Численное моделирование взаимодействия ударных волн с плотными слоями гомогенных и гетерогенных сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Коятролъсг:" ЭБзгвдмйф

На правах рукописи

Федорченко Ирина Александровна

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УДАРНЫХ ВОЛН С ПЛОТНЫМИ СЛОЯМИ ГОМОГЕННЫХ И ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2005

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной механики Сибирского отделения Российской академии наук и Новосибирском государственном техническом университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Федоров Александр Владимирович; Научный консультант:

доктор физико-математических наук, доцент Федорова Наталья Николаевна. Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Чекмарев Сергей Федорович; кандидат физико-математических наук, доцент Прохоров Евгений Степанович. Ведущая организация:

Институт химической физики РАН, г. Москва

Защита состоится «_» _ 2005 г. в «_» часов на

заседании диссертационного совета Д 003.035.02 по присуждению ученой степени доктора наук в Институте теоретической и прикладной механики СО РАН (630090, г. Новосибирск, ул. Институтская, 4/1)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической и прикладной механики СО РАН.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный гербовой печатью учреждения, просим направлять по адресу: 630090, Новосибирск-90, ул. Институтская 4/1, ИТПМСО РАН, ученому секретарю диссертационного совета.

Автореферат разослан «_»_2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-матемашческих наук Корнилов В.И.

Щ£>'Ч

mms

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность

Изучение взаимодействия ударных волн (УВ) с неоднородными средами представляется актуальным, поскольку эти процессы часто встречаются в различных областях науки и техники. В частности, контактные поверхности в гетерогенных смесях могут разделять различные вещества. Примерами гомогенных неоднородных течений служат пограничные слои и слои смешения. Также различие плотностей в гомогенной среде может быть обусловлено неравенством температур.

Результаты исследований распространения ударных волн в многофазных средах имеют много практических приложений, начиная от проблем горения в топках, твердотопливных двигателях, до предсказания поведения планетных туманностей на стадии, предшествующей образованию планет.

Актуальной задачей, связанной с ударно-волновыми взаимодействиями в гетерогенных средах, является исследование подъема пыли с поверхности при прохождении над ней ударной волны. Данная проблема представляет интерес с точки зрения взрыво- и пожаробезопасности в угольных шахтах и на запыленных производствах. Экспериментальные и теоретические исследования этого явления проводились разными авторами и представлены в работах Gerrard J.H., Fletcher В., Гельфанда Б.Е., Папырина A.M., Бойко В.М., Борисова A.A., Когарко С.М., Любимова A.B., Фролова С.М., Фомина В.М., Федорова A.B., Ивандаева А.И., Коробейникова В.П., Маркова В.В., W. Merzkirch, К. Bracht, A.L. Kühl, Н. Reichenbach, Hwang С.С. и др. Однако, несмотря на обширную библиографию, до сих пор нет исчерпывающего объяснения происходящих при этом процессов. Не разработана математическая модель, которая с достаточной полнотой и общностью описывала бы поведение параметров течения на разных стадиях его развития.

Цели диссертационной работы

Разработка физико-математической модели для описания взаимодействия ударных волн с неоднородностями среды и реализация высокоточных методов расчета задач волновой динамики в неоднородных средах;

Верификация математических моделей и методов расчета путем сравнения численных результатов с точными решениями и экспериментальными данными;

Изучение механизмов перемешивания на контактной границе между плотным слоем и чистым газом;

Исследование влияния различных факторов (степени загрузки потока, турбулентности газовой фазы, геометрических параметров) на параметры смеси в зоне взаимодействия.

На защиту выносятся

Результаты анализа численных данных в задаче о взаимодействии проходящей ударной волны со слоем пыли, лежащим на твердой стенке:

- определение поля течения, формирующегося в слое смеси, при прохождении над ним ударной волны;

- нахождение критического числа Атвуда, характеризующего степень присутствия в смеси дисперсной фазы, при котором происходит переход от регулярного к нерегулярному типу отражения лидирующей ударной волны;

- описание механизмов подъема пыли при распространении ударной волны над плотным слоем;

численный алгоритм, построенный на основе модифицированного метода С1Р, позволяющий проводить моделирование поведения неоднородных слоев при ударно-волновом нагружении в рамках равновесного подхода механики гетерогенных сред и верифицированный на основе экспериментальных данных.

Научная новизна

Определена волновая картина течения в облаке пыли вблизи поверхности и на ее основе — критерии регулярного и нерегулярного отражения лидирующего скачка от поверхности;

Верифицирована математическая модель механики гетерогенных сред в равновесном приближении на основе экспериментальных данных по зависимостям времени задержки подъема пыли от числа Маха ударной волны, распределениям давления на поверхности в зависимости от времени;

Выявлены три механизма перемешивания пылевых слоев под действием высокоскоростных высокотемпературных потоков газа, возникающих при прохождении ударных волн над слоем мелкодисперсной пыли: (1) за счет нестационарного вихревого образования на передней кромке слоя, (2) вследствие искривления ударной волны вблизи подложки и возникновения области с положительной поперечной скоростью, (3) последующее развитие неустойчивости Кельвина — Гельмгольца сдвигового слоя;

Модифицированы и реализованы современные высокоточные численные методы расчета гомогенных и гетерогенных течений, такие как ТУО- и С1Р-схемы, в приложении к исследуемым задачам о взаимодействии ударных волн с неоднородными средами (пылевыми и пограничными слоями).

Достоверность результатов

Достоверность полученных результатов подтверждается: использованием апробированных математических моделей механики сплошных и гетерогенных сред и численных методов расчета задач газовой динамики и механики гетерогенных сред;

верификацией результатов расчета на основе сравнения с имеющимися экспериментальными данными;

тестированием численных алгоритмов на точных решениях; проверкой сходимости численных методов на последовательности сгущающихся сеток.

Практическая ценность работы

В задаче о прохождении ударной волны над слоем смеси газа и твердых частиц проанализирована волновая картина течения, выявлены критерии возникновения регулярного и маховского отражения лидирующей ударной волны внутри слоя и описаны возможные сценарии течения, возникающего при взаимодействии плоской ударной волны со слоем пыли, что позволяет описать этап образования потенциально взрывоопасных объемов газовзвесей.

Результаты расчета задачи о взаимодействии ударной волны с турбулентным пограничным слоем позволили получить параметры течения, реализующегося при отрыве пограничного слоя в результате воздействия на него косого скачка, и провести верификацию математической модели и использованных численных методов на основе экспериментальных данных.

Разработан численный алгоритм и создана программа для расчета задач механики гетерогенных сред в равновесном и неравновесном приближениях с помощью современных высокоточных методов.

Личный вклад диссертанта

Автором работы равновесная модель механики гетерогенных сред была применена для описания течения смеси за ударной волной. В рамках вязкого турбулентного подхода была модифицирована к - а -модель турбулентности в приложении к гетерогенным течениям. На основе равновесной и неравновесной моделей механики гетерогенных сред были:

- созданы и оттестированы численные алгоритмы расчета задачи о подъеме пыли при помощи современной высокоточной схемы CIP,

- проведены расчеты задачи и проанализирована волновая картина течения, реализующаяся при прохождении ударной волны над слоем смеси, лежащим на твердой стенке, как в невязком, так и в вязком турбулентном приближениях.

Проведена верификация и тестирование математической модели и метода расчета.

Апробация работы

Основные положения диссертационной работы обсуждались на семинарах ИТПМ СО РАН под руководством чл.-корр. РАН В.М.Фомина и на следующих конференциях и семинарах: Международной конференции по методам аэрофизических исследований ICMAR (Новосибирск, 2000, 2002, 2004); XVIII Международном семинаре «Течения газа и плазмы в соплах, струях и следах» (Санкт-Петербург, 2000); Конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН (Новосибирск, 2001); Всероссийской конференция молодых ученых «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии» (Новосибирск, 2001); Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященной 80-летию академика H.H. Яненко (Новосибирск, 2001); IX Всероссийской школе-семинаре «Современные проблемы

математического моделирования» (Абрау-Дюрсо, 2001); Научно-технической конференции НГАСУ (Новосибирск, 2001); международной конференции «Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей» (Новосибирск, 2001); Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Екатеринбург, 2001); Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики", посвященной памяти К.И. Бабенко (Дюрсо, 2002); Третьей международной конференции по вычислительной динамике жидкости (Канада, 2004).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 20 работ, из них 7 — в центральной и зарубежной печати. Основные результаты представлены в статьях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка, включающего 107 наименований. Работа изложена на 125 листах машинописного текста, содержит 57 рисунков. Библиографические ссылки нумеруются по главам,

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность исследуемой проблемы, приведен обзор работ по данной тематике. Описаны существующие на данный момент представления о механизмах подъема пыли за проходящими ударными волнами, трудности и достижения в области численного моделирования задач механики многофазных сред, подходы к моделированию турбулентности в гетерогенных средах. Обоснован выбор математических моделей и методов расчета.

Первая глава посвящена описанию моделей механики сплошных и гетерогенных сред и нескольких современных высокоточных численных схем, используемых в работе для решения задач газовой динамики и механики гетерогенных сред.

В разделе 1.1 выписаны системы уравнений, на основании которых проводилось исследование поставленных задач.

Задача о взаимодействии ударной волны с турбулентным пограничным слоем на пластине, с помощью которой верифицировался алгоритм расчета, моделировалась на основе полных осредненных уравнений Навье — Стокса, дополненных к-со моделью турбулентности.

Подъем пыли за проходящими ударными волнами описывался в рамках механики гетерогенных сред. В общем случае, когда частицы имеют достаточно большой размер, и скоростной и температурной релаксацией между фазами пренебречь нельзя, рассматривается система двух взаимопроникающих континуумов, для каждого из которых в каждой точке занимаемого ими объема определена плотность, скорость, температура и давление фазы.

В этом случае математическая модель включает в себя законы сохранения массы, импульса и энергии для каждой фазы с учетом внешних сил, силы межфазного взаимодействия и теплового обмена между фазами.

При небольших размерах включений разностью скоростей и температур газовой и твердой фазы можно пренебречь, т.е. не вводить в рассмотрение релаксационные процессы, происходящие между фазами. В невязком приближении равновесное течение гетерогенной смеси описывается уравнениями Эйлера относительно параметров смеси, дополненных уравнением переноса для объемной концентрации частиц. Для замыкания системы применяется уравнение состояния смеси специального вида, зависящее от объемной концентрации частиц.

В настоящей работе моделирование равновесных течений гетерогенных сред проводилось как в невязком приближении, так и с учетом вязкости и теплопроводности смеси, а также турбулентности несущей фазы. В вязком приближении расчеты проводились на основе осредненных уравнений Навье — Стокса, дополненных уравнением для объемной концентрации частиц и к-со-моделью турбулентности, модифицированной для учета присутствия дисперсной фазы.

В задачах, связанных с взаимодействием разрывных фронтов (ударных волн и контактных границ) выбор численного алгоритма очень важен, поскольку методам повышенного порядка аппроксимации свойственна немонотонность в поведении решения на разрыве, а схемы низкого порядка размазывают ударные волны и особенно контактные границы. Поэтому нужно выбрать метод, который бы достаточно точно передавал волновую конфигурацию течения, минимально размазывал разрывы и не давал нефизичных осцилляции. С этой целью в работе рассматриваются несколько современных высокоточных численных методов решения задач волновой динамики гомогенных и гетерогенных сред, включая £N0, СЕР и ТУБ-схемы, реализованные на основе нескольких методов расщепления потоков. Описание схем приведено в разделе 1.2.

Таким образом, в первой главе для описания течений гомогенных и гетерогенных сред в равновесном приближении выписана математическая модель в виде осредненных уравнений Навье — Стокса, дополненных модифицированной для описания двухфазного течения моделью турбулентности. Приведены уравнения неравновесной механики, учитывающие разность скоростей и температур газовой и твердой фазы, а также вязкость и теплопроводность смеси. Описаны несколько высокоточных численных методов, используемых в данной работе для решения проблем механики гомогенных и гетерогенных сред.

Для проверки достоверности результатов расчета и работоспособности численного алгоритма необходимо его тестирование. Для верификации методов расчета газодинамических задач используются точные решения (задача о распаде разрыва, отражение ударной волны от жесткой стенки), а также

экспериментальные данные (задача о взаимодействии косого скачка с турбулентным пограничным слоем). Класс точных решений задач механики гетерогенных сред беден, поэтому для тестирования и верификации используются экспериментальные данные.

Таким образом, во второй главе верифицируются и тестируются математические модели и методы их приближенного решения, описанные в главе 1.

