Численное решение задач МСС с подвижными границами раздела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Институт проблем механики .

На правах рукописи

Бураго Николай Георгиевич

Численное решение задач МСС с подвижными границами раздела

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени ! доктора физико-математических наук

I

Москва - 2003

Работа выполнена в Институте проблем механики Российской академии наук.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических

наук,

профессор В.Г.Баженов,

доктор физико-математических

наук,

профессор Р.В.Гольдштейн,

доктор физико-математических

наук,

профессор В. И. Кон даур ов.

Ведущая организация: Московский авиационный институт

им. С.Орджоникидзе

Защита состоится 5 июня 2003 г. в 15 часов на заседании специализированного совета Д 002.87.01 при Институте проблем механики РАН по адресу: 117526, Москва, просп. Вернадского, 101.

С диссертацией можно оз&акомиться в библиотеке Института проблем механики РАН.

Автореферат разослан 18 апреля 2003 г.

Ученый секретарь специализированного совета, канд. физ.-матс. наук

Л в*-

Е.Я.Сысоева

2.0О5- А

Sffo

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена разработке математического обеспечения для решения нелинейных задач МСС с большими деформациями и подвижными границами раздела. Эта научная проблема актуальпа в связи с потребностью теоретического изучения технологических термомеханических процессов и получения новых материалов.

Цель работы. Научные задачи, положенные в основу диссертации, продиктованы потребностями теории и практики в более нолном и точном описании термомеханических процессов, протекающих при больших деформациях сред с упругими, вязкими и пластическими свойствами на критических переходных режимах, связанных с развитием разрушения, локализацией деформаций, спеканием, кристаллизацией, большими деформациями при наличии фазового перехода, контакта и подвижных свободных границ.

Научные цели диссертации включают расширенную математическую формулировку термомеханических задач, учитывающую многообразие рассматриваемых термомеханических процессов, разработку методов решения с учетом существенно переменных во времени геометрии и свойств среды, численную реализацию соответствующих алгоритмов в виде пакета программ и проведение теоретического численного моделирования характерных процессов рассматриваемого класса.

Методика исследования. В диссертации предпринят комплексный подход к формулировке общей начажт.по-краевой задачи и конструированию численных методов ее решения, включающий синтез формулировок и методов механики деформируемого твердого тела и механики жидкости и газа. Для расчета больших деформаций развиваются формулировки и методы решения, опирающиеся на метод произвольных подвижных Лагранжево-Эйлеровых координат, позволяющие единообразно рассматривать задачи для широкого класса сред с упругими, вязкими и пластическими свойствами при наличии подвижных границ раздела (межфазных, контактных, свободных, жестких, открытых и так далее). Унификации подвергнуты и математические методы решения начально-краевых задач, в основу которых положен безматричный метод конечных элементов, предложенный и развитый автором для богатого набора разнообразных термомеханических динамических и квазистатических задач о деформациях и течениях сплошных сред.

Значительное влияние на выработку единой формулировки задач, применяемой в диссертации, оказали своими трудами по теории больших деформаций и термодинамике сплошных сред следующие ученые: Дж. Астарита, Дж. Марруччи, С.К. Годунов, A.A. Ильюшин, В.И. Кондауров, P.M. Кристенсен, В.Н. Кукуджанов, Л.И. Малвсрн, Л.И. Седов, И.С. Сокольников, Г. Циглер.

Развитые в диссертации унифицированные методы восходят к трудам следующих авторов: M.L. Wilkins, Ю.П. Попов, A.A. Самарский (явные схемы), Г. Стренг, Дж. Фикс (теория и конструирование конечно-элементных алгоритмов), C.W. Hirt, Ю.И. Шокип (анализ и конструирование схем методом дифференциальных приближений), С.К.Годунов, Г.П. Прокопов, В.М. Ковеня, H.H. Яненко, С.А. Иваненко (подвижные

i 2А0

адаптивные сетки); A.A. Amsden, F.H. Harlow (дискретные маркеры), J.A. Sethi an (непрерывные маркеры), В.А. Баженов, А.И. Гулидов, А.Г. Горшков, A.C. Кравчук (контактные алгоритмы), M.R. Hestenes, Е. Stiefel (метод сопряженных градиентов),

A.А.Абрамов, А.Ю.Еремин, Н.И. Марьяшкин (методы регуляризации дискретных и краевых задач, пакетные технологии), A.A. Самарский (монотонные схемы расчета конвекции с минимальной вязкостью), J.P. Boris, D.L. Book (коррекция потоков в зонах разрыва решений), О.М.Ьелоцерковский, Ю.М.Давыдов, В.А. Гущин, В.В. Щсшгаков,

B.И.Кукуджанов, В.М. Ковеня, H.H. Яненко (расщепление но физическим процессам).

В диссертации использовано множество и других составляющих, снабженных аккуратными ссылками на источники, привести которые здесь, в автореферате, не представляется возможным. Общая методологическая тенденция диссертации отражает стремление к синтезу перспективных, выработанных поколениями ученых, математических находок, приемов и конструкций в едином алгоритме решения по возможности более общей термомеханической задачи. Насколько такой путь продуктивен, можно судить по получаемым, описываемым ниже, результатам.

Научная новизна. В диссертации дан вариант решения крупной актуальной научной проблемы создания математического обеспечения для решения задач МСС с подвижными границами раздела.

Основными элементами новизны в диссертации являются следующие ее составляющие:

- вывод уравпепий МСС в подвижных адаптивных координатах;

- модификация термодинамического метода получения определяющих соотношений, пе требующая применения экстремальных принципов для скорости диссипации и расширяющая класс термодинамически допустимых определяющих соотношений;

- безматричный метод конечных элементов;

- ряд явных и пеявных схем для квазистатических и динамических задач упруго-вязкопластичности с большими деформациями;

- контактпые алгоритмы методов множителей Лагранжа и штрафных функций;

- развитие метода маркеров для расчета подвижных границ раздела;

- управление подвижными адаптивными сетками с помощью уравнений нелинейной термоупругости;

- реализация упомянутых алгоритмов в многоцелевой интерактивном пакете программ АСТРА;

- набор численных решений новых задач о формовании, разрушении и локализации деформаций, спекании, росте кристаллов, течениях со свободными границами.

Практическое значение диссертации. Разработанные теория, методы, алгоритмы и пакет программ служат инструментом теоретического численного моделирования ряда природных и технологических процессов для их изучения, прогнозирования и оптимизации. Все представленные решения получены при выполнении плановых НИР: контакт составных конструкций и высокоскоростные соударения исследовались по проектам с предприятиями машиностроительной промышленности, исследования по разрушению, локализации деформаций и спеканию проводились в рамках плановых НИР ИПМ РАН по проблеме "Механика деформирования и разрушения твер-

дых тел с неоднородностями и микродефектами с учетом физических воздействий" Гос.рег. N- 01.91.0007314, финансировались в серии проектов РФФИ, координировавшихся Н.Г.Бураго и В.Н.Кукуджановым, по проекту, выполненному автором по контракту со Шведской Академией Наук (координатор проекта В.Н.Кукуджанов). Исследования по росту кристаллов финансировались контрактами с HACA (США) и Российским Космическим Агентством (координатор проектов В.И.Полежаев). Разработка алгоритмов генерации адаптивных сеток финансировалась компанией Форд (США) в 1997 г. по контракту с Н.Г.Бураго. Алгоритмы методов непрерывного и дискретных маркеров созданы в рамках работ по контракту RiB-98-б с министерством Брюссельской области (Бельгия). Кроме того, с использованием пакета АСТРА был выполнен и ряд НИР для отечественных организаций: Атоммаша, Гидропроекта, завода Квапт и др.

Обилие выполненных прикладных исследований показывает, что разработаппое математическое обеспечение нелинейных задач МСС с подвижными границами раздела (программа АСТРА) имеет достаточно серьезное практическое применение.

Достоверность полученных результатов обеспечивается применением строгого математического аппарата, исследованием корректности начально-краевых задач, контролем сходимости численных методов па примерах решения модельных задач. Для новых задач сходимость прослеживалась при последовательном дроблении расчетных сеток. Кроме того, в численных расчетах контролировалось выполнение интегральных законов сохранения и граничпых условий. Решение задач осуществлялось, как правило, разными методами с последующим сравнением результатов. Хорошее согласование получаемых таким образом решепий между гобой служит определенной гарантией их достоверности.

Апробация работы. Результаты диссертации по мере получения были представлены на многих (более 50-ти) отечественных и зарубежных конференциях и семинарах. Укажем некоторые из них ниже. Пакет программ АСТРА в виде и комплектации, близкой к современной, был представлен па 5-й Всесоюзной зимней школе по механике сплошной среды (Песчанка, 25 января 1985 г.), на Скандинавской конференции по вычислительной механике (International Seminar of NoACM, Trondheim, Norvey, 1994), на зарубежных выставках Российских научных достижений, организованных Госкомитетом по науке и технике: в Брюсселе (1996 г.) и Ганновере (2002 г.).

Контактные алгоритмы были доложены на Всесоюзном Съезде по теоретической и прикладной мехапике в Ташкенте (1986 г.), на 8-м Всесоюзном симпозиуме по распространению упругих и упругопластических волн (Новосибирск, 1987).

Доклады по теории определяющих уравнений и теории спекания делались на семинарах Чалмерского и Луидского университетов (1994, 1995, Швеция), на семинаре ИПМ РАН под руководством В.Н. Кукуджанова (1998 г.), на 32-й Ассамблее Европейского Геофизического Общества (Гаага, Нидерланды, 1999), на Всероссийском Съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.).

Задачи по разрушению и локализации деформаций докладывались по мере их решения на семинарах ИПМ РАН и Чалмерского унивеситета (1993-1995, 1997, 1998), международных конференциях по экологической безопасности (Варшава, Польша, ок-

тябрь 1996) и по механике сплошной среды памяти И.И.Воровича (Ростов-на-Дону, октябрь 2001 г.)

Задачи роста кристаллов докладывались в Центре микрогравитации HACA (Huntsville, USA, 1997), на Международных и Всероссийских конференциях но механике невесомости (Санкт-Петербург, 1997; Александров, 1997; Ieruaalcm, Israel, 1998; N. Cyprus, Turkey, 1999; Tokyo, Japan, 1998; Nagoya, Japan, 1998; Stony Brook, USA, 2000; Pasadena, USA, 2001).

Работы до управлению адаптивными сетками и методам непрерывного и дискретных маркеров докладывались на Всероссийских конференциях по генерации сеток (Дюрсо, сентябрь, 1996, 1998), на Международных конференциях по генерации сеток и промышленным приложениям (Starkville, Mississippi, USA, May, 1997, 1999; Санкт-Петербург, 2001; Москва, 2002).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 222 страницы. Рисунки включены в текст и 50 страниц занимает список литературы, который содержит 686 источников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируется цель исследования, обосновывается его актуальность. Появляется структура работы и содержание основных ее частей. Дается список работ автора по теме диссертации.

Первая глава содержит фундаментальный обзор литературы по разработке численных дискретных (сеточных) методов решения задач с подвижными границами раз дела. Этот обзор опубликован автором в работах [35, 36].

Сначала даны основные источники по теории и постановке классических коп-тактных задач. Затем приведен список работ, содержащих обзоры по численно-гшллитическим методам решения контактных падяч и, в более широкой трактовке, задач с подвижными границами раздела, включал межфазные и свободные границы. Далее приведены ссылки на имеющиеся в литературе обзоры но сеточным методам расчета задач с подвижными границами раздела.

Работы по контактным алгоритмам разделены на два семейства в зависимости от подхода к описапито движепий сплоппюй среды: выделены лагранжевы и эйлеровы алгоритмы. Дополнительное подразделение каждого из семейств на две группы сделано по признаку явного выделения границ раздела дискретными элементами поверхности или неявного их описания как зон больших градиентов решения или изоповерхностей при использовании методов сквозного счета.

Описаны работы по лагранжевым алгоритмам сквозного счета: алгоритмы идеального контакта, алгоритмы буферного (контактного) слоя, алгоритмы единого уравнения состояния для сквозного счета фазовых переходов, в частности, модели континуального разрушения, континуальные модели блочных и слоистых сред.

Рассмотрены лагранжевы алгоритмы явного выделения границ раздела: алгоритмы поиска зоны контакта и отбора контактных пар "узел - граничный элемент": алго-

ритмы глобального и локального поиска, варианты иерархии граничных элементов для ускоренного определения зон контакта.

Далее рассмотрены алгоритмы удовлетворения условий непроникания: приближенные модели неупругого удара для определения скорости движения границы, приближенные модели поверхностей скольжения, алгоритмы фиктивных узлов, контактные алгоритмы метода характеристик, применение решений задачи о распаде произвольного разрыва, алгоритмы метода множителей Лагранжа и метода штрафпьтх функций, алгоритмы перестройки (адаптации) сеток на границе раздела, алгоритмы схлопыва-ния ячеек, содержащих контактный разрыв.

Затем даны источники по эйлеровым алгоритмам явного выделения границ раздела (в частности свободных границ) с помощью лаграпжевьтх частиц и дискретных маркеров.

Для учета сложных граничных условий, требующих информации об ориентации и кривизне грапицы раздела, дан список работ, в которых предложены варианты непрерывных лагранжевых маркер-функций (функции плотности, функции цвета, функции расстояния), определяющие границу раздела как ичоповерхность маркер- функции, а кривизну и пормаль через пространственные производные.

Далее приведены работы по эйлеровым алгоритмам сквозного счета границ раздела, использующим принцип улавливания границ раздела как зон больших градиентов: методы коррекции потоков и антидиффузии. Дан список работ по адаптивным к решению и геометрии сеткам, применение которых позволяет повысить точность описания разрывных решений, решений в погранслоях и в зонах границ раздела, в частности, за счет уменьшения ошибок аппроксимации путем уменьшения размера ячррк сетки в зонах больших градиентов. Отдельно охарактеризованы работы, сгущающие сетки путем сдвига имеющихся узлов, и работы по локальной перестройке сетки путем добавления новых узлов.

Стремление избежать хлопот по построению сеток привело к развитию методов граничных элементов, в рамках которых развиты специфические численные методы расчета контакта. Отмечены имеющиеся работы с обзорами этого направления.

Еще дальше по пути отказа о г применения сеток прошли работы по созданию контактных алгоритмов в рамках различных вариантов бессеточпых свободных лагранжевых методов, опирающихся на нефинитпые, но быстро затухающие узловые базисные функции.

Важное место в ряду алгоритмов расчета контакта занимают работы по учету контактного трения и его разновидности, трепия качепия.

Для специалистов по механике контакта небеэинтересно будет познакомиться с обзорами, показывающими специфику и разнообразие проблемно-ориентированных контактных алгоритмов: для анимации в кино (фильмы о динозаврах), биомедицинских приложений (компьютерные тренажеры для хирургов), для геофизических задач, для расчета явлений кавитации, для расчета свободных и межфазпых грапиц, для моделирования одежды (!).

Обзор заканчивается описанием имеющихся работ по оптимизации формы и контактных усилий, по векторизации и распараллеливанию контактных алгоритмов, по

сравнительному анализу и оценкам точности контактных алгоритмов.

Во второй главе дапа формулировка системы уравнений МСС в подвижных адаптивных координатах и поставлена общая начально-краевая задача, положенная в основу диссертации. Основной материал данной главы опубликован в следующих работах автора [11, 18, 20, 31].

Основными искомыми функциями термомеханической задачи считаем те, по которым все остальные можно найти, не привлекая операции дифференцирования по времени. Эти основные искомые функции определяются системой основных уравнений термомеханики, которая в диссертации имеет вид:

¿р И

йи

¿Т

рс

¿ё

и (1)

р-£ = v•<т-^-яg (2)

„г

рс,— = И, + рг + V • я (3)

= Арсг',. — е'р • Ь — Ьт • е'р (4)

^ = : ^ (5)

^ = Я(4*)А» (6)

$(7) <& , ^

Ж-*-* <10>

где последовательно записаны: уравнение неразрывности (1), уравнения движения (2), уравнение энергии (3), уравнения пластического течения (4), уравнение пластической работы (5), уравнение поврежденности (6), уравнение спекания (7), уравпепие диффузии примесей (8), уравнение непрерывного маркера (9), уравнение подвижных координат (10). Основные искомые функции находятся под знаком временной производной в левой части уравнений.

Уравнения (1-10) записаны с использованием абстрактной тензорной нотации в традиционных обозначениях: р - плотность актуального (деформированного) состояния, и - скорость движения сплошной среды, 2 - время, V - оператор пространственного дифференцирования в актуальной конфигурации, и - тензор напряжений Копш,17с -

консервативная составляющая тензора напряжений Копти, g - ускорение силы тяжести, Т - абсолютная температура, <\, - теплоемкость при постоянном объеме, г - внешние массовые источники тепла петермомеханической природы, q и - диффузионные потоки тепла и концентраций, В, - приток тепла, определяемый по формуле:

/ ' , д2ц> difi.de „да

где - свободная энергия, штрих отмечает девиаторы, Далее использованы следующие обозначения (формула (5) и далее): ер - пространственный тепзор пластической деформации, с' - девиатор напряжений Копш, а'с - консервативная составляющая де-виатора напряжений, Хр = (кр/р)~'е'р ; е'р - коэффициент пропорциональности в законе пластического течения,: - двойное скалярное произведение, ер = <&,,/(#+ Ь-£р + £р • Ьт - пространственный тензор скорости пластической деформации, Ь = VII - тензор градиента скорости, Са - концентрации примесей (

а — 1,2,...), гса - источники/стоки концентрации (члены, описывающие химические реакции). Материальная временная производная А ¡А — 9/9¿^-(u—w)•V учитывает конвекцию сплошной среды, возникающую из-за разницы в скоростях материальной (и) и координатной (w) сред. В подходе Лаграпжа полагается и = XV, в подходе Эйлера = 0, в общем случае для определения = Зх/сЙ служит уравнение подвижных координат (10).

Уравнение подвижных координат (10) предложено автором и построено по образу уравнений нелинейной термоупругости, но содержит нестационарный член с времеппой производной первого порядка, так что уравнение это принадлежит параболическому типу и волновых процессов в сеточной среде не возникает. Величина а играет роль напряжений в координатной среде, определяемых обычными соотношениями тормо-уиру1 ости:

а : / = (ЗА, + 2/ир, (Ш, + ЛГ(У • у)) , а' = 2/*.^ , ё = 0.5(ЁТ •&-/), Л = ¿е/(Ух)

здесь отображение х = х(х, I) представляет закон движения подвижной сетки, х = х при 2 = 0, х - начальная сетка, Ё - тензор градиента (сеточной) деформации, ё - тепзор (се точной) деформации, N - норма градиентов решения термомеханической задачи, играющая для подвижной сетки роль температуры, так что сеточная среда сжимается в зонах больших градиентов решения и уменьшает ошибки сеточной аппроксимации.

Система уравнений (1)-(10) замыкается кинематическими соотношениями

е = (1-¥~т-'Р-1)/2, е = (Ь + Ьт)/2 (11)

и определяющими соотношениями, ответственными за свойства сплошной среды. В диссертации рассматриваются среды дифференциального типа, описываемые следующими основными параметрами состояния:

7г = (Г, е, х, Са, <ГГ/<И, е, «¿х/<Й, ¿Са/Л, У Г, V Са)

где х = - структурные параметры состояния, представленные пластической

деформацией, поврежденностью и пористостью и отвечающие за изменепие свойств конденсированных сред при развитии дислокаций, микротрещин и пор.

Определяющие соотношепия выводятся как следствия законов термодинамики и гипотезы параметров состояния, в соответствии с которой состояние сплошной среди полностью определяется набором основных параметров состояния. Применяется известный термодинамический метод вывода определяющих соотношений, который выработали применительно к теории больших упругопластических деформаций A.A. Ильклцин, Л.И. Седов, Р. Кристенсен, L.E. Malvern, С. Truesdell, Г. Циглер, В.Н. Куку-джанов, 0.И. Кондауров, Л.В. Никитин, В.И. Левитас, П.В. Трусов и многие другие. Описана модификация этого метода не требующая привлечения каких-либо дополни-чельных экстремальных принципов и позволяющая вывести определяющие соотношения, задавая две функции - функцию свободной энергии и функцию скорости диссипации энергии (подробное описание сделано в работе [31]).

Даны примеры вывода определяющих соотношений для основных сред дифференциального типа: для вязких/невязких сжимаемых/несжимаемых газа/жидкости; для нелинейных '1 ермо-упругих сред, для унругопластической и уаруговя jkoiwmc гической сред, для разрушающихся и консолидирующихся упругопластических сред.

Выражения для функций свободной энергии и скорости диссипации, описывающие перечисленные выше типы сплошных сред, в диссертации имеют вид:

V = Vl(p,T,pp,e,w) + /¡А; : < + Н(Т - Tm)Vu{T - Tm,u) D = А„(е : I)2 + 2/z„e : е + Н(Фр)кр/р + ^VT • VT+

где <pi, tpu, kp,kd, kr, кт, Hv, fca - неотрицательные функции от Т, £, ер, и/, 0. Свободная энергия <р ответственна за обратимые процессы, а скорость диссипации эпергии D - за необратимые. Каждое из слагаемых в выражениях для свободпои энергии и диссипации отвечает определенному процессу.

Первое слагаемое в свободной энергии отвечает за способность среды накапливать тепло и за сопротивление сплошной среды обьемпой деформации. Для несжимаемой среды это слагаемое не зависит от нлоч нося и и отвечает только за накопление тепла, а давление, препятствующее сжатию среды, определяется как множитель Лагранжа для условия несжимаемости.

Второе слагаемое в свободной энергии отвечает за сопротивление среды изменению формы. Для разгруженного состояния, имеющего в пространстве деформаций координаты, определяемые остаточной деформацией £р, это слагаемое обращается в пуль, а свободная энергия имеет минимум по деформациям. Для этого члена записано простейшее выражение.

Третье слагаемое описывает вклад в свободную энергию, обусловленный силами поверхпостпого натяжения, действующими на поверхности активных пор. Активными поры становятся при расплавленом состоянии материала, содержащего поры. Силы поверхностного натяжения обеспечивают эффект уплотнения рыхлых материалов при

снекании или консолидации. Величина Тт отмечает пороговое значение температуры, при которой поры становятся активными.

Отметим, что величины остаточной плотности рр и пористости и являются зависимыми определяющими параметрами, поскольку их скорости изменения определяются скоростью пластической деформации. Зависимым определяющим параметром является и плотпость, поскольку скорость ее изменения определяется скоростью деформации (уравнение неразрывности). Это не мешает применять зависимые определяющие параметры при записи выражений для свободной энергии и скорости диссипации, но упомянутые связи обязательно учитываются при выводе определяющих соотношений.

Первые дла слагаемых в выражении диссипации описывают диффузию импульса и определяют вязкостные напряжения в среде. Функции А„ и ц„ являются коэффициентами вязкости.

Третье слагаемое в выражении диссипации описывает эффекты вязкопластичсской деформации (образование и движение дислокаций, изменение внутреннего строения конденсированной среды). Множитель с функцией Хсвисайда И обеспечивает режим обратимой (упругой) деформации для состояний внутри поверхности нагружения (текучести) Ф1,(Г, е,ер, ш, 0) = 0. Упругонластический материал, для которого условие пластичности не зависит от скорости нагружепия, отвечает случаю, когда скорость диссипации является однородной функцией первого порядка по скорости пластической деформации: /¡, = (е'р : е'р)''2, иначе материал будет вязкопластическим, ю есть нарастание пластических деформаций будет зависимым от скорости нагружения. Если множитель с функцией Хевисайда заменить единицей, то третье слагаемое будет описывать поведение ползучего материала.

Четвертое слагаемое в диссипации описывает эффект диффузии тепла, а кг > 0 обозначает коэффициент теплопроводности.

Пятое слагаемое в диссипации отвечает за кинетику роста поврсжденности, которая представляет плотность микротрещин. С ростом поврежденности, который происходит при выполнении условия разрушения Фр > 0, сопротивление деформации, определяемое коэффициентами упругости, падает. Отметим, что такая модель конт и-нуального разрушения описывает ниспадающие ветви зависимости характерного напряжения от характерной деформации при сохрапепии корректности начально-краевой задачи, поскольку в модели нет математических конструкций типа касательного модуля упругопластичности и пространственный дифференциальный онератор остается положительно определенным.

Шестое слагаемое описывает кинетику пористости при горячем спекании и холодном прессовании.

Наконец, седьмое слагаемое описывает диффузию примесей в сплошной среде, оно устроено аналогично слагаемому для теплопроводности.

