Численное решение некоторых задач проектирования пластинок, испытывающих динамические воздействия тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Киевский ордена Ленина и ордена"Октябрьской1 революции государственный университет имени Т. Г. Шевченко

На правах рукописи

БРУСНИКИ!! Владимир Николаевич

УДК 518.5:517.946

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ПЛАСТИНОК, ИСПЫТЫВАЮЩИХ ДИНАМИЧЕСКИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ

01.01.07 — вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Киев 1991

Работа выполнена в Институте кибернетики имени В- М. Глушкова АН Украины и в Специальном конструкторском бюро математических машин и систем Института кибернетики АН Украины.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор МОЛЧАНОВ И. Н.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор ГУЛИН А. В.,

Ведущая организация: Центральный аэрогидродинамический

институт им. Н. Е. Жуковского.

Защита состоится в -

часоп на заседании специализированного совета Д 068.18.16 при Киевском государственном университете им. Т. Г. Шевченко по адресу:

252127 Киев 127, проспект Академика Глушкова, С, факультет кибернетики, аудитория 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

кандидат физико-математических наук МОСКАЛЬКОВ М. Н.

Автореферат разослан

Учений секретарь специализированного совета

! 'к О^чая характер:-! стиха ргботы

Актуальность. Сложность "проектирования конструкций, ' необходимость повышения 'качества и уменьшение' сроков проектирования, разработка САПР выдвигают новые, повышенные требования к методам численного моделирования. Типичными проблемами при проектировании являются, например, уменьшение веса изделий, выбор основных характеристик материала, из которого сделана конструкция, определение условий работы объекта и т.д. Эти проблемы зачастую трудно разрешимы при проведении натурных экспериментов из-за своей сложности или дороговизны. Такие задачи в математической постановке сводятся к задачам оптимального проектирования при наличии ограничений и их эффективное решение может быть получено лишь методами численного моделирования на ЭВМ. Таким образом,актуальны проблемы: создание математических моделей оптимального проектирования, анализ и решение соответствующих задач, а также разработка средств оценки достоверности получаемых на ЭВМ результатов. Это позволяет спланировать натурные эксперименты и существенно сократить сроки проведения и их количество.

Цель работы. Целью диссертационной работы является постановка и исследование некоторых задач проектирования пластинок, испытывающих .агаамические воздействия, разработка численных алгоритмов ',1 практическая их реализация при решении поставленных задач на ЗВМ.

Методика иследавания. В работе использоЕаны методы системного и функционального анализа, теории разностных схем и численного моделирования на ЭВМ. Разработана методика исследования коэффициентной устойчивости и сходимости решений уравнений связи как для непрерывного, так и для дискретного аналогов. • .

Научная новизна. Разработан математический аппарат постановки, исследования и решения некоторых задач оптимального проектирования плоских конструкций, испытывающих динамические воздействия.

Получени следующие рзультаты:

- разработана математическая модель и выписан дискретный аналог задачи проектирования тонких пластинок, находящихся под действием динамических нагрузок, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями в частных производных четвертого порядка при наличии ограничений;

- доказана сходимость решений разностных уравнений связи к решении кепрывного аналога к получены оценки скорости сходимости ;

- доказана сходимость решений дискретных задач оптимального проектирования в частных производных с ограничениями к решению исходной непрерывной задачи и получены оценки скорости сходимости;

- доказана непрерывная зависимость решения уравнений связи от коэффициентов, правой части уравнения и начальных условий ;

- доказаны существований и единственность решения некоторых задач оптимального проектирования в частных производных с фазовыми ограничениями как в непрерывной, так и в дискретной постановке.

Теоретическая и практическая ценность. В работе предложены постановки, методы исследования и решения некоторых задач проектирования конструкций, находящихся под действием динамических нагруже-ний и описываемых уравнениями в частных производных четвертого порядка при наличии ограничений.

Полученные результаты применялись при планировании натурных экспериментов по определении параметров проектируемых тонких пластинок, подверженных динамическим воздействиям, испытывающих продольные усилия и подкрепленных ребрами жесткости или без таковых.

Работа проведена в ; а осах программ -.I 0.80.14 по решению важнейших научно - технических проблем, утвержденной постановлением ГКНТ СССР, Госпланом СССР и Президиумом АН СССР от 12.12.80г. К' 472/231/131 и постачозлением ГКНТ СССР К* 555 от 30.10.85 Г.

