Численное моделирование пространственных и спектральных характеристик потерь на электронное циклотронное излучение в токамаках-реакторах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

На правах рукописи

МИНАШИН Павел Вадимович

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ И СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОТЕРЬ НА ЭЛЕКТРОННОЕ ЦИКЛОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В ТОКАМАКАХ-РЕАКТОРАХ

Специальность 01.04.08 - Физика плазмы

1 3 ДЕК 2012

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2012

005056949

Работа выполнена в Институте физики токамаков Курчатовского центра ядерных технологий Национального исследовательского центра «Курчатовский институт» (НИЦ «Курчатовский институт»)

Научный руководитель: Кукушкин Александр Борисович,

доктор физико-математических наук

Официальные оппоненты: Тимофеев Александр Владимирович,

доктор физико-математических наук, профессор, Институт водородной энергетики и плазменных технологий НИЦ «Курчатовский институт», главный научный сотрудник

Господчиков Егор Дмитриевич, кандидат физико-математических наук, Институт прикладной физики РАН, заместитель начальника отдела

Ведущая организация: Троицкий институт инновационных и

термоядерных исследований

Защита состоится «29» января 2013 г. в_час_мин

на заседании диссертационного совета Д520.009.02 на базе НИЦ «Курчатовский институт» по адресу: 123182, Москва, пл. И.В. Курчатова 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИЦ «Курчатовский институт».

Автореферат разослан «_»_2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н.

А.В. Демура

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Электронное циклотронное излучение (ЭЦИ), испускаемое плазмой, может существенно влиять на локальный энергобаланс в центральной части плазменного шнура для высоких температур электронов, ожидаемых в стационарных режимах работы токамака ИТЭР и в токамаке-реакторе ДЕМО. Актуальность расчета как локальных, так и полных потерь на ЭЦИ растет для токамаков-реакторов следующего поколения, поскольку в них ожидаются более высокие значения температуры плазмы и магнитного поля. В таких условиях необходимо рассчитывать пространственный профиль мощности потерь на ЭЦИ в рамках более общей постановки задачи. Это включает учет влияния равновесия плазмы (прежде всего, смещения Шафранова) на пространственное распределение магнитного поля в плазме. Расчет этого распределения должен проводиться в рамках самосогласованного моделирования всех значимых компонент транспорта частиц и тепла, включая также и перенос (собственного) ЭЦИ плазмы.

Расчет переноса ЭЦИ плазмы в аксиально симметричной тороидальной термодинамически равновесной (максвелловской) плазме для случаев диффузного или зеркального отражения излучения от стенок вакуумной камеры был впервые проведен с помощью монте-карловского моделирования кодом SNECTR [1] процессов испускания и поглощения ЭЦ волн плазмой. Однако моделирование сценариев работы токамаков-реакторов общими транспортными кодами (напр., ASTRA [2]) требует быстрых расчетных процедур (т.н. симуля-торов кодов) для оценки всех компонент локального энергобаланса плазмы (по этой причине код SNECTR в настоящее время не используется). Быстрые коды для расчета мощности потерь на ЭЦИ решают задачу переноса ЭЦИ различными способами: коды CYTRAN [3] и CYNEQ [4, 5] используют подсказанную расчетами кодом SNECTR угловую изотропию интенсивности ЭЦ излучения и ее однородность в оптически прозрачном внешнем слое; код ЕХАСТЕС [6] использует аналитическое решение задачи переноса излучения в случае идеализированной геометрии — круглом цилиндре с зеркальным отражением излучения от стенок; код RAYTEC [7] основан на численном интегрировании вдоль траектории ЭЦ волн в тороидальной геометрии и пока не имеет версии, встраиваемой в общий транспортный код. Разнообразие подходов к решению задачи переноса ЭЦИ и важность этой задачи для токамаков-реакторов делает необходимым сравнение (бенчмаркинг) существующих численных кодов для расчета

профилей мощности потерь на ЭЦИ с учетом возможности их встраивания в общие транспортные коды.

Численный код, верифицированный в бенчмаркинге кодов, уместно использовать для решения целого ряда теоретических и практических задач для тока-маков-реакторов. Это включает анализ роли ЭЦ потерь в различных расчетных режимах токамаков ИТЭР, ИГНИТОР и ДЕМО, прежде всего в аспекте возможности поддержания стационарного энергобаланса при высокой температуре электронов Те в сильном магнитном поле; оценку влияния резкой зависимости мощности локальных ЭЦ потерь от Те на динамику термоядерного горения; оценку влияния неравновесности (немаксвелловости) функции распределения электронов по скоростям на плотность мощности потерь на ЭЦИ в указанных токамаках; анализ нелокальности переноса ЭЦИ в токамаках-реакторах и оценку мощности нагрева пристеночной и диверторной плазмы интенсивным ЭЦ излучением из основной плазмы в ИТЭР; построение простой универсальной формулы для мощности полных потерь на ЭЦИ; поиск законов подобия, которые могут быть дополнительным инструментом проверки точности всех кодов для ЭЦ потерь.

Актуальным является и решение задач, в которых для действующих токамаков применимы теоретические методы, развитые для токамаков-реакторов. Такой проблемой оказывается разработка метода решения обратных задач, связанных с использованием ЭЦИ как диагностического инструмента, конкретно — для восстановления функции распределения надтепловых электронов по скоростям на периферии плазмы по наблюдаемому спектру ЭЦИ на пониженных частотах (ниже частот излучения основной плазмы на первой гармонике фундаментальной ЭЦ частоты). Здесь реализуется нелокальность переноса, для описания которой можно ожидать применимости формализма, разработанного для расчета ЭЦ потерь в токамаках-реакторах. Цели диссертационной работы

1. Развитие численного кода CYNEQ для моделирования пространственных и спектральных характеристик потерь на ЭЦИ в токамаках-реакторах: обобщение кода на случай одномерного и двумерного представлений магнитного поля, обобщение кода на произвольную анизотропию функции распределения электронов по питч-углам.

2. Верификация кода CYNEQ, модифицированного по вышеуказанным направлениям.

3. Создание упрощенной и достаточно точной версии кода (т.н. симулятора) и его включение в общий транспортный код ASTRA.

4. Анализ роли потерь на ЭЦИ в токамаках ИТЭР, ИГНИТОР и ДЕМО.

5. Восстановление функции распределения надтепловых электронов в токама-ке Т-10 по наблюдаемому спектру ЭЦИ на пониженных частотах в рамках формализма нелокального переноса, разработанного для токамаков-реакторов.

Научная новизна

Код CYNEQ, обобщенный на случай полномерного учета неоднородности магнитного поля, является единственным кодом, способным анализировать влияние размерности пространственного распределения магнитного поля на локальные ЭЦ потери в токамаках реакторах.

Созданный симулятор кода CYNEQ, включенный в общий транспортный код ASTRA для самосогласованных расчетов динамики плазмы (равновесие + транспорт), является, как показало сравнение, наиболее точным из существующих симуляторов для расчетов потерь на ЭЦИ.

Использование симулятора кода CYNEQ позволило впервые провести с требуемой точностью анализ роли потерь на ЭЦИ в стационарных режимах работы токамака ИТЭР.

Впервые дана интерпретация спектров ЭЦИ на пониженных частотах в то-камаке Т-10 и получены оценки основных характеристик надтепловых электронов на периферии плазменного шнура. Практическая значимость

Модифицированный код CYNEQ встроен в общий транспортный код ASTRA и в этом качестве используется в Международной Организации ИТЭР для расчетов потерь на ЭЦИ при моделировании базовых режимов работы ИТЭР.

Результаты анализа роли потерь на ЭЦИ в токамаках ИТЭР, ИГНИТОР и ДЕМО представляют интерес для оптимизации режимов работы указанных установок по результатам предсказательного моделирования. Так, для токамака ИТЭР показано, что при повышении температуры в центре плазмы до ~30 кэВ локальная мощность электронных циклотронных потерь становится немалой в сопоставлении с нагревом термоядерными альфа-частицами и почти сравнивается с дополнительным нагревом плазмы нейтральным пучком. При достижении высоких температур в центре плазмы, больше 30 кэВ, при средней плотности ~ (6—7) х 1019 м-3 и магнитном поле В0 ~ 5,3 Тл локальные потери на ЭЦИ в центре замедляют и стабилизируют нарастание термоядерной мощности. Расчеты роли ЭЦ потерь в токамаке ИГНИТОР с сильным магнитным полем

(В0~13 Т) показали, что сильное самопоглощение ЭЦИ в плотной плазме в ИГНИТОР делает ЭЦ потери неопасными для достижения зажигания.

Решение задачи восстановления функции распределения надтепловых электронов по наблюдаемому спектру ЭЦИ в токамаке Т-10 показало ранее не использованную возможность определения характеристик надтепловых электронов в режимах с низкой плотностью на периферии плазмы. Личный вклад

Постановка задач и интерпретация полученных результатов предложены автором совместно с научным руководителем и соавторами опубликованных работ. Автором самостоятельно выполнен весь объем работ по модификации численного кода CYNEQ для расчета плотности мощности потерь на ЭЦИ, созданию и встраиванию симулятора кода CYNEQ в общий транспортный код ASTRA. Все численные расчеты в диссертационной работе проделаны автором. Положения, выносимые на защиту

1. Обобщение кода CYNEQ для расчета локальных и полных потерь на электронное циклотронное излучение (ЭЦИ) на случай одномерного и двумерного представлений магнитного поля в аксиально симметричных тороидальных системах магнитного удержания плазмы.

2. Упрощенная и достаточно точная версия кода CYNEQ (т.н. симулятор) и ее включение в транспортный код ASTRA.

3. Сравнение всех существующих кодов для расчета локальных и полных потерь на ЭЦИ в токамаках-реакторах с учетом равновесия плазмы.

4. Обобщение известной формулы Трубникова для интегральных по объему потерь на ЭЦИ в токамаках реакторах на случай неоднородности профилей плотности пс, температуры Тс и магнитного поля В.

5. Результаты расчетов профилей плотности мощности ЭЦ потерь в токамаках ИТЭР, ИГНИТОР, ДЕМО и анализ роли ЭЦ потерь в этих установках.

6. Количественные оценки (а) влияния неравновесности функции распределения электронов по скоростям на ЭЦ потери в ИТЭР и (б) нагрева дивертор-ной и пристеночной плазмы ЭЦ излучением из основной плазмы в ИТЭР.

7. Физическая модель для интерпретации измерений спектра ЭЦИ на пониженных частотах и восстановление основных параметров функции распределения надтепловых электронов по скоростям на периферии плазмы в токамаке Т-10.

Достоверность результатов

Для модифицированного кода CYNEQ выполнено детальное сравнение с результатами всех действующих кодов для расчета потерь на ЭЦИ для различных аппроксимаций магнитного поля для разных расчетных режимов рабо-

ты токамаков ИТЭР и ДЕМО. Новая формула для полных потерь на ЭЦИ протестирована сравнением с результатами кода CYNEQ и с другими приближенными формулами. Апробация работы и публикации

Основные результаты работы доложены на научных семинарах в НИЦ «Курчатовский институт» в Институте физики токамаков, на Курчатовских молодежных научных школах 2008, 2009, 2010, 2011 гг., на следующих конференциях: Международные конференции МАГАТЭ по термоядерной энергии (FEC-22, г. Женева, Швейцария, 2008 г.; FEC-23, г. Тэджон, Южная Корея, 2010 г.), Международные конференции европейского физического общества по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (EPS-35, г. Херсонис-сос, Греция, 2008 г.; EPS-36, г. София, Болгария, 2009 г.; EPS-38, г. Страсбург, Франция, 2011 г.; EPS-39, г. Стокгольм, Швеция, 2012 г.), Международные (Звенигородские) конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (2008, 2009, 2010, 2011, 2012 гг.), Международное совещание по электронному циклотронному излучению (ЕС-17, Дерн, Нидерланды, 2012), Российско-германский семинар по проблемам ЭЦ нагрева и гиротронам (24th Joint Russian-German Meeting on ECRH and Gyrotrons, Нижний Новгород, Россия, 2012).

По результатам диссертационной работы опубликовано 13 печатных работ, включая 4 статьи в журналах из списка ВАК. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы и приложения. Работа содержит 131 страницу, включает 61 рисунок и четыре таблицы. Список цитированной литературы содержит 84 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится краткая история исследований по тематике диссертационной работы, показана актуальность темы диссертации, формулируются цели работы. Показана научная новизна и практическая значимость работы.

В первой главе представлены направления развития численного кода CYNEQ для расчета локальных и интегральных потерь на ЭЦИ. Численный код CYNEQ [4, 5] (Electron CYclotron radiation transport in Non-EQuilibrium hot plasmas) для расчета переноса ЭЦИ в плазме с произвольной степенью неравновесности функции распределения электронов (ФРЭ) по энергии и достаточно большого коэффициента отражения ЭЦ волн от стенок основан на подходе [8], позволившем решить полуаналитически задачу переноса в случае большого ко-

эффициента отражения ЭЦ волн от стенок ((1-Rw)<s: 1) путем обобщения метода «фактора ускользания», развитого в теории нелокального переноса в спектральных линиях атомов. Подход [8] модифицирует и улучшает полуаналитический подход кода CYTRAN [3], развитого для следующих типичных условий токамака-реактора: (1) горячая максвелловская плазма со средней по объему температурой электронов <Te>v S 10 кэВ, (2) тороидальная плазма с некруглым сечением и небольшим аспектным отношением (напр., А~3), (3) многократное отражение излучения от стенок.

В разделе 1.1 дано обобщение модели, описывающей перенос ЭЦИ в осе-симметричной тороидальной плазме, на случай двумерного описания неоднородного магнитного поля. Полное магнитное поле в плазменном шнуре, рассчитываемое по равновесию плазмы как сумма тороидального магнитного поля, Btor, и полоидального поля, Вр^, можно рассматривать в следующих трех представлениях: (1) B(2D) - двумерный профиль магнитного поля В(р,0), как функция корня из нормированного тороидального магнитного потока через магнитную поверхность, р, и полоидального угла, 0, (2) B(1D) - одномерный профиль В(р), рассчитанный путем усреднения В(р,0) по магнитной поверхности, (3) B(0D) - одномерный профиль, B(p)=const (напр., B(p)=Btor(R0)=B0, где В0 -вакуумное тороидальное поле на тороидальной оси вакуумной камеры).

