Численное моделирование процесса магнитного пересоединения в кинетическом приближении тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.03 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ДИВИН АНДРЕЙ ВИКТОРОВИЧ

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА МАГНИТНОГО ПЕРЕСОЕДИНЕНИЯ В КИНЕТИЧЕСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Специальность 01.03.03 - физика Солнца

Автореферат

диссертации на. соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 0 ЛЕН 2009

Санкт-Петербург - 2009

003487482

Работа выполнена на физическом факультете Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Семенов Владимир Семенович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ПГУПС Уваров Вячеслав Михайлович

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ПГИ КНЦ РАН Мингалев Олег Викторович

Ведущая организация: Институт космических исследований РАН,

г. Москва

Защита состоится " 5 2009 года в часов на

заседании совета Д 212.232.35 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, д. 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГУ. Автореферат разослан " /8 " о 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н.,

А. Л. Котиков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Настоящая диссертация посвящена кинетическому моделированию процесса магнитного пересоединения в бесстолкновительной плазме методом частица-в-ячейке ("Раг1пс1е-т-се11"). Подробно исследована диффузионная область, разработан алгоритим разделения частиц на разные классы в окрестности нейтральной линии, предложена оценка тензора электронного давления. Получен теоретический скейлинг электронной диффузионной области, который хорошо согласуется с результатами численного моделирования.

Актуальность темы

Возникновение теории пересоединения в 40-х гг. XX века стало результатом изучения солнечных вспышек и поиска механизмов, способных разогнать большое количество плазмы в относительно короткое время. Типичные солнечные вспышки выделяют 1032 Ч- 1033 эрг в течении 2 ч- 20 минут, сопровождаются выбросами вещества короны Солнца и при взаимодействии выброса с магнитосферой Земли вызывают существенные возмущения в магнитном поле Земли (магнитные бури). В магнитосфере Земли процессы накопления магнитной энергии и высвобождения ее в в виде энергии плазмы проявляют себя на магнитопаузе, где магнитное поле солнечного ветра взаимодействует с магнитным полем Земли, и в хвосте магнитосферы, где накапливается перенесенный с дневной стороны магнитный поток.

Диссипация магнитной энергии в энергию плазмы возможна под действием обычного столкновительного сопротивления. Тем не менее, первые оценки проводимости плазмы в разнообразных активных явлениях показали, что наблюдаемая скорость преобразования энергии не может быть объяснена этим механизмом. Первые модели непосредственно магнитного пересоединения были предложены в работах Свита, Паркера и Петчека. Характерной особенностью модели Свита-Паркера является наличие длинного и тонкого диффузионного слоя, в котором происходит нагрев и ускорение плазмы; в модели Петчека основная масса плазмы ускоряется на стоячих ударных волнах, тогда как размер диффузионной области существенно меньше макроскопического масштаба системы. Обе эти модели построены в приближении сплошной среды (МГД) и базируются на каком-либо источнике диссипации, в качестве которого в столкновительной плазме выступает обычное сопротивление. МГД-модели пересоединения в настоящее время относительно хорошо

исследованы в литературе как аналитически (двумерные и трехмерные модели), так и численно (например, в нестационарных задачах о моделировании солнечных вспышек).

Бесстолкновительность плазмы делает вопрос о диссипации особенно актуальным. На масштабах порядка размеров диффузионной области приближение магнитной гидродинамики может перестать быть корректным, что подтолкнуло интерес к проблеме кинетического пересоединения

Сложная и нелинейная динамика плазмы и ее существенно различное поведение на разных масштабах и энергиях сказывается на сложности теоретических и экспериментальных методах ее исследования. Вычислительный подход к проблемам физики плазмы стал особенно популярен с развитием вычислительной техники.

Поскольку плазма солнечного ветра, магнитосферы Земли, а также плазма в различных астрофизических приложениях в значительной степени бес-столкновительна, то наилучшие результаты в моделировании получаются при применении т.н. метода PIC-вычислений (Particle in cell). Этот метод позволяет получить наиболее детальное представление о плазменных процессах. Большой объем расчета приводит к необходимости использования высокопроизводительных вычислительных систем.

К настоящему времени существует ряд работ, в которых описаны результаты кинетического моделирования магнитного пересоединения. Магнитное пересоединение развивает вложенную структуру на электронных и ионных масштабах, различное движение ионов и электронов приводит к генерации токов Холла и появлению квадрупольного магнитного поля, в диффузионной области частицы не совершают ларморовского вращения и ускоряются электрическим полем пересоединения. Тем не менее, вопрос о диссипации вблизи нейтральной линии в кинетическом моделировании к настоящему времеми недостаточно изучен.

В диссертации изучается вопрос бесстолкновительной диссипации, а именно формирование анизотропии электронного давления вблизи нейтральной линии. Предлагается новый метод разделения частиц на популяции вблизи Х-линии, что позволяет детально изучить структуру функции распределения. Полученное выражение для анизотропии электронного давления использовано для создания скейлинга электронной диффузионной области.

Цель настоящей работы

Построить численную модель магнитного пересоединения в двумерном ки-

нетическом приближении и разработать вариант открытых граничных условий для метода "Частица-в-ячейкс" (РагМе-т-сеН). В квазистационарной фазе процесса исследовать параметры диффузионной области и изучить бес-столкновительную диссипацию, приводящую к нарушению вмороженности плазмы вблизи нейтральной линии магнитного пересоединения.

Определить характерные масштабы, на которых непосредственно происходит магнитное пересоединение и получить скейлинг основных физических параметров плазмы в окрестности нейтральной линии.

Защищаемые положения

1. Численная модель магнитного пересоединения в кинетическом приближении с открытыми граничными условиями.

2. Детальное исследование электронной диффузионной области, бесстолк-новительной диссипации и механизма ускорения частиц. Как показано, основной вклад в кинетический закон Ома в окрестности нейтральной линии для случая антипараллельного пересоединения вносит дивергенция тензора электронного давления, что связано с наклоном функции распределения относительно оси у2

3. Метод разделения частиц на разные классы в окрестности нейтральной линии:

• частицы, втекающие в диффузионную область из верхнего и нижнего полупространств и

• частицы, ускоренные электрическим полем пересоединения и захваченные вблизи Х-линии на спайсеровские траектории.

Данный алгоритм позволяет получить простое выражение для анизотропии тензора электронного давления.

4. Скейлинг электронной диффузионной области на основе оценки анизотропии тензора электронного давления, который дает наблюдаемые в кинетическом моделировании величины электрического и магнитного полей, скорости пересоединения и скорости протонов и электронов.

Научная новизна

1. Впервые детально исследована окрестность Х-линии в двумерном кинетическом моделировании пересоединения с открытыми граничными

условиями и показано, что пересоединение входит в быструю фазу, вне зависимости от начального состояния (толщины, возмущения) токового слоя.

2. Впервые проведено разделение частиц на различные популяции в окрестности Х-лшши, что позволило получить оценку анизотропии тензора электронного давления

3. Впервые вычислена зависимость скорости электронов вдоль Х-линии от потенциала магнитного поля, которая позволила описать процесс пересоединения в холловской области.