Апробация работы.. Результаты диссертационной работы докладывались к обсуздались на конференциях "Вычислительная математика в современном научно - техническом прогрессе" /Канев, 1974 /, "Технология подготовки и решения задач на МВК" / Пицунда, 1985 /; неоднократно в период 1972 - 1991 гг. на республиканских семинарах: "Численный анализ", "Теория оптимальных решений" научного совета АН Украины по проблеме "Кибернетика", "Вопросы теории разностных схем" при КГУ им.Т.Г. Шевченко, научном семинаре кафедры вычислительной математики КГУ, научно-техническом совете ЦАГИ им.Н. Е. Жуковского / 1991г./.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения .четырех глав, заключения и списка литературы, включавшего 100 наименований. Обций объем диссертации 97 страниц, включает 7 таблиц и графика к ним. г " ..

- з -

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность работы, сформулированы цеяи и задачи исследования, дан краткий обзор полученных результатов другими авторами и содержание диссертации по главам.

В первой главе сформулирована математическая модель задачи проектирования тонкой пластинки, испытывавшей динамические нагрузки и описываемой уравнениями в частных производных с ограничениями.

Доказана коэффициентная устойчивость решения динамического уравнения четвертого порядка" в частных производных. Доказаны существование и единственность решений некоторых задач проектирования пластинок.

В области й = ПхТ функция ы(хД) характеризует .прогиб тонкой пластинки, находящейся под действием динамических нагрузок, удовлетворяет дифференциальному уравнение

+ LMx.t) = /(x.t) , ( 1 )

di

где L - дифференциальный оператор четвертого порядка в частных

производных эллептического типа; / (х, ) - функция, характеризующая нагрузку

х = (х,,хг) 6 fl ,( е Т = [ОД] , с краевыми условиями "

?( w, v , и ) • = G(x, £) , ' ( 2 )

п пп

где Г - граница области R ; п - внутренняя нормаль к Г, и начальными условиями, определяющими величину прогиба и скорость его изменения в начальный момент времени 1=0. ' .

- u(x,0) = и0(х) . = и,(х) , ( 3 )

здесь w0(x), Сх) - заданные функции;

Lw atf z,d*id*2 dxl <4 • ^г ' ' ( 4 }

H'í'^ D M<2) = D n'P* = N ( 5 ^

Г b*dxta*2- n %dxa •

Оо(х),М^(х) - непрерывные дифференцируемые функции,

С,> Ов(х).»ух) > С2> 0 (а = 1,2,3; у = 1,3; р = 1,2),

С1(Сг- константы, а /(.ч, П, б(х, П, ^(х) е Ц(Ш , и>0(х) б Щ-

достаточно гладкие функции, обеспечивающие условия существования решения задачи (1)-(3) .

Имеется множество различных прочностных ограничений, которые необходимо учитывать при проектировании пластинки.

Например, условие .ограниченности максимального прогиба

ш |и(хЛ)| < ш_ { 6 )

х е П А ■

1 € [О»Т]

■где ид - максимально допустимый прогиб.

Возможны и другие ограничения. В дальнейшем все ограничения будем записывать в виде , ' •

f В,Л.

Г ас- '

- Ф0Сх,1) < О , ( 7 }

где a+ß <2, Ф - непрерывная функция своих аргументов;

Ф0 - заданная функция;

11 -'некоторый набор параметров.

Сформулируем математическую модель задачи, оптимального проектирования пластинок, испытывающих динамические нагрузки, которая описывается уравнением четвертого порядка в частных производных с ограничениями. __

Требуется определить функцию и (она может быть как физической величиной, так и величиной, определяющей геометрию пластинки, например коэффициентом упругости, толщиной пластинки, продольной или поперечной нагрузкой), принадлежащую некоторому ком пактному множеству И и доставляющую минимум непрерывному функционалу

I(u) * min ( 8 )

при-уравнениях связи

ra(u) + L(u)u> = /(u.x) (9)

dt2

с соответствующими начальными и краевыми условиями и ограничениями

Ф (U( ,U) - f.,(x,t) < о ,

дх* 0

где L(u) - дифференциальный оператор в частных производных вида (4)-(5) .