Но заданпым функциям свободной энергии и диссипации определяющие соотношения находятся так:

дф

дх q = qc(») q<:a = [qcJnW

где (функции 7n = ртц,, Z2 =oD, 7n =Xn, Z4 = qdI'I', '¿ь = [Чс»!я/С0 являются дис-синативными потоками (обобщенными диссипативными силами) и определяются выражением для скорости диссипации, которое приводится к виду:

Д = £А>о, D, = ZM2) t=i

где тг[2) = f, тт(22) =е, = §, = V7>J2) - V6'„ -обобщенные скорости.

П частном случае обратимых процессов функции гцу , а и. Xd [q<-u]D и, еоот-ветственно, скорость диссипации D равны нулю.

Скалярные функции ipviD представляются функциями инвариантов тензорпых аргументов, что обеспечивает удовлетворение требований объективности и инвариант-нос! и определяющих соотношений при ортогональных преобразованиях (поворотах) начальной и актуальной конфигураций. Для облегчения выкладок при материальном дифференцировании по времени свободной энергии и при определении ее частных производных применяется материальное представление тензоров напряжений и деформаций (величины с пуликами), для которого дифференцирование по времени выражается обычными производными. По завершению выкладок делается обратпт.тй переход к про странственному представлению.

Для принятых в диссертации выражений свободной энергии и скорости диссипации определяющие соотношения имеют вид:

о = —pi + а'с + А„(е : 1)1 + 2/ive , а'с = 2ц(е' - е'„) , е'„ = А„ст' , q = kTVT

£ = -ЯМ>С'(Р + , f = (12)

где 5и, - "напряжение спекания". Подробности, касающиеся определяющих уравнений, можно найти в работе [31]. А подробный вывод представленной системы уравнений дан в работе [11]. В области решения

{xei'.po}

требуется решить систему уравнепий (1)-(10), дополненную недифференциальными по времени кинематическими соотношениями (11) и определяющими соотношениями (12) , отвечающими заданному типу сплошной среды. Решение должно удовлетворять начальным условиям

t = 0, хеК : А = А0(х) (13)

и граничным условиям:

* > 0 , хе§лС$ : А = А.(х^) (14)

¿>0, хе§в = 8\3А, Вп = В*(х,<.) (15)

В выражениях (14)-(15) функции правых частей помечепы звездочками и являются заданными. Набор основных искомых функций

А = (р, и, Т, £Р, ар, в, ш, Са, х, х)

содержит те искомые функции, которые необходимы для вычисления всех остальных искомых функций в данный момент времени, пе привлекая операции дифференцирования по времени. Плотность включена в число основных переменных для единообразия описания задач независимо от того, фигурирует ли начальная конфигурация в постановке задач (структурированные среды) или нет (классическая гидрогазодинамика).

Величины В характеризуют потоки величин А, обусловленные диффузией и межмолекулярными силами:

Заметим, что при численном решении диффузионпые потоки В появляются во всех основных эволюционных уравнениях за счет схемной или искусственной вязкости.

Для корректности начально-краевой задачи (1)-(15) определяющие соотношения и начальпо-красвыо условия должны удовлетворять дополнительным ограничениям, которые зависят от класса задач:

1) определяющие соотношения должны обеспечивать эллиптичность пространственных дифференциальных операторов правых частей при наличии потоковых членов В. Это требовапие согласуется с законами термодинамики и отражает необходимое условие устойчивости задачи по Адамару. В нестационарных задачах это ограничение обеспечивает параболичность уравнепий для вязких сред и гиперболичность уравнений для упругопластичсских сред и невязкого газа;

2) для стационарных задач = 0) граничные условия для уравнений с ненулевыми потоковыми членами В должны быть копсервативпыми ("самоуравновепген-ными"). Это ограничрпио выражает соответствующий данному уравпепгоо закон со хранения. В случае уравнений равновесия деформируемых тел для корректности квазистатической задачи необходим налагаемый граничными условиями запрет гмещепий и поворотов тела как жесткого целого.

3) на входных грапицах, ((и — чу) • п < 0), через которые сплошная среда втекает в область решения, должны быть заданы значения всех основных искомых величин для

случая сверхзвукового потока и "смягченные" граничные условия в случае дозвукового потока (Роуч, 1980; Федорченко,1982), то есть, например, в этом случае одновременное задание давления и нормальной скорости на одной и той же границе переопределяет краевую задачу.

4) па выходных или "жидких" границах, ((и—IV)-п > 0), должны ставится "мягкие" условия, то есть условия продолжения (экстраполяции) решения за границы области решения (например, равенство нулю первых или вторых нормальных производных от осповпых искомых функций). Родственный случай граничных условий представляют неотражающие граничные условия в задачах о распространении возмущений.

Важные случаи граничпых условий, такие как контактные граничные условия, условия на межфазньтх границах и условия на подвижных свободных границах, а также другие особенности постановок задач, обсуждаются в диссертации при рассмотрении методов решения конкретных типов задач.

В третьей главе дано описание применяемых методов решения рассматриваемых задач.

Для решения задач сеточными методами надо прежде всего уметь строить сетки. В диссертации применяются следующие методы генерации начальных сеток: 1) 21) ал горитм автоматического формирования списков номеров узлов в 3-х и 4-х угольных ячейках и списков граничных узлов для заданного набора узлов сетки; 2) 2Г) алгоритм "нарезания пирога" для автоматизированной генерации узлов и ячеек в многосвязных областях с заданными таблично границами; 3) Несколько алгоритмов построения 21) сеток с помошыо отображений: а) простейших квадратичных Ь) квазигармопических барьерных и с) описываемых уравнениями нелинейной упругости; 4) алгоритм генерации ЗГ) срток путем трансляции двумерных сеток вдоль заданной пространственной кривой. 5) Алгоритм сшивания сеток (возможно, несогласованных) па границах между подобластями.

Описание алгоритмов открывают явные лагранжевы схемы расчета задач динамики упругопластических сред, представляющие конечно-элементные вариации метода М.Уилкинса: схема типа "крест", схема квазивторого порядка точности (аналог трехслойной схемы АдамсагБашфорта) и полностью консервативная схема Самарского-Попова. К настоящему времени такие схемы реализованы многими авторами во многих вариантах. В нашем случае специфическими чертами являются следующие: ^применение пластических деформаций вместо напряжений в составе набора основных искомых функций во избежание, дифференцирования закона упругости и для обеспечения запоминания средой своего начального состояния; 2) определение всех искомых функций в узлах сетки с использованием линейной интерполяции, а не кусочно-достоянной для деформаций и напряжений, как обычно, что подготавливает алгоритм к обобщению на случай произвольно подвижных сеток; 3) подавление коротковолновых пилообразных возмущений нелинейным монотониэирующим сглаживанием, включаемым ч олько для устранения немонотонпостей, что работает лучше, нежели линейно-квадратичные искусственные вязкости в стандартных уилкинсовских алгоритмах.

Далее описано превращение явных схем в неявные при минимальном изменении ал-

горитма. А именно, основной алгоритм явного расчета шага по времени в неявной схеме выполняет работу по определению певяэки, а решение находится с помощью итерационного процесса метода сопряженных градиентов, оперирующего с. этими невязками. При этом на каждом шаге исходные уравнения применяются в кваэилинеари-зоватшой по Ньютону форме и никакой необходимости в формировании матриц жесткости нет. Поэтому неявные схемы реализованы как надстройка над обычной явной схемой. Для обеспечения устойчивости итерационного процесса по отношению к ошибкам округления, возмущениям оператора задачи и свободных членов (правых частей) в алгоритмы введено простейшее преобуславливание, подразумевающее умножение невязок па приближенную обратную матрицу системы уравнений, роль которой играет диагональная матрица, составленная из диагональных элементов матрицы жесткости. Фактически эта операция реализует масштабирование неизвестных и является вполпе достаточной для обеспечения устойчивости итерационного процесса неявных схем.

Описанная выше схема решения задачи и есть предложенный автором (1978,...) безматричный метод конечных элементов. Он очень эффективен со многих точек зрения: он прост в реализации как обычный явный метод, по гибкости алгоритма но имеет себе равных среди неявных методов, что особенно привлекательно для исследовательских программ; по быстроте отыскания решения он превосходит другие методы - известные асимптотические оценки и практические измерения быстродействия показывают' почти линейный рост числа операций с. ростом числа неизвеотпых. Потребляемая дополнительно по сравнению с явными методами память требуется для размещения 5 дополнительных векторов, длина которых равна числу неизвестных, независимо от числа пространственных переменных задачи. Отказов практически не наблюдается, за исключением случаев явно некорректных задач, то есть уровень робастпости (работоспособности в широком диапазоне входных параметров задачи) очень высок.

Поскольку явные и неявные алгоритмы представимы в виде цепочки операций с векторами, была выполпена векторизация алгоритмов. Были также проведены эксперименты с построением распараллеленных алгоритмов. Было выяснено, что гибкость алгоритмов при векторизации и распараллеливании теряется, появляется ярко выраженная зависимость исследования от привязки к определенному компьютеру и базовому математическому обеспечению. Поэтому в диссертации предпочтение было отдано скалярным вариантам алгоритмов.

Были построены алгоритмы, работающие на вложенных сетках, реализованные в ■грех вариантах: применение вложенных сеткок для ускорения сходимости итерационных процессов (по аналогии с методом Р.П. Федоренко), для уточнения рептепия с помощью локально вложенных шаблонов (по А. Прапдту), для уточняющей экстраполяции решений па вложенпых сетках на сетку с "нулевым шагом" (по Ричардсону). Первые два варианта были в дальнейшем отвергнуты как лишающие алгоритм гибкости. Третий вариант применяется эпизодически для оценки точности решений. Он не требует переделки программ, а лишь просчета вариантов на вложенных сетках.

Для обобщения лагранжевых схем на случай произвольно подвижных лагранжево-эйлеровых сеток необходим учет конвективного движения, обусловленного разницей в скоростях движения среды и координат. Применяемые в диссертации схемы, учитываг

тощие конвекцию пояснены на примере стандартного уравнения конвекции-диффузии:

I ((dA/dt - С)5А + (ОТ А) ■ Vi А) dV = J BjAdS v s,

где А - величина, для которой записано данное балансное соотношение; dfdt — 9/dt + (u — w) • V - материальная временная производная; к - коэффициент физической диффузии; Вп - поток величины А через площадку lldS. Частная производная по вре-мепи берется вдоль траекторий подвижных координат, скорость движепия которых обозначена символом w, и - материальная скорость.

Многочисленные эксперименты со схемами, реализующими центральные и направленные против потока разности при аппроксимации конвективных членов склонили автора к использованию центрально-разностных аппроксимаций. Будучи гнаб-женпыми хорошим регуляриза-i ором, обеспечивающим монотонное поведение схемы, роль которого играют искусственные или аппроксимационные вязкости, центрально-разностные схемы дают результаты не хуже схем с направленными разностями, но в условиях нерегулярных сеток имеют преимущество однородности и простоты алгоритма. Кроме того, бесхитростное применение конечноэлементной аппроксимации с использованием стандартных базисных функций приводит именно к схемам, которые на равномерных сетках совпадают со стандартными цептрально-конечно-разностными схемами.

В качестве регуляризатора для центрально-разностных схем учета конвекции применялась искусственная вязкость и, вид которой подсказывается апализом дифференциальных приближений сеточных уравнении но Хирту и Шокипу. Исправленная вязкость записывается так:

кп = fe" ^ +1 + " , v = 0.5max(|u - w\h, - игрД*„)

Чтобы максимально сблизить величины эффективной (неправленая + аппроксима-ционная) и физической вязкостен при сохранении монотонности схемы, в приведенном выражении исправленного коэффициента вязкости применена коррекция физической вязкости по методу экспоненциальной подгонки A.A. Самарского.

Рассмотрим особенности реализованных схем, которые накладывает сквозной счет ударных волн и зон разрежения. Анализ дифференциальных приближений явных схем показывает, что для устранения дестабилизирующий членов с отрицательным коэффициентом вязкости, обусловленных явными аппроксимациями консервативных напряжений (давления, в случае газовой динамики, упругие напряжения в случае структурированных сред), их надо экстраполировать на новый временной слой:

<70° =<• + doc/dtAt*

Этого однако недостаточно, поскольку анализ дифференциальных приближений неточен и дать истолкование всем дополнительным членам, да и найти их всех, и аппроксимировать в общем случае не удается. Поэтому дополнительно применялась

нелинейная монотонизация решения, уже упоминавшаяся выше при описании лагран-жевых схем. Такая монотонизация сводится к покоординатному анализу локального поведения решения либо непосредственно по его узловым значениям, либо по значениям насчитанных по полученпому решению его вторых производных. Изменение знака второй производной рассматривается как индикатор немонотонности решения и необходимости включения максимального сглаживания. Покоординатное сглаживание лучше обнаруживает и устраняет нефизическую рябь, чем сглаживание па оспове анализа решения сразу во всей 3D окрестности отдельного узла. Число точек, в которых на отдельном шаге по времени включается нелинейная монотонизация, очень мало, по-I этому профили скачков получаются крутыми, а решение монотонным. В зонах силь-

ного рязрежения может появляться локальная неустойчивость, если упомянутые здесь регуляризаторы попробовать отключить при V ■ и > 0.

В попытках лучшего описания решений при наличии ударных волн были реализованы схемы типа метода Мак-Кормака с той разницей, что вместо альтернирующих направленных разностей в диссертации в паре с центральными разностями применялась альтернирующая (плюс/минус) искусственная вязкость уже рассмотренных выше видов. Кроме того, в отличие от метода Мак-Кормака, который не подстраивается под состояние среды, альтернирование вязкости ("антидиффузия") включалась здесь только в узких зонах вблизи сильных ударных волн (при V • u Ai„ < —0.01). Стандартные тесты для сверхзвуковых течений совершенного идеального газа (поршень, канал со ступенчатым сужением, диск поперек потока) показали, что такая схема в отличие от схемы Мак-Кормака устойчива в зопах разрежения и показывает неплохие решения.

Отметим, что хотя применяемые схемы расчета конвекции пекопсервативны, опи используют глобальный контроль погрешности в законах сохранения массы, импульса, эпергии и концентраций. Такой контроль дополнен включаемой/отключаемой коррекцией решепия, подправляющей функции приращепий массы, импульса, энергии и концентраций на шаге по времени путем умножения на число, определяемое так, чтобы глобальное балансное соотношение для сохраняемой величины выполнялось точно. Отметим, что такая коррекция делает решения более гладкими, не размазывая дополнительно скачки.

Далее описаны конечноэлементные алгоритмы для несжимаемых сред на примере уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска. Выли реализованы в вариационной интерпретации метода Бубнова-Галеркина известные явно-неявные схемы коррекции давления (расщепления по физическим процессам), в которых давление определяется из условия несжимаемости, принимающего вид уравнения Пуассона для давления (модификации методов раощеплепия Харлоу-Велча, Гущина' Щенникова). Представленная в диссертации вариационная интерпретация "этих 1 схем может трактоваться как реализация метода множителей Лагранжа, если рассматривать давление как множитель Лагранжа для условия несжимаемости. Также в диссертации для многих задач о точениях несжимаемых сред применен неявный метод штрафных функций (O.A. Ладыженская, 1970). Реализованы также алгоритмы, реализующие явные схемы искусственной сжимаемост и, но они мало использовались, поскольку сильно уступают по эффективности и точности упомянутым

выше методам.

Далее рассмотрены алгоритмы управления произвольно подвижными сетками, разработанные и/или реализованные в диссертации.

Геометрическая адаптация. В задачах формования, а также в задачах об удар-пых взаимодействиях деформируемых тел, характеризующихся особенно заметными изменениями геометрии тел, в подвижных лагранжевых сетках появляются ячейки, уменьшившиеся до очень малых размеров. Из-за этого шаг по времени в явных схемах становится неприемлемо малым и дальнейшее по времени определение решепия становится практически невозможным. Выход из этого затруднения предоставляют произвольно подвижные сетки, если управлять их движением так, чтобы каждый узел сетки занимал бы положение, по возможности наиболее близкое к геометрическому центру относительно его соседей. То есть, такая произвольно подвижная сетка адаптируется к подвижным лагранжевым границам, обеспечивая почти равпомерпое расположение внутренних узлов. Для коррекции положения узлов и определения скоростей их движения на каждом шаге проводилось сглаживание положений внутренних узлов (их сдвиг в сторону геометрического центра относительно соседей). Положение граничных узлов также корректировалось путем их смещения в касательной плоскости к границе опять-таки к геометрическрому центру соседей. Граничные точки па ребрах (в углах), в которых нормаль к границе меняется скачком, принимались лагранже-выми во избежание грубых искажений формът тел. Другой способ геометрической адаптации подвижной сетки основан на построении отображения сетки в начальной конфигурации подвижной области решения на текущую ее конфигурацию с помощью барьерных гармонический отображений или отображепий, определяемых уравнениями нелинейной упругости.

Динамическая адаптация подразумевает сгущение сетки в зонах больших градиентов решения для уменьшения ошибок аппроксимации, которые имеют в этих зонах максимум при использовании равномерных сеток. Зоны больших градиентов связаны со скачками решения и пограничными слоями. Было реализовано два алгоритма. Первый был заимствован из работы (СаШегаИ, 1991) и представляет сглаживание координат внутренних узлов сетки, подправленное так, чтобы узел смещался более в сторону того соседа, в котором значение адаптационной функции (некоторой нормы градиентов решепия) максимально. Чтобы не допустить порчу сетки из-за выворачивания ячеек, алгоритм содержит ограничение на минимальный размер ребра сетки, по достижении которого дальнейшая адаптация прекращается. Гарантий корректности адаптивной сетки алгоритм не дает.

Лучшие результаты получены при использовании алгоритма [11], строящего адаптивную сетку с помощью уравнений нелинейной термоупругости, в которых норма градиентов решения играет роль антитемпературы: там, где она велика, сетка (сеточная среда) сгущается. Алгоритм интегрирования сеточных "термоупругих" уравнений реализован по неявной схеме "ньютоновская квазилипеаризация плюс сопряженные градиенты", аналогично тому, как это сделано выше для уравнений термоупругоплаг стичности. Неявное интегрирование приводит пе только к ожидаемому уточнению решений, но благодаря эффективности неявной схемы почти не замедляет основную

(возможно, явную) схему решения термомеханической задачи.

Как хорошо известно, основные заморочки в численных методах МСС связаны с реализацией граничных условий, которая может занимать до 90% от кода решения. Поэтому дальнейший материал 3-й главы содержит описание алгоритмов для расчета, подвижных контактных, межфазных и свободных границ, разработанных и применяемых в диссертации.

Расчет контакта деформируемых тел описан по материалам работ Бураго и Ку-куджанова [13, 14, 15, 16, 18, 19, 20]. Реализовали алгоритмы метода множителей Лагранжа (для явных схем) и штрафных функций (для неявных схем). Описана цепочка проверок для граничных узлов и ячеек для быстрого отбора контактных пар "узел - граничная ячейка". Описаны модифицированные вариационпые формулировки исходных уравнений в форме Бубнова-Галеркина для методов множителей Лагранжа и штрафных функций и соответствующие алгоритмы определения контактных нагрузок путем выполнения условий пепроникания и закона трения. Показано, как контактные алгоритмы включаются в рассмотренные выше явные и неявные схемы.

Далее рассмотрена группа алгоритмов, предоставляющая возможность сквозпого счета свободных подвижных границ и являющаяся развитием метода фиктивных областей применительно к подвижным областям решения. Это методы дискретных и не прерывных маркеров. Общей чертой указанных методов является применение окаймляющих область решения (и область ее возможного движения) равномерных сеток, из которых исключаются ячейки, не принадлежащие области решения. Это делается путем определения рабочих ячеек (занятных сплошной средой):

- по значению функции области (1) или (0) в зависимости от принажлежности ячейки области, занятой рассматриваемой сплошной средой (в исходном методе фиктивных областей);

- по наличию в ячейке дискретных маркеров, то есть лаграижевьгх нематериальных частиц, движущихся вместе с материальной сплошной средой (в методах дискретных маркеров);

- по значепшо функции непрерывного маркера в рабочих (> 0.5) и нерабочих (< 0.5) ячейках (методы непрерывного маркера).

Наиболее удобен для формулировки граничных условий метод непрерывного маркера, определяющий границу как изоповерхность со значением маркер-функции 0.5, а нормаль и кривизну границы через производные маркер-функции.

В диссертации реализованы все три типа алгоритмов для общего трехмерного нестационарного случая сжимаемых и несжимаемых вязких сред. Эти алгоритмы сквоз ного счета воплощают уже рассмотреные выше явные и неявные варианты метода конечных элементов на равномерной окаймляющей эйлеровой сетке.

Алгоритм метода фиктивных областей позволяет решать задачи МСС в многосвязных трехмерных областях при весьма грубом учете граничных условий.

Метод дискретных маркеров позволяет рассматривать задачи МСС со множественными рождающимися и исчезающими подвижными свободными границами также при весьма грубом учете граничных условий. Характерной новой особенностью нашей реализации является расчет течений с входными и выходными границами с иеттолъзова-

нием переменного числа маркеров, рождающихся на входных границах и исчезающих на выходных границах.

Наконец, метод непрерывного маркера позволяет рассматривать те же задачи, но более экономно использовать память вычислительной машины и точнее учитывать граничные условия. Поведение непрерывного маркера описывается обычным уравнением переноса. Для предотвращения размыва грапиц из-за счетной диффузии применялась коррекция функции непрерывного маркера, включающая антидиффузионое степенное преобразование найденного нового значения непрерывного маркера, оставляющее его значения, близкие к единице или к пулю, без заметных изменений и приближающее промежуточные значения к ближайшему из указанных предельных. Затем применялась дополнительная коррекция приращения маркер-функции на шаге по времени путем умножения ее на число для точного выполнения глобального закона сохранения для маркер-функции.

Заключают третью главу алгоритмы расчета межфазных границ. Было реализовано два типа алгоритмов: 1) В первом алгоритме проводилось явное выделение межфазной границы, подвижные эйлерово-лагранжевы сетки в подобластях строились методом квазигармопических отображений (С.А.Иваненко, 1997), а скорость движения межфазной границы определялась условиями Стефапа. 2) Во втором алгоритме применена схема сквозного счета межфаэных границ, предложенная A.A. Самарским и В.Д. Моисеенко (1965), учитывающая условия Стефапа в модифицированном уравнении баланса тепла.

Все методы и алгоритмы третьей глади реализованы в пакете прикладных программ АСТРА, подробное описание которого и результаты расчетов можно найти па Интернет сайте автора www.ipmnet.ru/~burago.

В четвертой главе приведены результаты исследования ряда технологических и природных процессов.

Пакет программ АСТРА, в котором реализованы ттредставленпые в третьей главе методы решепия, тщательно протестирован автором и его заинтересованными коллегами, соавторами и заказчиками проектов. Это является определенной гарантией достоверности представленных в диссертации результатов численного моделирования.

Сначала расмотрены типичные квазистатические задачи упругопластичности: осесим-метричная задача о гребенчатом соединении и задача о нагружении плотины, скального основания и подстилающего грунта силами тяжести. Затем получепы решения контактпых задач с большими упругопластическими деформациями: задача об штамповании чашки из круглой пластины, задача об изготовлении лопатки турбины из круглой цилиндрической заготовки (Рис. 1). В задаче о лопатке применена геометрически адаптивная произвольно подвижная сетка, поскольку из-за больших деформаций решение на лагранжевой сетке без ее перестройки в процессе решения получить не удается.

Далее представлены типичные динамические задачи упругопластичности о высокоскоростных соударениях упругопластических тел (пластин, цилиндров, шаров) в двумерной и трехмерной постановке (Рис. 2), учитывающие большие деформации, переменный контакт и рикошет, образование всплесков (усов).

.М+1

ев»1

Б

И

-.48*1 -.20+1 .ВВ+в ,2в»1

-,4а*I -.2ем ее«в .гам

Т1ж- 4 Н р]МЫе могк

Г, щ

5Н<2 ИМ < 9Н«2 11ц.. 44 в р1Ш1с «а*

Рис. 1. Квазистатические контактные задачи формования.

50+1

- 50+1 00+0

т1мр= 0 осюе+оо 1_ме5нз

.50+1

-.5011

50+1 .00+0

т1ме" 0.602е+01 1-мр5из

.5011

Рис. 2. Осесиммстричпыс и трехмерные контактные динамические задачи.

Рис. Я. Образование воронки при взрыве.