Обобщенная модель реализована нами в версиях кода CYNEQ-B(2D) и CYNEQ-B(ID). В рамках подхода [8] для задачи переноса ЭЦИ в тороидальной плазме формализм кода CYNEQ [4, 5] для случая B(p)=const обобщен нами на случай магнитного поля В(р,0). CYNEQ позволяет рассчитывать изотропную по углам спектральную интенсивность выходящего излучения, J(oo), и профиль плотности мощности потерь на ЭЦИ, РЕс(р). Фазовое пространство Г= {r,co,Ç}, включающее координатную г и волновую (со, О части (со - частота ЭЦИ, ç=0,X обозначает обыкновенную и необыкновенную волну, соответственно), разделяется на две части по типу переноса ЭЦИ: (1) оптически прозрачный внешний слой плазмы (где перенос нелокален), который в широком диапазоне частот может охватывать и весь объем плазменного шнура:

здесь к - коэффициент поглощения, а - малый радиус тора, Tcrit - оптическая толщина, (2) остальная часть фазового пространства, которая является оптически плотной внутренней частью плазмы (здесь доминирует диффузионный перенос). Формула (1) задает границу между указанными областями - функцию

(1)

рсШ(со,0,О , зависящую, в отличие от [4, 5], от полоидального угла (ср. [9]). В коде СУТЧЕ(3 интенсивность излучения в области оптической прозрачности считается изотропной и однородной (это подсказано расчетами кодом БЫЕСТЯ [1]) и рассчитывается по формуле:

(Чс(Р'°'ю))

JeS>,0 = -

'У^м

í^fl»

J 471

dS„

4JC0)

(i-Rw)+(Kc(p,e,ra))

(2)

где q - мощность источника излучения, У^со) - проекция фазового пространства (1) на его координатную часть, < >уе5с - усреднение по объему УС5С, Sw - внутренняя поверхность вакуумной камеры, - коэффициент отражения ЭЦИ от стенок вакуумной камеры (являющийся в общем случае функцией частоты ю и направления волнового вектора п). В области, задаваемой формулой (1), интенсивность описывается формулой (2), а в оптически плотной области можно пренебречь диффузионным переносом и считать, что для случая макс-велловской функции распределения электронов спектральная интенсивность равна локальному планковскому (чернотельному) значению, 1ВВ:

.Г(га, р, 0) = 1е5С (ю, От1(р - рга( (га, 0, О) + ]т (со, Те(р))т1(рси1 (а, 0,0 - р), (3) где г) - функция Хевисайда. Профиль мощности потерь на ЭЦИ Рес(р) рассчитывается путем усреднения стандартного баланса испускания и поглощения ЭЦИ по магнитной поверхности. Точность описания Рес(р) в области значений р —0,4 — 0,6 была улучшена в новой модели за счет линейной интерполяции интенсивности между указанными выше оптически плотной и прозрачной областями в пределах слоя единичной оптической толщины. Сравнение версий СУТЧЕ<3 для различных представлений магнитного поля дается на рис. 1.

0,4 р 0,6

Рис. 1. Профили мощности потерь и полные потери на ЭЦИ, рассчитанные кодом CYNEQ для различных представлений магнитного поля при самосогласованном 1.5D моделировании стационарного сценария работы токомака ИТЭР [10] (R0=6,2 м, а=2 м, kehng=l,9, R„.=0,6, B(Ro)=Bo=5,3 Т, Те(0)=35 кэВ, Те(1)=3,3 кэВ, пе(0)=0,7 10го м\ пе(1)=0,5 1020 м \ 1р=9 МЛ). На графике-вставке приведены интенсивности выходящего ЭЦИ как функции частоты, нормированной на фундаментальную гармонику для поля В0.

Основной эффект учета неоднородности магнитного поля самосогласованно с равновесием плазмы заключается в уменьшении мощности потерь на излучение Рес(р) в центральной части плазменного шнура с ростом смещения Шафра-нова. Для параметров плазмы, ожидаемых в стационарных режимах работы ИТЭР, уменьшение составляет 25%. Для параметров стационарного режима в ИТЭР разница в расчетах кодами CYNEQ-B(ID) и CYNEQ-B(2D) (использующих 1D и 2D аппроксимации магнитного поля, соответственно) составляет несколько процентов в центре плазмы.

В разделе 1.2 описан симулятор кода CYNEQ, его включение в общий транспортный код ASTRA в качестве модуля для расчета профиля мощности потерь на ЭЦИ самосогласованно с равновесием плазмы. В разделе 1.3 описана модификация кода CYNEQ на случай учета произвольной анизоторопии ФРЭ по питч-углам.

Во второй главе проведена верификация кода CYNEQ. В разделе 2.1 изложены результаты бенчмаркинга кодов для расчета потерь на ЭЦИ для случая неоднородного профиля магнитного поля с учетом равновесия плазмы. Важная роль потерь на ЭЦ излучение в базовых режимах работы токамаков-реакторов делает целесообразным обобщение бенчмаркинга соответствующих кодов (CYTRAN [3], [И], CYNEQ [4, 5], ЕХАСТЕС [6], RAYTEC [7]), проведенного в [12], на случай неоднородного профиля магнитного поля В(р) для токамаков ИТЭР и ДЕМО. Некоторые результаты бенчмаркинга кодов приведены на рис. 2.

Код RAYTEC учитывает 2D неоднородность магнитного поля с использованием модели переноса ЭЦИ, отличающейся от CYNEQ и не учитывающей равновесие плазмы, в том числе и смещение Шафранова, А. Для больших значений удлинения keiong =1,7-2,0 и средних значений аспектного отношения, А~ 3, предполагаемых в ИТЭР и ДЕМО, максимальные значения локальной плотности мощности потерь на ЭЦИ, РЕс(р), в центре плазмы, а также полные потери в расчетах CYNEQ и RAYTEC совпадают с точностью 15%.

Сравнение с модифицированным кодом ЕХАСТЕС [13] показало, что этот код все еще недооценивает профиль РЕс(р) вблизи центра тороидальной плазмы с некруглым сечением. В случае стационарного сценария ДЕМО отличие расчетов кодом ЕХАСТЕС от CYNEQ-B(OD) составляет примерно 40% в центре плазмы, в то время как отличие от CYNEQ-B(ID) уменьшается до -20%.

Сравнение с кодом CYTRAN было выполнено для параметров плазмы, ожидаемых в стационарных режимах работы ИТЭР, рассчитанных при самосогласованном 1.5D моделировании переноса. В случае малых значений смеще-

ния Шафранова результаты расчетов с точностью 10%. В случае больших предсказаниями СУМ}<3-В(Ш), где СУТЯАК увеличивается до -30%.

в СШЕСНШ) и СУТЯЛМ совпадают смещений Шафранова различие между этот сдвиг учтен, и предсказаниями

су^о-в(т) А=0 26,5 МВт

ЯЛУТЕС 26,4 МВт

^ СУМЕд-В(20) % 25,0 МВт

СтаЕ<2-В(1ВГ

243 МВт

0,21

0,15

стаЕо-в(оо)

37,4 МВт

СУТЯЛЛ 34,5 МВт

0,4 р 0,6

CYNEQ-B(0D) • ' 44,3 МВт

N

€¥N£0-8(10) 35,9 МВт

0,4 р 0,6

Рис. 2. Сравнение расчетов профилей мощности потерь на эци, Рес(р). действующими кодами СШЕ(), ЯЛ УТЕС, ЕХЛСТЕС и СУТИЛК

(а) Сравнение расчетов кодами НАУТЕС и CYNEQ для режима работы токомака ИТЭР с параболическим профилем температуры, Яо=6,2 м, а=2 м, ке\оп~=1,7, Я„=0,8, 1Р=11 МА, пе(0)=1,1 1026 м3, пе(1)=0, р„=2, у„=0.1, Те(0)=45 кэВ, Те(1)=0,01 кэВ, Рт=2, ут=1.5, Т,=Те (профили температуры и плотности рассчитываются по формуле

Р(р)=Р(1)+(Р(0)-Р(1))(1-(/'/). Магнитные поверхности в расчетах кодом ЯАТГЕС были выбраны концентрическими эллипсами (т.е. смещение Шафранова А(р)-О). (б) Сравнение кодов СШЕ() и СУТКАМ для стационарного режима работы ИТЭР, сценарий 2 в [11] (Яо=6,4 м, а=1,9 м, ке1,„,-1,9, треуголъность 3=0,4, 11„=0,6, В0=5,2 Т, Те(0)=43 кэВ, Те(1)=3,3 кэВ, пе(0)=0,7 10го м3, пе(1)=0,1 10го м3, р„=2, у„=0,1, 1р=9 МА). Расчеты CYNEQ-B(1D) сделаны для Ю магнитного поля В(р), рассчитанного из равновесия плазмы для заданных профилей температуры, плотности и тока плазмы (А(0)^0,4 м). Расчеты CYNEQ-B(0D), как и в случае с кодом СТГЯАЫ, выполнены для однородного профиля магнитного поля, В=<В>У=5,26 Т. (в) Сравнение кодов СШЕ<2 и ЕХАСТЕС для стационарного режима работы ДЕМО с ЭЦР нагревом [13] (1(0=7,5 м, а=2,5м, к=1,9, 5=0,47, Р*=0,7, Во=6 Т, 1Р=19 МА). Расчеты СтЕ()-В(Ю) сделаны для В(р), рассчитанного из равновесия плазмы для профилей температуры, плотности и тока плазмы из [13] (А(0)^0,3 м). Расчеты СУЫЕ()-В((Ю) выполнены для однородного профиля магнитного поля, В=<В>у = 6,28 Т.

0,4 р 0,6

Результаты бенчмаркинга кодов показали, что код CYNEQ-B(ID) является наиболее подходящим для самосогласованного 1.5D моделирования плазмы в токамаке-реакторе, так как он рассчитывает потери на ЭЦИ с хорошей точностью и скоростью, достаточной для включения в общий транспортный код.

В разделе 2.2 описывается найденное в [14] (рис. 3) свойство совпадения пространственных профилей PecÍP)» нормированных на полные (т.е. интегральные по объему) потери, для идентичных нормированных профилей электронной температуры и плотности. Проведен анализ влияния равновесия плазмы, а именно смещения Шафранова, удлинения и треугольности плазмы, на указанную универсальность формы профилей Рес(р) и исследована возможность использования этого закона подобия как дополнительного способа оценки точности численных кодов для расчета пространственных профилей и полных ЭЦ потерь.

х 10"

Рис. 3. Свойство универсальности формы профилей Рес(р), нормированных на полные потери, для подобных профилей температуры (средние температуры в кэВ указаны стрелками, нормированные профили температуры показаны на графике-вставке). Приведены расчеты кодом CYNEQ для параболического профиля температуры, Яо=б,2 м, а=1,8б м, Кьщ=1,92, В0=5,3 Т,

пе(р)=0,5+0,5(1-р ) коэффициентов от стенки, Rw.

10го отражения

различных излучения

В третьей главе представлены решения целого ряда практических задач. В разделе 3.1 проанализирована роль потерь на ЭЦИ в т.н. стационарных режимах работы токамака ИТЭР. На рис. 4 показаны компоненты электронного энергобаланса в стационарном режиме работы токамака ИТЭР [10]. При повышении температуры в центре плазмы до ~30 кэВ локальная мощность электронных циклотронных потерь становится немалой в сопоставлении с нагревом термоядерными альфа-частицами и почти сравнивается с дополнительным нагревом плазмы нейтральным пучком: РЕс(0) ~ 0,ЗРа(0) = Рацх(0). Для низких плотностей, Пе ~ 6 1019 м"3, и высоких температур, Те(0) ~ 25 кэВ, необходимых для длительного разряда в ИТЭР, потери на ЭЦИ относительно малы: доля этих потерь fECR = Реся/СРсх + Раи) ~ 9%. При термоядерном нарастании температуры до Те(0) > 35 кэВ доля потерь на ЭЦИ остается средней, < 18%, при этом

потери на ЭЦИ помогают сохранять мощность потерь в диверторе в умеренном диапазоне, Р1038 < 110 МВт, а нарастание термоядерной энергии также остается умеренным, Р&8 < 500 МВт.

Нагрев альфа-частицами 60,7 МВт

Дополнительный нагрев 54,0 МВт

Полное излучение 25,8 МВт

Тормозное излучение 9,2 МВт

Лппейчатое излучение ч 4,6 МВт

N

Рис. 4. Сравнение компонент локального электронного энергобаланса для стационарного режима работы ИТЭР [10], коэффициент отражения излучения от стенки 0,6.

В разделе 3.2 оценивается влияние неравновесности функции распределения электронов (ФРЭ) по скоростям на профиль потерь на ЭЦИ в базовых режимах ИТЭР. Расчеты потерь на ЭЦИ, проведенные численным кодом С УМЕР для двух базовых режимов ИТЭР - индуктивного [15] и стационарного [10], позволили получить количественные оценки влияния неравновесности ФРЭ по скоростям на плотность мощности потерь в этих режимах. Показано, что:

- относительная роль неравновесности ФРЭ оказывается важнее в индуктивном режиме (рис. 5), однако это не ведет к существенному изменению роли ЭЦ потерь в этом режиме,

- типичная неравновесность ФРЭ практически не влияет на полную мощность потерь на ЭЦИ,

- вклад надтепловых электронов в относительный рост плотности мощности ЭЦ потерь определяется поперечной температурой надтепловых электронов.

(4) Бимаксвелловская ФРЭ ' = 60 кэВ, Т."" = 40 кэВ

— (2) Изотропная бимаксвелловская

1 (3) Бимаксвелловская ФРЭ Т™ = 40 кэВ, Т,"" = 60 кэВ

(1) Максвелловская ФРЭ

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Рис. 5. Сравнение профилей плотности мощности результирующих ЭЦ потерь в индуктивном режиме работы ИТЭР [15] для (1) неискаженной, фоновой ФРЭ с параметрами температуры и плотности основной компоненты, (2) ФРЭ с надтепловыми электронами, изотропными по питч углам — изотропная бимаксвелловская ФРЭ с Т\\тах=Т±тш=50 кэВ, (3) анизотропной бимаксвелловской ФРЭ с Тцтах=60 кэВ и Т±тах-40 кэВ, (4) анизотропной бимаксвелловской ФРЭ с Т\\пах~40 кэВ и Т±тах-60 кэВ. Пространственное распределение плотности, д, и (продольной и поперечной) температур надтепловых электронов взяты в виде гауссов-ского распределения Р(р)=Ртах ехр(—р2/Лр1), Лр=0,2, 8™*=0,03.

