Численное моделирование одномерной и двумерной задачи двухфазной фильтрации в области с переменными границами раздела тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РГ6 од

\ 4 М Академия наук грузин

ИНСТИТУТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ им. Н. И. МУСХЕЛИШВИЛИ

На правах рукописи

АББАСОВ ГУММАТ МАГАММЕД оглы

численное моделирование одномерной и двумерной задач и двухфазной фильтрации в области с переменными границами раздела

01.01.07—вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ТБИЛИСИ —1993

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Бакинского Государственного Университета им. М. А. Ра-сулзаде.

Научный руководитель:

—кандидат физико-математических наук, проф.

Тагиев Ф. А.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, проф. Гордезиа-

ни Д. Г.

—кандидат технических наук, старший научный сотрудник-доцент Кадыров Р. Н.

Защита диссертаци состоится « » июня 1993 г. ъ^ЦцРчас. на заседании научно-аттестационного совета ГМ 01.01 С № 1 — 1 в Институте вычислительной математики им. Н. И. Мусхелишвили А. Н. Грузии по адресу: г. Тбилиси, ул. Акурская, 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики им. Н. И. Мусхелишвили АН Грузии.

Автореферат разослан « ^ » мая 1993 г.

Ученый секретарь научно-аттестационного Совета к. ф. м. н.

Н. К. ЧУХРУКИДЗЕ

I. ыцля хАРЛ10ЕН-:стакл РАБОТЫ

Актуальность тг-м,'. При проецировании рациональной разработки нг.^.сяннмх месторождений возникает необходимость рс-^еиия ряда сложных задач с учетом большого количества виаимссвязан-!Шл факторов, Решение этих проблей без применения современных математических методов и ЭВМ неэффективно и порою неаозмолю.

Одной из актуальных и практических всяких задач;проектирования разработки нефтянних месторождений язлястся задача фильтрации днухч'азиых жидкостей в области с переменными грантами раздела.

Математическое моделирование таких задач приводит к одному из ва:л!шс направлений вычислительной математики-созданпа эффективных численных методов и алгоритмов решения систем уравнений в частных произвсдшх.описызаюцих реальные процессы естествознания, котсрь'е.всооце говоря,не решится аналитическим методами.

Одним из эффективных и универсальных численных методов для релоння таких задач является метод конечных разностей.Однако, вопрос применимости метода сеток для решения системы уравнения составного типа, т.е. эллиптического уравнения для давления и нелинейного параболического уравнения в частных производных второго порядка с искусственными вязко.стями для насыщенности и границы разделов двухфазной фильтрации в области е персиен-Н1ымк грантами раздела мало исследован. Причиной этого является возникавшие в этом направлении принципальные трудности как теоретического, так и практического характера. Поэтов, большой интерес представляет исследование этой проблемы,которой посвящена настоящая диссертация.

-г -

Цель работы. Обоснование применимости истода конечных разностей получения апирорных оценок на согласованной ссгке. Создание эффективных вычислительных алгоритмов для решения одномерных и двумерных задач двухфазной фильтрации в области с переменными границами раздела.

ыйтод исследования. Рассмотренные в диссертации начальные-краевые задачи для одномерной,д:умерной фильтрации двухфазной несжимаемой и несмсгивапцихся жидкостей исследуются методом конечных разностей .в подвитой согласованной сетке.

Для одномерной фильтрации рассматривается еоответствув-дая система нелинейных дифференциальных уравнений моделирующего исследуемого процесса фильтрация двухфазной яидкос-тц при постоянной суммарной скорости. ■ '

Полученное аналитическое решение сравнивается с численными решениями при соответствующих начальных и краевых условиях.

Научная новизна. Впервые выбраны1 и теоретически обоснованы' специальные аналитические аппроксимации графически заданных начальных дачных для коэффициентов относительных . фазовых проницаемостей.

Исследованы одномерные и двумерные математические модели нестационарной фильтрации в пористой среде с переменной границей раздела.