4. На основе оценки тензора электронного давления впервые получен скей-линг различных параметров плазмы в электронной диффузионной области, который отражает основные черты пересоединения в бесстолкнови-телыюй плазме:

• ускорение электронов вдоль Х-линии до электронной альфвеновской скорости,

• ускорение протонов в области вытекания до протонной альфвеновской скорости,

• электронный инерционный радиус как толщина электронной диффузионной области.

Практическая ценность

Численная модель магнитного пересоединения представляет интерес для физики плазмы и для космической физики, в частности, для изучения процессов взаимодействия солнечного ветра и магнитосферы Земли. Они могут быть использованы в качестве базы для интерпретации экспериментальных данных космических проектов, таких как Cluster, Themis, Double Star и будущей миссии MMS.

Личный вклад автора

Автор участвовал в модификации расчетного кода P3D для учета открытых граничных условий, самостоятельно ставил задачи, проводил вычисления и далее обрабатывал данные. Все изложенные в диссертации результаты получены автором самостоятельно или на равных правах с соавторами.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

Представленные в работе результаты докладывались на 10 международных конференциях: 30th and 31th Annual Seminars Physics of Auroral Phenomena (Апатиты, Россия, 2007, 2008), International Conferences Problems of Geocosmos (Санкт-Петербург, Россия, 2006, 2008), AGU Fall Meeting, Сан-Франциско, США, 11-15 декабря, 2006, EGU General Assembly (Вена, Австрия), 2008 и 2009гг.,; The 9th International Conference on Substorms (Сеггау, Австрия, 2008), а также на всероссийской конференции "Физика плазмы в солнечной системе"(Москва, Россия, 2008, 2009)

Публикации

По теме диссертации опубликованы 10 статей, из них 5 статей — в научных реферируемых журналах и 5 статей — в сборниках трудов международных научных конференций.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, двух приложений, списка литературы из 124 наименований, содержит 128 страниц машинописного текста, включая 34 рисунка и 3 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность и перспективность темы исследования, сформулированы цель работы, основные положения, выносимые на защиту, отмечена научная новизна и практическая ценность работы, кратко изложено содержание работы.

Первая глава посвящена обзору активных явлений в космической плазме. Обсуждается применимость кинетического подхода к моделированию явлений в бесстолкновительной плазме. Формулируется проблема описания диффузии в процессе пересоедиения. Разрывная неустойчивость рассмотрена как пример диссипации в плазме без столкновений.

В разделе 1.1 качественно описываются процессы быстрого преобразования магнитной энергии в энергию плазмы в магнитосфере Земли и атмосфере Солнца. Описывается история взглядов на проблему пересоединения магнитных силовых линий.

В разделе 1.2 рассмотрены модели магнитного пересоединения Петчека и Свита-Паркера и описано свойство вмороженности магнитного поля в плазму.

В разделе 1.3 записан обобщенный закон Ома, исходя из которого изучается неидеальное поведение плазмы за счет столкновений частиц и на характерных ионных и электронных масштабах. Приведены значения параметров плазмы в хвосте магнитосферы Земли и особо выделяется тот факт, что бесстолкновительность плазмы требует кинетического подхода при теоретическом описании процессов в магнитосфере Земли.

В разделе 1.4 формулируется проблема начала ("онсета") пересоединения и делается обзор подходов к описанию нестационарной фазы: влияние аномального сопротивления плазмы, явное задание скорости пересоединения как функции времени и развитие разрывной неустойчивости из начальной равновесной конфигурации. Дается описание электронной тиринг-моды в плоском токовом слое в качестве примера бесстолкновительной диссипации.

Во второй главе строится численная модель магнитного пересоединения в кинетическом приближении и приведены результаты моделирования на ионных масштабах плазмы. Описана временная эволюции разрывной неустойчивости и процесса пересоединения с начальным заданным возмущением.

В разделе 2.1 изложены общие подходы к дискретизации уравнений Власова и обсуждается необходимость использования многопроцессорных вычислительных систем для эффективного моделирования плазмы. Выписаны уравнения модели. Уравнения приводятся в безразмерный вид и нормируются на характерные плазменные параметры: координаты х, у нормируются на ионный инерционный радиус di = с/шр!, время t - на обратную ионную гирочастоту, скорости частиц v - на альфвеновскую скорость В()/(4тттг)1^. Приведено описание численной схемы и геометрии задачи, подробно изложен алгоритм шага по времени в программе P3D, которая используется для вычислений. Рассмотрена реализация метода "с перешагиванием"("leapfrog") численного решения уравнений Максвелла и схема Бориса численного интегрирования траекторий частиц.

Раздел 2.2 посвящен проблеме граничных условий в кинетическом моделировании плазмы. Приведены типы граничных условий, наиболее часто встречающиеся в литературе: закрытые, открытые и периодические. Закрытые граничные условия не пропускают электромагнитные волны и отражают падающие на них волны и потоки плазмы, что эквивалентно постановке

неподвижной границы с идеальной электрической проводимостью (Perfect Electric Conductor). Периодические граничные условия копируют состояние плазмы (полей и частиц) противоположных граней вычислительной области. Открытые граничные условия пропускают потоки плазмы и волны и имитируют, таким образом, присутствие невозмущенной плазмы за пределами вычислительного домена, что необходимо для установления квазистационарного режима в моделировании пересоединения. Описана реализация условий для частиц: на каждом шаге по времени вылетевшие частицы удаляются из расчета, тогда как новые инжектируются на основании условий

дще „ d\ie ,„.

*Г=°< ат = °'г = г1"ь (1)

где п - концентрация частиц в граничной ячейке, v - массовая скорость, Т - температура частиц, п - нормаль к границе. Приведен краткий обзор литературы по созданию открытых граничных условий для компонент электромагнитного поля. Описана их конечно-разностная реализация в расчетной программе, учитывающая выход световых волн из вычислительного домена.

В разделе 2.3 выписаны геометрические параметры модели: размеры Lx, Ly вычислительной области в разных вариантах, толщина Л начального токового слоя Харриса, тип граничных условий (открытые/периодические) в каждом варианте. Описано возмущение, необходимое для начала фазы быстрого пересоединения. Для изучения скейлинга электронной диффузионной области вычисляются вырианты с различными отношениями массы ионов к протонам тщ/те.

В разделе 2.4 описаны результаты моделирования разрывной неустойчивости. Показано, как в плоском токовом слое спонтанно формируются X-линии; рост интенсивности длинноволновых мод на линейной фазе соответствует теоретическим оценкам и общая динамика совпадает с кинетическими моделированиями других авторов. Насыщение неустойчивости не наступает на ранней (линейной) стадии и приводит далее к формированию Х-линий и диффузионных областей. Образовавшиеся нейтральные линии при этом по структуре полностью подобны нейтральным линиям в быстром кинетическом пересоединении, а именно: скорость ускоренных электронов составляет порядка электронной альфвеновской vt\e, ускоренных протонов - порядка протонной альфвеновской v^, формируется квадрупольная структура магнитного поля Bz. На поздней стадии тиринг-неустойчивости происходит столкновение джетов пересоединения, образованных разными Х-линиями, и одна из областей пересоединения становится доминирующей. Происходит слияние

магнитных островов с образованием "вложенной" структуры квадрупольного магнитного поля.