Тестирование численных алгоритмов на основе сопоставления результатов расчета с аналитическими решениями уравнений газовой динамики, а также сравнительный анализ метода С1Р и ТУБ-схем, базирующихся на различных методах расщепления невязких потоков, проведено в разделе 2.1. Результаты позволили сделать вывод о преимуществах метода С1Р при расчете задач, включающих контактные разрывы.

Верификация численного алгоритма решения осредненных уравнений Навье — Стокса, дополненных к-со-моделью турбулентности, проводилась как на основе данных экспериментов в гетерогенных смесях, так и на результатах газодинамических опытов. В частности, используется классическая задача о взаимодействии ударной волны с турбулентным пограничным слоем на пластине, схема которой приведена на рис. 1. В сжимаемом пограничном слое плотность среды переменна, и, следовательно, данная проблема позволяет верифицировать численную схему и модель турбулентности, используемые в дальнейшем для предсказания ударно-волновых процессов в неоднородных средах. Результаты расчета приведены в разделе 2.2.

Задача о взаимодействии косого скачка с турбулентным слоем на пластине представляет также самостоятельный интерес. Адекватное описание взаимодействия пограничного слоя с внешним градиентом давления, и особенно, где в результате такого взаимодействия происходит отрыв пограничного слоя, является важным для инженерных приложений, поскольку такие проблемы часто встречаются на практике.

Рис. 1. Схема течения для случая а = 6°. 1 — генератор скачка, 2 — падающий скачок, 3 — отраженный скачок, 4 — граница пограничного слоя, 5 — волна разрежения

Конфигурация течения зависит от интенсивности падающей ударной волны. В работе исследуются как случаи слабого (безотрывного) взаимодействия, так и сильного взаимодействия с образованием отрывной зоны. Расчет невозмущенного пограничного слоя на пластине и безотрывного взаимодействия был проведен в рамках теории турбулентного пограничного слоя. Вычисления на основе полной модели вязкого теплопроводного газа проводились для всех исследованных случаев.

Результаты расчета невозмущенного течения по модели пограничного слоя хорошо согласуются с экспериментом. В случае безотрывного взаимодействия интегральные характеристики турбулентного пограничного слоя предсказываются хорошо, а расчетный коэффициент поверхностного трения за отраженным скачком существенно занижен, что можно объяснить допущениями, принятыми в модели пограничного слоя.

При использовании осредненных уравнений Навье — Стокса получено хорошее совпадение расчетных результатов с экспериментом по большинству измеренным параметрам. Сравнение расчетных и экспериментальных данных по распределениям давления, коэффициента поверхностного трения и числа Стантона представлены на рис. 2.

Плато в распределении давления на поверхности пластины, а также область отрицательных значений коэффициента поверхностного трения позволяют судить о величине зоны отрыва при а = 10° и 14°. Рисунки 2, а, б показывают, что этот параметр хорошо предсказывается численным методом.

Сопоставление профилей скорости, плотности, температуры в некоторых характерных сечениях до и после зоны взаимодействия также показало хорошее согласование.

Как можно видеть из рис. 2, в, при интенсивном взаимодействии расчет завышает значения числа Стантона. характеризующего уровень теплообмена, в окрестноста точки присоединения. Возможным объяснением расхождения результатов может служить нестационарность отрывного течения, которая имела место в эксперименте. Для проверки этой гипотезы были проведены вычисления, в которых нестационарность отрывного скачка моделировалась путем задания специальных граничных условий. Показано, что учет этого фактора позволяет улучшить предсказание поведения теплообмена за точкой присоединения и коэффициента трения в районе точки отрыва.

В разделе 2.3 для проверки разрешающих свойств метода СЕР при решении задач механики гетерогенных сред в рамках двухскоростного двух-температурного приближения изучена задача о распространении замороженной ударной волны в смеси. Для определения структуры ударной волны в смеси решалась система алгебраических и дифференциальных уравнений, полученных из законов сохранения каждой фазы. Численные результаты верифицированы на основе экспериментальных зависимостей замороженного и равновесного давления от числа Маха ударной волны. Эти данные, а также тестовые расчеты задачи о распаде разрыва продемонстрировали хорошее описание контактных разрывов методом СТР.

14 12 10

б 4 2

а

— 1

"X 2 и 5 / 4

* О 4 ш А л

у— 0 А

/Т

250

300 350

400"

450

сг103

12-

10

6 4

21 0 -2

* & А 4

С" ■ ■ ■ ■

Г' *

• Л-шШ Х"г I

250 8Н0)

300

350

400

450 *> мм

6 5

4 + 3 2

1

О 250

в

т

л.

300

350

400

X, мм

Рис. 2. Распределение давления (я), коэффициента трения (б) и числа Стантона на стенке (в). Кривые — расчет, точки — эксперимент (1,4 — а =6°; 2,5 — а =10°; 3, 6 — а =14°). Число Маха набегающего потока 5, единичное число Рейнольдса

Яе,=4010б 1/м

В третьей главе в рамках равновесной модели решена задача о взаимодействии ударной волны со слоем смеси, лежащим на твердой поверхности. Численное моделирование проводилось как на основе невязкого подхода, так и с использованием осредненных уравнений Навье — Стокса, дополненных уравнением для объемной концентрации частиц. Для моделирования турбулентности использовалась двухпараметрическая ¿-©-модель. Степень присутствия дисперсной фазы в потоке характеризовалась безразмерным числом

Атвуда А - ^смеси—^газа . Расчет проводился при помощи разных числен-

Л;меси + ¿'газа ных схем, описанных в главе I.

В разделе 3.1 представлены результаты исследования лобового столкновения ударной волны с расположенным около стенки слоем гетерогенной смеси. Эта задача является одномерным аналогом сформулированной выше проблемы о подъеме пыли. Действительно, при падении ударной волны на стенку, на которой находится смесь, контактная граница, разделяющая чистый и запыленный газ, начинает двигаться к стенке. После взаимодействия отраженной от стенки УВ с контактной границей возникает волна разрежения, в результате этого контактный разрыв изменяет направление своего движения на противоположное. Интервал времени, проходящий между падением ударной волны на границу слоя и моментом прихода отраженной от стенки ударной волны на контактный разрыв можно, вообще говоря, отождествлять со временем задержки подъема пыли и сопоставлять с измеренными в эксперименте значениями.

В рамках одномерной постановки был реализован и оттестирован метод С1Р в приложении к равновесной модели механики гетерогенных сред. Получена волновая картина течения, возникающая при таком взаимодействии, а также распределения параметров в зависимости от времени.

При расчете методом Т\Т> повышенного порядка точности в момент прихода ударной волны на контактный разрыв возникали нефизичные осцилляции численного решения, что не позволило проводить расчет с помощью этой схемы. Сравнение результатов, полученных методом С1Р и методом АиБМ первого порядка точности, показано на рис. 3. Как можно видеть, С1Р-метод не дает осцилляций при описании поведения ударных волн и контактных разрывов. Метод АШМ сильнее размазывает разрывные фронты, поскольку имеет низкий порядок аппроксимации.

Анализ картины течения позволил выявить образование системы

Рис. 3. Распределение плотности в задаче о взаимодействии ударной волны с плотным слоем

последовательно отражающихся волн сжатия и разрежения, возникающей между стенкой и контактной границей вследствие искривления лидирующей волны внутри слоя. Сравнение эмпирических и расчетных значений по времени задержки подъема пыли показало хорошее качественное соответствие данных. Далее в разделе 3.2 приведены результаты расчетов двумерного нестационарного течения вязкой теплопроводной смеси, на основе которых получена волновая картина течения и выявлено существование двух возможных типов отражения ударной волны от подложки: регулярного и нерегулярного.

Показано, что характер отражения зависит от величины объемной концентрации частиц в слое, т.е. плотности смеси. Когда слой плотный, фронт ударной волны существенно искривляется вблизи стенки и угол между ударной волной и твердой поверхностью оказывается небольшим. В результате происходит регулярное отражение ударной волны (рис. 4, а). Если же плотность слоя невысока, ударная волна искривляется незначительно и в результате формируются условия для маховского отражения (рис. 4, б).

ччч^чччч^ччччч^чччч чччч1^чЖ^чч\Чч^чч\ч

Рис. 4. Схемы течения в случаях регулярного (а) и нерегулярного (б) отражения УВ от стенки На рис. 5 приведены изолинии давления, вертикальной скорости и плотности смеси для случая нерегулярного отражения. На рисунках видна формирующаяся ножка Маха, а также тройная точка, которая, как показывает рис. 5, в, является источником дополнительной контактной поверхности внутри слоя. Видны также отраженные от поверхности пластины и контактной границы волны сжатия и разрежения. Рисунок 5, б показывает, что за искривленным фронтом УВ поток направлен вниз, а затем, отражаясь от стенки, меняет направление на противоположное. Положительная скорость приводит к увеличению толщины слоя. В исследованном диапазоне чисел Маха показано, что существует критическое число Атвуда, зависящее от числа Маха ударной волны, А = -4Кр(Муд), такое, что при А < АКр реализуется

нерегулярное отражение, в противном случае — регулярное. Так, например, при Мув = 1,6 критическое число Атвуда составляет около 4.

На основе анализа картины течения был выявлен следующий механизм подъема пыли. На начальной стадии взаимодействия искривление УВ вблизи подложки приводит к образованию зоны с положительной поперечной скоростью и, следовательно, к увеличению толщины слоя. Основной подъем

х/Ь

Рис. 5. Изолинии статического давления {а), вертикальной скорости (б) и плотности (в) в окрестности УВ; чисто Маха перед УВ в системе координат, связанной со скачком, Мув = 3, отношение плотности смеси к плотности газа р]/ро - 3, ТТ — тройная точка. Параметры обезразмеривания: для масштаба длины — высота слоя А = 5 мм, для скорости и плотности — параметры за УВ, для давления — скоростной напор за УВ

смеси обусловлен нестационарным вихревым образованием на передней кромке плотного слоя (рис. 6). При дальнейшем развитии течения на контактной границе, разделяющей чистый и запыленный газ, возникает неустойчивость Кельвина — Гельмгольца сдвигового слоя и образование вихрей.

В разделе 3.3 выполнена верификация математической модели и тестирование метода расчета на основе экспериментальных данных (Оеггагс! 1.Н., 1963; В.Е. Ое^апсЗ й а1„ 1989; Майш Н., 1992) по взаимодействию ударной волны со слоем пыли в одно- и двумерной постановках. Срав-

Рис. 6. Поля плотности при Мув = 2, А = 1/3, г = 330 мкс

Р1 ® эксперимент, тг=0.001+0,002 — расчет, Шз=0,001 - — расчет; тг=0,002

1

№

о

-О 05 0 05

Рис. 7. Распределение поверхности трубы для Маха 1,6 и объемной частиц 0,001 и 0,002

015 «.мс

давления по случая числа концентрации

нение данных расчета по модели, предложенной в работе, и экспериментальных данных (Ма^ш Н., 1992) приведено на рис. 7.

Можно видеть хорошее качественное соответствие результатов по распределению давления на твердой поверхности. В расчетах хорошо воспроизводится первый пик давления, связанный с приходом ударной волны на стенку, и уровень давления после взаимодействия.

С целью учета реальных эффектов течения были выполнены расчеты задачи с учетом турбулентности. Анализ результатов и сравнение с ламинарными картинами течения показал, что основное различие заключается в форме передней кромки слоя. Также в случае с учетом турбулентности смеси период внутренних волн становится больше, а их амплитуда меньше, что обусловлено наличием дополнительной турбулентной вязкости, которая отклоняет ударную волну от нормального положения на больший угол по сравнению с ламинарным течением. На рис. 8 приведены изолинии продольной скорости для этих двух случаев при начальной объемной концентрации частиц в слое т2 = 0,001 и числе Маха УВ Мув= 1,6.

При увеличении плотности смеси, т.е. с ростом числа Атвуда, качественное и количественное отличие картин ламинарного и турбулентного течений усиливается (рис. 9). В случае турбулентного течения слой диспергируется сильнее, т.е. наблюдается большая высота подъема слоя. Эти эффекты можно объяснить присутствием дополнительной турбулентной вязкости.

В рамках невязкого приближения были проведены параметрические исследования течения при различных формах передней кромки слоя и прямоугольного и треугольного профилей ударной волны, падающей на слой. Треугольный профиль соответствует реальной УВ с примыкающей зоной разгрузки за фронтом, что часто встречается на практике и отождествляется с взрывной УВ,

У,мм

120 х, мм

У,мм

120 х, мм

Рис. 8. Изолинии продольной скорости смеси для случая без учета турбулентности (а) и с учетом турбулентности смеси (б). Приведены размерные значения скорости (м/с) в системе координат, связанной с УВ, число Маха перед У В 1,6

Показано, что разница в картинах течения при взаимодействии УВ со слоями, имеющими пологую и прямоугольную переднюю кромку, заметна только на ранних стадиях развития процесса.