Получено решение задачи о взрыве заряда на дневной поверхности и образовании воронки, в которой рассчитано взаимодействие грунта и высокоанергетичоских газовых продуктов взрыва (Рис. 3).

Далее рассмотрены задачи о разрушении упругопластических тел распространяющимися магистральными трещинами, которые имитировались в соответствии с теорией континуального разрушения главы 2 узкими зонами локализации деформаций и всплеска повреждсштости. Получены решения квазистатической задачи о разрушении растягиваемого образца с концентратором напряжений из-за излома границы (Рис. 4). Изучепо влияние критерия разрушения, пластических деформаций, кинетики по-врежденности, зависимости сопротивления среды от поврождепности, локального нагрева зоны ожидаемого разрушения. На основе опыта расчетов даяы рекомендации по построению теоретических моделей и алгоритмов расчета локализации деформаций. Представлены также решения задач о разрушении при технологическом процессе резки металлического листа, об обрушении склона под действием веса сооружения.

Рис 4■ Моды процесса разрушения, изолинии среднего напряжения <тт и горизонтального перемещения иг для случаев упругого материала (а,г), упругопластического материала (б,д), упругопласти-ческого материала при совместном действии растяжения и нагрева узкой вертикальной зоны под концентратором (в,е). Показаны средняя (а,б,в) и финальная (г,д,е) стадии процесса.

Рис. 5. Соударение пластин под углом с учетом разрушения. Эволюция юн рапрушения Окончательно пластина раскололась на три части. Ударник разрушен полностью.

- 10*2 - 50+1 00« 50+1 10+2

Т1М1 - О ПООЕ+ОО оно

О.ОМ. О 123 0.1В4 О 243 0.30/ О ЗАВ О 429

- 10(2 - 50+1 00+0 50+1 10+2 ТШР= О 1706+03 РСИЕ 0ГМ51ТУ

.ООГО 1

- 10+^ ^0+1 00+0 "10+1 юкг

Т1МЕ- О 380Е+02 ЮЮ Э040 ---

40-Ю

ана 50+2 1тз 15+з ВОЯР 0ЭС1ТУ Х- О.ОООЕЮО 1- О.СООЕ+ОО

Т1МЕ- 0.1"53Е+03 РОВЬ ЮЫТУ УЕИ^УЬ

Рис. 6. Изменение формы образца во время стадии холодного прессования композитного порошка в цилиндрической форме сферическим штампом (0 > I > 38^, поведение расчетной сетки (верхний ряд). Форма тела, распределение пористости после спекания (£ — 120^ и история пористости а центре образца (нижний ряд).

Получено решение о разрушении и локализации деформаций для динамической дву-меной задачи соударения цластии под углом. Прослежен процесс раскалывания преграды при срабатывании и рикошетировании ударника (Рис. 5).

Теорию консолидации главы 2 иллюстрируют задачи о спекании порошковых композитов. Работа теории проверена на модельных задачах о прессовании и спекании в условиях однородного состояния, имеющих простые аналитические решения. Затем дано численое решение о спекании образца в условиях неоднородного состояния для последовательных фаз технологического процесса: холодное прессование, нагрев и спекание, охлаждение. Рассчитана эволюция формы образца и свойств композитного материала, поля остаточной пористости, остаточных напряжений и деформации (Рис. 6).

Исследованы типичные задачи о росте полупроводниковых кристаллов из расплавов. Течения расплава рассчитаны методами главы 3 по нестационарным уравнениям Навье-Стокса несжимаемой тяжелой жидкости с учетом зависимости плотности жидкости от температуры и концентрации в выражении для сил тяжести (приближение Суссинеска). Движение межфаэной границы полагалось предопределенным распределением температуры, фронт кристаллизации плоским. Распределение примеси в растущем кристалле определялось по рассчитанной истории распределения примеси на межфазной границе с учетом явления отторжения примеси, лишь часть которой переходит из расплава в кристалл при отвердении. Влияние различных условий (тепловая схема, величина сил тяжести, скорость роста, воздействие вращения кристалла и печки, вибраций, электромагнитных полей), было изучено в серии работ, выполненных автором совместно с А.И. Федюшкиным и В.И. Полежаевым.

Работа алгоритмов, реализующих метод непрерывного маркера, продемонстрирована на задаче о стекании тяжелой несжимаемой вязкой жидкости со свободными границами через дыру с верхнего этажа некоторого сооружения на нижний (Рис. 7) и на задаче об обрушении водяной колонны в замкнутом бассейне (Рис. 8).

Работа алгоритмов дискретных маркеров проиллюстрирована расчетами падающих в бассейн, заполненный водой, горизонтальных водяных струй (Рис. 9) и расчетом фонтана и образующейся лужи от вертикально вверх бьющей водяной струи (Рис. 10).

В конце четвертой главы приведены примеры применения алгоритмов динамически адаптивных сеток, основанных на нелипейной теории термоупругости, к двум задачам, являющихся известными международными тестами для проверок численных алгоритмов: 1) к задаче о термогравитационной конвекции (Рис. 11) и 2) к задаче о сверхзвуковом течении совершенного газа в канале со ступенчатым сужением (Рис. 12). Сравнение полученных решений с известными показывает, что применение динамической адаптации позволяет "прыгать через сетку", то есть решение на адаптивной сетке с числом узлов п», где N - число пространственных независимых переменных, сопоставимо по точности с решением на равномерных сетках с числом узлов (2п)к - (471)". Впрочем, реальный выигрыш в точности сильно зависит от выбора адаптационной функции, базового метода решения, а также от задачи, так что сделанное оптимистическое утверждение не абсолютпо.

Рис. 8. Обрушение водяной колонны в замкнутом бассейне. Метод непрерывного маркера.

/

Рис. 9. Падение в водоем горизонтальной струи. Дискретные маркеры.

Рис. 11. Динамически адаптивная сетка, управляемая уравнениями нелинейной термоупру-гоети и функции тока в яадаче о термогравитационной конвекции вязкой несжимаемой жидкости при числе Грасгофа От = 1400000.

Рис. 12. Применение уравнении нелинейной тсрмоупругости для управления динамически адаптивной сеткой в известном тесте о сверхзвуковом течении в канале со ступенчатым сужением для числа Маха М=3. Подвижная адаптивная сетка показана для моментов времени 0.5, 1.0, 2.0, 4-0.

В заключении приводится сводка основных результатов диссертации.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Собрана, систематизирована и прокомментирована литература по численным методам решения задач механики с подвижными границами раздела сред цри больших деформациях.

2. Получены новые результаты по теории механики сплошной среды. А именно, дано последовательное обоснование основных уравнений механики сплошных сред в подвижных адаптивных координатах. Показано, что модель сплошной среды полностью определяется заданием набора независимых параметров состояния, ответственных за происходящие процессы, и двух функций, свободной эпергии и диссипации, а определяющие соотношения получаются как решения неравенства диссипации без привлечения каких-либо дополнительных принципов. Даны примеры вывода определяющих уравнений для типичных сред дифференциального типа: вязких/певязких жидких и газообразных, нелинейных термо-упругих, уцругопластических и упруговязкопласти-ческих. Найдена термодинамически корректная форма уравнений повреждающейся упругопластичсской среды и построены уравнения для описания процессов спекания порошковых композитов.

3. Построен набор конечно-элементный алгоритмов, позволяющих единообразно решать трехмерные квазистатические и динамические задачи с подвижными границами раздела в рамках произвольного Эйлерово-Лагранжева подхода для сплошных сред дифференциального типа. По сравнению с традиционными матричными предложенные алгоритмы неявных схем очень просты и кратки, так как не содержат никаких матричных операций и основаны на ньютоновской квазилинеаризации (внешние итерации по нелинейности) и методе сопряженных градиентов (внутренние итерации для решения вспомогательных линеаризованных задач). Помимо простоты реализации и гибкости предложенные алгоритмы имеют значительное преимущество в быстродействии и требуют меньше машинной памяти по сравнению со стандартными матричными конечно-элементными алгоритмами. При решении задач динамики по эффективности данные неявные схемы вполне сравнимы с явными схемами. Явные схемы для нестационарных задач также разработаны и представляют различные варианты двухслойных схем с нелинейной искусственной вязкостью, обеспечивающей квазивторой порядок точности.

4. Для расчета подвижных границ раздела упомянутые выше конечшюлементшде схемы снабжены рядом новых вспомогательных алгоритмов:

* для расчета контактных взаимодействий с учетом неремешгой зоны контакта реализованы алгоритмы явного выделения контактных границ, а именно метод множителей Лагранжа и метод штрафных функций;

* для улавливания зарождающихся и развивающихся контактных грапиц при разрушении тел с фрагментацией разработаны алгоритмы сквозного счета;

* для отслеживания подвижных свободных границ и границ раздела сред при экстремально больших деформациях развиты алгоритмы методов непрерывного и дискретных маркеров;

* для адаптации произвольно подвижных Эйлерово-Лагранжевых сеток к решению и к подвижным границам успешно применены обычные уравнения термоупругости.

5. На основе предложенной теории и методов решения автором создана программа АСТРА, используемая для решения широкого класса задач термомехапики о пространственных нестационарных течениях сплошных сред с упругими, вязкими и пластическими свойствами.

6. Алгоритмы и программа АСТРА успешно приложены к исследованию ряда технологических процессов, а именно:

* к изучению контактных взаимодействий составных конструкций сложной формы,

* к задачам формования,

* к задачам высокоскоростных соударений упру! опластических тел и взрыва,

* к расчету процесс ов разрушения с фрагментацией,

* к задачам спекания порошковых композитов,

* к расчету выращивания полупроводниковых кристаллов,

* к расчету сложных движений сплошной среды со свободными границами, ударными волнами и пограничными слоями.

Выполненное исследование выявило ряд новых физических фактов о данных процессах и показало эффективность разработанного математического обеспечения (ППП АСТРА) для их численного моделирования.

Литература

[1] Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. (1971) О влияпии задержки текучести материала на распространение упругопластических волн // Тез.докл. 5-го Всег.сими. по распространению упругих и упругопластических волн, Алма-Ата: Наука, с. 93.

[2] Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Распространение упруговязкопластических волн в средах с зараздыванием текучести // В книге "Распространение упругих и упругопластических волн", Труды 5-го Всес. симпозиума, Алма-Ата: Наука, 1973. С. 101-107.

[3] Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Численный метод решения геометрически нелинейных осесимметричных задач для упруго-пластических оболочек вращения // Строительная механика и расчет сооружений. 1976. N. 5, С. -14-49.

[4] Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Выпучивапие и закритичегкие деформации упругопластических оболочек вращения в услових осевой симметрии // Численные методы в механике твердого деформируемого тела / Под ред. Г.И. Пшеничнова. М.: ВЦ АН СССР, 1978. С. 47-68.

[5] Бураго Н.Г. Численный метод решения физически и геометрически нелинейных задач деформирования тел сложной формы // VII Всес. конф. по прочности и пластичности, Тезисы докладов, Горький: Горьк. ун-т, 1978, С. 24-25.

[6] Бураго Н.Г. Численный метод расчета статических и динамических процессов деформирования упруго-пластических конструкций // Тезисы докладов Всес. коиф. "Современные методы и алгоритмы расчета строительных конструкций", Таллин, 1979. С. 107-108.

[7] Вураго Н.Г., Любимов В.М. Алгоритм дифференциальной прогонки с промежуточной ортогонализацией и нормировкой базисных решений для систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. - Алгоритмы и программы. 1979. No. 4, ТТ003713. С. 1-27.

[8] Абрамов A.A., Бураго И.Г., Диткип В.В. и др. Пакет прикладных программ 1Л Р-BVP. Пакеты прикладных программ. Под ред. A.A. Самарского, A.A. Абрамова, 10.Г.Евтушенко. М.: Наука, 1982. С. 18-23.

[9] Абрамов A.A., Вураго Н.Г., Диткин В.В. и др. Пакет прикладных программ для решения линейных двухточечных краевых задач. Сообщения по программному обеспечению ЭВМ. М.: ВЦ АН СССР, 1982. 56 с.

[10] Abramov A.A., Bonrago N.G., Ditkin V.V. et al. Computer codes "1TPBVP" and "SPARS" // "Computational mathematics, Banach Center publications", v.13, PWN-Polish Scientific publishers, Warshaw 1984. P. 463-472.

[11] Бураго Н.Г. Формулировка уравнений механики сплошной среды в подвижных адаптивных координатах // Численные методы в механике твердого деформируемого тела / Иод ред. Г.И.Пшеничнова, М.: ВЦ АН СССР, 1984. С. 32-49.

[12] Бураго Н.Г. Уравнения для расчета больших деформаций упругопластических оболочек // Численные методы в механике деформируемого твердого тела / Под ред. Г.И. Пшеничнова, М.: ВЦ АН СССР, 1984. С. 60-69.

[13] Бураго Н.Г. Ударные взаимодействия упругопластических тел // Beer. конф. "Современные вопросы механики и машиностроения", Тезисы докладов, М.: ВИНИТИ, 1986, вып. 2, С. 39.

[14] Бураго Н.Г. Моделирование контакта упругопластических тел //VI Всероссишкий Съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Ташкент, 1986. С. 142-143

[15] Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Численное моделирование нестационарных процессов в упругоплагтичегклй среде // Методы расчета высокоупругих материалов. Тезисы докладов. Рига: 1986. С. 112.

[16] Бураго Н.Г. Конечноэлементньте методы расчета контактных взаимодействий упругопластических тел при околозвуковых скоростях удара // Теория распространения волв в упругих и упругопластических средах / Под ред. М. В. Степаненко. Новосибирск: Институт горного дела СО АН СССР, 1987. С. 18-25.

[17] Бураго Н.Г. О векторном варианте метода конечных элементов на вложенных сетках и векторизации КЭ-алгоритмов решения задач теории упругости и пластичности //II Всес. конф. "Численная реализация физико-механических задач прочности". Тезисы докладов. Горький: 1988. С. 18-19.

[18] Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Численнор решение упругопластических задач методом конечных элементов. Пакет прикладных программ АСТРА // Преприпт Института проблем механики АН СССР, 1988. No. 326. С. 1-63.

[19] Бураго Н.Г. Численное моделирование взрывов в геоматериале // Труды Всероссийской конф. "Деформирование и разрушение горных пород", Бишкек: ИЛИМ, 1990. С. 49-56.

[20] Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Решение упругопластических задач методом конечных элементов // Вычислительная механика деформируемого твердого тела, М.: Наука, 1991. Вып. 2. С. 78-122.

[21] Bojarintcev V.I., Bourago N.G., Lednev АЛ., Frost V.I. Application of reflected grid method for examination of small surface deformation of moving fluid //J. of Flow Visualization and Image Processing, vol.1, No.3, 1993. P. 235-239.

[22] Bourago N.G., Numerical Modeling of Unsteady Viscous Gas and Fluid Flows, // In: "Abstracts of 6th Nordic Seminar on Computational Mechanics", I,i л roping, Sweden, 1993.

[23] Bourago N.G. Computer code ASTRA for nonlinear problems in continuum mechanics // In: Trans, of 7th Nordic Seminar on Computational Mechanics, Trondheim, Norway, 1994. P. 48-49.

[24] Kukudzhanov V.N., Bourago N.G., Kovshov A.N., Ivanov V.L., Shneiderman D.I. On the problem of damage and localization of strains. Goteborg: Chalmers Univ. of Tech., 1995. Dept. of Struct. Mech. publ. 95:11. P. 1-35.

[25] Бураго Н.Г., Федюшкив А.И., Голышев В.Д., Гоник М.А., Полежаев В.И., Цветовскии В.Б. Моды вынуждепной и естественной конвекции и их влияние на распределение примеси в кристаллах, выращенных по методу ATFla // Труды Ш-й Межд. конф. "Кристаллы, рост, свойства, структура, приложения", том 1. г. Александров: ВНИИСИМС, 1997. С. 239-259.

[26] Bourago N.G., Fedyushkin A.I., Polezhaev V.I. Modeling of Unsteady Submerged Hpating Crystal Growth in Ground-Based and Microgravity Environment // Proceedings of Xth European and 6th Russian Symposium on Physical Sciences in Microgravity. St Petersburg: 1997. Vol. 2. C. 405-412.

[27] Bourago N.G., Fedyushkin A.I. The rotation effect on dopant distribution during submerged heater crystal growth // Abstracts of Third Int. Conference "Singe crystal growth, strength problem, and heat mass transfer", Obninsk, Rubbia, 1999. P. 195-198.

[28] Bourago N.G., Fedyushkin A.I. Impurity distribution in submerged heater method with and without rotation // Proc. Int. Conf. Comput. Heat Mass Transfer, N. Cyprus, Turkey, 1999. P. 207-215.

[29] Bourago N.G., Fedyushkin A.I., Polezhaev V.I. Dopant distribution in crystals grown by the submerged heater method under steady and oscillatory rotation // Advances in Spate Research, 1999. Vol. 24. No. 10. P. 1245-1250.

[30] Бураго Н.Г., Ковшов A.H. Напряженно-деформированное состояние горной породы в окрестности скважин, Известия РАН, МТТ, 1999, N. 1, с. 139-143.

[31] Бураго II.Г., Глушко А.И., Ковшов А.И. Термодинамический меюд получения определяющих уравнений для моделей сплошных сред // №в. РАН, МТТ, 2000, N.6, с. 4-15.

[32] Бураго Н.Г., Ковшов А.Н. Модель дилатирующей разрушающейся среды // Изв. РАН, МТТ, 2001, N. 5, С. 112-117.

[33] Бураго, Н.Г., Глушко, А.И., Ковшов, А.Н. Метод получения определяющих соотношений для моделей сплошных сред на основе законов термодинамики // VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Аннотации докладов, Пермь, 2001.

[34] Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. О континуальном разрушении и локализации деформаций // Прикладные проблемы прочности и пластичности, Межвуз. сб., М., Наука, 2001, вып. 63,С. 41-48.

[.45] Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Обзор контактных алгоритмов, Изв. РАН, МТТ, 2003- С. 1-73. (принята к печати).

[36] Bourago N.O. A survey on contact algorithms // Pror. of the Workshop "Grid generation: theory and applications'' / Ed. S.A.Ivanenko et V.A.Caranzha. Moscow: Computing Centre

of RAS, 2002. P. 42-59.

Бураго Николай Георгиевич Численное решение задач МСС с подвижными границами раздела

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Подписано к печати 15.04.2003. Заказ N. 18-2003. Тираж 75 экз. Отпечатано в Институте проблем механики РАН 117526, Москва, проспект Вернадского, 101 - 1

1

I

k i

ï

( t

' - t i

2lo

Введение

Глава 1. Обзор методов решения задач с подвижными границами раздела

1.1. Обзоры формулировок задач.

1.2. Обзоры по методам расчета контакта

1.3. Лагранжевы алгоритмы расчета контакта с абсолютно жесткими телами

1.4. Лагранжевы алгоритмы сквозного счета

1.5. Лагранжевы алгоритмы выделения контактной границы. Поиск зоны контакта

1.6. Лагранжевы алгоритмы выделения контактной границы.

1.7. Эйлеровы алгоритмы расчета контактных границ.

1.8. От сеточных к бессеточным дискретным алгоритмам.

1.9. Учет контактного трения

1.10. Проблемно-ориентированные контактные алгоритмы

1.11. Алгоритмы оптимизации контактных взаимодействий

1.12. Распараллеливание контактных алгоритмов

1.13. Оценки точности и сравнения контактных алгоритмов

1.14. Заключительные замечания

Глава 2. Основные уравнения и определяющие соотношения

2.1. Состояние вопроса

2.2. Закон движения

2.3. Деформации

2.4. Плотность, напряжения и тепловые потоки

2.5. Материальные меры деформаций и напряжений

2.6. О нотациях и выборе мер

2.7. Определяющие соотношения

2.8. Примеры определяющих соотношений

2.8.1. Вязкие газ и жидкость

2.8.2. Термо-упругая среда

2.8.3. Термо-упруго-вязко-пластическая среда

2.9. Теория разрушения и консолидации ф 2.9.1. Пористость как определяющий параметр

2.9.2. Параметр разрушения (поврежденность)

2.9.3. Зависимость упругости от пористости и поврежденности

2.9.4. Свободная энергия и скорость диссипации.

2.9.5. Определяющие соотношения

2.10. Уравнения подвижных адаптивных координат

2.11. Постановка общей начально-краевой задачи

Глава 3. Численные алгоритмы

3.1. Алгоритмы генерации сеток

3.1.1. 2Б алгоритм построения нерегулярных треугольных сеток при заданном расположении узлов сетки

3.1.2. 2Б алгоритм квадратичных отображений

3.1.3. 2Б алгоритм "нарезания пирога"

3.1.4. 2Б алгоритм квазигармонических барьерных отображений

3.1.5. 2Б алгоритм измельчения и сшивания подсеток

3.1.6. ЗБ алгоритм "трансляции" для нерегулярных сеток.

3.1.7. ЗБ алгоритм для квазирегулярных ук-сеток

3.1.8. Алгоритмы для расчета подвижных геометрически адаптивных сеток

3.1.9. Алгоритм адаптации подвижных сеток к решению.

3.2. Лагранжевы схемы метода конечных элементов

3.2.1. Лагранжева формулировка.

3.2.2. Пространственные КЭ-аппроксимации.

3.2.3. Схема типа "крест"

3.2.4. Схема квазивторого порядка точности

3.2.5. Полностью консервативная схема

3.2.6. Квазиньютоновская неявная схема.

3.2.7. Метод сопряженных градиентов

3.2.8. Векторизация вычислительного процесса.

3.2.9. Применение итераций на вложенных сетках

3.3. Эйлерово-лагранжевы схемы МКЭ

3.3.1. Учет конвекции

3.3.2. Расчет сильных ударных волн и зон разрежения

3.3.3. Случай несжимаемой среды. л 3.3.4. Управление произвольно подвижными сетками

3.4. Расчет контакта деформируемых тел

• 3.4.1. Метод множителей Лагранжа для расчета контакта

3.4.2. Расчет контактной границы методом штрафа.

3.5. Метод фиктивных областей.

3.6. Метод дискретных маркеров

3.7. Метод непрерывных маркеров

3.8. Расчет межфазных границ.

3.9. Перечень схем, реализованных в пакете программ АСТРА

Глава 4. Результаты расчетов

4.1. Проверка методов на тестовых примерах.

4.2. Квазистатические задачи для упругопластических тел.

Расчет гребенчатых соединений. ф Расчет плотины и составного основания.

Задачи формования,.

4.3. Динамические задачи для упругопластических тел

Удар алюминиевым шаром в стальную преграду

Удар стальным шаром в алюминиевую преграду

Удар алюминиевым шаром в алюминиевую преграду.

Трехмерные задачи удара

Расчет образования воронки при взрыве

4.4. Задачи о локализации деформаций

Растяжение стандартного образца.

Резка металлического листа

Оползень склона.

Удар двух тел под углом с учетом разрушения

4.5. Спекание порошковых композитов.

Холодное прессование

Горячее спекание.

Пример неоднородного прессования и спекания

4.6. Течения тяжелой жидкости с подвижными границами раздела

Задачи о росте кристаллов из расплава.

Расчет подвижных свободных границ непрерывными маркерами 159 Расчет струй и фонтанов дискретными маркерами

9 4.7. Применение произвольно подвижных адаптивных сеток

В диссертации получено решение важной научно-технической проблемы - создания интегрированного пакета программ (АСТРА) для решения широкого круга нелинейных задач механики сплошной среды, включающего контактные задачи квазистатики и динамики упругопла-стических сред, задачи о разрушении и консолидации материалов, задачи формования и штамповки изделий, нестандартные задачи о течения несжимаемой вязкой среды с подвижными границами раздела, задачи о росте кристаллов и спекании.

В первой главе дан анализ работ по методам численного решения задач МСС с подвижными границами раздела.

Во второй главе представлена постановка общей задачи МСС в подвижных координатах.

В третьей главе описаны разработанные численные алгоритмы для расчета течений нелинейных сплошных сред.

В четвертой главе приведено описание типичных численных решений, полученных с использованием разработанных теории, методов и программы АСТРА.

Выводы и перечень основных результатов диссертации, выносимых на защиту, приведен в Заключении.

По содержанию диссертации сделано более 70 публикаций, из которых половину составляют доклады на конференциях, отраженные в кратких тезисах, еще четверть составляют отчеты по проектам. Оставшуюся четверть составляют статьи по отдельным вопросам работы (около 15). Автор имеет дополнительно более 20 публикаций по вопросам математики и механики, выходящим за рамки диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих изданиях:

1. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. О влиянии задержки текучести материала на распро-странение упругопластических волн // Тез.докл. 5-го Всес.симп. по распространению упругих и упругопластических волн, Алма-Ата: Наука, 1971. С. 93.

2. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Распространение упруговязкопла-стических волн в средах с зараздыванием текучести //В книге " Распространение упругих и упругопластических волн", Труды 5-го Всес. сим

• позиума, Алма-Ата, 1973. С. 101-107.

3. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Численный метод решения геометрически нелинейных осесимметричных задач для упруго-пластических оболочек вращения // Строительная механика и расчет сооружений, N. 5, с.44-49.

4. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Выпучивание и закритичсскне деформации упругопластических оболочек вращения в услових осевой симметрии // Сборник по численным методам в механике твердого деформируемого тела. М.: ВЦ АН СССР, 1978. С. 47-68.

21. Бураго Н.Г., Любимов В.М. Алгоритм дифференциальной прогонки с промежуточной ортогонализацией и нормировкой базисных решений для систем обыкновенных линейных дифференциальных уравне

• ний. - Алгоритмы и программы. 1979. N. 4, П003713.

20. Абрамов А.А., Бураго Н.Г., Диткин В.В. и др. Пакет прикладных программ LTPBVP. Пакеты прикладных программ. Под ред. А.А. Самарского, А.А. Абрамова, Ю.Г.Евтушенко. М.: Наука, 1982. С. 18-23.

22. Абрамов А.А., Бураго Н.Г., Диткин В.В. и др. Пакет прикладных программ для решения линейных двухточечных краевых задач. Сообщения по программному обеспечению ЭВМ. М.: ВЦ АН СССР, 1982. 56 с.

Abramov A.A., Bourago N.G., Eremin A.Yu. et al. Computer codes "LTPBVP" and "SPARS" // "Computational mathematics, Banach Center publications", v.13, PWN-Polish Scientific publishers, Warshaw 1984. P. 463-472. m 5. Бураго Н.Г. Формулировка уравнений механики сплошной среды в подвижных адаптивных координатах // Числ. методы в меха тв. деф. тела, М., ВЦ АН СССР, 1984, С. 32-49.

6. Бураго Н.Г. Уравнения для расчета больших деформаций упругопластических оболочек //В книге "Численные методы в механике деформируемого твердого тела" (под редакцией Г.И. Пшеничнова), ВЦ АН СССР, Москва, с. 50-59.

7. Бураго Н.Г. Ударные взаимодействия упругопластических тел // Современные вопросы механики и технологии машиностроения, Всесоюзная конф. (Москва, 20-22 апреля 1986 г.). Тезисы докладов. М.: ВИ

• НИТИ АН СССР и ГКНТ, 1986. Часть 2. с. 39.

8. Бураго Н.Г. Моделирование контакта упругопластических тел //

• Материалы VI Всероссийского Съезда по теоретической и прикладной механике, Ташкент, 1986, с. 142-143

9. Бураго Н.Г. Конечноэлементные методы расчета контактных взаимодействий упругопластических тел при околозвуковых скоростях удара // Теория распространения волн в упругих и упругопластических средах, - Новосибирск, ИГД СО АН СССР, 1987. С. 74-79.

10. Бураго Н.Г. О векторном варианте метода конечных элементов на вложенных сетках и векторизации КЭ-алгоритмов решения задач теории упругости и пластичности // Численная реализация физико-механических задач прочности: 2 Всесоюз. конф., Горький, с. 18-19.

11. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Численное решение упругопластических задач методом конечных элементов. Пакет прикладных программ

• АСТРА // Препринт Института проблем механики АН СССР, N.326, 1988, с. 1-63.

12. Бураго Н.Г. Численное моделирование взрывов в геоматериале // Труды Всероссийской конф. "Деформации и разрушение горных пород", Фрунзе, ИЛИМ, 1990, с. 49-56.

13. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Решение упругопластических задач методом конечных элементов // Вычислительная механика деформируемого твердого тела, М.: Наука, 1991, вып. 2, стр. 78-122.

14. Бураго Н.Г., Федюшкин А.И., Голышев В.Д., Гоник М.А., Полежаев В.И., Цветовский В.Б. Моды вынужденной и естественной конвекции и их влияние на распределение примеси в кристаллах, выращенных

• по методу АТПа, Труды Ш-й Межд. конф. "Кристаллы, рост, свойства, структура, приложения", том. 1, ВНИИСИМС, Александров, 1997, с. 239-259.

15. Бураго Н.Г., Ковшов А.Н. Напряженно-деформированное состояние горной породы в окрестности скважин, Известия РАН, МТТ, 1999, N. 1, с. 139-143.

16. Бураго Н.Г., Глушко А.И., Ковшов А.Н. Термодинамический метод получения определяющих уравнений для моделей сплошных сред // Изв. РАН, МТТ, 2000, N.6, с. 4-15.

17. Бураго Н.Г. и Ковшов А.Н. Модель дилатирующей разрушающейся

• среды // Изв. РАН, МТТ, 2001, N. 5, С. 112-117.

18. Бураго, Н.Г., Глушко, А.И., Ковшов, А.Н. Метод получения определяющих соотношений для моделей сплошных сред на основе законов термодинамики // Тезисы VIII Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике, Пермь, 2001.

19. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Расчет процессов континуального разрушения термоупругопластических тел // Прикладные проблемы прочности и пластичности, Нижний Новгород: Нижегородский университет, 2001, вып. 63, С. 41-48.

23. Бураго Н.Г. Обзор контактных алгоритмов. Построение расчетных сеток: теория и приложения. Труды семинара ВЦ РАН. Москва, 24-28 июня 2002 г. Ред. С.А. Иваненко, В.А.Гаранжа. М.: ВЦ АН СССР, 2002. С. 42-59.

Заключение

В диссертации получено решение крупной научно-технической проблемы создания математического обеспечения для задач о больших деформациях упруговязкопластических сред с подвижными границами раздела. Ниже приводится перечень основных положений, выносимых на защиту.

1. Собрана, систематизирована и прокомментирована литература по численным методам решения задач механики с подвижными границами раздела сред при больших деформациях.

2. Получены новые результаты по теории механики сплошной среды. А именно, дано последовательное обоснование основных уравнений механики сплошных сред в подвижных адаптивных координатах. Показано, что модель сплошной среды полностью определяется заданием набора независимых параметров состояния, ответственных за происходящие процессы, и двух функций, свободной энергии и диссипации, а определяющие соотношения получаются как решения неравенства диссипации без привлечения каких-либо дополнительных принципов. Даны примеры вывода определяющих уравнений для типичных сред дифференциального типа: вязких/невязких жидких и газообразных, нелинейных термо-упругих, упругопластических и упруговязкопластических. Найдена термодинамически корректная форма уравнений повреждающейся упругопласти-ческой среды и построены уравнения для описания процессов спекания порошковых композитов.

3. Построен набор конечно-элементных алгоритмов, позволяющих единообразно решать трехмерные квазистатические и динамические задачи с подвижными границами раздела в рамках произвольного Эйлерово-Лагранжева подхода для сплошных сред дифференциального типа. По сравнению с традиционными матричными предложенные алгоритмы неявных схем очень просты и кратки, так как не содержат никаких матричных операций и основаны на ньютоновской квазилинеаризации (внешние итерации по нелинейности) и методе сопряженных градиентов (внутренние итерации для решения вспомогательных линеаризованных задач). Помимо простоты реализации и гибкости предложенные алгоритмы имеют значительное преимущество в быстродействии и требуют меньше машинной памяти по сравнению со стандартными матричными конечно-элементными алгоритмами. При решении задач динамики по эффективности данные неявные схемы вполне сравнимы с явными схемами. Явные схемы для нестационарных задач также разработаны и представляют различные варианты двухслойных схем с нелинейной искусственной вязкостью, обеспечивающей квазивторой порядок точности.

4. Для расчета подвижных границ раздела упомянутые выше конечно-элементные схемы снабжены рядом новых вспомогательных алгоритмов: для расчета контактных взаимодействий с учетом переменной зоны контакта реализованы алгоритмы явного выделения контактных границ, а именно метод множителей Лагранжа и метод штрафных функций; для улавливания зарождающихся и развивающихся контактных границ при разрушении тел с фрагментацией разработаны алгоритмы сквозного счета; для отслеживания подвижных свободных границ и границ раздела сред при экстремально больших деформациях развиты алгоритмы методов непрерывного и дискретных маркеров; для адаптации произвольно подвижных Эйлерово-Лагранжевых сеток к решению и к подвижным границам успешно применены обычные уравнения термоупругости.

5. На основе предложенной теории и методов решения автором создана программа АСТРА, используемая для решения широкого класса задач термомеханики о пространственных нестационарных течениях сплошных сред с упругими, вязкими и пластическими свойствами.

6. Алгоритмы и программа АСТРА успешно приложены к исследованию ряда технологических процессов, а именно: к изучению контактных взаимодействий составных конструкций сложной формы, к задачам формования, к задачам высокоскоростных соударений упругопластических тел и взрыва, к расчету процессов разрушения с фрагментацией, к задачам спекания порошковых композитов, к расчету выращивания полупроводниковых кристаллов, к расчету сложных движений сплошной среды со свободными границами, ударными волнами и пограничными слоями.

Выполненное исследование выявило ряд новых физических фактов о данных процессах и показало эффективность разработанного математического обеспечения для их численного моделирования.

Автор выражает глубокую признательность профессору В.Н. Куку-джанову за многолетнюю поддержку исследований по теме диссертации.

1. Аганин A.A., Кузнецов В.Б. Метод консервативной интерполяции интегральных параметров ячеек произвольных сеток. Динамика оболочек в потоке. // Труды семинара. Казань: Казанский физ.-тех. инст. 1985, Вып. 18, С. 144-160.

2. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками // М.: Наука, 1983. 488 с.

3. Механика контактных взаимодействий // под ред. В.М. Александрова и И.И. Воро-вича, Москва, Физматгиз, 2001.

4. Аннин Б.Д., Садовская О.В., Садовский В.М. Численное моделирование косого соударения пластин в упругопластической постановке // Физ. мезомеханика, 2000. Т. 3. N. 4. С. 23-28.

5. Аннин Б.Д., Садовская О.В., Садовский В.М. Численное моделирование волнообразования при сварке взрывом в упругопластической постановке / / Материалы Меж-дунар. конф. "Синергетика 2000". Комсомольск-на-Амуре, 2000. С. 52-54.

6. Арутюнян Н.Х., Манжиров A.B., Наумов В.Э. Контактные задачи механики растущих тел, М.: Наука, 1991. 175 с.

7. Астанин В.В., Галиев Ш.У., Ивахценко К.В. Особенности деформирования и разрушения алюминиевых преград при взаимодействии по нормали со стальным ударником // Проблемы прочности. 1988. N. 12. С. 52-58.

8. Анучина H.H. О методах расчета течений сжимаемой жидкости с большими деформациями // Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1970. Т. 1. N. 4. С. 3-84.

9. Анучина H.H., Бабенко К.И., Годунов С.К. и др. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. М.: Наука, 1979. 295 с.

10. Астарита Дж., Марруччи Дж. Основы гидродинамики неньютоновских жидкостей // М.: Мир, 1978. С. 309.

11. Ахмадеев Н.Х. Исследование откольного разрушения при ударном деформировании. Модель поврежденной среды // ПМТФ, 1983, N. 1, с. 158-167.

12. Баженов В.Г., Кибец А.Г. Численное моделирование нестационарного деформирования упругопластических конструкций методом конечных элементов // Изв. РАН. МТТ. 1994. N. 1. С. 52-57.

13. Баженов В.Г., Кибец А.И., Цветкова И.Н. Численное моделирование нестационарных процессов ударного взаимодействия деформируемых элементов конструкций // Проблемы машиностроения и надежносности машин. 1995. N. 2. С. 20-26.

14. Баничук Н.В. Численное решение задачи о прогибе упругой пластины, стесненной ограничениями // Инж. ж. МТТ. 1967. N. 4. С. 138-142.

15. Баничук Н.В., Картвелишвили В.М., Черноусько Ф.Л. Численное решение осесим-метричной задачи о вдавливании штампа в упругопластическую среду // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. N. 1. С. 50-57.

16. Баничук Н.В., Черноусько Ф.Л. Вариационные задачи механики и управления М.: Наука, 1973. 236 с.

17. Белоцерковский О.М. (Ред.) Численные методы в механике жидкостей, М., Мир, 1973, 304 с.

18. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике // М., Наука, 1982.

19. Белоцерковский О.М. Численные методы в механике сплошных сред // М., Наука, 1984, 519 с.

20. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М.; Наука, 1978. 351 с.

21. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. 494 с.

22. Брандт, А. Расчеты многосеточным адаптивным методом в гидродинамике // Ракетная техника и космонавтика. 1980. Т. 18, N 10. С 38-43

23. Бугров А.Н., Коновалов А.Н., Щербак В.А. Метод фиктивных областей в плоских статических задачах теории упругости. / / Численные методы в механике сплошной среды, 1974, т. 5, N. 1, с. 20-30.

24. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. О влиянии задержки текучести материала на распространение упругопластических волн // Тез.докл. 5-го Всес.симп. по распространению упругих и упругопластических волн, Алма-Ата: Наука, 1971. С. 93.

25. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Распространение упруговязкопластических волн в средах с зараздыванием текучести //В книге "Распространение упругих и упругопластических волн", Труды 5-го Всес. симпозиума, Алма-Ата, 1973. С. 101-107.

26. Бураго Н.Г. Квазистатическое выпучивание и закритические деформации упругопластических оболочек при осевой симметрии // Дисс. канд. физ.-мат. наук, М., Мех.-мат. ф-т, МГУ, 1977. С. 1-104.

27. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Выпучивание и закритичсскне деформации упругопластических оболочек вращения в услових осевой симметрии // Численные методы в механике твердого деформируемого тела. М.: ВЦ АН СССР, 1978. С. 47-68.

28. Бураго Н.Г. Численный метод решения физически и геометрически нелинейных задач деформирования тел сложной формы // VII Всес. конф. по прочности и пластичности, Тез. докл., Горький, 1978, С. 24-25.

29. Бураго Н.Г. Численный метод расчета статических и динамических процессов деформирования упруго-пластических конструкций // Матер. Всес. конф. "Современные методы и алгоритмы расчета строительных конструкций", Таллин, с. 107-108.

30. Бураго Н.Г. Формулировка уравнений механики сплошной среды в подвижных адаптивных координатах // Числ. методы в меха тв. деф. тела, М., ВЦ АН СССР, 1984, С. 32-49.

31. Бураго Н.Г. Уравнения для расчета больших деформаций упругопластических оболочек //В книге "Численные методы в механике деформируемого твердого тела" (под редакцией Г.И. Пшеничнова), ВЦ АН СССР, Москва, с. 50-59.

32. Бураго Н.Г. Численное решение задач нелинейной теории упругости // Труды 2-й Всес. конф. по нелинейной теории упругости, Фрунзе, ИЛИМ, 1985. С. 138.

33. Бураго Н.Г. Ударные взаимодействия упругопластических тел // Современные вопросы механики и технологии машиностроения, Всесоюзная конф. (Москва, 20-22 апреля 1986 г.). Тезисы докладов. М.: ВИНИТИ АН СССР и ГКНТ, 1986. Часть 2. с. 39.

34. Бураго Н.Г. Моделирование контакта упругопластических тел // Материалы VI Всероссийского Съезда по теоретической и прикладной механике, Ташкент, 1986, с. 142143

35. Бураго Н.Г. и Кукуджанов В.Н. Численное моделирование нестационарных процессов в упругопластическлй среде // Методы расчета высокоупругих материалов, Рига,1986, с. 112

36. Бураго Н.Г. Конечноэлементные методы расчета контактных взаимодействий упругопластических тел при околозвуковых скоростях удара // Теория распространения волн в упругих и упругопластических средах, Новосибирск, ИГД СО АН СССР,1987. С. 74-79.

37. Бураго Н.Г. О векторном варианте метода конечных элементов на вложенных сетках и векторизации КЭ-алгоритмов решения задач теории упругости и пластичности // Численная реализация физико-механических задач прочности: 2 Всесоюз. конф., Горький, с. 18-19.

38. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Численное решение упругопластических задач методом конечных элементов. Пакет прикладных программ АСТРА // Препринт Института проблем механики АН СССР, N.326, 1988, с. 1-63.

39. Бураго Н.Г. Численное моделирование взрывов в геоматериале // Труды Всероссийской конф. "Деформации и разрушение горных пород", Фрунзе, ИЛИМ, 1990, с. 49-56.

40. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Решение упругопластических задач методом конечных элементов // Вычислительная механика деформируемого твердого тела, М.: Наука, 1991, вып. 2, стр. 78-122.

41. Бураго Н.Г., Ковшов А.Н. Напряженно-деформированное состояние горной породы в окрестности скважин, Известия РАН, МТТ, 1999, N. 1, с. 139-143.

42. Бураго Н.Г., Глушко А.И., Ковшов А.Н. Термодинамический метод получения определяющих уравнений для моделей сплошных сред // Изв. РАН, МТТ, 2000, N.6, с. 4-15.

43. Бураго Н.Г. и Ковшов А.Н. Модель дилатирующей разрушающейся среды // Изв. РАН, МТТ, 2001, N. 5, С. 112-117.

44. Бураго, Н.Г., Глушко, А.И., Ковшов, А.Н. Метод получения определяющих соотношений для моделей сплошных сред на основе законов термодинамики // Тезисы VIII Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике, Пермь, 2001.

45. Бураго Н.Г., Кукуджанов В.Н. Расчет процессов континуального разрушения термо-упругопластических тел // Прикладные проблемы прочности и пластичности, Нижний Новгород: Нижегородский ун-т, 2001, вып. 63, С. 41-48.

46. Быковских A.M., Кошур В.Д., Мартьянов В.А., Филимоненко И.В. Моделирование динамических процессов удара и проникания // Числ. методы реш. задач теории упруг, и пластич., Тр. 13 межресп. конф., Новосибирск, 1995, С. 30-35

47. Бычек (Садовкая) О.В., Садовский В.М. К исследованию динамического контактного взаимодействия деформируемых тел // ПМТФ, 1998, Т. 39, N. 4, С. 167-173.

48. Вайнберг Д.В., Городецкий A.C., Киричевский В.В., Сахаров A.C. Метод конечного элемента в механике деформируемых тел // Прикладная механика, 1972, 8, N. 8, с. 4-27.

49. Вовкушевский A.B. Вариационная постановка и методы решения контактной задачи с трением при учете шероховатости поверхности // Известия РАН, МТТ, 1991, N. 3.

50. Галахов М.А., Усов П.П. Дифференциальные и интегральные уравнения математической теории трения, М., Наука, 1990, 280 с.

51. Гаранжа В.А. Вариационный барьерный метод построения квазизометрических сеток. ЖВМиМФ, 2000. Том 40. N. И. С. 1617-1637.

52. Гарсон А.Л. Континуальная теория вязкого разрушения, обусловленного образованием и ростом пор. Тр. Амер. о-ва инж.-мех. Теор. осн. инж. расчетов, 1977, N. 1, с. 182-201

53. Гильманов А.Н. Методы адаптивных сеток в задачах газовой динамики. М.: Физ-матгиз, 2000, 248 с.

54. Глаголева Ю.П., Жогов В.М., Кирьянов Ю.Ф. и др. Основы методики "Медуза". // Числ. методы МСС, Новосиборск, 1972, т. 3, N. 2.

55. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений гидродинамики // Мат. сборник, 1959, 47 (89), No. 3, 271-306.

56. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики, Москва, Наука, 1976.

57. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды // М., Наука, 1978. 303 с.

58. Гольдштейн Р.В., Зазовский А.Ф., Спектор A.A., Федоренко Р.П. Решение пространственных контактных задач качения с проскальзыванием и сцеплением вариационным методом // Препринт No. 134, Ин-т проблем механики АН СССР, М., 1979.

59. Гольдштейн Р.В., Спектор A.A. Вариационные методы решения и исследования пространственных контактных и смешанных задач с трением // Механика деформируемого тела, М., Наука, 1986. С. 52-73.

60. Горбунов A.A., Грязнов B.JI. Применение матричного модуля ЭВМ ЕС-1055М для численного решения задач конвекции // Проблемы динамики вязкой жидкости. Новосибирск: ИТПМ АН СССР, 1985, с. 100-103.

61. Горельский В.А., Хорев И.Е., Югов Н.Т. Численное моделирование трехмерных задач внедрения и разрушения цилиндров при несимметричном нагружении / / Физика горения и взрыва, 1987, N. 1, С. 71-74.

62. Горельский В.А., Зелепугин С.А., Сидоров В.Н. Численное исследование трехмерной задачи взаимодействия с высокопрочной преградой профилированного ударника с наполнителем // Проблемы прочности, 1992, N.1, с.47-50.

63. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами, М., Наука, Физматлит, 1995, 352 с.

64. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарные динамические контактные задачи, в кн. "Механика контактных взаимодействий", под ред. В.М. Александрова и И.И. Воровича, Москва, Физматгиз, 2001. с. 349-416.

65. Горячева И.Г., Добычин М.Н. Контактные задачи в трибологии, М., Машиностроение, 1988, 256 С.

66. Горячева И.Г., Чекина О.Г. Механика дискретного контакта // Механика контактных взаимодействий, под ред. В.М. Александрова и И.И. Воровича, Москва, Физматгиз, 2001, с. 418-437.

67. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью. JL: Судостроение, 1976, 200 с.

68. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек, М., Машиностроение, 1980, 416 с.

69. Григорян С.С. (ред.) Динамика удара. М.: Мир, 1985, 296 с.

70. Григорьев B.B. Метод конечных элементов в решениях задач динамики упругопла-стических сред // Дисс. канд. тех. наук, Институт сейсмологии АН Каз. ССР, Алма-Ата, 1986.

71. Гриднева В.А., Корнеев А.И., Трушков В.Г. Численный расчет напряженного состояния и разрушения плиты конечной толшины при ударе бойками различной формы // Изв. АН СССР, МТТ, 1980, N. 1, с. 146-157.

72. Гриднева В.А., Немирович-Данченко М.М. Метод разделения точек сетки для численного расчета разрушения твердых тел // Томский Государственный Ун-т, Томск, 1983, Рук. депонирована в ВИНИТИ, N. 3258-83деп.

73. Гулидов А.И., Фомин В.М. Модификация метода Уилкинса для решения задач соударения тел // Препринт ИТПМ СО АН СССР, Новосибирск, 1980.

74. Гулидов А.И. Проникание твердого ударника в деформируемую преграду. Численные методы решения задач теории упругости и пластичности // Материалы VI Всес. конф., Новосибирск, 1980. с. 59-69.

75. Гулидов А.И., Фомин В.М., Шабалин И.И. Численное моделирование задачи удара двух тел с учетом разрушения // Численная реализация физико-механических задач прочности, Тез. докл. Горький, 1983, с. 60.

76. Гулидов А.И., Шабалин И.И. Численная реализация граничных условий в динамических контактных задачах // Препринт ИТПМ СО АН СССР N. 12-87, 1987, 37 с.

77. Гулидов А.И., Шабалин И.И. Расчет контактных границ с учетом трения при динамическом взаимодействии деформируемых тел. Численные методы решения задач теории упругости и пластичности // Материалы IX Всес. конф., Новосибирск, 1988, с. 70-75.

78. Гулидов А.И., Шабалин И.И. Метод свободных элементов // Препринт ИТПМ СО РАН N. 9-94, Новосибирск, 1994, 32 с.

79. Гулидов А.И., Шабалин И.И. Численное моделирование процесса проникания стержней в массивные мишени методом свободных элементов // Числ. методы реш. задач теории упруг, и пластич., Тр. 13 межресп. конф., Новосибирск, 1995, с. 68-76.

80. Давыдов B.C., Чумаченко E.H. Метод реализации модели контактного взаимодействия в МКЭ при решении задач о формоизменении сплошных сред // Известия РАН, Механика твердого тела, N. 4, с. 53-63.

81. Давыдов Ю.М. Численное исследование тейлоровской неустойчивости в нелинейном приближении // Числ. методы механ. сплошной среды, Новосибирск, Наука, 1978, 9, .N. 3, с. 67-69.

82. Давыдов Ю.М., Пантелеев М.С. Развитие трехмерных возмущений при релей-тейлоровской неустойчивости // ПМТФ, 1981, N. 1, с. 117-122.

83. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.-.Наука, 1967. 368 с.