Разработка адаптированная сетка для.аппроксимации нелинейной математической модели процесса, а такке аффективные вычислительные, .алгоритмы на основании разработанной разностной схемы, следовательно^утверздается, достоверность результатов подученных в силу вычислительного эксперимента,

обоснована применимость метода прогонки п области с переменной границей раздела. ■ •

Теоретический результаты сопоставляются с результатами физического экспериментов и численных расчетов при идентичных условиях. Для реления нелинейной начально-краевой задачи' применяется подои, »пая едоптиросанная сетка, параметры которой определяются исходя из физической особенности исследуемого процесса.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность диссертационной работы заключается в разработке эффективных вычислительных алгоритмов реиения прикладных задач в области с лодеи;л!и.ш границами, которая подлетат к определении и обссновони» применимости различных схем разработанные на адаптированной сетке для одномерной и двумерной двухфазной фильтрации в пористой среде .с переменными границами раздела, а так ;ке оценки погрешности линеаризованной разностной схемы на фиксированном временном слое.

Практическая ценность заклачается в возмойлости применения полученных результатов и проектированию разработки нефтяишх месторождений, которые эксплуатируется поддержанием пластового-давления нагнетанием в пласт воды, а так же могут быть применены при решении различных задач двух разной фильтрации з пористой среде для несжкаемых флюидов в пористой среде_ с переменной границой раздела и других сложных задач подземной гидромеханики.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы, • по мере их получения, докладывались на научных семинарах кафедры вычислительной математики и прикладной иатецатвк«

¿ГУ ни. Ы.А. Рас у диаде, и Госадарсгисыой 1ш£,тшюи Акадеккн •• ' Азероайджанскоц JfecnjäfiwKn, uai ка^дрс щжкпадно.; нитикатиии 'Ш, в Институте Бичнслителыиои иатекьт.жи ,im. h..l. й/охелиолили ай грузии.

Реализапия. На основании разработанных алгоритмов созданы структурные програ1.;ш на„алгориг.мкчосхом языке Р/,/1 и ^С-ЭВМ и ."IK.i, и ;:роаодсш вычислительное экс-

перименты.

Обьсы работ. Диссертация состоит из введения, четерех глав и списка литературы. Работа изложена на III страницах • машинописного текста.

Список литературы включает 97 наименований отечественной и'зарубежной литературы.

Публикация. Основное содержание диссертации опубликовано в 4 работах автора, перечень которых приведены в когце автореферата.

П. КРАТКОЕ ССдаРЙАРШЕ ДИССЕРТАЦИИ

•. Во введении обоснована актуальность те,\щ диссертации, сформулированы цель работы и приводится обзор основных результатов, полученных по этой проблематике другим авторами.

Первая глава состоит из 6 параграфов и первый параграф посвящен аппроксимации кривых коэффициентов фазовых проницае- . мостей приближенно-аналитической ме'тодом при различных ьяз-костях фазы.

В § 2 гл. I рассмотриваются аппроксимации суммы фазовых проницаемостей * ^/ßr^ интераоля- ■

ционшм mi ic го члена)/) Лагранка и нсиолы»;уи корни иоаниоаи Чейышвла, коалиции ты kovojiux ипредвютоя по экспиривишгальвыи крииии «азоаих »Юш.-цаииоож, K,(f) и на ¿-ф

l^zmi.fj^j 7 ;

•i*« Y (!) .

В § 3,4 гл.1 проводятся численный анализ и сравнение 1-:р:ть.'х для коэффициентов разовых проницаемостей» полученных прибли-женпо-анЕлитичоскимн формулами и физическими экспериментами. В § 5 гл. I разрабатцвазтся адоптированная сетка.-В § 6 гл. I приводятся теоретическая анализ и физическое обоснованно математической модели вытеснения нефт>1 водой.

Вторая глава состоит из 10-ти параграфов и посвяцсна исслсдовшнш одномерных задач нестационарной двухфазной фильтрации несжимаемой жидкости в пористой' среде.

5 I гл. П посвяцен исследованию нелинейной одномерной математической модели для одномерного нестационарного фильтрационного процесса в пористой среде с переменными границами раздела, т.е. к приближенному решению задачи в области ¿> ;

Ра, ^ =

?сы)/УЧ = %(1), (6)

где предполагается, что на неизвестных границах раздела Ук условие сопряже-

ния:

Ср\ ~СР\п -- о, к-и, (8)

где ^ —Х^б)} оС коэффициент пористости, и

<ф>№) являются функциями Баклея-Леверетта и ее производной.