Раздел 2.5 посвящен подробному описанию крупномасштабной структуры магнитного пересоединения в кинетическом приближении, начиная с времени I = 0 и заканчивая квазистационарной фазой í ~ 15. Вычисления проведены для отношения масс протонов и электронов m¿/me = 64. Начальный токовый слой представляет собой слой Харриса с отношением температур Т{/Те = 3/2, таким образом электронная дрейфовая скорость в 3/2 раза меньше протонной. В ходе эволюции пересоединения из начального равновесного состояния происходит разделение масштабов движения частиц и формируется тонкая электронная диффузионная область (ЕБИ), в которой плотность электронного тока много больше ионного. В квазистационарной фазе (£ 15) электронная компонента плазмы ускоряется примерно до электронной альф-веновской скорости Удс в направлении электрического поля пересоединения. Формируется двухмасштабная структура электронной области вытекания:

• на расстоянии до х ~ ?я1г от нейтральной линии находится ЕБИ, электроны поворачиваются пересоединенным магнитным полем в направлении х;

• на расстоянии более х ~ Зйг от нейтральной линии формируется область выброса, в которой скорость электронов в направлении х составляет несколько г^ и в которой электроны не вморожены в плазму.

Ионы не вморожены в плазму как в ЕБЯ, так и в области выброса, их скорость меньше уа на расстоянии менее от нейтральной линии.

Скорость пересоединения в Х-линии определяется Ец либо как мгновенное значение компоненты электрического поля, перпендикулярной к вычислительной области (Ег в координатах программы), либо как производная магнитного потенциала дАг/дЬ. Первый подход дает более флуктуирующую величину, второй - более сглаженную. Скорость пересоединения Ец достигает пика в 0.3Еа к моменту Ь ~ 7, после чего флуктуирует в диапазоне 0.2 -т- 0.3Еа, что находится в полном согласии с работами других авторов; здесь Еа есть альфвеновское электрическое поле.

Различное движение электронов и ионов создает токи в плоскости х — у и, соответственно, магнитное поле Вг. Показано, что электронные потоки и квадрупольная структура магнитного поля В2 описываются в приближении электронной холловской МГД (ЕНМНБ) уравнением Грэда-Шафранова для магнитного потенциала Аг\

ДАг = щьге(А)

(2)

где ц - заряд электронов. Вид функции уге(А) находится из численного моделирования, что позволяет восстановить структуру течения плазмы и распределение магнитного поля на масштабах от нейтральной линии между ЕБ11 и ионной диффузионной областью. Показано, что аналитическое решение с хорошей точностью соответствует данным вычислений.

В третьей главе описываются результаты детального исследования электронной диффузионной области, исследуется ускорение частиц в окрестности Х-линии, строится модель анизотропии тензора электронного давления и предложены скейлинги электронной диффузионной области.

В разделе 3.1 изучено выполнение закона Ома,

который отражает баланс между конвективным и диссипативным электрическим полем и указывает на наличие бесстолкновительной диссипации за счет дивергенции тензора электронного давления V • Рс и массовой инерции электронов й/М {З/п) (рис. 1). Слагаемое с!/с1£ (Л/гг) дает малый вклад в электрическое поле пересоединения вблизи Х-линии и не нанесено на график. Основным диссипативным членом является — (1 /пе)(дРеу2/ду), тогда как вклад — (1/пе)(дРеХг/дх) мал. Диссипация на основе V ■ Ре наблюдается и в работах других авторов по кинетическому моделированию пересоединения, причем в вопросе об относительной величине компонент Реуг и Рехг, по-видимому, нет однозначного мнения.

Определяя ЕБ11 как область, в которой [уе х В]2 меньше Ег, полудлина ЕБГ1 оказывается равной ~ 2За пределами этой области анизотропия V • Ре меняет знак и скорость электронов оказывается больше скорости электродрейфа. Подтверждено, что область выброса простирается на масштабы, большие ~ 10^ и далее.

В разделе 3.2 приведен краткий обзор литературы по ускорению частиц в магнитном поле типа Х-точки с электрическим полем пересоединения. Траектории частиц наиболее обще разделяются на замагниченные (электродрейф в скрещенных электрических и магнитных полях, гирорадиус частицы меньше расстояния до нейтральной линии) и незамагниченные (движение частиц описывается уравнением Эйри, частицы совершают меандровые осцилляции

(3)

0.4

ы

V/ I

О

-15

-10

-5

х/а„ у=о

Рис. 1: Компоненты закона Ома (ур. (3)) через Х-линию, у = 0. Жирная черная кривая: Ег. Жирная пунктирная кривая: слагаемое х В]2. Пунктир: —(1/пе)(дРеуг/ду). Тонкая кривая: -(1 /пе)(дРеуг/ду 4- дРехг/дх). Нейтральная линия находится в х = —2.5^.

около плоскости у = 0, ускоряются в направлении г и отклоняются в направлении х). Приводится характерная скорость ьг, до которой разгоняются частицы электрическим полем Ег в окрестности Х-линии с градиентом изменения магнитного поля по х порядка Вуо/1х:

В разделе 3.3 описывается модель анизотропии электронного давления, построенная на основе алгоритма разделения частиц на популяции вблизи Х-линии. Замечено, что замагниченные и незамагниченные частицы должны одновременно присутствовать вблизи нейтральной линии. Разделение проведено интегрированием траекторий частиц модели назад по времени и выделением втекающих и ускоряющихся частиц. Разные популяции занимают разные области в фазовом пространстве и создают, таким образом, анизотропию давления Реу2. Концентрация ускоренных частиц падает при удалении от нейтральной линии, что создает градиент — (1 /пе)(дРеу!./ду). Предполагая

Рис. 2: Компонента Реу! электронного давления (жирная линия) через Х-линию для разных у. Выражение Реуг = теП1П2Ьу№гг/(п[ + пг) (5) (тонкая линия), аппроксимация Реуг = теу2юу (6) (пунктирная кривая).

скорость втекания замагниченных частиц и их концентрацию, соответственно, «1 у и П1, а скорость спайсеровских частиц и их концентрацию как ь2у и 712, получено выражение для анизотропии давления в виде

Реуг = ГПе-;-V,АУг2 (5)

Щ + П2

Приведено упрощенное выражение, содержащее только массовые параметры плазмы вблизи Х-линии.

Реуг ~ теУгУу (6)

На графике 2 показан вид компоненты Реуг и выражений (5) и (6). Полученные выражения хорошо соответствуют данным численного моделирования.

Раздел 3.4 посвящен выводу скейлинга ЕБЯ с анизотропией давления — (1 /пе)(дРеуг/ду) в качестве бесстолкновительной диссипации. Скейлинг связывает следующие параметры: толщину ЕБ11 й, характерные скорости

электронов vx, vy, vz, электрическое поле пересоединения Ez и величину магнитного поля в областях втекания и вытекания Вх и Ву. Длина диффузионной области Le выступает в качестве свободного параметра. Получены все типичные величины, наблюдающиеся в моделировании, а именно: толщина EDR равна электронной инерционной длине de, электроны ускоряются до vx = vz = v¿\е. Скорость пересоединения Ez выражается через комбинированные масштабы: Ez = E^di/Le, где Ел - электрическое поле Альфвена. Обсуждается внутренняя самосогласованность скейлинга.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

В приложении А подробно рассматривается вид функции распределения, который обеспечивает Реу2 ^ 0. Показано, что визуально это предста-вимо как наклон функции распределения относительно плоскости vy — vz. Обсуждается образование анизотропии такого типа в бимаксвелловском распределении.

