Численное моделирование определяющих соотношений для среды с трещинами и контактными взаимодействиями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ. Актуальность, цель и задачи исследования, основные 4 результаты, структура диссертации (обоснование).

Глава 1. Обзор исследований по определяющим соотношениям, цель и задачи работы.

Глава 2. Теоретические положения для периодических задач.

2.1. Определения эффективных напряжений и деформаций для периодических систем.

2.2. Интегральные соотношения для периодических систем.

2.3. Условия симметрии зависимостей между эффективными напряжениями и деформациями.

2.4. Матрица эффективной податливости. v.

2.5. Матрица дополнительной податливости.

2.6. Регулярные системы секущих трещин.

Глава 3. Разработка метода гиперсингулярных ГИУ для решения задач об эффективных свойствах среды с растущими трещинами и контактными взаимодействиями.

3.1. Выбор и особенности метода численного решения задач. 50 3.1.1. Выбор метода численного решения задачи. 50 3.1.2 .Комплексные ГСИУ двоякопериодической задачи. 53 3.1.3. Нахождение матрицы эффективной податливости и зависимостей s-e.

3.2. Разработка метода учета роста трещин.

3.2.1. Условия, определяющие рост трещин отрыва.

3.2.2. Итерационная процедура для нахождения траектории трещины.

3.2.3. Выбор параметров итерационной процедуры.

3.2.4. Тестовые примеры.

3.2.5. Алгоритм автоматического отслеживания траекторий трещин. 77 3.3. Разработка метода учета контактного взаимодействия.

3.3.1. Уравнения контактного взаимодействия.

3.3.2. О сходимости итерационного метода решения ГСИУ.

3.3.3. Случай идеально пластического контакта.

3.3.4. Алгоритм автоматического отслеживания контактных взаимодействий.

3.3.5. Объединение алгоритмов отслеживания траекторий трещин и контактных взаимодействий.

3.3.6. Тестовые примеры.

Глава 4. Исследование роста трещин и эффективных свойств среды при сжатии.

4.1. Исследование роста трещин при сжатии.

4.1.1. Рост изолированных трещин.

4.1.2. Эшелоны трещин с растущими крыльями.

4.1.3. Рост двоякопериодической системы трещин. 106 4.2.Эффективные свойства среды с растущими трещинами и контактными взаимодействиями.

4.2.1. Изменение дополнительной податливости с ростом трещин.

4.2.2. Макроскопические диаграммы s-e для среды с контактными 111 взаимодействиями и трещинами.

Развитие современной науки характеризуется учетом деталей процессов, происходящих на структурном уровне, чему способствует прогресс в вычислительной технике и информационных технологиях. Эта тенденция проявляется и в исследованиях по механике деформируемого твердого тела, в частности, в микромеханике, механике композитов, механике разрушения и геомеханике. Практическая цель таких исследований состоит в предсказании макроскопического поведения среды по особенностям структуры. Этим обуславливается интерес к построению определяющих соотношений с учетом структурных особенностей среды.

Данная работа находится в русле подобных исследований. В ней используется подход, в котором, в отличие от классических методов, таких как методы самосогласованных полей и феноменологических теорий пластичности, структура среды учитывается в явном виде.

В диссертации разрабатывается вариант этого подхода, недавно предложенный в работах [98, 99]. Он состоит в численном решении задач для регулярных (двояко или трояко- периодических) систем, ячейки которых, отождествляемые с элементарными представительными объемами, имеют внутреннюю структуру и могут взаимодействовать на контактах структурных элементов. Такое рассмотрение позволяет использовать циклические постоянные поля смещений для строгого определения матриц эффективной податливости. До начала работ по теме диссертации этот вариант применялся только к задачам с фиксированной геометрией трещин, включений и пор и при упругом деформировании на границах взаимодействия структурных элементов. Этот вариант требует дальнейшего развития при изучении растущих трещин и необратимых деформаций на контактах. Данная работа содержит развитие подхода в этом направлении.