В разделе 3.3 проведены расчеты потерь на ЭЦИ в токамаке ИГНИТОР. Несмотря на сильное магнитное поле, плотность мощности потерь на ЭЦИ - как для тепловых, так и умеренно неравновесных электронов плазмы — заметного

влияния на локальный электронный энергобаланс не оказывают ввиду существенно более высокой плотности плазмы в ИГНИТОР по сравнению с другими токамаками-реакторами (рис. 6). Рис. 6. Расчеты кодом CYNEQ профиля мощности потерь на ЭЦИ, Рес(р), для сценариев 1 и 2 режима работы токомака ИГНИТОР [11] (Я о=1,3 м, а=0,47 м, ке1о„г=1,8, 3=0,4, К=0,6,), в сценарии 1 1„=11 МЛ, В0=13 Т, Те(0)=14 кэВ, пе(0)=9,5 1026 м'3, в сценарии 2 1Р=7 МЛ, В0=12 Т, Те(0)=18 кэВ, пе(0)=4,71020 м'3.

' 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

В разделе разделе 3.4 дается обобщение формулы Трубникова [16] для полных (интегральных по объему) потерь на ЭЦИ для однородной плазмы на случай неоднородных профилей температуры, плотности и магнитного поля. Новая формула сравнена с расчетами полных потерь кодом СУ1ЯЕ(3 и другими приближенными формулами [16-18], предложенными для определенных классов профилей параметров плазмы. Для широкого диапазона профилей температуры и плотности показана хорошая точность (<25%) новой формулы для полных потерь на ЭЦИ, при этом новая формула требует знания лишь линейных средних от произвольных профилей всех параметров плазмы:

P£=4,15-10-yi-Rw

1 + 2,5

-J.(cff)

511

V, [МВт] (4)

Fff=jF(p)dp*<F>v,F = {Te,ne,B}

(5)

здесь все величины, кроме Те, даны в единицах СИ, электронная температура, Те - в килоэлектронвольтах, пе - в единицах Ю20 м~э, aeft = a^kelong, kciong -удлинение плазмы.

Сравнение различных аппроксимационных формул показано на рис. 7.

Т(0), юВ

10 12 14 16 18 20 22 <Т\, кэВ

3 2,5 2 1,5 1

0,5

20

Т (0), кэВ 30 40

50

8 10 12 14 16 18 20 22 < Т >v, кэВ

(а) (б)

Рис. 7. (а) Сравнение приближенных формул для расчета полной мощности потерь на ЭЦИ (красная кривая с маркерами в виде точек и крестов - расчет кодом СУЫЕ(2, синяя кривая с маркерами в виде квадратов и ромбов - расчет по приближенной формуле [17], зеленая кривая с маркерами в виде круга и звезды - расчет по новой формуле (4), черная кривая с маркерами в виде треугольника и шестиугольника - расчет по формуле Трубникова со средними значениями для температуры, плотности и магнитного поля). Расчеты проведены для параметров, близких к токомаку ИТЭР: Ко=б,2 м, а=1,86 м, ке1„„я=1,92, Во =5,3 Т, Я№=0,8, пе(р) —0,5+0,5(1—р2)"'' 10го м3 и параболического профиля температуры, Те. (б) Отношение полных потерь на ЭЦИ, рассчитанных кодом СУЫЕ<2 к расчетам по указанным приближенным формулам.

В разделе 3.5 проводятся оценки нагрева плазмы в диверторе ИТЭР ЭЦ излучением из основной плазмы. Проанализировано поглощение ЭЦИ от основной плазмы в области диверторной и пристеночной плазмы для диверторных сценариев, в которых нагрузка на диверторные пластины варьируется в диапазоне 6,5-10 МВт/м2 [19], а состояние основной плазмы (внутри сепаратрисы) отвечает стационарному режиму работы ИТЭР [10]. Показано, что плотность

мощности нагрева диверторной плазмы составляет менее 1% от плотности мощности её полных радиационных потерь. Наибольший эффект имеет место со стороны сильного магнитного поля. Влияние поглощение ЭЦ излучения в диверторе на интенсивность уходящего излучения (т.е. на полные ЭЦ потери) в рассмотренных режимах также мало (не превышает 0,5%). Малость эффекта обусловлена достаточно большим различием спектрального состава ЭЦ излучения из горячей основной плазмы и максимума поглощающей способности относительно холодной плазмы в диверторной и пристеночной области, несмотря на то, что полная мощность ЭЦ излучения, падающего на стенку вакуумной камеры, достигает в режиме [10] значения -20 МВт. Поэтому эти эффекты не нарушают принятого на текущий момент механизма связи основной и диверторной+пристеночной плазмы при их моделировании, соответственно, транспортными кодами ASTRA [2] и SOLPS4.3 [19]. Результаты расчета нагрева дивертора в одном из рассмотренных сценариев показаны на рис. 8.

0,5

0,1

0,075

0,05

0,025

0,01

0,0075

0,005

0,0025

0,001

0

Рис. 8. Отношение плотности мощности нагрева плазмы в диверторе ЭЦ излучением из основной плазмы, Pec(R,2), к плотности мощности полных радиационных потерь, Praj(R,Z), в диверторе. Расчет Pec(R,Z) проведен кодом CYNEQ, расчет параметров диверторной и пристеночной плазмы и профиля Praj(R,Z) проведен кодом SOLPS4.3 [19] для сценария 1514, расчет параметров основной плазмы - кодом ASTRA [10] для стационарного сценария работы ИГЭР [10].

В главе 4 приводится решение обратной задачи восстановления функции распределения надтепловых электронов по спектрам электронного циклотронного излучения (ЭЦИ) на пониженных частотах в токамаке Т-10. Наблюдение ЭЦИ в токамаке Т-10 одновременно на первой и второй гармониках с включением диапазона более низких частот указало на возможное наличие надтепло-

вых электронов с энергиями от нескольких десятков до сотен кэВ [20]. При этом наблюдаемый спектр является изотропным по углу регистрации излучения и не зависит от поляризации выходящих ЭМ-волн. Наблюдение спектров ЭЦИ в низкочастотном диапазоне и интерпретация особенностей спектра вкладом надтепловых электронов уже не раз обсуждались в литературе, см., например, эксперименты как в омических разрядах (на токамаке АЭБЕХ [21]), так и в разрядах с ЭЦ и нижнегибридным поддержанием тока (например, на то-камаках АЬСАТСЖ [22], \VT-3 [23], ФТ-2 [24]), однако там измерения спектров были проведены при несколько более высоких частотах. Специфика интерпретируемых экспериментов на токамаке Т-10 состоит в малости плотности на периферии (ощутимо меньшей, чем в больших токамаках), при которой возможно излучение О-моды ЭЦИ быстрыми электронами на периферии (с ростом плотности область возможного существования такого излучения просто «вытесняется» из плазмы).

В разделе 4.1 излагается модель для расчета спектра ЭЦИ от надтепловых электронов на пониженных частотах в токамакеТ-10. Основные положения модели следующие.

1. Надтепловые электроны локализованы в слое вблизи границы плазмы [20].

2. Плотность мощности спонтанного источника ЭЦИ считается по формулам почти вакуумного приближения (не учитывается рефракция, но учитывается отсечки для обыкновенной и необыкновенной волн).

3. Основная плазма очень слабо поглощает ЭЦИ от надтепловых электронов в данном диапазоне частот.

4. Интенсивность указанного ЭЦ излучения в области между стенкой камеры и областью отсечки однородна и изотропна в силу многократного отражения от границ указанной области (это соответствует результатам измерений -отсутствию зависимости от поляризации ЭЦ волны и от пространственного расположения детектора ЭЦ излучения).

В основе модели лежит почти свободное распространение и изотропность ЭЦ излучения между металлической стенкой вакуумной камеры и зоной отсечки в плазме. Это позволяет использовать методы расчета, развитые ранее в численных кодах СУШАМ [3] и СУТЧЕС^ для случая токамаков-реакторов, поскольку там значимое для потерь ЭЦ-излучение больших частот оказывается «запертым» между стенкой камеры и внутренней зоной оптической непрозрачности.

В разделе 4.2 сформулирована и решена обратная задача для восстановления функции распределения надтепловых электронов по параллельной и пер-

пендикулярной магнитному полю проекциям импульса на периферии плазменного шнура. Для восстановления ФРЭ ставится задача оптимизации, состоящая в поиске функции распределения надтепловых электронов, Fchot(p, 0, р|;, р±), для которой рассчитанный в рамках предложенной модели спектр радиационной температуры ЭЦИ, T"dlc(co), максимально близок к наблюдаемому спектру T"dp(co). Механизмы формирования наблюдаемого спектра T"dp(co), отличные от ЭЦИ, не рассматриваются. Из-за линейности задачи можно разбить фазовое пространство на сектора (р„, р^, р, 0)N с номером N и искать вклад в спектр

Tradlc(ö) ОТ каждого сектора в виде функции Trad(co, p,|N, P1N, pN, 0N):

•С'» = ZtdCffl, Pj|N' PIN. PN.0N)"Xn. (6)

N

где xN - значение функции распределения в секторе N. Тогда задача оптимизации может быть сформулирована следующим образом:

min f, xN > О,

f = f (Тгса7 (к>), Тгс^с (со, xN)), (?)

где f — функция, показывающая отклонение экспериментального профиля радиационной температуры от результатов моделирования. В данной работе выбрана функция, являющаяся квадратом евклидовой нормы вектора в дискретном пространстве частот, в котором задана зависимость экспериментального спектра Т-(со). Задача оптимизации (7) является некорректно поставленной обратной задачей. Ее решение не претендует на однозначное восстановление вида ФРЭ, но способно достаточно надежно определить средние характеристики ФРЭ.

Можно упростить задачу (6), рассматривая только ту область полного фазового пространства, которая отвечает траекториям отдельных электронов с учетом двух законов сохранения - адиабатического инварианта для движения электрона в неоднородном магнитном поле и сохранения полной энергии электрона. Это отвечает поиску редуцированной ФРЭ, отвечающей усреднению по полоидальному углу на фиксированной магнитной поверхности (для запертых частиц - усреднению по «банану»).

Показано, что в омическом режиме надтепловые электроны являются запертыми частицами на внешнем обводе тора, их характерная кинетическая энергия лежит в диапазоне —150-200 кэВ, а плотность составляет долю -10^ от основной плазмы (рис. 9).

60 v, ГГц

(а)

Рис. 9. (а) Экспериментальный профиль для спектральной зависимости радиационной температуры (разряд №36057, кривая №3 на Рис. 2 в [20]) (красная сплошная кривая) и результат оптимизации (синяя пунктирная кривая). На вставке: профили радиационной температуры в спектральном интервале между спектрами теплового ЭЦ излучения основной плазмы на первой и второй гармониках основной ЭЦ частоты, (б) Функция распределения надтепловых электронов, х = Р*"' (р, ы||0, м±0) по продольной и поперечной компонентам импульса на одной из магнитных поверхностей, р=0,9 (и=р/тес, индекс 0 отвечает точке пространства в экваториальной плоскости, с координатой Я=Ятах)-Характеристики функции распределения надтепловых электронов <Ты„>=213 кэВ, <Ткы\\>=13 кэВ, < Тш± >= 196 кэВ. Доля надтепловых электронов в плотности плазмы на внешней стороне экваториальной плоскости тороида равна 81,01=1,8 Ю 4.

х 10 5

В Заключении приведены основные результаты работы и выводы по всем четырем главам.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Проведено обобщение численного кода CYNEQ, рассчитывающего плотность мощности потерь на электронное циклотронное излучение (ЭЦИ), на случай детального учета неоднородности распределения полного магнитного поля; созданы версии кода CYNEQ-B(2D) (для двумерного профиля магнитного поля) и CYNEQ-B(ID) (для одномерного поля, полученного усреднением по магнитной поверхности).

2. Упрощенная и достаточно точная версия кода CYNEQ-B(ID) (т.н. симулятор кода) включена как модуль в общий транспортный код ASTRA для расчета ЭЦИ-компоненты локального электронного энергобаланса в самосогласованном моделировании одномерного переноса и двумерного равновесия плазмы (т.н. 1.5D приближение).

3. Это позволило проанализировать роль ЭЦИ в т.н. стационарном режиме работы ИТЭР. Показано, что:

- при повышении электронной температуры в центре до Те ~ 30 кэВ локальная мощность ЭЦ потерь становится весомой частью от нагрева термоядерными альфа-частицами и практически сравнивается с дополнительным нагревом плазмы с помощью инжекции пучка нейтралов, Рес(0) ~ 0,ЗРа(0) ~ Раш[(0),

- при Те(0) >35 кэВ локальные потери на ЭЦИ в центре плазмы замедляют и стабилизируют нарастание термоядерной мощности.

4. Разработан алгоритм учета произвольной неравновесности (немаксвеллово-сти) функции распределения электронов (ФРЭ) по скоростям при расчете кодом СУЫЕС? плотности мощности потерь на ЭЦИ и спектра уходящего ЭЦ излучения (для ЭЦ гармоник выше 2), получены оценки влияния неравновесности ФРЭ на плотность мощности ЭЦ потерь в базовых режимах ИТЭР.

5. Расчеты профиля мощности потерь на ЭЦИ, Рес(р), полученные кодом СУМЕ(}, сравнены с расчетами всех действующих кодов (ЯАУТЕС, ЕХАСТЕС и СУТЯАЫ) для различных параметров плазмы (в токамаках ИТЭР и ДЕМО) и различных аппроксимаций магнитного поля. Результаты бенчмаркинга кодов показали, что код СУ1ЧЕ(2-В(Ш) является наиболее подходящим для самосогласованного 1.50 моделирования плазмы в токама-ке-реакторе, так как он рассчитывает потери на ЭЦИ с хорошей точностью и скоростью, достаточной для включения в общие транспортные коды.