В приложении Б приведена таблица со списком основных работ по кинетическому моделированию пересоединения. Работы отсортированы по времени, начиная с работы \Leboeuf, 1982], в которой впервые рассматривается кинетическое моделирование пересоединения и вплоть до последних работ [Drake, 2008], [ Yin, 2009], в которых численная модель обобщается на варианты с трехмерной конфигурацией, а также рассматривается динамика в очень большой расчетной области (100 -í- 1000á¿) , т.е. максимально близко к процессу в реальной плазме.

Основные результаты, полученные в работе

В диссертации проведено численное моделирование процесса магнитного пересоединения в двумерном кинетическом приближени для конфигурации с антипараллельным магнитным полем. Построена модель анизотропии тензора электронного давления. Получены скейлинги электронной диффузионной области.

1. Разработан вариант открытых граничных условий для кинетического моделирования пересоединения, который обеспечивает вытекание потоков плазмы из вычислительной области и переход в квазистационарную фазу.

2. Показано, что Х-линии в нелинейной фазе электронной разрывной неустойчивости и в фазе быстрого пересоединения обладают схожими

свойствами.

3. Подтвержден факт, что кинетическая диссипация в окрестности нейтральной линии создается дивергенцией анизотропного электронного давления.

4. Впервые проведено разделение частиц вблизи Х-линии на различные популяции путем интегрирования траекторий частиц назад во времени, что позволило детально изучить структуру функции распределения.

5. Показано, что анизотропия давления формируется вблизи Х-линии как результат смешивания незамагниченных частиц, ускоренных в направлении электрического поля пересоединения с замагниченными частицами, втекающими в область пересоединения под действием электродрейфа.

6. Предложено выражение для компоненты Peyz тензора электронного давления, которая создает основной вклад в электрическое поле пересоединения в численном моделировании.

7. Впервые получен скейлинг параметров электронной диффузионной области, отражающий все характерные черты кинетического пересоединения, а именно: ускорение электронов в области вытекания до электронной альфвеновской скорости, протонов - до протонной альфвеновской и толщину EDR в Ые.

По теме диссертации опубликованы следующие работы

1. Divin, А. V., М. I. Sitnov, М. Swisdak, and J. F. Drake (2007), Reconnection onset in the magnetotail: Particle simulations with open boundary conditions, Geophys. Res. Lett., 34, L09109, doi:10.1029/2007GL029292

2. Korovinskiy D.B., Semenov V.S., Erkaev N.V., Divin A.V., and Biernat H.K. The 2.5-D analytical model of steady-state Hall magnetic reconnection //J. Geophys. Res., 2008., Vol. ИЗ. P. A04205.1 - A04205.13.

3. Korovinskiy D., Semenov V., Divin A., and Biernat H. Analytical model of collisionless reconnection based on the solution of Grad-Shafranov equation compared to the PIC simulations // 7th international conference "Problems of Geocosmos": Proc. of the intern, conf. 26-30 May 2008 / Eds. V.N. Troyan, M. Hayakawa, V.S. Semenov. SPb, Russia, 2008. P. 134-139.

4. Divin A.V., Semenov V.S., and Korovinskiy D.B. Structure of electron diffusion region of the reconnection process // Ibid. P. 63-69.

5. Semenov V., Korovinskiy D., Divin A., Erkaev N., and Biernat H. Collisionless magnetic reconnection: analytical model and PIC simulation comparison // Ann. Geophys., 2009. Vol. 27. P.905-911.

6. Sitnov, M.I., M. Swisdak, A.V. Divin , Dipolarization fronts as a signature of transient reconnection in the magnetotail, Journal of Geophysical Research, Vol.114, A04202, doi:10.1029/2008JA013980, 2009

7. Коровинский Д.В., Дивин А.В., Семенов B.C. Сравнение аналитической модели бесстолкновительного магнитного пересоединения, построенной на базе решения уравнения Грэда-Шафранова, с кинетической, рассчитанной методом Particle-in-Cell // Вестник Санкт-Петербургского Университета. 2009. Сер. 4. Вып. 1. С. 28-36.

8. Kiehas, S. A.; Divin, A.; Penz, Т.; Kubyshkin, I. V.; Semenov, V. S.; Biernat, H. К., Reconnected flux during NFTE's: Comparison between numerical simulation and analytical model, European Planetary Science Congress 2006. Berlin, Germany, 18 - 22 September 2006., p.661; 2006epsc.conf..661K

9. A.V. Divin, Численное моделирование процесса пересоединения в приближении Холл-МГД, Вопросы геофизики, N38, Ученые записки СПбГУ, 2005

10. A.V. Divin, S.A. Shibkov, Simulation of Post Plasmoid Plasma Sheet Thinning in 2D MHD approach, in: Proceedings of the International Conference Problems of Geocosmos, May 24-28,2004, St.Petersburg, Russia

Подписано к печати 17.11.09. Формат 60 х 84 %. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 4552. Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Универлггетский пр., 26. Тел.: (812)428-4043,428-6919.

Введение

1 Обзор

1.1 Роль пересоединения в динамике магнитосферы Земли

1.2 Модели Свита-Паркера и Петчека.

1.3 Обобщенный закон Ома.

1.4 Пересоединение в кинетическом приближении.

2 Численное моделирование пересоединения в кинетическом приближении

2.1 Описание численной модели.

2.2 Открытые граничные условия

2.3 Параметры вычислительной задачи.

2.4 Моделирование разрывной неустойчивости.

2.5 Моделирование пересоединения в кинетическом приближении.

Настоящая диссертация посвящена кинетическому моделированию процесса пересоединения в бесстолкновительной плазме методом частица-в-ячейке (известном в зарубежной литературе как PIC, Particle-in-cell). Вычисления проведены с использованием кода P3D: использовано двумерное приближении с учетом всех трех компонент электромагнитного поля и скоростей частиц; в модели разрешаются все типы волн плазмы (световые, альфвеновские, магнитозвуковые и др.), учитываются электростатические эффекты и на вычислительную область накладываются открытые граничные условия. Показано, как из равновесного начального токового слоя развивается конфигурация с нейтральными линиями, эффективно преобразующая магнитную энергию в энергию частиц. Подробно исследована диффузионная область, разработан алгоритим разделения частиц на разные классы в окрестности нейтральной линии, и на основании этого метода предложена оценка тензора электронного давления. Получены скейлинги электронной диффузионной области.

Актуальность темы. Возникновение теории пересоединения в 40-х гг. XX века стало результатом изучения солнечных вспышек и поиска механизмов, способных разогнать большое количество плазмы в относительно короткое время. Типичные солнечные вспышки выделяют 1032 10зз эрг в течении 2 -f- 20 минут, сопровождаются выбросами вещества короны Солнца и при взаимодействии выброса с магнитосферой Земли вызывают существенные возмущения в магнитном поле Земли (магнитные бури). Стоит заметить, что в последнее десятилетие вызывает особый интерес состояние и мониторинг околоземного пространства - космическая погода (магнитные поля, динамика плазмы и высокоэнергичные частицы) - поскольку вариации параметров плазмы могут оказывать существенное влияние на работу спутников.