Цель диссертации состоит в разработке метода, использующего решение двояко- (трояко-) периодических задач для численного построения определяющих соотношений, учитывающих как обратимые, так и необратимые деформации на уровне структуры среды.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1) разработать общие теоретические положения, справедливые для регулярных систем, элементы которых могут испытывать необратимые деформации на границах взаимодействия структурных элементов;

2) разработать методы пошагового отслеживания изменений, обусловленных двумя факторами: а) разрывами смещений на контактах элементов среды и б) ростом трещин;

3) разработать алгоритм, реализующий эти методы; обосновать параметры пошаговых процедур;

4) провести сопоставление численных результатов, касающихся раздельного влияния указанных факторов, с аналитическими решениями, данными других авторов и экспериментами;

5) осуществить учет совместного влияния необратимых деформаций на контактах и роста трещин;

6) на базе разработанного численного метода провести численное моделирование сред с трещинами и контактными взаимодействиями и получить новые численные данные о влиянии необратимых деформаций на контактах и роста трещин на макроскопическое поведение среды.

Достижение поставленной цели путем решения указанных задач привело автора к новым научным результатам. Они относятся к теоретическому, вычислительному и физическому аспектам проблемы. А именно,

1) Разработаны теоретические положения для регулярных систем, элементы которых могут испытывать необратимые деформации на взаимодействующих границах. Они включают строгое определение эффективных напряжений и деформаций в регулярных структурах, общие энергетические соотношения для периодических полей, теоремы о симметрии и положительной определенности матрицы (секущей и касательной) эффективных податливостей, анализ анизотропии, достаточные условия единственности и устойчивости для задачи приведения.

2) Предложены и реализованы методы численного моделирования определяющих соотношений для сред с взаимодействующими структурными элементами и растущими трещинами. В частности, на базе комплексного метода граничных элементов для двояко-периодических систем предложены новые пошаговые процедуры, позволяющие автоматически отслеживать влияние необратимых подвижек на взаимодействующих поверхностях и роста трещин. Установлены значения параметров, обеспечивающих сходимость процедур при расчете траекторий трещин, как на гладких участках, так и в точках излома и бифуркации. Установлено, что численные результаты, полученные с помощью разработанных методов, согласуются с имеющимися данными других авторов, превосходя последние по точности и способности улавливать точки излома и бифуркации.

3) Получены новые количественные физические заключения о деформировании сред с взаимодействующими структурными элементами и растущими трещинами. В частности, установлено, что традиционно используемая гипотеза о неизменности нормальных усилий на исходной трещине сдвига на 63% завышает отрывающую силу для достаточно длинных трещин; показано, что обычно используемая оценка критической силы дает заниженное значение. Впервые численно получены количественные данные о полных диаграммах для сред с разупрочнением на секущих трещинах и системами сдвиговых трещин с растущими крыльями. Установлено, что при сжимающих нагрузках поперечная деформация, вызываемая ростом крыльев, в несколько раз превышает дополнительную осевую деформацию, что отвечает необратимому увеличению объема. Увеличение бокового давления подавляет рост крыльев. Описание этих эффектов, наблюдавшихся в экспериментах и качественно объяснимых простыми моделями, приобрело строгое количественное выражение.

Эти научные результаты выносятся на защиту.

Автор глубоко признателен за поддержку этой работы Российскому фонду фундаментальных исследований (грант 00-05-64316), университету штатов Калифорния и Оклахома (грант CRDF №RGO-821), Комитету по науке и высшей школе Администрации Санкт-Петербурга (грант М01-2.2К-235). Искренняя признательность выражается профессорам Ж.-К.Де-Бремакеру (University of Texas) и М.А.Качанову (Tafts University), Ж.-К.Роже (University of Oklahoma) и доктору Л.Р.Миеру (Lawrence Berkeley National Laboratory) за стимулирующие контакты, обсуждения и советы. Специальная признательность выражается профессору А.М.Линькову (ИПМаш РАН), без ценных советов которого данная работа не мгла бы быть выполнена в ее настоящем виде. Особая благодарность приносится научному руководителю кандидату технических наук В.Ф.Кошелеву (ИПМаш РАН) за постоянное внимание и разностороннюю помощь.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подведем основные итоги представленного исследования, включающего, по существу, три части.