84. Дьяченко В.Ф. Об одном новом методе численного решения нестационарных задач газовой динамики с двумя пространственными переменными // ЖВМ и МФ, 1965, 5, N. 4, с. 680-688.

85. Дюво Ж., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике, М., Наука, 1980, 383 с.

86. Еремин А.Ю., Марьяшкин Н.Я. Метод сопряженных градиентов с неполным разложением Холецкого для решения систем линейных алгебраических уравнений, // М., Препринт ВЦ АН СССР, 1978, б/н, с. 1-14.

87. Заппаров К.И., Кукуджанов В.Н. Решение нестационарных задач динамики упру-гопластической среды методом подвижных сеток // Численные методы в механике твердого деформируемого тела // М., ВЦ АН СССР, 1984, с. 65-86

88. Заппаров К.И., Кукуджанов В.Н. Математическое моделирование задач импульсного взаимодействия и разрушения упругопластических тел. М.: Ин-т проблем механики АН СССР, 1986. Препринт No. 280. 67 с.

89. Зенкевич О., Метод конечных элементов в технике, М., Мир, 1975, 541 с.

90. Зернин М.В., Морозов Е.М. Механика разрушения тел при контактном взаимодействии //В кн.: Александров, В.М. и Ворович, И.И. (Редакторы) (2001) Механика контактных взаимодействий, М., Наука, 2001, с. 624-639.

91. Иваненко С.А. Адаптивно-гармонические сетки // М.: ВЦ РАН, 1997, 181 с.

92. Иваненко С.А. Барьерный метод построения квазигармонических сеток. ЖВ-МиМФ, 2000. Том 40. N. И. С. 1600-1616.

93. Ивагценко К.Б. Расчет контактных границ в задачах взаимодействия деформируемых тел // Динамические задачи механики сплошной среды, Тез. докл. регион, конф., Дивноморск, 1988, КубГУ, Краснодар, 1988, с. 59-61.

94. Иващенко К.Б. Алгоритм расчета контактных границ при взаимодействии деформируемых твердых тел // Проблемы прочности, 1989, N.2, с. 79-82.

95. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды // М.: МГУ, 1971, 247 с.

96. Калмыков С.Г., Кукуджанов В.Н. Метод потоков и корректирующих маркеров (пикм метод) для численного моделирования высокоскоростных соударений твердых тел // М.: ИПМех РАН, Препринт 529, 1993, с. 1-37.

97. Квитка A.JL, Ворошко П.П., Бобрицкая С.Д. Напряженно-деформированное состояние тел вращения, Киев, Наукова думка, 1977, 208 с.

98. Киселев А.Б. Развитие метода Уилкинса для решения трехмерных задач соударения деформируемых тел // Взаимодействие волн в деформируемых средах, М., МГУ, 1984, с. 87-100.

99. Киселев А.Б. К расчету трехмерного соударения упругопластического стержня с жесткой преградой // Вест. МГУ, Математика, механика, 1988, N. 2, с. 30-36.

100. Киселев А.Б. Численное моделирование в трехмерной постановке наклонного пробивания тонких преград, Численное решение задач волновой динамики, // Мат. исследования, 1989, вып. 108, Кишинев, Штиинца, с. 19-26.

101. Киселев А.Б., Кабак Н.Е. Метод построения расчетных сеток с выделением внутренних контактных границ // Моделирование в механике, 1990, Т. 4, N. 5, с. 96-110.

102. Ковеня В.М., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981. 304 с.

103. Klisch. S.M. and Lötz J.С. Application of a fiber-reinforced continuum theory to multiple deformations of the annulus fibrosus //J. Biomechanics, 1999, v. 32, p. 1027-1036.

104. Коларов Д., Балтов А., Бончева H. Механика пластических сред // Москва, Мир, 1979, 302 с.

105. Кондауров В.И. и Кукуджанов В.Н. Об определяющих уравнениях и численном решении некоторых задач динамики упругопластической среды с конечными деформациями // Сб. по численным методам в механике деформируемого твердого тела, М., ВЦ АН СССР, 1978.

106. Кондауров В.И., Кукуджанов В.Н. Соударение жесткого цилиндра со слоистой упруго-пластической преградой // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности, Материалы VI Всес. конф., Новосибирск, 1980, с. 105-120.

107. Кондауров В. И. Об уравнениях упруговязкопластической среды с конечными деформациями // ПМТФ, 1982, N. 4, С. 133-139.

108. Кондауров В.И., Петров И.В., Холодов A.C. Численное моделирование процесса внедрения жесткого тела вращения в упругопластическую среду // ПМТФ, 1984, No. 4, с. 132-139.

109. Кондауров В.И., Петров И.Б. Расчет процессов динамического деформирования упругопластических тел с учетом континуального разрушения, ДАН СССР, 1985, с. 1344-1347.

110. Кондауров В.И. Континуальное разрушение нелинейно-упругих тел, ПММ, т.52, вып.2, 1988. С. 302-310.

111. Кондауров В.И., Никитин JI.B. Модель континуального разрушения вязкоупругих сред // Изв. АН СССР, МТТ, 1989. No. 3. С. 131-139.

112. Кондауров В.И. О реологической неустойчивости упругой повреждающейся среды // ПММ, 1991, т.55, вын.1, с. 109-117

113. Кондауров В.И., Кутлярова Н.В., Фортов В.Е. Повреждаемость и разрушение хрупких начально-пористых материалов // ДАН, 1997 г. т.355, N. 3, с. 342-345.

114. Кондауров В.И., Кутлярова Н.В. Повреждаемость и разрушение хрупких начально-пористых материалов // МТТ, 2000, N. 4, с. 99-109.

115. Кондауров В.И. Тензорная модель континуального разрушения и длительной прочности упругих тел // Изв. РАН, МТТ, 2001, N. ???

116. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел, Новосибирск, Изд-во СО РАН, 2000, 261 с.

117. Корнеев А.И. и Николаев А.П. Расчет упругопластического течения при ударе методом конечных элементов // Томский Гос. Ун-т, 1980, С. 1-10. Деп. в ВИНИТИ N. 2137-80.

118. Корнеев А.И. и Шугалев, В.Б. Численный расчет трехмерного напряженного состояния стержня при ударе частью боковой поверхности // Изв. АН СССР, МТТ, 1986, N. 1, с. 189-192.

119. Кравчук A.C. и Васильев В.А. Численные методы решения контактной задачи для линейных и нелинейно упругих тел конечных размеров // Прикл. мех., 1980, Т. 16, N. 6, С. 9-15.

120. Кравчук A.C. К теории контактных задач с учетом трения на поверхности соприкосновения // ПММ, 1980, Т. 44, Вып. 1, С. 122-129.

121. Кравчук A.C. Решение некоторых пространственных контактных задач с учетом трения на поверхности соприкосновения // Трение и износ, 1981, Т. 2, N. 4, С. 589595.

122. Кравчук A.C. Решение контактных задач с известной функцией Грина // ПММ, 1982, Т. 43, Вып. 2, С. 283-288.

123. Кравчук A.C., Ахунджанов Е.П. Численная реализация вариационного подхода к решению контактных задач теории упругости методом потенциалов // Расчеты на прочность, М.: Машиностроение, 1983, Вып. 25, С. 12-18.

124. Кравчук A.C. Решение нелинейных контактных задач с учетом трения вариационными методами // Механика и научно-технический прогресс, Т. 3, Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. С. 154-169.

125. Кравчук A.C. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике. М., Моск. гос. акад. приборостроения и информатики, 1997, 339 с.

126. Кравчук A.C. Метод вариационных неравенств в контактных задачах // В кн. "Механика контактных взаимодействий", под ред. В.М. Александрова и И.И. Воровича, Москва, Физматгиз, 2001, с. 93-115.

127. Кроули У. FLAG свободно-лагранжев метод для численного моделирования гидродинамических течений в двух измерениях //В кн.: Численные методы в механике жидкостей. М., Мир, 1973, С. 135-145.

128. Кубенко В.Д. Проникание упругих оболочек в сжимаемую жидкость. Киев, Наукова Думка, 1981, 159 с.

129. Кубенко В.Д. Ударное взаимодействие тел со средой (Обзор) // Прикладная механика, 1997, т. 33, N. 12, с. 3-29.

130. Кузьменко А.Г. Основные уравнения теории упругости и пластичности и метод конечного элемента // Тула: Тульский политехнический ин-т, 1980, 100 с.

131. Кукуджанов В.H. Численное моделирование динамических процессов деформирования и разрушения упругопластичсских сред // Успехи механики, Т. 8, N. 4, с. 25-65.

132. Кукуджанов В.Н., Иванов B.JL, Ковшов А.Н., Шнейдерман Д.И. Локализация деформаций и устойчивость склонов. М.: Институт проблем механики РАН, 1994. Препринт No. 472. С. 1-72.

133. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений, М., Физматгиз, 2001, 608 с.

134. Левитас В.И. Теория больших упругопластических деформаций при высоком давлении // Пробл. прочности, 1996. N. 8, С. 86-94.

135. Львов Г.И. Вариационная постановка контактной задачи для линейно- упругих и физически нелинейных пологих оболочек // ПММ, 1982. Т. 46, Вып. 5, С. 841-846.

136. Майнчен Д., Сак С. Метод расчета "Тензор" // Вычислительные методы в гидродинамике, Б. Олдер, С. Фернбах, М. Ротенберг (Ред.), М., Мир, 1967: с. 185-211.

137. Манжиров A.B. Контактные задачи для неоднородных стареющих тел // В кн.: Александров В.М., Ворович И.И. (Редакторы) Механика контактных взаимодействий, М., Наука, 2001, с. 549-565.

138. Манжиров A.B. (2001b) Контактные задачи механики наращивемых тел //В кн.: Александров, В.М. и Ворович, И.И. (Редакторы) (2001) Механика контактных взаимодействий, М. Наука, с. 607-621.

139. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979, 320 с.

140. Мейдер Ч. Численное моделирование детонации, М., Мир, 1985, 384 с.

141. Мелещенко Н.Г. К вопросу расчетной оценки условий работы стыковых соединений двигателей // Тр. Центрального научно-исслед. дизельного ин-та, 1978, Вып. 73, с. 31-36.

142. Меньшиков Г.П., Одинцов В.А., Чудов Л.А. Внедрение цилиндрического ударника в конечную плиту, Известия АН СССР, МТТ, 1976, N. 1, с. 125-130.

143. Мержиевский Л.А., Ресиянский А.Д. Численное моделирование пробивания преград цилиндрическим ударником, Механика быстропротекающих процессов, Новосибирск, 1984, с. 86-91.

144. Меткалф М. Оптимизация в фортране. М.: Мир, 1985. 264 с.

145. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения, М., Наука, 1980. 254 с.

146. Морозов Н.Ф., Смирнов В.И., Петров Ю.В. Об эрозионном разрушении твердых тел //В кн.: Александров, В.М. и Ворович, И.И. (Редакторы) Механика контактных взаимодействий, М.: Наука, 2001. С. 640-650.

147. Никитин И.С. Динамика слоистых блочных сред с проскальзыванием и трением // М., Институт проблем механики АН СССР, 1989, Препринт N. 366, 1989, с. 1-43.

148. Никишков Г.П. Программный комплекс для решения задач механики деформируемого твердого тела // М.: Московский инженерно-физический ин-т, 1988. 84 с.

149. Николаевский В.Н. (Ред.) Высокоскоростные ударные явления, М. Мир, 1973, 528 с.

150. Николе Б. Дальнейшее развитие метода маркеров и ячеек для течений несжимаемой жидкости // Численные методы в механике жидкостей, ред. О.М. Белоцерковский, М.: Мир, 1973. С. 165-173.

151. Нох В.Ф. СЭЛ совместный эйлерово-лагранжев метод для расчета нестационарных двумерных задач // Вычислительные методы в гидродинамике, М., Мир, 1967. С. 128-184.

152. Олейник O.A. Об одном методе решения общей задачи Стефана // Докл. АН СССР, 1960. Т. 135. No. 5. С. 1054-1057.

153. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными, М.: Мир, 1985. 558 с.

154. Петренко И.И., Пуртов C.B., Федосеев А.И. Решение больших задач МКЭ многосеточным методом: Алгоритм разбиения на подобласти. Серпухов, 1986. 15 с. (Препр. . АН СССР, Ин-т физики высоких энергий; ИФВЭ 86-200).

155. Петров И.Б., Холодов A.C. Численное исследование некоторых динамических задач механики деформируемого твердого тела сеточно-характеристическим методом // ЖВМиМФ, 1984. Т. 24. С. 722-739.

156. Подгорный A.M., Гонтаровский П.П., Марченко Г.А. и др. Некоторые прикладные упругопластические задачи смешанного типа. Харьков, 1976, 43 с. (Препр./ АН УССР. Ин-т пробл. машиностроения; N. 36).

157. Поздеев A.A., Трусов П.В., Няшин Ю. И. Большие упругопластические деформации. М.: Наука, 1986, 232 с.

158. Поздняков A.A. Метод расчета контакта // М., Труды МФТИ, 1979.

159. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций, Л., Судостроение, 1974. 344 с.

160. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975. 392 с.

161. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах М.: Наука, 1979. 319 с.

162. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения, Киев: Наукова Думка, 1982.

163. Рвачев В.Л. (редактор) Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций // Подгорный А.Н., Гонтаровский П.П., Киркач Б.Н. и др.; Отв. ред. Рвачев В.Л., Ин-т проблем машиностроения, Киев, Наукова думка, 1989, 232 с.

164. Реснянский А.Д., Мержиевский Л.А. Применение метода подвижных сеток в задачах разрушения твердых тел // Динамика сплошной среды, 1984, Вып. 66, с. 150-157.

165. Роговой A.A., Вариационная постановка упруго-пластической задачи при больших деформациях в эйлерово-лагранжевых координатах // Напряжения и деформации в конструкциях и маьериалах. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985, с. 77-83.

166. Родрига Г. (редактор) Параллельные вычисления. М.: Наука, 1986, 376 с.

167. Розин Л.А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ. Метод конечных элементов. М., Энергия, 1971, 214 с.

168. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам, М., Стройиздат, 1977, 129 с.

169. Розин Л.А., Смирнов М.С. Решение контактной задачи теории упругости с податливостью в односторонних связях // Известия вузов, Строительство, 2000, N. 5.

170. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 616 с.

171. Рузанов А.И., Романычева Л.К., Волков И.А. Построение расчетных моделей и численный анализ разрушения твердых тел при импульсных нагрузках, Механика бы-стропротекающих процессов, Новосибирск, 1984, с. 98-105.

172. Сагомонян А.Я. Динамика пробивания преград. М. Изд-во МГУ, 1980, 221 с.

173. Садовский В.М. Гиперболичнские вариационные неравенства в задачах динамики упруго-пластических тел // ПММ, 1991, Т. 55, Вып. 6, с. 1041-1048.

174. Садовский В.М. Разрывные решения в задачах динамики упругопластических сред, М., Наука-Физматлит, 1997, 208 с.

175. Садырин А.И. К определению контактных усилий при соударении упругопластиче-ских тел // Прикл. проблемы прочности и пластичности, Всес. межвуз. сб., вып. 3, Горьк. ун-т, Горький, 1976, с. 70-73.

176. Садырин А.И. Конечно-разностная аппроксимация граничных условий в динамической контактной задаче // Прикладные проблемы прочности и пластичности, Статика и динамика деформируемых систем, Всес. межвуз. сб., Горьковский ун-т, Горький, 1979.

177. Садырин А.И. Моделирование динамического разрушения деформируемых тел при ударных контактных взаимодействиях // Прикладные проблемы прочности и пластичности, ТНИ КМК, М., 1995, с. 132-141.

178. Сажин В.В., Симонов И.В. Соударение упругих и упругопластических прямоугольников под малым углом. М.: Институт проблем механики АН СССР, 1987. Препринт No. 300. 57 с.

179. Самарский A.A., Моисеенко Б.Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана // ЖВМиМФ, 1965. Т. 5. No. 5. С. 816-827.

180. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.

181. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1980. 352 с.

182. Сегерлинд JI. Применение МКЭ. М.: Мир, 1979. 392 с.

183. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1970. Т. 1, 492 с; Т. 2, 568 с.

184. Симонов И.В. Контактные задачи расклинивания упругих тел // Механика контактных взаимодействий / под ред. В.М. Александрова и И.И. Воровича. М.: Физматгиз, 2001. С. 654-667.

185. Сокольников И.С. Математическая теория упругости. М.: "Мир", 1961. (Перевод книги : Sokolnikoff I.S. Mathematical theory of elasticity, 2nd ed. New-York: McGraw-Hill Book Co., 1956)

186. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. 349 с.

187. Тишкин В.Ф. Построение дискретных конечно-разностных моделей сплошных сред на основе вариационного подхода. М.: Ин-т прикл. математики АН СССР, 1984. Препринт No. 150. 18 с.

188. Угодчиков А.Г., Коротких Ю.Г. Некоторые методы решения на ЭЦВМ физически нелинейных задач теории пластин и оболочек, К.: Наукова думка, 1967. 219 с.

189. Уилкинс M.JI. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике, М.: Мир, 1967. С. 212-263.

190. Улам С. Устойчивость при расчетах по методу многих тел // В сб. Гидродинамическая неустойчивость. Под ред. Биркгоффа, Беллмана, Линя. Пер. с англ. / М.: Мир, 1964.

191. Федоренко Р.П. Итерационные методы решения разностных эллиптических уравнений, УМН, 1973. Т. 28. вып. 2. С. 121-182.

192. Федоренко Р.П. Метод численного решения пространственных задач качения с проскальзыванием и сцеплением // М.: Ин-т прикладной математики АН СССР, 1979. Препринт N. 158.

193. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости, М.: Мир, 1974. 159 с.

194. Фомин В.М., Гулидов А.И., Сапожников Г.А. и др. Высокоскоростное взаимодействие тел, Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999, 600 с.

195. Фукс И.И. Об одном методе численного решения двумерных динамических контактных задач упругопластических тел / / Прикл. проблемы прочности и пластичности, Всес. межвуз. сб., вып. 3, Горьк. ун-т, Горький, 1976, с. 78-81.

196. Харлоу Ф.Х. Численный метод частиц в ячейке для задач гидродинамики, Вычислительные методы в гидродинамике // М.: Мир, 1967, с. 316-342.

197. Цветкова И.Н. Анализ точности алгоритмов контактного взаимодействия в трехмерных задачах динамики упруго-пластических тел // Вестник Нижегор. Гос. Ун-та, 1995, с. 93-95.

198. Цветкова И.Н. Численный анализ нестационарного наклонного проникания стального цилиндра в алюминиевую пластину // Тез. докл. 22-й науч.-тех. конф. "Проектирование систем", М., Моск. Гос. Техн. Ун-т им. Баумана, 1995.

199. Шевченко Ю.Н., Пискун В.В., Савченко В.Г. Решение осесимметричной пространственной задачи термопластичности на ЭЦВМ типа М-220, Киев, Наукова думка, 1975, 108 с.

200. Шокин Ю. И., Яненко H.H. Метод дифференциального приближения. Новосибирск: Наука, 1985, 364 с.

201. Alart P. and Curnier A. A Mixed Formulation for Frictional Contact Problems prone to Newton like Solution Methods // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1991, v. 92, p. 353-375.

202. Aliabadi M.H. and Brebbia C.A. Computational Methods in Contact Mechanics // Computational Mechanics Publications, Southampton-Boston, 1993.

203. Aliabadi M.H. Boundary element formulations in fracture mechanics. // AMR, 1997, v. 50(2), p. 83-96.

204. Amsden A.A. and Harlow F.H. A simplified MAC technique for incompressible fluid flow calculations. //J. Comp. Phys., 1970, v. 6, p. 322.

205. Armero F. and Simo J.C. A New Unconditionally Stable Fractional Step Method for Non-Linear Coupled Thermomechanical Problems, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1992. V. 35. P. 737-766.

206. Armero F., Petocz E. Formulation and Analysis of Conserving Algorithms for Frictionless Dynamic Contact/Impact Problems, J J Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1998, v. 158, p. 269-300.

207. Armero F., Callari C. An Analysis of Strong Discontinuities in a Saturated Poro-Plastic Solid, International Journal for Numerical Methods in Engineering , 1999, 46, 1673-1698.

208. Armero F., Petocz E. A New Dissipative Time-Stepping Algorithm for Frictional Contact Problems: Formulation and Analysis, A Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1999, 179, 151-178.

209. Armero F., Oiler S. (2000) A General Framework for Continuum Damage Models. Part I: Infinitesimal Plastic Damage Models in Stress Space, International Journal of Solids and Structures, 37, 7409-7436.

210. Armero F. and Perez-Foguet A. (2002), On the Formulation of Closest-Point Projection Algorithms in Elastoplasticity. Part I: The Variational Structure, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 53, 297-329.

211. Asano N., Kamegaya H. and Funatsu K. A hybrid type of virtual work principle for impact contact problems of two bodies // Variational Methods in Engineering: Proc. 2nd Int. conf., Southhampton, Juli, 1985, Berlin e.a.: 1985, P. 6/41-6/52.

212. Attaway S.W., Hendrickson B.A., Plimpton S.J., Gardner D.R., Vaughan C.T., Brown K.H., Heinstein M.W. A Parallel Contact Detection Algorithm for Transient Solid Dynamics Simulations Using PR0NT03D, J. Comp. Mech., 1998, v. 22, p. 143-159.

213. Attaway S.W., Barragy E.J., Brown K.H. et al. Transient Solid Dynamics Simulations on the Sandia/Intel Teraflop Computer, Sandia National Laboratories, Albuquerque, 2001, Report NM 87185-0437.

214. Azarenok B.N., Ivanenko S. A. Application of moving adaptive grids for numerical solution of 2-D nonstationary problems in gas dynamics. Report on applied mathematics. BN. Computing Center of RAS, 2001. P.l-25.

215. Azarenok B.N. Variational barrier method of adaptive grid generation in hyperbolic problems of gas dynamics // SIAM J. Numer, Anal. 2001. Available at http: / /www.math, ntnu.no / conservation /2001 /042 .html

216. Azarenok B.N., Ivanenko S.A., Tang T. Godunov's scheme and moving adaptive grids. Report on Applied Mathematics. 2002.

217. Available at http://www.math.ntnu.no/conservation/2002/016.html

218. Babushka I. and Rheinboldt W. Error estimates for Adaptive Finite Element Computations // J. Num. Analysis, 1978, v.15, p. 736-754.

219. Babushka I. and Miller A. A feedback finite element method with a posteriori error estimation: Part 1. The finite element method and some basic properties of the a posteriori error estimation // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1987, v. 61, p. 1-40.

220. BarafF D., Witkin A. Dynamic simulation of non-penetrating flexible bodies // Proceedings of SIGGRAPH 92, Computer Graphics, 1992, v. 26, No. 2, p. 303-308.

221. Baraff D., Witkin A., Large steps in cloth simulation // Proceedings of SIGGRAPH 98, Computer Graphics, Annual Conference Series, 1998, p. 43-54.

222. Bartold F. J., BischofF D. Generalization of Newton type Methods to Contact Problems with Friction // J. Mech. Theor. Appl., Special issue: Numerical Methods in Mechanics of Contact Involving Friction, 1988, p. 97-110.

223. Bass J.M. Three dimensional finite deformations rolling contact of a hyperelastic cylinder: formulation of the problem and computational results // Computers and Structures, 1987, v. 26, p. 991-1004.

224. Bathe K.J., Chaudhary A. A solution method for planar and axisymmetric contact problems 11 Int. J. Num. Meth. Engng., 1985, v. 21, p. 65-88.

225. Bathe K.J., Chaudhary A. A solution method for static and dynamic analysis of three-dimesional contact problems with friction // Computers and Structures, 1986, v. 24, p. 855-873.

226. Bathe K.J. Finite Element Procedures for Solids and Structures-Nonlinear Analysis // MIT Center for Advanced Engineering Study, 1986.

227. Bathe K.J., Mijailovich S.S. Finite-element analysis of frictional contact problems // J. de Mecanique Theorique et Appliquee, 1988, v. 7, p. 31-45.

228. Bathe K.J. Some remarks and references on recent developments in finite-element analysis procedures. Computers and Structures, 1991. V. 40. P. 201-202.

229. Bathe K.J. Finite Element Procedures, Prentice-Hall, EngleWood Cliffs, NJ, 1996.

230. Bathe K.J., Bouzinov P.A. On the constraint function-method for contact problems // Computers and Structures, 1997, v. 64, p. 1069-1085.