Обозначим JDCL) область определения оператора L - множество функций из C4,2(fi), удовлетворяющих на границе условиям (2) .Обозначим скалярное произведение и норму в H2(fi) :

(w.u) = // ы и dfl , , П

= Cw,w>1/2 . ( 11 )

Нетрудно показать, что на 2KL) оператор' L самосопряжен и положительно определен

(L и,и) = (L и,ш)

(Lio,w) > 6 J ш Ц2,

( 12 )

где б > 0 - постоянная, не зависящая от у .

На множестве Ж1) введем скалярное произведение и норму, обозначив

(и. и)^ = =

• , . ' ' ( 13 )

I у 1 = Iымх/г. '

Заиыкание множества Д(Ь) по норме I • I будем называть энергетическим пространством Н^ оператора I. Кроме того, обозначим < и XI) функций, которую для каждого фиксированного I. е [0,Т] определим по формуле

< ы >[(t) = < ы >z(t) = J ¡¡г + I w Ц2 Легко можно получить соотношения

< u >2U> = 2 )(f,-jnr-y dt' +• < w >2Со)

о •

< w > (t) < J 8/1 dt + С| w, |z + I u0 f)

2\1 /2

( 14 )

( 15 ) С 16 )

Неравенство (16) гарантирует единственность решения задачи СР-СЗ).

Используя известные приемы и методики, применяемые к доказательству скорости сходимости , а также соотношения (15),(16), в работе доказана

Теорема Если, в задаче (1) - (3) и0 е С^, а функции / ,

у , & У,, > —д 10_ принадлежат &_(й), то ев решения непре-

1 дхгд1 51 ах2 2

. рывно зависит от коэффициентов, начальны.г условия и правой части. ' Иловт лэсто оченна

Т

< и - и >< с.[сН" V2}1

(

/2

о

V 11,-11

Ь, * •А » * М2

) х ( 17 )

+ тах

а

* СШ |] 0 / Ы1 | + 1С1 и01г- + "|1и11г)1"г|)} (

еде Ь> - рвЫопио возмущенной задачи (1)-(5). □

В задаче о минимизации веса пластинки требуется определить параметр Ь - толЩшу пластинки из условия минимума ее веса

КЬ) = р Ь П => шп , , Ь1,Ьг > 0 - постоянные;

( 18 )

где Ь е Ш

р - удельный вес; П - площадь пластинки,

при уравнении связи' (1)-П) с оператором Ь вида ( 4 ) и ограничениями I 6 ).

Аналогичные функции цели можно записать и для задачи о нахождении критического импульса (значения правой части) или для задачи о нахождении максимальных растягивающих или'схимаощих усилий.

Если предположим, что ограничения (10) имеют вид (6), а функционал цели записывается в виде (18), то доказана

Теорема 2. Если допустимое лножеапво задачи оптимального проектирования (18), (1 )-(3), (6) не пусто, связно и выполняется оценка (17). то она имеет единственное решение. □

Отрезок [Ь'.,Ь2] является выпуклым множеством^. И так как решение задачи (1)-(3), а следовательно, и функции в (6) непрерывно зависит от коэффициентов, то (6) выделяет из-[Ь-' .Ь2 ] замкнутую часть компактного множества. Замкнутая часть компактного множества является выпуклым компактом вследствие связности. Непрерывный функционал на компактном множестве доститает своего минимума т.е. рас-

сматриваемая задача имеет решение, а с учетом линейности целевого функционала задача имеет единственное решение.

Во второй главе после дискретизации задачи оптимального проектирования ей ставится в соответствие задача нелинейного программирования с ограничениями типа равенств и неравенств. Доказывается существование и единственность решения разработанных дискретных с:;ем задач проектирования пластинок," для чего использованы полученные результаты по коэффициентной устойчивости решений дискретных уравнений связи.

Для решения рассматриваемой в первой главе задачи проводится следующая ее дискретизация.