Текущие положение точки соприкосновения фаз — —Хк!И) , И- определяются как.решения задачи

Коши:

' . (ю)

Гк(*,ь)/6=:о - (и)

где

-водонасыценность на Уц—^к^) ■

5 2,3 гл. П рассматриваются аппроксимации задачи (2)-(XI) в разработанной согласованной сотке

= -^-./У1- &&.) аз)

Г (¿»«¡5 /«-<

" Рп?к+/ У И- 2

(13)

'-у РП /■А'1 Рт " '• У*> -¡ЛгУ/

(15)

: (16) (17)

«е,

У — Рп-Ртч рСу

^к г^--

(19)

(20)

В § 4,5 гл. П рассматриваются аппроксимации задачи (2)-(б) с неявной разностной схемой:

- /С- с-яг^с^т:^ ^, (21)

Матрицы системы (21) записывается в виде

Ь/

с,г .ее-™ г.)

Пиг. —'-(. ИУ '

.если

(22)

^ О » в остальных случаях .

Следовательно обосновывается применимость метода прогонки для решения разностной задачи (21).

Построены тестовые линейные системы соответствующие задачи (2)-(П) при идентичных краевых и начальных услозиях.

В § 6,7 гл. П рассматривается алгоритм ресення задачи (2)-(Ш и численная устойчивость и сходимость одномерной дискретной модели на временном слое.

Показано, что для устойчивости явной схемы.(12) - (18) необходимо выполнение следующих условий:

' ^^ Ьгау?I

т Ь-^х,'^! > ¿7*«*//^,/1 ]

Подтверждается эффективность вычислительного алгоритма,т.е. достоверность полученного.результата и на.основании разработанного. алгоритма проводится вычислительный эксперимент и ут-вервдается, что при больших • поле давлений в области зоны смеси польностыо соответствует полю давлений в стационарном случае. '

§ 8 гл. П посвящен исследованию методом конечных раз- '

ностной математический модели задачи нестационарной двухфазной фильтрации с малыми вязкостлми в пористой среде с переменными границами раздела,т.е.

ЯК)/^^*)' (30)

6*,о(Х>, (33)

(34)

в § 9 ГЛ. П разрабатываются расчётные алгоритмы.для чи*

ленной реализации задачи <24)-(Э5):

ш

„ _ ш

сЛ' (У ~ . V. ** /

Л.. , - й"'' л"" "'Ч'

. +

I I я И«/ р>«/

■ Г -Й1Й' - ^

¿^•-^у-*- - ( и„ /

' ЛЛ о"* о»** гм,/ г"'' (38)

' А» «»т

139)

Р(0Ли) : . (40)

(41)

= Х- £ ^ ? (42)

¿>(0,1*)'- (43)

Гк (У^о) - вк,0щ, (45)

Гк 1о л и) - вК1 (1*), (4б)

¿и« (47)

Уравнения (Зб)-(Зо) приводятся к следующему каноническому виду".

г,?-/ вг>г бг ^^-¿ъ, 9

где ¿21 -идентификатор одна из переменных Р,^

1+42.

Матрицы системы (4Е) записываются в следувцем веде:

{-¿А' .если ¿гг,

/ (49)

Сг,4- .если ¿г е-/, О в остальных случаях . . Для уточнения значения давления применяется следув-ций алгоритм:

. .7

. / »•»,*; л/ —' ^г'н'ькг.) .

(50)

л"" — £>1 • п""' 1^-0, и, о - Гг»~1,к ; Гт 11,1^0 ~ Гки^

В § II гл. П анализируются результаты вычислительных экспе-риыектов.

Глава Ш состоит из 6 параграфов. § I гл.Ш посвяц?н математической постановке задачи.

- 12 -

5 2 гл. С посвкцси числонпоцу моделировании задачи двумерной нестационарно;} фильтрации для двухфазной жидкости в пористой средс с переменными границами раздела с учетом малой вязкости.

