris, Darmstadt, Germany, April, 2005.

196. Lukyanov A. A., Vignjevic R., Simulation of High-Velocity Impact of Graphite/Epoxy Composite Laminates// The European Conference on spacecraft Structures, Materials and Mechanical Testing, ESTEC, Noordwijk, Netherlands, May,2005.

197. Lukyanov A. A., Reveles J., Vignjevic R., Simulation of hypervelocity impact and spacecraft shielding performance, Fourth European Conference on Space Debris, Darmstadt, Germany, April, 2005.

198. Maugin G. A. Internal variables and dissipative structures // J. Non-Equilib. Thermodynam. 1990. V. 15. P. 173-192.

199. Maugin G. A. The Thermodynamics of Plasticity and Fracture. Cambridge, Cambridge University Press. 1992. 350 pp.

200. Maugin G. A. Thermodynamics of inhomogeneous-heterogeneous system: application to irreversible progress of two- and three- dimensional defects// ARI. 1997. V. 50. P. 41-56.

201. Meyers M. A. Dynamic Behavior of Materials. John Wiley and Sons. Inc. 1994. 668 pp.

202. Meshfree and Particle Based Approaches in Computational Mechanics, edited by Piotr Breitkopf, Antonio Huerta.

203. Metropolis N. and Ulam S. The Monte Carlo method // Journal of American Statistical Association 44. 1949. P. 335-341.

204. Moes N., Dolbow J., Belytschko T. A finite element method for crack growing without remeshing // Int. J. Numerical Methods in Engng. 1999.

205. Monaghan J.J. Kernel estimates as a basis for general particle methods in hydrodynamics// J. Comput. Phys. 46. 1982. P. 429 453.

206. Monaghan J. J. An introduction to SPH // Computer Physics Communication 48. 1988. P. 89-96.

207. Monaghan J. J. On the problem of penetration in particle methods// Journal of Computational physics 82. 1989. P. 1-15.

208. Monaghan J. J. and Lattanzio J. C. A refined particle method for astrophysical problems // Astronomy and Astrophysics 149. 1985. P. 135-143.

209. Morris J. P. A study of the stability properties of SPH //Applied Mathematics Reports and Preprints, Monash University (94/22), 1994.

210. Mukherjee Y. X., Mukherjee S. Boundary node method for potential problems// Int. J. for Numerical Methods in Engineering Engineering 40. 1997. P. 797-815.

211. Mukherjee Y. X., Mukherjee S. On boundary conditions in the element-free Galerkin method // Computational Mechanics 19. 1997. P. 264-270.

212. Murakami S. Notion of continumm damage mechanics and its application to the anisotropic creep damage theory// J. Engineering Materials and Technology. 1983. V. 105. P. 99-105.

213. Murakami S. Anisotropic Aspect of Material Damage and Application of Continuum Damage Mechanics/ Continuum Damage Mechanics Theory and Applications. Eds. D. Krajcinovic and J. Lemaitre. Wien: Springer-Verlag. 1987. P. 91-133.

214. Murakami S. Mechanical modelling of material damage// J. Appl. Mech. 1988. V. 55. No. 2. P. 280-286.

215. Nayroles В., Touzot G. and Villon P. Generalizing the finite element: diffuse approximation and defuse elements//Computational Mechanics 10. 1992. P. 307-318.

216. Pen'kov V. B. On a closing crack// J. Appl. Maths. Mech. Vol. 58, 1994. No. 5, P. 919-926.

217. Pen'kov V. B. On a heald crack//Prikl. Mat. Mekh. 58. No. 5, 1994, P. 154-160.

218. Pen'kov V. B. and Tolokonnikov L. A. On contact of the crack edges// Transl. from PMM U.S.S.R, Vol. 44, pp. 531-536.

219. Randies P. W., Libersky L. D. Smoothed Particle Hydrodynamics: Some recent improvements and applications// Comput. Methods Appl. Mech. Eng 139. 1996. P. 375-408.

220. Rashid M. M. The arbitrary local mesh refinement method: an alternative to remeshing for the crack propagation analysis // Comput. Meth. Appl. Mech. and Engng. 1998. V. 154. No. 1-2. P. 133-150.

221. Seweryn A., Mroz Z. A non-local stress failure condition for structural elements under multiaxial loading// Eng. Fracture Mech. 1995. V. 51. P. 955-973.

222. Seweryn A., Mroz Z. On the criterion of damage evolution for the variable multiaxial stress states// Int. J. Solids Structures. 1998. V. 35. No. 14. P. 1589-1616.

223. Steinberg D. J. Equation of State and Strength Properties of Selected Materials. Report No. UCRL-MA-106439. 1991. Lawrence Livermore National Laboratory. Livermore. CA.

224. Simo J. C., Ju J. W. Strain -and stress- based continuum damage models -I. Formulation// Int. J. Solids Structures. 1987. V. 23. No. 7. P. 821-840.

225. Tamuzs N., Romalis N., Petrova V. E. Fracture of Solids with Microdefects, New York: NOVA Science Publishers, 2000, 247 p.

226. Tuler F. R. and Butcher В. M. A criterion for the time dependence of dynamic fracture// The Int. Journal of Fracture Mechanics. Vol. 4. No. 4. 1968. P. 431- 437.

227. Voyiadjis G. Z., Kattan P. I. A plasticity-damage theory for the large deformation of solids. Part I: Theoretical formulation//Int. J. Engn. Sci. 1992. V. 30. No. 9. P. 1089-1108.

228. Voyiadjis, G.Z., Park, T. The Kinematics of Damage for Finite-Strain Elasto-Plastic Solids// Int. J. Eng. Sci. 37. 1999. P. 803830.

229. Wolfram S. Cellular Automata// Los Alamos Science 9. 1983. P. 2-21.

230. Yagawa G. and Yamada T. Free mesh method: a new meshless finite element method// Computational Mechanics 18. 1996. P. 383-386.

231. Yagawa G. and Yamada T. Meshless method on massively parallel processor with application to fracture mechanics, Key Engineering Materials 145-149. 1998. P. 201-210.

232. Wilkins M. L. Computer simulation of dynamic phenomen. Berlin, Heidelbery; New York: Springer Verlag, 1999, 246 p.