В области Й вводится разностная сетка

"Лт = 5Л х 5т ' . ( 19 )

Ч= < Vа«+ £«л*' ~1,0......1; ^^= 1,2)1

я а

"Л = < = а« + £Л - = -1'0.....V а = 1-2} -

л

йг = { 1} = 1Т, j = 0,1,...М, т = ^ >

Обозначим Ад пространство сеточных функций, заданных на сод и удовлетворяющих нулевым граничным условиям со скалярным произведением и нормой

( УгО )(, = £ у(х) *(*)Л.Л, , 8 V 1 = . ( 20 )

иЛ х С ц СОд

На сетке йдт задаче оптимального проектирования (8М10) . ставится в соответствие разностная схема - задача нелинейного программирования с ограничениями типа равенств'и неравенств.

Так, задаче минимизации, веса пластинки соответствует следующая дискретная схема.

Трдбуепся определить параметр Ь € [ Ь1,Ь21 , который доставляет минимум функционалу

Ф(Ь) = рПЬ * га£а ( 21 )

при уравнениях 'связи, записанных в канонической форме А. А. Самарского

Ву„ + Ку_ + Ау = р , { гг )

I а ■

3/(2,0) = ы0Сх) = у0Сх) , '

( гз )

Vi(.x,0y = UjСж) + [рСж,0) - АуС*,(Ш = j^Cs),

к ограничениях

ю |y(x,t) I - to < О , ( 24 )

«А

где операторы А , В , R заданы на Нд и имеют вид

( 25 )

R = и Е + 'ц 2 т А ,

В = Tiffj- (Уг)А ,

CTj > сг2>0 - положительные числа , называемые весом;

1 _ _м> . „<г> „(3) „ш _i2> / or %

Ay - га - + п -»-га- - т} -Г) , { ¿о )

I <„ з + CN ) I , р 1<2 .

р 0 р р

С, > DJxl , NXx) > С,> 0 , Со. - 1,2,3 , (3 = 1,2) , х € и. , ¿dpi ' it

k - номер временного слоя, р равна значению fix,к) в узлах '

сетки .

Оператор А в Йд самосопряжен и положительно определен, т.е. 61Мг< С, toBjj < (Ay,-у) < C2l»fJ < Ally«2 . V V 6 Йу . ( 27 }

где А имеет структуру оператора А при Da,Np=l (а=1,2.3, /3=1,2).

Задача (22) - (23) имеет единственное решение. . С учетом неравенств

СдСАу ,у) < САу ,у) < С7(Ау .у),

( 28 )

■ C-'CA-1^ ,уЗ < СА"1?/ < Сд-ЧА"1^ .у}»

которые выполняются для любых сеточных функций у , определенных на Of , где константы ,С7 и Сд имеют вид

С? С

и при использовании результатов А.А.Самарского имеет место оценка

С7 = "С" ' С8 Х" ' ( 29 >

С 30 5

+ max \\{ч> -р)Ц A-i * ПСА - A)j> И A-i "I + + 1KB - ВЩ 1А-1 + HCR - R^Ha-I + + Il Pi - P^A-I + IKA - AJy^l д-1 + + KB - B)»WIA-1 + ICR - Rîv«taA-0) ,

где H ,£ - постоянные, не зависящие от h и т , а у - решение

«V »V л*

задачи (22)-(26) при возмущенных параметрах D, N, ç ... .

Теорема Я. Если R > тгА И В > 0, то решение задачи (22)-(23) с оперстороя А вида (2В) непрерывно зависит от коэф&шгмзкпов, начальных условий и правой части.. □

Доказательство теоремы базируется на оценке ВС А - АЫд-i < С9Н у Ид ,

Y I V D3

» b2 '1 D3 >

( 31 ) )

где С„ = их

V

Для задачи (21) - (24) получен следующий результат.

Теорема 4. Если допустимое множество задачи аптилалъноео проектирования (21) - (24) не пусто, связно и выполняются условия

теорелы 3 , то рссслаприва&лая задача илоет единственное решение.

О

Доказательство- теоремы такое же, как а теоремы 2.

В третьей главе рассматривается проблема сходимости решений разностных схем рассматриваемых задач проектирования.

На первом этапе доказывется сходимость решений дискретных уравнений связи. Для этого обозначим

zj = vf - w<x, ■ tj î .

( 32 )

где w(xi,t ) - решение задачч (1) - (3) в узлах сетки ыЛт;

„J

- ргкение задачи (22) - (23) в тех же точках ы, .