В первой, теоретической части работы развит подход к формированию макроскопических определяющих соотношений путем отождествления представительного объема с основной ячейкой трояко- (в трехмерных проблемах) или двояко- (в двумерных задачах) периодических систем. Даны строгие определения эффективных напряжений и деформаций, удобные при численном моделировании определяющих соотношений; получены новые интегральные соотношения для эффективных величин; установлены достаточные, а во многих случаях и необходимые условия симметрии и положительной определенности матриц эффективной и дополнительной податливостей и достаточные условия, обеспечивающие единственность решения для задачи приведения; на основе выведенных соотношений для матрицы дополнительной податливости в случае систем регулярных секущих трещин показано, что, как правило, соответствующая среда не обладает ортотропией, а при разупрочнении на контактах может оказаться макроскопически неустойчивой.

Во второй части, связанной с развитием методов численного моделирования сред с внутренней структурой, предложены, обоснованы, реализованы и тестированы методы определения траекторий трещин и эффективных свойств среды с растущими трещинами и контактными взаимодействиями. На базе комплексного гиперсингулярного метода граничных элементов разработан новый итерационный способ автоматического отслеживания траекторий растущих трещин, превосходящий известные методы по точности и способности улавливать точки излома траекторий, включая точки бифуркации. При разработке метода учета необратимых контактных взаимодействий установлено, что предлагавшийся в предшествовавших работах итерационный подход, успешно применявшийся для упругих и упрочняющихся контактов, экспоненциально расходится при разупрочнении на контактах. Разработаны эффективные алгоритмы, преодолевающие затруднения для идеально пластических и разупрочняющихся контактов и обеспечивающие автоматическое отслеживание изменений в контактных взаимодействиях. Объединение упомянутых методов в единой программе позволяет автоматически отслеживать как рост внутренних трещин, так и изменения на контактах вдоль заданного кусочно-линейного пути нагружения и получать макроскопические диаграммы напряжение - деформация.

В заключительной, третьей части диссертации результаты двух предшествующих частей использованы для исследования деформирования сред типа горных пород при сжатии. Установлена значительная, достигающая 63% погрешность традиционно используемых упрощающих гипотез, служащих для определения критической силы. Продемонстрировано, что в рассматриваемых задачах о росте трещин и контактных взаимодействиях разработанный подход существенно эффективнее ранее применявшихся методов, позволяя получать надежные результаты на компьютерах с гораздо меньшими ресурсами. Впервые численно получены количественные данные о росте крыльевых трещин; о сопровождающих этот рост дополнительной податливости; об изменениях эффективной поперечной деформации и объема; о роли взаимного расположения и плотности трещин; о степени влияния бокового давления и о соотношении между вкладами роста трещин и контактных деформаций в эффективные характеристики. Описание физических эффектов, наблюдавшихся в экспериментах и качественно объяснимых простыми моделями, приобрело количественное выражение.

Кратко итог диссертации можно сформулировать следующим образом: в ней решена актуальная научная задача, состоящая в создании нового эффективного метода для численного моделирования определяющих соотношений среды с растущими трещинами и сложными контактными взаимодействиями.

Говоря о задачах дальнейших исследований, отметим, что результаты работы могут быть применены не только к исследованию поведения горных пород при сжатии. Представляется, что приложения могут относиться к механике композитов, бетонам, асфальтам, керамикам и другим материалам.

Из конкретных задач выделим, прежде всего, использование разработанных программ на компьютерах с большими ресурсами, чем использованные при выполнении работы. Следует численно изучить поведение сред в случаях, когда представительный объем, отождествляемый с основной ячейкой, содержит множество трещин и взаимодействующих на контактах неоднородностей.

Другим важным развитием работы должен стать учет временных эффектов: вязкоупругости элементов объемов и ползучести на контактных поверхностях. По сути, это требует лишь модификации уже разработанных пошаговых процедур.

Дальнейшим развитием работы должно стать использование накопленного опыта для перехода к решению аналогичных трехмерных задач.

Представляется, что выполненная работа создает предпосылки для продвижения в этих направлениях.

1. Банничук Н.В. Определение формы криволинейной трещины методом малого параметра// МТТ. - 1970. -№2. - С. 130-137.

2. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука. - 1984. - 352с.

3. Билби Б., Эшелби Дж. Дислокация и теория разрушения. Разрушение, Т.1. -М.: Мир.- 1973.-С. 113-203.

4. Вакуленко А.А., Качанов M.JI. Континуальная теория среды с трещинами // Изв. АН СССР. МТТ. - 1971.