231. Batra R.C. Rubber-covered balls the non-linear elastic problem //J. Appl. Mech., 1980, v. 47, p. 82-86.

232. Batra R.C. Quasistatic indentation of a rubber-covered roll by a rigid roll // Int. J. Numer. Meth. Engng., 1981, v. 17, p. 1823-1833.

233. Bazant Z.P., Belytschko T.B., Chang T.P. Continuum theory for strain-softening // J. of Engineering Mechanics, ASCE, 1984. V. 110. No. 12. P. 1666-1692.

234. Bazant Z.P., Pijaudier-Cabot G. Non-local continuum damage, localization instability and convergence //J. of Applied Mechanics, ASME, 1988. V. 55. P. 287-293.

235. Bazant Z.P., Ozbolt J. Nonlocal microplane model for fracture, damage, and size effect in structures // J. of Engineering Mechanics, ASCE, 1990. V. 116. No. 11. P. 2485-2505.

236. Bechmann D., Space deformation models survey // Computer &; Graphics, 1994. V. 18(4). P. 571-586.

237. Becker R., Rannacher R. A Feed-Back Approach to Error Control in Finite Element Methods: Basic Analysis and Examples, EAST-WEST J. Num. Math. 1996. V. 4. P. 237-264.

238. Belytschko T., Kennedy J.M., Lin J.I. Three-dimensional penetration computation // Struct. Mech. React. Technol., 1987, V.B. P. 83-88.

239. Belytschko T., Lin J.I. A three dimensional impact-penetration algorithm with erosion // Computers and Structures, 1987. V. 25. P. 95-104.

240. Belytschko T., Neal M.O. Contact-Impact by the Pinball Algorithm with Penalty and Lagrangian Methods // Int. J. Num. Meth. Engrg., 1991, v. 31, p. 547-572.

241. Belytschko T., Yeh L.S. The splitting pinball method for contact-impact problems // Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg., 1993, v. 105, p. 375-393

242. Belytschko T., Lu Y.Y., Gu L. Element-Free Galerkin Methods // Int. J. Num. Meth. Eng., 1994, v. 37, p. 229-256,

243. Belytschko T., Kronggauz Y., Organ D., Fleming M. Meshless Methods: An Overview and Recent Developments // Comput. Meth. Appl. Mech. Engng., 1996, v. 139, p. 3-47.

244. Benson D.J., Hallquist J.O. A single surface contact algorithm for the postbuckling analysis of shell structures // Report to the University of California at San Diego, 1987.

245. Benson D.J., Hallquist J.O. A single surface contact algorithm for the postbuckling analysis of shell structures // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng, 1990, v. 78, p. 141-163.

246. Benson D.J. Computational methods in Lagrangian and Eulerian hydrocodes, Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1992, v.99, 235-394.

247. Benson D.J. Volume of fluid interface reconstruction methods for multi-material problems // AMR, 2002, 55(2), p. 151-165.

248. Bertolf L.D., Buxton L.D., Thorue B.J. et al. Damage in steel plates from hypervelocity impact II. Numerical results and spall measurement // J. Appl. Phys., 1975, v. 46, p. 3776-3783.

249. Bertsekas D.P. Constraint Optimization and Lagrange Multiplier Methods. Academic Press, New York, 1984.

250. Bhushan B. Contact mechanics of rough surfaces in tribology: Single asperity contact // AMR, 1996, v. 49(5), p. 275-298.

251. Bjorkman G., Klarkbring A., Sjodin A., Larsson T., Ronnquist M. Sequential Quadratic Programming for Non-Linear Elastic Contact Problems // Int. J. Num. Meth. Engng., 1995, v. 38, p. 137-165.

252. De Borst R., Sluys L.J., Muhlhaus H.B., Pamin J. (1993) Fundamental issues in finite element analysis of localisation of deformation. Engng Computations, v. 10, N. 2, p. 99-121.

253. Bourago N.G., Numerical Modeling of Unsteady Viscous Gas and Fluid Flows, // In: "Sixth Nordic Seminar on Computational Mechanics. Abstract", Lincoping, Sweden, October 18-19, 1993. P. 135.

254. Bourago N.G. Computer code ASTRA for nonlinear problems in continuum mechanics // Seventh. Nordic Seminar on Computational Mechanics, Trondheim, Norway, October 14-15, 1994. P. 48-49.

255. Bourago N.G. Numerical methods for nonlinear processes in elastic plastic media // In: Lectures of FEM-94 Seminar, publ. 94:1, Goteborg, Sweden, 1994, p. 1-15.

256. Bourago N.G. Application of Navier-Stokes Equations to Crystal Growth Modelling // Lecture of Materials and Crystal Growth Seminar, MSFC/Space Sciences Laboratory, NASA, Huntsville, Alabama State, USA, May 17, 1997.

257. Bourago N.G., Fedyushkin A.I., Polezhaev V.I. Double-diffusion convection and impurity distribution in Bridgmen method with and without magnetic field // Abstracts of 32nd Scientific Assembly of COSPAR, Nagoya, Japan, 12-19 July, 1998. P. 466.

258. Bourago N.G. Thermodynamic theory of damage and compaction processes // Geophysical Research Abstracts, 1999, Vol. 1. No. 1. P. 174.

259. Bourago N.G., Fedyushkin A.I. Impurity distribution in submerged heater method with and without rotation // Proc. Int. Conf. Comput. Heat Mass Transfer, N. Cyprus, Turkey, 1999, p. 207-215.

260. Bourago N.G., Fedyushkin A.I., Polezhaev V.I. Dopant distribution in crystals grown by the submerged heater method under steady and oscillatory rotation // Advances in Space Research, Vol. 24, No. 10, p. 1245-1250.

261. Bowden F.P., Tabor D. The Friction and Lubrication of Solids. Part II. Clarendon press, Oxford, 1964.

262. Brackbill J.U., Kothe D.B., Ruppel H.M. FLIP: A low dissipation, particle-in-cell method for fluid flow // Computer Physics Communication, 1988, v. 48, p. 25-38.

263. Brackbill J.U., Kothe D.B., Zemach C. A continuum method for modeling surface tension. // J. Comp. Phys., 1992, v. 100, p. 335.

264. Brown K., Attaway S., Plimpton S., Hendrickson B., Parallel strategies for crash and impact simulations // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 2000, v. 184, p. 375-390.

265. Camacho G.T., Ortiz M. Computational modelling of impact damage in brittle materials // International Journal of Solids and Structures, 1996. Vol. 33. P. 2899-2938.

266. Campos L.T., Oden J.T., Kikuchi N. A Numerical Analysis of a Class of Contact Problems with Friction in Elastostatics // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1982. V. 34. P. 821-845.

267. Carey G. Computational grids: Generation, Adaptation and Solution Strategy. Taylor Francis, Florida, 1997.

268. Carpenter N.J., Taylor R.L., Katona M. G. Lagrange constraints for transient finite-element surface-contact // Int. J. Num. Meth. Engng., 1991, v. 32, p. 103-128.

269. Carter Jr W.T., Sham T.-L., Law K.H. A parallel finite element method and its prototype analysis of shell structures // Computers and Structures, 1989. V. 31. P. 921-934.

270. Catherall D. The adaption of structured grids to numerical solutions for transonic flows. Internat. J. Numer. Methods Engng. 1991. V. 32. P. 991-939.

271. Cescotto S., Charlier R. Frictional Contact Finite Elements Based on Mixed Variational Principles. // Int. J. Num. Meth. Engng., 1993, v. 35, p. 1681-1701.

272. Chan S. H., Tuba I.S. A Finite Element Method for Contact Problems in Solid Bodies // Int. J. Mech. Sci., 1971, v. 13, p. 615-639.

273. Charbrand P., Dubois F., Raous M. Various numerical methods for solving unilateral contact problems with friction, Math. Comp. Modelling, 1998, v. 28, No. 4-8, p. 97-108.

274. Chaudhary A.B., Bathe K.J. A Solution Method for Static and Dynamic Analysis of Three-Dimensional Contact Problems with Friction // Computer and Structures, 1986, v. 24, p. 855-873.

275. Chawla V., Laursen T.A. Energy Consistent Algorithms for Frictional Contact Problems // Int. J. Num. Meth. Engng., 1998, v. 42, p. 799-827.

276. Chen J.S., Pan C., Wu C.T., Liu W.K. Reproducing Kernel Particle Methods for Large Deformation Analysis of Nonlinear Structures // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1996, v. 139, p. 195-229.

277. Chen J.S., Wang H.P. New Boundary Condition Treatments in Meshfree Computation of Contact Problems // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1998.

278. Chen J.S., Wu C.T., Yoon S., You Y. Stabilized Conforming Nodal Integration for Galerkin Meshfree Methods // Int. J. Num. Meth. Eng., 2001, v. 50, p. 435-466.

279. Chen W.H., Tsai P. Finite Element Analysis of Elastodynamic Sliding Contact Problems with Friction // Computers and Structures, 1986, v. 22, N. 6, p. 925-938.

280. Chen Y.M., Wilkins M.L. Stress Analysis of Crack Problems a Three-Dimensional Time-Dependent Computer Program. // Int. J. Fracture, 1976, v. 12, N. 4, p. 607-617.

281. Cheng J.H., Kikuchi N. An Incremental Constitutive Relation of Unilateral Contact Friction for Large Deformation Analysis. // J. Appl. Mech., ASME, 1985, v. 52, p. 639-648.

282. Cheng T.Y., Saleeb A.F., Shyu S.C. Finite Element Solutions of Two-Dimensional Contact Problems Based on a Consistent Mixed Formulation. // Computers and Structures, 1987, v. 27, N.4, p. 455-466.

283. Cheng W.Q., Zhu F.W., Luo J.W. Computational Finite Element Analy sis and Optimal Design for Multibody Contact System. // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1988, v. 71, p. 31-39.

284. Chenot J.-L. Bay F., Fourment L. Finite element simulation of metal powder forming, Int. J. Numer. Meth. Engng., 1990. V. 30. P. 1649-1674.

285. Christiansen P.W., Klarbring A., Pang J.S., Stromberg N. Formulation and comparison of algorithms for frictional contact problems. // Int. J. Num. Meth. Engng., 1998, v. 42 p. 145-173.

286. Cocu M. Existence of solutions of Signorini problems with friction. // Int. J. Engng. Sci., 1984, v. 22, p. 567-575.

287. Colella P., Woodward P. The Piecewise Parabolic Method for Gas-Dynamical Problems // J. Comp. Phys., 1984. V. 54. P. 174-201.

288. Colella P., Woodward P. The numerical simulation of two-dimensional fluid flow with strong shocks // J. Comp. Phys., 1984. V. 54, P. 155-173.

289. Conry T.F., Seireg A. A Mathematical Programming Method for Design of Elastic Bodies in Contact" // ASME Trans. J. Appl. Mech., 1971, p.387 -392.

290. Cooper M.G., Mikic B.B., Yovanovich M.M. Thermal Contact Conductance // Int. J. Heat Mass Transfer, 1969, v. 12, p. 279-300.

291. Crisfield M.A. Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures, Volume I: Essentials, John Wiley & Sons, 1997 (ISBN 0 471 92956 5) Volume II: Advanced Topics, John Wiley & Sons, 1997 (ISBN 0 471 95649 X)

292. Curnier A. Theory of Friction. // Int. J. Solids Structures, 1984, v. 20, p. 637-647.

293. Curnier A., Alart P. A Genweralized Newton Method for Contact Problems with Friction //J. Mec. Theor. Appl., 1988, Special Issue: Numerical Methods in Mechanics of Contact Involving Friction, p. 67-82.

294. Curnier A., He Q.C., Telega J.J. Formulation of Unilateral Contact between two Elastic Bodies undergoing Finite Deformation. / C. R. Acad. Sci., Paris, 1992, v. 314, p. 1-6.

295. Curnier A., He Q. C., Klarbring A. Continuum Mechanics Modelling of Large Deformation Contact with Friction //in Contact Mechanics, eds. M. Raous, M. Jean and J. J. Moreau, Plenum Press, New York, 1995.

296. Daux C., Moes N., Dolbow J., Sukumar N., Belytschko T. Arbitrary Branched and Intersecting Cracks with the Extended Finite Element Method. // Int. J. Num. Meth. Engng., 2000, v. 48, p. 1741-1760.

297. Desai S., Zaman M.M., Lightner J.G., Siriwardane H.J. Thin-Layer Element for Interfaces and Joints // Int. J. of Anal. Num. Geomech., 1984, v. 8, p. 19-43.

298. Devaut G., Lions J. L. Inequalities in Mechanics and Physics, Springer-Verlag, Berlin, 1976.

299. Devloo P., Oden J.T. Strouboulis T. Implementation of an adaptive refinement technique for the SUPG algorithm, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 1987. V. 61. P. 339-358.

300. Diekmann R., Hungershofery J., Lux M., Taenzer L., Wierumy J.-M. Using Space Filling Curves for Encient Contact Searching, 16th IMACS World Congress, 2000.

301. Dilintas G., Laurent-Gengoux P., Trystam D. A conjugate projected gradient method with preconditioning for unilateral problems, Computers and Structures, 1988, v. 29, No. 4, p. 675-680.

302. Djachenko V.F. The Free Point Method for Problems of Continuous Media // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1973, N. 2.

303. Dolbow J., Moes N., Belytschko T. Discontinuous Enrichment in Finite Elements with a Partition of Unity Method // Finite Elements Anal. 2000, Des. 36, p. 235-260.

304. Dolbow J., Moes N., Belytschko T. An Extended Finite Element Method for Modeling Crack Growth with Frictional Contact // Comput. Methods Appl. Mech. Engng., 2001, v. 190, p. 6825-6846.

305. Donzelli P.S., A Mixed-Penalty Contact Finite Element formulation for biphasic soft tissues, PhD Thesis, Dept. of Mech. Eng., Aeronautical Eng. and Mechanics, RPI, Troy, NY, 1995.

306. Dowson D. History of Tribology, Longman, New York, 1979.

307. Duarte C.A., Oden J.Т. An h-p Adaptive Method Using Clouds // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1996, v. 139, pp. 237-262.

308. Duarte C.A., Hamzeh O.N., Liszka T.J., Twordzydlo W.W. A Generalized Finite Element Method for the Simulation of Three-Dimensional Dynamic Crack Propagation // Comput. Methods Appl. Mech. Engng. 2001, v. 190, p. 2227-2262.

309. Eck С., Steinbach О., Wendland W.L. A Symmetrie Boundary Element Method for Contact Problem with Friction // Mathematics and Computers in Simulation, 1999, V. 20. No. 1-4. P. 43-61.

310. Eck С., Wendland W.L. An Adaptive Boundary Element Method for Contact Problems / In M. Bonnet, A.-M. Sandig, W. L. Wendland (eds.) Mathematical Aspects of Boundary Element Method, 1999, p. 116-127,

311. Ehrlich L.W. A Numerical Method of Solving a Heat Flow Problem with Moving Boundary // J. Assoc. Comp. Machinery, 1958, V. 5. N. 2. P. 161-176.

312. Endo Т., Oden J.Т., Becker E.B., Miller Т. A numerical-analysis of contact and limitpoint behavior in a class of problems of finite elastic-deformation. Computers and Structures, 1984. Vol. 18. P. 899-910.

313. Enright D., Redkiw R., Ferziger J., Mitchell I. A Hybrid Particle Level Set Method for Improved Interface Capturing, dated by March, 21, 2002, in printing. Available at http://graphics.stanford.edu/~fedkiw/papers/stanford2001-04.pdf

314. Eterovic A.L., Bathe K.J. On the Treatment of Inequality Constraints Arising from Contact Conditions in Finite-Element Analysis // Computers and Structures, 1991, v. 40, p.203.209.

315. Fancello E.A., Feijoo R.A. Shape Optimization in Frictionless Contact Problems // Int. J. Num. Meth. Engng., 1994, v. 37, p. 2311-2335.

316. Fancello E.A., Haslinger J., Feijoo R.A. Numerical Comparison Between Two Cost Functions in Contact Shape Optimization // Structural Optimization, 1995, v. 9, No. 1, pp.5768.

317. Farahani K., Mofid M., Vafai A. A solution method for general contact-impact problem // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 2000, v. 187, p. 69-77.

318. Farahani K., Mofid M., Vafai A. United Elements Method for General Contact-Impact Problems // Comput. Methods Appl. Mech. Engng, 2001, v. 191, p. 843-860.

319. Faria L.O., Bass J.M., Oden J.T., Becker E.B. A Three-Dimensional Rolling Contact

320. Model for a Reinforced Rubber Tire // Tire Sci. Technol., TSTCA, 1989, v. 17, p. 217233.

321. Faria L.O., Bass J.M., Oden J.T., Yavari B., Tworzidlo W.W., Becker E.B. Tire Modelling by Finite Elements // Tire Sci. Technol., TSTCA, 1992, v. 20, p. 33-56.

322. Farhat C., Roux F.-X. A Method of Finite Element Tearing and Interconnecting and its Parallel Solution Algorithm // Int. J. Num. Mech. Engng, 1991, v. 32, p. 1205-1227.

323. Farhat C., Cruvelli L., Roux F.-X. A Transient FETI Methodology for Large-Scale Parallel Implicit Computations in Structural Mechanics // Int. J. Num. Meth. Engng., 1994, v. 37, p.1945-1975.

324. Farhat C., Chen P.-S., Mandel J. A Scalable Lagrange Multiplier Based Domain Decomposition Method for Time-Dependent Problems // Int. J. Num. Meth. in Engng, 1995, v.• 38, p. 3831-3853.

325. LaFaurie B., Nardone C., Scardovelly R., Zaleski S. Modelling Merging and Fragmentation in Multiphase Flows with SURFER // J. Comp. Phys., 1994, v. 113, p. 134-147

326. Fish J. Finite Element Method for Localization Analysis. Ph.D. thesis, Northwestern University, USA, 1989.

327. Flanagan L.M., Flanagan D.P. PR0NT03D: A Three-Dimensional Transient Solid Dynamics Program // Tech. Rep. SAND87-1912, Sandia National Labs, Albuquerque, NM, March 1989.

328. Fleming M.Y., Chu A., Moran B., Belytschko T. Enriched Element-Free Galerkin Methods for Singular Fields // Int. J. Numer. Methods Engng., 1997, v. 40, p. 1483-1504.

329. Floryan J.M., Rasmussen H. Numerical algorithms for viscous flows with moving boundaries // AMR, 1989. V. 42. No. 12. P. 323-341.

330. Francavilla A., Zienkievicz O.C. A Note on Numerical Computation of Elastic Contact Problems // Int. J. Num. Meth. Engng., 1975, v. 9, p. 913-924.

331. Fredriksson B. Finite Elements Solutions of Surface Nonlinearities in Structural Mechanics with Special Emphasis to Contact and Fracture Mechanics Problems // Comp. and Struct., 1976, v. 6, p. 281-290.

332. De La Fuente H.M., Felippa C.A. Ephemeral penalty functions for contact dynamics // Finite Elements in Analysis and Design, 1991. V. 9. P. 177-191.

333. Fung Y.C., Biomechanics. Springer-Verlag, 1993.

334. Galin L.A. Contact Problems in the Theory of Elasticity (edited by I.N. Sneddon), North Carolina State College Translation, 1961.

335. Ghaboussi J., Wilson E.L., Isenberg J. Finite element of rock joints and Interfaces // J. of Soil Mechanics and Foundations Division, ASCE 99, 1973, p. 833-848.

336. Giannopolis A.E. The Return Mapping Method for the Integration of Friction Constitutive Equations // Computers and Structures, 1989, v. 32, p. 157-168.

337. Gillow K.A., Howison S.D. A bibliography on free and moving boundary problems for Hele-Shaw and Stokes Flow, 2002. Available at Web: http://www.maths.ox.ac.uk/ ~howison/Hele-Shaw.

338. Ginsberg M., Johnson J.P. Benchmarking the Performance of Physical Impact Simulation Software on Vector and Parallel Computers, Proc. of the Supercomputing 88: vol.11, Science and Applications, Computer Society Press, 1988.

339. Ginsberg M., Katnik R.B. Improving Vectorization of a Crashworthiness Code, SAE Technical Paper No. 891985, Passenger Car Meeting and Explosion, Dearborn, 1989.

340. Giroux E.D. HEMP User's Manual, University of California, Lawrence Livermore National Laboratory, 1973. Rept. UCRL-51079.

341. Glocker Ch., Pfeiffer F. Multibody dynamics with unilateral contacts. John Whiley Sons, 1996.

342. Goryacheva I.G., Dobychin M.N. Multiple contact model in the problem of tribomechanics // Tribology International, 1991, v. 24, No. 1, p. 29-35.

343. Goryacheva I.G. Contact Mechanics in Tribology, Kluwer Academic Publishers, 1998, 344 P

344. Goudreau G.L., Hallquist J.O. Recent developments in large-scale finite element La-grangian hydrocode technology // Сотр. Meth. Appl. Mech. Engng., 1982, v. 33, p. 725-757.

345. Gourret J.-P., Thalmann N.M., Thalmann D. Simulation of object and human skin deformations in a grasping task. Proc. of SIGGRAPH 89 // Computer Graphics, 1989, v. 23, p.4.

346. Green A.E., Naghdi P.M. A General Theory of Elastic-Plastic Continuum, Aechive for Rational Mechanics and Analysis, 1965. V. 18. P. 251.

347. Guerra F.M., Browning R.V. Comparison of two slideline methods using ADINA // Computers and Structures, 1983, v. 17, N. 5/6, P. 819-834.

348. Gulidov A.I., Sapozhnikov G.A., Fomin V.M. Numerical simulation of high-speed bodies interaction, University of Tsukuba, 1990.

349. Hallquist J.O. A Procedure for the Solution of Finite Deformation Contact-Impact Problems by the Finite Element Method, Univ. of California, Lawrence Livermore National Laboratory, 1976, Rept. UCRL-52066.

350. Hallquist J.O. Preliminary User's Manuals for DYNA3D and DYNAP (Nonlinear Dynamic Analysis of Solids in Three Dimension), Univ. of California, Lawrence Livermore National Laboratory, 1976, Rept. UCID-17268.

351. Hallquist J.O. Theoretical Manual for DYNA2D, UCID-19401, Lawrence livermore National Laboratory, 1983.

352. Hallquist J.O., Goudreau G.L., Benson D.J. Sliding interfaces with contact-impact in large-scale Lagrangian computation // Сотр. Meth. Appl. Mech. Engng., 1985, v. 51, p. 107-137.

353. Hallquist J.O., Schweizerhof K. and Stillman D. Efficiency Refinements of Contact Strategies and Algorithms in Explicit FE Programming //in Proceedings of COMPLAS III, eds. D.R.J. Owen, E. Hinton, E.E. Onate, Pineridge Press, 1992.

354. Hallquist J.O. LS-DYNA3D Theoretical Manual, Livermore Software Technology Corporation. 1993.

355. Hallquist J.O. LS-DYNA Theoretical Manual, Livermore Software Technology Corporation, 1998.

356. Harlow F.H., Shannon J.P. The splash of a liquid drop. // J. Appl. Phys., 1967, v. 38, p. 3855.

357. Harlow F.H., Amsden A.A. Numerical simulation of almost incompressible flow. //J. Comp. Phys., 1968, v. 3, p. 80.

358. Harlow F.H., Welch J.E. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow with free boundaries. // Phys. Fluids, v. 8, p. 2182.

359. Haug E.J., Kwak B.M. Contact Stress Minimization by Contour Design // Int. J. Numer. Meth. Engng., 1978, v. 12, p. 917-930.

360. Heegaard J.-H., Cournier A. An Augmented Lagrangian method for discrete large-slip contact problems involving friction // Int. J. Numer. Meth. Engng., 36, 1993, 569-593.

361. Heinstein M.W., Laursen T.A. An Algorithm for the Matrix-Free Solution of Quasistatic Frictional Contact Problems // Int. J. Num. Meth. Engng., 1999, v. 44, p. 1205-1226.

362. Heinstein M.W., Mello F.J., Attaway S.W., Laursen T.A. Contact-Impact Modeling in Explicit Transient Dynamics // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 2000, v. 187, p. 621-640.

363. Hertz H. Study on the Contact of Elastic Bodies // J. Reine Anglew. Math., 1982, v. 29, 156-171.

364. Hestens M.R., Stiefel E. Method of conjugate gradients for solving linear systems //J. Res. Nat. Bur. Std., 1952, v. 69, p. 409-436.

365. Hillerborg A., Modeer M., Petersson P.E. Analysis of crack formation and crack growth in concrete by means of fracture mechanics and finite elements. Cement and Concrete Research, 1976. V. 6. P. 773-782.