■ Для иаховдения поля давлений, поля воданасыцснности и гран!!цы разделов в области ^¡^ = ^Х^У У рассматриваются слодувцио задачи:

(53)

КШ)/^ о (54)

Р(Ш)/р ' '0 (55)

(56)

(57)

(58)

сР(ХМ)/Го = У6), (60)

¿(ш)/г1 = %

fe = <v w (ч) € ^ (62)

r<L(W/ro~ QbiWjtttifanïhé^r, «33)

(64)

где Jyü-fjß-O; FejQ^f^r^l-/^

Го

-коэффициенты пористостикозф;.и-цизнты пористости на границах Уе ^

воданасщенности на ¡границах. ^/Щ^Ф) -ЗЗД6«""0 Функции.

Предполагается» что на неизвестных границах

Удовлетворяется условия сопряже-

ния

% ¿Ц (М, еНг ш

В § 2 гл. Ш разрабатывается аппроксимирующая схема для задачи (51)-(64) и вычислительный алгоритм для численной

реализации в области ^^^ '

.■ Л . /о* •

кп (Г^^Г^^^Х

р!С >, . / РК*1 рМл(

% ^ Щит*/

Уравнения (66),(07),(68) приводятся к виду для причинения алгоритма прогонки.

п* ~У«<! У* ,сь

^ + —^/н, (69)

где ¡у!____/М-/ -есть идентификатор перемен-

ных о >

В § 3,4",о алпрокои

В § 3,4",о алпрокоимирувтея начальные и краевые условия (54)-(б4) нулевой невязкой и условия сопряжения (65) с обычной и повышенной точностью.

В.§ 6 гл.Ш .для линеаризованной схемы (12) -доказана справедливости неравенства

(70)

где £рК ^ р^ СОЛЛ^ .

Доказываются следующие теоремы —

Теорема I.- Если решение задачи (2) Срст^Т*О

погрешности аппроксимацийтв!йет место оценки

уто(г); £>о. 9

Теорема 2,Если решсиио ¿aj\wu (2) }

то для погрсашости анпроксимацп^йлс'ст моего оценки

Четвертая глава состоит из трех параграфов.

В порвем параграфе даются результаты ВЭ проведенных и подвижных согласованных сотках при одномерном вытеснении нефти водой при различных значениях входной информации.

Зо втором параграфе даются результаты численных экспериментов, 'проведенных в подвижных сопкхсовшшых сотках при • двумерном вытеснении нсфгги водой.

В третьем параграфе дастся основные выводы диссертации.

Основные результаты диссертационной работы сводятся к следующему: •

1.B работе на основе систематического анализа результатов физических экспериментов, полученных разными авторами, предложен метод приближенно аналитической аппроксимации кривых фазовых проницаемостей интерполяционными многочленами с требуемой точностью.

2.Сформулирована и численно решена задачи двухфазной фильтрации несжимаемой жидкости в области с переменными 1"раницами раздела в рамках теории Баклея-Леверетта с причинением согласованной подвижной сетки.

3.В диссертации впервые исследованы задачи нестационарной, двухфазной' фильтрации несмеживаюцихся жидкостей в пористой среде.с. двумя границами раздела, которые охватывает переходную зону от одной фазы к другой и.позволяют.моделировать

реалышо физические процессы. .

4.Разработаны удобные для применения методы решения задач вытеснения одной ([юзы.другой п пористой среде, в постановках, учитыьавцих основные условия разработки иефтян-ных месторождений, эксплуатируемых нагнетанием вода в.пласт. Эти метода позволяпт осуществить анализ влияния вязкостей фаз на технико-экономические показатели разработки нефтяншх месторождений и могут быть применены при составлении научно-обоснованных проектов заводнения.

5.Обоснована применимость метода конечных разностей к начально-краевой задаче для системы дифференциальных уравнений составного типа двухфазной фильтрации в области с переменными границами раздела.

6.Полностью обоснованы применимость задач с малой искусственной вязкостьп для численного решения исходной математической моделии вытеснения нефти водой методом ко'нечных разностей.

7.Создаш эффективные вычислительные алгоритмы для решения одномерных и двумерных задач вытеснения нефти водой

и проведены численные эксперименты на ЭВМ, вполне согласованные с теоретическими результатами.

Основные результаты диссертации опубликованы в слсдуи-цих статьях:

I.Aöüacoc Г.М., Тагисв O.A. Численное моделирование одномерной и двумерной фильтрации двухфазной жидкости а области с переменными границами раздола. Деп.рук. В40-Аз. от IÜ.0U.67, Баку, 1988г.