5. Ванин Г.А. Микромеханика композиционных материалов. Киев: Наукова думка, - 1985,-304С.

6. Вильдеман В.Э., Зайцев А.В. Деформационное разупрочнение и разрушение композиционных материалов зернистой структуры // Механика композиц. материалов и конструкций. 1996. -т.2. -№2. - С.117-124.

7. Вильдеман В.Э., Зайцев А.В. О численном решении задач механики деформирования и разрушения структурно-неодносродных тел с граничными условиями третьего рода. // Вычислительные технологии. 1996. - т.1. - №2. - С.65-73.

8. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. М.: Наука. -1997.-288с.

9. Гольдштейн Р.В., Ладыгин В.М., Осипенко Н.М. Модель хрупкого разрушения слабо пористого материала при сжатии и растяжении // ФТПРПИ.— 1974, —№ 1, —С.3-13.

10. Гольдштейн Р.В., Салганик Р.В. Плоская задача о криволинейных трещинах в упругом теле // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1970. — № 3. — С. 69 -82.

11. Греков М.А. Плоские задачи теории трещин. Учебное пособие. СПб.: Изд СпбГУ. - 1997.

12. Греков М.А. Сингулярная плоская задача теории упругости. СПб.: Изд. СПбГУ.-2001,- 192с.

13. Григолюк Э.И., Филыитинский JI.A. Перфорированные пластины и оболочки. М.: Наука. - 1970. -556с.

14. Григолюк Э.И., Филыитинский Л.А. Периодические кусочно-однородные упругие структуры. М.: Наука. - 1992. - 288с.

15. Журков С.Н. К вопросу о физической природе прочности // ФТТ. 1980. -т.22. - С.3344-33489.

16. Журков С.Н. Дилатонный механизм прочности твердых тел // Физика прочности и пластичности. Л.: Наука. - 1986. - С.5-11.

17. Зайцев А.В. Процессы структурного разрушения зернистых композитов на стадии деформационного разупрочнения // Автореферат на соискание ученой степени к. ф.-м. Наук. Пермь: Пермский гос. университет. - 1999.

18. Зайцев А.В., Вильдеман В.Э. Равновесные состояния поврежденной неоднородной среды в условиях немонотонного нагружения // Матем. мод. систем и процессов, сб. научн. трудов. №5. Трусов П.В. (ред.). Пермский гос. техн. ун-т. - 1997. - С.35-42.

19. Канаун С.К., Левин В.М. Метод эффективного поля в механике композиционных материалов. Петрозаводск: Изд. Университета Петрозаводска. - 1993. - 600с.

20. Качанов Л.М. О времени разрушения в условиях ползучести // Изв. АН СССР, ОТН. 1958. - №8. - С.26-31.

21. Качанов Л.М. Теория ползучести. М.: Физматгиз - 1960.

22. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука. - 1969. -420с.

23. Колосов Г.И. Об одном приложении функций комплексного переменного к плоской задаче теории упругости. Юрьев. - 1909.

24. Кривцов A.M. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой. Автореферат дис. к.т.н. — СПб.: Изд. СПбГТУ — 2002. — 36с.

25. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир. - 1982. - 334с.

26. Кунин И.А. Теория упругих тел с микроструктурой. М.: Наука. ~ 1975. -415с.

27. Курленя М. В., Опарин В.Н., Еременко А.А. Об отношении линейных размеров блоков горных пород к величинам раскрытия трещин в структурной иерархии массивов // ФТПРПИ. 1993. -№3. - С.3-10.

28. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. 2-е изд. М.Наука. -1977.

29. Линьков A.M. Интегральное уравнение плоской задачи теории упругости о двоякопериодической системе разрезов, нарушенных самоуравновешенными нагрузками // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1976. - №2. - С.70-74.

30. Линьков А. М. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. — Санкт-Петербург: Наука. — 1999. — 382с.

31. Линьков А. М., Зубков В. В., Хеиб М. А. Метод решения трехмерных задач о пластовых выработках и геологических нарушениях // ФТПРПИ. — 1997. — №4. —С. 3-15.

32. Лившиц И.М., Розенцвейг Л.Н. О построении тензора Грина для основного уравнения теории упругости в случае неограниченной упругоанизотропной среды // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1947. - т. 17. - №9. - С.783-791.