Применительно к магнитосфере Земли гипотеза о существовании пересоединения на дневной и ночной стороне магнитосферы была предложена в работе [30] и далее была подтверждена в наблюдениях [52], [81]. В ряде лабораторных экспериментов (напр., MRX, [121]) был детально изучен вопрос формирования токового слоя и пересоединения с выделением магнитной энергии и последующим ускорением плазмы.

Первые модели магнитного пересоединения были предложены в работах Свита и Паркера [112] и Петчека [85]. Характерной особенностью модели Свита-Паркера является наличие длинного и тонкого диффузионного слоя, в котором происходит нагрев и ускорение плазмы; в модели Петчека основная масса плазмы ускоряется на стоячих ударных волнах, тогда как диффузионная область обладает микроскопическими (электронными) масштабами. Обе эти модели построены для приближения сплошной среды (магнитогидродинамики, МГД) и базируются на каком-либо источнике диссипации, в качестве которого в столкновительной плазме выступает обычное сопротивление. МГД-модели пересоединения в настоящее время относительно хорошо исследованы как аналитически (двумерные стационарные и нестационарные модели [103], трехмерные модели [95]), так и численно (например, в нестационарных задачах о моделировании солнечных вспышек [116], [117]).

Сложная и нелинейная динамика плазмы и ее существенно различное поведение на разных масштабах и энергиях сказывается на сложности теоретических и экспериментальных методах ее исследования. Вычислительный подход к проблемам физики плазмы.стал особенно популярен с развитием вычислительной техники. Поскольку плазма солнечного ветра, магнитосферы Земли, а также плазма в различных астрофизических приложениях в значительной степени бесстолкновительна, то наилучшие результаты в моделировании получаются при применении т.н. метода PIC-вычислений (Particle in cell). Идея метода состоит в том, что суперкомпьютер отслеживает траектории большого количества электронов и протонов (106 -f- Ю11), которые эволюционируют в самосогласованном электромагнитном поле. Этот метод позволяет получить наиболее детальное представление о плазменных процессах [8]

Целью настоящей работы является построение численной модели кинетического пересоединения в двумерном приближении. Особый интерес представляет исследование бесстолкновительной диссипации и изучение параметров диффузионной области в кинетическом приближении. Это позволяет выделить характерные масштабы, на которых непосредственно происходит пересоединение и получить скейлинг основных физических параметров плазмы в окрестности нейтральной линии.

Защищаемые положения

1. Численная модель магнитного пересоединения в кинетическом приближении. Вычисления проведены методом Particle-in-Cell ("частица в ячейке") с использованием кода P3D и с добавлением открытых граничных условий, позволяющих исследовать процесс пересоединения в квазистационарном режиме.

2. Детальное исследование электронной диффузионной области, бесстолкновительной диссипации и механизма ускорения частиц. Как показано, основной вклад в обобщенный закон Ома в окрестности нейтральной линии для случая антипараллельного пересоединения вносит дивергенция тензора электронного давления, что связано с наклоном функции распределения относительно оси v~

3. Метод разделения частиц на разные классы в окрестности нейтральной линии:

• частицы, втекающие в нейтральную линию из верхнего и нижнего полупространств и

• частицы, ускоренные электрическим полем пересоединения и захваченные вблизи Х-линии на спайсеровские траектории.

Данный алгоритм позволяет получить простое выражение для анизотропии тензора электронного давления.

4. Скейлинг электронной диффузионной области на основе оценки анизотропии тензора электронного давления, который дает наблюдаемые в кинетическом моделировании величины электрического и магнитного полей, скорости пересоединения и скорости протонов и электронов.

Научная новизна

1. Впервые детально исследована окрестность Х-линии в двумерном кинетическом моделировании пересоединения с открытыми граничными условиями и показано, что пересоединение входит в быструю фазу, вне зависимости от начального состояния (толщины, возмущения) токового слоя.

2. Впервые проведено разделение частиц на различные популяции в окрестности Х-линии, что позволило получить оценку анизотропии тензора электронного давления

3. Впервые вычислена зависимость скорости электронов вдоль Х-линии от потенциала магнитного поля, которая позволила описать процесс пересоединения в холловской области.

4. На основе оценки тензора электронного давления впервые получен скейлинг различных параметров плазмы в электронной диффузионной области, который отражает основные черты пересоединения в бесстолкновительной плазме:

• ускорение электронов вдоль Х-линии до электронной альфве-новской скорости,

• ускорение протонов в области вытекания до протонной альфве-новской скорости,

• электронный инерционный радиус как толщина электронной диффузионной области.

Практическая ценность. Численная модель магнитного пересоединения представляет интерес для физики плазмы и для космической физики, в частности, для изучения процессов взаимодействия солнечного ветра и магнитосферы Земли. Они могут быть использованы в качестве базы для интерпретации экспериментальных данных космических проектов, таких как Cluster, Themis, Double Star и будущей миссии MMS.

Личный вклад автора. Автор участвовал в модификации расчетного кода P3D для учета открытых граничных условий, самостоятельно проводил вычисления и далее обрабатывал данные. Все изложенные в диссертации результаты получены автором самостоятельно или на равных правах с соавторами.

Апробация работы

Представленные в работе результаты докладывались на 10 международных конференциях: 30th and 31th Annual Seminars "Physics of Auroral Phenomena" (Апатиты, Россия, 2007, 2008), International Conferences "Problems of Geocosmos" (Санкт-Петербург, Россия, 2006, 2008), AGU Fall Meeting, Сан-Франциско, США, 11-15 декабря, 2006, EGU General Assembly (Вена, Австрия), 2008 и 2009гг.,; "The 9th International Conference on Substorms"(Cerray, Австрия, 2008), a также на всероссийской конференции "Физика плазмы в солнечной системе"(Москва, Россия, 2008, 2009)

Публикации По теме диссертации опубликованы 5 статей в научных рецензируемых журналах и 5 статей в сборниках трудов научных конференций.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения,

Заключение

В диссертации проведено численное моделирование процесса магнитного пересоединения в двумерном кинетическом приближени для конфигурации с антипараллельным магнитным полем. Построена модель анизотропии тензора электронного давления. Получены скейлинги электронной диффузионной области. Перечислим основные результаты, полученные в настоящей диссертации.

1. Разработан вариант открытых граничных условий для кинетического моделирования пересоединения, который обеспечивает вытекание потоков плазмы из вычислительной области и переход в квазистационарную фазу.

2. Показано, что Х-линии в нелинейной фазе электронной разрывной неустойчивости и в фазе быстрого пересоединения обладают схожими свойствами.

3. Подтвержден факт, что кинетическая диссипация в окрестности нейтральной линии создается дивергенцией анизотропного электронного давления.

4. Впервые проведено разделение частиц вблизи Х-линии на различные популяции путем интегрирования траекторий частиц назад во времени, что позволило детально изучить структуру функции распределения электронов.

5. Показано, что анизотропия давления формируется вблизи Х-линии как результат смешивания незамагниченных частиц, ускоренных в направлении электрического поля пересоединения с замагниченны-ми частицами, втекающими в область пересоединения под действием электродрейфа.

6. Предложено выражение для компоненты Peyz тензора электронного давления, которая создает основной вклад в электрическое поле пересоединения в численном моделировании.

7. Получен скейлинг параметров электронной диффузионной области, отражающий все характерные черты кинетического пересоединения, а именно: ускорение электронов в области вытекания до электронной альфвеновской скорости, протонов - до протонной альфве-новской и толщину EDR в lde.