Погрешность z удовлетворяет уравнен:®

г

Bz| + RZ£t + kz = Ц1- , ( 33 )

где

xp - ip - Rw£t - Bw£ - kz .

Начальные условия для z имеют вид

2(Х,0) = 0, z^x.Q) = VjCx) - Wt(x,0) = v(x) . ( 34 )

Доказана теорема, Теорема 5V Если будут выполнены условия ff" = СГ; = 0", = ^^ , С - const > 0, a R и В ьикект вид (25) . то илект лвсто оценгса

ид* ¡И - v31 = Ц yJ ~ v11С < М (гг + Л3/г)

ПР" ы^€6'Чй) , D е С4(Ш . ПаеСг(П), /е С2

01 р

и оценка , ,Л ( 35 )

I - v»|A < Hj (т + Л3/2 )

npu и 6 5i^4(2) , D e (H^cfi)nffli, , Nne Ш2(Й)пС(П) , / e !W2

с C( t CD /3 00

■ a = 1,2,3 ; /3 = 1,2 . □

Доказательство этого утверждения базируется на использовании метода выделения "стационарной неоднородности" .

•Рассмотренная схема (22) с факторнаованным оператором R = RjR2,

ГДе RcT У-х^« ^ J'2) Г'РИ ff"= Ct4?-e >

абсолютно устойчивой,' экономичной и для нее справедливы оценки (35).

Результаты по сходимости разностных схем проектирования тонких пластинок рассмотрены в третьем параграфе этой главы.

Рассмотривается задача минимизации выпуклой непрерывной функции на'выпуклом множестве

. lain fCvJ

. ( 36 )

<р СЮ < 0 ,' а е а = [ Uj, «2 ] с IR ,'

где ■ (о (и) - непрерывная выпуклая функция.

Предполагается,-что выполнэно условие Слейтера и задача имеет единственное решение и' .

Тогда существует числовой вектор X = О^ ,Х2 Д3> , ki > 0 , ' i = 1,2,3, такой, что для функции Лагранжа имеет место. ' .■

•lije (Л,u") = f(u') + X^íu') + X2(n' - uz) + X^tiij - u') «; < /Си) +■ X^(u) + X2(u - иг) + X^z^- и ) = ZU.u) ( 37 )

и

XjPÍií") = O , X2Cu' - иг) = o ; it* 3=0 .

Пусть задача (36) аппроксимируется выпуклой задачей

. - -un /" ,(и)

Л ( 38 )

рдСгО < 0 , и е и = [ и ,и ] с К1 ,

Предположим, что при .Л ? hQ> 0 выполнено условие Слейтера и ' задача (38) имеет единственное решение ид .

Тогда существует такой числовой вектор X = ЧХ * ,Х д ,Х д > , ■

Х1Л> 0,1= 1,3,3 .чго для функции Лагранжа имеет-место

= fh^'h) + + х2лЧ " V + Чл(ыГ аЛ>

< /д(и) + Х1ЛРА<и) + X^U - иг) * цд (и,- и ) = 2д(Хд,гх) ( ЗЭ )

х1л?3л(ир =0 , х2Л(^-и2)=о , хзЛ(ИГ«р =0 .

Определение. Будел говорить, что футсция ноли. / аппроксилирусглея функцией цели /д с порядкоя а > 0 , если

J/(u) - /д(и)|| « СЛа ('40.)

для всех U 6 [ К ] равномерна , А ~ паралотр дискретизации, а С - константа . □

Теорема 6: если фунгсция цели / аппронсгшхруепся функцией' цели

/д с тюрадкол а , а функция р - Функциями £>д с пород кол /3 то решение задачи (38) сходится к решению- задачи (3S) по ■ функции Лаграпха с порядкол у - пнп(а,/3) ;

|| £(Х,Ц*) - 2д(Хд ,Ид )! =

= II /(и") + XjP(u') + x2(u*- u2) + X3(Uj- и") - ( 41 )

" /л(ил> " h/Pltfy ' V " ХзА{иГ ИЛ> И < ChY. а

Для рассматриваемой задачи проектирования тонких пластинок, записанной в виде задачи оптимального проектирования (13).. <" )-(6)

решаемой по дискретиной схеме (21) - (24), доказана

Теорема 7. Если допустимое лнохестдо задачи о подборе толгщмал пластины >из пусто и связно и вгд-юлн&ны условия теоремы 5, по решение разностной заЗачи с ограничеишыи вида (6) сходится по функции Лагрстжа со скоростью 0(Л3/2+ тг) к решению соот&втспьующоо. непрерывно*! задачи. О

Доказательство базируется ка результатах, полученных в теоремах . 5.и 6.