33. Ломакин В.А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. -М.: Наука. 1970. - 139с.

34. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука. - 1970. - 940с.

35. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. 2-е изд. М.: Наука.- 1962.-С.

36. Назаров С.А. Нелинейные эффекты деформирования композитов с регулярной системой мелких трещин // Механика композитных материалов. -1988. №6. - С. 1052-1059.

37. Натанзон В.Я. О напряжениях в растягиваемой пластине, ослабленной отверстиями, расположенными в шахматном порядке // Математический сборник. 1935. -Т42.

38. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир. - 1975. - 872с.

39. Новожилов В.В. Теория упругости. Л., Судпромгиз. - 1958.

40. Одинцев В.Н. Отрывное разрушение массива скальных горных пород // Автореферат дис. д.т.н. -М.: ИПКОН. — 1996. — 166с.

41. Осипенко Н.М. Исследование механизма хрупкого разрушения трещиноватых горных пород // Автореферат дис. к.т.н. — М.: ИФЗ АН СССР. — 1972. — 23с.

42. Петухов И.М., Линьков A.M., Сидоров B.C., Фельдман И.А. Теория защитных пластов. Приложение 3: Особенности хрупкого разрушения. — М.: Недра. — 1976.— 224с.

43. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд. Моск. Университета. - 1984. - 336с.

44. Работнов Ю.В. Механизм длительного разрушения. В кн. «Вопросы прочности материалов и конструкций» // Изв. АН СССР. 1959.

45. Саврук М.П. Двумерные задачи теории упругости для тел с трещинами.— Киев: Наукова думка.— 1981. — 324 с.

46. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т. 1,2. М.: Наука. - 1970. - 492с., 568с.

47. Ставрогин А.Н. Исследование предельных состояний и деформация горных пород // Изв. АН СССР. Физика Земли. — 1969. — № 12. — С.54-69.

48. Ставрогин А.Н., Тарасов Б.Г. Экспериментальная физика и механиа горных пород. СПб.: Наука. - 2001. - 343с.

49. Тамуж В.П., Куксенко B.C. Микромеханика разрушения полимерных материалов. Рига: Зинатне. - 1978. - 294с.

50. Тарасов Б.Г. О статистической природе деформационных процессов в горных породах. // ФТПРПИ. — 1991. — № 6. — С. 36-44.

51. Фильштинский Л.А. К теории неоднородных сред с регулярной структурой // ПММ. 1973. - т.37. - вып. 2. - С.262-273.

52. Фрейдин А.Б. Трещины серебра и сдвиговое деформирование стеклообразных полимеров и АБС-композитов // Автореферат на соискание ученой степени к. ф.-м. н. М.: Моск. Физ.-техн. Инст. - 1987. - 21с.

53. Харлаб В.Д. Квашнин А.С. К определению сопротивления хрупкого материала растяжению по методу Карнейро // Исслед-я по механике строительных конструкций и материалов. СПбГАСУ. - 2000. - С. 13-19.

54. Черемской П.Г., Слезов В.В., Бетехтин В.И. Поры в твердом теле. -М: Энергоиздат. 1990. - 376с.

55. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука. - 1974. - 640с.

56. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука. -1977.-399с.

57. Шкуратник В.Л., Лавров А.В. Эффекты памяти в горных породах. М.: Изд Академии Горных Наук. - 1997. - 159с.

58. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. М.: Иностранная литература. - 1963. - 247с.

59. Amadei В., Lin С.Т., Stare S., Jung J. Modelling fracturing of rock masses within the DDA method // Proc. Of the 1st North American Rock Mech. Symposium. P.P. Nelson, S.E.Laubach (eds.). A.A.Balkema: Rotterdam. - 1994. -P.583-590.

60. Berry J.P. Some kinetic consideration of Griffith criterion for fracture // J. Mech. Phys. Solids. — 1960. — Vol. 8. — P. 194-206.

61. Bobet A. The initiation of secondary cracks in compression. Eng. Fracture Mech. - 2000. - v.66. - P.187-219.

62. Bobet A. Numerical simulation of initiation of tensile and shear cracks // Rock Mech. in the National Interest. Elsworth, Tinucci & Heasley (eds). Swets & Zeitlinger Lisse. - 2001. - P.731-738.