При сопоставлении распределений параметров в задаче с взрывной УВ и прямоугольным фронтом можно заметить, что толщина слоя в области сразу за скачком существенно не меняется, в то время как в случае прямоугольного фронта слой значительно поджимается. Это можно объяснить тем, что интенсивность УВ в данном случае быстро уменьшается за счет действия присоединенной волны разгрузки, и слой испытывает менее сильное воздействие.

Итак, в третьей главе для описания подъема пыли из слоя под действием лидирующей УВ прямоугольной и треугольной формы применена математическая модель механики равновесной гетерогенной среды с учетом

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x/h

Рис. 9. Изолинии плотности для числа Маха УВ 1,6 и объемной концентрации

частиц 0,0057: а — ламинарное течение, б — с учетом турбулентности

турбулентности смеси. Она была верифицирована по экспериментальным зависимостям давления на подложке от времени в плоской и одномерной геометрии задачи. Выявлены возможные режимы отражения, и механизм подъема пыли. Определен критерий перехода от регулярного к Маховскому отражению лидирующей ударной волны внутри слоя смеси. Показано, что в турбулентной смеси на передней границе слоя образуется пристенная струйка.

Заключение

Таким образом, по результатам данной работы можно сделать следующие выводы:

1. Для описания взаимодействия ударных волн с плотными слоями смесей в рамках равновесной механики гетерогенной турбулентной среды изложена физико-математическая модель, позволяющая удовлетворительно описать волновую картину в слое и адекватную описываемому явлению.

2. Проведена модификация и протестированы численные схемы: С1Р-метод, методы TVD на основе метода расщепления вектора потоков по физическим процессам, противопотокового метода расщепления и метода Ван Лира. Показано, что метод CIP является более предпочтительным при описании волновой динамики контактных разрывов и ударных волн.

3. Проведена верификация математической модели и численного алгоритма расчета задачи о прохождении ударной волны над плотным слоем на основе сравнения с экспериментальными данными J.H. Gerrard, Н. Matsui, A.A. Борисова, Б.Е. Гельфанда, С.М. Фролова, и др. Показано, что модель позволяет удовлетворительно предсказать распределение давления на подложке и время задержки подъема пыли.

4. В результате численного моделирования задачи о подъеме пыли за проходящей ударной волной в диапазоне числе Маха ударных волн Мув =1,6 *3 определена волновая картина течения. Впервые в нелинейной постановке показано, что внутри слоя формируется система внутренних волн сжатия и разрежения. Выявлено три механизма перемешивания пылевых слоев: первый обусловлен искривлением ударной волны вблизи подложки и возникновением области с положительным значением поперечной скорости на начальном этапе развития течения; основной подъем обусловлен нестационарным вихревым образованием на передней кромке слоя; третий реализуется при дальнейшем развитии течения, когда на контактной границе возникает неустойчивость Кельвина — Гельмгольца сдвигового слоя и происходит образование вихрей.

5. В результате анализа численных данных определены критерии регулярного и нерегулярного отражения лидирующего скачка от жесткой поверхности. Показано, что существует критическое число Атвуда, зависящее от скорости ударной волны, Лкр(Муц), такое, что при Л<Лкр(Муз) реализуется нерегулярное отражение, в противном случае — регулярное.

Список основных публикаций

1. Федорова Н.Н., Федорченко И.А. Математическое моделирование задачи о взаимодействии падающего косого скачка уплотнения с турбулентным пограничным слоем на пластине // Математические модели и методы их исследования: Тез. докл. Междунар. конф. — Красноярск: Изд. Красноярского гос. ун-та, 1999. — С. 199—200.

2. Федорова Н.Н., Федорченко И.А. Взаимодействие падающего косого скачка уплотнения с турбулентным пограничным слоем на пластине при М=5 // Течения газа в соплах, струях и следах: Тез. докл. XVIII Междунар. семинара— СПб: Изд. Балтийского гос. техн. ун-та, 2000. — С. 62—63.

3. Федорченко И.А. Численное моделирование взаимодействия ударной волны со слоем мелких частиц, расположенным на твердой стенке // Труды конф. молодых ученых, поев. 10-летию ИВТ СО РАН. T. II. — Новосибирск, 2001. С. 152—156.

4. Федорова Н.Н., Федорченко И.А. Влияние нестационарности на предсказание теплообмена при численном моделировании взаимодействия косой ударной волны с турбулентным пограничным слоем // Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии: Тез. докл. Всероссийской конф. молодых ученых. — Новосибирск: Изд. Ин-та теор. и прикл. механ. СО РАН, 2001. — С. 32—33.

5. Федоров А.В., Федорова Н.Н., Федорченко И А Численное моделирование процесса поднятия пыли за проходящей ударной волной // Вычислительные технологии. — 2001.— Т. 6, ч. 2. Спец. вып. «Труды Международной конференции DRAMM-2001». С. 642—649.

6. Федорченко И.А. Численные методы, основанные на сплайн-аппроксимации, в приложении к задачам, содержащих контактный разрыв// Современные проблемы математического моделирования: Тез. докл. IX Всероссийской школы-семинара — Абрау-Дюрсо: Изд. Ростовского гос. ун-та, 2001. — С. 362—369.

7. Федорова Н.Н., Федорченко И.А. Численное моделирование распространения ударной волны вдоль тонкого слоя частиц // Труды НГАСУ. Т. 4, № 2(13). — Новосибирск, 2001. — С. 206—218.

8. Fedorova N.N., Fedorchenko I.A., SchuleinE. Expérimental Investigation and Numerical Simulation of the Impinging Oblique Shock Wave/Turbulent Boundary Layer Interaction at M = 5 // ZAMM. — 2001. — Bd. 81, Suppl. 3, S. 773—774.

9. Федоров A.B., Федорова H.H., Федорченко И.А., Фомин В.М. Математическое моделирование подъема пыли с поверхности // Прикладная механика и техническая физика. —2002. — Т. 43, №6. — С. 113—125.

Ю.Федоров А.В., Федорова Н.Н., Федорченко И.А. Расчет взаимодействия ударной волны с пылевым слоем // Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики:

Тез. XIV Всероссийской конф., поев, памяти К.И. Бабенко — Екатеринбург: Изд. Ин-та матем. и механ. УрО РАН, 2002. — С. 158—160.

11.FedorovaN.N., Fedorchenko I.A. and SchueleinE. Experimental and numerical study of oblique shock wave / turbulent boundary layer interaction at M=5 // Comput. Fluid Dynamics J. — October, 2001. — Vol. 10, No. 3, Special Iss. — P. 390—395.

12.Федоров А.В., Федорова H.H., Федорченко И.А., Хмель T.A., Госте-ев Ю.А. Математическое моделирование динамических явления в смесях газа и твердых частиц. — Новосибирск, 2001. — (Препр. / ИТПМ СО РАН. №. 2-2001).

13.Fedorov A.V., Fedorova N.N., Fedorchenko I.A. Numerical simulation of the shock wave interaction with a near-wall fine particle layer// Intern. Conf. on the Methods of Aerophys. Research: Proc. Pt 1 / Ed. A.M. Kharitonov. — No-vosibiisk: Publ. House of Siberian Branch of RAS, 2002. — P. 45—50.

14.Федорова H.H., Федорченко И.А. Математическое моделирование взаимодействия ударной волны с пылевым слоем, расположенным на твердой поверхности // Модели и методы аэродинамики: Материалы I и II Между-нар. школ-семинаров — М.: Изд. Московского Центра непрерывного математического образования, 2002. — С. 105—106.

15.Федорова Н.Н., Федорченко И.А. Математическое моделирование взаимодействия ударных волн с плотными пристенными слоями // Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей: Тез. докл. между-нар. конф. Вып. 8. — Новосибирск: Изд. Ин-та теор. и прикл. механики СО РАН, 2001. — С. 169—170.

16.Федорова Н.Н., Федорченко И.А. Расчет взаимодействия падающего косого скачка уплотнения с турбулентным пограничным слоем на пластине // Прикладная механика и техническая физика. — 2004 — Т. 45, №3. — С. 61—71.

17.Федоров А.В., Федорченко И.А. Расчет подъема пыли за скользящей вдоль слоя ударной волной. Верификация модели // Физика горения и взрыва. — 2005. — Т. 41, №3. — С. 110—120.

Ответственный за выпуск И.А Федорченко

Подписано в печать 11 05.2005 Формат бумаги 60x 84/16, Усл. печ л. 1.0, Уч.-изд. л. 1 0, Тираж 100 экз , Заказ № 5

Отпечатано на ризографе ЗАО "ИНТЕРТЕК" 630090, Новосибирск, Институтская, 4/1

»11358

РНБ Русский фонд

2006-4 6831

*

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ТЕЧЕНИЙ ГОМОГЕННЫХ И ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД.

1.1 Основные уравнения.

1.1.1 Математическая модель для описания течения гомогенных сред.

1.1.2 Математическая модель неравновесной механики гетерогенных сред

1.1.3 Равновесная модель механики гетерогенных сред.

1.1.4 Модель турбулентности для описания течений смеси газа и твердых частиц.

1.2 Численные методы решения задач волновой динамики гомогенных и гетерогенных сред.

1.2.1. Метод Годунова.

1.2.2. TVD-схемы.

1.2.3. ENO-схемы.

1.2.4. CIP-схемы.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 1.

ГЛАВА 2 ВЕРИФИКАЦИЯ И ТЕСТИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ.

2.1 Тестирование численных методов на основе точных решений уравнений газовой динамики.

2.1.1 ENO-схемы.

2.1.2 Метод Годунова.

2.1.3 TVD-схемы.

2.1.4 CIP-схемы.

2.1.5 Тестовые варианты для сравнения нескольких схем.

2.2 Верификация методов расчета осредненных уравнений Навье-Стокса, дополненных к-со моделью турбулентности.

2.2.1 Постановка задачи и экспериментальные данные.

2.2.2 Расчет в рамках теории пограничного слоя.

2.2.3 Расчет в рамках полных осредненных уравнений Навье-Стокса.

- 2.2.4 Учет нестационарности положения скачка.

2.3 ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА CIP ДЛЯ РАСЧЕТОВ МОДЕЛИ НЕРАВНОВЕСНОЙ МЕХАНИКИ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД.

2.3.1 Решение задачи о структуре ударной волны в газовзвеси.

2.3.2 Две задачи о распаде разрыва в смеси газа и частиц.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 2.

ГЛАВА 3 ОПИСАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УДАРНОЙ ВОЛНЫ С ПЫЛЕВЫМ СЛОЕМ.

3.1 Нормальное взаимодействие ударной волны со слоем газовзвеси, расположенным вблизи стенки.

3.1.1 Постановка задачи.

3.1.2 Результаты расчетов.

3.2 Расчет задачи в рамках двумерного нестационарного течения вязкой теплопроводной турбулентной смеси.

3.3 Параметрические расчеты и верификация модели о подъеме ультрадисперсной смеси под действием ударной волны.

3.3.1 Сравнение расчетных и экспериментальных данных.

3.3.2 Подъем пыли из слоя со сглаженной кромкой и при воздействии реальной ударной волны.

3.3.3 Влияние турбулентности.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 3.

Работа посвящена численному моделированию проблем механики гетерогенных и гомогенных сред, связанных с ударно-волновым воздействием на неоднородности плотности.

Изучение взаимодействия ударных волн (УВ) с неоднородностями представляется актуальным, поскольку такие задачи находят широкое приложение в различных областях науки и техники. Контактные поверхности в гетерогенных средах разделяют вещества, имеющие различные истинные плотности. Примерами гомогенных неоднородных течений Moiyr служить пограничные слои и слои смешения. Различие плотностей в такой среде может быть обусловлено и неравенством температур.

Моделированию поведения ударных волн в многофазных средах уделяется большое внимание, так как оно связано со многими практическими приложениями, начиная от проблем взрыво- и пожаробезопасности на запыленных предприятиях и в угольных шахтах, горения в топках, твердотопливных двигателях, до предсказания поведения планетных туманностей на стадии, предшествующей образованию планет.

Актуальной задачей, связанной с ударно-волновыми взаимодействиями в гетерогенных средах, является исследование подъема пыли с поверхности при прохождении над ней ударной волны. Данная проблема представляет интерес как раз с точки зрения взрыво- и пожаробезопасности в угольных шахтах и на запыленных производствах. Это явление исследовалось как экспериментально, так и теоретически разными авторами. Существует много работ, посвященных этой теме, но, несмотря на обширную библиографию, до сих пор нет исчерпывающего объяснения происходящих при этом процессов. Не разработана математическая модель, которая с достаточной полнотой описывала бы поведение параметров течения на разных стадиях его развития.