366. Hirokawa S., Tsuruno R. Three-dimensional deformation and stress distribution in an analytical computational model of the anterior cruciate ligament //J. Biomechanics, 2000, v. 33, p. 1069-1077.

367. Hirota G., Fisher S., State A., Lee C., Fuchs H. An Implicit Finite Element Method for Elastic Solids in Contact, SIGGRAPH 2001 Conf, Available at http://www.cs.unc.edu/~andrei/ pubs/2001 ComputerAnimationFEM.pdf

368. Hirt C.W., Nickols B.D. Volume of Fluid (VOF) method for the dynamics of free boundaries, J. Comp. Physics, 1981. V. 39. P. 201-225.

369. Hlavacek I., Haslinger J., Necas J., Lovisek J. Solution of variational inequalities in mechanics, Springer, New York, 1988.

370. Hoover C.G., Badders D.C., De Groot A.J., Sherwood R.J. Parallel algorithm research for solid mechanics applications using finite element analysis, Thrust Area Report, UCRL-ID-125471, Lawrence National Laboratory, 1997.

371. Hughes T.J.R., Taylor R.L., Sackman J.L., Curnier A. and Kanoknukulchai W. A finite element method for a class of contact-impact problems // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1976, v. 8, p. 249-276.

372. Hughes T.J.R., Taylor R.L., Kanoknukulchai W. A finite element method for Large Displacement Contact and Impact Problems //in Formulations and Computational algorithms in FE Analysis, ed. K. J. Bathe, MIT-Press, Boston, 1977, p. 468-495.

373. Hughes T.J.R. The Finite Element Method, New York: Prentice-Hall Englewood Cliffs, 1987.

374. Hunek I. On a penalty formulation for contact-impact problems // Computers and Structures, 1993, v. 11, p. 193-203.

375. Hyman J.M. Numerical methods for tracking interfaces // Physics, 1984, v. D12, p. 396-407.

376. Ingraffea A.R., Heuze F.E. Finite element models for rock fracture mechanics // Int. J. Numer. Anal. Meth. Geomech., 1980, v. 4, p. 25-43.

377. Jean M. Frictional contact in rigid or deformable bodies // Numerical simulations of geomaterials, Amsterdam, Elsevier Science Publisher, 1995, p. 463-486.

378. Jean M. The nonsmooth contact dynamics method // Comp. Meth. Appl. Mech. and Engng., 1999, v. 177, p. 235-257.

379. Johnson C., Hansbo P. Adaptive finite element methods in computational mechanics, Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1992, v. 101, p. 143-181.

380. Johnson G.R. Analysis of elastic-plastic impact involving severe distortions // Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1977, v. 43, p. 439-444.

381. Johnson G.R. High velovity impact in three dimensions // Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1977, v. 44, p. 95-100.

382. Johnson G.R. , Stryk R.A. Eroding interface and improved tetrahedral element algorithms for high-velocity impact computations in three dimensions // Int. J. Impact Engng, 1987, v. 5, p. 411-421.

383. Johnson G.R. , Stryk R.A. Recent EPIC code developments for high velocity impact // Int. J. Impact Eng. 1990, v.10, p. 281-294.

384. Johnson K.L., Contact Mechanics, Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1985.

385. Ju J.W., Taylor R.L. A perturbed lagrangian formulation for the finite-element solution of nonlinear frictional contact problems // J. de Mecanique Theorique et Appliquee, 1988, v. 7, p. 1-14.

386. Kalker J.J., Randen Y., A Minimum Principle for Frictionless Elastic Contact with Application to non-Hertzian Half-Space Contact Problems // J. of engineering mathematics, 1972, v. 6, p. 193-206.

387. Kalker J.J. Three-Dimensional Elastic Bodies in Rolling Contact, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1990.

388. Kane C., Repetto E.A., Ortiz M., Marsden J.E. Finite element analysis of nonsmooth contact // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1999, v. 180, p. 1-26.

389. Kanto Y., Yagawa G. A dynamic contact buckling analysis by the penalty finite element method // Int. J. Num. Meth. Engng., 1990, v. 29, p. 755-774.

390. Kardestuncer H., Norrie D.H. eds. Finite Element Handbook, Mac-Graw Hill Book Company, 1987.

391. Kikuchi N., Song Y. J. Penalty finite element approximations of a class of unilateral problems in linear elasticity // Quaterly of Appl. Mech., 1981, v. 39, No. 1, pp. 1-21.

392. Kikuchi N. A smoothing technique for reduced integration penalty methods in contact problems // Int. J. Num. Meth. Engng, 1982, v. 18, p. 343-350.

393. Kikuchi N., Oden J.T. Contact Problems in Elasticity: A study of variational inequalities and finite element methods / SIAM Studies in Applied and Numerical Methematics, v. 8, Philadelphia, 1986.

394. Kim J.O., Kwak B.M. Dynamic analysis of two-dimentional frictional contact by linear complementary problem formulation.// Int. J. Solids and Structures, 1996, v. 33, N. 30, p. 4605-4624.

395. Kiselev A.B. Computational simulation of boundary conditions in problems of elasto-plastic bodies interaction // Systems Analysis Modelling Simulation, 1995, v. 18-19, P. 809-812.

396. Klarbring A., Bjorkman G. A mathematical programming approach to contact problems with friction and varying contact surface // Computer and Structures, 1988, v. 30, p. 1185-1198.

397. Klarbring A. Examples of non-uniqueness and non existence of solutions to quasistatic contact problem with friction // Ingenieur Archiv., 1990, v. 50, p. 529-541.

398. Klarbring A., Bjorkman G. Solution of Large Displacement Contact Problems with Friction using Newton's Method for Generalized Equations //Int. J. Num. Meth. Engng., 1992, v. 34, p. 249-269.

399. Klarbring A., Mikelic A., Shillor M. A global existance result for the quasistatic frictional contact problem with normal compliance, Int. Series Num Math., 1992, v. 101, p. 85-111.

400. Koch R. M., Gross M. H., Carls F. R., von Bren D.F., Fankhauser G., Parish Y.I.H. Simulating facial surgery using finite element methods / Proceedings of SIGGRAPH '96, Computer Graphics Proceedings, Annual Conference Series, 1996, p. 421-428.

401. Kondaurov V.I., Kukudzhanov V.N. On constitutive equations and numerical solution of the multidimensional problems of the dynamics of nonisothermic elastic media with finite deformations // Archives of Mechanics, 1979, v. 31, N 5.

402. Kondaurov V.I. Thermomechanics of Phase Transitions of the First Order in Solids // Russian Journal of Earth Science, 2002, v. 4, No. 2, p. 1-18.

403. Kothe D.B., Rider W.J. Comments on modelling interfacial flows with volume-of-fluid method, Technical report LA-UR-3384, Los Alamos National Lab., 1994. Available at http://www.c3.lanl.gov/~vjr/pubs.html.

404. Kothe D.B., Rider W.J. Mosso S.J., Brock J.S. Volume tracking of interfaces having surface tension in two and three dimensions, AIAA Paper 96-0859, 1996.

405. Kowalczyk P. Finite-deformation interface formulation for frictionless contact problems 11 Comm. Num. Meth. Engng., 1994. V. 10. P. 879-893.

406. Kragelsky I.V., Dobychin M.N., Kombalov V.S. Friction and Wear Calculation Methods, Pergamon Press, 1982.

407. Kukudzhanov V.N., Bourago N.G., Glushko A.I., Kovshov A.N., Ivanov V.L., Shneider-man D.I. On the problem of damage and localization of strains", Chalmers Univ. of Tech., Dept. of Struct. Mech., publ.95:ll, Goteborg, 1995. P. 1-35.

408. Kukudzhanov V.N., Santaoya K. Thermodynamics of viscoplastic medii with internal parameters // Izvestia RAS, Mechanics of Solids, 1997, No. 2, p. 115-126.

409. Kulak R.F. Adaptive contact elements for three-dimensional explicit transient analysis // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1989, v. 72, p. 125-151.

410. Kulikovskii A.G., Pogorelov N.V., Semenov A.Yu. Mathematical Aspects of Numerical Solution of Hyperbolic systems, Chapman &: Hall/CRC, London, Boca Raton, 2001.

411. Kunugi T. MARS for multiphase flow, Kyoto Univ., 2002, P. 1-10. Available at Web: http://www.nucleng.kyoto-u.ac.jp/Groups/F-group/ gallery/pdf/iscfdl3.pdf

412. Kwak B.M. Complementary problem formulation of three-dimensional frictional contact //J. Appl. Mech., ASCE, 1991, v. 58, p. 134-140.

413. Ladeveze P. Nonlinear Computational Structural Mechanics, Springer, New York, 1998.

414. Larsson R., Runesson K. Discontinuous displacement approximation for capturing plastic localization // Int. J. Num. Meth. Engng., 1993, v.36, p. 2087-2105.

415. Laursen T.A., Simo J.C. On the Formulation and Numerical Treatment of Finite Deformation Frictional Contact Problems //in Nonlinear Computational Mechanics State of the Art, P. Wriggers and W. Wagner, eds., Springer-Verlag, Berlin, 1991, p. 716-736.

416. Laursen T.A., Simo J.C. Algorithmic Symmetrization of Coulomb Frictional Problems Using Augmented Lagrangians // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1993, v. 108, p. 133-146.

417. Laursen T. A., Simo J.C. A Continuum-Based Finite Element Formulation for the Implicit ^ Solution of Multibody, Large Deformation Frictional Contact Problems // Int. J. Num.

418. Meth. Engng., 1993, v. 36, p. 3451-3485.

419. Laursen T.A., Govindjee S. A note on the treatement of frictionless contact between nonsmooth surfaces in fully nonlinear problems // Comm. Num. Meth. Engng., 1994, v. 10, p. 869-878.

420. Laursen T.A., Oancea V.G. Automation and Assessment of Augmented Lagrangian Algorithms for Frictional Contact Problems //J. Appl. Mech., 1994, v. 61, p. 956-963.

421. Laursen T.A. The Convected Description in Large Deformation Frictional Contact Problems // Int. J. Solids and Structures, 1994, v. 31, p. 669-681.

422. Laursen T.A. Review of Computational Methods in Contact Mechanics / Eds. M.H. Aliabadi and C.A. Brebbia, American Scientist , 1995, v. 83 , p. 196-198.

423. Laursen T.A., Oancea V.G. On the constitutive modeling and finite element computation• of rate dependent frictional sliding in large deformations // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng. 1997. V. 143. P. 197-227.

424. Laursen T.A., Chawla V. Design of Energy Conserving Algorithms for Frictionless Dynamic Contact Problems // Int. J. Num. Meth. Engng., 1997, v. 40, p. 863-886.

425. Laursen T.A. On the development of thermodynamically consistent algorithms for ther-momechanical frictional contact // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1999, v. 48, p. 1525-1547.

426. Laursen T.A. Computational Contact and Impact Mechanics, Springer-Verlag, Heidelberg, 2002.

427. Laursen T.A., Love G.R. Improved Implicit Integrators for Transient Impact Problems -Geometric Admissibility Within the Conserving Framework // Int. J. Num. Meth. Engng.,• 2002, v. 53 , p. 245-274.

428. Lax P.O. Weak solution of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation, Comm. Pure Appl. Math., 1954. V. 7. P. 158-193.

429. Lebon F., Raous M. Multibody contact problem including friction in structure assembly // Computers and Structures, 1992, v. 43, No. 5, p. 925-934.

430. Lee C.Y., Oden J.T. A priori error estimation of hp-finite element approximations of ^ frictional contact problems with normal compliance // Int. J. Engng. Science, 1993, v. 31,p. 927-952.

431. Lee C.Y., Oden J.T. Theory and approximation of quasi-static frictional contact problems // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1993, v. 106, p. 407-429.

432. Lee C.Y., Oden J.T. A-posteriori error estimation of hp finite-element approximations of frictional contact problems // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1994, v. 113, p. 11-45.

433. Lee E.H. Elastic-plastic deformation at finite strain, J. Appl. Mech., 1969. V. 36.

434. Lee S.H. Rudimentory consideration for adaptive gap/friction element based on the penalty method // Computers and Structures, 1993, v. 47, p. 1043-1056.

435. Lemaitre J. A course on Damage Mechanics. Springer-Verlag, 1992; 2nd ed. 1996.

436. Lewis J.P., Cordner M., Fong N. Pose space deformation: a unified approach to shape in-£ terpolation and skeleton-driven deformation / Proceedings of SIGGRAPH 2000, Computer

437. Graphics Proceedings, Annual Conference Series, 2000, pp. 165-172.

438. Li L-Y., Bettess P. Adaptive finite element methods: A review // AMR, 1997. V. 50. No. 10. P. 581-591.

439. Li S., Liu W.K. Meshfree and particle methods and their applications // AMR, 2002, v. 55(1) P. 1-34.

440. Light C., Pratt E., Raous M. Remarks on a numerical method for unilateral contact including friction // Int. Series Num. Math., 1991, v. 101, p. 129-144.

441. Lin J.I. DYNA3D: A nonlinear, explicit, three-dimensional finite element code for solid and structural mechanics, User manual, Methods Development Group, Lawrence Liver-more National Laboratory, 1998.

442. Ling W., Stolarski H.K. On elasto-plastic finite element analysis of some frictional problems with large sliding // Engng. Computations, 1997, v. 14, No. 5, p. 558-580.

443. Lions J.-L. The work of Stampacchiain variational inequalities // Boll. Unione mat. Ital. 1978, A15, No. 3, p. 736-756.

444. Liseikin V.D. Grid Generation Methods. New York: Springer-Verlag, 1999.

445. Lubliner J., Oliver J., Oiler S., Onate E. A Plastic-damage model for concrete. Int. J. of

446. Solids and Structures, 1989. V. 25, N. 3, pp. 299-326.

447. Madhusudana C.V., Fletcher L.S. Gas conductance contribution to contact heat transferm // AIAA Paper 81-1163, 1981.

448. Maenchen G., Sack S. The TENSOR code / in "Methods in Computational Physics", v. 3, Fundamental methods in Hydrodynamics, Academic Press, New York, 1964.

449. Malone J.G. Automated mesh decomposition and concurrent finite element analysis for hypercube multiprocessor computer // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1988, v. 70, p. 27-58.

450. Malone J.G., Johnson N.L. A parallel finite element contact impact algorithm for nonlinear explicit transient analysis: Part I The search algorithm and contact mechanics // Int. J. Num. Meth. Engng., 1994, v. 37, p. 559-590.

451. Hall,Englewood Cliffs, N.J. 1969.

452. Marchant M.J., Weatherill N.P. Adaptivity techniques for compressible inviscid flows. Comput. Methods Appl. Mech. Engng., 1993. V. 106. P. 83-106.

453. Marks W.R., Salamon N.J. A projected conjugate gradient method for frictionless contact problems // Trans. ASME, J. Vibrations, Acoustics, Stress and Reliability in Design, 1983, v. 105.

454. Mechanics of granular materials and powder systems, Ed. M. M. Mehrabadi, ASME, 1992. MD-Vol. 37, 141 pp.

455. Melenk J.M., Babuska I. The Partition of Unity Finite Element Method: Basic Theory and Applications // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1996, v. 139, p. 289-314.

456. Meschke G., Lackner R., Mang H.A. An anisotropic elastoplastic damage model for plain concrete. Int. J. Numer. Meth. in Engng, 1998. V. 42, pp. 703-727.

457. Michalowski R., Mroz Z. Associated and nonassociated sliding rules in contact friction• problems // Arch. Mech., 1978, v. 30, p. 259-276.

458. Mikolajczak A,, Rassineux A., Dufossi F., Kromer V. A finite element procedure of contact problems based on a remeshing of the contact zone / European Congress on Comput. Methods in Appl. Sci. Engng, ECCOMAS 2000, Barcelona, 2000, p. 1-15.

459. Miller K., Chinzei K., Orssengo G., Bednarz P. Mechanical properties of brain tissue in-vivo: experiment and computer simulation //J. Biomechanics, 2000, v. 33, p. 1369-1376.

460. Moes N., Dolbow J., Belytschko T. A finite element method for crack growth without remeshing // Int. J. Numer. Methods Engng. 1999, v. 46, p. 131-150.

461. Monaghan J.J. Why Particle Methods Work // SIAM J. Sci. Stat. Comput., 1982, v. 3 (4), p. 422-433.

462. Moresi L., Muhlhous H., Dufour F. An overview of numerical methods for Earth simulations, 2001. Available at http://www.ned.dem.csiro.au/research/ solid-Mech/ Geodynamics/ChapmanConference/ AbstractsReceived/AbstractFiles/ Moresi-et-al.pdf

463. Munjiza a., Owen D.E., Bicanic N. A Combined Finite-Discrete Element Method in Transient Dynamics of Fracturing Solids // Eng. Computations, 1995, v. 12, p. 145-174.

464. Nackenhorst U. On the finite element analysis of steady state rolling contact / in: M.H. Aliabadi, C.A. Brebbia (Eds.), Contact Mechanics Computational Techniques, Computational Mechanics Publications, Southampton, 1993, 53-60.

465. Nagtegaal J.C., Taylor L.M. NUMISHEETT91, 1991, p. 705.

466. Neto E.A.D., Hashimoto K., Peric D., Owen D.R.J. A phenomenological model for fric-tional contact accounting for wear effects // Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1996, A354, p. 819-843.

467. Nichols B.D., Hirt C.W., Methods for Calculating Multi-Dimensional, Transient Free Surface Flows Past Bodies / Proc. First Intern. Conf. Num. Ship Hydrodynamics, Gaithers-burg, 1975.

468. Nillson L., Zhong Z.H., Oldenberg M. Analysis of shell structures subjected to contact-impact / in: A-K.Noor, T. Belytschko and J. Simo, Analytical and Computational Methods for Shells, ASME, New York, 1989.

469. Nour-Omid B., Wriggers P. A 2-level iteration method for solution of contact problems // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1986, v. 54, p. 131-144.

470. Oancea V.G., Laursen T.A. A Finite Element Formulation of Thermomechanical Rate-Dependent Frictional Sliding // Int. J. Num. Meth. Engng., 1997, v. 40, p. 4275-4311.

471. Oancea V.G., Laursen T.A. Stability Analysis of State Dependent Dynamic Frictional Sliding // Int. J. of Non-Linear Mech., 1997, v. 32, p. 837-853.

472. Oden J.T. Exterior Penalty Methods for Contact Priblems in Elasticity //in Nonlinear ^ Finite Element Analysis in Structural Mechanics, eds. W. Wunderlich, E. Stein, K.J. Bathe,1. Springer, Berlin, 1981.

473. Oden J.T., Pires E.B. Algorithms and numerical results for finite-element approximations of contact problems with non-classical friction laws // Computers and Structures, 1983, v. 19, p. 137-147.

474. Oden J.T., Pires E.B. Nonlocal and Nonlinear Friction Laws and Variational Principles for Contact Problems in Elasticity //J. Appl. Mech., 1983, v. 50, p. 67-76.

475. Oden J.T., Carey G.F. Finite Elements / Special Problems in Solid Mechanics, Volume V, Prentice-Hall Inc., New Jersey, 1984.

476. Oden J.T., Martins J.A.C. Models and computational methods for dynamic frictional phenomena // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1986, v. 52, p. 527-634.

477. Oden J.T., Lin T.L. On the general rolling contact problem for finite deformations of a viscoelastic cylinder // Comput. Meth. Appl. Mech. Engng., 1986, p. 297-367.

478. Ogata Y., Yabe T. Shock capturing with improved numerical viscosity in primitive Euler representation, Comp. Phys. Comm., 1999, v. 119, p. 179.

479. Frictional Conditions // Int. J. Num. Meth. Engng, 1979, v. 14, p. 337-357.

480. Oldenburg M., Nilsson L. The position code algorithm for contact searching // Int. J. Num. Meth. Engng, 1994, v. 37, p.359-386.

481. Onate E., Oiler S., Oliver J., Lubliner J. A constitutive model for cracking of concrete based on the incremental theory of plasticity, Engng Computations, 1988. V. 5. N. 4. P.• 309-319.

482. Oran E.S., Boris J.P. Numerical Simulation of Reactive Flow, Elsvier, New York, 1987.

483. Ortiz M., Pinsky P.M., Taylor R.L. Operator split methods for the numerical solution of the elastoplastic dynamic problem. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1983. V. 39. P. 137-157.

484. Ortiz M., Quigley J.J. IV Adaptive Mesh Refinement in Strain Localization Problems // Comp. Meth. appl. Mech. Engng., 1991, v. 90, p. 781-804.

485. Ortiz M. Computational micromechanics. Computational Mechanics, 1996. V. 18. P. 321338.

486. Ortiz M., Stainier L. The variational formulation of viscoplastic constitutive updates. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1999. V. 171. P. 419-444.

487. Ortiz M., Repetto E.A. Nonconvex energy minimization and dislocation structures in ductile single crystals. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1999. V. 47. No. 2. P. 397-462.

488. Osher S., Sethi an J. A. Front propagating with curvature-dependent speed: Algorithms based on Hamilton-Jacobi formulations. // J. Comp. Phys., 1988, v. 79, p. 12.

489. Osher S., Fedkiw R. Level Set Methods: An Overview and Some Recent Results //J. Comp. Phys., 2001, v. 169, p. 463-502.

490. Osher S.J., Tryggvason G. Preface //J. Comp. Phys., 2001, v. 169, No. 2, p. 249-249 (Special issue of JCP on methods for multiphase flows).

491. Osher S., Fedkiw R. The Level Set Method and Dynamic Implicit Surfaces, SpringerVerlag, New York, 2002.

492. Ottosen N.S. A Failure criterion for concrete. J. of the Engng Mechanics Division, ASCE, 1977. V. 103. No. 4. P. 527-535.

493. Ottosen N.S. Constitutive mechanics and numerical computations, Sixth Nordic Seminar on Comput. Mech., Univ. of Lincoping, October 18-19, 1993. P. 55-70.

494. Owen D.R.J., Hinton E. Finite elements in plasticity: theory and practice, Swansea: Pineridge Press, 1980. 594 p. ISBN 0-906674-05-2.

495. Ozbolt J., Bazant Z.P. Numerical smeared fracture analysis: nonlocal microcrack interaction approach. Int. J. for Numer. Meth. in Engng, 1996. V. 39, pp. 635-661.

496. Padmanabhan V., Laursen T.A. A Framework for Development of Surface Smoothing Procedures in Large Deformation Frictional Contact Analysis // Finite Elements in Analysis and Design, 2001, v. 37, p. 173-198.

497. Padovan J., Zeid I. Finite element analysis of steadily moving contact fields // Computers and Structures, 1984, v. 2, p. 111-200.

498. Padovan J. Finite element analysis of steaduly and transiently moving and rolling vis-coelastic structure-I // Theory Comput. Struct., 1987, v. 27, p. 249-257.

499. Padovan J., Padovan P. Modelling wear at intermittently slipping high speed interfaces // Computers and Structures, 1994, v. 52, p. 795-812.

500. Panagiotopoulos P.D. Inequality Problems in Mechanics and Applications. Birkhauser, Boston, 1985.

501. Pandolfi P., Kane C., Marsden J.E., Ortiz M. Time-Discretized Variational Formulation of Nonsmooth Frictional Contact // Int. J. Num. Meth. Engng., 2001, 31 p.

502. Papadrakakis M., Ghionis P. Conjugate gradient algorithms in nonlinear structural analysis problems, Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1986, v. 59, p. 11-27.

503. Papadopoulos P., Taylor R.L. A Mixed Formulation for the Finite Element Solution of Contact Problems, Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1992, v. 94, p. 373-389.

504. Papadopoulos P., Taylor R.L. A Simple Algorithm for Three-dimensional Finite Element Analysis of Contact Problems // Computers and Structures, 1993, v. 46, p. 1107-1118.

505. Papadopoulos P., Jones R.E. On a Class of Finite Elements for Frictionless Contact Problems, Recent Developments in Finite Element Analysis, T. J. R. Hughes, E. Onate and O. C. Zienkiewicz editors, Springer-Verlag/CIMNE, Barcelona, 1994, p. 246-254.

506. Papadopoulos P., Jones R.E., Solberg J. A Novel Finite Element Formulation For Frictionless Contact Problems, Int. J. Num. Meth. Engng., 1995, v. 38, p. 2603-2617.