63. Bobet A., Einstein H.H. Numericalmodelling of fracture coalescence in a model rock material // Int. J. Fracture. 1998. - v.92. - P.221-252.

64. Brace W.F. Micromechanics of rock systems // Proc. Civil Eng. Materials Conf Southampton, in Structure, Solid Mechanics and Eng. Design, Part 1, M. Te'Eni (edt). Ny, Wiley-Interscience. - 1971. - P. 187-204.

65. Brace W.F., Bombolakis E.G. A note on brittle crack growth in compression // J.Geoph. Research. 1963. - v.68. - P.3709-3713.

66. Budianski В., O'Connell R. Elastic moduli of cracked solids // Int. J. Solids and Structures. 1976. - v. 12. - P. 81-91.

67. M. Cai, H.Horii. A constitutive model of highly jointed rock masses. // Mechanics of Materials. 1992. - v. 13. - P.217-246.

68. Chau K.T., Wong R.H.C., Wang P. Validation of microcrack models by experiments on real and replicated rock // AMD vol.201, Mechanics of Materials with Discontinuities and Heterogeneities ASME. - 1995. - P. 133-148.

69. Chen C. S., Ke C.-C. Fracture propagation in anisotropic plates by boundary element method // J. Of the Chinese Institute of Engineers. 1999. - v.22. - P.741-751.

70. Comi C., Maier G., Perego U. On finite element elastoplastic analysis based on generalized variables // New Advances in Computational Structural Mech., P. Ladeveze, O.c. Zienkiewicz (eds.). 1992. - P.39-50.

71. Cotterell В., Rice J.R. Slightly curved or kinked cracks // Int. J. Fracture. — 1980. — Vol. 16.— P. 155-168.

72. Cundall P.A.Numerical madelling of jointed and faulted rock. // Mech. of Jointed and Faulted Rock. A.A. Balkema: Rotterdam: Brookfield. - VT. - 1990.

73. De Bremaecker J.C., Swenson D.V. Origin of overlapping spreading centers: a finite element model. // Tectonics. 1990. - v.9. - №3. - P.505-519.

74. Dyskin A.V., Jewell R.J., Forer H., Sohauryeh E., Ustinov K.B. Experiments on 3D crack growth in uniaxial compression // Int. J. Of Fracture. 1994b. - v.65. -P.R77-R83.

75. Erdogan F., Sih G.C. On the crack extension in plates under plane loading and transverse shear // Trans. ASME. J. Basic Engineering. — 1963. — Vol. 85. — P. 519-527.

76. Fairhurst C., Cook N.G.W. The phenomenon of rock splitting parallel to the direction of maximum compression in the neighbourhood of a surface // Proc. 1st Congress Int. Soc. Rock Mech. — 1966. — Vol.1. — P. 687-692.

77. Germanovich L.N., Ring L.M., Carter B.J. et al. Simulation of crack growth and interaction in compression // Proc. 8th Int. Congress on Rock Mechanic, T. Fyjii (edt.) A.A. Balkema: Rotterdam. - 1995. - v.l. -P.219-226.

78. Gerrard С. M. Joint compliance as a basis for rock mass properties and the design of supports // Int. J. Rock Mech. Mining Sci. & Geomech. Abstr. 1982. - v.l9. -No 6. - P.285-305.

79. Goodman R.E. Introduction to rock mechanics. John Wiley & Sons - 1980. - 232p.

80. Griffith A.A. The theory of rupture // Proc. 1st Int. Congress Applied Mechanics. — Delft. — 1924.—P. 55-63.

81. Halphen В., Nguyen Q.S. Sur les matiriaux standard generalisis // J. de Micanique. 1975.-v.14.-P. 39-63.

82. Hashin Z., Strikman S. A variational approach to the theory of elastic behavior of multiphase materials // J. Mech. and Phys. Solids. 1963. - v.l 1. - P. 127-140.

83. Hazzard J.F., Young R.P., Maxwell S.C. Micromechanical modeling of cracking and failure in brittle rock // J. of Geophysical Research. 2000. - v.105. - №137. -P. 16.683-16.697.

84. Hill R. Elastic properties of reinforced solids: some theoretical principles. // J. Mech. and Phys. Solids. 1963. - v.l 1. - P. 357-372.