Обзор литературы по этому вопросу дан в [1]. Ниже анализируются некоторые работы, которые представляют интерес для исследования описанной выше проблемы.

Проведение экспериментальных исследований по ударно-волновому воздействию на гетерогенные среды было начато довольно давно. Они позволили получить некоторые интегральные и локальные характеристики явления, а также верифицировать математические модели и методы расчета. Однако опыты затруднены краткостью характерных масштабов времен и высокой стоимостью лабораторных экспериментов.

Одной из первых работ, посвященных экспериментальному исследованию процесса подъема мелких частиц с твердой поверхности под воздействием ударной волны, является [2]. В ней установлено, что существует период запаздывания между моментами прохождения УВ и подъема пыли в фиксированной точке. Получено эмпирическое соотношение зависимости длины запаздывания (расстояние между точкой на плоскости, в которой находится УВ и точкой, в которой начинается подъем частицы) от относительного числа Маха за УВ для тонкого слоя (менее 13 мм). Высказана гипотеза, что частицы поднимаются за счет сил, возникающих при отражении волн давления от твердой поверхности. Поскольку лидирующая ударная волна искривляется вблизи подложки, возникает внутреннее течение газа, которое, отражаясь от стенки, приводит частицы в движение.

Авторы [3—5] также наблюдали задержку между моментом прохождения УВ и началом заметного роста возмущений в слое песка. Было высказано предположение, что граница слоя поднимается за счет действия волн сжатия и разрежения, возникающих в результате многократного отражения лидирующей ударной волны от стенки и границы пылевого облака.

В [6] экспериментально и теоретически исследовался подъем частиц известняка, и было выяснено, что пыль поднимается в результате быстрого течения газа за фронтом УВ. Математическое моделирование в данной работе проводилось в рамках подхода режима одиночных частиц, когда течение газа считается заданным, а для компонент скорости частиц выписываются обыкновенные дифференциальные уравнения. Автор предположил, что причиной вертикального движения включений является поверхностная неустойчивость, развивающаяся при прохождении УВ через рыхлый слой. Эта неустойчивость может быть вызвана движением воздуха за ударной волной, волнами разрежения и давления, или комбинацией этих факторов.

В [7] описаны эксперименты, когда порошок насыпали в кювету таким образом, что верхняя поверхность слоя не выступала над стенкой канала. Фиксировались высота подъема отдельных частиц и высота верхней границы сплошного слоя за проходящей ударной волной. Авторы показали, что решающим фактором являются столкновения между частицами, которые приводят к росту шероховатости на поверхности подложки, разрыхлению засыпки и росту ее толщины, а затем к подъему порошка и образованию двухфазного слоя. Эти столкновения имеют место только в области, прилежащей к поверхности засыпки. После столкновения частицы начинают вращаться, и могут приобрести вертикальную скорость как в результате упругого отражения, так и под действием силы Магнуса. В рамках математической модели одиночных частиц приведены теоретические оценки вклада каждой из этих сил в динамику подъема. Подобрано значение входящей в математическую модель эмпирической константы, при котором полученное приближенное решение удовлетворительно описывает экспериментальные данные по зависимости высоты подъема частиц от времени.

В [8] экспериментально и численно исследовалось взаимодействие плоской ударной волны (число Маха УВ 1,38) с плотным слоем фреона, расположенным на дне рабочей секции ударной трубы. Численное моделирование проводилось в рамках уравнений Эйлера. На основе полученных результатов сделан вывод, что при взаимодействии скачка с плотным слоем около стенки за счет невязкого механизма создается сдвиговый слой. Он неустойчив и быстро сворачивается в трехмерный турбулентный слой смешения с различными масштабами перемешивания.

Подробное исследование влияния разности плотностей в турбулентном слое смешения двух газов на основе экспериментальных данных приводится в [9]. Здесь показано, что, независимо от соотношения плотностей газов, в слое смешения преобладают крупные структуры, которые переносятся с примерно постоянной скоростью и увеличиваются в размерах за счет объединения с соседними структурами. Проведены оценки скорости вовлечения на основе некоторых статистических параметров этих крупных структур.

Численное исследование когерентных динамических нелинейных структур в сверхзвуковых газовых струях проводилось в [10]. Анализ результатов позволил получить данные о структуре и поведении поверхностей раздела и ударных фронтов.

В [11], где проводится экспериментальное и теоретическое исследование эрозии пыли под действием ударной волны в воздухе, подъем пыли объясняется взаимодействием частиц со сдвиговым течением в пограничном слое. Поскольку примыкающий к движущейся ударной волне ламинарный пограничный слой очень тонкий, возникают большие градиенты скорости.

Вследствие разницы скоростей в сдвиговом слое на частицы оказывает воздействие сила, получившая название «сила Саффмана». На основании исследований сделан вывод, что движущим механизмом подъема частиц с поверхности являются сила Саффмана и сила аэродинамического сопротивления.

Эти же авторы в [12] исследовали формирование облака частиц в турбулентном пограничном слое. Для математического описания турбулентного смешения слоя пыли с газом использовалась теоретическая модель [13], которая описывает процесс подъема пыли в рамках уравнения турбулентной диффузии. Численные расчеты, выполненные в рамках этой модели, согласуются с данными экспериментов по распределению концентрации частиц в потоке. Было установлено, что процесс формирования аэровзвеси в турбулентном течении ускоряется.

Влияние частиц на пристенную турбулентность экспериментально изучалось в [14]. Показано, что присутствие частиц на стенке аналогично действию неподвижной шероховатости. При этом на поверхности увеличиваются сдвиговые напряжения, средняя скорость снижается, и генерация турбулентности усиливается. Однако эксперимент показал, что этот эффект не значителен. Далее, взаимодействие частиц с пристенными структурами вызывает снижение частоты возникновения структур, а относительная величина напряжений Рейнольдса и турбулентной кинетической энергии структур существенно не изменяется. Это приводит к расслоению частиц, изменению характеристик структур и увеличению скалярной скорости переноса на стенке. Взаимодействие частиц взвеси вдали от стенки в работе не рассматривалось.

Для. обоснования результатов исследований сами экспериментаторы делали попытки теоретического описания процесса подъема пыли за проходящими ударными волнами.

Например, в [11], наряду с экспериментом, проводится теоретическое исследование эрозии пыли под действием ударной волны в рамках подхода одиночных частиц. Показано согласование с экспериментальными данными по высоте подъема пыли и характеристикам подъема на начальной стадии. Указано, что даже если сила Саффмана является не единственной силой, действующей на частицу в облаке непосредственно после прохождения УВ, то она будет определяющей на начальной стадии развития. Поскольку величина силы Саффмаиа быстро убывает с увеличением толщины пограничного слоя, а течение переходит от ламинарного режима к турбулентному, применимость используемой модели ограничена коротким промежутком времени, пока течение ламинарное и пограничный слой тонкий. Последующее развитие процесса обусловлено взаимодействием между турбулентным пограничным слоем и облаком пыли.

Аналитическое изучение устойчивости поверхности раздела «газ-жидкость» за скользящей вдоль нее ударной волной проведено в [15]. Исследование основано на применении к волнам на поверхности жидкости «энергетического принципа», согласно которому изменение энергии механической системы равно работе внешних сил за вычетом работы сил внутреннего сопротивления и диссипации энергии. За распространяющейся ударной волной внутри жидкого слоя возникает система волн сжатия и разрежения, приводящая к образованию поверхностной волны, которая, согласно принятой в работе гипотезе, представляет собой плоскую периодическую волну. В соответствии с полученными теоретическими результатами изменение формы поверхностной волны развивается следующим образом. В области ламинарного течения амплитуда поверхностных волн сначала нарастает, и затем, достигнув максимума, убывает. Переход от ламинарного к турбулентному течению в пограничном слое, образующемся около поверхности раздела газа и жидкости, меняет картину течения. По мере удаления от скачка могут реализовываться два вида колебательного движения: затухание колебаний, или же появление второго максимума амплитуды на поверхности контакта. Если величина максимальной амплитуды соизмерима с толщиной пленки, можно ожидать разрушения контактной границы.

В [16] описаны эксперименты по нормальному и касательному взаимодействию ударных волн со слоем сыпучих веществ (полистирол, песок, плексиглас), лежащим на стенке ударной трубы. Сделан вывод, что этот процесс аналогичен взаимодействию УВ с пористым сжимаемым материалом умеренной плотности. Для теоретического описания явления предложена модель, основанная на анализе движения насыпной среды как целого под воздействием приложенной нагрузки. Столбик мелких частиц представлялся эквивалентной механической системой с одной степенью свободы, состоящей из груза массой т и комбинации пластического и упругого элементов. Коэффициенты упругости и демпфирования, а также начальная скорость

4 системы задавались на основе экспериментальных данных. Сравнение распределений давления на поверхности ударной трубы, полученных из опыта, и результатов расчета по предложенной модели показало хорошее согласование данных.

Таким образом, из обобщения экспериментальных и теоретических данных по подъему пыли за скользящей вдоль слоя ударной волной можно сделать следующие основные выводы:

1. В рамках ламинарного течения можно описать лишь начальную стадию процесса подъема частиц, при этом определяющими силами являются сила Саффмана и сила аэродинамического сопротивления.

2. Существенную роль в процессе подъема смеси играет система волн сжатия и разрежения внутри слоя частиц, которая формируется в результате искривления ударной волны вблизи контактной поверхности между чистым и запыленным газом и последующего отражения УВ от твердой поверхности и контактной границы.

3. При больших временах развития процесса основным механизмом перемешивания частиц становится формирование крупномасштабных вихрей в двухфазной смеси и турбулентная диффузия потока газа.

В настоящее время существуют два основных подхода для математического описания движения многофазных сред, которые можно условно назвать Эйлеров-Эйлеров и Эйлеров-Лагранжев. Модели, построенные на основе Эйлеров-Эйлерова подхода, называются многожидкостными, , поскольку все фазы рассматриваются как взаимопроникающие континуумы, сосуществующие в каждой точке пространства. Каждая фаза описывается уравнениями континуальной механики.

В Эйлеров-Лагранжевом подходе несущая фаза описывается на основе уравнений континуальной механики, а каждая частица дисперсной фазы отслеживается отдельно. Применение этого метода, очевидно, ограничивается числом частиц, которые можно включить в рассмотрение. Частным случаем подхода является метод одиночных частиц, используемый при малых объемных концентрациях включений.

Многожидкостные модели для описания течений смеси газа и твердых частиц, использующие Эйлеров-Эйлеров подход, приведены, в частности, в [17]. Для описания движения газа применяются уравнения Навье-Стокса. Система уравнений для дисперсной фазы получается путем обобщения на систему частиц законов сохранения массы, импульса и энергии одной частицы. Проводится анализ устойчивости смеси к небольшим возмущениям в несущей фазе.

Другой пример использования Эйлеров-Эйлерова подхода представлен в [18], где для описания движения сжимаемой многофазной смеси с поверхностями раздела фаз используется неравновесная двухжидкостная модель, включающая шесть уравнений законов сохранения фаз. Для замыкания системы используется седьмое уравнение для объемной концентрации в неконсервативном виде. В предположении малости концентрации дисперсной фазы сделаны некоторые упрощения, позволившие получить систему гиперболического типа. Для дискретизации конвективных членов уравнений используется схема AUSM [19]. Турбулентность смеси газа и частиц моделируется на основе к- £ модели турбулентности.

Развитием этого подхода явилась предложенная в [20] сжимаемая двухфазная модель из семи уравнений. В рамках этой модели многофазное течение рассматривается как многожидкостное с очень большим числом поверхностей раздела, описываемых при помощи неконсервативного уравнения для объемной концентрации. Для численной аппроксимации была разработана простая и точная схема, основанная на решении задачи о распаде разрыва, и предложена дискретизация конвективных членов уравнений для объемной концентрации, массы, момента и энергии.

Вышеописанные модели включают уравнения сохранения энергии и уравнения движения для каждой фазы. Такие модели называются неравновесными, поскольку они учитывают релаксационные процессы между фазами. При небольших радиусах дисперсной фазы используется равновесное приближение, в котором взаимодействием между фазами можно пренебречь. Такие модели называются также одножидкостными, поскольку в данном случае смесь представляет собой псевдогаз.