6. Проведены расчеты потерь на ЭЦИ для различных режимов работы токама-ка ИГНИТОР; показано, что несмотря на сильное магнитное поле, потери на ЭЦИ как для термодинамически равновесных электронов, так и умеренной неравновесности (немаксвелловости) электронов, не сильно влияют на локальный электронный энергобаланс и не создают препятствий для зажигания т/я реакции ввиду того, что плотность плазмы в ИГНИТОР существенно выше, чем в других токамаках-реакторах.

7. Обобщена формула Трубникова для интегральных потерь на электронное циклотронное излучение на случай неоднородности профилей электронной температуры, плотности и магнитного поля.

8. Проведены оценки нагрева плазмы в диверторе ЭЦ излучением из основной плазмы в токамаке ИТЭР; показано, что поглощение ЭЦ излучения из основной плазмы в области пристеночной и диверторной плазмы мало по сравнению с полными радиационными потерями этой плазмы. Наибольший эффект имеет место со стороны сильного магнитного поля. Влияние по-

глощения ЭЦИ в диверторе на полные ЭЦ потери в рассмотренных режимах также мало. Эти эффекты не нарушают принятого на текущий момент механизма связи основной, пристеночной и диверторной плазмы в моделировании этих областей соответствующими транспортными кодами (соответственно, коды ASTRA и SOLPS4.3).

9. Разработана модель для количественной интерпретации спектра ЭЦИ в то-камаке Т-10 на частотах ниже, чем первая циклотронная гармоника на краю плазменного шнура. Модель основана на нелокальности переноса ЭЦИ на указанных частотах, что позволило развить метод, близкий к разработанному для токамаков-реакторов.

10.Сформулирована и решена обратная задача для восстановления функции распределения надтепловых электронов по параллельной и перпендикулярной магнитному полю проекциям импульса и по магнитным поверхностям на периферии плазменного шнура. Показано, что в омическом разряде в то-камаке Т-10 надтепловые электроны являются запертыми частицами на внешнем обводе тора, их характерная кинетическая энергия лежит в диапазоне —150-200 кэВ, а плотность составляет долю -10"4 от основной плазмы.

Литература

1. Tamor S. // Nuclear Technology/Fusion, 1983, v. 3, p. 293.

2. Pereverzev G.V., Yushmanov P.N. // Report IPP 5/98, Max-Planck-Institut für Plasmaphysik, Garching, 2002.

3. Tamor S. // Report SAI-023-81-189LJ/LAPS-72, Science Applications, Inc., La Jolla, CA, 1981.

4. Kukushkin A.B. // Proc. 14th IAEA Conference on Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research, Wuerzburg, Germany, 30 September - 7 October 1992, IAEA, v. 2, pp. 35-45.

5. Cherepanov K.V., Kukushkin A.B. // Proc. 20th IAEA Fusion Energy Conference, Vilamoura, Portugal, 1-6 November 2004, P6-56.

6. Albajar F., Bornatici M., Engelmann F. // Nuclear Fusion, 2002, v. 42, № 6, pp. 670-678.

7. Albajar F., Bornatici M., Engelmann F. // Nuclear Fusion, 2009, v. 49, № 11, p. 115017.

8. Kukushkin A.B. // JETP Letters, 1992, v. 56, p. 487.

9. Cherepanov K.V., Kukushkin A.B., Minashin P.V. et al. II Proc. 34th EPS Conference on Plasma Physics, Warsaw, Poland, 2-6 July 2007, ECA, v. 3 IF, P4.133.

10. Polevoi A.R., Medvedev S.Y., Casper T. et al. II Proc. 37th EPS Conference on Plasma Physics, Dublin, Ireland, 22 - 25 June 2010, ECA, v. 34A, P2.187.

11. Albajar F., Bornatici M., Cortes G. et al. И Nuclear Fusion, 2005, v. 45, № 7, pp. 642-648.

12. Albajar F., Bornatici M., Engelmann F. et al. // Fusion Science and Technology, 2009, v. 55, № 1, pp. 76-83.

13. Garcia J., Giruzzi G., Artaud J.F. et al. II Nuclear Fusion, 2008, v. 48, № 7, p. 075007.

14. Kukushkin A.B., Minashin P.V., Neverov V.S. // Proc. 22nd IAEA Fusion Energy Conference, Geneva, Switzerland, 13-18 October 2008, TH/P3-10.

15. Polevoi A.R., Medvedev S.Y., Mukhovatov S.V. et al. II Journal of Plasma and Fusion Research SERIES, 2002, v. 5, pp. 82-87.

16. Трубников Б.A. // Вопросы теории плазмы, под ред. М.А. Леонтовича, Москва: Атомиздат, 1973, т. 7, с. 274.

17. Albajar F., Johner J., Granata G. // Nuclear Fusion, 2001, v. 41, № 6, pp. 665678.

18. Fidone I., Meyer R.L., Giruzzi G. et al. И Physics of Fluids B, 1992, v. 4, № 12, pp. 4051-4056.

19. Kukushkin A.S., Pacher H.D., Loarte A. et al. II Nuclear Fusion, 2009, v. 49, № 7, p. 075008.

20. Позняк В.И., Гридина T.B., Питерский B.B. и др. II Вопросы атомной науки и техники. Серия: Термоядерный синтез, 2011, т. 34, № 4, с. 90-102.

21. Kurzan В., Steuer К.Н., Suttrop W. // Review of Scientific Instruments, 1997, v. 68, № l,pp. 423-426.

22. Kato K., Hutchinson I.H. // Physics of Fluids, 1987, v. 30, № 12, pp. 3809-3820.

23. Ide S., Ogura K„ Tanaka H. et al. II Nuclear Fusion, 1989, v. 29, № 8, pp. 13251338.

24. Лашкул С.И., Рождественский B.B., Алтухов А.Б. и др. II Письма в ЖТФ, 2012, т. 38, № 23, с. 69-76.

Основное содержание диссертации изложено в следующих публикациях:

А1. Кукушкин А.Б., Минашин П.В., Полевой А.Р. «Влияние неоднородности магнитного поля на электронные циклотронные потери в токамаках реакторах» // Физика плазмы, 2012, т. 38, № 3, с. 211-220. DPI: 10.1134/S1063780X12030038

А2. Кукушкин А.Б., Минашин П.В., Неверов B.C. «Подобие пространственных профилей электронных циклотронных потерь в плазме токамака-реактора и возможность универсальной характеристики точности численных кодов» // Вопросы атомной науки и техники. Серия Термоядерный синтез, 2008, т. 31, № 3, с. 76-80. http://vant.iterru.ru/vant 2008 З/6/pdf

A3. Минашин П.В., Кукушкин А.Б., Позняк В.И. «Физическая модель для электронных циклотронных спектров на пониженных частотах и восстановление функции распределения надтепловых электронов по скоростям в токамаке Т-10» // Вопросы атомной науки и техники. Серия Термоядерный синтез, 2012, т. 35, № 2, с. 92-106. http://vant.iterru.ru/vant 2012 2Z9.pdf

А4. Minashin P.V., Kukushkin А.В., Poznyak V.I. «Reconstruction of superthermal electron velocity distribution function from electron cyclotron spectra at down-

shifted frequencies in tokamak T-10» // EPJ Web of Conferences, 2012, v. 32, p. 01015. http://dx.d0i.0rg/l 0.105 l/epjconf/20123201015 A5. Kukushkin A.B., Minashin P.V., Neverov V.S. "Electron cyclotron power losses in fusion reactor-grade tokamaks: scaling laws for spatial profile and total power loss" // Proceedings of the 22nd IAEA Fusion Energy Conference, Geneva, Switzerland, 13 - 18 October 2008, TH/P3-10.

http://ww^'-naweb.iaea.org/napc/phYsics/FEC/FEC2008/html/nodel 25.htm A6. Kukushkin A.B., Minashin P.V. "Influence of magnetic field inhomogeneity on electron cyclotron power losses in magnetic fusion reactor" // Proc. 36th EPS Conference on Plasma Physics, Sofia, Bulgaria, 30 June - 3 July 2009, EC A, v. 33E, P-4.136. http://epsppd.epfl.cli/Sofia/pdf/P4 136.pdf A7. Kukushkin A.B., Minashin P.V., Polevoi A.R. "Electron cyclotron power losses in ITER for 2D profile of magnetic field" // Proc. 23rd IAEA Fusion Energy Conference, Daejon, South Korea, 11-16 October 2010, ITR/P1-34. http://www-

pub.iaea.org/mtcd/meetings/PDFphW2010/cnl80/cnl80 papers/itr pl-34.pdf A8. Cherepanov K.V., Kukushkin A.B., Minashin P.V., Neverov V.S. "Nonlocal vs. Diffusion mechanisms of electron cyclotron radiation transport in fusion reactor-grade tokamaks" // Proc. 34th EPS Conference on Plasma Physics, Warsaw, Poland, 2-6 July 2007, ECA, v. 31F, P4.133. http://www.eps2007.ifpilm.waw.pl/pdf/P4 133.pdf A9. Kukushkin A.B., Minashin P.V., Neverov V.S. "Similarity of spatial distributions of net electron cyclotron power losses in fusion plasmas" // Proc. 35th EPS Conference on Plasma Physics, Hersonissos, Greece, 9-13 June 2008, ECA, v. 32D, P-1.016. http://epsppd.epfl.ch/Hersonissos/pdf/Pl 016.pdf AlO.Kukushkin A.B., Minashin P.V., Polevoi A.R. "Limit of electron cyclotron radiation in ITER long pulse operation" // Proc. 38th EPS Conference on Plasma Physics, Strasbourg, France, 27 June - 1 July 2011, ECA, v. 35G, P4.072. http://ocs.ciemat.es/EPS201 i PAP/pdf/P4.072.pdf All.Minashin P.V., Kukushkin A.B., Kukushkin A.S. "Estimation of SOL/divertor plasma heating by electron cyclotron radiation from core plasma in ITER" // Proc. 38th EPS Conference on Plasma Physics, Strasbourg, France, 27 June - 1 July 2011, ECA, v. 35G, P4.066. http://ocs.ciemat.es/EPS2011PAP/pdf/P4.066.pdf A12.Minashin P.V., Kukushkin A.B. "Influence of plasma equilibrium on scaling laws for local and total electron cyclotron power losses in tokamak-reactors" // Proc. 39th EPS Conference on Plasma Physics, Stockholm, Sweden, 2-6 July 2012, ECA, v. 36F, P4.009. http://ocs.ciemat.es/epsicpp2012pap/pdf/P4.009.pdf A13.Minashin P.V., Kukushkin A.B., Poznyak V.I. "A model for electron cyclotron spectra at down-shifted frequencies and reconstruction of superthermal electron velocity in tokamak T-10" // Proc. 39th EPS Conference on Plasma Physics, Stockholm, Sweden, 2-6 July 2012, ECA, v. 36F, PI.039. http://ocs.ciemat.es/epsicpp2012pap/pdf/Pl.039.pdf

Подписано в печать 17.09.2012. Формат 60x90/16 Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,5 Тираж 90. Заказ 102

Отпечатано в НИЦ «Курчатовский институт» 123182, Москва, пл. Академика Курчатова, д. 1

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Развитие кода CYNEQ для расчета потерь на электронное циклотронное излучение (ЭЦИ) в токамаках-реакторах.

1.1. Нелокальный перенос ЭЦИ.

1.2. Обобщение кода CYNEQ на случай 1D и 2D представлений магнитного поля.

1.3. Обобщение кода CYNEQ на случай произвольной анизотропии функции распределения электронов по питч-углам.

1.4. Симулятор кода CYNEQ и его включение в общий транспортный код ASTRA.

Глава 2. Сравнение кода CYNEQ с существующими кодами для расчета потерь на ЭЦИ.

2.1. Бенчмаркинг кодов для ЭЦ потерь с учетом равновесия плазмы.

2.2. Универсальность нормированных профилей ЭЦ потерь и ее роль в оценке точности кодов.

Глава 3. Практические задачи расчета потерь на ЭЦИ в токамаках-реакторах.

3.1. Роль ЭЦ потерь в стационарных режимах в ИТЭР.

3.2. Стабилизирующая роль ЭЦ потерь при возрастании температуры в переходных режимах в ИТЭР.

3.3. Возможное влияние неравновесности функции распределения электронов (ФРЭ) на ЭЦ потери в ИТЭР.

3.4. Роль ЭЦ потерь в токамаке ИГНИТОР.

3.5. Обобщение формулы Трубникова для полных потерь в токамаках реакторах на случай неоднородности профилей пе, Те, В.

3.6. Нагрев плазмы дивертора ЭЦ излучением из основной плазмы в ИТЭР.

Глава 4. Определение функции распределения надтепловых электронов по скоростям по спектрам ЭЦИ на пониженных частотах.

4.1. Физическая модель для интерпретации измерений ЭЦИ на пониженных частотах.1.

4.2. Интерпретация измерений в токамаке Т-10.

Краткая история исследований по тематике диссертации

Задачи, связанные с электронным циклотронным излучением (ЭЦИ), обусловленным ларморовским вращением электронов в магнитном поле, в термоядерной магнитоактивной плазме можно разделить на три группы [1-3].

1) Роль энергетических потерь на ЭЦИ в полном и локальном энергобалансе плазмы.

2) Использование ЭЦИ как диагностического инструмента для определения основных характеристик плазмы.

3) Использование электромагнитных (ЭМ) волн для резонансного ЭЦ нагрева плазмы и ЭЦ поддержания тока.

В диссертации рассмотрены задачи, относящиеся к первой и второй группе.