85. Horii H., Nemat-Nasser S. Compression-induced microcrack growth in brittle solids: axial splitting and shear failure // J. Geophysical Research. 1985. - v.90. -№B4. -P.3105-3125.

86. Horii M., Nemat-Nasser S. Brittle failure in compression splitting faulting and brittle-ductile transition // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. 1986. - v.A.319. - P.337-374.

87. Kachanov M. Elastic solids with many cracks and related problem. // Advances in Appl. Mech, J Hutchinson, T. Wu (eds). 1993. - v.30. - P. 259-445.

88. Kemeny J.M., Cook N.G.W. Micromechanics of deformation in rocks. // Tough. Mech. in Quasi-Brittle Materials. Shah S.P. (ed.) Kluwer Acad. Publ. - 1991. - P. 155-188.

89. Kemeny J. M., Cook N. G. W. Effective moduli, non-linear deformation and strength of a cracked elastic solid // Int. J. Rock Mechanics and Mining Sci. & Geomech. Abstr. — 1986. — Vol. 23. — P. 107-118.

90. Koiter W.T. Stress distribution in an elastic sheet with adoubly-periodic set of equal holes. // Boundary problems of differential equations. Medison: Univ. Wisconsin Press.- 1960.-P.191-213.

91. Krajcinovich P. Damage Mechanics // Mechanics of materials. 1989. - v.8. -№213. - P.117-197.

92. Kusch V.I. Microstress and effective elastic moduli of a solid reinforced by periodically dostributed spheroidal particles // Int. J. Solids and Structures. 1997.- v.34. -№11. P.1353-1366.

93. Lavrov A. Theoretical investigation of the Kaiser effect manifestation in rocks after true triaxial pre-loading // Archives of Mining Sci. 2001. - v.46. - №1. - P.47-65.

94. Linkov A.M. Real and complex hypersingular integrals and integral equations in computational mechanics. Demonstratio Mathematica. 1995. - v.28. - P.759-769.

95. Linkov A. M., Koshelev V. F. Complex variables BEE and BEM for a plane doubly periodic system of flaws // Journal of the Chinese Institute of Engineers. — 1999.1. Vol. 22. — P. 709-720.

96. Liu Z., Cook N.G.W., Myer L.R. Numerical studies relating to micro fracture in granular materials // Proc. Of the 1st North American Rock Mech. Symposium. P.P. Nelson, S.E.Laubach (eds.). A.A. Balkema: Rotterdam: Rotterdam. - 1994. -P.631-638.

97. Maier G. "Linear" flow-laws of elastoplasticity: a unified general approach // Academia Nazionale dei Lincei, Estratto dai Rendiconti della classe di Scienze Fisiche, matematiche e naturale, Serie VIII. v.XLVII. - fasc. 5. - Novembe 1969. - P.266-276.

98. Mellin S. Why do cracks avoid each other? // Int. J.Fracture. 1983. - v.23. - P.37-45.

99. Mellin S. When does a crack grow under mode II conditions // Int. J. of Fracture. -1986. v.30. - P.103-114.

100. Mogilevskaya S.G. The numerical algorithm based on complex hypersingular integral equation to solve plane elasticity problem. Computational mechanics. -1996.-v. 18. - P.127-138.

101. Mogilevskaya S.G. Numerical modeling of 2-D smooth crack growth // Int. J. Fracture. — 1997. — v. 87. — P. 389 -405.

102. Napier J.A.L. Scale effects in the numerical simulation of time-dependent mine seismic activity // Rock Mech. in the National Interest, Elsworth D, Tinucci J. (eds.). 2001. - P. 1297-1304.

103. Napier J.A.L., Malan D.F. A viscoplastic discontinuum model of time-depent fracture and seismicity effects in brittle rock // Int. J. Rock Mech. and Mining Sci. -1997. v. 34. - №7. - P.1075-1089.

104. Napier J. A. L., Pierce A. P. Simulation of extensive fracture formation and interaction in brittle materials // In P. Rossmanith (ed), Mech. of Jointed and Faulted Rock. — A.A. Balkema: Rotterdam. — 1995. — P. 63-67.

105. Nemat-Nasser S., Horii H. Compression induced nonplanar crack extension with application to splitting., exfoliation and rockburst // J. Geophysical Research. -1982. v.87. - №B8. - P.6805-6821.