Использование континуальных уравнений для описания динамики многофазных сред связано с определенными проблемами, одна из которых описана в [21]. В равновесном приближении движение сжимаемой невязкой многофазной среды описывается уравнениями Эйлера, дополненными уравнениями для объемных концентраций каждой фазы. Система имеет гиперболический тип. Для наилучшего описания течений с разрывами необходимо использовать консервативную форму гиперболических уравнений.

Однако если в течении имеются сильные контактные разрывы, использование консервативной формы записи уравнений приводит к появлению осцилляций около контактных поверхностей.

Известно [22], что большинство классических методов генерирует искусственную диффузию на контактных разрывах, которая приводит к нефизичному перемешиванию жидкостей на поверхности раздела. В этой области расчет давления и температуры становится затрудненным. Когда изменения плотности не велики, схемы дают небольшую погрешность расчетов. Но в случае сильно отличающихся плотностей методы, основанные на консервативном представлении уравнений Эйлера, могут привести к разрушению численного решения в течение нескольких временных шагов.

Так как на поверхности раздела двух фаз погрешность от применения неконсервативного подхода незначительна, в [21] был предложен метод, основанный на использовании такой неконсервативной формы уравнений. Вблизи поверхностей раздела система сведена к уравнениям линейной адвекции градиентов плотности и температуры. Построенная схема не дает значительных ошибок.

Схемы, базирующиеся на точном решении задачи Римана для многокомпонентной среды, и обеспечивающие монотонность и положительный знак массовой концентрации фаз, были предложены в [22, 23]. Они не дают осцилляций в распределении давления на контактной границе и способны рассчитывать сильные разрывные фронты.

Таким образом, анализ работ по численному моделированию ударно-волновых процессов в смесях газа и частиц показал, что наиболее популярными являются следующие математические модели:

1. Модель . одиночных частиц под действием различных сил (аэродинамического сопротивления, Саффмана, тяжести, аэродинамической интерференции и т.д.);

2. Модели механики гетерогенных сред с учетом турбулентной диффузии частиц в поле течения газа;

3. Неравновесные модели механики гетерогенных сред с учетом разности в скоростях и температурах фаз, а также взаимного влияния компонентов.

Асимптотическое и численное исследование пограничного слоя за проходящей по смеси газа с частицами ударной волной с учетом силы

Саффмана проводилось в [24]. Показано, что . перемещение частиц в пограничном слое приводит к пересечению их траекторий.

В работе [25] представлены результаты теоретических исследований траекторий твердых частиц, поднимающихся с горизонтальной плоскости после прохождения над ней слабой УВ. Получено хорошее количественное согласование с некоторыми экспериментальными данными. Для описания основного течения используется математическая модель пограничного слоя. Частица приобретает подъемную силу за счет силы Саффмана. После прохождения УВ подъемная сила уменьшается, и частица, входя в утолщающийся пограничный слой, движется вниз. Сделан вывод, что описание подъема частицы на основе учета силы Саффмана для сферы в сдвиговом потоке дает хорошее согласование с экспериментальными данными по траекториям движения частиц в пограничном слое за фронтом проходящей УВ.

Предложенный в экспериментальных работах [3—5] механизм подъема пыли за ударной волной исследован в [26] методами численного моделирования. Основываясь на результатах предыдущих работ, автор предполагает, что при движении ударной волны по слою частиц формируются вихревые структуры, похожие на те, что возникают при взаимодействии скользящих ударных волн с термальным или жидким слоями. Полученная картина течения представляет интерес с точки зрения особенностей поведения ударной волны внутри слоя и над его поверхностью. Здесь также наблюдается развитие неустойчивости поверхности слоя и возникновение вихревых структур, приводящих к подъему вещества из слоя и перемешиванию газов.

В работе [27] задача о распространении УВ по каналу, на дне которого находится слой частиц мела или бронзы, численно решена в рамках подхода Эйлера-Лагранжа. Выписаны уравнения движения для каждой фазы, для замыкания используется уравнение состояния идеального газа и соотношения для сил межфазного взаимодействия и теплообмена. Для расчета газовой фазы используется схема Годунова. Рассчитывается положение ячейки, параметры частиц в «лагранжевых» ячейках, затем пересчитываются параметры частиц в «эйлеровых» ячейках. На некотором расстоянии за ударной волной толщина слоя не увеличивается, что трактуется как задержка подъема пыли.

В [28] было численно исследовано поле течения в пограничном слое, возникающем за ударной волной, идущей над слоем пыли. В работе выводятся уравнения для турбулентного пограничного слоя смеси пыли и газа с градиентом давления за ударной волной на основе модели дискретных частиц. На профиле концентрации частиц в поперечном направлении наблюдалось два пика в распределении: один около стенки, другой— в верхней части погранслоя. Такое распределение в сопутствующем потоке связывалось с действием подъемных сдвиговых сил и эффектом турбулентной диффузии. Для моделирования турбулентности газовой фазы использовалась модель Себеси-Смита пути смешения. На основании полученных профилей погранслоев газовой и твердой фазы было установлено, что размер пылевого погранслоя больше, чем газового.

В [29] на основе численных методов второго порядка точности исследуется влияние частиц на турбулентность. Хотя концентрация частиц в жидкости есть величина скалярная, ее поведение сильно отличается от поведения остальных скалярных величин из-за инерционности и эффекта пересечения траекторий. Влияние последнего сводится к уменьшению дисперсии частиц, в то время как влияние инерционности частиц не столь очевидно. В работе проводится исследование этих факторов на основе модельных уравнений второго порядка в условиях малой концентрации частиц и в предположении малости временного масштаба по отношению к масштабу длины. Расчеты показали, что эффект пересечения траекторий оказывает более значительное влияние, чем инерционность частиц. Было обнаружено, что увеличение инертности частиц увеличивает пульсации концентрации частиц.

Таким образом, на основе проведенного обзора можно сделать вывод, что, хотя на данный момент имеется множество работ по моделированию подъема пыли за проходящими ударными волнами, механизм этого явления до конца не известен и нет модели, которая бы описывала все стадии процесса. Представляется целесообразным использование Эйлеров-Эйлерова подхода для описания поведения смеси, поскольку при этом расчет обеих фаз проводится на основе уравнений одного типа. Для численного моделирования проблемы необходимо выбрать метод, достаточно точно описывающий поведение контактных границ, и провести его тестирование и верификацию.

Одним из ключевых вопросов, возникающих при описании поведения смеси, является проблема моделирования турбулентности. Учет турбулентности при исследовании газовзвесей может существенно изменить картину течения. При изучении динамических процессов в смесях необходимо знать, какое влияние частицы оказывают на турбулентность газа, а также определять эффекты воздействия турбулентности газа на поведение частиц.

В [30,31] приводится классификация существующих к настоящему времени методов расчета турбулентных двухфазных дисперсных потоков на основе Эйлеров-Лагранжева и Эйлеров-Эйлерова подходов.

В рамках Эйлеров-Лагранжева подхода учет случайного характера частиц, обусловленного взаимодействием с турбулентными пульсациями несущего потока, сводится к интегрированию динамических стохастических уравнений вдоль индивидуальных траекторий с последующим осреднением по ансамблю начальных данных. Для получения статистически достоверной информации необходимо использовать достаточно представительный ансамбль реализаций, что приводит к существенному увеличению объема вычислений. С уменьшением размера частиц число реализаций, необходимое для получения статистически верных осредненных характеристик, возрастает, так как увеличивается вклад взаимодействия частиц с вихрями все меньших размеров. Поэтому применение стохастического моделирования динамики отдельных частиц целесообразно для относительно инерционных частиц. Для «плотных» частиц оправдано лагранжево описание движения и теплообмена дисперсной фазы в турбулентном потоке на основе решения уравнений только для средних величин, т.е. без учета взаимодействия со случайными полями пульсаций скорости и температуры сплошной фазы. Для высококонцентрированных дисперсных потоков динамическое лагранжево описание затруднено из-за «запутанности» траекторий при учете столкновения частиц, а также из-за изменения их числа в результате коагуляции, дробления и т.д.

В рамках этого подхода выполнены работы [32—38].

В [32] развита теоретическая модель, объясняющая поперечный перенос частиц в турбулентных течениях разбавленных суспензий. Модель основана на способности (или неспособности) частиц отвечать на локальные движения окружающей среды, которая зависит от размера частиц, их плотности, изменений концентрации частиц в поперечном направлении и параметров турбулентных структур жидкости. Предлагаемая модель выведена путем разделения поперечной скорости жидкости на две компоненты, испытывающие взаимное влияние, и представляющие соответственно флуктуации скорости и локальную скорость сдвига.

В [33] отмечено, что многие предшествующие исследования основаны на классификации, принятой для однофазных течений. В этом случае поле течения разделяется на две фиксированные области: область ядра, управляемую турбулентной диффузией, и квазиламинарную область, контролируемую осредненным движением. Предполагается, что в области турбулентного ядра движение частиц полностью описывается турбулентными пульсациями жидкости, и частицы переносятся тем же способом, что и скалярная примесь переносится турбулентной диффузией. В области квазйламинарного течения частицы переносятся за счет средней скорости движения жидкости вследствие действия силы сопротивления частиц. Но результаты вычислений осаждения частиц по этой схеме на четыре порядка отличаются от измерений, что явилось серьезным основанием для пересмотра принятых в этой схеме физических допущений.

Поэтому в [33] был проведен анализ на основе концепции частотного ответа частиц на осциллирующее поле течения, впервые развитой в [34]. Было показано, что в турбулентном ядре правомочность допущения о переносе частиц за счет турбулентной диффузии может зависеть от величины отношения амплитуд осцилляций частиц и вихревого движения жидкости. Также было отмечено, что в квазиламинарном режиме переноса частиц необходимо учитывать не только вязкое сопротивление, но и подъемную силу Саффмана.

В более ранних работах авторов [32, 33] по аналогии с однофазными течениями положение границы раздела было получено как функция размера частиц, свойств течения и физических параметров среды. Некоторые следствия этой теории показали только качественное улучшение результатов по сравнению с предыдущими теориями для экспериментальных измерений скорости двухфазных течений. Поэтому была сформулирована новая теория, учитывающая турбулентную структуру жидкой фазы. При выводе предполагалось, что поперечная скорость частиц осциллирует с частотой, связанной со средней энергией турбулентного спектра. Предложенная теория дала хорошее совпадение с экспериментальными данными в широком диапазоне физических параметров течения.

В [35] на основе лагранжева подхода моделируется осаждения частиц в турбулентном канале. Неоднородная турбулентность в пограничном слое вводится с помощью дискретного вихревого поля, выведенного в предположении вероятностного распределения нормальных скоростей и временных масштабов. Средние скорости в направлении основного течения наложены на турбулентное поле с использованием соотношения закона стенки. Профили турбулентной скорости и временные масштабы получены из экспериментальных данных. В уравнении движения частиц учитывается сила Стокса и сила Саффмана. Уравнения были решены численно для различных времен релаксации частиц и отношений плотностей частиц и жидкости. Полученная скорость отложения хорошо согласуется с экспериментальными данными. Было предсказано уменьшение скорости отложения для больших частиц из-за снижения их пульсационной скорости. Предсказанные скорости частиц хорошо совпадают с экспериментальными данными, показывающими убывание амплитуды с увеличением инерции.

Авторы [36] проводили сравнение подходов Эйлера и Лагранжа к моделированию турбулентных течений смеси газа и частиц. Наряду с этим рассматривались два важных аспекта взаимодействия частиц и жидкости: турбулентная дисперсия частиц (влияние турбулентности газовой фазы на частицы) и влияние «модуляции» (влияние частиц на турбулентность газовой фазы). Для непрерывной фазы в обоих подходах используются одинаковые уравнения непрерывности и моментов. Отличаются лишь выражения для силы межфазного взаимодействия. Для дисперсной фазы в подходе Эйлера выписываются уравнения как для континуума, Лагранжев подход заключается в отслеживании достаточно большого числа траекторий частиц. Для адекватной оценки взаимодействия турбулентности и частиц предприняты попытки обобщения однофазных моделей турбулентности, в частности к-е модель. Обратное влияние небольшого числа частиц на турбулентность учитывается с помощью дополнительных диссипативных членов в уравнениях для к и е. В подходе Лагранжа отслеживается путь частицы по непрерывной последовательности турбулентных вихрей, наложенных на среднее течение непрерывной фазы. Для этого необходимо знание всей предыстории турбулентного течения, полученной прямым моделированием из решения неосредненных нестационарных уравнений Навье-Стокса. Так как это в большинстве случаев невозможно, то турбулентность моделируется стохастическим методом, средние же значения определяются из уравнений непрерывности и моментов. На основе полученных результатов был сделан вывод, что Эйлеров-Эйлеров подход является более экономичным и дает лучший результат для твердых частиц диаметром d < 200 мкм в случае малых концентраций. Для смесей же газа и частиц, размер которых изменяется вдоль траектории, т.е. предположение о монодисперсности не выполняется, -единственно возможным является применение подхода Эйлера-Лагранжа.