Энергетические потери термоядерной плазмы вследствие испускания ею ЭЦИ, т.е. потери на «собственное» ЭЦИ (мы будем далее их кратко называть как «потери на ЭЦИ» или «ЭЦ потери»), могут иногда оказаться отрицательной величиной, что соответствует нагреву плазмы (напр., в холодной периферийной плазме, когда нагрев ЭЦ излучением из горячей центральной превышает охлаждение собственными ЭЦ потерями; этот эффект усиливается в случае немалого отражения ЭЦ волн от стенок вакуумной камеры). Поэтому в энергобалансе плазмы вклад «собственного» ЭЦИ следует отличать от нагрева инжектируемыми в плазму ЭМ волнами, распространяющимися в ней как ЭЦ или другие волны. Впервые потери на ЭЦИ были рассчитаны в пионерских работах [4, 5] Трубниковым с участием Бажановой. Задача была решена для полных, т.е. интегральных по объему плазмы, потерь слоем плазмы с однородными профилями температуры, плотности, магнитного поля. Было показано, что, несмотря на то, что мощность спонтанно испускаемого ЭЦИ превышает мощность выделения энергии в результате термоядерных реакций, в процессе переноса этого излучения подавляющая его часть поглощается плазмой (при расчете поглощения ЭЦИ учитывается также и его вынужденное испускание). Поэтому в действительности лишь очень незначительная часть спонтанно испущенного ЭЦИ выходит из среды. Также в работах [4, 6] впервые оценивалась роль нетепловых эффектов, т.е. отклонение функции распределения электронов по скоростям от максвелловской. В [6] рассчитывались параметры «обрезания» высокоэнергичной части функции распределения электронов по скоростям вследствие потерь энергии быстрых электронов за счет испускания ЭЦИ, но без учета самопоглощения плазмой собственного ЭЦИ. В работе [4] проводились расчеты полных потерь для функций распределения электронов по скоростям с усеченным «хвостом». Расчеты [7] подтвердили результаты работ [4, 5]. Позже в работе [8], основываясь на работах по численным расчетам потерь на ЭЦИ в термоядерной плазме [4, 7, 9, 10], Трубников предложил простую аппроксимационную формулу для т.н. интегрального коэффициента выхода ЭЦИ из среды, являющегося отношением мощности вышедшего ЭЦИ к мощности спонтанно испущенного ЭЦИ. Для однородного слоя плазмы интегральный коэффициент выхода зависит от двух параметров - температуры и оптической толщины. Так, для слоя плазмы с оптической толщиной ~10 и температурой Те=10 кэВ интегральный коэффициент выхода составляет величину ~10"3 [8]. В итоге первые численные расчеты потерь на ЭЦИ в токамаках-реакторах показали, что интегральные потери на ЭЦИ не представляют существенной опасности для поддержания термоядерного горения.

Интерес к возможности использования малорадиоактивных видов л топлива (т.н. альтернативные виды топлива: D- Не, D-D и др.) (см. [11, 12]) потребовал расчета пространственного профиля плотности мощности потерь на ЭЦИ в неоднородной плазме. Это связано с тем, что для достижения условия зажигания реакций на таком топливе требуется большие температуры, а для удержания такой плазмы - более сильные магнитные поля. В таких условиях потери на ЭЦИ могут играть основную роль в локальном энергобалансе в центре плазмы (и даже в полном энергобалансе). Для решения этой задачи Тамором были созданы численные коды для расчета профилей плотности мощности потерь на ЭЦИ [13-16]. С помощью монте-карловского моделирования процессов испускания и поглощения ЭЦ волн кодом SNECTR [13, 14, 16] было получено решение задачи переноса ЭЦИ в аксиально симметричной тороидальной термодинамически равновесной (максвелловской) плазме для случаев диффузного или зеркального отражения излучения от стенок вакуумной камеры. Позже был создан упрощенный численный код CYTRAN[15, 17] для расчета потерь на ЭЦИ. Код CYTRAN использовал «численные открытия» кода SNECTR, касающиеся особенностей переноса ЭЦИ в токамаках-реакторах (изотропность по углам и однородность интенсивности ЭЦИ в внешней оптически прозрачной области плазмы), а также упрощающие аппроксимационные формулы для коэффициентов поглощения.

Дальнейшее развитие эти проблемы нашли в работах над проектами токамаков-реакторов ИТЭР и ДЕМО. Актуальность расчета как локальных, так и полных потерь на ЭЦИ растет для токамаков-реакторов следующего поколения, поскольку в них ожидаются более высокие значения температуры плазмы и магнитного поля. В работе [18] с помощью кода CYNEQ сделан первый расчет профиля мощности потерь на ЭЦИ, Рес(р), для первой версии проекта токамака ИТЭР. В работе [19] для параметров плазмы близких к индуктивному режиму работы ИТЭР рассчитанный с помощью модифицированного кода CYTRAN (см. раздел 2.1) профиль Рес(р) сравнивался с нагревом плазмы альфа-частицами. Было показано, что в рассмотренном режиме работы ИТЭР потери на ЭЦИ относительно малы по сравнению с нагревом плазмы альфа-частицами. Впервые самосогласованное моделирование сценариев работы ИТЭР с достаточно точным расчетом ЭЦ потерь проведено в работе [20] с помощью общего транспортного кода ASTRA [21] и модифицированного кода CYTRAN, встроенного в код ASTRA в качестве модуля для расчета ЭЦИ (до этого в коде ASTRA использовались аппроксимационные формулы, отвечающие интерпретации аналитической формулы для мощности полных потерь как локальной мощности потерь, что занижало потери в центре плазмы в 2-3 раза, см. рис. 1 в [22] и далее рис. 8).

Таким образом в работах [18-20] было показано, что ЭЦИ в ИТЭР имеет пространственное распределение с достаточно сильным максимумом в центральной части плазменного шнура и может там существенно влиять [20] на локальный энергобаланс для высоких температур электронов, ожидаемых в стационарных режимах работы токамака ИТЭР.

Отсюда следовало, что в условиях токамаков-реакторов необходимо дальнейшее уточнение расчетов потерь на ЭЦИ, которое достижимо в рамках более общей постановки задачи. Это включает учет влияния равновесия плазмы (прежде всего, смещения Шафранова) на пространственное распределение магнитного поля в плазме. Расчет этого распределения должен проводиться в рамках самосогласованного моделирования всех значимых компонент транспорта частиц и тепла, включая также и перенос (собственного) ЭЦИ плазмы. Отметим также, что мощность выходящего ЭЦИ (и, соответственно, полная мощность потерь на ЭЦИ) важна в ИТЭР для оценки излучательного потока на элементы конструкций диагностической аппаратуры.

Другим важным аспектом задачи является то, что моделирование сценариев работы токамаков-реакторов общими транспортными кодами (напр., кодом ASTRA) требует быстрых расчетных процедур (т.н. симуляторов кодов) для оценки всех компонент локального энергобаланса плазмы (по этой причине в настоящее время для расчетов ЭЦИ код SNECTR не используется). Существующие быстрые коды для расчета профиля плотности мощности потерь на ЭЦИ решают задачу переноса различными способами:

• коды CYTRAN[15] и CYNEQ [18, 22] используют подсказанную расчетами SNECTR [13, 14, 16] изотропию и однородность интенсивности ЭЦ излучения во внешней оптически прозрачной области плазмы;

• код ЕХАСТЕС [23] использует аналитическое решение задачи переноса излучения в случае идеализированной геометрии: круглом цилиндре с зеркальным отражением излучения от стенок;

• код ЛАУТЕС [24, 25] основан на численном интегрировании поглощения

ЭЦ волн вдоль их траектории в тороидальной геометрии.

Разнообразие подходов к решению задачи переноса ЭЦИ и важность этой задачи для токамаков-реакторов делает необходимым сравнение (бенчмаркинг) существующих численных кодов для расчета профилей потерь на ЭЦИ. При сравнении следует учитывать, что одной из важных характеристик кода является возможность встроить его (или его упрощенную версию, если она существует) в общие транспортные коды.

Численный код, верифицированный в бенчмаркинге кодов, уместно использовать для решения целого ряда теоретических и практических задач для токамаков-реакторов. Это включает анализ роли ЭЦ потерь в различных расчетных режимах токамаков ИТЭР, ИГНИТОР и ДЕМО, прежде всего в аспекте возможности поддержания стационарного энергобаланса при высокой температуре электронов Те в сильном магнитном поле; оценку влияния резкой зависимости мощности локальных ЭЦ потерь от Те на динамику термоядерного горения; оценку влияния неравновесности (немаксвелловости) функции распределения электронов по скоростям на плотность мощности потерь на ЭЦИ в указанных токамаках; анализ нелокальности переноса ЭЦИ в токамаках-реакторах и оценку мощности нагрева пристеночной и диверторной плазмы интенсивным ЭЦ излучением из основной плазмы в ИТЭР; построение простой универсальной формулы для мощности полных потерь на ЭЦИ; поиск законов подобия, которые могут быть дополнительным инструментом проверки точности всех кодов для ЭЦ потерь.

Актуальным является и решение задач, в которых для действующих токамаков применимы теоретические методы расчета переноса собственного ЭЦИ, развитые для токамаков-реакторов. Такой проблемой оказывается разработка метода решения обратных задач, связанных с использованием ЭЦИ как диагностического инструмента, конкретно - для восстановления функции распределения надтепловых электронов по скоростям на периферии плазмы по наблюдаемому спектру ЭЦИ на пониженных частотах (ниже частот излучения основной плазмы на первой гармонике фундаментальной ЭЦ частоты). Здесь реализуется нелокальность переноса, для описания которой можно ожидать применимости формализма, разработанного для расчета ЭЦ потерь в токамаках-реакторах.

Далее сформулируем цели работы, ее научную и практическую новизну.

Цели работы

1) Развитие численного кода CYNEQ для моделирования пространственных и спектральных характеристик потерь на ЭЦИ в токамаках-реакторах: обобщение кода на случай одномерного и двумерного представлений магнитного поля, обобщение кода на произвольную анизотропию функции распределения электронов по питч-углам.

2) Верификация кода CYNEQ, модифицированного по вышеуказанным направлениям.

3) Создание упрощенной и достаточно точной версии кода (т.н. симулятора) и его включение в общий транспортный код ASTRA.

4) Анализ роли потерь на ЭЦИ в токамаках ИТЭР, ИГНИТОР и ДЕМО.

5) Восстановление функции распределения надтепловых электронов в токамаке Т-10 по наблюдаемому спектру ЭЦИ на пониженных частотах в рамках формализма нелокального переноса, разработанного для токамаков-реакторов.

Научная новизна работы В диссертации получен целый ряд новых научных результатов, среди которых наиболее значимыми являются следующие.

1) Код CYNEQ, обобщенный на случай полномерного учета неоднородности магнитного поля, является единственным кодом, способным анализировать влияние размерности пространственного распределения магнитного поля на локальные ЭЦ потери в токамаках реакторах.

2) Созданный симулятор кода CYNEQ, включенный в общий транспортный код ASTRA для самосогласованных расчетов динамики плазмы (равновесие + транспорт), является, как показало сравнение, наиболее точным из существующих симуляторов для расчетов потерь на ЭЦИ.

3) Использование симулятора кода CYNEQ позволило впервые провести с требуемой точностью анализ роли потерь на ЭЦИ в стационарных режимах работы токамака ИТЭР.

4) Впервые дана интерпретация спектров ЭЦИ на пониженных частотах в токамаке Т-10 и получены оценки основных характеристик надтепловых электронов на периферии плазменного шнура.

Практическая ценность работы Модифицированный код CYNEQ встроен в общий транспортный код ASTRA и в этом качестве используется в Международной Организации ИТЭР для расчетов потерь на ЭЦИ при моделировании базовых режимов работы ИТЭР.

Результаты анализа роли потерь на ЭЦИ в токамаках ИТЭР, ИГНИТОР и ДЕМО представляют интерес для оптимизации режимов работы указанных установок по результатам предсказательного моделирования. Так, для токамака ИТЭР показано, что при повышении температуры в центре плазмы до -30 кэВ локальная мощность электронных циклотронных потерь становится немалой в сопоставлении с нагревом термоядерными альфа-частицами и почти сравнивается с дополнительным нагревом плазмы нейтральным пучком. При достижении высоких температур в центре плазмы, больше 30 кэВ, при средней плотности ~ (6-7) х 1019 м-3 и магнитном поле В0 ~ 5,3 Тл локальные потери на ЭЦИ в центре замедляют и стабилизируют нарастание термоядерной мощности. Расчеты роли ЭЦ потерь в токамаке ИГНИТОР с сильным магнитным полем (В0~13 Т) показали, что сильное самопоглощение ЭЦИ в плотной плазме в ИГНИТОР делает ЭЦ потери неопасными для достижения зажигания.

Решение задачи восстановления функции распределения надтепловых электронов по наблюдаемому спектру ЭЦИ в токамаке Т-10 показало ранее не использованную возможность определения характеристик надтепловых электронов в режимах с низкой плотностью на периферии плазмы.

Положения, выносимые на защиту

1) Обобщение кода CYNEQ для расчета локальных и полных потерь на электронное циклотронное излучение (ЭЦИ) на случай одномерного и двумерного представлений магнитного поля в аксиально симметричных тороидальных системах магнитного удержания плазмы.

2) Упрощенная и достаточно точная версия кода CYNEQ (т.н. симулятор) и ее включение в транспортный код ASTRA.

3) Сравнение всех существующих кодов для расчета локальных и полных потерь на ЭЦИ в токамаках-реакторах с учетом равновесия плазмы.

4) Обобщение известной формулы Трубникова для интегральных по объему потерь на ЭЦИ в токамаках реакторах на случай неоднородности профилей плотности пе, температуры Тс и магнитного поля В.

5) Результаты расчетов профилей плотности мощности ЭЦ потерь в токамаках ИТЭР, ИГНИТОР, ДЕМО и анализ роли ЭЦ потерь в этих установках.

6) Количественные оценки (а) влияния неравновесности функции распределения электронов по скоростям на ЭЦ потери в ИТЭР и (б) нагрева диверторной и пристеночной плазмы ЭЦ излучением из основной плазмы в ИТЭР.

7) Физическая модель для интерпретации измерений спектра ЭЦИ на пониженных частотах и восстановление основных параметров функции распределения надтепловых электронов по скоростям на периферии плазмы в токамаке Т-10.