,2.Аббасов Г.М,, Тагиев O.A. Численнос модглированис двухфазной фильтрации в пористой' средо методом искусственной вязкости. Тематический сб.научных' трудов. Прибликешше методе решения операторных уравнений) Из-во БГУ им. М.Л.Расул-заде.Баку, 19УГ, стр.84-08.

З.Аббасов Г.Ы. Процесс фильтрации двухфазной жидкости и пористой среде с переменными границами раздела. Деп. АзНШИ й 1872 - Аз от 09.11.1992.

,4.Лббасов Г.М. Численные решение задачи двумерной фильтрации двухфазной жидкости в пористой среде методом искусственной вязкости,в области с переменными границами раздела. Дел. ШШ\ J5 ХВ72 - Аз от 09.II.1992.

пЛзл'Ьпзоб" gnQ^fïûunob û3ci(joGnb йпцЬзпоп ûrôg'bg изЬ^-?'1

а^Зутдо bùîx'jgrtooi (l^b-j;; gGùfyj) (поЬзЛдлопо J-3ocig3.i¿.-ijnb Эдц5лд<*:;;&1>а.а jùGajnîjù^fiU bàSgQGogfm

boi^obbob OrjbùiSmggàîjor?

intj^ boSg&tJn, GjgoimJnbù jötinb boâii^igirtt"', nG^gGbn^rt ggioboùb' ^ojogonrtgJncit Здфо^ i^bçNl ÎÛ^nJo bû'erçg^g&nb 3¿nGj)

gmi^ngou ïMggVSo bnoibnljô tço jaíjnb cjnGgünb ЗотдЗофп^дйо Scisjgtiglbnb ¿cj-Çg^iobù по rtnybgnnn jo3nj3c;03ob оЗтцаСдйп o^oJ^AnG^jc? joSmSoigijgqn 3>sG-jûGgSnb joBmggGginai.

ЗпудЗг'с; GooAnSSn (п«зи3^с;оо qù ЗлцдЭдс;по 000^5^" ЛоцЬдпоп оЗтЬЬБд-jg^^nÇ^gogn ^пдз^оьцпло^Лп bùbûîxigei« оЗтцоСдЬпЬбга-

gnb> ^пЭзз^пц àç^C^O^ тЛдо^кпдйб ^осфйоцопЬ «íAibflágnmfíiJíjjA óSmyoGg&b оЛддй'Ьд аоЗутдо bo'bqgrtgSnoi.

• îjnbgi'nJùûnù ŒgtrvgJû Sgbogoçnlia ojo mcibr» crOgnbûjûGi GûEiimSSn Эг>г;д&дс;ло 3g3ç;gjo drwinonijjn Eg.-jg^g&ni , gjb^grtnogGjo^grtn SmGo'jgSg&ob' jGû^n%nb ÎJûg-gdgotj'bg 9notSmgGoc;ri bn-Ъ^Ьфла joSjùfîoiGnânb SiÄgpgQiob 3nobcyig5nm-ciGj)t;o'?)g(<,)o •

■Эс|Лч^ЬпЭо(Зпд5о5

bobf^q bbgûnSûmi 3goOT!jfibii rça 3(jrwíg ¿айаЗд^ЛпЬ 3gcx4<¡;nb bûî/pûqgÂnci •^oS'jSûgabjiïino >jo 3ft.>btyigSfiœ aoSnjgqg^cjno qA»3ûSqoBo Bg^jrigggçf) bt-.abg-gânb яЛдл'Ыдобп goQ^iíognnb ЗостдЭофп^^о Smjjgçn orto ¿оЗцгчдп bû'bcjgi'io-

ûGn gmí^goGn, SóggSobooignb • . k •

ço 3gb7«sgc;nt;oj) gggjJJjrto bùbrt^çbbgùmicûGo Sgmmçigàn Çycjnb bùG^ôcjgJoioi Eogranîol« 3<i3m<oggGob gAsn mfijùG'bmSncjg&n.iGrt аЗтцоодип, ftoJû<Î2&™qnc! çg.Jùc^io (пп(зЬзпол О^ЗдЛпЭдБфп, АчЗд^пц SgaiiGMgi-jt^niS Эдздзд&оиэ6 »