1. Вл. В. Воеводин, В. В. и Воеводин. // Параллельные вычисления. БХВ-Петербург, Октябрь 2002.

2. Б. Б. Кадомцев. Перезамыкание магнитных силовых линий. // Успехи физических наук, Том 151, Вып.1, стр. 3-29, 1987.

3. М.И. Пудовкин, B.C. Семенов Теория пересоединения и взаимодействие солнечного ветра с магнитосферой Земли. //М., Наука, 126с, 1985.

4. М.И. Ситное, Х.В. Малова, А.С. Шарма К вопросу о линейной устойчивости тиринг-моды в квазинейтральном токовом слое //Физика плазмы, Том 25, N2, стр. 1-10, 1999

5. М. J. Aschwanden. // Physics of the Solar Corona. An Introduction. Praxis Publishing Ltd, August 2004.

6. Berenger J.-P. Three-dimensional perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves. // Journal of Computational Physics, 127:363-379(17), September 1996.

7. N. Bessho and A. Bhattacharjee. Fast collisionless reconnection in electron-positron plasmas. // Physics of Plasmas, 14(5):056503, May 2007.

8. Charles K. Birdsall and A. Bruce. Langdon. // Plasma Physics Via Computer Simulation. McGraw-Hill, Inc., New York, NY, USA, 1985.

9. J. Birn and M. Hesse. Geospace Environment Modeling (GEM) magnetic reconnection challenge: Resistive tearing, anisotropic pressure and hall effects. // J. Geophys. Res., 106:3737-3750, March 2001.

10. D. Biskamp. // Magnetic Reconnection in Plasmas. November 2000.

11. D. Biskamp, E. Schwarz, and J. F. Drake. Ion-controlled collisionless magnetic reconnection. // Phys. Rev. Lett., 75(21):3850-3853, Nov 1995.

12. Dieter Biskamp. Magnetic reconnection. // Physics Reports, 237(4):179 247,1994.

13. Brackbill, J. U.; Forslund, D. W. An implicit method for electromagnetic plasma simulation in two dimensions // J. Сотр. Phys., vol. 46, May 1982, p. 271-308.

14. M. Brittnacher, К. B. Quest and H. Karimabadi A new approach to the linear theory of single-species tearing in two-dimensional quasi-neutral sheets // J. Geophys. Res., Vol. 100, No. A3, pp. 3551-3562, March 1995

15. J. Buechner, L. M. Zelenyi Chaotization of the electron motion as the cause of an internal magnetotail instability and substorm onset //. J. Geophys. Res., Vol. 92:13456-13466, December 1987.

16. S. V. Bulanov and P. V. Sasorov. Energy spectrum of particles accelerated in the neighborhood of a line of zero magnetic field. // Soviet Astronomy, 19:464-468, February 1976.

17. J. Chen and P. J. Palmadesso. Chaos and nonlinear dynamics of single-particle orbits in a magnetotaillike magnetic field. // J. Geophys. Res., 91:1499-1508, February 1986.

18. T. Colonius. Modeling Artificial Boundary Conditions for Compressible Flow. // Annual Review of Fluid Mechanics, 36:315-345, 2004.

19. B. Coppi, G. Laval, and R. Pellat. Dynamics of the geomagnetic tail. // Phys. Rev. Lett., 16(26):1207-1210, Jun 1966.

20. F. V. Coroniti. Space plasma turbulent dissipation Reality or myth? // Space Science Reviews, 42:399-410, October 1985.

21. W. Daughton, G. Lapenta, P. Ricci Nonlinear evolution of the lower-hybrid drift instability in a current sheet // Physical review letters, vol. 93, nolO, pp. 105004.1105004.4, 2004

22. W. Daughton, J. Scudder, and H. Karimabadi. Fully kinetic simulations of undriven magnetic reconnection with open boundary conditions. // Physics of Plasmas, 13(7):072101, July 2006.

23. W. Dav.gh.ton and H. Karimabadi. Collisionless magnetic reconnection in large-scale electron-positron plasmas. // Physics of Plasmas, 14(7):072303, July 2007.

24. A. V. Divin, M. I. Sitnov, M. Surisdak, J. F. Drake Reconnection onset in the magnetotail: Particle simulations with open boundary conditions // Geophys. Res. Lett., Vol. 34, Issue 9, CitelD L09109

25. M. Dobrowolny. Instability of a neutral sheet. // Nuovo Cimento В Serie, 55:427 442, June 1968.

26. Drake, J. F.; Swisdak, M.; Cattell, C.; Shay, M. A.; Rogers, B. N.; Zeiler, A. Formation of Electron Holes and Particle Energization During Magnetic Reconnection 11 ScienceO, Volume 299, Issue 5608, pp. 873-877 (2003)

27. J. F. Drake, M. A. Shay, and M. Swisdak. The Hall fields and fast magnetic reconnection. // Physics of Plasmas, 15(4):042306, April 2008.

28. J. W. Dungey. Interplanetary magnetic field and the auroral zones. // Phys. Rev. Lett., 6(2):47-48, Jan 1961.

29. J. W. Dungey. Memories, maxims, and motives. // J. Geophys. Res., 99:19189, October 1994.

30. Egedal, J.; Fasoli, A. Single-Particle Dynamics in Collisionless Magnetic Reconnection // Phys. Rev. Lett., vol. 8G, Issue 22, pp. 5047-5050

31. B. Engquist and A. Majda. Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves. // Mathematics of Computation, 31:629-651, July 1977.

32. D. H. Fairfield and L. J. Cahill, Jr. Transition Region Magnetic Field and Polar Magnetic Disturbances. // J. Geophys. Res., 71:155, January 1966.

33. K. Fujimoto. Time evolution of the electron diffusion region and the reconnection rate in fully kinetic and large system. // Physics of Plasmas, 13(7):072904, July 2006.

34. K. Fujimoto and R. D. Sydora. Electromagnetic particle-in-cell simulations on magnetic reconnection with adaptive mesh refinement. // Computer Physics Communications, 178:915-923, June 2008.

35. H. P. Fu.rth, J. Killeen, and M. N. Rosenbluth. Finite-Resistivity Instabilities of a Sheet Pinch. // Physics of Fluids, 6:459-484, 1963.

36. A. A. Galeev and L. M. Zelenyi. Tearing instability in plasma configurations. // Sov. Phys. JETP, Engl. Transl., 43, 1113, 1976.

37. A. A. Galeev. Spontaneous reconnection of magnetic field lines in a collisionless plasma. In A. A. Galeev & R. N. Sudan, editor, // Basic Plasma Physics: Selected Chapters, Handbook of Plasma Physics, Volume 1, pages 305, 1984.

38. A. A. Galeev and R. Z. Sagdeev Current Instabilities and Anomalous Resistivity of Plasma. In A. A. Galeev & R. N. Sudan, editor, // Basic Plasma Physics: Selected Chapters, Handbook of Plasma Physics, Volume 2, pages 271-303, 1984.

39. R. G. Giovanelli A Theory of Chromospheric Flares //Nat, 158:81-82, July 1946.

40. E. G. Harris. On a plasma sheath separating regions of oppositely directed magnetic field, // II Nnovo Cimento (1955-1965), 23:115-121, January 1962.