В [37] описана дисперсия твердых частиц в турбулентном потоке. Движение частиц в заданном поле турбулентного течения несущей фазы моделируется в приближении Лагранжа. Траектории движения жидкой и дискретной частиц строятся совместно. При расчете флуктуаций скорости жидкой частицы вводится матрица корреляций, получаемая из статистических характеристик течения смеси. Траектория частиц определяется на основе уравнения движения. Эффект пересечения траекторий учитывается путем корректировки поведения жидкой частицы на каждом шаге по времени. Влияние частиц на турбулентность несущей фазы описывается дополнительными источниковыми членами в уравнениях к-е модели. В работе изучено взаимовлияние частиц и турбулентности и получено хорошее согласование результатов расчета по предложенной методике с экспериментальными и теоретическими данными разных авторов.

Работа [38] посвящена численному исследованию двухфазного нестационарного течения в слое смешения с учетом влияния крупномасштабных структур. Использовался комбинированный Эйлеров-Лагранжев подход. Моделирование поля течения газа, который предполагался несжимаемым, состояло из двух этапов: вначале рассчитывалось распределение средних скоростей, на которое затем накладывались возмущения. Массовыми силами, взаимодействием частиц и их обратным влиянием на газ • пренебрегалось. Расчеты дисперсии частиц проводились в двух- и трехмерной постановке. В результате были получены данные о распределении частиц в слое, их взаимодействии с вихрями, пульсациях концентрации и диффузионных характеристиках. В частности, показано, что дисперсия частиц определяется, прежде всего, двумерными крупномасштабными структурами.

В [39] указано, что недостатком подхода Эйлера является необходимость задания некоторых эффективных коэффициентов для псевдогаза (запыленного газа), что приводит к необходимости «настройки» модели на конкретный вид течений. Слабым местом является также моделирование взаимодействия частиц со стенкой. В работе использовалась простая модель для описания стационарного течения газа с твердыми сферическими частицами без учета тепло- и массообмена между фазами. Для моделирования турбулентной диффузии частиц мгновенная скорость несущего газа представлялась в виде суммы местной средней скорости и некоторой флуктуации, которая выбирается случайным образом из нормального вероятностного распределения с дисперсией, отвечающей значению турбулентной энергии. Предполагается, что выбранная флуктуация неизменна внутри вихря в течение времени его жизни. Как только время жизни истекает или частица покидает вихрь, выбирается новая случайная флуктуация. Выписаны стационарные уравнения Эйлера для среднего движения с обменными членами. Показана работоспособность модели пробных частиц при сравнительно высокой массовой загрузке потока.

Эйлеров-Эйлеров подход к моделированию турбулентности основан на континуальном представлении уравнений движения и энергии обеих фаз. Преимуществом этого метода является использование уравнений одного типа для моделирования движения обеих фаз.

В рамках двухжидкостного подхода для моделирования турбулентности используют алгебраические модели пути смешения Прандтля, Кармана и Ван-Дриста. Простейшими среди алгебраических моделей являются локально-равновесные модели, в которых турбулентные напряжения дисперсной фазы непосредственно связываются с напряжениями Рейнольдса несущей фазы, а турбулентный тепловой поток дисперсной фазы — с турбулентным потоком непрерывной фазы.

Более сложные модели используют алгебраические выражения градиентного типа в форме соотношений Буссинеска и Фурье-Фика. Такие модели основаны на аналогии с соответствующими характеристиками в однофазном потоке и содержат ряд дополнительных эмпирических постоянных. Модели с алгебраическими выражениями для вторых моментов справедливы только для мелких частиц и могут приводить к существенным ошибкам при расчете характеристик достаточно инерционных частиц, особенно в пристенной области течения.

Наряду с алгебраическими, все большее применение находят дифференциальные модели, основанные на уравнениях баланса турбулентной энергии или вторых моментов пульсаций скорости и температуры частиц, либо на уравнениях переноса характеристик турбулентности. Применение дифференциальных моделей целесообразно для расчета существенно неравновесных потоков, характеризующихся большими градиентами параметров. Если при использовании алгебраических моделей для описания таких процессов надо вводить дополнительные релаксационные члены, то дифференциальные модели, включающие конвективные и диффузионные слагаемые, автоматически учитывают эффекты неравновесности. В рамках этих моделей процессы вовлечения частиц в турбулентное движение и обратное влияние частиц на турбулентность несущей фазы описываются без привлечения дополнительных эвристических предположений, которые требуются в рамках алгебраических моделей.

Присутствие дисперсной примеси может оказывать существенное влияние на процессы переноса импульса и теплоты. Изучение этой проблемы особенно осложняется из-за порождения и диссипации турбулентности, непрерывно происходящей в окрестности каждой частицы. Большое число определяющих факторов, наличие разнообразных режимов течения затрудняют даже простейшую классификацию гетерогенных потоков, а, следовательно, и построение физических и математических моделей взаимодействия в системе «газовый (несущий) поток — частица в жидком или твердом состоянии». Без знания этих физических механизмов и области их влияния не представляется возможным создание методов расчета теплообмена между телом и обтекающим его гетерогенным потоком.

В [40] разработана модель, позволяющая наряду с конвективным переносом и диффузией учесть инерционные эффекты. Уравнения переноса частиц в предположении малых отклонений скоростей дисперсной фазы от скорости газа редуцируются к одному уравнению для концентрации. Используются уравнения движения газодисперсной системы в рамках теории взаимопроникающих сред с учетом горения. После проведения осреднения Фавра по реализациям турбулентного процесса и из анализа движения частицы в гауссовом случайном поле определяется полный поток твердой фазы, который включает, помимо переноса со средней скоростью несущей фазы и турбулентной диффузии, дополнительный член конвективного типа, учитывающий ряд инерционных эффектов.

В [41] проводится апробация этой модели и сопоставление результатов численного моделирования топочных процессов. Так как частицы, представляющие дисперсную фазу топки, достаточно мелкие, то авторы считают целесообразным применение эйлерова подхода, в рамках которого простейшей является диффузионная модель. Она основана на применении обычного уравнения диффузии для описания распространения частиц и справедлива, строго говоря, в предельном случае безынерционных частиц. В пристенной области применение этой модели может привести к существенным погрешностям, так как здесь скорость потока и временной масштаб турбулентности уменьшаются и частицы становятся относительно более инерционными. Поэтому была использована также диффузионно-инерционная модель, учитывающая эффекты инерционности. В работе сравниваются результаты применения двух моделей. Главный вывод [40, 41] заключается в том, что результаты, полученные с использованием диффузионно-инерционной модели, несколько лучше согласуются с экспериментальными данными, чем полученные с помощью чисто диффузионной модели.

Двухпараметрическая модель турбулентности для двухфазных течений разработана в [42]. Целью работы являлось создание модели турбулентности, которая учитывала бы взаимодействие между фазами. Предполагается, что частицы сферические и одного размера, столкновение частиц не учитывается вследствие их малой концентрации, обе фазы ведут себя как континуумы на макроскопическом уровне, и только несущая жидкая фаза континуальна на микроскопическом уровне. Это значит, что осреднение уравнений проводится на основе контрольного объема, который больше, чем размер частицы, но значительно меньше характерного объема течения. Также учитывается взаимное проникновение фаз. Уравнения для среднего импульса несущей и дисперсной фазы, а также уравнение неразрывности для средних величин дисперсной фазы и уравнение неразрывности для параметров смеси в целом получены из уравнения законов сохранения массы и импульса каждой фазы осреднением по Рейнольдсу. Замыкание уравнений импульса каждой фазы проводится на основе стандартных методов. Выписаны уравнения для турбулентной кинетической энергии и скорости ее диссипации для каждой фазы, в которых пренебрегают корреляциями четвертого порядка. С целью валидации модели результаты расчетов сравниваются с экспериментальными данными для двухфазной струи круглого сечения. Сопоставление проводится по средней осевой скорости, турбулентным сдвиговым напряжениям и распределениям интенсивности турбулентности. Большая часть данных хорошо согласуется с экспериментом. Показано, что присутствие частиц приводит к снижению интенсивности турбулентности и турбулентных напряжений из-за повышенной диссипации турбулентной кинетической энергии, обусловленной корреляцией пульсаций скорости жидкости и относительной скорости несущей 'и дисперсной фазы.

При мелких размерах частиц использование двухжидкостного приближения является нецелесообразным. Кроме того, решение уравнений движения и теплопереноса связано с определенными трудностями, так как они содержат малые параметры tuyl т( перед дифференциальными членами. В этом случае уравнения переноса дисперсной фазы сводятся к одному уравнению диффузионного типа относительно концентрации частиц, решение которого представляет более простую задачу. В предельном случае очень мелких частиц это уравнение переходит в уравнение диффузии пассивной примеси. Гидродинамический расчет двухфазного потока, содержащего мелкодисперсную примесь, может быть выполнен в рамках односкоростного приближения на основе диффузной и диффузно-инерционной моделей.

В [43] проводится исследование влияния мелкодисперсной примеси на интенсивность турбулентности несущего потока в трубе. В зависимости от инерционности и концентрации частицы могут оказывать как ламинаризующее, так и турбулизующее воздействие на турбулентное течение. Мелкие частицы в результате тормозящего воздействия, связанного с неполнотой их вовлечения в пульсационное движение газа, вызывают дополнительную диссипацию и уменьшение интенсивности турбулентных пульсаций. С увеличением инерционности частиц этот механизм перестает играть существенную роль. В качестве механизма генерации турбулентности выступает образование следа вследствие отрыва потока за обтекаемой крупной частицей. На турбулентные характеристики может влиять диффузионный турбулентный перенос частиц, обусловленный неравномерностью распределения дисперсной фазы в пространстве.

Целью [44] является изучение влияния размеров частиц на структуру течения примеси и ее воздействие на обтекаемую поверхность на примере течения около цилиндра, расположенного поперек потока. Кинетическая модель для разреженной примеси и метод прямого статистического моделирования, разработанный для описания движения монодисперсной примеси твердых частиц, обобщен на случай полидисперсных частиц.

Распределение частиц по размерам описано функцией распределения концентрации примеси по радиусам частиц. При расчете движения частиц учитываются аэродинамическая сила, сила Магнуса и демпфирующий момент. Обратным влиянием частиц на несущий поток пренебрегается. Для расчета неупругого отскока частицы от поверхности используется модель [45]. Гидродинамическое взаимодействие между частицами не учитывается. Скорости частиц после их парного столкновения определяются из классической теории удара недеформируемых вращающихся сфер с использованием коэффициентов восстановления для нормальной и касательной составляющей скорости относительной точки контакта частиц до и после столкновения, которые характеризуют потери кинетической энергии частиц. Рассматривается движение примеси частиц электрокорунда в потенциальном поле течения несжимаемого несущего газа (воздух, скорость 100 м/с) около стального цилиндра радиусом 1 м. Варьировались начальная концентрация, радиус частиц и параметр, характеризующий дисперсию частиц. Показано, что аэродинамическое и эрозионное воздействие примеси на лобовую поверхность цилиндра слабо зависит от параметра дисперсии.

При моделировании процессов в многофазных средах, как уже было сказано выше, важен выбор численного метода расчета. Поэтому для проверки работоспособности алгоритма расчета необходимо его тестирование. Но если в задачах газодинамики сравнение с точным решением в некоторых случаях является возможным, то в задачах механики гетерогенных сред это представляет определенные трудности. Поэтому доказательство адекватности расчетов описываемому явлению проводится на основе сравнения с экспериментальными данными.

В настоящей работе верификация проводилась как на основе экспериментов в гетерогенных смесях, так и на результатах газодинамических опытов, в частности, на задаче о взаимодействии ударной волны с турбулентным пограничным слоем.

В сжимаемом пограничном слое плотность среды переменна, и, следовательно, эта задача позволяет верифицировать численную схему и модель турбулентности, используемую в дальнейшем для предсказания ударно-волновых процессов в неоднородных средах.

Кроме того, задача о взаимодействии косого скачка с турбулентным слоем на пластине представляет собственный интерес. Адекватное описание взаимодействия пограничного слоя с внешним градиентом давления, и особенно, где в результате такого взаимодействия происходит отрыв пограничного слоя, является важным для инженерных приложений, поскольку такие проблемы часто встречаются на практике. При этом необходимо количественно точно моделировать как вязкие, так и невязкие процессы, так как возникновение отрыва есть результат вязко-невязкого взаимодействия. При этом необходимо учитывать, что оба механизма оказывают друг на друга нелинейное воздействие.