Апробация работы и публикации Основные результаты работы доложены на научных семинарах в НИЦ «Курчатовский институт» в Институте физики токамаков, на Курчатовских молодежных научных школах 2008, 2009, 2010, 2011 гг., на следующих конференциях: Международные конференции МАГАТЭ по термоядерной энергии (FEC-22, г. Женева, Швейцария, 2008 г.; FEC-23, г. Тэджон, Южная Корея, 2010 г.), Международные конференции европейского физического общества по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (EPS-35, г. Херсониссос, Греция, 2008 г.; EPS-36, г. София, Болгария, 2009 г.; EPS-38, г. Страсбург, Франция, 2011 г.; EPS-39, г. Стокгольм, Швеция, 2012 г.), Международные (Звенигородские) конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу (2008, 2009, 2010, 2011, 2012 гг.), Международное совещание по электронному циклотронному излучению (ЕС-17, Дерн, Нидерланды, 2012), Российско-германский семинар по проблемам ЭЦ нагрева и гиротронам (24th Joint Russian-German Meeting on ECRH and Gyrotrons, Нижний Новгород, Россия, 2012).

По результатам диссертационной работы опубликовано 13 печатных работ [31, 32, 33, 35, 51, 53, 54, 55, 58, 70, 79, 80, 81], включая 4 статьи в журналах из списка ВАК.

Общие выводы о роли потерь на ЭЦИ в стационарном режиме работы ИТЭР справедливы также и для оценки роли ЭЦ потерь для стационарного сценария работы токамака-реактора ДЕМО [56] (см. расчеты ЭЦ потерь на рис. 16).

-ОД» I -г 0

1.04

0,03 Ч' 0,02 - ; 0.01 -0

Х-чода

О-мо.'Ш ю 15

1) /ш. по а) А А / '¿ЛА

Рис. 24. Спектральное распределение плотности мощности потерь ЭЦИ, РЕС(р,«,<;), в стационарном режиме работы ИТЭР [34], рассчитанное кодом СУЫЕС)-В(Ш).

3.2. Стабилизирующая роль ЭЦ потерь при возрастании температуры в переходных режимах в ИТЭР

Мощность потерь на ЭЦИ быстро растет с ростом электронной температуры: РЕС ~ пе0,5Те2"5 [8], в то время как зависимость нагрева альфа-частицами оказывается слабее, Ра ~ iVTeY, у < 2 (см. напр. [57]). Поэтому для нарастания температуры существует естественный радиационный предел, а именно Т < Тсг(пе), определяемый соотношением Рес(Тсг) = Рн (Тсг). Отметим, что этот предел снижается с уменьшением плотности пе. Указанное обстоятельство позволяет в довольно общем виде показать стабилизирующую роль потерь на ЭЦИ при возрастании температуры в переходных режимах в ИТЭР [58].

Рассмотрим переходные режимы с повышением температуры плазмы в центральной области. Такие режимы могут возникнуть по разным причинам -например, вследствие образования внутреннего транспортного барьера, изменения мощности дополнительного нагрева вследствие изменения кинетических характеристик плазмы при возможном развитии кинетических неустойчивостей и др. Детальное описание таких процессов в действующих установках управляемого термоядерного синтеза в немалой степени основано на использовании феноменологических моделей, совместимых с базой данных ITER Physics Basis [59]. Рассмотрим переходные режимы, которые могут возникать при отклонении от расчетного стационарного режима типа [34]. При этом мы опираемся на подсказываемую результатами численного моделирования возможность «феноменологического» сканирования по параметрам переходных режимов. Для анализа роли потерь на ЭЦИ в энергобаланс плазмы при возрастании температуры в переходных режимах в ИТЭР таким параметром оказывается температура электронов в центре плазменного шнура. Действительно, времена установления профиля плотности мощности потерь на ЭЦИ намного меньше характерных времен всех транспортных процессов, связанных с движением частиц. Перенос ЭЦИ в ИТЭР характеризуется преобладанием вклада излучения немалых гармоник эффективная частота оказывается величиной порядка нескольких единиц значений фундаментальной гармоники для вакуумного магнитного поля на тороидальной оси), для которых можно пренебречь замедлением волн в плазме и считать скорость движения волн равной скорости света в вакууме. Характерные времена переноса тепла, связанные с поглощением излучения, малы в силу малости длин пробега на частотах, дающих основной вклад в ЭЦ потери.

Проанализируем роль ЭЦИ для диапазона параметров плазмы, необходимых для режима работы ИТЭР [34] с длительностью импульса At=1000 секунд и более, генерацией тока 33 МВт пучком нейтралов (NBCD) и электронными циклотронными волнами мощностью 20 МВт (ECCD). Для оценки возможного нарастания температуры и его влияния на параметры плазмы было проведено 1.5D самосогласованное моделирование процессов переноса в плазме. При этом потери на ЭЦИ рассчитывались кодом CYNEQ[18, 22], обобщенным для полномерного учета 2D неоднородности магнитного поля [31, 33]. В расчетах мы полагали, что коэффициент отражения ЭЦИ от стенки равен Rvv = 0,6.

Для небольших значений плотности, ne~6 1019 м"3, высоких температур, Те(0) - 25 кэВ, необходимых для режима ИТЭР с длительностью импульса 1000 сек и более, полные (т.е. интегральные по объему) потери на ЭЦ излучение относительно малы по сравнению с суммарным нагревом альфа-частицами и дополнительным нагревом, fEcR = Pecr/(P<x + PaUx) ~ 9%. При нарастании температуры эта доля достигает радиационного предела для электронов в горячей области, наступающего при выполнении условия Рес(0) - Р<х,е(0), одновременно с пределом устойчивости по идеальной МГД теории, pN = 4 1¡3 ~ 3. В то время как относительная доля потерь в этом пределе остается небольшой, fECR < 18%, потери на ЭЦИ помогают сохранять мощность потерь в диверторе в диапазоне умеренных значений, Pioss < 110 МВт. Нарастание термоядерной энергии также остается умеренным, Pfus < 500 МВт.

Проиллюстрируем роль локальных и полных потерь на ЭЦИ. Для этого приведем результаты сравнения основных компонент локального электронного энергобаланса в переходных режимах, возникающих при отклонении от стационарного режима [34], а именно при достижении значений электронной температуры в центре плазмы Те(0)=40 кэВ, 45 кэв и 52 кэВ. Рисунок 23 демонстрирует доминирующую роль вклада ЭЦИ в радиационные потери плазмы в стационарном режиме работы ИТЭР [34] и близость локальной мощности ЭЦ потерь к мощности дополнительного нагрева в центральной части плазменного шнура. Рисунок 25 показывает, что в переходном режиме с ростом температуры до значения в центре плазмы Те(0)=40 кэВ потери на ЭЦИ усиливают свое доминирование в радиационных потерях плазмы и уже превосходят мощность дополнительного нагрева в центральной части плазменного шнура. р

Рис. 25. Локальный энергетический баланс в переходном режиме при достижении значения электронной температуры в центре плазмы Те(0)=40 кэВ. Расчет проведен помощью кода ASTRA и симулятора кода CYNEQ-B(ID) для расчета ЭЦИ. Начальная конфигурация плазмы - стационарный режим работы ИТЭР [34]. Расчет моделирует возрастание температуры в центре плазмы из-за возникновения внутреннего транспортного барьера. Обозначения совпадают с таковыми на рис 23. На графике-вставке указаны профили электронной температуры Те, плотности пе и коэффициента запаса устойчивости q. X я

Ч « О о о. и х о л Е X и X о с

7. о 'X

О 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Р

Рис. 26. То же, что и для рис. 25, но для значения Те(0)=45 кэВ.

Р со о ЬЙ

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Р

Рис. 27. То же, что и для рис. 25, но для значения Те(0)=52 кэВ.

Перейдем к суммированию результатов проведенного нами сканирования по параметрам переходных режимов с повышением температуры. Приведем результаты сканирования в зависимости от одного из ключевых параметров, описывающих удержание плазмы - Н-фактора, являющегося отношением энергетического времени жизни к его значению по скейлингу, предложенному для режимов с Н-модой (см. [60], стр. 2205, формула 22).

Рис. 28. Изменение профиля нормализованного pN с ростом центральной температуры Те(0), как функция Н-фактора при моделировании кодом ASTRA переходных режимов работы ИТЭР с повышением температуры.

Представляет интерес проанализировать динамику отношения основных компонент энергобаланса в переходных режимах с повышением температуры.

Рис. 29. Отношение локальной плотности мощности потерь на ЭЦИ в центре плазмы Рес(О) к локальной плотности мощности нагрева от альфа-частиц Ра(0) и отношение полных мощностей потерь на ЭЦИ, (¡)ЕС, к полному нагреву (включая дополнительный нагрев (Заих и нагрев плазмы альфа-частицами 0ш</5) как функции Н-фактора при моделировании переходных режимов работы ИТЭР с повышением температуры.

Рис. 30. Полная мощность термоядерной энерговыделения С>а,8 и разность основных компонент энергобаланса С>|о8=С)и+С2аих-С)гас1 как функции Н-фактора при моделировании переходных режимов работы ИТЭР с повышением температуры

Рис. 31.-Зависимость энергетического баланса в центре плазмы от температуры Тс(0). Начальная конфигурация плазмы - стационарный режим работы ИТЭР [34]. Спад результирующей мощности разогрева горящей термоядерной плазмы в центре плазменного шнура достигается при Те(0) >35 кэВ.

Рисунок 31 показывает, что в переходных режимах при достижении температуры в центре плазменного шнура Те(0) = 35 кэВ наступает спад результирующей мощности теплового разогрева горящей термоядерной плазмы. Это означает, что ЭЦ потери замедляют рост любого неконтролируемого термоядерного энерговыделения в центре шнура и тем самым стабилизируют его.

3.3. Возможное влияние перавновеености функции распределения электронов (ФРЭ) на ЭЦ потери в ИТЭР

Влияние термодинамической неравновесности функции распределения электронов по скоростям на ЭЦ потери анализировалось в значительно меньшем объеме работ по сравнению со случаем максвелловской плазмы. В работе [61] изучалось влияние изотропного немаксвелловского распределения надтепловых электронов на ЭЦ потери, при этом не учитывалось пространственное распределение надтепловых электронов. В работе [22] изучались потери на ЭЦИ для случая изотропной бимаксвелловской функции распределения надтепловых электронов по скоростям с их гауссовским распределением в пространстве. Работа [47] описывает модификацию кода RAYTEC [24] для учета анизотропной немаксвелловской функции распределения надтепловых электронов по скоростям.

Нами проведены расчеты потерь на ЭЦИ для двух базовых режимов ИТЭР - индуктивного и стационарного. Параметры указанных режимов взяты из результатов численного моделирования сценариев разряда в ИТЭР транспортным кодом ASTRA с учетом ЭЦ потерь для максвелловской ФРЭ в индуктивном и стационарном режимах.

Проведем сравнение пространственного профиля (т.е. плотности) мощности и полных (т.е. интегральных по объему) потерь на ЭЦИ с аналогичными характеристиками других компонент энергобаланса плазмы. В этом анализе использованы модельные ФРЭ, описывающие отклонение от максвелловского распределения и согласующиеся с результатами численного моделирования ЭЦР нагрева плазмы в рамках релятивистской фоккер-планковской кинетики ФРЭ: f.(p,r) = nc(p){ [l-5ne(p)]fMAXW(p,Te(p)) + 5ne(p)fhot(p,r)) } (3.1) где электроны основной (фоновой, тепловой) компоненты плазмы описываются релятивистским максвелловским распределением по импульсам ^АХ\у(Р»Те), а модельная ФРЭ надтепловых электронов принята в виде, обобщающем релятивистское максвелловское распределение на случай анизотропии распределения электронов по параллельной и продольной (по отношению к магнитному полю) степеням свободы и переходящем в общепринятое нерелятивистское выражение для анизотропного максвелловского распределения с продольной и поперечной температурами (только в нерелятивистском случае эти температуры имеют смысл средней кинетической энергии, связанной с определенной степенью свободы): fhot(p>r) = AeXP -mec2 V ч

1+

Рх р. шсс) (шес)

-1 sin 8р cos 0р Тх(Р) + Ти(р)

3.2) где продольная и поперечная компоненты импульса, р(| и рх, связаны с полной энергией электрона Е и ранее введенным питч-углом электронов следующими соотношениями: l + (PÍ+PÍ)/(mcc)2 = Е / mec2 s 8, sin2 8р = (рх / р)2, cos2 6р = (Р|| / р)2, здесь А - нормировочный коэффициент, рассчитываемый численно интегрированием ФРЭ по импульсам. Пространственное распределение плотности и (продольной и поперечной) температур надтепловых электронов взяты в виде гауссовского распределения

Up) = 8Г ехр [-(р - р0)2 / (Ар)2], (3.3)

Tiii(p) = ТЛГ ехР [-(р - Ро f ( аР)2 ] (з -4) в которых значения параметров р0, Ар извлечены из данных [34, 62].

Сравнение профилей плотности мощности результирующих ЭЦ потерь проведено для трех случаев:

1) неискаженной, фоновой ФРЭ - релятивистского максвелловского распределения по импульсам fMAXw(P>Te)>

2) ФРЭ по формуле (3.2) с надтепловымп электронами, изотропными по питч углам, т.е. для Т^тах = Т™х (изотропная бимаксвелловская ФРЭ) (см. [63]),

3) ФРЭ по формуле (3.2) с надтепловыми электронами, анизотропными по питч углам, т.е. для Т^™* Ф Т™ач (анизотропная бимаксвелловская ФРЭ).

Основные геометрические параметры также взяты следующими: большой радиус 11=6,2 м, малый радиус а=2 м, удлинение шнура кскше=1,85, вакуумное магнитное поле на тороидальной оси камеры В0=5,3 Тл, коэффициент отражения ЭЦИ от стенок вакуумной камеры =0,6.

Результаты расчетов для индуктивного режима работы ИТЭР

Основные характеристики (профили плотности и температуры электронов, плотность мощности ЭЦР нагрева) для индуктивного режима работы ИТЭР [62] даны на рис. 32-33.

Сравнение интенсивностей выходящего излучения и профилей плотности мощности результирующих ЭЦ потерь проведено для ФРЭ, представленных в таблице № 3.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты, полученные в диссертации.

1. Проведено обобщение численного кода CYNEQ, рассчитывающего плотность мощности потерь на электронное циклотронное излучение (ЭЦИ), на случай детального учета неоднородности распределения полного магнитного поля; созданы версии кода CYNEQ-B(2D) (для двумерного профиля магнитного поля) и CYNEQ-B(ID) (для одномерного поля, полученного усреднением по магнитной поверхности).