41. K. Haijima, K.G. Tanaka, M. Fujimoto, I. Shinohara. Electron temperature anisotropy effects on tearing mode in ion-scale current sheets. // Adv. in Space Res., 41, 1643-1648, 2007

42. M. Hesse, M. Kuznetsova, and J. Birn. The role of electron heat flux in guide-field magnetic reconnection. // Physics of Plasmas, 11:5387-5397, December 2004.

43. M. Hesse, K. Schindler, J. Birn, and M. Kuznetsova. The diffusion region in collisionless magnetic reconnection. // Physics of Plasmas, 6:1781-1795, May 1999.

44. M. Hesse and D. Winske. Hybrid simulations of collisionless reconnection in current sheets. 11 J. Geophys. Res., 99:11177-11192, June 1994.

45. Dennis W. Hewett, Gregory E. Frances, and Claire E. Max. New regimes of magnetic reconnection in collisionless plasmas. // Phys. Rev. Lett., 61(7):893-896, Aug 1988.

46. M. F. Heyn and V. S. Semenov. Rapid reconnection in compressible plasma. // Physics of Plasmas, 3:2725-2741, July 1996.

47. Robert L Higdon. Absorbing boundary conditions for difference approximations to the multi-dimensional wave equation. // Math. Comput., 47(176):437-459, 1986.

48. R. W. Hockney and J. W. Eastwood. // Computer Simulation Using Particles. 1981.

49. E. W. Hones, Jr. Transient phenomena in the magnetotail and their relation to substorms. // Space Science Reviews, 23:393-410, May 1979.

50. Horiuchi, R.; Pei, W.; Sato, T. Collisionless driven reconnection in an open system // Earth, Planets and Space, Vol. 53, p. 439-445

51. R. Horiuchi and H. Ohtani. Formation of non-Maxwellian distribution and its role in collisionless driven reconnection. // APS Meeting Abstracts, pages 1079P, October 2006.

52. R. Horiuchi and T. Sato. Particle simulation study of driven magnetic reconnection in a collisionless plasma. Technical report, June 1994.

53. R. Horiuchi and T. Sato. Particle simulation study of collisionless driven reconnection in a sheared magnetic field. // Physics of Plasmas, 4:277-289, February 1997.

54. R. Horiuchi and T. Sato. Three-dimensional particle simulation of plasma instabilities and collisionless reconnection in a current sheet. // Physics of Plasmas, 6:4565-4574, December 1999.

55. G. Hornig and K. Schindler. Magnetic topology and the problem of its invariant definition. 11 Physics of Plasmas, 3:781-791, March 1996.

56. M. Hoshino. Electron surfing acceleration in magnetic reconnection. // Journal of Geophysical Research (Space Physics), 110:10215, October 2005.

57. M. Hoshino, T. Mukai, T. Terasawa, and I. Shinohara. Suprathermal electron acceleration in magnetic reconnection. // J. Geophys. Res., 106:25979-25998, November 2001.

58. H. Karimahadi, W. Daughton, K.B. Quest. Role of electron temperature anisotropy in the onset of magnetic reconnection. //Geophys. Res. Lett., 31, L18801, 2004

59. H. Karimabadi, W. Daughton, and J. Scudder. Multi-scale structure of the electron diffusion region. // Geophys. Res. Lett., 34:13104, July 2007.

60. M. G. Kivelson and С. T. Russell. // Introduction to Space Physics. April 1995.

61. D.B. Korovinskiy, V.S. Semenov, N. V. Erkaev, A. V. Divin, and H.K. Biernat. The 2.5-D analytical model of steady-state Hall magnetic reconnection. j j J. Geophys. Res., 2008., Vol. 113. P. A04205.l-A04205.13.

62. V. Semenov, D. Korovinskiy, A. Divin, N. Erkaev, and H. Biernat Collisionless magnetic reconnection: analytical model and PIC simulation comparison, j j Ann. Geophys., 2009. Vol. 27. P.905-911.

63. M. M. Kuznetsova, M. Hesse, and D. Winske. Kinetic quasi-viscous and bulk flow inertia effects in collisionless magnetotail reconnection. // J. Geophys. Res., 103:199214, January 1998.

64. М. М. Kuznetsova, М. Hesse, and D. Winske. Toward a transport model of collisionless magnetic reconnection. j j J. Geophys. Res., 105:7601-7616, April 2000.

65. A. B. Langdon and С. K. Birdsall. Theory of Plasma Simulation Using Finite-Size Particles. // Physics of Fluids, 13:2115-2122, August 1970.

66. J. N. Leboeuf, T. Tajima, and J. M. Dawson. Dynamic magnetic x points. // Physics of Fluids, 25:784-799, May 1982.

67. B. Lembege and R. Pellat. Stability of a thick two-dimensional quasineutral sheet. 11 Physics of Fluids, 25:1995-2004, November 1982.

68. R. LeVeque. // Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. Cambridge University Press, 2004.

69. E. L. Lindman. "Free-Space" Boundary Conditions for the Time Dependent Wave Equations. // Journal of Computational Physics, 18:66, May 1975.

70. L. R. Lyons and D. C. Pridrnore-Brown. Force balance near an X line in a collisionless plasma. // J. Geophys. Res., 95:20903-20909, December 1990.

71. T. Matsui and W. Daughton Kinetic theory aud simulation of collisionless tearing in bifurcated current sheets. //Phys. Plasmas, Vol. 15, iss.l, 012901, 2008

72. R. L. McPherron, С. T. Russell, and M. P. Aubry. Satellite studies of magnetospheric substorms on August 15, 1968. 9. Phenomenological model for substorms. // J. Geophys. Res., 78:3131-3149, 1973.

73. T. Moritaka, R. Horiuchi, and H. Ohtani. Anomalous resistivity due to kink modes in a thin current sheet. // Physics of Plasmas, 14(10):102109, October 2007.

74. R. W. Moses, J. M. Finn, and К. M. Ling. Plasma heating by collisionless magnetic reconnection Analysis and computation. // J. Geophys. Res., 98:4013-4040, March 1993.

75. F. S. Mozer. Criteria for and statistics of electron diffusion regions associated with subsolar magnetic field reconnection. // Journal of Geophysical Research (Space Physics), 110:12222, December 2005.

76. F. S. Mozer, S. D. Bale, and T. D. Phan. Evidence of Diffusion Regions at a Subsolar Magnctopause Crossing. // Physical Review Letters, 89(1):015002, June 2002.

77. G. Mur. Absorbing boundary conditions for the finite-difference approximation of the time-domain electromagnetic field equations. // Electromagnetic Compatibility, IEEE Transactions on, EMC-23(4):377-382, Nov. 1981.

78. N. F. Ness, С. S. Scearce, and J. B. Seek. Initial Results of the Imp 1 Magnetic Field Experiment. // J. Geophys. Res., 69:3531-3569, September 1964.

79. W. Pei, R. Horiuchi, T. Sato Long time scale evolution of collisionless driven reconnection in a two-dimensional open system // Phys. Plasmas, Vol. 8:3251-3257, July 2001.