Процесс взаимодействия ударной волны с пограничным слоем изучен достаточно хорошо [46—52]. Известно, что динамические и тепловые нагрузки, возникающие вследствие такого взаимодействия, как правило, являются критическими для летательного аппарата. Важным аспектом при рассмотрении взаимодействия скачка с пограничным слоем является проблема теплообмена [52]. При падении на поверхность ударной волны и возникновении отрыва распределение теплового потока на поверхности может стать существенно неравномерным. Максимумы тепловых потоков представляют серьезную опасность для конструкции летательного аппарата, поэтому их определение важно для практических приложений. До сих пор предсказание поведения теплообмена при помощи существующих численных методов и моделей турбулентности представляет определенные трудности.

На основании вышеизложенного можно констатировать, что численное предсказание картины течения, реализующейся при взаимодействии ударной волны с пограничным слоем, по-прежнему является актуальной задачей. Таким образом, целями работы являются

Разработка физико-математической модели для описания взаимодействия ударных волн с неоднородностями среды;

Разработка и реализация высокоточных методов расчета задач волновой динамики в неоднородных средах;

Верификация математических моделей и методов расчета на основе сравнения численных результатов с точными решениями и экспериментальными данными;

Выявление механизмов перемешивания на контактной границе между плотным слоем и чистым газом;

Исследование влияния различных факторов (степени загрузки потока, турбулентности газовой фазы, геометрических параметров) на параметры смеси в зоне взаимодействия.

Новизна работы состоит в следующем:

Определена волновая картина течения в облаке пыли вблизи поверхности и на ее основе — критерии регулярного и нерегулярного отражения лидирующего скачка от поверхности;

Верифицирована предложенная математическая модель на основе экспериментальных данных по зависимостям времени задержки подъема пыли от числа Маха ударной волны, распределениям давления в зависимости от времени на дне ударной трубы;

Выявлены три механизма перемешивания пылевых слоем под действием высокоскоростных высокотемпературных потоков газа, возникающих при прохождении ударных волн над слоем мелкодисперсной пыли: (1) за счет нестационарного вихревого образования на передней кромке слоя, (2) вследствие искривления ударной волны вблизи подложки и возникновения области с положительной поперечной скоростью, (3) последующее развитие неустойчивости Кельвина-Гельмгольца сдвигового слоя;

Модифицированы и реализованы современные высокоточные численные методы расчета гомогенных и гетерогенных течений, такие как TVD- и CIP-схемы, в приложении к исследуемым задачам о взаимодействии ударных волн с неоднородными средами.

Достоверность полученных результатов подтверждается использованием апробированных методов механики сплошных и гетерогенных сред, численных методов расчета задач газовой динамики и механики гетерогенных сред; верификацией результатов расчета на основе сравнения с имеющимися экспериментальными данными; тестированием численных алгоритмов на точных решениях; проверкой сходимости численных методов на последовательностях сгущающихся сеток.

Практическое приложение

В задаче о прохождении ударной волны над смесью газа и твердых частиц проанализирована возникающая волновая картина течения, выявлены критерии возникновения регулярного и маховского отражения лидирующей ударной волны внутри слоя и описаны возможные сценарии реализации течения, возникающего при взаимодействии плоской ударной волны со слоем пыли.

Результаты расчета задачи о взаимодействии ударной волны с пограничным слоем позволили получить параметры течения, возникающего при отрыве турбулентного пограничного слоя в результате взаимодействия его с косым скачком и провести верификацию математической модели на основе экспериментальных данных.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

выводы:

1. Для описания взаимодействия ударных волн с плотными слоями смесей в рамках равновесной механики гетерогенной турбулентной среды изложена физико-математическая модель, позволяющая удовлетворительно описать волновую картину в слое и адекватную описываемому явлению.

2. Проведена модификация и протестированы численные схемы: С1Р-метод, методы TVD на основе метода расщепления вектора потоков по физическим процессам, противопотокового метода расщепления и метода Ван Лира. Показано, что метод CIP является более предпочтительным при описании волновой динамики контактных разрывов и ударных волн.

3. Проведена верификация математической модели и численного алгоритма расчета задачи о прохождении ударной волны над плотным слоем на основе сравнения с экспериментальными данными Gerrard J.H., Matsui Н., А.А. Борисова, Б.Е. Гельфанда, С.М. Фролова, и др. Показано, что модель позволяет удовлетворительно предсказать распределение давления на подложке и время задержки подъема пыли.

4. В результате численного моделирования задачи о подъеме пыли за проходящей ударной волной определена волновая картина течения. Впервые в нелинейной постановке показано, что внутри слоя формируется система внутренних волн сжатия и разрежения. Выявлено три механизма перемешивания пылевых слоев:

- первый обусловлен искривлением ударной волны вблизи подложки и возникновением области с положительным значением поперечной скорости на начальном этапе развития течения;

- основной подъем обусловлен нестационарным вихревым образованием на передней кромке слоя;

- третий реализуется при дальнейшем развитии течения, когда на контактной границе возникает неустойчивость Кельвина-Гельмгольца сдвигового слоя и происходит образование вихрей.

В результате анализа численных данных определены критерии регулярного и нерегулярного отражения лидирующего скачка от жесткой поверхности. Показано, что существует критическое число Атвуда Акр(Мув)> такое, что при А < Акр{М.ув) реализуется нерегулярное отражение, в противном случае -— регулярное.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, по результатам данной работы можно сделать следующие

1. Федоров А.В. Смесеобразование при распространении волновых процессов в газовзвесях (обзор)// ФГВ. 2004. Т.40, № 1. С. 21—37.

2. J.H. Gerrard. An experimental investigation of the initial stages of the dispersion of dust by shock waves// Brit. J. Appl. Phys., 1963, Vol. 14, N 4, pp. 186—192.

3. Борисов А.А., Когарко C.M., Любимов А.В. О неустойчивости поверхности жидкости при скольжении по ней детонационных и ударных волн // Докл. АН СССР. 1965. Т. 164, № 1. С. 125.

4. Борисов А.А., Любимов А.В., Когарко С.М., Козенко В.П. О неустойчивости поверхности сыпучей среды при скольжении по ней ударных и детонационных волн // ФГВ. 1967. Т. 3, № 1. С. 149—151.

5. Когарко С.М., Любимов А.В., Козенко В.П. Инициирование горения гетерогенных заранее неподготовленных систем ударными волнами // ФГВ. 1969. Т. 5, № 3. С.379—384.

6. В. Fletcher The interaction of a shock with a dust deposit// J. Phys, D: Appl. Phys. Vol. 9, 1976, P. 197—202.

7. Бойко B.M., Папырин A.M. О динамике образования газовзвеси за ударной волной, скользящей вдоль поверхности сыпучей среды // ФГВ. 1987. Т. 23, № 2. С. 122—126.

8. A.L. Kuhl, Н. Reichenbach, R.E. Ferguson Shock interaction with a dense-gas wall layer // Shock Waves J., Springer, Heidelberg, 1992, pp. 159—166.

9. G.L. Brown, A. Roshko On density effects and large structure in turbulent mixing layers // J. Fluid Mech., vol. 64, part 4, 1974, pp. 775—816.

10. L.L. Smarr, M.L. Norman, K.-H. A. Winkler Shocks, Interfaces, and Patterns in Supersonic Jets // Physica 12D, 1984, pp. 84—106.

11. W. Merzkirch, K. Bracht The erosion of dust by a shock wave in air: initial stages with laminar flow //J. Multyphase Flow, 1978. V. 4, N 1, pp. 89—95.

12. Bracht K., Merzkirch W. Dust entrainment in a shock-induced, turbulent air flow//Int. Journal Multiphase Flow, 1979. V. 5, P. 301—312.

13. Hwang С.С., Singer J.M., HartzT.N. Dispersion of dust in a channel by a turbulent gas stream // US Bureau of Mines, Pittsburgh, PA, Rep. Inv. 7854. 1974.

14. D. Kaftori, G. Hetsroni, S. Banerjee The effect of particles on wall turbulence // Int. J. Multiphase Flow, 1998, vol. 24, No. 3, pp. 359—386.

15. B.M. Гендугов Об устойчивости раздела газ—жидкость за фронтом ударной волны, скользящей вдоль поверхности пленки жидкости// ФГВ, 1978, т. 14, № 1.С. 101—109.

16. Б.Е. Гельфанд, С.П.Медведев, А.Н.Поленов, С.М.Фролов Передача ударно-волновой нагрузки насыпными средами// ПМТФ, 1988. Т. 52, №2. С.115—120.

17. Т.В. Anderson, Roy Jackson A Fluid Mechanical Description of Fluidized Beds // I&EC Fundamentals, Vol. 6, No. 4, 1967. Pp. 527—539.

18. Y.-Y. Niu Numerical Approximations of a Compressible Two Fluid Model by the Advection Upwind Splitting Method // Int. J. for Numerical Methods in Fluids. Vol.36. (2001) P. 351—371.

19. Liou M.-S., Steffen C.J. A new Flux Splitting Scheme // J. Сотр. Phys. Vol. 107. 1993. P. 23—39.

20. Saurel R., Abgrall R. A multiphase Godunov method for compressible multifluid and multiphase flows // J. Сотр. Phys. Vol. 150 (1999) P. 425—467.

21. Kami S. Multicomponent flow calculations by a consistent primitive algorithm // J. Сотр. Phys. Vol. 112 (1994) P. 31—34.

22. Abgrall R. How to prevent Pressure Oscillations in Multicomponent Flow Calculations: A Quasi Conservative Approach// J. Сотр. Phys. Vol. 125. 1996. P. 150—160.

23. Larrouturou B. How to preserve the Mass Fraction Positivity when Computing Compressible Multi-component Flows // J. Сотр. Phys. Vol. 95 (1991) P. 59—84.

24. A.N. Osiptsov, S.L. Veselyi, V.A. Kulikovskii, Wang Bai-yi The Flow Structure of Dilute Gas-Particle Suspensions Behind a Shock Wave Moving Along a Flat Surface // Appl. Math, and Mech. Vol. 12, No. 6, 1991. Pp. 531—538.

25. Hwang C.C. Initial stages of the interaction of a shock wave with a dust deposit // Int. Journal of Multiphase Flow. 1986, V. 12, N 4, P. 655—666.

26. G. Ben-Dor Dust entraiment by means of a planar shock induced vortex over loose dust layers // Shock Waves, 1995. Vol. 4. Pp. 285—288.

27. Коробейников В.П., Марков В.В., Меньшов И.С. Численное моделирование распространения ударных волн по неоднородной пылегазовой смеси // ДАН СССР, 1986, т. 290, №4. С. 816—819.

28. S. Lu, В. Fan, Y. Pu, Ch. Gong Numerical investigation of boundary layer behind a shock passing over a dust deposit // Proc. Of the 5-th Int. Coll. On Dust Expl., Pultsuk near Warsaw, April, 19—22, 1993. Ed. P. Wolanski.

29. Ts.-H. Shin, J.L. Lumley Second-order modelling of particle dispersion in a turbulent flow // J. Fluid Mech., 1986, vol. 163, pp. 349—363.

30. Э.П. Волков, Л.И. Зайчик, В.А. Першуков Моделирование горения твердого топлива. М.: Наука, 1994, 320 с.

31. Л.И. Зайчик, В.А. Першуков Проблемы моделирования газодисперсных турбулентных течений с горением или фазовыми переходами // Механика жидкости и газа, 1996, №5. С. 3—19.

32. S.L. Lee, М.А. Wiesler Theory on Transverse Migration of Particles in a Turbulent Two-Phase Suspension Flow Due to Turbulent Diffusion — I // Int. J. Multiphase Flow, vol. 13, No. 1, 1987, pp. 99—111.

33. S.L. Lee A Unified Theory on Particle Transport in Turbulent Dilute Two-Phase Suspension Flow—II // Int. J. Multiphase Flow Vol. 13, No 1, 1987, pp. 137—144.

34. A.T. Hjelmfelt Jr. and L.F. Mockros Motion of discrete particles in a turbulent fluid//Appl. Sci. Res., vol. 16, No 1, 1966, pp. 149—161.

35. G.A. Kallio, M.W. Reeks Numerical Simulation of Particle Deposition in Turbulent Boundaiy Layers// Int. J. Multiphase Flow, vol.15, No3, 1989, pp. 433—446.