2. Упрощенная и достаточно точная версии кода CYNEQ-B(ID) (т.н. симулятор кода) включена как модуль в общий транспортный код ASTRA для расчета компоненты локального электронного энергобаланса в самосогласованном моделировании одномерного переноса и двумерного равновесия плазмы (т.н. 1.5D приближение).

3. Это позволило проанализировать роль ЭЦИ в т.н. стационарном режиме работы ИТЭР. Показано, что:

- при повышении электронной температуры в центре до Те ~ 30 кэВ локальная мощность ЭЦ потерь становится весомой частью от нагрева термоядерными альфа-частицами и практически сравнивается с дополнительным нагревом плазмы с помощью инжекции пучка нейтралов, Рес(0) « 0,ЗР„(0) « Раих(О),

- при Ttí(0) >35 кэВ локальные потери на ЭЦИ в центре плазмы замедляют и стабилизируют нарастание термоядерной мощности.

4. Разработан алгоритм учета произвольной неравновесности (немаксвелловости) функции распределения электронов (ФРЭ) по скоростям при расчете кодом CYNEQ плотности мощности потерь на ЭЦИ и спектра уходящего ЭЦ излучения (для ЭЦ гармоник выше 2), получены оценки влияния неравновесности ФРЭ на плотность мощности ЭЦ потерь в базовых режимах ИТЭР.

5. Расчеты профиля мощности потерь на ЭЦИ, Рес(р)? полученные кодом CYNEQ, сравнены с расчетами всех действующих кодов (RAYTEC, ЕХАСТЕС и CYTRAN) для различных параметров плазмы (в токамаках ИТЭР и ДЕМО) и различных аппроксимаций магнитного поля. Результаты бенчмаркинга кодов показали, что код CYNEQ-B(ID) является наиболее подходящим для самосогласованного 1.5D моделирования плазмы в токамаке-реакторе, так как он рассчитывает потери на ЭЦИ с хорошей точностью и скоростью, достаточной для включения в общие транспортные коды.

6. Проведены расчеты потерь на ЭЦИ для различных режимов работы токамака ИГНИТОР; показано, что несмотря на сильное магнитное поле, потери на ЭЦИ как для термодинамически равновесных электронов, так и умеренной неравновесности (немаксвелловости) электронов, не сильно влияют на локальный электронный энергобаланс и не создают препятствий для зажигания т/я реакции ввиду того, что плотность плазмы в ИГНИТОР существенно выше, чем в других токамаках реакторах.

7. Обобщена формула Трубникова для интегральных потерь на электронное циклотронное излучение на случай неоднородности профилей электронной температуры, плотности и магнитного поля.

8. Проведены оценки нагрева плазмы в диверторе ЭЦ излучением из основной плазмы в токамаке ИТЭР; показано, что поглощение ЭЦ излучения из основной плазмы в области пристеночной и диверторной плазмы мало по сравнению с полными радиационными потерями этой плазмы. Наибольший эффект имеет место со стороны сильного магнитного поля. Влияние поглощения ЭЦИ в диверторе на полные ЭЦ потери в рассмотренных режимах также мало. Эти эффекты не нарушают принятого на текущий момент механизма связи основной, пристеночной и диверторной плазмы в моделировании этих областей соответствующими транспортными кодами (соответственно, коды ASTRA и SOLPS4.3).

9. Разработана модель для количественной интерпретации спектра ЭЦИ в токамаке Т-10 на частотах ниже, чем первая циклотронная гармоника на краю плазменного шнура. Модель основана на нелокальности переноса ЭЦИ на указанных частотах, что позволило развить метод, близкий к разработанному для токамаков-реакторов.

Ю.Сформулирована и решена обратная задача для восстановления функции распределения надтепловых электронов по параллельной и перпендикулярной магнитному полю проекциям импульса и по магнитным поверхностям на периферии плазменного шнура. Показано, что в омическом разряде в токамаке Т-10 надтепловые электроны являются запертыми частицами на внешнем обводе тора, их характерная кинетическая энергия лежит в диапазоне -150-200 кэВ, а плотность составляет долю ~10"4 от основной плазмы.

Благодарности

Автор благодарен А.Б. Кукушкину за научное руководство; А.Р. Полевому, A.C. Кукушкину, В.И. Позняку, B.C. Неверову, К.В. Черепанову - за плодотворное сотрудничество в совместных работах [32, 33, 35, 51, 53, 54, 58, 70, 79, 80, 81]; А.Ю. Днестровскому - за помощь в освоении кода ASTRA и обсуждения ряда задач главы 1, A.B. Тимофееву - за детальный анализ статьи [79] и результатов Главы 4, B.J1. Вдовину, В.А. Вершкову, В.И. Ильгисонису, B.C. Стрелкову - за полезные обсуждения материалов Главы 4, Н. Хаяши (N. Hayashi) и Ф. Альбахару (F. Albajar) за полезные комментарии по расчетам кодами CYTRAN и RAYTEC в работах [52] и [24], соответственно.

Работа выполнена при поддержке Госкорпорации Росатом и грантов НШ-65382.2010.2, НШ-4361.2012.2 Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ РФ.

Нелокальность переноса ЭЦИ в токомаках-реакторах и обобщенный метод прострельного выхода% теории переноса излучения

В основе кода CYNEQ лежит универсальный метод аналитического описания нелокального (недиффузионного) переноса энергии [28], позволивший решить задачу переноса ЭЦИ полуаналитически для случая большого коэффициента отражения излучения от стенки с помощью обобщения известного метода тЭфф в переносе излучения в спектральных линиях. Универсальность метода [28] заключается в том, что в рамках одного формализма (метода тЭфф или "escape probability methods") удается решить задачу нелокального переноса для ряда задач:

-перенос ЭМ волнами по «заданному континууму» в случае сильного отражения на границы среды (например, перенос ЭЦИ в токамаке-реакторе)

- перенос излучения в резонансных атомных линиях в плазме и газах для случая полного перераспределения по частоте фотона в единичном акте его перерассеяния средой.

Универсальное аналитическое описание произвольного механизма испускания-поглощения ЭМ волны в элементарном акте взаимодействия волна-частица возможно при условии, что при эволюции переносчика энергии в среде любая из переменных фазового пространства подчиняется одному из двух законов:

1) полного перераспределения - т.е. полной потери памяти о начальном значении данной фазовой переменной при движении переносчика от точки его рождения до смерти. Набор таких переменных обозначим как rcrd.

2) отсутствия какого-либо перераспределения - т.е. случай независимой переменной, при котором для фиксированного значения этой переменной перенос протекает независимо. Набор таких переменных обозначим как Г]п<3.

Тогда в условиях, когда доминирует нелокальный перенос, а именно

ГсШЛ

V )м.

П.1) оказывается справедливой следующая формула для полных потерь энергии конечным объемом: сШг ёГ,

Г г

-"КсгсМП,

Чие

П.2) у„

6ЕЛ (к йГ

П.З)

I к(П-к(П^ здесь основные обозначения совпадают с обозначениями в формуле (1.1), индексы а=ЫЦ Ь обозначают области фазового пространства, где реализуется нелокальный и диффузионный перенос, соответственно; с1Е/(к - мощность потерь энергии конечным объемом среды на излучение ЭМ волн, уцие -частота процесса поглощения ЭМ энергии средой, при которой переносимая энергия превращае^гся в тепловую энергию среды (для задачи переноса ЭЦИ таким процессом будет поглощение фотонов электронами плазмы), уехс - частота процесса свободного (т.е. «прострельного», без единого акта поглощения) выхода энергии из объема среды.

Выведем формулу (П.2) для описания нелокального переноса ЭЦИ в токамаке-реакторе. При этом будем использовать численные открытия кода БЫЕСТЯ [13, 14, 16] для решения задачи переноса ЭЦИ в токамаке-реакторе, использованные также и в модели переноса ЭЦИ в [15]:

• интенсивность ЭЦ излучения слабо отклоняется от изотропной по углам и однородной во внешней оптически прозрачной области плазмы,

• большая часть энергии переносится на частотах, для которых плазма (по малому радиусу плазмы) является оптически тонкой.

Тогда для задачи переноса ЭЦИ в рамках [28] имеем:

Гсп1={г, п}, О

П.4)

Для «нелокальной» части пространства справедливо свойство приближенной независимости интенсивности излучения от переменных Ге1ч1, это позволяет проводить усреднение (1.1) по переменным ГС1ч1 (при этом не пренебрегая пространственной производной от .1).

Чтобы получить мощность потерь на ЭЦИ нужно рассчитать интеграл:

11 С1.»и

Проинтегрируем уравнение (1.1) по объему плазмы (рассматриваем стационарный случай и вакуумный предел Ыг=1).

Здесь первый член получен с помощью теоремы Остроградского-Гаусса с учетом отражения излучения от стенки вакуумной камеры, ф={со,п,^} - параметры ЭМ волны: со - частота, п = к/к - направление распространения, к - волновой вектор, ^ - тип волны (поляризация). Далее проинтегрируем (П.6) по направлениям ЭМ волн и учтем, что интенсивность излучения всюду изотропна и однородна в внешней оптически прозрачной области (которая для наиболее важных частот охватывает плазму целиком), т.е. является функцией только частоты со: со)/Оп | (п<К)(1-Яж) =|ёг|сЮЛ(ф,г)-;(со)|аг|с10ик(ф,г) (П.7)

П.5) (па8)(1-Кте)1(ф,г) = |с1гч(ф,г)-|с1гк(ф,г)1(ф,г). (П.6) п(18)>0

П.8)

Формула (П.5) с учетом (П.8) записывается в виде:

П.9)

Те,г О = --(П. 10)

I (ПСЙХ!-!^) ndS)>0

Тогда из (П.9)-(П.11) видно, что полная мощность потерь (П.5) записывается в виде (П.2) со следующими параметрами:

V ) хе|г(со,0 = ^, (П. 12)

V«) уеьс)=т~у" I аоп|(па8)(1-к№(со,п))уё, (П.13) V } = ~ I'йг/ <сЮ. К(ф, Iг) ■Ув. (П.14) где - групповая скорость ЭМ волн, V - объем области нелокального переноса, частота (уе8С) описывает пленение переносчиков энергии в объеме из-за отражения от границы среды, частота отвечает поглощению переносчиков в объеме и превращения ЭМ энергии в тепловую энергию среды.

Подход [28], использованный в задаче переноса ЭЦИ в токамаках-реакторах, улучшает полуаналитический подход [15]. В [15] был сделан очень важный шаг в осознании нелокальности переноса (собственного) ЭЦИ в токамках-реакторах, однако степень нелокальности оказывается даже большей, чем полагал Тамор: как показано в [18, 22] и более поздних работах, «предельно нелокальный» подход [28] дает одновременно более простой и более точный результат, а учет диффузионного переноса в оптически плотной внутренней области в [15] имеет чувствительную идеологическую ошибку для профиля мощности потерь на ЭЦИ в центре плазменного шнура (формальную расходимость при р—>0).

При выводе формул (П.9)-(П.10) в рамках формализма [28] учитывался только нелокальный перенос ЭЦИ, т.е. условие (П.1). Такое приближение для решения задачи переноса ЭЦИ имеет хорошую точность для большого коэффициента отражения излучения от стенки вакуумной камеры,

1-11„,)«1 и не слишком большого аспектного отношения (случай существенной тороидалыюсти плазмы) и некруглого сечения тороида, так как в таких случаях в процессе переноса волны равномерно перераспределяются по питч-углу фотонов, а также происходит их равномерное перераспределение по координате. Последнее наглядно прослеживается при решении уравнения (1.1) с помощью огрубленного интегрирования вдоль траекторий ЭЦ волн

Применим формулу (1.3) рекуррентно (для N отражений) для каждых двух последовательных отражений луча от стенки в идеальной тороидальной геометрии с зеркальным отражением (каждое отражение нумеруется индексом к) для определения интенсивности Дге|(1) после N отражений луча от стенки (см. например [24]): nl ^ JrefO) = Rr,Jref(n)exp -£<sk,sk+1) +

V k=l у kl X RUskA+1)exp -X^OySj+i) +RJ(],2), k=2.n-t V j=l у

П. 15) здесь т (sk,sk+1) - оптическая толщина между точками траектории луча s с индексами к и к+1, j(sk,sk+i) - рассчитывается с помощью формулы (1.3) (второе слагаемое в формуле (1.3)) между точками к и к+1 вдоль траектории луча s. В формуле (П. 15) учтено, что падающая интенсивность, Jinc, связана с отраженной, Jref, по формуле (не учитывается смешивание мод при отражении):

Jrer=RwJ,nc> (П.16)

При большом числе отражений оптическая толщина вдоль траектории луча s n1 ^ становится много больше единицы exp -]>4(sk,sk+1) »1, поэтому

V k=1 J интенсивность Jref(l) перестает зависеть от значения Jref(n).

Структуру конечного результата проще всего продемонстрировать для одномеризованной модели с характерным размером системы L, почти однородным источником излучения, q, и коэффициентом поглощения, к. Применяя формулу (П. 15), получаем: N

1 = ЧЬХ(^ехр(-к-Ь))п (П. 17) п=0

Для N»1 заменим в (П.17) сумму по п интегралом:

Кйехр(-к-Ь))" .|(Кучехр(-к.Ь))пёп = --—-^-— (П.18)

При условии большого коэффициента отражения излучения от стенки (1-Кч,)<<:1 формула (П.18) упрощается:

--!-«-!--(п. 19)

1п(Кн.ехр(-к.Ь)) (1-Яж) + к-Ь Тогда (П.17) записывается в виде:

I*-^--(П.20)

1-11„) + к-Ь что, как легко видеть, является аналогом формулы (П.8) в одномерном случае.

1. Бекефи Дж. // Радиационные процессы в плазме, Москва: Мир, 1971.

2. Трубников Б.А. // Доклады Академии наук СССР, 1958, № 3, с. 136.

3. Bornatici М., Cano R., De Barbieri О. et al. "Electron cyclotron emission and absorption in fusion plasmas" // Nuclear Fusion, 1983, v. 23, p. 1153.

4. Трубников Б.А., Бажанова A.E. «Магнитное излучение слоя плазмы» // Физика плазмы и проблема УТР, под ред. М.А. Леонтовича, Москва: Издательство АН СССР, т. 3, 1958, с. 121-147.