106. Nemat-Nasser S., Horii M. Micromechanics of overall properties of heterogeneous materials. Elsevier: North Holland. - 2nd edition. - 1999. - 786p.

107. Palmov V.A. Verification of mathematical models of visco-elsdticity by means of non-linear thermodynamics // Механика и процессы управления. Труды СПбГТУ. №467. - Изд. СПбГТУ. - 1997. - С.140-144.

108. Potyondy D.O. Cundall P.A. Modelling notch-formation mechanism in the URL mine-by test tunnel using bonded assemblies of circular particles // Int. J. Rock Mech. and Mining Sci. 1998. - v.35. - paper 067.

109. Radon J. C., Leevers P. S., Culver L. E. Fracture toughness of PMMA under biaxial stress // Fracture. 1977. - V.8. - P. 1113-1116.

110. Russel W.B., Acrivos A. On the effective moduli of composite materials: slender rigid inclusions at dilute concentrations // J. of Appl. Math. And Phys, ZAMP. -1972. v.23. - P.434-464.

111. Schapery R.A. A theory of mechanical behavior of elastic media with growing damage and other changes in structure // J. Mech. Phys. Solids. 1990. - v.38. -P.215-253.

112. Sempere J.-C., Macdonald K.C. Overlapping spreading centers implications from crack groqth simulation by the displacement discontinuity method // Tectonics. -1984. v.5. - P.151-163.

113. Shi G.-H. Block system modeling by discontinuous deformation analysis. -Southampton UK & Boston USA. 1993. - 378 p.

114. Shi G.-H. Modeling dynamic rock failure by discontinuous deformation analysis with simplex integration // Proc. Of the 1st North American Rock Mech. Symposium. P.P. Nelson, S.E.Laubach (eds.). A.A. Balkema: Rotterdam: Rotterdam. - 1994. - P.591-598.

115. Spottiswoode S. Synthetic seismicity mimics observed seismicity in deep tabular mines // Proc. Int. Conf. Rock Bursts and Seismicity in Minees RaSim5, van Aswegen G., Durrheim R., Ortlepp D. (eds.). -2001.

116. Tang C.A. Numerical simulation of progressive rock failure and associated seismicity // Int. J. Rock. Mech. Min. Sci. 1997. - v.34. - №2. - P.249-261.

117. Tang C.A., Liu H., Lee P.K.K., Tzui Y., Tham L.G. Numerical studies of the influence of microstructure of rock failure in uniaxial compression. Part I: effect of heterogeneity // Int. J. Rock. Mech. Min Sci. 2000. - v.37. - P.555-5699.

118. Tapponier P., Brace W.F. Development of stress-induced micromechanics in Westerby granite // Int. J. Rock Mech. Sci. & Geomech. Abstr. — 1975. — V.14. — P.103-112.

119. Tmesdell С., Noll W. The Non-Linear Field Theories of Mechanics. Enciclopedia of Physics, v.IIIc. - Springer. - 1965.

120. Walsh J.B. The effect of cracks on the uniaxial elastic compression of rocks // J. Geoph. Res. — 1965. — Vol. 70. — P. 381-369; 399-411; 5249-5257.

121. Wong R.H.C., Chan K.T. Crack coalescence in a rock-like material containing two cracks // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. 1998. - v.35. - №2. - P. 147-164.

122. Wong R.H.C., Chau K.T., Tang C.A., Lin P. Analysis of crack coalescence in rocklike materials containing three flaws Part I: experimental approach // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. - 2001. - v. 38. - P.909-924.

123. Wong R.H.C., Chau K.T., Tang C.A., Lin P. Analysis of crack coalescence in rocklike materials containing three flaws Part II: numerical approach // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. - 2001. - v. 38. - P.925-938.

124. Yoshinaka R., Yamabe T. Joint stiffness and the deformation behavior of discontinuous rock. Int. J. Rock Mech. & Mining Sci. & Geomechanics Abstracts. - 1986. - v.23. -№1. -P.19-28.

125. Zhilin P.A. Phase transitions and general theory of elastoplastic bodies // Proceedings XXVIII Summer School "Advanced Problems in Mechanics" St.-Petersburg. - 2001. - P.36-48.1. ЮсЫ*1^.,ч /4S9P- 6 <?j