36. A. Adeniji-Fashola, C.P. Chen Modeling of confined turbulent fluid-particle flows using Eulerian and Lagrangian schemes // Int. J. Of Heat and Transfer, 1990, vol. 33, No. 4, pp. 691—701.

37. A. Berlemont, P. Desjonqueres, G. Gouebert Particle Lagrangian Simulation in Turbulent Flows //Int. J. Multiphase Flow, vol. 16, No. 1, 1990, pp. 19—34.

38. Wei Ling, Chung J.N., Troutt T.R., Crowe C.T. Direct numerical simulation of a three-dimensional temporal mixing layer with particle dispersion // J. Fluid Mech., vol.358, 1998, pp. 61—85.

39. И.Н. Гусев, Л.И. Зайчик Численное моделирование двухфазных турбулентных течений в топочных камерах // ПМТФ, №2, 1992, с. 116—122.

40. Л.И. Зайчик, М.В. Козелев Сопоставление результатов численного моделирования топочных процессов в пылеугольных топках котлоагрегатов на основе диффузионной и дифузионно-инерционной моделей // Теплофизика высоких температур, 1997, т. 35, №6, с. 940—946.

41. S.E. Elghobashi, T.W. Abou-Arab A two-equation turbulence model for two-phase flows // Phys. Fluids, 1983, vol. 26, No. 4, pp. 931—938.

42. А.Ю. Вараксин, Л.И. Зайчик Влияние мелкодисперсной примеси на интенсивность турбулентности несущего потока в трубе // Теплофизика высоких температур, 1998, т. 36, №6, с. 1004—1007.

43. Циркунов Ю.М., Панфилов С.В., Клычников М.Б. Полуэмпирическая модель ударного воздействия дисперсной частицы примеси с поверхностью, обтекаемой потоком газовзвеси // ИФЖ, 1994, Т.67, №5-6, с. 379—387.

44. Гогиш Л.В., Степанов Г.Ю. Турбулентные отрывные течения. М.: Наука, 1979.

45. Henderson L.F. The reflection of a shock wave at a rigid wall in the presence of a boundary layer // J. Fluid Mech. 1967. V. 30, pt. 4. Pp. 699—722.

46. Чжен П. Отрывные течения. М.: Мир, 1972.Т. 1; 1973. Т. 2, 3.

47. Green J.E. Interactions between shock waves and turbulent boundary layers// Progr. Aerospace Sci. 1970. V. 11. Pp. 235—340.

48. Delery J. Shock wave/turbulent boundary layer interaction and its control // Progr. Aerospace Sci. 1985. V. 22. Pp. 209—280.

49. Краснов Н.Ф., Кошевой B.H., Калугин В.Т. Аэродинамика отрывных течений. М.: Высш. шк., 1988.

50. Боровой В.Я. Течение газа и теплообмен в зонах взаимодействия ударных волн с пограничным слоем. М.: Машиностроение, 1983.

51. Matsui Н. Structure and Propagation Mechanism of the Soot Layer Detonation // Proceedings of Research on the Processes of Combustions and Modelling of Fires, Pp. 57—62, Khabarovsk 1992.

52. Федорченко И.А. Численное моделирование взаимодействия ударной волны со слоем мелких частиц, расположенным на твердой стенке // Труды конференции молодых ученых, посвященной 10-летию ИВТ СО РАН, Новосибирск, 2001. Т. II. - С. 152—156.

53. Федоров А.В., Федорова Н.Н., Федорченко И.А Численное моделирование процесса поднятия пыли за проходящей ударной волной // Выч. технологии, т. 6, ч. 2, 2001. Спец. вып. «Труды Международной конференция DRAMM-2001». С. 642—649.

54. Федорченко И.А. Численные методы, основанные на сплайн-аппроксимации, в приложении к задачам, содержащих контактный разрыв. IX Всероссийская школа-семинар «Современные проблемы математического моделирования», Абрау-Дюрсо, 2001.

55. Федорова Н.Н., Федорченко И.А. Численное моделирование процесса распространения ударной волны вдоль тонкого слоя частиц// 58-я Научно-техническая конференция НГАСУ, 3—5 апреля 2001 г., Новосибирск, Россия.

56. Fedorova N.N., Fedorchenko I.A., Schulein Е. Experimental Investigation and Numerical Simulation of the Impinging Oblique Shock Wave /Turbulent Boundary Layer Interaction at M=5// ZAMM, 81, Suppl.3, S773-S774, ISSN 0946-8463, Berlin, 2001.

57. N.N. Fedorova, I.A. Fedorchenko and E. Schuelein Experimental and numerical study of oblique shock wave / turbulent boundary layer interaction at M=5 // CFD

58. Journal, vol. 10, N3, Special Issue, October, 2001, The Proceedings of 7th Russian-Japanese CFD Workshop at Moscow State University on July 31— August 4, 2001, pp. 376—382.

59. A.B. Федоров, H.H. Федорова, И.А. Федорченко, T.A. Хмель, Ю.А. Гостеев Математическое моделирование динамических явления в смесях газа и твердых частиц // Препринт N2-2001, Институт теоретической и прикладной механики СО РАН. Новосибирск, 2001.

60. A.V. Fedorov, N.N. Fedorova, I.A. Fedorchenko Numerical simulation of the shock wave interaction with a near-wall fine particle layer // ICMAR Proc. Pt 1 Ed. A.M. Kharitonov—Novosibirsk: Publishing House of SB RAS, 2002 P.45—50.

61. Федоров А.В., Федорова Н.Н., Федорченко И.А., Фомин В.М. Математическое моделирование подъема пыли с поверхности // ПМТФ, 2002, т. 43, №6. С. 113—125.

62. A.V. Fedorov, N.N. Fedorova, I.A. Fedorchenko Verification of the mathematical model of shock/dust layer interaction problem // ICMAR: Proc. Pt 4 /Ed. A.M. Kharitonov. —Novosibirsk: Publishing House "Nonparel", 2004.

63. Федорова Н.Н., Федорченко И.А. Расчет взаимодействия падающего косого скачка уплотнения с турбулентным пограничным слоем на пластине // ПМТФ, 2004. Т. 45, № з. С. 61—71.

64. А.В. Фёдоров, И.А. Федорченко Расчет подъема пыли за скользящей вдоль слоя ударной волной. Верификация модели // ФГВ, 2005. Т. 41, №3.1. ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 1

65. Knight D.D. Numerical Simulation of Compressible Turbulent Flows Using the Reynolds-Averaged Navier-Stokes Equations // AGARD FDP Special Course on "Turbulence in Compressible Flows, AGARD Report 819.1997.

66. Speziale Ch.G. Turbulence Modeling for Time-Dependent RANS and VLES: A Review// AIAA J., vol. 36, No. 2 (1998) Pp. 173—184.

67. P.R. Spalart Strategies for turbulence modelling and simulations // Int. J. Heat and Fluid Flow, vol. 21 (2000) Pp. 252—263.

68. Метод расчета турбулентных течений: под ред. В. Колльмана. М.: Мир, 1984. С. 227—322.

69. Wilcox D.C. Turbulent modeling for CFD. La -Canada, California: DCW Industries Inc.-1993, 460 p.

70. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. Наука, Москва, 1978, 336 стр.

71. G. Ooms, J. Gunning, С. Poelma, J. Westerweel On the influence on the particles-fluid interaction on the turbulent in a suspension // Int. Journ. of Multiphase Flow 28, 2002, pp. 177—197.

72. Годунов C.K. Конечно-разностный метод для численного расчета разрывных решений уравнений динамики жидкости // Мат. сборник. — № 47, 1959.

73. Holt М. Numerical Methods in Fluid Dynamics. Springer Verlag, 1977.

74. Ю.Ковеня B.M., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики.

75. Наука, Новосибирск, 1981, 384 стр.ll.Steger J.L., Warming R.F. Flux Vector Splitting of the Inviscid Gasdynamic Equations with Application to Finite Difference Methods // J. Сотр. Phys. Vol. 40 (1981) P. 263—293.

76. Van Leer B. Flux-Vector Splitting For the Euler Equations // Technical Report 8230, ICASE (1982)• 13.Liou M.-S., Steffen С J. A new Flux Splitting Scheme // J. Сотр. Phys. Vol. 107 (1993) P. 23—39.

77. Roe P.L. Approximate Riemann solvers, parameter vectors and difference schemes // J. Сотр. Phys. Vol. 42, No. 2 (1983) P.357—372.

78. Chakravathy S.R., Osher S. New Class of High Accuracy TVD Schemes Hyperbolic Conservation Laws. // AAIA Paper. No.85-0363 (1983) PP. 11.

79. Shu C., Osher S. Efficient Implementation of Essentially Non-oscillatory Shock-Capturing Schemes// J. Сотр. Phys. Vol.77 (1988) P. 439—471.

80. Shu C., Osher S. Efficient Implementation of Essentially Non-oscillatory Shock-Capturing Schemes// J. Сотр. Phys. Vol.83 (1989) P.32—781.

81. Yabe T. A universal solver for hyperbolic equations for cubic-polinomial interpolation I. One-dimensional solver // Computer Physics Communication Vol. 66. (1991) P. 219—232.

82. Yabe T. A universal solver for hyperbolic equations for cubic-polynomial interpolation II. Two- and three-dimensional solvers // Computer Physics Communication Vol. 66 (1991) P. 233—242.1. ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 2

83. Sod G.A. A Survey of Several Finite Difference Methods for Systems of Nonlinear Hyperbolic Conservation Laws // J. Сотр. Phys. 1978. Vol. 27 P. 1—31.

84. Wesseling P. Principles of Computational Fluid Dynamics. — Berlin et al.: Springer, 2001. — XII, 644 p.

85. Schulein E., Krougmann P., Stanewsky. E. Documentation of Two-Dimensional Impinging shock/turbulent boundary Layer Interaction Flow. DLR Report IB 223-96A49. Institut fur stromungsmechanik, Gottingen, Germany, 1996.

86. Wilcox D.C. Turbulent modeling for CFD. — La Canada, California: DCW Industries Inc., 1993. 460 p.

87. Wilcox D.C. Reassessment of the scale determing equation for advanced turbulence models//AIAA J. 1988. Vol. 26, No. 11 P. 1299—1310.

88. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука, 1970.

89. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. — М.: Мир, 1980.

90. Rudinger G. Effective drag coefficient for gas-particle mixture flow in shock tubes // Trans. ASME, J. Bas.Eng D, 92, 1970. Pp. 165—172.

91. Бойко B.M., Киселев В.П., Киселев С.П., Папырин А.Н., Поплавский С.В., Фомин В.М. О взаимодействии ударной волны с облаком частиц // ФГВ, Т. 32, №2, 1996. С. 86—99.

92. T. Saito, M. Marumoto, K. Takayama Numerical investigation of shock waves in gas-particle mixtures // Shock Waves, Vol. 13, 2003. Pp. 299—322.1. ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 3

93. Борисов А.А., Любимов А.В., Когарко С.М., Козенко В.П. О неустойчивости поверхности сыпучей среды при скольжении по ней ударных и детонационных волн // ФГВ Т. 3, №1 (1967) С. 149—151.

94. Борисов А.А., Козенко В.П., Любимов А.В., Когарко С.М. Воспламенение порошкообразных горючих за ударными волнами // ФГВ Т. 3, №2 (1967) С. 308—309.

95. Когарко С.М., Любимов А.В., Козенко В.П. Инициирование горения гетерогенных заранее неподготовленных систем ударными волнами // ФГВ. 1969. №3. С. 379—384.

96. Борисов А.В., Федорова Н.Н. Расчет турбулентных отрывных течений на основе метода повышенного порядка аппроксимации // Теплофизика и аэромеханика. 1995. Т.2, № 3. С. 253—269.

97. Чёрный Г.Г. Об одной особенности неавтомодельного взаимодействия газодинамических разрывов //Докл. РАН. 2000. Т. 372, № 2. С. 185—188.

98. Gerrard J.H. An experimental investigation of the initial stages of the dispersion of dust by shock waves // Brit. J. Appl. Phys. 1963. Vol. 14, No. 4. P. 186-192.

99. Matsui H. Structure and Propagation Mechanism of the Soot Layer Detonation // Proceedings of Research on the Processes of Combustions and Modelling of Fires, P. 57—62, Khabarovsk 1992.

100. B.E. Gelfand, S.P. Medvedev, A.A. Borisov, A.N. Polenov, S.M. Frolov, S.A. Tsyganov Shock Loading of Stratified Dusty Systems // Archivum combustionis, vol. 9, No 1989. Pp.153-165.

101. Бакер B.T., Кокс П.А., Вестин П.С. и др. Взрывные явления. Оценка и последствия. М., Мир, 1986. Т.1, 2.