5. Трубников Б.А. «Электромагнитные волны в релятивистской плазме при наличии магнитного поля» // Физика плазмы и проблема УТР, под ред. М.А. Леонтовича, Москва: Издательство АН СССР, т. 3, 1958, с. 104-113.

6. Кудрявцев B.C. // Физика плазмы и проблема УТР, под ред. М.А. Леонтовича, Москва: Издательство АН СССР, т. 3, 1958, с. 114.

7. Drummond W.E., Rosenbluth M.N. "Cyclotron radiation from a hot plasma" // Physics of Fluids, 1963, v. 6, № 2, pp. 276-283.

8. Трубников Б.А. «Универсальный коэффициент выхода циклотронного излучения из плазменных конфигураций» // Вопросы теории плазмы, Москва: Атомиздат, 1973, с. 274.

9. Rosenbluth M.N. "Synchrotron radiation in tokamaks" // Nuclear Fusion, 1970, v. 10, № 3, pp. 340-343.

10. Krajcik R.A. "The effect of a metallic reflector upon cyclotron radiation" // Nuclear Fusion, 1973, v. 13, № 1, p. 7.

11. Tamor S. "Synchrotron radiation loss from hot plasma" // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment, 1988, v. 271, № 1, pp. 37-40.

12. Golovin I.N. "Lowering radiation hazards by using D-3He reactors" // Fusion Technology, 1992, v. 22, № 1, pp. 103-106.

13. Tamor S. "SNECTR, a code for calculation of transport of cyclotron radiation in tokamaks" // Report SAI-75-610LJ, Science Applications, Inc., La Jolla, CA, 1975.

14. Tamor S. "SNECTR, a cyclotron radiation transport code: current status" // Report SAI-76-773LJ, Science Applications, Inc, La Jolla, CA, 1976.

15. Tamor S. "A simple fast routine for computation of energy transport by synchroton radiation in tokamaks and similar geometries" // Report SAI-023-81-189LJ/LAPS-72, Science Applications, Inc., La Jolla, CA, 1981.

16. Tamor S. "Calculation of energy transport by cyclotron radiation in fusion plasmas" //Nuclear Technology/Fusion, 1983, v. 3, p. 293.

17. Baxter D.C., Tamor S. "Profile effects of synchrotron radiation in deuterium fuelled tokamaks" //Nuclear Technology/Fusion, 1983, v. 3, p. 181.

18. Houlberg W.A. "Cyclotron radiation transport in burning plasmas" // Fusion Science and Technology, 2003, v. 44, № 2, pp. 519-521.

19. Albajar F., Bornatici M., Cortes G. et al. "Importance of electron cyclotron wave energy transport in ITER" 11 Nuclear Fusion, 2005, v. 45, № 7, pp. 642-648.

20. Pereverzev G.V., Yushmanov P.N. "ASTRA Automated System for Transport Analysis in a Tokamak" // Report IPP 5/98, Max-Planck-Institut fiir Plasmaphysik, Garching, 2002.

21. Cherepanov K.V., Kukushkin A.B. "Influence of suprathermal electrons kinetics on cyclotron radiation transport in hot toroidal plasmas" // Proc. 20th IAEA Fusion Energy Conference, Vilamoura, Portugal, 1 6 November 2004, ТНУР6-56.

22. Albajar F., Bornatici M., Engelmann F. "Electron cyclotron radiative transfer in fusion plasmas" // Nuclear Fusion, 2002, v. 42, № 6, pp. 670-678.

23. Albajar F., Bornatici M., Engelmann F. "RAYTEC: a new code for electron cyclotron radiative transport modelling of fusion plasmas" // Nuclear Fusion, 2009, v. 49, № 11, p. 115017.

24. Bornatici M. "Relativistic Fokker-Planck equation for electron cyclotron radiation" // Physica Scripta, 1994, v. 1994, № T50, p. 38.

25. Kukushkin A.B. «Analytic description of energy loss by a bounded inhomogeneous hot plasma due to the emission of electromagnetic waves» // Письма в ЖЭТФ, 1992, т. 56, № 10, с. 503-507.

26. Абрамов В.А., Коган В.И., Лисица B.C. «Перенос излучения в плазме» // Вопросы теории плазмы, под ред. М.А. Леонтовича и Б.Б. Кадомцева., Москва: Энергоиздат, 1982, с. 114-155.

27. Kukushkin A.B. "Generalized escape-probability method in the theory of high-intensity radiative transfer in continuous spectra" // AIP Conference Proceedings, 1994, v. 299, № 1, pp. 519-524.

28. Kukushkin A.B., Minashin P.V. "Influence of magnetic field inhomogeneity on electron cyclotron power losses in magnetic fusion reactor" // Proc. 36th EPS Conference on Plasma Physics, Sofia, Bulgaria, 30 June 3 July 2009, ECA, v. 33E, P-4.136.

29. Kukushkin A.B., Minashin P.V., Polevoi A.R. "Electron cyclotron power losses in ITER for 2D profile of magnetic field" // Proc. 23rd IAEA Fusion Energy Conference, Daejon, South Korea, 11-16 October 2010, ITR/P1-34.

30. Кукушкин А.Б., Минашин П.В., Полевой А.Р. «Влияние неоднородности магнитного поля на электронные циклотронные потери в токамаках реакторах» // Физика плазмы, 2012, т. 38, № 3, с. 211-220.

31. Polevoi A.R., Medvedev S.Y., Casper Т. et al. "Assessment of operational space for long-pulse scenarios in ITER" // Proc. 37th EPS Conference on Plasma Physics, Dublin, Ireland, 22 25 June 2010, ECA, v. 34A, P2.187.

32. Albajar F., Bornatici M., Engelmann F., Kukushkin A.B. "Benchmarking of codes for calculating local net EC power losses in fusion plasmas" // Fusion Science and Technology, 2009, v. 55, № 1, pp. 76-83.

33. Cherepanov K.V., Kukushkin A.B. "Parameterization of Radial Profile of Electron Cyclotron Radiation Power Loss in Fusion Reactor-Grade Tokamaks" // Proc. 33rd EPS Conference on Plasma Physics, Rome, Italy, 19-23 June 2006, ECA, v. 301, PI. 169.

34. Жоголев B.E., Кукушкин А.Б. "Быстрый алгоритм расчета профиля потерь энергии на электронное циклотронное излучение в токамаках-реакторах" // Препринт Курчатовского института, ИАЭ-6507/8, 2008.

35. Schott G.A. // Electromagnetic radiation and the mechanical reactions arising from it, Cambridge: University press, 1912.

36. Freund H.P., Wu C.S., Gaffey J.D., Jr. "Calculation of the spontaneous cyclotron emissivity using the complete relativistic resonance condition" // Physics of Fluids, 1984, v. 27, № 6, pp. 1396-1400.

37. Bertelli N., Bornatici M., Engelmann F. "Electron cyclotron absorption in a high-temperature plasma revisited" // Physics Letters A, 2005, v. 347, № 1-3, pp. 114-120.

38. Albajar F., Bertelli N., Bornatici M. et al. "Electron-cyclotron absorption in high-temperature plasmas: quasi-exact analytical evaluation and comparative numerical analysis" // Plasma Physics and Controlled Fusion, 2007, v. 49, № 1, pp. 15-29.

39. Bertelli N., Bornatici M. // Theory of Fusion Plasmas, eds. Connor J.W., Sauter O., Sindoni E., Bologna: Societa Italiana di Fisica, 2004.

40. Bateman G. // Lehigh University, Personal Communication, 2001.

41. Garcia J., Giruzzi G., Artaud J.F. et al. "Analysis of DEMO scenarios with the CRONOS suite of codes" // Nuclear Fusion, 2008, v. 48, № 7, p. 075007.

42. Khayrutdinov R.R., Lukash V.E. "Studies of plasma equilibrium and transport in a tokamak fusion device with the inverse-variable technique" // Journal of Computational Physics, 1993, v. 109, № 2, pp. 193-201.

43. Robinson P.A. "Synchrotron emission and absorption by relativistic loss cone and anti-loss cone distributions" // Plasma Physics and Controlled Fusion, 1985, v. 27, №9, p. 1037.

44. Basiuk V., Artaud J.F., Imbeaux F. et al. "Simulations of steady-state scenarios for Tore Supra using the CRONOS code" // Nuclear Fusion, 2003, v. 43, № 9, p. 822.

45. Murakami M., Park J.M., Giruzzi G. et al. "Integrated modeling of steady state scenarios and heating and current drive mixes for ITER" // Proc. 23rd IAEA Fusion Energy Conference, Daejon, South Korea, 11-16 October 2010, ITR/P1-35.

46. Kukushkin А.В., Minashin P.V., Neverov V.S. "Similarity of spatial distributions of net electron cyclotron power losses in fusion plasmas" // Proc. 35th EPS Conference on Plasma Physics, Hersonissos, Crete, Greece, 9-13 June 2008, ECA, v. 32D, P-1.016.

47. Колбасов Б.Н., Борисов A.A., Васильев H.H. и др. «Концепция демонстрационного термоядерного энергетического реактора ДЕМО-С» // Вопросы атомной науки и техники. Серия Термоядерный синтез, 2007, № 4, с. 3-13.

48. Bosch H.-S, Hale G.M. //Nuclear Fusion, 32 (1992) 611; 33 (1993) 1919.

49. Kukushkin A.B., Minashin P.V., Polevoi A.R. "Limit of electron cyclotron radiation in ITER long pulse operation" // Proc. 38th EPS Conference on Plasma Physics, Strasbourg, France, 27 June 1 July 2011, ECA, v. 35G, P4.072.

50. ITER Physics Basis Editors Et Al. "Chapter 1: Overview and summary" // Nuclear Fusion, 1999, v. 39, № 12, p. 2137.

51. ITER Physics Expert Groups on Confinement and Transport and Confinement Modelling and Database, Iter Physics Basis Editors, Iter Eda. "Chapter 2: Plasma confinement and transport" // Nuclear Fusion, 1999, v. 39, № 12, p. 2175.

52. Fidone 1., Granata G., Giruzzi G. et al. "Synchrotron radiation loss in a tokamak reactor in the presence of an enhanced electron tail" // Nuclear Fusion, 1991, v. 31, № 11, pp. 2167-2171.

53. Polevoi A.R., Medvedev S.Y., Mukhovatov S.V. et al "ITER Confinement and Stability Modelling" // Journal of Plasma and Fusion Research SERIES, 2002, v. 5, pp. 82-87.

54. Cherepanov K.V., Kukushkin A.B. "Contribution of suprathermal electrons to cyclotron radiation transport in hot toroidal plasmas" // Proc. 31st EPS Conference on Plasma Physics, London, United Kingdom, 28 June 2 July 2004, ECA, v. 28G, P-1.175.

55. Coppi В., Airoldi A., Bombarda F. et al. "Optimal regimes for ignition and the Ignitor experiment" //Nuclear Fusion, 2001, v. 41, № 9, pp. 1253-1257.

56. Airoldi A., Cenacchi G. "Approach to ignition in the Ignitor experiment " // Nuclear Fusion, 1997, v. 37, № 8, pp. 1117-1127

57. Airoldi A., Cenacchi G. "Consistency of the pressure profile at ignition in Ignitor" // Nuclear Fusion, 2001, v. 41, № 6, pp. 687-693.

58. Fidone I., Meyer R.L., Giruzzi G. et al. "Temperature dependence of synchrotron radiation loss in inhomogeneous tokamak plasmas" // Physics of Fluids B, 1992, v. 4, № 12, pp. 4051-4056.

59. Albajar F., Johner J., Granata G. "Improved calculation of synchrotron radiation losses in realistic tokamak plasmas" // Nuclear Fusion, 2001, v. 41, № 6, pp. 665-678.

60. Kukushkin A.S., Pacher H.D., Loarte A. et al. "Analysis of performance of the optimized divertor in ITER" // Nuclear Fusion, 2009, v. 49, № 7, p. 075008.

61. Engelmann F., Curatolo M. "Cyclotron radiation from a rarefied inhomogeneous magetoplasma" //Nuclear Fusion, 1973, v. 13, № 4, pp. 497-507.

62. Позняк В.И., Гридина T.B., Питерский B.B. и др. «Исследование динамики высокоэнергичных электронов по их электронно-циклотронному излучению в токамаке Т-10» // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Термоядерный синтез, 2011, т. 34, № 4, с. 90-102.

63. Kurzan В., Steuer К.Н., Suttrop W. "Runaway electrons in a Tokamak: A free-electron maser" // Review of Scientific Instruments, 1997, v. 68, 1, pp. 423426.

64. Hutchinson I.H., Komm D.S. "Electron cyclotron emission in Alcator tokamak" // Nuclear Fusion, 1977, v. 17, № 5, pp. 1077-1084.

65. Kato K., Hutchinson I.H. "Diagnosis of mildly relativistic electron velocity distributions by electron cyclotron emission in the Alcator С tokamak" // Physics of Fluids, 1987, v. 30, № 12, pp. 3809-3820.

66. Ide S., Ogura K., Tanaka H. et al. "Investigation of high energy electrons in lower hybrid current drive plasma with electron cyclotron emissionmeasurement in the WT-3 tokamak" // Nuclear Fusion, 1989, v. 29, № 8, pp. 1325-1338.

67. Fuchs C., Austin M.E. "Measurements of edge-localized-mode induced electron cyclotron emission bursts in DIII-D" // Physics of Plasmas, 2001, v. 8, № 5, pp. 1594-1599.

68. Лашкул С.И., Рождественский B.B., Алтухов А.Б. и др. «Особенности формирования пучка ускоренных электронов в экспериментах по генерации нижнегибридных токов увлечения на токамаке ФТ-2» // Письма в ЖТФ, 2012, т. 38, № 23, с. 69-76

69. Minashin P.V., Kukushkin А.В., Poznyak V.l. "Reconstruction of superthermal electron velocity distribution function from electron cyclotron spectra at downshifted frequencies in tokamak T-10" // EPJ Web of Conferences, 2012, v. 32, p. 01015.

70. Hutchinson I.H., Kato K. "Diagnosis of mildly relativistic electron distributions by cyclotron emission " //Nuclear Fusion, 1986, v. 26, № 2 pp. 179-191.