В четвертой главе приведены результаты численного эксперимента по оптимизации некоторых параметров тонких пластинок, подверженных динамическим воздействиям. Для расчетов по проектировании пластинок составлена программа, а полученные результаты на ЭВМ позволили спланировать натурные эксперименты.

' 'Заключение.

В работе получены следующие основные результаты:

- 1. Предложены модели и методы решения задач оптимального проектирования тонких пластинок, находящихся под действием динамических нагрузок и описываемых уравнениями в частных производных четвер-тдто порядка при наличии.ограничений.

2. Доказана сходимость решений дискретных уравнений связи и решений дискретных аналогов задач оптимального проектировали в частных производных с ограничениями к решению соответствующих непрерывных задач, а также получены оценки скорости сходимости.

3 Разработана методика исследования коэффициентной устойчивости уравнений в частных производных и доказана коэффициентная устойчивость уравнений, описывающих поведение тонких пластинок, находящихся под действием динамических нагрузок (уравнения связи) -как в непрерывном, так и дискретном случаях.

4. Доказаны теоремы существования решений в задачах оптимального проектирования в частных производных при наличии ограничений в непрерывном и дискретном случаях, а для некоторых из них доказаны теоремы о единственности получаемых 'решений.

5. С помощью построенной теории и разработанных численных алгоритмов проведен ряд численных экспериментов по оптимизации некоторых параметров тонких пластинок, подвергающихся действию динами-

ческих нагрузок, результаты которых позволили спланировать натурные эксперименты.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Брусникин В. Н. Численный расчет пластин, находящихся под действием динамической нагрузки // Тр. науч. конф. «Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе». — Канев, 1974. — Вып. 1. — С. 26—32.

2. Брусникин В. Н. Численное решение одного динамического уравнения четвертого порядка // Численный анализ и вопросы оптимизации вычислений. — Киев : ИК АН УССР, 1976. — С. 39—46.

3. Брусникин В. Н. Определение критической нагрузки при расчете пластин на прочность // Численный анализ. — Киев : ИК АН УССР, 1978.

— С. 3—10.

4. Брусникин В. Н. Постановка задач проектирования пластинок и некоторые вопросы, возникающие при их решении // Некоторые вопросы вычислительной математики. — Киев, 1980. — С. 33—38. — (Препр. / АН УССР. Ин-т кибернетики; 80-41).

5 Брусникин В. Н. О решении некоторых задач колебания пластин.

— Киев, '1985. — 19 с. — Деп. в ВИНИТИ 02.04.85, №2658-85 ДЕП.

6. Брусникин В. Н., Молчанов И. Н. Организация решения эволюционных задач на многопроцессорных ЭВМ с параллельной обработкой информации. — Киев, 1985. — 31 с. — Дел. в ВИНИТИ 02.04.83,

№ 2659-85 ДЕП.

7. Внешнее и прикладное матобеспечение для многопроцессорного вычислительного комплекса ЕС / В. С. Михалевич, Н. А. Бик, В. Н. Брусникин и др. — М., 1985. — 401 с.

8. Брусникин В. Н. О подборе толщины пластинки при прочностных ограничениях. — Киев, 1988. — 27 с. — Деп. в ВИНИТИ 02.01.89,

№ 37-В89.

9. Брусникин В. Н. О непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений в частных производных от коэффициентов // Математическое и прикладное обеспечение задач дискретной оптимизации. — Киев : Ин-т кибернетики им. В. М. Глушкова АН УССР, 1989. — С. 95—100.

Подп. в печ. 13.12.91. Формат 60X84/16. Бум. пчеч. цв. Офс. псч. Усл. печ. л. 0,93. Усл. кр.-отт. 0,93. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 1900. Бесплатно.

Редакцпонно-нздательский отдел с полиграфическим участком Института кибернетики имени В. М. Глушкова АН Украины 252207 Киев 207, проспект Академика Глушкова, 40