507. Papadopoulos P., Solberg J.M. A Hamiltonian Formulation for Dynamic Contact Between Finitely Deforming Elastic Solids / in Advances in Computational Engineering Science S.N. Atluri and G. Yagawa editors, Tech Science Press, Forsyth, 1997, p. 1098-1103

508. Papadopoulos P., Solberg J.M. A Lagrange Multiplier Method for the Finite Element Solution of Frictionless Contact Problems // Math. Comp. Modelling, 1998, v. 28, p. 373-84.

509. Parisch H. A consistent tangent stiffness matrix for three-dimensional non-linear contact analysis // Int. J. Num. Meth. Engng., 1989, v. 28, p. 1803-1812

510. Parisch H., Lubbing Ch. // Int. J. Num. Meth. Engng., 1997, v. 40, p. 3359.

511. Park J., Anderson W.J. Geometric Optimization in Presence of Contact Singularities // AIAA Journal, 1995, v. 33, No. 8, p. 1503-1509.

512. Park K.C., Felippa C.A. A variational principle for the formulation of partitioned structural systems // Int. J. Num. Meth. Engrg., 2000, v. 47, p. 395-418.

513. Park K.C., Felippa C.A., Rebel G. A simple algorithm for localized construction of non-matching structural interfaces,Center for Aerospace Structures, Report No.CU-CAS-00-22, University of Colorado, Boulder, 2000.

514. Pasta J.R., Ulam S. Heuristic numerical work in some problems of hydrodynamics // Math. Tables Aids Comput. 1959. 13.

515. Peric D., Owen D.R.J. Computational model for 3-d contact problems with friction based on the penalty method // Int. J. Num. Meth. Engng., 1992, v. 35, p. 1289-1309.

516. Peyret R., Taylor T.D. Computational Methods for Fluid Flow, New York, Springer, 1990. P. 1-358.

517. PfeifFer F. Unilateral problems of dynamics // Archive of Applied Mechanics, 1999, v.69, p. 503-527.

518. Pifco A.B., Winter R. Theory and application of finite element analysis to structural crash simulation // Computers and Structures, 1981, v. 13, p. 277-285.

519. Pinsky P.M., Ortiz M., Taylor R.L. Operator split methods for the numerical solution of the finite-deformation elastoplastic dynamic problem. Computers and Structures, 1983. V. 17. P. 345-359.

520. Pires E.B., Oden J.T. Analysis of contact problems with friction under oscillating loads // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1983. V. 39. P. 337-362.

521. Plimpton S., Attaway S., Hendrickson B., Swegle J., Vaughan C., Gardner D. Transient Dynamics Simulations: Parallel Algorithms for Contact Detection and Smoothed Particle Hydrodynamics //J. Parallel and Distributed Computing, 1998, v. 50, p. 104-122.

522. Praskacz E.J. On impact-contact algorithms for parallel distributed-memory computers / Computational Mech. '95 (Proceedings of the Int. Conf. on Comp. Engng Scirnce, Hawaii,USA), 1995, p. 369-374.

523. Puckett E.G., Saltzman J.S. A 3D adaptive mesh refinement algorithm for multimateral gas dynamics. // Physica, 1992, v. D60, p. 84.

524. Puckett E.G., Almgren A.S., Bell J.B., Marcus D.L., Rider W.J. A high-order projection method for tracking fluid interfaces in variable density incompressible flows. //J. Comp. Phys., 1997, v. 130, p. 269.

525. Puso M.A., Laursen T.A. A 3D Contact Smoothing Method Using Gregory Patches // Int. J. Num. Meth. Engng., 2002.

526. Rabier P.J., Martins J.A.C., Oden T,J., Campos L. Existence and local uniqueness of solutions to contact problems in elasticity with nonlinear friction laws // Int. J. Engng. Sci., 1986, v. 24, p. 1755-1768.

527. Rabier P.J., Oden J.T. Solution to Signorini-like contact problems through interface models. 1. Preliminaries and formulation of a variational equality // Nonlinear Analysis Theory Methods and Applications, 1987, v. 11, p. 1325-1350.

528. Rabier P.J., Oden, J.T. Solution to Signorini-like contact problems through interface models. 2. existence and uniqueness theorems // Nonlinear Analysis Theory Methods and Applications, 1988, v. 12, p. 1-17.

529. Radovitzky R., Ortiz, M. Error estimation and adaptive meshing in strongly nonlinear dynamic problems. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1999. V. 172. P. 203-240.

530. Rannacher R., Suttmeier F.T. A posteriory Error Control in Finite Element Methods via Duality Techniques: Application to Perfect Plasticity, // Comp. Mech, 1999.

531. Raous M. (Ed.) Numerical methods in mechanics of contact involving friction // J. de Mechanique Theorique et Appliquee, Special Issue, Supp. 1 to vol. 7, Gauthier-Villars, 1988.

532. Rashid M.M. The arbitrary local mesh refinement method: an alternative to remeshing for crack propagation analysis // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng. 1998, v. 154, p. 133-150.

533. Rider W.J., Kothe D.B. Stretching and Tearing Interface Tracking Methods / Technical Report AIAA 95-0699, AIAA, 1995 (Available at www.c3.lanl.gov/~wjr/publ.html).

534. Riedel H., Sun D.-Z. Simulation of die pressing and sintering of powder metals, hard metals and ceramics / Num. Meth. in Indust. Proc., Chenot, Wood and Zienkievicz (Eds.), Balkema, Rotterdam, 1992, p. 883-886.

535. Ringers B.E. New sliding surface techniques enable lagrangian code to handle deep target penetration/perforation problems // Lect. Notes Engng, 1983, No. 3, p. 36-46.

536. Rots J.G., Nauta P., Kusters G.M.A., Blaauwendraad J. Smeared crack approach and fracture localisation in concrete, Reron, 1985. V. 30. No. 1. P. 1-48.

537. Rots J.G. Smeared and discrete representations of localised fracture. Int. J. of Failure, 1991. V. 51. P. 45-59.

538. Rvachev V.L., Sheiko T.I. R-functions in boundary value problems in mechanics // AMR, 1995, v. 48(4), p. 151-188

539. Sachdeva T.D., Ramakrishnan C.V. A Finite Element Solution for the Two-dimensional Elastic Contact Problems with Friction // Int. J. Numer. Meth. Engng., 1981, v. 17, p. 1257-1271.

540. Saleeb A.F., Chen K., Chang T.Y.P. An effective two-dimensional frictional contact model for arbitrary curved geometry // Int. J. Num. Meth. Engng., 1994, v. 37, p. 1297-1321

541. Santos A., Makinouchi A. // J. Mater. Proc. Tech., 1993, v. 50, p. 277.580. de Saracibar A., Chiumenti M. Numerical Analysis of Frictional Wear Contact Problems. Computational Model and Applications, to appear in Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1998.

542. Sethian J.A. Level Set Methods. Evolving Interfaces in Geometry, Fluid Mechanics, Computer Vision, and Materials Science, Cambridge University Press, 1996.

543. Sethian J.A. Tracking interfaces with level sets // American Scientist, 1998, v. 85, p. 254.

544. Sethian J.A. Level Set Methods and Fast Marching Methods: Evolving Interfaces in Computational Geometry, Fluid Mechanics, Computer Vision, and Materials Science, Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.

545. Sethian J., Evolution, Implementation, and Application of Level Set and Fast Marching Methods for Advancing Fronts //J. Comp. Phys., 2001, 169, p. 503-555.

546. Shai I., Santo M. Heat transfer with contact resistance // Int. J. Heat Mass Transfer, 1982, v. 24, 465-470.

547. Sharif N.H., Wiberg N.-E. Stationary level set method for modeling sharp interfaces in groundwater flow / Preprint 2001:06, Chalmers University, Goteborg, 2001. Available at http://www.phi.chalmers.se/pub/preprints/pdf/- phiprint-2001-06.pdf

548. Shyy W., Francois M., Udaykumar H.S., N'dri N., Tran-Son-Tay R. Moving boundaries in micro-scale biofluid dynamics // AMR, 2001, v. 54(5), p. 405-453.

549. Signorini A. Sopra alcune questione di elastostatica // Atti Soc. Ital. Progr. Sci., 1933, p. 513-533.

550. Signorini A. Questioni di elasticitanon linearizzata o semilinearizzat e semilinearizzata // Rend, di Matem. e delle sue appl., 1959, T. 18, No. 1-2, p. 95-139.

551. Simo J.C., Wriggers P., Taylor R.L. A Perturbed Lagrangian Formulation for the Finite-element Solution of Contact Problems // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1985, v. 50, p. 163-180.

552. Simo J.C., Wriggers P., Schweizerhof K.H., Taylor R.L. Finite deformation post-buckling analysis involving inelasticity and contact constraints // Int. J. Num. Meth. Engng., 1986, v. 23, p. 779-800.

553. Simo J.C., Laursen T.A. An augmented lagrangian treatment of contact problems involving friction // Computer and Structures, 1992, v. 42, p. 97-116.

554. Simo J., Oliver J., Armero F. An analysis of strong discontinuities induced by softening solutions in rate-independent solids //J. Comp. Mech., 1993, v. 12, p. 277-296.

555. Simon J.C. On a fully three-dimensional finite strain viscoelastic damage model: formulation and computational aspects // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1991, v. 60, p. 153-173.

556. Simons J.W., Bergan P.G. A finite element formulation of three- dimensional contact problems with slip and friction // J. Comp. Mech., 1986, v. 1, p. 153-164.

557. Soltani B., Mattiasson K., Samuelsson A. Implicit and dynamic explicit solutions of blade forming // Seventh Nordic Siminar on Comput. Mech. Abstracts. The Norvegian Inst, of Techn. Univ. of Trondheim. October 4-5, 1994. P. 78-80.

558. Stadter J.T., Weiss R.O. Analysis of Contact through Finite Element Gaps // Computers and Structures, 1979, v. 10, p. 867-873.

559. Stampacchia G., Lions J.L. Inequations variationnelles non coercives // C. R. Acad. Sci, Paris, 1965, v. 261, p. 25-27.

560. Stampacchia G., Lions J.L. Variational inequalities // Com. Pure Appl. Math., 1967, v. 20, p. 493-519.

561. Stecher F.P., Johnson G.C. Lagrangian computations for projectile penetration into thick plates / in: W.A.Gruver, ed., Computers in Engineering, Vol. 2, ASME, New York, 1984, G00240.

562. Stechschulte R.A., Luchini J.R. A laminated composite solid element and its application to tire analysis // Tire Sci. Technol., TSTCA, 1987, v. 15, p. 42-57.

563. Stein E., Wriggers P. Calculation of impact contact problems of thin elastic shells taking into account geometrical nonlinearities within the contact region. Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1982, v. 34, p. 861-880.

564. Stromberg N. A Newton method for three dimensional fretting problems. European Journal of Mechanics A/Solids, 1997. V. 16. P. 573-593.

565. Sumi Y. Computational crack path prediction // Theoret. Appl. Fract. Mech., 1985, v. 4, pp. 149-156.

566. Sun S.M., Tzou H.S., Natori M.C. Parametric quadratic programming method for dynamic contact problems with friction // AIAA J., 1994, v. 32, No. 2, p. 371-378.

567. Sussman M., Smereka P., Osher S. A level set approach for computing solutions to incompressible two-phase flow //J. Comp. Phys., 1994, v. 114, p. 146.

568. Sussman M., et al. An adaptive level set approach for incompressible two-phase flows // J. Comp. Phys., 1999, v. 148, p. 81.

569. Sweby P.K. High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws. // SIAM J. Num. Anal., 1984, v. 21, p. 995.

570. Szymczak W.G., Rogers J.C.W., Solomon J.M., Berger A.E. A numerical algorithm for hydrodynamic free boundary problems //J. Comp. Phys., 1993, v. 106, p. 319-336.

571. Tada Y., Nishihara N. Optimum Shape Design of Contact Surface with Finite Element Methods // Advances in Engineering Software, 1993, v. 18, p.75-85.

572. Tabor D. Friction The Present state of Our Understanding //J. Lubr. Technology, 1981, v. 103, p. 169-179.

573. Le Tallec P., Numerical methods for solids / In: Ciarlet, P.G., Lions, J. L. (eds.), Handbook of Numerical Analysis. North-Holland, 1994.

574. Le Tallec P. Numerical models of steady rolling for non-linear viscoelastic structures in finite deformations // Int. J. Num. Meth. Engng., 1994, v. 37, p. 1159-1186.

575. Tanaka R., Nakamura T., Yabe T., Wu H. A class of conservative formulation of the CIP method. // CFD J., 1999, v. 8, p. 1.

576. Tanaka R., Nakamura T., Yabe T. Constructing an exactly conservative scheme in a non-conservative form. // Comp. Phys. Comm., 2000, v. 126, p. 232.

577. Tarzia D.A. A bibliography on moving-free boundary problems for the heat-diffusion Stefan problem. University di Ferenze, Technical Report, 1988.

578. Taylor R.L., Papadopoulos P. On a Finite Element Method for Dynamic Contact/Impact Problems / In: Finite Elements in the 90's , E. Onate, J. Periaux and A. Samuelson editors, Springer-Verlag/CIMNE, Barcelona, 1991, p. 212-224,

579. Taylor R.L., Papadopoulos P. On a Patch Test for Contact Problems in Two Dimensions / In: Nonlinear Computational Mechanics, P. Wriggers and W. Wagner editors, SpringerVerlag, Berlin, 1991. p. 690-702.

580. Taylor R.L., Papadopoulos P. On a Finite Element Method for Dynamic Contact/Impact Problems // Int. J. Num. Meth. Engng., 1993, v. 36, p. 2123-2140,

581. Terzopoulos D., Platt J., Barr A., Fleischer K., Elastically deformable models / In: Proc. of SIGGRAPH'87, Computer Graphics, 1987, v. 21, No. 4, pp. 205-214.

582. Truesdell C., ed., Continuum Mechanics (reprints). New York: Gordon and Breach v. I. 1966; v. II. 1965.

583. Truesdell C. and Noll, W. The Non-Linear Field Theories of Mechanics, in Encyclopedia of Physics, v. III/3, ed. S. Flügge. Berlin: Springer-Verlag. 1965.

584. Truesdell C. A simple example of an initial-value problem with any desired number of solutions. Ist. Lombardo Accad. Sei. Lett. Rend. A, 1974. V. 108. P. 301-304.

585. Truesdel C. A First Course in Rational Continuum Mechanics, General Concepts, v. 1, Academic Press, New York, 1977.

586. Tomita Y. Simulations of plastic instabilities in solid mechanics. AMR 1994, v. 47(6) Part 1, p. 171-205; A. S. Kobayashi (ed.) AMR, 1994, v. 47(6) Part 2.

587. Tompson J.F., Soni B.K., Weatherill N.P. (Eds.) Handbook of grid generation, CRC Press, Boca Raton, FL, 1999.

588. Toro E.T. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics // Berlin, Springer-Verlag, 1997.

589. Tseng J., Olson M.D. The Mixed Finite Element Method Applied to Two-dimensional Elastic Contact Problems, Int. J. Num. Meth. Engng., 1981, v. 17, p. 991-1014.

590. Udaykumar H.S., Mittal R., Shyy W. Computation of Solid-Liquid Phase Fronts in the Sharp Interface Limit on Fixed Grids //J. Comp. Phys., 1999, v. 153, p. 535-574.

591. Verfuhrt R. A Review of a posteriory error estimation and adaptive mesh refinement techniques //Technical report, Institut fur Angewandte Mathematik, Universität, Zurich, 1993.

592. Wakisaka T., Takeuchi S., Chung J.H. A numerical study on the mixture formation process in fuel injection engines by means of the CIP method. // CFD J., 1999, v. 8, p. 82.

593. Walter H., Baillet L., Brunet M. 3D finite element modelling of crack propagation in concrete during pull-out and shear tests of anchors. Fracture and Damage Mechanics, Londres-Angleterre, Edite par M.H.Aliabadi, 1999. P. 403-411.

594. Wang S.P., Nakamachi E. The inside-outside search algorithm for finite element analysis // Int. J. Num. Meth. Engng, 1997, v. 40, p. 3665-3685.

595. Welch J.E., Harlow F.H., Shannon J.P., Daly B.J. The MAC method Los Alamos Scientific Laboratory Report, LA-3425, 1965.

596. Wheeler A. A. Four test problems for the numerical simulation of flow in Chochralski crystal growth, J. Crystal Growth, 1990. V. 99. P. 910.

597. White L., Oden J.T. Dynamics and control of viscoelastic solids with contact and friction effects // Nonlinear Analysis Theory Methods and Applications, 1989, v. 13, p. 459-474.

598. Wikstrom N. A literature survey aiming to shed some light on the cavitation simulation problem, 2000, available at http://www.na.chalmers.se/ "niklasw/documents/survey.pdf

599. Wilkins M.L. Calculation of elastic-plastic flow / In: Methods in Computational Physics, v. 3, Fundamental methods in Hydrodynamics, Academic Press, New York, 1964, p. 211263.

600. Wilkins M.L. Mechanics of penetration and perforation // Int. J. Engng. Sei., 1978, v. 16, p. 793-807.

601. Wilkins M.L. Computer simulation of penetration phenomena / In: Ballistic materials and penetration mechanics, Roy C. Laible (Ed.), Amsterdam, New York, Oxford, 1980, p. 225-252.

602. Wilkins M.L. Use of artificial viscosity in multidimensional fluid dynamic calculations. // J. Comp. Phys., 1980, v. 36, p. 281.

603. Wilkins M.L. Computer Simulation of Dynamic Phenomena. Springer-Verlag, New York, 1999.

604. Wilson E.A., Parsons B. Finite Element Analysis of Elastic Contact Problems using Differential Displacements. // Int. J. Num. Meth. Engng., 1970, v. 2, p. 387-395.

605. Woo K.L., Thomas T.R. Contact of Rough Surfaces: A Review of Experimental Works // Wear, 1980, v. 58, p. 331-340.

606. Woodward P.Y., Colella P. The numerical simulation of two-dimensional fluid flow with strong shocks. //J. Comp. Phys., 1984, v. 54, p. 115.

607. Wriggers P., Simo J.C. A Note on Tangent Stiffness for Fully Nonlinear Contact Problems // Comm. Appl. Num. Meth., 1985, v. 1, p. 199-205.

608. Wriggers P., Wagner W., Stein E. Algorithms for Nonlinear Contact Constraints with Application to Stability Problems of Rods and Shells, //J. Comp. Mech., 1987, v. 2, p. 215-230.

609. Wriggers P., Van T.V., Stein E. Finite-element formulation of large deformation impact-contact problems with friction. // Computers and Structures, 1990, v. 37, p. 319-331.

610. Wriggers P., Zavarise G. Thermomechanical Contact A Rigorous but Simple Numerical Approach // Computers and Structures, 1993, v. 46, p. 47-53.

611. Wriggers P., Imhof M. On the Treatment of Nonlinear Unilateral Contact Problems. // Archive of Applied Mechanics Ingenieur Archiv, 1993, v. 63, p. 116-129.

612. Wriggers P., Zavarise G. Application of Augmented Lagrangian Techniques for Nonlinear Constitutive Laws in Contact Interfaces // Comm. Num. Meth. Engng., 1993, v. 9, p. 815-824.

613. Wriggers P., Miehe C. Contact Constraints within Coupled Thermomechanical Analysis A Finite Element Model. // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1994, v. 113, p. 301-319.

614. Wriggers P., Scherf 0., Carstensen C. Adaptive techniques for the contact of elastic bodies / in: T.J.R. Hughes, E. Onate, O.C. Zienkievicz (Eds.), Recent Developments in Finite Element Analysis, CIMNE, Barcelona, 1994, pp. 78-86.

615. Wriggers P. Finite Element Algorithms for Contact Priblems. // Archive Comp. Meth. Engng., 1995, v. 2, p. 1-49.

616. Wriggers P., Scherf 0. An adaptive finite element technique for nonlinear contact problems // Comput. Mech., 1995, v. 17, p. 88-97.

617. Wriggers P., Zavarise G. On contact between 3-dimensional beams undergoing large deflections. Communications in Numerical Methods in Engineering, 1997. V. 13. P. 429-438.

618. Wriggers P., Scherf O. Adaptive finite element techniques for frictional contact problems involving large elastic strains. // Comp. Meth. Appl. Mech. Engng., 1998, v. 151, p. 593603.

619. Wriggers P., Panagiotopoulos P. (Eds.) New Developments in Contact Problems // CISM courses and lectures, No.384, Udine, Springer-Verlag, Wien, New York, 1999, P. 1-246.

620. Xie Y.M., Steven G.P. A Simple Evolutionary Procedure for Structural Optimization // Computers and Structures, 1993, v. 49, p. 885-896,

621. Xie Y.M., Steven G.P. Evolutionary Structural Optimization, Springer-Verlag, Berlin, 1997.

622. Xing H.-L., Makinouchi A. A node-to-point contact element strategy and its applications, RIKEN Review No. 30, 2000.

623. Yagawa G., Soneda N., Yosimura S. A large scale finite element analysis using domain decomposition method on a parallel computer // Computers and Structures, 1991, v. 38, p. 615-625.

624. Yagawa G., Sgioya R. Parallel finite elements on a massively parallel computer with domain decomposition // Computing Systems Engng., 1993, v. 4, p. 495-503

625. Yagawa G., Yoshioka A., Yoshimira S., Soneda N. A parallel finite element method with a supercomputer network. // Computers and Structures, 1993, v. 47, p. 407-418.

626. Yoon S.Y., Yabe T. The unified simulation for incompressible and compressible flow by the predictor-corrector scheme based on the CIP method, Comput. Phys. Commun., 1999, v. 119, p. 149.

627. Yovanovich M. M. Thermal Contact Correlations, AIAA Paper, 81-1164, 1981.

628. Zavarise G., Wriggers P., Stein E., Schrefler B.A. A Numerical Model for Thermomechan-ical Contact based on Microscopic Interface Laws. // Mechanics Research Comm., 1992, v. 19, p. 173-182.

629. Zavarise G., Wriggers P., Stein E., Schrefler B.A. Real contact mechanisms and finite-element formulation a coupled thermomechanical approach. // Int. J. Num. Meth. Engng., 1992, v. 35, p. 767-785.

630. Zavarise G., Wriggers P., Schrefler B.A. On Augmented lagrangian Algorithms for Thermomechanical Contact Problems with Friction // Int. J. Num. Meth. Engng., 1995, v. 38, p. 2929-2949.

631. Zavarise G., Wriggers P., Schrefler B.A. A Method for Solving Contact Problems // Int. J. Num. Meth. in Engng., 1998, v. 42, p. 473-498.

632. Zhong Z.H. A contact searching algorithm for general 3-D contact-impact problems. / Dissertation no. 178, Linkoping Institute of Technology, 1988.

633. Zhong Z.-H., Nilsson L. A contact searching algorithm for general contact problems. // Computers and Structures, 1989, v. 33, p. 197-209.

634. Zhong Z.H., Mackerle J. Static Contact Problems A Review, // Engineering Computations, 1992, v. 9, p. 3-37.

635. Zhong Z.H., Mackerle J. Contact-impact Problems: A Review with Bibliography. // ASME Transactions, Appl. Mech. Rev., 1993, v. 47(2), p. 55-76.

636. Zhong Z.H. Finite Element Procedures for Contact-impact Problems, Oxford University Press Inc., Oxford, 1993.

637. Zhong Z.H., Nilsson L. Automatic contact searching algorihm for dynamic inite element analysis // Computers and Structures, 1994, v. 52, N. 2, p. 187-197.

638. Zhong Z.H., Nilsson L. Lagrange multiplier approach for evaluation of friction in explicit finite-element analysis. // Communications in Numerical Methods in Engng, 1994, vol. 10, p. 249-255.

639. Zhu T., Atluri S.N. A Modified Collocation Method and a Penalty Formulation for Enforcing the Essential Boundary Conditions in the Element Free Galerkin Method // Computational Mechanics, 1998, v. 21, p. 211-222.

640. Zhuang Y. Real-time simulation of physically-realistic global deformations. / PhD thesis, Department of Electrical Engineering and Computer Science, University of California, Berkeley, 2000.

641. Ziegler H. Some extremum principles in irreversible thermodynamics with applications to continuum mechanics, in Progress in Solid Mechanics, eds. I. N. Sneddon and R. Hill, 1966. Vol.4, Amsterdam: North Hollabd Publ.

642. Zukas J.A., Nickolas T., Swift H.F., Greszuk L.B., Curran D.R. Impact dynamics, New York, Wiley, 1982 ( Перевод: Зукас Дж. А., Николас Т., Свифт Х.Ф., Грещук JI.В., Курран Д.Л. Динамика удара, М., Мир, 1985, 296 с.)