80. R. Pellat, F. V.Coroniti and P. L. Pritchett. Does ion tearing exists? j I Geophys. Res. Lett., 18, 143, 1991.

81. H. E. Petschek. Magnetic Field Annihilation. // NASA Special Publication, 50:425, 1964.

82. T. D. Phan, J. F. Drake, M. A. Shay, F. S. Mozer, and J. P. Eastwood. Evidence for an Elongated (> 60 Ion Skin Depths) Electron Diffusion Region during Fast Magnetic Reconnection. // Physical Review Letters, 99(25) :255002, December 2007.

83. P. L. Pritchett. The collisionless coalescence instability with two-species and in-plane-current effects. 11 Physics of Plasmas, 2:2664-2673, July 1995.

84. P. L. Pritchett. Particle-in-cell simulations of magnetosphere electrodynamics. // IEEE Transactions on Plasma Science, 28:1976-1990, December 2000.

85. P. L. Pritchett. Geospace Environment Modeling magnetic reconnection challenge: Simulations with a full particle electromagnetic code // J. Geophys. Res., Vol. 106:3783-3798, March 2001.

86. P. L. Pritchett and F. V. Coroniti. Drift ballooning mode in a kinetic model of the near-Earth plasma sheet. // J. Geophys. Res., 104:12289-12300, June 1999.

87. P. L. Pritchett and F. V. Coroniti. Three-dimensional collisionless magnetic reconnection in the presence of a guide field. // Journal of Geophysical Research (Space Physics), 109:1220, January 2004.

88. P. L. Pritchett, F. V. Coroniti, and V. K. Decyk. Three-dimensional stability of thin quasi-neutral current sheets. // J. Geophys. Res., 101:27413-27430, December 1996.

89. P. L. Pritchett, F. V. Coroniti, R. Pellat, and H. Karimabadi. Collisionless reconnection in two-dimensional magnetotail equilibria. // J. Geophys. Res., 96:11523, July 1991.

90. P. L. Pritchett. Effect of electron dynamics on collisionless reconnection in two-dimensional magnetotail equilibria. // J. Geophys. Res., 99:5935-5941, April 1994.

91. E. R. Priest and T. Forbes. // Magnetic reconnection: MHD theory and applications. Cambridge University Press, 2000.

92. Т. I. Pulkkinen, D. N. Baker, C. J. Owen, J. T. Gosling, and N. Murphy. Thin current sheets in the deep geomagnetic tail. // Geophys. Res. Lett., 20:2427-2430, November 1993.

93. K. Schindler. Adiabatic Particle Orbits in Discontinuous Fields. // Journal of Mathematical Physics, 6:313-321, February 1965.

94. K. Schindler. A theory of the substorm mechanism. // J. Geophys. Res., 79:28032810, 1974.

95. K. Schindler. // Physics of Space Plasma Activity. CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, November 2006.

96. K. Schindler and J. Birn. Magnetotail theory. // Space Science Reviews, 44:307355, September 1986.

97. M. Scholer, I. Sidorenko, С. H. Jaroschek, R. A. Treumann, and A. Zeiler. Onset of collisionless magnetic reconnection in thin current sheets: Three-dimensional particle simulations. 11 Physics of Plasmas, 10:3521-3527, September 2003.

98. H. Schmitz and R. Grauer. Kinetic Vlasov simulations of collisionless magnetic reconnection. // Physics of Plasmas, 13(9):092309, September 2006.

99. V. S. Semenov, M. F. Heyn, and I. V. Kubyshkin. Reconnection of magnetic field lines in a nonstationary case. // Soviet Astronomy, 27:660-665, December 1983.

100. V. A. Sergeev, D. G. Mitchell, С. T. Russell, and D. J. Williams. Structure of the tail plasma/current sheet at 11 Re and its changes in the course of a substorm. // J. Geophys. Res., 98:17345-17366, October 1993.

101. M. A. Shay, J. F. Drake, and M. Swisdak. Two-Scale Structure of the Electron Dissipation Region during Collisionless Magnetic Reconnection. // Physical Review Letters, 99(15):155002, October 2007.

102. M. A. Shay, J. F. Drake The role of electron dissipation on the rate of collisionless reconnection. // Geophys. Res. Lett., 25(20)3759:3762, October 1998.

103. M. I. Sitnov, A. S. Sliarma, P. N. Guzdar, P. H. Yoon Reconnection onset in the tail of Earth's magnctosphere // J. Geophys. Res., 107, Issue A9, pp. SMP 20-1, September 2002.

104. M. I. Sitnov, M. Swisdak; A. V. Divin Dipolarization fronts as a signature of transient reconnection in the magnetotail // J. Geophys. Res., 114, Issue A4:A04202, April 2009.

105. B. U. O. Sonnerup. Adiabatic particle orbits in a magnetic null sheet. // J. Geophys. Res., 76:8211-8222, 1971.

106. T. W. Speiser. Particle Trajectories in Model Current Sheets, 1, Analytical Solutions. // J. Geophys. Res., 70:4219, September 1965.

107. E. N. Parker. The Solar-Flare Phenomenon and the Theory of Reconnection and Annihiliation of Magnetic Fields. // ApJS, 8:177, July 1963.

108. M. Swisdak, J. F. Drake, M. A. Shay, and J. G. Mcllhargey. Transition from antiparallel to component magnetic reconnection. // Journal of Geophysical Research (Space Physics), 110:5210, May 2005.

109. M. Tanaka. Macro-particle simulations of collisionless magnetic reconnection. // Physics of Plasmas, 2:2920-2930, August 1995.

110. Semyon V. Tsynkov. Numerical solution of problems on unbounded domains, a review. // Appl. Numer. Math., 27(4):465-532, 1998.

111. M. Ugai. Self-consistent development of fast magnetic reconnection with anomalous plasma resistivity. // Plasma Physics and Controlled Fusion, 26:1549-1563, December 1984.

112. M. Ugai. Strong loop heating by the fast reconnection in a closed system, j j Geophys. Res. Lett., 14:103-106, February 1987.

113. V. M. Vasyliunas. Theoretical Models of Magnetic Field Line Merging, 1. // Reviews of Geophysics, 13:303-336, 1975.

114. G. E. Vekstein and E. R. Priest. Nonlinear magnetic reconnection with collisionless dissipation. // Physics of Plasmas, 2:3169-3178, August 1995.

115. Weigang Wan, Giovanni Lapenta, Gian Luca Delzanno, and Jan Egedal. Electron acceleration during guide field magnetic reconnection. // Physics of Plasmas, 15(3):032903, 2008.

116. M. Yamada. Progress in understanding magnetic reconnection in laboratory and space astrophysical plasmas. // Physics of Plasmas, 14(5):058102, May 2007.

117. L. Yin, W. Daughton, H. Karimabadi, B. J. Albright, K. J. Bowers, and J. Margulies. Three-Dimensional Dynamics of Collisionless Magnetic Reconnection in Large-Scale Pair Plasmas. // Physical Review Letters, 101(12):125001, September 2008.

118. A. Zeiler, D. Biskamp, J. F. Drake, B. N. Rogers, M. A. Shay, and M. Scholer. Three-dimensional particle simulations of collisionless magnetic reconnection. // Journal of Geophysical Research (Space Physics), 107:1230, September 2002.

119. L. Zelenyi, A. Artemiev, H. Malova and V. Popov. Marginal stability of thin current sheets in the Earth's magnetotail. //J. Atm. and Solar-Terrestrial Phys., 70, 325-333, 2008.